Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
LycéeClemenceau
PCSI 1 (O.Granier)
Energie
(mécanique du point matériel)
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� 1 - Énergie cinétique :(Dans toute la suite, on considère un point matériel M (m), de vitesse dans un référentiel (R) galiléen.)
L’énergie cinétique du point matériel est :
vr
2
2
1vmEc
r=
Ec s’exprime dans le SI en Joule :
Autres unités d’énergie :
22..11
−= smkgJ
JeV19
10.6,11−=
MJJhkW 6,310.6,3.16 ==
Jcal 18,41 =
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� 2 - Théorème de l’énergie cinétique :Le PFD appliqué au point matériel dans le référentiel (R) supposé galiléen donne :
dt
vdmf
rr
=
On multiplie scalairement cette équation par le vecteur vitesse :
vdt
vdmvf
rr
rr..
=
dt
dEv
dt
dmv
dt
vdmor c=
=
2
2
1.
rrr
Par conséquent : cc dEdtvfou
dt
dEvf ==
rrrr..
Interprétation : entre les instants t et t+dt, l’énergie cinétique de M varie d’une quantité qui dépend de la force et du déplacement du point, appelée travail de la force lors du déplacement et notée .
dtvrdrr
=
fW rδrd
rfr
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Travail élémentaire d’une force :
rdfdtvfWf
rrrrr .. ==δ
Travail total d’une force lors d’un déplacement de A à B :
∫∫ ==
ABAB
AB
CC
CfrdfdtvfWrrrr
r ..,
ABAB CfCfWW
,',rr ≠
Le travail dépend a priori du trajet choisi pour aller de A à B :
Si la force est constante, alors :
[ ] ABfOMfrdfWB
A
C
Cf
AB
AB
...,
rrrrr === ∫
A
B
CAB
C’AB
MM’
fr
dtvrdrr
=
O(Remarque : le travail de deux forces est additif)
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Puissance instantanée d’une force :
vfdt
WP
f
f
rrr
r .==δ (Une puissance s’exprime en
Watt (W) dans le SI)
Enoncé du théorème de l’énergie cinétique :
La variation d’énergie cinétique d’un point matériel est égale à la somme des travaux des forces qui lui sont appliquées :
• Sous forme élémentaire (entre t et t+dt) :
• Sous forme intégrée :
On parle également du théorème de la puissance cinétique : dt
dEvFP c
F==
rrr .
Fr
∫==−=∆ABC
Fccc rdFWAEBEErr
r .)()(
dtvFrdFWdEFc
rrrrr .. === δ
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� 3 - Exemples de forces conservatives :� La tension d’un ressort :
Tr
xur
l xOx
Le travail élémentaire de la tension lors d’un déplacement s’écrit :xudxrd
rr=
dxkxudxukrdTW xxT..).(. 0 −=−−==
rrll
rrrδ
Ce travail peut s’écrire sous la forme d’une différentielle :
−=−= 2
2
1. kxddxkxW
Trδ
On pose : 2
2
1kxE p = (à une constante près)
Alors : PTPT
EWetdEW ∆−=−= rrδ
Ep est appelée énergie potentielle élastique de la masse m (elle est définie à une constante près).
M(m)
Simulation Java
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Relation entre la force et l’énergie potentielle : en dérivant l’énergie potentielle par rapport au déplacement x, on obtient :
x
pppu
dx
dETet
dx
dETsoitkx
dx
dE rr−=−==
Cette relation entre la force et l’énergie potentielle est générale.
� Le poids d’un corps :
Le travail du poids d’un corps M(m) lors d’un déplacement s’écrit : rdr
rdgmW gm
rrr .=δz
O
Mhgmr
gr
xy
z
zyx
ugg
udzudyudxrdrr
rrrr
−=
++=
Pgm dEmgzdmgdzW −=−=−= )(rδ
A
Bzur
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On définit ainsi mgzEP = comme étant l’énergie potentielle de pesanteur du point M.
Elle ne dépend que de la cote de z. Le travail total du poids de M pour aller de A à B est ainsi :
mghW ABgm =,r
Ce travail ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement de la dénivellation entre les points A et B.
Relation entre la force et l’énergie potentielle : en dérivant par rapport à la cote z, on obtient :
z
pppu
dz
dEgmet
dz
dEmgsoitmg
dz
dE rr−=−=−=
Remarque : si l’axe (Oz) est orienté vers le bas, alors . Il faut donc bien préciser l’orientation choisie pour l’axe (Oz) ! Un bon moyen de vérifier si l’expression utilisée est correcte consiste à vérifier que l’énergie potentielle de pesanteur augmente toujours avec l’altitude.
mgzEP −=
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� La force gravitationnelle :
On considère une masse M immobile en O et un point matériel P(m) mobile. Le travail élémentaire de la force gravitationnelle subie par le point P est :
P(m)
O(M)x y
z
rur
rur
mMGf
rr
2−=
r = OP
rdr
rdur
mMGrdfW rf
rrrrr ..
2−==δ
)()()( rrr udrudrurdrdrrrr
+==
)(.)()(.)(.2
rrrrrr udurdrudurudrrdurrrrrrr
+=+=
)1(02
1
2
1)(.:
22 ==
=
= rrrr udududuMais
rrrr
−−=−=
r
mMGddr
r
mMGWoùD
f 2:' rδ
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On définit alors l’énergie potentielle gravitationnelle EP telle que :
PfP dEWalorsr
mMGE −=−= rδ
Par convention, on choisit une énergie potentielle nulle à l’infini.
Relation entre la force et l’énergie potentielle : en dérivant Ep(r) par rapport à la variable r, on obtient :
rPPP u
dr
dEfet
dr
dEfsoit
r
mMG
dr
dE rr−=−==
2
On retrouve, là encore, une relation identique à celles vues pour les deux forces précédentes (la variable est ici la distance r).
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� La force coulombienne :
On considère une charge Q immobile en O et un point matériel P(m,q) mobile. La force coulombienne subie par le point P est :
rur
qQf
rr
204
1
πε=
Ainsi, les résultats obtenus avec la force gravitationnelle peuvent être transposés pour la force coulombienne en faisant l’analogie formelle suivante :
mMqQG ⇔−⇔ ;4
1
0πε
rP
PfP udr
dEfetdEWalors
r
qQE
rrr −=−== δ
πε04
1
L’énergie potentielle coulombienne est alors :
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� 4 - Généralisation : � Energie potentielle et force conservative :
On dit qu’une force dérive d’une énergie potentielle EP si le travail de la force peut s’écrire comme :
fr
PfPfEWoudErdfW ∆−=−== rr
rr.δ
Cette force est alors appelée force conservative.
Conséquence importante : « Le travail d’une force conservative est indépendant de la trajectoire suivie et ne dépend que des positions initiale et finale et est égale à la diminution de l’énergie potentielle (-∆∆∆∆EP). »
Ainsi, pour calculer le travail de la force, il suffira juste de connaître la fonction EP et calculer sa diminution.
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� Relation entre la force et la dérivée de l’énergie potentielle
Si EP(x) dépend d’une des variables cartésiennes (par exemple, x) :
PxxfdEdxxfudxuxfrdxfW −==== )().()().(
rrrrrδ
D’où : xPP u
dx
dExfet
dx
dExf
rr−=−= )()(
Si EP(r) dépend de la variable r = OM :
PfdEdrrfrdrfW −=== )().(
rrrδ
D’où : rPP u
dr
dErfet
dr
dErf
rr−=−= )()(
Ce sont ces relations qu’il faut désormais utiliser pour passer de la force à l’énergie potentielle, et vice versa.
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Exemples :
?)(;3
1
2
1)(
32xfaxkxxEP
r+=
xxP ubxux
kxfxE
rrr+−== )(;?)(
rrP ur
cu
r
krfrE
rrr
32)(;?)( +−==
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� Energie mécanique et intégrale première du mouvement :
Soit un point matériel M soumis à une force conservative . Le théorème de l’énergie cinétique appliqué dans un référentiel galiléen donne :
fr
0=+−== PcPfc dEdEsoitdEWdE rδ
0)( =+ Pc EEd
On définit alors : , l’énergie mécanique du point matériel M.
Elle est constante puisque : Pcm EEE +=
0=mdE
mouvementducsteEEEE mPcm ==+= 0
Si le point matériel est soumis à plusieurs forces conservatives (poids et tension d’un ressort), on définira alors l’énergie mécanique comme :
csteEEEE ressortPpesanteurPcm =++= ,,
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« Lorsqu’un point matériel est soumis uniquement à des forces conservatives (c’est-à-dire pour lesquelles on peut définir des énergies potentielles), son énergie mécanique (somme de son énergie cinétique et des différentes énergies potentielles) reste constante lors du mouvement. »
Il y a transfert incessant entre ces deux formes « cinétique » et « potentielle » de l’énergie.
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La conservation de l’énergie mécanique fait intervenir les coordonnées de M (dans les énergies potentielles) et sa vitesse (dans l’énergie cinétique) : c’est donc une équation différentielle du 1er ordre, appelée intégrale 1ère du mouvement.
Nous verrons en exercice qu’il est souvent préférable d’utiliser cette intégrale 1ère même si l’on souhaite déterminer la nature de la trajectoire ; en effet, on élimine les forces qui ne travaillent pas et, par dérivation, on peut revenir à l’accélération et donc au PFD.
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Forme intégrale Forme différentielle
Forme locale
rP
rxP
x udr
rdEurffu
dx
xdEuxff
rrrrrr )()(;
)()( −==−==
[ ] ∫==−−=∆−B
AfPPP rdfWAEBEE
rrr .)()( rdfWdE
fP
rrr .==− δ
TABLEAU RECAPITULATIF
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Energie mécanique – Intégrale 1ère du mouvement
0
0
2
0
2
0
2
0
22
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
m
m
m
m
Er
qQmv
Er
mMGmv
Emgzmv
Ekxmv
=+
=−
=±
=+
πε
Tension d’un ressort :
Champ de pesanteur :
Champ gravitationnel :
Champ coulombien :
( : dépend de l’orientation de l’axe (Oz))
±
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� 5 - Quelques exemples d’utilisation de l’intégrale 1ère du mouvement : � Vitesse de libération (interaction gravitationnelle)
Quelle vitesse initiale minimale vlim faut-il communiquer à un point matériel situé à la surface de la Terre pour qu’il échappe à l’attraction gravitationnelle terrestre ?
Avec , on obtient :
02
1 2lim0 =−=+=
T
TPcm
R
mMGmvEEE
T
T
R
GMv
2lim =
20
T
T
R
GMg =
)3706(.2,1121
0lim kmRskmgRv TT === −
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� Quelques exemples d’utilisation de l’intégrale 1ère du mouvement :
� Limites de trajectoire et énergie (interaction coulombienne) : (ex n°4)
Une particule fixe, de charge électrique + q (q > 0), est placée à l'origine O d'un axe (Ox) : tout le problème se déroule sur cet axe. On néglige le poids des particules.
� a) On lance à une distance a de O une seconde particule, de charge - q et de masse m, dans une direction tendant à l'éloigner de O. Quelle vitesse initiale v0doit-on lui communiquer pour qu'elle échappe à l'attraction de la particule fixe en O ?
� b) La particule mobile a maintenant la charge + q et sa vitesse initiale est v0et est dirigée vers O. Montrer que cette particule ne peut atteindre O ; calculer la distance minimale d'approche b en fonction de v0.
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x
qxEP
2
04
1)(
πε=
)(xEP
xO
a
qmvEm
2
0
200
4
1
2
1
πε+=
b x a
Pcm EEE +=0
)(aEc
)(xEc
0)(
0)(
mP
c
EbE
bE
=
=
)(xEP
)(aEP
A
B
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� Quelques exemples d’utilisation de l’intégrale 1ère du mouvement : � Equation différentielle du pendule (étude énergétique), ex n°6
M(m)
Tr
l
θθθ uv &l
r=
O
z
zur
rur
θur
gmr
La tension ne travaille pas (perpendiculaire au déplacement) ; le système est conservatif :
θθ cos;;2
12
0 l&l ==−= zvmgzmvEm
θθ cos2
1 220 l&l mgmEm −=
θθθθ sin020 &l&&&l mgm
dt
dEm +==
D’où l’intégrale 1ère du mouvement :
En dérivant par rapport au temps :
Soit l’équation différentielle du mouvement : 0sinsin20 =+=+ θωθθθ &&
l
&& g
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� Quelques exemples d’utilisation de l’intégrale 1ère du mouvement : � Etats liés, états libres : (exercice n°5)
==−= )11,()(
2betaici
x
b
x
axU
)(xU
−
∞→→=+∞= 0)(lim;)(lim
0xUxU
xx
a) Etude mathématique :
a
brUUet
b
axpour
dx
xdU
4)(
20
)(2
minminmin −====
b) Petits mouvements :
)()(8
)( minmin3
4
xxkxxa
bxf −−=−−=
3
40
03
420
82
1
2;
8 ma
b
ma
b
m
k
ππ
ωνω ====
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� 6 - Équilibre d’un point et conditions de stabilité :� Conditions d’équilibre :
On suppose que l’énergie potentielle ne dépend que de la variable x, EP(x). La force s’écrit :
xP u
dx
dExf
rr−=)(
Une position d’équilibre correspond à une force nulle (et vitesse initiale nulle) :
00)( ==dx
dEdoncxf P
C’est-à-dire à un extremum de l’énergie potentielle.
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� Conditions de stabilité :
Une position d’équilibre stable va correspondre à la condition :
000 <<>dx
dfsoitdfalorsdx
On en déduit, en remarquant que : 2
2
dx
Ed
dx
dE
dx
d
dx
df PP −=
−=
Equilibre stable :
Equilibre instable :
Equilibre indifférent :
02
2
>dx
Ed P
02
2
<dx
Ed P
02
2
=dx
Ed P
PE
x
C’est-à-dire EP minimale
C’est-à-dire EP maximale
PE
x
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� Exemple :
Un point matériel M(m) est astreint à se déplacer sans frottement le long d’un axe (Ox). Il est relié à un point A par l’intermédiaire d’un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide .
Etudier l’équilibre de M (existence et stabilité).
h>0l
),( 0lk
M(m) xO
A
h
( )
( )0
22
22
2
0
22
2
1)(
l
l
−+
+=
−+=
xhxh
xk
dx
dE
xhkxE
P
P
22
00
:0
hxxoux
pourdx
dE
m
P
−±=±==
=
l
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)5,1;1(0
mmh == l
)(xEP
x
22
0 hxm −= l
2
0 )(2
1)0( l−= hkEP
mx−
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Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
� Exercice n°7 (la porte de garage) :
Une porte de garage P1P2 de longueur 2L peut se mettre en mouvement : P2 se déplace sur l’axe (Cy) sans frottement, P1 a un mouvement circulaire de rayon L autour de (Oz). On modélise cette porte en s’intéressant uniquement au triangle OAM (une masse m étant placée en M). La tige OM est rigide, de masse négligeable et de rayon R. Un ressort de longueur à vide et de raideur k, exerce une force de rappel sur le point M (constamment dirigée vers le point A).
a) Exprimer l’énergie potentielle du point matériel M(m) en fonction de l’angle θθθθ.
b) Déterminer les positions d’équilibre du point matériel M(m) et discuter leur stabilité. Conclure.
Données :
C
A
OR
P1
P2
θM
L
10 .00050;2,112;110;10;30
−======= mNkmRmRLcmRkgm l
yur
xur
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Energie potentielle de pesanteur : cstemgRE pesp += θcos,
Energie potentielle élastique :
Energie potentielle totale (en choisissant la constante nulle) :
[ ] 2
02/122
,
222
20,
)cos2(2
1
cos2;:
)(2
1
l
l
−++=
++=−=
−=
θ
θ
LRRLkE
LRRLAMOAOMAMOr
AMkE
élp
élp
[ ] 2
02/122
,, )cos2(2
1cos l−+++=+= θθ LRRLkmgREEE élppespp
Numériquement : 22/1
)12)cos20101((00025cos3,294 −++= θθpE
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La porte de garage est donc dans une position stable en position haute (porte ouverte) et instable en position basse (porte fermée) ; de cette manière, il est facile d’ouvrir la porte.
EP(θθθθ), en J
θθθθ, en rad
θ = πθ = πθ = πθ = π
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� 8 - Approche du portrait de phase : (exercice n°6)0n considère un pendule simple de longueur que l'on écarte sans vitesse initiale de l'angle θθθθ0 par rapport à la verticale descendante.
Le pendule est soumis à des frottements fluides et son équation différentielle devient :
Son portrait de phase est donné sur la figure, avec :
* A quoi voit-on qu’il y a des frottements ? * Indiquer les positions d’équilibre stables et instables.* Commenter l’allure des différentes courbes.
l
0sin20 =++ θωθθ &&& h
110 5,0.5
−− == shetsradω
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� Approche du portrait de phase :
Fichier Maple
(Pendule simple)