Electrostatique et électrocinétique...7. Angle solide coupant un élément de surface élémentaire dS situé à une Dans le cas où l’élément dS est pris sur la sphère de centre

Faculté des sciences – SMPC - Module 8 – 2020 – A. LOUARDI & E. B. CHOUBABI

Module :

Electrostatique et électrocinétique

Filière :

SMP/C (S2)

Professeurs : A. LOUARDI & E. B. CHOUBABI

Année universitaire : 2019/2020

UNIVERSITE CHOUAIB DOUKKALI

FACULTE DES SCIENCES

EL JADIDA


Plan du cours

Première partie: Electrostatique

Chapitre 0 : Rappels mathématiques

Chapitre I: Charges électriques -loi de Coulomb

Chapitre II : Champ électrostatique – Théorème de Gauss

Chapitre III : Potentiel électrostatique

Chapitre IV : Conducteurs électriques en équilibre

Deuxième partie: Electrocinétique

Chapitre I : Courant électrique dans les conducteurs

Chapitre II: Etude des réseaux électriques

Chapitre 0 : Rappels mathématiques 3


Chapitre 0 :

Rappels mathématiques



1. Les systèmes de coordonnées

• Selon la symétrie du problème, on choisira l’un des trois systèmes de coordonnées

suivants:

• Cartésien

• Polaire ou cylindrique

• Sphérique

• Traiter les problèmes en coordonnées cartésiennes est sans doute le plus facile, mais ce

n’est pas le moyen le plus adapté.

• La symétrie d’un système doit toujours être prise en considération car elle permet de

simplifier les calculs.

• Ceci conduit à préférer, suivant les cas, d’autres systèmes de coordonnées qui sont

adaptés à la symétrie: coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques.

1.1. Coordonnées cartésiennes

Vecteurs unitaires : zyx eee ,,

Elément de volume :

dzdydxdV .. Elément de surface :

)0(. dzpourdydxdSz

)0(. dypourdzdxdS y

)0(. dxpourdzdydSx

1.2. Coordonnées cylindriques

Vecteurs unitaires : zr eee ,,

On définit la position du point M par sa coordonnée z (appelée la cote) et par les coordonnées

polaires r, θ de son projeté sur le plan xOy.

Utilisés quand une quantité est

invariante par rotation autour

d’un point

Utilisés quand une quantité est

invariante par rotation autour

d’un axe

zyx ezeyexOMr 222 zyxOMr

Si M se déplace, on a :

zyx edzedyedxOMddl



Elément de surface latérale : dzrddSl .

Elément de surface de la base : rddrdSb .

Elément de volume : dzrddrdV .. Expressions des vecteurs unitaires :

yxr eee sincos

yx eee cossin

zz ee

1.3. Coordonnées sphériques

Vecteurs unitaires : eeer ,,

On définit M par la longueur r = OM et les deux angles θ et φ.

Remarques:

Les coordonnées sphériques du point M sont : (r, ө, φ)

Les composantes du vecteur OM sont : (r, 0, 0)

Coordonnées sphériques en fonction des coordonnées cartésiennes

20;0;0

arctan;arctan;

22

222

ravec

x

y

z

yxzyxr

ө est appelé colatitude (angle complémentaire de la latitude) ou zénith.

φ est appelé la longitude ou l'azimut

rerOMr

rOM

edredredrOMddl r sin

: quedémontrer peut On

zr ezerOMr

22 zrOMr

Si M se déplace, on a :

zr edzerdedrOMddl



Elément de surface sur la sphère: drrddS sin.

Elément de volume : drrddrdV sin..

2- Vecteurs

2.1 Somme de deux vecteurs

2.2. Produit scalaire

Expression cartésienne du produit scalaire

212121

222111 )(.)(

zzyyxxS

ezeyexezeyexS zyxzyx

2.3. Produit vectoriel

21 VVV

zyx ezeyexV 1111

zyx ezeyexV 2222

zyx ezzeyyexxVVV )()()( 21212121

On définit le produit scalaire de deux vecteurs par :

21 .VVS

),(cos. 2121 VVavecVVS

Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est nul.

Pour les vecteurs unitaires zyx eee ,, on a :

1...

0...

zzyyxx

xzzyyx

eeeeee

eeeeee

On définit le produit vectoriel de deux vecteurs par :

21 VVP

Par définition, P est un vecteur : perpendiculaire au plan ),( 21 VV ,

orienté de telle sorte que le trièdre ),,( 21 PVV soit direct,

de norme sin21 VVP avec ),( 21 VV



Expression cartésienne du produit vectoriel

zyx

zyxzyx

eyxyxezxzxezyzx

ezeyexezeyexP

122121121221

222111 )()(

Règle des trois doigts de la main droite

3. Champ scalaire - Champ vectoriel

Champ scalaire, f(M): associe une grandeur à tout point de l’espace.

Exemples:

Température

Pression

Densité de charge

Potentiel Champ vectoriel, )(MV : associe une grandeur et une direction (vecteur) à tout point de l’espace.

Exemples:

Vitesse dans un écoulement

Densité de Courant

Champ électrique

Champ magnétique

4. Différentielle Lorsqu’une fonction scalaire f dépend de plusieurs variables (x,y,z,...), on définit la différentielle

de la fonction f par :

dzz

fdy

y

fdx

x

fdf

x

f

est la dérivé partielle de f par rapport à x (y et z considérés constantes)

5. Circulation d’un vecteur

La circulation élémentaire d’un vecteur : dlVdC .

En coordonnées cartésiennes : dzVdyVdxVdC zyx

En coordonnées cylindrique : dzVrdVdrVdC zr

En coordonnées sphériques : drVrdVdrVdC r sin

La circulation sur un chemin AB: AB dlVC .

Le produit vectoriel de deux vecteurs parallèles est nul.

Pour les vecteurs unitaires zyx eee ,, on a :

1

0

xzzyyx

zzyyxx

eeeeee

eeeeee



La circulation sur un chemin fermé: dlVC . Remarque : Si le vecteur V représente une force, la circulation n’est autre que le travail.

6. Flux d’un vecteur

7. Angle solide

Dans le cas où l’élément dS est pris sur la sphère de centre O et de rayons r, on a :

)(.

22r

redSdScar

r

dS

r

edSd

8. Opérateurs vectoriels

8.1 Le gradient

La différentielle d’une fonction à plusieurs variables :

dzz

fdy

y

fdx

x

fdf

Cette expression est identique au produit scalaire de deux vecteurs :

Le vecteur déplacement : dzdydxdl ,,

Et le vecteur de coordonnées :

z

f

y

f

x

f,,

Ce vecteur est confondu avec l’operateur gradient de la fonction f(x,y,z): fgrad

dlfgraddf . Relation que l’on utilise pour définir le gradient dans un système de coordonnées quelconques.

En coordonnées cartésiennes :

zyx ez

fe

y

fe

x

ffgrad

En coordonnées cylindriques :

L’angle solide élémentaire dΩ, délimité par un cône

coupant un élément de surface élémentaire dS situé à une

distance r de son sommet O vaut :

2

.

r

edSd

r

Où dS est le vecteur de norme dS, normal à la surface dS.

On définit le flux élémentaire d d’un vecteur V à travers une

surface élémentaire dS :

dSNVdSVd ..

Si la surface est fermée, N est orienté de l’intérieur vers l’extérieur.

Si la surface est ouverte (comme en figure), une fois orienté le

conteur (c) de la surface, N est défini par la règle de tire-bouchon.



zr ez

fe

f

re

r

ffgrad

1

En coordonnées sphériques :

e

f

re

f

re

r

ffgrad r

sin

11

On définit l’opérateur nabla par :

zyx,,

Donc ffgrad

8.2 Divergence div

VVdiv . En coordonnées cartésiennes :

z

V

y

V

x

VVdiv z

yx

8.3 Rotationnel rot

VVrot

zxy

yzx

xyz e

y

V

x

Ve

x

V

z

Ve

z

V

y

VVrot

8.4 Laplacien ∆

2

2

2

2

2

2

zyx

L’opérateur Laplacien peut s’appliquer sur une fonction scalaire

2

2

2

2

2

2

z

f

y

f

x

ff

ou vecteur

2

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

VV

9. Transformations intégrales

Théorème de Stokes (ou du rotationnel) :

ferméCcontourlesurappuiesS

dSVrotdlVSC

)(')(

..)()(

Théorème de Green-Ostrogradsky (ou de la divergence) :

)()(

..)(

Sferméesurfacelaparenglobévolumeleest

dVdivdSVS



10. Quelques relations vectorielles

VVdivgradVrotrot

fgradrot

Vrotdiv

ffgraddiv

BACCABCBA

BACACBCBA

)()(

0)(

0)(

)(

..

...

11. Forme explicite des operateurs vectoriels

Coordonnées cartésiennes

2

2

2

2

2

2

z

f

y

f

x

ff

ey

V

x

Ve

x

V

z

Ve

z

V

y

VVrot

z

V

y

V

x

VVdiv

ez

fe

y

fe

x

ffgrad

zxy

yzx

xyz

zyx

zyx

Coordonnées cylindriques

zr ez

fe

f

re

r

ffgrad

1

z

VV

rr

Vr

rVdiv zr

11

zeV

r

Vr

re

r

V

z

Vre

z

VV

rVrot rzrz

)(11

2

2

2

2

2

11

z

ff

rr

fr

rrf

Coordonnées sphériques

e

f

re

f

re

r

ffgrad r

sin

11

V

r

V

rVr

rrVdiv r

sin

1)(sin

sin

1)(

1 22

eθ

V)V(r

rr

1e)V(r

rr

1V

sinθr

1re

V)V(sinθ

θsinθr

1Vrot rrθ

2

2

22

2

2 sin

1sin

sin

11

f

r

f

rr

fr

rrf

On remarque que

frrrr

fr

rr 2

22

2

11

Première partie : Electrostatique 11


Première partie:

Electrostatique

« L’électrostatique s’intéresse à l’étude des charges électriques aux

repos »

Chapitre I : Charges électriques – loi de Coulomb 12


Chapitre I:

Charges électriques -loi de Coulomb

Charles-Augustin Coulomb, ingénieur et

physicien français. Né le 14 juin 1736 à

Angoulême, mort le 23 août 1806 à Paris.



I.1 Charges électriques

I.1.1 Electrisation

Si on rapproche deux règles en plastique (ou caoutchouc) frottées par un chiffon, celles-ci

se repoussent. Si on rapproche deux règles en verre frottées par un chiffon, elles se repoussent

aussi. Par contre, si on rapproche une règle en verre et une règle en plastique, frottées par un

chiffon, elles s’attirent.

Figure I.1 : électrisation par frottement

Ce phénomène physique est appelé électrisation a été découvert par le philosophe et

savant grec Thales de Milt, au VIe siècle avant J-C.

Cette expérience montre l’existence de deux types de charge électrique:

Les charges positives

Et les charges négatives.

Deux charges électriques identiques se repoussent; deux charges électriques opposés

s’attirent.

Figure I.2 : attraction et répulsion électrostatique

Pour expliquer ces phénomènes d’électrisation, on fait appel à la structure de l’atome. En

effet, Un atome constitué de particules chargées :

Les protons : chargés positivement qp= +e = 1.6 .10-19 C

Des électrons : responsable de la conduction dans les métaux, chargés négativement

qe = -e = -1,6 .10-19 C (Figure I.3).

Les neutrons : charge nulle qn=0.

Verre Verre Verre-Caoutchouc



Figure I.3 : Atome isolé

Si un électron est arraché (ou rajouté) à un atome, on a un ion chargé positivement (ou

négativement).

On dit qu’un corps est :

Chargé positivement s’il porte plus de protons que d’électrons (q > 0)

Chargé négativement s’il porte plus d’électrons que de protons (q < 0)

Neutre s’il porte autant de protons que d’électrons. (q = 0)

I.1.2 Propriétés des charges électriques

La charge électrique d’un corps q est quantifiée : La charge électrique d’un système ne

peut prendre que des valeurs multiples de la charge élémentaire e (e = 1,6 .10-19C) : q= n e

L’unité de la charge électrique et le coulomb notée C.

La charge totale d’un atome est nulle (il y a autant d’électrons que de proton).

La charge électrique d’un corps est égale à la somme algébrique des charges qui le

constituent.

La charge électrique totale d’un système isolé (n’échangeant pas de matière avec le

milieu extérieur) est constante. C’est la conservation de la charge électrique.

Charges ponctuelles: dimensions négligeables par rapport aux distances entre les

charges.

Remarques : conducteur – isolant

Isolant ou diélectrique : les électrons sont fortement liés aux atomes, il n’y a pas

d’électron libre. Lorsque une charge électrique est crée, elle ne peut pas se déplacer

(bois, verre, papier …).

Conducteur (liaison métallique) : toute charge crée sur un matériau se répartit sur la

surface. Les électrons libres permettent le déplacement de cette charge.

Figure I.4 : répartition des charges électriques (conducteur et isolant)



I.1.3 Distribution des charges : On distingue deux catégories de distribution de charges,

distribution discrète et distribution continue

a/ Distribution discrète

La charge totale Q d’un système possédant n charges qi discrètes de position ri est :

b/ Distribution continue : Il y a trois type de distribution continue

Distribution linéique

La charge Q est répartie sur un fil de longueur L avec une densité linéique λ :

dl

dq

Chaque élément de longueur dl porte une charge élémentaire dq.

La charge élémentaire dq :

dldq

Figure I.5 : distribution linéique de la charge électrique.

La charge totale, entre A et B, est :

AB dqQ

AB dlQ

Avec est la densité linéique de charge. Elle s’exprime en C/m.

Si la densité linéique de charge est uniforme (= constante) : LdlQAB

. Distribution surfacique

Soit dS un élément de surface et dq la charge élémentaire contenue dans cette surface. On a alors :

dS

dq

La charge élémentaire dq:

dSdq

La charge totale située sur la surface S est la somme des charges élémentaires telles que :

S dSQ Où est densité surfacique de charge. Elle s’exprime en C.m-2.

n

ii

qQ



Figure I.6 : Distribution surfacique de la charge électrique

Si σ = cte alors SQ

Distribution volumique

Soient dV un élément de volume élémentaire et dq la charge élémentaire contenue dans ce

volume.

dV

dq

La charge élémentaire : dVdq

La charge électrique totale est : V dVQ Où est densité volumique de charge. Elle s’exprime en C.m-3.

Figure I.7 : Distribution volumique de la charge électrique

Si ρ= cte alors VQ

Remarque : si la densité de charge est la même en tout point M du corps chargé, on dit que la

répartition de la charge est uniforme.

Exemple 1 : Une charge totale de 30 µC est distribuée uniformément le long d’un fil

diélectrique de longueur 5 cm. Calculer la densité de charge linéique λ.

La charge élémentaire : dldq

La charge totale : dldqQ

La charge distribuée uniformément c-à-d λ=constante

Donc on peut sortir λ de l’intégrale :

dlQ

LQ

Donc L

Q

Application numérique : Q= 30 µC et L= 5 cm

λ= 6 .10-4 C.m-1



Exemple 2: On suppose que la densité de charge linéique λ d’un fil de longueur L est

donnée par: λ= a x2 avec a est une constante (a >0).

Calculer la charge totale Q porté par le fil.

dlQ

λ= a x2 donc la distribution n’est pas uniforme et dl= dx

dxxaQ 2

2

2

3

3

L

L

xaQ

3

3LaQ

Exemple 3 :

La charge d’une sphère de rayon R chargé avec la densité surfacique uniforme σ.

La charge élémentaire : dSdq

La charge totale : dSdqQ La charge distribuée uniformément c-à-d σ=constante

Donc on peut sortir σ de l’intégrale :

dSQ

SQ La surface de la sphère chargée : S= 4π R2

24 RQ

Exemple 4 :

La charge d’un cylindre de rayon R et de hauteur h chargé en volume avec la densité volumique

ρ= ρ0 r2 avec ρ0 est une constante >0.

La charge élémentaire : dVdq

La charge totale : dVdqQ ρ= ρ0 r

2

dV= dr r dθ dz : l’élément de volume en coordonnées cylindriques

dzdrdrr2

0 Q

h

0

2

0

R

0

3

0 dzddrr

Q

2

4

0 hRQ

L dl



I.2 La force électrostatique

I.2.1 Loi de Coulomb

Considérons deux charges q1 en M1 et q2 en M2 immobile dans un référentiel. D’après la loi de

Coulomb, ces deux charges exercent l’une sur l’autre une force portée par la direction qui les

relie. Elle est inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.

Figure I.5 : Force électrostatique exercée entre deux charges : (a)de même nature et (b) de nature différente.

Elle s’écrit, en module, sous la forme :

r

qqFFF K 22112

21

Elle s’exprime dans le SI en Newton (N).

Avec : k est la constante de Coulomb : 229

0

10.94

1 CmNK

0 : permittivité relative du milieu : 0 =8,85.10-12 C2.N-1.m-2

r= M1M2 : distance séparant les deux charges q1 et q2.

Remarques :

Si q1q2 >0, F>0 : c’est une force de répulsion. Si q1q2



I.2.2 L’extension de la loi de Coulomb

I.2.2.1 A plusieurs charges ponctuelles

Quand il s’agit de plusieurs charges qui entrent en jeu, il faut utiliser le principe de

superposition qui stipule que la force agissant sur une charge quelconque par plusieurs charges

d’un système est la somme vectorielle des forces que chaque charge prise séparément exercerait

sur cette charge.

En effet, Soit une charge ponctuelle q au point M soumise à l'action de n charge ponctuelle qi. La

force ressentie par la charge q est donnée par :

i

n

i i

in

i

i

i

in

i

i uMM

qqu

MM

qqKFF

1

2

012

1 4

avec

MM

MMu

i

i

i

Exemple : Une charge ponctuelle q1= -2q est placée à l'origine O des coordonnées. Deux

charges égales, de valeur +q sont placées sur l'axe des X aux points d'abscisse -a et +2a.

Déterminer la force électrostatique résultante exercée sur la charge q1. Faire l’application

numérique : q= 40 μC et a=1 m.

I.2.2.2 Aux distributions continues de charges

Soit q0 une charge ponctuelle immobile au point M(x,y,z) dans un référentiel subissant une force

par une distribution continue élémentaire de charge électrique située au point P.

Cette force élémentaire s’écrit : iu

PM

dqqFd

20

0

4

La force électrostatique : iuPMdqq

F2

0

0

4

Distribution linéique : dq = dl

l il i uPMdlq

uPM

dqqF

2

0

0

2

0

0

44

Distribution surfacique : dq= dS

S iS i uPMdSq

uPM

dqqF

2

0

0

2

0

0

44

Distribution volumique : dq= dV

V iV i uPMdVq

uPM

dqqF

2

0

0

2

0

0

44

P : point de la distribution de charge.

Solution : D’après le principe de superposition : 31211 FFF

xea

qKu

r

qqKF

2212

2121

22

et xe

a

qKu

r

qqKF

2312

3131

4

2 2

La somme vectorielle est : xx ea

qKe

a

qKFFF

2231211 2

3)

4

11(

2 22

Sa norme 21 2

3 2

a

qKF il suffit de faire l’application numérique : NF 6.211 donc )(6.211 NeF x

Chapitre II : Champ électrostatique – Théorème de Gauss 20


Chapitre II :

Champ électrostatique – Théorème de Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss (30 avril 1777 -

23 février 1855): mathématicien, astronome

et physicien allemand.



II.1 Champ électrostatique

Une charge électrique q1 (source) modifie les propriétés électriques de l’espace

environnant.

On dit que la charge q1 (source) crée un champ électrostatique (on dit souvent champ

électrique).

Si l’on place une charge électrique q2 (test) au voisinage de la charge q1 (source), cette

charge est soumise à une force (de Coulomb) telle que:

Equr

qqu

r

qqF .

4

1.

4

12122

1

0

2122

21

0

12

Où E est un vecteur appelé champ électrostatique.

II.1.1 Définition

Le champ électrostatique crée par une charge Q >0 (source) en un point P à la distance r

de la charge est le quotient de la force à laquelle est soumise une charge q (test) placée en M

par la valeur de cette charge.

q

FE

PMur

E

2

0

Q

4

1

Direction : droite passant par Q et M.

Sens :

Sens de PMu

si Q >0

Sens de PMu

si Q



II.1.2 Principe de superposition

Dans le cas de n charge q1, q2,…qn situées respectivement aux points P1, P2,…Pn:

Le champ résultant en un point M est la somme des champs créés par chaque charge (principe

de superposition):

n

i

iEE1

i

n

i

iM u

MP

qE

12

0

)(4

1

4321)( EEEEME Figure II.1 : Champ électrique crée par un ensemble de charge qi.

II.1.3 Champ crée par une distribution volumique

La charge élémentaire dq est assimilable à une charge ponctuelle au point P.

Le champ élémentaire crée par la charge élémentaire dq :

PMur

Ed

2

0

dq

4

1

Or dq= ρ dV donc PMur

Ed

2

0

dV

4

1

Le champ résultant crée par l’ensemble de la distribution est l’intégrale des champs

élémentaires :

PMur

EdE

20

dV

4

1

Figure II.2 : Champ électrique crée par des charges réparties en volume.

II.1.4 Champ crée par une distribution surfacique


PMur

Ed

2

0

dq

4

1

Or dq= σ dS donc PMur

Ed

2

0

dS

4

1


élémentaires : PMur

EdE

20

dS

4

1



Figure II.3 : Champ électrique crée par des charges réparties en surface.

II.1.5 Champ crée par une distribution linéique


PMur

Ed

2

0

dq

4

1

Or dq= λ dl donc PMur

Ed

2

0

dl

4

1


élémentaires :

PMur

EdE

20

dl

4

1

II.1.6 Lignes et tubes du champ électrique

a/ Lignes de champ

Définition d’une ligne de champ

– Ligne tangente en chacun de ses points au vecteur champ.

– Orientée dans le même sens que le champ.

Propriétés:

– Les lignes de champ sont parallèles si le champ est uniforme.

– Les lignes de champ se resserrent quand le champ augmente et inversement.

– Deux lignes de champ ne peuvent pas se croiser.

Figure II.4 : Lignes Champ électrique

Figure II.5 : Lignes Champ électrique crée : (a) charge positive (+q) et (b) charge négative (-2q)



b/ Un tube de champ (ou tube de force) est défini par la surface formée par l’ensemble des

lignes de champ qui s’appuient sur un contour fermé.

Figure II.6 : Tube de champ

Remarque : dans le cas où le champ électrique est uniforme ( cteE ), les lignes de champ sont

des droites parallèles et le tube de champ est un cylindre.

Figure II.7 : Tube de champ constant

II.2 Symétrie et invariance du champ électrostatique

Principe de Curie

"Les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits"

Dans ce cours les causes sont les charges électriques et les effets sont le champ électrostatique

E et le potentiel électrostatique V.

II.2.1 Direction du champ: Propriété de symétrie

Soit une distribution de charges de densité volumique de charges ρ

Symétrie plane

Une distribution de charges est symétrique par rapport à un plan π si M et M' étant deux points

de la distribution de charges tels que M'=Symπ(M), la densité de charge vérifie :

ρ (M') = ρ (M)

Antisymétrie plane

Une distribution de charges est antisymétrique par rapport à un plan π* si M et M' étant deux

points de la distribution de charges tels que M'=Symπ*(M), la densité de charge vérifie :

ρ(M')= -ρ(M)



Direction du champ électrique :

Le champ (M)E créé en un point M appartenant aux plans de symétrie de la distribution

de charges appartient aussi à ces plans.

Champ (M)E créé en un point M appartenant aux plans d’antisymétrie de la distribution de

charges est perpendiculaire à ces plans.

II.2.2 Variables du champ: Propriété d’invariance

Invariance par translation

Une distribution de charge, dans la direction d’un axe ∆, est invariante par translation

suivant ∆ si, pour tout point M appartenant à cette distribution et son translaté M', sa densité

de charge vérifie ρ(M')=ρ(M).

Par exemple:

Si ∆ = (Oz), M(x ,y ,z) et M'(x ,y ,z’), On peut donc écrire :

ρ (x ,y ,z) = ρ (x ,y) , ρ est indépendant de z.

),(),,( yxEzyxE



Invariance par rotation autour d’un axe

Soit M un point de la distribution de charge. M' est le point obtenu par rotation de M d’un

angle quelconque autour d’un axe de rotation ∆. On note M' = Rot∆ (M).

Une distribution de charge est invariante par rotation autour de l’axe ∆ si :

ρ (M) = ρ(M')

Il est commode de travailler en cordonnées cylindrique. Par exemple si ∆ = (Oz ):

ρ (r ,θ , z) = ρ (r ,θ', z)

Ainsi la densité de charge est indépendante de l’angle θ :

ρ = ρ (r ,z )

Exemple: Invariance par rotation autour d’un axe

),(),,( zrEzrE Conclusion:

Si la répartition de charge est invariante par translation le long d’un axe alors le

module de E est invariant le long de cet axe.

Si la distribution de charge est invariante par rotation autour d’un axe alors le

module du champ E ne dépend pas de l’angle repérant la rotation autour de cet axe.

II.2.3 Cas particulier des symétries multiples : symétrie cylindrique

Direction du champ (symétrie):

Tout plan contenant M et Oz est plan de symétrie.

Tout plan contenant M et perpendiculaire à Oz est plan de symétrie.

Le vecteur champ électrostatique E appartenant à l’intersection des deux plans:

rezrEME ),,()(



les variables d’espace dont dépend le champ (invariance):

Une distribution à symétrie cylindrique est invariante par translation le long de l’axe (O, z) et

invariante par rotation d’angle θ autour de l’axe (O,z). Donc le module du champ électrostatique

E ne dépend ni de z ni de θ, alors :

)(),,( rEzrE

Conclusion :

Dans le cas d’une symétrie cylindrique, la symétrie et les invariances montrent que :

rerEME )()( II.2.4 Cas particulier des symétries multiples : symétrie sphérique

Direction du champ (symétrie):

• Tout plan contenant M et O est plan de symétrie.

• Le vecteur champ électrostatique E appartenant à l’intersection de ces plans:

rerEME ),,()(

les variables d’espace dont dépend le champ (invariance):

Une distribution à symétrie sphérique est invariante par rotation auteur de tout axe passant

par le centre O et le point M.

La norme du champ électrostatique E ne dépend que de r:

)(),,( rErE

Conclusion :

Dans le cas d’une symétrie sphérique, la symétrie et les invariances montrent que :

rerEME )()(



II.3 Théorème de Gauss

Le théorème de Gauss est une technique facile à mettre en œuvre pour calculer le champ

électrique à condition que la distribution de charge présente une symétrie suffisante. Il est basé

sur le calcul du flux de champ à travers une surface fermée.

II.3.1 Vecteur surface

Une surface dS est représentée par un vecteur

Direction: normale à la surface

Norme: dS

Sens:

II.3.2 Notion de flux à travers une surface

Définition: Le flux élémentaire du vecteur champ électrostatique

à travers la surface élémentaire dS est:

Le flux « compte » les lignes de champ qui traversent la surface (le flux est maximal lorsque

et nul pour ).

Flux d’un vecteur à travers une surface fermée

Les surfaces fermées délimitent un volume fini:

Sd

Sd

Surface fermée : vers l’extérieur de la surface Surface non fermée:

Règle main droite

Tire bouchon

),cos(.. SdEdSESdEd

0),( SdE

2),(

SdE

1),cos( SE 1),cos(0 SE 0),cos( SE



Exemple: la surface fermée est une sphère

Le flux sortant à travers la surface fermée, est :

II.3.3 Flux du champ électrostatique à travers une surface fermée

II.3.3.1 Charge à l’intérieur de la surface fermée

On calcul le flux de champ électrostatique crée par une charge ponctuelle q à travers la surface

d’une sphère ∑.

Le flux du champ, à travers dS est donnée par :

Or un ( reun car E est radial et redSdS )

Donc

En coordonnées sphériques : drrddS sin.

Donc

Le flux total à travers la surface de la sphère :

On constate que le flux du champ électrique E est indépendant du rayon de la sphère.

II.3.3.2 Charge à l’extérieur de la surface

Considérons deux surfaces ouvertes élémentaire dS1 et dS2 interceptées par le même

cône de sommet O sur une surface fermée S (Fig.II.10). On suppose que la charge q se situe au

point O à l’extérieur de la surface S.

Les flux élémentaires d1 et d2 à travers respectivement dS1 et dS2 :

1

0

114

)( dq

SdMEd

et

Figure II.10 : La charge est à l’extérieur de la surface fermée S.

dSr

nuqdS

r

uqSdMEd

2

0

2

0

.

4.

4)(

2

04 r

dSqd

2

0

sin.

4 r

drrdqd

2

000

sin4

ddq

0

q

2

0

224

. dq

dSEd

S SdEE

)(



En se basant sur la convention de l’orientation des surfaces de l’intérieur vers l’extérieur, on

déduit que : 1d =- 2d

D’où le flux total d=d1+d2=0

Donc le flux de E à travers la surface S est nul dans le cas d’une charge à l’extérieur de S :

0/ SE

Généralisation à plusieurs charges ponctuelles

On considère des charges ponctuelles qint placées à l’intérieur d’un volume délimité par

une surface S quelconque, alors :

0

int

/

qSE

0

int

/

QSE

Avec intint qQ la charge totale à l’intérieur de S.

Bilan :

Les charges qext, situées à l’extérieur de S, créent un champ électrostatique dont le

flux à travers S est nul :

0/

SE

Les charges qint, à l’intérieur de S, créent un champ dont le flux est égal à : 0

int

q

Donc le flux de E

à travers une surface fermée (charges intérieur et extérieur) est :

0

int

/

qSE

II.3.4 Enoncé du théorème de Gauss

Comment choisir la surface de Gauss? Pour trouver le champ électrique au point M, il faut choisir une surface de Gauss passant par le

point M et pour laquelle l’intégrale est facile à évaluer.

Le flux à travers une surface fermée (surface de Gauss), S, du

vecteur champ électrique, E

, créé par un ensemble de charges, est égal à

la somme algébrique des charges situées à l’intérieur de S divisée par

0 : 0

int

/

QSdE

SSE

intint qQ : La somme algébrique des charges à l’intérieur de la

surface de Gauss.



II.3.5 Application du théorème de Gauss

Pour déterminer E

à partir du théorème de Gauss, il faudra suivre la démarche suivante :

Déterminer la direction du champ E

à partir des considérations de symétries.

Les propriétés d’invariance permettent de réduire le nombre de variables d’espace dont

dépend la norme de E

.

Choisir une surface fermée de Gauss imaginaire passant par M dans la région où l’on

souhaite déterminer E

. Il faudra que la surface de Gauss possède les mêmes propriétés

de symétrie que la distribution de charges.

Calculer le flux du champ électrostatique à travers la surface de Gauss (S) choisie.

Calculer la charge intérieure à la surface de Gauss Qint .

Dans la plupart du temps nous allons rencontrer les cas suivants :

Exemple 1: Champ créé par une charge ponctuelle

Surface de Gauss : sphère centrée en +q

Le champ E

a la même intensité en tout point de la surface de la sphère vu la symétrie

sphérique.

Le champ sera orienté vers l’extérieur et il est parallèle à

la normale n (normale unitaire dirigée vers l’extérieur).

L’aire S de la surface de la sphère de rayon r est 4 r2 .

La charge totale Qint à l’intérieur de la surface de Gauss est q.

Théorème de Gauss:

0

int

/

QSdE

SSE

Calcul direct en utilisant les

propriétés de symétrie du champ

Calcul des charges à l’intérieur

de la surface de Gauss

SSE SdE

/

2/

4. rESE

(sphère de rayon r)

rhESE

2./ (flux latéral sur un

cylindre de rayons r et de hauteur h)

SESE

.2/ (flux sur les deux bases

d’un cylindre de base S)

intQ

intint qQ (distribution discrète de charge)

dlQ int (distribution continue linéique)

dSQ int (distribution continue surfacique)

dVQ int (distribution continue volumique)

0

int

QSdE

SE

0

qdSnE

SE

0

qdSE

S

0

qdSE

S 2

04

r

qE



Exemple 2: Champ créé par un fil de longueur L chargé uniformément

Soit un fil de longueur L qui porte une charge uniformément répartie de distribution linéique .

Surface de Gauss : cylindre de longueur L et de rayon r.

Le fil est un axe de symétrie de la surface de Gauss cylindrique.

Le champ est radial vers l’extérieur si Q > 0.

Pour les deux bases, le champ est perpendiculaire à la normale.

Pour la surface latérale, le champ est parallèle à la normale.

La charge totale Qint à l’intérieur de la surface de Gauss vaut L.


Exercice 1: Champ créé par une sphère pleine électrisée

Soit une sphère pleine non conductrice de rayon R chargée avec une distribution volumique

uniforme ρ.

1)- Trouver le champ électrique créé en un point situé:

a) à l’extérieur,

b) à l’intérieur de cette sphère.

2)- Tracer le champ électrique en fonction de r.

Solution de l’exercice 1:

La charge totale est positive, donc les lignes de champ sont vers l’extérieur .

1. a) Point à l’extérieur (r > R)

Surface de Gauss : sphère concentrique (de rayon r>R) à la sphère pleine.

Le champ est radial et constant sur toute la surface de la sphère

Le champ est parallèle à la normale.

La charge totale Qint à l’intérieur de la surface de Gauss vaut ρ V.


b) Point à l’intérieur (r < R)

Surface de Gauss : sphère concentrique (de rayon r



2) Représentation du champ électrique en fonction de r - Pour r < R, on a:

- Pour r > R, on a:

- Pour r = R, on a:

Exercice 2: Champ créé par une mince enveloppe sphérique

1)- Déterminer le champ électrique créé par une mince enveloppe

sphérique de rayon R (sphère creuse) dotée d’unecharge totale

nette Q uniformément répartie à sa surface.

2)- Tracer le champ électrique en fonction de r.

Solution 2: La charge totale est positive, donc les lignes de champ sont vers l’extérieur .

1. a) Point à l’extérieur (r > R) - Surface de Gauss : sphère concentrique (de rayon r>R) à la sphère creuse.

- Le champ est radial et constant sur toute la surface de la sphère

- Le champ est parallèle à la normale.

- La charge totale Qint à l’intérieur de la surface de Gauss vaut Q.

- Théorème de Gauss:

b) Point à l’intérieur (r < R) - Surface de Gauss : sphère concentrique (de rayon r



2)- Représentation du champ électrique en fonction de r - Pour r < R, on a:

- Pour r > R, on a:

- Pour r = R, on a une discontinuité:

Exercice 3: Champ créé par un plan π chargé uniformément Soit un plan infini π est uniformément chargé avec une distribution surfacique uniforme σ.

Trouver le champ créé par ce plan.

Solution de l’exercice 3: - Surface de Gauss : cylindre perpendiculaire au plan et de hauteurs symétriques

- Décomposition de la surface fermée: S1, S2 et Slat

- Pour les deux bases, le champ est parallèle à la normale.

- Pour la surface latérale, le champ est perpendiculaire à la normale.

- La charge totale Q à l’intérieur de la surface de Gauss vaut σ S’.

- Théorème de Gauss:

Le champ ne dépend pas de la surface du plan supposé infini.

0 )( rE

2

04

)(

r

QrE

2

04 )(

R

QRE

0

int

QSdE

SE

latSSSS

E dSnEdSnEdSnEdSnE 21

2211

2121

2121 0 SSSS

dSEdSEdSEdSE

0

' ' 2

SSE

02

E

Chapitre III : Potentiel électrostatique 35


Chapitre III :

Potentiel électrostatique

Peter Joseph Wilhelm Debye

- physicien hollandais ( 1884 à 1966 )

- prix Nobel de chimie en 1936 (Méthode de Debye

et Scherrer)

Siméon Denis Poisson (1781 - 1840) est un

mathématicien, géomètre et physicien français.

Pierre-Simon Laplace (1749 – 1827) est un

mathématicien, astronome et physicien français.

James Clerk Maxwell (Physicien Écossais, 1831

- 1879), donna une description de

l’électromagnétisme, et des physiciens et

chimistes du début du XXe siècle élucidèrent la

nature atomique de la matière.



III.1 Circulation d’un champ électrostatique

Soit une charge ponctuelle positive q placée en P. Cette charge crée un champ

électrostatique →E(M) au point M. La circulation de ce champ le long du déplacement

élémentaire dl , sur le contour AB, est donnée par l’expression :

dlEdC .

Figure III.1 : La circulation d’un champ électrique entre A et B

Notations :

edredrdMdl r

rer

qME

2

04

1)(

Effectuant le produit scalaire on obtient la relation :

La circulation du champ électrostatique le long du chemin AB est :

On constate que la circulation de →E(M) est conservative, elle ne dépend pas du chemin suivi.

Pour un contour fermé (A=B), la circulation est nulle.

Définition :

On peut écrire l’expression de la circulation élémentaire du champ électrique sous la forme:

On appelle potentiel électrostatique élémentaire au point M, l’expression

dCdlMEMdV .)()(

Le potentiel électrostatique crée en M par une charge ponctuelle :

Cter

qMV

04)(

Où V(M) est le potentiel créé, au point M, par une charge ponctuelle q située au point P à la

distance PMr .

2

04

.

r

drqdC

Cte

r

qd

r

drqdC

0

2

0 44

.

)11

(44 0

2

0 AB

r

r

B

AAB

rr

q

r

drqdCC

B

A



III.2 Propriétés du potentiel électrique

a) Unité du potentiel est le Volt, notée V

b) Par convention le potentiel à l’infini est nul. En effet, on suppose qu’il n’y a pas de

charges à l’infini. On a, donc, V() = 0 ce qui implique Cte = 0, donc :

r

qMV

04)(

c) V(M) n’est défini qu’à une constante près. Physiquement on ne peut mesurer que la

différence de potentiel (d.d.p) entre deux points. La d.d.p ente A et B est donné par:

BA

BArr

qVV

11

4 0

d) La d.d.p ne dépend pas du chemin suivi, elle ne dépend que de l’état initial et de l’état

final. Pour une circulation sur une courbe fermée, elle est nulle. Dans ce cas la circulation d’un

champ électrique est conservative et le champ dérive d’un potentiel scalaire.

e) Le théorème de superposition est aussi valable pour le calcul des potentiels.

III.3 Relation entre champ et potentiel

Prenons le cas des coordonnées cartésiennes :

zzyyxx eEeEeEE

zyx edzedyedxdl

On sait que dlEdV . donc dzEdyEdxEdV zyx

La différentielle totale de V : dzz

Vdy

y

Vdx

x

VdV

Par identification entre les deux dernières relations, on déduit que :

x

VEx

,

y

VEy

et

z

VEz

Ce qui montre que :

On utilise cette relation pour déterminer le champ électrique lorsque l’on connaît le potentiel et

inversement.

Cette loi peut s’écrire sous une autre forme, puisque:

0)( Vgradrot

Cette équation est une des équations de Maxwell. Cette propriété est l’origine du fait que le

champ électrique est conservative.

0Erot

VgradE



III.4 Coordonnés du vecteur gradient

Le vecteur gradient du potentiel V(M) a pour:

composantes cartésiennes

zyx ez

Ve

y

Ve

x

VVgrad

)(

composantes cylindriques

zez

Ve

Ve

VVgrad

1)(

composantes sphériques

eV

re

V

re

r

VVgrad r

)sin(

11)(

Bilan :

La seule présence d’une charge ponctuelle q au point P permet de définir deux propriétés

en un point M de l’espace environnant :

une propriété vectorielle, le champ électrostatique :

Une propriété scalaire, le potentiel électrostatique (défini à une constante près) :

Avec Cte = 0 lorsqu’il n’y a pas de charges à l’infini.

Et une relation entre les deux propriétés :

ou

La différence de potentiel entre A et B :

III.5 Potentiel électrostatique crée par des distributions de charge

III.5.1 Potentiel électrostatique crée par n charges ponctuelles

Le potentiel électrique crée par plusieurs charges obéit au principe de superposition:

n

iM VddV

1

)( Soit i

in

iMr

qVV

01

)(4

1

. C’est une somme algébrique.

III.5.2 Potentiel électrostatique crée par une distribution linéaire dq=(P) dl

ll rdlP

r

dqMV

)(

4

1

4)(

00

Figure III.2 : Potentiel créé par une distribution linéaire de charge

PMur

qE

2

04

1

Cter

qV

04

1

VgradE dlEdV .

B

ABA dlEVV .



III.5.3 Distribution surfacique dq=(P) dS

sS rdSP

r

dqMV

)(

4

1

4)(

00

Figure III.3 : Potentiel créé par une distribution surfacique de charge

III.5.4 Distribution volumique dq=(P) dV

vv rdvP

r

dqMV

)(

4

1

4)(

00

Figure III.4 : Potentiel créé par une distribution volumique de charge

III.6 Surfaces équipotentielles :

Les surfaces où le potentiel est constant V(M)=Cte sont appelées équipotentielles.

Le champ est toujours perpendiculaire à la surface équipotentielle.

Les lignes de champ sont orientées dans le sens des potentiels décroissants.

Exemple : Cas d’une charge ponctuelle

Dans ce cas, nous avons vu que r

qMV

1.

4)(

0

Si V(M) =Cte, alors r = Cte Les surfaces équipotentielles sont des sphères de rayons r centrées

sur la position de la charge (Fig.III.5 a et b)

Figure III.5 : Surfaces équipotentielles créées par une charge : a) charge négative, b) charge positive

Remarque :

Nous avons déjà vu que les lignes de champ sont les tangentes en tout point au champ E . Pour

une surface équipotentielle, nous avons V(M)=Cte. Donc 0).()( dlMEMdV . Le champ

électrostatique est, donc, perpendiculaire à la surface équipotentielle. D’où les lignes de

champ sont normales aux surfaces équipotentielles.

-q

a b

Lignes de champ

Equipotentielles

V2

V1 +q V1

V1 V2



III.7 Force et énergie potentiel électrostatique

III.7.1 Travail de la force électrostatique

On considère une charge q positive qui se déplace d’un déplacement élémentaire dl sous l’action

d’un champ électrique E .

Le travail élémentaire dû au champ électrique est:

VqddVqdlVgradqdlEqdlFW ...

Le travail de la force électrostatique lors d’un déplacement de la charge de A à B :

)( BAB

A

B

AAB VVqdVqWW

On constate que le travail de la force électrostatique ne dépend que de l’état initial et de l’état

final.

III.7.2 Energie potentielle

Nous avons montré que le travail de la force électrostatique ne dépend pas du chemin suivi, elle

dérive donc d’une énergie potentielle Wp, telle que :

On a VgradE

Donc

pW : Energie potentielle électrostatique notée aussi pE .

L’unité de pE dans le système international est le Joule.

III.8 Forme locale du théorème de Gauss

Le théorème de Gauss sous forme intégrale pour une distribution volumique de densité

ρ s’écrit:

VV

SSEdVdV

QSdE

000

int

/

1

En utilisant la formule de Green-Ostrogradsky :

V

SSEdVEdivSdE

/

De ces deux relations, on déduit la forme locale du théorème de Gauss :

Cette équation est appelée : équation de Maxwell-Gauss

Dans le vide, en absence de charges : ρ=0 donc 0Ediv

pWgradEqF

VqWp

0

Ediv



III.9 Rotationnel du champ électrostatique

Nous avons vu que la circulation du champ électrique le long d’un contour fermé (C) est nulle,

elle s’exprime par la loi intégrale :

0 C dlEC

En utilisant le théorème de Stokes :

SC dSErotdlE .

S : surface s’appuyant sur le contour fermé (C)

Donc

0. SC dSErotdlEC

Ce qui montre que la forme locale:

Deuxième équation de Maxwell

Le champ électrique E est dit irrotationnel

Remarques :

La loi locale (comme VgradE ou 0

Ediv

ou 0Erot ) permet de calculer E en un

point indépendamment de toute symétrie globale.

Dans le cas de présence des symétries, la loi intégrale peut s’avérer plus rapide que la loi

locale.

III.10 Equation de Poisson - Equation de Laplace

La combinaison de la forme locale du théorème de Gauss 0

Ediv

et de la relation

VgradE conduit à : 0

)(

Vgraddiv

Or VVVgraddiv .)(

Avec ∆ est l’opérateur Laplacien.

On en déduit :

C’est l’équation de Poisson.

Dans le vide ρ=0, donc :

C’est l’équation de Laplace.

0Erot

00

V

0V



III.11 Dipôle électrostatique

III.11.1 Définition: dipôle électrostatique et moment dipolaire

On appelle dipôle électrostatique un système de deux charges ponctuelles −q et +q,

séparées par une distance d= 2a très petite par rapport à la distance r au point M où

l’on observe leurs effets.

On définit le moment dipôlaire:

ABqP

aqP 2

Le vecteur moment dipôlaire dirigé de –q vers +q.

Le moment dipolaire est orienté de la charge négative –q vers la charge positive +q.

L’unité du moment dipôlaire: Le debye (D) ou Coulomb.mètre (C.m)

1D = 3,33564.10-30 C.m.

III.11.2 Potentiel électrostatique crée par un dipôle en M dans le cas de (a



AB rr

qV

11

4 0

Or raOMAOAMrA

raOMBOBMrB

cos2.2)(222222 rarararararA

cos2.2)(222222 rarararararB

2/1

2

22/122 cos

21)cos2(

r

a

r

arrararA

2/1

2

22/122 cos

21)cos2(

r

a

r

arrararB

Dans le cas a



Et puisque qap 2 , donc :

Et on peut écrire : cos. pep r

Donc 20

.

4

1

r

epV

r

III.11.3 Champ électrostatique crée en M par un dipôle (a



III.11.5 Conditions de passage à l’interface entre deux distributions de charges différentes

Composante tangentielle de E

Soit deux points M1 et M2 infiniment voisins du point M pris

sur l’interface séparant les deux distributions volumiques.

On veut exprimer la circulation de E le long du contour fermé élémentaire (ABCDA). En supposant que la contribution des côtés DA et BC est négligeable devant celle des côtés AB et

CD, on peut écrire :

0)(

ABCDA

dlE

0 CDAB

dlEdlE

0.. 21 CDEABE TT On a AB = CD :

La composante tangentielle de E se conserve (continue), malgré la discontinuité de ρ sur

l’interface.

Composante normale de E

Supposons maintenant que l’interface porte une charge surfacique σ.

On considère le parallélépipède élémentaire représenté sur la figure ci-dessous, et on cherche à

déterminer le flux de E à travers ce parallélépipède.

La contribution des densités volumiques ρ1 et ρ2 à ce flux étant un infiniment petit comparée à la

contribution de la densité surfacique σ.

On peut ignorer les charges volumiques et écrire :

SESEdSE NN 12

Le théorème de Gauss s’exprime par : 0

S

On en déduit :

La composante normale de E subit une discontinuité proportionnelle à la densité surfacique σ.

Elle ne se conserve que si l’interface ne porte pas de charges (σ=0).

En résumé, la relation de passage à l’interface de deux milieux peut s’exprimer sous la forme :

TT EE 21

0

12

NN EE

12

0

12 NEE

On a : 12111 NETEE NT

12222 NETEE NT

Où T est le vecteur unitaire porté par la tangente en M à l’interface

12N est le vecteur unitaire normale à l’interface, orienté du milieu (1) vers le milieu (2).

Chapitre IV : Conducteurs électriques en équilibre 46


Chapitre IV :

Conducteurs électriques en équilibre.

Michael Faraday (1791 - 1867) est un physicien

et un chimiste britannique, connu pour ses

travaux fondamentaux dans le domaine de

l'électromagnétisme et l’électrochimie.



IV.1 Définitions

Conducteur :

Les conducteurs sont des milieux dans lesquels existent des charges libres (positives ou

négatives) qui se déplacent librement, quand elles sont soumises à un champ électrique.

Conducteur en équilibre électrostatique :

Un conducteur est dit en équilibre, si toutes ses charges libres sont immobiles.

Énoncé de la loi de conservation :

Dans un système isolé, la charge électrique se conserve.

IV.2 Propriétés d’un conducteur en équilibre

A l’équilibre électrostatique, les charges sont immobiles, donc :

Le champ à l’intérieur du conducteur :

0F 0int q

FE

Le champ électrostatique à l’intérieur du conducteur est nul.

Le potentiel à l’intérieur du conducteur :

0intint VgradE

Le potentiel électrostatique à l’intérieur d’un conducteur est constant donc un conducteur à

l’équilibre électrostatique est un équipotentiel.

La distribution des charges :

La forme locale du théorème de Gauss : 0

intint

Ediv et puisque 0int E

Ce qui entraine que

Donc la charge du conducteur ne peut être que surfacique, avec une densité σ.

Bilan :

Pour un conducteur en équilibre électrostatique :

Remarque :

Dans un conducteur V=Cte=V0 (le conducteur est un volume équipotentiel).

Comme le potentiel étant continu, donc la surface d’un conducteur en équilibre est

équipotentielle.

Ce qui signifie que les lignes de champ sont perpendiculaires à la surface du conducteur.

0int E

CteV int

0int

0int E et CteV int et 0int



Deux cas peuvent se présenter suivant que le corps est neutre ou chargé.

IV.3 Champ électrique au voisinage d’un Conducteur neutre en équilibre:

Un conducteur à l’équilibre électrostatique est un équipotentiel.

À l’extérieur du conducteur, le théorème de Gauss entraîne que:

IV.4 Champ électrique au voisinage d’un Conducteur chargé en équilibre: Théorème de

Coulomb

Soit un conducteur chargé positivement par une densité surfacique . Utilisant le théorème de

Gauss pour calculer le champ électrique au voisinage de ce conducteur.

Pour cela, choisissant une surface de Gauss convenable (Voir figure. IV.4)

La surface choisie est un cylindre fermé de surface : latéraleext SSSS int

Le flux du champ E à travers cette surface est donné par :

latéralextS

dSE int.

Soit : 0. LSlatéral dSEL Car LdSestE

0. intintintint

dSES Car le champ à l’intérieur est égal à zéro ( 0int E )

Figure IV.1: Champ au voisinage d’un conducteur chargé

0int (en volume) et 0 (en surface)

0int E 0int VCteV

0extE



extextextS

extext SEdSEext

.

La somme des charges à l’intérieur de la surface de Gauss : MS

SdSQ

M

int

Théorème de Gauss : 0

Mextext

SSE

Puisque Mext SSS int , on déduit le champ électrique au voisinage d’un conducteur chargé :

C’est le théorème de Coulomb.

n : Vecteur unitaire à la surface du conducteur est dirigé vers l’extérieur du conducteur.

Résumé : à l’équilibre électrostatique

Le champ électrique macroscopique résultant à l’intérieur d’un conducteur homogène est

nul.

Le champ électrique extérieur à proximité du conducteur est partout perpendiculaire à la

surface du conducteur (théorème de Coulomb : nE ext0

).

La charge excédentaire d’un conducteur (homogène) se répartit sur sa surface.

IV.5 Pression électrostatique

Considérons une sphère conductrice avec une charge surfacique σ.

Le champ créé à la surface SurE du conducteur est : 2

intEEE

extSur

D’après le théorème de Coulomb : nE ext0

et le champ à l’intérieur du conducteur est nul 0int E .

nEE

EIntvois

Sur

022

La force de Coulomb s’exerçant sur l’élément de surface de charge dq est :

0

2

0 22

dSdqEdqdF sur

D’où la pression électrostatique :

Elle s’exprime en Pascal (Pa)

Figure IV.2: Champ créé sur la surface d’un conducteur chargé.

nE ext0

0

2

2

dS

dFP



IV.6 Pouvoir des pointes

Si σ est la densité surfacique des charges portées par la surface du conducteur en équilibre.

L’expérience montre que la densité de charge σ varie en sens inverse du rayon de courbure R de

la surface du conducteur.

321

Si le conducteur présente une pointe, R est faible donc σ élevé, d’où E= σ/ε0 sera très intense au

voisinage de la pointe. Provoquera, au voisinage de la pointe, l’ionisation de l’air qui déchargera

la pointe.

Application : paratonnerres placés sur les édifices pour les protéger de la foudre.

Exemple :

Dans le cas d’un conducteur sphérique chargé uniformément en surface:

La densité de charge surfacique :

24 R

Q

Pour une charge Q donnée, la densité surfacique σ est plus élevée quand le rayon est petit.

IV.7 Capacité d’un conducteur en équilibre

Lorsqu’un conducteur en équilibre, sa charge totale Q est proportionnelle à son potentiel V. Le

coefficient de proportionnalité noté C est :

V

QC

C est appelé capacité du conducteur.

La capacité C caractérise le conducteur, elle dépend de la forme et des dimensions

géométriques du conducteur.

Remarques :

1) la capacité d’un conducteur est une grandeur positive.

2) Dans le SI , C s’exprime en Farad : le Farad est une unité très grande on utilise plutôt des

sous multiple :

Le microfarad: 1μF = 10-6 F, le nanofarad: 1nF = 10-9 F, le picofarad: 1pF = 10-12 F

Exemple : Capacité d’une sphère conductrice de centre O et de rayon



Considérons une sphère conductrice en équilibre portant une charge totale Q.

Q est réparti sur la surface avec une densité constante σ.

Le potentiel est constant à l’intérieur et sur la surface de la sphère.

Calculons V au centre de la sphère :

R

QdS

RR

dSV

000 44

1

4

1

Or V

QC RC 04

IV.8 Energie potentielle d’un conducteur en équilibre

On peut considérer qu’un conducteur en équilibre électrostatique est formé par un ensemble de

charges ponctuelles qi (i=1,2,…n) de potentielle Vi, donc :

L’énergie potentielle d’un conducteur (ensemble des charges surfaciques qi):

n

i

iip VqE12

1

Le conducteur est un équipotentiel (V= Cte), donc : iVVi

Donc l’énergie potentielle d’interaction d’un conducteur en équilibre électrostatique :

VqEn

i

ip

12

1

Puisque la charge totale du conducteur :

n

i

iqQ1

On sait que VCQ donc l’énergie potentielle d’interaction :

C

QVCVQEp

22

2

1

2

1

2

1

IV.9 Phénomène d’influence électrostatique

Tout corps chargé, produit un champ électrostatique, qui va perturber les autres conducteurs par

influence.

VQE p2

1



IV.9.1 Théorème des éléments correspondants

Considérons deux conducteurs C1 avec une charge q1>0 et C2 neutre, à proximité l’un de l’autre.

Figure IV.3: Deux conducteurs proche l’un de l’autre.

Rappelons que :

Une ligne de champ est perpendiculaire à la surface des conducteurs. Elle part d’une

région où la charge est positive.

Si on applique le théorème de Gauss sur un tube de champ qui commence sur un

conducteur et finit sur un autre. La Surface de Gauss est la surface dS (dS=dSlat+dS1+dS2)

s’appuyant sur le tube de champ.

Calculant le flux du champ E à travers la surface fermée S

En effet on a 0

int

321.

q

dSES

(*)

S dSE 0. 1int11 . Car le champ à l’intérieur de C1 est nul.

S dSE 0. 2int22 . Car le champ à l’intérieur de C2 est nul

S latlat dSE 0. .Car le champ E est perpendiculaire à la normale de la surface latérale du tube.

Compte tenu de la relation (*), on a :

00

int

q

Ce qui nous donne :

1'

2'

2'

1'

int 0)arg(0 qqqqchampdetubecedanscontenuesesChq

2211 dSdS

Conclusion : On dit que les surfaces des conducteurs à l’intérieur du tube de champ sont des

éléments correspondants et que les charges portées par ces éléments sont opposées.

Théorème des éléments correspondants : deux éléments correspondants portent des charges

égales et opposées.



IV.9.2 Influence partielle

L’influence électrostatique est partielle si toutes les lignes de champ issues de A n’aboutissent

pas en B et que la charge totale QA de A ne se retrouve pas totalement en B.

A B

Figure IV.4: Influence électrostatique partielle.

IV.9.3 Influence totale

Soient deux conducteurs A et B. A porte une charge QA >0 et B initialement neutre porte une

cavité.

Figure IV.5: Influence électrostatique totale.

Toutes les lignes de champ issues de A aboutissent sur B de façon à ce que la charge

totale de A se retrouve totalement au signe près en B.

L’influence totale apparaît lorsque le conducteur influencé B entoure le conducteur

influençant A. On a le phénomène suivant :

- Il apparaît, par influence totale, une charge AB QQ int sur la surface intérieure de B.

- La charge de la face extérieure de B dépend de sa charge initiale, et de son état (isolé

ou maintenu à V constant). On distingue 3 cas :

1èr cas : B isolé et initialement neutre. Puisque la charge totale doit rester nulle, il

apparaît sur la face externe la charge QBext = +QA

2ème cas : B isolé et porte initialement une charge Q’ => il apparaît sur sa face

externe la charge QBext = QA + Q’

3ème cas : B relié au sol => aucune charge sur sa face externe QBext =0.

IV.9.4 Exemples

IV.9.4.1 Influence subie par un conducteur isolé

B un conducteur isolé ne porte aucune charge : Q = 0, V = 0, E = 0.

On approche de B un corps A chargé positivement.



Action de A sur B => B influencé par A : des charges - apparaissent sur la partie de B

proche de A et des charges + sur la partie la plus éloignée.

Modification de la répartition des charges sur la surface de B,

B étant isolé => sa charge reste constante égale à sa valeur initiale.

Conclusion : le phénomène d’influence ne modifie pas la charge totale d’un conducteur isolé,

mais modifie uniquement la répartition de cette charge sur sa surface et donc son potentiel.

Remarque : si le conducteur B était initialement chargé, il conserve la même charge mais la

répartition en surface est modifiée.

IV.9.4.2 Influence subie par un conducteur maintenu à un potentiel constant

Le conducteur B est relié à un générateur qui maintient son potentiel constant ou bien à la terre

dont le potentiel est nul.

Lorsqu’on approche de B le corps A chargé positivement, il apparaît que des charges - sur B,

alors qu’il y’a déplacement des charges + vers la terre (c.à.d déplacement des e- de la Terre vers

B).

A B

Figure IV.6: Influence électrostatique d’un conducteur chargé sur un autre conducteur relié à la terre

Conclusion : Dans ce cas, le phénomène d’influence ne modifie pas le potentiel du conducteur,

mais modifie sa charge totale et la répartition de cette charge.

Remarque : lorsqu’on relie deux conducteurs A et B entre eux, cet ensemble forme un seul

conducteur de potentiel constant VA= VB=Cte.



IV.9.5 Ecran électrostatique

Soit un conducteur creux relié à la terre où le potentiel est nul (Vterre= 0). A l’extérieur de

ce conducteur on a 00,0 EetQV ext . Ce conducteur constitue un écran

électrostatique parfait qui protège des influences électrostatiques des corps intérieurs et

extérieurs.

Figure IV.7: Conducteur C1constirue un écran électrostatique

Applications :

Câbles électriques : Tout conducteur transportant un courant faible est entouré d’une

gaine métallique (appelée blindage) reliée au sol.

Protection contre la foudre : un paratonnerre est en général complété par un réseau de

câbles entourant l’édifice à protéger, reliés à la Terre.

Cage de Faraday : Il s’agit d’une grille métallique qui permet d'isoler un espace contre

l'influence des champs électriques extérieurs. A l'intérieur de la cage, le champ électrique est nul,

même si des charges sont placées à l'extérieur ou si la cage est reliée à un générateur

électrostatique.

Figure IV.8: Cage de Faraday

Masse des appareils électrique : Tous les appareils électriques sont reliés à la terre pour éviter l’électrocution des personnes dans le cas où une phase usée touche la carcasse de

l’appareil.

IV.9.6 Capacités et coefficients d’influence d’un système de conducteurs en équilibre

électrostatique

Soient n conducteurs C1, C2,…..Cn, de charges électriques Q1, Q2, …..Qn et au potentiels

V1, V2,……Vn, en équilibre électrostatique.

Les charges produites par la superposition des n états d’équilibre sur chaque conducteur

sont données par :

nnnnnn

nn

nn

VCVCVCQ

VCVCVCQ

VCVCVCQ

......

....

......

......

2211

22221212

12121111

Que l’on peut écrire sous forme matricielle :

4

2

1

1

33

2221

1131211

2

1

...

.........

............

.........

...

....

V

V

V

CC

C

CC

CCCC

Q

Q

Q

nnn

n

n

ou n

j

jiji VCQ

Edward Snowden, l’homme qui a révélé l’immense programme d’écoutes américain « PRISM », a l’habitude de placer son téléphone

portable dans un réfrigérateur pour que ses conversations ne soient pas

interceptées par les services de renseignements.

http://indicescibles.blogspot.com/2013/07/pourquoi-edward-nowden-

cache-son.html

http://www.futura-sciences.com/magazines/matiere/infos/dico/d/matiere-champ-electrique-3880/http://www.futura-sciences.com/magazines/maison/infos/dico/d/maison-generateur-10705/http://www.futura-sciences.com/magazines/maison/infos/dico/d/maison-electrostatique-10656/http://indicescibles.blogspot.com/2013/07/pourquoi-edward-nowden-cache-son.htmlhttp://indicescibles.blogspot.com/2013/07/pourquoi-edward-nowden-cache-son.html

Chapitre IV :

Documents

Electrostatique et électrocinétique...7. Angle solide coupant un élément de surface élémentaire dS situé à une Dans le cas où l’élément dS est pris sur la sphère de centre