Eléments de théorie des mécanismes

1

1 Hypothèses.

Solides indéformables,

Liaisons parfaites (sans frottement),

Contact bilatéral (le contact est supposé maintenu si le sens des actions mécaniques est inversé ; concerne surtout les liaisons appui plan, ponctuelle et linéique rectiligne).

2 Torseurs statique et cinématique d’une liaison. Soit dans le cas général, une liaison L1 entre les solides S1 et S2. Plaçons un repère local (A, x, y, z) au centre A de la liaison.

Le torseur d’action mécanique transmissible (TAMT) par la liaison est dans le cas général : Les composantes non nulles de ce torseur sont les inconnues statiques de la liaison. On note Ns ce nombre.

Le torseur cinématique de la liaison L1 (mouvement de S2/S1) en A est : Les composantes non nulles de ce torseur sont les inconnues cinématiques de la liaison. On note Nc ce nombre. On vérifie qu’entre Ns et Nc il existe la relation : Exemple : Pivot glissant. Glissière. Pivot. Remarque :

TAMT Torseur cinématique

AA

AA

ANZ

MY

00

00

00

Vω A xx

A

TAMT Torseur cinématique

AA

AA

A

ANZ

MY

L0

00

00

V0 A x

A

TAMT Torseur cinématique

AA

AA

A

ANZ

MY

0X

00

00

0ωx

A

1212

12

AA

AA12

A 12A 12

AS2 )A (S 1

S 2 )(S 1

A

S2 )(S 1

NZ

MY

LX

M

R

F

2 / 1A zz

A y 2 / 1y

A x 2 / 1x

A

(S 2 /S 1 )

Vω

Vω

Vω

V

Ns + Nc = 6

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2

La liaison étant parfaite, elle ne dissipe aucune puissance (pas de perte). On montrera en dynamique (programme de PT) que la puissance dissipée dans la liaison s’exprime par :

MA(S1S2).(S2/S1) + R(S1S2).VAS2/S1 = 0 Ce qui conduit dans le cas général à:

LA.x + MA.y + NA.z + XA.VAx+ YA.VAy+ ZA.VAz = 0 Chaque produit devant être nul, il faut que l’un des termes de chaque produit soit nul ; les torseurs statique et cinématique sont des torseurs réciproques. (Si on connait la forme de l’un on pourra en déduire la forme de l’autre).

Notion de degré de liberté entre deux solides.

Azz

Ayy

Axx

A

SS

V

V

V

V

)1/2( Dans le torseur cinématique ci-contre définissant le mouvement du solide S2

par rapport au solide S1, les six composantes du torseur sont des fonctions du temps soient : x(t), y(t),

z(t), VAx(t), VAy(t), VAz(t). Si ces 6 composantes sont indépendantes, alors le solide S2 possède 6 degrés de liberté par rapport au solide S1. Si ces composantes sont liées par n relations (n

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3

3 Graphe de liaison (ou graphe de structure) , mobilité du mécanisme. Il existe trois grands types de graphe de liaison :

- le graphe représentant une chaine cinématique ouverte, - le graphe représentant une chaine cinématique fermée, - le graphe représentant une chaine cinématique complexe.

Notion de degré de mobilité (m) d’un mécanisme. Le degré de mobilité d’un mécanisme est donné par le nombre de paramètres cinématiques indépendants parmi tous les paramètres cinématiques du système. Les paramètres cinématiques indépendants sont les paramètres qu’il faudra piloter pour réaliser la loi entrée/sortie désirée. On distingue deux types de mobilité :

- les mobilités utiles mu (ce sont les paramètres d’entrée qui fixent les paramètres de sortie→ loi entrée/sortie),

- les mobilités internes mi (mouvement interne de solides sans influence sur les lois entrée/sortie)

- on note m = mu + mi

Chaine complexe

3

2

4

6

5

1 L232 L13

L12

L231

L24

L35

L56

L26

L46

L45

Chaine ouverte

1 4

3 2

L12 L34

L23 Chaine fermée

5

1 2

3

4

L12

L51

L23

L45

L34

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4

31. Exemple de chaine ouverte : les bras de robot SCARA Graphe de liaison de ce mécanisme. Les trois paramètres cinématiques Ө21, Ө32 et λ43 sont tous indépendants les uns des autres. On a dans ce cas un mécanisme à trois mobilités utiles (il n’y a pas de mobilités internes dans ce mécanisme). On devra piloter chaque paramètre cinématique pour obtenir le positionnement souhaité du point M. Dans les robots, chaque liaison pilotée est appelée axe ; dans le cas représenté on a donc affaire à un robot SCARA 3 axes.

C

M

4

1

2

3

Pivot

(A, z1)

Pivot

(B, z1)

Glissière

(C, z1)

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5

32. Exemple de chaine fermée : ponceuse d’angle.

Graphe de liaison de ce mécanisme.

Le paramètre d’entrée est 21 (rotation du

moteur) et le paramètre de sortie est 41 (rotation du patin de ponçage).

Il existe une relation entre 41 et 21 ; c’est la loi entrée/sortie du système.

Les autres paramètres cinématiques (23, 43, λ32, λ34) ne sont pas indépendants, ils sont reliés entre eux par des relations faisant aussi intervenir les dimensions géométriques du mécanisme (longueur de AB de CD de AH4 et de BH2) Ce mécanisme possède donc une mobilité utile et aucune mobilité interne (aucun des paramètres cinématiques ne peut varier seul sans influencer les autres). 33. Chaine complexe. Exemple d’un système bielle manivelle.

4 1

2 3

Pivot

d’axe

(B, y1)

Pivot glissant

(C, y1)

Pivot d’axe

(A, z1)

Pivot glissant

(D, z1)

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6

Le paramètre d’entrée est la rotation du solide S1 (lié à un moteur) et le paramètre de sortie est le déplacement vertical de S5. Il existe une relation entre la rotation du solide S1 et le déplacement vertical de S5, c’est la loi entrée/sortie du système. Ce mécanisme possède donc une mobilité utile ; Ce mécanisme possède deux mobilités internes qui sont les rotations des solides S4 et S5 autour de l’axe (K y) ; en effet ces deux rotations n’influencent nullement la loi entrée/sortie. 4 Liaison équivalente.

Graphe de liaison

S0 S1 S5

S4

4

S3 S2

Pivot (A, x)

Linéaire

Annulaire (B, x)

Pivot (D, x) Rotule( I )

Pivot

Glissant

(E, y)

Pivot

(C, x)

Pivot Glissant

(K, y)

Rotule

( J )

Soit le graphe de

liaison suivant :

La liaison équivalente à l’ensemble des liaisons situées

entre les pièces S1 et S2 est la liaison théorique L12équiv

suivante (que l’on notera Léquiv pour simplifier l’écriture)

La liaison équivalente Léquiv a le même comportement

que l’association des liaisons réelles, c'est-à-dire qu’elle

transmet la même action mécanique et qu’elle autorise le

même mouvement.

On pourra définir pour cette liaison théorique, son

torseur statique et son torseur cinématique.

La liaison équivalente étant aussi une liaison parfaite, la

puissance dissipée dans la liaison est nulle, les torseurs

statique et cinématique de la liaison équivalente seront

donc des torseurs réciproques.

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7

5 Liaison série Approche statique. On isole S3 et on écrit le PFS :

0FF S3)ex tS3)/L2(S2 On isole (S3 + S2) et on écrit le PFS :

0FF S3)ex tS2)/L1(S1 On isole S3 et on écrit le PFS en considérant la liaison équivalente:

0FF S3)ex tS3)Léqu i v(S1 A partir de ces trois équations on peut écrire : De façon générale, si nous avions n liaisons en série il faudrait écrire l’égalité des n torseurs statiques. Approche cinématique. On cherche le comportement cinématique de S3/S1. Du fait de la composition de mouvement on peut écrire :

(S2 /S1)(S3 /S2)(S3 /S1) VVV

Or (S3 /S1)Léq i v VV On en conclut :

(S2 /S1)(S3 /S2)Léq i v VVV Si on avait n liaisons en série on, aurait la relation :

On considère deux liaisons en série, L1 et L2.

De plus, pour avoir un cas général, on suppose qu’une

action mécanique extérieure s’exerce sur S3.

On cherche la liaison équivalente à ces deux liaisons

en série.

Pour cela on utilisera les deux méthodes disponibles :

Méthode statique,

Méthode cinématique.

S3)Léq i v(S1S3)L2(S2S2)L1(S1 FFF

(S2 /S1)1 )(Sn /SnLéq i v V........VV

Sn)Léq i v(S11)Sn)L (n1)(S (n1)S i )L (i1 )(S (iS3)L2(S2S2)L1(S1 FFFFF

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6 Liaison parallèle.

Approche statique.

Le solide S2 est soumis à une action mécanique extérieure notée : )2( SextF . On isole S2 et on écrit le PFS :

S2)L1(S1F + S2)L2(S1F + S2)L3(S1F + S2)(ex tF = 0 On isole S2 et on écrit le PFS en considérant la liaison équivalente:

S2)Léqu i v(S1F + S2)(ex tF = 0 On en déduit :

S2)Léqu i v(S1F = S2)L1(S1F + S2)L2(S1F + S2)L3(S1F Si on a n liaisons en parallèle, ce torseur devient : Approche cinématique. Le torseur cinématique de la liaison équivalente doit être compatible avec tous les torseurs des liaisons en parallèle, ce qui implique :

(S2 /S1)L3(S2 /S1)L2(S2 /S1)L1u i v(S2 /S1)Léq VVVV Avec n liaisons en parallèle : Remarque importante:

lorsqu’on cherchera la liaison équivalente de liaisons en série, on utilisera préférentiellement l’approche statique (Ecrire l’égalité des torseurs statiques),

lorsqu’on cherchera la liaison équivalente de liaisons en parallèle, on utilisera préférentiellement l’approche cinématique (Ecrire l’égalité des torseurs cinématiques).

S2)Léqu i v(S1F = S2)L1(S1F +…. S2)L i(S 1F +… S2)Ln(S1F

(S2 /S1)Ln(S2 /S1)L i(S2 /S1)L1u i v(S2 /S1)Léq V.....V.......VV

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7 Notion d’hyperstatisme d’un système. Soit à étudier la liaison entre S2 et S1. S2 est en liaison pivot d’axe (A, x) en A et linéaire annulaire d’axe (B, x) en B avec S1. AB = L Isolons S2, les équations du PFS en A sont : Théorème de la résultante statique : Théorème du moment statique : Nous avons 5 équations utiles (l’équation de moment en projection sur x correspond à la mobilité du système) pour 7 inconnues ; on dira que le système est hyperstatique d’ordre 2. Il existe une relation fondamentale permettant de déterminer l’ordre (ou le degré) d’hyperstatisme d’un système : Avec :

h degré d’hyperstatisme du mécanisme ; lorsque h = 0 on dit que le système est isostatique,

∑Ns : somme des inconnues statique de chaque liaison du système

n : nombre de pièces du mécanisme ; (n-1) représente le nombre de pièces moins le bâti,

∑mu : somme des mobilités utiles du mécanisme,

∑mi : somme des mobilités internes du mécanisme. ∑mu représente le nombre de relations indépendantes qui existe entre les paramètres cinématiques d’entrée et de sortie du mécanisme. (C’est le nombre de loi entrée/sortie ; c’est aussi le nombre de paramètre indépendant qu’il faut fixer pour définir la configuration du système). ∑mi représente le nombre de relations indépendantes qui existe entre les paramètres cinématiques des pièces internes du mécanisme.

Graphe de liaison.

A B

x

y S2

S1

S1 S2

L1 :pivot d’axe (A, x)

L2 : LA d’axe (B, x)

h = ∑Ns – [6.(n -1)- ∑mu -∑mi]

XA = 0

YA + YB = 0

ZA + ZB = 0

0 + 0 = 0

MA – L.ZB = 0

NA + L.YB = 0

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Remarque : La recherche des mobilités est souvent intuitive, la recherche des mobilités internes est parfois délicate. Application de la relation fondamentale à l’exemple précédent. Ns = 7 (5 inconnues pour le pivot, 2 inconnues pour la LA) n = 2 mu = 1 (l’angle d’entrée = l’angle de sortie) mi = 0

h = 7 – [6*(2-1) – 1] = 2 on retrouve le résultat précédent (de façon beaucoup plus rapide).

Si on souhaite rendre ce système isostatique, il faut remplacer la liaison pivot (A, x) par une liaison rotule de centre A.

Si on veut annuler (ou limiter) les composantes statiques inconnues dues à l’hyperstatisme (ici MA et NA) il faut imposer des conditions géométriques sur des pièces. Dans le cas étudié il faut une concentricité entre l’alésage du pivot et l’alésage de la liaison linéaire annulaire. Ces conditions géométriques sont des dimensions, des parallélismes, des perpendicularités, des coaxialités.

8 Applications. Exemple 1 : pied d’appui.

Exemple 2 .

S1

S2

S3

A

B

y

x

Tracer le graphe de liaison puis déterminer la liaison

équivalente.

Quel est l’intérêt d’utiliser la rotule et l’appui plan ?

On donne _BA = d.y

Tracer le graphe de liaison puis déterminer

la liaison équivalente.

Déterminer h.

Conséquence de h sur la fabrication ?

Comment rendre le système isostatique ?

On donne _AB = d.x

S1 S2

A B

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Exemple 3 : Déterminer le degré d’hyperstatisme h du robot SCARA présenté au paragraphe 31. Exemple 4 Déterminer le degré d’hyperstatisme h du de la ponceuse à vibrations rotatives. Conséquences de h sur la fabrication ?

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Exemple 5 : système bielle manivelle.

Déterminer h.

Conséquence de h sur la fabrication ?

Comment rendre le système isostatique ?