67
ELASTO-PLASTICITY Jean-Louis Chaboche ONERA, 29 av. de la Division Leclerc 92320 Châtillon, France [email protected] ATHENS Course MP06 Nonlinear Computational Mechanics March 16 to 20, 2009

ELASTO-PLASTICITYmms.ensmp.fr/msi_paris/archives-transparents/JLC-Plasticity.pdf · NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING Introduction and Elasto-plasticity. ATHENS – Course MP06 – 16

  • Upload
    others

  • View
    4

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

  • ELASTO-PLASTICITY

    Jean-Louis Chaboche

    ONERA, 29 av. de la Division Leclerc92320 Châtillon, France

    [email protected]

    ATHENS Course MP06

    Nonlinear Computational MechanicsMarch 16 to 20, 2009

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �

    Comportements non linéaires

    moteur fusée

    A 380

    essai au solde l’A 380

    moteur avion civil

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �

    ConstructionGénie Civil

    Automobile

    talus

    collecteur d’échappement

    arrachement

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �

    Pièces soumises à des sollicitations thermomécaniques sévères

    rocketengineaubes de

    turbine

    collecteurs d’échappement

    chambres de combustion

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �

    � GENERAL INTRODUCTION

    � ELEMENTARY NOTIONS

    � ELASTIC LIMIT CRITERIA

    � FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY

    � PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY

    � PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING

    � NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS

    � NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING

    Introduction and Elasto-plasticity

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �

    Structural analysis with non-linearities

    � ���������������������

    � ������

    � ������������

    � ������� ���������

    � ������������� �� ����

    �!"#$!%��"'

    $����"'�(��%)**)*

    *)�+�%)�,�$)�&��)�

    !"!,-*�*

    � .� ���� ���

    � *��/���� � 0

    �.����

    �%���1������

    �%���1���������

    �$�����

    � ������������

    ����������

    ��������������

    � ����������������������

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 2

    Various scales in metallic materials and structures

    �+)3

    o

    ! 453µµµµ

    3µµµµ

    3�6�34�µµµµ

    3�6�34�µµµµ

    34�6�344�µµµµ

    3�

    ��������

    .�����

    .������

    .������

    .�����

    ����������

    ��������

    ��7����������

    8�����������9

    �������

    ����� ������

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity :

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity =

    � GENERAL INTRODUCTION

    � ELEMENTARY NOTIONS

    � ELASTIC LIMIT CRITERIA

    � FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY

    � PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY

    � PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING

    � NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS

    � NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING

    Introduction and Elasto-plasticity

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 34

    Notations>σσσσ

    .��/��/�� 0

    �5�σσσσ

    %��������������� ������� 0

    *��������1 ����� 0

    &������ ������� 0

    intrinsic : indicial :σσσσ

    $���; ���1 ����� 0% >1�%

    >>�σσσσεεεεσσσσ 0 >> εεεεσσσσ

    1�>1�% εεεεεεεε0%

    ϕ����

    #��������� 0������ ���1 0 3������������

    ≠≠≠≠====

    ====> 4

    > 3>δδδδ

    ��; ���1 0 (((( ))))3333��

    3⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ++++==== (((( ))))>1�>�1�3>1�% δδδδδδδδδδδδδδδδ ++++====

    ����

    ⊗⊗⊗⊗==== >> �� ====7�% ⊗⊗⊗⊗==== 1�>>1� 7�% ====7�% ⊗⊗⊗⊗==== >�1>1� 7�% ====7�% ⊗⊗⊗⊗==== >1�>1� 7�% ====

    �?

    ϕϕϕϕϕϕϕϕ ====∂∂∂∂∂∂∂∂

    ��

    ��� ====�

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 33

    Invariants

    ��/�������;

    �@����0

    (((( )))) [[[[ ]]]] �A31>1>�=�A3���2��� BBBC� σσσσσσσσσσσσ========

    σσσσ&��3 ====

    [[[[ ]]]]�3������3 �������3

    >>�

    �����D BBC���C� σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ −−−−++++−−−−++++−−−−====================

    �E/������0

    F����33113 �30&�� σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ ====++++++++================

    (((( )))) >>�3��3� BBB&�C σσσσσσσσσσσσ ========(((( )))) 1>1>�3��3� BBBB&�C σσσσσσσσσσσσσσσσ ======== 3��&�B �3 σσσσσσσσσσσσ −−−−====

    ��/���������������������0

    ��/�����������E ���������D���0

    ���

    ���

    �33

    �11

    �� ��&�3 εεεεεεεεεεεεεεεεεεεε ++++++++============ℑℑℑℑ

    ����E�E�����4

    ��C��

    >�>��

    � εεεεεεεεεεεε ���� ========

    ττττττττ ������

    4

    ����==== �

    ��������� E������

    �����������������������

    � �

    ��CBB��

    >�>��

    ����

    εεεεεεεεεεεε ========

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 3�

    Characteristic tests in tension

    � F������� 0εεεε

    σσσσ

    εεεε

    � %���� 0

    � ����?��� 0��

    εεεε

    σσσσ

    σσσσ

    � �

    εεεε

    �����

    �������

    σσσσ

    εεεε

    ����?���

    ;������

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 3�

    Multiaxial tests

    ����������������

    ����

    ����

    ����������������

    ====���

    ��

    C%

    C%

    *$

    σσσσ

    �������

    ��������

    %

    $

    $σσσσ1111

    σσσσ2222

    ������������������������

    ����

    ����

    ������������������������

    ++++

    ====

    *

    $

    ���

    ��

    ��

    ��

    ���

    σσσσ

    traction –

    compression –

    internal

    pressure

    traction –

    compression –

    torsion

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 3�

    Notion of plastic strain

    �� εεεεεεεεεεεε ++++====

    ����� ������

    ������ ������ ��0

    G ���/���7�� H���G ������� H������

    σσσσ

    εεεε

    �εεεε �εεεε

    �εεεε �εεεε)

    σσσσ

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 3�

    �� εεεεεεεεεεεε ++++====���� ������ 0

    ����

    �% %

    ������

    ����?��

    ���������

    �$

    $

    $

    %

    �� $$$ ====$��� ������ 0

    �εεεε

    σσσσ

    εεεε

    εεεε

    �εεεε εεεε

    Notion of plastic strain

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 3�

    Notion of hardening

    ;�������

    σσσσ

    εεεε

    (�� ����� (�����

    �������

    ������������

    ��8���������

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 32

    Bauschinger effects

    I����;���� � ���

    σσσσ

    εεεε

    �������������

    ��8������� ���������

    ���������/�

    ������

    ��

    ��8������� �����������

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 3:

    Rheological elementary models

    εεεεσσσσ )====

    εεεεηηηησσσσ �====

    "3

    εεεεηηηησσσσ �====

    �� σσσσσσσσσσσσ ≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−

    �����

    ��������;��

    �����������;��

    �����

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 3=

    Parallel and series assemblies

    �σσσσ

    �σσσσσσσσ)

    �� εεεεεεεεεεεε ++++====

    �εεεε �εεεε

    F

    �σσσσ σσσσ

    �F� εεεεσσσσσσσσ ++++====εεεε

    σσσσ

    F�σσσσ

    εεεε

    σσσσ�σσσσ

    �σσσσ−−−−

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �4

    σσσσ

    F

    �σσσσ)

    ηηηη

    σσσσ) F

    �σσσσ

    ηηηη

    /�������� � �������0

    E���� � /��������

    �����������

    I��;�

    �����0

    σσσσ)

    F

    �σσσσ���������������

    �������� 0

    ;�������Viscosity effects

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �3

    � GENERAL INTRODUCTION

    � ELEMENTARY NOTIONS

    � ELASTIC LIMIT CRITERIA

    � FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY

    � PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY

    � PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING

    � NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS

    � NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING

    Introduction and Elasto-plasticity

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    ��������������

    ������ ����0�����/������

    4 >(((( ))))>!� σσσσ====/���7������

    �����7�

    �;� ��� ���������

    ������

    /� �������� &����� 0������������� ;�������� ��������

    4�555�1 �D ≤≤≤≤−−−−==== σσσσ/� �����0

    B0B�

    �C���C ��D σσσσσσσσσσσσσσσσ ============σσσσσσσσ &��

    3F ==== (((( )))) �A3���2��� C� ====

    Elastic limit criterion = yield criterion

    (((( )))) (((( ))))�� B&��

    3B0BB5

    3C σσσσσσσσσσσσσσσσ ========

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    4�555�1 �D ≤≤≤≤−−−−==== σσσσ

    /� �����0

    ��/����

    �����

    /� ����

    &�����

    �σσσσ

    3σσσσ �σσσσ

    von Mises and Tresca

    4�555�1*�� > ≤≤≤≤−−−−−−−−==== σσσσσσσσ

    &����� 0

    ====>�����3

    4 ==== (((( )))) 411�

    �2�

    ����D

    �����

    ��D ====−−−−−−−−−−−− σσσσσσσσ

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    (((( )))) 4�555�1�� ����D ≤≤≤≤−−−−==== σσσσφφφφ.���1����3=�=�0

    7��8��� /� �������� &�����

    ��/����

    �����

    /� ����

    &�����

    �σσσσ

    3σσσσ �σσσσ

    von Mises, Tresca and Edelman-Drucker

    (((( )))) 411�

    �21��1

    ����D

    ������

    ���D ≤≤≤≤����

    ����

    ��������

    ���� −−−−++++−−−−−−−−−−−−==== σσσσσσσσ

    )����� � .���1����3=�=�0

    ������ �������� ��J�4�����������/� �������������J�3���������&�����

    (((( )))) 4�555�1�� ����D ≤≤≤≤−−−−==== σσσσφφφφ

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    Edelman-Drucker

    ������ ��������

    ��J�4�����������/� ����������

    ��J�3����������&�����

    �����������������

    ��������������������

    (((( )))) 411�

    �21��1

    ����D

    ������

    ���D ≤≤≤≤����

    ����

    ��������

    ���� −−−−++++−−−−−−−−−−−−==== σσσσσσσσ

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    �������� �

    ;�������� ��������

    4�555�1��&� �D ≤≤≤≤−−−−++++==== σσσσαααασσσσ

    .���1���� (����� 0

    ��&� σσσσ

    �Dσσσσ

    ��/����

    �����

    /� �

    ���

    �σσσσ

    3σσσσ

    �σσσσ�

    Drucker – Prager

    ��&� σσσσ

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �2

    K������ � ��C�

    �����������

    ��4L%

    3

    �3

    �3

    3

    σσσσσσσσ

    �3 σσσσσσσσ

    /� ����

    F��

    ���������

    ��������������

    �� 4��������=4L

    F��M�������� 0

    4�555�10F0 ≤≤≤≤−−−−==== σσσσσσσσ

    F J�������1 ������� ��� ���;� ������

    ���������������

    Anisotropic criteria

    ��;����

    F����3=�3

    ���0F0�F ====

    G �/��� H�����

    �� J����/���� ��>���� 0

    1�>>1�>�1�>1�

    3��

    3� δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ −−−−++++====

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �:

    .���1����3=�=��0

    (((( )))) (((( )))) ��

    � ≤≤≤≤−−−−−−−−==== �555�1C�C

    I������%�N��� ��44���0

    (((( )))) ��

    � ≤≤≤≤−−−−−−−−==== �555�1C�C

    An isotropic non-symmetric criterion

    ��

    ����

    ���

    ���� 4� ====σσσσ

    �σσσσ

    3σσσσ

    -300

    -200

    -100

    0

    100

    200

    300

    -300 -200 -100 0 100 200 300

    Barlat-Cazacu

    Drucker

    von Mises

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �=

    � GENERAL INTRODUCTION

    � ELEMENTARY NOTIONS

    � ELASTIC LIMIT CRITERIA

    � FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY

    � PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY

    � PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING

    � NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS

    � NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING

    Introduction and Elasto-plasticity

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �4

    � ������ �� ������� ������������� ������ ������ ����� ;������� ����� ��������� �����

    Rate-independent incremental plasticity theory

    Context of theory:

    Main ingredients :

    � ������ ���� ���������� �� � ���� ���������

    � �8���

    ������ �����������

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �3

    Hardening

    ;�������

    σσσσ

    εεεε

    (�� ����� (�����

    �������

    ������������

    ��8���������

    ����

    ������

    ���;�

    ������������ 0 σσσσ�

    combination of :isotropic hardeningkinematic hardeningothers…

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    initial

    ��

    �σσσσ

    3σσσσ �σσσσ

    ����� ====

    Isotropic hardening

    ��

    ��

    ��(

    δ δ δ δ �(�δ �(M�M�

    σσσσ

    �εεεε

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    �%O εεεε==== (�������3=�=

    Kinematic hardening (linear)

    O

    initial

    �σσσσ

    3σσσσ �σσσσ

    σσσσ

    �εεεε

    O

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    4

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    &;� �8�� �;� ������ ������������ �������� 8�; �;� ������

    ������������ ������� � ������ �;�� �;� �8�� ������

    8�; ��� �;�� ����7���������������

    40� ≥≥≥≥−−−− εεεεσσσσσσσσ �

    4 ====

    �εεεε�

    σσσσ

    Principle of maximal plastic work

    Pσσσσ σσσσ�

    σσσσ�εεεε�

    Pσσσσ

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    %��������8�; �;� ��?��.�������(������

    � � λλλλσσσσ

    λλλλεεεε ��� ====∂∂∂∂∂∂∂∂

    ====

    ����� �;� ������ ��/�?��

    ����� ����������7��������������� ���;� ������ �

    ���������� �;� ;�������� ���������0

    ������

    �������

    Concequency : Normality rule

    4C

    &�C

    &� �� ====������������

    ������������

    ∂∂∂∂∂∂∂∂====��������

    ����

    ������������

    ∂∂∂∂∂∂∂∂

    σσσσσσσσ

    4

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �2

    �������� 8�; �;� ;������� �������������� �;� ��������������

    4!0!

    0

    >

    >

    ====∂∂∂∂∂∂∂∂

    ++++∂∂∂∂∂∂∂∂

    ==== ��� σσσσσσσσ

    4 ====�

    Consistency condition

    4 ====++++++++ σσσσσσσσ

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �:

    Combination of the different rules

    ������ 0 � � λλλλσσσσ

    λλλλεεεε ��� ====∂∂∂∂∂∂∂∂

    ====

    ;������� 0 (((( ))))>11 +�F+ σσσσλλλλ�� ====

    ��������� 0 4+

    F0�+

    +

    0

    1

    11

    1

    ====∂∂∂∂∂∂∂∂

    ++++====∂∂∂∂∂∂∂∂

    ++++∂∂∂∂∂∂∂∂

    ==== λλλλσσσσσσσσσσσσ

    �����

    σσσσσσσσ

    σσσσλλλλ ��

    � 0�;

    3

    +

    F

    0

    1

    1

    ====

    ∂∂∂∂∂∂∂∂

    −−−−

    ∂∂∂∂∂∂∂∂

    ====1

    �+

    1F; ∂∂∂∂

    ∂∂∂∂−−−−====

    ��������� ��������� ������ 0

    �0�� �F;

    3

    � σσσσεεεε �� ====

    � ;������� 8�;�� ������� �8

    ������������

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �=

    4 ====

    σσσσ∂∂∂∂∂∂∂∂==== �

    σσσσ

    4

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �4

    Non-associated plasticity : example of soils mechanics

    .���1���(�����

    ������

    (((( )))) 4+� 1 ≤≤≤≤σσσσ)����� ��� 0

    � ������� �3����������� �8

    (((( )))) 4&� � ====εεεε�

    �7���/������ ����� 0

    7���0�

    �εεεε�σσσσ∂∂∂∂

    ∂∂∂∂

    4

    �C

    σσσσ&��3 ====

    1

    �J�4

    ��J�4

    (������ �8������� 0 (((( )))) 4+�� 1 ====σσσσ

    σσσσλλλλλλλλεεεε

    ∂∂∂∂∂∂∂∂

    ========�

    �� ��� 4 ==== 40

    ≥≥≥≥

    ∂∂∂∂∂∂∂∂ σσσσσσσσ

    � ���

    4� ====εεεε� 4

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �3

    Elasto-plastic tangent operator (non-associated flow)

    �8�������0

    ��������;� ������ ��� 0

    (((( ))))�0 εεεεεεεεσσσσ −−−−ΛΛΛΛ====F

    1�M����80

    εεεελλλλ �� 00

    ;

    3ΛΛΛΛ======== �00;; � ΛΛΛΛ++++====

    ��

    ���� ���������� �������� 0

    �0

    ;

    3

    � σσσσεεεε �� ====

    ;�������

    �����

    σσσσ∂∂∂∂∂∂∂∂====

    σσσσ∂∂∂∂∂∂∂∂====�

    (((( )))) ====−−−−−−−−ΛΛΛΛ====∂∂∂∂∂∂∂∂

    ++++∂∂∂∂∂∂∂∂

    ==== λλλλεεεεεεεελλλλσσσσσσσσ

    ������ ��

    1

    1 ;00

    +

    F0

    4;�0000 � ====−−−−ΛΛΛΛ−−−−ΛΛΛΛ==== λλλλλλλλεεεε ���%�������� 0

    (((( )))) (((( ))))εεεεεεεελλλλεεεεεεεεεεεεσσσσ ������� 0,0�0,;

    30�000

    � −−−−ΛΛΛΛ====ΛΛΛΛ−−−−ΛΛΛΛ====−−−−ΛΛΛΛ====

    (((( )))) εεεεεεεε �� 00�0;

    30 ΛΛΛΛΛΛΛΛ−−−−ΛΛΛΛ==== ⊗⊗⊗⊗

    εεεεσσσσ �� 0�

    ==== (((( )))) ΛΛΛΛΛΛΛΛ−−−−ΛΛΛΛ==== ⊗⊗⊗⊗ 0�0;

    3

    � � ====

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    ������ 0

    ��������� 0

    ��������

    εεεελλλλ �� 0��

    �====

    1�1�1�>1�> ��� εεεεµµµµεεεε �� ====ΛΛΛΛ

    Perfectly plastic behavior (associated plasticity)

    � � λλλλσσσσ

    λλλλεεεε ��� ====∂∂∂∂∂∂∂∂

    ====

    40�0

    ========∂∂∂∂∂∂∂∂

    ==== σσσσσσσσσσσσ

    ���

    �������������������������������������������������������

    ��������������������

    ������������������������������������������������

    4�00�00���00�0�� ====ΛΛΛΛ−−−−ΛΛΛΛ====−−−−ΛΛΛΛ==== λλλλεεεεεεεεεεεεσσσσ �����

    ����� �������� ��� /� ����������� 0 �� >1�>�11�>>1� δδδδδδδδδδδδδδδδµµµµδδδδλδλδλδλδ ++++++++====ΛΛΛΛ

    µµµµ��� 1�>1�> ====ΛΛΛΛ

    �00�

    00�

    ΛΛΛΛ

    ΛΛΛΛ====

    εεεελλλλ

    ��

    �D

    >>

    ��

    σσσσ====

    ���C σσσσσσσσ −−−−====

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    ���;��������

    ������������

    ����

    ����

    ������������

    −−−−−−−−====

    �3

    �3

    3

    ��

    σσσσ

    Flow direction associated with von Mises criterion

    σσσσσσσσ

    σσσσ ∂∂∂∂∂∂∂∂

    ∂∂∂∂

    ∂∂∂∂====

    ∂∂∂∂∂∂∂∂

    ====�

    0�

    �D

    σσσσσσσσ ====�D

    �D

    >>

    ��

    σσσσ====

    ��D σσσσσσσσ −−−−====

    >

    1�

    1�

    �D>

    ��

    σσσσσσσσ

    ∂∂∂∂∂∂∂∂

    ∂∂∂∂

    ∂∂∂∂====

    (((( )))) 1�>>1�>�1�>1�>

    1�

    3

    3�

    �δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ

    σσσσ++++++++========

    ∂∂∂∂∂∂∂∂

    �D

    ��

    σσσσ====

    ��������������� �������3�0

    ��

    �3

    �3

    3

    � σσσσ����������������

    ����

    ����

    ������������

    −−−−−−−−====

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    � GENERAL INTRODUCTION

    � ELEMENTARY NOTIONS

    � ELASTIC LIMIT CRITERIA

    � FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY

    � PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY

    � PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING

    � NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS

    � NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING

    Introduction and Elasto-plasticity

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    initial

    ��

    �σσσσ

    3σσσσ �σσσσ

    ����� ====

    Isotropic hardening

    ��

    ��

    ��(

    δ δ δ δ �(�δ �(M�M�

    σσσσ

    �εεεε

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    Incremental Prandtl-Reuss plasticity/� �������

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �2

    Ramberg-Osgood or Hollomon equation of tensile curve

    ����� ������� �80

    4�&�1� �D ====−−−−−−−−==== σσσσ

    3�D �Q1 ++++====σσσσ

    3�Q1 εεεεσσσσ ++++====

    ============−−−−

    3

    � �

    Q���B�;

    3�D

    Q

    1

    Q−−−−

    ������������

    ������������

    −−−−====

    σσσσ

    �������;�������

    ����� 0

    σσσσ

    3�4

    �44�����

    ��4

    344

    �44

    45� 35�354

    �εεεε�

    �(�

    4

    ����� ====

    1

    ����

    �3�,��� �4L%

    ���������� 0

    �(�3�:1 ====��5� ====

    �(����Q ====

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �:

    Isotropic hardening and cyclic loading

    σσσσ

    εεεε

    ����������������

    ����������������

    ���������� ���/�

    ��� �����������

    �����������������

    �����������������������������������

    ����������� ��������

    ���7������7�������� ��������

    �������������������������������

    ���7������7����G ��� ����� ������ H����� �������

    �����������������

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �=

    Prandtl-Reuss plasticity at variable temperature

    σσσσ

    )?���� 0�������������������� �������� ���������� 0

    �&�1

    1

    ������

    &

    �&�1�D ====σσσσ

    ������

    ���&�1 ++++

    4�&�1� �D ≤≤≤≤−−−−−−−−==== σσσσ �&�&�B10�� �F���B�

    3� ��� −−−−==== σσσσεεεε

    ��������������������

    �����

    ����

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �4

    � GENERAL INTRODUCTION

    � ELEMENTARY NOTIONS

    � ELASTIC LIMIT CRITERIA

    � FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY

    � PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY

    � PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING

    � NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS

    � NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING

    Introduction and Elasto-plasticity

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �3

    �%O εεεε==== (�������3=�=

    Kinematic hardening (linear)

    O

    initial

    �σσσσ

    3σσσσ �σσσσ

    σσσσ

    �εεεε

    O

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    �44��(�

    �σσσσ

    3σσσσ

    �44��(�

    ���

    �����

    ����

    �σσσσ

    3σσσσ

    344��(�

    3

    ���� ������

    ����

    +�%�3�

    3

    3 −−−−−−−− �3%���

    3 −−−−

    ������������������� ��������!�"��������������

    ����� �����5��3=:�

    Example of kinematic hardening in some stainless steels

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    Incremental plasticity with Linear Kinematic Hardening/� �������

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    � GENERAL INTRODUCTION

    � ELEMENTARY NOTIONS

    � ELASTIC LIMIT CRITERIA

    � FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY

    � PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY

    � PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING

    � NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS

    � NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING

    Introduction and Elasto-plasticity

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    Thermodynamic approach – Internal variables

    ���

    �!00 ααααεεεεσσσσαααα

    ααααψψψψρρρρεεεε

    εεεεψψψψρρρρψψψψρρρρ ����� ++++====

    ∂∂∂∂∂∂∂∂

    ++++∂∂∂∂∂∂∂∂

    ====

    � ���� ������/���7�����7���/�7��������������;�� ���� �� ��� ������

    ������������ �����������������������

    � �;� �� ��� ������� /���7���� ��8� � �;� �?������ ����

    ������ �������

    ��� �� ααααεεεερψρψρψρψρψρψρψρψ ====

    � /������ ������� �;� ����� ������ ����� �;� �� ���� ������ 0

    ψψψψ

    ψψψψ

    ��!

    ααααψψψψρρρρ

    εεεεψψψψρρρρσσσσ

    ∂∂∂∂∂∂∂∂

    ====∂∂∂∂∂∂∂∂

    ====

    � 8� �������;�� �;��� ������/���7���������� ���� ����������� �;�

    8;�� ���� ;����

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    Definition of intrinsic dissipation

    (((( )))) (((( ))))����� !0000 ααααεεεεσσσσεεεεσσσσεεεεσσσσψψψψεεεεσσσσ ������� ++++−−−−++++====−−−−====ΦΦΦΦ

    (((( )))) (((( ))))��� �N!�K ααααεεεεσσσσ −−−−========

    � �������� ��������� �;� � ������ 7��8��� �;� �������� ��;�����

    ������ ��� �;� �������� ����� ������

    � �� � �������� ���;��� �������� �������

    � �7/���� �;��� � � ��������������� ������ 7�;�/��

    � &;� '������N�� *���������������������������� ������������ ������ 0

    � ���� � (�����C�� R������ N�� ��3

    �;�������� � C����3 ���S��

    K

    ΦΦΦΦ�

    NK!0 ���

    ���� ====−−−−====ΦΦΦΦ ααααεεεεσσσσ

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �2

    � ������0��?����������8�1 ������� ����� ������������� 0

    F���0����� �������� �;� �?��

    �?��� ����� �;� ��������

    Plastic flow – Generalised normality

    �0 εεεεσσσσ �� ====ΦΦΦΦ

    NK!0 ���

    ���� ====−−−−====ΦΦΦΦ ααααεεεεσσσσ

    � )?������ �?����������������� R������� ��������8����

    8� ��� ���?����;� ������ ��������0

    � S� ;�/�����?���������������� �;� �������� R�8� ������0

    � � λλλλσσσσ

    λλλλεεεε ��� ====∂∂∂∂∂∂∂∂

    ====K

    N

    ∂∂∂∂∂∂∂∂

    ==== λλλλ��

    NK �

    /���;�� ���σσσσ∂∂∂∂∂∂∂∂$

    �0 εεεεσσσσ �

    �!$ ∂∂∂∂∂∂∂∂

    (((( )))) (((( ))))����� !� !0!�$ σσσσλλλλααααεεεεσσσσσσσσ ��� −−−−−−−−====

    4�!�� � ≤≤≤≤σσσσ

    4�!�� � ≤≤≤≤σσσσ

    ���

    �!

    ∂∂∂∂∂∂∂∂

    −−−−==== λλλλαααα ��

    � "����� ��������� �8��� ��;������� �/���� 0

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �:

    Example : linear kinematic hardening in 1D

    ������F

    3)

    3��� εεεεεεεεεεεεεεεεψψψψ ++++====

    � ������������� 8����

    � ��������� �;� ������ ��������;� ����� ����8�;

    � ������/���7������������������� �;� ����� ������� �F��

    � ������ ��������J��������� ������ T ����� ������ 0�

    �εεεε

    4O�O�� � ====−−−−−−−−==== σσσσσσσσσσσσ�O��

    � −−−−==== σσσσεεεε �����

    �εεεε

    (((( )))) (((( )))) ������ OO εεεεεεεεσσσσεεεεεεεεσσσσεεεεσσσσεεεεσσσσψψψψεεεεσσσσ ��������� −−−−====++++−−−−++++====−−−−====ΦΦΦΦ

    (((( )))) ��OO �� ���� σσσσσσσσεεεεσσσσ ====−−−−====−−−−====ΦΦΦΦ

    � *���� ������ � �������� 8�; ��/������������ �8��F�54 εεεε

    σσσσ)

    F

    �σσσσ

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �=

    Example : linear isotropic hardening in 1D

    ������F

    3)

    3��� εεεεεεεεεεεεεεεεψψψψ ++++====� $��� ������ 8����

    � ������� ��������J��������� ������ T ����� ������ 0�

    (((( )))) ����� �� �������� σσσσσσσσεεεεσσσσεεεεσσσσψψψψεεεεσσσσ ====−−−−====−−−−−−−−====−−−−====ΦΦΦΦ

    �)εεεε

    εεεεψψψψσσσσ ====

    ∂∂∂∂∂∂∂∂

    ====

    � &;� ������� /���7���������� ����� �������� ������������ ��αααα � �!

    � -��� ������ 8���� 4O�O�� � ====−−−−−−−−==== σσσσσσσσσσσσ

    � *���� ������ ����� 7� �������� ���������

    �������� ����������F�54 �

    �F�

    � ====∂∂∂∂∂∂∂∂

    ====ψψψψ

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �4

    Hardening state variables consistent with GSM

    � -��� ������ 8�; �7��� 1�����

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �3

    � GENERAL INTRODUCTION

    � ELEMENTARY NOTIONS

    � ELASTIC LIMIT CRITERIA

    � FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY

    � PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY

    � PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING

    � NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS

    � NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING

    Introduction and Elasto-plasticity

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    Non-Linear Kinematic Hardening

    ααααααααψψψψ 0%�

    3� ====

    O

    σσσσ

    �εεεε

    �����������/��

    �.�

    ��� ααααεεεεαααα −−−−====αααααααα

    ψψψψ%

    �O

    � ====∂∂∂∂

    ∂∂∂∂====

    ���������� D������� 0

    ������������/��

    σσσσ

    �εεεε

    (((( ))))�� 0% ααααααααψψψψ ====O ������� ������

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    !�������$������1��3=��

    �O.%O�

    ���� −−−−==== εεεε

    ;�������

    �(������

    �����

    ���/���

    ������������� ����� � �������� 0

    �� O.%O εεεεεεεε ��� −−−−====

    (((( ))))(((( ))))��.�?�.

    %O

    .

    %O εεεεεεεενννννννν −−−−−−−−����

    ����

    ��������

    −−−−++++====

    Non-Linear Kinematic Hardening

    ��0

    �� εεεεεεεε ��� ====

    O

    σσσσ

    �εεεε

    %A.

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    ���7���� ������0

    (((( ))))(((( ))))��.�?�.

    %O

    .

    %O εεεεεεεενννννννν −−−−−−−−����

    ����

    ��������

    −−−−++++====

    ������������

    ������������

    ∆∆∆∆====

    �.&��;

    .

    %O

    εεεε

    1�

    O

    �++++==== ∆∆∆∆σσσσ∆∆∆∆

    ���������0

    Non-Linear Kinematic Hardening

    O

    σσσσ

    �εεεε

    %A.

    Oσσσσ∆∆∆∆

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    �U��A�εεεε∆∆∆∆

    σσσσ∆∆∆∆

    "���"�%�=4

    &!�+

    +��2=��%7���!���

    ���"%.�3�

    Cyclic curves : Non-Linear Kinematic Hardening

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��

    ����������������

    −−−−==== −−−− ��4443 �3�4O

    εεεε

    ����������������

    −−−−==== −−−− ��44� �3344O

    εεεε

    O� J���44�ε ε ε ε �

    O�J�O3

  • ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �2

    General anisotropic hardening

    (((( )))) (((( )))) 4�&�1�O0�0O ≤≤≤≤−−−−−−−−−−−−−−−−==== σσσσσσσσ O������ ;������� 0

    ����������

    Q����� ;������� 0

    �����������

    !������ ;������� 0

    �������

    .������� ;������� 5�5�5

    ���; ���1 ������

    O

    � O �

    ������� 0������1����������

    ��������

    B33σσσσ

    B��σσσσ

    B��σσσσ

    4