Electricite Au Service Des Machines Mecatronique

Yverdon-les-Bains, le 5 septembre 2007

Département des Techniques industrielles

Tronc commun des filières

Microtechnique-mécatronique

et

Systèmes industriels

Électricité au service des machines

www.iai.heig-vd.ch

Bernard Schneider et

Alain Beuret

Copyright © Bernard Schneider et Alain Beuret, 2003 à 2007

Électricité au service des machines HEIG-VD

2 Copyright © Bernard Schneider et Alain Beuret, 2003 à 2007

Copyright © Bernard Schneider et Alain Beuret, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007 La copie de ce document, quelle qu’en soit la forme et le support, n’est pas autorisée sans l’accord formel des auteurs. Par

ailleurs, ceux-ci ne prennent aucune responsabilité relative à des erreurs éventuelles du contenu, ni aux droits de reproduction de certaines des images utilisées.

Toutes propositions d’améliorations et de corrections seront les bienvenues.

HEIG-VD Électricité au service des machines

Copyright © Bernard Schneider et Alain Beuret, 2003 à 2007 3

Avant-propos Ce document est le support des cours d’électricité, enseigné aux étudiants ingénieurs de 1ère année

qui se destinent à la microtechnique-mécatronique (92 périodes) ou aux systèmes industriels (conception, microtechnique, ingénierie, génie thermique – 120 périodes). Un tiers de ces périodes est consacré aux exercices, dont les données sont fournies séparément et pour lesquelles un corrigé est disponible.

Ce cours est complété par des travaux de laboratoire (laboratoire d’électricité), répartis sur le 2ème se-mestre, à raison de 28 périodes. Les documents y-relatifs sont distribués séparément.

Tous les supports de cours distribués sont également disponibles sous forme de fichiers PDF sur le site http://www.iai.heig-vd.ch/cours.php (suivre les liens « Théorie des circuits linéaires (MI) », respective-ment « Électricité SI »).

Bien que ce support de cours soit distribué aux étudiants des deux filières, les cours se distinguent par l’importance accordée à chaque chapitre, comme suit :

Chapitre no Titre MI SI

1 Bases de l’électricité ~4 périodes ~10 périodes 2 Théorie des circuits linéaires ~16 périodes ~14 périodes 3 Alimentation des machines et installations ~24 périodes ~20 périodes 4 Actionneurs et moteurs électriques --- ~20 périodes 5 Inductance, condensateur, régime transitoire ~28 périodes ~18 périodes 6 Impédance et fonction de transfert ~20 périodes ~18 périodes 7 L’automatisation des machines --- ~12 périodes 8 Appareils de mesure et capteurs --- ---



(Cette page est laissée intentionnellement vide.)



Table des matières

Chapitre 1 Bases de l’électricité...............................................................9 1.1 L’électricité ... virtuelle ou réelle ? .........................................................................................9 1.2 Les emplois de l’électricité...................................................................................................10 1.3 Règles de notations et unités ..............................................................................................23 1.4 Grandeurs physiques de base de la mécanique .................................................................30 1.5 Grandeurs de base de l’électricité .......................................................................................44

Chapitre 2 Théorie des circuits linéaires...............................................61 2.1 Principes généraux..............................................................................................................61 2.2 Circuits électriques ..............................................................................................................67 2.3 Combinaisons simples de résistances.................................................................................72 2.4 Sources de tension et de courant........................................................................................83 2.5 Réduction des circuits .........................................................................................................90

Chapitre 3 Alimentation des machines et installations .......................95 3.1 Alimentations à tension continue.........................................................................................95 3.2 Alimentations à tension alternative....................................................................................101 3.3 Alimentations à tension alternative triphasée ....................................................................116 3.4 Les dangers de l’électricité ................................................................................................125 3.5 Conception de l’alimentation des machines ......................................................................137

Chapitre 4 Actionneurs et moteurs électriques..................................143 4.1 Le mouvement dans les machines ....................................................................................143 4.2 Les familles d’actionneurs .................................................................................................156 4.3 Bases de l’électromagnétisme...........................................................................................164 4.4 Moteur à courant continu et moteur « universel » .............................................................172 4.5 Moteur synchrone et servomoteur sans balais ..................................................................185 4.6 Moteur asynchrone............................................................................................................200 4.7 Moteur pas à pas...............................................................................................................209 4.8 Moteurs électriques spéciaux ............................................................................................216 4.9 Récapitulation....................................................................................................................223

Chapitre 5 Inductance, condensateur, régime transitoire .................225 5.1 Bases physiques et mathématiques..................................................................................225 5.2 Systèmes physiques en régime transitoire ........................................................................231 5.3 Inductance.........................................................................................................................242 5.4 Condensateur....................................................................................................................256 5.5 Modélisation R – C de la conduction thermique ................................................................271 5.6 Théorie des circuits en régime transitoire..........................................................................273

Chapitre 6 Impédance et fonction de transfert ...................................277 6.1 Bases mathématiques.......................................................................................................277 6.2 Représentation complexe des signaux sinusoïdaux..........................................................281



6.3 Impédance – loi d’Ohm généralisée ................................................................................ 284 6.4 Fonction de transfert et diagramme de Bode.................................................................... 292

Chapitre 7 L’automatisation des machines ........................................305 7.1 Modèles structurels........................................................................................................... 307 7.2 Modèles fonctionnels ........................................................................................................ 315 7.3 Automates programmables............................................................................................... 333

Chapitre 8 Appareils de mesure et capteurs ......................................347 8.1 Appareils de mesure......................................................................................................... 347 8.2 Généralités sur les capteurs de mesures ......................................................................... 354 8.3 Capteurs de position et de vitesse.................................................................................... 356 8.4 Capteurs de température.................................................................................................. 364 8.5 Capteurs de force, de pression et d’accélération.............................................................. 368 8.6 Capteurs de proximité....................................................................................................... 371 8.7 Capteurs de niveau........................................................................................................... 378 8.8 Capteurs de débit ............................................................................................................. 382 8.9 Capteurs chimiques et physiques ..................................................................................... 388

Chapitre 9 Annexes...............................................................................389 9.1 Alphabet grec ................................................................................................................... 389 9.2 Bibliographie et références ............................................................................................... 390



Index des tables Table 1.1 Unités de base et unités géométriques SI.....................................................................25

Table 1.2 Principales grandeurs et unités dérivées utilisées en électricité....................................26

Table 1.3 Préfixes multiplicateurs des unités SI............................................................................27

Table 1.4 Principales unités « hors norme » utilisées en électricité ..............................................28

Table 1.5 Principales unités anglo-saxonnes................................................................................29

Table 1.6 Tableau de comparaison électricité – hydraulique – conduction thermique ..................51

Table 1.7 Résistivité et coefficient de température de quelques matériaux ..................................54

Table 1.8 Convention de signe pour la puissance électrique ........................................................57

Table 1.9 Relations entre R, iR(t), uR(t) et PR(t) .............................................................................58

Table 3.1 Le jeu des racines de 2 et de 3 dans les alimentations triphasées .............................119

Table 3.2 Résistance électrique du corps humain (valeurs approximatives)...............................126

Table 3.3 Types de surcharges et moyens de protection............................................................131

Table 3.4 Les tensions normalisées CEI les plus utilisées..........................................................137

Table 3.5 Les tensions les plus utilisées en traction électrique...................................................138

Table 4.1 Vitesses synchrones en fonction de la fréquence et du nombre de pôles...................191

Table 4.2 Propriétés des moteurs pas à pas...............................................................................213

Table 4.3 Emploi des diverses technologies de moteurs électriques..........................................223

Table 5.1 Quelques valeurs de la fonction exponentielle décroissante.......................................230

Table 5.2 Permittivité relative de quelques matériaux.................................................................258

Table 5.3 Équivalence des grandeurs thermiques et électriques pour la modélisation ...............272

Table 5.4 Résumé des relations relatives aux résistances, inductances et condensateurs ........275

Table 6.1 Comparaison des résistance, inductance et condensateur en régime sinusoïdal .......288

Table 6.2 Diagramme de Bode de quelques fonctions de transfert simples ...............................296

Table 7.1 Repérage d’identification du matériel en électrotechnique..........................................313

Table 7.2 États possibles d’une variable binaire .........................................................................315

Table 7.3 Fonction NON .............................................................................................................316

Table 7.4 Fonction ET.................................................................................................................316

Table 7.5 Fonction OU................................................................................................................316

Table 7.6 Fonctions NON ET (NAND) et NON OU (NOR) ..........................................................318

Table 7.7 Fonction OU EXCLUSIF (XOR) ..................................................................................318

Table 7.8 Exemple de table de vérité – Fonction « majorité » ....................................................319

Table 7.9 Tables de Karnaugh pour 2, 3, respectivement 4 variables d’entrée ..........................320

Table 7.10 Exemple d’une table de Karnaugh – Fonction « majorité ».........................................321

Table 7.11 Exemple d’une table de Karnaugh avec 4 variables d’entrée......................................321



Table 7.12 Exemple de tableau d’état (non réduit) pour le vérin de la Figure 7.7 .........................325

Table 7.13 Exemple de tableau d’état réduit pour le vérin de la Figure 7.7...................................326

Table 7.14 Table de vérité – Fonction « bascule RS »..................................................................326

Table 7.15 Tables de Karnaugh pour une bascule RS..................................................................327

Table 7.16 Notation normalisée des variables dans les automates programmables.....................340

Table 7.17 Symboles graphiques des plans de contacts LD.........................................................343

Table 8.1 Types de thermocouples, matériaux utilisés et étendue de mesure............................366

Table 8.2 Types de capteurs de niveaux et résumé de leurs caractéristiques ............................378

Table 8.3 Types de capteurs de débit et résumé de leurs caractéristiques.................................382

Table 9.1 Alphabet grec ..............................................................................................................389



Chapitre 1

Bases de l’électricité

1.1 L’électricité ... virtuelle ou réelle ?

Beaucoup de traités d’électricité, comme [1], commencent à peu près par ces termes : « Afin de com-prendre la nature et l’origine de l’électricité, on doit examiner la structure même de la matière (…) des élec-trons et leur distribution à l’intérieur d’un corps. »

Toutefois, avant d’entrer dans ce monde de l’infiniment petit, focalisons-nous plutôt sur les manifesta-tions, les effets et l’utilisation de l’électricité, pour nous convaincre que quelque chose de bien réel et de bien utile se cache derrière ces virtual realities.

C’est probablement des coups de foudre et les incendies de forêt ainsi provoqués qui ont incité nos ancêtres à utiliser le feu pour améliorer leurs conditions de vie. L’électricité sous une forme plutôt effrayante est ainsi l’une des origines de notre évolution technologique. Bien sûr, ce n’est pas la seule : Les outils, la roue, voire les expérimentations agricoles et animales contribuèrent largement au développement de l’humanité.

L’évolution des techniques de production, de la révolution industrielle à nos jours, a vu le développe-ment simultané des connaissances et procédés mécaniques et électriques, puis informatiques. Ce dévelop-pement très imbriqué n’est pas le fruit du hasard. Il résulte de la nécessité de combiner ces différents savoir-faire pour assurer le succès des nouveaux produits. Les ingénieurs de la fin du XIXème siècle faisaient certai-nement de la mécatronique avant même que ce terme soit inventé.

Ce modèle d’approche multi technologique est également la clé des succès futurs. Il ne signifie pas que chaque ingénieur doive maîtriser toutes les technologies, bien au contraire. Si un mécanicien ne sou-haite pas faire le travail de l’électricien ou du vendeur, il sera bien avisé de comprendre suffisamment le travail des autres pour pouvoir échanger ses idées avec eux. Et réciproquement ! C’est grâce à la synergie que les plus beaux succès techniques et commerciaux deviennent possibles. D’où la première formule de ce cours : Formule 1.1 solidaireéquipeoù,si =∈>+ EE1211



1.2 Les emplois de l’électricité

1.2.1 L’électricité pour le transport d’énergie

L’électricité représente une forme intermédiaire d’énergie très intéressante par sa facilité de transport et de distribution, ceci aussi bien à l’échelle d’un continent qu’à l’intérieur des appareils. Elle est produite presque à 100% dans des centrales, par une conversion mécanique électrique au moyen d’alternateurs. L’énergie mécanique provient :

• des turbines hydrauliques ou d’éoliennes, elles-mêmes entraînées par des chutes d’eau ou par le vent (énergies mécaniques).

• des turbines à vapeur ou à gaz, l’énergie thermique étant produite à partir d’énergie chimique (combustion de mazout, de gaz, de bois ou de déchets ménagers) ou d’énergie nucléaire (fis-sion d’uranium).

L’électricité est distribuée à l’échelle continentale par un réseau extrêmement dense de lignes aérien-nes et de câbles souterrains jusque vers les consommateurs. Dans les bâtiments, elle est distribuée plus finement encore vers les différents appareils et machines. Au moment de sa consommation, l’énergie élec-trique est reconvertie en énergie mécanique, thermique, lumineuse ou chimique, ceci pour répondre à cha-que besoin.

Figure 1.1 De la centrale aux clients, l’électricité sert au transport de l’énergie

(sources : AES – www.strom.ch)



Le principal inconvénient de l’énergie électrique est qu’elle ne peut pas être stockée directement en grandes quantités. L’énergie produite doit être immédiatement consommée. Plus exactement, les produc-teurs d’électricité mettent à disposition exactement la quantité d’énergie électrique nécessaire pour satisfaire la consommation à chaque instant.

Dans les machines et installation, l’énergie est essentiellement utilisée sous ses formes électriques, mécaniques et thermiques. L’électricité est utilisée pour l’alimentation générale de la machine, de ses appa-reils de commande et de ses moteurs. Ceux-ci entraînent à leur tour toutes les parties mobiles, que ce soit pour déplacer, usiner ou façonner le produit. Pratiquement toute cette énergie est finalement transformée en chaleur par le jeu des frottements, et donc dissipée dans l’environnement.

L’électricité est parfois utilisée indirectement pour entraîner des compresseurs d’air et des pompes à huile, les mouvements étant alors réalisés à l’aide de systèmes pneumatiques et hydraulique. Elle peut aussi être convertie directement en chaleur au niveau du processus de production, comme par exemple dans les fours, en soudure électrique et en électroérosion. Dans certains processus comme l’électrolyse, elle pourra même être convertie directement en énergie chimique.

1.2.2 La production d’électricité

Toute conversion d’énergie est régie par le principe de la conservation de l’énergie : Dans un système donné, l’énergie totale reste constante. L’énergie peut prendre différentes formes. La conversion d’une forme en une autre est réalisée par différents processus naturels ou artificiels. Presque tous les processus de conversion d’énergie ont un rendement limité. Cela signifie que seule une partie de l’énergie fournie et convertie en énergie utile, la différence étant dissipée sous forme de chaleur, c'est-à-dire d’énergie thermi-que.

Energie chimique

Energie nucléaire

Energie thermique

Energie mécanique

Energie électrique

Energie lumineuse

fusion, fission

turbine, moteur à explosion alternateur

moteur électrique

pile, accumulateur

électrolyse

combustion

photosynthèse

effet Joule

frottements, compression

éclairage

thermocouple

réaction chimique cellule solaire

BSR20040810_A.des Figure 1.2 L’énergie sous toutes ses formes et leurs processus de conversion



L’énergie électrique est produite à partir de diverses formes d’énergie primaire, comme le montre la fi-gure ci-dessous décrivant la situation en Suisse.

Figure 1.3 Production d’électricité en Suisse en 2005, par types de centrales

(source : AES – www.strom.ch)

1.2.2.1 Centrales hydrauliques à accumulation

L’eau de pluie et de fonte des neiges, retenue derrière un barrage, est acheminée par une conduite forcée jusqu’à des turbines hydrauliques qui entraînent des alternateurs. Une telle centrale convertit ainsi l’énergie mécanique en énergie électrique.

Figure 1.4 Centrale hydraulique à accumulation

Ex. : La Grande Dixence (800 MW, augmentation à 2'000 MW en cours) (sources : AES – www.strom.ch et Grande Dixence SA - www.grande-dixence.ch)



Comme nous le verrons plus loin dans ce chapitre, l’énergie produite est proportionnelle à la quantité d’eau turbinée et à la hauteur de chute. Ce type de centrales est caractérisé par une hauteur de chute impor-tante (jusqu’à ~1'400 m à la Grande Dixence), alors que le débit reste relativement faible.

Ces centrales ont un excellent rendement (~90%) et ne produisent aucun déchets. Elles sont en me-sure de fournir au bon moment la quantité exacte d’énergie électrique correspondant à la demande. Certai-nes sont équipées de pompes pour remplir le barrage lorsqu’il y a de l’électricité excédentaire (la nuit), afin de mieux couvrir les besoins du lendemain.

Si nous tenons compte du fait que l’énergie première provient du cycle naturel de l’eau (pluie, cours d’eau, mer, évaporation) et ne coûte donc rien, ces centrales sont considérées comme idéales. Par contre, elles ne peuvent être construite qu’en montagne, loin des centres de consommation, à condition qu’il y ait assez d’eau, et en dégradant considérablement le paysage. Dans les Alpes, tous les sites possibles sont pratiquement équipés.

1.2.2.2 Centrales hydrauliques au fil de l’eau

Ces centrales sont assez similaires aux centrales à accumulation, sauf qu’elles sont établies sur le parcours des cours d’eau. Un barrage de faible hauteur retient l’eau en amont, et la contraint à s’écouler dans les turbines. Le volume de retenue est faible alors que le débit est élevé. Ces centrales ont également un excellent rendement (~90%).

Figure 1.5 Centrale hydraulique de Verbois, GE (100 MW)

(Source : Services industriels de Genève – www.sig-ge.ch) Microcentrale hydraulique de Mühlbach, Grison (68 kW) (Sources : Office Fédéral de l’Énergie / Liesch Ingenieure AG – www.liesch.ch)

L’énergie primaire est la même que pour les centrales à accumulation, et ne coûte donc rien. L’impact sur le paysage est moindre et les sites favorables sont généralement moins éloignés des centres de consommation. Par contre, elles produisent uniquement en fonction du débit d’eau disponible, sans aucune possibilité de stockage.

Jusqu’à ces derniers temps, et pour des raisons économiques, seuls des cours d’eau relativement im-portants méritaient d’être équipés. Les considérations écologiques prenant cependant plus d’importance, de plus en plus de petits cours d’eau sont maintenant équipés de microcentrales.



1.2.2.3 Centrales thermoélectriques à énergie fossile

Une chaudière à charbon, à mazout ou à gaz chauffe et vaporise de l’eau. Cette vapeur actionne une turbine. Elle est ensuite refroidie pour être transformée à nouveau en eau, qui est alors pressurisée et réin-troduite dans la chaudière. La turbine entraîne un turboalternateur.

Figure 1.6 Centrale thermoélectrique à mazout ou à gaz

Ex. : Centrale de Korneuburg (Autriche), 270 MW ; au lieu d’une tour de refroidis-sement, cette centrale chauffe les eaux du Danube tout proche (sources : AES – www.strom.ch et Verbund - www1.verbund.at)

Ces centrales convertissent par combustion l’énergie chimique en énergie thermique, qui est ensuite convertie en énergie mécanique, et finalement en énergie électrique. Il faut relever que seule une partie de l’énergie thermique est transformée en énergie mécanique, à cause d’une loi incontournable de la physique (principe de Carnot). Le solde de l’énergie est dissipé dans l’environnement, en chauffant soit l’eau d’un cours d’eau, soit l’atmosphère au travers d’une tour de refroidissement.

De ce fait, le rendement de ces centrales ne dépasse guère 40% environ. Par exemple, pour produire 270 MW d’énergie électrique, la centrale de Korneuburg en Autriche doit consommer l’équivalent de 670 MW d’énergie fossile, la différence (400 MW) étant dissipée dans les eaux du Danube tout proche.

Ces centrales existent en grande quantité dans presque tous les pays du monde. Leur technologie est bien maîtrisée et présente peu de risque. Elles sont construites à proximité des centres urbains et industriels. Toutefois, la combustion dégage énormément de gaz à effet de serre (CO, CO2). De plus, l’épuisement des gisements de pétrole et de gaz naturel est programmé pour ces 50 prochaines années, voire avant. Seul le charbon bénéficie de réserves un peu plus longues, mais sa combustion dégage encore plus de gaz nocifs.



1.2.2.4 Centrales nucléaires

Les centrales nucléaires fonctionnent selon le même principe que celles à énergie fossile, sauf que la chaleur n’est pas produite par la combustion de carburants fossiles, mais par un réacteur nucléaire. Celui-ci réalise la fusion contrôlée de l’uranium, plus exactement des quelques 2,5% d’entre eux qui répondent à l’appellation isotope U235.

Le principe est le suivant : Lorsqu’un neutron frappe un atome d’U235, celui-ci se partage en 2 atomes plus légers appelés produits de fission, tout en éjectant 2 à 3 neutrons et en dégageant de l’énergie ther-mique. Après ralentissement par des modérateurs, chaque neutron peut faire éclater un autre atome d’U235, ce qui crée un effet de réaction en chaîne. Des barres de réglages absorbent des neutrons et en réduisent le nombre de manière à éviter l’effet d’emballement qui produirait la destruction du réacteur.

Figure 1.7 Centrale thermonucléaire – Exemple : Gösgen (1'020 MW)

(source : AES – www.strom.ch)

A cause des radiations et des prescriptions de sécurité, la température de la vapeur produite dans une telle centrale ne peut être aussi élevée que dans une centrale thermique conventionnelle. Pour cette raison, le rendement est encore plus bas, et ne dépasse pas 33% environ.

A première vue, ces centrales paraissent idéales : Quelques tonnes d’uranium assurent la production pendant toute une année. Cette matière première ne souffre pas des mêmes aléas d’approvisionnement que le pétrole ou le gaz naturel, et son utilisation ne produit aucun gaz à effet de serre.

Toutefois, les centrales nucléaires sont très insatisfaisantes sur un plan écologique, car elles produi-sent des déchets radioactifs à très longue durée de vie, dangereux et impossibles à éliminer. Les dégâts causés par une panne majeure peuvent s’étendre à l’échelle continentale (accident de Tchernobyl, 1986) et coûter la vie de milliers de personnes.



1.2.2.5 Centrales combinées chaleur force

Dans les centrales thermiques nucléaires et conventionnelles, l’énergie dissipée dans l’environnement peut être utilisée pour chauffer des bâtiments, produire de l’eau chaude sanitaire, et fournir la chaleur néces-saire à certains processus industriels. Idéalement, si toute cette chaleur résiduelle pouvait être exploitée, on se rapprocherait d’un rendement de 100%.

Cette idée est à la base du couplage chaleur force : Dans une telle centrale, le carburant est brûlé dans une turbine ou un moteur pour produire simultanément de la chaleur et de l’électricité.

Ce principe est utilisé dans certaines centrales thermonucléaires, mais également dans des installa-tions conventionnelles plus petites : usines d’incinération des ordures, stations d’épuration des eaux. La chaleur produite est distribuée par un réseau de chauffage à distance. Il est même possible d’équiper un petit immeuble d’un tel système.

Figure 1.8 Centrale à coulage chaleur force

Ex. : Usine d’incinération Tridel à Lausanne (sources : AES – www.strom.ch / Architecture et urbanisme SA – www.architram.ch)

Même si ces centrales produisent tout autant de déchets nucléaires ou de gaz à effet de serre, il s’en construit beaucoup actuellement, ne serait-ce que parce qu’ainsi, les carburants sont mieux utilisés.



1.2.2.6 Éoliennes

La production d’électricité par éolienne est très récente. Une éolienne consiste en une hélice orienta-ble entraînée par le vent, couplée à un alternateur. Son rendement est bon, mais la puissance fournie est relativement faible. Pour fixer un ordre de grandeur, il faut environ 1'000 éoliennes pour remplacer une cen-trale nucléaire de 1'000 MW.

Figure 1.9 Sites favorables en Europe (rouge, violet : >5 m/s – 250 W/m2)

(Source : Risø National Laboratory, Danemark – www.risoe.dk) Une des éoliennes de la centrale du Mont-Crosin, Jura Bernois ( 0,6 MW) (Source : AES – www.strom.ch ; www.juvent.ch)

Comme pour l’exploitation de l’énergie hydraulique, l’énergie primaire ne coûte rien du tout, et ces équipements ne produisent aucun déchet.

Le Danemark et l’Allemagne se sont très fortement engagés dans cette voie, et disposent d’une puis-sance totale de ~25'000 MW d’origine éolienne, soit la presque totalité de la puissance électrique ainsi pro-duite au monde.

La production d’une éolienne dépend uniquement du vent, et celui-ci ne souffle pas toujours, ni par-tout. C’est là son principal inconvénient. Certains reprochent de plus l’impact visuel sur les paysages. C’est pourquoi des éoliennes sont maintenant installées off-shore, où les vents sont plus réguliers et l’impact vi-suel moins gênant, mais aussi où l’environnement salin pose d’énormes problèmes de corrosion, et diminue fortement la durée de vie de ces installations.



1.2.2.7 Production d’électricité à partir de l’énergie solaire

La transformation de l’énergie lumineuse en énergie électrique se fait directement à l’aide de cellules photoélectriques, sans passer par la forme mécanique de l’énergie. Ces cellules sont fabriquées à base de semi conducteurs. Leur fonctionnement sera brièvement abordé à la fin de ce cours.

Figure 1.10 Centrale solaire de Mont-Soleil, Jura Bernois (0,5 MW)

(source : AES – www.strom.ch; www.bkw-fmb.ch)

Leur rendement est actuellement encore faible (~20%), ce qui fait qu’une grande partie de l’énergie lumineuse est transformée en énergie thermique. Ce n’est pas gênant sur le plan écologique car, en l’absence de cellule, l’énergie lumineuse est absorbée intégralement par le sol. Le fait d'intercaler une cellule ne fait que diminuer légèrement l’énergie thermique ainsi reçue par l’environnement, la différence étant four-nie sous forme d’énergie électrique.

En fait, la puissance d’une telle installation dépend directement de l’énergie lumineuse fournie par le soleil. A la latitude de la Suisse, elle est de ~400 W / m2, pour autant que le ciel soit dégagée, et de jour bien sûr.

1.2.2.8 Comparaison avec les autres formes d’énergie consommées

L’électricité ne représente que 20% environ de l’énergie totale consommée. Pour beaucoup d’autres utilisations, il est plus facile, voire plus économique d’utiliser directement du carburant ou du gaz (énergie chimique) :

• Pour les transports, les carburants restent les plus utilisés, essentiellement à cause de leur faci-lité de stockage.

• Pour le chauffage des bâtiments, le mazout et le gaz sont brûlés directement, ce qui assure un bon rendement énergétique.



Figure 1.11 Flux énergétique détaillé de la Suisse en 2005 (en TJ)

(source : Office fédéral de l’énergie - http://www.energie-schweiz.ch)



1.2.2.9 Évolution de la consommation d’énergie

La consommation d’énergie augmente constamment, en Suisse comme partout ailleurs. La maîtrise de cette consommation grâce à des mesures d’économies et d’amélioration des rendements constitue pro-bablement l’un des défis technologiques et politiques majeurs de notre début de siècle.

Figure 1.12 Consommation finale 1910–2005 par agents énergétiques

(source : Office fédéral de l’énergie - http://www.energie-schweiz.ch)



1.2.3 L’électricité comme vecteur d’informations

Bien que moins significatif en termes énergétiques, mais tout aussi important sur le plan technologi-que, l’électricité a trouvé un emploi essentiel pour la transmission et le traitement de l’information.

Le télégraphe a été inventé par Samuel Morse en 1837. Le téléphone l’a été par Alexander-Graham Bell en 1876. L’emploi de l’électricité pour le transport du son, des images et des données informatiques a explosé depuis.

Figure 1.13 1876 : Alexander-Graham Bell dépose son brevet du 1er téléphone

(source : About, Inc., USA - http://inventors.about.com)

Il semblerait qu’un ingénieur nommé Ernest Stackler soit le premier qui ait documenté un relais élec-tromécanique, utilisé dès 1875 pour faire fonctionner les cloches d’annonce dans les gares et les passages à niveau du Chemin de Fer d’Orléans.



Figure 1.14 Dessin de 1875 : Le relais Stackler utilisé sur le Chemin de Fer d’Orléans

(source : René PEYNICHOUT, http://perso.wanadoo.fr/peynichout.rene/clochesc.htm)

Utilisé pour l’enclenchement et le déclenchement de moteurs, puis interconnectés pour créer des lo-giques à relais, il fut le composant indispensable de l’automatisation et du traitement de l’information, avant que des technologies à tubes, puis à semi-conducteurs permettent d’augmenter la complexité des systèmes. Ces technologies permirent également de réaliser les amplificateurs indispensables à tous les systèmes de mesure.

Ce n’est qu’avec l’apparition du premier microprocesseur de la société Intel en 1971 que les logiques à relais furent progressivement remplacées par des logiques programmées.

Caractéristiques techniques du processeur Intel 4004 : Processeur 4 bits tournant à 108 kHz. Permet d'adresser 640 octets de mémoire 60’000 instructions par seconde 2’300 transis-tors en technologie 10 micron

Prix : 200 US $

Figure 1.15 Photo de 1972 : Le premier microprocesseur conçu par Marcian Hoff (source : Histoire de l’informatique, Serge Rossi, http://histoire.info.online.fr/hard.html)

Sur les machines, l’électricité est ainsi utilisée pour transporter et traiter l’information des nombreux capteurs de mesure, informer l’opérateur de l’état machine et lui permettre de décider des actions à entre-prendre, de commander les divers processus à l’aide d’électrovannes pneumatiques ou hydrauliques et de moteurs électriques, d’informer le gestionnaire de production des travaux en cours, de mémoriser la qualité de chaque pièce produite pour en informer l’utilisateur, etc., etc., etc.

Les systèmes de commande et de réglage ne font pas toujours appel aux techniques électriques. On trouve également des dispositifs fonctionnant sur des principes mécaniques, pneumatiques, hydrauliques, thermiques, etc. Toutefois, l’évolution de ce que l’on appelle l’électronique industrielle et l’apparition des microprocesseurs permettent désormais la commande et la surveillance de la production industrielle à l’aide d’équipements de faible volume, de grande longévité, et de coût peu élevé.

L’automatisation et le traitement d’information permettent d’améliorer le fonctionnement et le rende-ment des machines, c’est-à-dire produire plus en ménageant l’environnement et en consommant moins d’énergie. Un exemple significatif est fourni par l’évolution des moteurs d’automobiles, où l’injection électro-nique a permis une réduction significative des polluants dans les gaz d’échappement tout en réduisant la consommation.



1.3 Règles de notations et unités

1.3.1 Représentation des valeurs

1.3.1.1 Nombre de chiffres significatifs

Le mathématicien et le physicien expriment souvent les nombres sous leur forme réelle. Pour la com-préhension des phénomènes, ils doivent garder en vue la valeur exacte issue de lois physiques ou géomé-triques. Ils écriront donc π et 2 .

De son côté, l’ingénieur n’utilise cette forme que pour expliquer et analyser les phénomènes. Il expri-mera le résultat plutôt sous la forme décimale, parce qu’il sait que sa précision n’est jamais infinie, et que cette valeur sera directement utilisée pour la fabrication ou le choix du composant.

Dans sa démarche, il aura fait des hypothèses simplificatrices et des estimations, et utilisera plusieurs paramètres issus de mesures, donc entachés d’une marge d’incertitude. Ainsi, il se contentera le plus sou-vent de 2 à 4 chiffres significatifs, sachant que l’ajout inutile de décimale ne fournira qu’une illusion de préci-sion. Cela correspond à une précision comprise entre 10% et 0,1%. Il écrira donc :

• pour la circonférence d’un cercle de rayon 1 m : c = 6,28 m (et non pas 2π m)

• pour la diagonale d’un carré de côté 1 cm : d = 1,41 cm (et non pas 2 cm)

• pour une distance : 324,5 mm (et non pas 324,5136 mm)

1.3.1.2 La virgule

La séparation entre les parties entière et décimale d’un nombre est marquée par une virgule. Par exemple, le rapport de la circonférence au rayon d’un cercle vaut approximativement 3,14.

Dans la littérature anglo-saxonne et dans plusieurs logiciels, c’est le point qui est utilisé. On retrouve le même usage même chez nous, pour les unités monétaires. Ainsi, un ingénieur anglais écrira π = 3.14, et un grand magasin européen fixera un prix à 49.95 €.

1.3.1.3 L’apostrophe

En français, il est d’usage de séparer les milliers par une apostrophe ou par un espace afin de faciliter la lecture des grands nombres. Par exemple, la vitesse de la lumière dans le vide vaut ~300'000 km/s ou ~300 000 km/s.

A nouveau, les anglo-saxons écrivent de manière différente et utilisent la virgule à cet effet. Ainsi par exemple, ils écriront 300,000 km/s. Attention donc aux confusions !



1.3.1.4 Les exposants

En électricité comme dans toutes les disciplines scientifiques, on rencontre des grandeurs dont la va-leur varie entre des limites énormes. On doit, par exemple, pouvoir mesurer des masses infinitésimales comme celle d’un atome, ou gigantesques comme celle des corps célestes. Le rapport entre la plus grosse et la plus petite valeur est tellement considérable, qu’il a fallu trouver un moyen simple pour l’exprimer. Un courant électrique de 1 ampère correspond au passage de 6'240'000'000'000'000'000 électrons par se-conde. Comment exprimer simplement des chiffres aussi grands ? On utilise les puissances de 10.

Par exemple, les expressions 10-3 et 103 correspondent respectivement aux nombres 0,001 et 1’000. Les nombres -3 et 3 en position supérieure derrière le nombre 10 sont les exposants. De cette manière, on peut écrire qu’un courant électrique de 1 ampère correspond au passage de 6,24 x 1018 électrons par se-conde, ce qui est plus simple à écrire et moins sujet à erreur.

Même s’il est mathématiquement correct d’utiliser n’importe quel nombre entier comme exposant, les ingénieurs se limitent à des valeurs multiples de 3, car cela facilite les calculs et les simplifications. Ils écri-ront 32,8 · 103 (et non pas 3,28 · 104).

1.3.1.5 Utilisation des symboles « + » et « - »

En arithmétique, on utilise les symboles « + » et « - » pour décrire les opérations d’addition et de soustraction, ou pour différencier les nombres positifs et négatifs. En électricité comme en mécanique, on étend leur signification pour indiquer le sens d’une force, d’un courant électrique, d’une vitesse, d’une puis-sance, etc., par rapport à une direction de référence choisie.

EXEMPLE : Si la vitesse d’une perceuse passe de +1'000 r/min à –400 r/min, cela indique que son sens de rotation change. Si

l’on définit le sens de référence positif comme étant celui des aiguilles d’une montre, lorsque la perceuse est vue depuis le foret, l’indication –400 r/min est parfaitement définie. En l’espèce, le foret tourne dans le bon sens pour percer un trou.

Le signe est également utilisé pour exprimer une valeur relativement à une référence ou « point zé-ro ». Par exemple, la température est généralement exprimée en degrés Celsius, 0 ˚C correspondant à la température de la glace fondante. Une température de 70 ˚C est ainsi plus chaude que celle de la glace fondante, alors qu’une température de -70 ˚C est plus froide.



1.3.2 Les unités SI de base

L’étude quantitative des formules obtenues par le physicien ou l’ingénieur suppose l’emploi d’un sys-tème cohérent d’unités. Le système international d’unités – en abrégé SI – est le système universellement adopté dans le domaine de l’électricité. Il repose sur sept unités de base et deux unités géométriques sup-plémentaires présentées dans la table suivante.

Grandeurs Unités SI Remarque Nom Symbole Nom Symbole

longueur l, d x, y, ...

mètre m

masse m kilogramme kg à ne pas confondre avec le poids temps t seconde s intensité de courant électrique

I, i ampère A

température thermo-dynamique

T kelvin K

quantité de matière n mole mol intensité lumineuse Iv candela cd angle plan α, β, γ, … radian rad 2π [rad] = 1 tour complet angle solide Ω stéradian sr 4π [rad] = tout l’espace »

Table 1.1 Unités de base et unités géométriques SI

1.3.3 Les unités SI dérivées

Toutes les autres unités sont dérivées de ces unités de base, sur la base de lois naturelles et de rela-tions géométriques. Une liste des principales grandeurs et unités dérivées utilisées en électricité est donnée dans la table suivante.

Grandeurs Unités SI dérivées Relations entre unités Nom Symbole Nom Symbole

force F newton N 1 N = 1 kg⋅m/s2 = 1 W⋅s/m couple (moment d’une force)

M, T (NOTE)

newton-mètre Nm

énergie, travail E, W joule J 1 J = 1 N⋅m = 1 W⋅s puissance (puissance active)

P watt W 1 W = 1 J/s = 1 V⋅A

puissance réactive Q voltampère réactif var 1 var = 1 V⋅A



Grandeurs Unités SI dérivées Relations entre unités Nom Symbole Nom Symbole

puissance apparente S voltampère VA 1 VA = 1 V⋅A pression p pascal Pa 1 Pa = 1 N/m2 charge électrique Q coulomb C 1 C = 1 A⋅s tension, différence de potentiel

U, u volt V 1 V = 1 W/A = 1 J/C

résistance électrique R ohm Ω 1 Ω = 1 V/A capacité électrique C farad F 1 F = 1 C/V = 1 A⋅s/V inductance L henry H 1 H = 1 Wb/A = 1 V⋅s/A fréquence f hertz Hz 1 Hz = 1 s-1 pulsation ω radian / seconde rad⋅s-1 ω = 2π·f flux magnétique Φ weber Wb 1 Wb = 1 V⋅s induction magnétique B tesla T 1 T = 1 Wb/m2

champ magnétique H ampère / mètre A/m champ électrique E volt / mètre V/m

Table 1.2 Principales grandeurs et unités dérivées utilisées en électricité

NOTE : Le couple, appelé aussi « moment d’une force », est désigné par la lettre M dans la littérature allemande, et par la lettre T dans la littérature anglo-saxonne. Dans ce cours, nous utilisons exclusivement la lettre M, en accord avec les enseignants des autres cours de mécanique.

Il est important de relever que dans le système SI, les relations entre unités font toujours intervenir le chiffre 1. Cette systématique simplifie les relations entre les différentes unités. Ainsi, un chauffage de 1'000 watt consommera 1’000 joule chaque seconde.

D’autres unités plus anciennes ne présentent pas le même avantage. Par exemple, un moteur dont la puissance est de 1 « cheval-vapeur » fournira 735 joule chaque seconde.

1.3.4 Les préfixes

La distance d’Yverdon à Lausanne est de 37’200 m, que l’on peut écrire aussi 37,2 x 103 m. La grande trouvaille du système métrique proposé lors de la révolution française fut d’appondre des préfixe aux unités, correspondant à des multiples et sous-multiples en base 10 de l’unité.

Ainsi, la distance ci-dessus s’exprimera en kilomètre, abrégé « km ». Ce préfixe correspond à une multiplication par 1’000, et on dira que cette distance est de 37,2 km.

De la même manière, pour une mine d’un crayon dont le diamètre mesure 0,002 m ou 2 · 10-3 m, on utilisera plutôt un sous-multiple du mètre, soit le millimètre, abrégé « mm », correspondant à un sous-multiple de 1’000, et ce diamètre vaut ainsi 2 mm.



Il en va de même et de manière systématique pour toutes les unités SI, et pour des rapports beau-coup plus importants. Pour former les noms et les symboles des multiples et sous-multiples décimaux des unités SI, on utilise les préfixes donnés à la table suivante.

Facteur Préfixe Exemple Nom Symbole

1012 téra T 1 TJ = 1012 J 109 giga G 1 GHz = 109 Hz 106 méga M 1 MW = 106 W 103 kilo k 1 kΩ = 103 Ω 102 hecto h 1 hm = 100 m 10-1 déci d 1 dl = 0,1 l 10-2 centi c 1 cm = 0,01 m 10-3 milli m 1 mA = 10-3 A 10-6 micro μ 1 μH = 10-6 H

1 μm = 1 μ (1 micron) 10-9 nano n 1 ns = 10-9 s 10-12 pico p 1 pF = 10-12 F

Table 1.3 Préfixes multiplicateurs des unités SI

1.3.5 Règles d’écriture des unités

L’utilisation des unités dans les textes techniques est régie par des règles orthographiques très stric-tes, définies par l’ISO (Organisation internationale de normalisation, en anglais International Organization for Standardization), en particulier dans le choix majuscule / minuscule, de la ponctuation et du pluriel :

• Les symboles ne sont pas suivis du point habituel des abréviations en langue française. On écrira ainsi : « la distance d vaut 12 m ».

• Lorsque son nom est écrit en toutes lettres, l’unité reste invariable. On écrira ainsi : « Ce moteur a une puissance de 850 watt », donc sans le « s » du pluriel. Toutefois, dans les textes moins techniques, la règle de grammaire française reprend le des-sus : « Ce bateau mesure 12 mètres », avec le « s » final.



1.3.6 Unités techniques « hors norme »

Certaines unités antérieures au système SI sont toujours en usage, souvent parce par habitude, par-fois parce que l’équivalent SI n’est pas aussi « pratique ».

Grandeurs Unité Relations entre unités Nom Symbole

ångström Å 1 Å = 0,1 nm = 0,1 · 10-9 m mille nautique 1 mille nautique = 1'852 m

distance

année-lumière a.l. 1 a.l. = 9,46 · 1015 m volume litre lt 1 lt = 1 dm3 = 0,001 m3

degré ˚ 1 tour = 360 ˚ = 6,28 rad minute ’ 1 ˚ = 60’

angle

seconde ” 60 ” =1’ minute min 1 min = 60 s heure h 1 h = 60 min = 3’600 s

temps

jour j 1 j = 24 h kilomètre à l’heure km/h 1 m/s = 3,6 km/h vitesse nœud 1 nœud = 1 mille nautique/h

= 1,852 km/h = 0,5144 m/s vitesse angulaire

tour par minute t/min r/min rpm

1 s-1 = 1 tour/s = 60 t/min

rad/st/min 31430

000'3≈

⋅ π

masse tonne t 1 t = 1'000 kg force kilo ponde kp 1 kp = 9,81 N

c’est le poids d’une masse de 1 kg sur terre calorie cal 1 cal = 4,1868 J chauffe 1 g d’eau de 1 ˚C grande calorie Cal 1 Cal = 1 kcal= 1'000 cal

énergie

kilowattheure kWh 1 kWh = 3,6 · 106 J puissance cheval vapeur CV 1 CV = 735 W

bar bar 1 bar = 100'000 Pa = 1 hPa kilo par cm carré kp/cm2 1 kg/cm2 = 9,81 N/cm2 = 98'100 Pa = ~1 hPa

pression

atmosphère atm 1 atm = 1,03 kp/cm2 = 1,01325 hPa = ~1 hPa température degré Celsius ˚C différence de température : 1 ˚C = 1 K

référence : 0 ˚C = 273,16 ˚K

Table 1.4 Principales unités « hors norme » utilisées en électricité



1.3.7 Unités anglo-saxonnes

Même les milieux scientifiques anglo-saxons ont une grande peine à utiliser le système SI, et utilisent toujours les unités britanniques, voire des unités spécifiquement américaines. Elles se distinguent par le fait que les unités de longueur, de masse, et bien d’autres sont basées sur les multiples 12, 16 et bien d’autres. Par exemple, 1 mille équivaut à 5’280 pied ; 3 pieds équivalent à 12 pouces.

Le métier d’ingénieur étant souvent très international, il convient de connaître au moins l’existence des unités du tableau suivant :

Grandeurs Nom de l’unité Relations entre unités en français in English Symbole

mil mil 1 mil = 0,001” = 25,4 μm pouce inch ”

in 1” = 25,4 mm

pied foot ’ ft

1’ = 12” = 30,48 cm

mille (statute) mile 1 mile =5’280’ = 1’609,3 m

longueur

mille marin (nautical) mile 1 mile =1’852 m gallon impérial imperial gallon 1 UK gal = 4,546 dm3 volume gallon US US gallon 1 US gal = 3,79 dm3

once ounce oz 1 oz = 28,35 g livre pound lb 1 lb = 16 oz = 0,4536 kg

masse

ton ton 1 ton = 2’240 lb = 1’016,1 kg

pression livre / pouce2 pound / square inch lb/in2 psi

lb/in2 = 70,3 g/cm2 = 6,8948 kPa

énergie British thermal unit BTU 1 BTU = 252 kJ livre-pouce pound-inch lb-in 1 lb-in = 0,113 Nm couple (NOTE) livre-pied pound-foot lb-ft 1 lb-ft = 1,35582 Nm

puissance cheval horsepower hp 1 hp = 42,41 BTU/min = 745,7 W

température degré Fahrenheit Fahrenheit ˚F 1 ˚F = 5/9 ˚C= ~0,56 ˚C 0 ... 100 ˚C correspond à 32 ... 212 ˚F

Table 1.5 Principales unités anglo-saxonnes

NOTE : Lors de la conversion du couple, il y a lieu de tenir compte de l’accélération terrestre g = 9,8065 m/s2, car la livre est une unité de masse et non de force. Ainsi, 1 lb-ft = 0,13831 kgp⋅m.



1.4 Grandeurs physiques de base de la mécanique

1.4.1 Position, vitesse et accélération linéaires

1.4.1.1 Position relative et distance absolue

Tout déplacement d’un organe de machine est défini en premier lieu par une notion de distance, ou plus exactement de position. On distingue :

• la position absolue : un objet se déplace pour atteindre par exemple la cote +527,32 mm, ce qui signifie qu’il se trouvera alors à 527,32 mm du zéro de référence, dans le sens positif. La position absolue -159,28 mm se trouverait de l’autre côté relativement au zéro de référence.

• la position relative : un objet se déplace par exemple de +15,78 mm, ce qui signifie qu’il se déplace d’une distance de 15,78 mm dans le sens de référence positif. Une position relative de -9,13 mm correspondrait à un déplacement dans le sens inverse.

1.4.1.2 Vitesse

Dès lors que l’on s’intéresse à la productivité d’une machine, il devient essentiel de compléter l’information de distance par celle du temps nécessaire pour la parcourir.

DÉFINITION 1.1 : La vitesse v d’un corps mobile est le rapport entre une distance et le laps de temps nécessaire pour parcourir cette distance.

La vitesse exprime ainsi la rapidité à laquelle un corps se déplace. Dans le système d’unités SI, elle s’exprime en mètres par seconde [m/s].

Formule 1.2 ][][][ m/s

sm

=ΔΔ

=txv



EXEMPLE Un coureur de 100 mètres est en pleine course. Relevons sa position à chaque instant après le coup de feu du dé-

part. Ces mesures de position correspondent par exemple à la courbe représentée dans la figure ci-dessous.

Ainsi, si le coureur se trouve à 63,8 m du départ après 10,4 s, puis à 90 m après 13,8 s, il aura parcouru 26,2 m en 3,4 s, et sa vitesse moyenne vaudra 7,7 m/s :

( )( ) m/s

sm

sm 7,7

4,32,26

4,108,138,6390

==−

−=ACv

On remarque sur le graphique ci-dessous que vAC correspond à la pente de la droite qui joint les 2 points A et C.

t [s]

d [m]

0

20

40

60

80

100

0 2 4 6 8 10 12 14

63,8

70,8

90

10,4 12,3 13,8

BSR20050807_A.des

A B

C

Figure 1.16 Relevé de la position d’un coureur de 100 m au cours du temps

Si l’on peut diminuer le laps de temps séparant les 2 mesures, on mesurera peut-être que le coureur se trouvait à 70,8 m du départ après 12,3 s. Dans ce cas, on peut calculer une nouvelle valeur moyenne de vitesse :

( )( ) m/s,

s,m,

s,,m,, 73

9107

410312863870vAB ==

−−

=

Cette valeur correspond à la pente de la droite AB. On constate que l’on n’obtient pas la même vitesse, et que les deux droites n’ont pas la même pente.

Ce phénomène s’explique par le fait que le coureur ne court pas toujours à la même vitesse. Intuitivement, on se rend bien compte que lorsqu’il pose un pied et se propulse, il augmente légèrement sa vitesse, alors que lorsqu’il a fini cette détente et se trouve les deux pieds en l’air, il ralentit légèrement. De plus, il modulera sa vitesse en fonction de celle de ses concurrents et de sa stratégie de course.

Comment faire alors pour exprimer la vitesse du coureur 12,3 s après le départ ? Faut-il considérer la 1ère valeur obtenue, ou la 2ème, ou une sorte de valeur moyenne ?



Dans l’exemple précédent, nous avons vu le cas d’une position qui varie au cours du temps, et on l’abrège donc x(t). En calculant la vitesse à l’aide de la Formule 1.2, nous avons constaté que nous obte-nons des valeurs différentes en fonction des positions et laps de temps considérés, et que la vitesse varie donc aussi en fonction du temps. On l’abrège donc aussi sous la forme v(t), et on écrit :

Formule 1.3 ( ) ( ) ][][][ m/s

sm

=Δ

Δ=

ttxtv

C’est par la notion mathématique de dérivée que la vitesse à chaque instant peut être définie sans aucune équivoque possible. On parle alors de vitesse instantanée. Cela consiste à diminuer le laps de temps Δt dans la Formule 1.2 jusqu’à ce qu’il devienne extrêmement bref, qu’il « tende vers zéro ». En utili-sant la notation des dérivées vue au cours de mathématique, on obtient donc :

Formule 1.4 ( ) ( ) ( ) ][][

['lim0

m/ssm]

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

=→Δ

txttxtv

t

EXEMPLE Sur le graphique de l’exemple précédent, la tangente à la position, au point B, est représentée en traitillé.

Convention d’écriture : Les ingénieurs évitent généralement cette notation de la dérivée. En effet, les grandeurs physiques qu’ils étudient varient souvent en fonction du temps, mais également en fonction d’une, voire de plusieurs autres grandeurs physiques. Par exemple, l’élongation d’un barreau métallique dépend de la force appliquée (coefficient d’élasticité du matériau) et de la température (coefficient de dilata-tion). C’est la raison pour laquelle on écrira plutôt, par exemple pour la vitesse :

Formule 1.5 ( ) ( ) ( ) ][][

[lim0

m/ssm]

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

=→Δ dt

tdxttxtv

t

1.4.1.3 Accélération

Dans le raisonnement ci-dessus, on considérait la vitesse du coureur alors qu’il se trouvait à mi-parcours. Les fluctuations de vitesse étaient relativement faibles.

EXEMPLE Si l’on considère sa vitesse juste après le coup de feu du départ, on constate que la vitesse varie beaucoup plus

fortement. En fait, elle passe de 0 m/s à ~8 m/s en 4 s approximativement.

DÉFINITION 1.2 : L’accélération a d’un corps mobile est le rapport entre la variation de vitesse rele-vée pendant un certain laps de temps, et ce laps de temps lui-même.

L’accélération exprime ainsi la rapidité à laquelle un corps modifie sa vitesse. Dans le système d’unités SI, elle s’exprime en mètres par seconde au carré [m/s2].

Formule 1.6 ( ) ( ) ][][][ 2m/s

sm/s

=Δ

Δ=

ttvta



EXEMPLE Revenant à l’exemple précédent, il est possible de dessiner une nouvelle figure qui représente la vitesse du cou-

reur au cours du temps.

t [s]

v [m/s]

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10 12 14 BSR20040815_B.des

x = 100 [m]

Figure 1.17 Relevé de l’accélération d’un coureur de 100 m au cours du temps

On constate que la vitesse augmente fortement pendant les 4 premières secondes, puis reste approximativement constante pendant le reste du temps.

Bien que l’augmentation de vitesse ne soit pas tout à fait linéaire pendant les 4 premières secondes, l’accélération moyenne au démarrage peut se calculer en ne tenant compte, par exemple, que des vitesses au départ (0 m/s) et après 4 s (6 m/s). Elle vaut ainsi :

( )( )

2m/ss

m/ss

m/s 5,14

604

06==

−−

=a

En procédant de la même façon, on remarque que l’accélération moyenne pendant la suite de la course est qua-siment nulle.

On peut calculer l’accélération instantanée, fonction du temps, en passant par la dérivée :

Formule 1.7 ( ) ( ) ( ) ][][][lim

0

2m/ss

m/s==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

=→ dt

tdvttvta

dt

Il est intéressant de comparer les deux figures précédentes entre elles. On passe de la courbe de po-sition à la courbe de vitesse en reportant la pente de la 1ère courbe. Inversement, on peut revenir de la courbe de vitesse à la courbe de position en reportant la surface située entre la 2ème courbe et la droite des abscisses. Cette opération correspond au concept mathématique d’intégration, qui est en quelque sorte l’opération inverse de la dérivée.

Formule 1.8 ( ) ( ) ( )∫∫==

⋅==−=Δ2

1

2

112

tt

dttadvvvtv



1.4.1.4 Calcul de performance par approximation de la trajectoire

Pour qu’une machine fonctionne correctement, il est indispensable de contrôler de manière très pré-cise la position de chaque partie mobile, et ceci à chaque instant. C’est ainsi que l’on assurera par exemple qu’une table X-Y de machine outil parcourt bien un cercle, avec le diamètre souhaité et la précision requise.

L’ingénieur qui doit concevoir le système d’entraînement appelé chaîne cinématique doit tenir compte de cette précision en limitant les jeux et les élasticités. Mais, lorsqu’il devra choisir un servomoteur et un réducteur, il peut simplifier ses calculs en ne considérant que des valeurs approximatives des vitesses et accélérations.

EXEMPLE Dans le cas du coureur des exemples précédents, la courbe de vitesse peut être approximativement représentée

comme dans la figure ci-dessous.

Pendant les 4 premières secondes où il se lance, il parcourra une distance représentée par la surface du triangle, qui est calculée comme suit :

[m][s][m/s] =⋅=⋅⋅=Δ⋅⋅=Δ 164821

21

111 tvx

Il lui reste ainsi 84 mètre à parcourir, à la vitesse approximativement constante de 8 m/s. Le temps nécessaire pour parcourir cette distance est calculé comme suit :

][][

5,108

842

22 s

m/s[m]

===Δ

=Δvxt

Le temps qu’il lui aura fallu pour courir les 100 mètres se calcule comme suit:

s5,145,10421 =+=Δ+Δ=Δ ttttotal .

t [s]

v [m/s]

0

2

4

6

8

0 2 4 6 8 10 12 14 BSR20050807_C.des

a=

2m

/s2

x2 = 84 mx = 16 m1

v = v1 2

t = 4 s1 t = 10,5 sé Figure 1.18 Allure approximative de la vitesse d’un coureur de 100 mètres



Il est certain qu’un calcul tenant compte des valeurs de position et de vitesses exactes, sans approxi-mation, fournirait une valeur différente. Toutefois, la différence serait probablement très faible. Le résultat ne serait d’ailleurs pas forcément plus « exact », car les appareils d’automatisation et de mesure ne sont pas infiniment précis. C’est la raison pour laquelle on préférera utiliser le calcul par approximation, quitte à ajou-ter une certaine marge de sécurité. L’intérêt de cette démarche est qu’elle permet de procéder assez sim-plement au calcul inverse.

EXEMPLE Dans le cas de notre coureur, on admettra ainsi qu’il parcourt la distance à coup sûr en 15 s. C’est évidemment in-

satisfaisant s’il s’agit de relever un défi sportif, mais tout à fait suffisant s’il s’agit de calculer la productivité d’une machine.

Étant donné que l’on souhaite que le coureur parcourt 100 m, départ arrêté, en 15 s au maximum, à quelle vitesse devra-t-il courir, quelle sera l’accélération initiale et combien de temps durera-t-elle ?

Dans un tel cas, on constate que l’on a un certain choix sur la valeur de l’accélération, entre deux valeurs extrê-mes :

• Soit on souhaite éviter les grandes vitesses, mais on accepte des accélérations proches de l’infini. Dans le cas extrême, en admettant que l’accélération soit infinie, la surface sous la courbe est un simple rectangle :

2m/setm/s ∞=== av 67,615

1002

• Soit on cherche à éviter les grandes accélérations pour protéger la mécanique, mais on accepte que le coureur atteigne une grande vitesse lorsqu’il franchira la ligne d’arrivée. Dans ce cas, la surface sous la courbe est un simple triangle :

2m/setm/s 889,015

33,1333,131510022

21

1

1

1

11111 ==

Δ==

⋅=

ΔΔ⋅

=⇒Δ=Δ⋅⋅t

vatxvxtv

• Soit, et c’est généralement la solution préférée, on choisi une valeur intermédiaire, avec une accélération pas trop élevée, tout en limitant la vitesse maximum. La solution passe par la résolution d’un système de 4 équa-tions avec 4 inconnues.

Le système d’équations est le suivant :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

Δ⋅=Δ

Δ⋅⋅=Δ

Δ+Δ=ΔΔ+Δ=Δ

222

121

21

21

21

tvx

tvx

tttxxx

total

total

Nous connaissons la distance à parcourir Δxtotal = 100 m, et la durée totale du parcours Δttotal = 15 s. Si nous fixons par exemple une vitesse maximum v2 = 10 m/s, puis résolvons le système d’équations en introduisant les valeurs connues, on obtient successivement :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

Δ⋅=Δ⋅=Δ

Δ⋅⋅=Δ⋅⋅=Δ

Δ−=Δ−Δ=ΔΔ−=Δ−Δ=Δ

2222

1121

221

221

10

1021

21

15100

ttvx

ttvx

ttttxxxx

total

total

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

Δ⋅=Δ

Δ⋅−=Δ−⋅⋅=Δ−

22

222

10

575151021100

tx

ttx

22 57510100 tt Δ⋅−=Δ⋅−



On obtient enfin :

mxxmxs

s

21

2

5010050101015

5525

2

21

2

=Δ−=Δ=Δ⋅=Δ=Δ−=Δ

==Δ

ttt

t

La valeur de l’accélération vaut :

2m/s11010

1

2 ==Δ

=t

va

1.4.2 Masse, force, loi de Newton

Dans le langage courant, on se soucie peu de faire une distinction entre les termes force, travail, énergie et puissance. Cependant, chacun de ces mots a une signification bien précise pour les personnes initiées, lesquelles ne les emploient jamais indifféremment l’un de l’autre.

La manifestation la plus familière d’une force est le poids d’un corps qui correspond à l’attraction ter-restre. Il existe d’autres sortes de forces, comme la poussée du vent sur les feuilles d’arbres, et celle qui permet aux bulles de gaz de remonter dans l’eau.

Dans le système SI, l’unité de force est le newton [N]. Tout objet est attiré vers la terre par une force de gravité. La valeur de cette force varie légèrement d’un endroit à l’autre sur la surface de la terre, mais, en moyenne, elle équivaut à 9,8 N par kg de matière. Cela signifie qu’une masse de 1 kg est attirée avec une force de 9,8 N.

Cette valeur (9,8) est le résultat de diverses observations, qui ont conduit aux lois et définitions fon-damentales de la mécanique conventionnelle proposées par Isaac Newton.

Loi de Newton :

Lorsqu’on applique une force constante à un corps placé dans le vide, celui-ci accélère unifor-mément (son accélération est constante).

Figure 1.19 Isaac Newton observe une pomme ...

© State of Victoria (Department of Education & Training) 2002



Ce que l’on peut résumer par la formule fondamentale suivante :

Formule 1.9 [N]][m/s[kg] 2 =⋅⋅= amF

Le kilogramme, le mètre et la seconde sont des grandeurs SI de base. Cette loi permet ainsi de définir le newton, unité dérivée de force :

DÉFINITION 1.3 : Le newton, abrégé [N], est la force qui, appliquée à une masse de 1 kg, lui com-munique une accélération de 1 m/s2.

Lorsqu’un solide est placé au haut d’un tube sous vide, à l’altitude de la mer, il est soumis à une force gravitationnelle communément appelée son poids. S’il se déplace sans toucher les parois du tube, il ne subit aucun frottement. La force résultante est donc constante.

Si on le laisse tomber verticalement, on constate que sa vitesse augmente linéairement de 0 à 9,8 m/s en 1 s. Son accélération est donc de 9,8 m/s2. En répétant cet essai avec des solides de masses différentes et en différents endroits sur terre, on constate que l’accélération est toujours approximativement la même. C’est ainsi que l’on mesure l’accélération terrestre « g » :

Formule 1.10 2m/s81,9==mFg

où F est la force de gravité en [N] et m la masse en [kg] L’attraction gravitationnelle de la lune est environ six fois plus faible que celle de la terre. La même

masse de 1 kg n’y pèse ainsi que 1,6 N. Attention à ne pas confondre : Le kilo ponde est par définition le poids sur terre d’une masse de 1 kg, donc 1 kp = 9,81 N.

1.4.3 Systèmes en rotation, inertie, couple

Les notions de forces, de masse et d’accélération, ainsi que la loi de Newton, peuvent également être utilisées pour des systèmes en rotation autour d’un axe, mais sous une forme légèrement différente.

F

r

BSR20040906_A.des

Figure 1.20 Représentation du couple exercé par une force sur un objet en rotation



Appliquons une force Fr

à un objet qui ne peut que pivoter autour d’un axe. Cet objet se met alors à tourner autour de cet axe. On dit qu’il est soumis à un couple. Pour mieux comprendre ce phénomène, il faut considérer que la force F

r et le bras de levier rr sont des vecteurs, ce dernier définissant le point

d’application de la force relativement à l’axe de rotation.

DÉFINITION 1.4 : Le couple M mesure l’effet sur l’objet en rotation de la force Fr

lorsqu’elle est appliquée à l’extrémité du bras de levier rr . On parle aussi du moment de la force F

r.

Le couple M est la norme du produit vectoriel FrMr

∧= , qui se calcule à l’aide de la formule ci-dessous :

Formule 1.11 ][][][sin NmmNrFrFMM =⋅⋅⋅=⋅== θr

où θ est l’angle entre les deux vecteurs Fr

et rr

Remarquons que, si les deux vecteurs sont à angle droit, sinθ vaut 1. Alors, rFM ⋅= . C’est le cas par exemple si l’on tire sur la ficelle d’un yoyo ou sur le câble d’un treuil.

Par contre, si les deux vecteurs sont alignés, sinθ vaut 0. Le couple est toujours nul indépendamment de l’amplitude de la force et de la longueur du bras de levier. C’est le cas par exemple si la ficelle du yoyo est totalement déroulée.

L’unité SI de couple est le newton-mètre [Nm]. Son symbole est la lettre « M » (moment d’une force en français, Moment en allemand). Souvent, et en particulier dans la littérature anglo-saxonne, on utilise plutôt la lettre « T » pour torque.

Pour appliquer la loi de Newton à des corps en rotation, il faut tenir compte des différences suivantes entre un mouvement linéaire et un mouvement rotatif :

• la distance est remplacée par un angle (par exemple : φ), exprimé en [rad]

• la vitesse est remplacée par la vitesse angulaire dtdφω = , exprimée en [rad/s]

• l’accélération est remplacée par l’accélération angulaire dtdωα = , en [rad/s2]

• (le plus important) la masse doit être remplacée par l’inertie du corps relativement à son axe de rotation. Cette inertie J est exprimée en kilogramme mètre carré [kgm2], et est abordée dans le cours de mécanique rationnelle, ou elle est souvent notée I.

Formule 1.12 [Nm]m][kgm/s][rad/s][kgm 222 =⋅=⋅⋅= αJM (le kgm/s2 est équivalent au N par application de la loi de Newton en régime linéaire ; le radian disparaît car l’angle est un nombre arithmétique sans dimension)



1.4.4 Travail, énergie potentielle et énergie cinétique

Si, pour déplacer un objet quelconque d’une distance l, il faut lui appliquer une force F, on effectue un travail W. Imaginons par exemple un treuil levant une charge sur une certaine hauteur. L’ouvrier actionnant le treuil doit déployer une certaine activité pour faire monter la masse. Il doit lutter contre la force d’attraction terrestre exercée sur cette masse. Le travail exprime cette activité.

DÉFINITION 1.5 : Le travai W accompli en déplaçant un objet est égal au produit de la force provo-quant ce déplacement, et de la distance parcourue dans l’axe de la force.

Formule 1.13 [ ] [ ]mNJ ⋅=⋅= lFW

L’unité SI de travail est le joule [J], qui correspond au travail effectué par une force de 1 N sur une dis-tance de 1 m.

EXEMPLE On souhaite élever une tonne d’eau (1 m3) de 100 m pour la stocker derrière un barrage hydraulique. Il faut lui ap-

pliquer une force égale à son poids, en tenant compte de l’accélération terrestre :

N 9'810m/s 9,81kg 1'000 2 =⋅=⋅= gmF

Le travail nécessaire vaut donc : kJ 981J 981'000m 1N 9'810 ==⋅=⋅= 00hFW

Remarquons que le couple et le travail ont apparemment la même unité SI, le [Nm]. Il ne faut cepen-dant pas les confondre. Un travail n’est réalisé que si un objet se déplace sous l’action d’une force. Au contraire, le couple produit par une force sur un corps relativement à son axe de rotation existe même lors-que le corps est arrêté. Ce n’est qu’en lui permettant de tourner autour de son axe et en multipliant le couple par l’angle parcouru, exprimé en radian [rad], qu’apparaît à nouveau la notion de travail.

Souvent, le déplacement de l’objet considéré est réversible : En réalisant un travail, on peut par exemple pomper de l’eau derrière un barrage. En laissant retomber cette eau sur une turbine, on récupère ce travail. Il en va de même avec le ressort d’une pendule, que l’on remonte une fois de temps en temps, et qui entraîne le mouvement pendant plusieurs jours. Dans les deux cas, le corps reçoit de l’énergie extérieure et la stocke sous forme d’énergie potentielle.

DÉFINITION 1.6 : L’énergie potentielle Epot d’un corps correspond au travail qu’il a fallu pour le déplacer, et que l’on peut récupérer en inversant l’opération.

EXEMPLE Dans le cas de la tonne d’eau élevée à 100 m, son énergie potentielle lorsqu’elle est parvenue derrière le barrage

vaut :

kJ981== WEpot

EXEMPLE Considérons un véhicule arrêté sur une route de montagne. En relâchant les freins, ce véhicule se met à rouler

vers le bas de la pente et voit sa vitesse augmenter. Au bas de la pente, il continue à rouler à plat. S’il n’y avait aucun frot-tement, il continuerait de rouler indéfiniment à vitesse constante. L’énergie potentielle perdue lors de la descente n’a pas disparu. Elle subsiste dans la masse du véhicule en mouvement sous forme d’énergie cinétique.



DÉFINITION 1.7 : L’énergie cinétique Ecin d’un corps en déplacement à vitesse constante corres-pond au travail qu’il a fallu lui communiquer pour lui permettre d’atteindre cette vi-tesse.

L’énergie cinétique d’un corps en déplacement à vitesse constante est donnée par :

Formule 1.14 2[m/s][kg][J] ⋅=⋅= 2

21 vmEcinétique

où Ecinétique est l’énergie cinétique en [J], m la masse en [kg], et v sa vitesse en [m/s] Pour un corps en rotation autour de son axe, l’énergie cinétique est donnée par :

Formule 1.15 [ ] [ ] [ ]22 rad/skgmJ ⋅=⋅⋅= 2

21 ωJEcinétique

où Ecinétique est l’énergie cinétique en [J], J l’inertie du corps autour de l’axe de rotation en [kgm2], et ω sa vitesse de rotation autour de son axe, en [rad/s]

EXEMPLE Si on laisse la tonne d’eau de l’exemple précédent tomber verticalement, et que l’on néglige tous les effets de frot-

tement, on peut calculer la vitesse qu’elle atteint au bas des 100 m, puisque l’énergie potentielle acquise lors de la montée de 100 m est intégralement convertie en énergie cinétique pendant la chute.

On a ainsi : epotentiellcinétique EE = , donc : hgmhFvm ⋅⋅=⋅=⋅⋅ 2

21 , et finalement :

m/s3,442 =⋅⋅= hgv

Remarquons que cette vitesse est indépendante de la masse. De plus, pour obtenir une vitesse 2 fois plus élevée, il faut disposer d’une énergie potentielle 4 fois plus grande, donc pomper d’abord l’eau sur une hauteur de 400 m.

Le travail, l’énergie potentielle et l’énergie cinétique définis ci-dessus sont en réalité des formes d’énergie mécanique. La personne qui manœuvre un treuil ou remonte une pendule transforme de l’énergie chimique en énergie mécanique à l’aide de ses muscles. La pompe qui remonte l’eau de 100 m peut être entraînée à partir d’énergie électrique (moteur électrique), ou d’énergie chimique (moteur à explosion)

L’énergie se présente également sous d’autres formes (thermique, nucléaire, lumineuse) comme vu au paragraphe 1.2.2 et plus particulièrement avec la Figure 1.2. Elle peut passer d’une forme à une autre grâce à différents processus de transformation. Toutefois, la quantité totale d’énergie après la transformation demeure quantitativement la même qu’auparavant. L’énergie se transforme tout simplement ; elle ne peut être ni créée, ni détruite.

C’est le principe de la conservation de l’énergie. Remarque au sujet de la notation : En général, on utilise la lettre E pour exprimer l’énergie sous tou-

tes ses formes. Ce n’est que pour exprimer l’énergie sous sa forme mécanique que l’on utilise parfois la lettre W, représentant un « travail ». A partir de ce paragraphe, nous utiliserons dans ce cours uniquement la lettre E pour représenter l’énergie même s’il s’agit d’un travail mécanique. Cette convention évitera toute confusion avec le watt [W], unité de puissance.



1.4.5 Puissance

Dans le cas précédent du treuil, nous n’avons pas tenu compte du temps mis par l’ouvrier pour faire monter la masse de la hauteur imposée. Il transpirera plus s’il le fait en 1 minute au lieu de 10 minutes. Le travail sera cependant le même dans les deux cas. On dira cependant que la puissance mise en jeu sera 10 fois plus grande dans le premier cas que dans le second. Plus l’ouvrier exécute un travail rapidement, plus il fournit une puissance élevée.

DÉFINITION 1.8 : La puissance P est la quantité de travail accomplie par unité de temps.

L’unité SI de puissance est le watt [W] ; il correspond à un travail de 1 joule effectué en 1 seconde.

Formule 1.16 ( ) ( ) [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

ΔΔ

=sJW

ttEtP

où P(t) est la puissance moyenne en [W], E(t) le travail en [J] et t le temps [s] (a priori, le travail peut varier au cours du temps, donc la puissance aussi)

En actionnant le treuil, l’ouvrier n’aura peut être pas exercé toujours le même effort. Le travail fourni aura alors une allure similaire au chemin parcouru par le coureur cité au paragraphe 1.4.1.2 et représenté par la Figure 1.16. La pente de cette courbe n’est pas constante.

Le calcul de la puissance est ainsi similaire à celui de la vitesse. La Formule 1.16 permet de calculer la puissance moyenne sur la totalité du déplacement. On peut également calculer la puissance instantanée par dérivation du travail fourni par rapport au temps.

Formule 1.17 ( ) ( ) ( ) [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

=→ s

JWdt

tdEttEtP

dt 0lim

Si l’on remplace le travail E(t) par son expression de la Formule 1.13, et si la force F est constante, on obtient :

Formule 1.18 ( ) ( )[ ] ( ) ( ) [ ] [ ]m/sNsJW ⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⋅=⋅=

⋅= tvF

dttdlF

ttlFdtP

où F est la force causant le déplacement en [N], et v(t) la vitesse du déplacement en [m/s]

Il est possible que le déplacement ne soit pas une translation, mais plutôt une rotation. Dans ce cas, la puissance mécanique d’un moteur tournant à vitesse ω(t) et fournissant un couple constant M se calcule comme suit : Formule 1.19 ( ) ( ) [ ] [ ][rad/sNm]W ⋅=⋅= tMtP ω

où P(t) est la puissance en [W], M le couple en [Nm], et ω(z) la vitesse angulaire en [rad/s]

Il faut relever que la vitesse angulaire est plus souvent exprimée en tours par minutes [r/min] qu’en ra-dians par seconde [rad/s]. La relation entre ces deux unités dérivées est simple, puisqu’un tour correspond à 2 π radians, et qu’une minute égale 60 secondes. La Formule 1.19 devient ainsi :

Formule 1.20 ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅⋅=⋅⋅≅⋅⋅=⋅⋅=

smin

rrad

minrNm[W]

30

60 2 tNMtNMtNMtP 105,0ππ ,

où N(t) est la vitesse en [r/min]



De la même manière que pour calculer la position à partir d’une courbe de vitesse, on peut calculer le travail fourni à partir de la surface sous la courbe de puissance, en utilisant le calcul intégral :

Formule 1.21 ( ) ( ) ( ) [J]∫∫==

⋅==−=Δ2

1

2

112

t

tt

t

tt

dttPdeEEtE

1.4.6 Rendement

Quand on passe d’une forme d’énergie à une autre, au moyen d’une machine quelconque, l’énergie recueillie n’est pas toujours utilisable pratiquement. Par exemple, l’énergie thermique produite dans un mo-teur d’automobile servira en grande partie à chauffer inutilement les gaz d’échappement évacués dans l’environnement. À cause de ces pertes, l’énergie utile est inférieure à l’énergie fournie, la différence appa-raissant comme pertes thermiques.

DÉFINITION 1.9 : Le rendement η (lettre grecque « êta ») d’une machine ou d’un processus de conversion est donné par le rapport entre l’énergie utile fournie et l’énergie consommée par cette machine :

Formule 1.22 fournie

utilemoyen E

EΔΔ

=η

où ηmoyen est une grandeur sans dimension toujours inférieure à 1 (100%) Ce calcul de rendement considère la totalité du travail utile et du travail fourni sur la durée Δt d’un pro-

cessus. Il s’agit bien de variations d’énergie pendant cette durée. On obtient ainsi un rendement moyen. Il est possible de calculer le rendement instantané à partir des puissances instantanées. Comme la

puissance est la dérivée de l’énergie au cours du temps, le rendement instantané est la limite du rendement moyen lorsque Δt tend vers 0 (théorème de Bernouilli-L’Hospital).

Formule 1.23 ( ) ( )( )

( )( )tPtP

tEtEt

fournie

utile

fournie

utilet

=ΔΔ

=→Δ 0

limη

Attention : Dans ce cours, nous écrivons par exemple η = 0,85 = 85%. Le symbole « % » n’est pas considéré comme une unité, mais plutôt comme une convention d’écriture signifiant « divisé par 100 ». Ainsi, 0,85 = 85/100 = 85%. C’est pourquoi nous n’écrivons jamais dans ce cours une formule où le rendement en pour-cent [%] est égal à 100 fois le rapport des puissances.



EXEMPLE Une centrale hydraulique alimentée par un barrage de montagne fonctionne à puissance nominale (150 MW) pen-

dant 2 heures. Le reste de la journée, soit pendant 10 heures, elle reste en service comme « réserve tournante », ce qui signifie qu’elle ne débite aucune puissance électrique, mais tourne à sa vitesse nominale, connectée au réseau électrique, prête à prendre la relève en cas de défaillance d’une autre centrale. La nuit, elle est mise totalement hors service.

Pendant les 2 heures de fonctionnement à puissance nominale, et en admettant que son rendement valle ηON = 95%, la puissance mécanique consommée vaut :

MW 158MW 150===

95,0ON

él ONméc ON η

PP

Pendant les 10 heures de fonctionnement en réserve tournante, elle consomme environ 2% de sa puissance no-minale alors qu’elle ne délivre aucune puissance électrique. Nous avons alors :

MW 3MW 150==

02,0méc RTP

Comme la puissance électrique délivrée est nulle, le rendement ηRT est nul.

Pendant les 12 heures hors service, elle ne consomme plus aucune puissance mécanique. Son rendement ηOFF est simplement non déterminé, car égal au rapport de deux nombres nuls :

On obtient ainsi trois valeurs différentes du rendement de cette centrale, suivant qu’elle soit en marche nominale, en réserve tournante, ou à l’arrêt. Il est intéressant de considérer également le rendement moyen calculé sur une journée entière. Pour ce faire, on doit calculer les énergies pendant les 3 phases.

A puissance nominale pendant 2 heures, soit 7'200 s :

JsW

JsW96

96

10140'1200'710158

10080'1200'710150

⋅=⋅⋅=Δ⋅=

⋅=⋅⋅=Δ⋅=

ONONméclONméc

ONONélONél

tPE

tPE

En fonctionnement en réserve tournante pendant 10 heures, soit 36'000 s :

JsW

J96 10108000'36103

0

⋅=⋅⋅=Δ⋅=

=

RTRTméclRTméc

RTél

tPE

E

A l’arrêt pendant 12 heures, elle consomme et fournit des énergies nulles. On obtient ainsi :

%8787,001010810140'1

0010080'199

9

==+⋅+⋅

++⋅=

++++

=OFFmécRTmécONméc

OFFélRTélONélmoyen EEE

EEEη



1.5 Grandeurs de base de l’électricité

1.5.1 Structure de la matière

Prenons un bloc d’aluminium et coupons-le en deux. Chacune des parties est certes plus petite, mais reste de l’aluminium. Reprenons-en une et séparons-la également en deux. Continuons ce procédé de frac-tionnement à plusieurs reprises. Nous atteindrons tout d’abord une limite de faisabilité. Les parties résultan-tes ne seront plus manipulables. Supposons cependant que nous disposions d’une loupe et d’un micro cou-teau permettant de continuer cette opération. Nous atteindrons une nouvelle limite où il ne sera plus possible de subdiviser la particule extrêmement petite ainsi obtenue sans en changer les propriétés caractéristiques, c’est-à-dire sans modifier la nature même de l’aluminium. Cette dernière particule est appelée atome.

Même si l’atome d’aluminium est extrêmement petit, même s’il est somme toute un concept de l’esprit, il a été possible d’évaluer ses dimensions : Il en faudrait environ 100 millions placés bout à bout pour former une chaîne d’une longueur égale à 1 cm.

La matière est ainsi composée d’atomes dont la structure particulière caractérise les différents élé-ments tels que l’aluminium, le carbone, le cuivre, l’hydrogène, l’oxygène, etc.

Dans la plupart des substances cependant, la plus petite particule qui conserve toutes les propriétés originales est la molécule. Une molécule est un groupement de deux, trois, quatre, parfois jusqu’à des mil-liers d’atomes. La molécule d’eau par exemple est formée de 2 atomes d’hydrogène et d’un atome d’oxygène, ce qu’on écrit H2O. La molécule d’ozone, un gaz libéré lors d’une décharge électrique, est com-posée de 3 atomes d’oxygène (O3). La molécule de caoutchouc contient une chaîne d’au moins 5’000 ato-mes de carbone et 8'000 atomes d’hydrogène.

Les atomes et les molécules s’attirent avec une force gravitationnelle identique à celle qui attire une pomme vers la terre. La force d’attraction augmente à mesure que les molécules se rapprochent, mais elle demeure faible à moins que les molécules soient très serrées les unes contre les autres.

Les molécules d’un gaz sont relativement éloignées les unes des autres. Par conséquent, les forces d’attraction sont négligeables, ce qui leur autorise des mouvements indépendants et désordonnés. Au contraire, les molécules d’un solide sont tellement rapprochées les unes des autres que la force d’attraction devient très grande, ce qui leur confère leur rigidité. Contrairement aux molécules d’un gaz, les molécules d’un corps solide ne sont pas libres de se déplacer, mais demeurent figées ensemble. Elles vibrent seule-ment dans leur position captive, l’amplitude des vibrations augmentant avec la température. Si la tempéra-ture est suffisamment élevée, les vibrations réussissent à éloigner les molécules les unes des autres, de sorte que les forces d’attractions ainsi affaiblies transforment le solide dur en liquide.

S’il état possible de le voir, on constaterait que tout atome est composé d’un noyau très petit, autour duquel tournent à très haute vitesse des électrons portant chacun une charge négative. L’atome peut être comparé au système solaire, dans lequel le soleil remplit le rôle du noyau et les planètes celui des électrons.



Figure 1.21 Tableau périodique des éléments

(source : Faculté technologique de chimie de Split, Croatie, www.ktf-split.hr/periodni/fr/pse-pdf.html#boja, Copyright © 1998-2003 by Eni Generalic)



Le noyau est composé de protons portant chacun une charge positive et de neutrons électriquement neutres.

La charge de l’électron est la plus petite charge électrique que l’on peut rencontrer. Elle est appelée charge élémentaire e. Elle est négative. Exprimée en coulomb [C], elle vaut :

Formule 1.24 [ ]C1910602,1 −⋅−=e

Chaque proton porte une quantité d’électricité égale à celle de l’électron en valeur absolue, mais de signe opposé. Le proton a donc une charge positive qui vaut -e.

Dans son état normal, un atome possède autant d’électrons que de protons. La charge totale des électrons neutralise la charge positive des protons de sorte que l’atome est, dans son ensemble, électrique-ment neutre.

L’atome le plus simple est celui d’hydrogène, qui ne comporte qu’un seul électron et un seul proton. L’exemple suivant nous permet de se représenter les dimensions relatives du noyau et de l’électron : Imagi-nons qu’on puisse grossir un atome d’hydrogène 1 million de milliards de fois (1015). On pourrait alors repré-senter le noyau et l’électron chacun par une tête d’épingle, séparés par une distance de 50 km. Autant dire que la plus grande portion de l’atome, donc de la matière est vide. Si on ne peut pas toujours voir à travers un corps ainsi formé essentiellement de vide, c’est que les rayons lumineux sont déviés par les atomes.

Cette théorie atomique est le résultat d’une démarche expérimentale et intellectuelle amorcée en Grèce par Démocrite (460 – 370 av. J.C.). En 1803, l’Anglais John Dalton propose un premier tableau por-tant sur six atomes (H, N, C, O, P, S) et treize molécules. Sa théorie atomique, qui reposait sur une concep-tion purement intellectuelle, déclencha de violentes controverses. Elle permit toutefois d'expliquer plusieurs résultats expérimentaux obtenus antérieurement. Plusieurs chercheurs mirent la théorie à l'épreuve, parmi lesquels le danois Niels Bohr qui l’a complétée en 1913. Aujourd’hui, malgré ses petites imperfections que les physiciens continuent à examiner en particulier au CERN à Genève, elle est encore reconnue comme suffisamment correcte pour l’étude des phénomènes qui nous concernent.

C’est un fait vérifié expérimentalement que les corps chargés électriquement donnent naissance à des effets d’attraction et de répulsion. Les charges électriques de même signe se repoussent tandis que les charges de signe contraire s’attirent. On conçoit donc qu’il existe des forces d’attraction électriques entre le noyau chargé positivement et les électrons chargés négativement d’un atome. Cette force sera d’autant plus grande que les électrons seront plus près du noyau.

L’atome d’aluminium par exemple comporte un noyau central autour duquel gravitent 13 électrons sur des orbites concentriques définies. La couche interne est complète avec 2 électrons. La couche intermé-diaire est très compacte et très stable avec 8 électrons. Enfin, la couche périphérique ne compte que 3 élec-trons. Ces 3 électrons étant très peu retenus par le noyau sont relativement libres. Dans un échantillon d’aluminium, ils sautent continuellement d’un atome à un autre dans toutes les directions. On les appelle électrons libres par opposition à ceux qui restent liés au noyau.

Cette dernière couche est appelée couche de valence. Elle est dite saturée si elle comporte 2 élec-trons (s’il n’y a qu’une seule couche) ou 8 électrons (s’il y a plusieurs couches, les couches intérieures étant remplies).



13+

BSR20040920_A.des Figure 1.22 Structure simplifiée de l’atome d’aluminium

Un corps est un conducteur si sa couche de valence ne comporte que peu d’électrons, et qu’il pos-sède ainsi des électrons libres. L’aluminium en a 3, le cuivre en a 1 seul et le fer 2. En général, tous les mé-taux sont dans cette situation et font partie des conducteurs, ainsi que le carbone et certains liquides comme le mercure.

Si par contre la couche de valence est proche de la saturation, l’élément ne libérera pas d’électrons. Au contraire, elle cherchera à en capturer pour atteindre l’état de saturation. Un tel élément est un isolant, comme l’air, le caoutchouc, le verre, la porcelaine et les matières synthétiques. Un isolant interposé entre deux conducteurs s’oppose à tout échange d’électrons entre eux

1.5.2 Charge électrique

Dans un métal, les électrons libres des atomes sont en constante agitation et, dans leur mouvement désordonné, frappent les atomes avoisinants. Cependant, ils ne quittent pas le métal. Comme le nombre total de noyaux et d’électrons ne change pas, le bloc de métal reste électriquement neutre.

Imaginons que l’on puisse, par un moyen quelconque, chasser un grand nombre d’électrons vers une extrémité du barreau, celle-ci deviendra négative. L’autre extrémité privée de ses électrons habituels, aura une charge nette positive. Le barreau aura donc des extrémités positive et négative bien que, dans son en-semble, il demeure neutre, n’ayant ni perdu ni gagné d’électrons. Comme cette distribution inégale des élec-trons est anormale, l’équilibre sera rétabli dès que l’influence extérieure qui a provoqué la migration aura disparu.

DÉFINITION 1.10 : La charge Q est la mesure de la différence par rapport à l’état neutre. Elle indique un excès ou un défaut d’électrons d’un corps comparé à son état neutre.

L’unité de mesure de la charge est le coulomb [C]. Nous avons vu (Formule 1.24) que la charge por-tée par chaque électron vaut : C1910602,1 −⋅−=e .



1.5.3 Courant électrique

Pour produire (ou générer) de l’électricité, il faut changer le peuplement relatif des électrons entre deux points. Les dispositifs capables de créer un tel surplus d’électrons en un point et un manque en un autre point sont appelés générateurs ou sources d’électricité.

Cette répartition inégale des électrons peut être provoquée de plusieurs manières. On peut le faire : • chimiquement, comme dans les piles et les accumulateurs, • mécaniquement, par exemple en frottant une peau de chat (électricité statique), • par effet électromagnétique, comme dans les dynamos et alternateurs, • par effet thermique, comme dans les thermocouples, • par effet optique, comme dans les cellules photoélectriques.

Dans chaque cas, le point (ou borne) ayant un manque d’électrons possède une charge positive, donc une polarité positive (+). Inversement, le point ayant un surplus d’électrons aura une charge négative, et par conséquent, une polarité négative (-).

Si on relie les deux bornes d’une pile au moyen d’un conducteur, les électrons en surnombre sur la borne négative se repousseront mutuellement. Ils chasseront des électrons libres du conducteur vers la borne positive. De plus, cette borne positive présentant un manque d’électrons, attirera énergiquement les électrons libres. Il en résulte un mouvement continuel d’électrons dans le conducteur, de la borne négative vers la borne positive.

DÉFINITION 1.11 : L’intensité i du courant électrique est la mesure du mouvement d’ensemble des électrons libres dans un conducteur, résultant d’une différence de charges.

L’unité de mesure de l’intensité de courant est l’ampère [A]. Une intensité de 1 ampère correspond au passage d’une charge de 1 coulomb chaque seconde à travers la section de conducteur observé.

Formule 1.25 ( ) ( ) [A]sC

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ΔΔ

=ttQti

Convention d’écriture : • Lorsque la valeur du courant varie au cours du temps, il est d’usage d’utiliser la lettre minuscule

« i ». • Lorsqu’un courant est constant, il est d’usage d’utiliser la lettre majuscule « I ». • Cette convention est aussi utilisée pour d’autres grandeurs physiques.



t [s]

I = 1 [A]

I = 0,2 [A]

Q [C]

BSR20040919_A.des Figure 1.23 Exemples graphiques du lien entre le courant et le débit de charge

Comme dans les cas de la vitesse, dérivée de la position, et de la puissance, dérivée de l’énergie, le courant est également la dérivée de la charge. Cela permet d’exprimer la valeur instantanée du courant lors-que la variation de charge n’est pas aussi constante que dans les exemples de la figure ci-dessus.

Formule 1.26 ( ) ( ) ( ) [A]sClim

0=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

ΔΔ

=→Δ dt

tdQttQti

t

Convention de signe : Un courant positif est celui qui s’établit entre la borne positive et la borne né-gative d’un générateur lorsqu’un conducteur y est connecté. Il faut relever que ce sens conventionnel du courant, qui a été choisi arbitrairement avant l’établissement de la théorie électronique du courant électrique, est l’inverse du sens de déplacement des électrons.

Batterie

+ -

déplacementdes électrons

sens conventionneldu courant

BSR20040919_B.des

Batterie

+ -

déplacementdes électrons


BSR20040919_B.des Figure 1.24 Courant électrique

La vitesse du courant électrique mérite une attention particulière. Le mouvement désordonné des électrons dans leur agitation atteint 1’000 km/s. Par contre, le mouvement d’ensemble (ou mouvement moyen) des électrons est lent, car ils rencontrent sur leur passage un très grand nombre de noyaux d’atomes qui les font dévier et les retardent. Leur vitesse moyenne est seulement de l’ordre de 5 cm/h. Tou-tefois, le courant électrique s’établit très vite d’un bout à l’autre d’un conducteur, à une vitesse égale au 2/3 de celle de la lumière, soit ~200'000 km/s, ou 1 mètre en 50 ns. Le courant électrique est donc un effet de



proche en proche : les électrons qui entrent par une des extrémités ne sont pas les mêmes que ceux qui sortent presque aussitôt par l’autre.

Un phénomène analogue se produit dans un tuyau de douche. Lorsque le robinet est fermé, le tuyau est rempli d’eau qui ne s’évacue pas, car le pommeau de douche se trouve généralement ~1 m au-dessus du robinet. Dès que l’on ouvre le robinet, de l’eau s’écoule quasi instantanément par le pommeau, mais elle sera froide. L’eau chaude n’aboutira à la douche qu’après une ou deux secondes. Cela montre bien que l’eau qui sort du tuyau par le pommeau à un instant précis n’est pas la même que celle qui entre dans le tuyau par le robinet au même instant. La vitesse de déplacement de l’eau sera dans ce cas de ~50 cm/s, alors que la mise en mouvement de l’eau s’établira à une vitesse égale à la vitesse du son dans l’eau, soit ~1,5 km/s.

1.5.4 Tension et différence de potentiel

Le rôle des sources d’électricité est de transformer l’énergie mécanique, chimique, thermique ou ra-diante en énergie électrique. Elles réalisent cette transformation en maintenant constamment entre leurs bornes une différence dans la population d’électrons libres. Ainsi, une séparation de charges donne nais-sance à une tension électrique.

DÉFINITION 1.12 : On dit qu’il existe une tension u entre deux bornes d’un appareil lorsqu’elles pré-sentent un manque (borne +), respectivement un excès (borne -) d’électrons libres. La tension est appelée également différence de potentiel, ou force électromo-trice (f.e.m.).

L’unité de mesure de tension est le volt [V]. La tension peut être comparée à la pression qui apparaît au bas de la conduite forcée d’un barrage

hydraulique, juste avant la turbine. Cette pression existe même si la vanne d’admission est fermée. De la même manière, une tension électrique peut apparaître même si aucun courant ne circule.

Ainsi, comme le montre la figure ci-dessous, la différence de pression hydraulique entre les points a et b de l’installation peut être comparée à la différence de tension électrique entre les bornes + et – de la source d’électricité.

A

B

BSR20040920_D.des

Figure 1.25 Analogie entre une installation hydraulique et un circuit électrique.



Le tableau ci-dessus résume cette analogie, et montre également une analogie thermique :

Électricité Hydraulique Conduction thermique Potentiel Altitude Écart de température Tension

(différence de potentiel) Différence d’altitude Température

Charge électrique disponible Quantité d’eau dans le lac

Énergie thermique

Courant Débit d’eau Flux thermique Résistance (NOTE) Perte de charge Résistance thermique

Table 1.6 Tableau de comparaison électricité – hydraulique – conduction thermique

NOTE : La résistance mentionnée à la dernière ligne de ce tableau est définie au paragraphe 1.5.5.

Convention de signe : Le sens de la tension aux bornes d’un générateur est défini comme allant du pôle positif au pôle négatif. On la représente par une flèche orientée dans le même sens.

Batterie

+ -tension U


Batterie

+ -tension U


BSR20040919_C.des Figure 1.26 Polarité d’une tension électrique

Cette convention, qui est celle de la CEI (Commission Électrotechnique Internationale), est utilisée dans tout le monde, et dans toutes les écoles et universités de Suisse romande. Cette précision est indis-pensable car, dans les ouvrages édités en France, la flèche est orientée en sens inverse, et au Canada fran-çais, certains ouvrages utilisent une double-flèche.

1.5.5 Loi d’Ohm, résistance

Loi d’Ohm :

Le rapport de la tension électrique appliquée entre les extrémités d’un corps conducteur donné au courant qui le parcourt est un nombre constant.



En 1827, l’allemand Georg Simon Ohm publia sa découverte : En augmentant la tension, le courant augmente dans la même proportion. Il proposa la définition suivante :

DÉFINITION 1.13 : La résistance R d’un corps conducteur est le rapport constant entre la tension appliquée à ce corps conducteur et le courant qui le parcourt.

En son honneur, l’unité de mesure de résistance est l’ohm [Ω]. Si l’on applique une tension de 1 volt à un corps dont la résistance est de 1 ohm, ce corps sera parcouru par un courant de 1 ampère.

Formule 1.27 ( )( ) [ ]Ω

AV

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

tituR

où R est la résistance en [Ω], u(t) la tension en [V] et i(t) le courant en [A]. Cette relation peut être représentée graphiquement comme suit :

I [A]

R = 5 [ ] R = 1 [ ]

R = 0,2 [ ]

U [V]

BSR20040919_E.des Figure 1.27 Exemples graphiques du comportement de quelques résistances

1.5.6 Résistivité

L’expérience montre que la résistance d’un corps dépend de sa constitution et de ses dimensions. Considérons un barreau en aluminium de section rectangulaire, caractérisée par sa longueur l et sa section A. Appliquons une tension à ses deux extrémités. La résistance sera proportionnelle à sa longueur et inver-sement proportionnelle à sa section.

BSR20040920_E.des

l

A

Figure 1.28 Dimensions d’un barreau dont on veut calculer la résistance électrique



Formule 1.28 [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅=⋅= 2m

mΩmΩAlR ρ

où R est la résistance du barreau en [Ω], l sa longueur en [m] et A sa section en [m2]

DÉFINITION 1.14 : La résistivité ρ est le coefficient de proportionnalité qui apparaît entre les dimen-sions d’un barreau et sa résistance.

La résistivité est une caractéristique du matériau qui constitue ce barreau. En effet, la difficulté avec laquelle le courant y circule, donc sa résistance, dépend du nombre d’électrons libres, caractéristique du matériau. Cette résistivité est d’autant plus petite que le courant passe facilement.

La résistivité est une propriété qui varie avec la température du matériau, et cette variation est généra-lement non linéaire. Toutefois, pour les métaux utilisés dans la plage de température industrielle, une ap-proximation linéaire est presque toujours suffisante. On définit alors :

DÉFINITION 1.15 : Le coefficient de température α (de la résistivité) exprime la variation de résistivi-té en fonction de la variation de température.

Formule 1.29 [ ]Ωm)](1[ réfréf θθαρρ θθ −⋅+⋅= où α est le coefficient de température, en [K-1] ou [ºC-1], θ est la température considérée [ºC], et θréf la température de référence, en général 20 ºC

Pour une résistance de composition et température homogènes, le coefficient de température s’applique également à sa valeur ohmique : Formule 1.30 ][)](1[ Ω−⋅+⋅= réfréfRR θθαθθ

Le tableau ci-dessous donne la résistivité et le coefficient de température de quelques matériaux à température ambiante. Certains d’entre eux ont des propriétés intéressantes : • Le cuivre est, hormis l’argent qui est beaucoup plus cher, le matériau qui présente la résistivité la plus faible. C’est la raison pour laquelle ce matériau est utilisé dans presque tous les appareils électriques ainsi que pour le transport de l’électricité.

• L’aluminium présente une résistivité plus élevée. Toutefois, ce matériau est environ 3 fois plus léger que le cuivre. Il est souvent utilisé à la place du cuivre pour cette raison.

• Le constantan, un alliage de cuivre et de nickel, présente une résistance plus élevée, mais un coefficient de température presque nul. C’est pourquoi il est utilisé, entre autre, pour les jauges de contraintes.



Matériau Symbole Résistivité ρ à 20 ºC [Ωm]

Coeff. de temp. à 20 ºC [K-1] ou [ºC-1]

cuivre Cu 17,5 ⋅ 10-9 4 ⋅ 10-3 aluminium Al 28 ⋅ 10-9 4 ⋅ 10-3 constantan Cu-Ni 500 ⋅ 10-9 0,02 ⋅ 10-3

argent Ag 16 ⋅ 10-9 4 ⋅ 10-3 platine Pt 98 ⋅ 10-9 4 ⋅ 10-3

or Au 23 ⋅10-9 4 ⋅ 10-3 fer Fe ~100 ⋅ 10-9 6 ⋅ 10-3

carbone (graphite) C 60’000 ⋅ 10-9 ~-0,3 ⋅ 10-3 eau pure H2O 250 ⋅ 103

verre 1012 … 1018 nylon 50 ⋅ 109

PVC 100 ⋅ 1012

Table 1.7 Résistivité et coefficient de température de quelques matériaux Cette linéarisation présente toutefois des limites. La résistivité peut varier dans de très fortes propor-

tions avec l’état physique du matériau ou des sollicitations extérieures (photo résistances sensibles à la lu-mière). Plusieurs matériaux présentent aussi une propriété intéressante à très basse température, pour la-quelle leur résistivité devient rigoureusement nulle. On parle alors de supraconductivité.

1.5.7 La résistance comme composant électrique

La résistance n’est pas seulement une grandeur électrique que l’on peut mesurer. C’est aussi le nom des composants électriques dont la caractéristique principale est d’avoir une résistance déterminée. C’est pour contourner ce problème de la langue française que l’on parle également de la valeur ohmique d’une résistance, ce qui est plus clair que de dire « la résistance d’une résistance ». Remarquons que cette confusion existe également en allemand (der Widerstand, respectivement der Widerstandswert), mais pas en anglais (this resistor has a resistance equal to 100 Ω).

Ces composants sont fabriqués à l’aide de divers matériaux : constantan, platine, carbone, etc. Lors-qu’on souhaite réaliser un corps de chauffe, on utilise généralement du fil de constantan, bobiné autour d’un cylindre ou d’un support en céramique (isolant). En électronique, on utilise également des résistances à fil métallique bobiné, de très petites tailles, ou des résistances à masse de carbone.



Figure 1.29 Quelques résistances (composants)

Vu la petite taille de la plupart de ces résistances, les électroniciens ont établi un code de couleurs permettant, par lecture d’anneaux en diverses couleurs, de déterminer leur valeur ohmique.

BSR20050807.C.des

1 chiffre significatifer

multiplicateur

2 chiffre significatifème

tolérance (précision)

couleur 1er chiffre

2ème chiffre

multipl. tolérance

gris 10% or 5% noir 0 0 100 brun 1 1 101 1% rouge 2 2 102 2% orange 3 3 103

jaune 4 4 104 vert 5 5 105

bleu 6 6 106 violet 7 7 107

gris 8 8 blanc 9 9

Figure 1.30 Code de couleurs des résistances électriques (exemple : 2,40 MΩ ±10%)

1.5.8 Effet Joule

Le mouvement d’ensemble des électrons libres dans un conducteur est lent car leur chemin est obs-trué par des atomes qui les font dévier. Ces chocs et frottements produisent un dégagement de chaleur. Une partie de l’énergie électrique transportée par le conducteur est transformée en énergie thermique.

DÉFINITION 1.16 : On dénomme pertes Joule ou pertes ohmiques l’énergie thermique produite dans un conducteur par le passage d’un courant électrique.

Loi de Joule :

La puissance électrique transformée en chaleur par un courant circulant dans une résistance est proportionnelle au carré de ce courant, et à la valeur de cette résistance.

Formule 1.31 ( ) ( ) [ ] [W]AΩ 2 =⋅⋅= 2tiRtP où P(t) est la puissance en [W], R la résistance en [Ω] et i(t) le courant électrique en [A]



1.5.9 Puissance électrique

Si, dans la formule ci-dessus, on remplace R par le rapport de la tension et du courant (loi d’Ohm, Formule 1.27), on obtient une équation qui permet de calculer la puissance directement à partir de la tension électrique et du courant : Formule 1.32 ( ) ( ) ( ) [W][A][V] =⋅⋅= titutP

où P(t) est la puissance en [W], u(t) la tension en [V] et i(t) le courant en [A] Cette équation peut être généralisée à n’importe quel circuit électrique reliant 2 bornes A et B. En ver-

tu de la loi de Kirchhoff sur les nœuds, le courant qui pénètre dans le circuit par la borne A en ressort inté-gralement par la borne B, et vice versa. Si ce courant et la tension entre les points A et B sont connus, on peut calculer la puissance électrique fournie à ce circuit.

iA

uAB

A

B

BSR20050918_A.des

iA

p

Figure 1.31 Puissance consommée – convention de signe

Convention de signe : La puissance d’un circuit électrique vu depuis ses deux bornes A et B est po-sitive si, la tension entre A et B étant positive, le courant pénétrant dans le circuit par la borne A est égale-ment positif. Ainsi définie, cette puissance est consommée par le circuit : Elle « entre » dans l’appareil consi-déré.

Batterie

+ -


Batterie

+ -tension U


BSR20040919_D.des

sens conventionnelde la puissance

Figure 1.32 Puissance consommée – exemple



Si l’on considère les deux composants représentés dans la Figure 1.32, nous constatons : • La batterie fournit de la puissance électrique, car, si l’on désigne par « A » sa borne posi-

tive, la tension entre A et B est positive, et le courant entrant dans le générateur par cette borne A est négatif. Cependant, la puissance électrique ne vient pas de nulle part : Elle est fournie par la batterie qui transforme de l’énergie chimique en énergie électrique.

• La charge (résistance) absorbe de la puissance électrique, car, la tension entre ses bornes A et B étant positive, le courant entrant dans cette charge par sa borne A est positif. Cepen-dant, la puissance électrique absorbée par la résistance ne disparaît pas : Elle est transformée en chaleur (énergie thermique).

Si la charge était un moteur électrique et non une résistance, la puissance électrique reçue serait transformée en puissance mécanique, à l’exception des pertes et frottement qui produiraient de la chaleur. Si ce moteur entraîne un ascenseur, et qu’au lieu de monter une charge, il la fait descendre, le moteur freine la charge et fonctionne en générateur. Par transformation d’énergie mécanique en énergie électrique, il fournit du courant à la batterie, qui est alors en recharge. Il en résulte que le courant et la puissance sont négatifs. La Table 1.8 montre toutes les combinaisons possibles.

( )tu BA→ ( )tiA ( )tp Exemples

>0 >0

<0 <0 >0

résistance : chaleur moteur : puissance mécanique batterie : décharge

>0 <0

<0 >0 <0

moteur : freinage mécanique batterie : charge

Table 1.8 Convention de signe pour la puissance électrique

1.5.10 Emplois des lois d’Ohm et de Joule

Considérons le cas où le circuit entre les points A et B est une simple résistance de valeur R. Soit uR(t) la tension à ses bornes, iR(t) le courant qui la traverse, et PR(t) la puissance électrique que reçoit cette résistance (et qu’elle dissipe sous forme thermique).

Ce sont là 4 grandeurs physiques qui caractérisent le fonctionnement du composant « résistance ». Les lois d’Ohm (Formule 1.27) et de Joule (Formule 1.32) montrent que ces grandeurs sont liées. En ma-thématique, on dirait que ces deux lois forment un système de 2 équations à 4 inconnues.

Comme en mathématique, si l’on fixe 2 valeurs quelconques parmi ces 4 inconnues, les 2 autres en découlent automatiquement. Les lois d’Ohm et de Joule sont parfaitement réversibles et combinables.

Pour toutes les combinaisons possibles de valeurs fixées, le tableau ci-dessous montre comment cal-culer les deux autres :



R iR(t) uR(t) PR(t)

R iR(t) ( ) ( )tiRtu RR ⋅= ( ) ( )2tiRtP RR ⋅=

R ( ) ( )R

tuti RR = uR(t) ( ) ( )

RtutP R

R

2

=

R ( ) ( )R

tPti RR = ( ) ( ) RtPtu RR ⋅=

PR(t)

( )( )tituR

R

R= iR(t) uR(t) ( ) ( ) ( )titutP RRR ⋅=

( )( )2ti

tPRR

R= iR(t) ( ) ( )tiPtuR

RR = PR(t)

( )( )tPtuR

R

R2

= ( ) ( )( )tutPti

R

RR = uR(t) PR(t)

Table 1.9 Relations entre R, iR(t), uR(t) et PR(t)

1.5.11 Énergie électriques

Nous avons vu au paragraphe 1.4.5 que la puissance est une quantité de travail accomplie par se-conde. Il en va de même en électricité : l’énergie électrique est proportionnelle à la puissance moyenne mise en jeu et à la durée considérée : Formule 1.33 ( ) ( ) [J][s][W] =⋅Δ⋅=Δ ttPtE moyen

( ) ( ) [W][s][J]

=Δ

Δ=

ttEtPmoyen

E(t) est l’énergie en [J], Pmoyen(t) la puissance en [W], et Δt la durée en [s] Comme dans les cas du travail mécanique, on peut appliquer le calcul différentiel et intégral. On ob-

tient alors :

Formule 1.34 ( ) ( ) [W][s][J]

==dt

tdEtP

( ) ( ) [J][s][W] =⋅⋅== ∫∫ dttPdEtE

L’unité SI d’énergie électrique est le joule, qui correspond à une puissance de 1 W consommée pen-dant 1 s. Toutefois, dans les milieux de la production, de la distribution et de la consommation d’énergie, il est d’usage d’utiliser une autre unité, le kilowattheure [kWh].

DÉFINITION 1.17 : Le kilowattheure [kWh] est la quantité d’énergie électrique absorbée pendant 1 heure par un appareil dont la puissance constante est de 1 kW.

Il résulte de cette définition que : Formule 1.35 1 kWh = 1'000 W · 3'600 s = 3'600'000 J = 3,6 MJ



Remarque : Dans un circuit électrique, il est important de distinguer : • La puissance d’un appareil, qui est la puissance électrique absorbée ou fournie par cet appa-

reil. Un tel appareil convertit l’énergie électrique en une autre forme, ou vice versa. Ainsi, un moteur qui transforme de l’énergie électrique en énergie mécanique sera caractérisé par sa puissance. Pour des appareils comme des moteurs et des batteries, la puissance absorbée peut être positive ou négative.

• Les pertes ohmiques, ou pertes Joule, qui correspondent à la puissance électrique transfor-mée en chaleur lors du transport de l’électricité ou du processus de conversion. Ces pertes cor-respondent toujours à une puissance positive. Transformées en chaleur, elles sont souvent non récupérables et perdues. Il en va de même, par exemple, pour les pertes par frottement d’un système mécanique en mouvement.

1.5.12 Rendement

Le rendement d’un appareil est une caractéristique très importante. Pour un moteur, le rendement se-ra le rapport de la puissance disponible à l’arbre et de la puissance électrique qui lui est fournie. Un mauvais rendement produit des effets négatifs comme par exemple :

• élévation de la température ambiante, nuisible au bon fonctionnement des appareils électriques comme des éléments mécaniques ;

• échauffement du moteur ; cette chaleur transmise aux parties mobiles provoquera des dilata-tions qui altéreront la précision d’une machine-outil ou influenceront un processus chimique ;

• coût supplémentaire de l’énergie consommée.

puissanceélectrique

pertesohmiques pertes par

frottement

puissancemécanique(à l’arbre)

BSR20050918_B.des Figure 1.33 Puissances en jeu dans le fonctionnement d’un moteur électrique



EXEMPLE Le moteur électrique d’un appareil de jardinage a une puissance nominale de 1’000 W. Son rendement est de

60%. Il est alimenté sous 230 V par une ligne de 100 m de longueur. Calculer les puissances en jeu.

BSR20040920_B.des

Uréseau Umot

IRcâble

Rmot

Figure 1.34 Exemple du calcul des puissances pour un appareil de jardinage

Le courant nominal de ce moteur vaut : A35,4V230W000'1

===réseau

nomnom U

PI

Il se comporte comme une résistance : ΩAV 9,52

35,4230

===nom

nommot I

UR

En admettant que le câble comporte deux fils de cuivre de 1,5 mm2 de section (un pour l’aller, l’autre pour le retour du courant), sa résistance vaut :

Ω 2,3m 101,5m 1002m 1 26- =

⋅⋅

⋅Ω⋅=⋅= −9105,7AlRcâble ρ

Pour des raisons qui seront abordées au chapitre suivant, le système câble + moteur se comporte comme une ré-sistance :

Ω=+=+= 2,553,29,52motcâbletotal RRR

Le courant parcourant ce système vaut alors (loi d’Ohm) : AΩV 164

255230 ,

, I ==

Nous pouvons calculer ainsi les puissances suivantes :

• Puissance absorbée par le moteur : W AΩ 917164952 22 =⋅=⋅= ) ,( ,IRP motmot él

• Puissance dissipée par le câble (perte) : W A)(4,16 2,3 2 402 =⋅Ω=⋅= IRP câblecâble

• Puissance totale consommée : WA , V Ptotal 957164230 =⋅=

On constate que l'on a bien : W WW 95740917 =+=+= PPP motcâbletotal

Nous devons également tenir compte du rendement du moteur. Si ce rendement est par exemple de 60%, nous ne retrouverons à l’arbre que la puissance mécanique suivante :

WW 55091760 =⋅=⋅= ,PηP élmotmotméc

Des 957 W soutiré du réseau électrique, nous ne retrouvons que 550 W à l’arbre du moteur. La différence est constituée de pertes ohmiques dans le câble (40 W) et de pertes diverses dans le moteur (917 – 550 = 367 W).



Chapitre 2

Théorie des circuits linéaires

2.1 Principes généraux

2.1.1 Domaine d’application

Les systèmes électriques sont formés d’appareils extrêmement divers et de conducteurs de toutes sortes les reliant. La théorie des circuits permet d’étudier, d’analyser et de prévoir leur comportement.

Elle s’applique aux dispositifs de production, de distribution et d’utilisation de l’électricité. Elle s’utilise également pour décrire les systèmes de communication et de traitement de l’information, mais seulement dans la mesure où ces informations se présentent sous forme analogique. En effet, le traitement numérique fait appel à d’autres modèles mieux adaptés, qui seront évoqués au Chapitre 7 .

Au-delà de l’électricité, la théorie des circuits linéaires est utilisée dans beaucoup d’autres domaines comme l’étude de la propagation de la chaleur et des fluides, ainsi que celle des comportements vibratoires, etc. La méthode des éléments finis utilisée par exemple en résistance des matériaux est également dérivée de la théorie des circuits électriques.

2.1.2 La modélisation, préalable à l’expérimentation

Confronté à un système technique, l’ingénieur sera rapidement tenté de procéder à des essais. L’expérimentation consiste en une série d’essais et de mesures. L’objectif est d’en vérifier et comprendre le fonctionnement, mais surtout d’en prévoir ou anticiper le comportement.

Toutefois, pour que cette démarche soit fructueuse, en particulier en ce qui concerne la prévision du comportement, l’ingénieur doit impérativement tenir compte de l’exigence suivante, caractéristique d’une démarche scientifique :

Si n’importe qui d’autre répète l’expérience, n’importe où, n’importe quand, en reproduisant exactement les conditions d’essais et de mesures, il doit obtenir des résultats identiques. Tout écart nécessitera de nouvelles investigations et une explication.



Pour satisfaire cette condition, l’ingénieur doit au préalable réfléchir, analyser le système en question. Dans la mesure du possible, il cherchera à découper le problème d’ensemble en plusieurs sous-problèmes indépendants, dans la mesure du possible ressemblant à des cas connus, car il est généralement plus facile de traiter plusieurs problèmes distincts que de vouloir « tout résoudre simultanément ».

Bien sûr, il devra décrire sa démarche. Là encore, le fait d’avoir décomposé le problème lui permettra souvent d’utiliser des procédures et des résultats pré existants, voire de se référer à des normes, ce qui lui simplifiera le travail tout en garantissant une description éprouvée.

EXEMPLE Pour utiliser une balance à fléau, l’ingénieur considèrera que le bras est infiniment rigide et infiniment mince, que

les couteaux sont assimilés à des points de rotation idéaux (frottements nuls, taille infiniment petite), et que les masses sont concentrées chacune en un seul point. Il aura ainsi créé un modèle de cette balance.

Pour concevoir ou pour contrôler cette balance, le même ingénieur devra certainement s’intéresser au comporte-ment des différents matériaux. Il devra affiner le modèle, et prendra en considération, par exemple, l’élasticité du métal utilisé pour le fléau et la déformation des couteaux sous l’effet de la charge. Ce faisant, il se contentera probablement en-core d’un modèle du comportement élastique de l’acier.

EXEMPLE Pour étudier le comportement de la suspension d’une automobile, cette découpe pourrait être la suivante :

• Déterminer les constituants de base (ressorts, amortisseurs) et procéder à des essais ou à des calculs pour chacun d’eux, séparément.

• Décomposer plus finement, et procéder à un test d’élasticité de l’acier utilisé. Dans ce cas, il ne sera proba-blement pas nécessaire de faire le test sur la pièce en question, et de se contenter d’un essai-type normalisé sur un échantillon dont les dimensions sont adaptées au dispositif de mesure. L’avantage de la découpe du problème en sous-problèmes indépendants est alors évident.

• Déterminer chacune des caractéristiques du système complet et procéder à des tests distincts, souvent norma-lisés : bande passante (comportement pour des perturbations à diverses fréquences), tenue climatique (varia-tions de température et d’humidité, gel, salissures), vieillissement (modification des caractéristiques précéden-tes en fonction de l’usure), etc.

• Analyser les divers aspects logistiques (production, contrôle de qualité, stockage, distribution, coûts, etc.)

En résumé, la démarche consiste à décomposer le système en un certain nombre de boîtes noires, puis à les étudier séparément. Cette décomposition peut se faire en plusieurs étapes (automobile dans son ensemble – suspension considérée isolément – ressort – qualité de l’acier). A chaque niveau, par exemple en étudiant le ressort, l’ingénieur considérera le matériau comme une boîte noire : Il tiendra compte de son élasticité, mais ne s’inquiétera pas des détails de la mesure d’élasticité.

Cette démarche fait une large part à la modélisation : Étudiant un problème à un niveau donné, le fait de considérer les sous-problèmes comme des boîtes noires revient à en faire des modèles.



2.1.3 Principe de linéarité

Considérons un système physique ayant une entrée et une sortie. A l’entrée, on applique une cause c, et l’on récolte à la sortie l’effet e produit par cette cause.

Systèmephysique

cause c effet e

BSR20041001_A.des Figure 2.1 Cause et effet

DÉFINITION 2.1 : On dit qu’un système physique est linéaire lorsque l’effet est strictement propor-tionnel à la cause qui le produit.

Formule 2.1 ( ) ckce ⋅=

Dans un diagramme ayant la cause pour abscisse et l’effet pour ordonnée, ceci se traduit par une droite passant par l’origine.

BSR20050814_A.des

cause c

effet e

k·c

c Figure 2.2 Diagramme d’un système linéaire

EXEMPLE Dans le cas d’un ressort, l’allongement est un effet, causé par la force de traction exercée entre ses deux extrémi-

tés. Cette relation cause - effet est généralement considéré comme linéaire. En réalité toutefois, cette linéarité n’est pas absolument exacte, même dans la zone dite utile. De plus, si la force est trop élevée, le barreau se déforme de manière ir-réversible et se casse.

Il existe également des systèmes non linéaires. Ainsi par exemple, lorsqu’un véhicule (système) se déplace, le frottement de l’air (effet) augmente plus rapidement que sa vitesse (cause). Les diodes (compo-sants semi-conducteurs) ont aussi un comportement non linéaire.

La linéarité n’est jamais absolument exacte pour les systèmes physiques. Toutefois, il suffit qu’elle soit suffisamment exacte dans certaines limites, la zone utile, pour que l’ingénieur puisse l’utiliser à son avantage. Une fois encore, l’ingénieur doit en tout temps se poser la question de la pertinence du mo-dèle utilisé, en fonction du problème posé. La précision d’un pèse-personne n’est par exemple que de 200 grammes, et il suffit de le savoir et d’en tenir compte dans l’utilisation du résultat de la mesure.

Presque tous les systèmes réels, linéaires dans leur zone d’activité normale, deviennent non linéai-res lorsque l’effet excède certaines limites : On dit que le système est alors en butée ou en saturation. Les systèmes à ressort sont un bel exemple de ce phénomène.



2.1.4 Principe de superposition

Les systèmes linéaires jouissent d’une propriété particulièrement intéressante pour l’ingénieur, car elle est à la base de la décomposition des problèmes compliqués en sous-problèmes plus simple. C’est le prin-cipe de superposition :

1er principe de superposition :

Si, pour un système linéaire, on applique à l’entrée une somme de deux causes c1 et c2, l’effet résultant est la somme des effets partiels e1 et e2 dus à chaque cause prise séparément.

Formule 2.2 ( ) ( ) ( ) ( )21212121 cececkckcckcce +=⋅+⋅=+⋅=+

2ème principe de superposition :

Si, pour un système linéaire, on multiplie une cause c par une constante x, l’effet résultant e est multiplié par la même constante x.

Formule 2.3 ( ) ( ) ( )cexcxkcxkcxe ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅

BSR200508_C.des

cause c

effet e

k·c1

k·c2

k·(c1 2+c )

c +c1 2c2c1 BSR20050814_B.des

cause c

effet e

k·(x c)·

x·cc

k·c

Figure 2.3 Effets de la multiplication et de la somme de causes



EXEMPLE Considérons un ressort équipant un pèse-personne :

• Ce ressort se déforme de manière proportionnelle au poids de la personne qui se place sur l’appareil.

• Il entraîne une aiguille sur un cadran, dont le déplacement est proportionnel au poids et à la masse de la per-sonne, et fournit une indication en kilogrammes.

• Le pèse-personne est un système, la masse est une cause, la déformation est un effet.

• Une personne deux fois plus lourde provoquera un déplacement deux fois plus important, fournissant un résul-tat de mesure deux fois plus élevé.

• Si deux personnes arrivent à se placer sur ce pèse-personne, le résultat de la mesure correspondra à la somme des mesures que chacun aurait obtenue séparément.

2.1.5 Systèmes à plusieurs entrées et plusieurs sorties

Les conclusions qui ont été tirées de l’étude de ce modèle simple s’appliquent également à des sys-tèmes plus complexes ayant plusieurs causes (entrées) et plusieurs effets (sorties). Ainsi, un système déformable peut être soumis à des forces exercées en plusieurs points différents (entrées), et l’application de ces forces aura pour effet le déplacement par déformation de plusieurs points du système (sorties). C’est le principe de superposition généralisé :

Principe de superposition généralisé :

Pour un système linéaire soumis à plusieurs causes, et dont ont mesures plusieurs effets l’effet résultant mesuré en chaque sortie du système est la somme des effets partiels produits en cette même sortie par chacune des causes qui sont appliquées aux entrées du système.

EXEMPLE Considérons un barreau en constantan (ce pourrait être une jauge de contrainte). Ce barreau est fixé d’un côté, et

on exerce une force F à son autre extrémité. Par ailleurs, faisant circuler un courant électrique dans ce barreau, on lui fournit une puissance Pélec, ce qui provoque son échauffement. On mesure l’allongement lΔ de ce barreau, ainsi que sa variation de température TΔ .

Batterie

+ -

Batterie

+ -

BSR20041003_A.des

Pélec

barreauF

l l

T

Système“barreau”

force F allongement

puissance P température

Figure 2.4 Exemple d’un barreau de constant soumis à une force et chauffé électriquement



Dans les limites de l’expérience, où l’on ne cherche pas à briser ni à liquéfier ce barreau, on peut le considérer comme un système linéaire, avec 2 causes (la force et la puissance électrique) et 2 effets (l’allongement et la tempéra-ture).

Si l’on applique uniquement une force, mais aucune puissance électrique, le barreau s’allongera proportionnelle-ment à la force, le coefficient de proportionnalité étant le module d’élasticité. Par contre, la température n’est pas affec-tée.

Si l’on applique uniquement une puissance électrique, mais aucune force, le barreau s’échauffera à cause de l’effet Joule. En effet, l’énergie électrique est transformée en énergie thermique. En première approximation, on peut admettre que l’élévation de température, après stabilisation, est proportionnelle à la puissance électrique fournie, le facteur de pro-portionnalité étant la résistance thermique barreau – air ambiant. Sous l’effet de l’élévation de la température, le barreau s’allongera également, le facteur de proportionnalité étant le coefficient de dilatation.

Si l’on applique simultanément la force et la puissance électrique, l’allongement sera la somme de celui provoqué par l’élasticité et de celui provoqué par la dilatation.

Cet exemple montre à nouveau la démarche de l’ingénieur. Pour obtenir un premier résultat, il considèrera que l’échauffement du barreau est proportionnel à la puissance électrique fournie, et pourra ainsi appliquer le principe de su-perposition. Cette démarche est valable avec une grande précision pour des petites variations de puissance et de tempé-rature.

Toutefois, s’il désire un résultat plus précis pour des variations plus importantes, il devra tenir compte de la non li-néarité de cet échauffement. Dans ce cas, le principe de superposition ne s’applique pas.



2.2 Circuits électriques

2.2.1 Modélisation des circuits électriques

La théorie des circuits électriques procède par une modélisation discrète des systèmes réels. Ainsi, pour étudier le comportement du courant et de la tension aux bornes d’un barreau de cuivre, il suffit la plu-part du temps de concentrer la propriété « résistance » plutôt que de considérer ce qui se passe dans chaque mm3 ou autour de chaque molécule de ce barreau.

Cette approche simplifie énormément l’analyse d’un circuit comportant plusieurs barreaux, intercon-nectés par des fils de cuivre. Procédant par modélisation, l’ingénieur considèrera que chaque barreau est une boîte noire appelée « résistance », et que les fils qui les relient sont « idéaux », ce qui signifie qu’ils ont une résistance nulle et ne servent qu’à assurer la liaison électrique sans intervenir de quelque manière que ce soit dans le bilan énergétique du circuit.

Ce faisant, l’ingénieur doit toujours se poser la question de la pertinence des modèles utilisés et, cas échéant, doit procéder aux corrections nécessaires :

• Si les fils électriques reliant un moteur à son alimentation sont très longs, comme c’est le cas dans l’exemple de la 0, il n’est généralement plus possible de les considérer comme de simples liaisons électriques. L’ingénieur en tient compte en introduisant une nouvelle boîte noire dé-nommée « résistance câble », dans laquelle il concentrera l’ensemble de la résistance des fils. Il insère cette résistance entre l’alimentation et le moteur, le tout pouvant alors être interconnec-té par des fils idéaux.

• Un autre cas où le modèle de la résistance doit être remis en cause est celui où le courant qui la traverse n’est pas continu, mais variable à haute fréquence. Dans ce cas, le courant a ten-dance à ne pas circuler au centre du barreau, et à se concentrer sur sa circonférence. Ce phé-nomène est appelé effet pelliculaire. Nous n’en tiendrons cependant pas compte dans le ca-dre de ce cours.

Les types de composants élémentaires nécessaires à l’analyse des circuits linéaires sont peu nom-breux. Ce sont :

• la source idéale de tension ; • la source idéale de courant ; • la résistance ; • l’inductance (sera abordée au paragraphe 5.3) ; • la capacité (sera abordée au paragraphe 5.4) ; • la liaison électrique idéale.

A chacun de ces composants correspond un symbole graphique, comme le montre la figure ci-dessous.



U

I

R

L

C

liaison électrique

contacts pas decontact

BSR20041003_B.des

Figure 2.5 Symboles graphiques utilisés dans le cadre de ce cours

- source idéale de tension U - source idéale de courant I - résistance R - inductance L - capacité C - liaison électrique (point de contacts, croisement sans contact)

Des appareils plus sophistiqués comme les moteurs, transformateurs et dispositifs à semi-conducteurs peuvent apparaître dans certaines applications. Toutefois, pour l’étude de leur comportement dans un circuit électrique, ils sont presque toujours remplacés par des modèles constitués des éléments de base mentionnés ci-dessus.

2.2.2 Mailles, nœuds et lois de Kirchhoff

2.2.2.1 Définitions

Dès qu’un circuit électrique est formé de plusieurs éléments constituants, il est possible de définir leur disposition relative.

exemple d’unemaille

exemple d’unnoeud

exemple d’unebranche

BSR20041003_C.des Figure 2.6 Exemples de nœuds, branches et mailles



DÉFINITION 2.2 : Un nœud est le point de convergence de plusieurs liaisons électriques.

DÉFINITION 2.3 : Une branche regroupe les composants situés entre 2 nœuds. Ces composants sont connectés en série et parcourus par le même courant.

DÉFINITION 2.4 : Une maille est un contour fermé constitué de plusieurs branches, parcouru en partant d’un nœud pour y revenir, sans passer deux fois par la même branche.

Les courants circulant dans chaque composant, ainsi que les tensions à leurs bornes, sont liés entre eux par deux lois de base, appelées lois de Kirchhoff.

2.2.2.2 Lois de Kirchhoff

Loi de Kirchhoff pour les nœuds :

En un nœud d’un circuit, la somme algébrique des courants est nulle.

La loi de Kirchhoff pour les nœuds exprime le fait que les électrons libres ne peuvent pas s’échapper du circuit conducteur. La somme des courants qui y entrent dans un nœud est égale à la somme de ceux qui en sortent.

Le qualificatif « algébrique » signifie que les termes de la somme doivent être affectés de signes, dé-signant le sens de circulation des courants par rapport au nœud. On peut par exemple considérer comme positif les courants qui entrent dans le nœud.

i4

i2

i3i5

i1

BSR20041003_D.des Figure 2.7 Loi de Kirchhoff pour les nœuds

Formule 2.4 [A]0iiiii n321

n

1kk =++++=∑

=

K

où chacun des courants ik est sa valeur dans le sens des flèches correspondantes (avec l’orientation choisie, un courant sortant du nœud est donc négatif)

Cette loi s’applique à de nombreux autres domaines.

EXEMPLE Analysons par exemple la circulation dans un carrefour routier : Si l’on compte pour chaque rue qui mène à ce car-

refour la différence entre le nombre de voitures qui y entrent et celles qui en sortent, puis que l’on fait la somme de ces dif-férences (en tenant compte du signe), celle-ci est évidement nulle. Sauf s’il y a un parking invisible sous le carrefour, bien sûr !

Cas particulier : Les courants circulant dans chacun des composants d’une branche sont tous identi-ques. On peut en effet considérer qu’entre ces 2 composants, il y a un nœud comportant 2 branches. Le courant qui sort de l’un de ces composants et aboutit à ce nœud ne peut que poursuivre son chemin dans le second composant.



Cas limite : Pour des courants alternatifs à très hautes fréquences, un courant électrique entrant par l’extrémité d’un fil ne sort pas à l’autre extrémité. Elle est transformée en énergie rayonnée. Réciproquement, un conducteur placé dans un champ rayonné à haute fréquence peut débiter un très petit courant. Il s’agit là du principe des antennes de radio transmission. Il s’agit d’un cas typique où une loi ne peut plus être appli-quée parce que le modèle choisi ne convient plus.

Loi de Kirchhoff pour les mailles :

La somme algébrique des tensions aux bornes des composants formant une maille est nulle.

La loi de Kirchhoff pour les mailles exprime le fait que si, après avoir parcouru un contour fermé, on revient au point de départ, on retrouve le même potentiel électrique qu’au début. On suppose que les ten-sions sont toutes vues dans le même sens lorsqu’on parcourt la maille. Elles sont affectées d’un signe dési-gnant le sens réel par rapport à ce sens de référence.

La somme des tensions ainsi observées est nulle.

u1

u2

u3

BSR20041003_E.des Figure 2.8 Loi de Kirchhoff pour les mailles

Formule 2.5 [V]0uuuuu n321

n

1kk =++++=∑

=

K

où chacune des tensions uk est relevée dans le sens des flèches correspondantes Cette loi s’applique également à d’autres domaines.

EXEMPLE Un randonneur qui additionne la différence d’altitude de chaque étape après être revenu à son point de départ ob-

tiendra bien évidemment un résultat nul. Il comptera bien sûr une valeur positive pour chaque étape de montée, et une va-leur négative pour chaque étape de descente.



2.2.2.3 Représentation d’un circuit électrique

Il existe une quantité quasi illimitée de représenter chaque circuit électrique. Malgré cette grande di-versité de représentation, les règles de fonctionnement de ce circuit restent inchangées.

C’est un peu comme si l’on demandait à plusieurs personnes de dessiner un objet, chacune le repré-sentant sous un angle différent, en tenant compte ou non d’effets de perspectives et d’ombres, voire en fai-sant les trois projections typiques du dessin technique. Quels que soient la façon dont cette pièce est repré-sentée et l’auteur du dessin, il s’agit toujours de la même pièce, avec ses propriétés particulières.

Lorsque l’on étudie un schéma électrique constitué d’un grand nombre de composants linéaires tels que ceux listés au paragraphe 2.2.1, on peut souhaiter le représenter de différentes façons, pour remplir différents objectifs. Par exemple, un schéma de câblage représentera toutes les liaisons qu’il faut réaliser entre les différents composants. Une autre représentation pourrait regrouper différemment les composants et les liaisons électriques de manière à bien distinguer des tensions d’alimentations différentes, ceci de ma-nière à mieux comprendre le fonctionnement.

En cherchant à rendre apparent des groupes de composants disposés de manière connue, on facilite l’interprétation et l’étude du circuit (par exemple : 2 résistances clairement placées en série, ou en parallèle, comme exposé au paragraphe 2.3).

L’ingénieur de développement peut également représenter ce même circuit de manière à bien distin-guer la partie connue et fixe (par exemple un appareillage d’alimentation) de la partie variable de ce circuit (par exemple le corps de chauffe à dimensionner). Il utilisera le fait que l’on peut toujours représenter un circuit électrique en le découpant en deux parties, interconnectées par deux points A et B, ceci afin de dé-terminer plus systématiquement et plus facilement le point de fonctionnement du circuit.

NOTE : Certains ouvrages traitant de l’électricité utilisent les termes de bipôle ou dipôle pour tout circuit électrique qui possède deux bornes.

iA

uAB

A

B iB

RL

BSR20050911_D.des

Figure 2.9 Exemple de découpe d’un circuit en 2 parties



2.3 Combinaisons simples de résistances

2.3.1 Montage en série

DÉFINITION 2.5 : Plusieurs résistances sont montées en série lorsqu’elles sont parcourues succes-sivement par le même courant.

u1 u2 u3 u4

R1 R2 R3 R4

i

BSR200518_C.desu

Figure 2.10 Résistances en série sur une source de tension

Ces résistances font alors partie d’une seule et même branche. A chacune d’entre elles est appliquée une partie seulement de la tension u. En appliquant la loi de Kirchhoff pour les mailles, les tensions aux bor-nes des résistances sont liées par la relation [V]K+++= 321 uuuu .

En appliquant la loi d’Ohm à chacune des résistances, puis en mettant le courant i en évidence, on obtient :

( ) [V]iRiRRRRiRiRiRiRu e ⋅=⋅++++=+⋅+⋅+⋅+⋅= KK 43214321

DÉFINITION 2.6 : La résistance équivalente Re de plusieurs résistances connectées en série est celle qui, vue de la source de tension, se comporterait comme l’ensemble de ces résistances.

Formule 2.6 ][1

4321 Ω=++++= ∑=

n

kke RRRRRR K

Remarque : La résistance équivalente est toujours plus grande que la plus grande des résistances connectées en série.

Application du montage en série : Une guirlande lumineuse comporte plusieurs dizaines d’ampoules électriques. Celles-ci sont connec-

tées en série, et il n’y a ainsi besoin que d’un seul fil pour les interconnecter. Bien qu’une telle chaîne soit généralement alimentée par le réseau 230 V, les ampoules n’ont qu’une très basse tension nominale. Cela ne pose aucun problème particulier, car la puissance lumineuse nécessaire est très faible. Le seul inconvé-nient est que, si l’un des fils entre deux ampoules est rompu, toutes les lampes s’éteignent.



2.3.2 Montage en parallèle

DÉFINITION 2.7 : Plusieurs résistances sont montées en parallèle lorsqu’elles sont soumises à la même tension.

i1

R1

i2

R2

i3

R3

i4

R4

BSR20061011_A.des

i

u

Figure 2.11 Résistances en parallèle sur une source de tension

En appliquant la loi de Kirchhoff pour les mailles, les courants sont liés par la relation [A]K++++= 4321 iiiii .

En appliquant la loi d’Ohm à chacune des charges, on obtient :

[A]eR

uRRRR

uRu

Ru

Ru

Rui 11111

433214321

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++⋅=++++= KK

La résistance équivalente Re de plusieurs résistances connectées en parallèle est celle qui, vue de la source de tension, se comporterait comme l’ensemble de ces résistances. Notée égale-ment L////// 321 RRRRe = , elle se calcule comme suit :

Formule 2.7 ][1

11111

1

14321

Ω=++++

=

∑=

n

k k

e

RRRRR

RK

∑=

≠n

kkR

1

! ! !

Remarque : La résistance équivalente est toujours plus petite que la plus petite des résistances connectées en parallèle.

Dans tous les cas où il n’y a que 2 résistances, on utilise de préférence la formule simplifiée suivante :

Formule 2.8 ][][][1

111//

2

21

21

21

1

21

2

21

21 Ω=ΩΩ

+⋅

=

⋅+

⋅

=+

==RRRR

RRR

RRR

RR

RRRe

Application du montage en parallèle : Les éclairages, les appareils électroménagers, les moteurs électriques, etc. sont adaptés à des ten-

sions normalisées, par exemple de 230 V. Prévues pour la même tension nominale, ils sont toujours connec-tés en parallèle au réseau d’alimentation.



2.3.3 Montages combinés série parallèle

Dans la pratique, les montages électriques se présentent souvent sous la forme de combinaisons de montages en série et en parallèle. Si l’on dispose par exemple de trois résistances, deux peuvent être mises en parallèle et la troisième en série, ou l’inverse.

BSR20050918_E.des

R1

R2 R3

R1

R2

R3

Figure 2.12 Montages combinés de 3 résistances

Pour l’analyse de tels circuits, on détermine d’abord les résistances équivalentes des parties du mon-tage qui forment clairement des résistances en parallèle (R2 et R3 dans l’exemple de gauche) ou des résis-tances en série (R1 et R2 dans l’exemple de droite).

Ainsi, pour le montage de gauche, on procède comme suit :

( ) [ ]Ω32

323121

32

32321

32

3213//21

32

323//2

RRRRRRRR

RRRRRRR

RRRRRRRR

RRRRR

Ae +++

=+

++=

++=+=

+=

Pour le montage de droite, on procède comme suit :

( )( ) [ ]Ω

321

3231

321

321

321

321321

2121

//RRRRRRR

RRRRRR

RRRRRRR

RRR

Be +++

=++++

=++

==

+=

+

++

+



2.3.4 Diviseur de tension

Certains appareils électroniques nécessitent une tension réglable. L'intensité d'une lampe, le volume du son dans un haut-parleur, la température d'un radiateur ou la vitesse de rotation d'un moteur peut être augmentés ou réduits en modifiant la tension appliquée. Pour des appareils de faible puissance, une tension réglable peut être obtenue à l'aide de résistances de réglage appelées potentiomètres. Le fonctionnement de tels circuits se base sur le principe du diviseur de tension.

2.3.4.1 Diviseur de tension à vide

Un diviseur de tension à vide est composé de deux résistances R1 et R2 mises en série. On applique la tension d’entrée uin(t) à ce montage. Aux bornes de la résistance R2 apparaît la tension partielle uout(t), qui peut être ajustée en choisissant de manière adéquate la valeur des résistances R1 et R2.

R1

R2uin(t) u (t)out

iin(t)

i =0out(t)

BSR20050918_F.des Figure 2.13 Diviseur de tension à vide, formé soit de 2 résistances

Comme le diviseur de tension est à vide, c’est à dire que sa sortie n’est reliée à aucune charge, le courant de sortie iout(t) est nul. En application de la loi de Kirchhoff pour les nœuds, les deux résistances R1 et R2 sont parcourues par le même courant iin(t).

Il en résulte que : ( ) ( )21 RR

tuti inin +

= . Nous obtenons ainsi : ( ) ( )tiRtu inout ⋅=2

, donc :

Formule 2.9 ( ) ( ) [V]tuRR

Rtu inout ⋅+

=21

2

Souvent dans la pratique, on utilise un potentiomètre à la place des deux résistances. Ce composant comporte un corps résistif de valeur R comme une résistance conventionnelle, mais dispose en plus d’un curseur qui permet de prélever ou d’introduire du courant en un point ajustable entre ses deux extrémités. On définit par α la position de la connexion mobile, exprimée en [%]. Celle-ci varie de 0% (curseur en butée d’un côté du corps résistif) à 100% (curseur en butée de l’autre côté du corps résistif).



Figure 2.14 Un potentiomètre

(source : société Widap AG, Fribourg, www.widap.ch)

BSR20050918_G.des

uout(t)

R

uin(t)

iin(t)

i =0out(t)l

l

1

2

3

1

2

3

Figure 2.15 Principe du potentiomètre et exemple de représentation schématique

La Formule 1.28 permet de calculer les valeurs résistives suivantes pour un potentiomètre :

• Entre les points 1 et 2 (corps résistif complet) : RlA

R 21 =⋅=−ρ

• Entre les points 1 et 3 : ( ) RlA

R ⋅=⋅⋅=− ααρα31

• Entre les points 3 et 2 : ( ) ( ) RR ⋅−=− αα 123

De ces valeurs, on déduit que ( ) ( ) RRRR ==+ −−− 212331 αα , ce qui justifie la représentation sché-matique de la Figure 2.15 (à droite). On peut aussi représenter ce potentiomètre de la même manière que si l’on avait 2 résistances distinctes (Figure 2.13), ce qui permet de calculer la tension uout(t) en appliquant la Formule 2.9 :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutuRR

RtuRR

Rtu inininout ⋅=⋅⋅−+⋅

⋅=⋅

+=

−−

− ααα

α12331

31

Il convient de remarquer que la position α du curseur peut également varier dans le temps, ce qui amène à la relation :

( ) ( ) ( )tuttu inout ⋅= α



2.3.4.2 Diviseur de tension en charge

R1

R2uout(t)

i = iin 1(t) (t)

iout(t)

RL

i2(t)

BSR20061011_B.des

uin(t)

Figure 2.16 Diviseur de tension en charge

Lorsqu’une charge est raccordée à la sortie d’un diviseur de tension, le courant de charge iout(t) n’est plus nul, et influence la tension de sortie uout(t). En effet, en application de la loi de Kirchhoff pour les nœuds, le courant i2(t) qui circule dans la résistance R2 ne vaut plus i1(t), mais plutôt i1(t) –iout(t), et le calcul effectué pour le diviseur de tension à vide sur la base des résistances R1 et R2 n’est plus valable.

La tension uout(t) peut être calculée en constatant d’abord que les 2 résistances R2 et RL sont en pa-rallèle. Comme il n’y a pas d’autre charge, on peut appliquer la formule vue plus haut pour le diviseur de tension à vide, constitué de la résistance R1 d’une part, et de la résistance R2-L équivalente aux résistances R2 et RL en parallèle d’autre part.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )tuRRRRR

RRtu

tuRRRRR

RRtu

RRRRR

RRRR

tuRR

Rtu

RRRRRRR

inL

Lout

inLL

Lin

L

L

L

L

inL

Lout

L

LLL

⋅⋅++⋅

⋅=

⋅⋅++⋅

⋅=⋅

+⋅

+

+⋅

=⋅+

=

+⋅

==

−

−

−

2121

2

221

2

2

21

2

2

21

2

2

222 //

Bien que tout à fait correct, ce résultat n’est pas pratique à utiliser. Par contre, en taquinant un peu les mathématiques, il est possible de faire apparaître un résultat beaucoup plus intéressant. Nous pouvons en effet procéder aux transformations successives suivantes du résultat précédent :



( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )321434214434421tI

L

out

RRtvideàu

inout

outLL

inout

inLL

out

inLL

LLout

inLL

LLout

inLL

Lout

inLL

Lout

outout

Rtu

RRRRtu

RRRtu

tuRRRR

RRtuRR

Rtu

tuRR

RRRRR

RRtu

tuRR

RRRRR

RRRRRRtu

tuRRRRRRRR

RRRRRtu

tuRRRRRRRR

RRRRtu

tuRRRRRR

RRtu

⋅+⋅

−⋅+

=

⋅⋅+⋅

⋅−⋅

+=

⋅+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅+⋅⋅

⋅

⋅+

=⋅+⋅

⋅+⋅+⋅⋅

⋅⋅+⋅+⋅⋅+

⋅+⋅⋅=

⋅⋅+⋅+⋅⋅+

⋅⋅+=

⋅⋅+⋅+⋅

⋅=

21 //

21

21

21

2

21

21

21

2

21

2

21

21

21

2

21

2121

212121

212

212121

221

2121

2

1

On obtient finalement ( ) ( ) ( )tiRtutu outevideàoutout ⋅−= , où ( ) ( )tuRR

Rtu invideàout ⋅+

=21

2 est la sortie

du diviseur à vide, et 21

2121 //

RRRR

RRRe +⋅

== est la résistance équivalente que l’on obtiendrait en plaçant

les résistances R1 et R2 en parallèle. Il est remarquable que, ainsi formulé, le diviseur de tension en charge se comporte comme le circuit

représenté en Figure 2.17, que l’on abordera au chapitre suivant. Le théorème de Thévenin, abordé au pa-ragraphe 2.4.5, permettra de généraliser ce résultat.

u out 0(t)

Re

RL

i(t)out

u out(t)

BSR20050918_J.des Figure 2.17 Schéma équivalent au diviseur de tension en charge



2.3.5 Équivalence des résistances en triangle et en étoile

Certains circuits ne se ramènent pas à un enchaînement de mises en série et en parallèle. Le premier circuit de la figure ci-dessous en est un exemple. Il est cependant possible de remplacer le triangle ABC par une étoile ABCN tout en garantissant que, vu de l’extérieur, les deux circuits aient exactement le même comportement. Dès lors, le circuit peut être réduit encore en remplaçant les résistances en série et en paral-lèle, pour n’obtenir plus qu’une seule résistance équivalente.

Remarque : Le détail de ce paragraphe n’est pas essentiel à la compréhension de ce cours, et n’est indiqué que pour offrir une référence en cas de besoin éventuel. Seul le cas particulier de 3 résistances iden-tiques, résumé à la fin par la Formule 2.14 est important. Il sera utilisé lors de l’étude des alimentations alter-natives triphasées, au paragraphe 3.3.3.

A

B

C

DA

N

B

C

DA

RAB

RCA

RBC

RBD

RDA

RND1

RBD

RDA

RAN

NARAN

DRND2

DARAD

BSR20070814_A.des

RCN

RBN

Figure 2.18 Étapes de la réduction d’un circuit de 5 résistances en triangle



Ce procédé de transformation s’explique en se référant aux schémas de la figure suivante :

BSR20050918_O.des

A

BC

IA

IB ICC

A

B

IA

IB IC

UAB UCA

UBC

IAB

IBC

ICA

RAB

RBC

RCA

UAB

UCA

UBC

RAUAN

NRB

UBN

RC

UCN

Figure 2.19 Circuit équivalent avec un triangle, respectivement une étoile

Les équations du circuit en triangle sont :

Formule 2.10

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=−=

−=−=

−=−=

BC

BC

CA

CABCCAC

AB

AB

BC

BCABBCB

CA

CA

AB

ABCAABA

RU

RU

III

RU

RU

III

RU

RUIII

avec ⎩⎨⎧

=++=++

00

CABCAB

CBA

UUUIII

Les équations du circuit en étoile sont :

Formule 2.11 ⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅−⋅=⋅−⋅=⋅−⋅=

AACCCA

CCBBBC

BBAAAB

IRIRUIRIRUIRIRU

avec ⎩⎨⎧

=++=++

00

CABCAB

CBA

UUUIII

On remarquera dans ces équations la permutation circulaire A → B → C → A. Pour trouver la transformation triangle → étoile, on commence par tirer ACA IR ⋅ et BBC IR ⋅ des

deux premières équations du triangle (Formule 2.10) :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+⋅−=⋅

−⋅=⋅

BCABAB

BCBBC

CAABAB

CAACA

UURR

IR

UURR

IR

En soustrayant la 2ème équation de la 1ère, et en tenant compte que la somme des tensions autour de la maille ABC est nulle, donc que ABCABC UUU −=+ , on obtient successivement :

( ) ABAB

ABCABCABAB

AB

CABCCABCAB

AB

CABCBBCACA U

RRRR

UUR

RRUUU

RRR

IRIR ⋅++

=+⋅+

=+−⋅+

=⋅−⋅



Nous pouvons en tirer la valeur de UAB en fonction des courants de nœuds IA et IB. Les deux autres tensions de la configuration en triangle s’obtiennent par analogie, en utilisant la permutation circulaire remar-quée plus haut. Ces trois tensions pour la configuration en triangle valent donc :

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅++

⋅−⋅

++⋅

=

⋅++

⋅−⋅

++⋅

=

⋅++

⋅−⋅

++⋅

=

ACABCAB

CAABC

CABCAB

BCCACA

CCABCAB

BCCAB

CABCAB

ABBCBC

BCABCAB

ABBCA

CABCAB

CAABAB

IRRR

RRI

RRRRR

U

IRRR

RRI

RRRRR

U

IRRR

RRI

RRRRR

U

Ces équations expriment les tensions entre les nœuds de la configuration en triangle, en fonction des courants entrant dans ces nœuds. Pour qu’il y ait équivalence, elles doivent être identiques à celles que l’on obtient pour la configuration en étoile (Formule 2.11).

En égalant les coefficients des courants figurant dans ces deux systèmes d’équations, on obtient les formules permettant le calcul des résistances du système en étoile équivalent au système en triangle :

Formule 2.12

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

++⋅

=

++⋅

=

++⋅

=

Υ⇒Δ

CABCAB

BCCAC

CABCAB

ABBCB

CABCAB

CAABA

RRRRR

R

RRRRR

R

RRRRR

R

:

Pour la transformation inverse, on procède d’une manière analogue. On tire tout d’abord du système d’équation de la Formule 2.11 les valeurs suivantes :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+⋅−=

−⋅=

CAC

A

C

CA

BAB

A

B

AB

IIRR

RU

IIRR

RU

En soustrayant la 2ème équation de la 1ère, et en tenant compte que la somme des courants autour du nœud N est nulle, donc que ACB III −=+ , on obtient successivement :

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=−

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=−

+−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=−

AC

A

B

A

C

CA

B

AB

AAC

A

B

A

C

CA

B

AB

CBAC

A

B

A

C

CA

B

AB

IRR

RR

RU

RU

IIRR

RR

RU

RU

IIIRR

RR

RU

RU

1

Nous pouvons en tirer la valeur de IA en fonction des tensions UAB et UCA. Les deux autres courants de la configuration en triangle s’obtiennent en utilisant la permutation circulaire. Ces trois courants pour la configuration en étoile valent donc :



⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅++

−⋅

++=

⋅++

−⋅

++=

⋅++

−⋅

++=

A

CBCB

BC

B

ACAC

CAC

C

BABA

AB

A

CBCB

BCB

B

ACAC

CA

C

BABA

ABA

RRR

RR

U

RRR

RR

UI

RRR

RR

U

RRR

RR

UI

RRR

RR

U

RRRRR

UI

Ces équations expriment les courants des branches de la configuration en étoile en fonction des ten-sions entre les bornes du système. Pour qu’il y ait équivalence, elles doivent être identiques à celles que l’on obtient pour la configuration en triangle (Formule 2.10).

En égalant les coefficients des tensions figurant dans ces deux systèmes d’équations, on obtient les formules permettant le calcul des résistances du système en triangle équivalent au système en étoile :

Formule 2.13

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅++=

⋅++=

⋅++=

Δ⇒Υ

B

ACACCA

A

CBCBBC

C

BABAAB

RRR

RRR

RRR

RRR

RRRRRR

:

Cas particulier : Si les 3 résistances de la configuration en étoile sont égales entre elles, celles de la configuration en triangle le sont aussi, et réciproquement. En désignant RY les résistances de l’étoile et RΔ celles du triangle, les transformations ci-dessus permettent d’écrire : Formule 2.14 ΥΔ ⋅= RR 3



2.4 Sources de tension et de courant

2.4.1 Introduction

Conformément à ce qui a été expliqué au paragraphe 2.2.1, les éléments de base ne possèdent cha-cun qu’une seule propriété électrique bien déterminée. Ce peut être une source de tension ou de courant, ou une résistance (voire une capacité ou une inductance, composants électriques qui seront abordées au Chapitre 5 , mais obéissent aux mêmes lois d’analyse).

Lorsqu’il s’agit de modéliser des systèmes physiques réels, on utilise des combinaisons de ces élé-ments de base. Ainsi, une pile électrique peut être représentée par la mise en série d’une source idéale de tension et d’une résistance.

2.4.2 Source de tension

DÉFINITION 2.8 : On appelle source idéale de tension toute source d’énergie électrique qui délivre une tension indépendante du courant qu’elle débite, donc de la charge qui est connectée à ses bornes.

Par définition, U0 est la tension de source ou tension à vide (à courant nul). Pour une source idéale, la tension aux bornes u est toujours égale à U0, quel que soit le courant i.

chargelinéaireU0 u

i

BSR20050911_A.des

u(i)U0

u

i

Figure 2.20 Source idéale de tension

Convention d’écriture : La tension u et le courant i varient éventuellement en fonction du temps. Toutefois, on utilise ici la notation u(i) pour indiquer que la tension fournie par la source peut varier en fonc-tion du courant de charge.

Remarque : Une source idéale de tension délivrera toujours la tension u(i) = U0 même pour un cou-rant i infiniment grand. Cela correspond à une puissance électrique infinie. Bien évidemment, de telles sour-ces n’existent pas en réalité. Le concept de source idéale de tension est malgré tout très utile. Il suffit de se limiter à sa zone de fonctionnement, dans laquelle les hypothèses de linéarité sont valides.

Cas particulier : Une source idéale imposant une tension nulle est un court-circuit. Comme pour les résistances, il arrive que plusieurs sources idéales de tension soient connectées en

série. Dans ce cas, on peut modéliser l’ensemble de ces sources par une seule source équivalente.



u1 u2 u3 u4 ue

BSR20050918_L.des Figure 2.21 Mise en série de plusieurs sources idéales de tension

Formule 2.15 ∑=

=++++=n

kke UUUUUU

14321 [V]K

A remarquer que la mise en parallèle de plusieurs sources de tension n’a aucun sens : La tension doit impérativement être la même dans chacune de ces sources (loi de Kirchhoff sur les mailles).

Pour la plupart des sources de tension, comme les piles par exemple, on constate que la tension aux bornes u(i) a tendance à varier en fonction du courant de charge i. C’est la raison pour laquelle on peut améliorer le modèle en définissant la source réelle de tension :

DÉFINITION 2.9 : On appelle source réelle de tension la combinaison d’une source idéale de ten-sion et d’une résistance placée en série. Cette résistance est appelée résistance interne.

chargelinéaire

U0

u(i)

i

BSR20050911_B.des

u

i

U0u (i)R

Ri

u

i

u(i) = U - R0 ·ii

ICC

source réelle

source idéale

u (i)R

Figure 2.22 Source réelle de tension

La résistance interne permet de modéliser une chute de tension proportionnelle au courant débité. Formule 2.16 [V])()( 00 iRUiuUiu iR ⋅−=−=

DÉFINITION 2.10 : La tension à vide U0 d’une source réelle de tension est la tension qui apparait aux bornes de celle-ci lorsque le courant débité est nul.

La tension à vide U0 correspond au point d’intersection entre la droite de charge et l’axe des ordon-nées.

DÉFINITION 2.11 : Le courant de court-circuit ICC d’une source réelle de tension est la valeur que prend le courant lorsque celle-ci est court-circuitée, donc lorsque la tension à ses bornes est nulle.

Le courant de court-circuit ICC correspond au point d’intersection entre la droite de charge et l’axe des abscisses. On en déduit que :

Formule 2.17 i

cc RUI 0=



En général, la résistance interne Ri est très faible, et la source réelle se rapproche d’une source idéale de tension. Ainsi, dans la pratique, les prises de courant 230 V constituent à peu près des sources idéales de tension.

Dans certains endroits cependant, le réseau n’est pas très « rigide », et on voit baisser l’intensité lu-mineuse des lampes lorsque de gros consommateurs (cuisinière, frigo) sont mis en service à proximité. On assimilera ces prises de courant plutôt à des sources réelles de tension.

Malgré son nom, il faut toujours garder à l’esprit que la source réelle de tension ne reste qu’un mo-dèle. Ainsi, dans la réalité, la chute de tension aux bornes d’une pile ne varie pas tout-à-fait linéairement en fonction du courant. Malgré ses imperfections, ce modèle reste cependant très utile pour le travail de l’ingénieur.

2.4.3 Point de fonctionnement d’un circuit

DÉFINITION 2.12 : On appelle point de fonctionnement du circuit le couple de valeurs [uAB ; iA] qui satisfait simultanément les équations relatives aux composants à gauche des points A et B, et les équations relatives aux composants à droite de ces 2 points.

Si l’on considère un circuit constitué d’une source réelle de tension (à gauche dans la Figure 2.23, ca-ractérisée par U0 et Ri) et d’une résistance de charge (à droite, caractérisée par sa valeur ohmique RL), le point de fonctionnement [u(i) et i] peut être obtenu par voie graphique comme le montre cette même figure. La droite de charge de la source est le lieu géométrique des couples de valeurs [u ; i] qui satisfont l’équation de fonctionnement de la partie gauche du circuit. La droite de charge de la résistance est le lieu géométrique des couples de valeurs qui satisfont l’équation de fonctionnement de la partie droite du circuit. Le point d’intersection de ces deux droites satisfait simultanément les équations de fonctionnement des deux parties du circuit. C’est bien le point de fonctionnement recherché.

U0

iA

BSR20050911_C.des

u

i

U0Ri

uAB

iA

RL

charge : u (i) = RL L·i

source : u(i) = U - R0 i ·i

point defonctionnement

u (i)R

u (i)L

A

B

i

iB

u(i) uAB

Figure 2.23 Détermination du point de fonctionnement d’une source réelle par voie graphique

Le point de fonctionnement peut également être obtenu par le calcul : • pour la source réelle de tension : [V]iRUiu i ⋅−= 0)(

• pour la résistance (loi d’Ohm) : [V]iRiu L ⋅=)(

Nous en tirons aisément : Li

L

RRRUiu+

⋅= 0)( , relation qui est identique à la Formule 2.9 relative au

diviseur de tension vu au paragraphe 2.3.4. En examinant Figure 2.23, cette analogie ne devrait pas être une surprise, puisqu’il suffit de dessiner

différemment les 3 composants pour retrouver la Figure 2.13.



2.4.4 Source de courant

DÉFINITION 2.13 : On appelle source idéale de courant toute source d’énergie électrique qui délivre un courant électrique indépendant de la tension à ses bornes, donc de la charge qui est connectée à ses bornes.

Par définition, I0 est le courant de source ou courant de court-circuit (celui sortant de la source lors-que ses bornes sont court-circuitées). Pour une source idéale, le courant débité i est toujours égal à I0, quelle que soit la tension u.

circuitde

chargeu

i

BSR20050911_E.desI0

u

i

I0i(u)

Figure 2.24 Source idéale de courant

Remarque : Une source idéale de courant délivrera toujours le courant i(u) = I0 même pour une ten-sion U infiniment grands. Cela correspond à une puissance électrique infinie. Bien évidemment, de telles sources n’existent pas en réalité. Le concept de source idéale de courant est malgré tout très utile, par exemple en association avec des résistances au platine pour la mesure de température (paragraphe 8.4.3). Il suffit de se limiter à la zone de fonctionnement de la source, dans laquelle les hypothèses de linéarité sont valides.

Cas particulier : Lorsqu’elle impose un courant nul, une source idéale de courant est un circuit ou-vert, similaire à un interrupteur ouvert.

Comme pour les résistances, il arrive que plusieurs sources idéales de courant soient connectées en parallèle. Dans ce cas, on peut modéliser l’ensemble de ces sources par une seule source équivalente.

i1 i2 i3 i4 ie

BSR20050918_M.des Figure 2.25 Mise en parallèle de plusieurs sources idéales de courant

Formule 2.18 [A]∑=

=+++=n

kke iiiii

1321 K

A remarquer que la mise en série de plusieurs sources de courant n’a aucun sens : Le courant doit impérativement être le même dans chacune de ces sources (loi de Kirchhoff sur les nœuds).

Dans la réalité, les sources de courant sont des dispositifs électroniques pas toujours parfaits. Dans le cas où la modélisation d’un circuit nécessite une connaissance plus précise de ce courant, on utilise le mo-dèle de la source réelle de courant.



DÉFINITION 2.14 : On appelle source réelle de courant la combinaison d’une source idéale de cou-rant et d’une résistance placée en parallèle. Cette résistance est appelée résis-tance shunt.

Formule 2.19 [A])()( 00sh

sh RuIuiIui −=−=

u

UCO

source réelle

source idéale

u

i(u)

BSR200509_F.desI0

u

i

I0

i

ish(u)

Rsh

chargelinéaire

ish(u)

i(u)=I -0 Rsh

Figure 2.26 Source réelle de courant

DÉFINITION 2.15 : Le courant à vide I0 d’une source réelle de courant est le courant débité par celle-ci lorsque la tension appliquée est nulle.

Le courant à vide I0 correspond au point d’intersection entre la droite de charge et l’axe des abscis-ses.

DÉFINITION 2.16 : La tension à circuit ouvert UCO d’une source réelle de courant est la valeur que prend la tension lorsque celle-ci n’est pas connectée, donc lorsque le courant déli-vré est nul.

La tension à circuit ouvert UCO correspond au point d’intersection entre la droite de charge et l’axe des ordonnées. On en déduit que : Formule 2.20 0IRU shco ⋅=

DÉFINITION 2.17 : Le courant de fuite ish(u) d’une source réelle de courant est la partie du courant qui circule par la résistance shunt, et qui n’est donc pas fournie à la charge. Il est proportionnel à la tension appliquée.

Une source réelle de courant peut être comparée à un chalumeau : Le courant de court-circuit I0 cor-respond à la puissance calorifique obtenue par la combustion de l’acétylène. Le courant de sortie I corres-pond à la puissance calorifique transmise à la tôle que l’on découpe. Le courant Ish correspond à la puis-sance calorifique transmise à l’air ambiant, et donc perdue.

En général, la résistance shunt Rsh est très élevée. Il arrive que la source de courant sorte de son domaine de linéarité bien avant d’avoir atteint sa tension en régime ouvert UCO. Dans certains cas, la source de courant peut même être endommagée de façon irréversible.



Remarque : Si l’on compare la Figure 2.22 à la Figure 2.26, on constate que, si leurs caractéristiques sont judicieusement choisies, la droite de charge d’une source réelle de courant est identique à celle d’une source réelle de courant. Il est ainsi possible de remplacer une source réelle de courant par une source ré-elle de tension, et vice versa, à condition que ⋅=⋅== shshco RRIRUU 000 et , respectivement

00

00 et RR

RUII shcc === .

2.4.5 Théorème de Thévenin

Dans les circuits électriques, il est rare que l'on désire connaître simultanément l'évolution des cou-rants et des tensions en tous points. L’ingénieur cherchera plutôt à établir une relation entre tension et cou-rant en certains points seulement, par exemple en procédant à une découpe comme proposé à la fin du paragraphe 2.2.2.

Cette méthode est basée sur le théorème de Thévenin :

Théorème de Thévenin :

Tout circuit linéaire vu de deux points A et B est équivalent à une source réelle de tension, ca-ractérisée comme suit :

→ la tension à vide de la source équivalente est égale à la tension qui apparaît entre les points A et B en circuit ouvert ;

→ la résistance interne de la source équivalente est égale à celle que l'on mesure entre les points A et B lorsque toutes les sources idéales de tension et de courant sont rendues pas-sives.

iA

uAB

A

B iB

RL

U0

iA

Ri

RL

A

B

i

iB

uAB

BSR20050911_G.des

Figure 2.27 Théorème de Thévenin

La démonstration de ce théorème sort du cadre de ce cours. Il est important toutefois de rappeler que ce théorème n’est valide que pour des circuits linéaires. Les ingénieurs l’utilisent également pour des circuits et systèmes non linéaires, mais en faisant attention aux erreurs et incertitudes provoquées par cette approximation.



Remarque 1 : Il est parfois plus facile de déterminer le courant de court-circuit ICC de la source équi-valente, puis de calculer sa résistance interne Ri. Pour ce faire, on détermine le courant fourni par le circuit linéaire dans les deux bornes A et B lorsque celles-ci sont en court-circuit.

Remarque 2 : Le théorème de Thévenin fournit simultanément une méthode de calcul (conception d’un nouveau dispositif) et une méthode de mesure (caractérisation d’un appareil existant en mesurant la tension à vide et le courant de court-circuit).

Remarque 3 : Lorsque le circuit linéaire comporte plusieurs sources idéales de tension et de courant, il est souvent préférable d’utiliser le principe de superposition. On calcule ainsi la tension à vide produite par chacune de ces sources isolément, les autres étant rendues passives, puis on fait la somme de ces tensions à vide. On procède de même pour déterminer le courant de court-circuit. Finalement, on calcule la résistance interne de la source équivalente.

Remarque 4 : Nous avons vu au paragraphe précédent que toute source réelle de tension pouvait être remplacée par une source réelle de courant équivalente. Le théorème de Norton est donc un corolaire logique du théorème de Thévenin. Il dit que tout circuit linéaire vu de deux points A et B est équivalent à une source réelle de courant.



2.5 Réduction des circuits

2.5.1 Objectif de la réduction d’un circuit

Le diviseur de tension en charge étudié au paragraphe 2.3.4 ne comportait qu’une source et trois ré-sistances. Pourtant, son analyse à l’aide des lois d’Ohm et de Kirchhoff s’est montrée plutôt ardue. Elle a nécessité un brin d’imagination (ou de pré connaissance du résultat) pour aboutir à une solution simple et plus facilement utilisable. Cet exemple nous montre que pour étudier des circuits plus complexes, une mé-thode est nécessaire.

Dans la pratique de son métier, l’ingénieur est souvent confronté à des problèmes complexes où il n’est pas possible de prendre tous les détails en considération, et pour lesquels le client, la direction d’entreprise ou les collègues attendent rapidement une réponse, même approximative. L’analyse par réduc-tion des circuits, proposée dans ce chapitre, répond à ces demandes.

DEFINITION 2.18 La réduction d’un circuit est une méthode d’analyse de ce circuit, par lequel on remplace abstraitement certains groupes de composants par des circuits équiva-lents, mais beaucoup plus simples et de comportement connu.

Remarque : La réduction ne consiste pas à modifier le circuit réel. Elle n’est qu’une manière abstraite d’étudier ce circuit, comme l’exemple ci-dessous le montre. Cela n’empêche pas qu’il faudra représenter le circuit simplifié après chaque pas de réduction.

EXEMPLE Les piles sont souvent mises en série pour réaliser des alimentations de tension élevées, comme nous le verrons

au paragraphe 3.1.4. La Figure 2.28 montre à gauche un exemple comportant une pile de 4,5 V réalisée avec 3 éléments de 1,5 V connectés en série, et alimentant une ampoule électrique. Pour déterminer le courant fourni à l’ampoule, on mo-délise chaque élément de pile par une source réelle de tension, et l’ampoule par une résistance, soit un total de 7 compo-sants. La réduction de ce circuit permet de modéliser cet ensemble par une seule source réelle de tension alimentant la résistance de charge (à droite), caractérisée par :

⎩⎨⎧

++=++=

−−−−

−−−−

AiAiAiei

CBAe

RRRRUUUU 0000

Bien évidemment, il n’est pas question de modifier la constitution des piles, ni de remplacer l’ampoule par une sim-ple résistance électrique. Nous voyons bien qu’il ne s’agit que d’une modélisation, et que celle-ci permet de simplifier l’analyse du fonctionnement de ce circuit.



+

BSR20050918_K.des

u

i

U0-C

Ri-C

C

Ri-B

B

U0-A

Ri-A

A

RL

u

i

U0-B

U0-C

Ri-C

Ri-B

U0-A

Ri-A

RL

u

i

U0-B

Ri-e

RL

U0-e

RL

i

u

Figure 2.28 Exemple de réduction d’un circuit composé de 3 éléments de pile placés en série

L’analyse du modèle réduit donne presque directement les résultats suivants :

( )( )

( ) ( )CBALAiAiAi

Le

Lei

LL

LAiAiAi

CBA

Lei

e

UUURRRR

RURR

RiRu

RRRRUUU

RRUi

−−−−−−

−−

−−−

−−−

−

−

++⋅+++

=⋅+

=⋅=

+++++

=+

=

0000

0000

2.5.2 Méthodes de réduction d’un circuit

La réduction des circuits repose sur toutes les méthodes vues aux paragraphes précédents, à l’exception de la méthode systématique. Il convient d’appliquer ces méthodes dans un ordre plus ou moins systématique, mais souvent de manière itérative. Ces méthodes sont : Méthode no 1 : Remplacement des composants de même type placés en série par un composant équi-

valent. Méthode no 2 : Remplacement des composants de même type placés en parallèle par un composant

équivalent. Méthode no 3 : Remplacement de résistances disposées en étoile par une structure équivalente en

triangle, et réciproquement. Méthode no 4 : Remplacement d’une source réelle de tension par une source réelle de courant, et vice

versa. Il est important d’appliquer ces méthodes en se focalisant sur les variables du circuit que l’on doit ana-

lyser. S’il s’agit par exemple d’étudier la puissance dissipée dans chacune de 3 résistances placées en série, il ne faut pas les remplacer par une résistance équivalente, car on ne trouverait que la puissance dissipée totale.



Lors de cette analyse, il peut être judicieux de diviser le circuit en une partie « alimentation » et une partie « charge », comme exposé à la fin du paragraphe 2.2.2. Dès lors, on peut analyser ce qui se passe dans la charge en appliquant le théorème de Thévenin, donc en remplaçant la partie « alimentation » par une source réelle de tension équivalent.

Il est également judicieux de chercher à obtenir un circuit simple connu, comme le diviseur de tension. Dans des systèmes complexes comportant plusieurs sources, il peut être utile d’appliquer le principe

de superposition. Remarque 1 : La pratique est le meilleur moyen de parvenir à réduire efficacement et rapidement les

circuits, en reconnaissant les mailles et les nœuds, les composants en série et en parallèle, etc. Des exerci-ces sont proposés dans le cadre de ce cours pour offrir à chacun l’entraînement adéquat.

Remarque 2 : Ces méthodes de réduction des circuits sont également applicables lorsque le circuit comporte des sources alternatives (chapitre 3.2), et des composants « à stockage d’énergie » (condensa-teurs, inductances, voir Chapitre 5 ).

Remarque 3 : Au-delà des circuits électriques, ces méthodes peuvent être appliquées à tous les phé-nomènes physiques pour autant qu’ils soient linéaires : conduction thermique, résistance des matériaux, écoulement des fluides, systèmes résonants, etc.

2.5.3 Méthode systématique d’analyse des circuits

Il existe également une méthode systématique d’analyse des circuits, qui fait appel au calcul matriciel et n’est utilisée que si l’on cherche des résultats numériques. Le lecteur intéressé pourra consulter par exemple la référence [6]. Elle nécessite impérativement l’emploi d’un ordinateur, et consiste à poser les équations pour chaque nœud et chaque maille du circuit, décrivant l’état du circuit tel qu’il est, sans aucune modification ni simplification. Il en résulte un système comportant une très grande quantité d’équations et tout autant d’inconnues (tensions, courants de branches) qu’il s’agit alors de résoudre.

Cette méthode, simplement évoquée ici, ne fait pas l’objet de ce cours.

EXEMPLE 1 Réduire le circuit de la par équivalence source réelle de tension ↔ source réelle de courant.

300

4 mA

7 V 7 V

2,8 V

300 300

7 V

1’000

4,2 V

BSR20041011_G.des Figure 2.29 Exemple de réduction d’un circuit composé de 3 éléments de pile placés en série



On constate qu’en transformant la source réelle de courant par une source réelle de tension, une réduction sera possible. On procède donc aux calculs suivants :

Remplacement de la source de courant : Rsh = Ri = 700 Ω ; Ui = 4 mA ⋅ 700 Ω = 2,8 V (orienté vers le haut).

Regroupement des composants en série : 700 Ω + 300 Ω = 1'000 Ω ; -2,8 V + 7 V = 4,2 V.

Si ce circuit est connecté à une résistance de charge de 9'000 Ω, on obtient le régime de fonctionnement suivant :

V3,78mAΩ-V

mAΩΩ

V

=⋅=

=+

=

42,0000'12,4

42,0000'9000'1

2,4

out

out

u

i

EXEMPLE 2 Réduire le circuit précédent en appliquant le théorème de Thévenin. On cherche ainsi la source réelle de tension

équivalente, caractérisée par Ui et Ri.

1ère étape : Circuit à vide

I300 Ω = 0 mA U300 Ω = 0 mA ⋅ 300 Ω = 0 V

I700 Ω = 4 mA (dans le sens remontant) U700 Ω = -4 mA ⋅ 700 Ω = -2,8 V

Donc : Tension à vide de la source équivalente U0-e = -2,8 V) + 0 V + 7 V = 4,2 V

2ème étape :Toutes les sources idéales désactivées La source de courant est un circuit ouvert la résistance 700 Ω n’a plus rien en parallèle à sa gauche

La source de tension est un court-circuit la résistance 300 Ω n’a plus rien en série en dessous d’elle Donc : Résistance interne de la source équivalente : Ri-e = 700 Ω + 300 Ω = 1’000 Ω.

Résultat : On obtient bien la une source réelle de tension (U0 = 4,2 V ; Ri = 1’000 Ω) qui est identique au circuit réduit obtenu

par la méthode précédente. Si ce circuit est connecté à une résistance de charge de 9'000 Ω, on obtient le même régime de fonctionnement que dans l’exemple précédent.

EXEMPLE 3 Le circuit précédant étant connecté à une résistance de charge de 9'000 Ω, calculer le régime de fonctionnement

en utilisant le principe de superposition.

1ère étape : Seule la source de tension est active La source de courant est un circuit ouvert la résistance 700 Ω n’a plus rien en parallèle à sa gauche

La source de tension alimente les 3 résistances en série :

( )VmAΩ

mAΩΩΩ

V

367,0000'9

7,0000'9700300

7

,u

i

Aout

Aout

=⋅=

=++

=

−

−

2ème étape : Seule la source de courant est active La source de tension est un court-circuit la résistance 300 Ω n’a plus rien en série en dessous d’elle

La source de courant alimente les 3 résistances en montage mixte série-parallèle :

( )

( ) VmAΩ

mAΩV

VmAhaut) le vers(orientéVmAΩΩΩΩΩ//ΩΩΩ//Ω

52,228,0000'9

28,0300'9

62

82042205624651

651300'9700300'9700300'9700000'9300700

700

−=−⋅=

−=−

=

=⋅==⋅Ω=

Ω=+⋅

==+

−

−

−Ω

Aout

Aout

Aout

u

,i

,,u,u



3ème étape : Addition des résultats obtenus : uout = uout-A + uout-B = 6,3 V + (-2,52 V) = 3,78 V

iout = iout-A + iout-B = 0,7 mA + (-0,28) mA = 0,42 mA

Ce résultat est identique à celui obtenu par les 2 méthodes précédentes.

EXEMPLE 4 Aux fins de comparaison, nous allons dans cet exemple résoudre le même circuit, avec la même charge, par la

méthode systématique évoquée au paragraphe . Nous avons 6 équations, avec 6 inconnues :

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=+⋅++⋅+⋅+⋅

=⋅+++⋅+⋅+⋅

=⋅+⋅+⋅+−−

=⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+

=⋅+⋅−⋅+⋅++⋅

=⋅−⋅+⋅++⋅+⋅

⇔

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++

−=

++=⋅Ω=

⋅Ω=

⋅Ω=

ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ

Ω

Ω

ΩΩ

ΩΩ

ΩΩ

0004,00000

00000

7000

000000'900

00300000

07000000

04

7000'9

300

700

700300700300

700300700300

700300700300

700300700300

700300700300

700300700300

700

300

300700

300300

700700

iiiuuu

iiiuuu

iiiuuu

iiiuuu

iiiuuu

iiiuuu

imAi

ii

uuuiu

iu

iu

outout

outout

outout

outout

outout

outout

out

out

out

outout

V

En résolvant le système d’équations, on retrouve bien les mêmes résultats qu’avec les 3 méthodes précédentes. On trouve simultanément tous les courants et toutes les tensions à l’intérieur du circuit, même si l’on en a pas besoin. L’inconvénient est que la solution n’est possible par cette méthode que si l’on cherche des résultats numériques. Il faut se rappeler que, souvent, l’ingénieur préfère une solution analytique, avec laquelle il pourra mieux analyser le fonctionnement de diverses charges.



Chapitre 3

Alimentation des machines et installations

3.1 Alimentations à tension continue

3.1.1 Définitions

DÉFINITION 3.1 : On appelle tension continue une tension dont la valeur est constante au cours du temps. De même, on appelle courant continu un courant qui est constane au cours du temps.

L’usage a consacré l’emploi de ces termes là où il faudrait plutôt parler de tension constante et cou-rant constant. Cette terminologie crée une confusion regrettable avec la notion de continuité introduite en mathématique, qui est associée au caractère ininterrompu d’une fonction. Alors qu’en électrotechnique, on oppose courant continu à courant sinusoïdal, la fonction sinusoïdale des mathématiciens est bel et bien une fonction continue !

Pour différencier les alimentations à tension continue des alimentations à tension alternatives qui se-ront abordées aux paragraphes suivants, on utilise l’abréviation « DC » dérivée de l’anglais Direct Current. La littérature technique française utilise parfois l’abréviation « CC » pour courant continu. On rencontre éga-lement les symboles « - » et « = ». Dans le cadre de ce cours, on utilisera l’expression suivante (exemple pour une source de tension continue de 24 V et un courant continu de 0,5 A) :

UDC = 24 V IDC = 0,5 A Parfois, on trouvera également la formulation suivante, bien qu’elle ne soit pas reconnue par la norma-

lisation CEI : U = 24 VDC I = 0,5 ADC



3.1.2 Piles et accumulateurs

Les piles, accumulateurs et piles à combustible, convertissent directement l’énergie chimique en énergie électrique.

L’invention de la pile électrique par l’Italien Alessandro Volta en 1800 constitue une des plus impor-tantes découvertes dans le domaine de l’électricité. Elle permit d’obtenir pour la première fois une source ininterrompue de courant électrique. Avant cette époque, on ne connaissait que les décharges instantanées produites par l’électricité statique et les orages.

Figure 3.1 Principe de fonctionnement d’une pile à l’argent-zinc

(source : www.vectorsite.net/ttfuelc.html)

Lorsque deux conducteurs différents appelés électrodes sont plongés dans une solution d’eau acidu-lée ou alcaline, appelée électrolyte, une différence de potentiel apparaît entre les deux électrodes. Si l’on branche une résistance entre l’électrode positive appelée anode et l’électrode négative appelée cathode, un courant circule.

Le passage du courant produit une transformation graduelle de la composition de l’électrolyte et des deux électrodes, et c’est grâce à cette réaction chimique que l’énergie électrique est libérée. Lorsque l’une des électrodes ou l’électrolyte est plus ou moins complètement transformée, la différence de potentiel dispa-raît et le courant cesse de circuler. La pile est alors épuisée ou déchargée, et n’est plus utilisable.



Figure 3.2 Caractéristique de décharge d’une pile alcaline

(source : Energizer, pile 1,5 V type AA Zn/Mn(2))

Par contre, dans les accumulateurs, la transformation chimique est réversible. On peut les recharger en y faisant circuler un courant en sens inverse, ce qui redonne aux électrodes et à l’électrolyte leur compo-sition chimique d’avant la décharge.

Pour analyser le comportement d’une pile ou d’un accumulateur dans un circuit électrique, le modèle de la source réelle de tension (voir section 2.4.2) est très souvent utilisé, même si les caractéristiques U0 et Ri ne sont pas tout à fait constantes et varient par exemple en fonction de l’état de charge et de la tempéra-ture. Les tensions qu’elles développent se situent entre 1,3 et 2 V suivant la technologie utilisée. Cette mo-délisation est généralement suffisante lorsqu’on s’intéresse essentiellement au fonctionnement de la charge.

Pour représenter une pile ou un accumulateur dans un schéma de montage et de câblage, on utilise plutôt les symboles de la figure ci-dessous. Ces symboles indiquent clairement qu’il s’agit d’une source de tension électrochimique.

++

BSR20041015_A.des Figure 3.3 Symboles d’un élément de pile, respectivement d’une pile à 3 éléments

3.1.3 Charge d’une pile

DÉFINITION 3.2 : La charge d’une pile est la quantité d’électricité qu’elle peut débiter avant que la tension à ses bornes commence à baisser fortement. Elle s’exprime en ampère-heure [Ah].

EXEMPLE Si une pile fonctionne pendant 8 heures en délivrant un courant constant de 50 mA, avant que sa tension chute et

devienne inutilisable, sa charge se calcule comme suit : Ah4,0h8mA50 =⋅=Q .

Décharge à puissance constante

Temps [min]

Tension

[V



Nous avions vu que l’unité SI de charge Q est le coulomb [C]. C’est toutefois bien l’ampère-heure [Ah] qui est couramment utilisé pour décrire la charge des piles, batteries et accumulateurs. La relation entre ces deux unités est par définition : Formule 3.1 C600'3s600'3A1h1A1Ah1 =⋅=⋅=

Une pile de 30 Ah peut donc débite un courant de 1 A pendant 30 h, ou 10 mA pendant 3'000 h. Tou-tefois, elle ne pourra généralement pas débiter 300 A pendant 0,1 h, car le fonctionnement des piles ne per-met pas la génération de forts courants sans provoquer une forte baisse de tension.

Attention : Il ne faut pas confondre la charge d’une pile avec l’énergie qu’elle peut fournir. En effet, la charge ne tient compte que du courant délivré, alors que l’énergie tient compte en plus de la tension. Formule 3.2 ][C[V][s][A][V][s][W][J] ⋅=⋅⋅=⋅=⋅=Δ⋅⋅=Δ⋅= QUtIUtPE

où la charge Q est exprimée en coulomb [C], et non en [Ah]

EXEMPLE La pile de l’exemple précédent délivre son courant de 50 mA sous une tension de 4,5 V.

La puissance délivrée par la pile vaut : mW225mA50V5,4 =⋅=P .

Tenant compte que cette pile peut délivrer ce courant pendant 8 h, l’énergie disponible vaut :

J480'6h1

s600'3h8mW225 =⋅⋅=E .

On aurait obtenu le même résultat en appliquant la Formule 3.2, après conversion de la charge en [C] :

J4806C4401V54

C440'1h1

s600'3Ah4,0

'',E

C

=⋅=

=⋅=

3.1.4 Technologies, mises en parallèle et en série

Plusieurs technologies de piles ont été développées depuis l’époque de Volta. Elles se distinguent par le choix des matériaux (électrolyte, anode, cathode), par leurs dimensions et par le nombre d’éléments en série. Leur performance est souvent décrite en terme d’énergie volumique (exprimée en joules par unité de volume – J/m3) ou d’énergie massique (exprimée en joules par unité de masse – J/kg).

Comme l’énergie et la tension des piles sont peu élevées, on en couple plusieurs pour former des bat-teries électriques :

• Le groupement en série permet d’obtenir une tension plus élevée. • Le groupement en parallèle permet d’obtenir un courant plus élevé.

Dans les deux cas, il est très important de ne grouper que des piles de même type et de même état de charge.



3.1.5 Cellule photoélectrique

Les cellules solaires sont un produit issu de la technologie de semi-conducteurs. L’effet photoélectri-que est à la base de son fonctionnement : Des électrons libres sont mis en mouvement sous l’effet de la lumière. Cet effet était connu depuis l’an 1900 environ, mais ce n’est que depuis peu que des cellules solai-res peuvent être produites à des coûts acceptables, et offrir un degré de performance et de fiabilité compéti-tifs.

Le rendement des cellules solaires est toujours relativement bas (à peine 20%). Elles fonctionnent sans pièces mobiles, sans bruit, sans usure, et ne produisent aucun déchet … hormis lors de leur fabrica-tion.

Figure 3.4 Cellule solaire

(source : www.ibiblio.org/obp/electricCircuits/DC/DC_11.html)

Comme le montre la figure ci-dessus, le symbole d’une cellule photoélectrique ressemble fortement à celui d’une pile.

3.1.6 Pile à combustible

Figure 3.5 Pile à combustible à membrane échangeuse de protons

(source : Philippe Boursin – perso.club-internet.fr/pboursin/pdgve7a.htm)



Une pile à combustible est essentiellement une pile dans laquelle les agents électrochimiques sont fournis constamment à une enceinte appropriée, et dont les produits résiduels sont constamment évacués. Une telle pile ne se décharge donc jamais, car les produits actifs sont remplacés au fur et à mesure.

En théorie, la puissance électrique fournie par une pile à combustible est égale à la puissance thermi-que qui serait libérée si on brûlait le combustible. En pratique, il y a des pertes, mais le rendement peut at-teindre 90%. Il est largement supérieur à celui des turboalternateurs et des groupes Diesel-électrique. Cette technologie est en plein développement. Les rendements s’améliorent et les prix baissent constamment.

De plus, la pile à combustible ne fait aucun bruit et ne produit, pour ainsi dire, pas de pollution hormis lors de sa fabrication. Des automobiles et des autobus prototypes en sont déjà équipés, préfigurant l’alternative aux moteurs à combustion que la diminution des stocks de pétrole finira tôt ou tard par imposer.

3.1.7 Dynamo

Lorsque des alimentations à tension continue de puissance élevée sont nécessaires, on fait appel à des dynamos et génératrices. Ce sont des machines tournantes qui convertissent l’énergie mécanique en énergie électrique. Elles sont entraînées par divers dispositifs mécaniques et produisent de l’énergie électri-que sous forme de tension continue. Leur fonctionnement sera abordé au Chapitre 4 .

3.1.8 Usage et limites des alimentations à tension continue

Dans l’industrie, les alimentations à tension continue sont principalement utilisées pour faire fonction-ner les appareils électroniques. En général elles sont de faible puissance et sont destinées aux circuits de commande et de mesure. Les circuits de commande des machines fonctionnent avec une tension continue de 24 V (parfois 3,3 V, 5 V, 12 V, 48 V, 60 V ou 110 V).

Ces tensions sont obtenues en redressant la tension alternative du réseau par un circuit électronique. En effet, les piles et accumulateurs ne permettent pas d’obtenir les puissances nécessaires pour la plupart des machines et installations. Leur utilisation est en fait réservée aux systèmes portables et aux alimenta-tions de secours, devant fonctionner de manière autonome.

Les sources continues de grande puissance sont limitées à des applications très particulières : élec-trolyse, transport d’énergie électrique sur de très longues distances. Quand l’électronique de puissance n’atteignait pas les performances actuelles, les moteurs à courant continu étaient couramment utilisés en traction électrique, ainsi que pour les entraînements à vitesse variable sur les machines.

L’utilisation de tension continue pour des circuits de forte puissance présente des inconvénients : • La tension de la source ne peut pas être modifiée simplement, • Si la source alimente un circuit contenant une bobine (inductance), l’interruption du circuit provoque

un arc électrique qui peut endommager les contacts, • Les dynamos et moteurs à courant continus sont chers et nécessitent un entretien régulier.

Dans les machines et installations, les sources de tension continue sont généralement mises à terre (on dit aussi « mise à la masse »). Cela signifie que l’une des bornes de la source, usuellement la borne négative, est connectée au bâti de la machine, et se trouve ainsi au potentiel de la terre. Exception : l’alimentation à tension continue des appareils portables et réalisée par des piles ou des accumulateurs. Ces alimentations ne sont pas mises à terre. On dit qu’elles sont flottantes.



3.2 Alimentations à tension alternative

3.2.1 Définitions

La plus grande partie de l’énergie électrique est produite, distribuée et consommée sous forme alter-native sinusoïdale. La raison principale en est la facilité de production et de transport.

DÉFINITION 3.3 : On appelle tension alternative une tension qui change périodiquement d’amplitude et de sens. De même, on appelle courant alternatif un courant qui change périodiquement d’amplitude et de sens.

Dans le domaine des alimentations, une tension alternative suit une courbe sinusoïdale symétri-que :

− elle augmente de zéro jusqu’à un maximum ; − puis, elle diminue et s’inverse jusqu’à un minimum, égal à l’inverse du maximum ; − enfin, elle augmente à nouveau et repasse par zéro.

BSR20041123_A.des

t

+Û

-Û

u(t)

T

Figure 3.6 Allure d’une tension sinusoïdale au cours du temps

DÉFINITION 3.4 : On appelle tension de crête Û la tension maximum atteinte par la valeur instan-tanée d’une tension alternative. On définit de même le courant de crête Î.

DÉFINITION 3.5 : Le cycle complet d’une tension alternative, répété continuellement, est appelé une alternance.

DÉFINITION 3.6 : La durée T d’une alternance est appelée la période.

DÉFINITION 3.7 : De manière plus générale, un signal de forme quelconque est dit périodique lors-que son allure au cours du temps se répète à chaque période T.



EXEMPLE Une spire de cuivre qui tourne à vitesse constante dans un champ magnétique engendre une tension alternative.

Ce phénomène est décrit par les lois de l’électromagnétisme qui seront abordées au Chapitre 4 . A chaque tour de la spire correspond une période.

Figure 3.7 Représentation d’une spire tournant dans un champ magnétique constant

(source : http://www.walter-fendt.de/ph14f/generator_f.htm)

Rappel : En trigonométrie, une fonction sinusoïdale est décrite comme le rapport de deux nombres réels : la projection d’un vecteur sur un axe et la longueur de ce vecteur. L’angle caractérisant ce vecteur peut être exprimé en degrés ou en radians.

Formule 3.3 ra

=θsin

O

P

ra

BSR20041123_C.des

θ [degré] θ [rad] sin θ 0 0 0 30 π/6 = 0,5236 1/2 = 0,5 45 π/4 = 0,7854 2/2 = 0,707 57,296 1 0,841 60 π/3 = 1,0472 2/3 = 0,866 90 π/2 = 1,5708 1 180 π = 3,1416 0 270 3π/2 = 4,7124 -1 360 2π = 6,2832 0

Figure 3.8 Représentation graphique et valeurs clés de la fonction sinusoïdale

Une alternance correspond à la croissance de l’angle θ de 0 à 360° (0 à 2π rad), donc à la rotation du point P sur un tour complet. La période T correspond au temps nécessaire pour effectuer ce tour complet.

Si la spire tourne à une vitesse de plusieurs tours par seconde, la tension produite comporte plusieurs alternances chaque seconde.

DÉFINITION 3.8 : Le nombre d’alternances effectuées chaque seconde par une tension est la fré-quence f de cette tension.

L’unité de fréquence est l’hertz, abrégé [Hz].



La fréquence et la période sont liées par la relation suivante :

Formule 3.4 ]s[1f

T = ,

où T est la période en secondes [s] et f la fréquence en hertz [Hz]. Souvent, dans les calculs des régulateurs et l’analyse de leur stabilité, on fait intervenir une autre va-

riable proportionnelle à la fréquence :

DÉFINITION 3.9 : La pulsation ω d’une tension alternative est la vitesse angulaire du vecteur repré-sentant cette tension.

Formule 3.5 ]rad/s[2 f⋅⋅= πω , où f est la fréquence en hertz [Hz].

Souvent, la fréquence f et la pulsation ω sont toutes deux exprimées en [s-1], plutôt qu’en [Hz], res-pectivement en [rad/s].

En Europe, la fréquence normalisée des réseaux d’alimentation est de 50 Hz, ce qui correspond à 50 alternances chaque seconde, donc à une période de 20 ms. Aux États-Unis, la fréquence est de 60 Hz (pé-riode 16,7 ms). Les autres pays du monde ont choisi l’une ou l’autre de ces deux fréquences. Le Japon est à cet égard une curiosité, puisque les deux fréquences sont utilisées, chacune dans une moitié du pays. D’autres fréquences sont utilisées dans des cas particuliers : 16 2/3 Hz pour certains chemins de fer ; 400 Hz dans les avions.

Figure 3.9 Alimentations électriques de par le monde

(source : Conrad H. McGregor - http://users.pandora.be/worldstandards/electricity.htm#voltage)

Si l’angle θ vaut 0 à l’instant t = 0, il peut être exprimé en fonction du temps et de la période comme suit :

Formule 3.6 ( ) ]rad[2Ttt ⋅= πθ ,

où θ est l’angle en radian [rad], t le temps et T la période en seconde [s].



Lorsque t croît de 0 à T, θ accomplit bien un tour complet (2π). Il est ainsi possible d’exprimer la valeur de la tension sinusoïdale u(t) en fonction du temps :

Formule 3.7 ( ) ( ) ( ) ][sin2sin2sin VtÛtfÛT

tÛtu ωππ⋅=⋅⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⋅= ,

où Û est la tension de crête en volt [V], f la fréquence en Hertz [Hz], ω la pulsation en [rad/s], et t le temps en seconde [s].

3.2.2 Valeur efficace en régime sinusoïdal

La puissance instantanée P dissipée dans une résistance R connectée à une tension continue UDC est obtenue par la relation RUP 2

DC= (voir Table 1.9). Dans le cas d’une tension alternative, la puissance varie au cours du temps. La puissance instantanée est alors donnée par :

Formule 3.8 ( ) ( ) ][2

WR

tutP =

En remplaçant u(t) par son expression donnée en Formule 3.7, et en utilisant la relation trigonométri-

que 2cos1

2sin

2 αα −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ , on obtient :

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ][2cos22

2cos12

sin 22222

WtR

ÛR

ÛtR

ÛR

tÛtP ωωω⋅

⋅−

⋅=−⋅

⋅=

⋅=

Cette formule montre que la puissance comporte un terme constant, égal à RÛ 22 , et un terme si-nusoïdal dont on sait que la valeur moyenne sur une période est nulle. De plus, cette puissance est toujours positive :

Formule 3.9 ][2

2

1 WR

ÛP périodesurmoyen ⋅=



t

+Û

-Û

u(t)

BSR20050928_A.des

t

+Û /R2

P(t)

0

T

T/2

+Û /2R2

Figure 3.10 Représentation de la puissance dissipée dans une résistance R soumise à une

tension alternative sinusoïdale

Si l’on veut évaluer graphiquement la valeur moyenne de cette puissance sur une période, il faut éva-luer d’abord l’énergie absorbée pendant une période T. La Figure 3.10 montre que les deux surfaces hachu-rées sont rigoureusement égales, et se compensent mutuellement. La valeur moyenne de la puissance P(t) est donc identique à celle qui correspondrait à une puissance constante, égale à la moitié de RÛ 2 .

Constat important : Sur le plan de son échauffement moyen, il est indifférent d’alimenter la résis-tance avec une tension u(t) sinusoïdale ou avec une tension continue UDC, si la relation suivante est véri-fiée :

Formule 3.10 ]V[2

ÛU DC =

En effet, le calcul montre qu’alors : périodesurmoyenDC

DC PR

ÛR

UP 1

22

2=

⋅== .

DÉFINITION 3.10 : On appelle tension efficace ou tension r.m.s. (de l’anglais : root mean square) la tension continue équivalente à la tension alternative u(t), qui produirait le même échauffement dans une résistance.

DÉFINITION 3.11 : On appelle courant efficace ou courant r.m.s. le courant continu équivalent au courant alternatif i(t), qui produirait le même échauffement dans une résistance.



La définition de la valeur efficace est valable pour tout signal périodique. Toutefois, pour des tensions et courants de forme sinusoïdale, et seulement dans ce cas, les deux formules résultent des calculs précé-dents :

Formule 3.11 ][, VÛÛUrms ⋅≅= 70702

Formule 3.12 ][, AÎÎIrms ⋅≅= 70702

L’usage veut que, lorsqu’on dit qu’une tension alternative vaut 230 volt, on définisse ainsi sa tension efficace Urms, et non pas sa tension de crête Û.

On rencontre souvent l’abréviation « AC » dérivée de l’anglais alternative current. La littérature techni-que française utilise parfois les abréviations « CA » et « eff ». On rencontre également le symbole « ~ ». Dans le cadre de ce cours, on utilisera l’une ou l’autre des expressions suivantes (exemple pour une source de tension alternative de 24 V et un courant alternatif de 0,5 A) :

Urms = 24 V Irms = 0,5 A U = 24 VAC I = 0,5 AAC U = 24 V~ I = 0,5 A~ Dès lors qu’on exprime les tensions et courants alternatifs avec leurs valeurs efficaces (r.m.s.), les lois

d’Ohm et de Joule s’appliquent comme en tension continue : Formule 3.13 ][Vrmsrms IRU ⋅=

Formule 3.14 ]W[2

2

RUIUIRP rms

rmsrmsrmsrms =⋅=⋅=

3.2.3 Généralisation de la valeur efficace

Pour toutes autres formes de signaux périodiques, il est nécessaire de calculer tout d’abord la puis-sance moyenne sur une période. Cela peut se faire par voie graphique ou, de manière encore plus générale, à l’aide du calcul intégral :

Formule 3.15 ( )∫⋅=T

périodesurmoyen dttPT

P0

11

En appliquant la Formule 3.8 et la définition ci-dessus, la tension efficace se calcule alors comme suit :

( ) ( )

( )

( )∫

∫

∫∫

⋅=

⋅=

⋅=⋅==

T

rms

T

rms

TT

périodesurmoyenrms

dttuT

U

dttuT

U

dtR

tuT

dttPT

PR

U

0

2

0

22

0

2

01

2

1

1

11



De manière plus générale, la valeur efficace de tout signal périodique se calcule par :

Formule 3.16 ( )∫=T

rms dttxT

X0

2)(1 ,

où Xrms est la valeur efficace du signal périodique x(t), et T la période du signal

NOTE : Pour une tension sinusoïdale, le calcul intégral aboutit au résultat vu précédemment :

( )[ ] ( )[ ] ( )

( )2

Û0121ÛT2sin

21T

T1

21ÛU

t2sin21t

T1

21Ûdtt2cos1

21

T1ÛdttsinÛ

T1U

0

rms

T

0

T

0

T

0

2rms

=−⋅⋅=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−⋅⋅⋅=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅−⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅=⋅⋅=

=

∫∫

43421ω

ω

ωω

ωω

EXEMPLE Considérons un courant périodique, dont la valeur est de +Î pendant le temps t1, puis 0 pendant le temps t2, et

ainsi de suite. En considérant qu’il circule dans une résistance R, on peut calculer la puissance moyenne ainsi dissipée, puis la valeur efficace de ce courant.

Période du courant : 21 ttT +=

Énergie dissipée pendant t1 : 12

1 tÎRE ⋅⋅=

Énergie dissipée pendant t2 : 02 =E

Énergie totale dissipée pendant une période T : 1

2211 tÎREEE période ⋅⋅=+=

Puissance moyenne dissipée : TtÎR

TtÎR

TE

P période 1212

1 ⋅⋅=⋅⋅

==

Courant efficace : TtÎ

TtÎ

RPIrms

112 ⋅=⋅==

On constate que, lorsque t1 = T, la valeur efficace d’un courant Î constant, donc d’un courant continu, est égale à ce courant.

Plus important : On constate que, lorsque t1 = T/2, la valeur efficace de ce courant périodique est égale à ~0,707 ⋅ Î. Nous verrons au Chapitre 4 que ce résultat est important pour le choix d’un moteur lorsque celui-ci fonctionne en régime intermittent. En effet, si ce moteur fournit du couple pendant 50% du temps, son échauffement sera de 70% de ce qu’il serait en régime continu, et non pas de 50% comme une analyse trop rapide le laisserait penser.

3.2.4 Représentation vectorielle des signaux sinusoïdaux

La Figure 3.8 vue plus haut montrait comment représenter une grandeur sinusoïdale par un vecteur tournant. Il est également possible de représenter sur le même graphique plusieurs grandeurs sinusoïdales par autant de vecteurs, tournants tous autour du même point O comme un corps solide.

Constat important : Si ces grandeurs ont la même fréquence f, leurs vecteurs tournent à la même vi-tesse ω, et leurs positions relatives restent constantes.



O

BSR20051014_B.des

U

I

u(t)

i(t)

Figure 3.11 Représentation vectorielle de la tension, du courant et du déphasage. Le vecteur

tension et le vecteur courant forment un corps solide qui tourne à la vitesse ω. Dans ce cas, le courant est en retard sur la tension.

Lorsqu’une source à tension alternative alimente une charge qui n’est pas une simple résistance, on observe très souvent que la tension et le courant sont ainsi décalés. De telles charges seront abordées au Chapitre 4 (moteurs), au paragraphe 5.3 (impédances), et au paragraphe 5.4 (condensateurs). La tension et le courant ont une fréquence identique mais sont décalés l’un par rapport à l’autre.

En fonction du temps, on peut représenter cette tension et ce courant comme suit :

BSR20051014_A.des

t

u(t)

i(t)

Tt

Figure 3.12 Exemple de déphasage entre le courant et la tension dans un circuit

DÉFINITION 3.12 : On appelle déphasage le décalage qui peut être observé entre deux grandeurs alternatives de même fréquence.

Le déphasage s’exprime toujours en unités angulaires (degré ou radian), le tour complet représentant une alternance complète (qui, rappelons le, dure une période T).

Formule 3.17 T

tΔ=

360ϕ



Il convient de faire attention aux points suivants : • La représentation vectorielle, dans laquelle les angles formés par les différents vecteurs entre

eux restent constants, n’est valide que si l’on est en présence de plusieurs grandeurs sinusoï-dales de même fréquence. Leurs vecteurs correspondants tournent donc tous à la même vi-tesse angulaire ω.

• Une fréquence et une pulsation ne peuvent être que positives. La vitesse angulaire ω , posi-tive indique que les vecteurs tournent dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

• Le déphasage ϕ est considéré comme positif s’il est orienté dans le sens horaire. Ainsi, dans le cas de la Figure 3.11, le déphasage du courant relativement à la tension est négatif.

• Cette représentation peut être utilisée pour toutes combinaisons d’un nombre quelconque de grandeurs sinusoïdales, pourvu qu’elles soient toutes de même fréquence.

La tension et le courant sont définis en fonction du temps par les équations suivantes :

Formule 3.18 ][)sin(ˆ2sinˆ)( VtUtT

Utu ωπ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=

Formule 3.19 ][)sin(ˆ2sinˆ)( Aϕωϕπ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅= tIt

TIti

où ω est la pulsation et φ le déphasage (positif dans le cas de la Figure 3.11)

3.2.5 Puissance active, puissance réactive, puissance apparente

Nous avons vu (Formule 3.14) comment calculer la puissance dissipée dans une résistance lorsqu’elle est alimentée en tension ou en courant alternatif. Dans le cas plus général, les charges provoquent un dé-phasage entre le courant qui les traverse et la tension à leurs bornes. Il en va ainsi par exemple d’un moteur.

Tenant compte de la Formule 3.18 et de la Formule 3.19, nous pouvons également calculer la puis-sance instantanée dans le cas général :

)sin()sin()sin(ˆ)sin(ˆ)()()( ϕωωϕωω −⋅⋅⋅=−⋅=⋅= ttÎÛtItUtitutp

Tenant compte des relations trigonométriques ( ) ( )2

coscossinsin βαβαβα

+−−=⋅ et

( ) βαβαβα sinsincoscoscos ⋅−⋅=+ , cette puissance instantanée devient :

( ) ( )[ ] ( )[ ]ϕωϕϕωωϕωω −−⋅⋅=−+−+−⋅⋅

= tÎÛttttÎÛtp 2coscos22

coscos2

)(

( )[ ]ϕωϕ −−⋅⋅= tIUtp rmsrms 2coscos)(

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ϕωϕωϕ −⋅−−⋅−⋅⋅= sin2sincos2coscos)( ttIUtp rmsrms ,

Finalement : Formule 3.20 ( )[ ] tIUtIUtp rmsrmsrmsrms ωϕωϕ 2sinsin2cos1cos)( ⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅=



Cette équation permet de mettre en évidence les deux composantes fondamentales de la puissance instantanée en régime sinusoïdal :

• La première, qui correspond au premier terme du second membre, est une composante pulsée, toujours de même signe, qui oscille autour de la valeur moyenne ϕcos⋅⋅ rmsrms IU . Elle traduit un échange d’énergie unidirectionnel entre une source et une charge.

• La seconde, qui correspond au 2ème terme, est une composante alternative qui varie sinusoïda-lement avec une amplitude ϕsin⋅⋅ rmsrms IU et une valeur moyenne nulle. Elle traduit un échange oscillatoire et réversible d’énergie entre la source et la charge.

Remarquons que, si le déphasage ϕ est nul, le second terme est nul. On retrouve alors la puissance instantanée calculée pour une résistance (Formule 3.9 et Figure 3.10).

DÉFINITION 3.13 : On appelle puissance active P la valeur moyenne de la puissance instantanée.

En régime sinusoïdal, la puissance active vaut : Formule 3.21 ]W[cosϕ⋅⋅= rmsrms IUP

La puissance active d’un appareil correspond à la puissance électrique qui lui est fournie par la source, et qu’il convertira en énergie utile (par exemple mécanique) et en pertes thermiques. Elle dépend non seulement de la tension et du courant, mais également du déphasage.

Si l’appareil fournit de l’énergie électrique, et en vertu de la convention de signe vue en Figure 1.32, la puissance active devient négative. Cela correspond à un déphasage φ = 180º, équivalent à une inversion du signe du courant.

DÉFINITION 3.14 : On appelle puissance réactive Q l’amplitude de la composante alternative de la puissance instantanée.

La Formule 3.20 montre qu’en régime sinusoïdal, la puissance réactive est donnée par : Formule 3.22 [var]sinϕ⋅⋅= rmsrms IUQ

Pour éviter la confusion avec la puissance active, la puissance réactive ne s’exprime pas en watt [W], mais plutôt en var [var], qui est l’abréviation de voltampère réactif. La dimension physique [V ⋅ A] est cepen-dant la même,

La puissance réactive traduit la faculté de certains composants électriques de stocker et de restituer de l’énergie, au double de la fréquence d’alimentation, sous forme de champ électrique (les condensateurs) ou de champ magnétique (les inductances). Ces composants seront étudiés en détail au Chapitre 5 .

Cet échange d’énergie est totalement improductif. Il provoque la circulation de courants supplémentai-res, donc des pertes supplémentaires dans les réseaux de distribution. La puissance réactive permet de quantifier ces phénomènes. Les distributeurs d’électricité facturent généralement la puissance réactive si celle-ci dépasse certaines limites contractuelles.



La notion de puissance réactive est utile également pour caractériser clairement la nature d’un consommateur :

DÉFINITION 3.15 : On appelle charge inductive un appareil qui consomme de la puissance réactive (φ > 0 ; Q > 0).

DÉFINITION 3.16 : On appelle charge capacitive un appareil qui fournit de la puissance réactive (φ < 0 ; Q < 0).

DÉFINITION 3.17 : On appelle charge résistive un appareil pour lequel la puissance réactive est nulle (φ = 0 ; Q = 0).

Si l’on multiplie tension et courant sans tenir compte du déphasage ϕ, on obtient un résultat qui est

apparemment une puissance, mais qui ne fournit pas forcément de la puissance active (puissance utile et pertes).

DÉFINITION 3.18 : On appelle puissance apparente S le produit des valeurs efficaces de la tension et du courant dans une charge.

Pour éviter toute confusion avec la puissance active, la puissance apparente ne s’exprime pas en watt [W], mais en voltampère [VA] : Formule 3.23 ][VArmsrms IUS ⋅=

Par définition, la puissance apparente ne tient pas compte du déphasage ϕ : • Si ϕ = 0, comme dans le cas d’une résistance, la puissance apparente S est égale à la puis-

sance active P. • Si ϕ ≠ 0, comme dans la plupart des moteurs et autres appareils, la puissance apparente S est

supérieure à la puissance active P. C’est bien pour cette raison qu’elle porte son nom de puis-sance apparente.

• Dans le cas extrême où ϕ = ±90°, la puissance active est nulle alors que la valeur de la puis-sance apparente est non nulle.

Considérant la relation trigonométrique 1sincos 22 =+ αα , les puissances active, réactive et appa-rente sont liées par la relation :

Formule 3.24 ]VA[22 QPS +=

Considérons le signe de ces différentes puissances : • Par définition, la puissance apparente est toujours positive, puisqu’elle ne tient compte que des

valeurs efficaces de la tension et du courant. • Pour un appareil consommant de l’énergie, c’est-à-dire transformant de l’énergie électrique en

une autre forme d’énergie utile, la puissance active est toujours positive (convention « consommateur »).

• La puissance réactive consommée par un appareil peut être positive, négative ou nulle en fonc-tion de la nature de la charge (ϕ positif, négatif ou nul).



Dans la figure ci-dessous, ces puissances sont représentées dans un plan en distinguant ces 3 cas.

S = PQ S

PQ

S

P

Charge résistiveCharge inductive Charge capacitiveBSR20041123_F.des

Figure 3.13 Puissance active P, réactive Q et apparente S pour les 3 types de charges.

3.2.6 Facteur de puissance – cosϕ

DÉFINITION 3.19 : On appelle facteur de puissance ou cos φ le rapport entre la puissance active et la puissance apparente.

Formule 3.25 SP

=ϕcos

Le facteur de puissance ou cosϕ s’exprime généralement en pourcents [%]. Il varie de 0 à 1 (donc, de 0% à 100%) et permet de quantifier, principalement, le bon usage d'une ligne d'alimentation électrique. En effet une ligne est caractérisée par son aptitude à véhiculer un courant maximal. Si le facteur de puissance est proche de 1, la puissance active distribuée est maximale pour le courant maximal tolérée par la ligne. A l'inverse si le cos φ est proche de 0, la puissance active est pratiquement nulle pour le courant maximal tolé-ré par la ligne. Seule la puissance réactive est véhiculée, ce qui est très défavorable.

Attention à ne pas confondre : Le facteur de puissance (par exemple 0,85) est la valeur du cosφ, et non pas la valeur d’un angle φ.

EXEMPLE Un moteur de 22 kW (puissance mécanique à l’arbre) a un rendement de 83% et un cosϕ de 0,87.

La puissance active consommée vaut : kW5,26830kW22

===,

PP méc

η

Sa puissance apparente vaut : kVA5,30870kW5,26

cos===

,PS

ϕ

La puissance réactive consommée : kvar155,265,30 2222 =−±=−±= PSQ (On choisit la va-leur positive, car un tel moteur est une charge inductive. Il consomme donc de l’énergie réactive).

Son déphasage vaut : ( ) rad516,06,2987,0Arccos =°==ϕ



3.2.7 Avantages et inconvénients des alimentations alternatives Sur le plan du fonctionnement et de la compréhension, une tension alternative semble beaucoup plus

compliquée qu’une tension continue. Le choix des ingénieurs du 19ème siècle fut malgré tout parfaitement justifié par les avantages des systèmes à tension alternative :

• Facilité de production. Les alternateurs, machines tournantes qui fonctionnent suivant le principe de la spire décrit au paragraphe précédent, produisent fondamentalement une ou plu-sieurs tensions alternatives. Ils sont plus simples que les dynamos et génératrices à tension continue, car ils n’ont pas besoin de collecteurs et sont donc moins sujet aux problèmes d’usure et de maintenance. Le collecteur est le dispositif électromécanique qui redresse la tension al-ternative pour produire une tension continue. Les alternateurs assurent une conversion d’énergie mécanique en énergie électrique, ils pro-duisent pratiquement toute l’énergie électrique que nous consommons. Les plus gros alterna-teurs peuvent produire 1’300 MW. Par comparaison, les piles et accumulateurs de plus de 10 kW sont déjà exceptionnels, et une cellule photovoltaïque de 1 m2 ne fournira que quelques centaines de watt.

• Facilité de transport. Les transformateurs permettent de changer facilement la tension d’une alimentation alternative. Voir paragraphe 3.5.3. Il n’existe pas d’équivalent simple pour les ten-sions continues. L’énergie électrique délivrée par les alternateurs ne peut guère dépasser une tension de 20 kV à cause des problèmes d’isolation. Grâce à des transformateurs, cette tension est augmentée jusqu’à 400 kV pour le transport à longue distance, voire 750 kV au Canada. Côté consommateurs, d’autres transformateurs abaissent cette tension, par exemple à 230 V. A l’intérieur des appareils, d’autres transformateurs permettent d’abaisser encore le niveau de tension pour alimenter les circuits électroniques. Les tensions relativement basses sont intéressantes sur le plan des isolations et de la sécurité. Plus la tension est basse, plus les composants électroniques sont faciles à fabriquer, compacts et économiques. Par contre, lorsqu’il s’agit de transporter l’énergie électrique sur de longues distances, l’augmentation du niveau de tension permet de limiter la chute de tension et les pertes causées par la résistance des câbles, comme le montre l’exemple suivant.

EXEMPLE Comparons une ligne fonctionnant à une tension de 10 kV~, et comparons-la à une ligne de performance identique

fonctionnant à une tension de 100 kV~, soit 10 fois plus élevée.

Si le courant transporté sous 10 kV~ est de 10 kA~, il sera possible de transporter la même puissance sous 100 kV~ avec un courant de 1 kA~, donc 10 fois plus faible.

La chute de tension au transport devrait être limitée par exemple à 1%. Sous 10 kV~, cette chute de tension doit donc être inférieure à 0,1 kV~, ce qui limite la résistance totale des câbles à 0,1 kV~ / 10 kA~ = 0,01 Ω. Sous 100 kV~, la chute de tension pourra atteindre 1 kV~. Une résistance de 1 kV~ / 1 kA~ = 1 Ω, soit 100 fois plus élevée, remplira le même objectif. Un câble de section 100 fois plus faible suffira. Dans les deux cas, la puissance dissipée dans les câbles sera identique.

10 kV~

10 m

RL

10 kA~

1% = 0,1 kV~

100 kV~

1

R ’L

1 kA~

1% = 1 kV~

BSR20041123_G.des Figure 3.14 Comparaison de deux lignes de transport à 10 kV~ et 100 kV~



• Facilité de coupure. Il est beaucoup plus facile de couper (interrompre) un courant alternatif qu’un courant continu, que ce soit dans un interrupteur, un contacteur ou un fusible. Les raisons seront expliquées dans le cadre du Chapitre 5 , en même temps que les inductances.

Au delà de la complexité théorique, les systèmes à tension alternative présentent également quelques inconvénients :

• Pulsation de la puissance. Lorsqu’une résistance est alimentée en tension alternative, la puissance qu’elle reçoit est pulsée au double de la fréquence de la tension. Elle est nulle lors-que la tension est nulle, et maximum lorsque la tension est égale à Û ou à -Û. Si cette pulsa-tion à 100 Hz n’est pas forcément gênante pour la production de chaleur, elle est souvent inadmissible pour d’autres types de charges convertissant l’énergie électrique en énergie mé-canique ou chimique. C’est la raison pour laquelle des alimentations alternatives triphasées sont utilisées, comme décrit au paragraphe suivant.

• Incompatibilité avec les équipements électroniques. Tous les composants électroniques, et en particulier les circuits intégrés de haute complexité équipant les ordinateurs, ne peuvent fonctionner qu’avec une ou plusieurs alimentations continues de bas niveau (quelques volts). Pour cette raison, il est nécessaire non seulement d’abaisser le niveau de tension, mais égale-ment de convertir la tension alternative en tension continue pour ces équipements. Cette conversion est réalisée à l’aide de redresseurs ou d’alimentations électroniques plus sophisti-quées.

• Difficulté de stockage. Dans certains cas, il est nécessaire de garantir la disponibilité d’une alimentation en cas de panne d’approvisionnement. Les dispositifs de stockage électrochimi-ques sont les plus faciles à réaliser, mais ne peuvent fournir que des tensions continues.

• Instabilité pour des lignes de transport au-delà de 2’000 km. La vitesse de transmission de l’électricité dans le cuivre est de 200'000 km/s. Cela correspond à un temps de 10 ms pour un transport sur une distance de 2'000 km. En effet :

svxt 01,0

km/s200'000km000'2

==Δ

=Δ

Vu la fréquence des réseaux industriels (50 ou 60 Hz), ces 10 ms correspondent à une demi période et font apparaître des problèmes de stabilité. C’est la raison pour laquelle des solutions de transport à très haute tension continue commencent à être utilisées pour le transport d’énergie à l’échelle transcontinentale, bien que cette technologie exige des convertisseurs électroniques hautement sophistiqués.



Figure 3.15 C’est en particulier en Chine que de telles lignes HVDC (high voltage DC) sont en

service, couvrant des distances de ~1'000 km. (source : ABB - www.abb.com/hvdc)

• Incompatibilité avec des anciens réseaux existants. Jusqu’en 1910 environ, il n’était pas possible de réaliser des moteurs alimentés en tension alternative sur des véhicules électriques (métros, tramways, trolleybus, trains). Beaucoup de réseaux ont donc été équipés en tension continue. Bien que les solutions à tension alternative existent et sont utilisées aujourd’hui, un changement serait très ardu.



3.3 Alimentations à tension alternative triphasée

3.3.1 Avantages des alimentations triphasées - Définitions

Jusqu’à maintenant, nous avons étudié le transport et l’utilisation de l’énergie électrique dans les cir-cuits à tension continue et à tension alternative (appelées monophasées).

Cependant, l’énergie électrique est distribuée dans la plupart des installations industrielles par un sys-tème de tension alternative triphasée, composé de trois lignes. Les tensions alternatives entre les lignes ont même valeur et même fréquence, mais elles sont déphasées l’une par rapport à l’autre.

DÉFINITION 3.20 : On appelle tension alternative triphasée un système de 3 tension sinusoïdales de même fréquence, déphasées de 120° l’une par rapport à l’autre. On parle éga-lement d’alimentation triphasée.

DÉFINITION 3.21 : Les bornes d’une alimentation triphasée sont les phases L1, L2 et L3, parfois également notées R, S et T, voire U, V, W.

DÉFINITION 3.22 : Le point commun aux 3 tensions sinusoïdales d’une alimentation triphasée est le neutre N. Dans les machines et installations, le neutre des alimentations alternati-ves triphasée est généralement mis à terre.

DÉFINITION 3.23 : Le courant délivré par une phase à une charge est appelé courant de ligne, ou courant de phase.

BSR20041124_A.des

u (t)1 u (t)2 u (t)3

L1

L2

L3

N

Figure 3.16 Schéma d’une alimentation triphasée

Les 3 tensions instantanées sont données par :

Formule 3.26 ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−⋅=

−⋅=

⋅=

)3/4sin()()3/2sin()(

)sin()(

3

2

1

πω

πωω

tÛtutÛtutÛtu

Les déphasages 2π/3 et 4π/3 (120° et 240°) correspondant à 1/3, respectivement à 2/3 de période.



t

u

T

u (t)1 u (t)2 u (t)3

T/3 T/3 T/3

BSR20041124_B.des Figure 3.17 Valeurs instantanées des tensions alternatives triphasées

Pour calculer et représenter leurs valeurs instantanées, on peut remplacer la pulsation ω par la fré-quence f, puis celle-ci par l’inverse de la période T, ce qui donne :

Formule 3.27

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅=⋅⋅=

322sin

342sin)(

312sin

322sin)(

2sin2sin)(

3

2

1

TtÛtfÛtu

TtÛtfÛtu

TtÛtfÛtu

πππ

πππ

ππ

Avantage essentiel : Une alimentation triphasée réduit très fortement la pulsation de puissance relevée au sujet de la tension alternative monophasée au paragraphe précédent.

On peut le comprendre par une comparaison avec un moteur à essence. Une alimentation monopha-sée peut être comparée à un moteur ayant un seul cylindre, alors qu’une alimentation triphasée peut être comparée à un moteur à trois cylindres. Dans ce moteur, des pistons identiques montent et descendent à l’intérieur de cylindres identiques, mais pas en même temps. En effet, ils sont reliés à l’arbre de façon à lui fournir des impulsions de puissance séquentielles plutôt que simultanées. Il en résulte un moteur qui tourne plus régulièrement, avec moins de vibrations.

De même, dans un système électrique triphasé, les trois phases sont identiques, mais elles fournis-sent leur puissance à des moments différents. Par conséquent, le flux total de puissance est très uniforme, comme dans le cas du moteur à trois cylindres.

Autre avantage : Pour une puissance à transmettre donnée sous une tension donnée et avec des pertes max. données, une ligne de transport triphasée demande 25% de cuivre en moins qu’une ligne mo-nophasée de même tension.



3.3.2 Tension simple et tension composée

DÉFINITION 3.24 : La tension entre une phase et neutre est appelée tension simple, ou tension de phase.

Les 3 tensions simples correspondent à u1(t), u2(t) et u3(t) respectivement dans la Figure 3.17. Comme leurs amplitudes sont identiques, leurs valeurs efficaces sont égales ; c’est pourquoi on peut n’en considérer qu’une seule pour représenter l’alimentation triphasée. On la note sU ou simpleU , et son unité est le volt [V].

Formule 3.28 2321

ÛUUUU rmsrmsrmsrmssimple ====

DÉFINITION 3.25 : La tension entre deux phases est appelée tension composée.

Les 3 tensions composées sont égales à [ ])()( tutu 21 − , [ ])()( tutu 32 − et [ ])()( tutu 13 − respecti-vement. Comme leurs amplitudes sont identiques, leurs valeurs efficaces sont égales ; c’est pourquoi on peut n’en considérer qu’une seule pour représenter l’alimentation triphasée. Par exemple :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=−=

342sin

322sin)()()( 3223

ππππ tT

tT

Ûtututu ssc

BSR20041124_C.des

u (t)1 u (t)2 u (t)3

L1

L2

L3

Nu (t)s1 u (t)s2 u (t)s3

u (t)c12

u (t)c23

u (t)c31

Figure 3.18 Tensions simples et tensions composées

En tenant compte de la relation trigonométrique ( ) βαβαβα sincoscossinsin ⋅−⋅=− , on ob-tient :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅=

34sin2cos

34cos2sin

32sin2cos

32cos2sin)(23

ππππππππT

tT

tT

tT

tÛtuc ,

donc : ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=

34sin

32sin2cos

34cos

32cos2sin)(23

ππππππT

tT

tÛtuc



Or, 21

32cos

34cos −==

ππ , 23

32sin =π , et

23

34sin −

=π . Donc :

( )32cos2

3232cos02sin)(23 −⋅⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⋅−⋅⋅=

TtÛ

Tt

TtÛtuc

πππ .

Si l’on tient compte encore que ααπ cos2

sin =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − , on obtient finalement :

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=

22sin332

2sin)(23

ππππT

tÛT

tÛtuc

On constate que la tension composée uc23(t) est également sinusoïdale, qu’elle a la même fréquence que la tension simple us1(t), mais surtout qu’elle est 3 fois plus élevée que la tension simple. Il en va de même pour leurs valeurs efficaces :

Formule 3.29 [V]3 rmssimplermscomp UU ⋅=

Attention : Ne pas confondre :

• Le rapport entre valeur de crête et valeur efficace des tensions sinusoïdales est de 2 .

• Le rapport entre tension composée et tension simple d’une alimentation triphasée est de 3 .

« triphasé » Usimple → Ucomp

x 3⋅x « sinus »

Urms

↓ Û 2⋅x

Table 3.1 Le jeu des racines de 2 et de 3 dans les alimentations triphasées

L’usage veut que, lorsqu’on dit qu’une tension alternative triphasée vaut 400 Vrms, on définisse ainsi la valeur efficace (r.m.s.) de chacune de ses trois tensions composées. Les tensions simples sont 3 fois plus faibles et valent approximativement 230 Vrms.



3.3.3 Charges en étoile et en triangle

Une charge triphasée comme un chauffage électrique est généralement constitué de trois charges, qui peuvent être branchées en étoile ou en triangle comme le montre la figure ci-dessous :

R31Uc31

I1

L1L2L3

N

R2

Us2

I2

R3

Us3

I3

Charges en étoile

R1

Us1

Uc23

R23

R12

Uc12

I1 I2 I3

I12

I23

I31

Charges en triangleBSR20041124_D.des

IN

Figure 3.19 Charges en étoile et en triangle

DÉFINITION 3.26 : On appelle courants de ligne les courants qui circulent dans chaque phase ali-mentant une charge.

DÉFINITION 3.27 : Si les trois charges connectées à une alimentation triphasées sont identiques, on dit que l’on a une charge équilibrée. Elle consomme un courant efficace identique sur chacune des phases. Par opposition, si ces charges sont différentes, on dit que l’on a une charge non équilibrée.

Remarque : si la charge est équilibrée, les 3 courants de ligne sont identiques en valeurs efficaces. Leur valeur est généralement appelée courant de phase de cette charge.

Les formules de conversion étoile - triangle vues au paragraphe 2.3.5 sont très utiles pour l’étude des charges triphasées. Ainsi, une charge en étoile de 3 résistances identiques YRRRR === 321 consomme les mêmes courants de ligne qu’une charge en triangle comportant 3 résistances de valeurs

YRRRRR ⋅==== Δ 3312312 .

Remarque : Si l’on considère une charge triphasée en triangle comportant 3 résistances identiques ΔR , qu’on les déconnecte et les reconnecte en étoile, les courants de phase seront divisés par 3. Cette pro-

priété est utilisée en particulier pour limiter les appels de courant lors du démarrage de certains moteurs (voir Chapitre 4 ).

DÉFINITION 3.28 : On appelle courant de neutre le courant qui circule dans le neutre lorsqu’il est connecté à une charge.

Remarque : Lorsqu’une charge est équilibrée, son courant de neutre est nul. Cette loi peut à première vue sembler en contradiction avec la loi de Kirchhoff sur les nœuds. En effet,

si le courant qui circule dans chacune des 3 phases d’une charge équilibrée vaut par exemple 10 Arms, il faudrait que le courant de neutre valle -30 Arms pour que la somme des 4 courants soit nulle.



Cette contradiction provient du fait que le courant efficace traduit une sorte de moyenne du courant instantané dans chaque phase. En réalité, pour des charges branchées en étoile, le courant qui circule par le neutre se calcule bien en appliquant la loi de Kirchhoff, mais en tenant compte de la valeur instantanée des courants et non de leurs valeurs efficaces : 0321 =+++ )()()()( titititiN

En admettant que l’origine des temps soit choisie de manière à ce que le courant i1(t) soit nul lorsque t = 0, les valeurs instantanées des courants sont données par les formules :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅=

342sin)(

322sin)(

2sin)(

33

22

11

ππ

ππ

π

tT

Îti

tT

Îti

tT

Îti

où les valeurs de crête valent :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅=

⋅=

⋅=

rms

rms

rms

IÎ

IÎ

IÎ

33

22

11

2

2

2

En appliquant la loi de Kirschhoff avec ces valeurs, on obtient pour le courant de neutre :

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅−=++−=

342sin

322sin2sin 321321

πππππ tT

ÎtT

ÎtT

ÎtitititiN

En utilisant la relation trigonométrique βαβαβα sincoscossin)sin( ⋅−⋅=− , on tire :

232cos

212sin

32sin2cos

32cos2sin

322sin ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−

−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅ t

Tt

Tt

Tt

Tt

Tππππππππ

232cos

212sin

34sin2cos

34cos2sin

342sin −

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−

−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅ t

Tt

Tt

Tt

Tt

Tππππππππ .

On introduisant ces résultats et en regroupant les termes en sinus et ceux en cosinus, on obtient :

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅−⋅−⋅−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅+−

⋅+−= tT

ÎÎÎtT

ÎÎÎtiNππ 2cos

23

2302sin

21

21

321321

Finalement, on obtient pour le courant de neutre :

Formule 3.30 ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−= t

TÎÎt

TÎÎ

ÎtiNππ 2cos

232sin

2 3232

1

On constate que si les trois courants de crête Î1, Î2 et Î3 sont identiques, les deux termes en sinus et en cosinus s’annulent. Nous avons ainsi bien démontreé qu’une charge équilibrée connectée en étoile engendre bien un courant de neutre nul.



Si au contraire les trois charges ne sont pas identiques, le courant de neutre peut se calculer à partir

de la relation trigonométrique ( )βααα +⋅+=⋅+⋅ sincossin 22 baab , où baarctan±=β , le signe

étant déterminé de manière à ce que βsin et a aient le même signe.

Ainsi, le courant de neutre est de la forme ( )βα +⋅= sin)( NN Îti , avec 22 baÎN += et

baArctg−=β , les valeurs a et b étant calculées à partir des trois courants de crête Î1, Î2 et Î3.

La valeur efficace du courant de neutre vaut alors 2N

NÎ

I = .

EXEMPLE Pour des charges résistives de 40 W, 60 W et 100 W, les trois courants de phases ont une valeur crête de 246

mA, 369 mA et 615 mA respectivement. En appliquant la méthode décrite plus haut, on obtient pour le courant de neutre (déphasage exprimé en radian) :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅= 714,02sin325,0)(

TttiN π

La figure ci-dessous montre qu’en choisissant n’importe quelle valeur de t, et en relevant les 4 courants instanta-nés, la loi de Kirchhoff est toujours vérifiée.

BSR20051014_C.des

i (t)2

i (t)3

i (t)N

i (t)1

t

Figure 3.20 Exemple avec courants de phases différents et courant de neutre non nul



3.3.4 Représentation vectorielle d’une alimentation triphasée

Les trois tensions d’une alimentation triphasée U1, U2 et U3 peuvent être représentées graphique-ment par des vecteurs déphasés de 2π/3 rad (120°). Sur le graphique de la figure ci-dessous, les vecteurs de courant sont également représentés. Pour une charge équilibrée les courants de ligne ont une même amplitude et sont déphasés entre eux de 2π/3 rad (120°). L’angle φ est le déphasage entre les courants de ligne I1, I2 et I3 et les tensions simples U1, U2 et U3.

U1

I1

U2

U3

I2

I3

2

2

2

N

BSR20041124_E.des Figure 3.21 Représentation graphique des tensions et courants triphasés pour une charge

équilibrée. La somme des 3 vecteurs courant correspond bien à un courant de neutre nul.

Lorsque la charge n’est pas équilibrée, nous avons vu que le calcul analytique est fort complexe. La solution sera plus facilement trouvée en reproduisant graphiquement la loi de Kirschhoff, comme montré dans la figure ci-dessous :

I1

I3

I2+I3

I2

I +1 I2+I3

I =-( )N I +I +I1 2 3

BSR20041124_F.des Figure 3.22 Détermination graphique du courant de neutre pour une charge non équilibrée.



3.3.5 Puissance active des systèmes triphasés

La puissance active consommée par une charge triphasée en étoile est égale à la somme des puis-sances actives consommées sur chaque phase :

333222111321 coscoscos ϕϕϕ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++= IUIUIUPPPP sss , où les déphasages entre les courants et tensions ne sont pas forcément identiques pour les 3 phases.

Comme les 3 tensions simples d’une alimentation triphasée ont généralement la même valeur effi-cace, on obtient : Formule 3.31 ( )332211 coscoscos ϕϕϕ ⋅+⋅+⋅⋅= IIIUP s

• Cette relation est valable quelque soit la charge, équilibrée ou non. • Si la charge est équilibrée le calcul de la puissance se simplifie, les 3 courants de ligne et les 3

déphasages étant identiques. On obtient la formule ci-dessous en tenant compte de la relation entre tensions simple et composée (Formule 3.29).

Formule 3.32 ϕϕ cos3cos3 ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= IUIUP cs , où I est le courant de phase, Us la tension simple, Uc la tension composée et ϕ le dé-phasage (identique pour L1, L2 et L3).

Dans le cas d’une charge triphasée en triangle, la puissance consommée est égale à la somme des puissances consommées entre chaque paire de phases :

313131232323121212312312 coscoscos ϕϕϕ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++= IUIUIUPPPP ccc , où P12, P23 et P31 sont les puissances consommées entre chaque paire de phase. Les déphasages entre les courants et ten-sions ne sont pas forcément identiques pour les 3 phases.

Comme les 3 tensions composées d’une alimentation triphasée ont généralement la même valeur r.m.s., on obtient : Formule 3.33 ( )313123231212 coscoscos ϕϕϕ ⋅+⋅+⋅⋅= IIIUP c

• Pour être complet, et comme le montre la Figure 3.19 pour une charge en triangle, il faudrait encore calculer le courant de ligne pour chaque phase (par exemple )()()( tititi 23121 −= pour la phase L1). Il faudrait ensuite calculer leurs valeurs instantanées en utilisant diverses rela-tions trigonométriques ou par voie graphique. Cette démarche est cependant inutile, car la plu-part des charges en triangle utilisées avec une alimentation triphasée sont équilibrées, et leurs fabricants spécifient directement leur courant de phase. Il suffit alors d’appliquer la Formule 3.32.



3.4 Les dangers de l’électricité

L’électricité est utilisée pour transporter de grandes quantités d’énergie, elle est de ce fait dangereuse et des mesures de protection appropriées doivent être prises pour protéger les personnes et les biens.

Sans utiliser de dispositif de mesure ou de signalisation l’être humain ne peut pas savoir si un conduc-teur électrique est sous tension ou non. Les conducteurs électriques doivent être isolés ou mis hors d’atteinte pour éviter tout risque d’accident dus à un contact fortuit. Les normes et réglementations (CEI, IEEE, NIBT), basées sur le bon sens, imposent des règles de protection à respecter pour la réalisation d’installations électriques.

L’intensité du courant qui peut circuler dans un conducteur est limitée, en effet celui-ci s’échauffe par effet Joule et au-delà d’une certaine température il fond et se détruit. Des dispositifs de limitation du courant, fusibles et disjoncteurs, sont insérés dans les circuits électriques pour éviter que les surintensités provoquent des dégâts.

Lors de travaux sur les installations électriques, il est important que les dangers encourus soient pré-sents à l’esprit. Les mesures de sécurité et les équipements adéquats ne doivent pas être considérés comme des tracasseries.

3.4.1 Effets physiologiques de l’électricité

L’électrisation désigne les blessures infligées au corps humain s’il est parcouru par un courant élec-trique. La gravité de ces lésions dépend de l’intensité du courant et du temps pendant lequel l’organisme est soumis à ce courant. Ces lésions sont principalement cardiovasculaires (arrêt cardiaque, infarctus), respira-toires (suffocation), musculaires (brûlures, nécroses), cutanées ou neurologiques. L’électrocution est le décès par électrisation.

Figure 3.23 L’électricité peut être dangereuse !



En basse tension, soit de 50 à 1'000 V, les lésions, principalement cardiaques et respiratoires, sont provoquées par le passage du courant dans l’organisme, les limites approximatives sont les suivantes :

• de 1 à 10 mA, le courant ne provoque que des crispations sans danger ; • de 10 à 25 mA, le courant ne peut être dangereux que lors d’une application durant plusieurs

minutes ; • de 25 à 75 mA, le courant peut entraîner l’arrêt du cœur ; il est mortel après 30 secondes ; • les défaillances cardiaques les plus graves se manifestent pour des courants supérieurs à 75

mA, même pour une durée inférieure à 1 seconde.

Figure 3.24 Effets physiologiques en fonction de l’intensité et du temps d’exposition

L’intensité du courant électrisant dépend de la résistance du corps humain, le long du trajet du cou-rant, qui peut varier de 5 à 100 kΩ en fonction de l’état et de l’humidité de la peau ainsi que la pression et de la surface de contact. Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs approximatives.

Grandeurs Abréviation Formule Valeur min. Valeur max.

Corps humain RK Env. 500 Ω Env. 1’500 Ω Passage par la peau

RH 0 Ω (peau mouillée)

4’000 Ω (peau sèche)

Vêtements-sol RB 0 Ω (sol en béton mouillé)

10’000 Ω (chaussures sèches à

semelles isolantes)

Résistance

Total Rtot = RK + RH + RB 500 Ω 15’500 Ω Courant I = 230 V/Rtot 460 mA 15 mA

Table 3.2 Résistance électrique du corps humain (valeurs approximatives) Pour une limite de sécurité de 10 mA et une résistance du corps de 5 kΩ (valeur moyenne en milieu

sec), la tension correspondante vaut : VmAkΩlim 50105 =⋅=iteU . C’est la raison pour laquelle la plu-



part des législations et des normes relatives à la sécurité électrique ne s’appliquent que pour des tensions supérieures à 50 V.

A haute tension, le choc qui résulte du contact provoque presque toujours un arrêt cardiaque et des brûlures internes. Il faut être particulièrement attentif au fait qu’il n’est pas nécessaire de toucher un conducteur électrique pour être en danger. Le simple fait de s’en rapprocher provoque un arc électrique similaire à la foudre.

Les effets d’une électrisation sont : • L’effet tétanisant crispe les muscles. Il n’est alors plus possible de lâcher l’objet sous tension

que l’on tiendrait en main ; les autres effets ci-après interviennent rapidement. Les muscles respiratoires sont souvent atteints simultanément.

• La fibrillation ventriculaire est une conséquence grave. Certains muscles du cœur ont alors des mouvements spasmodiques désordonnés et la circulation sanguine est pratiquement inter-rompue. La victime est en danger de mort !

• L’effet thermique provoque de graves brûlures des tissus internes et externes. Dans les cas graves le dégagement de chaleur peut même mettre le feu aux vêtements.

• L’effet chimique décompose les liquides physiologiques par électrolyse (sang, etc.). Le courant continu est particulièrement dangereux à cet égard, les effets pouvant apparaître après plu-sieurs heures, alors que la victime pense avoir supporté le choc.

• L’électrisation peut provoquer des effets secondaires, comme la chute d’une échelle provo-quée par des réactions de réflexe (effet tétanisant). Elles sont souvent mortelles alors que le choc électrique ne l’était pas.

Les mesures de sauvetage qui s’imposent en cas d’électrisation, sont les suivantes : • S’arrêter et réfléchir. Le sauveteur doit observer et analyser la situation de manière à être effi-

cace et à ne pas mettre sa propre vie en danger. • Si c’est possible rapidement et sans risque, il faut chercher à interrompre l’électrocution :

− Si le moyen existe, déclencher l’alimentation électrique (bouton d’arrêt d’urgence, disjonc-teur, autres interrupteurs, etc.). Éventuellement, on peut essayer de provoquer un déclen-chement automatique en provoquant un court-circuit, mais sans toucher aux composants sous tension.

− Si l’alimentation ne peut être coupée, tenter d’éloigner la victime de la zone dangereuse au moyen d’une perche isolée.

− Lorsque la victime a pu être mise hors tension, pratiquer la respiration artificielle en cas de coma. Le massage cardiaque est souvent nécessaire, mais seules les personnes formées devraient le pratiquer.

• Sinon, il faut alerter immédiatement les secours (le no 112 est le numéro de téléphone interna-tional pour les appels d’urgence ; en Suisse, le no 144 accède directement aux urgences médi-cales). En bordure de route et autres lieus fréquentés, il vaudra mieux rester sur place de façon à éviter d’autres accidents.

3.4.2 Moyens de protection pour les personnes

Pratiquement toutes les alimentations alternatives triphasées des installations industrielles et domesti-ques ont leur neutre mis à la terre. Voir le paragraphe 3.5 à ce sujet. La conséquence est que si une per-



sonne touche l’une des phases par inadvertance, et si sa résistance contre terre est trop faible, un courant dangereux circule à travers son corps.

Pour éviter de tels accidents, il s’agit d’assurer une protection contre les tensions de défaut, c’est à dire la mise sous tension inopinée d’une carcasse ou d’un bâti par suite d’un défaut d’isolation. Une alterna-tive consiste à provoquer la coupure de l’alimentation électrique en cas de danger. Les principaux moyens à disposition sont :

• Une bonne isolation ou la mise hors de portée des pièces normalement sous tension. • La sur isolation (double isolation) augmente la sécurité pour les outils et appareils domesti-

ques. En plus de l’isolation fonctionnelle, ces appareils disposent d’une isolation supplémen-taire. En cas de défectuosité de l’une des isolations, l’autre assume la protection. La probabilité pour que les deux soient défectueuses simultanément est considérée comme négligeable.

• Un transformateur de séparation interrompt la liaison entre le conducteur neutre et la terre. Suite à cette séparation de protection, le conducteur de phase et le conducteur neutre ne pré-sentent plus de différence de potentiel par rapport à la terre. Aucun courant ne circule si l’on en-tre en contact avec l’un de ces conducteurs. Une électrisation ne peut survenir que si l’on tou-che simultanément le conducteur de phase et le conducteur neutre. Ce cas est très peu proba-ble si l’on ne connecte qu’un seul appareil électrique par transformateur de séparation.

Figure 3.25 Principes de protection par sur isolation (double isolation), respectivement par

transformateur de séparation

• La mise à terre est réalisée à l’aide de conducteurs de protection, repérés par leurs couleurs jaune et vert. Ils relient au potentiel de la terre toutes les parties métalliques accessibles pou-vant accidentellement être mises sous tension. En cas de défaut, si le boîtier est mis sous ten-sion, un circuit électrique de très faible résistance se forme par le biais du conducteur de pro-tection. Il en résulte un courant (de court-circuit) I(K), très élevé selon les circonstances, qui fait fondre le fusible ou déclencher le disjoncteur de protection (voir paragraphes 3.4.3 et suivants). Le circuit électrique est alors interrompu en quelques fractions de secondes. Le boîtier de l’appareil n’est dès lors plus sous tension, le risque d’une électrisation est évité.

• Les interrupteurs à courant de défaut ou « FI » (de l’allemand Fehler Strom) mettent hors service l’installation défectueuse lorsque survient un défaut d’isolation. Leur fonctionnement est basé sur le fait qu’en service normal, la somme des courants parcourant les conducteurs reliés à un appareil doit être nulle. Tout écart correspond donc à une « fuite » consécutive à un défaut



d’isolation. Même s’ils supportent des courants très importants, ces appareils peuvent détecter le moindre courant de défaut (par exemple 30 mA) et couper le circuit en un temps très court (<300 ms). Ces appareils sont obligatoires sur les chantiers, dans les zones humides et pour toute utilisation d’appareils électriques en plein air.

Figure 3.26 Principes de protection par mise à terre, respectivement par détection des cou-

rants de défaut

La majorité des accidents dans le cadre d’emplois de l’électricité sont dus à un défaut de la mise à terre. Pour prévenir les accidents, rappelons que seul du personnel qualifié muni d’une autorisation peut effectuer des travaux d’installation. Les normes et prescriptions pour la réalisation d’installations électriques (OIBT, SUVA, CEI) sont très strictes et doivent impérativement être respectées.

Dans le cas d’installations industrielles, il convient de tenir compte en plus des besoins de la mainte-nance. Les techniciens peuvent devoir intervenir à l’intérieur des équipements électriques alors que certai-nes parties de la machine sont sous tension. Ils pourraient par inadvertance entrer en contact avec des par-ties métalliques sous tension.

Le principal moyen de prévention est la protection contre les contacts fortuits. Par exemple, la vis de serrage d’une borne électrique est entourée d’un manchon isolant de petit diamètre (par ex. 4 mm). On dit que cette borne a un indice de protection IP20, comme pratiquement tous les appareils électriques utilisés dans l’industrie. Il n’est donc pas possible d’y enfiler un doigt et d’entrer en contact avec cette vis par inad-vertance. Évidemment, si l’on utilise un tournevis ou un autre objet métallique pointu, cette protection n’est plus assurée. Dès que le technicien utilise un outil, un tel contact est considéré comme voulu.

En plus des mesures de protections pour l’homme, les constructeurs et les installateurs utilisent des panneaux et étiquettes d’avertissement. Celle-ci peut être comme illustré ci-dessous. Il faut être particuliè-rement attentif aux textes d’accompagnement, même s’ils ne sont pas en français, car ils peuvent signaler, par exemple, qu’un appareil doit rester déclenché pendant plusieurs minutes avant que les tensions dange-reuses ne disparaissent.



Figure 3.27 Avertissement de danger dû à l’électricité

3.4.3 Défauts possibles des appareils et équipements

Dans une installation électrique, on distingue les cas de défauts suivants : • Court-circuit – deux conducteurs viennent à se toucher suite à un défaut d’isolation, provo-

quant une augmentation importante du courant, celui-ci pouvant atteindre plusieurs dizaines, voire plusieurs centaines de fois sa valeur nominale. L’effet d’un court-circuit est immédiat (quelques millisecondes). Les effets thermiques et méca-niques de la surintensité peuvent entraîner la fusion des conducteurs, la destruction des isola-tions, voire l’explosion des appareils. Des arcs peuvent également apparaître, risquant de pro-voquer un incendie et de graves destructions. La destruction de l’installation rend celle-ci et le bâtiment qui l’abrite dangereux. Pour prévenir ces accidents, les circuits de distribution électriques sont équipés de dispositifs de détection de surintensité. Ces dispositifs peuvent être des fusibles ou des disjoncteurs. Ils ouvrent quasi instantanément le circuit d’alimentation en cas de très forte augmentation du cou-rant.

• Surcharge – les appareils connectés à une alimentation sont trop nombreux ou sont surchar-gés. Ce peut être le cas, par exemple, d’un moteur entraînant un élévateur, lorsque les pièces manipulées deviennent trop nombreuses ou lorsque la lubrification est insuffisante. L’effet d’une surcharge ne survient généralement qu’après un certain temps (quelques se-condes à plusieurs heures). Même si la surcharge n’est que de 10 à 30%, les effets thermiques de la surintensité peuvent endommager l’isolation des conducteurs, voire dans les cas extrê-mes, entraîner leur destruction. Des arcs peuvent alors apparaître, risquant de provoquer un in-cendie et de graves dégâts. La destruction de l’isolation rend l’installation dangereuse. Pour prévenir ces accidents, les circuits de distribution électriques sont équipés de dispositifs de détection de surintensité. Ces dispositifs peuvent être des fusibles, des disjoncteurs ou des relais thermiques couplés à des contacteurs. Ils interviennent avec plus ou moins de re-tard lorsque l’augmentation de courant devient incompatible avec les limites thermiques de l’installation.

• Liaison inopinée des circuits électriques de systèmes différents, par exemple des câbles d’alimentation d’un moteur avec un câble de liaison informatique. En effet, certains appareils sont conçus pour travailler à basse tension (quelques dizaines de volt), et ne supportent pas les tensions utilisées généralement pour les alimentations de puissance (quelques centaines de volt). Si un tel défaut survient, ces appareils se détruisent et causent un court-circuit dans le meilleurs des cas, mais ils peuvent également exploser et provoquer des incendies.



La meilleure protection contre ce type d’accident est la séparation des appareils et des câbles opérant à basse tension et de ceux opérant à haute tension. Lorsque ce n’est pas possible, des limiteurs de surtension permettent de protéger efficacement les équipements à basse tension. Ces limiteurs sont également utilisés pour protéger les équipements exposés à la foudre.

La table ci-dessous résume ces divers cas de défauts et les moyens de protection.

Défaut Caractéristique Types de protection Court-circuit Idéfaut >> Inominal

(facteur ~5 → ∞) Disjoncteurs, fusibles

Surcharge Idéfaut >> Inominal (facteur 1,1 à ~5)

Disjoncteurs, fusibles, relais thermiques

Interconnexion inopinée Udéfaut > Uadmissible Séparation des appareils et des câbles, Limiteurs de surtension

Table 3.3 Types de surcharges et moyens de protection

3.4.4 Coupe surintensité

Le courant circulant dans un circuit électrique peut varier dans une plage importante. Il peut même dépasser largement (3 à 10 fois) le courant nominal Inom pendant de courts instants, lors du démarrage d’un moteur par exemple. Les dispositifs de protection contre les surintensités sont conçus pour couper le circuit électrique dans les cas suivants :

• instantanément (<0,1 s) si la surintensité est importante (> ~3 à 10 · Inom), en cas de court-circuit ou de fonctionnement anormal d’un appareil ou lorsqu’un moteur est bloqué ;

• après un certain temps si la surintensité est faible (1,1 à ~3 · Inom), par exemple lorsque trop de consommateurs sont raccordés sur le même circuit ou lorsqu’un moteur est surchargé ;

• si la surintensité se reproduit plusieurs fois en un temps donné, ou lors de démarrages de mo-teurs trop fréquents.

En fait ces appareils limitent d’une part l’intensité du courant (iinstantané) et d’autre part la quantité d’énergie (E(t) ou i2t) qui est fournie au consommateur.

3.4.4.1 Fusibles

Les fusibles sont un élément de faiblesse voulue introduite en série dans le circuit électrique. Ils sont composés d’un conducteur qui a une certaine résistance, calibré pour supporter le courant nominal, mais également pour fondre lorsque le courant est excessif pendant un temps donné. Dans un tel cas, il fond et interrompt le circuit.



Figure 3.28 Exemple de courbe caractéristique de fusion d’un fusible

Le type de fusible doit être choisi en fonction du circuit à protéger : • le courant nominal Inom correspond au courant que le fusible laisse passer à coup sûr sans fon-

dre ; • le courant de fusion IF provoque la coupure certaine après un temps donné, ce courant est gé-

néralement donné par des courbes caractéristiques similaires à la figure ci-dessus ; les fabri-cants proposent différents temps de fusion pour un même courant nominal, en termes courant on parle de fusibles super rapides, rapides, normaux ou retardés ;

• le pouvoir de coupure qui est fonction du courant de court-circuit Icc qui peut se produire dans l’installation ; ce courant de court-circuit est déterminé par la puissance de la source et peut va-loir plusieurs de dizaines de milliers d’ampères.

Figure 3.29 Symbole du fusible



Il existe différentes formes de fusibles selon l’application. Les micros fusibles pour protéger les appa-reils électrotechniques, les cartouches fusibles pour la protection des installations électriques domestiques et les fusibles à haut pouvoir de coupure (HPC) pour la protection des systèmes de distribution.

Figure 3.30 Exemples de fusibles : micro fusibles SMD pour l’électronique, micro fusibles en

tubes de verre pour les appareils, fusibles pour l’automobile, cartouches fusibles pour installations et fusibles à haut pouvoir de coupure

Les fusibles sont des éléments bon marché qui présentent un fort pouvoir de coupure dans un faible volume. Ils doivent être remplacés lorsqu’ils ont fondu. Dans les installations triphasées lorsqu’un fusible fond seule la phase concernée est coupée ce qui peut présenter un danger, dans le cas de l’alimentation de moteurs par exemple. Pour éviter ce problème il faut alors ajouter un dispositif de surveillance des phases qui coupe l’alimentation si un fusible fond.

3.4.4.2 Disjoncteurs

DÉFINITION 3.29 : Un disjoncteur est un appareil électromécanique capable d’établir, de supporter et d’interrompre un courant dans un circuit électrique, même en cas de surcharge et de court-circuit.

Un disjoncteur protège l’installation contre les surcharges thermiques et contre les courts-circuits. En outre il doit être capable d’interrompre le circuit quel que soit le courant qui le traverse, jusqu’à son pouvoir de coupure ultime ICU qui est de quelques dizaines de kiloampères. En version multipolaire, il est capable d’établir, de surveiller et d’interrompre simultanément les 3 phases d’une alimentation triphasée, même si le défaut ne se produit que sur une phase. Il comporte deux types de déclencheurs :

• le déclencheur thermique, qui actionne l’appareil après un certain temps en cas de surcharge ; • le déclencheur magnétique, qui intervient immédiatement en cas de court-circuit.



Figure 3.31 Symbole d’un disjoncteur

Figure 3.32 Exemple de courbe de déclenchement d’un disjoncteur

1) courbe de déclenchement thermique 2) courbe de déclenchement magnétique

Un disjoncteur est caractérisé essentiellement par son intensité nominale, sa tension nominale, son nombre de pôles, son pouvoir de coupure, le type de déclencheur utilisé et sa courbe de déclenchement. La courbe de déclenchement représente la variation du temps de déclenchement du disjoncteur en fonction du rapport I / Inom. Il en existe différentes version qui sont optimalisées en fonction du domaine d’application du disjoncteur (sur charge résistive, sur charge inductive, déclenchement instantané ou temporisé).



EXEMPLE La figure ci-dessus montre que le déclenchement du disjoncteur est temporisé comme suit :

Pour I = 3 · Inom , la protection est assurée par le déclencheur thermique (temps de déclenchement = t1) Pour I = 15 · Inom , la protection est assurée par le déclencheur magnétique (temps de déclenchement = t2)

Figure 3.33 Vue en coupe d’un disjoncteur divisionnaire

(Source : HAGER 6000 10 kA série NE-NF

Un disjoncteur est constitué de plusieurs éléments, comme le montre la figure ci-dessus : • les pièces enveloppes : coquille (1) et couvercle ; • les pièces spécifiques pour la coupure de courant et l’extinction de l’arc:

chambre de coupure (2), tôle d’arc (3), vis de réglage (4), sous-ensemble serrure (5) ;

• les déclencheurs : sous-ensemble thermique (6), sous-ensemble magnétique (7).



3.4.4.3 Sectionneur

Le sectionneur est la combinaison d’un interrupteur et d’une cartouche de fusible. On en trouve en-core dans des anciennes installations, par exemple en France. Ils ne sont que rarement employés pour la protection des machines.

3.4.4.4 Sélectivité

Dans une installation électrique, la continuité de service est une nécessité (exemple : impératifs de production). La coordination des dispositifs de coupure (disjoncteurs et fusibles) doit être telle qu’un défaut survenant en un point quelconque de l’installation doit être éliminé par le disjoncteur qui est placé immédia-tement en amont du défaut. Les disjoncteurs placés en amont ne doivent pas s’ouvrir et continuer à alimen-ter le reste de l’installation.

La sélectivité permet d’utiliser en aval des disjoncteurs à pouvoir de coupure réduit qui sont générale-ment plus petits et moins chers.

EXEMPLE Un défaut en aval de Disj 2 doit se traduire uniquement par l’ouverture de Disj 2 :

• La sélectivité est totale si Disj 2 s’ouvre et si Disj 1 reste fermé ;

• La sélectivité est partielle si la condition notée ci-dessus n’est pas toujours respectée.

Figure 3.34 Exemple de sélectivité



3.5 Conception de l’alimentation des machines

3.5.1 Alimentations normalisées

Pour assurer un minimum de compatibilités des divers appareils et équipements électriques, il est né-cessaire de restreindre le choix des systèmes d’alimentation. C’est la Commission Électrotechnique Interna-tionale (CEI, ou IEC en anglais – International Electrotechnique Commission) qui a promulgué des normes adoptées par la plupart des pays, même si elles laissent subsister des différences entre l’Europe et l’Amérique du Nord. Les tensions généralement utilisées pour l’alimentation des machines, des installations et de leurs équipements figurent dans la table ci-dessous. Toutefois, il existe bien des exceptions (par exemple : 500 Vrms / 60 Hz / 3~ dans certaines régions du Canada).

Fréquence Tension

nominale Tolérance Emploi Restrictions

régionales DC 3,3 VDC,

5 VDC

Alimentation des circuits logi-ques et microprocesseurs

DC 12 VDC Équipements électriques des automobiles et autres véhicu-

les

DC 24 VDC -20 / +25% Équipements d’automatisation DC 48 VDC Certains petits moteurs (juste

en dessous des 50 V pour échapper aux normes)

50 Hz / 1~ 230 Vrms ±10% Appareils Europe

50 Hz / 3~ 400 Vrms ±10% Appareils Europe

60 Hz / 1~ 115 Vrms ±10% Appareils Amérique du Nord



Table 3.4 Les tensions normalisées CEI les plus utilisées Dans des cas exceptionnels, et en particulier pour des machines et installations de conception an-

cienne, on trouvera également des tensions continues de 48 V et 110 V.



D’autres systèmes d’alimentation sont utilisés pour la traction électrique :

Fréquence Tension nominale

Tolérance Emploi Restrictions régionales

DC 600-750 VDC Tramways, métros, trol-

leybus

DC

DC 1’500 VDC Trains France, Belgique, … DC DC 3’000 VDC Trains Italie, Pays-Bas DC

16,7 Hz / 1~ 15’000 Vrms Trains Allemagne, Suisse, Autriche, Suède

16,7 Hz / 1~

50 Hz / 1~ 25’000 Vrms Trains France (dont TGV) 50 Hz / 1~

Table 3.5 Les tensions les plus utilisées en traction électrique

3.5.2 Régime de neutre

Dans les installations électriques, la mise à terre est une mesure de protection. En reliant au conduc-teur de protection des installations ou des appareils, on évite que, dans le cas d’un défaut, des parties conductrices tangibles ou saisissables se trouvent sous tension et risquent alors de mettre en danger des personnes ou des choses.

La mise à terre sert à déclencher des installations en cas de défaut, ou à abaisser à une valeur non dangereuse, des tensions de contact ou de pas.

En Suisse l’ASE (Association Suisse des Électriciens) fixe les normes pour les installations électri-ques. Le schéma TN-S (Terre et Neutre Séparés), est obligatoire si la section des conducteurs en cuivre est inférieure à 10 mm2.

Figure 3.35 Schéma TN-S de mise au neutre

(Source : NIBT)



Avantages : • Utilisation simple du couplage de protection à courant de défaut • Mesure d’isolement simplifiée (pas de liaisons N-PE, ce qui évite des accidents dus à l’omission du réta-

blissement des liaisons après intervention). Le schéma TN-C (Terre et Neutre Commun) peut être utilisé si la section des conducteurs en cuivre

est supérieure à 10 mm2.

Figure 3.36 Schéma TN-C de mise au neutre

(Source : NIBT)

Avantage : • Économie de cuivre, facilité de tirage (4 conducteurs seulement), réduction des coûts.

Inconvénient : • Danger que des masses de récepteurs mises au neutre soient mises sous tension par la rupture du

conducteur PEN.

Figure 3.37 Danger en cas de rupture du conducteur PEN

Pour information, il existe également d’autres régimes, dont celui du « neutre impédant ». Utilisés dans certaines régions de France et de Norvège, il pose de grandes difficultés lors de la conception des machines, en particulier au niveau de la compatibilité électromagnétique.



3.5.3 Transformateurs et convertisseurs

DÉFINITION 3.30 : Un transformateur est un appareil qui permet de modifier la tension d’une alimen-tation alternative.

DÉFINITION 3.31 : Le primaire est l’entrée du transformateur. On parle aussi d’enroulement(s) pri-maire(s).

DÉFINITION 3.32 : Le secondaire est la sortie du transformateur. On parle aussi d’enroulement(s) secondaire(s).

Un transformateur monophasé convertit l’énergie électrique qui lui parvient au primaire sous une ten-sion UP en énergie magnétique, puis la reconvertit en énergie électrique qu’il délivre par le secondaire US. Son principe de fonctionnement sera abordé au chapitre 4.

Attention : Un transformateur ne fonctionne que s’il est alimenté en tension alternative. La tension qu’il délivre au secondaire est également alternative, à la même fréquence.

En vertu du principe de conservation de l’énergie, les puissances, tensions et courant d’un transforma-teur répondent aux équations suivantes : Formule 3.34 pertessecondaireprimaire PPP +=

Si on néglige les pertes (généralement de 1 à 5%), on obtient : Formule 3.35 secondairesecondaireprimaireprimaire IUIU ⋅=⋅

Un transformateur triphasé comporte 3 enroulements, soit un pour chaque phase, et obéit aux mêmes formules. Les spécialistes les distinguent toutefois par le couplage de leurs enroulements primaires et se-condaires, qui peuvent être en étoile, en triangle ou combiné (en zigzag).

C’est grâce aux transformateurs, appareils relativement simples à fabriquer, sans pièces mobiles donc sans usure, que l’énergie électrique alternative peut être transportée à grande distance. En effet, pour diver-ses raisons technologiques la tension délivrée par un alternateur est limitée à 20 kV environ. Un transforma-teur permet d’élever cette tension jusqu’à 380 kV, ce qui permet de transporter la puissance de l’alternateur avec un courant proportionnellement plus faible. Comme les pertes occasionnées par le transport sont pro-portionnelles au carré du courant, l’avantage est évident.

Pour la distribution, la tension est abaissée par une succession de transformateurs, tout d’abord en moyenne tension (~20 kV), puis à la tension normalisée de 400 V.

Dans les appareils, un transformateur permet d’abaisser encore la tension jusqu’à quelques volts en vue de son utilisation.

Il faut relever qu’en plus de la modification du niveau de tension, un transformateur isole les circuits connectés au secondaire de ceux qui l’alimentent au primaire. Cette isolation est utilisée par exemple pour améliorer la sécurité de fonctionnement de certains appareils.

DÉFINITION 3.33 : Un autotransformateur est une variante de transformateur qui permet de modifier le niveau de tension, mais ne procure aucune isolation entre primaire et se-condaire.

Plus petit, moins lourd et moins coûteux, l’autotransformateur est souvent utilisé dans toutes les appli-cations où l’isolation n’est pas nécessaire. Il obéit aux mêmes formules qu’un transformateur.



DÉFINITION 3.34 : Un convertisseur est un appareil qui permet de modifier le niveau de tension et sa fréquence.

Réalisé grâce à l’électronique de puissance, un convertisseur peut être alimenté en tension continue, alternative monophasée ou alternative triphasée. Sa tension secondaire peut être continue ou alternative ; dans ce dernier cas, sa fréquence peut différer de la fréquence d’entrée. La tension de sortie est générale-ment stable, même si l’alimentation (tension primaire) varie, par exemple dans la tolérance de ±10% du ré-seau industriel.

Certains convertisseurs permettent même de modifier la tension et la fréquence de sortie en fonction des besoins.

Un convertisseur obéit généralement aux mêmes formules qu’un transformateur. Les installations et une grande partie des machines et appareils sont construits pour être compatibles

avec les tensions normalisées sur le site d’utilisation. D’autres machines et appareils, construits en série, sont plutôt équipés d’un transformateur ou d’un convertisseur qui permet le fonctionnement sous diverses tensions.

DÉFINITION 3.35 : Une alimentation ininterruptible est une variante de convertisseur qui, associée à une batterie d’accumulateurs ou à un groupe diesel-électrique, permet d’alimenter une installation ou un appareil même en cas de panne du réseau.

De telles alimentations sont utilisées lorsqu’une interruption de l’alimentation par le réseau a des conséquences inacceptables. Ce peut être pour le bloc opératoire d’un hôpital ou pour les bases de données de grandes entreprises. Ce peut être aussi pour assurer l’arrêt d’urgence, voire la poursuite du fonctionne-ment de certaines machines de production et installations.






Chapitre 4

Actionneurs et moteurs électriques

4.1 Le mouvement dans les machines

4.1.1 Types de mouvements

DÉFINITION 4.1 : Une machine est un ensemble de pièces ou d’organes liés entre eux, dont au moins un est mobile, réunis de façon solidaire en vue d’une application définie, no-tamment pour la transformation, le traitement, le déplacement et le conditionne-ment d’un matériau. Une machine comprend également tous les composants d’alimentation en énergie et d’automatisation nécessaires à son fonctionnement. Un ensemble de machines est également considéré comme une machine.

Cette définition est celle de la « Directive sur les Machines » de l’Union Européenne. Au sens plus large du terme, les centrales de production d’électricité à partir d’énergie mécanique sont aussi des machi-nes. Par exemple, une turbine entraînée par une chute d’eau fait tourner un alternateur qui délivre de l’électricité.

Les mouvements des machines remplissent une ou plusieurs des fonctions suivantes : • entraîner une pompe ou un ventilateur, pour déplacer ou comprimer des liquides, des gaz ou de

l’air ; • entraîner une broche, c’est-à-dire un outil de coupe, de perçage ou d’usinage comme une scie,

un foret, un taraud, un disque de polissage, etc. ; • saisir un objet et le maintenir pendant son usinage ou son déplacement ; • déplacer un objet d’un endroit à un autre, pour le stocker ou le remettre dans le circuit de pro-

duction, pour le positionner en vue d’un usinage ou d’un traitement, pour l’emballer et le prépa-rer à la livraison, etc. ;

• déplacer un objet en suivant une trajectoire déterminée, afin de le présenter sous un outil d’usinage, de découpe, de traitement thermique, etc. ;

• former ou déformer un objet, par exemple pour le plier et pour le mouler.



L’objet saisi et déplacé est généralement le produit en cours d’élaboration par la machine, mais ce peut être également un outil, voire une machine complète, parfois même avec son conducteur et des passa-gers, comme dans le cas d’un ascenseur ou d’un véhicule.

Chaque déplacement peut être : • une suite de mouvements en va et vient limités entre deux positions, comme les extrémités

gauche et droite d’une table X-Y de machine-outil ; • une suite de mouvements monodirectionnels, souvent périodiques, comme dans un

convoyeur de chantier ou le bobinage de fils.

Figure 4.1 Exemples de déplacements va et vient entre butées dans le cas d’une poinçon-

neuse, et de déplacements monodirectionnels continus dans le cas du condition-nement des journaux (sources : Trumpf GmbH – www.trumpf.com et Ferag AG – www.ferag.ch)

4.1.2 Programmation des mouvements – types de machines

Dans une machine automatique, le mouvement peut être déterminé : • par un programme pièce pour une machine à cycle programmable comme dans une ma-

chine-outil à commande numérique ; • par le choix parmi diverses « recettes » pour une machine à cycle fixe, en fonction des ca-

ractéristiques du produit à fabriquer, comme dans une machine d’emballage ou d’imprimerie ; ces recettes sont déterminées par programmation, une fois pour toutes, et réalisée par le fa-bricant de la machine ;

• par apprentissage, l’opérateur réalisant une première fois la succession de mouvements en mode manuel, appelé également « marche à vue », puis déclenchant leur répétition en mode automatique.



Les machines-outils sont généralement des machines à cycle programmable.

Figure 4.2 Exemple de machine-outil – centre d’usinage

(source : Precitrame – www.precitrame.ch)

Les mouvements des machines-outils sont combinés pour permettre un positionnement dans plu-sieurs directions et plusieurs orientations, par exemple :

• mouvements 2D – dans un plan horizontal (X-Y) ou vertical (X-Z) ; • mouvements 3D – dans l’espace (X-Y-Z) ; • mouvements 6D – dans l’espace (X-Y-Z) avec orientation 3D ; • mouvements > 6 D – mouvement coordonnés de plusieurs groupes 2D et 3D, comme dans un

tour multibroche. Les machines d’imprimerie, textile, d’emballage et d’assemblage sont généralement des machi-

nes à cycle fixe.

Figure 4.3 Exemple de machine d’assemblage – machine à cycle fixe

(source : Ismeca Semiconductor SA – www.ismeca.com)

Les mouvements de leurs éléments mobiles sont combinés et programmés une fois pour toutes par le fabricant de la machine pour réaliser les processus souhaités. Traditionnellement, ces machines étaient



entraînées par un seul moteur, qui mettait en mouvement une multitude de pièces par l’intermédiaire d’un arbre maître, de courroies, d’engrenages, de crémaillères, de cames, etc.

MVariateur defréquence

BSR20041214_A.des Figure 4.4 Structure d’une machine avec arbre maître

De plus en plus, cette solution est remplacée par ce que l’on appelle un arbre électronique. Les élé-ments mobiles sont entraînés par un servomoteur chacun, dont les mouvements sont coordonnés de ma-nière électronique, imitant les divers types d’accouplements à l’arbre maître :

• boîte à vitesse (variable progressivement) ; • accouplement / débrayage ; • profil de came ; • différentiel utilisé pour la mise en phase (ex. : alignement des couleurs en imprimerie)

La réalisation de ces fonctions mécaniques par voie électronique et informatique présente l’immense avantage de changer et modifier les « recettes » très facilement et très rapidement, que ce soit entre deux lots de productions ou en cours de production.

C’est dans ce domaine en particulier que la synergie entre les techniques mécaniques et électro-niques permet de réaliser des améliorations importantes. La combinaison des techniques d’accouplements mécaniques, des servomoteurs et des régulations électroniques est souvent appelée « so-lution mécatronique ».

M

Ser

voam

plif

icat

eur

M

Ser

voam

plif

icat

eur

M

Ser

voam

plif

icat

eur

M

Ser

voam

plif

icat

eur

M

Ser

voam

plif

icat

eur

MS

ervo

ampl

ific

ateu

r

BSR20041214_B.des Figure 4.5 Structure d’une machine avec arbre électronique



Les robots sont généralement des machines à apprentissage, parfois des machines programmables.

Figure 4.6 Exemple de robot à 6 degrés de liberté

(source : ABB – www-abb-ch)

Ils comportent traditionnellement des articulations en série, chaque membre peut pivoter ou coulis-ser relativement au membre qui le supporte, un peu comme un bras humain. Le dernier membre de cette chaîne porte l’outil. Les mouvements de celui-ci ont plusieurs degrés de libertés, permettant le positionne-ment et l’orientation de l’outil dans l’espace.

Depuis 1985 sont apparus également des robots à structure parallèle. Requérant une commande nettement plus sophistiquée, ces nouvelles structures sont intéressantes par leurs basses inerties autorisant des mouvements très rapides, tout en conservant une grande rigidité.

Figure 4.7 Exemple de robot à structure parallèle

(source : ABB – www-abb-ch)



4.1.3 Caractérisation des mouvements

L’automatisation de tous ces mouvements passe par la détermination de leurs caractéristiques, qu’ils soient réalisés de manière mécanique ou à l’aide de moteurs. En voici quelques exemples.

• géométrie du mouvement : − mouvement unidimensionnel (linéaire ou rotatif), 2D (interpolation circulaire, profil de

came, etc.), 3D, etc. ; − mouvement coordonné de plusieurs parties de la machine (arbre électronique) − fins de course pour les mouvements va et vient ; − périodicité pour les mouvements mono directionnels ;

• dynamique du mouvement : − mouvements avec arrêts en 1 ou 2 points prédéterminés ; − mouvements vers n’importe quelle position ; − mouvement « en continu », suivi de trajectoire ; − allure des profils de vitesse et de position – Pour ménager la mécanique, on cherche à

éviter les sauts brusques d’accélération. Divers profils normalisés permettent de faire le meilleur compromis entre rapidité de déplacement et douceur des mouvements ;

• masses en mouvement : − encombrement ; − poids ; − inertie des masses en mouvement rotatif ; − forces externes à compenser – frottements, effort d’usinage, gravité, etc. ;

• performances du mouvement : − cadence de production, vitesses et accélérations ; − précision et répétitivité requises.

La plupart des actionneurs et moteurs électriques sont réversibles : Ils peuvent généralement fonc-tionner en marche avant et en marche arrière. De plus, dans chaque sens, ils peuvent soit fournir de l’énergie (agir en moteur), soit absorber de l’énergie (agir comme un frein). On dit qu’ils peuvent fonctionner dans les 4 quadrants.

F Mou

v ou 0

P > 0moteur

P > 0moteur

P > 0frein

P > 0frein

BSR20061004_A.des Figure 4.8 Fonctionnement dans les 4 quadrants



Bien des mouvements comportent une succession rapide de périodes de mouvement et de périodes d’immobilité. Or ces mouvements occasionnent des pertes thermiques par frottements (pertes mécaniques) et effet Joule (pertes électriques). L’allure de ces pertes est par exemple la suivante :

t

p (t)pertes

BSR20070314_E.des

Ppertes max

Ppertes moy

(t)

t

Figure 4.9 Exemples des pertes thermiques provoquées par les mouvements, et de la tempé-

rature d’un des organes d’entraînement

Il est intéressant de tenir compte du fait que la température des différents organes de machine suit la courbe des pertes avec un retard et une amplitude qui dépendent de leur inertie thermique. Or, celle-ci est souvent assez importante, ce qui fait que ces températures ne varient que de quelques degrés autour d’une valeur moyenne. Il est donc possible de prévoir des surcharges intermittentes, de brève durée, pour obtenir la plus forte cadence de production possible au moindre coût. L’entraînement est alors dimensionné comme suit :

• les pertes moyennes déterminent l’usure et l’échauffement, donc la puissance nominale et surtout le coût de l’entraînement ;

• les pertes maximum déterminent les limites de rupture (la solidité) et d’alimentations (en électricité, en huile ou en air comprimé), et ont une incidence moindre sur les coûts.

Le choix de la technique d’entraînement appropriée tient compte de l’ensemble de ces caractéristi-ques. Mais il doit aussi prendre en compte d’autres facteurs tout aussi importants :

• coûts de réalisation, de production et de maintenance ; • maîtrise du savoir-faire ; • logistique – limitation de la diversité des articles en stock ; • exigences pas toujours objectives des clients – fournisseur imposé, etc.



4.1.4 Modes de fonctionnement des actionneurs et moteurs

4.1.4.1 Mode tout ou rien

L’actionneur ou le moteur est connecté à une alimentation hydraulique ou pneumatique de pression constante ou à une alimentation électrique de tension et fréquence constantes. Sa vitesse de déplacement ou de rotation dépend de son principe de fonctionnement et des caractéristiques de son alimentation, mais aussi de la charge (frottements, couple d’usinage, etc.). Non alimenté, il ne produit plus aucune force ou couple et se laisse entraîner par la charge. Généralement, il s’arrête après un temps plus ou moins long sous l’effet des frottements, ou soudainement sous l’action d’un frein mécanique.

La commande est alors particulièrement simple à réaliser, à l’aide d’un distributeur pour les entraî-nements pneumatiques ou hydrauliques, et d’un interrupteur pour les entraînements électriques. Ils peuvent être actionnés mécaniquement par l’opérateur, voire par un système de leviers mécaniques. Dans la plupart des cas cependant, ils sont actionnés par un électroaimant. On parle alors d’électrovanne, de relais et de contacteur.

Ainsi commandé, l’actionneur ou le moteur est généralement réversible et fonctionne dans 2 qua-drants : Il peut fournir de l’énergie (moteur) ou en absorber (frein). Par contre, l’inversion du mouvement (4 quadrants) nécessite généralement un deuxième distributeur ou interrupteur, voire un ressort de rappel.

Figure 4.10 Exemples de commandes tout ou rien :

- interrupteur actionné à la main (source : Kraus et Naimer (D) – www.distrelec.ch) - ensemble d’électrovannes pneumatiques (source : Kuhnke (D) – www.kuhnke.de) - contacteur (source : Schneider Automation – www.telemecanique.com)

Avantages : Ce mode de fonctionnement est utilisé pour la plupart des pompes, ventilateurs et outils d’usinage, voire pour certains mouvements comme celui des ascenseurs et des convoyeurs.

Inconvénients : Ce mode de fonctionnement ne permet aucune adaptation à la charge mécanique réellement entraînée. Les déplacements ainsi réalisés ne seront répétitifs que dans la mesure où les condi-tions d’alimentation et de charge sont rigoureusement constantes. Comme un tel entraînement doit être di-mensionné pour le cas de charge extrême, il est sous-utilisé à charge réduite, ce qui dégrade le rendement du procédé.

Coûts : Le fonctionnement tout ou rien est particulièrement économique à l’acquisition (investisse-ment initial pour l’équipement). Il n’est pas toujours économique sur le plan de l’exploitation (gaspillage d’énergie).



4.1.4.2 Mode contrôlé en vitesse

En ajustant la pression hydraulique ou pneumatique, la tension électrique ou la fréquence, il est pos-sible de modifier la vitesse d’un actionneur ou d’un moteur de manière continue, au moins dans une certaine plage (par exemple de 20% à 100% de la vitesse nominale). Toutefois, la vitesse reste plus ou moins dé-pendante de la charge.

Les actionneurs et moteurs sont souvent identiques à ceux utilisés en mode tout ou rien. Leur com-mande requiert toutefois une servovalve, un variateur de tension ou un variateur de fréquence. Ces ap-pareils existent pour toutes les puissances, des plus faibles aux plus élevées.

Dans leurs réalisations les plus économiques, ces commandes ne permettent le fonctionnement de l’actionneur ou du moteur que dans 1 quadrant. Ils ne peuvent se déplacer que dans un sens et ne fonction-nent qu’en mode moteur. D’autres commandes permettent également le freinage (2 quadrants), voire le fonctionnement dans le sens inverse (4 quadrants).

Figure 4.11 Servovalve (source : Atlas Fluid Controls (US) - www.atlasinc.com)

Variateurs de fréquence (source : Rockwell Automation – www.rockwellautomation.fr)

Le principe de la commande de vitesse est illustré ci-dessous. L’opérateur choisit une valeur u(t) en fonction de la vitesse ωc(t) qu’il souhaite obtenir. L’amplificateur de puissance ajuste en conséquence l’alimentation ua(t) du moteur.

i

ua

LR

J

u(t)(t)

M

Rf

T (t)res

MEE_f_01_03.des

pali

ers

amplificateurde puissance

potentiomètrede consigne

c(t)

Figure 4.12 Principe de la commande de vitesse en boucle ouverte

La vitesse réelle du moteur n’est pas mesurée. On dit que la commande est en boucle ouverte. C’est éventuellement l’opérateur qui décide s’il faut modifier la valeur u(t). Il le fait généralement sans avoir une idée quantitative de la vitesse, mais plutôt en évaluant le résultat du processus, à la vue ou à l’ouïe.

Avantages : Ce mode de fonctionnement est utilisé pour tous les entraînements dont on souhaite contrôler approximativement la vitesse, comme les broches de machines-outils et l’avance des véhicules et des grues.



Inconvénients : S’il permet d’ajuster la vitesse, ce mode de fonctionnement ne permet pas de l’ajuster de façon précise, indépendamment de la charge.

Coûts : Plus coûteux à réaliser que le mode tout ou rien, ce fonctionnement est plus économique à l’utilisation. Même si les performances ne sont pas un critère de choix décisif, cette solution est de plus en plus choisie pour raison écologique. En effet, le remplacement d’une commande tout ou rien par un variateur rudimentaire pour une pompe ou un ventilateur permet souvent d’économiser de l’énergie en ajustant le régime de fonctionnement en fonction du besoin réel.

4.1.4.3 Mode réglé en vitesse

En ajoutant un capteur de vitesse sur l’arbre du moteur ou sur l’organe en mouvement, et en insérant un régulateur de vitesse dans le variateur, il est possible d’obtenir exactement la vitesse souhaitée. L’ancêtre de ces appareils est le régulateur de vitesse équipant les machines à vapeur.

Figure 4.13 Régulateur de vitesse (source : Musée des Arts et Métiers, Paris – http://visite.artsetmetiers.free.fr)

Le principe de la régulation est illustré dans la figure ci-dessous : L’opérateur ou le programme d’automate choisit une valeur de consigne w(t) en fonction de la vitesse ωc(t) qu’il souhaite obtenir. La valeur réelle ω(t) est mesurée et fournit le signal de contre-réaction y(t), qui est comparé à la valeur de consigne. La différence entre ces deux valeurs est appelée écart de réglage e(t). Le régulateur s’efforce de le minimiser en ajustant la grandeur de réglage u(t) et, par l’intermédiaire de l’amplificateur de puissance, l’alimentation ua(t) du moteur.

+

- e

i

ua T

y(t)

LR

J

Km

e(t) u(t)(t)

M

Rf

w(t)u T (t)res

MEE_f_01_04.des

pali

ers

ampl

ific

ateu

rde

puis

sanc

e

capt

eurpotentiomètre

de consigne

comparateur

régulateur

c(t)

Figure 4.14 Principe de la régulation de vitesse en boucle fermée

Par opposition à la commande de vitesse en boucle ouverte, on dit que la régulation de vitesse est en boucle fermée.



Si par exemple, le moteur tourne trop vite, la valeur y(t) est supérieure à la valeur w(t), donc e(t) est négatif. Le régulateur diminue alors l’alimentation u(t), ce qui ralentit le moteur. Si le régulateur agit trop faiblement, la correction n’est pas suffisante et la vitesse obtenue n’est pas assez précise. S’il agit trop for-tement, la correction est trop violente et la vitesse diminue trop. Comme cela entraîne alors une inversion de l’écart e(t), le système devient instable. L’étude des régulateurs fait partie du cours de Régulation automa-tique.

Avantages : La régulation de vitesse permet d’obtenir exactement le résultat désiré. Inconvénients : La conception et l’ajustage du régulateur nécessitent un personnel qualifié. Coûts : Ce mode d’entraînement est plus coûteux que le contrôle de vitesse en boucle ouverte, es-

sentiellement à cause du capteur supplémentaire et de son câblage.

4.1.4.4 Mode servomoteur – réglé en position

En ajoutant un capteur de position sur l’arbre du moteur ou sur la charge en mouvement, il est possi-ble de réaliser des déplacements point à point et d’arrêter le moteur à des positions très précises.

Il est aussi possible de réaliser des mouvements qui suivent une trajectoire précise. De telles trajec-toires ne sont calculées que pour certains points, par lesquels l’organe en mouvement doit passer sans s’arrêter. Ces trajectoires peuvent être monodimensionnelles, ou multidimensionnelles comme dans les machines-outils. Elles peuvent dépendre d’un autre mouvement en imitant les cames et autres systèmes d’accouplements.

t

X(t)

BSR20041215_B.des Figure 4.15 Exemple de trajectoire pour servomoteur – X(t) représente la position à chaque

instant t.

Les moteurs utilisés selon ce mode sont appelés servomoteurs, et leur commande nécessite un ser-vo amplificateur (ou servo variateur). Ceux-ci sont disponibles pour des puissances de ~1 W à ~100 kW.

Avantages : Ce mode de fonctionnement permet de bien contrôler tous les mouvements d’une ma-chine. Les variations d’alimentation et de charge sont automatiquement compensées. La grande répétitivité des résultats obtenus est particulièrement adaptée aux exigences de qualité des utilisateurs. Les machines ainsi équipées présentent une grande flexibilité : Le changement de fabrication, selon programme pièce ou selon recette, peut être très rapide, voire réalisé au vol (sans arrêt de la machine).

Inconvénients : La conception et l’ajustage des régulateurs nécessitent un personnel qualifié. Le choix entre les différentes solutions disponibles sur le marché est complexe, et la dépendance envers le fournisseur choisi est grande.



Coûts : Historiquement plus chers que les variateurs, les servo amplificateurs sont actuellement très compétitifs, et le capteur de position n’est pas forcément plus cher que le capteur de vitesse. Ce mode reste cependant plus coûteux que les modes contrôle et régulation de vitesse à cause de la complexité de la commande. Celle-ci doit être capable de faire plus de calculs, plus rapidement. De plus, le programme d’automate doit être complété par une programmation des mouvements et des trajectoires, ce qui augmente la charge d’ingénierie.

4.1.4.5 Mode pas à pas

Le mode pas à pas combine le mode tout ou rien et le mode servomoteur. L’actionneur travaille bien en mode tout ou rien, mais il est alimenté par une succession d’impulsions. A chaque impulsion, il avance d’une petite distance appelée pas ou incrément. La distance parcourue dépend directement du nombre d’impulsions reçues. La vitesse dépend de la fréquence des impulsions. De plus, lorsqu’il ne reçoit plus d’impulsions, un tel actionneur est tenu en place avec une certaine force de maintien.

Ce mode de fonctionnement n’est possible qu’avec les moteurs pas-à-pas. Ceux-ci sont décrits plus complètement au paragraphe 4.6.4.

Figure 4.16 L’ancêtre – échappement à ancre d’une horloge (source : Horlogis (F) – www.horlogis.com)

La version électrique – moteur pas à pas (source : SAIA-Burgess (CH) – www.saia-burgess.com)

Ce type d’actionneurs permet sans aucun moyen de mesure supplémentaire de contrôler et de main-tenir la position à chaque instant. Le contrôle est réalisé sans capteur ni régulateur. La commande d’un mo-teur électrique pas à pas requiert un générateur d’impulsions particulier.

Les moteurs électriques pas à pas sont généralement rotatifs, mais des variantes linéaires existent également. La technologie micro pas permet même de positionner le moteur à des positions intermédiaires. Connaissant le nombre de pas par tour, la relation entre le nombre d’impulsions fournies et la distance angu-laire parcoure est immédiat.

Avantages : Les entraînements pas à pas sont particulièrement simples. Leur force de maintien per-met de faire l’économie d’un frein.

Inconvénients : Les moteurs électriques pas à pas sont limités en puissance à ~200 W. Ils sont éga-lement limités en vitesse à ~1'000 tr/min. Leur précision est de l’ordre du pas, donc de ~1º angulaire dans le



meilleur des cas. A l’arrêt, la position n’est maintenue qu’avec une certaine élasticité. Si la force perturbatrice est trop élevée, elle ne suffit plus à maintenir le moteur et celui-ci saute au pas suivant. On dit qu’il décro-che. Ce phénomène e très gênant dans la mesure où aucun autre capteur de position ne permet de savoir où ce trouve réellement l’organe en mouvement.

Coûts : Le mode pas à pas est particulièrement économique pour tous les mouvements nécessitant un positionnement à quelques degrés angulaires près, et nécessitant une puissance ne dépassant pas une centaine de watt.



4.2 Les familles d’actionneurs

Les composants permettant de mettre en mouvement les organes de machines sont appelés action-neurs. Ce sont essentiellement des moteurs et des vérins. Ils produisent de l’énergie mécanique à partir d’énergie électrique, hydraulique ou pneumatique, mais sont presque toujours contrôlés par des signaux de commande électriques. Les actionneurs sont souvent complétés par des accouplements mécaniques et/ou des réducteurs.

4.2.1 Actionneurs pneumatiques

Les actionneurs pneumatiques sont utilisés principalement pour des mouvements séquentiels simples. Ils utilisent de l’air comprimé à ~6 bar et permettent de réaliser des vérins dont la force peut atteindre 50'000 N.

L’air est fourni par un compresseur, complété de filtres, d’un séparateur d’eau et d’un déshuileur. Il est souvent produit pour tout un atelier, et distribué à toutes les machines.

Les actionneurs sont généralement des vérins linéaires, mais aussi des moteurs rotatifs. On utilise également des aspirateurs suceurs à vide pour saisir des objets. Ils sont commandés en tout ou rien par des distributeurs, actionnés mécaniquement ou électriquement.

Figure 4.17 Principe de fonctionnement d’un vérin pneumatique

(source : Deyes Hihg School (GB) – www.deyes.sefton.sch.uk)

Dans certains cas, l’actionneur pneumatique réagit en continu en fonction du débit ou de la pression pneumatique. On utilise alors un distributeur proportionnel. La pression à sa sortie peut être modulée entre 0 et ~10 bar en fonction de la tension électrique appliquée. Il est ainsi possible de contrôler par exem-ple la vitesse d’un mouvement ou la force d’un serrage.

Avantages : Les actionneurs pneumatiques se distinguent par des faibles coûts d’entretien et des be-soins minimaux en qualification du personnel. Ils conviennent particulièrement bien aux milieux hostiles : hautes température et humidité ambiantes, atmosphère explosive. Ils permettent de produire des vitesses élevées, comme dans certaines fraises de dentiste (~200'000 r/min).

Inconvénients : L’air comprimé est très élastique, ce qui ne permet pas d’obtenir des temps de réac-tion inférieurs à ~20 ms. Parfois, les bruits dus à des fuites ou à l’échappement sont considérés comme gê-nants.

Coûts : Les actionneurs pneumatiques représentent souvent la solution d’automatisation la moins chère. Si leurs performances répondent aux besoins, il ne faut pas hésiter à les utiliser.



Les entraînements pneumatiques sont traditionnellement présents dans les chaînes d’assemblage, par exemple pour les composants nécessaires à l’industrie automobile. Ils sont utilisés pour actionner certai-nes machines outils, comme des petites presses, des machines de transfert, etc.

Figure 4.18 Machine avec actionneurs pneumatiques (Source : Sysmelec (CH) – www.sysmelec.ch)

4.2.2 Actionneurs hydrauliques

Les actionneurs hydrauliques sont utilisés pour des mouvements requérant des forces très élevées à faible vitesse. Utilisant de l’huile sous des pressions atteignant 400 bar, ils permettent de réaliser des vérins de force prodigieuse (jusqu’à 3'000'000 N, soit 300 tonnes force). Leurs temps de réponse sont plus rapides que pour l’air (quelques millisecondes), car l’huile est presque incompressible.

L’huile est fournie par une pompe hydraulique qui fait généralement partie de la machine. Elle est distribuée par des tuyaux vers les organes récepteurs. L’huile qui s’échappe lors du fonctionnement des actionneurs est intégralement récupérée, et ramenée à la pompe après filtrage et refroidissement éventuel.

Les actionneurs sont des vérins linéaires ou des moteurs rotatifs. Leur action est contrôlée par des distributeurs. Ils peuvent être de type tout ou rien, agissant comme des aiguillages, ou de type proportion-nel, permettant de moduler la pression ou le débit d’huile.

Figure 4.19 Principes d’un vérin linéaire et de son actionneur

(source :Howstuffworks – http://science.howstuffworks.com)



Avantages : Les actionneurs hydrauliques sont des composants très performants. Ils sont appréciés pour leur prodigieuse densité d’énergie pouvant atteindre 40 MJ/m3 (très forte énergie pour un faible en-combrement des actionneurs).

Inconvénients : Par contre, on évite de les utiliser en construction de machines, à cause des dangers et désagréments liés aux inévitables fuites d’huile.

Pour ces raisons, ils dominent le marché des véhicules de chantiers, des grandes presses et des plieuses de l’industrie lourde en général. Ils étaient également utilisés dans l’aéronautique pour la com-mande de gouverne d’avions, mais même dans ces applications où le rapport poids / énergie est très impor-tant, des alternatives électriques sont maintenant préférées (drive by wire).

Figure 4.20 Presse hydraulique (source : Osterwalder (CH) – www.osterwalder.ch)

et engin de chantier (source : Cartepillar (US) – www.cat.com)

4.2.3 Moteurs électriques

Les moteurs électriques sont disponibles dans une très large gamme de puissance (de <10 mW à >100 MW). Faciles à mettre en œuvre, ne présentant que peu de problèmes d’usure, ils sont utilisés pour pratiquement tous les mouvements rotatifs et une très grande partie des mouvements linéaires des machi-nes et installations. Leur temps de réponse pouvant être de l’ordre de 0,1 milliseconde, ils sont également appréciés pour toutes les applications à forte dynamique et grande précision. Le grand nombre de fournis-seurs et la diversité des technologies sont également des avantages significatifs. De plus, l’énergie électri-que est plus souple d’emploi et se prête facilement aux commandes et réglages automatiques.

Le choix de la technique d’entraînement peu se résumer comme suit : • pour les mouvements linéaires simples, relativement lents et de faible puissance, les entraîne-

ments pneumatiques sont préférés, surtout à cause de leur faible prix ; • pour les mouvements linéaires nécessitant des forces très élevées, les entraînements hydrauli-

ques l’emportent, grâce à leur densité d’énergie qui peut atteindre 40 MJ/m3 ; • pour tous les autres mouvements, les entraînements électriques sont préférés ; ils n’offrent

qu’une densité d’énergie de 0,4 MJ/m3, mais sont capables de réagir 1'000 fois plus rapidement qu’un système hydraulique, ce qui leur donne l’avantage sur le plan de la puissance volumique



vitesse

force

BSR20041216_A.des

hydraulique

électriquepneumatique

Figure 4.21 Performances comparées des moteurs et actionneurs électriques, pneumatiques

et hydrauliques

Il existe plusieurs sortes de moteurs électriques, qui se différencient par leur principe de fonctionne-ment. Ils sont décrits dans les chapitres suivants.

4.2.4 Réducteurs utilisés avec les moteurs électriques conventionnels

Les moteurs électriques conventionnels n’existent que sous la forme d’actionneurs rotatifs, et leur plage de vitesse est généralement limitée entre 600 et 6'000 r/min. Or, le mouvement des machines exige en majorité des mouvements linéaires et des mouvements rotatifs plus lents. C’est la raison pour laquelle la plupart des moteurs électriques sont utilisés avec un ou plusieurs réducteurs, ou d’autres systèmes d’accouplement.

Les réducteurs se différencient suivant que leur sortie est rotative ou linéaire, ainsi que selon leurs axes de rotation ou de glissement.

Pour les accouplements de type rotatif-rotatif, l’axe de sortie peut être : • en ligne avec l’axe d’entrée • décalé mais parallèle avec l’axe d’entrée • coudé à 90 degré, ou à n’importe quel angle

Ces réducteurs peuvent être combinés pour obtenir un rapport de réduction plus élevé.



Figure 4.22 Exemples d’engrenages rotatif-rotatif

- diverses combinaisons de pignons, - réducteur à vis sans fin, - réducteur planétaire (source : Magtorq (India) – www.magtorq.com)

Pour les accouplements de type rotatif-linéaire, l’axe de glissement de la sortie peut être : • perpendiculaire à l’axe d’entrée (crémaillère) • en ligne avec l’axe d’entrée (vis, vis à billes)

Figure 4.23 Exemples de réducteurs rotatif-linéaire

- crémaillère (source : Alpha (D) – www.alphagetriebe.com) - réducteur à vis

Certains accouplements utilisent un organe de transmission intermédiaire, comme une chaîne ou une courroie crantée. Pour des machines, les accouplements à friction et les courroies lisses sont plus rarement employées.

Figure 4.24 Entraînement à courroie crantée (source : Reinbold (D) – http://www.reinbold-gmbh.com)



Les avantages des réducteurs sont les suivants : • le rapport de réduction peut être choisi avec une très grande liberté, ce qui permet d’utiliser le

moteur très efficacement à son régime nominal ; • le moteur électrique peut être placé à l’endroit où il gène le moins ; • il peut être placé en dehors de zones critiques en vibration, température, humidité et autres fac-

teurs environnementaux (poussière, produits de nettoyage en industrie alimentaire, risques d’explosion, etc.) ;

• certains types d’accouplements ne sont pas réversibles, ce qui signifie qu’à l’arrêt, la charge est freinée sans frein supplémentaire ni intervention du moteur.

Les réducteurs présentent également des inconvénients qu’il convient de bien maîtriser : • Ils présentent toujours un certain jeu, à l’exception notoire des courroies crantées. Cela signifie

que lorsque le moteur commence à freiner la charge, il tournera d’un petit angle avant que les dents ne se touchent à nouveau. Ce phénomène peut être assimilé à un choc. S’il se produit trop souvent, les dents seront vite endommagées. Ce phénomène de jeu n’est pas critique pour des entraînements à 1 quadrant, ce qui recouvre toutes les applications de transport, convoyage, etc. A part les cycles démarrage – arrêt qui n’ont lieu que rarement (une fois par heure, voir plus rarement encore), le moteur et l’accouplement tournent toujours dans le même sens, et le couple ne s’inverse pas. Les jeux d’accouplements sont ainsi toujours « tendus » dans le même sens, ce qui permet d’utiliser des accouplements particulièrement économiques. Par contre, pour des entraînements à 2 quadrants et plus, l’inversion rapide de la force ou du couple peut provoquer une usure en quelques jours, voire quelques heures seulement. La cour-roie crantée est alors une bonne alternative, car sa plasticité amorti le jeu. Si cette solution ne peut être utilisée, par exemple à cause de problèmes d’encombrement, il faut alors utiliser des engrenages à compensation de jeu ou une vis à billes, solutions beaucoup plus coûteuses.

• La plupart des réducteurs créent des forces radiale et axiale, dont il convient de tenir compte dans le dimensionnement des paliers et bâtis de machines.

• Les réducteurs provoquent des vibrations qui peuvent être gênantes. • Les réducteurs présentent forcément un phénomène d’usure. Celle-ci peut être particulière-

ment critique si les alignements ne sont pas assez précis. • Le rendement n’est pas très bon. Il peut n’être que de 60% pour les réducteurs les moins

chers. Les réducteurs avec plus de 90% de rendement sont plus coûteux. • Les réducteurs à courroie crantée peuvent poser des difficultés lors du démarrage à froid.

En effet, ils doivent être tendus correctement en marche normale, c’est-à-dire à chaud. A basse température, leur contraction augment les forces radiales et peut diminuer le rendement à un point tel que le moteur ne parvient plus à mettre la machine en mouvement.



4.2.5 Choix et calcul d’un réducteur

Le choix du type d’accouplement dépend de considérations mécaniques, comme la nature rotative ou linéaire des mouvements, l’encombrement, les jeux admissibles. Il dépend aussi de critères de coûts et de maintenance.

Le choix et le calcul du rapport de réduction dépendent plutôt de critères d’optimisation des per-formances. Il s’agit par exemple de bien utiliser toute la plage de vitesse offerte par le moteur, et ainsi de l’utiliser à des couples plus faibles.

Le calcul des inerties est essentiel pour déterminer la cadence de production d’une machine qui utilise des mouvements intermittents (va et vient, profil de came, etc.). La Formule 4.1 indique comment se calcule l’inertie d’un cylindre plein à partir de ses dimensions. Elle montre surtout que l’inertie augmente avec la puissance 4 du rayon !

R

L BSR20041215_C.des

m

Figure 4.25 Calcul de l’inertie d’un cylindre homogène tournant autour de son axe,

où R est le rayon en [m], L la longueur en [m] et m la masse en [kg]

Formule 4.1 ( ) ][kgm222

24222 RLRRLRmJ ⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

=⋅

=πρπρ ,

où ρ est la masse volumique en [kg/m3] Pour calculer un entraînement qui comporte un réducteur de type rotatif-rotatif, schématisé à la

Figure 4.26, on applique la Formule 4.2 pour calculer les vitesses, la Formule 4.3 pour calculer les couples, et la Formule 4.4 pour rapporter au moteur l’inertie de la charge. Le fait que les axes soient parallèles ou coudés à 90º ne joue aucun rôle. La présence ou non d’une courroie n’influence que le sens de rotation de la charge.

moteur

charge

ZM

ZL

M ,M M

M ,L L

BSR20061006_Bdes

moteur

charge

ZM

ZL

M ,M M

M ,L L

BSR200610_C.des Figure 4.26 Schéma de principe d’un réducteur rotatif-rotatif,

où ZM est le nombre de dents du pignon côté moteur, et ZL est le nombre de dents du pignon côté charge



Formule 4.2 [rad/s]ou[r/min]ML

ML Z

Z ωω ⋅=

Formule 4.3 [Nm]MM

LL M

ZZM ⋅=

Formule 4.4 Inertie rapportée au moteur ][kgm2L

L

MMéquivL J

ZZJ ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

_

Pour calculer un entraînement qui comporte un réducteur rotatif-linéaire, schématisé à la Figure 4.27, on applique la Formule 4.5 pour calculer les vitesses, la Formule 4.6 pour calculer la relation entre couple moteur et force linéaire, et la Formule 4.7 pour rapporter au moteur l’inertie de la charge.

moteurZMM ,M M

p

F , vL L

char

ge

BSR20061006_D.des

moteurM ,M M

charge F , vL L

pBSR20041215_G.des

Figure 4.27 Schéma de principe d’un réducteur rotatif → linéaire, où ZM est le nombre de dents du pignon côté moteur, ou le nombre de filets dans le cas de la vis (généralement 1)), et p est le pas de la crémaillère ou de la vis, en [m]

Formule 4.5 [m/s][rad/s][rad/r]

[m/dent][dent/r]=⋅

⋅⋅

⋅= M

ML

pZv ωπ2

Formule 4.6 [N][Nm][m/dent][dent/r]

[rad/r]=⋅

⋅⋅

⋅= M

ML M

pZF π2

Formule 4.7 Inertie rapportée au moteur

][kgm[kg][rad/r]

[m/dent][dent/r] 2=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

=22

_ 2 LM

MéquivL mpZJπ

Règle empirique : Pour les entraînements très dynamiques où l’on vise les accélérations les plus éle-

vées possibles, il convient de choisir le rapport de réduction de manière à ce que les énergies cinétiques calculées pour les parties en amont et en aval du réducteur, par exemple à la vitesse maximum, soient iden-tiques. Cela revient à choisir ce rapport de manière à ce que l’inertie de la charge, rapportée au moteur, soit identique à l’inertie du moteur lui-même.



4.3 Bases de l’électromagnétisme

4.3.1 1er principe – induction magnétique

Les moteurs électriques sont des appareils qui transforment l’énergie électrique en énergie mécani-que, ou vice versa. Leur fonctionnement repose sur trois principes généraux de l’électromagnétisme, dont le premier est le suivant :

Un courant électrique crée un champ magnétique, comme un aimant. Ce champ parcourt des lignes de forces qui entourent le conducteur électrique.

II

B

r

BSR20041231_B.des Figure 4.28 Champ électromagnétique et règle du tire-bouchon

En 1819 le savant danois Hans Christian Oersted découvrit qu'un conducteur rectiligne parcouru par un courant électrique produisait dans l’air ambiant un champ magnétique capable de faire dévier l'aiguille d'une boussole. Ce champ magnétique n’est pas matériel ; c’est plutôt une zone d’influence de ce courant sur d’autres courants et aimants.

Le champ magnétique est d'autant plus fort que l'intensité du courant est importante et que la ligne de force est proche du conducteur. L'induction magnétique B

r, en tesla [ T ] est liée au courant I

r et au rayon

rr par la relation vectorielle :

Formule 4.8 Br2Irrr

∧⋅=μπ

L’induction magnétique Br

est orientée selon la règle « du tire-bouchon ». Si les 3 vecteurs sont perpendiculaires deux à deux, il en résulte :

Formule 4.9 [ ]TrIB⋅

⋅=

πμ2

, où

I est l’intensité du courant en [A] ; r est la distance entre le point considéré et le conducteur, en [m] ; μ est la perméabilité magnétique du matériau considéré.

Dans le vide et dans l’air, [ ]270 104 AH−⋅== πμμ , où μ0 est la constante d’induction ;



EXEMPLE Le champ magnétique terrestre est créé par des courants électriques en profondeur, eux-mêmes provoqués par la

rotation de la terre et des phénomènes de convection thermique du plasma. Ce champ magnétique agit sur l’aiguille d’une boussole, qui est un aimant permanent.

En dehors du vide, la perméabilité magnétique est donnée par la formule rμμμ ⋅= 0 , où μr est la perméabilité relative du matériau considéré. Celle-ci vaut μr = 1 pour le vide, l’air et la plupart des maté-riaux. Ce n’est que dans les matériaux ferromagnétiques comme le fer et le nickel qu’elle prend des va-leurs supérieures. Attention cependant : Un matériau magnétique n’a pas une perméabilité relative cons-tante. Même si elle peut atteindre 100'000 et plus pour de faibles courants, elle baisse rapidement lorsque le courant augmente. On dit que « le fer sature », ce qui se produit pour des valeurs d’induction B comprise entre 0,2 et 1,5 T suivant la composition de l’alliage.

Utilisé sous forme de noyau pour une bobine, le fer augmente fortement l'induction créé par une bo-bine en concentrant les lignes de forces, comme le montre la Figure 4.29. Tout se passe comme si l’induction magnétique cherchait les chemins qui présentent la plus forte perméabilité relative. Par exemple, elle se concentre dans le fer d’un transformateur.

Par ailleurs, l’effet du courant peut être augmenté par la multiplication des spires. Pour une telle bo-bine, l’induction vaut :

Formule 4.10 [ ]T0 LINB r

⋅⋅⋅= μμ ,

où N est le nombre de spire, et L la longueur de la bobine, en [m]

i(t)

B(t)

BSR20041231_G.des

i(t)

B(t)

LL

Figure 4.29 Induction magnétique dans une bobine contenant du fer

gauche : bobine à air – l’induction est faible (μr = 1) et répartie tout autour droite : bobine sur fer – l’induction est forte (μr > 1’000) et concentrée

Une bobine entourant un barreau ferromagnétique se comporte comme un aimant lorsqu'il est parcou-ru par un courant. C'est le principe des électro-aimants qui activent les électrovannes et les relais.



4.3.2 2ème principe – force électromagnétique

Un conducteur dans lequel circule un courant électrique, placé dans un champ magnétique, est soumis à une force. Celle-ci est perpendiculaire à la direction du courant et à celle du champ magnétique.

NS B

I F

l

BSR20041231_A.des Figure 4.30 Force électromagnétique et règle des trois doigts

Lorsqu'un conducteur parcouru par un courant se trouve dans une région de l'espace où règne un champ magnétique, il est soumis à une force électromagnétique, perpendiculaire à la fois au conducteur et au champ. Cette force est parfois appelée force de Laplace, même si cette interaction de deux courants par l'intermédiaire du champ magnétique a été décrite par le savant français André Marie Ampère en 1820.

D’une importance capitale, ce phénomène est à la base du fonctionnement des moteurs, des haut-parleurs, d’un grand nombre d’appareils de mesure, des contacteurs, etc.

Si le conducteur est rectiligne, et si celui-ci est soumis sur une distance l à une induction magnétique uniforme B , la force de Laplace, en [N], correspond au produit vectoriel suivant :

Formule 4.11 ( ) [ ]NlBIF ⋅∧= , où le vecteur I est orienté dans l’axe du conducteur ; son amplitude et son sens corres-pondent à l’intensité I du courant ; le vecteur B est orienté dans l’axe du champ magnétique ; son amplitude et son sens correspondent à l’intensité b de l’induction magnétique ; et l est la longueur, en [m], de la partie du conducteur qui est placée dans le champ uni-forme B .

La force est orientée selon la règle des trois doigts. Numériquement, elle se calcule comme suit : Formule 4.12 ( ) [ ]NsinlBIF α⋅⋅⋅= ,

où α est l’angle formé par les deux vecteurs I et B



4.3.3 Définition de l’ampère, unité d’intensité du courant électrique

La force électromagnétique est à la base de la définition de l’ampère, unité de mesure du courant électrique

DÉFINITION 4.2 : L'ampère [A] est l'intensité d'un courant électrique constant qui, maintenu dans deux conducteurs parallèles, de longueur infinie et placés à une distance de 1 mètre l'un de l'autre dans le vide, produirait entre ces conducteurs une force égale à 2 10-7 [N] par mètre de longueur. Ces deux fils parallèles s’attirent si les courants sont de même sens. Ils se repoussent si les courants sont de sens oppo-sés.

Figure 4.31 Définition de l’ampère comme unité de base SI

(source : Addison Wesley Longman, Inc. - www.physics.sjsu.edu/facstaff/becker/physics51/mag_field.htm)

En effet, le courant I qui circule dans le conducteur du bas dans la figure ci-dessus crée à la distance

r une induction magnétique qui vaut rIB⋅

⋅=

πμ2

.

Le conducteur du haut, parcouru par un courant I’ a priori différent, et placé dans ce champ uniforme B, est soumis à une force. Tenant compte de la longueur L, cette force vaut :

( ) απμα

πμα sin

rL

2I'IsinL

r2I'IsinLB'IF ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅⋅= .

Dans le cadre de la définition de l’ampère, les conducteurs sont parallèles, donc 1sin =α . On consi-dère uniquement la force produite sur une longueur L = 1 m, avec une distance m1r = . De plus, la per-méabilité du vide vaut 2AN7

0 104 −⋅== πμμ . Si l’on tient compte finalement que les deux courants I et I’ sont égaux et valent 1 [A], on obtient :

[ ]N77

10211

210411F −

−

⋅=⋅⋅

⋅⋅=π

π

Dans la logique de définition de l’ampère, unité de base SI, c’est parce que cette force vaut 2 · 10-7 [N] que le courant vaut 1 [A], et non l’inverse.



4.3.4 Flux magnétique

Le flux magnétique Φ exprime la quantité d’induction magnétique interceptée par un circuit électrique. La Figure 4.32 représente le cas d’un circuit électrique plan, placé dans un champ magnétique homogène.

B BSR20041231_C.des

S

Figure 4.32 Flux magnétique interceptant un circuit électrique,

où Sr

est le vecteur surface, dont l’amplitude est égale à la surface de la spire, orienté perpendiculairement à la spire ; où α est l’angle entre ce vecteur et le champ magnétique B

r.

DÉFINITION 4.3 : Le flux magnétique Φr

exprime la quantité d’induction magnétique interceptée par un circuit électrique fermé.

Ce flux magnétique se mesure en weber [Wb]. Dans le cas d’une géométrie simple comme dans la Figure 4.32, le flux magnétique correspond au produit vectoriel suivant :

Formule 4.13 SBrrr

⋅=Φ Numériquement, elle se calcule comme suit :

Formule 4.14 [Wb]αsin⋅⋅=Φ SB , où B est l’induction magnétique en [T], S la surface du circuit en [m2], et α l’angle entre l’induction magnétique et le plan du circuit

Le flux Φ est proportionnel à l’intensité de l’induction magnétique B et à la surface interceptée S. Il est maximum quand le champ magnétique est normal (perpendiculaire) au plan du circuit électrique.



4.3.5 3ème principe – tension induite par variation du flux magnétique

Un circuit électrique, soumis à un flux magnétique variable, est le siège d’une tension induite.

Formule 4.15 ( ) ( ) [ ]Vdt

tdtuiΦ

=

B(t) BSR20070814_D.des

u (t)i

(t)S(t)

i(t)

R

Figure 4.33 Flux magnétique interceptant un circuit électrique

Une tension induite ui(t) peut être modélisée par une source idéale de tension. Si l’on ferme le cir-cuit, par exemple sur une résistance R, un courant i(t) se met à circuler.

En tenant compte de la Formule 4.14, la tension induite vaut :

Formule 4.16 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]dt

ttStBdtuiαsin⋅⋅

=

Il en résulte que la tension induite peut être produite en variant l’induction magnétique, la surface du circuit électrique, l’angle formé entre eux, ou toute combinaison de ces actions.

Plusieurs chercheurs avaient déjà constaté ce phénomène. Le physicien balte Heinrich Lenz fut le premier à expliquer, en 1833, la manière de déterminer le sens de la tension induite :

Loi de Lenz :

Le sens d’une tension induite est tel que le courant électrique et les forces électromagnétiques qui en résultent tendent, par leurs effets, à s'opposer à la variation de flux.



EXEMPLE Si l’on fait pivoter une spire dans un champ magnétique, une tension induite apparaît à ses bornes. En effet, on fait

ainsi varier l’angle α entre le plan de la spire et l’induction magnétique. Plus la rotation est rapide, moins il faut de temps pour faire passe cos α de 1 à -1 et réciproquement. L’amplitude de la tension induite ainsi créée est proportionnelle à l’induction magnétique et à la vitesse de rotation de la spire.

Figure 4.34 Tension induite aux bornes d’une spire tournant dans un champ uniforme

(source : Walter Fendt (D) – www.walter-fendt.de)

En connectant cette spire sur une charge, par exemple une résistance, il s’établit un courant induit dans ce circuit. Ce courant crée à son tour un couple électromagnétique en vertu du 2ème principe vu au paragraphe 4.3.2. Ce couple s’oppose à la rotation de la spire en vertu de la loi de Lenz, cherchant ainsi à réduire la vitesse, donc l’amplitude de la ten-sion induite.

Ce phénomène est à la base du fonctionnement d’un alternateur. Plus on le charge électriquement, plus il faudra lui fournir du couple pour maintenir sa vitesse.

EXEMPLE Si le champ magnétique est créé par une bobine (électro-aimant) et que l’on fait varier le courant Ie qui y circule,

on obtient une induction magnétique B variable. En particulier, si ce courant Ie est sinusoïdal, l’induction B l’est aussi. La tension induite ui qui apparaît aux bornes d’une deuxième spire interceptant l’induction magnétique B est donc également sinusoïdale. Son amplitude est proportionnelle au courant Ie circulant dans la première bobine, et à sa fréquence. En effet, la dérivée d’une fonction sinusoïdale est donnée par :

( ) ( ) ( )tffdt

tfd⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅ πππ 222 cossin.

i(t)

B(t)

u (t)i

BSR20041231_E.des Figure 4.35 Principe de fonctionnement d’un transformateur

Ce phénomène est à la base du fonctionnement des transformateurs, brièvement abordé au paragraphe 3.5.3.



EXEMPLE Si 2 fils électriques reliant un capteur de mesure à la commande d’une machine ou d’une installation sont câblés

dans un environnement où d’autres appareils créent des champs magnétiques variables, une tension induite s’ajoute comme une source de tension, en série dans le circuit de mesure, et peut en perturber le fonctionnement.

Une première manière de diminuer ce phénomène consiste à router ces 2 fils côte à côte plutôt que séparément. Ainsi, on réduit la surface de ce circuit électrique, donc le flux intercepté.

Si cela ne suffit pas, il est possible de diminuer encore cette perturbation en torsadant les 2 fils. Ainsi, le flux inter-cepté par une demi-spire avec un angle de 90° est compensé par celui intercepté par la demi-spire suivante, car celle-ci ayant approximativement la même surface voit l’induction magnétique avec un angle de -90°.

B

ui -ui ui -ui

u +(- )=0i ui

BSR20041231_F.des

u +(- )=0i ui

Figure 4.36 Réduction de la sensibilité aux perturbations obtenue en torsadant 2 fils

Ces phénomènes sont d’autant plus importants que la fréquence et l’intensité des champs perturbateurs sont éle-vées. Leur bonne compréhension permet d’améliorer la compatibilité électromagnétique (CEM) des appareils et des machines, et d’assurer ainsi leur bon fonctionnement.



4.4 Moteur à courant continu et moteur « universel »

4.4.1 Généralités et définitions

Le premier moteur à courant continu a été réalisé en 1836. Cette technologie a été beaucoup utilisée depuis pour toutes les applications à vitesse variable, en particulier pour les véhicules électriques comme pour les machines-outils. Ils sont fabriqués dans une très large plage de puissance, de ~0,1 W à ~4 MW.

Figure 4.37 Moteurs à courant continu de 0,7 W, 25 kW et 1'960 kW

(sources : Portescap (www.portescap.com) et ABB (www.abb.ch)

DÉFINITION 4.4 : Le stator est la partie fixe du moteur, formant généralement son enveloppe exté-rieure.

Le stator d’un moteur à courant continu comprend une ou plusieurs sources de champ magnétique continu. S’il s’agit d’électro-aimants, le courant qui y circule est appelé courant d’excitation du moteur. Sinon, les champs magnétiques sont produits par des aimants permanents.

DÉFINITION 4.5 : Le rotor est la partie mobile du moteur, fournissant le couple utile à la charge par l’intermédiaire de son arbre.

Le rotor d’un moteur à courant continu comprend un ensemble de spires. Le courant qui y circule est appelé courant d’induit du moteur.

DÉFINITION 4.6 : Le collecteur est le dispositif qui permet d’une part, de transmettre le courant de l’extérieur (fixe) aux spires du rotor (mobiles), et d’autre part de commuter le cou-rant de manière à ce qu’il circule de manière optimale dans les spires du rotor.



Figure 4.38 Fonction du collecteur dans un moteur à courant continu

(source : Walter Fendt (D) – www.walter-fendt.de)

La fonction de commutation est essentielle. Chaque côté d’une spire qui tourne sur son axe passe de-vant un pôle nord, puis devant un pôle sud, et ainsi de suite. De ce fait, l’induction magnétique B interceptée par la spire change de sens régulièrement, en fonction de la position angulaire du rotor. Pour éviter que le couple produit par la force F ne s’inverse au même rythme, il faut régulièrement inverser le courant dans la spire, ce que réalise le collecteur.

Pour assurer le contact électrique et l’inversion régulière de sens du courant dans la spire, le collec-teur est composé de lames de collecteur au rotor, et de balais au stator. Les lames sont en cuivre, alors que les balais sont généralement en graphite, matériau relativement bon conducteur et suffisamment mou pour ne pas griffer les lames.

Le couple produit par le passage du courant dans une spire serait approximativement sinusoïdal sans la présence du collecteur. Il prend l’allure d’une sinusoïde redressée grâce au collecteur. Ces pulsations sont cependant gênantes. Aussi les moteurs à courant continu sont équipés de plusieurs spires, chacune reliée à une paire de lames sur le collecteur. La figure ci-dessous illustre l’effet de lissage du couple réalisé en pas-sant de 1 à 2 spires au rotor, donc de 2 à 4 lames au collecteur.

0 90 180 270 360 0 90 180 270 360

Figure 4.39 Couple produit avec un courant d’induit continu, pour 1 et pour 2 spires

(source : HEIG-VD – Christophe Besson)



Pour mieux lisser le couple électromagnétique, les moteurs à courant continu sont réalisés avec un grand nombre de spires et de lames.

Figure 4.40 Éléments constitutifs d’un moteur à courant continu et de son collecteur

(source : HEIG-VD – Christophe Besson)

C’est finalement grâce à cette fonction de commutation assumée par le collecteur que ce type de mo-teur est en mesure de délivrer un couple en présence d’un courant continu, d’où son nom. De manière abré-gée, on parle plutôt de moteur DC (de direct current en anglais).

4.4.2 Moteur DC à aimants permanents

4.4.2.1 Équations de conversion électromécanique

L’excitation d’un moteur DC, donc la création du champ magnétique nécessaire à son fonctionnement, peut être réalisée de diverses manières. La plus simple sur le plan du principe de fonctionnement consiste à utiliser des aimants permanents placés dans le stator.

BSR20051018_C.des

MU

Ii

Figure 4.41 Symbole d’un moteur DC à aimants permanents



Comme l’induction magnétique B produite par les aimants et constante, le couple produit par le mo-teur est proportionnel au courant d’induit. En toute rigueur, il faut en déduire les couples internes de frotte-ment pour obtenir le couple utile à l’arbre. C’est pourquoi on distingue le couple électromagnétique (produit au sein du moteur) et le couple à l’arbre (couple mécanique utile).

DÉFINITION 4.7 : La constante de couple kT d’un moteur DC à aimant permanent est le facteur de proportionnalité entre le courant d’induit et le couple électromagnétique produit.

Formule 4.17 iTe IkM ⋅= , où Me est le couple électromagnétique en [Nm], kT la constante de couple en [Nm/A], et Ii le courant d’induit en [A]

En vertu du 3ème principe de l’électromagnétisme (paragraphe 4.3.5), il apparaît dans le circuit d’induit, indépendamment du courant qui y circule, une tension induite Ui. En effet, bien que l’induction magnétique B et le courant d’induit Ii soient constants, les spires tournent autour de l’axe du moteur. Ainsi, l’angle d’incidence de l’induction sur le plan de chacune des spires varie au cours du temps. Le flux varie donc pro-portionnellement à la vitesse de rotation.

DÉFINITION 4.8 : On appelle force électromotrice (f.e.m.), exprimée en [V] la tension induite Ui créée dans le circuit d’induit d’un moteur DC à aimant permanent du fait de la rota-tion de son rotor.

Malgré son nom, la f.e.m. est bien une tension. Elle est directement proportionnelle à la vitesse de ro-tation du rotor. Lorsque la vitesse de rotation est exprimée en [rad/s], la tension induite est donnée par : Formule 4.18 [V]ω⋅= Ti kU ,

où Ui est la tension induite en [V], et kT la constante de couple en [Nm/A]

Remarque 1 : Si l’on combine la Formule 4.17 et la Formule 4.18, on obtient ω⋅=⋅ eii MIU , donc

utilemécaniquefournieélectrique PP = . Toutefois, il faut insister sur le fait que cette équivalence de puissance ne tient compte ni des pertes électriques (pertes Joules), ni des pertes mécaniques (frottements).

Remarque 2 : L’usage veut que la vitesse de rotation des moteurs soit exprimée en tours par minutes [r/min] (en anglais : revolution per minute [rpm]). C’est pourquoi les constructeurs et utilisateurs de moteurs préfèrent utiliser la constante de vitesse kE. Celle-ci exprime la tension induite Ui exprimée en [V] lorsque le moteur tourne à 1'000 [r/min].

Formule 4.19 [V]000'1NkU Ei ⋅= ,

où kE est la constante de vitesse, exprimée en [V/1'000 rpm], et N est la vitesse, en [r/min] ou [rpm]



EXEMPLE Un moteur non chargé mécaniquement tourne à 3'000 [r/min] lorsqu’il est alimenté à 135 [V].

Sa constante de vitesse vaut rpm][V/1'000[rpm]

[V] 45000'1000'3

135==Ek .

4.4.2.2 Prise en compte des pertes mécaniques

Le couple électromagnétique Me est celui qui est réellement produit par le courant d’induit Ii , mais il n’est pas intégralement disponible à l’arbre. En effet, la rotation du moteur provoque des pertes par frotte-ments qui ne sont pas toujours négligeables. Le couple de frottement Mfrott varie en fonction de la vitesse de rotation ω, et ceci de manière plutôt compliquée :

• A l’arrêt, un couple de décollement s’oppose à tout début de rotation. • En mouvement, les frottements qui apparaissent dans les paliers et roulements augmentent

avec la vitesse de rotation de manière approximativement linéaire. • Finalement, le frottement du rotor dans l’air ambiant provoque un frottement visqueux qui est

approximativement proportionnel au carré de la vitesse de rotation. Lors du choix du moteur pour une application sur une machine, tous ces phénomènes de frottements

peuvent être modélisés simplement par un couple de frottement constant. Sa valeur correspond à la somme de tous les effets de frottement lorsqu’il tourne à vitesse nominale. C’est celle qui est indiquée généralement par les fournisseurs de moteurs.

Ainsi, le couple à l’arbre est donné par la relation : Formule 4.20 frottiTfrottearbre MIkMMM −⋅=−=

4.4.2.3 Prise en compte des pertes électriques

Comme les spires et le collecteur du moteur DC ont une résistance souvent importante, le courant d’induit Ii qui y circule provoque des pertes ohmiques (effet Joules). De plus, la chute de tension provoquée par cette résistance doit être prise en compte lors du calcul de l’alimentation du moteur. Le circuit de l’induit, avec son alimentation, peut être représenté comme ci-dessous. La figure de gauche représente le moteur schématiquement, avec ses bornes. La figure de droite représente un modèle du moteur, et comprend une résistance d’induit Ri qui correspond à la résistance des bobinages et du collecteur, ainsi qu’une source idéale de tension qui correspond à la tension induite Ui(ω).

BSR20051018_C.des

MU

Ii

U

Ri

Ui( )

Ii

BSR20051018_D.des Figure 4.42 Schéma et modélisation d’un moteur DC à aimants permanents

Attention : La tension induite Ui(ω) n’est pas directement accessible à la me-sure ; seule la tension U est accessible.



NOTE : En toute rigueur, il faudrait ajouter encore une inductance Li en série avec la résistance Ri. Ce type de composant, qui sera abordé au Chapitre 5 , ne joue un rôle que si le courant Ii varie très rapidement, ce qui n’est pas le cas dans cette première approche.

En remplaçant la tension induite par son expression en fonction de la vitesse et en appliquant la loi de Kirchhoff sur les mailles, on obtient une équation qui lie la vitesse ω, le courant Ii et la tension U aux bornes du moteur. Formule 4.21 ( ) iiTiii IRωkIRUU ⋅+⋅=⋅+= ω , si la vitesse est exprimée en [rad/s],

ou

( ) iiEiii IR'NkIRNUU ⋅+⋅=⋅+=0001

, si la vitesse est exprimée en [r/min]

4.4.2.4 Droite de charge du moteur – point de fonctionnement

Supposons maintenant qu’un moteur DC à aimants permanents, alimenté par une source idéale de tension de valeur U constante, soit relié à un frein dont on puisse ajuster à volonté le couple de freinage Mfrein.

Dans un premier temps, considérons que le frein maintient le moteur à l’arrêt. La vitesse du moteur

est nulle, et la Formule 4.21 montre que le courant d’induit vaut : ii

Tbbloquémoteuri R

UR

ωkUII =⋅−

==

Ce courant correspond au couple à rotor bloqué, qui vaut : URkIkM

i

TbTb ⋅=⋅= .

Relâchons progressivement le frein. Le moteur se met à tourner. Supposons que l’on puisse régler précisément le couple de freinage Mfrein. La vitesse du moteur évolue dès lors, en fonction de la différence entre le couple électromagnétique Me d’une part, et les couples résistants Mfrein et Mfrott d’autre part, selon la loi de Newton (paragraphe 1.4.3). En effet : Formule 4.22 ifrein

M

frotteacc JMMMMarbre

α⋅∑=−−=43421

Donc : • Si frottfreine MMM +> , le couple Macc est positif, et le moteur accélère.

• Si frottfreine MMM +< , le couple Macc est négatif, et le moteur ralentit.

• Si frottfreine MMM += , le couple Macc est nul, et le moteur tourne à vitesse constante. On dit qu’il a atteint son point de fonctionnement.

Pour ce point de fonctionnement, le courant d’induit vaut : T

frottfrein

T

ei k

MMkMI

+== .

En tenant compte de toutes les pertes électriques et mécaniques, la vitesse au point de fonctionne-ment est donnée finalement par la formule ci-dessous :

Formule 4.23 ( )

2T

frottfreini

TT

ii

kMMR

kU

kIRUω

+⋅−=

⋅−=



On remarque que si l’on diminue linéairement le couple de freinage Mfrein jusqu’à zéro, le moteur ac-célère linéairement. Lorsque Mfrein est nul et si l’on néglige les frottements, on atteint ce que l’on dénomme

la vitesse à vide Tk

Uω =0 .

Me

Ii

0

MfrottMbMnom

Inom

nom

BSR20050102_B.des

droite de charge pour une

tension d’alimentation U =Unom

0

Ib Figure 4.43 Droite de charge d’un moteur DC à aimants permanents

La figure ci-dessus montre la vitesse en fonction du couple électromagnétique pour une alimentation à tension U constante. L’équation du moteur présente la même allure que celle d’une source réelle de tension (paragraphe 2.4.2). La vitesse à vide correspond à la tension à vide, et le couple à rotor bloqué correspond au courant de court-circuit.

Cette figure montre également le point de fonctionnement nominal du moteur. Chargé à son couple à l’arbre nominal Mnom, sa vitesse s’établit à ωnom, et son courant d’induit vaut Inom.

Si l’on connecte soudainement l’alimentation U (constante), le moteur accélère avec un couple très important au début, puisqu’il s’agit du couple à rotor bloqué. Au fur et à mesure que la vitesse augmente, le couple produit par le moteur diminue alors que celui nécessité par la charge augmente. Donc, le couple res-tant pour l’accélération diminue. Finalement, la vitesse du moteur se stabilise en fonction de la charge, comme le montre la Figure 4.44.

Me

Ii

0

Mb

BSR20050105_A.des

caractéristiquede la charge

= caractéristique du moteur

point de fonctionnement

Figure 4.44 Point de fonctionnement d’un moteur DC à aimants permanents

Tous les moteurs DC à aimants permanents sont réversibles. Ils peuvent aussi bien freiner (transfor-mer de l’énergie mécanique en énergie électrique) que l’inverse. Dans la Figure 4.43 et la Figure 4.44, la droite de charge se prolonge simplement à gauche de l’ordonnée, la vitesse continuant à augmenter lorsque le couple électromagnétique devient négatif.

Si on inverse l’alimentation (tension U négative), le moteur tourne dans l’autre sens. Ainsi, le moteur DC à aimants permanents peut fonctionner dans les 4 quadrants.



4.4.2.5 Rendement d’un moteur DC à aimants permanents

Les pertes par frottements et les pertes ohmiques affectent toutes deux le rendement du moteur dans le sens négatif. Tenant compte des équations vues aux paragraphes précédents, les puissances entrant en jeu dans le fonctionnement d’un moteur sont représentées à la Figure 4.45 et explicitées dans les formules qui suivent.

BSR20060101_A.des

Pélec Pe Parbre

Pp. ohm. Pp. frott.

Figure 4.45 Puissances entrant en jeu dans le fonctionnement d’un moteur

Formule 4.24 iélec IUP ⋅= , où Pélec est la puissance électrique fournie

Formule 4.25 iohmiquespertes IRP ⋅= , où Ppertes ohmiques est la puissance dissipée dans Ri

Formule 4.26 ( ) ohmiquesperteséleciiiie PPIIRUIUP −=⋅⋅−=⋅= , où Pe est la puissance électromécanique convertie par le moteur

Formule 4.27 ω⋅= frottfrottpertes MP , où Ppertes frott est la puissance dissipée par frottement dans le moteur

Formule 4.28 ( ) ωω ⋅=⋅−=−= arbrefrottefrottpertesearbre MMMPPP , où Parbre est la puissance mécanique disponible à l’arbre du moteur

Comme définit au paragraphe 1.4.6, le rendement du moteur s’exprime par la relation suivante :

Formule 4.29 élec

arbre

PP

=η

4.4.2.6 Choix et calcul d’un moteur DC à aimants permanents

Moteur

Marbre

Charge

Mfrein

U

Ii

BSR20060101_B.des

Macc

Figure 4.46 Le moteur DC à aimants permanents est un convertisseur d’énergie



Pour faire le bon choix, il faut avant tout se rappeler que le moteur DC à aimants permanents est un convertisseur réversible d’énergie électrique en énergie mécanique, dont les équations caractéristiques sont les suivantes (rappel des formules vues dans les pages précédentes) : Formule 4.22 ifrein

M

frotteacc JMMMMarbre

α⋅∑=−−=43421

Formule 4.17 iTe IkM ⋅=

Formule 4.21 ii

U

E IRNkU

i

⋅+⋅=43421 000'1

Dans ces équations, la vitesse de rotation N est exprimée en [r/min] et la constante kE en [V/1000rpm], conformément à l’usage et aux caractéristiques fournies par les fabricants de moteurs. Il faut donc procéder à l’indispensable conversion des tours par minute en radian par seconde pour calculer l’accélération et le couple. Pour rappel, la formule de conversion est la suivante :

Formule 4.30 [r/min][rad/s] N⋅=30πω

Le choix du moteur adéquat pour une application se fait normalement à l’aide de la procédure ci-dessous, éventuellement par itération : Étape no 1 : Tenir compte tout d’abord des critères mécaniques : Vitesse nominale, couple nomi-

nal (en négligeant les frottements internes au moteur), réducteur probablement néces-saire, dimensions, poids, inertie interne, résistance aux corps étrangers et liquides agressifs, possibilité de ventilation forcée, etc.

Étape no 2 : Déterminer alors ses caractéristiques électriques. Un même moteur peut être conçu pour fonctionner avec une tension plutôt basse, ou au contraire plutôt élevée. La diffé-rence réside uniquement dans les spires de l’induit. Avec peu de spires, une tension rela-tivement basse suffira, mais il faudra un courant plutôt élevé pour fournir le couple requis. Avec plus de spires, la tension devra être plus élevée, mais le courant nécessaire sera plus faible. Le choix tient compte avant tout de l’alimentation en tension continue dispo-nible, ainsi que des variantes proposées par le fournisseur.

Étape no 3 : Avant de livre une machine ou une installation, il est indispensable de procéder à des essais de validation, voire à une homologation. Beaucoup d’entreprises préconisent le fonctionnement d’un prototype pendant plusieurs mois sur un site pilote en clientèle avant la production en série.

Si le moteur fonctionne en permanence à régime nominal, on dit qu’il est en régime S1. Le couple qu’il fournit est utilisé principalement pour compenser un couple externe constant (maintien d’une masse en position verticale, couple d’usinage, frottements externes). Il faut alors choisir un moteur dont le couple no-minal et la vitesse nominale dépassent légèrement le point de fonctionnement. Pour un premier choix, on peut souvent prendre en compte un facteur de sécurité de ~10% pour ces deux critères (vitesse et couple). Ce coefficient tient compte des frottements internes au moteur, ainsi que des variations de caractéristiques des aimants permanents.

Dans les applications de machines-outils comme celles de véhicules électriques, les moteurs fonc-tionnent plutôt en régime impulsionnel, comme évoqué au paragraphe 4.1.3. Des calculs supplémentaires sont nécessaires, car le couple du moteur est utilisé essentiellement pour accélérer et ralentir les masses en mouvements (couple d’accélération). Il faudra ainsi :



• Étudier la cinématique du système : Les accélérations nécessaires doivent être réalisées sans que le couple d’accélération correspondant provoque un échauffement excessif du moteur. Te-nant compte des inerties, il faut réduire autant que possible la masse et l’inertie des organes en mouvement. Il faut peut-être même optimiser le rapport de réduction en tenant compte de la rè-gle empirique mentionnée en fin du paragraphe 4.2.5.

• Tenir compte du fait qu’un moteur fonctionnant en régime impulsionnel fonctionne souvent dans les 4 quadrants, ce qui pose des contraintes supplémentaires sur le choix du réducteur.

La norme définit bien des régimes S3, S4, etc. pour les différents régimes impulsionnels. Pour le choix des servomoteurs cependant, il est plus utile de faire un calcul approximatif de l’échauffement du mo-teur en considérant que toutes ses pertes électriques et mécaniques sont proportionnelles au carré du cou-ple.

• Cette affirmation est vraie pour les pertes ohmiques dues à la circulation du courant dans le col-lecteur et le circuit d’induit, car il est proportionnel au couple.

• Cette affirmation n’est pas tout à fait vraie pour les pertes dues aux frottements qui dépendent plutôt de la vitesse de rotation, mais l’approximation proposée est du côté de la sécurité si on considère les frottements à vitesse max.

Si l’on définit un cycle de charge type, et qu’on le décompose en n phases (i = 1, 2, … n) où le couple est approximativement constant, il est aisé d’évaluer les pertes en se basant sur le couple efficace Mrms, comme suit :

Formule 4.31 T

tM

tttMtMM

n

iii

rms

∑=

Δ⋅=

+Δ+Δ+Δ⋅+Δ⋅

= 1

2

21

22

212

1

...... , où ∑

=

Δ=n

iitT

1

Le choix est alors similaire au cas du régime permanent S1. On cherche un moteur dont le couple nominal est supérieur de ~10% au couple thermique Mrms calculé, et dont la vitesse nominale est supérieure de ~10% à la vitesse max. atteinte par le moteur au cours de son utilisation cyclique.

EXEMPLE Un moteur délivre 2 fois son couple nominal Mnom pendant 45 ms. Il dispose ensuite de 155 ms à couple nul pour

refroidir. Son couple thermique Mrms vaut :

( ) ( ) ( )nomnom

nomnomtherm MMMMM ⋅=⋅

⋅=

+⋅⋅+⋅⋅

= 9,0200,0

2045,0155,0045,0

0155,02045,0 222

Chargé thermiquement à 90% de son couple nominal, il est fort probable que ce moteur conviendra parfaitement à l’application considérée.

4.4.2.7 Utilisation des moteurs DC à aimants permanents

Les moteurs DC à aimants permanents sont disponibles pour les puissances suivantes : • Ceux de puissance comprise entre ~0,1 W et ~100 W sont particulièrement simples à mettre en

œuvre car l’électronique permettant de faire varier la tension est particulièrement simple, fiable et bon marché.

• Ceux de puissance comprise entre ~100 W et ~10 kW sont encore utilisés sur d’anciens modè-les de machines-outils et autres machines de production, avec un variateur électronique de ten-sion ou un servo amplificateur. Mais ils ont été déclassés par les moteurs synchrones à aimants



permanents, appelés aussi servomoteurs sans balais, qui seront abordés au chapitre 4.5. Ceux-ci offrent de meilleures performances avec moins de problèmes de maintenance.

• Au-delà de ~10 kW, cette technologie est prohibitive à cause du coût des aimants. Attention : La plupart des moteurs DC à aimants permanents doivent être utilisés avec un va-

riateur de tension ou à un servo amplificateur. En effet, on ne peut les relier d’un coup à leur tension nominale, car leur courant d’induit deviendrait prohibitif, ce qu’ils ne supportent pas. Seuls les moteurs de très petites puissances ont une résistance interne Ri suffisamment élevée et peuvent être utilisés en mode tout ou rien.

4.4.3 Moteurs à courant continu avec autres modes d’excitation

4.4.3.1 Moteur DC à excitation séparée

Lorsque l’excitation est réalisée par des électro-aimants plutôt qu’avec des aimants permanents, plu-sieurs modes de couplage sont possibles. L’un d’eux est le moteur DC à excitation séparée.

MU Ue

Ie

BSR20051018_E.des

Ii

Figure 4.47 Symbole d’un moteur DC à excitation séparée

Le fonctionnement d’un moteur DC à excitation séparée répond à des équations très similaires à cel-les du moteur DC à aimants permanents. Ce sont des électro-aimants qui produisent l’induction magnétique B au stator, au lieu des aimants permanents. Ils sont alimentés par une tension continue constante Ue, et comme leur bobine a une résistance Re , le courant d’excitation vaut :

Formule 4.32 [A]e

ee R

UI =

Chaque moteur est caractérisé pour un courant d’excitation nominal Ie nom obtenu avec une tension d’excitation Ue nom. Si la tension d’excitation est différente, l’induction magnétique B l’est aussi. Les équa-tions caractéristiques de ce type de moteurs deviennent ainsi : Formule 4.22 α⋅∑=−−= JMMMM frein

M

frotteacc

arbre

43421

Formule 4.33 inome

eTe I

IIkM ⋅⋅=

Formule 4.34 ii

U

nome

eE IRN

IIkU

i

⋅+⋅⋅=44 344 21000'1



Comme le courant d’excitation de ce type de moteur est constant, son comportement est le même que celui du moteur DC à aimants permanents. La droite de charge est comme en Figure 4.44.

Il faut cependant prendre garde au fait qu’il ne faut jamais interrompre l’alimentation de l’excitation tant que circule un courant d’induit. En effet, la Formule 4.34 montre que, si la tension U reste connectée alors que le courant d’excitation Ie tend vers zéro, la vitesse ω doit augmenter vers l’infini. Il se produit réellement un phénomène d’emballement extrêmement dangereux.

La gamme d’utilisation des moteurs DC à excitation séparée s’étend de ~1 kW à ~4 MW, pour des applications à vitesse variable. Toutefois, les moteurs synchrones et asynchrones leur sont de plus en plus préférés, car ils ne comportent pas de collecteur.

4.4.3.2 Moteur DC à excitation série et « moteur universel »

Un autre mode d’excitation très souvent utilisé est le moteur DC à excitation série.

M

I

BSR20050105_E.des

U

Figure 4.48 Symbole d’un moteur DC à excitation série

Dans ce cas, le courant d’excitation et le même que le courant d’induit puisque les deux circuits du moteurs sont en série. Les équations caractéristiques de ce type de moteur sont donc : Formule 4.22 α⋅∑=−−= JMMMM frein

M

frotteacc

arbre

43421

Formule 4.35 2IkM ie ⋅=

Formule 4.36 ( ) iei

U

i IRRωIkUi

⋅++⋅⋅=43421

Le comportement de ce type de moteur diffère fondamentalement des deux types précédents : La droite de charge devient approximativement une parabole, comme le montre la figure ci-dessous.

Me

BSR20050105_C.des

I

(M )e = courbe de charge du moteur

I(M )e = courbe de courant

Figure 4.49 Droite de charge d’un moteur DC à excitation série

En particulier, lorsque la tension U est fixe et que la vitesse ω est faible, le courant du moteur I et donc son couple électromagnétique Me dépendent essentiellement de la résistance du circuit. Il suffit



d’ajouter une résistance externe en série avec Ri et Re pour contrôler directement le couple. Par comparai-son, il n’est pas possible de régler aussi facilement le couple des moteurs à aimants permanent et à excita-tion parallèle.

Cette caractéristique explique pourquoi ce type de moteur a été le moteur de traction au début de l’histoire des véhicules électriques. Dans certains cas, la combinaison d’une excitation série et d’une excita-tion parallèle donne un moteur DC à excitation compound.

Dans l’équation du couple de la Formule 4.35, le courant intervient au carré. Ainsi, le couple ne dé-pend pas du sens du courant. Cette particularité ne permet donc pas de passer du fonctionnement en mo-teur au fonctionnement en freinage en inversant le courant. Le moteur DC à excitation série ne convient donc bien que pour des applications à 1 quadrant, sauf si on le complète de tout un système de contacteurs.

Par contre, un tel moteur peut également fonctionner s’il est alimenté en tension alternative. C’est pourquoi on l’appelle moteur universel. Ses performances sont faibles car les spires de l’induit dégradent fortement le facteur de puissance cosφ. De plus, pour des raisons qui seront abordées au chapitre 5 de ce cours, la commutation du courant entre les lames du collecteur provoque des étincelles qui, à la longue, dégradent les balais.

C’est parce qu’il est plus facile de transporter à grande distance de l’énergie électrique sous forme al-ternative que continue que certains chemins de fer ont introduit cette technologie dès 1912. Pour atténuer le problème du collecteur, ils ont dû cependant diminuer la fréquence. C’est la raison pour laquelle les chemins de fer d’Allemagne, d’Autriche, de Suède et de Suisse, qui ont fait œuvre de pionniers dans ce domaine, ont leurs caténaires sous 15 kV à 162/3 Hz. Cette fréquence réduite diminue d’un facteur 3 les inconvénients cités plus haut.

Les moteurs à excitation série sont de moins en moins utilisés actuellement en traction électrique, ceci surtout à cause de leur maintenance. Les balais de collecteur doivent être remplacés toutes les 1'000 à 2'000 heures de fonctionnement. Le collecteur lui-même doit être révisé tous le 2-3 ans. Une fois encore, les progrès de l’électronique de puissance permettent actuellement d’utiliser des moteurs synchrones et asyn-chrones, fournissant des performances supérieures dans un encombrement moindre, réduisant les problè-mes de maintenance, et ceci pour un coût comparable.

Le moteur universel est aussi utilisé dans de multiples appareils électroménagers et outils portables, alimentés directement à partir du réseau 50 ou 60 Hz. Leur puissance est cependant limitée à 500 W envi-ron.



4.5 Moteur synchrone et servomoteur sans balais

4.5.1 Généralités et utilisations

Vers 1890, aux USA, alors que Thomas Edison faisait une intense promotion des technologies de production et de motorisation électrique à courant continu, Nikola Tesla et George Westinghouse introdui-saient les technologies à courant alternatif. Ils en avaient compris les avantages, à savoir la facilité de trans-port d’énergie à grandes distances grâce aux transformateurs, et la maintenance simplifiée par absence de collecteur. L’histoire de la technique a montré qu’ils eurent raison.

Tous les alternateurs, qui transforment l’énergie mécanique en énergie électrique, sont en fait des moteurs synchrones, fonctionnant dans un quadrant de freinage. Les plus gros réalisés à ce jour atteignent 1'600 MW (20% de la consommation moyenne en Suisse pour fixer un ordre de grandeur). Nous verrons plus loin que la vitesse de rotation est liée à la fréquence de l’alimentation. Comme celle-ci est constante, les alternateurs sont toujours accélérés progressivement par la turbine (à gaz ou à eau) avant d’être connectés au réseau. Après, leur vitesse de rotation est fixe (par exemple, 3'000 r/min, soit 50 tours par seconde, pour un turboalternateur à vapeur).

Figure 4.50 Alternateur de 1'320 MW de la centrale nucléaire de Leibstadt. Les turbines à va-

peur qui l’entraînent sont en arrière-plan (source : Kernkraftwerk Leibstadt (CH) – www.kkl.ch)



Les entraînements de forte puissance, dans les cimenteries et laminoirs comme dans les trains et de navires, font également appel aux moteurs synchrones. Avant l’introduction de l’électronique de puis-sance dès 1970, leur démarrage n’était possible qu’à l’aide de moteurs auxiliaires, continus ou asynchrones. La vitesse variable était simplement impossible, et restait l’apanage quasi exclusif du moteur DC, tant dans les chemins de fer que dans les machines de production et installations.

Figure 4.51 Moteur de 50 MW, utilisé par exemple dans une cimenterie

(source : ABB (CH) – www.bbc.com)

Ce ne fut qu’à partir de 1970 que les progrès en électronique de puissance et en informatique de ré-gulation permirent enfin de faire profiter toutes les machines de production des avantages technologiques du moteur synchrone. Les servomoteurs DC sont maintenant remplacés par des servomoteurs « sans ba-lais », qui ne sont rien d’autre que des moteurs synchrones à aimants permanents, dans une gamme de puissance de ~50 W à ~10 kW.



Figure 4.52 Servomoteurs « sans balais », donc synchrones à aimants permanents

(source : Pacific Scientific (US) – www.pacsi.com)

La grande différence entre le moteur à courant continu et le moteur synchrone réside dans la permutation de l’excitation et de l’induit. Contrairement au moteur à courant continu, le moteur synchrone dispose de son excitation au rotor et de son induit au stator. Ainsi, l’alimentation des bobines de l’induit se fait directement, sans collecteur. Lorsque l’excitation est réalisée par des aimants permanents, il n’y a aucun courant électrique qui circule au rotor. Même lorsqu’elle est réalisée par des électro-aimants, le courant continu nécessaire est transmis au rotor à l’aide d’un système de bagues moins délicat qu’un collecteur, ou d’un système à transformateur tournant sans contact direct.

Figure 4.53 Différence de principe entre le moteur DC (à gauche, avec les aimants au stator)

et le moteur synchrone (à droite, avec les aimants au rotor) (source : HEIG-VD – C. Besson)

La difficulté résulte cependant du fait que, si les bobines du stator sont alimentées en courant continu, les aimants du rotor vont simplement s’aligner en face de ces bobines, puis rester arrêtée à cet angle. Pour que le rotor tourne, l’alimentation des bobines du stator doit être variable au cours du temps. L’idée consiste à les alimenter de manière à créer un champ magnétique tournant.



4.5.2 Champs tournants

Comme le montre la Figure 4.54, un aimant permanent en fer à cheval qui pivote autour de son axe de symétrie crée un champ magnétique tournant. Une aiguille de boussole placée entre ses pôles suivrait le mouvement de rotation.

Figure 4.54 Champ magnétique tournant créé à l’aide d’un aimant permanent

(source : HEIG-VD – C. Besson)

Pour réaliser un champ tournant à l’aide d’électro-aimants, une seule bobine ne suffit pas. En effet, même en l’alimentant avec un courant variable, le champ magnétique ainsi créé varierait en intensité, mais les lignes de forces resteraient immobiles. Une aiguille de boussole placée en face vibrerait peut-être, mais ne tournerait pas. Pour réaliser un champ tournant à l’aide d’électro-aimants, il est nécessaire de disposer par exemple 3 bobines au stator, décalées de 120 degrés, et de les raccorder à une alimentation alternative triphasée. Le champ magnétique résulte de la somme des 3 champs créés par chaque bobine individuelle-ment. Si la fréquence de l’alimentation est de 50 Hz, le champ magnétique tourne exactement à 50 tours par seconde (soit 3'000 r/min, ou ~314 rad/s), et pourrait entraîner à cette vitesse une aiguille aimantée.

Si l’on permute deux des trois courants alimentant ce bobinage triphasé, par exemple i2(t) et i3(t), on provoque l’inversion du sens de rotation du champ tournant.

Figure 4.55 Trois enroulements alimentés en courants triphasés sinusoïdaux produisent un

champ tournant, dans un sens ou dans l’autre (source : HEIG-VD – C. Besson)



DÉFINITION 4.9 : L’ensemble des trois enroulements forme une excitation triphasée.

DÉFINITION 4.10 : Alimentée en triphasé, cette excitation produit un champ tournant.

DÉFINITION 4.11 : La vitesse de rotation du champ tournant est appelée vitesse synchrone.

Figure 4.56 Exemple de réalisation de l’excitation d’un moteur synchrone


DÉFINITION 4.12 : Un stator de moteur est réalisé avec des tôles de fer empilées, dans lesquelles sont découpées des encoches. La Figure 4.56 montre comment est réalisé un bobinage triphasé.

La Figure 4.57 montre l’allure des lignes de force pendant une demi-période, lorsque ces bobines sont alimentées par un système de courants triphasés. On remarque qu’après une demi-période, le champ ma-gnétique a pivoté d’un demi-tour.

Figure 4.57 Représentation du champ tournant sous l’action d’une alimentation triphasée




Si l’on double le nombre d’encoches, il est possible de créer 6 bobines au lieu de 3, puis de les connecter en série deux à deux, l’ensemble forme toujours un jeu de bobines triphasé.

Figure 4.58 Exemple de réalisation d’une excitation triphasée avec 6 bobines


La Figure 4.59 montre l’allure des lignes de force lorsque ces bobines sont alimentées par un système de courants triphasés. On remarque que, pendant demi-période, les lignes de force n’ont pivoté que d’un quart de tour.

Figure 4.59 Représentation du champ tournant sous l’action d’une alimentation en courants

triphasée dans un jeu de 6 bobines placées en série deux à deux (source : HEIG-VD – C. Besson)

Lorsque l’excitation d’un moteur comporte un enroulement par phase comme montré dans la Figure 4.56, on dit qu’elle a une paire de pôles, ce que l’on note par 1=p . Le champ tourne d’un tour par période de l’alimentation.

Avec deux enroulements par phase comme montré dans la Figure 4.58, on dit qu’elle a deux paires de pôles, ce que l’on note par 2=p . La vitesse de rotation du champ tournant est deux fois plus faible.



Si l’on augmente encore le nombre de bobines par phase, la vitesse synchrone diminue encore, comme le montre la formule suivante :

Formule 4.37 [rad/s]ou[r/min]p

fp

fN ⋅=

⋅=

πω 260 ,

où f est la fréquence en [Hz] et p le nombre de paires de pôles La table ci-dessous montre la vitesse synchrone en fonction du nombre de paires de pôles, pour des

alimentations triphasées européenne (à 50 Hz) et américaine (à 60 Hz). 1 paire

de pôles 2 paires de pôles

3 paires de pôles

4 paires de pôles

etc.

f = 50 Hz 3'000 r/min 1’500 r/min 1’000 r/min 750 r/min etc. f = 60 Hz 3'600 r/min 1’800 r/min 1’200 r/min 900 r/min etc.

Table 4.1 Vitesses synchrones en fonction de la fréquence et du nombre de pôles

DÉFINITION 4.13 : Toutes les bobines connectées en série dans le stator d’un moteur synchrone constituent une phase. Ainsi, un moteur triphasé comporte toujours 3 phases, constituées chacune de 1, 2 ou plusieurs bobines.

4.5.3 Principe de fonctionnement du moteur synchrone à fréquence fixe

Le 2ème principe de l’électromagnétisme exposé au paragraphe 4.3.2 expliquait comment un conduc-teur, parcouru par un courant, placé dans un champ magnétique, est soumis à une force susceptible de le mettre en mouvement. L’inverse est aussi vrai, en vertu du principe de l’action et de la réaction : Si les conducteurs sont fixes et les aimants produisant le champ sont mobiles, ce sont les aimants qui se mettent en mouvement. C’est le même principe qui explique le fonctionnement du réacteur d’avion : Si celui-ci éjecte les gaz de combustion en leur appliquant une certaine force, il est lui-même soumis à une force équivalente de sens opposé, utilisée pour propulser l’avion.

Ainsi, dans un moteur synchrone, le système triphasé de courants parcourant les bobines du stator crée un champ tournant, mais les bobines et leurs conducteurs restent immobiles. C’est l’aimant, fixé au rotor, qui entraîne celui-ci dans son mouvement de rotation à la vitesse synchrone.

Par analogie, si on représente le champ tournant par un disque en rotation et le rotor par un second disque tournant sur le même axe, la force électromagnétique peut être comparée à l’effet de ressorts reliant ces 2 disques. Si le rotor est freiné par un couple résistant Mfrein, les ressorts se tendent jusqu’à ce que leur déformation corresponde à une force contrebalançant exactement le couple résistant. Si le couple résistant cesse, les ressorts se détendent et ne transmettent pratiquement plus qu’une petite force pour compenser les frottements internes.



De la même manière, pour fournir un couple à l’arbre, le rotor d’un moteur synchrone prend un petit angle de retard sur le champ tournant, soit un déphasage juste suffisant pour que le couple électromagnéti-que contrebalance exactement le couple à l’arbre. Ce déphasage est appelé angle de charge δ. Si le cou-ple à l’arbre est constant, l’angle de charge est également constant, et la vitesse de rotation du rotor reste identique à la vitesse du champ tournant. Si le couple résistant excède une certaine limite Mk, le couple électromagnétique fourni par le moteur ne peut plus le contrebalancer. On dit que le moteur décroche, et le rotor finit par s’arrêter. Tout se passe comme si, dans l’analogie des 2 disques et des ressorts, ceux-ci cas-saient après avoir été trop sollicités.

Me

+Mk

-Mk

0

générateurmoteur

stable

stable

insta

ble

insta

ble

BSR20050116_A.des

Mfrein

Figure 4.60 Caractéristique de couple d’un moteur synchrone, où δ est l’angle de charge en

[rad] et Me le couple électromagnétique en [Nm]

La limite de décrochage, soit le couple maximum Mk que peut fournir un moteur synchrone, dépend essentiellement de facteurs constructifs. Dans la pratique, si un moteur synchrone décroche, c’est presque toujours dû à une augmentation du couple résistant suite à une perturbation au niveau de la charge (sur-charge mécanique, dégradation des paliers ou des alignements, etc.)

Lorsqu’un moteur synchrone est alimenté par une source triphasée de tension et de fréquence cons-tantes, il tourne à la vitesse synchrone qui est constante. L’angle de charge δ se stabilise à une valeur telle que le couple électromagnétique Me contrebalance exactement le couple résistant Mfrein. La Figure 4.60 montre que le point de fonctionnement est stable s’il se trouve à une valeur de δ comprise entre -π/2 et +π/2. En dehors de cette zone, il est instable.

Comme les moteurs triphasés sont conçus pour charger l’alimentation de manière parfaitement équilibrée, les 3 courants efficaces sont identiques. Un tel moteur est caractérisé par les relations de puis-sances suivantes :

Formule 4.38 ϕcos⋅⋅⋅= IUP célec 3 , où Uc (tension efficace composée de l’alimentation triphasée) est constante, I (courant efficace de chacune des 3 phases) varie en fonction du couple fourni, cosϕ (facteur de puissance) tient compte du déphasage entre courant et tension.

Formule 4.39 ω⋅= arbrearbre MP , où la vitesse ω est la vitesse de rotation du moteur, exprimée en [rad/s], et vaut

[rad/s]p

f⋅=

πω 2 (voir Formule 4.37)



Formule 4.40 élec

arbre

PP

=η ,

où η est le rendement du moteur, tenant compte des pertes ohmiques et des pertes in-ternes de frottement.

Comme pour le moteur à courant continu, les échauffements dépendent essentiellement du carré du courant, donc du carré du couple fourni. Lorsque le moteur doit fournir un couple variable au cours du cycle de fonctionnement de la machine, on peut donc calculer le couple efficace pour faire une première sélection, comme montré au paragraphe 4.4.2.6 pour les moteurs à courant continu.

Attention : En travaillant avec un moteur synchrone, il faut faire attention à ne pas confondre les diffé-rentes expressions de la vitesse de rotation avec la fréquence et la pulsation de l’alimentation électrique triphasée :

• La vitesse de rotation du moteur peut être exprimée par − N en tours par minutes [r/min] ; − n en tours par seconde [r/s] , éventuellement en [s-1] ; − ω en radian par secondes [rad/s].

• La fréquence de l’alimentation triphasée du moteur est exprimée par − f en Hertz [Hz], ou éventuellement en [s-1].

• La pulsation de l’alimentation triphasée du moteur est exprimée par − ω en radian par secondes [rad/s].

La même abréviation ω est utilisée pour la vitesse de rotation et pour la pulsation, alors qu’elles re-présentent des grandeurs fondamentalement différentes. S’il y a risque de confusion, il conviendra d’y ajou-ter un indice permettant de les différentier, par exemple ωr pour la rotation et ωa pour la fréquence de l’alimentation.



EXEMPLE Un moteur synchrone de 22 kW est alimenté au réseau triphasé européen 400 V / 50 H), et comporte 2 paires de

pôles (p = 2). Son rendement est de 92% et son cosϕ vaut 0,87. Nous avons ainsi pour l’alimentation :

][s][s[Hz]

1

1

−

−

≅⋅⋅=

==

31425050

ff

a πω

Pour la vitesse de rotation, nous avons :

[rad/s]

[r/s

[r/min

15730

]252

5060

]500'12

506060

=⋅=

====

=⋅

=⋅

=

N

pfNn

pfN

rπω

Par ailleurs, nous pouvons aussi calculer :

• son couple nominal (à l’arbre) : [Mm]140157

000'22====

r

arbrearbrenom

PMMω

;

• sa puissance électrique (puissance active) : [W]900'2392,0000'22

===ηarbrePP ;

• le courant qu’il consomme (sur chaque phase) : [A]7,3987,04003

900'23cos3

=⋅⋅

=⋅⋅

=ϕcompU

PI .

4.5.4 Démarrage d’un moteur synchrone

Le fait qu’un moteur synchrone ne puisse fournir un couple que si le rotor tourne à la vitesse du champ statorique, comme on l’a vu au paragraphe précédent, pose un problème majeur au démarrage. Ali-menté directement par le réseau triphasé à 50 ou à 60 Hz, un moteur synchrone ne peut pas démar-rer. C’est dû au fait qu’à l’arrêt, un couple d’accélération n’est disponible que pendant une fraction de la pé-riode, soit quelques millisecondes seulement. A la demi-période suivante, le couple électromagnétique s’inverse. Une accélération de l’arrêt à la vitesse synchrone pendant un laps de temps aussi court n’est théo-riquement possible que si l’inertie du rotor et de sa charge était extrêmement faible, ce qui n’est jamais le cas.



EXEMPLE Considérons le moteur de l’exemple du paragraphe précédent, dont le couple nominal vaut 140 Nm, et dont la vi-

tesse synchrone vaut 157 rad/s. A l’arrêt, le couple n’est positif que pendant une demi-période, soit pendant 10 ms.

L’accélération devrait donc être supérieure à 2rad/ss

rad/s 700'1501,0

157==α .

Admettons à première vue que le couple pendant ces 10 ms valle 140 Nm en moyenne. Pour que l’accélération soit réalisable, l’inertie totale (moteur + charge) ne devrait pas dépasser une valeur donnée par la loi de Newton :

22 kgm

rad/sNm 3109,8

700'15140 −⋅==<∑

αmoyM

J . Or, cette valeur est nettement plus faible que l’inertie du moteur seul.

Même si l’on pouvait obtenir du moteur un couple impulsionnel plus important, son démarrage n’est plus garanti dès qu’il utilisé avec une charge mécanique.

Si par contre, on dispose d’un moyen auxiliaire pour lancer le moteur à une vitesse proche de sa vi-tesse synchrone, le moteur va spontanément se mettre au synchronisme, puis tourner exactement à la vi-tesse synchrone. Ce moyen auxiliaire peut être réalisé comme suit :

• Ajouter un moteur externe utilisant une autre technologie adaptée à la variation de vitesse. Ain-si, un alternateur est démarré à l’aide de la turbine à gaz ou à eau, avant d’être connecté au ré-seau qu’il doit alimenter.

• Combiner un moteur de démarrage de technologie asynchrone au moteur principal synchrone. Comme nous le verrons au chapitre suivant, un tel moteur est capable, sous certaines condi-tions, de démarrer lorsqu’il est connecté directement au réseau. Il suffit d’ajouter aux aimants du rotor quelques spires en court-circuit, en cuivre ou en aluminium. On parle alors d’un moteur synchrone à démarrage asynchrone.

Le démarrage d’un moteur synchrone est également possible au moyen d’un variateur de fréquence. Celui-ci l’alimente à une fréquence qui croît progressivement de 0 Hz (arrêt) à 50 Hz (vitesse nominale), voire à des fréquences supérieures (survitesse).

Avant 1970, la réalisation d’un tel variateur n’était possible qu’en accouplant plusieurs moteurs et gé-nérateurs électriques de technologies différentes. Ce n’était économiquement réalisable que pour des en-traînements de très fortes puissances comme dans les cimenteries et les laminoirs.

Depuis, l’évolution de l’électronique de puissance a rendu possible la construction de variateurs de fréquence jusqu’à des puissances de l’ordre de plusieurs MW dont la performance, la fiabilité et le prix sont devenus compétitifs. Ils peuvent aussi délivrer des fréquences supérieures et amener le moteur synchrone en régime de survitesse.

C’est la raison pour laquelle ces moteurs remplacent systématiquement les moteurs à courant continu de tous types, que ce soit sur des machines de production ou en traction électrique. Même des palettiseurs alimentés par batterie, donc disposant d’une alimentation en tension continue, sont maintenant équipés de servomoteurs synchrones à aimants permanents.



4.5.5 Le servomoteur synchrone à aimants permanents

Le moteur synchrone dont le champ rotorique est créé par des aimants permanents est un servomo-teur idéal pour les machines. Alimenté par un servo amplificateur adéquat, il est aussi facile à utiliser qu’un moteur DC à aimants permanents. Le surcoût de l’électronique est compensé par ses nombreux avantages, qui sont :

• Absence de collecteurs, donc moins de problèmes d’usure et de maintenance. Seuls les paliers et roulements présentent un phénomène d’usure et limitent le fonctionnement du moteur à 30'000 heures environ.

• Possibilité de tourner à haute vitesse. Presque tous ces moteurs peuvent atteindre 6'000 r/min sans problème. Des vitesses de 50'000 r/min sont possibles. Même 200'000 r/min peuvent être atteints si l’on utilise des paliers magnétiques.

• Ses pertes cuivre apparaissent au stator et non au rotor. Elles sont donc plus faciles à évacuer. Au besoin, le refroidissement à l’eau est plus facile. Le rotor chauffe moins, ce qui est important pour certaines machines de précision.

• Même à haute vitesse, ce moteur peut délivrer un couple impulsionnel important. En pratique, il peut atteindre 2 à 5 fois le couple nominal. Les seuls problèmes d’usure sont à nouveau au ni-veau des paliers, en particulier si les forces radiales et axiales exercées par le réducteur ou la charge sur l’arbre du moteur augmentent trop.

• Le rapport couple / inertie est environ 2 fois plus favorable que pour un servomoteur DC, ce qui permet d’améliorer la dynamique des machines et leur productivité.

On appelle souvent ce type de moteur servomoteur sans balais (en anglais : brushless motor). En toute rigueur, c’est un moteur synchrone auto commuté à aimants permanents. Cela exprime le fait qu’un servo amplificateur alimente et commute les bobinages du stator avec des courants dont la valeur instantanée dépend de la position angulaire du rotor, celle-ci étant mesurée à l’aide d’un capteur angulaire.



L’usage veut que l’on distingue ces moteurs en fonction de la forme de leurs courants d’alimentation : • Le moteur DC sans balais (en anglais : DC brushless motor) est alimenté par des courants

de forme rectangulaire. En fait, il n’y a à la base qu’un seul courant qui, à l’aide des transistors de commutation, circule dans 2 phases en série, alors que la 3ème est inactive. Le choix des phases actives et la commutation de l’une à l’autre dépendent uniquement de la position angu-laire.

Figure 4.61 Allure du courant dans les 3 phases d’un moteur DC sans balais – Le même cou-

rant traverse 2 phases en série alors que la 3ème est inactive ; la commutation a lieu à des positions angulaires précises (source : HES Berne - http://www.hta-be.bfh.ch/~wwwel/studium/Diplomarbeiten/E95Fuhrer.pdf)

Tout se passe comme dans un moteur DC à aimants permanents, sauf que la commutation du courant entre les phases est réalisée par des transistors au lieu du collecteur. Les équations ca-ractéristiques de ce moteur sont les même que pour un moteur DC à aimants permanent, à sa-voir (rappel des formules vues au paragraphe 4.4.2.6) :

Formule 4.22 α⋅∑=−−= JMMMM frein

M

frotteacc

arbre

43421

Formule 4.17 IkM Te ⋅=

Formule 4.21 IRNkU i

U

E

i

⋅+⋅=43421 000'1

Attention : Les courants de phase et les tensions aux bornes du moteur ne sont pas ceux qui apparaissent dans la formule ci-dessus. Leur valeur saute, par exemple, de +Ii à 0, puis de 0 à -Ii , puis de -Ii à 0, et ainsi de suite. Lorsque le moteur tourne à une vitesse supérieure à quelques centaines de tours par minute, la commutation du courant ne peut se faire aussi rapidement que nécessaire, ce qui provoque des impulsions perturbatrices de couple (en anglais : cogging torque). Ce phénomène peut être très gênant lorsque le mouvement doit suivre une trajectoire très précise comme dans une machine-outil à rectifier les engrenages. Par contre, cette technique convient parfaitement à l’entraînement de petits ventilateurs.

• Le moteur AC sans balais (en anglais : AC brushless motor) est alimenté par trois courants de forme sinusoïdale, formant un système triphasé. Ils sont déterminés comme suit : − A vitesse constante, ils sont déphasés de 120° l’un par rapport à l’autre.



− Leur somme en valeur instantanée est nulle (charge équilibrée). − L’angle de charge δ est ajusté à 90° pour que le couple produit soit aussi grand que pos-

sible. Le moteur est ainsi à la limite du décrochement décrit à la 0, mais le servo amplifica-teur contrôle l’ensemble pour que le point de fonctionnement reste stable. Revenant à l’analogie des 2 disques liés par des ressorts, c’est comme si on réglait le 1er disque de manière à ce que les ressorts soient toujours tendus à la limite de rupture.

− Le couple produit est très régulier, car il n’est pas nécessaire de commuter rapidement les courants dans les phases du stator.

Figure 4.62 Allure du courant dans les 3 phases d’un moteur AC sans balais –système de cou-

rants sinusoïdes triphasés (source : HES Berne - http://www.hta-be.bfh.ch/~wwwel/studium/Diplomarbeiten/E95Fuhrer.pdf)

Tout se passe à nouveau comme dans un moteur DC à aimants permanents. Les équations ca-ractéristiques de ce moteur sont presque les même que pour un moteur DC à aimants perma-nent, à savoir (rappel des formules vues dans les pages précédentes) :

Formule 4.22 α⋅∑=−−= JMMMM frein

M

frotteacc

arbre

43421

Formule 4.41 rmsiTe IkM ⋅=

Formule 4.42 LfjIRNkU ii

U

Ecomp

rmsi

⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅= π2000'1 43421

Cette dernière formule fait intervenir l’inductance des enroulements statoriques, ainsi qu’une expression de la tension faisant intervenir la théorie des nombres complexes et les calculs d’impédances, qui seront abordés au Chapitre 6 . De plus, il n’y a pas de règle uniforme sur la définition des coefficients kT et kE, ni sur la valeur de la tension ainsi obtenue. Certains fabricants de moteurs fournissent des valeurs permettant de calculer la tension composée efficace, d’autres la tension simple efficace, d’autres encore la tension composée crête. Fort heureusement, les fabricants de moteurs fournissent des diagrammes qui permettent de déterminer directement le couple permanent et le couple maximum pour chaque valeur de vi-tesse, en fonction de la tension nominale d’alimentation du servo amplificateur.



Figure 4.63 Exemple de caractéristique couple – vitesse d’un servomoteur AC sans balais,

sous 400 V triphasé (~560 V crête) (source : SEM London – http://www.sem.co.uk/files/curves/HRS115A6.pdf)

L’électronique de régulation pour un tel moteur est plus difficile à réaliser, mais ne pose plus de problème majeur. Même le prix en est acceptable. Le positionnement en phase des 3 courants nécessite une mesure de position angulaire relativement précise. Cette technologie est la plus utilisée actuellement dans les machines de production, et fait partie actuellement de l’état de l’art. Elle cumule en effet tous les avantages possibles que peut avoir un entraînement dont on veut faire varier la vitesse et contrôler la position.

Le servo amplificateur qui alimente un servomoteur synchrone à aimants permanents fonctionne comme une source de courant triphasée :

• Il mesure la position angulaire du rotor, détermine si le moteur doit être accéléré ou freiné pour suivre la trajectoire souhaitée, et détermine le couple nécessaire pour effectuer la correction.

• Il calcule en permanence le courant nécessaire de chaque phase. − Pour un moteur DC sans balais, il détermine la valeur de I et les 2 phases actives. − Pour un moteur AC sans balais, il détermine le vecteur de courant I (amplitude et phase)

pour déterminer la valeur de chacun des 3 courants de phase.



4.6 Moteur asynchrone

4.6.1 Généralités et utilisations

Le moteur asynchrone, appelé aussi « moteur à induction », a été inventé par Nikola Tesla vers 1890, aux USA. Sur le plan constructif, il est le plus simple des moteurs électriques, donc le plus économique à l’achat. C’est aussi le plus répandu (~80% des moteurs utilisés en machines), dans une gamme de puis-sance allant de ~10 W à ~25 MW. Le plus souvent, sa vitesse de rotation est de ~1'450 r/min en Europe (50 Hz), et de ~1'740 r/min aux USA (60 Hz), mais d’autres vitesses nominales sont disponibles, en fonction des utilisations.

Figure 4.64 Moteurs asynchrones (source : Siemens)

Dans le domaine des entraînements industriels à vitesse variable, on fait de plus en plus souvent ap-pel à ce type de moteurs. Il présente un bon rapport couple / volume. Comme moteur de broche, il peut tour-ner à grandes vitesses (→ 150'000 r/min).

Ses utilisations à vitesse fixe sont les pompes, ventilateurs, convoyeurs, ascenseurs, etc. Il est alors souvent commandé en tout ou rien par simple connexion au réseau d’alimentation.

On l’utilise également avec un variateur de fréquence. Celui-ci est utile pour ajuster sa vitesse et, par conséquent, le débit de la pompe, du ventilateur, etc. aux besoins réels. Cette manière de faire, plus coû-teuse à l’installation (variateur en plus), permet de réaliser des économies d’énergie importantes.



Figure 4.65 Convoyeur entraîné par moteurs asynchrones

(source : PLM Location (F) – www.plm-location.com/batiment.htm)

Le moteur asynchrone est utilisé pour de nombreuse autres applications à vitesse variable : bobinage / débobinage, broches de machines-outils, traction électrique, etc.

Figure 4.66 Stockage intermédiaire de journaux et magazines par enroulement, entraînés par

des moteurs asynchrones. (source : Ferag AG (CH) – www.ferag.ch)

Figure 4.67 Les ICE, comme les locomotives les plus récentes des CFF et certains trolleybus

sont entraînés par des moteurs asynchrones. (sources : Deutsche Bahn (D) – www.db.de et TL (CH) - www.t-l.ch/entreprise/corps_entreprise_vehicule.htm)



Par contre, même si c’est techniquement possible d’équiper un moteur asynchrone avec un capteur de position, on ne l’utilise qu’exceptionnellement pour des applications de type servomoteur. Son rotor com-porte en effet une inertie qui est plus du double de celle d’un moteur synchrone à aimants permanents de couple équivalent, ce qui convient moins bien pour des applications dynamiques.

Le moteur asynchrone est caractérisé par une construction mécanique simple et robuste. Son stator est très semblable à celui d’un moteur synchrone. Alimenté en tension alternative tripha-

sée, il crée un champ tournant dont la vitesse dépend de la fréquence de l’alimentation et du nombre de paires de pôles.

Le rotor cylindrique des moteurs asynchrones à cage d’écureuil est constitué d’un empilage de tô-les minces en fer, découpées pour créer des encoches. Chaque encoche contient une barre conductrice, généralement en aluminium. Ces barres sont court-circuitées entre elles à chaque extrémité par un anneau de même matière, formant une sorte de cage. Un tel rotor ne comporte ni aimants permanents, ni collecteur ou bagues.

Figure 4.68 Rotor d’un moteur asynchrone à cage d’écureuil

(source : HEIG-VD – Ch. Besson)

Certains moteurs asynchrones, en particulier ceux de forte puissance, ont un rotor bobiné plutôt qu’une cage. Les spires sont reliées à 3 bagues, et leur mise en court-circuit est réalisée à l’extérieur du moteur. Ce mode de faire permet la mise en série de résistances, ce qui permet d’ajuster la vitesse sans faire appel à un convertisseur de fréquence.

4.6.2 Principe de fonctionnement du moteur asynchrone à fréquence fixe

Le principe de fonctionnement du moteur asynchrone est le suivant : • Considérons un moteur asynchrone à l’arrêt, et connectons son stator à une tension alternative

triphasée. Des courants alternatifs circulent alors dans ses enroulements et crée un champ tournant à vitesse synchrone.

• Le rotor étant encore à l’arrêt, il est balayé par ce champ variable. Ses spires interceptent un flux variable et sont donc le siège de tensions induites. Comme elles sont court-circuitées sur elles-mêmes, ces tensions induites créent des courants induits.



Figure 4.69 Principe de fonctionnement du moteur asynchrone

(source : HEIG-VD – Ch. Besson)

• L’interaction de ces courants avec le champ tournant provoque l’apparition d’un couple mécani-que. Le rotor démarre et se met à tourner dans le sens du champ tournant.

• Ceci peu s’expliquer par la loi de Lenz, qui dit que tout phénomène induit cherche à s’opposer à la cause qui l’a induit. Dans le cas présent, la cause de l’apparition de courants induits au rotor est la différence de vitesse entre le champ tournant et le rotor. Le couple mécanique provoque l’accélération du rotor et la diminution de cette différence de vitesse, donc une diminution des courants induits au rotor.

• A la fin du démarrage, la vitesse du rotor se stabilise à une valeur telle que le couple mécani-que développé par les courants induits contrebalance exactement le couple résistant de la charge. Cette vitesse finale reste donc légèrement inférieure à la vitesse du champ tournant statorique. En effet, si elle était égale, il n’y aurait plus de différence de vitesse, donc plus de courants induits au rotor et plus de couple mécanique.

NsNn

couple

vitesse

Mn

Mk

Md

BSR20050123_A.des0

Figure 4.70 Allure du couple d’un moteur asynchrone en fonction de sa vitesse N, où

Ns est la vitesse synchrone, Nn est la vitesse nominale, Mn le couple mécanique nominal, Mk le couple maximum (couple de décrochement), et Md le couple au démarrage

DÉFINITION 4.14 : Le glissement s d’un moteur asynchrone est la différence entre la vitesse syn-chrone et la vitesse rotorique d’un moteur asynchrone, rapportée à la vitesse syn-chrone. Il est généralement exprimé en pourcents.



Formule 4.43 s

s

NNNs −

= , ou [r/min]p

fNs⋅

=60 est la vitesse du champ tournant.

La vitesse de rotation du moteur est donc liée à la fréquence de l’alimentation électrique f et au glis-sement s, comme suit :

Formule 4.44 ( ) ( ) [rad/s]ou[r/min]p

fsp

fsN ⋅⋅−=

⋅⋅−=

πω 21601 ,

où f est la fréquence en [Hz] et p le nombre de paires de pôles Le moteur asynchrone est aussi appelé moteur à induction (en anglais induction motor), en raison

du fait que, pour développer un couple, il doit induire lui-même ses courants rotoriques, et que ceci n’est possible que si le rotor glisse par rapport au champ tournant. Le glissement des moteurs asynchrones est compris entre 0,5 et 10%, et suffit à produire les courants induits nécessaires pour créer le couple nominal. Il est le plus élevé pour les moteurs de très faible puissance nominale.

Comme le montre la Figure 4.70, le glissement dépend du couple électromagnétique qui équilibre la charge. S’il est faible, le glissement est faible et le rotor tourne presque à la vitesse synchrone Ns. Si la charge est plus importante, le glissement est plus important, pour induire plus de courant au rotor, et donc pour créer plus de couple. Le moteur tournera un peu moins vite. Si la charge atteint une limite appelée couple de décrochage Mk, alors le moteur ne peut plus assumer la charge et finit par s’arrêter. Le couple de décrochage est de 40 à 70% plus élevé que le couple nominal Mn.

Si le moteur doit freiner la charge, donc s’il doit fournir un couple mécanique négatif pour la retenir, les courants induits devront s’inverser. Le glissement devient alors négatif, ce qui se traduit par une vitesse de rotation légèrement supérieure à la vitesse synchrone. Le moteur transforme alors l’énergie mécanique en énergie électrique et fonctionne en générateur.

Ns

couple

vitesse

Md

BSR20050123_K.des

Mk

-Mk

moteur freinfrein Figure 4.71 Allure du couple d’un moteur asynchrone en fonction de sa vitesse, en mode mo-

teur et en mode générateur.



Un moteur triphasé constitue une charge équilibrée. On peut établir ses équations, valables dans tous les cas où il est alimenté à fréquence constante et fonctionne dans sa zone linéaire (glissement faible), comme on l’a fait au chapitre précédent pour le moteur synchrone :

Formule 4.45 ϕcos⋅⋅⋅= IUP célec 3 , où Uc (tension efficace composée de l’alimentation triphasée) est constante, I (courant efficace de chacune des 3 phases) varie en fonction du couple fourni, cosϕ (facteur de puissance) tient compte du déphasage entre courant et tension.

Formule 4.46 ω⋅= arbrearbre MP , où la vitesse ω est la vitesse de rotation du moteur, exprimée en [rad/s] et vaut

( ) [rad/s]p

fs ⋅⋅⋅−=

πω 21 (voir Formule 4.44

Formule 4.47 élec

arbre

PP

=η ,

où η est le rendement du moteur, tenant compte des pertes ohmiques et des pertes in-ternes de frottement.

Comme pour le moteur à courant continu, les échauffements dépendent essentiellement du carré du courant, donc du carré du couple fourni. Lorsque le moteur doit fournir un couple variable au cours du cycle de fonctionnement de la machine, on peut donc calculer le couple efficace pour faire une première sélection, comme montré au paragraphe 4.4.2.6 pour les moteurs à courant continu.

Attention : En travaillant avec un moteur asynchrone comme avec un moteur synchrone, il faut faire attention à ne pas confondre les différentes expressions de la vitesse de rotation avec la fréquence et la pulsation de l’alimentation électrique triphasée (voir paragraphe 4.5.3).

4.6.3 Démarrage d’un moteur asynchrone

4.6.3.1 Comportement du moteur asynchrone au démarrage

Si l’on connecte soudainement un moteur asynchrone à une alimentation triphasée, par exemple à l’aide d’un interrupteur relié au 400 V / 50 Hz industriel, le courant électrique qu’il absorbe est 4 à 6 fois plus important que le courant nominal du moteur, alors que le couple mécanique disponible n’est que de ~40% du couple nominal. Comme le montre la Figure 4.72, ce couple peut être suffisant pour accélérer le moteur de l’arrêt jusqu’à son point de fonctionnement. La condition est que le couple demandé par la charge soit tou-jours inférieur à celui produit par le moteur pour toutes les vitesses intermédiaires.

Une telle pointe de courant n’est pas toujours bienvenue, surtout si le moteur est de forte puissance, car il provoque des chutes de tension inacceptables pour les autres utilisateurs du réseau électrique. Les manières de résoudre ce problème de démarrage sont les suivantes :



couple

vitesseNsNBSR20050123_F.des

I

courant

M

Mk

Figure 4.72 Courant d’un moteur asynchrone en fonction de sa vitesse, et en particulier au

démarrage.

4.6.3.2 Démarrage étoile – triangle

Une solution consiste à profiter du fait que, si l’on couple les phases d’une charge triphasée en étoile plutôt qu’en triangle, on divise par le 3 le courant qui les traverse, comme expliqué au paragraphe 3.3.3.

En effet, les moteurs asynchrones sont généralement prévus pour fonctionner avec leurs 3 phases en triangle. Il est alors possible de modifier le couplage pour les mettre en triangle. Le couple de démarrage est bien sûr 3 fois plus faible, comme les courants, mais si le moteur n’est pas trop chargé (ventilateur, pompe fonctionnant à vide), il pourra atteindre et dépasser le seuil de décrochage. A ce moment, il suffit de commu-ter le moteur à nouveau en triangle. Le moteur étant alors lancé, le sur courant qui lui est nécessaire pour atteindre son régime nominal est acceptable.

Ns

couple

vitesse

Mk Y

Md Y

BSR20050123_H.desNs

couple

vitesse

Md

BSR20050123_G.des

Mk

Figure 4.73 Phases d’un moteur asynchrone avec dispositif permettant le démarrage étoile

triangle, ainsi que l’allure du couple disponible avec les 2 modes de couplage.

4.6.3.3 Utilisation de résistances de démarrage

Une façon élémentaire de démarrer un moteur asynchrone consiste à lui ajouter des résistances ou des potentiomètres en série. Actives lors de l’enclenchement, elles sont court-circuitées lorsque le moteur a atteint sa vitesse. Cette manière est peu utilisée, car le couple de démarrage est alors fortement diminué.

Une façon plus souvent utilisée, en particulier avec les gros moteurs dont le rotor bobiné est accessi-ble par des bagues, consiste à ajouter des résistances ou des potentiomètres extérieurs dans les circuits rotoriques. Actives lors de l’enclenchement, elles sont court-circuitées lorsque le moteur a atteint sa vitesse. Cette manière de faire permet de maintenir un couple de démarrage important, car elle revient à déformer la caractéristique de charge du moteur en augmentant le glissement s de manière à ce que le couple de décro-chage corresponde à la vitesse réelle du moteur.



Figure 4.74 Moteur asynchrone à rotor bobiné et à bague, avec ses résistances de démarrage.

4.6.3.4 Utilisation d’un démarreur ou d’un variateur de fréquence

L’utilisation d’un démarreur ou d’un variateur de fréquence permet de démarrer un moteur asynchrone de façon optimale. La fréquence et la tension sont ajustées pour passer progressivement de zéro à leurs valeurs nominales. Ainsi, le moteur travaille en permanence dans sa zone linéaire et fournir un couple élec-tromagnétique proche de son couple nominal, voire de son couple de décrochement. Il peut accélérer avec sa charge jusqu’à la vitesse souhaitée.

Le variateur de fréquence permet en plus de faire travailler le moteur en régime de survitesse, et d’atteindre ainsi jusqu’à 4 fois la vitesse nominale. Comme on ne peut augmenter ni son courant ni sa ten-sion, la puissance électrique fournie doit rester constante. Cela signifie qu’en régime de survitesse, le couple fourni doit diminuer de manière à ce que la puissance mécanique à l’arbre soit approximativement constante. On obtient ainsi une caractéristique à puissance constante.

couple

vitesseNnom Nsurvitesse

Mnom

Msurvitesse

Mk nom

BSR20050123_J.des Figure 4.75 Fonctionnement d’un moteur asynchrone en survitesse. Au-delà de la vitesse no-

minale Nnom, le couple que le moteur peut fournir en permanence doit diminuer de manière à ce que la puissance reste constante. Il est possible de faire travailler momentanément le moteur en surcharge, pour autant que le couple de décroche-ment Mk ne soit pas dépassé. Celui-ci diminue également lorsque la vitesse est supérieure à Nnom.



4.6.4 Moteur asynchrone monophasé

Ce moteur est très similaire au moteur asynchrone, sauf qu’il ne comporte qu’un seul enroulement au stator et qu’il est alimenté en tension monophasée. Ce principe est intéressant par la simplicité de son ali-mentation pour des puissances jusqu’à ~1 kW. Il est utilisé pour de nombreux appareils électroménagers. En comparaison avec le moteur DC à excitation série également alimenté en monophasé, il pose moins de pro-blèmes d’entretien puisqu’il ne comporte pas de collecteur.

Le champ magnétique produit par le stator est un champ pulsant, et non pas un champ tournant. Le rotor est donc incapable de démarrer. Toutefois, s’il reçoit une première « chiquenaude » et commence à tourner, alors le rotor peut accélérer comme s’il y avait un champ tournant. Sa caractéristique ressemble à celle du moteur asynchrone.

Pour créer cette chiquenaude, les moteurs de ce type disposent d’une astuce constructive qui inter-vient à la mise sous tension. Il s’agit souvent d’un enroulement supplémentaire alimenté en parallèle avec l’enroulement principal, en série avec un condensateur.



4.7 Moteur pas à pas (Source de toutes les illustrations, sauf autre mention : HEIG-VD – Cours de Marc Correvon)

Le moteur pas à pas est apparu vers les années 1970. Il doit en effet être alimenté par des impulsions électriques qui ne peuvent être réalisées qu’avec des composants électroniques, et ceux-ci ne sont apparus qu’à cette époque.

Figure 4.76 Moteur pas à pas et son alimentation

Cette technologie est intéressante pour les mouvements dont on veut contrôler la position à tout ins-tant. Il n’est pas nécessaire d’ajouter de capteur de position, car le moteur lui-même se comporte comme un capteur incrémental. De tels moteurs ne sont cependant disponibles que pour des puissances inférieures à ~200 W. On les trouve ainsi sur toutes les machines qui requièrent des mouvements point à point de faible puissance et pour lesquels une précision de ~10 degrés angulaire suffit, comme dans l’assemblage de petits appareils.

De fabrication relativement simple, ces moteurs peuvent être fabriqués à des prix dérisoires, de l’ordre de quelques francs. C’est pourquoi on les trouve aussi pour tous les petits systèmes automatiques, par exemple pour le réglage des rétroviseurs des automobiles. C’est aussi le moteur qui est utilisé dans les mon-tres et pendules à quartz.

Le moteur pas à pas est une variante du moteur synchrone. Au lieu d’être alimenté à tension alterna-tive de fréquence constante, les enroulements du stator sont connectés à un générateur d’impulsions. Cha-que impulsion électrique reçue se traduit par la rotation d’un pas du rotor.

De tels moteurs présentent jusqu’à 200 pas par tour. En fonctionnement normal, leur vitesse de rota-tion ne dépend que de la fréquence des impulsions électriques fpulse, ainsi que du nombre de pas par tour Npas.

Formule 4.48 [r/min]ou[rad/s]pas

pulse

pas

pulse

Nf

NN

f ⋅=

⋅=

602πω

Le couple produit par ces moteurs dépend de beaucoup de facteurs constructifs. C’est la raison pour laquelle il est préférable de se référer aux caractéristiques fournies par les fabricants, et en particulier à leur caractéristique de charge couple – vitesse.

On distingue 3 technologies, qui se différencient par la présence ou non d’aimants au rotor.



Le moteur pas à pas à réluctance variable comporte un rotor homogène en fer doux. Fonctionnant selon le même principe que les relais à électro-aimants, il se déplace de manière à ce que le parcours du champ magnétique en-dehors du fer soit aussi court que possible.

1

3 2 3 2

1

αpm

3 2

11

3 2 3 2

1

αpm

3 2

1

Figure 4.77 Rotation du rotor d’un moteur pas à pas réluctant, lorsque les phases du stator

sont alimentées l’une après l’autre

Lorsque la phase no 1 est alimentée, le rotor se place comme indiqué en 0, à gauche, car c’est ainsi que les lignes de forces peuvent circuler dans du fer avec un chemin à l’air libre le plus court possible. Lors-qu’on alimente la phase no 2, le rotor pivote afin que les nouvelles lignes de force circulent dans les mêmes conditions. Et ainsi de suite. Il convient de remarquer qu’un tel moteur n’a pas forcément 3 phases au pri-maire. La plupart d’ailleurs n’en ont que 2, décalées de 90 degrés.

Tant que le courant est stable, dans une seule phase, il exerce un couple de rappel sur le rotor. En ef-fet, si celui-ci s’écarte de sa position d’équilibre sous l’action d’un couple extérieur, le couple électromagnéti-que augmente en fonction de l’écart angulaire. Si le couple extérieur est trop important cependant, le moteur décroche, et cherche à se stabiliser sur la position d’équilibre suivante (½ tour plus loin dans le cas de la Figure 4.79).

Il est important de remarquer que, pour les moteurs réluctants, le couple de rappel est indépen-dant du sens du courant.

Figure 4.78 Couple de rappel d’un moteur pas à pas réluctant

DÉFINITION 4.15 : Le pas d’un moteur pas à pas est la distance angulaire parcourue lorsque l’on commute le courant d’une phase à la suivante. Il se mesure en degrés.

Ainsi, le moteur de la Figure 4.79 compte 6 pas par tour. Il a un pas de 60°. Il est possible de diminuer le pas en augmentant le nombre de bobines par phase, comme le montre

la Figure 4.79.



Alimentationde la phase 1

1

1'


2

2'


3'

3


1

1'


1

1'


2

2'


2

2'


3'

3


3'

3

Figure 4.79 Rotation du rotor d’un moteur pas à pas réluctant à 2 bobines par phase, lorsque

les phases du stator sont alimentées l’une après l’autre – ce moteur a un pas de 30°, et compte ainsi 12 pas par tour

Une particularité de ce type de moteur est que l’on peut diminuer encore le pas en crénelant le rotor, comme le montre la Figure 4.80. Il est ainsi possible d’augmenter le nombre de pas jusqu’à ~200 pas par tour.


1

1'


1

1'


3

3'


3

3'


αm

2

2'


αm

2

2'


sont alimentées l’une après l’autre – ce moteur, dont le rotor est crénelé, a un pas de 7,5°, et compte 48 pas par tour

Le moteur pas à pas à aimants permanents comporte un rotor aimanté. Son principe de fonction-nement est proche du moteur réluctant. Toutefois, le sens du courant influence le sens du couple produit.

1

3 2

N

S

1

3 2

N

S

αpm

N

S

3 2

11

3 2

N

S

1

3 2

N

S

αpm

N

S

3 2

1


sont alimentées l’une après l’autre

Le couple de maintient ressemble également à celui du moteur réluctant. Ce moteur présente une par-ticularité intéressante : Il subsiste un couple de rappel, certes plus faible, même si l’alimentation est décon-nectée.



Figure 4.82 Couple de rappel d’un moteur pas à pas à aimants permanents – On distingue le

couple de détente, qui est indépendant des alimentations

Il existe plusieurs variantes constructives du moteur pas à pas à aimants permanents. Certaines sont particulièrement économiques à produire (env. 2.00 CHF).

Phase 1

Phase 2

Stator 1

Rotor

Stator 2

Figure 4.83 Exemples constructifs de moteurs pas à pas à aimants permanents

Le moteur pas à pas hybride combine les deux technologies et en cumule les avantages. C’est ac-tuellement le plus utilisé des moteurs pas à pas.

1

1'

22'

NSN

NN

NN

N

NN

N

SS

S

S S

SS

S

S

AimantN

S

Figure 4.84 Exemple constructif d’un moteur pas à pas hybride



La Table 4.2 permet de comparer ces 3 types de moteurs pas à pas.

réluctance variable aimants permanents hybride Résolution

(nb. de pas par tour) bonne moyenne élevée

Influence sens des courants / sens de rotation

non oui oui

Fréquence des impulsions grande faible grande Puissance quelques W ~10 à~50 W quelques kW

Maintien sans courant non oui oui

Table 4.2 Propriétés des moteurs pas à pas La performance des moteurs pas à pas dépend en grande partie de leur alimentation. Les modèles les plus simples fonctionnent au pas (full-step en anglais). Ils permettent d’imposer un

courant, généralement continu, sur une phase, puis sur la suivante, puis dans la 1ère phase, mais en sens inverse, puis dans la 2ème également en sens inverse. En général, ils permettent de commander des moteurs pas à pas biphasés. Dans le cas du moteur de la Figure 4.79, celui-ci fera 1 tour complet par cycle. Un mo-teur comportant plus de pas nécessitera plusieurs cycles d’alimentation pour faire un tour.

u1, i1

u2, i2

N

S

N S

N

S

NS

N

S

Rotor

Stator

t

t

Figure 4.85 Alimentation par pas « full-step »



Comme variante, des alimentations permettent de commuter le courant de manière à ce qu’il circule dans 1 ou dans 2 phases alternativement. On parle alors d’un système au demi-pas (half-step en anglais).

u1, i1

u2, i2

N

S

Rotor

Stator

t

t

N

S

N S

N

S

N

S

N

S

NS

N

S

Figure 4.86 Alimentation par demi pas « half-step »

Des alimentations plus sophistiqués permettent de moduler le courant dans chaque phase dans une relation sinus – cosinus. Par combinaison des champs magnétiques produits par ces courants dans les en-roulements, il est ainsi possible d’immobiliser le rotor dans une multitude de pas intermédiaires. On parle alors d’un système micro pas (micro-step en anglais).

i1, i2

t0

1

2

3

4

56

78 9

Figure 4.87 Alimentation par micro pas « micro-step »



Les moteurs pas à pas sont extrêmement intéressants par leur coût et leur facilité de mise en œuvre. Ils permettent de réaliser des systèmes positionnés sans capteur ni régulateur, simplement par comptage des impulsions générées et fournies au moteur. Ils souffrent cependant de deux inconvénients majeurs :

• La puissance disponible est faible, soit ~200 W au maximum • Leur couple diminue rapidement avec la vitesse. Il n’est ainsi pas exceptionnel qu’à 125 tours

par minute, le moteur ne puisse fournir que la moitié de son couple à l’arrêt. Ainsi, le moteur pas à pas peu être utilisé pour positionner différents organes de machines, mais il ne

peut pas les déplacer avec la dynamique, c'est-à-dire avec les accélérations et la rapidité d’un servomoteur.



4.8 Moteurs électriques spéciaux

4.8.1 Électro-aimants

L’électro-aimant permet de créer un champ magnétique à partir d’un courant, comme nous l’avons vu au paragraphe 4.3.1. Il permet donc de faire apparaître et disparaître ce champ simplement en enclenchant et en déclenchant son courant. Comme tout champ magnétique attire des objets ferreux, l’électro-aimant permet d’y appliquer une force et de la faire disparaître. C’est ainsi que l’électro-aimant, combiné à un res-sort de rappel, peut être considéré comme le plus simple des actionneurs électriques, même s’il n’est géné-ralement pas classé parmi les moteurs.

i(t)B(t)

BSR20060206_A.des

F(t)

F(t)

Figure 4.88 L’électro-aimant fait apparaître une force sur un barreau en fer doux placé à

proximité

En fait, tout se passe comme si l’induction B(t) créée par le courant i(t) cherchait à réduire le par-cours des lignes de force en dehors du fer. Le système cherche à réduire ce qu’on appelle la réluctance du circuit magnétique.

On pourrait démontrer que la force dépend de i2(t). Elle est donc toujours positive quel que soit le sens du courant, et cherche toujours à rapprocher le barreau de l’électro-aimant.

Ce n’est que si l’on remplace le barreau en fer doux par un aimant permanent qu’il devient possible d’influencer le sens de la force créée par le courant, en fonction de son sens.

Les utilisations comme actionneur de l’électro-aimant sont principalement : • Les relais et contacteurs

Le barreau mobile entraîne des contacts électriques qui ainsi se ferment et se rouvrent en fonc-tion du courant circulant dans la bobine. Ils permettent la commande d’appareils électriques de toutes puissances, alimentés en tension continue, alternative ou triphasée, à partir d’un signal de commande issu par exemple d’un automate programmable. Les relais sont également utilisés pour isoler les circuits de commande de ceux de puissance, essentiellement aux fins d’améliorer la sécurité.



• Les distributeurs Les mouvements du barreau mobile peuvent ouvrir et fermer des circuits pneumatiques et hy-drauliques. Les distributeurs permettent donc de commander ces actionneurs à partir des si-gnaux de commande de l’automate.

• L’orientation du flux des matériaux Le barreau mobile entraîne des branchements mécaniques ou « aiguillages », ce qui permet par exemple d’éjecter les pièces défectueuses d’une production en série. Cette technique est également utilisée dans d’autres processus de guidages.

• Le soulèvement de matériaux ferreux L’électro-aimant peut être utilisé comme préhenseur, c'est-à-dire pour saisir des pièces en fer afin de les déplacer ou de les usiner. Un exemple d’application est la grue dans certaines dé-chèteries.

4.8.2 Moteur à bobine mobile (voice-coil motor)

Le moteur à bobine mobile fonctionne un peut comme un relais « à l’envers » : Au lieu que ce soit du fer qui bouge sous l’action du courant circulant dans une bobine fixe, c’est la bobine elle-même qui coulisse et le fer qui reste fixe. La bobine est fixée à l’organe de machine qui se déplace, et lui transmet la force élec-tromagnétique. Il est plus simple que d’autres moteurs, du fait qu’il n’a qu’une seule bobine à alimenter et ne requiert aucun réducteur pour créer des mouvements linéaires. Son principe constitue la base des haut-parleurs permettant la reconstitution des sons jusqu’à plus de 20 kHz. C’est pourquoi il est appelé en anglais voice-coil motor.

Figure 4.89 Moteur à bobine mobile

(Source : HEIG-VD – Cours de Marc Correvon)

Ce type de moteur ne peut être utilisé que pour des déplacements de faible course (< 5 cm), par exemple sur les machines de wire bounding (placement et soudure des connexions électriques sur les puces de silicium des composants électroniques). Il se caractérise par sa très faible masse en mouvement et pré-sente des temps de réponse de l’ordre de 10 μs, ce qui lui permet d’atteindre des accélérations très élevées. La force qu’il peut produire est limitée à ~100 N. Comme sa masse en mouvement est très faible, son accé-lération peut atteindre 500 m/s2.



4.8.3 Moteur linéaire

Le moteur linéaire fonctionne sur le principe du servomoteur synchrone à aimants permanents, qui est en quelque sorte « déroulé ». Il permet de réaliser directement des mouvements linéaires, c'est-à-dire sans aucun réducteur. Constitué d’un mobile, comprenant les bobinages, et d’une voie, qui comprend les ai-mants permanents, il est souvent livré en kits, donc sans éléments de guidage. L’une des parties est assem-blée au bâti de machine, alors que l’autre est assemblée à l’organe mobile.

La voie du moteur linéaire peut avoir jusqu’à quelques mètres de longueur. Sa force peut atteindre 2'500 N, permettant d’atteindre des accélérations de 200 m/s2, soit 20 fois l’accélération terrestre ! En guise de comparaison, il ne peut atteindre qu’un dixième de la densité d’énergie des actionneurs hydrauliques. Mais, offrant offrent une rapidité de réaction cent à mille fois supérieure, il leur est largement préférés pour les machines de production.

Comme les servomoteurs synchrones à aimants permanents, le moteur linéaire ne peut être utilisé qu’avec un servo amplificateur. Une règle de mesure (capteur linéaire de position), est souvent nécessaire pour la régulation. Comme cet élément constitue une part importante du prix de l’ensemble, il faut prendre garde à choisir le modèle qui offre la précision requise, sans plus.

Figure 4.90 Exemples de moteurs linéaires

(source : Etel SA- CH)

Comme le moteur linéaire peut pratiquement être intégré à la machine et à la charge, la machine est plus compacte et ne présente que des fréquences de résonance mécaniques élevées. Il se distingue en cela des moteurs rotatifs traditionnels qui, fixés à la charge par l’intermédiaire d’accouplements et de réducteurs, créent des jeux et des résonances mécaniques à fréquence faibles. Combiné au fait qu’il permet de réaliser des accélérations très élevées, le moteur linéaire permet de réaliser des entraînements très dynamiques et précis pour des machines à hautes cadences de production, comme les machines à percer les circuits im-primés de l’industrie électronique. Finalement, il ne présente que très peu d’usure.

Autre particularité intéressante : Cette technologie permet d’utiliser plusieurs mobiles sur une seule voie, un peu comme des trains roulant sur une seule ligne. Cette possibilité est souvent utilisée en manuten-tion.

Par contre, ce moteur est difficile à mettre en œuvre. Seule une excellente collaboration entre le four-nisseur (électricien) et le concepteur (mécanicien) de la machine permet de concrétiser tous les avantages de rapidité et de précision.



4.8.4 Moteur rotatif direct – moteur couple

Le moteur rotatif direct, appelé parfois moteur couple, est caractérisé par le fait qu’il transmet directe-ment son couple électromagnétique à l’organe de machine, sans aucun réducteur.

Comme le moteur linéaire, il est utilisé comme servomoteur lorsque la productivité de la machine exige des mouvements très dynamiques. L’absence d’accouplement limite l’inertie des masses en mouve-ment au strict nécessaire, et repousse les fréquences de résonance à des valeurs au-delà du kilohertz, ce qui permet de réaliser des entraînements à la fois très rapides et très précis.

Son diamètre est compris entre 10 cm et 1,2 m, pour un couple de 1 à 5'000 Nm. Sa vitesse de rota-tion est généralement lente (60 à 600 r/min). Présentant le même type d’avantages constructifs et d’inconvénients que le moteur linéaire, il est utilisé par exemple pour l’entraînement du carrousel des centres d’usinage.

Autre particularité intéressante : Le moteur couple offre généralement un arbre creux, caractéristique parfois indispensable au fonctionnement de la machine.

Figure 4.91 Exemple d’un moteur rotatif direct (rotor et stator séparés)

(source : Etel - CH)



4.8.5 Moteur linéaire « verrin »

Le moteur linéaire « verrin » est à la base un moteur linéaire fonctionnant également sur le principe du servomoteur synchrone. La différence réside dans la forme de la voie, constituée d’une tige contenant les aimants permanents, et qui coulisse à l’intérieur d’un tube comprenant les bobinages. Il permet de réaliser des mouvements linéaires jusqu’à 14 cm d’amplitude. Sa force peut atteindre 100 N, permettant également d’atteindre des accélérations de 200 m/s2.

Ce type de moteur est généralement livré complet, capteur linéaire de position inclus. Sa mise en œu-vre n’est pas plus compliquée que celle d’un vérin pneumatique, tout en offrant des temps de réaction plus rapide et la possibilité de contrôler exactement la vitesse et les accélérations pendant les mouvements.

Son inconvénient majeur réside dans le fait qu’il n’y a actuellement qu’un fournisseur. Son prix est at-tractif par rapport aux autres entraînements électriques, mais nettement plus élevé qu’un vérin pneumatique.

L’utilisation typique est l’orientation hyper rapide du flux des produits manufacturés, comme par exemple le rejet des pièces défectueuses. On le trouve également pour le positionnement précis de pièces dans des machines d’assemblage.

Figure 4.92 Principe d’un moteur linéaire verrin

(source : Linmot – CH)



4.8.6 Actionneur et moteur piézo-électriques

La piézo-électricité est la capacité de certains matériaux à se polariser lorsqu’ils sont contraints méca-niquement. La tension apparaissant entre leurs surfaces est proportionnelle à la déformation engendrée. Comme pour une pile, cette tension piézo-électrique est susceptible de faire circuler un courant électrique dans un circuit extérieur.

Cet effet est un phénomène propre à certains types de cristaux (ex : le quartz) ou de céramiques ani-sotropes.

L’effet piézo-électrique est réversible. Dans les actionneurs, une déformation ou une vibration est ob-tenue par application d’une tension électrique entre 2 surfaces opposées.

L’actionneur piézo-électrique exploite les déformations mécaniques générées par effet piézo-électrique inverse pour créer des très petits mouvements linéaires. Le moteur piézo-électrique exploite ces déformations mécaniques pour l’entraînement par contact de sa partie mobile.

Figure 4.93 Principe de fonctionnement d’un actionneur et d’un moteur piézo-électriques (sources : CEDRAT – FR et EFPL - CH)

L’actionneur et le moteur piézo-électrique se distinguent par : • la faible ampleur de leurs mouvements (quelques microns pour les actionneurs, jusqu’à

~100 mm pour les moteurs) ; • leur résolution pratiquement illimitée, d’où leur intérêt pour les nanotechnologies ; • leur très grande force de maintien à l’arrêt, hors de toute alimentation ; • leur faible force motrice (actuellement limitée à ~50 Nm) ; • leurs très faible masse en mouvement, ce qui explique leurs temps de réponse extrêmement

rapides (~10 μs) ; • leur insensibilité aux champs magnétiques.

L’actionneur et le moteur piézo-électrique sont encore au stade du prototype. Ils commencent à être utilisés comme moyen de réglage fin ou dans les cas où l’on désire exercer un grand effort de maintien. Leurs utilisations possibles sont les nano positionnements en mécanique et en microélectronique, la généra-tion d’ultrasons, et certaines applications aéronautiques. Ils commencent à être considérés pour des applica-



tions industrielles à faible vitesse et très brefs temps de réaction (~10 μs), où des contraintes sévères de légèreté et de fiabilité doivent être satisfaites.

La Figure 4.94 montre un exemple d’actionneur piézo-électrique conçu pour des applications liées à l’aérospatiale. Il exerce une force de maintien de 50 N pour une course maximale de 3 mm; sa masse est de 350 g.

Figure 4.94 Prototype d’un moteur piézo-électrique pour l’aérospatiale

(source : SATIE ENS-Cachan et CEDRAT - FR)



4.9 Récapitulation

La table ci-dessous résume les caractéristiques des moteurs électriques conventionnels :

Technologie Pmax Alimentation Utilisations en tout ou rien

Utilisations à vitesse variable

Type de convertisseur

Moteur DC à ai-mants permanents

~10 kW DC uniquement si < ~50 W

vitesse variable, contrôle de position

variateur de tension DC, servo amplifica-teur

Moteur DC à excitation séparée

~4 MW DC production d’électricité 1

bobinage / débobinage (imprimeries, etc.)

variateur de tension DC

Moteur DC à excitation série (en AC 162/3 Hz) (en AC 50 Hz)

~4 MW

~1 MW

<500W

DC

AC / 1~

AC / 1~

chemins de fer chemins de fer ventilateurs, outils, électroménager

chemins de fer chemins de fer idem, mais réglées en vitesse

variateur de tension variateur de tension variateur de tension

Moteur synchrone à aimants permanents

~20 kW AC / 3~ production d’électricité 2

vitesse variable, contrôle de position

variateur de fré-quence, servo ampli-ficateur

Moteur synchrone à excitation séparée

1'600 MW AC / 3~ production d’électricité 2

vitesse variable variateur de fré-quence

Moteur asynchrone ~25 MW AC / 3~ ventilateurs, compresseurs, pompes, convoyeurs, outils rotatifs, broches

idem, mais réglé en vitesse, utilisé parfois comme servomoteur

variateur de fré-quence, servo amplificateur

Moteur asynchrone monophasé

~1 kW AC / 1~ électroménager idem, mais réglé en vitesse

variateur de fré-quence

Moteur pas à pas ~200 W spéciale vitesse variable, contrôle de position

générateur d’impulsions

Table 4.3 Emploi des diverses technologies de moteurs électriques NOTE 1 : Démarrage en DC constant impossible sans variateur ou sans résistances de démarrage. Utilisé comme

générateur, c’est la turbine qui assure le démarrage.

NOTE 2 : Démarrage en AC / 3~ impossible, sauf si équipé pour démarrage en asynchrone. Utilisé comme alterna-teur, c’est la turbine qui assure le démarrage ; la connexion au réseau n’est réalisée que lorsque il tourne en synchronisme (même vitesse, même phase).






Chapitre 5

Inductance, condensateur, régime transitoire

5.1 Bases physiques et mathématiques

5.1.1 Les régimes transitoires en physique générale

5.1.1.1 Définitions – Considérations d’énergies

DÉFINITION 5.1 : Un système physique est dans un état stable lorsqu’il n’est soumis à aucun échange d’énergie avec l’extérieur. On dit aussi qu’il est au repos.

NOTE : Défini ainsi, un système qui oscille à fréquence et amplitude constante, sans pertes, est également considéré comme étant dans un état stable malgré cette oscillation. Par exemple, un pendule qui oscillerait indéfiniment dans le vide est un système physique en état stable. En effet, la transformation cyclique d’énergie cinétique en énergie potentielle et vice-versa se produit sans échanges avec l’extérieur de ce système. Cet aspect n’est toutefois pas traité dans ce chapitre.

DÉFINITION 5.2 : Lorsqu’un système physique passe d’un état stable à un autre état stable, il y a échange d’énergie. Pendant ce changement, on dit que le système physique est en régime transitoire.

Lorsqu’un système physique passe d’un état stable à un autre état stable, il y a donc automatique-ment échange d’énergie. Et réciproquement, si l’on apporte ou retire de l’énergie à un système physique, son état change.

EXEMPLE 1 De l’eau stockée dans un lac artificiel de montagne est dans un état stable. Elle dispose d’une énergie potentielle

donnée par : hgmEpot ⋅⋅= , où m est la masse d’eau, h sa hauteur (relativement au niveau de la mer, par exemple), et g est

l’accélération terrestre.



Si cette eau est totalement turbinée pour fabriquer de l’électricité, cette masse d’eau passe de l’altitude hlac à l’altitude hvallée. Son énergie potentielle diminue donc de

( )valléelacvalléepotlacpotpot hhgmEEE −⋅⋅=−=Δ

EXEMPLE 2 Un projectile lancé à vitesse constante, dans le vide, est également considéré comme étant dans un état stable,

car il n’est soumis à aucune accélération. Il dispose d’une énergie cinétique donnée par : 2

21 vmEcin ⋅⋅= , où m est la masse du projectile, et v sa vitesse à l’instant considéré.

Si la vitesse de ce projectile passe de la vitesse v1 à la vitesse v2, quelle que soit la raison de ce changement, son énergie cinétique change de la quantité

( )22

2121 2

1 vvmEEE cincincin −⋅⋅=−=Δ

Pour que cette relation soit rigoureusement exacte, il faut que les deux vitesses aient été mesurées à partir du même référentiel.

EXEMPLE 3 Un objet bien isolé est dans un état thermique stable. Son énergie thermique est donnée par :

TcmE mthermique ⋅⋅= , où m est la masse de l’objet, cm sa chaleur massique en [J/kgK], et T sa température abso-lue en [K].

Si la température de cet objet est modifiée, passant de la température T1 à la température T2 sous l’action d’un chalumeau, par exemple, son énergie thermique change de la quantité

( )21 TTcmE mthermique −⋅⋅=Δ

5.1.1.2 Durée des régimes transitoires – considérations de puissances

Comme le passage d’un système physique d’un état à un autre est lié à un échange d’énergie avec l’extérieur, on peut calculer la puissance moyenne relative à cet échange. Cette puissance dépend de la quantité d’énergie échangée, mais aussi du temps pendant lequel ce transfert a lieu.

Comme nous l’avons vu au paragraphe 1.4.5, la puissance moyenne est donnée par :

Formule 5.1 tEPmoyenne Δ

Δ=

Cette considération en apparence anodine a une conséquence importante : Un changement d’état ne peut être instantané, car sinon, l’échange d’énergie se ferait en un laps de temps nul et la puissance asso-ciée à cet échange serait infinie. Aucun système physique n’en est capable. Même une explosion n’est pas instantanée !

Loi :

Les changements d’état d’un système physique ne peuvent être instantanés.



5.1.2 Bases mathématiques

5.1.2.1 La fonction exponentielle

Parmi toutes les fonctions utilisées par les mathématiciens, il y en a une qui joue un rôle essentiel dans tous les phénomènes physiques, puisqu’elle permet d’en modéliser les régimes transitoires. Il s’agit de la fonction exponentielle xexy =)( , ou le nombre réel e, baptisé « exponentielle » par le mathématicien suisse Leonhard Euler en 1770 et « nombre d’Euler » par ses successeurs, est le résultat du calcul aux limi-tes suivant :

Formule 5.2 ...235045459828281718,211lim ≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+∞→

n

n ne

Cette fonction présente une particularité importante : Pour toutes valeurs de x, sa valeur y(x) est égale à la pente de cette fonction au point considéré, donc à sa dérivée, ce que l’on peut écrire

Formule 5.3 ( ) xx ee =′

0 1 2-1-2-3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

BSR20060131_A.des

1

1

ex

ex

x

e = 10

Figure 5.1 Fonction exponentielle et évaluation de sa pente en 2 points

Valeurs particulières : 10 =e , 0lim =−∞→

x

xe et +∞=

+∞→

x

xelim .

La fonction exponentielle obéit aux règles suivantes :

Formule 5.4 0e:x x >∀

Formule 5.5 yxyx eee +≡⋅

Formule 5.6 ( ) yxyx ee ⋅≡



EXEMPLE Une banque vous propose une affaire mirobolante : Si vous investissez CHF 1.00, elle vous garantit un taux

d’intérêt de 100% l’an.

Si l’intérêt vous est crédité en une seule fois à la fin de l’année, la banque vous devra CHF 2.00 en fin d’année, soit CHF 1.00 pour le capital initial et CHF 1.00 d’intérêt. C’est la valeur exprimée par 111 +=anC .

Si l’intérêt vous est crédité en deux fois à la fin de chaque semestre, la banque vous créditera CHF 0.50 d’intérêt après 6 mois, qui s’ajouteront à votre dépôt initial, et porteront eux-mêmes intérêt. A la fin du 12ème mois, la banque vous créditera donc de CHF 0.75 d’intérêt supplémentaire, ce qui portera votre fortune en dépôt à CHF 2.25. C’est la valeur ex-

primée par 2

2 211 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=semestreC .

Si l’intérêt vous est crédité en six fois à la fin de chaque 2ème mois, un calcul similaire montrerait qu’à la fin du 12ème

mois, votre fortune en dépôt atteindrait CHF 2.52. C’est la valeur exprimée par 6

26 611 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=moisxC .

Si l’intérêt vous était crédité de façon quasi continue, par exemple chaque heure, votre fortune en dépôt atteindrait

presque le nombre d’Euler, soit CHF 2.718. C’est la valeur exprimée par 760'8

18760 760'811 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=heuresxC .

Les expressions permettant de calculer la valeur du dépôt en fin d’année sont identiques à celle du nombre d’Euler (Formule 5.2), le nombre n prenant des valeurs de plus en plus grandes. Nous constatons que plus n devient grand, plus le résultat se rapproche de la valeur numérique du nombre d’Euler.

5.1.2.2 La fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien est la fonction inverse de la fonction exponentielle :

Formule 5.7 yyxexy x ln)()( =⇔=

BSR20060131_C.des

y(x)

1

ln 2

0

-1

-2

1 2 3 x

Figure 5.2 Fonction logarithme naturel

Valeurs particulières : 01ln = , −∞=→

xx

lnlim0

et +∞=+∞→

xx

lnlim



La fonction logarithme naturel obéit aux règles suivantes : Formule 5.8 ( )yxyx ⋅=+ lnlnln

Formule 5.9 xe x =ln Il faut remarquer que la fonction xln n’est définie que pour 0>x .

5.1.2.3 La fonction exponentielle décroissante au cours du temps

Dans ce chapitre sur les régimes transitoires, nous cherchons à décrire le comportement de certaines valeurs physiques au cours du temps. L’état initial est généralement celui qui est valide jusqu’à l’instant

0=t . A ce moment commence le régime transitoire. Ces valeurs tendent progressivement vers d’autres valeurs finies qui correspondent à l’état final.

Dans la plupart des cas, ces variables évoluent rapidement au début, puis de plus en plus lentement vers leurs valeurs finales.

Pour cette raison, nous nous intéressons tout particulièrement à la fonction exponentielle décrois-sante, fonction du temps, représentée par la Figure 5.3, et répondant à la ci-dessous :

Formule 5.10 τt

etx−

=)( , où t est l’instant considéré, exprimé en secondes [s], et τ est une constante de temps rigoureusement positive ( 0>τ ), également exprimée en secondes [s]

t

x(t)

0

1

2

e-2e-1

BSR20060131_B.des Figure 5.3 Fonction exponentielle décroissante au cours du temps

Valeurs particulières : 1)0(x = , 37,0e)(x 1 ≅= −τ , 14,037,0e)2(x 22 ≅≅= −τ , +∞=

+∞→x

xlnlim .

Il convient de remarquer : • La pente de l’exponentielle décroissante est toujours négative. • Les deux expressions à gauche et à droite du signe « = », dans la Formule 5.10 n’ont aucune

dimension physique. On dit que ce sont des nombres sans unité.



En appliquant les règles du calcul des dérivées, on montre que la pente de cette fonction vaut

Formule 5.11 ττ

τ

tt

ee−−

⋅−=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 1

Il en résulte que, pour chaque instant t, la tangente à l’exponentielle décroissante coupe l’axe des abscisses au temps ( )τ+t . En d’autres termes, après chaque laps de temps égal à la constant de temps τ, la valeur de l’exponentielle décroissante diminue d’un facteur correspondant à 37,0e 1 =− .

Comme le montre la Figure 5.3, cette fonction prend les valeurs du tableau ci-dessous :

t τt

etx−

=)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−τt

etx 1)( Remarque

→ -∞ → +∞ → -∞ < 0 > 1 < 1

Cette partie de la fonction ne nous intéresse pas.

0 1 0

τ 0,368 0,632 ~63% de la transition

2 ⋅ τ 0,135 0,865

3 ⋅ τ 0,050 0,950 à ~5% de l’état final

4 ⋅ τ 0,018 0,982

5 ⋅ τ 0,007 0,993 à < 0,1 % de l’état final

→ +∞ → 0 → 1

Table 5.1 Quelques valeurs de la fonction exponentielle décroissante

EXEMPLE 1 Vous avez placé vos économies, soit CHF 100’000, dans un bas de laine, et elles ne rapportent donc aucun inté-

rêt. Chaque année, vous en prélevez 73% de ce qui reste. Vos soldes annuels prendront successivement les valeurs sui-vantes : 100’000, 37'000, 13'690, 5'065, 1'874, 693, 257, 95, 35, 13, 5, 2, …

Dans cet exemple, le solde après la 1ère année est de 37%, ce qui correspond approximativement à 1−e . Cela cor-respond bien à une fonction exponentielle décroissante, dont la période de temps τ vaut 1 année.

EXEMPLE 2 Une substance radioactive est généralement caractérisée par sa demi-vie. Il s’agit du temps nécessaire pour que

sa concentration baisse de moitié. Par exemple, la demi-vie du Plutonium (isotope 239) est de 24'000 ans environ. Cela signifie que pour que la concentration diminue d’un facteur de 1'000, il faut attendre 240'000 ans environ. En effet, en at-tendant 10 demi-vies, la concentration aura été divisée 10 fois successivement par 2, donc par 000'1210 ≅ .

Cette baisse de concentration d’isotope radioactif est bel et bien un phénomène soumis à une courbe exponen-tielle décroissante. On peut même calculer la constante de temps de ce phénomène comme suit :

an000'36693,0000'24

5,0ln5,0ln5,0 ≅=

−−

=⇒=−

−⇒=−

− viedemiviedemieviedemi

ττ

τ



5.2 Systèmes physiques en régime transitoire

5.2.1 Préalable

La théorie des régimes transitoires fait traditionnellement appel au calcul différentiel, qui n’est abordé qu’ultérieurement dans le programme d’étude. Pour cette raison, au lieu de démontrer physiquement et ma-thématiquement que les régimes transitoires de systèmes linéaires correspondent toujours à des fonctions exponentielles décroissantes, nous allons plus simplement le constater sur la base de quelques exemples, puis généraliser.

5.2.2 Évolution de la température dans une bouteille thermos

5.2.2.1 Première expérience – Échauffement d’une bouteille thermos « sans pertes »

Soit une bouteille thermos dont l’isolation est supposée parfaite, contenant une quantité d’eau m. Supposons qu’elle soit à la température absolue Tin 1. Ce système est stable thermiquement. Son énergie thermique vaut Formule 5.12 11 inm TcmE ⋅⋅= ,

où m est la masse en [kg], et cm la chaleur massique de l’eau en [J/kgK]

T (t)in

BSR20060105_A.des

P (t)in

m

Figure 5.4 Représentation de principe d’une bouteille thermos supposée parfaitement isolée,

avec un corps de chauffe

A l’instant t1, on commence à faire chauffer cette eau à l’aide d’un corps de chauffe incorporé à la bouteille thermos, de puissance constante Pin. L’énergie thermique contenue dans l’eau, à chaque instant, est donnée par la relation Formule 5.13 ( )

4342143421chauffedecorpsdueffet

in

départauénergie

inm ttPTcmtE 11)( −⋅+⋅⋅=

Cette relation permet de calculer à chaque instant la température de l’eau à l’intérieur de ce thermos :



Formule 5.14 ( )11)( ttcm

PTtTm

ininin −⋅

⋅+=

On constate qu’après avoir enclenché le thermostat, la température de l’eau croît linéairement.

Si, plus tard, soit à l’instant t2, on déclenche le corps de chauffe, et que 0)(2

=>ttin tP , la température

atteinte par l’eau à cet instant reste constante : ( )1212 ttcm

PTTm

ininin −⋅

⋅+= .

BSR20060105_B.des

T

t

P (t)in

t1 = 0 t2

P

Pin

T (t)in

Tin 1

Tin 2

0

Figure 5.5 Évolution de la température à l’intérieur d’une bouteille thermos parfaitement iso-

lée

5.2.2.2 Deuxième expérience – Refroidissement d’une bouteille thermos « avec pertes »

Une bouteille thermos n’est en réalité qu’imparfaitement isolée. Admettons les hypothèses suivantes : • La déperdition de chaleur se produit uniquement par conduction thermique. • Ce transfert de chaleur à travers l’isolation est parfaitement linéaire, caractérisé par la résis-

tance thermique Rth, qui est l’inverse du coefficient d’isolation des spécialistes en chauffage. La résistance thermique s’exprime en [K/W].

• La température ambiante Tout est uniforme à l’extérieur du thermos, et rigoureusement cons-tante.

• Par un « moyen quelconque », on maintient la température à l’intérieur de la bouteille thermos à une valeur constante Tin, plus élevée que la température ambiante Tout.

A cause de la conduction thermique, et comme la température à l’intérieur du thermos est constante, nous avons en permanence une puissance thermique constante, transférée de la bouteille thermos à son environnement, et qui vaut :

Formule 5.15 th

outinout R

TTP −=

Ce « moyen quelconque » doit impérativement compenser en permanence la puissance s’échappant du thermos, en vertu du principe de conservation de l’énergie. Ce peut être, par exemple, avec un corps de chauffe qui introduit en permanence une puissance Pin. En vertu du principe de conservation de l’énergie, nous pouvons affirmer que Pin = Pout.



BSR20060105_C.des

P (t)in P (t)out

T (t)in

m

Rth

Tout

Figure 5.6 Représentation de principe d’une bouteille thermos avec corps de chauffe, suppo-

sée parfaitement isolée

A l’instant t1, interrompons cet apport de puissance Pin. Nous savons par observation de cas similai-res, ne serait-ce qu’en laissant sa tasse de café refroidir, que la température de l’eau du thermos va baisser, et qu’après un certain temps, elle atteindra la température ambiante. L’apport de puissance extérieur Pin ayant cessé, nous pouvons affirmer qu’à chaque instant :

• )()( tTcmtE inmin ⋅⋅= (voir Formule 5.12 sur l’énergie thermique d’un corps)

• outoutthin TtPRtT +⋅= )()( (voir Formule 5.15 sur la conduction thermique)

• )(')( tEtP inout −= (définitions de la puissance et de l’énergie, voir Formule 1.17, le signe « - » étant dû au fait que la puissance sortante provoque une baisse de l’énergie interne)

En combinant ces 3 équations, nous obtenons successivement :

outinthin TtERtT +⋅−= )(')(

[ ] outinmthin TtTcmRtT +⋅⋅⋅−= )(')(

( ) outoutinmthin TTtTcmRtT +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−⋅⋅⋅−= )()( (car Tout étant constant, sa dérivée est nulle)

( ) ( )′−⋅⋅⋅−=− outinmthoutin TtTcmRTtT )()(

La différence de température ( )outin TtT −)( est donc une fonction du temps qui est proportionnelle à sa dérivée. Nous avons vu au paragraphe précédent 5.1.2.3 que la fonction exponentielle décroissante ré-pond à cette condition. Sachant que la température à l’intérieur du thermos était stable avant d’interrompre l’apport de puissance Pin, nous pouvons la calculer (Formule 5.16) et la représenter (Figure 5.7).

Formule 5.16 ( ) ( ) ( ) ττt

outinoutin

t

outinoutin eTTTtTeTTTtT−−

⋅−+=⇒⋅−=− 11 )()( , où ( ) [s][J/W][K/W]]Kkg[J/[kg] ==⋅⋅⋅⋅⋅= thm Rcmτ



BSR20060105_D.des

t

T

P (t)out

Pout

T (t)in

Tout

Tin 1

t1 = 0

Pin

0

Figure 5.7 Évolution de la température à l’intérieur de la bouteille thermos réelle, lorsqu’on in-

terrompt le système de maintien de la température à l’instant t1 = 0.

Il convient de remarquer que la température Tin(t) ne fait jamais de « sauts ». Cela correspond bien au fait que l’énergie thermique qui lui est liée ne peut jamais changer instantanément, comme expliqué au paragraphe 5.1.1.2.

Comme la déperdition de chaleur Pout(t) est directement proportionnelle à la différence de tempéra-ture, celle-ci présente la même allure exponentielle, avec la même constante de temps τ. Sa valeur est don-née par :

Formule 5.17 τt

inout ePtP−

⋅=)(

Les explications relatives à cette fonction au paragraphe 5.1.2.3 mettent en évidence que la tempéra-ture prend théoriquement un temps infini pour se stabiliser. En réalité, on peut considérer qu’après 5 fois la constante de temps τ, la température Tin(t) et la puissance Pout(t) sont suffisamment stabilisées, puisque la décroissance exponentielle est à moins de 0,1% de la valeur finale.

Si l’on considère les puissances Pin et Pout(t), on constate ce qui suit : • La puissance Pin est constante pour t < 0, et nulle ensuite. Elle fait un saut brusque, qui corres-

pond au déclenchement du corps de chauffe. • La puissance Pout(t) ne fait aucun saut. Ceci est dû au fait qu’elle est proportionnelle à la diffé-

rence de température ( )outin TT − , qui, elle, ne peut pas faire de saut.

A première vue, il semble que pendant le régime transitoire, le principe de conservation de l’énergie n’est pas respecté, puisque la puissance qui entre dans le système est nulle, alors que celle qui en sort est non nulle. En réalité, cette différence équivaut exactement à l’énergie thermique que perd l’eau en se refroi-dissant. Par sa masse et sa capacité thermique, l’eau en effet accumule et restitue de l’énergie lors-qu’elle change de température. Sur un plan global, la conservation de l’énergie est donc bien réalisée.



5.2.2.3 Troisième expérience – Échauffement d’une bouteille thermos « avec pertes »

Supposons maintenant que l’on remette en fonction le corps de chauffe, et que celui-ci apporte à nou-veau une puissance constante Pin à l’eau du thermos. Contrairement à la première expérience, nous pre-nons cette fois les défauts d’isolation en considération.

Nous pouvons deviner le résultat, à savoir que la température de l’eau va s’échauffer à nouveau, et retrouver la température Tin 1 qu’elle avait au début de la deuxième expérience. Il est même fort probable que l’allure de cette température présentera une certaine symétrie avec celle de la Figure 5.7.

BSR20060105_E.des

t

T (t)in

T Pout

Tout

Tin 1 =Tin 2

Pin

0P (t)out

Figure 5.8 Évolution de la température à l’intérieur de la bouteille thermos réelle, lorsqu’on ré-

tablit le système de maintien de la température à l’instant t1 = 0.

Mathématiquement, ce résultat s’établit comme suit :

• On part de la Formule 5.16 : ( ) τt

outinoutin eTTTtT−

⋅−+= 1)( .

• Comme ( ) inthoutin PRTT ⋅=−1 (voir Formule 5.15), il en résulte :

Formule 5.18 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅+=

−τt

inthoutin ePRTtT 1)(

Il suffit de vérifier que, pour t = 0, l’expression entre parenthèses vaut ( ) 011 =− , et que pour t → ∞, elle tend vers ( ) 001 =− , pour s’assurer que ces équations correspondent bien à la Figure 5.7.

Par ailleurs :

Formule 5.19 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

−τt

inout ePtP 1)(



5.2.2.4 Généralisation

Lorsque, dans un système linéaire conforme à la définition du paragraphe 2.1.3, l’entrée x(t) saute soudainement d’une valeur X1 à une valeur X2, la valeur y(t) saute tout aussi soudainement de la valeur

11 XkY ⋅= à la valeur 22 XkY ⋅= .

EXEMPLE 1 Soit une masse m sur laquelle on exerce une force f(t), dont on mesure l’accélération a(t).

Lorsque la force saute de F1 (constante) à F2 (constante), l’accélération saute de 11 FmA ⋅= à 22 FmA ⋅= .

EXEMPLE 2 Soit une résistance R parcourue par un courant i(t), dont on mesure la tension aux bornes u (t).

Lorsque le courant saute de I1 (constant) à I2 (constant), la tension saute de 11 IRU ⋅= à 22 IRU ⋅= .

Dans les expériences faites au paragraphe précédent, nous constatons des comportements différents, par le fait que la dérivée y’(t) doit rester bornée. Il en va de même dans tous les cas où il y a un phénomène de stockage, le plus souvent d’énergie, couplé à un phénomène de pertes, le plus souvent thermiques. Lors-que l’entrée x(t) saute soudainement d’une valeur X1 à une valeur X2, la valeur y(t) passe également de la valeur 11 XkY ⋅= à la valeur 22 XkY ⋅= , mais de manière progressive.

DÉFINITION 5.1 On dit qu’un système est dans un état stable lorsqu’aucune de ses variables d’entrée x(t) et de sortie y(t) ne varie au cours du temps.

Lorsqu’un système est dans un état stable, l’énergie qu’il contient est constante.

DÉFINITION 5.2 On appelle régime transitoire le passage d’un système d’un état stable à un autre état stable.

Pendant un régime transitoire, la sortie du système est caractérisée par une constante de temps τ. En valeur absolue, la différence entre sa valeur instantanée y(t) et la valeur stable ∞Y vers laquelle elle tend évolue en suivant une courbe exponentielle décroissante.

Formule 5.20 ( )( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−+=≥∀

−−

∞τ

1

1)(: 1211

tt

eYYYtytt

BSR20070815_A.des

t

x(t) y(t)

X1

X 2

0 t1

Y1

Y2

x(t)

y (t)t

Y -2 1 Y > 0

Figure 5.9 Régime transitoire – cas général pour un saut croissant



BSR20070815_B.des

t

x(t) y(t)

X1

X 2

0 t1

Y1

Y2

x(t)

y (t)t

Y -2 1 Y < 0

Figure 5.10 Régime transitoire – cas général pour un saut décroissant

Lors d’un saut de la grandeur d’entrée, le comportement de ce système est le suivant : • Juste avant l’instant t1, le système est dans son état initial, caractérisé par la sor-

tie 11

)( Ytytt

==

. A relever qu’il n’est pas nécessaire que cet état soit stable, et que l’entrée x(t) à cet instant peut être quelconque.

• Juste après l’instant t1 : C’est le début du régime transitoire. Dès ce moment, l’entrée prend sa nouvelle valeur 2

1)( Xtx

tt=

> constante. Par contre, la valeur de la sortie et 1

1)( Yty

tt=

= reste

inchangée. • Le régime transitoire vise à amener le système vers le nouvel état stable ∞2Y , caractérisé par

22 XkY ⋅=∞ .

• Pendant le régime transitoire, la sortie y(t) est donnée par la Formule 5.20. Il est intéressant de constater que ce régime transitoire ne tient aucunement compte de

« l’histoire » du système ». Seul l’état 1Y au moment du changement de la grandeur d’entrée )(tx joue un rôle.

NOTE : La plupart des systèmes réels ont en réalité plusieurs constantes de temps. Il est bien sûr possible de les traiter toutes simultanément. Toutefois, dans la majorité des démarches d’ingénierie, il y a une seule constante de temps dont l’ordre de gran-deur influence le problème traité. On l’appelle la constante de temps dominante. Dans ce cas, il est généralement admissible de négliger l’effet de toutes les autres constantes de temps, ce qui nous ramène au cas traité ici.

5.2.2.5 Cas particuliers

Pour un saut croissant, avec Y1 = 0 :

Formule 5.21 ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

−−

∞τ

1

1)( 2

tt

eYty

Pour un saut décroissant, avec Y2∞ = 0 :

Formule 5.22 ( )

τ1

1)(tt

eYty−

−⋅=



EXEMPLE 3 Un moteur à courant continu, du modèle abordé au paragraphe 4.4.2.6, est caractérisé par sa constante de couple

Tk , sa constante de vitesse TE kk = , par sa résistance interne iR , et son inertie motJ . Sa charge est une simple mas-selotte d’inertie extJ , et on suppose que tous les frottements sont négligeables. On néglige également l’effet de son induc-tance interne.

Il est à l’arrêt complet. A l’instant 0=t , on le connecte à une source de tension DCU . Le courant )(ti qui circule dès lors produit un couple électromagnétique )()( tiktM T ⋅= , donc une accélération ( ) )()( tMJJt extmot ⋅+=α .

Ce système électromécanique comporte un « élément de stockage d’énergie », à savoir l’inertie des masses en ro-tation, ainsi que des pertes, causées par la résistance interne. Il va donc passer d’un état stable (arrêt) à un autre état sta-ble (vitesse établie) en passant par un régime transitoire exponentiel.

Il est caractérisé par son équation de couple, dt

tdJtik totalT)()( ω

⋅=⋅ , et par son équation de tension,

)()( tktiRU EiDC ω⋅+⋅= .

L’état stable initial est caractérisé par 0)( 0 == ωω t , car le moteur est initialement à l’arrêt. L’état stable final est

caractérisé par E

DC

kUt == ∞ωω )( , car il n’y a plus d’accélération et l’on néglige les frottements, ce qui impose un cou-

ple nul, donc un courant nul.

Le régime transitoire est donné par la relation ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

−

∞τωωt

et 1)( .

Pour déterminer la constante de temps τ , une méthode consiste à remplacer )(tω par cette expression dans les éqations de couple et de tension :

τττ

ττ

τ

ωω

ττω

ωω

t

i

DCt

Ei

DCE

i

DCt

i

E

i

DC

i

EDC

t

ET

DCtotalt

T

total

t

T

total

T

total

eR

UekR

UkR

UeRk

RU

RtkUti

ekkUJe

kJ

dt

ed

kJ

dttd

kJti

−−−

∞

−−

∞

−

∞

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

⋅⋅

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅−=

⋅−=

⋅⋅⋅

⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

⋅=⋅=

11)()(

11

)()(

Il en résulte : ττ

ττ

⋅⋅=⇒⋅

⋅⋅⋅

=⋅−−

ET

total

i

t

ET

DCtotalt

i

DC

kkJ

Re

kkUJe

RU 1

Finalement : ET

itotal

kkRJ

⋅⋅

=τ . On constate que la constante de temps est indépendante de la tension appliquée.

Elle augmente avec l’inertie, ce qui semble logique. Elle augmente aussi avec la résistance interne, car celle-ci limite le courant, donc le couple d’accélération. L’influence de Tk s’explique par le fait que les accélérations sont d’autant plus ra-pides qu’il y a du couple à disposition. L’influence de Ek s’explique par le fait que plus cette valeur est importante, moins la vitesse finale est élevée (et donc plus rapidement atteinte).

Cette constante de temps est généralement appelée constante de temps mécanique, par opposition à la cons-tante de temps électrique, qui fait intervenir l’inductance du moteur, et sera abordée au chapitre Chapitre 5 .



5.2.2.6 Quatrième expérience – Changements rapides de régime transitoire

Après l’expérience no 2 (refroidissement) et avant l’expérience no 3 (échauffement), nous avons lais-sé assez de temps pour que la température interne Tin se stabilise à la température ambiante Tout. Or, dans la pratique, il arrive souvent qu’un régime transitoire en cours soit interrompu pour viser un nouvel état final.

Ceci peut même se reproduire de façon cyclique : On laisse l’entrée inP enclenchée pendant une du-rée ont , puis on la déclenche pendant une durée offt , et ainsi de suite.

Appliquant les relations vues aux paragraphes précédents, nous pouvons calculer le comportement d’un tel système :

• Au départ, le système est à température ambiante, caractérisé par outin TtT ≡)( .

• A l’instant 01 =ont , on enclenche le corps de chauffe, de puissance inP . Entre cet instant et le 1er déclenchement en ( )ononoff ttt += 11 , la température Tin(t) vaut :

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅+=∈∀

−−

τ1

1)(:];[ 11

ontt

inthoutinoffon ePRTtTttt

• Au moment du 1er déclenchement, cette température vaut :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅+=

−

=τon

off

t

inthoutttin ePRTT 11

• Pendant le refroidissement qui suit, donc entre le 1er déclenchement à l’instant 1offt et le 2ème enclenchement à l’instant ( )offoffon ttt += 12 , la température baisse à nouveau de façon expo-nentielle. L’exponentielle part de la température

1offttinT=

calculée ci-dessus. La température

vaut : ( )

ττ1

1)(:];[ 21

offon ttt

inthoutinonoff eePRTtTttt−

−−⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅+=∈∀

C’est un nouveau régime transitoire qui commence, et qui tend à ramener la température Tin(t) de l’eau vers la température ambiante Tout. Cependant, on ne laisse pas ce régime transitoire arriver à son terme, puisque le corps de chauffe est enclenché à nouveau après le laps de temps offt .

• Juste avant le 2ème enclenchement, la température Tin(t) de l’eau vaut : ( )

ττττoffonoffonon

on

tt

inthout

ttt

inthoutttin eePRTeePRTT−−

−−−

=⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅+=⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅+= 11

12

2

Il faut remarquer qu’après ce 1er cycle enclenchement + déclenchement, la température n’a pas eu le temps de revenir à la température ambiante. Elle s’est finalement élevée d’une valeur qui dépend bien sûr de la puissance du corps de chauffe et de la résistance thermique de l’isolation, mais aussi de la valeur

ττoffon tt

ee−−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1 . Dans le cas particulier où l’on a τ== offon tt , cette augmentation vaut

( ) ( ) 233,0368,0368,011 11 =⋅−=⋅− −− ee . Cette élévation de température correspond donc à 23,3% de



celle qu’elle atteindrait si le corps de chauffe était enclenché en permanence, obtenue dans la 3ème expé-rience.

Pendant le 2ème cycle enclenchement + déclenchement, la température va à nouveau commencer par croître, partant de la valeur calculée précédemment, puis refroidir. Il y aura une nouvelle augmentation de température à la fin de ce 2ème cycle, mais elle sera de moindre amplitude que lors du 1er cycle.

En continuant ainsi, l’évolution de la température finit par osciller entre une valeur minimum et une va-leur maximum autour d’une valeur moyenne.

5.2.2.7 Cinquième expérience – Principe des alimentations à découpage

Dans certains cas, il peut être intéressant de remettre en cause le modèle utilisé pour la 4ème expé-rience. En particulier, si les durées d’enclenchement ont et de déclenchement offt sont beaucoup plus peti-tes que la constante de temps τ, on peut les négliger. On considère qu’au lieu d’appliquer la puissance Pin du corps de chauffe pendant ont et une puissance nulle pendant offt , on applique une puissance moyenne en permanence, dès le 1er enclenchement, qui vaut :

Formule 5.23 offon

oninmoyeninon tt

tPPtt+

⋅=>∀ :1

On obtient alors un modèle plus simple, similaire à celui de la 3ème expérience, ou seule la constante de temps τ intervient. La courbe de température qui décrit l’échauffement du système découle de la Formule 5.18 :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

+⋅⋅+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅+=

−−ττt

offon

oninthout

t

moyeninthoutin ett

tPRTePRTtT 11)(

Le fonctionnement cyclique provoque bien sûr une légère ondulation de la température, comme décrit plus haut, cependant cette ondulation est d’autant plus négligeable que le rapport des temps est important. Par exemple, si τ⋅== 01,0offon tt , on obtient une ondulation relative donnée par :

( ) ( ) %1010,0990,0990,0111 01,001,0 ==⋅−=⋅−=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− −−−−

eeeeoffon ttττ .

EXEMPLE 1 Un fer à souder pour l’électronique est caractérisé par une constante de temps τtherm = 30 [s]. Pour régler sa tem-

pérature, on enclenche son corps de chauffe toutes les 1 s, et on le déclenche après le nombre de milliseconde nécessaire pour avoir la puissance moyenne qui convient.

Les deux laps de temps ont et offt sont ainsi tels que leur somme est toujours égale à 1 s. Admettons pour simpli-fier qu’ils soient identiques. Nous avons ainsi s5,0== offon tt .

L’ondulation de température causée par ce régime cyclique provoquera une ondulation résiduelle très faible, qui n’excédera pas

( ) ( ) %6,1015,0984,0984,0111 017,0017,0 ==⋅−=⋅−=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− −−−−

eeeeoffon ttττ

Il s’agit en fait de 1,6% de la différence entre, d’une part, la température qu’atteindrait ce fer à souder si le corps de chauffe était enclenché en permanence, et d’autre part, la température ambiante. Même si cet écart de température était



de 500 K, l’ondulation de température serait de 8 K, ou plutôt ±4 K, ce qui est parfaitement admissible pour la soudure à l’étain (200 ºC environ).

Il convient de relever que, pour ajuster la puissance fournie à une charge électrique, il est bien meilleurs sur le plan du rendement de commander le corps de chauffe « en tout ou rien », jouant sur les temps d’enclenchement et de déclen-chement pour obtenir la puissance moyenne désirée, plutôt que de lui mettre un potentiomètre en série pour réduire son courant. En effet, avec cette 2ème méthode « analogique », le même courant circule dans le potentiomètre et dans le corps de chauffe. Pour réduire la puissance du corps de chauffe à 25%, il faudrait réduire le courant de 50% (car

25,050,0 2 ≅ ). La résistance du potentiomètre devrait être approximativement identique à celle du corps de chauffe (di-viseur de tension : ( ) 5,0111 ≅+ ). Cela signifie qu’à ce régime de fonctionnement, 50% de la puissance fournie serait brûlée inutilement dans le potentiomètre.

EXEMPLE 2 Un moteur à courant continu, du modèle abordé au paragraphe 4.4.2.6, est caractérisé par une constante de

temps thermique τtherm = 2 [min] = 120 [s] environ. On l’utilise pour faire du positionnement, en lui faisant produire du cou-ple pendant tactif = 200 ms, puis en lui laissant du temps pour refroidir, soit trepos = 400 ms.

Comme tous les moteurs, son couple nominal est spécifié. Il pourrait donc être utilisé en permanence à ce régime sans excéder ses limites internes de température.

Si on l’utilise à 1,5 fois son couple nominal pendant la période active, ses pertes thermiques pendant cette période active s’élèvent donc à 2,25 fois ses pertes thermiques en régime nominal, puisque ces pertes sont approximativement proportionnelles au carré du couple et du courant.

Nous verrons au paragraphe 4.4.2.6 que, sur le plan thermique, tout se passe comme si, au lieu de le faire fonc-tionner à ce régime impulsionnel, on fait fonctionner ce moteur à un couple efficace tout à fait admissible de

75,04,02,0

4,002,05,1 22

⋅=+

⋅+⋅⋅= nomnomrms MMM .

En fait, la courbe de température interne n’est pas tout à fait identique. Le régime pulsé provoque en effet une lé-gère ondulation de cette courbe. Toutefois, cette ondulation de température n’excédera pas

( ) ( ) %2,00017,09967,09983,0111 0033,00017,0 ==⋅−=⋅−=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− −−−−

eeeeoffon ttττ

Ces considérations de régime transitoire justifient donc la méthode de calcul qui sera proposée pour la charge des moteurs.



5.3 Inductance

5.3.1 Inductance idéale – Principe de fonctionnement

Le fonctionnement d’une inductance est basé sur les principes de l’électromagnétisme (chapitre 4.3). Le 1er principe de l’électromagnétisme explique comment un courant crée un champ magnétique au-

tour de lui. Nous avons vu également que lorsque le courant circulait dans une bobine autour d’un circuit ferromagnétique, l’induction magnétique se concentrait pour circuler presque exclusivement dans le fer.

NOTE : En réalité, une petite partie des lignes de flux circule en dehors du fer. On les appelle les lignes de fuite. Il n’est cepen-dant pas nécessaire d’en tenir compte pour les explications qui font l’objet de ce chapitre.

i(t)

B(t)

BSR20050213_C.des

u (t)i

Figure 5.11 Induction magnétique dans une bobine contenant du fer

La Formule 4.10 montre que l’induction magnétique B(t) est proportionnelle au courant i(t). Cette in-duction, qui circule dans le fer, crée un flux )(tΦ . Pour autant que l’induction magnétique ne soit pas trop importante, et ne fasse pas apparaître des effets de saturation, ce flux est également proportionnel à l’induction B(t), donc au courant i(t).

Chaque spire de la bobine intercepte ce flux. Il y apparaît donc une tension induite, en vertu de 3ème principe de l’électromagnétisme. Celle-ci est proportionnelle à la dérivée du flux intercepté. Nous obtenons

donc .)()(')(')(dt

tditittui =≈Φ≈

Le signe ≈ est utilisé pour indiquer la proportionnalité entre les 2 termes. En partant des équations exactes liant le courant, l’induction magnétique et le flux, sur la base des principes de l’électromagnétisme vus au chapitre 4.3, on pourrait exprimer le coefficient de proportionnalité exact. On verrait alors que celui-ci dépend de paramètres constructifs comme les dimensions, le matériau du noyau, et le nombre de spires de la bobine. Dans le cadre de ce chapitre, il n’est pas nécessaire d’entrer dans ces détails, et nous nous contentons d’exprimer le résultat sous la forme :

Formule 5.24 ( ) ( ) [ ]Vdt

tdiLtui ⋅=

DÉFINITION 5.3 On appelle inductance L le coefficient de proportionnalité qui lie la variation du courant circulant dans une bobine, et la tension induite que ces variations font ap-paraître entre ses bornes. L’unité d’inductance est le Henry [H].



Remarque : La Formule 5.24 permet de montrer que le Henry a pour dimension physique le produit d’un ohm et d’une seconde : ][][]/[][][][ sAsVH ⋅Ω=⋅= .

La figure ci-dessous montre le symbole de l’inductance selon la norme CEI (Commission Électrotech-nique Internationale), que nous utiliserons dans ce cours. Le symbole entre parenthèses, à droite, est éga-lement beaucoup utilisé.

BSR20060106_A.des

( )i(t)

u (t)L Figure 5.12 Symboles de l’inductance

En vertu de la loi de Lenz, la tension induite )()( tutu Li = s’oppose à la variation de courant qui la crée. Elle est donc orientée dans le même sens que le courant i(t), comme le montre la Figure 5.12.

Lois de l’inductance :

La tension aux bornes d’une inductance est proportionnelle à la variation du courant qui la parcourt.

Lorsque le courant augmente, la tension induite est positive, pour autant que le courant et la tension soient orientés dans le même sens.

Remarque : Si la valeur absolue d’un courant négatif diminue au cours du temps, c’est que ce courant augmente en valeur réelle. Sa dérivée est donc positive. Un tel courant induira une tension positive, car celle-ci dépend de la variation de courant et non du signe de ce courant.

On peut à choix imposer le courant i(t) ou la tension uL(t) à une inductance. L’autre grandeur découle alors de La Formule 5.24, qui peut être interprétée dans les deux sens :

• Si l’on fait varier le courant dans une inductance idéale, il apparaît une tension induite entre ses bornes, orientée en fonction du sens de la variation (augmentation ou diminution du courant).

• Si l’on applique une tension à une inductance idéale, le courant qui la traverse varie en fonction du sens de la tension (positive ou négative).

Dans le cas général, l’expression du courant en fonction de la tension fait appel au calcul intégral. La Formule 5.25 est mentionnée dans ce cours pour servir de référence lorsque le lecteur aura étudié cette branche des mathématiques. Il est aussi possible de raisonner par voie graphique, en appliquant le même principe que pour le calcul de distance utilisé au paragraphe 1.4.1 : Le courant i(t) correspond à la surface comprise entre la courbe de la tension uL(t) et l’axe des abscices, au coefficient de proportionnalité L près.

Formule 5.25 ( ) ( ) [ ]A1

-∫∞

⋅⋅=t

L dttuL

ti



5.3.2 Inductance idéale en circuit commuté

Connectons une inductance L comme indiqué en Figure 5.13. Au repos, le commutateur la met en court-circuit. Comme 0)( ≡tuL , la dérivée du courant i(t) est également nulle (Formule 5.24), ce qui signifie que le courant est constant. Admettons que cette inductance est utilisée pour la première fois. Ce courant constant est alors nul.

NOTE : En théorie, rien ne s’opposerait à ce que ce courant soit constant, mais non nul, à ce stade de l’expérience. Cela compli-querait cependant l’explication, tout à fait inutilement.

BSR20060107_A.des

Li(t)

u (t)LU

Figure 5.13 Inductance idéale dans un circuit commuté

A l’instant 01 =t , on modifie la position du commutateur, ce qui revient à connecter l’inductance idéale directement sur la source idéale de tension U > 0. Comme il n’y a pas d’autre composant en série dans ce circuit, nous avons immédiatement uL(t) = U. Le courant i(t) augmente alors linéairement, en vertu de la Formule 5.24.

i(t)

tBSR20061011_C.des

i(t)

u (t)L

I2

t =01t2

u (t)LU

0

Figure 5.14 Évolution du courant dans une inductance idéale

Comme le montre la figure ci-dessus, la valeur du courant i(t) correspond bien à la surface en-dessous de la courbe de tension uL(t) du temps 1t au temps t considéré. La Formule 5.25 prend en effet dans ce cas la forme beaucoup plus simple suivante :

Formule 5.26 ( ) [ ]AtLUtitt ⋅=>∀ :1

Si, plus tard, soit à l’instant t2, on remet le commutateur dans sa position initiale, l’inductance se voit à nouveau soumise à une tension 0)( ≡tuL . Le courant qui circule à ce moment dans l’inductance reste cons-tant, égal à la valeur qu’il avait juste avant t2 :

Formule 5.27 ( )122 ttLUI −⋅=



5.3.3 Considérations de puissance et d’énergie

Tant que le commutateur de la Figure 5.13 court-circuite l’inductance idéale, la puissance consommée par celle-ci est nulle, quelle que soit la valeur du courant qui la traverse. En effet, la tension aux bornes de ce composant est nulle. De même, la source idéale de tension, qui n’a aucune charge connectée, débite éga-lement une puissance nulle puisque son courant est nul. Le principe de conservation de l’énergie est parfai-tement respecté.

Par contre, pendant le laps de temps où l’inductance était connectée à la source de tension, la puis-sance délivrée par celle-ci n’était pas nulle. Elle a augmenté linéairement, proportionnellement au courant. En effet, nous avions alors : ( ) [ ]W)(:];[ 21 tiUtpttt ⋅=∈∀ . Tenant compte de la Formule 5.27, nous pouvons remplacer la tension U par une expression fonction du courant 2I à l’instant 2t , ce qui permet d’exprimer cette puissance en fonction de ce courant 2I :

( ) ( ) [W]12

22

212

222 tt

ILItt

ILIUP−⋅

=⋅−⋅

=⋅=

Si l’on calcule la valeur moyenne de )(tp pendant le laps de temps ];[ 21 tt , et tenant compte du fait que cette puissance croît linéairement de 0 à P2, nous obtenons :

( ) [W]21

20

12

222

ttILPPmoy −

⋅⋅=

+=

En utilisant la définition de la puissance (Formule 1.16), nous en tirons directement :

( ) ( ) ( ) [ ]J21

21 2

212

22

121221 ILtt

ILttPttE moy ⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⋅

⋅⋅−=⋅−=− .

La question est : « Qu’est devenue cette énergie ? ». Comme il n’y a pas de résistance dans ce cir-cuit, qui ne comporte que des composants idéaux, cette énergie n’a pas été brûlée. Elle n’a pas été conver-tie en énergie mécanique ni en énergie chimique. Or, elle a bien été débitée de la source de tension.

La seule conclusion possible est d’admettre que cette énergie a été stockée dans l’inductance. Celle-ci a en effet emmagasiné de l’énergie magnétique dans son fer. Nous verrons plus loin que cette énergie peut également être restituée.

Il est possible de généraliser ce résultat, en posant qu’à tout instant, l’énergie stockée dans une induc-tance vaut :

Formule 5.28 [ ]J)(2

)( 2tiLtE ⋅=

Tant que le courant est constant, l’énergie que contient l’inductance ne change pas. Si on souhaite par contre modifier ce courant, il faut lui transférer ou lui retirer de l’énergie. Ce transfert ne peut se faire qu’à puissance finie, et ne peut donc pas se faire instantanément. Nous nous retrouvons dans le même cas que la bouteille thermos idéale abordée au paragraphe 5.2.2.1.

Il n’est donc pas surprenant que nous retrouvions des notions d’états et de régimes transitoires. En ef-fet, en connectant la source de tension à l’inductance pendant un certain temps, nous avons fait passer celle-ci d’un état stable à un autre état stable. Comme le système était idéal, sans perte, le régime transitoire était linéaire.

NOTE : Dans le cas idéal, un courant peut circuler perpétuellement dans une inductance en court-circuit, dès le moment où il y a été introduit. Ce n’est bien évidemment pas le cas dans la réalité, puisque tous les conducteurs ont une certaine résistance, très



faible mais non nulle. Nous verrons au paragraphe suivant comment cette énergie est progressivement transformée en chaleur. Il faut relever cependant que si l’inductance est amenée à une température proche du zéro absolu, le phénomène de supraconducti-vité annule pratiquement toute résistance. Le courant peut alors circuler plusieurs heures, voire plusieurs jours sans influence extérieure. Ce phénomène sera par exemple utilisé pour le nouvel accélérateur du CERN.

5.3.4 Inductance réelle – Circuit R – L

Les bobines réelles ont inévitablement une petite résistance en série, due à la résistivité non nulle des conducteurs qui les composent. De plus, les circuits auxquels ils sont connectés ont également des résistan-ces, plus ou moins faibles mais jamais nulles. Comme dans le cas de la bouteille thermos, nous allons mon-trer que les régimes transitoires sont en général exponentiels décroissant.

Pour prendre les imperfections de l’inductance en considération, nous la modélisons par une résis-tance R et une inductance idéale L, connectées en série. Nous connectons cet ensemble à une source de tension idéale, par l’intermédiaire d’un commutateur.

BSR20060106_C.des

Ri(t)

u (t)RU

L

u (t)L

u(t)

Figure 5.15 Bobine, composée d’une inductance et d’une résistance, dans un circuit commuté

Considérons d’abord que le commutateur est dans la position indiquée par cette figure. Le théorème de Kirchhoff sur les mailles s’applique : 0)()( =+ tutu LR .

Admettons que le courant i(t) est initialement nul. La tension uR(t) aux bornes de la résistance l’est aussi en vertu de la loi d’Ohm. La tension uL(t) aux bornes de l’inductance est donc également nulle, ce qui signifie que le courant ne change pas et reste à zéro.

A l’instant t1 = 0, on modifie la position du commutateur, ce qui revient à connecter la bobine sur la source idéale de tension U > 0. Le théorème de Kirchhoff sur les mailles donne : 0)()( =++− tutuU LR . La tension qui apparaît aux bornes de l’inductance vaut donc )()()( tiRUtuUtu RL ⋅−=−= .

Lorsque le courant est nul, juste après la commutation, toute la tension de la source est appliquée à l’inductance, et le courant i(t) commence à croître. Cependant, au fur et à mesure que le courant augmente, la tension aux bornes de la résistance augmente également, et la tension qui reste à disposition de l’inductance diminue.

A un certain moment, même si cela prend longtemps, la tension uL(t) aux bornes de l’inductance aura tellement diminué qu’elle sera pratiquement nulle. A ce moment donc, le courant i(t) ne pourra que rester constant. Le système aura atteint un état stable caractérisé par :

∞∞=∞=∞===== I

RUtiUtutu

ttRtL )()(0)(



BSR20060107_B.des

i(t)

t

u(t)

U

I

i(t)

u (t)R

u (t)L

t =01

Figure 5.16 Évolution du courant dans une inductance réelle R – L

Le régime transitoire est similaire à celui de la bouteille thermos (généralisation, paragraphe 5.2.2.4) :

• Juste avant l’instant t1=0 : i(t) est nul, et 0)(1

==ttL tu . C’est l’état initial.

• Juste après l’instant t1=0 : UtuttL =

> 1)( constant, et 0)(

1=

=ttti (pas de saut)

Le régime transitoire vise à amener le système vers un nouvel état stable, caractérisé par RUI =∞ . Pendant ce régime transitoire, le courant i(t) est donné par

Formule 5.29 ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=≥∀

−−

∞τ

1

1)(:1

tt

eItitt

La constante de temps τ ne dépend que des composants L et R du circuit. Elle est totalement indé-pendante des tensions et courants :

Formule 5.30 [ ][ ] [ ]s

AVAsV

=⋅

=RLτ

Pour vérifier l’exactitude de cette formule il faut procéder en 2 étapes : Étape no 1 : Vérifier que la loi de Kirchhoff est respectée. On le fait successivement comme suit :

dttdiLtiRtutu LR)()()()( ⋅+⋅=+

( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅⋅+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅=+

−−

∞

−−

∞ττ

τ

11 101)()(tttt

LR eILeIRtutu

( )τ

1

0

)()(tt

LR eLRILIRIRtutu

−−

=

∞∞∞ ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅−⋅−⋅=+

444 3444 21

∞⋅=+ IRtutu LR )()(

Finalement, Ututu LR =+ )()( , ce qui montre que la loi de Kirchhoff sur les mailles est bien respectée.

Étape no 2 : Vérifier que le courant i(t) ne fait pas de saut au moment de la commutation. On le fait successivement comme suit :



( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

−−

∞=τ

11

11)(

tt

tteIti

( )01)(1

−∞=

−⋅= eItitt

( ) [A]011)(1

=−⋅= ∞=Iti

tt

Le courant initial du régime transitoire est bien égal au courant de l’état de départ. Il n’y a donc pas de saut de courant.

Partant de la Formule 5.29, nous pouvons calculer la pente de la courbe qui représente le courant, juste après la commutation :

( )

ττττ ∞−

∞

−−

∞==⋅⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅=′ IeIeIti

tt

tt0110)(

11

1

C’est la pente de la droite, représentée en Figure 5.16, qui part de l’état initial [t = t1 = 0 ; i(t) = 0], et qui coupe la droite horizontale ∞= Iti )( après un laps de temps égal à la constante de temps τ.

Il faut remarquer que, si on remplace le courant et la constante de temps par leurs valeurs, cette pente vaut :

LU

LR

RUti

tt=⋅=′

= 1)(

La droite qui lui correspond a pour équation celle du courant circulant dans l’inductance idéale L, sans résistance R , comme nous l’avons vu au paragraphe précédent (Formule 5.27).

Pour résumé, l’allure du régime transitoire peut être décrite comme suit : • Au début du régime transitoire, le courant ne fait pas de saut ; il part de la valeur précédente

(juste avant le changement de tension). • Aux premiers instants qui suivent la commutation, le courant croît linéairement. Il suit une droite

(1ère asymptote) qui passe par la valeur initiale du courant à l’instant du changement de tension, et par la valeur finale du courant après un laps de temps égal à la constante de temps τ. L’inductance de la bobine prédomine et sa résistance ne joue encore aucun rôle.

• Ensuite, la variation du courant diminue. Il se rapproche d’une droite horizontale (2ème asymp-tote), qui correspond à la valeur finale du courant.

• Vers la fin, le courant se comporte comme dans une résistance seule, et reste constant. C’est la résistance de la bobine qui prédomine.

5.3.5 Couplage de plusieurs inductances

5.3.5.1 Inductances en série

Dans un circuit, il peut arriver que plusieurs inductances soient disposées en série. Elles sont ainsi toutes parcourues par le même courant i(t). La tension aux bornes de l’ensemble peut être calculée comme suit :



( )dt

tdiLLLdt

tdiLdt

tdiLdt

tdiLtutututu LLL)(......)()()(...)()()()( 321321221 ⋅+++=+⋅+⋅+⋅=+++=

L1

u (t)L1

L2

u (t)L2

L3

u (t)L3

u(t)

i(t)

BSR20060107_C.des Figure 5.17 Inductances placées en série

Ces inductances se comportent donc exactement comme une seule inductance équivalente, dont la valeur est donnée par :

Formule 5.31 ∑=

=+++=n

kke LLLLL

1321 ...

Remarque : L’inductance équivalente de plusieurs inductances en série est toujours supérieure à la plus grande d’entre elles.

5.3.5.2 Inductances en parallèle

Dans un circuit, il peut arriver également que plusieurs inductances soient disposées en parallèle. El-les ont ainsi toutes la même tension u(t) à leurs bornes. La dérivée du courant qui circule dans l’ensemble peut être calculée comme suit :

)(...3

111...)()()(...)()()()(21321

221 tuLLLL

tuL

tuLtutitititi LLL ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=+++=+′+′+′=′

BSR20050213_L.des

L1i (t)1

L2i (t)2

L3i (t)3

u(t)

i(t)

Figure 5.18 Inductances placées en parallèle

Ces inductances se comportent donc exactement comme une seule inductance équivalente, dont la valeur est donnée par :

Formule 5.32 ...111

1

321

+++=

LLL

Le

S’il n’y a que deux inductances, le calcul de l’inductance équivalente est plus simple :



Formule 5.33 21

21

LLLLLe +

⋅=

Remarque : L’inductance équivalente de plusieurs inductances en parallèle est toujours inférieure à la plus petite d’entre elles.

5.3.6 Ouverture d’un circuit inductif

Comme une inductance s’oppose aux variations brusques de courant, il est utile de bien comprendre ce qui se passe lorsqu’on cherche à inactiver une bobine, par exemple une servo-vanne ou un contacteur. Une telle bobine peut être modélisée tout à fait valablement par une résistance et une inductance en série.

Considérons donc le circuit de l’exemple précédent, mais dont on a remplacé le commutateur par un simple interrupteur (le symbole utilisé dans la figure ci-dessous est celui d’un bouton poussoir.

BSR20050213_M.des

Ri(t)

u (t)R

U

L

u (t)L

u(t)

Figure 5.19 Bobine alimentée par un simple interrupteur

Manifestement, tant que l’interrupteur est ouvert, le courant i(t) ne peut être que nul. C’est l’état de la bobine au repos. Son énergie magnétique stockée est nulle.

Au moment où l’interrupteur est fermé, le courant augmente, et se stabilise à une valeur ∞I qui ne dépend que de la tension U et de la résistance R, comme expliqué au paragraphe 5.3.4. Lorsque le courant est stabilisé, la bobine est dans son état actif. Son énergie magnétique stockée est non nulle, égale à :

Formule 5.34 [ ]J2

2

22)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⋅= ∞ RULILtE

DÉFINITION 5.3 : On appelle courant magnétisant le courant qui circule dans une bobine.

Lorsqu’on ouvre l’interrupteur, le circuit est soumis à 2 exigences contradictoires : l’interrupteur qui cherche à annuler brusquement le courant i(t), et l’inductance qui s’oppose précisément à cette variation brusque de courant.

L’énergie magnétique ne peut disparaître d’un coup. Le courant magnétisant qui lui correspond ne peut être interrompu soudainement. Il va forcer l’inductance à induire une tension négative tellement élevée qu’un arc électrique s’allume à travers l’air, dans l’interrupteur. Il apparaît ainsi une étincelle conductrice qui maintient le circuit fermé alors que l’expérimentateur pensait l’avoir ouvert.

L’air parcouru par cet arc électrique se comporte comme une résistance de forte valeur. Il est soumis à une tension qui peut atteindre plusieurs milliers de volts, en fonction de l’écartement des contacts et de la composition de l’air ambiant. Cette tension négative rend possible la décroissance rapide du courant. Dès que celui-ci est nul, l’arc s’éteint et l’air redevient isolant.



Ce phénomène est parfois voulu, par exemple pour assurer l’allumage d’un moteur à explosion. L’interrupteur est actuellement réalisé avec des circuits électroniques, mais une bougie est placée en paral-lèle avec le transistor qui sert d’interrupteur. La distance entre les lames de la bougie est déterminée de façon à ce que le courant à l’ouverture allume l’arc dans la bougie plutôt que dans le transistor.

Par contre, dans tous les circuits de commandes de machines, ce phénomène est particulièrement gênant. La formation d’arcs et les transferts de matière ainsi provoqués limitent le nombre de fois où l’interrupteur peut être fiablement ouvert, suite de quoi les contacts sont détruits.

Pour éviter les effets gênants de ce phénomène, il faut compléter le circuit de manière à offrir un che-min au courant, disponible au moment où l’interrupteur est ouvert.

DÉFINITION 5.4 : On appelle circuit d’extinction le chemin offert au courant lorsqu’on désactive une bobine, permettant d’éviter la formation d’un arc électrique destructeur.

NOTE : Le circuit de la Figure 5.15, utilisé pour les explications du paragraphe 5.3.4, est théoriquement correct : Lorsque la liaison avec la source de tension est interrompue, elle est immédiatement remplacée par une liaison provoquant un court-circuit de la bobine. La réalisation d’un tel commutateur n’est pas possible techniquement. Comme les 2 contacts ne peuvent pas se toucher, il y a à chaque commutation un tout petit instant où le circuit est ouvert : La bobine n’est plus connectée à la source de tension, mais elle n’est pas encore court-circuitée. La formation d’arc n’est donc pas empêchée. Seule leur durée est raccourcie.

Le circuit d’extinction le plus simple théoriquement consiste à ajouter une résistance Rrl, dite résis-tance de roue libre, comme indiqué dans la figure ci-dessous.

BSR20050213_O.des

Ri(t)

u (t)R

U

L

u (t)L

u(t)Rrl

Figure 5.20 Bobine alimentée par un simple interrupteur, avec résistance de roue libre

Avec ce dispositif, le courant magnétisant peut continuer à circuler au moment de l’ouverture de l’interrupteur. La tension u(t) s’établit instantanément à une valeur qui dépend de la valeur ohmique de la résistance de roue libre et du courant magnétisant. Cette tension est opposée à celle de la source : Dans le système de la figure ci-dessus, le courant i(t) parcourt en effet la résistance de roue libre en remontant.



BSR20050210_P.des

i(t) u(t)

UI

i(t)

Ûrl

t

rl

toff0

Figure 5.21 Évolution du courant dans une bobine avec résistance de roue libre

La pointe négative de tension est proportionnelle au courant i(t) : ∞+=⋅−== IRÛtu rlrltt off ε

)(

Comme celui-ci décroit rapidement, la tension décroit aussi rapidement. La constante de temps lors de l’ouverture est plus faible que lors de l’enclenchement de la bobine, car la résistance de roue libre est

alors en série avec la résistance R de la bobine : rl

rl RRL+

=τ .

Le courant pendant l’extinction passe de la valeur ∞I à zéro, parce qu’au repos, il n’y a plus de source de tension connectée. La transition se fait de façon exponentielle, tenant compte de la constante de temps rlτ . Elle est donné par :

( ) ( )rl

off

rl

off tt

rl

tt

off eIRtueItitt ττ

−−

∞

−−

∞ ⋅⋅−=⋅=≥∀ )()(: et

Remarque importante : Il est possible de montrer par le calcul que la puissance thermique dissipée pendant le régime transitoire d’extinction dans les deux résistances Rrl et R correspond exactement à l’énergie magnétique qui avait été stocké dans l’inductance avant l’ouverture du circuit.

L’inconvénient d’un circuit d’extinction aussi simple est que la résistance Rrl est également sous ten-sion lorsque l’interrupteur est fermé, ce qui constitue un gaspillage d’énergie.

Le circuit d’extinction le plus souvent utilisé est réalisé avec une diode. Ce composant semi-conducteur présente la particularité de ne laisser circuler le courant que dans un sens. Connectée dans le bon sens, elle ne consomme aucun courant lorsque l’interrupteur est fermé, mais laisse circuler le courant magnétisant dès que l’interrupteur est ouvert.



BSR20060129_A.des

Ri(t)

u (t)R

U

L

u (t)L

u(t)

Figure 5.22 Bobine alimentée par un simple interrupteur, avec diode de roue libre

NOTE : C’est ce phénomène qui est particulièrement gênant dans le fonctionnement des moteurs à collecteurs, étudiés au chapi-tre 4.4 : Chaque fois que le courant d’induit est commuté d’une lame sur la suivante, et comme le circuit d’induit comporte toujours une petite inductance, un arc se forme. L’énergie associée à cet arc dépend du courant commuté, donc du couple du moteur, ainsi que de la fréquence des commutations, donc de la vitesse du moteur.

5.3.7 Technologies et utilisations des inductances

Les inductances réelles se distinguent par leurs caractéristiques : • la valeur inductive L et sa marge de tolérance sont bien sûr leurs caractéristiques essentielles ; • le courant nominal Inom détermine le courant supportable en permanence, mais aussi celui qu’il

ne faut pas dépasser pour ne pas sortir du domaine de linéarité (saturation du fer) ; • la résistance série R est nécessaire pour déterminer si le courant est autolimité, ou s’il faut

ajouter une résistance extérieure, en fonction de la tension de service prévue ; • les aspects constructifs sont également importants (forme et dimensions, comportement en

courant alternatif, effets parasitaires à haute fréquence, etc.)

Figure 5.23 Exemples d’inductances utilisées en électronique, basées sur diverses technolo-

gies (source : CDM – Chine, http://cdm.en.alibaba.com)



5.3.8 Cas particulier des transformateurs

Supposons que la bobine de la Figure 5.11 ne soit pas réalisée avec un seul fil enroulé autour du fer, mais avec deux fils bobinés ensemble. Si ces deux fils sont reliés entre eux au début et à la fin de l’enroulement, le courant i(t) se répartira en deux courants i1(t) et i2(t). Le champ B sera créé par les deux courants ensemble, et nous aurons [ ])()()( 21 tititB +≈ .

Si nous séparons maintenant ces 2 fils, et que nous les bobinons séparément, le champ B sera tou-jours créé par les deux courants, comme dans le cas précédant. Nous avons cependant la possibilité de prévoir des nombres de spires différents pour chacun. Nous avons alors [ ])t(iN)t(iN)t(B 2211 ⋅+⋅≈ . Le facteur de proportionnalité exact n’est pas important en soi, mais nous constatons qu’il y a moyen de pondé-rer l’influence de chacun des deux courants en choisissant les nombres de spires.

i (t)1

B(t)

BSR20060107_D.des

u (t)1

i (t)2

u (t)2

N1 N2

Figure 5.24 Système comportant deux bobines différentes autour d’un noyau de fer commun

L’induction magnétique étant créée par la combinaison des deux courants, la tension induite qui appa-raît aux bornes de chacun des enroulements l’est aussi. Nous avons ainsi :

[ ] .dt

)t(diNdt

)t(diN)t(iN)t(iN)t(')t(u 22

112211i ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅+⋅≈′⋅+⋅≈≈ Φ

NOTE : Comme dans le cas de l’inductance (comportant un seul enroulement), il n’est pas nécessaire d’entrer dans les détails constructifs qui influencent le facteur de proportionnalité. Dans le cadre de ce cours, nous ne tiendrons également pas compte des effets dus aux lignes de champ qui circulent en dehors du fer, et qui par conséquent peuvent passer à l’intérieur d’un enroulement sans passer à l’intérieur de l’autre.

Si nous appliquons une tension continue sur l’un des enroulements, par exemple celui de gauche, en laissant l’autre ouvert, tout se passe comme avec le cas de l’inductance vu précédemment. Un courant s’établit dans cet enroulement, et se stabilise à une valeur qui dépend de la tension appliquée et de la résis-tance de la bobine.

Une fois le courant établi et stable, le champ magnétique est constant. Il n’y a donc plus de tensions induites, ni sur l’enroulement de gauche, ni sur celui de droite. Si nous connectons l’enroulement de droite sur une résistance RL, il n’y circulera aucun courant.

Si nous déconnectons maintenant l’enroulement de gauche, l’énergie magnétique contenue dans le fer dispose de deux possibilités pour s’éliminer. Le courant i1(t) peut continuer à circuler dans l’enroulement de gauche par un circuit d’extinction comme vu au paragraphe 5.3.6 s’il y en a un. Comme alternative, un courant i2(t) peut s’établir dans l’enroulement de droite, et circuler dans la résistance RL. Dans ce cas, l’énergie magnétique contenue dans le fer juste avant de déconnecter l’alimentation est intégralement dissi-pée dans la résistance RL.



Ce comportement s’explique par le fait que, si une inductance s’oppose aux variations brusques de courants, c’est surtout pour empêcher toute variation brusque de l’énergie magnétique. Dans le cas où nous avons 2 enroulements, le système s’oppose aux variations brusques de la somme des 2 courants. Ceci n’empêche absolument pas l’un des courants de varier brusquement, si l’autre courant fait simultanément une variation opposée.

Il est possible de faire travailler le système de manière à ce que le champ magnétique reste approxi-mativement constant. Dans ce cas, les deux courants interagissent l’un sur l’autre, de manière à ce qu’à tout instant, on ait 0)t(iN)t(iN 2211 =⋅+⋅ . Attention cependant : ce comportement ne fonctionne que pour des impulsions de courant de brève durée.

DÉFINITION 5.5 : On appelle transformateur un système magnétique comportant deux enroule-ments distincts, qui, sous certaines conditions, permet d’induire un courant dans l’un de ses enroulements en imposant un le courant qui circule dans son autre en-roulement.

La plupart des transformateurs sont utilisés pour convertir une tension alternative sinusoïdale d’un cer-tain niveau en une tension alternative sinusoïdale de même fréquence, mais d’un autre niveau. Voir égale-ment à ce sujet le paragraphe 3.5.3, ainsi que l’exemple du paragraphe 3.2.7.

Un transformateur peut aussi être utilisé pour créer un courant de forte intensité à partir d’un courant beaucoup plus faible. Dans ce cas, on choisit un rapport d’enroulements 112 <NN . Une application en est le transformateur de soudure.

Une autre utilisation des transformateurs est le transfert d’énergie électrique entre deux parties d’un système, mais sans contact électrique direct. Il est ainsi possible, par exemple, de commander les compo-sants de puissance d’un variateur de fréquence avec des courants parfaitement isolés du circuit de com-mande à microprocesseur. Cette isolation est souvent indispensable pour le fonctionnement correct du varia-teur. Elle peut être également requise pour des raisons de sécurité, comme montré à la Figure 3.25 du para-graphe 3.4.2.



5.4 Condensateur

5.4.1 Condensateur idéal – Principe de fonctionnement

Le fonctionnement d’un condensateur est basé sur les principes de l’électrostatique. Sans entrer dans les détails de cette théorie, il est malgré tout possible d’en expliquer le fonctionnement en revenant aux no-tions de charges électriques, abordées au paragraphe 1.5.2.

Plaçons deux plaques conductrices face à face proches l’une de l’autre, mais de manière à ce qu’elles ne se touchent pas. Si nous appliquons une tension électrique constante U entre ces plaques, il y apparaît une accumulation de charges électriques Q.

BSR20050212_A.des

U

+ -+ -+ -

+ -

+ -+ -

Q

Figure 5.25 Condensateur connecté à une source idéale de courant

Déconnectons maintenant la source de tension. Par un effet de stockage, les charges électriques ac-cumulées dans les deux plaques subsistent. De ce fait, la tension électrique entre elles reste égale à la ten-sion U. Ceci ne reste vrai que pour autant qu’aucun courant ne puisse circuler entre les deux plaques. Elles doivent donc être parfaitement isolées.

DÉFINITION 5.4 On appelle condensateur un composant électrique construit par la juxtaposition de deux plaques ou de deux feuilles conductrices, séparées l’une de l’autre par un matériau isolant.

La charge électrique accumulée dans un condensateur est proportionnelle à la tension appliquée. Formule 5.35 [ ]CUCQ ⋅=

DÉFINITION 5.5 On appelle capacité C le coefficient de proportionnalité qui lie la tension appliquée à un condensateur et la charge électrique que ce condensateur accumule ainsi. L’unité de capacité est le Farad [F].

Remarque 1 : Le terme « condensateur » (condenser en anglais, Kondensator en allemand) est ré-servé au composant électrique. Le terme « capacité » (capacity en anglais, Kapazität en allemand) est ré-servé à sa caractéristique, exprimée en [F].

Remarque 2 : Tenant compte du fait que la charge électrique est le produit d’un courant par un temps, la Formule 5.35 permet de montrer que le Farad a pour dimension physique [s]/[V][A][F] ⋅= .



La charge électrique d’un condensateur peut varier au cours du temps, comme nous le verrons plus loin. Or, le courant électrique i(t) qui pénètre dans un condensateur est la dérivée de cette charge Q(t), comme expliqué au paragraphe 1.5.3. Nous obtenons ainsi :

Formule 5.36 ( ) ( ) [ ]Adt

tduCtii ⋅=

La figure ci-dessous montre le symbole du condensateur selon la norme CEI (Commission Électro-technique Internationale). Bien qu’un condensateur ne puisse conduire aucun courant continu, nous verrons que des courants variables au court du temps peuvent le traverser.

BSR20060108_A.des

Ci (t)C

u(t)

Figure 5.26 Symbole du condensateur

Lois du condensateur :

Le courant qui pénètre dans un condensateur est proportionnel à la variation de tension à ses bornes.

Lorsque la tension augmente, le courant qui pénètre par sa borne ⊕ est positif, pour autant que le courant et la tension soient orientés dans le même sens.

Remarque : Si la valeur absolue d’une tension négative diminue au cours du temps, c’est que cette tension augmente en valeur réelle. Sa dérivée est donc positive. Une telle variation de tension provoque bien l’apparition d’un courant positif, car celui-ci dépend de la variation de tension et non du sens de cette ten-sion.

On peut à choix imposer le courant iC(t) ou la tension u(t) à un condensateur. L’autre grandeur dé-coule alors de la Formule 5.36, qui peut être interprétée dans les deux sens :

• Si l’on fait varier la tension aux bornes d’un condensateur, tout se passe comme si un courant circulait entre ses bornes, orienté en fonction du sens de la variation (augmentation ou diminu-tion de la tension).

• Si l’on applique un courant à un condensateur, la tension à ses bornes varie en fonction du sens du courant (positif ou négatif).

Dans le cas général, l’expression de la tension en fonction du courant fait appel au calcul intégral. La Formule 5.37 est mentionnée dans ce cours pour servir de référence lorsque le lecteur aura étudié cette branche des mathématiques. Il est aussi possible de raisonner par voie graphique, en appliquant le même principe que pour le calcul de distance utilisé au paragraphe 1.4.1 : La tension u(t) correspond à la surface comprise entre courbe de courant iC(t) et l’axe des absides, au coefficient de proportionnalité C près.

Formule 5.37 ( ) ( ) [ ]V1

-∫∞

⋅⋅=t

C dttiC

tu



La capacité d’un condensateur dépend de ses dimensions et de son matériau isolant. Si A est la sur-face des plaques, et d la distance qui les sépare, la capacité C entre ces deux plaques vaut :

Formule 5.38 [ ]FdAC r ⋅⋅=

321ε

εε 0

BSR20050212_L.des

A

d Figure 5.27 Dimensions des plaques d’un condensateur

Le coefficient ε qui apparaît dans cette formule est une caractéristique du matériau isolant.

DÉFINITION 5.6 On appelle permittivité, abrégé ε la caractéristique du matériau isolant qui lie la capacité d’un condensateur à ses dimensions.

DÉFINITION 5.7 On appelle permittivité du vide, abrégé 0ε , la valeur de la permittivité du vide. Il s’agit d’une constante physique, qui vaut [ ]F/m12

0 1085,8 −⋅≅ε .

NOTE : On peut vérifier que la permittivité du vide ε0, la constante d’induction μ0 vue au paragraphe 4.3.1 et la vitesse de la lu-mière c sont liées par la relation suivante :

( ) ( ) ]/[

][]/[

][]/[1458'792'299

10813187854,810411

12700

sm

mVAs

mAVsc =

⋅==

⋅⋅⋅⋅=

⋅ −−πεμ

DÉFINITION 5.8 On appelle permittivité relative ou constante diélectrique, abrégé εr, le rapport entre la permittivité d’un matériau et la permittivité du vide.

La Table 5.2 fournit la permittivité relative de quelques matériaux.

Matériau Permittivité εr Matériau Permittivité εr

vide 1 polyester 3,3 air 1

papier 2 verre – époxy

(circuits imprimés) 5

téflon 2,1 verre 5 à 7 polypropylène 2,2 mica 6

polystyrène 2,4 eau 78,5

Table 5.2 Permittivité relative de quelques matériaux



5.4.2 Condensateur idéal en régime commuté

Connectons un condensateur C comme indiqué en Figure 5.28. Au repos, le commutateur met la source idéale de courant en court-circuit. Comme 0)( ≡tiC , la dérivée de la tension u’(t) est également nulle (Formule 5.36), ce qui signifie que la tension u(t) aux bornes du condensateur est constante. Admet-tons que ce condensateur est utilisé pour la première fois. Cette tension constante est alors nulle.

NOTE : En théorie, rien ne s’opposerait à ce que cette tension soit constante, mais non nulle, à ce stade de l’expérience. Cela compliquerait cependant l’explication, tout à fait inutilement.

BSR20060108_B.des

CI

u(t)

i (t)C

Figure 5.28 Condensateur idéal dans un circuit commuté

A l’instant 01 =t , on modifie la position du commutateur, ce qui revient à connecter le condensateur idéal directement sur la source idéale de courant I > 0. Comme il n’y a pas d’autre composant en série dans ce circuit, nous avons immédiatement iC(t) = I. La tension u(t) augmente alors linéairement, en vertu de la Formule 5.36.

i (t)c

tBSR20061011_D.des

u(t)

I

t =01t2

U2

0

u(t)

i (t)c

Figure 5.29 Évolution de la tension aux bornes d’un condensateur idéal

Comme le montre la figure ci-dessus, la valeur de la tension u(t) correspond bien à la surface en-dessous de la courbe de courant iC(t) du temps 1t au temps t considéré. La Formule 5.37 prend en effet dans ce cas la forme beaucoup plus simple suivante :

Formule 5.39 ( ) [ ]AtCItutt ⋅=>∀ :1

Si, plus tard, soit à l’instant t2, on remet le commutateur dans sa position initiale, le condensateur se voit à nouveau imposer un courant 0)( ≡tiC . Dès ce moment, la tension aux bornes du condensateur reste constante, égale à la valeur qu’elle avait juste avant t2 :

Formule 5.40 ( )122 ttCIU −⋅=



5.4.3 Considérations de puissance et d’énergie

Tant que le commutateur de la Figure 5.28 court-circuite la source idéale de courant, la puissance consommée par le condensateur est nulle, quelle que soit la valeur de la tension à ses bornes. En effet, le courant pénétrant dans ce composant est nul. De même, la source idéale de courant, qui est court-circuitée, débite également une puissance nulle puisque la tension à ses bornes est nulle. Le principe de conservation de l’énergie est parfaitement respecté.

Par contre, pendant le laps de temps où le condensateur était connecté à la source de courant, la puissance délivrée par celle-ci n’était pas nulle. Elle a augmenté linéairement, proportionnellement à la ten-sion. En effet, nous avions alors :

( ) ( ) ( ) [ ]W1

2

121 )(:];[ ttCItt

CIItuItpttt −⋅=−⋅⋅=⋅=∈∀

A l’instant t2, cette puissance atteint : ( ) ( )12

2

1222 ttCItt

CIIUIP −⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⋅⋅=⋅= . Utilisant la

Formule 5.40, nous pouvons exprimer cette puissance en fonction de la tension aux bornes du condensateur à l’instant t2 :

( )( )

( ) ( ) [W]12

22

12

2

12

12

2

2 ttUC

tt

ttCIC

ttCIP

−⋅

=−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅⋅

=−⋅=

Si l’on calcule la valeur moyenne de )(tp pendant le laps de temps ];[ 21 tt , en tenant compte du fait que cette puissance croît linéairement de 0 à P2, nous obtenons :

( ) [W]12

222

21

20

ttUCPPmoy −

⋅⋅=

+=

En utilisant la définition de la puissance (Formule 1.16), nous en tirons directement :

[ ]J2221 2

1 UCE ⋅⋅=− .

Cette énergie a été stockée dans le condensateur, sous forme d’énergie électrostatique. Celui-ci a en effet emmagasiné des charges électriques. Cette énergie peut également être restituée.

Il est possible de généraliser ce résultat, en posant qu’à tout instant, l’énergie stockée dans un condensateur vaut :

Formule 5.41 [ ]J2)(2

)( tuCtE ⋅=

Tant que la tension est constante, l’énergie que contient le condensateur ne change pas. Si on sou-haite par contre modifier cette tension, il faut lui transférer ou lui retirer de l’énergie. Ce transfert ne peut se faire qu’à puissance finie, et ne peut donc pas se faire instantanément. Nous nous retrouvons dans le même cas que la bouteille thermos idéale abordée au paragraphe 5.2.2.1.

Il n’est donc pas surprenant que nous retrouvions des notions d’états et de régimes transitoires. En ef-fet, en connectant la source de courant au condensateur pendant un certain temps, nous avons fait passer celle-ci d’un état stable à un autre état stable. Comme le système était idéal, sans perte, le régime transitoire était linéaire.



NOTE : Dans le cas idéal, une tension peut subsister perpétuellement aux bornes d’un condensateur en circuit ouvert, dès le moment où elle y a été appliquée. Ce n’est bien évidemment pas le cas dans la réalité, puisque tous les isolants ont une certaine résistance, très grande mais non infinie. Nous verrons au paragraphe suivant comment cette énergie est progressivement trans-formée en chaleur.

5.4.4 Circuit R – C en parallèle

Dans les circuits électroniques, on rencontre souvent des condensateurs connectés à des résistances. Considérons par exemple le circuit de la figure ci-dessous.

BSR20060204_C.des

Ci (t)Ri (t)C

R

I

u(t)

Figure 5.30 Circuit comportant un condensateur et une résistance en parallèle

Considérons d’abord que le commutateur est dans la position indiquée par cette figure. Le théorème de Kirchhoff sur les nœuds s’applique : 0)()( =− titi CR

Admettons que la tension u(t) est initialement nulle. Le courant iR(t) circulant dans la résistance l’est aussi en vertu de la loi d’Ohm. Le courant iC(t) dans le condensateur est donc également nul, ce qui signifie que la tension ne change pas et reste à zéro.

A l’instant t1 = 0, on modifie la position du commutateur, ce qui revient à connecter le condensateur et la résistance sur la source idéale de courant I > 0. Le théorème de Kirchhoff sur les nœuds donne :

0)()( =−− titiI CR . Le courant qui circule dans le condensateur vaut donc RtuItiIti RC)()()( −=−= .

Lorsque la tension est nulle, juste après la commutation, tout le courant de la source circule dans le condensateur, et la tension u(t) commence à croître. Cependant, au fur et à mesure que la tension aug-mente, le courant circulant dans la résistance augmente également, et le courant qui reste à disposition du condensateur diminue.

A un certain moment, même si cela prend longtemps, le courant iC(t) circulant dans le condensateur aura tellement diminué qu’il sera pratiquement nul. A ce moment donc, la tension u(t) ne pourra que rester constante. Le système aura atteint un état stable caractérisé par :

∞∞=∞=∞==⋅=== URItuItiti

ttRtC )()(0)(

BSR20050210_H.des

u(t)

t

i(t)

I

U

u(t)

i (t)R

i (t)C

Figure 5.31 Évolution de la tension aux bornes d’un condensateur avec résistance en parallèle



Le régime transitoire est similaire à celui de l’inductance réelle (voir Figure 5.16), mais en intervertis-sant les rôles des tensions et des courants :

• Juste avant l’instant t1=0 : u(t) est nul, et 0)(1

==ttC ti . C’est l’état initial.

• Juste après l’instant t1=0 : ItittC =

> 1)( constant, et 0)(

1=

=tttu (pas de saut)

Le régime transitoire vise à amener le système vers un nouvel état stable, caractérisé par IRU ⋅=∞ . Pendant ce régime transitoire, la tension u(t) est donnée par

Formule 5.42 ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=≥∀

−−

∞τ

1

1)(:1

tt

eUtutt

La constante de temps τ ne dépend que des composants C et R du circuit. Elle est totalement indé-pendante des tensions et courants : Formule 5.43 [ ] [ ] [ ]sVsAAV =⋅⋅⋅= CRτ

Pour vérifier l’exactitude de cette formule il faut procéder en 2 étapes : Étape no 1 : Vérifier que la loi de Kirchhoff est respectée. On le fait successivement comme suit :

( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅⋅+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=⋅+=+

−−

∞

−−

∞ ττ

τ

11 101)()()()(tttt

CR eUCeR

Udt

tduCRtutiti

( )τ

1

0

1)()(tt

CR eCR

UCR

UR

Utiti−

−

=

∞∞∞ ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅⋅+−=+444 3444 21

RUtiti CR

∞=+ )()(

Finalement, Ititi CR =+ )()( , ce qui montre que la loi de Kirchhoff sur les nœuds est bien res-pectée.

Étape no 2 : Vérifier que la tension u(t) ne fait pas de saut au moment de la commutation. On le fait successivement comme suit :

( )( )0

tt

tte1Ue1u)t(u

11

1

−∞

−−

∞=−⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅= τ

( ) [A]011)(1

=−⋅= ∞=Utu

tt

La tension initiale du régime transitoire est bien égale à la tension de l’état de départ. Il n’y a donc pas de saut de tension.

Partant de la Formule 5.42, nous pouvons calculer la pente de la courbe qui représente la tension, juste après la commutation :

( )

ττττ ∞−

∞

−−

∞==⋅⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅=′ UeUeUtu

tt

tt0110)(

11

1

C’est la pente de la droite, représentée en Figure 5.31, qui part de l’état initial [t = t1 = 0 ; i(t) = 0], et qui coupe la droite horizontale ∞= Utu )( après un laps de temps égal à la constante de temps τ.



Remarquons qu’en remplaçant la tension et la constante de temps par leurs valeurs, cette pente vaut :

( )CI

CRIRtu

tt=

⋅⋅⋅=′

=

1)(1

La droite qui lui correspond a pour équation celle de la tension apparaissant aux bornes du condensa-teur C seul, sans résistance R, comme nous l’avons vu au paragraphe précédent (Formule 5.39).

Pour résumé, l’allure du régime transitoire peut être décrite comme suit : • Au début du régime transitoire, la tension ne fait pas de saut ; elle part de la valeur précédente

(juste avant le changement de courant). • Aux premiers instants qui suivent la commutation, la tension croît linéairement. Elle suit une

droite (1ère asymptote) qui passe par la valeur initiale de la tension à l’instant du changement de courant, et par la valeur finale de la tension après un laps de temps égal à la constante de temps τ. Le condensateur prédomine et la résistance ne joue encore aucun rôle.

• Ensuite, la variation de la tension diminue. Elle se rapproche d’une droite horizontale (2ème asymptote), qui correspond à la valeur finale de la tension.

• Vers la fin, la tension se comporte comme s’il n’y avait qu’une résistance seule, et reste cons-tant. C’est la résistance qui prédomine.

Remarque : Il est intéressant de relever que le comportement d’un condensateur avec une résistance en parallèle, connectés à une source idéale de courant, est identique à celui d’une inductance avec une résistance en série, connectées à une source idéale de tension (voir paragraphe 5.3.4). En fait, il suffit d’intervertir courants et tensions d’une part, et inductance et capacité d’autre part. Seule l’expression de la constante de temps diffère.

5.4.5 Circuit R – C en série

Considérons un autre circuit comportant un condensateur et une résistance en série, alimentés par une source idéale de tension.

Ri(t)

u (t)R

U u (t)C

u(t)

C

BSR20060204_D.des Figure 5.32 Circuit comportant un condensateur et une résistance en série

Considérons d’abord que l’interrupteur est ouvert. Le courant i(t) est nul, ce qui signifie que la tension uC(t) aux bornes du condensateur est constante. Admettons qu’elle soit initialement nulle.

A l’instant 01 =t , on ferme l’interrupteur, ce qui revient à connecter le condensateur et la résistance sur la source idéale de tension U > 0. En appliquant le théorème de Kirchhoff sur les mailles, on obtient :

0)()( =−− tutuU CR , donc )()()( tiRUtuUtu RC ⋅−=−= .



Le condensateur s’oppose à toute variation brusque de tension, ce qui fait que la tension uC(t) à ses bornes, juste après la commutation, est nulle. Toute la tension de la source est donc appliquée à la résis-tance : uR(t) peut passer soudainement de 0 à U, car la résistance ne s’y oppose pas, et le courant i(t)

saute également de 0 à RUI =1 .

Ce courant positif provoque l’augmentation progressive de la tension uC(t) aux bornes du condensa-teur, et par conséquent la diminution de la tension uR(t) aux bornes de la résistance. Ainsi, le courant dimi-nue progressivement.

Si l’on attend assez longtemps, la tension uC(t) aux bornes du condensateur aura atteint la tension U de la source. Le courant sera alors nul.

BSR20060205_A.des

u(t)

t

i(t)

I1

U

u (t)C

i(t)

t = 01

u(t)

u (t)C

u (t)R

UC = U

I = 0

Figure 5.33 Évolution de la tension et du courant d’un condensateur avec résistance en série

Pendant le régime transitoire, les tensions uC(t) et uR(t), ainsi que le courant i(t) valent:

Formule 5.44 ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

−−

τ1

1)(tt

C eUtu

Formule 5.45 ( )

τ1

)(tt

R eUtu−

−⋅=

Formule 5.46 ( )

RUIeIti

tt

=⋅=−

−

11

1

)( oùτ

Dans toutes ces formules, la constante de temps ne dépend que des composants C et R du circuit, et vaut : Formule 5.47 [ ] [ ] [ ]sVsAAV =⋅⋅⋅= CRτ

Le régime transitoire vise à amener le système vers un nouvel état stable, caractérisé par UUC =∞ . Pendant ce régime transitoire, la tension uC(t) est donnée par la Formule 5.44, la tension uR(t) est donnée par la Formule 5.45, et le courant i(t) est donné par la Formule 5.46.

Ces formules peuvent être démontrées en prouvant que la somme de uC(t) et uR(t) et en permanence égale à U, que la Formule 5.36 qui lie la dérivée uC’(t) et i(t) est respectée, que la tension uC(t) ne fait pas de saut à l’instant 01 =t , et qu’elle tend bien vers U lorsque t → ∞. Il suffit d’effectuer les calculs, comme nous l’avons fait au paragraphe précédent pour le condensateur et la résistance en parallèle.

Partant de la Formule 5.44 et de la Formule 5.46, nous pouvons calculer la pente des courbes qui re-présentent la tension uC(t) et le courant i(t), juste après la commutation :



( )

ττττ UeUeUtu

tt

ttC =⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅= −

−−

=0110)('

11

1

( )

ττττ 10

1111)(

11

1

IeIeItitt

tt=⋅⋅=⋅⋅=′ −

−−

=

Nous trouvons ainsi la pente des 2 droites représentées en Figure 5.31, qui, à l’instant t1 = 0, valent 0 pour la tension uC(t), respectivement I1 pour le courant i(t). Après un laps de temps égal à la constante de temps τ, ces droites coupent l’horizontale en U pour la tension, et l’axe des absides pour le courant i(t).

Pour résumé, l’allure du régime transitoire peut être décrite comme suit : • Au début du régime transitoire :

La tension uC(t) ne fait pas de saut, car le condensateur s’y oppose ; elle part de la valeur pré-cédente (juste avant l’enclenchement). Le courant i(t) saute à la valeur I1, car la résistance subit soudainement toute la tension U, et qu’elle ne s’y oppose pas.

• Aux premiers instants qui suivent la commutation :

La tension uC(t) croît linéairement. Elle suit la droite (1ère asymptote) qui passe par RUI =1 à

l’instant qui suit immédiatement l’enclenchement, et par sa valeur finale après un laps de temps égal à la constante de temps τ. Le courant i(t) décroît linéairement. Il suit la droite (1ère asymptote) qui passe par la valeur ini-tiale du courant à l’instant qui suit immédiatement l’enclenchement, et par sa valeur finale après un laps de temps égal à la constante de temps τ.

• Ensuite : La variation de la tension uC(t) diminue. Elle se rapproche d’une droite horizontale (2ème asymptote), qui correspond à sa valeur finale. La variation du courant i(t) diminue. Il se rapproche d’une droite horizontale (2ème asymptote), qui correspond à sa valeur finale.

• Vers la fin : La tension uC(t) reste constante, égale à U. Le courant i(t) est nul.

Remarque : Il est intéressant de relever que, si l’on connecte un condensateur et une résistance en série sur une source idéale de tension, il circule un courant non nul, correspondant à un transfert d’énergie de la source de tension vers le condensateur, mais dont l’amplitude est limitée par la résistance R. Une fois le régime transitoire terminé, le courant qui circule dans ce circuit redevient nul, car il n’y a plus de transfert d’énergie.



5.4.6 Couplage de plusieurs condensateurs

5.4.6.1 Condensateurs en série

Dans un circuit, il peut arriver que plusieurs condensateurs soient disposés en série. Ils sont ainsi tous parcourus par le même courant i(t). La dérivée de la tension aux bornes de l’ensemble peut être calculée comme suit :

)(...111...)()()(...)(')(')(')(321321

321 tiCCCC

tiC

tiCtitutututu CCC ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=+++=+++=′

C1 C2 C3

u (t)1

i(t)

u (t)2 u (t)3

u(t)

BSR20050210_K.des Figure 5.34 Condensateurs placés en série

Ces condensateurs se comportent donc exactement comme un seul condensateur équivalent, dont la valeur est donnée par :

Formule 5.48 ...111

1

321

+++=

CCC

Ce

S’il n’y a que deux condensateurs, le calcul de la capacité équivalente est plus simple :

Formule 5.49 21

21

CCCCCe +

⋅=

Remarque 1 : La capacité équivalente de plusieurs condensateurs en parallèle est toujours inférieure à la plus petite capacité d’entre elles.

Remarque 2 : La Formule 5.38 montrait comment il est possible de calculer la capacité d’un conden-sateur en connaissant ses dimensions. Si l’on connecte en série plusieurs condensateurs constitués de pla-ques de surfaces A identiques, mais séparées par des distances dk différentes, tout se passe comme si l’on avait un seul condensateur, dont les plaques auraient la même surface A, et qui seraient séparées par une distance de égale à la somme des distances dk.



5.4.6.2 Condensateurs en parallèle

Dans un circuit, il peut arriver également que plusieurs condensateurs soient disposés en parallèle. El-les ont ainsi toutes la même tension u(t) à leurs bornes. Le courant qui circule dans l’ensemble peut être calculé comme suit :

( )dt

tduCCCdt

tduCdt

tduCdt

tduCtitititi CCC)(......)()()(...)()()()( 321321221 ⋅+++=+⋅+⋅+⋅=+++=

i (t)1

i (t)2

i (t)3

C1

C2

C3

u(t)

i(t)

BSR20050210_J.des Figure 5.35 Condensateurs placés en parallèle

Ces condensateurs se comportent donc exactement comme un seul condensateur équivalent, dont la valeur est donnée par :

Formule 5.50 ∑=

=+++=n

kke CCCCC

1321 ...

Remarque 1 : La capacité équivalente de plusieurs condensateurs en série est toujours supérieure à la plus grande capacité d’entre elles.

Remarque 2 : La Formule 5.38 montrait comment il est possible de calculer la capacité d’un conden-sateur en connaissant ses dimensions. Si l’on connecte en parallèle plusieurs condensateurs constitués de plaques de surfaces Ak différentes, mais séparées par des distances d identiques, tout se passe comme si l’on avait un seul condensateur, dont les plaques auraient une surface Ae égale à la somme des surfaces Ak, et qui seraient séparées par la distance d.

5.4.7 Technologies et utilisations des condensateurs

5.4.7.1 Généralités

Les condensateurs se distinguent par leurs caractéristiques : • la valeur capacitive C et sa marge de tolérance sont bien sûr leurs caractéristiques essentiel-

les ; • la tension nominale Unom détermine la tension supportable en permanence, mais aussi celui

qu’il ne faut pas dépasser pour ne pas faire « claquer » l’isolation et la détruire ;



• le courant de fuite Ileackage détermine la durée pendant laquelle un condensateur chargé est ca-pable de maintenir sa charge (leackage en anglais signifie « fuite ») ;

• les aspects constructifs sont également importants (forme et dimensions, comportement en courant alternatif, effets parasitaires à haute fréquence, influence de la température et du vieil-lissement, etc.).

La plupart des condensateurs sont réalisés en enroulant par exemple deux feuilles métalliques sépa-rées par autant de feuilles isolantes. Il est ainsi possible d’obtenir une grande surface A dans un petit vo-lume. Les différentes technologies se distinguent essentiellement par la composition chimique de l’isolant.

5.4.7.2 Condensateurs électrolytiques

Ces condensateurs sont réalisés en enroulant des feuilles d’aluminium et de papier imprégné avec un électrolyte. Cette technologie permet de réaliser des condensateurs de très grandes capacités (1 à 100'000 μF) dans un volume réduit, et qui résistent à des tensions jusqu’à 750 V.

A cause de la nature de l’isolant, ces condensateurs sont polarisés. Une inversion accidentelle de la tension produit une dégradation irréversible des propriétés du condensateur, voire sa destruction.

Ces condensateurs présentent un effet de vieillissement très important, qui dépend du rythme auquel on les charge et les décharge. C’est actuellement le maillon faible de beaucoup d’appareil électronique comme les variateurs de fréquence et les servo amplificateurs.

BSR20060205_B.des Figure 5.36 Exemples et symbole (plusieurs normes) des condensateurs électrolytiques

(source de la photographie : Leclanché SA (CH) - www.leclanche.ch)

Les condensateurs électrolytiques sont souvent utilisés pour le stockage temporaire d’énergie, par exemple dans les redresseurs de tension alternative en tension continue.

5.4.7.3 Condensateurs à film plastique

Ces condensateurs sont réalisés par superposition de plaquettes en plastique très fines (quelques mi-crons), dont la surface est métallisée. Cette technologie permet de réaliser des condensateurs très robustes, résistant à des tensions jusqu’à 1’000 V. Ces condensateurs ne sont pas sensibles au sens de la tension, et supportent des tensions alternatives de très hautes fréquences (→ 1 MHz). Certains sont même auto-cicatrisables. Ils sont disponibles pour des capacités comprises entre (10 pF à 10 μF), et très stables en température.

Les matériaux isolants le plus souvent utilisés sont le polycarbonate, le polyester, le polypropylène et le polystyrène, chacun offrant des propriétés permettant d’optimiser à choix le volume, la stabilité, le compor-tement à hautes fréquences ou le prix.

Leur seul inconvénient est leur volume, qui ne permet pas de réaliser des condensateurs de grande capacité comme les condensateurs électrolytiques.



Figure 5.37 Exemples de condensateurs à film plastique

(source :: Leclanché SA (CH) - www.leclanche.ch)

Les condensateurs à film plastique sont utilisés pour le filtrage des perturbations électromagnétiques, ainsi que pour tous les filtrages nécessaires à la mesure, la transmission, le traitement et l’amplification de signaux.

5.4.7.4 Condensateurs céramiques

Ces condensateurs sont réalisés par superposition de plaquettes très fines réalisées à partir de pou-dres et moulées sous pression à 1'000 ºC. Leurs deux faces sont ensuite métallisées. Cette technologie permet de réaliser des condensateurs à très bas prix. Ils supportent des tensions jusqu’à 500 V, voire 10'000 V pour certains. Ils sont disponibles pour des capacités comprises entre (1 pF à 100 nF), et leur fré-quence utile va jusqu’à 100 MHz pour certaines qualités.

Leur inconvénient est le volume, qui ne permet pas de réaliser des capacités similaires aux condensa-teurs électrolytiques. De plus, les condensateurs céramiques les moins chers et les plus compacts ne peu-vent être réalisés qu’avec une très grande plage d’erreur (par exemple : -20% à +50%).

Figure 5.38 Exemples de condensateurs céramiques

(source : Yellow Stone Corp. (Taiwan)) - http://capacitors.electronic.com.tw)

Les condensateurs céramiques sont également utilisés pour les filtrages, surtout comme alternative aux condensateurs à films plastiques. Ils sont plus compacts et coûtent moins cher, mais ils présentent de moins bonnes performances.

5.4.7.5 Super condensateurs

Les super condensateurs utilisent une technologie très récente, mise au point entre autres par Max-well Technologies SA en Suisse. Leur constitution ressemble à celle des condensateurs électrolytiques, mais leurs feuilles d’aluminium sont revêtues de poudre de carbone sous forme d’aérosol, permettant de réaliser une surface atteignant 2'500 m2 par gramme de carbone. C’est grâce à cet énorme rapport surface / volume que ces super condensateurs peuvent atteindre des capacités jusqu’à 2'700 F (et non pas μF comme pour



les condensateurs électrolytiques). Toutefois, vu la très faible épaisseur de leur isolant, ils ne supportent que de très faibles tensions (quelques volt).

Les super condensateurs allient simultanément la forte capacité des condensateurs électrolytiques et l’aptitude à délivrer des pointes de courant très importantes des condensateurs à film plastique. Ils sont de plus en plus souvent utilisés pour le stockage d’énergie, lorsque l’énergie utilisée présente de fortes varia-tions.

En comparaison avec les accumulateurs de diverses technologies, les super condensateurs se distin-guent par leurs très fortes densités de puissance, alors que les accumulateurs disposent d’une meilleure densité d’énergie. C’est pourquoi ils sont très souvent utilisés en parallèle avec un accumulateur, par exemple, pour l’alimentation de véhicules électriques. L’accumulateur met l’énergie à disposition à puissance normale, et le super condensateur fournit les pointes de puissance pour les accélérations.

Figure 5.39 Exemple de super condensateur

(source : Maxwell Technologies SA - http://www.maxwell.com)



5.5 Modélisation R – C de la conduction thermique

La théorie de fonctionnement du condensateur ne sert pas qu’à la réalisation d’appareils électroni-ques. Elle est à la base de la modélisation d’autres phénomènes physiques, et en particulier de la conduc-tion thermique. Cette modélisation est utilisée par exemple pour l’étude de l’isolation des bâtiments.

Considérons une maison dont l’isolation est supposée identique en tous points de ses parois. Admet-tons qu’un système de chauffage permette d’y introduire une puissance thermique Pin(t), uniformément répartie de manière à ce que la température à l’intérieur de cette maison soit partout identique. Admettons encore que la température ambiante soit identique tout autour de cette maison.

Il est notoire que, lorsque la température à l’intérieur de la maison est plus élevée que la température ambiante, une déperdition de chaleur se produit. Physiquement, cela correspond à une puissance thermique qui s’échappe de la maison vers l’extérieur au travers des parois. Cette puissance Pout(t) est approximati-vement proportionnelle à la différence de température Tin – Tout.

BSR20060205_C.des

P (t)in

T (t)a

P (t)out

T (t)i

Figure 5.40 Exemple simplifié du chauffage et de l’isolation d’une maison

Les gens du métier parlent généralement de la conductivité thermique pour caractériser l’isolation. Plus cette conductivité est faible, moins il y aura de déperdition thermique pour une différence de tempéra-ture donnée.

Le problème se complique lorsque la température extérieure varie, par exemple lors du cycle jour – nuit. De plus, le rendement de certaines chaudières est meilleur lorsque celle-ci fonctionne à pleine puis-sance. Pour éviter de trop chauffer, il est d’usage de procéder par enclenchement et déclenchement de la chaudière, selon un rythme qui permet de maintenir la température voulue à l’intérieur de la maison. Tout se passe comme si celle-ci ne réagissait pas à la puissance instantanée du chauffage (pleine puissance, puis rien du tout), mais plutôt à la puissance moyenne.

Ici encore, les gens du métier parlent de l’inertie thermique des parois de la maison pour caractériser sa faculté de ne pas refroidir tout de suite lorsque le chauffage est arrêté, et de ne pas chauffer immédiate-ment lorsqu’il est réactivé. Le terme généralement employé est celui de « capacité thermique ». Elle traduit la faculté des parois d’emmagasiner l’énergie thermique lorsqu’il y en a trop, et de la restituer lorsqu’il n’y en a pas assez.



C’est là un domaine où le modèle des circuits R – C électriques peut être utile, même s’il n’est pas question de courants et de tensions mais plutôt de flux thermiques et de températures. Ainsi, en se basant sur les équivalences du tableau ci-dessous, le comportement du chauffage et de l’isolation de la maison peut être étudié par exemple avec le modèle de la Figure 5.41. Il convient de remarquer que la conductivité ther-mique est l’inverse de la résistance thermique.

Thermique Électricité

Température T [K] Tension u [V] Flux thermique P [W] Courant i [A] Résistance thermique Rth [K/W] Résistance R [Ω] Capacité thermique Cth [J/K] Capacité C [F]

Table 5.3 Équivalence des grandeurs thermiques et électriques pour la modélisation Le modèle ci-dessous considère que la paroi comporte deux couches caractérisées par des résistan-

ces et des capacités thermiques différentes (brique, isolation, etc.). Au besoin, il serait facile d’affiner le mo-dèle en rajoutant des termes R – C pour chaque couche supplémentaire de la paroi.

P (t)in P (t)outRth i-1 Rth 1-2 Rth 2-a

Cth 1 Cth 2T (t)i T (t)aT (t)1 T (t)2

BSR20060205_D.des Figure 5.41 Modèle thermique d’une maison et de son isolation

Un tel modèle permet d’analyser et de prévoir le comportement de la maison lorsque le chauffage est enclenché et déclenché, incluant le phénomène de lissage de la température que procure la capacité ther-mique des parois. Il est possible de le compléter en fonction des besoins. Par exemple, il est possible de tenir compte de la présence de fenêtres, dont les caractéristiques thermiques sont différentes, en ajoutant un réseau de composants R – C en parallèle entre la source de courant de gauche (chauffage) et la source de tension de droite (air ambiant).



5.6 Théorie des circuits en régime transitoire

Nous connaissons maintenant les 5 composants de base de la théorie des circuits : • la source idéale de tension u(t) ; • la source idéale de courant i(t) ; • la résistance R ; • l’inductance L ; • la capacité C.

Les lois de Kirchhoff vues au paragraphe 2.2.2.2 s’appliquent sans restriction à tous ces compo-sants, pour autant que l’on considère les valeurs de tensions, respectivement de courants, relevées au même instant t. Comme nous l’avons vu en effet au chapitre 3.3 relatif aux alimentations triphasées, il n’est pas possible d’utiliser ces lois si l’on ne considère que les valeurs moyennes ou efficaces.

Loi sur les nœuds : 0...)()()( 321 =+++ tititi (pour autant que les sens de courants pointent tous vers le nœud, ou tous vers l’extérieur du nœud).

Loi sur les mailles : 0...)()()( 321 =+++ tututu (pour autant que les sens de tensions soient tous orienté dans le sens de rotation des aiguilles d’une montre, ou tous orientés dans le sens inverse).

Le principe de conservation de l’énergie s’applique également sans restriction, pour autant que l’on tienne compte des énergies stockées dans les inductances et les capacités.

Le principe de superposition s’applique également sans restriction. Les méthodes de réduction des circuits s’appliquent par analogie aux inductances et aux condensa-

teurs. Il est permis de replacer les composants dans l’ordre qui convient le mieux, puis de les remplacer par leur équivalent, type par type.

R1 L1 R2

C1

U1

L2

C2

U2

Re Le

Ce

Ue

BSR20050309_O.des

I

I

Figure 5.42 Simplification des composants en série dans une branche

(attention : une seule source de courant par branche)



R1 L1 R2

C1

I1

L2

C2

I2

Re

Ie

Le

BSR20050309_P.des

Ce

U

U

Figure 5.43 Simplification des composants en parallèle entre deux nœuds

(attention : une seule source de tension entre deux nœuds

La présence d’inductances et de condensateurs dans un circuit électrique amène avec certitude des régimes transitoires lorsque les sources de tension et de courant ne sont pas constantes, ou lorsque le cir-cuit comporte des éléments de commutation comme des interrupteurs.

Toutefois, lorsque toutes les sources de tension et de courant fonctionnent à valeurs constantes, et que les éventuels éléments de commutation ne sont pas activés, l’étude du circuit peut être simplifiée en se rappelant que :

• une inductance parcourue par un courant constant a une tension nulle à ses bornes ; elle peut être remplacée par un court-circuit ;

• un condensateur ayant une tension constante à ses bornes et parcouru par un courant nul ; il peut être remplacé par un circuit ouvert.

Ainsi, par exemple, le circuit de la Figure 5.44 peut être simplifié comme l’indique la Figure 5.45.

i(t)

u(t)

2,2 k

1 k

820

1 k

0,68 F!

1 k

150 k

1 k

1 mH

10 nF

47 mH

BSR20050309_N.des

10 k

Figure 5.44 Circuit à simplifier



I

U

2,2 k

1 k

820

1 k

1 k

BSR20050309_T.des

10 k

Figure 5.45 Circuit simplifié pour des tensions et courants constants

Rappel : Cette simplification n’est possible que si toutes les tensions et tous les courants sont cons-tants.

Pour résumer, la Table 5.4 énumère systématiquement les relations pour les résistances, inductances et condensateurs en régime continu et en régime transitoire.

Résistance Inductance Condensateur

Symbole

Relation i(t) → u(t) )()( tiRtu ⋅= dt

tdiLtu )()( ⋅= ∫⋅= dttiC

tu )(1)(

Relation u(t) → i(t) Rtuti )()( = ∫⋅= dttu

Lti )(1)(

dttduCti )()( ⋅=

Mise en série K++= 21 RRRe K++= 21 LLLe K++=

21

111CCCe

Mise en parallèle K++=

21

111RRRe

K++=21

111LLLe

K++= 21 CCCe

Énergie stockée 0)( ≡tE )(21)( 2 tiLtE ⋅⋅= )(

21)( 2 tuCtE ⋅⋅=

Puissance thermique dissipée

)()( 2 tiRtP ⋅=

RtutP )()(

2

= 0)( ≡tP 0)( ≡tP

Comportement s’oppose aux variations brusques de courant

s’oppose aux variations brusques de tension

Table 5.4 Résumé des relations relatives aux résistances, inductances et condensateurs






Chapitre 6

Impédance et fonction de transfert

6.1 Bases mathématiques

6.1.1 Les nombres complexes

Dans l’ensemble des nombres réels ℜ , l’équation xy = n’a pas de solution si 0<x . Pour tour-ner la difficulté, les chercheurs du XVIème siècle proposèrent de représenter par la lettre i la solution de l’équation 012 =+x , ce qui revient à définir 1−=i .

Convention d’écriture : Les mathématiciens d’alors choisirent la lettre i, qui, historiquement, était l’abréviation de « impossible » plutôt qu’ « imaginaire ». Comme cette lettre peut provoquer des confusions avec le symbole du courant électriques, les ingénieurs électriciens et automaticiens utilisent plutôt la lettre j. C’est cette convention que nous utilisons dans ce cours.

DÉFINITION 6.1 : Un nombre complexe est un objet mathématique de la forme jbaz ⋅+= , où a et b sont deux nombres réels, et où 1−=j .

DÉFINITION 6.2 : Le nombre a est la partie réelle du nombre complexe z , noté zℜ .

DÉFINITION 6.3 : Le nombre b est la partie imaginaire du nombre complexe z , noté zℑ .

Règle de notation : Dans le cadre de ce cours, nous utilisons systématiquement pour représenter les va-leurs complexes des lettres soulignées, par exemple z , afin d’éviter toute confusion. Il faut cependant être conscient que beaucoup de traités ne font pas toujours cette distinction.



BSR20060827_A.des

x

y

ex

a

b

O

P

ey

Figure 6.1 Représentation vectorielle d’un nombre complexe

Comme le montre la Figure 6.1, tout nombre complexe peut être représenté sous la forme d’un vec-teur dans un plan. Il peut être défini sous deux formes :

• sous forme algébrique, par les projections a et b sur les axes x et y ;

• sous forme trigonométrique, par le module ρ et l’argument ϕ du vecteur correspondant.

Conventions d’écriture : Un nombre complexe exprimé sous forme trigonométrique s’écrit ];[ ϕρ=z . Dans le cadre de ce cours, l’angle ϕ est exprimé en radians sauf si le symbole « ° » indique clairement que l’angle est exprimé en degrés. Exemple : ]45;1[]785,0;1[ °==z .

En faisant une analogie avec les vecteurs, il est possible de convertir un nombre complexe de sa forme algébrique en forme trigonométrique, et réciproquement, en appliquant les formules suivantes :

Formule 6.1 22 ba +=ρ

( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<<−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

><+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

002

arctan

002

arctan

0arctan

betasiab

betasiab

asiab

π

πϕ

Formule 6.2 ϕρ cos⋅=a ϕρ sin⋅=b

EXEMPLE Considérons un cercle de rayon unité, et les deux droites qui forment des angles de ±30° avec l’axe des abscis-

ses. Faisons correspondre un nombre complexe à chacune des 4 intersections de ces droites avec le cercle. Ces nombres complexes peuvent être exprimés à choix sous forme algébrique ou trigonométrique. En se rappelant que

866,0~30cos =° et 5,030sin =° , on peut exprimer ces 4 nombres sous formes algébrique et trigonométrique :

( )( ) ]618,2;1[)]142,3524,0(;1[]150;1[]18030;1[5,0866,0

]618,2;1[)]142,3524,0(;1[]150;1[]18030;1[5,0866,0]524,0;1[]30;1[5,0866,0

]524,0;1[]30;1[5,0866,0

−=−=°−=°−°=⋅−−==+−=°=°+°−=⋅+−=

−=°−=⋅−==°=⋅+=

jzjz

jzjz

6.1.2 Addition et soustraction de deux nombres complexes

La somme de deux nombres complexes se calcule le plus aisément en les exprimant sous leur forme algébrique, et en faisant une analogie avec la somme de deux vecteurs.



a1

b1

"

#

+ =

##

" "BSR20060827_B.des

a2

b2

a2

b2

a1

b1

Figure 6.2 Addition de deux nombres complexes

Formule 6.3 ( ) ( ) ( ) ( )4342143421

bbbj

aaabjabjazzz 2121221121 +⋅++=⋅++⋅+=+=

La différence entre deux nombres complexes se calcule de manière analogue : Formule 6.4 ( ) ( ) ( ) ( )

4342143421b

bbja

aabjabjazzz 2121221121 −⋅+−=⋅+−⋅+=−=

6.1.3 Multiplication de deux nombres complexes

Pour la multiplication en revanche, on est face à une ambiguïté par rapport aux vecteurs. En effet, si nous assimilons les nombres complexes à des vecteurs placés dans un plan, il serait souhaitable que le nombre complexe qui résulte de la multiplication soit également un vecteur, placé dans le même plan. Il n’est donc pas possible de procéder comme pour le produit scalaire de deux vecteurs, car le résultat n’est pas un vecteur, ni comme le produit vectoriel, car le résultat est un vecteur qui sort du plan.

Le produit de deux nombres complexes est donc une nouvelle opération, appelée « produit imagi-naire », et utilisant leur forme trigonométrique. Il s’agit en fait d’une construction géométrique qui consiste à multiplier les modules et à additionner les arguments.

=

· ·

#

"

#

"

#

"BSR20060827_C.des

Figure 6.3 Addition de deux nombres complexes

Formule 6.5 ( ) ( )];[];[];[ 2121221121 4342143421ϕ

ϕϕρ

ρρϕρϕρ +⋅=⋅=⋅= zzz

La cohérence de cette définition avec la base des nombres complexes peut être montrée en multi-pliant le nombre imaginaire j par lui-même. En forme algébrique, le nombre imaginaire j s’exprime par

( )jz ⋅+= 10 . En forme trigonométrique, il s’exprime par ]2

;1[ π=z . Le résultat de la multiplication utilisant

la Formule 6.5 aboutit au résultat suivant :



( ) ];1[]22

;11[]2

;1[]2

;1[11 πππππ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=⋅=⋅= zzz

La forme algébrique de ce résultat est ( )jz ⋅+−= 01 . On retrouve la définition du nombre imagi-naire j , à savoir que 12 −=j , ou 1−=j .

6.1.4 Division de deux nombres complexes

Le rapport de deux nombres complexes se calcule par analogie :

Formule 6.6 ( )];[];[];[

212

1

22

11

2

1

43421321 ϕ

ϕϕ

ρ

ρρ

ϕρϕρ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

zz

z

6.1.5 Puissances d’un nombre complexe

Il est possible de multiplier un nombre complexe plusieurs fois par lui-même, ce qui revient à faire un calcul de puissance, en procédant par analogie :

Formule 6.7 ];[];[ 11111

ϕϕ

ρρϕρ ⋅=== azz aaa

Dans le raisonnement qui about à la Formule 6.7, a est supposé être un nombre entier positif. Il est toutefois possible de généraliser ce résultat à n’importe quel exposant réel, positif ou négatif.

6.1.6 Forme exponentielle des nombres complexes

La forme exponentielle des nombres complexes est basée sur la formule d’Euler, qui se démontre à partir du développement en série de Taylor des fonctions xcos et xsin (où x est un nombre réel), ainsi que de la fonction exponentielle ze , où xjz ⋅= .

Formule 6.8 (Formule d’Euler) xjxe xj sincos ⋅+=⋅

Cette formule peut être interprétée en considérant que la fonction xje ⋅ décrit le cercle unité dans le plan complexe, lorsque x représente l’angle entre l’axe des réels positifs et le vecteur ayant le centre du cercle pour origine, et aboutissant au point considéré sur le cercle.



BSR20060827_D.des

x

O

P

"

#

1

j

Figure 6.4 Interprétation trigonométrique de la formule d’Euler

Attention : La formule d’Euler n’est valable que si les angles sont exprimés en radians !

6.2 Représentation complexe des signaux sinusoïdaux

6.2.1 But recherché

Nous avons vu au paragraphe 3.2.4, et en particulier à la Figure 3.11, qu’une tension et un courant al-ternatifs peuvent être représentés par des vecteurs tournants. La représentation complexe à l’aide de la formule d’Euler apporte un avantage supplémentaire : Les circuits alimentés en tension alternative pourront être étudiés avec les mêmes lois que les circuits alimentés en tension continue, vus au Chapitre 2 :

• Nous avions vu au paragraphe 3.3.3 que la loi de Kirchhoff sur les nœuds ne s’appliquait pas au calcul du courant de neutre d’un système alternatif triphasé lorsque les courants de phases sont exprimés en valeurs efficaces. Avec la représentation complexe de ces courants, la loi de Kirchhoff reprendra toute sa pertinence.

• Il en va de même avec le comportement des condensateurs et des inductances. Leurs équa-tions en fonction du temps vues aux paragraphes 5.3 et 5.4 sont très différente de la loi d’Ohm. La représentation complexe permettra d’introduire la notion d’impédance, et la loi d’Ohm de-viendra utilisable également pour ces composants « à stockage d’énergie ».

Au-delà de l’électricité, l’approche utilisée pour les signaux sinusoïdaux est essentielle à la compré-hension du comportement de tous les systèmes physiques oscillatoires : phénomènes de vibrations, régula-teurs de tous genres, propagation de la lumière, etc.

6.2.2 Représentation vectorielle et représentation complexe

Considérons un nombre complexe variable au cours du temps, donné par :

Formule 6.9 ( )ϕω +⋅⋅⋅= tjeZtz )( , où Z , ω et ϕ sont des nombres réels

En appliquant la formule d’Euler (Formule 6.8), le nombre peut être représenté comme indiqué dans la partie gauche de la Figure 6.5. Le rayon du cercle vaut Z . A l’instant 0=t , la valeur )0(z correspond au point )0(P du cercle, placé de manière à ce que le rayon qui aboutit sur ce point forme un angle ϕ avec l’axe des abscisses.



z(t)

T

+Z

-Z

Z·jZ·j

O

P(t)

ttt

·t·t

BSR20061011_E.des

"

#

Z·1Z·1

P(0)

0

Figure 6.5 Représentation vectorielle et complexe d’un signal sinusoïdal

Lorsque le temps t croît à vitesse ω constante, la valeur ( )ϕω +⋅ t augmente linéairement. Le point )(tP et le nombre complexe )(tz parcourent le cercle de rayon Z , dans le sens inverse des aiguilles d’une

montre. Si l’on considère la partie imaginaire de ce nombre, que l’on note )(tzℑ , on obtient une valeur qui,

au court du temps, parcourt une sinusoïde. Il convient de remarquer que, pour un angle 0≠ϕ , cette valeur à l’instant 0=t est non nulle.

Formule 6.10 ( ) ( )ϕωϕω +⋅⋅=⋅ℑ= +⋅⋅ tZeZtz tj sin)(

Après un certain laps de temps T , le point P a fait un tour complet du cercle, soit un angle de π⋅2 . Ce temps T est, par définition, la période du signal sinusoïdal.

Pour que la figure soit complète, nous pouvons encore calculer le temps nécessaire pour que le point

)(tP parcoure l’arc intercepté par l’angle ϕ , exprimé en radians : Tt ⋅⋅

=Δπ

ϕ2

NOTE : Dans certains traités d’électricité, on considère la projection du point P non pas sur l’axe des ordonnées, mais plutôt sur celui des abscisses. Dans ce cas, on obtient ( ) ( )ϕωϕω +⋅⋅=⋅ℜ= +⋅⋅ tZeZtz tj cos)( . Cette convention a une influence sur l’orientation de l’angle qui correspond au déphasage, ce qui peut expliquer certaines différences dans les formules proposées. Dans le cadre de ce cours, nous nous en tiendrons à la convention de la Formule 6.10.

6.2.3 Représentation complexe de tensions et de courants alternatifs sinusoïdaux

Appliquons maintenant ce que nous venons d’établir à une tension sinusoïdale d’amplitude Û , de pulsation f⋅⋅= πω 2 (ou f est la fréquence), et de déphasage Uϕ (soit l’angle qui permet de calculer la valeur instantanée de cette tension à l’instant 0=t . Utilisant le résultat obtenu au paragraphe précédent, nous pouvons écrire :

Formule 6.11 ( ) ( )Utj tÛeÛtu U ϕωϕω +⋅⋅=⋅ℑ= +⋅⋅ sin)(

De même, pour un courant sinusoïdal d’amplitude Î à la même fréquence ω , de déphasage Iϕ :

Formule 6.12 ( ) ( )Itj tÎeÎti I ϕωϕω +⋅⋅=⋅ℑ= +⋅⋅ sin)(



Nous retrouvons bien les équations des tensions et courants sinusoïdaux vues au chapitre 3.2. S’il s’agit de la tension et du courant appliqués à une charge linéaire, la fréquence ω ne peut être qu’identique pour le courant et la tension De plus, si la charge n’est pas résistive pure, les déphasages Uϕ et Iϕ sont différents (voir 3.2.5).

DÉFINITION 6.4 : On appelle tension complexe instantanée l’expression ( )UtjeÛtu ϕω +⋅⋅⋅=)( .

DÉFINITION 6.5 : On appelle courant complexe instantané l’expression ( )ItjeÎti ϕω +⋅⋅⋅=)( .

Si l’on utilise la propriété des fonctions exponentielles selon laquelle baba eee ⋅=+ , nous pouvons dé-composer la tension complexe instantanée comme suit :

Formule 6.13 tjj eeÛtu U ⋅⋅⋅ ⋅⋅= ωϕ43421

constant

)(

La première partie de cette expression est constante, et caractérise l’amplitude et le déphasage de cette tension. La seconde partie fait apparaître la variation sinusoïdale au cours du temps, ainsi que la pulsa-tion ω , qui est liée à la fréquence f .

Comme nous l’avons vu au chapitre 3.2, on préfère définir l’amplitude d’une tension sinusoïdale par sa valeur efficace, plutôt que par sa valeur de crête. L’expression de la Formule 6.13 devient ainsi :

Formule 6.14 tjjrms eeUtu U ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅= ωϕ

44 344 21constant

2)(

Le même raisonnement peut être appliqué au courant :

Formule 6.15 tjjrms eeIti I ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅= ωϕ

4434421constant

2)(

DÉFINITION 6.6 : La tension complexe U d’une tension sinusoïdale est la valeur Uj

rms eUU ϕ⋅⋅= .Son unité est le volt [V].

DÉFINITION 6.7 : Le courant complexe I d’une tension sinusoïdale est la valeur Ijrms eII ϕ⋅⋅= .

Son unité est l’ampère [A].

Les expressions de la tension et du courant complexes instantanés deviennent ainsi :

Formule 6.16 tjeUtu ⋅⋅⋅⋅= ω2)( , respectivement tjeIti ⋅⋅⋅⋅= ω2)(



6.3 Impédance – loi d’Ohm généralisée

6.3.1 Définition de l’impédance

La loi d’Ohm appliquée à une résistance nous avait permis de définir la résistance comme étant le rapport de la tension entre ses bornes et du courant qui la traverse. Nous avons vu qu’elle s’appliquait aussi bien à des tensions continues qu’à des tensions variables au cours du temps :

Formule 6.17 [ ]Ω=)()(

tituR

Il est utile de considérer ce que devient cette loi si la tension appliquée est sinusoïdale, et si la charge est composée de résistances, de condensateurs et d’inductances. Tout d’abord, il convient de rappeler que nous ne considérons que des charges linéaires, comme définit au paragraphe 2.1.3.

Loi d’Ohm généralisée :

Si on applique une tension alternative sinusoïdale aux bornes d’une charge linéaire, le courant qui traverse cette charge est également sinusoïdal, et présente la même fréquence f (donc la même pulsation ω).

NOTE : Il existe des charges non-linéaires. C’est le cas par exemple si l’on tient compte des phénomènes de saturation dans une bobine, ou pour certains matériaux dont la résistivité varie en fonction de la tension appliquée (varistors). Dans de tels cas, la loi précédente n’est pas valable. Le courant sera certes périodique, avec la même constante de temps T. Toutefois, il sera formé de la superposition de plusieurs courants à fréquences différentes et présentant des déphasages différents. La fréquence la plus basse sera identique à la fréquence de la tension ; elle est appelée fréquence fondamentale. Les autres fréquences seront des multiples entiers de la fréquence fondamentale, et sont appelées harmoniques. Le même phénomène se produit lorsque la charge contient des semi-conducteurs. Ainsi, l’alimentation de la plupart des appareils électroniques alimentés par le réseau 230 V / 50 Hz comporte un redresseur, et produit des harmoniques de courant. Comme la quantité de tels appareils est gigantes-que, leur effet cumulé provoque une déformation bien visible de la sinusoïde de tension.

Calculons le rapport des valeurs instantanées complexes de la tension et du courant appliqués à une charge linéaire :

( )IU

I

Uj

rms

rmsj

rms

jrms

tj

tj

eI

UeIeU

IU

eIeU

titu ϕϕ

ϕ

ϕ

ω

ω−⋅

⋅

⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅=⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅

=22

)()(

On constate que ce rapport est indépendant du temps, puisque les termes en tje ⋅⋅ω disparaissent. Nous obtenons donc bien une valeur qui est une caractéristique à la charge. Deux cas peuvent se présen-ter :

• Si la charge considérée se comporte comme une résistance pure, les déphasages Uϕ et Iϕ sont identiques. Le résultat de la division est alors un nombre réel puisque 10 =⋅je . On re-trouve la loi d’Ohm, et le résultat est égal à la résistance R de la charge.

• Si la charge ne se comporte pas comme une résistance pure, les déphasages Uϕ et Iϕ sont différents. Le résultat ressemble à celui de la loi d’Ohm et caractérise la charge. Toutefois il s’agit d’un nombre complexe.



DÉFINITION 6.8 : On appelle impédance Z d’une charge linéaire le rapport de la tension complexe U appliquée à ses bornes, et du courant complexe I qui la traverse. L’unité de l’impédance est l’ohm [Ω].

[ ]Ω=I

UZ

L’impédance Z étant a priori un nombre complexe, on peut la décomposer en sa partie réelle et sa partie imaginaire. La partie réelle a la nature d’une résistance. La partie imaginaire fait l’objet de la définition suivante :

DÉFINITION 6.9 : On appelle réactance X d’une charge linéaire la partie imaginaire de son impé-dance Z. Comme la résistance, son unité est l’ohm [Ω].

Formule 6.18 [ ]Ω=ℜ RZ [ ]Ω=ℑ XZ

Il en résulte que l’impédance d’une charge résistive pure est une résistance. Sa réactance est nulle. Dans certains jargons techniques, l’impédance est présentée comme un nombre réel. C’est par

exemple le cas lorsqu’on parle de l’impédance d’un haut-parleur, ou de l’impédance caractéristique d’un câble TV. En fait, on confond alors l’impédance (nombre complexe), avec le module (réel) de ce nombre, qui est donné par :

Formule 6.19 ( ) [ ]Ω+= 22mod XRZ

Nous verrons que la réactance X est presque toujours fonction de la fréquence. L’impédance Z et son module sont donc également fonction de la fréquence.

6.3.2 Inductance en régime sinusoïdal

Nous avons vu au paragraphe 5.3.1 que la tension aux bornes d’une inductance idéale et le courant qui la traverse obéissent à la relation :

( ) ( ) [ ]Vdt

tdiLtu ⋅=

Si on connecte cette inductance à une source idéale de courant ( )tIti rms ⋅⋅⋅= ωsin2)( , et si l’on fait appel à quelques relations mathématiques, la tension qui apparaît à ses bornes vaut donc :

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )tILdt

tdILdt

tIdLtu rmsrmsrms ⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅= ωωωω cos2sin2sin2

Finalement : ( )( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅⋅⋅⋅=

2sin2 πωω

ω

tILturmsU

rms4434421.

Nous constatons que la tension aux bornes d’une inductance idéale, parcourue par un courant sinu-soïdal, est également sinusoïdale, à la même fréquence, déphasée de 90°. Par ailleurs, son amplitude est proportionnelle à la fréquence.



u(t)

T

$º$º

O

t

BSR20060913_A.des

"

#

U(0)

I(0) 0-T/4

·t·t

i(t)

Figure 6.6 Tension et courant sinusoïdaux aux bornes d’une inductance idéale

On remarque sur la figure que le courant est en retard sur la tension. C’est dû au fait que l’inductance s’oppose aux variations de courant. C’est lorsque la tension est la plus élevée que le courant croît le plus rapidement, ce qui est le cas lorsqu’il passe par zéro.

Exprimons ce courant et cette tension sous leur forme complexe. Nous obtenons alors :

rmsj

rms IeII =⋅= ⋅0 , car le déphasage Iϕ est nul, et 10 =e ;

LjIeILU rms

j

rms ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅

ωωπ2 , car le déphasage

2πϕ =U , et je

j=

⋅2π

.

En divisant la tension complexe par le courant complexe, nous obtenons : Formule 6.20 LjZ ⋅⋅= ω

(si ω est exprimé en [s-1] et L en [H], Z est en [Ω] )

Il en résulte que l’impédance d’une inductance idéale est une réactance pure, positive, dont la valeur, LX ⋅= ω , est proportionnelle à la fréquence.

A fréquence nulle, l’impédance d’une inductance est nulle ; elle se comporte comme un court-circuit ou un interrupteur fermé.

La forme trigonométrique de cette impédance est ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅=

2;πω LZ .

6.3.3 Condensateur en régime sinusoïdal

Nous avons vu au paragraphe 5.4.1 que le courant qui traverse un condensateur idéal et la tension à ses bornes obéissent à la relation :

( ) ( ) [ ]Adt

tduCti ⋅=

Si on connecte ce condensateur à une source idéale de tension ( )tUtu rms ⋅⋅⋅= ωsin2)( , et si l’on fait appel à quelques relations mathématiques, le courant qui le traverse vaut donc :

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )tUCdt

tdUCdt

tUdCti rmsrmsrms ⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅= ωωωω cos2sin2sin2



Finalement : ( )( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅⋅⋅⋅=

2sin2 πωω

ω

tUCtirmsI

rms44 344 21.

Nous constatons que le courant qui traverse un condensateur idéal, lorsqu’il est connecté à une source de tension sinusoïdale est également sinusoïdal, à la même fréquence, déphasée de 90°. Par ail-leurs, son amplitude est proportionnelle à la fréquence.

u(t)

TO

t

BSR20060914_A.des

"

#

U(0)

I(0)

0-T/4

·t·t

i(t)

$º$º

Figure 6.7 Tension et courant sinusoïdaux aux bornes d’un condensateur idéal

On remarque sur la figure que la tension est en retard sur le courant. C’est dû au fait que le condensateur s’oppose aux variations de tension. C’est lorsque le courant est le plus élevée que la tension (qui traduit l’état de charge du condensateur) croît le plus rapidement, ce qui est le cas lorsqu’il passe par zéro.

Exprimons cette tension et ce courant sous leur forme complexe. Nous obtenons alors :

rmsj

rms UeUU =⋅= ⋅0 , car le déphasage Uϕ est nul, et 10 =e ;

CjUeUCI rms

j

rms ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅

ωωπ2 , car le déphasage

2πϕ =I , et je

j=

⋅2π

.

Jusqu’à ce stade, nous constatons qu’il y a une très grande similitude entre le condensateur et l’inductance lorsqu’on considère les résultats algébriques et graphiques. Il suffit simplement d’intervertir les termes « tension » et « courant », puis de remplacer le terme « condensateur » par « inductance ».

En divisant la tension complexe par le courant complexe, nous obtenons :

Formule 6.21 Cj

Z⋅⋅

=ω1

(si ω est exprimé en [s-1] et C en [F], Z est en [Ω] )

Il en résulte que l’impédance d’un condensateur idéal est une réactance pure, négative, dont la valeur,

CX

⋅=

ω1 , est inversément proportionnelle à la fréquence.

A fréquence nulle, l’impédance d’une inductance est infinie ; elle se comporte comme un interrupteur ouvert.

La forme trigonométrique de cette impédance est ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⋅=

2;1 π

ω CZ .



6.3.4 Combinaison de composants dans une charge

Dans les paragraphes précédents, nous avons considéré que la charge était soit une résistance idéale, soit une inductance idéale, soit un condensateur idéal. Le tableau ci-dessous résume les résultats obtenus.

Résistance Inductance Condensateur

Symbole

R L C Impédance (algé-brique) RZR = LjZL ⋅⋅= ω

CjZC ⋅⋅

=ω1

Impédance (gra-phique) ZR

BSR20060914_E.des

#

"

ZL

BSR20060914_F.des

#

"

ZC

BSR20060914_G.des

"#

Déphasage ten-sion-courant

U

I

BSR2000914_H.des

#

"

BSR20070814_B.des

U

I

#

"

BSR20070814_C.des

U

I

#

"

Table 6.1 Comparaison des résistance, inductance et condensateur en régime sinusoïdal En général, les circuits électriques comportent plusieurs composants de divers types : résistances, in-

ductances et condensateurs, sans compter les sources de tension et de courant. Il est important de savoir que la théorie des circuits vue au Chapitre 2 s’applique intégralement à de telles charges, pour autant que les tensions et courants soient exprimés en valeurs complexes.

Plus précisément : • Le calcul des tensions et courants exprimés en valeurs complexes n’est possible que si toutes

les sources de tension et/ou de courant opèrent à la même fréquence. • Dès lors, les lois de Kirchhoff s’appliquent sans restriction.

En effet, les valeurs complexes contiennent toutes les informations sur les tensions et courants, à savoir leur amplitude et leur phase. Ce n’était pas le cas des valeurs efficaces vues au para-graphe 3.2.2, qui ne renseignaient que sur les amplitudes. C’est parce que l’information sur les phases manquaient que le calcul du courant de neutre d’un système triphasé semblait illogique.

• Les principes d’analyse et de réduction des circuits vus au Chapitre 2 peuvent être utilisés sans restriction, mais pour chaque fréquence séparément. Si les sources opèrent à des fréquences différentes (une source continue pouvant être assimi-lée à une source alternative de fréquence nulle), la seule possibilité de déterminer les tensions



et les courants au sein du circuit consiste à appliquer le théorème de superposition, en traitant séparément les sources de chaque fréquence. Chaque tension et chaque courant sera donc la somme de tensions complexes définies à des fréquences différentes. A quelques exceptions près, leur addition n’est pas toujours évidente.

• Lorsqu’une maille comporte plusieurs résistances, plusieurs inductances et plusieurs condensa-teurs, quel que soit l’ordre dans lequel ces composants sont interconnectés, ceux-ci peuvent dans un premier temps être assimilés à une résistance équivalente, une inductance équivalente et un condensateur équivalent en série, comme nous l’avons vu au paragraphe 5.6 pour les ré-gimes transitoires. Si, en plus, la fréquence de toutes les sources considérées est identique, l’ensemble de ces composants peut être remplacé par une seule impédance équivalente.

EXEMPLE NO 1 Un circuit comporte une résistance et un condensateur en parallèle. Quelle est l’impédance équivalente ?

BSR20061011_F.des

R

C

On calcule tout d’abord d’impédance de ces deux composants :

][Ω= RZ R

][1Ω

⋅⋅=

CjZ C ω

L’impédance équivalente se calcule de manière analogue à 2 résistances en parallèle (voir paragraphe 2.3.2 :

][// Ω+⋅

==CR

CRCRe ZZ

ZZZZZ

On en tire : ][11

1

Ω⋅⋅⋅+

=

⋅⋅+

⋅⋅⋅

=RCj

R

CjR

CjR

Z e ωω

ω



Mod( )Z

R

R/10

R/100

R/1’000

R/1,41

1/RC0,1/RC 10/RC

100/RC 1’000/RC

0°1/RC0,1/RC 10/RC 100/RC 1’000/RC

Arg( )Z

-45°

-5,7°

-84,3°

-90°BSR20060917_A.des

Figure 6.8 Représentation du module et de l’argument de l’impédance de R//C (attention : le module de Z et la pulsation ω sont représentés en échelle logarithmique).

Pour des fréquences très faibles 1<<⋅⋅ RCω , l’impédance équivalente est tout simplement égale à R . Tout se passe comme si le condensateur était remplacé par un interrupteur ouvert : En parallèle avec la résistance, il n’a sim-plement plus d’influence.

Pour des fréquences très élevées 1>>⋅⋅ RCω , l’impédance équivalente diminue en proportion inverse de la fréquence. La résistance ne joue pratiquement plus aucun rôle.

Le métier de l’ingénieur comprend l’art de faire des approximations. Il peut souvent en faire, comme le montre cet exemple pour des fréquences très faibles ou très élevées. Bien sûr, de telles approximations doivent être motivées rigou-reusement, par exemple en montrant que 210−≅⋅⋅ RCω . A contrario, si cette première évaluation montre que

RC ⋅⋅ω est proche de 1 (par exemple dans une fourchette comprise entre 0,1 et 10, l’ingénieur devra faire le calcul complet, comme indiqué plus haut.

EXEMPLE NO 2 Un circuit comporte les composants suivants en série : 10 Ω, 2,2 μF, 3,3 Ω, 15 nH et 0,47 μF en série. Quelle est

l’impédance équivalente ?

=

10 3,3 220 nH0,27 !F 0,47 !F Z = ?BSR20070815_C.des

On calcule successivement :

• la résistance équivalente

[ ]Ω=+= 3,133,310eR



• l’impédance de la résistance équivalente

[ ]Ω== 3,13Re eRZ

• la capacité équivalente

[ ]F1017,0~1047,01027,01047,01027,0 6

66

66−

−−

−−

⋅=⋅+⋅⋅⋅⋅

=eC

• l’impédance de la capacité équivalente

][1017,0

16 Ω

⋅⋅⋅= −ωj

Z Ce

• l’impédance de l’inductance

][10220 9 Ω⋅⋅⋅= −ωjZ Le L’impédance de l’ensemble s’obtient par la somme de ces 3 impédances :

][102201017,0

1103,13 96

3Re Ω⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+⋅=++= −

− ωω

jj

ZZZZ LeCe

On peut regrouper les termes complexes :

][1017,0

1102203,13 69 Ω⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⋅

−⋅⋅⋅+= −−

ωωjZ

Cette impédance est une fonction plutôt compliquée de la fréquence. Nous pouvons par exemple calculer sa valeur pour 200 kHz en procédant successivement comme suit :

][1017,0102002

1102201020023,13 6393 Ω⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= −−

ππjZ

( ) ][68,428,03,13 Ω−⋅+= jZ

On obtient ainsi ( ) ][0,14]320,0;0,14[40,43,13exp

320,0

lg

Ω⋅=−=⋅−= ⋅−

4434421443442144 344 21onentielleforme

j

riquetrigonométformeébriqueaforme

ejZ

Il peut être intéressant de remarquer que pour des fréquences très faibles ou nulles, les condensateurs se compor-tent comme des interrupteurs ouverts. Même si l’inductance se comporte comme un court-circuit, l’impédance équivalente du circuit est infinie. De même, pour des fréquences très élevées (> 1 GHz dans cet exemple), c’est l’inductance qui se comporte comme un contact ouvert. Même si les condensateurs se comportent comme des courts-circuits, l’impédance équivalente du circuit est également infinie. Le fait que pour une valeur intermédiaire, l’impédance ait un module de l’ordre de 14 [Ω] montre bien comment la fréquence joue un rôle extrêmement important.



6.4 Fonction de transfert et diagramme de Bode

6.4.1 Rappel mathématique – Le décibel

Lorsque l’on souhaite étudier graphiquement le comportement d’un système dans une grande plage de valeur, il est souvent utile d’exprimer ses variables sous forme logarithmique. Cette méthode permet de visualiser les détails aussi bien pour des petites valeurs que pour des grandes. On utilisera par exemple cette représentation si l’on souhaite représenter en m3/W, sur un seul graphique, l’encombrement de sources d’énergie aussi différente qu’une pile de montre, un moteur de voiture et une centrale thermoélectrique, voire notre soleil.

Le décibel [dB] est une mesure du rapport entre deux puissances. Il est très utilisé dans des domaines comme l'acoustique, la physique et l'électronique. Alors qu'il a été introduit à l'origine pour mesurer des rap-ports d'intensité et de puissance des lignes téléphoniques, le décibel est désormais largement répandu dans l'ensemble des champs de l'ingénierie. On l'utilise même pour mesurer des volumes sonores.

DÉFINITION 6.10 : Le BEL est le logarithme décimal d’un rapport de puissances.

DÉFINITION 6.11 : Le décibel , abrégé dB, est le dixième d’un BEL.

Considérons deux puissances P1 et P2 dont on souhaite exprimer le rapport. Supposons qu’il s’agisse de la puissance délivrée par une résistance R soumise à la tension U1, puis à la tension U2 respectivement. Comme la puissance délivrée par la résistance est proportionnelle au carré de la tension qui lui est appli-quée, le rapport correspondant des puissances vaut :

[BELL]log2loglograpport1

2102

1

22

101

210 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

UU

UU

PP .

Il en résulte l’expression du décibel tel qu’il est utilisé dans la plupart des traités relatifs à la régulation, aux phénomènes vibratoires, aux filtres, etc. :

Formule 6.22 [dB]log20rapport1

210 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

UU

Attention : Le dB est une unité "sans dimensions", comme le pourcentage.

NOTE : Le décibel a donné naissance à un certain nombre d’unités sans dimensions utilisées pour mesurer des puissances ou des intensités de façon absolue. Ceci se fait en utilisant comme puissance de référence (P1) une valeur de puissance prédéfinie, puis en référant toutes les autres puissances (P2) à celle-ci en utilisant la définition du décibel. Dans ce cas, on ajoute une ou plusieurs lettres à « dB » pour déterminer de quoi il s’agit. Par exemple :

• dBW – la puissance de référence est 1 W ;

• dBm – la puissance de référence est 1 mW (s’utilise pour le calcul d’atténuation des fibres optiques) ;

• dBμA – le courant de référence est 1 μA (s’utilise en compatibilité électromagnétique) ;

• dBa – unité de mesure exprimant un niveau d’intensité sonore pondéré en fonction des caractéristiques physiologiques de l’oreille humaine.



De simples calculs de logarithmes montrent qu’un rapport de 10N correspond à N · 20 [dB] : Chaque multiplication par 10 correspond à l’addition de 20 [dB]. Chaque division par 10 correspond à la soustraction de 20 [dB].

Constatant que le logarithme en base 10 du chiffre 2 vaut 0,30103, nous en déduisons qu’un rapport de 2 correspond assez précisément à 6 [dB], et qu’un rapport de 2 correspond à 3 [dB]. Pour une raison que nous étudierons au paragraphe 6.4.3, cette dernière valeur intervient souvent dans la caractérisation de filtres et autres dispositifs.

Lorsque deux dispositifs sont placés l’un à la suite de l’autre, la connaissance du rapport des tensions d’entrée et de sortie de chacun d’eux permet de calculer le rapport de tensions sur l’ensemble. Il suffit d’en faire la multiplication. En effet, comme outAinB UU = , on obtient :

inA

outB

inA

outA

inB

outB

UU

UU

UU

=⋅

Pour effectuer cette multiplication de deux nombres complexes, il faut multiplier leurs modules et addi-tionner leurs arguments (voir 6.1.3).

Lorsque ces modules sont exprimés en décibels, il suffit de les additionner pour obtenir le résultat, grâce aux propriétés de la fonction logarithme. On obtient ainsi :

[rad]ou][

[dB]

°⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

inA

outA

inB

outB

inA

outA

inA

outA

inB

outB

inA

outB

UU

UU

UU

UU

UU

UU

argargarg

modlog20modlog20modlog20 101010

EXEMPLE

Un rapport de 2

110102

100⋅⋅= correspond à 20 + 20 – 3 = 37 [dB].

Cet avantage est particulièrement intéressant lorsqu’on souhaite représenter ce gain graphiquement, comme nous le verrons plus loin.

6.4.2 Fonction de transfert

Au paragraphe 2.1.3, nous avons défini la linéarité d’un système physique, caractérisé par le fait que la grandeur de sortie d’un tel système (« effet e ») est strictement proportionnelle à la cause qui le produit (« cause c »).

En introduisant cette définition, nous n’avons pas tenu compte du temps. Ainsi par exemple, nous avons considéré qu’un ressort est un système linéaire parce que son élongation est proportionnelle à la force que l’on y applique. Nous n’avons pas tenu compte du fait que, si l’on y exerce cette force soudainement, il lui faudra « un certain temps » pour atteindre l’élongation correspondante. Nous n’avons pas tenu compte non plus que, si la force appliquée est alternative sinusoïdale, l’élongation résultante, qui est aussi sinusoï-dale, aura une amplitude qui dépend de la fréquence de cette force.



EXEMPLE Considérons le comportement d’une suspension de voiture :

• A l’arrêt, la garde au sol dépend du poids des passagers et de leurs bagages. Ce comportement des ressorts est décrit par le principe de linéarité du paragraphe 2.1.3.

• Si la route présente un obstacle de quelques centimètres, par exemple une planche, la voiture qui passe par là doit s’élever de la même hauteur. Grâce aux ressorts de la suspension, et parce que le véhicule présente une masse d’inertie non négligeable, l’élévation du châssis et de l’habitacle ne sera pas soudaine, mais retardée de quelques secondes. Ce comportement est décrit par les régimes transitoires, vu au paragraphe 5.1.

• Si la route présente une ondulation, comme on en rencontre sur certaines routes en terre battue déformée en forme « tôle ondulée », la voiture qui roule à très petite vitesse (moins de 1 km/h) verra son châssis et son ha-bitacle s’élever et s’abaisser en suivant presque exactement le profil de la route. Si elle roule à très grande vi-tesse (plus de 60 km/h), seules les roues suivront le profil de la route, les mouvements du châssis étant forte-ment amortis. Si cette vitesse est doublée, ces mouvements auront une amplitude encore plus faible. L’expérience montre qu’il y a une vitesse intermédiaire à laquelle le châssis s’élèvera et s’abaissera avec une amplitude plus forte que la déformation de la route, surtout si les amortisseurs sont usés. On parle alors de ré-sonnance. Dans tous les cas, la fréquence des mouvements du châssis est identique à celle des mouvements des roues. Ce comportement est décrit par la fonction de transfert, que nous abordons dans ce chapitre.

DÉFINITION 6.12 : Une fonction de transfert est une représentation mathématique qui donne la relation entre la grandeur de sortie y et la grandeur d’entrée x d’un système li-néaire à une variable, lorsque la grandeur d’entrée x est alternative sinusoïdale.

Comme le système est linéaire, la fréquence du signal de sortie est identique à celle du signal d’entrée. Par contre, l’amplitude et le déphasage diffèrent dans une mesure qui est fonction de la fréquence.

Pour connaître le comportement du système considéré, il est nécessaire de déterminer la fonction de transfert à toutes fréquences, ou au moins dans la plage de fréquence utile. Dans le cas général, les signaux d’entrée et de sortie présentent des amplitudes et des déphasages qui sont fonctions de la fréquence. Par ailleurs, l’usage veut que l’on considère la pulsation ω plutôt que la fréquence f du signal d’entrée. La fonc-tion de transfert est ainsi donnée par :

Formule 6.23 ( ) ( )( )ωωω

XYH =

Dans cette formule, l’entrée et la sortie sont exprimées sous forme complexe, comme les signaux complexes vus à la fin du paragraphe 6.2.3. La fréquence ou la pulsation n’y apparaît que dans la mesure où l’amplitude et le déphasage en dépendent, comme dans l’exemple 1 à la fin du paragraphe 6.3.4.

6.4.3 Diagramme de Bode

Pour caractériser un système, et plus particulièrement son comportement en fonction de la fréquence, une méthode consiste à lui appliquer un signal d’entrée d’amplitude constante et de déphasage nul, dont la fréquence varie de zéro à l’infini. Si l’on dispose d’un exemplaire ou d’un prototype du système considéré, il est alors possible de mesurer l’amplitude et le déphasage du signal de sortie pour différentes valeurs de fréquence du signal d’entrée. Si l’on dispose d’un modèle théorique de ce système, il est alors aussi possible de calculer le signal de sortie en fonction de la fréquence ou de la pulsation. Dans les deux cas, il est alors possible d’établir la fonction de transfert qui caractérise ce système.



Le diagramme de Bode comprend deux parties : • le graphique supérieur représente le module de ( )ωH en fonction de ω , qui est généralement

appelé « gain » ; • le graphique inférieur représente l’argument de ( )ωH en fonction de ω, qui est généralement

appelé « phase ». Pour améliorer la lisibilité de ce diagramme dans une très large bande de fréquence ou de pulsation,

celles-ci sont toujours représentées sous forme logarithmique. De ce fait, la pulsation ][0 1−= sω , qui correspond à un signal continu, n’apparaît pas sur ce diagramme. On peut considérer qu’il se trouve à l’infini, à gauche de l’axe des abscisses.

Comme l’amplitude est souvent proportionnelle à la fréquence, et comme la fonction de transfert est généralement un rapport, elle est toujours représentée en décibels. Pour la même raison, un rapport de gain nul n’apparaît pas sur ce diagramme.

Seul l’argument (le déphasage) est représenté en échelle linéaire, les angles étant exprimés en ra-dians ou en degrés.

Figure 6.9 Exemple d’un diagramme de Bode

(source : cours d’entraînements réglés, Michel Étique, HEIG-VD)

Plusieurs logiciels de calcul permettent de calculer, puis de tracer avec précision le gain et la phase dès que la fonction de transfert ( )ωH est exprimée mathématiquement en fonction de la pulsation (ou de la fréquence).

Toutefois, l’ingénieur est souvent appelé à faire des analyses très rapidement. En évaluant les phé-nomènes qui jouent un rôle important et ceux qui sont négligeables, il parvient souvent à faire assez d’hypothèses simplificatrices pour retomber sur des fonctions de transfert simples. Quelques-unes d’entre elles sont calculées ci-dessous, et représentée dans la Table 6.2.



K Aj ωω⋅ Bj ωω⋅

1

Arg( )Z

0°

90°

0

20·log K10

gain [dB]

BSR20060920_A.des

Arg( )Z

0°

90°

A · A

0

20

gain [dB]

A · A

BSR20060920_B.des

20dB

/déc

ade

Arg( )Z

0°

-90°

B · B

0

-20

gain [dB]

B · B

BSR20060920_C.des

20dB

/décade

Cj ωω⋅+1 Dj ωω⋅+1

1

Arg( )Z

3

0°

90°

45°

C · C%·C

0

20

gain [dB]

C · C%·C

BSR20060920_D.des

6°

84°

20dB

/déc

ade

Arg( )Z

-3

0°

-90°

-45°

D · D%·D

0

-20

gain [dB]

D · D%·D

BSR20060920_E.des

-6°

-84°

20dB

/décade

Table 6.2 Diagramme de Bode de quelques fonctions de transfert simples



Cas no 1 : ( ) KH =ω1 (nombre réel) − Quelle que soit la valeur de la fréquence ω, ( ) KH =ω1 ; son gain vaut K, et peut être

calculé en dB ; son argument vaut 0º. − La courbe de gain est une horizontale, callée sur un gain de ( )K10log20 ⋅ , en dB. − La courbe de phase est une horizontale, callée sur un angle de 0º.

Cas no 2 : ( ) AjH ωωω ⋅=2 − Lorsque Aωω = , ( ) jH =ω2 ; son gain vaut 1, soit 0 dB, et sa phase vaut +90º. − Lorsque Aωω ⋅= 10 , ( ) jH ⋅= 102 ω ; son gain vaut 10, soit +20 dB. Sa phase vaut tou-

jours +90º. − Chaque fois que l’on multiplie la pulsation par 10, le gain augmente de 20 dB. En fonction

de la pulsation, le gain suit une droite dont on dit que la pente vaut +20 dB / décade. − La courbe de gain est une droite de pente +20 dB / décade, coupant l’axe des abscisses

(0 dB) à la pulsation Aωω = . − Lorsque la pulsation ω tend vers l’infini, ( )[ ] jH ⋅∞→

∞→ω

ω 2lim ; le gain tends également

vers l’infini, et la phase vaut encore +90º. − Lorsque la pulsation ω tend vers zéro, ( )[ ] jH ⋅=

→0lim 20

ωω

; le gain tends également vers

zéro, mais la phase reste égale à +90º. − La courbe de phase est une horizontale, callée sur un angle de 90º.

Cas no 3 : ( )Bj

Hωω

ω⋅

=1

3

− Lorsque Bωω = , ( ) jj

H −==1

3 ω ; son gain vaut 1, soit 0 dB, et sa phase vaut -90º.

− Lorsque Bωω ⋅= 10 , ( ) jH ⋅−= 1,03 ω ; son gain vaut 0,1, soit -20 dB. Sa phase vaut toujours -90º.

− Chaque fois que l’on multiplie la pulsation par 10, le gain diminue de 20 dB. En fonction de la pulsation, le gain suit une droite dont on dit que la pente vaut -20 dB / décade.

− La courbe de gain est une droite de pente -20 dB / décade, coupant l’axe des abscisses (0 dB) à la pulsation Bωω = .

− Lorsque la pulsation ω tend vers l’infini, ( )[ ] jH ⋅−=∞→

0lim 3 ωω

; le gain tends vers zéro,

mais la phase vaut encore -90º. − Lorsque la pulsation ω tend vers zéro, ( )[ ] jH ⋅−∞→

→ω

ω 30lim ; le gain tends vers l’infini,

mais la phase reste égale à -90º. − La courbe de phase est une horizontale, callée sur un angle de -90º.

Cas no 4 : ( ) CjH ωωω ⋅+= 14 − Lorsque Cωω = , ( ) jH += 14 ω ; son gain vaut 2 , soit 3 dB, et sa phase vaut +45º. − Lorsque Cωω ⋅= 1,0 , ( ) jH ⋅+= 1,014 ω ; son gain vaut approximativement 005,1 , soit

+0,04 dB. Sa phase vaut approximativement +6º. − Lorsque la pulsation ω tend vers zéro, ( )[ ] 1lim 40

=→

ωω

H ; le gain tends vers 1, soit 0 dB, et

la phase tend vers 0º. − Lorsque Cωω ⋅= 10 , ( ) jH ⋅+= 1014 ω ; son gain vaut approximativement 10,05 soit

20,04 dB. Sa phase vaut approximativement +84º.



− Lorsque la pulsation ω tend vers l’infini, ( )[ ] jH ⋅∞→∞→

ωω 4lim ; le gain tends également

vers l’infini, et la phase tend vers +90º. − Pour des pulsations Cωω << , le gain et la phase de la fonction ( ) CjH ωωω ⋅+= 14

tendent vers les droites de la fonction ( ) 11 =ωH (0 dB). Voir plus haut, avec KC = 1. De même, pour des pulsations Cωω >> , le gain et la phase de la fonction

( ) CjH ωωω ⋅+= 14 tendent vers les droites de la fonction ( ) CjH ωωω ⋅=2 . Voir plus haut, avec CA ωω = .

− Les droites de gain des deux fonctions ( ) 11 =ωH et ( ) CjH ωωω ⋅=2 se coupent lorsque Cωω = , et que le gain de la fonction ( ) CjH ωωω ⋅+= 14 pour cette fréquence est de 3 dB.

− Il est possible de représenter une approximation linéaire de la phase de ( ) CjH ωωω ⋅+= 14 dans l’intervalle CC ωωω ⋅<<⋅ 101,0 en traçant la droite qui

passe par les points [ Cω⋅1,0 ;0º], [ Cω ;45º] et [ Cω⋅10 ;90º].

Cas no 5 : ( )Dj

Hωω

ω⋅+

=1

15

− Lorsque Dωω = , ( )j

H+

=1

15 ω ; son gain vaut

21 , soit -3 dB, et sa phase vaut -45º.

− Lorsque Dωω ⋅= 1,0 , ( )j

H⋅+

=1,01

15 ω ; son gain vaut approximativement 995.0 ,

soit -0,04 dB. Sa phase vaut approximativement -6º. − Lorsque la pulsation ω tend vers zéro, ( )[ ] 1lim 50

=→

ωω

H ; le gain tends vers 1, soit 0 dB, et

la phase tend vers 0º.

− Lorsque Dωω ⋅= 10 , ( )j

H⋅+

=1011

5 ω ; son gain vaut approximativement 0,095 soit

-20,04 dB. Sa phase vaut approximativement -84º. − Lorsque la pulsation ω tend vers l’infini, ( )[ ] jH ⋅−→

∞→0lim 5 ω

ω ; le gain tends vers zéro,

et la phase tend vers -90º.

− Pour des pulsations Dωω << , le gain et la phase de la fonction ( )Dj

Hωω

ω⋅+

=1

15

tendent vers les droites de la fonction ( ) 11 =ωH (0 dB). Voir plus haut, avec KC = 1. De même, pour des pulsations Dωω >> , le gain et la phase de la fonction

( )Dj

Hωω

ω⋅+

=1

15 tendent vers les droites de la fonction ( )

BjH

ωωω

⋅=

13 . Voir

plus haut, avec CB ωω = .

− Les droites de gain des deux fonctions ( ) 11 =ωH et ( )Dj

Hωω

ω⋅

=1

3 se coupent

lorsque Dωω = , et que le gain de la fonction ( )Dj

Hωω

ω⋅+

=1

15 pour cette fré-

quence est de -3 dB.



− Il est possible de représenter une approximation linéaire de la phase de

( )Dj

Hωω

ω⋅+

=1

15 dans l’intervalle DD ωωω ⋅<<⋅ 101,0 en traçant la droite qui

passe par les points [ Dω⋅1,0 ;0º], [ Dω ;-45º] et [ Dω⋅10 ;-90º].

Dans les cas no 4 et no 5, la fonction de transfert présente un gain qui peut être approximée par 2 asymptotes. Celles-ci se coupent pour une valeur particulière de la pulsation (ou de la fréquence).

DÉFINITION 6.13 : On appelle pulsation caractéristique ωc d’une fonction de transfert comportant deux asymptotes la valeur de la pulsation à laquelle elles se coupent.

NOTE : Le cas no 5 correspond à un phénomène de filtrage très courant en électronique, mais également dans beaucoup d’autres systèmes physiques. Il décrit le fait qu’un système parvient à transmettre des signaux sinusoïdaux jusqu’à une certaine fréquence, mais pas au-delà. La pulsation caractéristique d’un tel filtre est souvent appelée pulsation de coupure (respectivement fré-quence de coupure). La valeur exacte du gain à cette pulsation vaut -3 dB.

Dans beaucoup de cas, la fonction de transfert d’un système peut être ramenée au produit de plu-sieurs fonctions de transfert simples comme celles de la Table 6.2. L’astuce réside alors à représenter les droites « asymptotes » de chacune de ces fonctions simples, puis de représenter les asymptotes de la fonc-tion complète. C’est à cette occasion que l’emploi d’échelles logarithmiques prend toute son importance, puisque :

• le produit des gains peut être représenté par la somme des courbes en [dB] ; • la somme des phases peut être représentée par la somme des courbes de phases ; en effet,

l’argument d’un produit de nombres complexes est égal à la somme de leurs arguments.

EXEMPLE Représenter la fonction de transfert suivante :

( )( ) ( )CA

B

jjjKH

ωωωωωωω⋅+⋅⋅

⋅+⋅=

11)( , où BAC ωωω ⋅=⋅= 10010

Cette fonction peut être transformée comme suit :

( ) ( )

( )

( )( )

( )( )

44344214434421

43421ω

ωω

ω ωωωω

ωωω

5

4

3

11

111)(

H

CH

B

H

AH jj

jKH

⋅+⋅⋅+⋅

⋅⋅=

Nous pouvons alors tracer le diagramme de Bode de chacun de ces éléments simples, puis effectuer leur somme.



gain [dB]

Arg( )Z

BSR20060919_A.des

0

20 log (K)· 10

AB C

H1( )

H3( ) H4( )

H5( )

H( )

0°

90°

45°

-45°

-90°

A CB H1( )

H3( )

H4( )

H5( )

H( )

Figure 6.10 Diagramme de Bode de l’exemple

6.4.4 Quadripôles R-L et R-C

Les notions de fonction de transfert et de diagramme de Bode sont utiles dans la plupart des domai-nes de la technique. En électronique, elles sont utilisées entre autres pour analyser le comportement de filtres et d’amplificateurs. Dans la plupart des cas, il s’agit de comparer la tension de sortie d’un appareil ou d’un circuit avec sa tension d’entrée. Comme la tension se mesure toujours entre deux points, il est néces-saire d’introduire la définition suivante :

DÉFINITION 6.14 : Un quadripôle est un circuit électrique comportant 2 bornes d’entrées et 2 bornes de sorties. Il est caractérisé par sa fonction de transfert H(ω), c’est-à-dire par le rapport entre sa tension de sortie et sa tension d’entrée.

Uin UoutH( )

BSR20060920_F.des Figure 6.11 Représentation d’un quadripôle (cas général)



Les quadripôles les plus simples comprennent deux composants seulement, l’un au moins étant une résistance et l’autre étant une inductance ou un condensateur. Ils présentent la particularité que les bornes négatives d’entrée et de sortie sont directement connectées. Dans tous les cas où la sortie du dipôle n’est pas chargée (pas de résistance de charge, par exemple), la fonction de transfert se calcule simplement en considérant que le circuit se comporte comme un diviseur de tension.

Uin Uout

R1

R2

Uin Uout

R

CUin Uout

C

RUin

L

RUout

BSR20060920_H.des

Uin

R

LUout

21

2

RRR+

RLj ⋅⋅+ ω1

1 RLj

RLj⋅⋅+

⋅⋅ω

ω1

RCj ⋅⋅⋅+ ω1

1 RCj

RCj⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅ω

ω1

Figure 6.12 Quadripôles du type « diviseur de tension »

EXEMPLE Le calcul détaillé des fonctions de transfert de la Figure 6.12, par exemple, pour le 5ème quadripôle, tout à droite, se

fait comme suit :

RCjRCj

RCj

RUU

out

out

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

=+

⋅⋅

=ω

ω

ω11

NOTE : Cette définition ne précise pas si les tensions d’entrée et de sortie sont reliées électriquement ou non. S’il s’agit de mesu-rer un quadripôle inconnu, il faudra donc faire attention à ne pas court-circuiter les bornes négatives d’entrée et de sortie. Une telle erreur pourrait par exemple se produire si ces tensions sont mesurées à l’aide d’un oscilloscope, car ses deux sondes de tensions ont un potentiel de référence commun.

6.4.5 Circuits résonants R-L-C

Le cas où un circuit comporte deux éléments à stockage d’énergie différents, comme une inductance et un condensateur, présente un aspect particulier. Par analogie, cette situation se rencontre également lorsqu’on associe une masse d’inertie et un ressort.

Uin Uout

BSR20060920_G.des

LR

C

Figure 6.13 Quadripôles du type R-L-C



Il s’agit encore d’un diviseur de tension, pour lequel nous pouvons calculer :

( ) ( )( ) ( ) RCjCLCLRCj

CjLjR

CjUUH

in

out

⋅⋅⋅+⋅⋅−=

+⋅⋅−⋅⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅+

⋅⋅==ωωωω

ωω

ωωωω 22 1

11

11

1

Nous constatons qu’il existe une pulsation particulière pour laquelle la partie réelle du dénominateur

s’annule. En effet, lorsque CL ⋅

==1

0ωω , nous obtenons :

( ) 0111112

20 =−=⋅⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅

−=⋅⋅− CLCL

CLω .

La fonction de transfert vaut alors : ( )RC

LjRCj

CLRCj

H 11

00 ⋅⋅−=

⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=ω

ω . Sa phase

vaut -90°. Son gain dépend de la valeur des 3 composants :

• Si CLR > , alors ( )[ ] 1mod 0 <ωH

• Si CLR = , alors ( )[ ] 1mod 0 =ωH

• Si CLR < , alors ( )[ ] 1mod 0 >ωH

Dans ce dernier cas, il se produit un phénomène remarquable : La tension de sortie est plus élevée que la tension d’entrée. A cette pulsation particulière 0ω , il se produit un phénomène de résonance. Ce phénomène est d’autant plus important que la valeur de la résistance est faible.

DÉFINITION 6.15 : La pulsation de résonance 0ω et la fréquence de résonance 0f d’un circuit R-L-C sont déterminées par :

CL ⋅=

10ω , respectivement

πω⋅

=2

00f

En réalité, il se produit un échange périodique d’énergie entre l’inductance et le condensateur, dont l’amplitude peut être beaucoup plus importante que celle de l’énergie introduite dans le circuit.

Un phénomène similaire se produit avec un pendule. Si on l’écarte de sa position d’équilibre, on cons-tate qu’il reprend sa position initiale seulement après avoir oscillé plusieurs fois, à une fréquence qui est sa fréquence de résonance. Dans ce cas également, il y a échange d’énergie potentielle (hauteur) et cinétique (vitesse). Si ce pendule était placé dans le vide, il oscillerait à sa fréquence de résonance pendant un temps quasi infini. Dans l’air, les frottements provoquent une baisse d’amplitude des oscillations. Dans un bain d’huile, le pendule retrouverait sa position d’équilibre pratiquement sans la moindre oscillation.

L’analogie entre les phénomènes oscillatoires mécaniques et électriques est évidente. C’est la raison pour laquelle les outils mathématiques abordés dans ce cours sont également utilisés pour tous les phéno-mènes vibratoires.



Comme dans les circuits du paragraphe précédent, il est possible de représenter la fonction de trans-fert du circuit R-L-C à l’aide d’un diagramme de Bode. Toutefois, nous avons vu que le résultat pouvait être

très différent selon le rapport entre les valeurs R et CL . A titre d’exemple, la Figure 6.14 montre le dia-

gramme de Bode pour des rapports de 0,01, de 1 et de 100.

-160

-120

-80

-40

0

40

1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

pulsation [s^-1]

gain

[dB

]

0.011100

-120

-90

-60

-30

0

30

60

90

120

1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

pulsation [s^-1]

phas

e [°

] 0.011100

Figure 6.14 Diagramme de Bode du circuit R-L-C de la Figure 6.13, pour des rapports entre R

et CL de 0,01, de 1 et de 100. La fonction de transfert fait intervenir 2ω au dénominateur ; pour cette raison, l’asymptote pour ∞→ω présente une pente de -40 dB/décade.






Chapitre 7

L’automatisation des machines

Pour concevoir une machine, dans le sens le plus large du terme, l’ingénieur doit étudier simultané-ment sa structure et son fonctionnement. Une machine est un système, matériel ou virtuel, qui effectue, conformément à des règles définies, des opérations plus ou moins complexes sans intervention humaine. Trois catégories de machines peuvent être distinguées : 1. Les machines mécaniques sont un ensemble de pièces ou d’organes liés en eux qui fonctionnent selon

les principes de la statique et de la dynamique classique pour réaliser un certain nombre d’opérations. Les engins qui transmettent ou amplifient une force, comme le levier, le treuil ou la grue, appartiennent à cette catégorie. De même le pendule et le mouvement d’horlogerie qui présentent des mouvements pé-riodiques réguliers en font également partie.

2. Les machines énergétiques transforment une forme d’énergie en une autre. Elles mettent en œuvre les principes de la thermodynamique, de l’électromagnétisme ou de la physique atomique. Les machines thermiques, moteurs à combustion, moteurs électriques, générateurs d’électricité, font partie de cette ca-tégorie de machines.

3. Les machines informatiques utilisent et traitent l’information. Elles sont utilisées d’une part pour trans-porter l’information d’un point à un autre de l’espace: le téléphone, la radio, la télévision ou Internet. D’autres servent au traitement de l’information par calculs mathématiques ou logiques, comme les calcu-latrices analogiques ou numériques, les ordinateurs, les commandes programmables et plus générale-ment les circuits électroniques.

L’aspect structurel d’une machine décrit l’organisation et la combinaison des différents éléments qui la compose. Cette description se fait en quatre points : • La frontière ou périmètre détermine la limite entre la machine et son environnement sans pour autant

l’isoler de celui-ci. La frontière caractérise les entrées et les sorties qui matérialisent les échanges de la machine avec son environnement. Ces échanges peuvent être de trois types :

• Matières : produits solides, liquides ou gazeux. • Énergies : électrique, pneumatique, hydraulique, thermique, etc. • Informations : mesures, consignes, alarmes, etc.

• Les éléments de la machine qui sont identifiés, dénombrés et classés : bâtis, supports, réducteurs, mo-teurs, vannes, pompes, échangeurs, capteurs, …



• Les réseaux de transport et de communication véhiculent la matière, l’énergie et l’information qui circulent dans la machine : arbres de transmission, tuyaux, lignes électriques, bus informatiques, …

• Les réservoirs qui stockent la matière, l’énergie ou l’information : citernes, bâches, trémies, accumula-teurs, tampons, mémoires, disques magnétiques, ...

L’aspect fonctionnel présente le fonctionnement de la machine, les opérations qu’elle doit réaliser et la manière dont s’effectuent les échanges entre les différents éléments et leur environnement. Selon les cas cette description comprend : • La circulation des flux de différente nature, matière, produits, énergie, monnaie ou information. Ces

flux circulent par les différents réseaux et transitent par les réservoirs. • La description des opérations qui s’effectuent dans un ordre préétabli appelé séquence. L’exécution

de ces opérations doit respecter des conditions dues à l’environnement et aux différents modes de fonc-tionnement de la machine.

• Les organes de décision reçoivent l’information, la traite et génèrent des actions qui modifient les dé-bits des différents flux. Ces organes peuvent être des opérateurs, des ordinateurs, des commandes pro-grammables, des circuits électroniques, électriques, pneumatiques ou hydrauliques.

• Les boucles de rétroaction ou contre-réaction ont pour fonction d’informer les organes de décision du comportement de la machine afin qu’ils puissent ajuster les actions de commande pour que la machine fonctionne conformément aux consignes données.

• Les délais dans lesquels doivent s’effectuer les actions pour assurer le bon fonctionnement de la ma-chine.

La structure et le fonctionnement d’une machine peuvent être décrits sous forme de texte, mais cette manière est longue et fastidieuse. La présentation d’une machine sous forme de croquis, plans et schémas est plus concise et souvent plus précise. Les schémas représentent un modèle de la machine et servent à l’échange d’informations entre les différents métiers. Mais pour qu’ils puissent être compris par tous ils ne peuvent pas être dessinés n’importe comment, ils doivent respecter des normes établies.



7.1 Modèles structurels

Les modèles structurels représentent de quoi est constitué une machine ou un système mais ils ne fournissent pas d’information de comment elle fonctionne.

Une machine est généralement un ensemble complexe d’éléments, mais complexité ne veut pas dire complication. Sa structure peut être représentée par un modèle grossier qui présente les éléments princi-paux ; ceux-ci peuvent subséquemment être décomposés en sous éléments pour affiner le modèle d’origine. Un modèle représente une machine mais ne doit en aucun cas la simplifier.

7.1.1 Schéma bloc

Le premier niveau de modélisation est appelé schéma bloc, il donne une vue d’ensemble de la ma-chine : de ses éléments constitutifs principaux et des réseaux d’interconnexion. Chacun des éléments consti-tue un bloc représenté par une forme géométrique : carré, rectangle, cercle, ovale ou polygone. Les réseaux qui relient les différents éléments sont représentés par des lignes : droites polygonales ou courbes. Les flè-ches indiquent le sens des flux.

Stockemballage Conditionnement Dépôt

produits finis

Fabrication

EmballageExpédition

ProduitA

ProduitC

ProduitB

Productionde vapeur

Figure 7.1 Exemple de schéma bloc



Si la machine est complexe elle sera représentée par plusieurs niveaux de schémas bloc ; le premier niveau en donnera une vue générale, chaque bloc représentant un sous-ensemble de la machine. Chaque bloc peut être développé pour représenter plus finement Les niveaux suivants développeront les différents sous-ensembles.

7.1.2 Schémas de procédés

Le schéma de procédé également appelé schéma T+I (tubes et instruments) (ou P+I pour Pipes and instrumentation en anglais) représente un synoptique détaillé de tous les organes d’une machine. Sur ces schémas chaque élément est représenté par un symbole et identifié par une étiquette (Tag). Ils indiquent également la localisation des différents points de mesure et d’action sur la machine.

T-71.01

LIR71.101

V-71.101P-71.01

V-71.102

FIC71.101

Y71.101

T-71.02

LIR71.201

V-71.201P-71.02

V-71.202

FIC71.201

Y71.201

T-71.03

LIR71.301

V-71.301P-71.03

V-71.302

FIC71.301

Y71.301

M

M-71.01

LIC71.501

TIC71.501

VapeurVapeur

VR71.901

V71.501

Productionde vapeur

R-71.01

Figure 7.2 Exemple de schéma de procédé



7.1.3 Schémas de circuits

Les schémas sont une représentation graphique des circuits électriques et électroniques. Chaque composant ou ensemble de composant est représenté par un symbole normalisé et identifié par un code. Les interconnexions entre les différents éléments sont représentées par des lignes. Les symboles et la codi-fication sont normalisés au niveau international par la norme CEI 60204-2 « Équipements électriques des machines- Repérage d’identification et exemples de plans, schémas, tableaux et instructions ». Deux ni-veaux de représentation schématique sont utilisés.

• Le schéma unifilaire, montre les composants ou ensembles de composants principaux du circuit. Il présente de manière groupée les connexions principales intervenant dans le fonctionnement du cir-cuit. C’est l’équivalent d’un plan d’ensemble en mécanique. Par exemple, une ligne d’alimentation en énergie électrique triphasée, qui comporte 4 ou 5 conducteurs, est représentée par un seul trait.

• Le schéma détaillé est, comme son nom l’indique, la représentation de tous les composants du cir-cuit et de toutes les connexions. C’est ce type de schéma qui est utilisé pour la construction des ap-pareils électriques ou électroniques et pour la réalisation des installations, d’où l’importance de la normalisation.

7.1.3.1 Nomenclature et codification

On désigne par élément un tout indissociable, par exemple un contacteur, un sectionneur ou un bou-ton-poussoir. Les éléments d’un schéma sont identifiés par un code composé comme suit :

A[c] N[NNN][c] A : Lettre majuscule

N : Chiffre c : Caractère alphanumérique […] facultatif

La première lettre majuscule est un repère, défini conformément à la norme par la sorte de matériel. Le deuxième caractère facultatif indique, si besoin est, la fonction. Les chiffres repèrent le composant par rapport au schéma. Selon l’usage les premiers chiffres donnent le numéro de la page et le dernier la colonne dans laquelle se trouve le symbole du composant. Un suffixe, généralement alphabétique, peut être ajouté pour distinguer plusieurs composants de même type dessinés dans la même colonne.

0 2 4 6 8

36

0 2 4 6 8

page 37

1 3 5 7 9

-k153

-S374

-K374

-H376

-H376a

-K374

Sorte de matériel

Numérode page

Numérocolonne

Figure 7.3 Principe de codification



Codes et symboles des principaux composants Le tableau ci-dessous est un extrait de la publication 750 de la CEI « Repérage d’identification du ma-

tériel en électrotechnique ».

Repère Composant Schéma Liaisons électriques

conducteur de conducteur de conducteur de phase L neutre N protection PE

n n conducteurs bus

Interconnexion de liaison n

simple multiconducteurs bus et simple

Croisement de liaisons (sans contact)

Mise à terre

Masse

terre terre de masse masse protection châssis électronique

A Ensembles Sous-ensembles

en général amplificateur amplificateur opérationnel

B Transducteurs, capteurs P Q a

bz

capteur de capteur de encodeur pression débit avec incrémental alimentation auxiliaire

C Condensateur +

condensateur condensateur condensateur polarisé variable



Repère Composant Schéma F Dispositifs de protection

fusible parafoudre

G Générateur +

-

iu

source de source de tension courant

G=

G~

génératrice à alternateur batterie, courant continu pile

H Dispositifs de signalisation

voyant LED diode klaxon lumineux électroluminescente

K Relais Contacteurs

A1

A2

11

1214

A1

A2

15

1618

A1

A2

15

1618

simple temporisé à temporisé au l’enclenchement déclenchement

A1

A2

1

42

3 5

6

13

14

21

22 contacteur de puissance

L Inductance

self à air self avec noyau self ajustable

M Moteur M=

M3~

M

courant continu asynchrone pas-à-pas



Repère Composant Schéma P Instruments de mesure

V A 1 kWh

voltmètre ampèremètre oscilloscope compteur d

Q Appareil de protection, disjoncteur I>> U<

relais relais relais relais à thermique magnétique limiteur manque c

1 3 5

2 4 6

21

22 disjoncteur disjoncteur en général magnétothermique protection moteur

R Résistance

fixe variable potentiomètre chauffage

S Interrupteur, commutateur, détecteurs

1 2

bouton interrupteur commutateur arrêt poussoir à rotatif à d’urgence accrochage 2 positions ‘coup de poing’

L

contact de détecteur détecteur fin de course de proximité de niveau inductif

T Transformateurs

de puissance d’alimentation de courant triangle-étoile à plusieurs pour la enroulements mesure



Repère Composant Schéma U Convertisseurs f1

f2

=~

convertisseur variateur onduleur en général de fréquence

V Semi-conducteurs

diode diode transistor transistor zener NPN PNP

transistor transistor thyristor triac N-MOS P-MOS

W Conducteur ou câble de liaison Guide d’onde Antenne

antenne

X Borne Fiches Socles

bornes barrette de prise, fiche connexion

Y Appareils mécaniques actionnés électriquement

électrovanne distributeur électropneumatique

Table 7.1 Repérage d’identification du matériel en électrotechnique



EXEMPLE

Figure 7.4 Schéma de commande marche et arrêt d’un moteur avec arrêt d’urgence

(source : Schneider-Automation / Télémécanique)



7.2 Modèles fonctionnels

Les modèles fonctionnels sont utilisés pour représenter le fonctionnement d’une machine. Ils permet-tent de transcrire le cahier des charges, qui est généralement écrit en langage courant, en modèles mathé-matiques qui décrivent les fonctions de la machine. Ils définissent comment fonctionne la machine.

La logique combinatoire est utilisée pour décrire les conditions de fonctionnement indépendantes du temps.

Si le comportement de la machine dépend d’une suite d’action c’est la logique séquentielle, et les ou-tils qui lui sont associé, qui est appliquée pour expliquer la marche de la machine.

7.2.1 Logique binaire et algèbre booléenne

La logique binaire permet de représenter les différents signaux et états d’une machine. Ces états sont représentés par des variables qui peuvent prendre deux états ou valeurs, comme le montre le tableau ci-dessous.

État Alias Signification Exemple

0 faux false

L (low)

La tension est nulle Le courant ne cir-cule pas

BSR20060303_A.des

U

La tension est nulle Le courant ne circule pas

1 vrai true

H (high)

La tension est pré-sente Le courant circule

BSR20060303_B.des

I

U

La tension est présente Le courant circule

Table 7.2 États possibles d’une variable binaire Les circuits peuvent être schématisés par des symboles logiques qui représentent leur fonctionnement

indépendamment de leur réalisation au moyen de composants physiques (contacts, bobines ou composants électroniques).

L'algèbre booléenne ou algèbre de Boole (mathématicien anglais Georges Boole 1815 - 1864) est une algèbre qui traduit les signaux en expressions mathématiques. Les différentes combinaisons de ces signaux sont représentées par des tables de vérité qui définissent l’état de chaque variable. L’algèbre booléenne défini des opérations pour transcrire ces tables en expressions algébriques et les règles qui permettent de simplifier ces expressions.



L’algèbre booléenne défini trois fonction élémentaires : • Fonction NON (NOT)

Opérateur Table de vérité Symbole

aQ = se lit Q égale non a

a Q

0 1 1 0

1a Q a Q

BSR20060303_C.des

CEI mil-US

Table 7.3 Fonction NON

• Fonction ET (AND)


baQ ⋅= se lit Q égale a ET b

a b Q

0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

&a Q Q

BSR20060303_D.des

CEI mil-US

b

a

b

La sortie est à l’état logique ‘1’ si toutes les entrées sont simultanément à l’état ‘1’.

Table 7.4 Fonction ET

• Fonction OU (OR) A ne pas confondre avec la fonction OU EXCLUSIF (voir à la fin de ce paragraphe) !


baQ += se lit Q égale a OU b

a b Q

0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

>1a Q Q

BSR20060303_E.des

CEI mil-US

b

a

b

La sortie est à l’état logique ‘1’ si une entrée au moins est à l’état ‘1’.

Table 7.5 Fonction OU L’algèbre booléenne est basée sur les axiomes (règles fondamentales) suivants : • La commutativité pour

− la fonction ET : abba ⋅=⋅ − la fonction OU : abba +=+

• L’associativité pour − la fonction ET : )()()( bacacbcba ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅



− la fonction OU : )()()( bacacbcba ++=++=++

• La distributivité de − la fonction ET par rapport à la fonction OU : )()()( cabacba ⋅+⋅=+⋅ − la fonction OU par rapport à la fonction ET : )()()( cabacba +⋅+=⋅+

• Les éléments neutres pour − la fonction ET : aa =⋅1 − la fonction OU : aa =+ 0

• La complémentarité pour − la fonction ET : 0=⋅ aa − la fonction OU : 1=+ aa

Les théorèmes élémentaires de l’algèbre booléenne se démontrent à partir des axiomes de base : • L’idempotence pour

− la fonction ET : aaa =⋅ − la fonction OU : aaa =+

• L’absorption − abaa =⋅+ )( − abaa =+⋅ )(

• Les éléments absorbants pour − la fonction ET : 00 =⋅a − la fonction OU : 11 =+a

• Les théorèmes de Morgan − Le complément d’une fonction ET est égal à la fonction OU du complément de chacun de

ses termes : baba +=⋅ − Le complément d’une fonction OU est égal à la fonction ET du complément de chacun de

ses termes : baba ⋅=+ De manière générale, tout théorème dans l’algèbre booléenne est associé à un théorème « dual », ob-

tenu en permutant les ET et les OU.



L’opérateur NON ET (NAND) qui est un opérateur ET suivi d’un opérateur NON est un opérateur uni-versel. En effet, toutes les fonctions logiques NON, ET, OU peuvent être réalisées par une combinaison d’opérateurs NON ET. En vertu des théorèmes de Morgan, l’opérateur NON OU (NOR) est identique à l’opérateur NON ET (NAND).


baQ ⋅= &a Q Q

BSR20060303_F.des

CEI mil-US

b

a

b

baQ +=

a b Q

0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 >1

a Q Q

BSR20060303_G.des

CEI mil-US

b

a

b

La sortie est à l’état logique ‘0’ si toutes les entrées sont simultanément à l’état ‘1’.

Table 7.6 Fonctions NON ET (NAND) et NON OU (NOR)

EXEMPLES Remplacement de la fonction NON par une combinaison d’opérateurs NON ET :

aaaQ ⋅==

Remplacement de la fonction ET par une combinaison d’opérateurs NON ET :

( )babababaQ ⋅⋅⋅=⋅=⋅=

Remplacement de la fonction OU par une combinaison d’opérateurs NON ET :

( ) ( )bbaabababaQ ⋅⋅⋅=⋅=+=+=

L’opérateur OU EXCLUSIF (XOR) est également un opérateur particulier fréquemment utilisé :


bababaQ +=⊕=

a b Q

0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

=1a Q Q

BSR20060303_H.des

CEI mil-US

b

a

b

La sortie est à l’état logique ‘1’ si les deux entrées sont à des états différents l’un de l’autre.

Table 7.7 Fonction OU EXCLUSIF (XOR)



7.2.2 Logique combinatoire

7.2.2.1 Définition

DÉFINITION 7.1 Un système logique est dit combinatoire si l'état de sa sortie ne dépend que de l'état de ses entrées. Le système combinatoire ne doit donc pas présenter de réac-tions de la sortie sur l'entrée, de sorte à ce que l'état de la sortie ne dépende pas de l'histoire du système.

Figure 7.5 Schéma de principe d’un système combinatoire

7.2.2.2 Table de vérité

La table de vérité permet de transcrire commodément les différents états d’un système. C’est une liste représentant à tout instant l’état des entrées et des sorties d’un système combinatoire. Elle sert de base à l’établissement des équations logiques qui caractérisent le fonctionnement du système.

Chaque ligne de la table où l’état de la sortie est à ‘1’ donne un terme partiel de l’équation qui est la fonction ET des variables entrées à ‘1’ et du complément des variables d’entrée à ‘0’. L’équation complète, exprimée sous sa forme canonique, est donnée par la fonction OU des termes partiels.

EXEMPLE Fonction majorité à trois entrées : la sortie est à ‘1’ si au moins deux des entrées sont à ‘1’.

a b c Q Termes partiels 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 cba ⋅⋅

0 0 1 0 1 0 1 1 cba ⋅⋅

0 1 1 1 cba ⋅⋅

1 1 1 1 cba ⋅⋅

L’équation complète est : )()()()( cbacbacbacbaQ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

Table 7.8 Exemple de table de vérité – Fonction « majorité »

L’expression canonique de l’équation ainsi obtenue n’est pas forcément optimale car elle ne fait pas nécessairement intervenir un nombre minimal d’opérations logiques. Cette équation doit être simplifiée en

En- Sorties : Qj = Système combinatoire



appliquant les théorèmes de la l’algèbre booléenne. La simplification est importante pour toute réalisation technique car du nombre d’opérations logiques dépend la complexité du système.

EXEMPLES a) Simplification de l’équation canonique de la fonction majorité à trois entrées :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

)()()()()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()(

)()()()(

cbcabaQaacbbbcaccbaQ

acbacbbcabcacbacbaQ

cbacbacbacbacbacbaQ

cbacbacbacbaQ

⋅+⋅+⋅=+⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

b) Réaliser la fonction ci-dessous uniquement avec des opérateurs ET et NON.

cbacbacbacbacbacbaQ ⋅⋅=⋅⋅=+⋅=+⋅=++=++=

7.2.2.3 Tables de Karnaugh

La simplification par l’algèbre booléenne nécessite intuition et savoir-faire. Pour des équations comp-tant six variables ou moins, la méthode des tables de Karnaugh donne une approche systématique de la simplification.

La table de Karnaugh est une représentation matricielle de la table de vérité. Lignes et colonnes cor-respondent aux variables d’entrées, la valeur de la sortie est reportée dans les cases de la matrice. Pour 2, 3 et 4 variables la matrice est bidimensionnelle. Pour 5 et 6 variables d’entrée, la matrice est tridimension-nelle ; elle est de ce fait beaucoup moins utilisée.

Lorsqu’un système comporte plusieurs variables de sortie (Q1, Q2, etc.), il convient d’établir une table de Karnaugh pour chacune d’elles.

2 variables d’entrée (a, b) 3 variables d’entrée (a, b, c) 4 variables d’entrée (a, b, c, d)

a

Q 0 1

0 b

1

a

Q 0 1

00 01 11

bc

10

ab

Q 00 01 11 10

00 01 11

cd

10 Table 7.9 Tables de Karnaugh pour 2, 3, respectivement 4 variables d’entrée Il est important de remarquer que, dans une table de Karnaugh, seule une variable d’entrée change

d’état lorsqu’on passe d’une case à n’importe laquelle de ses voisines (horizontalement ou verticalement). La méthode de la table de Karnaugh consiste à reporter dans chacune des cases de la table de

Karnaugh la valeur de la variable de sortie Q puis à rechercher dans la matrice des ensembles de cases adjacentes ou blocs en respectant les règles suivantes :

• Un bloc ne doit contenir aucun ‘0’. • Chaque bloc est composé de 1 × 1, 1 × 2, 1 × 4, 2 × 1, 2 × 2, ou 2 × 4 cases adjacentes (un

bloc a donc une forme en carré ou en rectangle).



• Une case tout à gauche du tableau est considérée comme adjacente de la case tout à droite du tableau, dans la même ligne (car une seule des variables d’entrée diffère).

• Une case tout en haut du tableau est considérée comme adjacente de la case tout en bas du tableau, dans la même colonne (car une seule des variables d’entrée diffère).

• Chaque case dont la valeur est ‘1’ peut appartenir à plusieurs blocs. • Tout bloc contenu dans un bloc plus grand est éliminé. • L’ensemble de blocs choisis doit être juste assez complet pour qu’ensemble, ils recouvrent tous

les ‘1’. Chaque bloc est décrit par le produit d’une ou plusieurs variables d’entrée et/ou de leur inverse. Pour

une table à n variables d’entrée : − les blocs à 1 case s’expriment par la fonction ET de n variables ; − les blocs à 2 cases s’expriment par la fonction ET de n-1 variables ; − les blocs à 4 cases s’expriment par la fonction ET de n-2 variables ; − et ainsi de suite.

L’équation du système se déduit par addition de ces produits.

EXEMPLE 1 Simplification de la fonction majorité à trois entrées par la méthode des tables de Karnaugh.

a

Q 0 1

00 0 0

01 0 1

11 1 1 bc

10 0 1

abbccaQ ⋅+⋅+⋅=

Table 7.10 Exemple d’une table de Karnaugh – Fonction « majorité »

A) EXEMPLE 2 Simplification d’une fonction à 4 variables d’entrée par la méthode des tables de Karnaugh.

dcbadcbadcbadcbadcbadcbadcbaQ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

ab

Q 00

01

11 10

00 1 0 0 0

01 0 1 1 0

11 0 1 1 0 cd

10 1 0 0 1

dcbdbdbaQ ⋅⋅+⋅+⋅⋅=

Table 7.11 Exemple d’une table de Karnaugh avec 4 variables d’entrée



7.2.2.4 Fonctions incomplètement définies

Souvent, la variable de sortie d’un système que l’on souhaite exprimer par une relation booléenne n’est pas déterminée pour toutes les combinaisons des variables d’entrée. C’est généralement le cas lorsque ces combinaisons ne sont physiquement pas réalisables, ou pas spécifiées. Dans un tel cas, il n’est pas nécessaire d’imposer une valeur ‘0’ ou ’1’ en établissant la table de Karnaugh. Un tel état indéterminé est noté ‘X’. Cette particularité permet souvent de créer des blocs de plus grande dimension, puisque la seule contrainte est que ces blocs ne contiennent aucun ‘0’. Le produit qui exprimera ce bloc comprendra donc moins de terme, et sera plus simple à réaliser par le programmeur, et plus rapide à calculer par l’automate. En déterminant ces blocs, chaque case indéterminée se voit attribuer une valeur ‘0’ ou ‘1’, ce qui ne pose aucun problème puisqu’un tel état n’est pas possible.

En d’autres termes, il est improductif de poser des contraintes supplémentaires lorsque ce n’est pas nécessaire.

EXEMPLE Les affichages numériques à 7 segments, qui permettent d’afficher les nombres de 0 à 9, doivent généralement

correspondre à une combinaison de 4 signaux binaires. L’état de chaque segment (allumé ou éteint) est parfaitement dé-terminé pour les chiffres de 0 à 9, donc pour les combinaisons d’entrée comprises entre 0000 et 1001.

Les combinaisons d’entrée comprises entre 1010 et 1111 ne peuvent normalement pas se produire (puisque l’on compte en décimal). Il n’est pas utile d’imposer un état allumé ou éteint à chaque segment pour ces combinaisons, et l’on indiquera un ’X’ pour chacun de ces état.

Évidemment, une fois que la simplification par la table de Karnaugh aura été réalisée, chaque ’X’ aura été rempla-cé par un ’0’ ou par un ’1’.

7.2.3 Logique séquentielle

7.2.3.1 Définition

DÉFINITION 7.2 Un système logique est dit séquentiel si l'état de sa sortie dépend des états anté-rieurs de ce système, c’est-à-dire qu’il se souvient de son histoire, l’analyse com-binatoire ne suffit pas pour décrire le fonctionnement de ce système. La logique séquentielle prend en compte les états successifs du système.

L’histoire d’un système est représentée par une succession d’états que prend le système au cours du temps. Le changement d’état est provoqué par une variation des entrées. Les sorties sont fonction de l’état du système. L’historique d’un système est décrit par un ensemble de variables appelées variables d’état qui interviennent dans les équations caractéristiques du système.

Figure 7.6 Schéma de principe d’un système séquentiel

En- Sorties : Qj = fj

Variables d’état sk

Système combinatoire



Pour décrire un système séquentiel plusieurs outils d’analyse sont disponibles. Les principaux sont : − le chronogramme ; − le graphe de fluence ; − le tableau d’états (Machine de Moore) ; − le graphe d’états et le GRAFCET ; − les réseaux de Pétri.

Le but de ce cours n’est pas d’étudier en détail tous ces outils, nous nous contenterons d’en aborder des notions élémentaires pour les principaux.

EXEMPLE Pour exemple prenons la commande d’un vérin pneumatique. Le piston du vérin est au repos à la position A, repé-

rée, par un contact de fin de course. Lorsqu’on appuie sur le bouton M le vérin est activé et le piston se déplace jusqu’à la position B puis revient en position A.

Figure 7.7 Vérin pneumatique et schéma de commande

(Source : Festo)



7.2.3.2 Le chronogramme

C’est un graphique qui représente l’évolution des valeurs prises par les variables d’entrée, de sortie et d’état du système en fonction du temps.

mm

aa

bb

QQ

AA

BB

zz

1 2 3 4 5 1

tt

Figure 7.8 Exemple de chronogramme pour le vérin de la Figure 7.7

Remarque : aucune condition n’est posée quand à la durée d’action sur le bouton m. La seule condi-tion est qu’il ait été relâché à la fin du cycle. Cette particularité est indiquée par la ligne traitillée horizontale sur le chronogramme.

Le chronogramme représente un certain nombre d'états du système qui correspondent à une configu-ration particulière des entrées sorties. Si le nombre de variables est grand, il existe un risque d’oublier cer-tains états et certaines possibilités d’évolution. Ce mode de représentation n’est pas synthétique. L'état initial est choisi arbitrairement. Le chronogramme servira plutôt pour représenter un exemple concret de fonction-nement.

7.2.3.3 Le graphe de fluence

Le graphe de fluence représente tous les états stables du système et l'ordre chronologique dans le-quel il atteint successivement chacun des états à partir des autres en fonction des variations des variables d'entrée. Un état stable est un état pour lequel les sorties du système restent inchangées tant que les com-binaisons des entrées sont fixes

Figure 7.9 Symbole des graphes de fluence

Chaque nœud du graphe correspond à un état stable représenté par un cercle dans lequel est indi-qué : en haut le numéro de l’état et en dessous la valeur des sorties. Les branches du graphe indiquent tous

ei : combinaison des variables d’entrée conditionnant le passage à l’état suivant

N°

N° de

Valeurs des sor-



les chemins possibles pour passer d’un état stable à l’autre. Ces chemins sont à sens unique, la flèche indi-que le sens de passage. Sur chaque branche est indiqué l’état des variables d’entrée permettant d’effectuer la transition d’un état stable à l’autre.

10

21

abm EQ

100 31

101 00X 40

01X 50

00X

Figure 7.10 Exemple de graphe de fluence pour le vérin de la Figure 7.7

Remarque : Dans l’exemple ci-dessus, la variable d’entrée m n’a aucune influence pour le passage aux états 3, 4 et 5. C’est une variable incomplètement définie sa valeur est marquée par la lettre X.

Cette méthode de modélisation est systématique : pour chaque état toutes les variations possibles des entrées sont envisagées. Ce type de graphe montre bien la synthèse de tous les états d’un système, mais si le nombre d’états ou le nombre de variables est important cette représentation devient rapidement « touffue ».

7.2.3.4 Tableau d’états

Le tableau d’états peut se faire partir du graphe de fluence. C’est une représentation tabulaire des états d’un système. Les combinaisons des variables d’entrée du système sont représentées par les colonnes de ce tableau. A chaque ligne correspond la transition d’un état vers un autre. Les valeurs des sorties sont indiquées à chaque ligne.

abm 000 001 011 010 110 111 101 100 Q

2 1 0

3 3 2 1

3 3 4 4 1

5 5 4 4 0

5 5 1 0

Table 7.12 Exemple de tableau d’état (non réduit) pour le vérin de la Figure 7.7 Les chiffres en gras correspondent aux états stables du système. Les autres correspondent aux états

transitoires, c'est à dire au passage d'un état stable vers l'état stable suivant. Cette transition est provoquée par la variation de l'entrée. L'évolution se fait toujours horizontalement puis verticalement.

En regroupant les lignes qui ont les mêmes valeurs de sortie et qui dans les mêmes colonnes ont un état stable ou une transition, le tableau se réduit. Cette représentation est appelée machine de Moore.



abm 000 001 011 010 110 111 101 100 Q

j 2 1 0

k 3 3 4 4 2 1

l 4 4 1 0

Table 7.13 Exemple de tableau d’état réduit pour le vérin de la Figure 7.7 On remarque après réduction que l’état 5 a disparu. En effet le passage par l’état n°5 ne modifie pas

l’état de la sortie, il est donc redondant et inutile. Comme pour le graphe de fluence, le tableau d’état est utilisable pour des systèmes ayant un nombre

d’entrées et un nombre d’états restreint.

7.2.4 Synthèse des systèmes séquentiels

La synthèse d’un système séquentiel consiste à mettre en équations le fonctionnement du système décrit au moyen des outils d’analyse. Nous prendrons comme exemple la bascule RS asynchrone qui est la fonction « mémoire » élémentaire. Cet élément comporte deux entrées :

R : mise à ‘0’ de la sortie Q de l’anglais Reset S : mise à ‘1’ de la sortie Q de l’anglais Set

10

21

RS EQ

10 01

RR

SS QQ

QQ

Figure 7.11 Bascule RS et son graphe de fluence

Représentons la table de vérité de ce système en distinguant −Q (état actuel des sorties) et +Q (état futur de celles-ci).

R S +Q +Q

0 0 −Q −Q

0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 X X

Table 7.14 Table de vérité – Fonction « bascule RS »



De cette table de vérité créons les tables de Karnaugh pour les sorties +Q et +Q

−Q −Q

+Q

0 1

+Q

0 1 00 0 1 00 1 0 01 1 1 01 0 0 11 X X 11 X X

RS

10 0 0

RS

10 1 1

Table 7.15 Tables de Karnaugh pour une bascule RS

L’équation caractéristique qui en résultent pour +Q pourrait être ( )RQSQ ⋅+= −+ . Ce faisant, on obtient l’expression qui contient le minimum de calculs à faire.

Toutefois, une autre expression possible est ( ) ( )RQRSQ ⋅+⋅= −+ . Avec celle-ci, les 2 ‘X’ sont rem-placés par des ‘0’, ce qui est également autorisé. L’expression est légèrement plus compliquée, mais elle a l’avantage de pouvoir être facilement réalisée avec deux NON ET (NAND) ou avec deux NON OU (NOR). En effet, ( ) ( ) ( ) ( ) RQSRQSRQRSQ ++=⋅+=⋅+⋅= −−−+ .

De même, ( ) ( ) ( ) ( ) SQRSQRSQSRQ ++=⋅+=⋅+⋅= −−−+ .

La bascule RS peut donc être réalisée comme représenté ci-dessous :

Q1Q1QQ

≥1

SS≥1 Q2Q2

RR

SS

RR QQ

QQQQ

Figure 7.12 Schéma équivalent et symbole de la bascule RS



7.2.5 Le GRAFCET

Le GRAFCET (Graphe de Commande Étape - Transition) est la méthode de représentation et d’analyse des systèmes séquentiels qui s’est imposée dans le domaine industriel international. Créé en 1975 par l’AFCET (Association Française pour la Cybernétique Économique et Technique), un groupe d’industriels et d’universitaires français, ce langage s’est rapidement imposé au niveau mondial par son applicabilité et sa simplicité.

Le GRAFCET est un outil de modélisation de systèmes séquentiels utilisé plus particulièrement pour décrire commandes d’automatismes. C’est un graphe structuré qui représente les séquences d’opérations, il comporte deux types de d’éléments : les étapes et les transitions.

Les étapes Une étape représente un état stable du système étudié. Elle est présentée dans le GRAFCET par un

carré entourant un numéro. Une étape peut être active ou inactive. Dans le premier cas, on peut signifier cette activité en marquant le carré par un point.

Les étapes actives à l’instant initial (initialisation) sont appelées étapes initiales et sont présentées par un double carré.

34 Q := 02 Action

Etape Etape initiale

7 A+

Etape active

B+

Figure 7.13 Étapes GRAFCET

La variable binaire Xi associée à l’état de l’étape n° i vaut 1 si l’étape est active et 0 dans le cas contraire. Lorsque l’étape est active, elle indique les actions qui doivent être réalisées. Ces actions sont associées aux étapes. Les actions peuvent être indiquées littéralement ou symboliquement.



Les transitions Une transition modélise un changement d’état du système. Elle indique une unique possibilité

d’évolution entre deux ou plusieurs étapes. Elle est représentée par un trait horizontal court sur la liaison orientée.

3 Action 3

Condition

Condition A

4 Action 4

6

71

Transition simple

Action 6

72

8

Action 71 Action 72

131

Condition B

Condition C Condition D

Divergence en OU

Convergence en OU

12

Condition C

Action 12

132Action 131 Action 132

Condition D

14 Action 14

Divergence en ET

Convergence en ET

Figure 7.14 Transitions GRAFCET

La transition relie l’ensemble des étapes d’entrée à l’ensemble des étapes de sorties. Une transition précise les conditions dans lesquelles les étapes de sortie doivent devenir actives. Ces conditions de fran-chissement d’une transition sont appelées réceptivité. Elles sont indiquées d’une manière littérale, symboli-que ou à l’aide d’une expression booléenne.

Règles d’évolution du GRAFCET Un système séquentiel évolue dans le temps. Cette évolution correspond à un changement d’état tra-

duit dans le GRAFCET par une évolution qui doit suivre les six règles fondamentales. Règle 1 : Successions.

Il y a toujours une succession étape – transition, ou transition – étape. Règle 2 : Situation initiale.

L’ensemble des étapes actives à l’instant initial est l’ensemble des étapes initiales. C’est la si-



tuation initiale, elle correspond aux étapes actives à la mise en énergie du système de com-mande de la machine.

Règle 3 : Franchissement d’une transition. Une transition est franchissable si les deux conditions suivantes sont satisfaites : - toutes les étapes d’entrées de la transition sont actives, on dit alors que la transition est vali-dée, - la réceptivité associée à cette transition est vraie. Une transition franchissable est obligatoirement franchie.

Règle 4 : Évolution des étapes actives. Le franchissement d’une transition entraîne simultanément l’activation de toutes les étapes de sortie de la transition et la désactivation de toutes les étapes d’entrée.

Règle 5 : Évolutions simultanées. Plusieurs transitions simultanément franchissables sont simultanément franchies.

Règle 6 : Activation et désactivation simultanées. Si au cours du franchissement d’une ou de plusieurs transitions simultanément, une même étape doit être désactivée et activée, alors elle reste active.

Structure du GRAFCET Un GRAFCET est dit linéaire quand il n’est constitué que d’une seule succession possible de sé-

quences. Par exemple le vérin pneumatique vu plus haut.

1 Q := 0

a*m

2 Q := 1

b

Figure 7.15 GRAFCET linéaire



La conditionnelle est composée d’une divergence en OU de séquence suivie d’une convergence en OU. Les conditions de franchissement des transitions a et b sont exclusives, la sélection des évolutions possible doit être unique.

Dans ce type de structure une seule branche du graphe peut être parcourue, c’est-à-dire qu’une seule étape peut être activée. Une des branches peut ne pas contenir d’étape, ce qui permet de ne pas exécuter une partie du graphe sous certaines conditions.

a

1

2

Faire A

4Faire B Faire C

b

e

dc

3 Faire D

4 Faire E

Divergence en OU

Convergence en OU

n

Figure 7.16 GRAFCET conditionnelle

Le parallélisme est l’exécution simultanée de plusieurs séquences, il est réalisé par une transition qui possède plusieurs étapes de sortie. C’est une divergence en ET qui représente l’exécution en parallèle de plusieurs séquences. La synchronisation est la fin d’une séquence de parallélisme. Elle est représentée par une convergence en ET qui est une transition qui possède plusieurs étapes d’entrée. Les séquences débutent simultanément mais l’évolution dans chaque branche est indépendante.

La synchronisation peut se faire quand toutes les étapes d’entrée de celle-ci sont actives.

2

1

a

Faire A

4Faire B Faire C

c

5 Faire D

3

b

Divergence en ET

Convergence en ET

Figure 7.17 GRAFCET parallélisme



Une macro-étape Mi représente par un seul carré un ensemble unique d’étapes et de transitions. Cet ensemble est appelé expansion de la macro-étape. Elle commence par une seule étape d’entrée notée Ei et se termine par une seule étape de sortie notée Si.

7

6

l

Faire K

12Faire L Faire M

n

S10

8

m

Macro étape

E101

k

2

a

b

M10

c

4

d

Figure 7.18 GRAFCET macro-étape



7.3 Automates programmables

Les automates programmables sont des appareils utilisés pour réaliser la partie commande d’une ma-chine automatisée. Les premier automates ont étés conçu au milieu du siècle dernier pour répondre à la demande des constructeurs d’automobiles américains. Ces appareils comportent une mémoire programma-ble qui stocke des instructions composant les fonctions d’automatisme d’une commande comme par exem-ple :

• Logique séquentielle et combinatoire ; • Temporisation, comptage, décomptage, comparaison ; • Calcul arithmétique ; • Réglage, asservissement, régulation, etc., pour commander, mesurer et contrôler au moyen

d’entrées et de sorties (logiques, numériques ou analogiques) différentes sortes de machines ou de processus, en environnement industriel.

• Les automates les plus récents comportent des interfaces qui permettent de les raccorder direc-tement sur un réseau Ethernet, certain font même office de serveur web pour afficher des pa-ges de diagnostique accessibles par un navigateur standard.

Les automates programmables prennent une place importante dans les systèmes de commande au-tomatique des machines. Ils remplacent avantageusement les systèmes en logique câblée (à relais ou élec-troniques) dans la plupart des applications industrielles. Les fonctions d’automatisme sont programmées, ce qui permet d’adapter facilement l’application chargée dans la mémoire de l’automate aux conditions de fonc-tionnement de la machine.

Les automates sont utilisés pour réaliser toutes sortes de commandes des plus simples • Ouverture, fermeture de porte ou de barrières, • Éclairage, surveillance de la distribution d’énergie. • Commande de ventilation, • Petites machines d’assemblage, • Signalisation routière.

... aux plus complexes • Contrôle et régulation de processus dans l’industrie chimique ou pétrochimique, • Asservissement multiaxes pour des centres d’usinages, • Régulation de machine pour l’usinage des plastiques (injection, extrusion), • Régulation de systèmes thermiques pour l’industrie ou le bâtiment (chaufferie ou production de

froid), • Surveillance du trafic routier et ferroviaire,



7.3.1 Matériel – Architecture et gammes d’automates

Figure 7.19 Architecture interne d’un automate programmable

Un automate programmable est constitué de plusieurs éléments. Quelque soit la taille et la puissance de calcul de la machine l’architecture est similaire :

• L’élément central est l’unité de traitement arithmétique et logique (CPU) qui effectue les sé-quences de programme et les calculs.

• Les programmes sont enregistrés dans une mémoire qui garde l’information même quand l’alimentation électrique est coupée. Une autre mémoire est dédiée au stockage des données ; cette partie de la mémoire peut être ou non volatile, c’est-à-dire qu’elle s’efface quand la ten-sion d’alimentation est coupée.

• Les entrées-sorties sont les liens entre l’automate et son environnement. Leur type dépend des caractéristiques du signal qu’elles doivent capter ou générer : tout ou rien (digitales) pour les si-gnaux binaires, analogiques pour les signaux de mesure ou de consigne.

• Une alimentation pour les circuits électroniques internes. Celle-ci est galvaniquement isolée des circuits de commande.

• Des interfaces de communication (Xcom) qui servent à l’échange d’informations numériques avec le monde extérieur par bus de terrain ou réseaux informatiques. Une de ces interfaces est utilisée pour charge le programme dans la mémoire de l’automate.

API

OUT

Actionneurs

IN

Capteurs

CPU

RAM ROM

D A

D A

PGU

Console

INT

Xcom Comptage

Codeurs

Bus interne

Bus de terrain Réseaux

A l i

m e n t a t i o n



L’automate est à dimensionner selon l’application à réaliser. Un vaste choix de gammes est proposé par les différents les fabricants.

Les micros automates sont, comme leur nom l’indique, de toutes petites unités avec une structure fixe comprenant de 4 à 20 entrées-sorties, généralement tout-ou-rien. Ils sont utilisés pour réaliser de petits automatismes autonomes en logique combinatoire. Généralement ils se programment avec un langage sim-plifié qui leur est propre.

Les automates compacts sont des appareils avec un nombre fixe d’entrées-sorties digitales et analo-giques. Ils sont cependant extensibles par blocs jusqu’à environ 250 entrées-sorties. Ils sont principalement exploités pour des applications de complexité moyenne avec de la logique séquentielle et un traitement limi-té des fonctions analogiques.

Les automates modulaires sont des machines rapides et puissantes qui travaillent avec des proces-seurs performants. Ce sont de véritables ordinateurs multitâches et multiprocesseurs. Une CPU peut traiter plus de 8'000 entrées-sorties.

Les automates à architecture distribuée sont constitués d’un ensemble de processeurs et d’interfaces d’entrées-sorties reliées par un réseau. Ce type de structure est employé pour l’automatisation de machines complexes (par exemple : rotative d’imprimerie), pour des processus très étendus (par exem-ple : réseaux de distribution) ou pour lorsque les contraintes de sûreté de fonctionnement imposent la redon-dance des systèmes de contrôle-commande (par exemple : industries chimiques, pétrochimique, nucléaire).

7.3.2 Fonctionnement

7.3.2.1 Normalisation

La diversité des applications et l'évolution du matériel ont amené les constructeurs d'automatismes à concevoir des automates de plus en plus complexes. Pour maîtriser cette complexité et rendre la program-mation des automates plus efficace, des standards industriels ont été adoptés par les automaticiens. Ces standards définissent non seulement les langages mais également la méthodologie de programmation. A présent ils sont disponibles pour presque toutes les plates-formes du marché et sont normalisés par la Commission Électrotechnique Internationale (CEI – en anglais : International Electrotechnic Commission - IEC), qui réuni fournisseurs, utilisateurs et chercheurs. En particulier, la norme CEI-61131-3 définit la pro-grammation des automates, et propose un cadre qui s'étend de la spécification aux architectures.

7.3.2.2 Critères de qualité

Pour fonctionner en temps réel de manière sûre et stable dans un environnement industriel, les auto-mates programmables doivent respecter des contraintes très sévères : Temporelle : Le système doit répondre à une stimulation externe dans un laps de temps connu. Sûreté : Les automates programmables sont parfois utilisés dans des applications où leur défail-

lance peut entraîner des blessures ou des dégâts matériels coûteux. Concurrence : Les processeurs des automates doivent être à même de traiter plusieurs tâches simulta-

nément. Déterminisme : L’état des sorties est entièrement déterminé par l’histoire des entrées



7.3.2.3 Organisation des programmes

La norme CEI-61131-3 définit l’organisation générale des programmes et les éléments communs qui sont utilisés par tous les langages de programmation.

Comme tous systèmes informatiques les automates programmables utilisent des variables qui repré-sentent sous forme numérique l’information qui doit être traitée. La forme de ces données est définie par le type des variables : booléen, entier, entier long, réel, date, etc. Pour faciliter la lisibilité des programmes des variables sont nommés par des symboles.

Les ressources sont l’ensemble des variables auxquelles peuvent accéder les programmes. Ces va-riables peuvent être liées à la structure matérielle de l’automate (entrées, sorties, horloges, interruptions) ou internes (indicateurs, registres, temporisateurs, compteurs, blocs de données).

Les programmes doivent être structurés pour en faciliter le développement, la portabilité et la mainte-nance. Les Unités d’Organisation de Programme ou blocs d’organisation (en anglais : program organisa-tion unit – POU) sont des conteneurs qui contiennent une partie des instructions du programme. Ces blocs peuvent être :

• Des fonctions standards (sin(x), sqrt(x), exp(x), etc.) ou définies par le programmeur, elles n’ont pas d’état interne et leur invocation avec les mêmes arguments donne toujours le même résultat.

• Des blocs fonctionnels (FB : function blocs) qui contiennent dans la même entité un pro-gramme et des données. Les blocs fonctionnels possèdent des arguments et ont un état in-terne, le résultat produit par leur invocation dépend donc de l’historique.

• Des blocs programme (PB : program blocs) regroupent un certain nombre d’instructions ils ne permettent pas le passage d’arguments.

• Des blocs de données (DB : data blocs) rassemblent un certain nombre de variables utilisa-bles comme arguments pour l’échange d’information entre les programmes.

• Des blocs séquentiels (SB : sequential blocs ou SFC : sequential flow chart) sont utilisés pour l’exécution des programmes écrits en GRAFCET, ces blocs regroupent un certain nombre de bloc d’action et de transition.

Ces différents blocs peuvent être imbriqués, la structure de l’organisation varie en fonction du type de processeur et du fabricant.



Bloc #mBloc #n

Bloc #2Bloc #1

Ressources locales Bloc #1

Fonction1A

Blocfonction

1B

Variableslocales1B

Ressources globales

Figure 7.20 Blocs d’organisation d’un programme d’automatisme

7.3.2.4 Exécution des programmes

Les programmes des automates s’exécutent en temps réel, c’est-à-dire qu’un ensemble d’instruction doit être traité en un temps donné. Au cours d’un cycle de traitement le processeur effectue un certain nom-bre de tâches qui s’enchaînent dans un ordre préétabli : Tâche no 1 : Traitement interne ou système : fonctions non liées à l’application telles que surveillance

du matériel, communication avec des périphériques ou échange de données avec d’autres processeurs.

Tâche no 2 : Lecture des entrées : toutes les entrées sont lues au même instant. Les cartes d’entrée enregistrent l’état des signaux sur un ordre provenant du processeur. L’image de ces états est ensuite copiée dans des variables qui seront traitées par le programme.

Tâche no 3 : Exécution des blocs de programme : les différents blocs du programme d’application sont successivement traités.

Tâche no 4 : Écriture des sorties : les valeurs des variables représentant les sorties sont toutes co-piées dans les sorties physiques au même instant sur un signal du processeur.



Traitement initial

Traitement interne

Lecture des entrées

Exécution programmeBloc #1

Bloc #2

Bloc #n

Ecriture des sorties

Traitement exceptionsou interruptions

RUN STOP

Mise sous tensionReprise à froid

Figure 7.21 Cycle de base d’un programme d’automate

Ces quatre tâchent composent un cycle. Quand l’automate est actif (en RUN) les cycles se succèdent indéfiniment. Une temporisation indépendante du processeur, le chien de garde ou watch-dog, surveille le temps d’exécution de chaque cycle. Si ce temps est dépassé une alarme est signalée.

Quand l’automate est arrêté (en STOP) seules les tâches de traitement système et de lecture des en-trées sont effectuées. Le programme n’est plus traité et les sorties ne sont plus mises à jour.

A la mise sous tension de l’automate, appelée également reprise à froid, un bloc de programme parti-culier, le traitement initial, est exécuté une seule fois. Il permet d’initialiser des variables et de faire les contrôles préliminaires à l’exécution du programme d’application.

Certains blocs de programme s’exécutent si des événements particuliers externes se produisent : ac-tivation d’une entrée ou limite de comptage atteinte. Ces événements génèrent une interruption qui déclen-che immédiatement l’exécution du bloc de programme. Des événements internes (erreur de calcul, débor-dement d’un compteur, dépassement du temps de cycle), appelés exceptions, peuvent également déclen-cher l’exécution de blocs de programme pour la signalisation ou la correction de l’erreur.

Certains automates proposent deux modes de fonctionnement possibles, le choix dépendra de l’application :

• En mode cyclique les cycles s’enchaînent les uns après les autres, sans temps d’attente, quel-que soit la durée d’exécution du programme. Avantage le temps de réponse est plus court mais la durée de traitement tc n est différente à chaque cycle. L’intervalle entre chaque cycle est indéterminé.

Figure 7.22 Exécution cyclique du programme

Traitement du programme

%I

%Q

TI Traitement du programme

%Q %I TI

Cycle cA temps tcA

Cycle cB temps tc B



• En mode périodique les cycles sont déclenchés périodiquement par un top d’horloge. Les cy-cles s’effectuent à intervalles réguliers tp ce qui laisse des espaces temporels libre pendant les-quels le processeur ne fait rien, le temps de réponse n’est donc pas minimum. Ce mode de fonctionnement sera utilisé pour des applications de régulation numérique, car celles-ci requiè-rent un temps de cycle constant.

Figure 7.23 Exécution périodique du programme


%I

%Q

TI


%Q

%I

TI

Cycle cB temps tc B

Cycle cA temps tc A

temps tp temps tp



7.3.3 Programmation des automates

7.3.3.1 Choix des langages de programmation

Les langages de programmation des automates programmables sont complètement définis par la norme CEI-61131-3 qui distingue trois groupes :

• Les langages textuels : liste d’instruction (IL) et texte structuré (ST), • Les langages graphiques : plan de contacts (LD) et diagramme de blocs fonctionnels (FDB), • Le langage séquentiel : diagramme séquentiel (SFC), variante du GRAFCET.

Il est toujours possible d’utiliser plusieurs langages au sein d’un même projet, fonctionnant sur un seul automate programmable. Le choix peut ainsi être guidé par la qualification des programmeurs qui intervien-nent aux différents stades du projet. Ainsi par exemple :

− Les fonctions sophistiquées seront programmées en texte structuré (ST) par les spécialis-tes du Ra&D, aboutissant à des sous-programmes ou à des blocs fonctionnels.

− L’automatisation de l’installation ou de la machine à programmer sera programmée en diagramme séquentiel (SFC) et en blocs fonctionnels (SBD) par les constructeurs.

− Les commandes tout-ou-rien des moteurs et autres actionneurs simples sera programmée en plan de contacts (LD), facilitant ainsi la mise en service et la maintenance par du per-sonnel moins qualifié.

7.3.3.2 Les variables

La syntaxe des symboles des variables accessibles directement est définie. Pour les nommer on as-socie la notation ‘%’, l’emplacement physique (ressource), la taille et l’adresse absolue. Le tableau ci-dessous donne les indications pour les principaux symboles :

Ressource, 1er préfixe Taille, 2ème préfixe

%I entrée X booléen (bit) 1 bit %Q sortie B octet (byte) 8 bits %M mémoire W mot (word) 16 bits (%K) constante D double mot (double) 32 bits

L mot long (long) 64 bits

Table 7.16 Notation normalisée des variables dans les automates programmables Pour alléger la notation le deuxième préfixe (la taille) est parfois omis quand le symbole représente un

bit (X).



EXEMPLES %MW357 mot 357 de la mémoire interne

%MD81 double mot à l’adresse 81 de la mémoire

%I35 entrée physique 35

%Q13 sortie physique 13

%QB2 octet de sortie 2

7.3.3.3 Liste d’instructions IL (Instruction List)

Ce langage, proche de l’assembleur des microprocesseurs, est utilisé dans des cas particuliers pour optimiser certaines parties du code si les contraintes temporelles sont importantes. Un programme IL est une suite de ligne d’instructions qui comprennent : Une étiquette : (facultative) utilisée pour mettre des points de repère dans le programme, Un opérateur : représenté par un code mnémonique qui indique quelle opération doit effectuer le pro-

cesseur, Un argument : (éventuel) qui dépend de l’opérateur, indique sur quel objet porte l’opération, Un commentaire : optionnel mais vivement recommandé.

Ces éléments sont encolonnés pour faciliter la lecture du code.

EXEMPLE Programme en liste d’instruction IL pour la commande du vérin :

;======================================================================== ; HEIG-VD - TCSiM cours d'électricité automates programmable ; Exemple de programme en liste d'instructions (IL) : commande de verin ; ----------------------------------------------------------------------- ; V1.0 ABe 30.03.05 Première version ;======================================================================== Verin_IL: ; Etiquette début de programme LD In_M ; Lecture entrée In_M AND In_A ; AND logique avec entrée In_A OR Out_Q ; OR logique avec sortie Out_Q ST M_temp ; stocke résultat dans bit temporaire LD In_B ; Lecture entrée In_B NOT ; Inverse la valeur AND M_temp ; AND logique avec variable temporaire ST Out_Q ; Ecrit résultat dans sortie Out_Q END



7.3.3.4 Texte structuré ST (Structured Text)

Le langage texte structuré est dérivé des langages de programmation de haut niveau tels que Pascal, ADA, C, BASIC. Il est utilisé pour programmer des algorithmes complexes qui nécessitent des calculs numé-riques. Le jeu d’instructions de ce langage comprend des fonctions, des instructions conditionnelles (IF … THEN … ELSIF … ELSE … END_IF), des instructions de boucle (FOR … DO … END_FOR) et d’autres instructions de contrôle.

EXEMPLE Programmes en texte structuré ST pour la commande du vérin

(* =================================================================== *) (* HEIG-VD - TCSiM cours d'électricité automates programmable *) (* Exemple de programme en texte structuré (ST) : commande de verin *) (* ------------------------------------------------------------------- *) (* V1.0 ABe 30.03.05 Première version *) (* =================================================================== *) Verin_ST1: (* Etiquette début de programme *) Out_Q := ((In_M AND In_A) OR Out_Q) AND NOT(In_B)); (* Equation booléenne *) RETURN; (* =================================================================== *) (* HEIG-VD - TCSiM cours d'électricité automates programmable *) (* Exemple de programme en texte structuré (ST) : commande de verin *) (* ------------------------------------------------------------------- *) (* V2.0 ABe 30.03.05 Variante du programme *) (* =================================================================== *) Verin_ST2: (* Etiquette début de programme *) IF ((In_M AND In_A AND NOT(In_B)) THEN (* Equation booléenne *) SET Out_Q; ELSE RESET Out_Q; END_IF; RETURN;

7.3.3.5 Plan de contacts LD (Ladder Diagram)

Les plans de contacts sont dérivés des premières réalisations d’automatismes faites avec des relais électromécaniques. C’est le plus ancien des langages normalisés (1969), il a été conçu pour faciliter la tran-sition entre les systèmes à logique câblée et les systèmes à logique programmée. Il permet la représentation graphique sous forme de schémas des équations logiques booléennes. Ce langage est conservé pour main-tenir une compatibilité avec des automates d’ancienne génération mais il est de moins en moins utilisé.

Les variables d’entrée des équations sont symbolisées par des ‘contacts’ –| |– et les variables de sorties par des ‘bobines’ –( )–. La réalisation des fonctions logiques se fait en reliant ces éléments par des lignes qui symbolisent l’équivalent d’un schéma électrique. L’automate évalue ces réseaux de haut en bas et de gauche à droite.

Les fonctions de base de ce langage sont données dans le tableau ci-dessous. Il convient de remar-quer que les symboles diffèrent des contacts définis par la CEI. La raison est que ce langage de programma-tion a été conçu aux USA, et qu’il a repris les symboles des contacts en usage dans ce pays à l’époque.



Symbole Désignation Fonction

–| |–IN_A Contact direct Variable d’entrée IN_A –| / |–IN_B Contact inverse Inverse de la variable d’entrée IN_B –| P |–IN_C Front positif Vaut ‘1’ pendant le cycle de traitement où la varia-

ble IN_C à passé de l’état ‘0’ à l’état ‘1’ –| N |–IN_D Front négatif Vaut ‘1’ pendant le cycle de traitement où la varia-

ble IN_D à passé de l’état ‘1’ à l’état ‘0’ –( )– OUT_A Relais direct Variable de sortie OUT_A –( / )– OUT_B Relais inverse Inverse de la variable de sortie OUT_B –( P )– OUT_C Relais front positif Variable de sortie OUT_C vaut ‘1’ durant le cycle

de l’automate où le signal de commande du relais à passé de l’état ‘0’ à l’état ‘1’

–( N )– OUT_D Relais front négatif Variable de sortie OUT_D vaut ‘1’ durant le cycle de l’automate où le signal de commande du relais à passé de l’état ‘0’ à l’état ‘1’

–( S )– OUT_E Relais Set Met la variable de sortie OUT_E à l’état ‘1’ quand le signal de commande du relais est à l’état ‘1’. La variable de sortie n’est pas modifiée quand le si-gnal est à l’état ‘0’.

–( R )– OUT_F Relais Reset Met la variable de sortie OUT_E à l’état ‘0’ quand le signal de commande du relais est à l’état ‘1’. La variable de sortie n’est pas modifiée quand le si-gnal est à l’état ‘0’.

Table 7.17 Symboles graphiques des plans de contacts LD

EXEMPLE Programme en réseaux de contacts LD pour la commande du vérin.

Figure 7.24 Exemple d’un programme en plan de contacts



7.3.3.6 Blocs fonctionnels FBD (Function Bloc Diagram)

Ce langage est une évolution des réseaux de contacts. Il permet de traiter non seulement des équa-tions logiques binaires mais également des fonctions beaucoup plus complexes, par exemple des régula-teurs PID, faisant intervenir des variables numériques. Le langage FBD est normalement utilisé pour des applications qui traitent un flux continu d’information.

La programmation se fait en interconnectant de manière judicieuse des composants, appelés blocs fonctionnels, pour réaliser une fonction spécifique. Les blocs fonctionnels peuvent être :

• de simples fonctions logiques : portes NON, ET, OU ; • des fonctions de logique séquentielle : bascules RS, flip-flop, temporisateurs ; • des opérateurs arithmétiques ou mathématiques : adition, soustraction, multiplication, division,

racine carrée, exponentielle, sinus, etc. ; • des opérateurs fonctionnels complexes : multiplexeurs, démultiplexeurs, générateurs

d’impulsions, régulateurs, etc. ; • des opérateurs fonctionnels spécifiques préprogrammés : commande de moteur, asservisse-

ment d’axes, gestionnaires de communication, etc. Les différents fabricants offrent un catalogue de fonctions de base et des modules dédiés aux diffé-

rents métiers.

Bloc decontrôle

AlgorithmesAlgorithmesAlgorithmes

Variablesinternes

Flux d'événements

Entrées Sorties

Flux de données Flux de données

Flux d'événements

RessourcesRessources

Figure 7.24 Modèle général d’un bloc fonctionnel

Un bloc fonctionnel est représenté par un rectangle, les signaux d’entrée sont à gauche et les sorties à droite. Cette disposition correspond au sens conventionnel du flux des données dans une représentation schématique. Un bloc fonctionnel exécute un ou plusieurs algorithmes qui peuvent être des opérateurs sim-ples ou des fonctions complexes. Il comporte au besoin des variables internes qui peuvent être des paramè-tres, c'est-à-dire des constantes fixées au moment de la programmation, ou des variables qui stockent des valeurs intermédiaires utilisées par les algorithmes. Certains blocs fonctionnels ont éventuellement un élé-ment de contrôle qui permet de modifier leur comportement en fonction d’événements externes particuliers : activation ou désactivation du bloc par exemple. Les blocs peuvent également faire directement appel aux ressources de la machine pour des applications particulières : communication, interruptions, etc.



EXEMPLE Programme en réseaux de contacts LD pour la commande du vérin exposé au paragraphe 7.2.3.

Figure 7.25 Exemple d’un programme réalisé en blocs fonctionnels

7.3.3.7 Diagramme fonctionnel en séquence SFC (Sequential Flow Chart)

Ce langage est directement dérivé du GRAFCET et répond aux mêmes règles de base. Il est utilisé pour programmer la commande de systèmes séquentiels. Un diagramme fonctionnel en séquence est cons-titué d’une succession d’étapes reliées par des transitions. Un programme d’application peut comporter plusieurs diagrammes fonctionnels en séquence indépendants ou non.

Une étape correspond à une situation dans laquelle le comportement du système est invariant par rapport à ses entrées et ses sorties. Une étape peut être active ou inactive. Quand l’étape est active le programme qui lui est associé s’exécute. Si elle est inactive cette partie du programme n’est pas traitée par le processeur. Le programme associé à une étape peut être écrit en langage IL, ST, LD ou FBD.

L’étape initiale est celle qui est activée à l’initialisation du programme. Il ne peut y avoir qu’une seule et unique étape initiale par diagramme.

Une transition indique la possibilité d’évolution entre les étapes. A chaque transition est associé une condition logique appelée réceptivité. Une transition est dite valide si toutes les étapes qui lui sont reliées en amont sont actives. Quand une transition est valide et que sa réceptivité est vraie, le diagramme peut évoluer d’une étape à l’autre ce qui ce fait généralement en un cycle d’automate. La réceptivité peut être écrite en langage IL, ST, LD ou FBD.

EXEMPLE Diagramme fonctionnel en séquence SFC pour la commande du vérin

Figure 7.26 Exemple d’un programme réalisé en diagramme fonctionnel à séquences, dont les

actions et les transitions sont décrites en flocs fonctionnels






Chapitre 8

Appareils de mesure et capteurs

8.1 Appareils de mesure

8.1.1 Utilisations des appareils de mesure

8.1.1.1 Mesures électriques sur les machines et installations

Les équipements permettant la conduite des machines et installations seront abordés dans les para-graphes suivants. Parmi ceux-ci, les appareils de mesure électriques figurent en bonne place. Leur rôle est de renseigner l’opérateur sur, par exemple :

• l’effort de traction de certains moteurs • la tension électrique disponible et le courant ou la puissance consommée • la température et la pression au sein de certains équipements

Les appareils de mesure électriques conçus pour ce type d’utilisation fonctionnent selon les mêmes principes que les appareils de laboratoire. Ils sont généralement moins coûteux, moins précis, et sont prévus pour être intégrés dans des panneaux de commandes.

8.1.1.2 Les mesures de mise en service et de maintenance

Lors de la mise en service d’une machine ou d’une installation, ainsi que lors d’opérations de mainte-nance, il faut souvent obtenir des informations qui ne sont pas utiles en fonctionnement normal. Ces mesu-res sont réalisées à l’aide d’appareils mobiles, connectées par le technicien aux systèmes concernés, puis retiré à la fin de l’opération.

Les appareils utilisés dans ce contexte sont généralement les mêmes que ceux qui sont utilisés en la-boratoire. Ils sont conçus pour être déplacés et transportés. En général, un petit nombre d’appareils suffit pour toutes les mesures auxquelles le technicien est confronté :



• Le multimètre électronique figure en première place dans sa panoplie. Il permet de vérifier la disponibilité des alimentations électriques et l’intégrité du câblage, et de mesurer directement la sortie des différents capteurs équipant la machine ou l’installation.

• L’oscilloscope permet de représenter l’allure d’une ou plusieurs tensions au cours du temps. Il est utilisé pour analyser le comportement de certains systèmes, que ce soit pour les ajuster ou pour les dépanner.

8.1.1.3 Les mesures de laboratoires

Les appareils de mesure électriques utilisés en laboratoire sont souvent conçus pour être déplacés et transportés. Des appareils plus spécialisés ou plus sophistiqués, destinés à la mesure de diverses grandeurs physiques, sont généralement fixes.

Ils sont disponibles pour tous les types de mesure et les exigences de précision les plus variés. Une liste exhaustive serait hors de propos dans le cadre de ce cours.

8.1.2 Méthodes de mesure et affichages

L’observation est la base de toute science physique. Le modèle théorique n’est souvent qu’une des-cription plus ou moins imparfaite d’un système physique. La comparaison entre les caractéristiques de fonc-tionnement déduites d’un modèle proposé d’une part, et celles qu’on observe expérimentalement d’autre part, permet de juger de la pertinence du modèle.

Mesurer, c’est déterminer la valeur d’une grandeur physique par un ensemble d’opérations expéri-mentales. C’est un art exigeant qui demande beaucoup d’attention, de méthode, de sens critique, d’intuition et une bonne compréhension des phénomènes mis en jeu. La connaissance du fonctionnement des appa-reils de mesure utilisé est indispensable pour choisir le bon type d’appareil, et pour l’utiliser correctement en fonction du but visé.

Les résultats de mesure doivent être soigneusement consignés, minutieusement contrôlés, critiqués, comparés à des prévisions – même sommaires – afin d’éliminer toutes les erreurs évitables. L’esprit critique porté aux résultats détermine la confiance qu’on peut leur accorder !

Les affirmations ci-dessous sont vraies aussi bien pour les mesures « sur site », réalisées parfois en urgence, et pour les mesures réalisées en laboratoire, dans le cadre de projets de recherche et de dévelop-pement. Il faudra simplement adapter la méthode de travail aux conditions de travail.

Les principales méthodes de mesure sont : • Méthode directe : La valeur de la grandeur mesurée est affichée directement par l’appareil utili-

sé à cet effet. Exemples : − Un calibre montre directement la dimension de l’objet mesuré. − Un voltmètre affiche directement la tension électrique mesurée.

• Méthode indirecte : La valeur de la grandeur cherchée est calculée à partir de la mesure directe d’une ou plusieurs grandeurs. L’opération de calcul peut être confiée à un microprocesseur ou réalisée plus simplement par des circuits électroniques. Exemples : − La mesure d’une température à l’aide d’un thermocouple requiert la mesure d’une tension

électrique, puis d’une conversion par comparaison avec la courbe température-tension ca-ractéristique de ce thermocouple.



− La mesure d’une résistance par application de la loi d’Ohm nécessite la mesure de la ten-sion et du courant.

• Méthode de mesure par zéro : On réduit à zéro la différence entre deux grandeurs dont l’une est la valeur recherchée et l’autre est une référence. Cette méthode est généralement lente, mais beaucoup plus précise que les méthodes précédentes. Exemples : − La balance à fléau permet de mesure le poids d’un objet par comparaison avec des poids

étalons placés dans l’autre plateau, de manière à ce que le bras du fléau soit horizontal. − Le pont de mesure de résistances (pont de Wheatstone) permet la mesure précise d’une

résistance Rx par comparaison avec une résistance étalon. Lorsque le voltmètre V indique

une tension nulle, on a 2

1

RR

RRétalon

x = , ce qui permet de déterminer Rx.

Figure 8.1 Pont de Wheatstone.

8.1.3 Affichage des appareils de mesure

Un appareil de mesure établit une correspondance entre la grandeur physique observée et une grandeur auxiliaire, perceptible à nos sens par le biais d’un affichage ou utilisable par un équipement auto-matique.

On distingue les instruments analogiques (aiguille se déplaçant sur une échelle graduée) ou numé-riques (chiffres formant un nombre lisible directement). L’affichage des premiers appareils de mesure utili-sait le principe de la déviation d'une aiguille sur une échelle graduée. L’instrumentation électronique est maintenant largement utilisée pour sa facilité et sa rapidité de lecture sans erreur, et aussi par le fait que le résultat peut être rendu directement accessible à un ordinateur. La baisse du prix de ces équipements a joué un rôle important dans cette évolution, sans négliger un effet de mode, et surtout l’illusion de précision par-fois injustifiée que suscitent de tels appareils.



8.1.4 Erreurs de mesure

Une mesure est toujours une approximation d’une valeur vraie. Elle n’est jamais exacte, mais enta-chée d’une certaine erreur.

La différence Δx entre la valeur mesurée xm et la valeur vraie xv de la grandeur observée est appelée erreur absolue :

Formule 8.1 vm xxx −=Δ

L’erreur relative εx est donnée par le rapport de l’erreur absolue à la valeur vraie :

Formule 8.2 mv

x xx

xx Δ

≈Δ

=ε pour mxx <<Δ

εx est généralement exprimé en pour cent [%]. De nombreuses raisons peuvent expliquer la présence d’erreurs. On regroupe celles-ci en deux gran-

des catégories : • Les erreurs systématiques réapparaissent de manière identique à chaque répétition de la me-

sure. Elles peuvent être dues entre autres − aux imperfections d’étalonnage de l’appareil − à l’influence de l’appareil de mesure sur le système à observer − à un défaut d’alimentation (piles déchargées) − à une erreur de lecture systématique de l’opérateur

• Les erreurs aléatoires sont dues à des causes gouvernées par les lois du hasard comme : − l’effet de seuils dû à la conversion analogique → numérique (résolution) − un bruit ou une perturbation aléatoire se superposant au signal mesuré − une imperfection de l’appareil de mesure (frottements, etc.) − une erreur accidentelle de lecture

L’erreur intrinsèque est la limite supérieure de la somme des erreurs aléatoires caractéristiques de l’appareil seul.

Le constructeur de l’appareil de mesure en spécifie le calibre, soit la limite supérieure de la plage de mesure. Il spécifie également la classe de précision, soit l’erreur maximum exprimée en pour cent du cali-bre.

Considérons par exemple un pèse-lettre dont le calibre vaut 2 kg et la classe de précision 0,5 ‰. Son erreur intrinsèque sera de 0,5 ‰ ⋅ 2 kg = 1 g. C’est également l’erreur absolue à laquelle il faut s’attendre sur toute la plage de mesure. L’erreur relative correspondante dépend du poids de l’objet considéré : Pour une lettre de 100 g, l’erreur relative atteindra 1 %. C’est la raison pour laquelle il conviendra de travailler autant que possible dans la partie supérieure de la plage de mesure d’un appareil, et de changer au besoin de cali-bre ou d’appareil.



8.1.5 Les multimètres

Actuellement, la plupart des mesures électriques sont réalisée avec un multimètre électronique. Même les appareils de bas de gamme permettent la mesure de tensions, de courants et de résistances élec-triques. Leur plage de mesure peut même s’ajuster automatiquement en fonction de la valeur mesurée.

La plupart des multimètres électroniques sont capables de mesurer aussi bien des tensions alternati-ves que des tensions continues. Il suffit de sélectionner le mode de mesure :

• Ajustés pour une mesure de tension continue, l’appareil calcule et indique en permanence la valeur moyenne de la tension appliquée. Si la tension est continue, c’est sa valeur qui sera affi-chée. Sources possibles d’erreur : − Si la tension varie lentement au cours du temps et, par exemple, suit une courbe sinusoï-

dale de fréquence inférieure à 1 Hz, la valeur affichée suivra plus ou moins bien la tension instantanée.

− Si la tension est alternative sinusoïdale à 50 Hz, et comme la valeur moyenne d’un sinus vaut zéro, l’appareil indiquera une tension nulle. Une telle erreur de mesure peut être ex-trêmement dangereuse !

− Ajusté pour une mesure de tension alternative, l’appareil calcule en permanence et indi-que la valeur efficace (r.m.s.) de la tension appliquée par une méthode approximative qui n’est valable que si la tension est réellement sinusoïdale.

Source possible d’erreur : − Si la tension est par exemple la superposition de deux sinusoïdes de fréquences différen-

tes, ou la superposition d’une tension continue et d’une tension alternative, la valeur affi-chée sera fausse.

− Certains appareils sont capables de calculer la valeur efficace vraie (en anglais : true rms). Ils utilisent un algorithme plus sophistiqué qui reste correct en présence de tensions d’allures quelconques.

A la base, un tel appareil est un voltmètre. Il mesure la tension électrique appliquée entre ses deux bornes à l’aide d’un amplificateur d’entrée. Pour ne pas influencer le système mesuré, il devrait idéalement se comporter comme un circuit ouvert, soit une résistance de valeur infinie. En réalité, il se comporte comme une résistance de valeur très élevée appelée résistance d’entrée.

Figure 8.2 Raccordement d’un multimètre électronique pour la mesure d’une tension dans un

circuit électrique.



Il faut être conscient que toute mesure influence un tant soit peu le système observé.

EXEMPLE Considérons un appareil dont la résistance d’entrée est de 10 MΩ. Pour une tension mesurée de l’ordre de 1 V, le

courant dévié dans l’appareil sera de 0,1 μA. Si le circuit mesuré met en jeu des courants de l’ordre de 0,1 mA, l’erreur de mesure ainsi provoquée sera au maximum de 1%0 et sera donc acceptable. Mais si le circuit observé fonctionne à des tensions plus basses ou s’il met en jeu des courants plus faibles, il faudra choisir un autre appareil de mesure dont la résis-tance d’entrée sera plus élevée.

L’amplificateur d’entrée des multimètres électroniques n’est généralement pas rigoureusement li-néaire. En particulier, lorsque ses entrées ne sont pas connectées, ou lorsqu’elles sont court-circuitées, donc si la tension mesurée est nulle, le multimètre peut indiquer une valeur non nulle (quelques millivolts). Cette erreur est appelée tension de décalage (en français de l’Académie), et tension d’offset (dans la pratique, reprenant le terme anglais). Fort heureusement, cette imprécision ne varie que peu au cours du temps, et peut être compensée de la même façon qu’une tare sur une balance.

8.1.6 Multimètre électronique pour la mesure de courants

Pour permettre la mesure de courants électriques, un multimètre électronique contient une résistance de très faible valeur ohmique, dont il mesure la tension aux bornes. Comme la valeur de la résistance est fixe et parfaitement déterminée et que l’appareil dispose d’un petit calculateur numérique, il indique une valeur égale au courant qui passe entre ses deux bornes. Il fonctionne alors en ampèremètre.

La plupart des multimètres électroniques sont capables de mesurer aussi bien des courants alternatifs que des courants continus. La sélection est la même que pour les tensions.

Pour ne pas influencer le système mesuré, l’appareil devrait idéalement se comporter comme un court-circuit, soit une résistance de valeur nulle. En réalité, il se comporte comme une résistance de valeur très faible vis-à-vis du système mesuré.

Figure 8.3 Raccordement d’un multimètre électronique pour la mesure d’un courant dans un

circuit électrique.



EXEMPLE Considérons par exemple un appareil dont la résistance d’entrée est de 100 mΩ. Pour un courant mesuré de

l’ordre de 1 A, la tension apparaissant entre les bornes de l’appareil sera de 0,1 V. Si le circuit mesuré met en jeu des ten-sions de l’ordre de 10 V, l’erreur de mesure ainsi provoquée sera de 1%, et sera donc acceptable. Mais si le circuit obser-vé fonctionne à des courants plus faibles, ou s’il met en jeu des tensions plus basses, il faudra choisir un autre appareil de mesure dont la résistance d’entrée sera plus petite.

8.1.7 Autres appareils électriques de mesure

Les multimètres électroniques peuvent généralement mesurer d’autres grandeurs électriques : • Fonctionnant comme ohmmètre, il mesure la résistance électrique d’un composant. Pour ce

faire, il injecte un courant continu calibré dans le composant. Mesurant la tension qui apparaît ainsi entre ses bornes, il calcule et indique directement la valeur de la résistance en ohm.

• Il peut également mesurer une capacité ou une self (ces composants seront abordés dans un chapitre ultérieur), en injectant un courant alternatif.

• Comme fréquencemètre, il mesurera la fréquence de la tension appliquée. Un wattmètre permet la mesure de la puissance électrique transmise à un appareil. Il mesure simul-

tanément le courant et la tension, puis calcule et indique directement la valeur de la puissance en watt. Un compteur mesure la puissance électrique à chaque instant. Faisant la somme des mesures suc-

cessives au cours du temps (en mathématique, on parle d’une intégration), il indique l’énergie consommée pendant un laps de temps. Les compteurs utilisés pour le relevé de la consommation des ménages et autres consommateurs fonctionnent selon des principes faisant appel à l’électromagnétisme. Une roue tourne à une vitesse proportionnelle à la puissance consommée. Un système mécanique compte et indique le nombre de tours parcourus, dont le total correspond à l’énergie consommée. Celle-ci est indiquée en kWh.

Avant la généralisation des multimètres électroniques, la mesure de courant était réalisée par des ap-pareils à cadre mobile. Un circuit magnétique réagit au courant qui le traverse, et entraîne une aiguille sur une échelle graduée. En ajoutant une résistance de forte valeur en série, ce même appareil mesure la ten-sion à ses bornes. De tels appareils sont toujours utilisés dans certaines installations, en particulier lors-qu’une indication analogique est préférée à une indication numérique.

Les oscilloscopes et enregistreurs fonctionnent à la base comme un multimètre électronique. Au lieu d’afficher la valeur mesurée, ils représentent son évolution au cours du temps, soit sur un écran, soit sur du papier.



8.2 Généralités sur les capteurs de mesures

Les capteurs sont des éléments qui transforment une grandeur physique (position, distance, vitesse, température, pression, etc.) d'une machine ou d'un processus en une grandeur normée, généralement élec-trique, qui peut être interprétée par un dispositif de contrôle commande.

Un capteur est caractérisé par : • son étendue de mesure qui correspond aux limites de variation de la grandeur à mesurer ; • sa précision qui est l'incertitude absolue sur la grandeur mesurée ; • sa sensibilité qui est la plus petite variation de la grandeur à mesurer qu'il est capable de détec-

ter ; • sa linéarité qui représente l'écart de sensibilité sur l'étendue de mesure.

La plupart des capteurs industriels comportent 3 parties : • Un transducteur de mesure qui exploite un effet physique de la modification des propriétés d'un

corps (fréquence d'oscillation, résistivité, luminosité, piézo-électricité, déformation mécanique, émission radioactive, etc.) pour transformer la grandeur à mesurer en un signal électrique de bas niveau (mV, μA).

• Un circuit électronique de mise en forme qui amplifie le signal à un niveau exploitable (V, mA) et, si nécessaire, le linéarise et corrige sa valeur en fonction d'autres grandeurs (variation de la température ambiante notamment). Cette opération est souvent effectuée par traitement numé-rique avec un microprocesseur.

• Un transmetteur qui est le circuit d'interface transformant le signal en une tension ou un courant normé (+/- 10V, 0..20 mA, 4..20 mA) interprétable par le dispositif de contrôle commande.

Grandeur physique

Signal électrique

Amplification, linéarisation Transmetteur

Signal électrique

Trans ducteur Signal

électrique

bas niveau haut niveau normé

Figure 8.4 Schéma de principe d'un capteur

On distingue deux catégories de capteurs : Les capteurs digitaux, appelés également détecteurs, donnent une information binaire, tout ou rien

(TOR): "1" ou "0", vrai ou faux, présent ou absent. Ils ont deux états stables: si la valeur de la grandeur est supérieure à un seuil le signal de sortie vaut "1", si elle est inférieure le signal vaut "0". Les niveaux de com-mutation sont généralement différents pour le passage de l'état "0" à l'état "1" et pour le passage de l'état ‘1’ à l'état ‘0’. Ce décalage s'appelle l’hystérèse (voir figure).



Grandeur physique d’entrée

Signal de sortie

Etat ‘1’

Etat ‘0’

Commutat ion 0 → 1

Commutat ion 1 → 0

Figure 8.5 Hystérèse

Une hystérèse est parfois inhérente au système de mesure. Lorsque ce n’est pas le cas, elle est sou-vent réalisée artificiellement par une astuce mécanique (exemple : ressort dans les interrupteurs électriques) ou électronique. Elle évite alors que le signal de sortie prenne une valeur intermédiaire dans la zone de commutation, ou, pire, qu’il oscille entre les états ‘1’ et ‘0’ (rebonds).

Les capteurs analogiques, donnent un signal de mesure proportionnel à la grandeur physique mesu-rée (distance, vitesse, intensité, température, pression, etc.) pour une plage de mesure donnée et dans des conditions données. Au delà de ces limites le capteur ne donne plus un signal linéaire, il sature ou n'a plus une sensibilité suffisante. Si les limites sont largement dépassées le capteur peut être détruit.



8.3 Capteurs de position et de vitesse

8.3.1 Utilisation des capteurs de position et de vitesse

Ces capteurs sont utilisés pour mesurer la position linéaire ou angulaire d'un mobile par rapport à un point de référence connu. Ils permettent également de mesurer les grandeurs dérivées de la distance: vi-tesse et accélération.

Une telle mesure est nécessaire pour le réglage de la position et/ou de la vitesse d’un moteur, comme expliqué aux paragraphes 4.1.4.3 et 4.1.4.4.

8.3.2 Capteurs potentiométriques

Ce type de capteur, facile à mettre en œuvre et bon marché donne une mesure absolue du déplace-ment linéaire ou angulaire. Ils génèrent un signal (tension) qui est directement exploitable par une unité de contrôle commande. Cependant ils sont relativement fragiles et les plages de mesure sont limitées.

Figure 8.6 Capteurs potentiométriques de déplacement linéaires et angulaire

Principe de mesure : division d'une tension appliquée à un potentiomètre. Système de mesure : un curseur solidaire de l’élément dont on veut connaître la position se déplace

sur la bande résistive d'un potentiomètre. Il prélève la tension entre une borne de la résistance et sa position variable. Cette tension est proportionnelle à la position de l’élément.



Figure 8.7 Capteur potentiométrique à enrouleur

Pour mesurer de grands déplacements il existe des dispositifs à enrouleur, l’extension d'un câble en-traîne un ressort couplé à un potentiomètre. Le déplacement est mesuré en attachant l’extrémité du câble à la pièce en mouvement, le corps du capteur étant solidaire d’une partie fixe (image du centre).

La précision de la mesure dépend de la stabilité de la tension de polarisation et du comportement de la bande résistive par rapport aux conditions environnementales (température, humidité, etc.).

8.3.3 Codeurs absolus optiques à code Gray

Les codeurs absolus sont destinés à des applications de positionnement et de contrôle de déplace-ment d'un mobile, ils délivrent la mesure de position absolue sous forme d'un code numérique. Ils sont très précis et peu sensibles aux conditions environnementales. Leur temps de réaction n'est cependant pas compatible avec des vitesses de déplacement élevées.

Figure 8.8 Codeurs de position angulaire et rectiligne



Principe de mesure : lecture optique d'un code sur un disque ou une règle.

Figure 8.9 Disque de codeur avec code Gray sur 8 bits – 256 positions par tour

Système de mesure : le codeur absolu génère un code correspondant à la position du mobile, moyennant un disque qui tourne ou une règle qui se déplace de manière solidaire avec le mobile. Sur ce disque ou cette règle, en matériau incassable, est gravé (imprimé) un code binaire de Gray, qui est lu par un dispositif optoélectronique. Avec par exemple 8 pistes, la mesure est réalisée avec une résolution de 28 = 256 positions par tour.

Le codage Gray est utilisé parce qu’un codage binaire simple n’est pas utilisable. En effet, il ne serait pas possible de garantir que tous les bits commutent simultanément pour passer par exemple du code bi-naire 0111’1111 au code 1000’0000 lors d’un mouvement à très basse vitesse entre 179 ° et 180 °. Pendant ces commutations, le capteur pourrait indiquer n’importe quelle valeur binaire correspondant à n’importe quel angle.

Le codage Gray intervertit les codes binaires pour chaque position angulaire, de manière à ce que la transition d’une valeur à la suivante ne requière le changement que d’un bit seulement. Il est évident qu’il n’est plus possible de déterminer l’angle par une simple conversion binaire – décimal, puisque les codes ne sont plus dans l’ordre numérique. Toutefois, le décodage ne demande pas vraiment de moyens sophisti-qués. C’est la raison du succès de cette technologie lorsque la résolution nécessaire est inférieure à 1'024 = 210 points par tours (~0,35 º).

8.3.4 Capteurs incrémentaux

Les capteurs incrémentaux sont utilisés pour mesurer un déplacement, une vitesse linéaire ou une ro-tation. Ils donnent des impulsions qui sont comptées ou décomptées selon le sens du déplacement.

Ces codeurs sont très rapides et précis mais nécessitent une électronique de décodage de l'informa-tion. Ils donnent une information relative (incrémentale) de la position et les compteurs doivent être réinitiali-sés à chaque remise sous tension ou en cas d'incident.



Figure 8.10 Schéma de principe d’un codeur incrémental

Principe de mesure : lecture optique de raies gravées sur un disque ou une règle. Système de mesure : une source lumineuse émet un faisceau lumineux dans une plage invisible

(~880 nm). Un condenseur (lentille plan convexe) focalise ces rayons en un faisceau parallèle. Ce faisceau traverse le disque gradué. Les diodes photoélectriques situées derrière le disque d’impulsion produisent un signal proportionnel à la lumière qui a traversé. Ces signaux sont mis en forme et sont transmis à l’utilisateur sous forme binaire (tout ou rien).

Le disque comporte deux pistes gravées. La piste extérieure est divisée en n intervalles d'angles égaux alternativement opaques et transparents, n est le nombre d'impulsions qui seront délivrées par le capteur pour un tour complet du disque codé. En pratique n est choisi en fonction de la précision recher-chée. Le codeur génère deux signaux A et B en quadrature, c’est-à-dire décalés de 90° comme montré en Figure 8.10. Ils forment soit une séquence 00 – 01 – 11 – 10, soit une séquence 00 – 01 – 11 – 10, suivant le sens du mouvement. L’électronique de traitement de ces signaux est ainsi en mesure de détecter le sens de rotation, et de fournir une position avec une résolution de 4 ⋅ n points par tour.

Dans le choix du capteur incrémental, il est indispensable de tenir compte de la limite en fréquence de la transmission et du comptage des impulsions. Une augmentation de vitesse max. imposera une diminution de la résolution, et vice versa. Par exemple, un capteur avec 1'000 traits par tour, qui tourne à 3'000 r/min (soit 50 r/s) transmet ses impulsions à une fréquence de 50 ⋅1'000 = 50'000 Hz. Ce peut être trop pour une électronique de comptage rudimentaire. Dans ce cas, il faudra soit réduire la vitesse max., soit choisir un capteur avec une réduction plus faible.

La piste intérieure ne délivre qu'une seule impulsion par tour (marque de référence). Elle sert à initiali-ser le comptage des impulsions des signaux A et B en un point précis de l'axe de déplacement du mobile. Le signal R délivré par cette piste est appelé parfois "top zéro".



8.3.5 Capteurs sinus cosinus optiques

Les capteurs sinus cosinus sont très similaires aux capteurs incrémentaux. La différence majeure est qu’ils ne procèdent pas à la mise en forme des signaux lus par les capteurs. Au lieu de délivrer les 2 signaux tout ou rien A et B, ils délivrent 2 signaux sinusoïdaux déphasés de 90°, représentant un sinus et un cosi-nus d’un même angle. Il s’agit en fait de la fraction d’angle qui correspond à 1 trait. Ces signaux sinusoïdaux sont ainsi répétés autant de fois qu’il y a de traits sur un tour du capteur. L’électronique de traitement mesure ces 2 signaux à intervalles réguliers. Procédant à une interpolation en utilisant les règles de la trigonométrie, elle calcule l’angle correspondant.

Figure 8.11 Signaux A, B et R fournis par un capteur sinus cosinus

L’électronique de traitement arrive à lire ainsi l’angle à l’intérieur d’une période avec une résolution de, par exemple, 8'000 points par période. Si le disque est gravé avec 1'024 traits, la résolution globale est de ~8'000'000 positions par tour.

Comme pour le capteur incrémental, la vitesse est limitée par la fréquence max. qu’admet l’électronique de traitement. En reprenant le même exemple, un capteur de 1'024 traits par tour, tournant à 3'000 r/min, livre des signaux sinusoïdaux à 50'000 Hz. Mais grâce à l’interpolation, la résolution est 2'000 fois supérieure que pour un capteur incrémental comportant le même nombre de traits. C’est actuellement la technologie de mesure de position économiquement utilisable qui offre la meilleure résolution.

Certains de ces capteurs sont complétés d’un dispositif qui mesure la position absolue sur le tour, voire sur 4'096 tours. Cette information est transmise à l’électronique de traitement par liaison sérielle, en parallèle avec les signaux A, B et R. Elle permet de déterminer la position exacte de l’entraînement dès la mise sous tension, sans qu’il soit nécessaire de procéder à une « prise de zéro ».



8.3.6 Capteurs absolus et capteurs absolus multitours

Les capteurs incrémentaux présentent tous un défaut : A la mise sous tension de l’électronique de comptage, l’état de ce compteur (généralement zéro) ne correspond pas à la position réelle du système me-suré. C’est la raison pour laquelle la plupart des machines, lorsqu’elles sont mises en route, passent par une phase de prise de zéro. Chaque servomoteur est entraîné alors à petite vitesse jusqu’à ce qu’un détecteur de position (tout-ou-rien) soit franchi, indiquant alors le zéro machine.

Il existe toutefois plusieurs solutions qui permettent d’obtenir la position réelle même à la mise sous tension de la machine. On parle alors de capteurs absolus.

Certains capteurs rotatifs sont absolus sur 1 tour. Ce sont : • Le compteur Gray (paragraphe 8.3.3). • Le résolveur (paragraphe 8.3.7 ci-dessous). • Certains capteurs sinus cosinus optiques (paragraphe 8.3.5) présentent, à la place de la piste

de référence R, une deuxième paire de signaux sinus cosinus, dont la périodicité correspond exactement à un tour. Ces signaux sont bien moins précis que la paire de signaux qui lit les traits. C’est la raison pour laquelle il est nécessaire d’exploiter les deux paires de signaux.

La mesure absolue sur 1 tour est cependant insuffisante pour la plupart des machines, car leurs mou-vements portent la plupart du temps sur plusieurs tours. C’est pourquoi des solutions sont apparues, permet-tant de compléter la mesure absolue sur 1 tour pour offrir une mesure absolue multitour :

• La solution la plus économique consiste à équiper le capteur d’un circuit compte-tour électro-nique, alimenté par une pile. Même si l’électronique d’interface est déclenchée ou déconnec-tée, l’information reste ainsi disponible dans le capteur. Certains compteurs peuvent même sui-vre les déplacements dus à des forces externes pendant l’interruption. Toutefois, ces capteurs sont souvent montés en bout d’arbre des servomoteurs, et subissent donc leur température qui dépasse souvent les 70ºC. Cette température réduit fortement la durée de vie des piles qui, de la « valeur catalogue » de 10 ans, chute à 3 ans ou moins encore. Évidemment, chaque rem-placement de pile doit se faire en respectant une procédure stricte si l’on veut éviter de recali-brer la machine.

• La solution la plus fiable consiste à équiper le capteur absolu mono-tour d’un réducteur, celui-ci entraînant un 2ème capteur absolu mono-tour. Avec un rapport de réduction de 4'096 à 1, ce 2ème capteur fournit un signal absolu sur 4'096 tours du moteur. L’ensemble fournit ainsi une in-formation de position absolue sur la distance correspondante, même si les alimentations sont déclenchées et que le système est déplacé par une force externe pendant l’interruption.

8.3.7 Résolveurs

Les résolveurs sont des capteurs analogiques de position angulaire absolue sur un tour. Ils donnent à tout instant la position angulaire de l’axe. Le résolveur est plus robuste et plus précis que le tachymètre ou le codeur. Il est également moins cher. Par contre l’électronique de traitement est plus complexe à mettre en œuvre que ces derniers.

Principe de mesure : variation d’un champ électromagnétique. Système de mesure : le résolveur est un transformateur rotatif. Le bobinage du rotor est alimenté par

un signal sinusoïdal à haute fréquence (env. 10 kHz). Il induit une tension de même fréquence dans les deux



enroulements du stator disposés à 90 degrés l’un par rapport à l’autre. L’amplitude de ces tensions induites dépend du sinus, respectivement du cosinus de l’angle de rotation. Un circuit électronique les met en forme et délivre un signal analogique proportionnel à l’angle.

Figure 8.12 Photo et schéma de principe d’un résolveur

8.3.8 Inclinomètre

L’inclinomètre donne un signal proportionnel à l’angle d’inclinaison d’un mobile par rapport à l’horizon. Il existe plusieurs technologies basées sur les principes du niveau, du fil à plomb ou du gyroscope.

Une des applications typiques des inclinomètres est la plateforme inertielle qui est utilisée pour le contrôle des fusées et véhicules spatiaux.

Figure 8.13 Principes d’un inclinomètre et d’un accéléromètre à quartz

8.3.9 Génératrices tachymétriques

Les génératrices tachymétriques sont des capteurs simples et robustes qui donnent un signal propor-tionnel à la vitesse de rotation d’un arbre. Elles sont utilisées pour la régulation de vitesse de moteurs élec-triques.

Principe de mesure : tension induite dans une machine tournante. Système de mesure : une dynamo tachymétrique est une génératrice à courant continu qui fourni

une tension proportionnelle à la vitesse de rotation.



8.3.10 Mesures indirecte de la vitesse

Ces capteurs donnent un signal proportionnel à la vitesse de rotation d’un arbre.

8.3.10.1 Contrôleurs de rotation

Les appareils de contrôle de rotation sont une application particulière des capteurs de position induc-tifs. Ils permettent de réaliser avantageusement des systèmes de contrôle de glissement, de surcharge, de rupture de transmission ou d’accouplement dans des machines.

Principe de mesure : fréquence des impulsions émises par un élément mobile. Système de mesure : un capteur de proximité inductif détecte le passage de dents ou d’encoches

d’un mobile. La fréquence de commutation est transformée en un signal analogique par un circuit électroni-que.

Certains transmetteurs de mesure sont équipés d’un comparateur qui donne directement une informa-tion de sur ou sous vitesse.

Il convient de remarquer que de tels capteurs ne détectent pas le sens de rotation.

Figure 8.14 Capteur impulsionnel de rotation et dynamo tachymétrique



8.4 Capteurs de température

8.4.1 Utilisation

La température est un paramètre important dans les processus industriels. Différentes technologies sont employées pour mesurer la température selon de l’étendue et la précision désirée.

8.4.2 Thermostats

Les thermostats donnent une information binaire qui dépend d’un seuil de température. Ils sont utilisés comme éléments de commande ou de sécurité dans des installations simples.

Figure 8.15 Thermostats industriels

Principe de mesure : contact actionné par un bilame. Système de mesure : un bilame est l’assemblage de deux lames de métaux ayant des coefficients de

dilation très différents, cet assemblage se déforme sous l’action de la température. Cette lame est conçue de manière à se déformer brusquement à une température précise, ce changement de forme actionne un contact électrique.

Les thermostats sont utilisés comme éléments de sécurité pour éviter la surchauffe de moteur (Klixon) ou le gel d’échangeurs de chaleur.



Lame à coefficientde dilatation élevé

Lame à coefficientde dilatation faible

Support point fixe

Ensemble bimétal après échauffement

Figure 8.16 Thermostats (photo d’un « Klixon » et principe de fonctionnement

8.4.3 Capteurs à résistance

Les capteurs de température à résistance donnent un signal proportionnel à la température. Ces élé-ments sont fragiles et doivent être protégés par une encapsulation construit de manière à assurer le meilleur transfert thermique entre le procédé et la sonde.

Figure 8.17 Sondes de température à résistance

Principe de mesure : variation de la résistivité en fonction de la température. Système de mesure : le capteur est constitué d’un fil (ou d’un film) métallique, la résistance du cap-

teur est mesurée par un circuit électronique qui effectue la linéarisation et donne un signal proportionnel à la température. Les métaux les plus couramment utilisés sont :

• Le platine (Pt), étendue de mesure -290..1100 °C, pour les applications industrielles. La valeur de la résistance d’un capteur au platine est approximée par la formule : R = R0 ⋅ (1 + 3,908 10-3 T – 5,802 10-7 T2) avec R0 = résistance du capteur à 0 °C (généralement 100Ω, 500Ω ou 1000Ω) et T température du capteur en °C.

• Le nickel (Ni), étendue de mesure -60...180 °C, technique du bâtiment. Il existe également de composants électroniques qui permettent de mesurer la température, ce sont

des résistances dites à coefficient de température positif (PTC) ou négatif (NTC). Ils sont moins linéaires mais surtout moins coûteux que les résistances métalliques et sont utilisés dans des applications où le prix



est un critère important, et lorsqu’on se contente de détecter si une température est inférieure ou supérieure à une valeur limite. Par exemple, des résistances PTC sont souvent insérées dans les bobinages des mo-teurs afin de les protéger contre les surcharges. Lorsque la température du bobinage dépasse la limite (envi-ron 135 ºC), la valeur ohmique de cette résistance augmente très fortement, ce qu’il est facile de détecter.

8.4.4 Thermocouples

Les thermocouples sont utilisés principalement dans l’industrie car ils sont très précis et moins délicats que les capteurs à résistance mais ils nécessitent l’utilisation de câbles et de bornes spéciales pour leurs raccordements.

Principe de mesure : effet thermoélectrique. Système de mesure : le thermocouple est constitué de deux conducteurs de métaux différents rac-

cordés à l’une de leurs extrémités. Lorsque la jonction est chauffée il apparaît une tension aux bornes des conducteurs. Cette tension dépend de la température et de la nature des conducteurs. Les thermocouples sont normalisés, les types les plus courants sont :

Type Métaux Étendue de mesure

T Cuivre / constantan –192..+400 °C J Fer / constantan –194..+870 °C E Chromel / constantan 0..+1000 °C K Chromel / Alumel 0..+1370 °C R S Platine / Rhodium 0..+1700 °C

Table 8.1 Types de thermocouples, matériaux utilisés et étendue de mesure

8.4.5 Pyromètres optiques

Le pyromètre est un capteur qui mesure la température sans contact. Ils sont utilisés pour mesurer la température de corps en mouvement (matériaux en fusion), d’objets de faible masse (films) ou de flammes. Ces capteurs ont un temps de réponse très court.

Figure 8.18 Pyromètres



Principe de mesure : rayonnement infrarouge Système de mesure : le rayonnement infrarouge émis par la source de chaleur passe à travers le

système optique du capteur puis est enregistré par des photocapteurs sensibles aux infrarouges. L’électronique du capteur analyse la longueur d’onde du rayonnement qui est fonction de la température et donne un signal proportionnel à celle-ci.

8.4.6 Éléments thermosensibles

Ces éléments changent de couleurs selon la température. Ils sont utilisés pour une surveillance de longue durée ; rupture de chaîne du froid sur un produit ou pour mesurer des pièces de petite taille. Ils se présentent sous forme de pastilles ou de jeu de pastilles réagissant à différentes températures. Le change-ment de couleur est réversible ou non réversible.



8.5 Capteurs de force, de pression et d’accélération

8.5.1 Capteurs de force et pesons

Les capteurs de force sont généralement réalisés sur la base de jauges d’extensométrie (ou jauges de contrainte). Ce sont des capteurs passifs qui traduisent la déformation mécanique d’une structure sur laquelle ils sont collés, en variation de résistance électrique.

Le capteur de force, représenté ci-contre, est constitué d’une jauge extensométrique mécaniquement solidaire d’une lame métallique. Les déformations mécaniques de la lame sont intégralement transmises à la jauge dont les variations de résistances sont alors fonction de l’effort F imposé au capteur.

Jauge d’extensométrie

Lame métallique

F : fo rce appliquée

Figure 8.19 Capteur de force et pesons

Les pesons sont des capteurs de force utilisés pour le pesage (balances, dynamomètres, limiteurs de charge). Il en existe sous de nombreuses formes pour répondre aux différentes applications industrielles et commerciales du pesage. Les pesons sont réalisés avec des jauges de contrainte.

8.5.2 Capteurs de pression, pressostats et capteurs à membrane

Ces capteurs sont utilisés en technique de mesure et de réglage industriel pour mesurer la pression dans les circuits hydrauliques, pneumatiques, pour contrôler la mise sous pression de récipients, pour contrôler la distribution d’air ou d’eau.

La pression est la force appliquée à une surface ou répartie sur celle-ci. Elle se défini comme suit :

Formule 8.3 ]N/m[ 2

AFP = ,

où F est la force appliquée en N et A est la surface en m2 Les capteurs de pression peuvent mesurer : • une pression absolue, la référence étant le vide. • une pression relative, la référence est la pression atmosphérique. • une pression différentielle, c'est-à-dire la différence de pression entre deux points d’un circuit.



8.5.2.1 Pressostats

Les pressostats donnent une information binaire, ils indiquent si la pression d’un circuit est supérieure ou inférieure à un seuil fixé. Ils sont utilisés comme éléments de commande ou de sécurité dans des installa-tions simples. Ces appareils sont également utilisés pour contrôler une dépression, ils sont appelés vacuos-tats.

Figure 8.20 Pressostats

Principe de mesure : force d’un piston sur ressort calibré. Système de mesure : la pression du fluide agit sur un piston retenu par un ressort calibré. Quand la

pression augmente le piston se déplace et actionne un contact électrique.

8.5.2.2 Capteurs à membrane

Ces capteurs mesurent la force exercée par la pression d’un fluide sur une membrane.

Membrane

Plaques capacitives

Isolation rig ide

Remplissage d’huile

Remplissage d’huile

Figure 8.21 Capteurs de pression à membrane

Principe de mesure : déformation d’une membrane. Système de mesure : un tube séparé en deux chambres par une membrane. Toute variation de la

pression entre les deux chambres provoque une déformation de la membrane. Pour mesurer cette déforma-tion deux techniques sont utilisées :

• La membrane est en matériau piézorésistif la déformation de la membrane provoque une varia-tion de résistance proportionnelle à la pression appliquée sur la membrane.



• La membrane constitue une des plaques d’une capacité variable. Quand la membrane se dé-forme l’espace entre les deux plaques se modifie et la valeur capacitive varie proportionnelle-ment à la pression de déformation.

8.5.3 Accéléromètres

L’accéléromètre donne un signal qui correspond à l’accélération d’un mobile selon un, deux ou trois axes. Ces capteurs utilisent l’inertie d’une masselotte pour déterminer l’accélération du mobile.

Les accéléromètres sont utilisés pour mesurer les vibrations de moteurs d’avions ou de très grosses machines comme les alternateurs.



8.6 Capteurs de proximité

8.6.1 Utilisation des capteurs de proximité

Ces capteurs sont utilisés pour détecter la présence d'un objet, la fin de course d’un élément en mou-vement, la position (ouverte, fermée, intermédiaire) d'une vanne, d'un clapet ou d'un disjoncteur. Ces infor-mations sont généralement reprises par un système de contrôle commande, soit pour visualiser un état (in-dicateur lumineux) soit pour modifier une séquence d'opérations.

Ils sont aussi utilisés comme éléments de sécurité. Dans ce cas le signal de sortie commande direc-tement l’élément de sécurité, comme un arrêt moteur lorsque est atteint une butée de déplacement.

8.6.2 Capteurs électromécaniques

Les fins de course mécaniques sont les capteurs de position les plus simples, ils permettent de contrôler la position d'un élément de machine.

Figure 8.22 Différents types d’interrupteurs de fin de course

Principe de mesure : action mécanique sur un contact électrique. Système de mesure : le contact électrique est conçu de manière à commuter brusquement dès que

la came de l'interrupteur est actionnée. Cette fonction est assurée par un ressort tendu qui force la lamelle du contact dans l'une des positions ouverte ou fermée. Un bon interrupteur doit être exempt de rebond du contact.

Selon leur construction ces interrupteurs peuvent être intégrés directement dans un circuit à courant fort et peuvent servir d'élément de sécurité arrêter ou autoriser un mouvement.

Ces éléments sont robustes, ne contiennent pas de composants électroniques, ils sont par contre su-jet à usure et peuvent s'encrasser.



1: Point de relâchement du contact

2: Point d'actionnement du contact

A: Course maximale de l'organe de commande

B: Course d'action du contact

C: Course de relâchement du contact

D: Course différentielle

Figure 8.23 Points de commutation

8.6.3 Capteurs inductifs de proximité

Les capteurs de proximité inductifs détectent la présence d’un objet métallique sans qu’il y ait contact.

Figure 8.24 Différentes formes de capteurs inductifs

Principe de mesure : variation d'inductance de la self d'un circuit oscillant.

Cible

Face active

Oscillateur

Trigger

Amplificateur de sortie

Figure 8.25 Schéma de principe d’un capteur inductif

Système de mesure : un circuit oscillant produit un champ électromagnétique alternatif qui est émis sur la face active du détecteur. L’approche de toute pièce de métal conductrice d’électricité (pièce d’excitation) provoque l’induction de courants de Foucault, lesquels soutirent de l’énergie à l’oscillateur. Il en résulte une variation de la fréquence de l’oscillateur qui est transformée en une tension ou un courant élec-trique.



Capteur analogique : Les capteurs analogiques, décodent la variation de fréquences en fonction de la distance à l’objet mesuré. Ces mesures doivent être calibrées, c’est-à-dire que les valeurs maximale et mi-nimale de l’amplificateur doivent être ajustées en fonction de la matière (le niveau des courants induits dé-pend du matériau) et de la distance à mesurer désirée. Généralement, un circuit électronique, corrige la non linéarité de la mesure et la sensibilité relative au changement de température (compensation en tempéra-ture)

Capteur digital : Les capteurs digitaux, donnent un signal qui dépend de la présence ou non d’une pièce métallique devant la face active du détecteur. Le signal est ensuite mis en forme par un comparateur (trigger de Schmitt) qui commute la sortie.

8.6.4 Capteurs capacitifs de proximité

Les capteurs de proximité capacitifs sont utilisés principalement pour détecter la présence d'objets non métallique, liquides ou produits en vrac dans des bouteilles, réservoirs et emballages.

Figure 8.26 Différentes formes de capteurs capacitifs

Principe de mesure : variation de capacité du condensateur d'un circuit oscillant.

Oscillateur RC

Potentiomètre d'ajustage

Mise en forme du signal

Amplificateur de sortie

Figure 8.27 Schéma de principe d'un capteur capacitif

Système de mesure : le système est identique à celui du capteur de proximité inductif, à la différence que c’est la composante capacitive de l’oscillateur qui est influencée par la présence d'un objet sur la face active du capteur. La capacité du condensateur varie en fonction de la distance entre le capteur et l'élément à détecter.



Figure 8.28 Capteur digital : Les capteurs digitaux, donnent un signal qui dépend de la pré-

sence ou non d’une pièce devant la face active du détecteur

8.6.5 Capteurs à ultrason

Les capteurs à ultrason permettent de détecter des objets solides ou liquides transparents et non mé-talliques tels que films de plastique, objets en verre. Les matériaux durs sont très bien détectés par les cap-teurs à ultrason. Ce n’est pas le cas pour les matériaux absorbant le son comme le coton, la ouate, la mousse, les matières poreuses. Le signal réfléchi doit être suffisamment puissant pour garantir une détec-tion.

Peu sensibles à la poussière, ces capteurs peuvent être utilisés dans des conditions industrielles sé-vères. Ils ne sont par contre pas adaptés aux environnements bruyants.

Figure 8.29 Différentes formes de capteurs à ultrason

Figure 8.30 Principe d’un capteur capacitif, par émission et réception d’une onde ultrasonore

Système de mesure : un capteur à ultrasons est constitué d’un transducteur qui permet au choix d’émettre ou de recevoir des ondes sonores ultrasoniques. Le capteur émet un train d’ondes sonores qui



sont réfléchies par l’objet à détecter. A la fin de l’émission, le convertisseur est commuté en mode réception. Le signal reçu est comparé avec le signal émis.

Le temps qui sépare l'émission d'un signal et la réception de son écho est proportionnel à la distance entre le détecteur et l’objet.

Pour réaliser une barrière à ultrason, l’émetteur et le récepteur sont séparés et placés face à face. Si un objet coupe le faisceau d'ultrasons, la sortie du récepteur change d'état.

Capteur analogique : Les capteurs analogiques, décodent le temps de propagation et donnent la dis-tance à l’objet mesuré. Ces mesures doivent être calibrées, c’est-à-dire que les valeurs maximale et mini-male de l’amplificateur doivent être ajustées en fonction de la distance à mesurer désirée. Généralement, un circuit électronique, corrige la non linéarité de la mesure et la sensibilité relative au changement de tempéra-ture (compensation en température) et de l'humidité de l'air.

Capteur digital : Les capteurs digitaux, donnent un signal qui dépend de la présence ou non d’une pièce devant la face active du détecteur. Le signal est ensuite mis en forme par un comparateur (trigger de Schmitt) qui commute la sortie.

Caractéristiques principales

Zone aveugle St

Porté de détectionSd

Zone de travailSr

Objet Réflecteur,p.e. élément de machine

Figure 8.31 Caractéristiques d’un capteur à ultrasons

8.6.6 Capteurs optiques de proximité

Les capteurs optiques sont utilisés pour détecter des objets lorsque les distances sont grandes, ou si le positionnement doit être très précis.

Ces capteurs peuvent être soit de type reflex, dans ce cas l’émetteur et le récepteur sont montés dans le même boîtier, soit de type barrière dans ce cas l’émetteur et le récepteur sont séparés et placés face à face. Pour les positionnements de grande précision ou pour des détections dans des zones difficiles d'accès on utilise des fibres optiques pour guider le faisceau lumineux.



Figure 8.32 Différentes formes de capteurs optiques

Photo-récepteur Photo-émetteur

Objet à détecter

Figure 8.33 Capteur optique de type reflex. Principe de mesure : émission et réception d’un

faisceau de lumière ou laser.

Photo-émetteur Photo-récepteur Figure 8.34 Capteur optique de type barrière

Système de mesure: un capteur optique est composé d'un émetteur de lumière modulée (diode élec-troluminescente LED) ou laser. Cette lumière peut être dans le spectre visible (550 à 600 nm) ou invisible (infrarouge 900 nm) selon la longueur d'onde d'émission. L'émetteur est associé à un récepteur sensible à la quantité de lumière reçue (phototransistor). Il détecte quand la cible pénètre dans le faisceau lumineux émis et modifie suffisamment la quantité de lumière reçue.

Capteur analogique : Les capteurs analogiques, mesurent le temps de propagation de l'onde lumi-neuse et donnent la distance à l’objet mesuré.

Capteur digital : Les capteurs digitaux, donnent un signal qui dépend de la présence ou non d’une pièce dans le faisceau lumineux.



Capteur optique réflex Capteur optique avec fibres optiques

Figure 8.35 Exemples d’applications de capteurs optiques

8.6.7 Autres types de capteurs de proximité

8.6.7.1 Capteurs Reed

Les capteurs Reed sont des détecteurs de proximité magnétiques. Le champ magnétique émis par un aimant permanent ou un électroaimant déforme une lame métallique encapsulée dans une ampoule en verre qui fait un contact électrique. Ces détecteurs sont utilisés pour des applications qui nécessitent des détec-tions dans des endroits fortement pollués, humides ou dans un liquide.

Ces capteurs sont exclusivement de type tout ou rien.

8.6.7.2 Capteurs à effet hall

Ce type de capteurs utilise également un champ magnétique émis par un aimant ou un électroaimant pour mesurer la position d'une pièce.

8.6.7.3 Capteurs radar

Ces capteurs utilisent l'émission et la réflexion d'une onde radar pour détecter la présence d'un objet ou mesurer une distance. Ils ont une très grande portée et une bonne précision mais sont coûteux.

8.6.7.4 Capteur à source radioactive

Ces capteurs sont basés sur la mesure d’absorption d’une source radioactive qui émet un rayonne-ment. Ils ne sont utilisés que pour des applications très particulières, vu les précautions à prendre pour leur mise en œuvre.



8.7 Capteurs de niveau

8.7.1 Utilisation

Les capteurs de niveau donnent une mesure indirecte du remplissage d’un réservoir ou d’un silo. Ils utilisent des technologies similaires à celles des capteurs de position ou de pression. Le tableau ci-dessous donne un aperçu de quelques principes de mesure de niveau.

Capteurs de

niveaux Produit mesuré Pa

lettes

Lame

s vib

rante

s Él

ectro

- mé

caniq

ue

Flotte

ur

Résis

tif

Capa

citif

Ultra

sons

Pres

sion

hydr

ostat

ique

Rada

r

Radio

- iso

topes

Liquides conducteurs X X X X X X X

Liquides non-conducteurs X X X X X X X

Solides X X X X X X

Étendue de mesure [m] 50 50 10 50 250 30

Précision [%] 5 5 1 1 0.5 1

Table 8.2 Types de capteurs de niveaux et résumé de leurs caractéristiques

8.7.2 Capteurs de niveaux à palettes

Ces appareils sont utilisés pour détecter le niveau d’un solide pulvérulent ou d’un liquide à forte visco-sité dans un silo.

Principe de mesure : couple d’une palette rotative Système de mesure : une palette est entraînée par un moteur, elle tourne librement hors du matériau

à détecter. Quand le niveau atteint la palette le matériau empêche la rotation et le capteur donne un signal.

Figure 8.36 Capteurs de niveau à palette, à lame vibrante et à flotteur



8.7.3 Capteurs de niveaux à lames vibrantes

Les lames vibrantes sont utilisables pour détecter le niveau de tout type de produits liquides ou de so-lides.

Principe de mesure : variation de la fréquence d’oscillation d’un diapason Système de mesure : un transducteur piézoélectrique fait vibrer des lames à leur fréquence naturelle.

Lorsque le matériau recouvre les lames les vibrations sont atténuées et la fréquence change. Le capteur détecte ce changement et modifie l’état de la sortie.

8.7.4 Capteurs de niveaux électromécaniques et à flotteur

Ce système est utilisé pour mesurer les niveaux dans des réservoirs ou des silos de grande hauteur. Il n’est par contre pas adapté à la mesure de liquides à forte viscosité.

Principe de mesure : position d’un contrepoids Système de mesure : Il est constitué d’un contrepoids ou d’un flotteur suspendu à l’extrémité d’un

câble. Un moteur déroule ce câble jusqu’à ce que le contrepoids entre en contact avec ce liquide. A cet ins-tant, la tension du câble se relâche actionnant un commutateur qui inverse le sens de rotation du moteur. Durant la descente du palpeur, des impulsions sont générées à intervalles réguliers. Le comptage des im-pulsions permet l’obtention du niveau.

8.7.5 Capteurs de niveaux résistifs

Ces capteurs ne conviennent que pour les produits conducteurs (liquides, pâtes, granuleux…), ils ne sont pas sujets à l’usure et permettent la détection d’un niveau haut, bas ou intermédiaire. Selon les modèles ils sont dotés d’une ou plusieurs électrodes.

Principe de mesure : résistivité du produit. Système de mesure : les électrodes sont montées de telle sorte que leur extrémité inférieure se situe

à la cote du niveau à détecter. Dés que le liquide touche une électrode, il ferme un circuit électrique entre l’électrode et la masse, constituée soit par le réservoir métallique, soit par une deuxième électrode. Quand le circuit est fermé, le capteur actionne un relais indiquant que le niveau est atteint. Afin d’éliminer tout risque d’électrolyse du liquide le signal de mesure est une basse tension alternative.

Figure 8.37 Capteurs de niveaux résistif et capacitif

8.7.6 Capteurs de niveaux capacitifs

Cette technologie est utilisée principalement pour les produits non conducteurs (huiles, pétrole,…). Principe de mesure : variation de capacité.



Système de mesure : la sonde est constituée d’une tige métallique isolée du réservoir. Quand la sonde est découverte, le diélectrique est alors l’air ambiant (constante diélectrique = 1). En présence d’un produit isolant, la capacité du condensateur augmente sous l’effet de produits qui possèdent une constante diélectrique supérieure à 1.

Cette variation de capacité est traitée pour actionner un relais ou fournir un signal de sortie propor-tionnel au niveau du produit.

8.7.7 Capteurs de niveaux à ultrason

Ces capteurs conviennent pratiquement pour tous les produits alimentaires ou chimiques, fluides li-quides ou pâteux de toute température (-190 à 250°C) et pour des pressions jusqu’à 40 bar.

Principe de mesure : émission réception d’une onde ultrasonore. Système de mesure : le capteur émet une onde ultrasonore réfléchie sur la surface du produit. Il

capte l’écho et mesure le temps de parcours qui est indépendant de la nature du fluide et de la pression. Il faut toutefois respecter une zone dite morte à proximité du capteur (30 à 60 cm selon les sondes).

Figure 8.38 Capteurs de niveau à ultrasons et à pression hydrostatique

8.7.8 Capteurs de niveaux à pression hydrostatique

Cette technique est utilisable avec quasi totalité des liquides, neutres ou corrosifs, chargés ou non, in-flammables ou non. Toutefois l’indication délivrée est directement proportionnelle à la densité du fluide. Toute variation de densité fausse la mesure.

Pour les réservoirs sous pression il faut mesurer la différence de pression entre le haut et le bas du réservoir.

Principe de mesure : pression relative au fond du réservoir. Système de mesure : le capteur mesure la pression relative qui est proportionnelle à la hauteur de la

colonne de liquide.



8.7.9 Capteurs de niveaux à radar

Le principe de ces capteurs est similaire à celui à ondes ultrasonores. Il présente l’avantage d’être in-sensible à la température, au taux d’humidité et à la poussière.

Figure 8.39 Capteurs de niveaux à radar et à source ionisante

8.7.10 Capteurs de niveaux à source ionisante

La mesure par radio-isotopes de liquides et de solides en vrac à travers la paroi d’un réservoir est uti-lisée lorsque des conditions de processus extrêmes ne permettent pas de recourir à d'autres principes de mesure.



8.8 Capteurs de débit

8.8.1 Généralités sur les capteurs de débit

Le débit est habituellement déduit de la mesure de la vitesse moyenne d’un fluide passant à travers une section connue. Cette méthode indirecte donne le débit volumique Qv :

Formule 8.4 ]/sm[ 3vAQv ⋅= , où A est la section de la conduite en m2, et v est la vitesse du fluide en m/s

Certains débitmètres, principalement pour les gaz, mesurent un débit massique Qm : Formule 8.5 ]kg/s[vm QQ ⋅= ρ , où ρ est la masse volumique du fluide en kg/m3

La plupart des débitmètres donnent la mesure du débit instantané par un signal analogique et la me-sure du débit cumulé, c'est-à-dire le volume (ou la masse) par des impulsions.

La débitmétrie fait intervenir différentes lois de la mécanique des fluides. La technologie de mesure dépend de la nature du fluide, de sa vitesse, de son régime d’écoulement, de sa viscosité. Le tableau ci-dessous résume les principes de mesure les plus courants:

Débitmètre

Produit mesuré Flotte

ur

Turb

ine ou

pis

ton

Élec

tro-

magn

étiqu

e Ul

traso

ns

Dopp

ler

Pres

sion d

iffé-

renti

elle

Ventu

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lame

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nte

Vorte

x

Corio

lis (m

assi-

que)

Ma

ssiqu

e the

r-mi

que

Liquides conducteurs X X X X X X X X X Liquides non-conducteurs X X X X X X X X Gaz X X X X X Vapeur X X X Précision % 10 0,2 1 0,5 5 2 3 1 1 1 Dynamique 1..10 1..50 1..4 1..4 1..20 1..50 1..10

Table 8.3 Types de capteurs de débit et résumé de leurs caractéristiques

8.8.2 Débitmètres à flotteur (ou rota mètre)

Cet appareil est très simple mais peu précis. Il est utilisé pour donner une valeur indicative du débit. Principe de mesure : équilibre entre le poids du flotteur et la poussée du fluide. Système de mesure : un flotteur placé dans un tube conique. La surpression fait monter le flotteur qui

s’immobilise lorsque l’équilibre entre la pression du fluide et le poids du flotteur est atteint. La lecture s’effectue par mesure de la position du flotteur.



Figure 8.40 Flotteur (ou rota mètre)

8.8.3 Débitmètres à turbine ou pistons rotatifs

Ces appareils sont compatibles avec de nombreux liquides peu visqueux, exempt de bulles ou de ma-tières en suspension. Ils sont destinés aux applications industrielles générales (eau, alcools, carburants, acides, gaz liquéfiés, liquides cryogéniques, etc.).

Principe de mesure : rotation d’une micro-turbine Pelton. Système de mesure : l’écoulement du fluide entraîne la rotation d’une turbine (rotor à plusieurs ailet-

tes, reposant sur des paliers) ou d’un piston placé dans la chambre de mesure, La vitesse de rotation du rotor est proportionnelle à celle du fluide, donc au débit volumique total.

Figure 8.41 Débitmètre à turbine et débitmètre électromagnétique

8.8.4 Débitmètres électromagnétiques

Ces débitmètres ne contiennent pas de pièces en mouvement ils conviennent bien à la mesure de li-quides visqueux, pâteux, chargés d’impuretés, abrasifs ou très corrosifs à condition qu’ils soient conducteurs de l’électricité (ce qui n’est pas le cas des huiles et hydrocarbures).

Principe de mesure : tension induite par un conducteur parcourant un champ magnétique. Système de mesure : un champ magnétique est crée par deux enroulements inducteurs placés de

part et d’autre d’un même diamètre de la canalisation. Le conducteur est le fluide lui-même, il circule dans une canalisation isolée électriquement à l’intérieur. La force électromotrice est mesurée par deux électrodes au contact avec le liquide, placées aux deux extrémités d’un diamètre perpendiculaire aux lignes d’induction.



La force électromotrice mesurée est proportionnelle à la vitesse moyenne du liquide, donc au débit volumi-que du liquide.

8.8.5 Débitmètres à ultrasons

Ces capteurs sont utilisés pour la mesure de débit dans les écoulements turbulents, pour les fluides non conducteurs (notamment hydrocarbures), là où les débitmètres électromagnétiques ne conviennent pas.

Principe de mesure : Mesure du temps de propagation d’une onde ultrasonore. Système de mesure : Un signal acoustique (ultrason) est émis d'un capteur à l'autre, dans le sens

d'écoulement et contre le sens d'écoulement. La durée de parcours entre l'émetteur et le récepteur est me-surée. Pour des raisons physiques, la durée de parcours contre le sens d'écoulement est plus longue que dans le sens d'écoulement. La différence résultant de ces deux durées est directement proportionnelle au débit.

Figure 8.42 Débitmètre à ultrasons

8.8.6 Débitmètres à effet Doppler

Ces capteurs sont une variante des débitmètres à ultrasons. Une des applications particulière est la technique médicale qui utilise ce principe pour mesurer le débit sanguin.

Principe de mesure : modification de la fréquence d’une onde par la vitesse de déplacement. Système de mesure : deux éléments transducteurs sont montés tous deux dans un même boîtier,

d’un coté de la conduite. Une onde ultrasonore de fréquence constante est émise dans le fluide par l’élément émetteur, les solides ou bulles présents dans les fluides réfléchissent le son, le renvoyant à l’élément récep-teur avec un glissement de fréquence. La variation de fréquence est proportionnelle à la vitesse moyenne du fluide.



8.8.7 Débitmètres à pression différentielle

Ces débitmètres sont les plus utilisés pour la mesure des débits de liquides ou de gaz en écoulement turbulent. Ils sont peu encombrants et peu coûteux, mais introduisent en revanche une perte de charge im-portante dans le circuit hydraulique.

Principe de mesure : loi de Bernoulli, perte de charge résultant du changement de section d’une conduite.

Système de mesure : la perte de charge est produite par un diaphragme, disque percé en son centre. Le diaphragme comprime l’écoulement du fluide, ce qui engendre une pression différentielle de part et d’autre de celui-ci. La pression est haute en amont et basse en aval. La différence est proportionnelle au carré de la vitesse d’écoulement.

Figure 8.43 Débitmètre à pression différentielle

8.8.8 Débitmètres à venturi ou lame versante

Ces appareils sont utilisés pour la mesure de débit dans des canaux ouverts. Ils sont bien adaptés à la mesure de débits importants (traitement de l’eau, rivières).

Principe de mesure : effet Venturi, variation de la vitesse d’un fluide provoquée par un étranglement du canal.

Système de mesure : Un étranglement symétrique du lit du canal refoule les liquides mesurés et augmente la vitesse d'écoulement dans la section restreinte. La différence entre le niveau amont et le niveau au droit de la section minimale correspond à une mesure de débit.

Figure 8.44 Débitmètre Venturi



8.8.8.1 Débitmètres à vortex

Ce capteur est destiné à la mesure de débit de liquides propres, gaz ou vapeur. Il supporte des vites-ses de fluide importantes. Il ne convient pas pour de faibles débits.

Principe de mesure : effet Karman, création de tourbillons (vortex en anglais) par un fluide contour-nant un obstacle.

Système de mesure : un corps non profilé est placé dans la conduite qui engendre des tourbillons. Le nombre de tourbillons formés en aval est proportionnel au débit moyen. Une vitesse précise d’écoulement du fluide est déterminée par le comptage des tourbillons.

Figure 8.45 Débitmètre à vortex

8.8.8.2 Débitmètres à force de Coriolis

Les débitmètres à force de Coriolis sont des débitmètres massiques pour des liquides propres et vis-queux (pâtes, boues). Ce dispositif exige l’absence de toute bulle de vapeur formée momentanément dans le liquide et susceptible de perturber la mesure.

Principe de mesure : la force de Coriolis est, dans un système en rotation, la force qui agit perpendi-culairement sur la masse en mouvement.

Système de mesure : le débitmètre de Coriolis utilise comme détecteur un tube en U sans obstacle. Ce tube de mesure vibre à sa fréquence naturelle comme un diapason. Le fluide s'écoule dans le tube de mesure et lorsqu’il franchit le coude du tube, le fluide résiste aux modifications de son mouvement. La diffé-rence de forces entraîne une torsion du tube de mesure. L’amplitude de la torsion est directement propor-tionnelle au débit massique du fluide traversant le tube.

Figure 8.46 Débitmètre à force de Coriolis



8.8.8.3 Débitmètres massique thermique

Ces capteurs sont utilisés comme débitmètres massiques pour les gaz. Principe de mesure : transfert calorifique Système de mesure : le gaz traverse une conduite calibrée équipée de 2 bobines à la même tempé-

rature et présentant la même résistance ohmique. Lorsque le gaz traverse le débitmètre, une partie de la chaleur de la première bobine est transférée vers la deuxième bobine modifiant sa température et donc sa résistance ohmique. Le débit est proportionnel à cette différence de résistance.

Figure 8.47 Débitmètre massique thermique



8.9 Capteurs chimiques et physiques

Les principaux utilisateurs de ces capteurs sont les industries chimique, pétrochimique, pharmaceuti-que, agro-alimentaire, le traitement de l’eau ainsi que le contrôle des tunnels routiers et parking.

• Mesure de caractéristiques chimiques : pH, REDOX, conductivité • Mesure de caractéristiques physiques : opacité de fumées, turbidité • Analyse de composition : O2, HC, NH4, CO2, CO, NaCl, etc.…



Chapitre 9

Annexes

9.1 Alphabet grec

Nom Majuscule Minuscule Nom Majuscule Minuscule Alpha Α α Nu Ν υ Bêta Β β Xi Ξ ξ

Gamma Γ γ Omicron Ο ο Delta Δ δ Pi Π π

Epsilon Ε ε Rhô Ρ ρ Zêta Ζ ζ Sigma Σ σ Êta Η η Tau Τ τ

Thêta Θ θ, ϑ Upsilon Υ ν Iota Ι ι Phi Φ ϕ, φ

Kappa Κ κ Khi Χ χ Lambda Λ λ Psi Ψ ψ

Mu Μ μ Omega Ω ω

Table 9.1 Alphabet grec



9.2 Bibliographie et références

[1] Théodore Wildi ; « Electrotechnique » ; presses de l’université Laval, éditions Eska (Canada) [2] Frédéric de Coulon et Marcel Jufer ; « Introduction à l’électrotechnique », volume no 1 du Traité

d’électricité ; presses polytechniques romandes [3] Frédéric Mudry, Fouad Rahali et Jacques Hufschmid ; « Cours d’électronique et Systèmes analogi-

ques » ; polycopié du département d’électricité et d’informatique à l’HEIG-VD [4] Marc Richard ; site Internet mendeleiev.cyberscol.qc.ca ; AQUOPS-CyberScol [5] Office fédéral de l’énergie OFEN ; « Statistique globale suisse de l’énergie 2002 » ; site Internet

www.energie-schweiz.ch/internet/ [6] Claude Richard ; « Notions de base et courant continu » ; polycopié du département d’électricité et

d’informatique à l’HEIG-VD [7] Serge Lillo et Heinz Kronig, « Cours d’Electrotechnique » ; polycopié de la HEVs (Haute école valai-

sanne) [8] Jean-François Affolter, « Energie Electrique – Protections », polycopié du département d’électricité et

d’informatique à l’HEIG-VD [9] Groupe Schneider ; « Schémathèque – Technologies du contrôle industriel » ; Institut Schneider For-

mation (France) [10] Dr. James B. Calvert ; www.du.edu/~jcalvert/tech/elmotors.htm ; Engineering University of Denver

(USA) [11] Christophe BessonN; “Cours de Machines électriques”; département d’électricité et d’informatique à

l’HEIG-VD

Documents

Electricite Au Service Des Machines Mecatronique