Upload
lyphuc
View
213
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 1
Ensemble des nombres complexes
Affixe, module et argument de
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct .
Définition - Représentation géométrique d’un nombre complexe
A tout nombre complexe , où et sont réels, on associe le
point appelé point image de .
Réciproquement, à tout point du plan complexe, on associe le
nombre complexe appelé affixe du point .
Ce plan muni d’un repère orthonormé direct est appelé plan
complexe.
L’axe des abscisses représente l’axe des réels et l’axe des ordonnées
représente l’axe des imaginaires purs.
Définition – Affixe d’un vecteur
De même qu’à un point , on associe son affixe , à tout
vecteur de coordonnées , on associe le nombre complexe
appelé affixe de .
Proposition
Si est l’affixe du vecteur , alors pour tout réel , est l’affixe du vecteur .
Si et sont les affixes des vecteurs et alors est l’affixe du vecteur .
Exercice
Soit et trois points du plan dont les affixes sont ,
et .
1) Déterminer les affixes respectives des vecteurs , et .
Vérifier que .
2) Déterminer l’affixe du point tel que soit un
parallélogramme.
3) Déterminer l’affixe du point centre du parallélogramme .
Définition – Module et argument
Soit un nombre complexe et le point d’affixe .
Le module de , noté est la distance , c’est-à-dire le nombre réel positif ou nul .
Un argument du nombre complexe non nul , noté , est une
mesure de l’angle orienté .
Exemple
. Son module est
Un argument de est
N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 2
Exercice
On pose
. Déterminer le module et un argument de .
Remarques
1.
2. Le réel 0 n’a pas d’argument car l’angle n’est pas défini si est en
3. Si est réel, c’est-à-dire que alors
son module . Ainsi le module d’un nombre
réel est égal à sa valeur absolue.
Conséquences de la définition
est un réel non nul
Plus précisément :
est un réel strictement positif
est un réel strictement négatif .
est un imaginaire pur
Propriétés
1) et
2) et
3)
Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Définition
Tout nombre complexe non nul s’écrit sous la forme avec et .
Cette écriture est appelée forme trigonométrique d’un nombre complexe.
Remarque
Cette écriture permet de faire le lien entre la géométrie et les nombres complexes, en interprétant les modules
en termes de distances et les arguments en termes d'angles orientés.
Exemples
; En effet, et
d’où
.
.
Exercice
Déterminer le module et un argument de
Proposition – Égalité de deux nombres complexes non nuls
Soit et , deux nombres complexes non nuls de formes trigonométriques respectives et
. Alors,
N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 3
Proposition - Lien entre forme algébrique et forme trigonométrique
Soit un nombre complexe non nul.
Si est la forme trigonométrique de alors sa forme algébrique est avec
Si est la forme algébrique de alors sa forme trigonométrique est avec
et est défini par
Exemples
1)
On détermine la forme algébrique de :
et
. D’où
2)
On détermine la forme trigonométrique de :
d’où
. D’où
Exercice
1) Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe
2) Écrire sous forme algébrique le nombre complexe de module et d’argument
.
Notation exponentielle de la forme trigonométrique
Étude de la fonction
Soit la fonction définie sur et à valeurs dans par
a) Pour tous nombres réels et ,
En effet,
avec les formules d’addition.
La fonction vérifie la même relation fonctionnelle que la fonction exponentielle.
b) La fonction est dérivable sur et
Les fonctions et sont dérivables sur .
On admet que la fonction est aussi dérivable sur et que
Ainsi, pour tout nombre réel ,
On peut écrire
Cette propriété est analogue à la dérivation de la fonction .
En effet, . Ces analogies avec la fonction exponentielle ont amené à adopter l’écriture
suivante (due à Euler en 1748) :
Définition – Formule d’Euler
Pour tout réel θ, on pose
Remarque
est le nombre complexe de module 1 et d’argument
N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 4
Preuve
. On en déduit que
Exemples
Remarque
L’égalité est appelée Identité d’Euler. C’est une relation qui lie plusieurs constantes fondamentales
des mathématiques : . C’est un cas particulier de la formule d’Euler avec .
Théorème et définition
Tout nombre complexe non nul s’écrit sous forme exponentielle où et .
Réciproquement, si avec et réels et alors et .
Propriétés
Pour tous nombres réels et et pour tout entier naturel :
1.
2.
(Formule de Moivre)
3.
4.
5.
Exemples
1) Écrire sous forme algébrique le nombre complexe
2) Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe
.
Propriétés de calcul
Pour tous nombres complexes et ,
Produit , et non nuls
Inverse
,
Quotient
, et non nuls
Puissance si
Proposition- Inégalité triangulaire
Pour tous nombres complexes et ,
Cette inégalité exprime le fait que la somme des longueurs de deux côtés d’un triangle est toujours supérieure à
la longueur du troisième. Si est l’affixe de et l’affixe de alors
Exemples
1) Déterminer la forme algébrique, puis la forme trigonométrique de
. En déduire la valeur de
et
.
Forme algébrique :
N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 5
Forme trigonométrique :
On en déduit la forme trigonométrique :
.
En identifiant les parties réelles et imaginaires des écritures affines et trigonométriques de on obtient :
et
.
2) Déterminer la forme trigonométrique puis algébrique du nombre complexe où
.
d’où
donc
. On en déduit que
Exercices
1) Donner la forme trigonométrique puis algébrique du nombre complexe
2) On donne et . Déterminer la forme algébrique puis trigonométrique de et en
déduire les valeurs exactes de
et
.
3) Soit . Existe-t-il des entiers tels que soit réel et si oui, lesquels ?
4) Soit un nombre complexe différent de – et
. Montrer que
Application à la géométrie
Théorème – Lien avec le plan complexe
Si et sont deux points d’affixes respectives et dans un repère orthonormé , alors a pour
affixe et
De plus, si
Preuve
. L’affixe de est et l’affixe de est .
Il existe un unique point tel que .
a pour affixe et a pour affixe . On en déduit que .
Or, par définition et donc
.
Conséquence
Si , et sont quatre points deux à deux distincts d’affixes
respectives , et dans un repère orthonormé ,
alors
et
Preuve
N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 6
Exercice
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct soit les points et d'affixes
respectives , et .
1) Déterminer la forme exponentielle de et .
2) En déduire une mesure de l’angle orienté en radian.
3) Déterminer la nature du quadrilatère
Théorème - Caractérisation d’un cercle et de la médiatrice d’un segment
et sont deux points d’affixes et dans un repère orthonormé.
1) Le point d’affixe appartient au cercle de centre et de rayon si, et seulement si ce qui se
traduit par .
2) Le point d’affixe appartient à la médiatrice du segment si, et seulement si ce qui se
traduit par .
Exercice
1) Soit un point du cercle de centre et de rayon . Soit son affixe. Que vaut ?
2) Déterminer l’ensemble des points du plan d’affixe tels que
a)
b)
Application à la trigonométrie
Formules d’addition
Pour tous réels et , on a :
Formules de duplication
Pour tout réel , on a :
Preuve
Les formules et
permettent de retrouver les formules d’addition et de
duplication en écrivant les membres de gauche et les membres de droite des égalités sous forme
trigonométrique :
Proposition
et
Preuve
Pour tout réel , et .
N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 7
Racines -ièmes de l’unité
Définition
Si est un entier naturel non nul, on dit que le nombre complexe est une « racine -ième de l’unité » si est
solution de l’équation
Résolution dans de l’équation
a) Déterminer une racine évidente de l’équation .
b) Justifier que l’équation est équivalente à
c) Résoudre puis écrire les solutions sous forme exponentielle.
d) On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct .
On pose
. Démontrer que les trois points d’affixe et forment un triangle équilatéral dont le centre
du cercle circonscrit est le point O.
Résolution dans de l’équation
a) On pose avec et .
Justifier que
b) Démontrer que l’équation a exactement quatre solutions qui sont les puissances successives du nombre
complexe .
Résolution dans de l’équation pour
Adapter la méthode exposée précédemment pour résoudre l’équation et exprimer sous forme exponentielle
ses solutions.
En déduire les solutions de l’équation .
Interprétation géométrique
Les racines -ièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier (convexe) inscrit dans le cercle de
centre O et de rayon 1.