Upload
lybao
View
216
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
MLuce POUSSIN
Entrainement estival - solutions
1 - Fractions/racines/puissances ! ( )5ln 96 ln 2 3 5ln 2 ln 3A = = ! = +
Attention à ne pas confondre 1lna! "# $% & et ( )
1ln a
, ( )ln ab et ( )ln a b+ …
5ln 2 5ln 3B = +
12 ln 2 ln 3
C =+
2 ln 2 ln 3D = " "
3ln 2 4ln 3E = +
4 ln 2 ln 3F = +
" 2 1 5 2 1 5 20 6 75 899 15 6 3 3 3 5 3 2 3 3 5 2 90
A " += " + = " + = =
! ! ! ! ! ! (on cherche le plus petit dénominateur commun..)
Pour le D, décomposer chaque terme en produit d’entiers élémentaires (nombres premiers) et simplifiez.
( ) ( ) ( )33 3 2 6 318 18 3 2 3 2" = " = " ! = " !
26 45 14 218 7 39
F = " ! ! = "13!
2 3! 3!
3!
3! 57! 2 7!
!3 13!
103
= "
536
B =
516
C "=
125
D = "
1635
E = "
" ( ) 11 11 1 1 11
1 1
A AA BC ABC BCS p
D BC D BC BC D BC DBC BC
++ += = = ! =+ " + + " + ""
+ +
# Attention à la barre de fraction principale :
aabbcc
# . En effet, 1a
abc b c= !
et
a cab bc
= !
( )2
1
1f x
x=
+ ( ) 1
5g x = ( )
1A AFGS p
BC FG BCFG D+
=+ + + "
!
$ ( )3 3 2 3 22 1 8 3 4 1 3 2 1 1 8 12 6 1x x x x x x x+ = + ! ! + ! ! + = + + + (ne pas développer en deux temps ( ) ( )22 1 2 1x x+ ! + mais directement ( )32 1x + !!! ) Remarque : ( ) ( )( )33a b a b" = + "
4 1A x= + 3 28 3 6 3B x x x= + " " 135 78 3D = "
%1
2 3 5 51 3 3 3
4 4 4 42 2 2 2 2 2 22 2 2 2
n n nn n n
n n nD a+
" " "
!= = = ! = ! ! = ! =
!
8A a= 2
2aB = 2
1Ca
= 26E a a= " 28F a= "
( )3
4 1 n
Ga"
=
Rmq 1 : ( )3 2 2 2n n n" = + " : « 3 2n " » et « n » ont même parité
Rmq 2 : ( )
( )1 1 111
nn
n! "= = "# $"% &"
.
& connaitre les puissances de 2 : 2/4/8/16/32/64/128/256/512/1024/2048/4096 ( jeu 2048..)
512A = 64B = 64C B= = 4096D = 4096E D= = 0F =
' ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2A = + + ! " + = + + ! " + = " + = "
24B = 4C =
(diviser par un nombre, c’est multiplier par son
inverse)
MLuce POUSSIN
Entrainement estival - solutions
2 – Complexes et trigonométrie
! ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )33 2 32 3 2 3 8 3 4 3 3 2 3 3i i i i i! = + ! = + " " ! + " " ! + ! et ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 33 1 3 27i i i! = ! = +
A i=
( )2 2 33
B i= ! + !
4 3 4C i= +
5 12D i= +
71 9E i= ! !
" 12 2E i= ! + On calcule le module : 12 4 4E = + =
On « force » la factorisation par le module : 12 2 3 14 44 4 2 2
E i i! " ! "
= ! + = ! +# $ # $# $ # $% & % &
On reconnait l’argument : 564
iE e
#
= " (visualiser le complexe 3 12 2
i! + sur le cercle trigo )
5 iA e #= 44 2i
B e#
!=
213
iC e
#
= 346 2 2
iD e
#
= + "
# ( ){ }/ 1 2 2B M z z i z i= ! + = + !
On note P le point d’affixe
1 2i!
et Q le point d’affixe
2 i! +
Alors 1 2 2 P Qz i z i z z z z MP MQ! + = + ! $ ! = ! $ =
Donc B est l’ensemble des points équidistants de P et Q : B est la médiatrice du segment
[ ]PQ
A : disque de centre ( )1 i% ! ! et de rayon 2. C : ensemble vide. D : demi droite ouverte d’extrémité P avec 2Pz i= ! et
dirigée par le vecteur u! d’affixe 6i
uz e#
=! $ ( ) ( )cos sin 2x x= ( ) ( ) ( )cos 2sin cosx x x$ =
( ) ( )( )cos 1 2sin 0x x$ " ! = on ne divise jamais par une valeur qui peut s’annuler.. !
( ) ( ) 1cos 0 sin2
x ou x$ = =
On visualise les deux équations sur le cercle trigo : 2
x k##= +
ou
2
6x k#
#= + ou
5 26
x k##= +
a) 7 2 , 26 6
x k k# ## #' (
& ! + +) *+ , avec k &!
b) 2
2x k#
#= + ou
7 26
x k##= + c) 5 2 , 2
6 6x k k# #
# #' (& ! + ! +) *+ ,
avec k &!
e) 2x k# #= +
ou
23
x k##= + ou
2
3x k#
#!
= +
Utiliser le cercle trigonométrique pour visualiser les contraintes !!!
% 12 3 4# # #= ! : on utilise la formule ( )cos a b+ et on trouve 1 2 3 2 2 6
2 2 2 2 4A += " + " =
6 24
B != 6 2
4C != 2
4D =
Rmq : formules trigos.. 1sin cos sin 2a2
a a" =
MLuce POUSSIN
Entrainement estival - solutions
3- Trinômes du second degré – équations/inéquations
! Equation 4 22 6 0x x! ! = Etude sur ! .
4 22 6 0x x! ! =
2 2 6 0y y" ! ! = en posant 2y x=
1 7 1 7y ou y" = + = ! 28# =
2 21 7 1 7x ou x" = + = ! or 1 7 0+ > et 1 7 0! <
1 7x" = ± +
Donc { }1 7 ; 1 7Sol = + ! +
( )22 5 0
11 xx+ =
!! 3
5Sol ! "
= # $% &
6 5x xe e! ! = { }0Sol =
7 4 2 53 5
x xx x+ !
+ =! !
267
Sol ! "= # $% & ( ) ( ) ( )ln 2 ln 2 ln 2 11x x x+ + ! = + { }5Sol =
" ( ) 4 22 6f x x x= ! ! Etude sur ! . Pour trouver le signe d’une expression, il faut la factoriser. ( ) ( )( ) ( )( )4 2 2 2 22 6 2 6 1 7 1 7 1 7 1 7f x x x y y y y x x= ! ! = ! ! = ! ! ! + = ! ! ! + cf exo !….
Or ( ) ( ) ( )2 1 7 1 7 1 7x x x! ! = ! + + + (forme ( )( )2x a x a x a! = ! + avec 0a $ )
( )2 1 7x ! + ne se factorise pas dans [ ]X! (forme 2x b+ avec 1 7 0b = ! + > )
Donc ( ) ( )( )( )21 7 1 7 1 7f x x x x= ! + + + ! +
x -
- 0 + +
- - 0 +
+ + +f(x) + 0 - 0 +
1 7x + +
1 7x ! +2 1 7x ! +
1 7+1 7+
donc 1 7 ; 1 7Sol ' (= ! + +) *+ ,
2 2 3 0x x! + > Sol = ! 2 8 15 0x x! + ! $ [ ]3,5Sol = 24 12 9 0x x+ + % 32
Sol ! "= !# $% &
( )225 2 36x% ! % [ ] [ ]4, 3 7,8Sol = ! ! & ( )23 11
3 5xx+
>!
5 ,3
Sol ( '= +'* ), +
�������������� ����
���������������� �������
��������������� ������������������ �������
� ����������������������������
� ��������������
� ��������
� ����� ����
���������� �� ��� � ��� �������
!"� ��� � ��� � ��������#������������� � ��� � ������
!���������������� � ��$% ��� �$�� �� $���� ���� �
$�$�� �� � �$� ���&���'���
!���������(��� ��� ���� ������������ � ��� ���&����
)�������� ������ ��� ����������������*�����������+����� ��
�������� ���� ���������
)� �������� ���� �������� ������������� � ����� ���&���'���
!����� �������������� ��� � ��� �������
+��������� �� ��� � ��� �,�� �����&���+����-
!"� ��� � ��� � ��������#������������� � ��� � ,�� �����&���+����-
!���������������� � ��$% ��� ,$��$ ��$�����&���+����-���� � �$� ���&���'���
!���������(��� ��� ���� ������������ � ��� ���&����
)�������� ,�� �����&���+����-%��� ����������,% ,
���, ��������� �����&���+����-
)� ,�����,
���,�- ���� ,��� �����&���+����-������������� � ����� ���&���'���
!����� �������������� ��� � ��� �,�� �����&���+����-
���������� �� ��� ������� ��.% �����
!"� ��� � ��. %��������#������������� � ��� � �����
!���������������� � ��. %��� �.�/� �� .
���. ���� �.�.
� �� � �.� ���&���'���
!���������(��� ��. ���� ������������ � ��� ���&����
)�������� ����� ��� ����������������*�����������+����� ��
����� ���� �������
�
)� �������������� �� �������������
����������������$
�� ���������*��������0�1��� ��������*��
)��� ���������������2 ���������������� ������2
������ �� ��
����
3���0�1���������� ��*������ � ���� ����� ���� � ��.
)������� ���������� ���������� ��� �
���������� ������������� � ����� ���&���'���
!����� �������������� ��� � ��.% �����
������������������� ��*��4�� �
� �� ���� $%��� �
��/� ���� ��/ ��� �/%���
���� �
���� �����$%��� �
� �� ����
��$�
�������/� ���� ���/������/%��� �.�� �� ���/%,�
��/ ���.� ��� �
/%�� ������.� ���5%��
��� ����'��������
������������� ������� ���
� �����������'�������
� ������������ ����������� ��������%����������
� �������������&�+�����
� ���� �����*����������&��
� ��+��� ��&���������
� ���� �����������
� �����
���� ������'������� � � �� �
���
!3�'������� �6 �����'����� � � ��� � ��� � ������� �&������� ����$������ ���� ��$
� ����������'����� � ��
!3�'������� �6 �������&�+��� � � �� ����$ � � �� ������� ������ � ������������&�+��� �
��
!"� � ���� %��� � � � �����
�
������ $
!)�����������+��� ��&����������
!3�������
)�� ������ ���$ ���� ������ � ����� �� ������� �
���� ���� ������� � ����$
)�� �����$� �
����
���� �����$� �
���$�
�� �����$� � ������
)�� �����$ �
���
���� �����$ �
���$
�� �����$� � �����
7�������� �+�������� 6��0������4���8��������9�� �������:!��� � ���:$�� �� �� ��
��0�����&���������9�� ������:$
!;�����
+��� ������'������� � � �� �������� �
!��'������� �� �����'����� � ���
����#�����+��� ����*���� �&����
� �����'����� �<!�%�=
� � $ ��
� � � �� !!
� ��� !� ��
� $
� � !�� ��
�� >>$!
��� !$>>
�����
!>$!
!"� � ����%�� %��� ����%� � ��
� ������ ������ ��������
��� ��
���� ������ �� � � �� � ������������������ ���� ������� ������
'�������� � �$%� � ��������#�������� �+����0�������������������*���
!3�'������� �� �����
�������&�+��� � �$%� � ������������������&�%��� � �� �������&�+��� � ���
���� � �������&�+��� � �$%� �
(��� ���$%� � %��� � � � ���
���������
������
�����
��
������
�����
��
��������� $
!)�����������+��� ��&���������� �&����
!)��� ������ ���$ �� ������ ����� ���� ������
�����
�$
)� ��� �$ ��� ��� ���� ������ � � ���� 3��� �+���������� ����0�����&������������ �����
���
!;����
�"������&��
����
�
� �/� �������� �
�
��
��
��� �
�
�
�� ��
�� �
��� ��
�
��
�
���
������
���
��������2/����22�����$$��52
� �
/.��/
��� ����
��� �/� ���
.��� �
�� ������ ���/
/
� $�
� � � �� !
� ��� $
�