Energie

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

LycéeClemenceau

PCSI 1 (O.Granier)

Energie

(mécanique du point matériel)

Olivier GRANIER


� 1 - Énergie cinétique :(Dans toute la suite, on considère un point matériel M (m), de vitesse dans un référentiel (R) galiléen.)

L’énergie cinétique du point matériel est :

vr

2

2

1vmEc

r=

Ec s’exprime dans le SI en Joule :

Autres unités d’énergie :

22..11

−= smkgJ

JeV19

10.6,11−=

MJJhkW 6,310.6,3.16 ==

Jcal 18,41 =

Olivier GRANIER


� 2 - Théorème de l’énergie cinétique :Le PFD appliqué au point matériel dans le référentiel (R) supposé galiléen donne :

dt

vdmf

rr

=

On multiplie scalairement cette équation par le vecteur vitesse :

vdt

vdmvf

rr

rr..

=

dt

dEv

dt

dmv

dt

vdmor c=

=

2

2

1.

rrr

Par conséquent : cc dEdtvfou

dt

dEvf ==

rrrr..

Interprétation : entre les instants t et t+dt, l’énergie cinétique de M varie d’une quantité qui dépend de la force et du déplacement du point, appelée travail de la force lors du déplacement et notée .

dtvrdrr

=

fW rδrd

rfr

Olivier GRANIER


Travail élémentaire d’une force :

rdfdtvfWf

rrrrr .. ==δ

Travail total d’une force lors d’un déplacement de A à B :

∫∫ ==

ABAB

AB

CC

CfrdfdtvfWrrrr

r ..,

ABAB CfCfWW

,',rr ≠

Le travail dépend a priori du trajet choisi pour aller de A à B :

Si la force est constante, alors :

[ ] ABfOMfrdfWB

A

C

Cf

AB

AB

...,

rrrrr === ∫

A

B

CAB

C’AB

MM’

fr

dtvrdrr

=

O(Remarque : le travail de deux forces est additif)

Olivier GRANIER


Puissance instantanée d’une force :

vfdt

WP

f

f

rrr

r .==δ (Une puissance s’exprime en

Watt (W) dans le SI)

Enoncé du théorème de l’énergie cinétique :

La variation d’énergie cinétique d’un point matériel est égale à la somme des travaux des forces qui lui sont appliquées :

• Sous forme élémentaire (entre t et t+dt) :

• Sous forme intégrée :

On parle également du théorème de la puissance cinétique : dt

dEvFP c

F==

rrr .

Fr

∫==−=∆ABC

Fccc rdFWAEBEErr

r .)()(

dtvFrdFWdEFc

rrrrr .. === δ

Olivier GRANIER


� 3 - Exemples de forces conservatives :� La tension d’un ressort :

Tr

xur

l xOx

Le travail élémentaire de la tension lors d’un déplacement s’écrit :xudxrd

rr=

dxkxudxukrdTW xxT..).(. 0 −=−−==

rrll

rrrδ

Ce travail peut s’écrire sous la forme d’une différentielle :

−=−= 2

2

1. kxddxkxW

Trδ

On pose : 2

2

1kxE p = (à une constante près)

Alors : PTPT

EWetdEW ∆−=−= rrδ

Ep est appelée énergie potentielle élastique de la masse m (elle est définie à une constante près).

M(m)

Simulation Java

Olivier GRANIER


Relation entre la force et l’énergie potentielle : en dérivant l’énergie potentielle par rapport au déplacement x, on obtient :

x

pppu

dx

dETet

dx

dETsoitkx

dx

dE rr−=−==

Cette relation entre la force et l’énergie potentielle est générale.

� Le poids d’un corps :

Le travail du poids d’un corps M(m) lors d’un déplacement s’écrit : rdr

rdgmW gm

rrr .=δz

O

Mhgmr

gr

xy

z

zyx

ugg

udzudyudxrdrr

rrrr

−=

++=

Pgm dEmgzdmgdzW −=−=−= )(rδ

A

Bzur

Olivier GRANIER


On définit ainsi mgzEP = comme étant l’énergie potentielle de pesanteur du point M.

Elle ne dépend que de la cote de z. Le travail total du poids de M pour aller de A à B est ainsi :

mghW ABgm =,r

Ce travail ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement de la dénivellation entre les points A et B.

Relation entre la force et l’énergie potentielle : en dérivant par rapport à la cote z, on obtient :

z

pppu

dz

dEgmet

dz

dEmgsoitmg

dz

dE rr−=−=−=

Remarque : si l’axe (Oz) est orienté vers le bas, alors . Il faut donc bien préciser l’orientation choisie pour l’axe (Oz) ! Un bon moyen de vérifier si l’expression utilisée est correcte consiste à vérifier que l’énergie potentielle de pesanteur augmente toujours avec l’altitude.

mgzEP −=

Olivier GRANIER


� La force gravitationnelle :

On considère une masse M immobile en O et un point matériel P(m) mobile. Le travail élémentaire de la force gravitationnelle subie par le point P est :

P(m)

O(M)x y

z

rur

rur

mMGf

rr

2−=

r = OP

rdr

rdur

mMGrdfW rf

rrrrr ..

2−==δ

)()()( rrr udrudrurdrdrrrr

+==

)(.)()(.)(.2

rrrrrr udurdrudurudrrdurrrrrrr

+=+=

)1(02

1

2

1)(.:

22 ==

=

= rrrr udududuMais

rrrr

−−=−=

r

mMGddr

r

mMGWoùD

f 2:' rδ

Olivier GRANIER


On définit alors l’énergie potentielle gravitationnelle EP telle que :

PfP dEWalorsr

mMGE −=−= rδ

Par convention, on choisit une énergie potentielle nulle à l’infini.

Relation entre la force et l’énergie potentielle : en dérivant Ep(r) par rapport à la variable r, on obtient :

rPPP u

dr

dEfet

dr

dEfsoit

r

mMG

dr

dE rr−=−==

2

On retrouve, là encore, une relation identique à celles vues pour les deux forces précédentes (la variable est ici la distance r).

Olivier GRANIER


� La force coulombienne :

On considère une charge Q immobile en O et un point matériel P(m,q) mobile. La force coulombienne subie par le point P est :

rur

qQf

rr

204

1

πε=

Ainsi, les résultats obtenus avec la force gravitationnelle peuvent être transposés pour la force coulombienne en faisant l’analogie formelle suivante :

mMqQG ⇔−⇔ ;4

1

0πε

rP

PfP udr

dEfetdEWalors

r

qQE

rrr −=−== δ

πε04

1

L’énergie potentielle coulombienne est alors :

Olivier GRANIER


� 4 - Généralisation : � Energie potentielle et force conservative :

On dit qu’une force dérive d’une énergie potentielle EP si le travail de la force peut s’écrire comme :

fr

PfPfEWoudErdfW ∆−=−== rr

rr.δ

Cette force est alors appelée force conservative.

Conséquence importante : « Le travail d’une force conservative est indépendant de la trajectoire suivie et ne dépend que des positions initiale et finale et est égale à la diminution de l’énergie potentielle (-∆∆∆∆EP). »

Ainsi, pour calculer le travail de la force, il suffira juste de connaître la fonction EP et calculer sa diminution.

Olivier GRANIER


� Relation entre la force et la dérivée de l’énergie potentielle

Si EP(x) dépend d’une des variables cartésiennes (par exemple, x) :

PxxfdEdxxfudxuxfrdxfW −==== )().()().(

rrrrrδ

D’où : xPP u

dx

dExfet

dx

dExf

rr−=−= )()(

Si EP(r) dépend de la variable r = OM :

PfdEdrrfrdrfW −=== )().(

rrrδ

D’où : rPP u

dr

dErfet

dr

dErf

rr−=−= )()(

Ce sont ces relations qu’il faut désormais utiliser pour passer de la force à l’énergie potentielle, et vice versa.

Olivier GRANIER


Exemples :

?)(;3

1

2

1)(

32xfaxkxxEP

r+=

xxP ubxux

kxfxE

rrr+−== )(;?)(

rrP ur

cu

r

krfrE

rrr

32)(;?)( +−==

Olivier GRANIER


� Energie mécanique et intégrale première du mouvement :

Soit un point matériel M soumis à une force conservative . Le théorème de l’énergie cinétique appliqué dans un référentiel galiléen donne :

fr

0=+−== PcPfc dEdEsoitdEWdE rδ

0)( =+ Pc EEd

On définit alors : , l’énergie mécanique du point matériel M.

Elle est constante puisque : Pcm EEE +=

0=mdE

mouvementducsteEEEE mPcm ==+= 0

Si le point matériel est soumis à plusieurs forces conservatives (poids et tension d’un ressort), on définira alors l’énergie mécanique comme :

csteEEEE ressortPpesanteurPcm =++= ,,

Olivier GRANIER


« Lorsqu’un point matériel est soumis uniquement à des forces conservatives (c’est-à-dire pour lesquelles on peut définir des énergies potentielles), son énergie mécanique (somme de son énergie cinétique et des différentes énergies potentielles) reste constante lors du mouvement. »

Il y a transfert incessant entre ces deux formes « cinétique » et « potentielle » de l’énergie.

Olivier GRANIER


La conservation de l’énergie mécanique fait intervenir les coordonnées de M (dans les énergies potentielles) et sa vitesse (dans l’énergie cinétique) : c’est donc une équation différentielle du 1er ordre, appelée intégrale 1ère du mouvement.

Nous verrons en exercice qu’il est souvent préférable d’utiliser cette intégrale 1ère même si l’on souhaite déterminer la nature de la trajectoire ; en effet, on élimine les forces qui ne travaillent pas et, par dérivation, on peut revenir à l’accélération et donc au PFD.

Olivier GRANIER


Forme intégrale Forme différentielle

Forme locale

rP

rxP

x udr

rdEurffu

dx

xdEuxff

rrrrrr )()(;

)()( −==−==

[ ] ∫==−−=∆−B

AfPPP rdfWAEBEE

rrr .)()( rdfWdE

fP

rrr .==− δ

TABLEAU RECAPITULATIF

Olivier GRANIER


Energie mécanique – Intégrale 1ère du mouvement

0

0

2

0

2

0

2

0

22

4

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

m

m

m

m

Er

qQmv

Er

mMGmv

Emgzmv

Ekxmv

=+

=−

=±

=+

πε

Tension d’un ressort :

Champ de pesanteur :

Champ gravitationnel :

Champ coulombien :

( : dépend de l’orientation de l’axe (Oz))

±

Olivier GRANIER


� 5 - Quelques exemples d’utilisation de l’intégrale 1ère du mouvement : � Vitesse de libération (interaction gravitationnelle)

Quelle vitesse initiale minimale vlim faut-il communiquer à un point matériel situé à la surface de la Terre pour qu’il échappe à l’attraction gravitationnelle terrestre ?

Avec , on obtient :

02

1 2lim0 =−=+=

T

TPcm

R

mMGmvEEE

T

T

R

GMv

2lim =

20

T

T

R

GMg =

)3706(.2,1121

0lim kmRskmgRv TT === −

Olivier GRANIER


� Quelques exemples d’utilisation de l’intégrale 1ère du mouvement :

� Limites de trajectoire et énergie (interaction coulombienne) : (ex n°4)

Une particule fixe, de charge électrique + q (q > 0), est placée à l'origine O d'un axe (Ox) : tout le problème se déroule sur cet axe. On néglige le poids des particules.

� a) On lance à une distance a de O une seconde particule, de charge - q et de masse m, dans une direction tendant à l'éloigner de O. Quelle vitesse initiale v0doit-on lui communiquer pour qu'elle échappe à l'attraction de la particule fixe en O ?

� b) La particule mobile a maintenant la charge + q et sa vitesse initiale est v0et est dirigée vers O. Montrer que cette particule ne peut atteindre O ; calculer la distance minimale d'approche b en fonction de v0.

Olivier GRANIER


x

qxEP

2

04

1)(

πε=

)(xEP

xO

a

qmvEm

2

0

200

4

1

2

1

πε+=

b x a

Pcm EEE +=0

)(aEc

)(xEc

0)(

0)(

mP

c

EbE

bE

=

=

)(xEP

)(aEP

A

B

Olivier GRANIER


� Quelques exemples d’utilisation de l’intégrale 1ère du mouvement : � Equation différentielle du pendule (étude énergétique), ex n°6

M(m)

Tr

l

θθθ uv &l

r=

O

z

zur

rur

θur

gmr

La tension ne travaille pas (perpendiculaire au déplacement) ; le système est conservatif :

θθ cos;;2

12

0 l&l ==−= zvmgzmvEm

θθ cos2

1 220 l&l mgmEm −=

θθθθ sin020 &l&&&l mgm

dt

dEm +==

D’où l’intégrale 1ère du mouvement :

En dérivant par rapport au temps :

Soit l’équation différentielle du mouvement : 0sinsin20 =+=+ θωθθθ &&

l

&& g

Simulation Java

Olivier GRANIER


� Quelques exemples d’utilisation de l’intégrale 1ère du mouvement : � Etats liés, états libres : (exercice n°5)

==−= )11,()(

2betaici

x

b

x

axU

)(xU

−

∞→→=+∞= 0)(lim;)(lim

0xUxU

xx

a) Etude mathématique :

a

brUUet

b

axpour

dx

xdU

4)(

20

)(2

minminmin −====

b) Petits mouvements :

)()(8

)( minmin3

4

xxkxxa

bxf −−=−−=

3

40

03

420

82

1

2;

8 ma

b

ma

b

m

k

ππ

ωνω ====

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� 6 - Équilibre d’un point et conditions de stabilité :� Conditions d’équilibre :

On suppose que l’énergie potentielle ne dépend que de la variable x, EP(x). La force s’écrit :

xP u

dx

dExf

rr−=)(

Une position d’équilibre correspond à une force nulle (et vitesse initiale nulle) :

00)( ==dx

dEdoncxf P

C’est-à-dire à un extremum de l’énergie potentielle.

Olivier GRANIER


� Conditions de stabilité :

Une position d’équilibre stable va correspondre à la condition :

000 <<>dx

dfsoitdfalorsdx

On en déduit, en remarquant que : 2

2

dx

Ed

dx

dE

dx

d

dx

df PP −=

−=

Equilibre stable :

Equilibre instable :

Equilibre indifférent :

02

2

>dx

Ed P

02

2

<dx

Ed P

02

2

=dx

Ed P

PE

x

C’est-à-dire EP minimale

C’est-à-dire EP maximale

PE

x

Olivier GRANIER


� Exemple :

Un point matériel M(m) est astreint à se déplacer sans frottement le long d’un axe (Ox). Il est relié à un point A par l’intermédiaire d’un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide .

Etudier l’équilibre de M (existence et stabilité).

h>0l

),( 0lk

M(m) xO

A

h

( )

( )0

22

22

2

0

22

2

1)(

l

l

−+

+=

−+=

xhxh

xk

dx

dE

xhkxE

P

P

22

00

:0

hxxoux

pourdx

dE

m

P

−±=±==

=

l

Olivier GRANIER


)5,1;1(0

mmh == l

)(xEP

x

22

0 hxm −= l

2

0 )(2

1)0( l−= hkEP

mx−

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� Exercice n°7 (la porte de garage) :

Une porte de garage P1P2 de longueur 2L peut se mettre en mouvement : P2 se déplace sur l’axe (Cy) sans frottement, P1 a un mouvement circulaire de rayon L autour de (Oz). On modélise cette porte en s’intéressant uniquement au triangle OAM (une masse m étant placée en M). La tige OM est rigide, de masse négligeable et de rayon R. Un ressort de longueur à vide et de raideur k, exerce une force de rappel sur le point M (constamment dirigée vers le point A).

a) Exprimer l’énergie potentielle du point matériel M(m) en fonction de l’angle θθθθ.

b) Déterminer les positions d’équilibre du point matériel M(m) et discuter leur stabilité. Conclure.

Données :

C

A

OR

P1

P2

θM

L

10 .00050;2,112;110;10;30

−======= mNkmRmRLcmRkgm l

yur

xur

Olivier GRANIER


Energie potentielle de pesanteur : cstemgRE pesp += θcos,

Energie potentielle élastique :

Energie potentielle totale (en choisissant la constante nulle) :

[ ] 2

02/122

,

222

20,

)cos2(2

1

cos2;:

)(2

1

l

l

−++=

++=−=

−=

θ

θ

LRRLkE

LRRLAMOAOMAMOr

AMkE

élp

élp

[ ] 2

02/122

,, )cos2(2

1cos l−+++=+= θθ LRRLkmgREEE élppespp

Numériquement : 22/1

)12)cos20101((00025cos3,294 −++= θθpE

Olivier GRANIER


La porte de garage est donc dans une position stable en position haute (porte ouverte) et instable en position basse (porte fermée) ; de cette manière, il est facile d’ouvrir la porte.

EP(θθθθ), en J

θθθθ, en rad

θ = πθ = πθ = πθ = π

Olivier GRANIER


� 8 - Approche du portrait de phase : (exercice n°6)0n considère un pendule simple de longueur que l'on écarte sans vitesse initiale de l'angle θθθθ0 par rapport à la verticale descendante.

Le pendule est soumis à des frottements fluides et son équation différentielle devient :

Son portrait de phase est donné sur la figure, avec :

* A quoi voit-on qu’il y a des frottements ? * Indiquer les positions d’équilibre stables et instables.* Commenter l’allure des différentes courbes.

l

0sin20 =++ θωθθ &&& h

110 5,0.5

−− == shetsradω

Olivier GRANIER


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� Approche du portrait de phase :

Fichier Maple

(Pendule simple)

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