Université Claude Bernard - Lyon 1Laboratoire de Spectrométrie Ionique et Moléculaire

LASIM - UMR CNRS 5579

Stage en vue de l’obtention du diplôme deMaster International mention Physique

Sous la direction de M. Franck Lépine

Effets holographiques en microscopie dephotoïonisation

Stage présenté et soutenu parM. Julien De Conti

Lyon, le 5 juillet 2011

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Remerciements

Tout d’abord, je tiens à remercier chaleureusement mon directeur de stage, FranckLépine, pour m’avoir encadré tout du long. Ses conseils et les questions aux allures in-nocentes qu’il savait toujours me poser au bon moment m’ont permis de m’adapter ra-pidement au domaine de la microscopie de fonction d’onde et surtout de m’interrogeret d’avancer de la manière la plus autonome possible. Je remercie mille fois ChristianBordas, directeur du groupe «dynamique des états excités» et directeur du LASIM, pourm’avoir convaincu de continuer mon Master jusqu’au bout. Ses grandes qualités humainesm’ont été d’une aide précieuse quand j’avais besoin d’être rassuré. Merci encore, Francket Christian, pour m’avoir fait confiance en me permettant d’effectuer un stage dont lecontenu scientifique m’a passionné et duquel je ressors, je l’espère, grandi.

Je remercie également les autres membres de notre équipe, et en particulier ThomasBarillot dont la sympathie et l’énergie était communicative et revigorante à chaque foisqu’il passait prendre des nouvelles. Je lui souhaite une bonne fin de thèse et énormémentde réussites pour la suite.

J’adresse mes remerciements à tous les membres de mon jury pour avoir accepté delire ce rapport et de m’écouter tout en me consacrant une partie de votre temps.

Je garde une pensée particulière pour toutes les personnes qui ont dû me supporterpendant cette année de master et surtout au cours de mon stage : ma famille, mes amisaux oreilles attentives, mes «colocataires» qui savaient m’accueillir chez eux quand j’enavais besoin, mes collègues stagiaires avec qui nous avons partagé nos raz-le-bol autantque nos joies ainsi que, et surtout, mes correcteurs en chef qui ont pris la patience de melire et me relire encore. Maman, Carole, Guillaume, Stéphanie, Franck, Thibault, Clé-ment, Julie, Bryan, Xavier, Sebastien, Lucille, Élodie, Marc, Eve-Marie et Sylvie, ceténorme remerciement est pour vous.

Enfin, je voudrais terminer en remerciant tout spécialement ceux qui ont fait vivrependant cinq ans l’association Turbulence. Nous avons été une grande famille et vousm’avez permis de réussir mes études, tout en m’épanouissement dans le monde universi-taire et en découvrant des personnes passionnantes. Vous avez toujours été à mon écouteet prêts à supporter mes pires moments, alors comme on le dit si bien, vous méritez bienun ... « Turbulence, performance ! ».

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Unités

Les unités atomiques (u.a.), introduites en 1928 par D. R. Hartree, forment un systèmed’unités très utilisé pour simplifier les calculs formels et numériques en physique, notam-ment en physique atomique. Les grandeurs sont explicitées en fonction des constantes dusystème de l’atome d’hydrogène pris dans son état fondamental. Cela consiste à poserégale à 1 u.a., par exemple, la charge électrique élémentaire e, la masse de l’électron me

et la constante de Plank réduite ~. Les deux tableaux suivant résument les principalesunités et conversions dans le système international d’unités que nous utiliserons dans cerapport de stage.

Table 1 – Unités atomiques

Charge Charge électrique élémentaire e 1.602 176 53 x 10−19 CMasse Masse de l’électron au repos me 9.109 308 26 x 10−31 KgAction Constante de Planck réduite ~ 1.054 571 68 x 10−34 J.s

Longueur Rayon de Bohr a0 0.529 177 21 x 10−10 mÉnergie Énergie de Hartree Eh 4.359 744 17 x 10−18 JTemps Unité atomique de temps ~/Eh 2.418 884 326 x 10−17 s

Table 2 – Table de conversion

Champ électrique 1 u.a. 5.142 26 x 109 V/cmÉnergie 1 u.a. 27.211 4 eVÉnergie 1 eV 8 065.44 cm−1

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Table des matières

Unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vTable des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Introduction 1

1 Microscopie de fonction d’onde : éléments de théorie 31.1 Rappels théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Atome d’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Effet Stark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Imagerie des photoélectrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Microscopie de fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 De la microscopie de photodétachement à la microscopie de pho-

toïonisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Simulation de la propagation des électrons . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Simulations quantiques de propagation du paquet d’ondes 192.1 Méthode du Split Opérator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Paramètres du programme : input et output . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Premières simulations et résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Holographie en microscopie de photoïonisation 313.1 Analyse spatiale des battements : évolution de leurs interfranges et de leur

inclinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Traitement des coupes radiales par analyse de Fourier . . . . . . . . . . . 40

3.2.1 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.2 Comparaison de l’évolution temporelle des franges . . . . . . . . . 413.2.3 Comparaison spatiale à différentes énergies . . . . . . . . . . . . . 42

Conclusion 49

Bibliographie 51

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Introduction

La microscopie est un ensemble de techniques d’imagerie qui permet d’étudier desobjets de petites dimensions. Ils se regroupent généralement en deux catégories d’appa-reils : les microscopes en champ lointain (microscopes optiques classiques et électroniquesà balayage ou transmission) et les microscopes en champ proche (microscopes à effettunnel, à force atomique, etc.). Même si la microscopie en champ proche a rapidementévolué et permet actuellement de visualiser la surface d’un échantillon avec des résolu-tions spatiales de l’ordre de l’Angström, c’est-à-dire d’examiner l’enveloppe des fonctionsd’onde atomiques, aucune de ces techniques de microscopie actuelles ne permet d’avoiraccès à la structure quantique d’un objet isolé,un atome ou une molécule, et de visualisersa fonction d’onde.

Le type de microscopie qui est décrit dans ce manuscrit, la microscopie de fonctiond’onde, est basée sur l’éjection d’un électron de l’objet étudié qui est projeté grâce à unchamp électrique statique vers un détecteur sensible en position. Lors du processus dephotoïonisation au seuil d’un atome soumis à ce champ et donc à l’effet Stark, il a étédémontré que les trajectoires des électrons sont influencées par le champ électrique et lechamp coulombien du noyau atomique et que le continuum d’ionisation est structuré pardes pics de résonance propres aux états Stark. L’image des photoélectrons sur le détecteurmontre la présence d’anneaux d’interférences qui sont directement reliés à la forme de lafonction d’onde électronique confinée dans l’atome pour ces états. Ceci correspond doncà l’extension macroscopique de cette fonction d’onde et à sa projection sur le détecteur.Cet outil agit comme un «microscope de fonction d’onde» et c’est passage des propriétésmicroscopiques de l’atome à une échelle macroscopique qui nous permet de parler dans cecas là de microscopie. La réalisation expérimentale de cet appareil a été rendue possiblegrâce à la collaboration entre notre groupe, «dynamique des états excités» du LASIM,dirigé par C. Bordas et plusieurs équipes internationales dont celle de M. J. J. Vrakkingau FOM à Amsterdam.

Le travail présenté dans ce rapport s’inscrit donc dans l’étude des propriétés dessystèmes atomiques et moléculaires en interaction avec un laser et soumis à un champélectrique statique. Nous allons, dans un premier temps, revenir sur les bases théoriquesliées à l’imagerie des photoélectrons en microscopie de fonction d’onde. Nous reviendronsen particulier sur les développements historiques de ce type de spectroscopie et noustraiterons le cas d’un atome d’hydrogène soumis à l’effet Stark en présentant les modèlesclassiques et semi-classiques de propagation des électrons et de leur paquet d’ondes. Dansun deuxième temps, nous présenterons la méthode du Split Opérator permettant de traiterinformatiquement ce cas d’un point de vue quantique, en prenant en compte les effets

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du cœur atomique et l’effet tunnel. Nous expliciterons le fonctionnement du programmeinformatique de simulation quantique et nous présenterons les premiers résultats obtenuspar le calcul. Dans un troisième temps et pour finir, nous décrirons les analyses que nousavons réalisées sur des coupes radiales de photocourant provenant des simulations et nousmontrerons que le comportement des franges de battement qui apparaissent est structurépar les valeurs de l’énergie et du champ électrique appliqués au système.

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Chapitre 1

Microscopie de fonction d’onde :éléments de théorie

Dans ce chapitre nous allons en premier lieu rappeler les bases théoriques liées à la pro-blématique d’un atome d’hydrogène libre, puis plongé dans un champ électrique statique.Nous nous intéresserons aux propriétés quantiques de ce système lorsqu’il est soumis àl’effet Stark, notamment en discutant de la forme du potentiel effectif de l’atome selonles coordonnées paraboliques qui sont bien adaptées à la symétrie du problème.

Puis nous reviendrons brièvement sur les évolutions théoriques de l’imagerie des élec-trons qui ont conduit à la microscopie de fonction d’onde. En présentant les microscopiesde photodétachement et de photoïonisation ainsi que leurs différences, nous décrironsl’effet du cœur électronique sur la dynamique d’ionisation. Nous nous placerons pourcela dans le cas de la microscopie de photoïonisation, avec un système ionisé initialementneutre, et nous étudierons le comportement d’un électron lent, c’est-à-dire ionisé justeau-dessus du seuil d’éjection.

Enfin, nous décrirons les simulations classiques qui ont été réalisées ces quinze der-nières années dans le laboratoire qui m’accueille. Nous montrerons que avec certainesapproximations, qui ont été validées par l’expérience, ces simulations permettent d’étu-dier de manière complète la topologie des trajectoires classiques de l’électron et de repro-duire leur comportement classique. Cette approche classique a permis ensuite d’étudierle comportement d’un paquet d’ondes semi-classiques et d’ainsi reproduire par calcul lephotocourant radial électronique qui arrive sur le détecteur. Ces simulations permettrontd’étudier le comportement de ce système en fonction de l’énergie cinétique de l’électronet de décrire les phénomènes d’interférences qui en découlent.

1.1 Rappels théoriques

1.1.1 Atome d’hydrogène

Pour cette description quantique de l’atome d’hydrogène, nous considérons unique-ment l’interaction coulombienne entre deux particules portant respectivement une chargeponctuelle +e et -e et distantes l’une de l’autre de r. L’atome d’hydrogène peut donc être

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réduit à un système à deux particules, un proton de masse M et un électron de massem, interagissant dans un potentiel ne dépendant que de leurs coordonnées relatives. Poursimplifier les calculs, nous pouvons séparer le mouvement du centre de masse du mouve-ment relatif entre les deux particules dans le traitement analytique de ce système.

Ainsi, en notant ~P le moment total associé au centre de masse, ~p le moment relatifentre l’électron et le proton et µ la masse réduite Mm

(M+m), nous pouvons décomposer l’éner-

gie totale du système en deux contributions : l’énergie cinétique Ec =~P 2

2(M+m)correspon-

dant au mouvement du centre de masse et l’énergie interne correspondant au mouvementrelatif entre les deux particules. L’évolution de cette seconde contribution dépendant àla fois du moment relatif et du potentiel coulombien V (r) est décrite par le Hamiltoniensuivant [1] :

H =p2

2µ+ V (r) =

p2

2µ− e2

(4πε0)r(1.1)

La fonction d’onde quantique ψ(~r) permet de décrire la densité de probabilité deprésence |ψ|2 de l’électron autour du noyau et ainsi de déterminer les distributions radialeset angulaires de l’électron les plus probables. Dans le système de coordonnées sphériques(r, θ, ϕ), cette fonction d’onde peut être représentée comme le produit de trois fonctions :

ψnlm(r, θ, ϕ) = Rnl(r)Θlm(θ)Φm(ϕ) (1.2)

De cette séparation des variables, nous pouvons définir un jeu de nombres quantiques(n, l,m) qui détermine sans ambiguïté l’état quantique complet de l’électron. Chacund’entre eux correspond à la valeur propre d’un opérateur qui commute avec le Hamilto-nien du système, c’est-à-dire qu’il est relié à une quantité conservée dans la dynamiquedu système. Les nombres quantiques principal n, secondaire ou azimutal l et tertiaire oumagnétique m quantifient respectivement l’énergie En (valeur propre de H), le momentangulaire L (~L2) et l’orientation spatiale de l’orbitale de l’électron (Lz).

Dans le repère du centre de masse, l’évolution du système quantique est donnée parla résolution de l’équation de Schrödinger indépendante du temps suivante [1] :

Hψ(~r) =

(− ~2

2µ∆− e2

(4πε0)r

)ψ(~r) = Eψ(~r) (1.3)

Comme le potentiel d’interaction V (r) est central [1], l’équation (1.3) est séparable encoordonnées paraboliques. Pour la suite de ce rapport, nous allons utiliser ce système decoordonnées qui est très utile lorsqu’une direction de l’espace est privilégiée, comme parexemple dans le cas d’un atome plongé dans un champ électrique extérieur (voir section1.1.2).

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Nous définissons les coordonnées paraboliques (ξ, η, ϕ) à partir des coordonnées car-tésiennes (x, y, z) par les relations suivantes :

ξ =√x2 + y2 + z2 + z = r + z

η = r − zϕ = arctan(y/x)

avec

0 6 ξ 6∞0 6 η 6∞0 6 ϕ 6 2π

(1.4)

Ce système de coordonnées permet de réécrire l’équation (1.3) en effectuant une sé-paration des variables et de chercher des solutions de la forme :

ψ(ξ, η, ϕ) = g(ξ)h(η)eimϕ (1.5)

Nous introduisons les constantes de séparation ν1, ν2 et les constantes β, ρ1, ρ2, λ1 etλ2 telles que [2] :

ν1 + ν2 =µe2

~2(2πε0)= 1 β = (−2µE

~2)

12 ρ1 = βξ ρ2 = βη λ1,2 =

ν1,2

β(1.6)

Et l’équation (1.3) devient [2] :d2g

dρ21

+1

ρ1

dg

dρ1

+ (−1

4+λ1

ρ1

− m2

4ρ1

)g = 0

d2h

dρ22

+1

ρ2

dh

dρ2

+ (−1

4+λ2

ρ2

− m2

4ρ2

)h = 0

(1.7)

À partir de ces équations, nous retrouvons n, le nombre quantique principal, ainsi quel’énergie En définis tels que [2] :

n = λ1 + λ2 = n1 + n2 + |m|+ 1 (1.8)

En = −~2β2

2µ= − µe4

2~2(4πε0)2

1

n2(1.9)

Les niveaux d’énergie En de l’électron sont dégénérés et ne dépendent que du nombrequantique n. L’équation (1.8) permet de le définir comme une combinaison de n1, n2 et dem. La particule est soumise à des potentiels effectifs selon ξ et η qui quantifient l’énergieen des états discrétisés par les nombres quantiques paraboliques n1 et n2. Nous utilisonsainsi le couple (n, n1, n2) de nombres quantiques caractérisant les états énergétiques encoordonnées paraboliques.

Dans la suite de ce rapport, nous considérerons des états très excités de l’atome aunombre quantique n grand qui sont appelés états de Rydberg [1]. L’écart en énergie entreces états est suffisamment faible pour que l’enveloppe d’une impulsion laser puisse couvrirun ensemble d’états de Rydberg, et ainsi former un paquet d’ondes quantiques. C’est ladynamique de ce paquet d’ondes qui sera discutée dans les sections 1.3 et 2.1.

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1.1.2 Effet Stark

L’action d’un champ électrique sur un atome se traduit par la modification de ses étatsélectroniques, en particulier la séparation et le décalage des raies spectrales en plusieurscomposantes. Ce phénomène doit son nom à son découvreur Johannes Stark [3], ce quilui valu le prix Nobel en 1919. Si nous considérons la structure électronique de l’atomepour des états de Rydberg, l’effet Stark nous donne l’opportunité d’étudier la dynamiquequantique de l’électron par une approche quasi-classique.

En l’absence de champ électrique, les états électroniques de l’atome d’hydrogène sontdéfinis par n et sont dégénérés en (l,m). Cela est une conséquence des propriétés iso-tropiques du problème : le potentiel coulombien est sphérique et l’interaction entre lescharges de l’électron et du proton est uniquement radiale. Le fait d’établir un champélectrique brise cette symétrie car le champ statique est dirigé selon un axe particuliernoté (Oz). Le potentiel électrique devient symétrique par rotation autour de ϕ et lescoordonnées paraboliques (ξ, η, ϕ) permettent d’exploiter cette nouvelle symétrie cylin-drique. La présence du champ électrique lève partiellement la dégénérescence et séparel’état n en multiplets Stark qui sont des mélanges d’états de nombre quantique l dif-férents. Les nombres quantiques n et l ne sont plus de «bons» nombres quantiques carils ne définissent plus un état sans ambigüité. Nous pouvons dans ce cas là utiliser lesnombres quantiques paraboliques (n1, n2,m), n1 correspondant au nombre de nœuds dela fonction d’onde suivant ξ et n2 suivant η.

Pour la suite, nous supposerons que le champ électrique extérieur est statique etuniforme sur une région de la taille de l’atome. Nous admettrons également que ce champest considéré comme suffisamment fort pour que les effets de structures fines et hyperfinessoient négligeables par rapport à l’effet Stark. Le Hamiltonien Stark W qui représentel’interaction entre le moment dipolaire électrique de l’atome et le champ électrique ~Fdirigé selon (Oz) est :

W = e ~F ~R = eFz (1.10)

Figure 1.1 – Potentiel coulombien(pointillé) et Coulomb + Stark (plein)en coordonnées cartésiennes en u.a.pour F = 100 u.a. dirigé vers les z po-sitifs.

Lorsque nous représentons le Hamiltonien total (Coulomb + Stark) en coordonnées

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cartésiennes, nous pouvons remarquer que le champ électrique a également pour effetd’abaisser la limite d’ionisation en créant un point selle. En z0 = 1√

F, il est possible d’io-

niser le système pour une énergie Eps = −2√F , c’est l’énergie de point selle. Sur la figure

1.1, nous avons Eps=-20 u.a. pour z0=-0.1 u.a.

L’abaissement du seuil d’ionisation impose également un couplage entre les états deRydberg (et les états Stark correspondant) qui sont situés au-dessus de Eps et le conti-nuum d’ionisation. Le continuum se retrouve donc structuré par des états quasi-discretsdont la signature se traduit par des pics de résonance de largeur variable dans la sectionefficace de photoïonisation.

En coordonnées paraboliques et en utilisant les unités atomiques, la perturbation duchamp électrique extérieur selon (Oz) est :

W =1

2F (ξ − η) (1.11)

L’équation de Schrödinger indépendante du temps en tenant compte de la perturba-tion W est séparable en coordonnées paraboliques et admet des solutions identiques àcelles définies en (1.5). Les fonctions g(ξ) et h(η) satisfont aux équations différentiellessuivantes :

[d

dξ

(ξd

dξ

)+

(1

2Eξ − m2

4ξ− 1

4Fξ2 + ν1

)]g = 0[

d

dη

(ηd

dη

)+

(1

2Eη − m2

4η+

1

4Fη2 + ν2

)]h = 0

(1.12)

En appliquant la théorie des perturbations en champ électrique faible, nous obtenonsles états d’énergie perturbés au second ordre :

Enn1n2 = −1

2

1

n2+

3

2Fn(n1 − n2)− 1

16F 2n4

[17n2 − 3(n1 − n2)2 − 9m2 + 19

](1.13)

La contribution au premier ordre montre une dépendance en n ainsi qu’en k =(n1 − n2). La composante de plus haute énergie apparaît pour n1 = n − 1 et n2 = 0et celle de plus basse énergie pour n1 = 0 et n2 = n− 1. Cette correction en énergie dueà l’effet Stark au premier ordre ne peut prendre que des valeurs discrètes égales à 3

2nkF .

Nous pouvons donc définir deux groupes d’états perturbés :

– lorsque k > 0 (n1 > n2), l’énergie de l’état augmente car le moment dipolaire estanti-parallèle au champ électrique. C’est un état dit «bleu» et il est localisé du côtédes z positifs (dans les angles θ ≈ 0) donc du côté du potentiel croissant ;

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– lorsque k < 0, l’énergie de l’état diminue car le moment dipolaire est parallèle aumoment électrique. C’est un état dit «rouge» qui se situe dans les angles θ prochede π, c’est-à-dire du côté des z négatifs. Comme il est situé vers le point selle, unélectron se trouvant dans un état rouge se ionise plus facilement que dans un étatbleu bien que son énergie soit plus basse.

La contribution au second ordre est un terme quadratique qui abaisse toujours l’éner-gie des niveaux Stark. Elle permet de lever la dégénérescence en m et n’est pas modifiéesous l’échange de n1 et n2. Cette contribution n’apparaît véritablement que pour deschamps forts (voir l’incurvation des courbes sur la figure 1.2) et l’effet Stark reste linéairepour de faibles valeurs de F.

Figure 1.2 – Énergie des états Stark en fonction du champ électrique pour n allant de 8à 14 et m=1.

1.2 Imagerie des photoélectrons

1.2.1 Microscopie de fonction d’onde

L’étude de l’ionisation d’atomes en présence d’un champ électrique statique, donc sou-mis à l’effet Stark, a permis de faire évoluer les techniques d’imagerie de photoélectrons.En particulier suite à une série d’articles publiés à la fin des années 80, I. I. Fabrikant, Y.D. Demkov [4], V. D. Kondratovich et V. N. Ostrovsky [5–8] ont calculé que la sectionefficace différentielle de photoïonisation d’un atome hydrogénoïde soumis à un champélectrique statique oscille spatialement et ont proposé une analyse théorique du mou-vement d’un électron éjecté par photoïonisation de cet atome. Ils ont démontré que lesdifférentes trajectoires électroniques possibles allant du noyau en un point de l’espace

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donné interféraient entre elles. Plus précisément, ils ont montré que la phase accumuléele long de chacune de ces trajectoires permet de calculer la différence de marche entre leschemins possibles et donc de retrouver analytiquement les propriétés de la figure d’inter-férences ainsi créée.

En plaçant un détecteur sensible en position placés perpendiculairement à la directiondu champ électrique, nous réaliserions une expérience d’interférométrie qui permettraitde remonter aux propriétés quantiques de l’électron. En effet, les auteurs précités ont cal-culé qu’à une distance macroscopique de l’atome, le courant électronique est directementproportionnel au module carré de la fonction d’onde dans la direction ξ, direction selon la-quelle l’électron reste piégé. Les franges claires et sombres correspondent donc aux ventreset nœuds de cette fonction d’onde qui sont reliés au nombre quantique n1 et permettentde visualiser directement et de manière macroscopique des propriétés microscopique del’atome. C’est le passage entre ces deux échelles du phénomène à son observation sur ledétecteur, c’est-à-dire l’extension macroscopique de la projection de la fonction d’onde,qui permet de parler dans le cas de cette expérience de «microscopie» de fonction d’onde.

Figure 1.3 – Les franges d’interférences qui sont ob-servées correspondent à la projection macroscopiquedes nœuds de la fonction d’onde de l’électron selon lacoordonnée ξ pour le canal énergétique étudié. La fi-gure d’interférences évolue rapidement vers la formed’une fonction d’Airy [9].

Cette expérience de pensée a permis de conceptualiser une nouvelle application del’imagerie de photoélectrons qui deviendrait une sorte de sonde des propriétés quan-tiques d’un système par le biais de la visualisation de sa fonction d’onde. Elle a initiéle développement de deux types de microscopie de fonction d’onde : la microscopie dephotodétachement [10] et la microscopie de photoïonisation [11].

1.2.2 De la microscopie de photodétachement à la microscopiede photoïonisation

La première expérience de photodétachement, réalisée par C. Blondel [10] en 1996,a montré qu’à une énergie donnée, la section efficace différentielle de photoïonisationoscillait spatialement et que sa forme était en accord avec les prévisions théoriques. L’ex-périence de photodétachement consiste à éjecter un électron d’un ion négatif en présenced’un champ électrique statique. Les électrons se déplacent ensuite jusqu’au détecteur etdes anneaux d’interférences peuvent être visualisés. Ces anneaux correspondent bien à lastructure en nœuds et ventres de la fonction d’onde électronique. Le traitement analytiquede cette expérience est relativement simple car il suffit de considérer que les électrons sont

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des particules libres qui s’échappent avec une énergie cinétique initiale Eci et ne sont sou-mis qu’au champ électrique ~F . Nous pouvons donc aisément montrer que leur trajectoireest une parabole dont le point d’impact est contenu dans un disque dont le rayon dépenduniquement de l’énergie initiale, du champ et de la distance à l’origine : Ri ≈ 2L

√Eci

qFL.

De plus, il n’existe que deux trajectoires paraboliques différentes qui ont leur impact surle même point du détecteur (voir figure 1.4). À une distance L et un champ électrique ~Ffixés, nous remarquons que chaque anneau sur le détecteur correspond à un canal éner-gétique Eci donné.

Figure 1.4 – Les trajectoires possibles de l’électron sou-mis au champ électrique sont des paraboles. Seules deuxparaboles mènent en un même point du détecteur [9].

Le cœur atomique après l’éjection de l’électron étant neutre, il n’existe pas d’interac-tion coulombienne entre les deux systèmes. Cette approximation de trajectoire balistiquesous forme de paraboles est donc un modèle correct car l’électron ne ressent que l’influencedu champ électrique. Cependant, si nous réalisons la photoïonisation d’un atome initia-lement neutre, l’électron éjecté subit une attraction coulombienne qui a une influencenon négligeable sur sa trajectoire. En effet, l’atome initial possède une charge positiveexcédentaire et l’électron se retrouve soumis à deux forces : le champ électrique statiqueextérieur et le système initial qui est ionisé. La dynamique des électrons devient trèscomplexe à étudier et nous parlons dans ce cas-là d’expérience de photoïonisation. Enreprenant les calculs de trajectoires électroniques pour prendre en compte l’influence dupotentiel coulombien, nous pouvons remarquer que ce sont les électrons lents dont l’éner-gie cinétique est faible qui sont les plus affectés. Les trajectoires des électrons des atomesionisés juste au-dessus du seuil deviennent complètement différentes du cas balistique duphotodétachement.

En 2002, la première expérience de microscopie de photoïonisation permet d’obtenirune image montrant les oscillations spatiales de la section efficace différentielle pour le casd’un atome initialement neutre. Cette expérience est réalisée par une collaboration entrele groupe de M. J. J. Vrakking et celui de C. Bordas [11]. Parce que les électrons étudiéssont lents et qu’il faut mettre en évidence de nouveaux effets quantiques, l’interfrange desinterférences est beaucoup plus petite que dans le cas du photodétachement. L’imagerienécessite donc une résolution bien plus élevée pour séparer ces franges, ce qui a conduit àla mise en place d’une lentille électrostatique [12] dont le facteur d’agrandissement permetd’élargir la figure d’interférences sans pour autant la détruire. Un schéma de principe dumontage du spectromètre à imagerie équipé de cette lentille est décrit dans la figure 1.5.C’est à l’aide de ce dispositif que les mesures expérimentales de mon équipe ont été faites.

10

Figure 1.5 – Schéma de principe du spectromètre à imagerie utilisé expérimentalement.Les interférences du paquet d’ondes quantique se construisent pendant les premier micro-mètres puis la figure se propage sans se détruire jusqu’au détecteur. La lentille V4 permetd’améliorer la résolution de l’image.

En ionisant les atomes de xénon à peine au-dessus du seuil, nous observons l’appa-rition d’une première structure concentrique constituées de plusieurs anneaux d’interfé-rences [13]. Lorsque l’on augmente en énergie d’ionisation, et donc en énergie cinétique del’électron, une seconde structure concentrique apparaît avec son propre système d’anneauxà partir d’un certain seuil Edir que nous définirons dans la section 1.3. Les évolutions dunombre de franges et la taille de l’image sont continues en fonction de l’énergie : c’estle continuum non structuré du xénon qui semble gouverner les trajectoires des électronscar nous n’observons aucune différence entre l’expérience placée hors et sur une réso-nance [14], mis à part que le fait qu’être sur un résonance Stark augmente l’intensité dusignal.

Cette expérience n’a donc pas permis de visualiser un état quantique défini mais plutôtune somme d’états quantiques couverts par le paquet d’ondes. Depuis, les simulationsquantiques développées par l’équipe de C. Bordas (section 2) ont remplacé le modèlesemi-classique utilisé jusqu’à présent. Ces simulations prennent en compte l’effet tunnel

11

et les effets du défaut quantique [15] et permettent de reproduire par un modèle plus précisle spectre Stark et l’évolution des interférogrammes étudiés. Cette simulation a permisde démontrer que pour un atome hydrogénoïde dont le défaut quantique est négligeable,nous pouvons visualiser la structure de la fonction d’onde d’un état Stark bien défini ense plaçant sur l’énergie de sa résonance.

1.3 Simulation de la propagation des électronsComme il a été vu dans la section 1.1.2, le potentiel purement colombien de la forme

−qrest modifié par la présence du champ électrique statique de la forme −qFz. La barrière

de potentiel vu par l’électron est abaissée par effet Stark. Le potentiel total Coulomb +Stark possède un point singulier appelé point selle (voir figure 1.1) dont l’énergie et ladistance à l’origine en unités atomiques sont :

Eps = −2√F et rps =

1√F

(1.14)

En appliquant le Hamiltonien du système dans les coordonnées paraboliques, nous ob-tenons les équations du mouvement d’un électron d’énergie E dans un champs électrique~F [16] :

dξ

dτ= 2ξ

(E

2+Z1

ξ−

p2ϕ

4ξ2− Fξ

4

) 12

dη

dτ= 2η

(E

2+Z2

η−

p2ϕ

4η2+Fη

4

) 12

(1.15)

Nous considérons par la suite le mouvement de l’électron comme un mouvement plan,c’est-à-dire que pour l’impulsion pϕ, lié au moment orbital angulaire, est nulle. En effet,l’essentiel du mouvement est réalisé sur une grande distance par rapport à l’effet de pϕ etnous pouvons donc négliger les termes en p2

ϕ

ξ2 et p2ϕ

η2 dans l’équation (1.15). Nous séparonsl’étude du mouvement d’un électron dans un tel potentiel en considérant son mouvementunidimensionnel selon ξ et η. Le mouvement de l’électron se fait donc indépendammentdans les potentiels V (ξ) et V (η) définis par :

V1(ξ) =m2 − 1

8ξ2− ν1

2ξ+Fξ

8

V2(η) =m2 − 1

8η2− ν2

2η− Fη

8

avec

ν1 =

1

n

(n1 +

|m|+ 1

2

)ν2 =

1

n

(n2 +

|m|+ 1

2

) (1.16)

Lorsque F = 0, les deux potentiels sont identiques à la constante de séparation près.La largeur du puits de potentiel en z = 0 dépend des constantes de séparation qui sontlinéaires en fonction de n1 et n2. La constante de la séparation, reliée à la largeur du puits

12

Figure 1.6 – Potentiels effectifs V (ξ) et V (η) pour F = 600 V/cm et m = 0.

de potentiel, permet donc de retrouver le nombre de nœuds dans les direction ξ et η.

Lorsque F 6= 0, le potentiel n’est plus symétrique dans les directions ξ et η (voir figure1.7) :

– selon ξ, le champ crée une barrière de potentiel infini. Quelle que soit l’énergie del’électron, sa fonction d’onde reste confinée selon cette direction. Le nombre quan-tique n1 est donc un bon nombre quantique qui correspondra au nombre de nœudsde cette fonction d’onde. Le mouvement de la particule est périodique en τ et estconfinée entre 0 et ξmax ;

– selon η, le potentiel possède un point selle et l’électron va pouvoir s’échapper del’atome. Les propriétés du mouvement vont donc dépendre de l’énergie cinétique del’électron :

– si E est inférieur à Eps, c’est-à-dire pour E < −2√

(F ), le mouvement de l’élec-tron est confiné selon η : l’électron reste lié à l’atome et n2 est un bon nombrequantique qui correspond au nombre de nœud de la fonction d’onde électroniqueselon η. Il existe toujours une probabilité non nulle de s’échapper par effet tunnel.Cette possibilité sera prise en compte dans la simulation quantique.

– si E est supérieur à Eps, l’électron peut s’échapper selon η. n2 n’est plus un bonnombre quantique.

13

Figure 1.7 – Coordonnées ξ et η en fonction du temps réduit τ pour E = −40 cm−1,F = 1000 V/cm et β = 45̊

Nous pouvons définir l’angle critique βc tel qu’un électron lancé avec un angle β < βcne peut pas s’échapper du potentiel et reste lié à l’atome même si son énergie E estsupérieure à l’énergie du point selle Eps :

βc = 2 arcsin

(−E2√F

)(1.17)

Lorsque nous nous plaçons dans le cas du photodétachement, chaque point d’impactsur le détecteur correspond à un couple de trajectoires : l’une partant directement versle détecteur et l’autre possédant un point de rebroussement. En prenant en compte leseffets du potentiel coulombien pour le calcul des trajectoires classiques, il apparaît uneinfinité de trajectoires passant par un même point (ξ0, η0) du détecteur (voir figure 1.8).

Nous pouvons donc regrouper toutes les trajectoires accessibles en deux classes :

– les trajectoires qui ont une forme quasi-balistique. Ces trajectoires que nous nom-mons «trajectoires directes» ne coupent pas l’axe (Oz) et sont quasiment parabo-liques car elles sont éjectées selon un grand angle β en direction du détecteur. Ellespossèdent donc au maximum un point de rebroussement.

– les autres trajectoires qui ont un comportement plus complexe en raison de leurgrand nombre de points de rebroussement. Ces «trajectoires indirectes» corres-pondent aux électrons éjectés avec un angle β faible. On peut regrouper entre ellesles trajectoires qui croisent un même nombre de fois l’axe (Oz).

En étudiant le rayon d’impact de l’électron (figure 1.9) à une énergie et une distancefixées (ici pour E = −40 cm−1 et z = 30000 u.a.) en fonction de l’angle d’éjection, nousobservons des lobes qui correspondent aux intervalles angulaires de ces différents types de

14

Figure 1.8 – Quelques exemples de trajectoires électroniques en fonction de l’angle β

trajectoires. Le plus grand lobe correspond aux trajectoires indirectes puis les lobes sui-vants aux trajectoires possédant un, deux, ..., croisements avec l’axe (Oz). Nous pouvonsremarquer que la grande majorité des trajectoires indirectes croisent donc une seule foiscet axe car les lobes correspondant aux valeurs de N supérieures sont négligeables. Cettecourbe permet d’extraire les deux rayons privilégiés d’accumulation des photoélectronssur le détecteur correspondant aux rayons classiques maximum des trajectoires indirecteset des trajectoires directes.

Nous observons pour finir que le type de trajectoire accessible par les électrons éjectésdépend de l’angle β mais également de leur énergie cinétique initiale. En effet, alors queles trajectoires indirectes apparaissent dès la limite classique d’ionisation Eps, il existe unseuil énergétique d’apparition des trajectoires directes que l’on nomme Edir [16]. L’élec-tron éjecté a besoin d’une énergie cinétique suffisamment élevée pour que l’effet du po-tentiel coulombien soit négligeable et donc que sa trajectoire puisse être quasi-balistique.Edir correspond en fait à l’énergie minimum dont l’électron a besoin pour pouvoir s’échap-per directement de l’atome pour un angle β = 180̊ , c’est-à-dire la trajectoire parallèleà l’axe (Oz). Nous pouvons analytiquement trouver la valeur de ce seuil et sa valeur ap-proximative est : Edir = 0.775Eps. En introduisant l’énergie réduite ε = E

|Eps| , le type detrajectoires possibles peut être connu en fonction de sa valeur (inférieur ou supérieur à0.775). L’énergie réduite est le principal paramètre extérieur qui gouverne la dynamiquedu système.

Pour finir la description du mouvement des électrons éjectés, nous allons présenter des

15

Figure 1.9 – Rayon d’impact à unedistance de 30000 u.a. et à une éner-gie de -40 cm−1en fonction de l’angled’éjection.

simulations obtenues avec des calculs semi-classiques. Selon cette approximation, l’élec-tron n’est plus considéré comme une particule ponctuelle mais plutôt comme un paquetd’ondes dont le centre se comporte selon les équations de la mécanique classique. Nouspouvons donc écrire la fonction d’onde électronique comme une somme de la contributionde chacune des trajectoires électroniques possibles allant de l’origine jusqu’à un point Maux coordonnées (ξ0, η0).

À partir de ces définitions analytiques, dont les détails sont explicités dans l’article«Semiclassical description of photoionization microscopy» de C. Bordas et al. [17], nouspouvons simuler les distributions des impacts d’électrons sur le détecteur et faire appa-raître les franges d’interférences dont la différence de marche correspond au déphasage liéà la sommation de trajectoires électroniques. L’étude de l’évolution de ce photocourantradial (voir figure 1.10) nous permet de retrouver les domaines énergétiques que nousavons défini dans la section 1.3 :

1. Eps 6 E < Edir : Les interférences entre les trajectoires indirectes font apparaîtreun système de franges dont le nombre augmente avec l’énergie de manière continue.Seules ces trajectoires sont possibles et le système d’interférences est uniquementdû aux contributions constructives et destructrices de leur déphasage.

2. Edir 6 E : Un second système d’interférences apparaît au centre qui correspond auxtrajectoires directes qui sont possibles à partir de Edir. Dans ce domaine d’énergie,les trajectoires directes et indirectes coexistent. Le système de franges au centre vadonc dépendre de la somme de ces deux contributions directes et indirectes et seratrès complexe à analyser (voir figure 1.11)

Les fonctions d’ondes relatives aux trajectoires directes et indirectes donnent lieu àleur propre système d’interférences dont le nombre de pics évolue de manière continue

16

Figure 1.10 – Évolution de la distribu-tion radiale Pcalc(R, θ) en fonction del’énergie pour un champ électrique fixe.Les rayons d’impact maximaux classiquesdes trajectoires directes et indirectes sontdessinés en pointillé.

Figure 1.11 – Distributions radiales des contributions directes (au centre), indirectes (enbas) et du photocourant électronique total (en haut). L’interférogramme de la contributiontotale est complexe et laisse apparaître un phénomène de battement entre les trajectoiresdirectes et indirectes.

17

avec l’énergie. Les minima et maxima sont réguliers et nous observons un pic bien plusimportant au niveau des rayons d’impact maximaux respectifs. Les fréquences propresdes phénomènes d’interférence étudiés sont du même ordre de grandeur ce qui permet defaire apparaître des figures de battement au centre de l’image dont l’effet holographiqueest le cœur de ce stage et sera traité dans le dernier chapitre.

Contrairement au cas du photodétachement où il est possible d’obtenir facilementl’expression du nombre de franges en fonction de l’énergie (proportionnel à

√FLE

avec Lla distance atome-détecteur), il n’est pas possible de trouver une expression analytiqueexplicite pour calculer ce nombre ainsi que l’interfrange moyen (le comportement desfranges de chacune des deux contributions est proche d’une fonction d’Airy) en fonctiondes paramètres du problème : E, F et donc l’énergie réduite ε. Nous verrons dans lechapitre 3 que cette limite rend l’élaboration d’un traitement analytique des battementsplus complexe.

Pour confirmer la cohérence de ces raisonnements analytiques ainsi que des approxi-mations qui ont été faites pour simplifier les calculs, la figure suivante (figure 1.12) montreune image expérimentale enregistrée (à droite) ainsi que sa probabilité de distribution ra-diale (à gauche). En juxtaposant sur le graphique de gauche la probabilité de distributionradiale calculée, nous pouvons remarquer par cette comparaison que le modèle théoriquerend relativement bien compte des données expérimentales mesurées. En particulier, laposition et le nombre de franges sont reproduits assez fidèlement, et ce à quelques ap-proximations près en ce qui concerne la largeur de la frange extérieure et la résolutionspectrale au centre de l’image expérimentale qui ne permet pas de séparer correctementtoutes les franges.

Figure 1.12 – Image enregistrée pour des atomes de xénon : F = 615 V/cm et ε =−0.843. À gauche : image expérimentale ; à droite : comparaison entre le photocourantradial expérimental (trait gras) et théorique par simulation semi-classique (trait fin) [17].

18

Chapitre 2

Simulations quantiques de propagationdu paquet d’ondes

Au chapitre précédent, nous avons utilisé des méthodes classiques pour résoudre lecas de la microscopie de photoïonisation qui rendent relativement bien compte à la foisde la complexité des trajectoires pour des électrons lents soumis à un potentiel Cou-loumb + Stark et des figures d’interférences, observées lors de l’expérience, résultant dela différence de marche entre toutes les trajectoires possibles. Cependant, de nombreusesapproximations ont été faites comme, par exemple, l’isotropie de l’éjection des électrons,l’effet négligeable du cœur électronique et des défauts quantiques ou encore l’absenced’effet tunnel.

Dans ce chapitre, nous allons présenter le travail qui a été réalisé au LASIM pendantla thèse d’A. Ollagnier [2] : la simulation quantique de propagation des paquets d’ondesélectroniques. Ces simulations ont permis de décrire plus finement les phénomènes de mi-croscopie de photoïonisation grâce, en partie, à la prise en compte des défauts quantiqueset de l’effet tunnel. Nous expliquerons dans un premier temps le procédé de simulationquantique basée sur la méthode du Split Operator. Nous décrirons ensuite le fonction-nement du programme numérique en Fortran qui a été développé dans le cadre d’unecollaboration entre ce laboratoire et F. Robicheaux de l’Université d’Alabama et que j’aiutilisé pour réaliser mes calculs lors de ce stage. Je présenterai enfin les premiers résultatsque j’ai obtenu lors de l’apprentissage de ce programme.

2.1 Méthode du Split Opérator

Nous allons décrire la méthode du Split Operator. Nous voulons résoudre l’équationde Schrödinger dépendant du temps :

i∂

∂tψ(~r, t) = Hψ(~r, t) (2.1)

Si nous connaissons ψ(~r, t0) qui est la fonction d’onde représentant l’état initial dusystème, son état à tout instant est obtenu au moyen du propagateur U(t, t0) tel que :

ψ(~r, t) = U(t, t0)ψ(~r, t0) (2.2)

19

L’opérateur d’évolution U est donné par la relation générale suivante et peut ensuites’écrire dans notre cas :

U(t, t0) = 1− i∫ t

t0

HU(t′, t0)dt′ = e−iH∆t avec ∆t = t− t0 (2.3)

Le Hamiltonien H qui décrit le problème que nous souhaitons résoudre est la sommede la contribution atomique Hat, l’effet Stark HF et l’interaction avec le laser Hint dontles définitions sont :

H = Hat +HF +Hint (2.4)

Hat = −1

2

∂2

∂r2+L2

2r2+ V (r) (2.5)

HF = Fz = Fr cos θ (2.6)

avec L le moment cinétique orbital, V l’énergie potentielle, F le champ électrique statiqueextérieur et (r, z, θ) les coordonnées polaires.

Le théorie des perturbations dépendant du temps au premier ordre nous donne :

Ψ(~r, t) = Φ(~r)e−iE0t + ψ(~r, t)e−iEt (2.7)

où Ψ décrit l’état de l’électron excité à l’énergie E et Φ représente l’état lié initial (nousavons HatΦ = E0φ).

Par la combinaison des équations (2.1) pour la fonction d’onde Ψ et (2.7), nous obte-nons alors :

i∂ψ

∂t− (Hat − E + Fz)ψ = S(~r, t) (2.8)

qui nous donne la définition du terme source S(~r, t) définissant le paquet d’ondes initialsous la forme de la gaussienne :

S(~r, t) = e− t2

∆t2pulse S(r)Y m

l = e− t2

∆t2pulse r2e−2rY m

l (2.9)

Pour en revenir au propagateur U , l’équation (2.8) peut être intégrée et nous obtenonsen première approximation et en séparant l’action de l’opérateur sur la partie angulaireet radiale :

ψ(t+ ∆t) = e−iH∆tψ(~r, t) = e−iFz∆t2 e−i(Hat−E)∆te−iFz

∆t2 ψ(t) (2.10)

La méthode de résolution par le Split Operator consiste en la séparation de cet opé-rateur U en plusieurs opérateurs qui s’appliqueront ensuite successivement à la fonctiond’onde dans le calcul numérique. En utilisant les approximants de Padé et sans rentrerdans les détails de calcul, nous obtenons finalement :

20

φ(t+ ∆t) =

[1− iFza∆t

2

1 + iFza∆t2

][1− iFzb∆t

2

1 + iFzb∆t2

][1− i(Hat − E)∆t

2

1 + i(Hat − E)∆t2

][

1− iFza∆t2

1 + iFza∆t2

][1− iFzb∆t

2

1 + iFzb∆t2

]ψ(t) +[

i∆t+∆t2

2(Hat + Fz − E)

]S(~r, t+

∆t

2) (2.11)

Grâce à la symétrie parabolique du problème, nous travaillons sur un espace-tempsdiscrétisé en une grille à deux dimensions (k, l) où k est la coordonnée radiale entière et l lemoment orbital des harmoniques sphériques de ψ. Toutes les valeurs de ces éléments sontdonc des valeurs entières discrétisant les dimensions de l’espace. Le programme numériqueapplique les uns à la suite des autres chacun des opérateurs linéaires entre crochets enutilisant cette discrétisation.

2.2 Paramètres du programme : input et outputLe temps de calcul dépend principalement de la distance de propagation, donc la

taille de la grille, que l’on impose. Lorsque nous augmentons cette distance, la valeurd’une partie des autres paramètres augmente et avec eux le nombre de pas nécessaireau programme pour «scanner» la somme des possibilités et converger, ce qui augmenteconsidérablement le temps d’exécution. Pour réaliser les simulations voulues en un tempsrelativement acceptable, nous choisissons donc pour chaque cas les paramètres les plusoptimisés possible de façon à faire converger le calcul rapidement.

L’utilisation du programme nécessite de rentrer les paramètres d’entrée en unité ato-mique. Afin d’interagir avec ce programme, nous utilisons le fichier flux.datt dont l’ar-chitecture est expliquée au sein même de ce fichier. Les fichiers de sorties sont égalementexprimés en unités atomiques. Les paramètres en entrée et les résultats en sortie sont lessuivants :

– Paramètres d’entrée :

– Z, le numéro atomique : le programme contient des tables de données permettantd’effectuer des calculs pour Z = 1, 2, 3, 11, 19, 37 et 55 ;

– F , le champ électrique extérieur : nous prenons des champs du même ordre degrandeur que ceux applicables expérimentalement, c’est-à-dire entre quelques cen-taines et quelques milliers de V/cm ;

– E, l’énergie initiale du paquet d’ondes : nous choisissons une énergie supérieure auseuil Eps = −2

√F sinon le paquet d’ondes reste piégé dans le potentiel Coulomb

+ Stark. L’énergie, dans la version du programme que j’utilise, doit forcémentêtre négative ;

21

– ∆twidth, la largeur à mi-hauteur du pulse laser excitateur : il permet de fixer letemps de cohérence temporelle du paquet d’ondes et donc son comportement in-terférentiel ;

– tfin : la durée de propagation correspond à tfin+2∆tpulse. Elle doit être suffisam-ment longue pour que le paquet d’ondes puisse s’échapper de la grille ;

– r0, le rayon de la grille ou distance de propagation : la distance doit être suffisam-ment grande pour permettre une bonne description de la dynamique complète duproblème : r0 > 2rps. Expérimentalement, le détecteur est placé à une distancemacroscopique (une dizaine de centimètres) mais on se restreindra à des valeursde l’ordre du µm (soit de l’ordre de la dizaine de milliers d’u.a.) par souci de tempsde calcul. Cette approximation est réaliste compte-tenu du fait que l’image desinterférences se structure le long des premiers micromètres ;

– n, le nombre de points de la grille : nous évaluons le nombre de points nécessairesavec la relation n > 4r0

√2r0F . Ce nombre de points doit être suffisamment grand

pour garder une bonne résolution spatiale dans le calcul ;

– ∆t, le pas temporel : il doit être suffisamment petit pour que le paquet d’ondepuisse se propager de manière continue sur l’ensemble de la grille : ∆t 6 1

4r0F;

– l, le moment cinétique orbital initial de la fonction d’onde ;

– lmax, le moment cinétique orbital maximal : à chaque pas de temps, la fonctiond’onde est calculée pour des harmoniques sphériques supplémentaires en som-mant sur des moments cinétiques de 0 à lmax. Le moment cinétique de l’élec-tron est d’autant plus grand qu’il est éloigné de l’origine et que sa vitesse,ou son énergie, est grande, il faut donc sommer jusqu’à un lmax suffisammentgrand pour rendre compte de tous les moments cinétiques orbitaux possibles :|lmax| ≈ 2r0

√E − Eps ;

– m, l’orientation spatiale choisie ;

– f , le paramètre du potentiel absorbant Vabs = f(r−rcoupurer0−rcoupure

)2

. Nous imposonsψ = 0 sur les bords de la grille, ce qui correspondant à la rencontre d’un mur depotentiel réfléchissant. Pour éviter que l’onde réfléchie interfère avec l’onde inci-dente et introduise des figures d’interférences qui n’existeraient pas en situationexpérimentale, nous ajoutons un potentiel absorbant pour réduire l’amplitude dela fonction d’onde avant qu’elle n’arrive sur les bords, et sa valeur est à détermi-ner empiriquement.

– Résultats en sortie :

– fluxflux : ce fichier extrait le courant de densité de probabilité J qui arrive surle détecteur en fonction du temps, c’est-à-dire le flux d’électrons mesuré pendant

22

toute la propagation à la distance rcoupure ;

– fluxwpX : ce fichier est une matrice représentant le photocourant électroniqueρ|Ψ|2 calculé pendant un intervalle de temps correspondant à 1000∆t pour cha-cune des cases de la grille. X correspond au Xime intervalle de temps ;

– wpsum : cette matrice représente le photocourant électronique calculé pendanttoute la propagation du paquet d’onde pour chacune des cases de la grille. Cettematrice correspond à la somme de toutes les matrices extraites dans les fichiersfluxwpX.

2.3 Premières simulations et résultats

Je vais maintenant présenter les simulations que j’ai réalisées afin de me familiariseravec le fonctionnement du programme de propagation de paquet d’ondes. Elles m’ont per-mis d’aborder les concepts liés à la microscopie de fonction d’onde, ainsi que de tester leprogramme pour l’utiliser correctement. Pour cela, j’ai réalisé une partie des simulationsdécrites par A. Ollagnier [2]. J’ai ainsi mieux appréhender ses analyses et j’ai égalementpu comparer les résultats que j’obtenais avec ceux qu’il présentait dans sa thèse pour lemême cas et m’assurer de ma bonne manipulation du programme.

Figure 2.1 – Densité de probabilité électronique intégrée au cours du temps à 22 ps. Àgauche pour E=-120 cm−1 et à droite pour E=-60 cm−1.

Dans un premier temps, j’ai donc réalisé des simulations sur un atome d’hydrogènepour une impulsion laser de courte durée afin d’extraire un paquet d’ondes électronique

23

de faible longueur de cohérence. Je me suis placé dans la situation d’un champ élec-trique extérieur de 600 V/cm ce qui revient à l’abaissement de l’énergie d’ionisation versEps=-150 cm−1. Les états d’énergies choisis sont -120 cm−1 et -60 cm−1, ce qui correspondsuccessivement au cas d’un électron éjecté lentement (ε = -0.8) dont les trajectoires serontindirectes et au cas d’un électron plus rapide (ε = -0.4) dont les trajectoires directes et in-directes coexistent. Les figures issues de ces simulations sont présentées dans la figure 2.1.

Sur la figure de gauche, nous pouvons remarquer la trace brillante correspondant àla contribution s’échappant directement de l’atome après un seul rebroussement sur lemur de potentiel. Elle arrive sur le détecteur avec un faible rayon. À l’extérieur de cettetrace, nous observons cependant des contributions retardées dont le rayon d’impact estplus élevé. Ces contributions correspondent à une partie de la densité de probabilité quiest restée piégée dans le potentiel coulombien le temps de réaliser plusieurs oscillationset ont pu ensuite s’échapper par effet tunnel. Sur la figure de droite, nous observons unlarge lobe extérieur qui correspond aux trajectoires partant directement vers le détecteurpuis une série de franges intérieures correspondant aux interférences avec les trajectoiresréfléchies une fois par le champ électrique. Enfin, nous pouvons remarquer la présence defranges à l’extérieur du lobe le plus brillant qui correspondent comme pour la figure degauche aux contributions composées d’électrons qui ont interagi plus longtemps avec lepotentiel coulombien avant d’être diffusés par effet tunnel.

Figure 2.2 – Flux normalisé d’électron sortant au cours du temps en coordonnées loga-rithmiques calculé à un distance de 6000 u.a. pour un atome d’hydrogène.

La figure 2.2 présente le courant de densité de probabilité normalisé en fonction dutemps et calculé à une distance de 6000 u.a. de l’atome pour les deux énergies étudiées.Nous remarquons la présence de plusieurs pics correspondant chacun à un type de contri-bution :

24

– Pour E=-120 cm−1, le premier pic t1 est lié aux électrons indirects s’échappant di-rectement de l’atome après s’être réfléchis une fois sur le potentiel, tandis que lespics suivants t2, t3 et t4 s’expliquent principalement par l’effet tunnel après une,deux et trois réflexions par le potentiel croissant. La probabilité de s’échapper pareffet tunnel étant très faible, cela explique le rapport d’amplitude entre le premierpic et les suivants ;

– Pour E=-60 cm−1, les premiers pics, t′1 et t′2, correspondent classiquement aux tra-jectoires partant directement vers le détecteur respectivement de manière directeet indirecte. Les trajectoires indirectes arrivent avec un certain retard dû à la ré-flexion sur le potentiel du côté des z positifs. Les quatre pics suivant, t′3, t′4, t′5 et t′6,correspondent comme pour l’énergie précédente aux électrons qui ont été éjectéespar effet tunnel pour chacune de ces deux premières contributions.

Figure 2.3 – Flux normalisé d’électrons sortant au cours du temps en coordonnées clas-siques calculé à une distance de 6000 u.a. pour un atome de césium.

J’ai ensuite réalisé une simulation dans les mêmes conditions et paramètres initiauxque la simulation précédente à E=-120 cm−1 en prenant cette fois-ci un atome de cé-sium. Contrairement au cas de l’hydrogène, les défauts quantiques ne sont pas nuls et ilfaut prendre en compte les effets du cœur électronique en plus de l’effet tunnel. Ce cœurintroduit une brisure dans la symétrie parabolique du système ce qui crée un couplageentre les différents canaux paraboliques, c’est à dire les différents états d’énergie Starkà partir desquels l’électron peut s’ioniser. La figure 2.3 nous montre que le courant deprobabilité est la somme de deux voies d’ionisation : le premier pic t1 correspond commepour le cas de l’hydrogène aux électrons qui partent vers le détecteur sans interagir avec lecœur électronique, les pics t3 et t5 quant à eux apparaissent à des périodes régulières quicorrespondent au temps que met l’électron pour effectuer une précession complète de sonmoment orbital. Ils correspondent donc aux électrons qui sont revenus vers le noyau à desorbites faibles et ont pu s’échapper par diffusion en pénétrant dans le cœur et en interagis-

25

sant avec. Les contributions dues à l’effet tunnel sont encore présentes en t2 et t4 mais avecune très faible amplitude. Ceci nous montre donc que la probabilité pour un électron des’échapper par effet tunnel est très inférieure à celle de s’échapper par diffusion du cœur.Cette dernière augmente d’ailleurs avec le niveau de défauts quantiques de l’atome étudié.

Pour ces calculs, le paramètre de la largeur temporelle de l’impulsion initiale donnantle temps de cohérence du système est petit. Pour reproduire les résultats dans les condi-tions expérimentales du laboratoire, les simulations quantiques doivent créer un paquetd’ondes pendant un intervalle de temps suffisamment long afin de faire interférer entreelles toutes les trajectoires électroniques. La largeur d’impulsion ∆twidth sera donc priseavec un ordre de grandeur plus élevé, autour de la dizaine à la centaine de picosecondes.Pour les calculs effectués dans la suite de ce rapport, j’ai choisi une largeur d’impulsionde 25 ps.

Pour clore avec ces premières simulations, j’ai réalisé une série de calculs sur un atomede lithium plongé dans un champ électrique statique de 1000 V/cm (Eps=193.57 cm−1)pour un moment cinétique orbital initial l=1 et un moment magnétique m=1. La pro-pagation s’effectue jusqu’à une distance de 16500 u.a. et nous avons choisi trois énergiescaractéristiques des domaines énergétiques de la dynamique électronique : -154.86 cm−1

(ε=-0.8), -96.79 cm−1 (ε=-0.5) et 0 cm−1 (ε=0). La figure 2.4 nous donne les densités deprobabilité électronique calculées sur la grille. Les coupes de photocourant radial calcu-lées à une distance de 15500 u.a. de l’origine pour chacune des trois énergies permettentd’observer les différents systèmes de franges d’interférences qui apparaissent en fonctionde la valeur de ε.

Figure 2.4 – Densité de probabilité électronique intégrée au cours du temps à 9 ps pourun atome Li. À gauche -154.86 cm−1, au centre -96.79 cm−1 et à droite 0 cm−1.

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Figure 2.5 – Coupe radiale de photocourant pour a) -154.86 cm−1, b) -96.7 cm−1 et c)0 cm−1.

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La Figure 2.5 représente les coupes de photocourant radial calculées à une distancede 15500 u.a. de l’origine pour chacune des trois énergies -154.86 cm−1, -96.79 cm−1 et0 cm−1 respectivement. L’unité des axes des abscisses est le nombre de cases de la grillecréée par le programme, une case correspondant à 50 u.a.

La Figure 2.5a nous montre la distribution des franges d’interférences dues aux contri-butions correspondant classiquement aux trajectoires indirectes. Nous pouvons remarqueren plus une forte contribution directe qui s’échappe par effet tunnel au niveau du pic deplus faible rayon. Nous pouvons définir grâce à la Figure 2.5b deux zones pour une éner-gie de -96.79 cm−1 séparées par le pic de plus forte amplitude qui correspond au lobemaximal des trajectoires directes : un système de franges d’interférence extérieures dontles pics correspondent aux contributions indirectes et un système de franges intérieuresqui correspond à la somme des contributions directes et indirectes. La Figure 2.5c est unecoupe radiale qui ne montre que la figure de battement entre les deux types de contri-bution car elle est restreinte aux rayons inférieurs au lobe principal correspondant auxtrajectoires directes. Nous pouvons cependant remarquer que la contribution directe estbien plus importante que celle indirecte, la figure adopte donc une forme proche de lafonction d’Airy.

En effectuant une comparaison des coupes de photocourant radiales (figure 2.6) nor-malisées pour E=-96.79 cm−1 en fonction du temps, nous faisons apparaître successi-vement les différentes contributions par le biais de l’évolution temporelle de la figured’interférences. L’origine temporelle est prise telle que nous avons t=0 ps au centre del’impulsion laser.

Figure 2.6 – Coupes radiales de photocourant pour E=-96.79 cm−1 au temps -39ps, -38ps et à la fin de la propagation (wpsum : 125 ps).

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Les électrons qui ont été éjectés directement vers le détecteur arrivent dessus avantceux qui effectuent une ou plusieurs oscillations autour du cœur et qui sont donc retardés,la trace de leur photocourant électronique est donc la première mesurée expérimentale-ment. La coupe radiale calculée pour un temps t=-39 ps, soit onze picosecondes après ledébut du front de l’impulsion laser, nous permet d’ignorer les contributions indirectes quiarrivent sur le détecteur pour des temps plus élevés et qui interagissent avec l’onde directe.Nous pouvons ainsi calculer le comportement du système de franges d’interférences descontributions directes seules. Ensuite, nous pouvons remarquer à partir de cette imageque les franges que nous obtenons à la fin du calcul pour 125 ps se juxtaposent auxfranges calculées à -38 ps. Nous en concluons donc que la forme de la figure de battementconverge rapidement par rapport à l’échelle du temps de propagation vers sa forme finale.Un temps de propagation plus long signifie que la quantité de flux électronique qui arrivesur le détecteur augmente tant que les contributions retardées qui sont significatives nesont pas arrivées. Plus précisément, ces contributions qui ont été diffusées après un ouplusieurs rebroussements et qui arriveront les unes après les autres ne modifieront pas laposition des franges mais uniquement leurs amplitudes relatives les unes par rapport auxautres.

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Chapitre 3

Holographie en microscopie dephotoïonisation

Nous pouvons définir le principe d’holographie d’un objet ainsi : une surface sensibleadéquate reçoit l’onde lumineuse provenant de l’objet, accompagnée d’une autre onde,cohérente avec la première, dite onde de référence. Le récepteur enregistre le système defranges d’interférences créé par ces deux ondes et c’est cet enregistrement qui constituel’hologramme. Pour lire l’hologramme et restituer l’information stockée, il faut éclairerl’enregistrement par une nouvelle onde lumineuse, dite onde de lecture. L’hologramme secomporte alors comme un réseau de diffraction et transmet plusieurs ondes correspondantaux divers ordres. La lumière directement transmise correspond à l’ordre zéro et est sansintérêt. Seules les autres ondes, associées aux ordres latéraux, portent l’information utile.Quand l’opération est convenablement réalisée, l’une de ces ondes est identique à celle quiprovenait de l’objet lors de l’enregistrement, et l’œil qui la reçoit ne fait pas la différence.Un hologramme restitue donc le relief, au contraire d’une photographie conventionnelle.De plus, chaque point de l’hologramme reçoit des informations venues de tous les pointsde l’objet, dans la mesure où celui-ci diffuse dans toutes les directions la lumière qu’il re-çoit. Un fragment d’hologramme fournit donc la même image que l’enregistrement entier,à ceci près que la limitation de la région utilisée affecte la netteté des images restituées.

Pour en revenir à notre étude théorique, nous imposons la coexistence de deux struc-tures d’interférences différentes dans un même espace physique avec un temps de cohé-rence suffisamment long pour que les paquets d’ondes qui sont à l’origine des phénomènesd’interférences puissent interagir. Ces deux systèmes ont des propriétés de même ordrede grandeur car les différences de marche dépendent pour l’une du déphasage entre lestrajectoires directes et pour l’autre, en première approximation, du déphasage entre lestrajectoires indirectes qui ne croisent qu’une fois l’axe (Oz). Leur coexistence dans unmême espace et donc leur juxtaposition va faire apparaître des phénomènes de battements(voir figure 1.11) dont les propriétés sont liées aux périodicités respectives de ces deuxsystèmes de franges et donc aux déphasages entre eux. Or, le comportement interférentieldes fonctions d’onde que nous simulons, c’est-à-dire la valeur des interfranges, les am-plitudes des franges et leur nombre, dépend des paramètres du système et en particulierdes valeurs de l’énergie cinétique initiale E, du champ électrique appliqué F et donc durapport entre les deux ε. En étudiant le comportement des phénomènes de battementspour des valeurs de E et F que nous pouvons imposer par simulation et de manière

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expérimentale, nous pouvons donc remonter aux propriétés relatives de chacune de cesstructures d’interférences et ainsi mieux interpréter leurs dépendances vis-à-vis des pa-ramètres initiaux. Nous allons donc essayer d’extraire des informations sur deux ondes,ou structures d’interférences, initiales en étudiant le comportement de la figure issue desphénomènes de battements entre ces deux éléments. Nous pouvons donc parler d’holo-graphie par analogie avec les propriétés de ce phénomène : les battements constituentl’hologramme des deux systèmes de franges issus des trajectoires directes et indirectes.La figure 3.1 montre justement une comparaison entre les propagations simulées et lesimages mesurées expérimentalement par mon équipe pour trois énergies différentes dansle cas d’un atome de lithium. Nous remarquons sur les deuxième et troisième imagesdu détecteur la présence au centre d’une zone plus lumineuse d’une part et plus sombred’autre part, que nous assimilons successivement à la signature d’une frange claire etd’une frange sombre de battements. Ces battements et leur évolution spatiale apparaîtsur les propagations électroniques.

Figure 3.1 – Comparaison entre les images obtenues sur le détecteur et les propagationsélectroniques simulées pour trois longueurs d’onde d’ionisation différentes dans le cas d’unatome de Lithium. Il apparait la signature des franges sombres et claires des figures debattements.

L’étude de cet effet holographique a également été le fruit d’une collaboration entrenotre groupe et plusieurs équipes internationales qui a donné lieu à une publication dansla revue Science [20]. Ce résultat montre l’intérêt de ce type d’effets en physique ato-mique et moléculaire fondamentale. L’expérience qui a été réalisée traite d’un processusqui se rapproche de notre étude en microscopie de photoïonisation. Un atome de xénonmétastable est ionisé par une impulsion laser intense, le champ électrique lumineux jouele même rôle dans cette expérience que le champ électrique statique en microscopie. Lechamp électrique oscillant du laser accélère les électrons libérés. Une partie de la fonctiond’onde est directement éjectée (ce qui correspond aux trajectoires directes dans notre cas)

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tandis que l’autre partie de la fonction d’onde diffuse sur le potentiel atomique (commepour les trajectoires indirectes) avant d’interférer. Les électrons sont détectés par imageriede vitesse. Ainsi se forme une figure de battements dont les franges suivent la direction dela polarisation du laser (voir figure 3.2). Nous retrouvons donc l’apparition de phénomènesde battements dans le cas où le mouvement des électrons est contrôlé par une impulsionlaser plutôt qu’un champ électrique statique. Ces figures holographiques contiennent une"image" du potentiel atomique. Il reste à pouvoir extraire ces informations à partir de ladistribution des photoélectrons.

Figure 3.2 – Comparaison d’images de photoélectrons entre l’expérience (A avec unatome de xénon) et les méthodes de calcul TDSE (B avec un atome d’argon) et CCSFA(C avec un modèle d’atome hydrogénoïde) [20]. L’axe de polarisation du laser imposel’orientation de la figure d’interférences (vertical ici).

Nous analyserons d’abord le comportement spatial le long de la propagation élec-tronique des franges de battements visibles sur les images du photocourant électroniquecalculé par le programme et nous montrerons que les propriétés de ces franges dépendentde l’énergie E appliquée au système et du champ électrique statique ~F . Nous verronsainsi que nous pouvons définir deux structures différentes qui caractérisent l’existencede zones de battements appelés franges de battements et des zones «hors-battements».Pour mieux préciser les termes utilisés, nous appellerons «figure de battements» la partieradiale où coexistent les contributions directes et indirectes et «frange de battements» ou«zone de battements» les franges sombres caractéristiques qui apparaissent dans l’imagedu photocourant représentant la propagation électronique. Nous présenterons ensuite lesrésultats extraits des analyses sur le comportement périodique des figures de battementspar un traitement avec des transformées de Fourier.

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3.1 Analyse spatiale des battements : évolution de leursinterfranges et de leur inclinaison

La figure 3.3 représente une série de six propagations électroniques simulées pour dif-férentes énergies allant de -120 cm−1 à -20 cm−1 par pas de 20 cm−1. Ces propagationsd’une onde de type s (l et m sont nuls) ont été réalisées pour un atome d’hydrogène surune grille de rayon 12500 u.a. avec un champ électrique appliqué de 1000 V/cm.

À partir de cette figure, nous remarquons que les franges de battements semblent évo-luer en fonction de l’énergie. Par rapport à l’axe (Ox) parallèle au détecteur, leur angleaugmente de manière continue avec E. De plus, la distance entre chacune des frangesselon l’axe (Oz) vers les z positifs (du détecteur vers l’origine) parait décroître linéai-rement ce qui signifierait que la position des franges suit une évolution de décroissanceasymptotique selon une loi inverse ou d’exponentielle décroissante.

Pour vérifier cette seconde hypothèse, nous avons calculé l’évolution de la distanceentre chacune des franges en fonction de z, ces résultats sont présentés sur la figure 3.4pour quelques énergies et avec une grille de 30000 u.a. afin d’utiliser la position d’unplus grand nombre de franges de battements sur nos courbes. Nous avons volontairementconservé les positions des franges les plus éloignées de l’origine car le modèle d’évolutionlinéaire n’est plus du tout vrai lorsque l’on s’approche de l’atome.

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Figure 3.3 – Propagation d’un paquet d’ondes pour différentes énergies. Sont tracées surla figure certaines franges sombres de battements (trait épais noir).

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Figure 3.4 – Évolution de l’interfrange en fonction de z pour plusieurs valeurs de E.

Le comportement linéaire de l’évolution de l’interfrange selon z semble donc confirmépar ce graphique et les courbes ont la forme y = ax + b. Le coefficient directeur en va-leur absolue |a| est d’autant plus grand que l’énergie est petite mais nous n’avons pu faireaucun raisonnement sur l’évolution des ordonnées à l’origine b même en simulant de nom-breuses énergies différentes. Néanmoins, en effectuant les mêmes calculs pour des valeursdu champs légèrement modifiées, de 700 à 1300 V/cm par exemple, nous remarquons quea est relativement le même mais que b évolue (voir figure 3.5). Nous supposons que lecomportement observé en modifiant la valeur de E serait le même qu’en modifiant F demanière plus brutale en passant d’un ordre de grandeur à un autre, justifié par le faitque toute la dynamique de ce problème est imposé par ε qui est un rapport entre E et√F . Nous pouvons donc en conclure que selon z l’évolution de l’interfrange représentée

par a et la position liée à b des premières franges évolue en fonction d’ε. En nommantchaque frange de battement avec un indice n en prenant pour origine z0 la position de lafrange la plus éloignée de l’origine sur notre image, la position des franges suit une loi dela forme d’une suite arithmético-géométrique décroissante définie par l’équation suivante :

zn =b

|a|+ (1 + a)n

[z0 −

b

|a|

](3.1)

Cette suite nécessite de démarrer à la position d’une frange z0 connue et surtout elleconverge vers z∞ = b

|a| dont le signe dépend de celui de b. Dans nos calculs de fitting,la majorité des valeurs de b ont une imprécision très grande à cause de la répercussionqu’a une petite modification de a sur de grandes valeurs de z. De plus, nous obtenons denombreuses valeurs de b négatives ce qui signifierait que la position des franges évolueraitjusqu’à atteindre l’autre côté de l’atome vers le potentiel montant ce qui n’a aucun sensvis-à-vis de la dynamique de notre problème. Néanmoins, ce modèle donne des résultats

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Figure 3.5 – Évolution de l’interfrange en fonction de z pour plusieurs valeurs de F .

très satisfaisants lorsque nous restons dans un espace suffisamment éloigné de l’atome.

Si nous étudions cette fois-ci ces interfranges selon un axe appelé (D) qui serait perpen-diculaire aux franges pour chacune des énergies et qui évoluerait donc avec l’inclinaisondes franges en fonction de E, nous nous rendons compte que les coefficients directeursa′ sont quasi-identiques, à l’incertitude près, quelle que soit l’énergie étudiée (voir figure3.6). Nous pouvons expliquer cette différence par rapport à l’étude selon (Oz) par lefait que cette précédente étude utilisait les valeurs des interfranges selon les positions zdes franges et donc selon une projection des interfranges réelles (mesurées selon (D)) enfonction de l’angle d’inclinaison des franges. L’hypothèse serait donc que la dépendanceen E et F du coefficient a provient uniquement de cette projection en cosinus de l’anglede la frange de battements et donc de l’évolution de cet angle d’inclinaison.

Une dernière hypothèse peut être formulée avec cette analyse selon l’axe (D) : la fi-gure 3.7 nous montre l’évolution de l’interfrange en fonction d’un indice n qui correspondcette fois-ci arbitrairement à un rangement décroissant des différentes valeurs des inter-franges utilisées sans les différencier et les séparer en fonction de l’énergie étudiée. Nousremarquons que cette courbe suit une loi de décroissance, que les points correspondantsà chacune des énergies sont localisés dans des ensembles identifiables sur le graphiqueet donc que cette distribution de points reste dépendante de E. Nous supposons par cerésultat que l’expérience simulée de microscopie de photoïonisation se comporterait auniveau de l’image de la propagation comme un interféromètre à lames classique qui af-ficherait un éventail de franges repérées par des indices et dont l’éventail se déplaceraitle long de ces indices en fonction de la valeur de l’E ce qui correspondrait à la distanceentre les lames par analogie avec l’interféromètre.

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Figure 3.6 – Évolution de l’interfrange en fonction de (D).

Figure 3.7 – Évolution de l’interfrange en fonction de n.

Nous allons maintenant analyser l’évolution de l’angle des franges de battements. Lephénomène que nous étudions est celui de deux structures d’interférences juxtaposées etdélimitées chacune par le rayon d’impact maximal du type de trajectoire de leur contri-bution. Lorsque l’énergie augmente, les rayons d’impact convergent et ces deux structuresd’interférences tendent à se superposer parfaitement en occupant le même espace phy-sique. Nous pouvons réduire en première approximation l’étude des interactions entre lesdifférentes franges des deux structures à celle de deux ensembles qui se croisent et dont lesseuls paramètres sont leur angle l’un par rapport à l’autre et leur largeur. En effet, si nous

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considérons que localement, les franges d’une même structure sont quasi-parallèles, le pro-blème se résume au croisement selon cet angle de deux systèmes de droites parallèles : leszones où les franges se rencontrent correspondent au franges claires des battements tandisque les franges sombres, celles que nous étudions, sont liées aux positions où les droitesd’une des structures sont les plus éloignées de celles de l’autre structure (voir figure 3.8).

Figure 3.8 – Schéma présentant les deux structures d’inter-férences : liées aux trajectoires directes + indirectes (en rougeou clair) et aux trajectoires uniquement indirectes (en bleu ousombre).

Dans cette approximation, l’étude géométrique est très simple et nous admettons fa-cilement que le seul paramètre qui peut justifier et définir par le calcul l’inclinaison sché-matique des points de rencontre, ou par équivalence les points d’écartement maximal,est le rapport des interfranges entre les droites de chacun des systèmes. Cette approchequalitative se résume donc à calculer les projections des distances entre les droites dechacun des systèmes sur l’axe (Oz), donc dépendant de leur angle par rapport à cet axeet surtout de leur angle relatif qui les sépare. Les seuls paramètres importants de cetteétude schématisée sont les interfranges de chaque structure et leur angle.

Pour en revenir au système physique étudié, nous savons de l’interfrange de ces struc-tures qu’il dépend peu de l’énergie et que le nombre de franges augmente continumentavec le rayon d’impact maximal des électrons de leur contribution, celui-ci dépendantde l’énergie et du rapport ε [2]. L’angle relatif des deux structures l’une par rapportà l’autre est relié au rapport entre leur différent rayon d’impact maximal et donc à lavaleur de ε. Même si aucune formulation analytique n’existe actuellement pour calculerces interfranges et le rayon d’impact maximal des contributions directes, nous pouvonstout de même conclure de manière qualitative (ces considérations géométriques et sché-matiques restent acceptables par approximation) que l’angle d’inclinaison des franges debattements sont bien reliées aux valeurs de E et de F imposées au système comme nousle supposions en regardant les images de la figure 3.3.

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3.2 Traitement des coupes radiales par analyse de Fou-rier

3.2.1 Transformée de Fourier

La transformée de Fourier est une opération qui transforme une fonction intégrableen une autre fonction qui décrit le spectre fréquentiel de cette dernière. La transforméede Fourier F (f) = f̂ peut être donnée par la formule suivante :

F (f) : ν → f̂(ν) =

∫ +∞

−∞f(x)e−i2πνxdx (3.2)

avec x la distance en u.a. et ν la fréquence en u.a.−1.

Cette opération nous permet donc d’extraire, à partir de la forme de coupes de photo-courant radial, des informations sur les périodes caractéristiques des phénomènes étudiés,franges d’interférences, battements, etc, en analysant la distribution des pics de fréquencessur les courbes des fonctions obtenues. Les amplitudes de ces pics sont reliées aux im-portances relatives de chacun des éléments périodiques entre eux dans la fonction initiale.

À titre d’exemple, la figure 3.10 présente la transformée de Fourier d’une fonctiond’Airy (figure 3.9) qui est la fonction décrivant le mieux la forme des figures d’interfé-rences de chacune des contributions directes et indirectes (voire figure 1.2.1).

Figure 3.9 – Fonction d’Airy.

Nous pouvons extraire de cette transformée de Fourier plusieurs informations qui se-ront utiles par la suite. D’une part, la forme de la courbe est dominée par un pic trèsimportant (volontairement coupé ici pour mieux apprécier l’amplitude des autres pics)qui impose à la figure une courbe décroissante asymptotique de la forme de x−1. Ce pic àla fréquence ν=0.0001 (unité arbitraire) est une conséquence de la résolution de la courbe,

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Figure 3.10 – Transformée de Fourier de la fonction d’Airy présentée en figure 3.9.

qui possède 10 000 points soit ν−1, et de la méthode de calcul de la transformée de Fou-rier par le logiciel que j’ai utilisé. Pour les figures que nous allons étudier par la suite,ce pic ainsi que la courbe dont le comportement global est en décroissance asymptotiquene seront donc pas lié à un phénomène physique mais seront uniquement à considérercomme un bruit provenant de la méthode de calcul. D’autre part, nous pouvons remar-quer la présence de plusieurs pics à des fréquences différentes : six pics correspondant àdes fréquences de 0.00114 à 0.00329 ce qui signifie que l’étendue spectrale va du simpleau triple. Lorsqu’une courbe est parfaitement périodique, comme par exemple pour lecas d’une fonction sinus, nous obtenons par la transformée de Fourier un unique pic quicorrespond à la fréquence du sinus. La présence ici de plusieurs pics nous démontre quela fonction d’Airy est quasi-périodique : le nombre de pics de fréquence de sa transforméede Fourier augmente continument avec le nombre de pics de cette fonction (15 pics surla courbe pour 6 pics sur la transformée pour cet exemple).

3.2.2 Comparaison de l’évolution temporelle des franges

En reprenant les calculs effectués pour un atome de lithium avec E=-96.79 cm−1,F=1000 V/cm et m=1 (voir figure 2.6 dans la section 2.3) qui séparent les différentescontributions en fonction de leur temps d’arrivée sur le détecteur, nous pouvons comparerpar analyse spectrale les coupes radiales effectuées à 14500 u.a. soit 0.77µm. La figure3.11 représente les analyses de Fourier réalisées pour des temps de respectivement -39 ps,-35 ps et 125 ps par rapport au centre de la gaussienne de l’impulsion laser.

L’évolution du spectre de la coupe radiale en fonction du temps nous montre effec-tivement l’apparition successive de chacune des contributions. À t=-39 ps, nous avonsune structure principale de trois pics situés entre 0.015 et 0.06 (en unités arbitraires)qui correspondent au spectre de la figure d’interférences de la contribution directe. Uneseconde structure semble apparaître pour des fréquences plus élevées et donc des périodes

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Figure 3.11 – Comparaison en fonction du temps des analyses en fréquence pour unatome de Li : a) -35ps , b) -25 ps et c) 125 ps.

plus courtes. Elle se confirme pour t=-35 ps pour des fréquences comprises entre 0.06 et0.15 avec quatre pics et doit être reliée à la coexistence des contributions directes et indi-rectes. Cette seconde structure serait donc caractéristique des zones de battements dontles figures présentent effectivement des périodes apparentes entre les pics plus courtes quedans les zones hors-battements. Nous retrouvons également la première structure de troispics dans cette analyse à -35 ps. Ces pics ont une amplitude plus élevée et se démarquentmieux du fond pour une simple raison : le photocourant radial qui a traversé la zonede coupe est plus important pour un temps plus long car une plus grande partie du pa-quet d’onde a pu s’échapper et donc les franges étudiées sont de plus grande amplitude.Nous devons par contre admettre que les fréquences de quasi-périodicité des premièrescontributions indirectes qui arrivent avec un retard sont proches de celles des contribu-tions directes. Les pics représentent donc la somme de ces deux contributions directes etindirectes. L’analyse pour un temps plus élevé de 125 ps nous montre que l’image de lafigure de battements se complexifie avec le temps et l’arrivée successive des contributionsretardées mais conserve globalement la même forme. L’analyse fréquentielle à ce tempsélevé comporte en effet un plus grand nombre de pics représentant des fréquences carac-téristiques mais conserve cette séparation en deux structures distinctes.

3.2.3 Comparaison spatiale à différentes énergies

Nous avons simulé la propagation d’un paquet d’ondes électroniques éjecté d’un atomed’hydrogène soumis à un champ électrique F de 1000 V/cm vers un détecteur situé à12500 u.a. Nous avons choisi pour nos calculs trois énergies différentes : -70 cm1 , -40 cm1

et -10 cm1 . L’intérêt de ce choix réside dans le fait que le comportement des franges debattements dépend fortement de la valeur de l’énergie appliquée au système. Comme lemontre la figure 3.12, l’étude de ces trois différentes énergies permet d’obtenir l’analysede Fourier de plusieurs cas particuliers. Pour une énergie de -70 cm−1, les franges sontquasi-horizontales et le choix des distances de coupes radiales par rapport à l’origine (9000et 10500 u.a. par rapport à l’origine pour les trois énergies) permet d’extraire une coupequi se trouve totalement sur un battement et une autre qui est complètement dans unezone d’hors-battements. La coupe radiale supérieure (10500 u.a.) pour l’énergie -40 cm−1

permet de calculer le cas où un seul battement est représenté alors que sa coupe inférieure(9000 u.a.) permet de prendre en compte la totalité des contributions indirectes qui nesont pas altérées par le potentiel absorbant. La dernière simulation qui a été réalisée avec

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une énergie de -10 cm−1 permet d’observer un grand nombre de battements qui croisentla coupe de photocourant radial.

Figure 3.12 – Densité de probabilité électronique intégrée au cours du temps un atomeH : a) -70 cm−1, b) -40 cm−1 et c) -10 cm−1. Sont tracées sur la figure certaines frangessombres de battements (trait épais noir) ainsi que les coupes radiales étudiées (trait finhorizontal rouge).

Pour tous ces cas étudiés (les trois énergies et les deux distances de coupe), nousavons arbitrairement séparé le photocourant radial en deux zones. Ce découpage nous apermis d’analyser à la fois la distribution spectrale de la totalité de la coupe ainsi quecelle liée à des phénomènes précis dans chacune de ces deux zones : «zone 1» contenant lepic de courant le plus probable pour les trajectoires directes ainsi que toutes les frangesintérieures et «zone 2» ne contenant que les franges d’interférences extérieures liées auxcontributions indirectes (voir les figures 3.13, 3.14, 3.15, 3.16, 3.17 et 3.18).

Une analyse globale de toutes les courbes correspondant à la zone 1 confirme que lespics correspondant aux fréquences de quasi-périodicité des figures d’interférences et auxfréquences liées au phénomène de battements se structurent en deux ensembles bien dis-tincts : un ensemble de pics dont les fréquences se situent autour de 0.0018 u.a.−1 (pour10500 u.a.) et 0.002 u.a.−1 (pour 9000 u.a.) et un autre ensemble dont l’éventail spectralest plus large et dont les fréquences sont également plus élevées que pour le premier.Cette structuration s’explique de manière simple. Le premier regroupement de pics estcomparable à celui d’une fonction d’Airy et peut donc être assimilé aux franges d’interfé-rences issues des trajectoires directes et indirectes qui coexistent dans cette zone. Le faitque ce groupe de pics ne soit pas centré sur la même fréquence en fonction de la distance

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Figure 3.13 – a) Analyse spectrale de Fourier pour une coupe radiale à une distance de10500 u.a. avec E=-10 cm−1 et b) la coupe de photocourant radial.

Figure 3.14 – Analyse spectrale de Fourier pour une coupe radiale à une distance de9000 u.a. avec E=-10 cm−1 pour : a) zone 1, b) zone 2 et c) coupe complète. d) La coupede photocourant radial.

de coupe radiale étudiée est une conséquence de la propagation électronique : les frangess’écartent de plus en plus le long de cette propagation. La période entre chaque frangeaugmente, donc si nous effectuons une coupe à une distance de l’origine plus grande, dela coupe à 9000 u.a. à celle à 10500 u.a, cela provoque un décalage des pics de fréquencesvers les abscisses inférieures. Cet effet est à prendre en compte pour toute la suite del’analyse et il sera d’autant plus important que l’énergie imposée est élevée. La seconde

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Figure 3.15 – Analyse spectrale de Fourier pour une coupe radiale à une distance de10500 u.a. avec E=-40 cm−1 pour : a) zone 1, b) zone 2 et c) coupe complète. d) Lacoupe de photocourant radial.

structure peut être reliée aux franges de battements qui traversent les différentes coupescar elle correspond à des fréquences plus élevées, donc des périodes plus courtes, et à desfigures plus complexes parce que le spectre est composé de pics plus nombreux et avecune distribution en fréquence plus large.

Une analyse plus détaillée ensuite pour chacun des cas particuliers nous permet d’ex-traire des informations supplémentaires ou des confirmations de nos suppositions sur lecomportement en fréquence de ces phénomènes. Par exemple, l’étude pour l’énergie -70cm−1 caractérise de manière très précise les fréquences hors-battements pour 10500 u.a. :la présence d’un principal pic dans l’analyse de la zone 1 qui correspond à cette fréquencecaractéristique de l’hors-battements et que l’on retrouve dans les analyses des autres éner-gies. Si nous nous attardons sur les zones 2, l’action du potentiel absorbant se ressent surles intensités des franges indirectes dans toutes les coupes à 10500 u.a. et sur la coupe à9000 u.a. pour une énergie de -10 cm−1. Nous devons donc regarder les cas où la coupe à9000 u.a. prend en compte la totalité de ces franges. Leur analyse nous confirme le com-portement en fréquence de type fonction d’Airy de ce système interférentiel qui est bienquasi-périodique. Par extension, nous pouvons en déduire que le système d’interférencedes franges issues des contributions directes est également bien quasi-périodique.

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Figure 3.16 – Analyse spectrale de Fourier pour une coupe radiale à une distance de9000 u.a. avec E=-40 cm−1 pour : a) zone 1, b) zone 2 et c) coupe complète. d) La coupede photocourant radial.

Figure 3.17 – Analyse spectrale de Fourier pour une coupe radiale à une distance de10500 u.a. avec E=-70 cm−1 pour : a) zone 1, b) zone 2 et c) coupe complète. d) Lacoupe de photocourant radial.

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Figure 3.18 – Analyse spectrale de Fourier pour une coupe radiale à une distance de9000 u.a. avec E=-70 cm−1 pour : a) zone 1, b) zone 2 et c) coupe complète. d) La coupede photocourant radial.

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Conclusion

Nous avons étudié le comportement des franges de battements qui apparaissent sur lesimages de propagation électronique. Nous avons ainsi pu montrer que leur comportementdépendait de la valeurs des paramètres extérieurs que l’on impose à l’atome : l’énergie dulaser E et le champ électrique extérieur F . Leur angle d’inclinaison évolue continumentavec l’énergie et la position de chacune de ces franges par rapport aux autres, représentéepar les interfranges que nous avons calculés, suit une loi de décroissance définie par unesuite arithmético-géométrique dont les variables dépendent des paramètres de notre sys-tème. L’analyse par transformation de Fourier permet également de structurer le spectreen fréquences des figures de battements selon une coupe radiale en deux groupes de picscaractéristiques. Chacun de ces deux groupes est assimilé respectivement aux zones debattements et d’hors-battements visibles sur la coupe radiale. Un traitement plus com-plet des phénomènes de battements par analyse de Fourier pourrait permettre de mieuxcomprendre la dynamique des interactions entre les contributions directes et indirectesdans cet espace.

Dans l’état actuel de nos connaissances sur la dynamique des différentes contribu-tions de la propagation du paquet d’ondes électronique en prenant en compte les effetsquantiques, nous n’avons pas encore trouvé un traitement théorique qui permettrait decalculer les valeurs du rayon d’impact maximal des trajectoires directes. La caractérisa-tion des propriétés de ce lobe principal est pourtant nécessaire puisqu’il délimite l’espacedes phénomènes de battements et des distances d’interfrange des deux systèmes d’in-terférences qui coexistent dans cet espace. Cette absence actuelle en formule analytiquenous a empêché de trouver un formalisme théorique qui pourrait décrire l’ensemble desobservations qui sont présentées dans ce chapitre. Cependant, nous pouvons apprécierde manière qualitative les effets de l’évolution des paramètres extérieurs E et F sur lescoefficients a, a′ et b définis dans la section 3.1 et surtout sur l’angle d’inclinaison. Deplus, toute la dynamique de propagation électronique est imposée par des dépendancesrelativement simples en ε, E et F , ce qui laisse à supposer que le problème physiquepourrait se formuler analytiquement de façon simple. Cela peut nous permettre d’éla-borer des hypothèses nouvelles sur la dynamique des interactions entre les différentescontributions électroniques de ce problème, par analogie avec l’holographie, et dont letraitement pourrait aboutir à une visualisation encore plus précise des propriétés micro-scopiques de l’atome ou de la molécule par microscopie de fonction d’onde.

Le but de ce stage de fin de cycle de master était de me familiariser à l’élabora-tion d’une démarche scientifique face à une problématique donnée. Mon sujet m’a donnél’occasion d’aborder des notions nouvelles en atomistique et plus particulièrement dans

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l’étude de la dynamique des états excités d’un atome plongé dans un champ électriquestatique. Bien que très orienté vers le traitement théorique du comportement des frangesde battements par le biais de simulations informatique, ce sujet m’a également permisde garder un lien fort avec la physique expérimentale, tant par le biais de la compré-hension et de la transposition physique des phénomènes simulés que par la nature d’unepartie des publications que j’ai été amené à étudier. Par extension, j’ai pu acquérir desconnaissances nouvelles liées à l’application d’un champ électrique sur un atome isolé. Enparticulier, l’utilisation de l’effet Stark dans le cadre de méthodes de «Quantum Control»,comme par exemple dans cet article de B. J . Sussman et al. [21], peut faire le lien avecle domaine de l’Information Quantique, qui m’intéresse énormément, et représente uneapproche expérimentale que je ne connaissais pas.

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