6
MLuce POUSSIN Entrainement estival - solutions 1 - Fractions/racines/puissances ! ( ) 5 ln 96 ln 2 3 5 ln 2 ln 3 A = = ! = + Attention à ne pas confondre 1 ln a ! " # $ % & et ( ) 1 ln a , ( ) ln ab et ( ) ln a b + 5 ln 2 5ln3 B = + 1 2 ln 2 ln 3 C = + 2 ln 2 ln 3 D = " " 3ln2 4ln3 E = + 4 ln 2 ln 3 F = + " 2 1 5 2 1 5 20 6 75 89 9 15 6 3 3 3 5 3 2 3 3 5 2 90 A " + = " + = " + = = ! ! ! ! ! ! (on cherche le plus petit dénominateur commun..) Pour le D, décomposer chaque terme en produit d’entiers élémentaires (nombres premiers) et simplifiez. ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 6 3 18 18 3 2 3 2 " = " = " ! = " ! 26 45 14 2 18 7 39 F = " ! ! = " 13 ! 2 3 ! 3 ! 3 ! 3 ! 5 7 ! 2 7 ! ! 3 13 ! 10 3 = " 5 36 B = 5 16 C " = 1 25 D = " 16 35 E = " " ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A A A BC A BC BC S p D BC D BC BC D BC D BC BC + + + = = = ! = + " + + " + " " + + # Attention à la barre de fraction principale : a a b b c c # . En effet, 1 a a b c b c = ! et a c a b b c = ! ( ) 2 1 1 f x x = + ( ) 1 5 gx = ( ) 1 A AFG S p BC FG BCFG D + = + + + " ! $ ( ) 3 3 2 3 2 2 1 8 3 4 1 3 2 1 1 8 12 6 1 x x x x x x x + = + ! ! + ! ! + = + + + (ne pas développer en deux temps ( ) ( ) 2 2 1 2 1 x x + ! + mais directement ( ) 3 2 1 x + !!! ) Remarque : ( ) ( ) ( ) 3 3 a b a b " = + " 4 1 A x = + 3 2 8 3 6 3 B x x x = + " " 135 78 3 D = " % 1 2 3 5 5 13 3 3 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n D a + " " " ! = = = ! = ! ! = ! = ! 8 A a = 2 2 a B = 2 1 C a = 2 6 E a a = " 2 8 F a = " ( ) 3 4 1 n G a " = Rmq 1 : ( ) 3 2 2 2 n n n " = + " : « 3 2 n " » et « n » ont même parité Rmq 2 : ( ) ( ) 1 1 1 1 1 n n n ! " = = " # $ " % & " . & connaitre les puissances de 2 : 2/4/8/16/32/64/128/256/512/1024/2048/4096 ( jeu 2048..) 512 A = 64 B = 64 C B = = 4096 D = 4096 E D = = 0 F = ' ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 A = + + ! " + = + + ! " + = " + = " 24 B = 4 C = (diviser par un nombre, c’est multiplier par son inverse)

Entrainement estival corr1 - chaussade.marie.free.frchaussade.marie.free.fr/SiteM/Accueil_files/Entrainement estival... · MLuce POUSSIN Entrainement estival - solutions 1 - Fractions/racines/puissances

  • Upload
    lybao

  • View
    216

  • Download
    3

Embed Size (px)

Citation preview

MLuce POUSSIN

Entrainement estival - solutions

1 - Fractions/racines/puissances ! ( )5ln 96 ln 2 3 5ln 2 ln 3A = = ! = +

Attention à ne pas confondre 1lna! "# $% & et ( )

1ln a

, ( )ln ab et ( )ln a b+ …

5ln 2 5ln 3B = +

12 ln 2 ln 3

C =+

2 ln 2 ln 3D = " "

3ln 2 4ln 3E = +

4 ln 2 ln 3F = +

" 2 1 5 2 1 5 20 6 75 899 15 6 3 3 3 5 3 2 3 3 5 2 90

A " += " + = " + = =

! ! ! ! ! ! (on cherche le plus petit dénominateur commun..)

Pour le D, décomposer chaque terme en produit d’entiers élémentaires (nombres premiers) et simplifiez.

( ) ( ) ( )33 3 2 6 318 18 3 2 3 2" = " = " ! = " !

26 45 14 218 7 39

F = " ! ! = "13!

2 3! 3!

3!

3! 57! 2 7!

!3 13!

103

= "

536

B =

516

C "=

125

D = "

1635

E = "

" ( ) 11 11 1 1 11

1 1

A AA BC ABC BCS p

D BC D BC BC D BC DBC BC

++ += = = ! =+ " + + " + ""

+ +

# Attention à la barre de fraction principale :

aabbcc

# . En effet, 1a

abc b c= !

et

a cab bc

= !

( )2

1

1f x

x=

+ ( ) 1

5g x = ( )

1A AFGS p

BC FG BCFG D+

=+ + + "

!

$ ( )3 3 2 3 22 1 8 3 4 1 3 2 1 1 8 12 6 1x x x x x x x+ = + ! ! + ! ! + = + + + (ne pas développer en deux temps ( ) ( )22 1 2 1x x+ ! + mais directement ( )32 1x + !!! ) Remarque : ( ) ( )( )33a b a b" = + "

4 1A x= + 3 28 3 6 3B x x x= + " " 135 78 3D = "

%1

2 3 5 51 3 3 3

4 4 4 42 2 2 2 2 2 22 2 2 2

n n nn n n

n n nD a+

" " "

!= = = ! = ! ! = ! =

!

8A a= 2

2aB = 2

1Ca

= 26E a a= " 28F a= "

( )3

4 1 n

Ga"

=

Rmq 1 : ( )3 2 2 2n n n" = + " : « 3 2n " » et « n » ont même parité

Rmq 2 : ( )

( )1 1 111

nn

n! "= = "# $"% &"

.

& connaitre les puissances de 2 : 2/4/8/16/32/64/128/256/512/1024/2048/4096 ( jeu 2048..)

512A = 64B = 64C B= = 4096D = 4096E D= = 0F =

' ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2A = + + ! " + = + + ! " + = " + = "

24B = 4C =

(diviser par un nombre, c’est multiplier par son

inverse)

MLuce POUSSIN

Entrainement estival - solutions

2 – Complexes et trigonométrie

! ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )33 2 32 3 2 3 8 3 4 3 3 2 3 3i i i i i! = + ! = + " " ! + " " ! + ! et ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 33 1 3 27i i i! = ! = +

A i=

( )2 2 33

B i= ! + !

4 3 4C i= +

5 12D i= +

71 9E i= ! !

" 12 2E i= ! + On calcule le module : 12 4 4E = + =

On « force » la factorisation par le module : 12 2 3 14 44 4 2 2

E i i! " ! "

= ! + = ! +# $ # $# $ # $% & % &

On reconnait l’argument : 564

iE e

#

= " (visualiser le complexe 3 12 2

i! + sur le cercle trigo )

5 iA e #= 44 2i

B e#

!=

213

iC e

#

= 346 2 2

iD e

#

= + "

# ( ){ }/ 1 2 2B M z z i z i= ! + = + !

On note P le point d’affixe

1 2i!

et Q le point d’affixe

2 i! +

Alors 1 2 2 P Qz i z i z z z z MP MQ! + = + ! $ ! = ! $ =

Donc B est l’ensemble des points équidistants de P et Q : B est la médiatrice du segment

[ ]PQ

A : disque de centre ( )1 i% ! ! et de rayon 2. C : ensemble vide. D : demi droite ouverte d’extrémité P avec 2Pz i= ! et

dirigée par le vecteur u! d’affixe 6i

uz e#

=! $ ( ) ( )cos sin 2x x= ( ) ( ) ( )cos 2sin cosx x x$ =

( ) ( )( )cos 1 2sin 0x x$ " ! = on ne divise jamais par une valeur qui peut s’annuler.. !

( ) ( ) 1cos 0 sin2

x ou x$ = =

On visualise les deux équations sur le cercle trigo : 2

x k##= +

ou

2

6x k#

#= + ou

5 26

x k##= +

a) 7 2 , 26 6

x k k# ## #' (

& ! + +) *+ , avec k &!

b) 2

2x k#

#= + ou

7 26

x k##= + c) 5 2 , 2

6 6x k k# #

# #' (& ! + ! +) *+ ,

avec k &!

e) 2x k# #= +

ou

23

x k##= + ou

2

3x k#

#!

= +

Utiliser le cercle trigonométrique pour visualiser les contraintes !!!

% 12 3 4# # #= ! : on utilise la formule ( )cos a b+ et on trouve 1 2 3 2 2 6

2 2 2 2 4A += " + " =

6 24

B != 6 2

4C != 2

4D =

Rmq : formules trigos.. 1sin cos sin 2a2

a a" =

MLuce POUSSIN

Entrainement estival - solutions

3- Trinômes du second degré – équations/inéquations

! Equation 4 22 6 0x x! ! = Etude sur ! .

4 22 6 0x x! ! =

2 2 6 0y y" ! ! = en posant 2y x=

1 7 1 7y ou y" = + = ! 28# =

2 21 7 1 7x ou x" = + = ! or 1 7 0+ > et 1 7 0! <

1 7x" = ± +

Donc { }1 7 ; 1 7Sol = + ! +

( )22 5 0

11 xx+ =

!! 3

5Sol ! "

= # $% &

6 5x xe e! ! = { }0Sol =

7 4 2 53 5

x xx x+ !

+ =! !

267

Sol ! "= # $% & ( ) ( ) ( )ln 2 ln 2 ln 2 11x x x+ + ! = + { }5Sol =

" ( ) 4 22 6f x x x= ! ! Etude sur ! . Pour trouver le signe d’une expression, il faut la factoriser. ( ) ( )( ) ( )( )4 2 2 2 22 6 2 6 1 7 1 7 1 7 1 7f x x x y y y y x x= ! ! = ! ! = ! ! ! + = ! ! ! + cf exo !….

Or ( ) ( ) ( )2 1 7 1 7 1 7x x x! ! = ! + + + (forme ( )( )2x a x a x a! = ! + avec 0a $ )

( )2 1 7x ! + ne se factorise pas dans [ ]X! (forme 2x b+ avec 1 7 0b = ! + > )

Donc ( ) ( )( )( )21 7 1 7 1 7f x x x x= ! + + + ! +

x -

- 0 + +

- - 0 +

+ + +f(x) + 0 - 0 +

1 7x + +

1 7x ! +2 1 7x ! +

1 7+1 7+

donc 1 7 ; 1 7Sol ' (= ! + +) *+ ,

2 2 3 0x x! + > Sol = ! 2 8 15 0x x! + ! $ [ ]3,5Sol = 24 12 9 0x x+ + % 32

Sol ! "= !# $% &

( )225 2 36x% ! % [ ] [ ]4, 3 7,8Sol = ! ! & ( )23 11

3 5xx+

>!

5 ,3

Sol ( '= +'* ), +

�������������� ����

���������������� �������

��������������� ������������������ �������

� ����������������������������

� ��������������

� ��������

� ����� ����

���������� �� ��� � ��� �������

!"� ��� � ��� � ��������#������������� � ��� � ������

!���������������� � ��$% ��� �$�� �� $���� ���� �

$�$�� �� � �$� ���&���'���

!���������(��� ��� ���� ������������ � ��� ���&����

)�������� ������ ��� ����������������*�����������+����� ��

�������� ���� ���������

)� �������� ���� �������� ������������� � ����� ���&���'���

!����� �������������� ��� � ��� �������

+��������� �� ��� � ��� �,�� �����&���+����-

!"� ��� � ��� � ��������#������������� � ��� � ,�� �����&���+����-

!���������������� � ��$% ��� ,$��$ ��$�����&���+����-���� � �$� ���&���'���

!���������(��� ��� ���� ������������ � ��� ���&����

)�������� ,�� �����&���+����-%��� ����������,% ,

���, ��������� �����&���+����-

)� ,�����,

���,�- ���� ,��� �����&���+����-������������� � ����� ���&���'���

!����� �������������� ��� � ��� �,�� �����&���+����-

���������� �� ��� ������� ��.% �����

!"� ��� � ��. %��������#������������� � ��� � �����

!���������������� � ��. %��� �.�/� �� .

���. ���� �.�.

� �� � �.� ���&���'���

!���������(��� ��. ���� ������������ � ��� ���&����

)�������� ����� ��� ����������������*�����������+����� ��

����� ���� �������

)� �������������� �� �������������

����������������$

�� ���������*��������0�1��� ��������*��

)��� ���������������2 ���������������� ������2

������ �� ��

����

3���0�1���������� ��*������ � ���� ����� ���� � ��.

)������� ���������� ���������� ��� �

���������� ������������� � ����� ���&���'���

!����� �������������� ��� � ��.% �����

������������������� ��*��4�� �

� �� ���� $%��� �

��/� ���� ��/ ��� �/%���

���� �

���� �����$%��� �

� �� ����

��$�

�������/� ���� ���/������/%��� �.�� �� ���/%,�

��/ ���.� ��� �

/%�� ������.� ���5%��

Mluce
Marie CHAUSSADE

��� ����'��������

������������� ������� ���

� �����������'�������

� ������������ ����������� ��������%����������

� �������������&�+�����

� ���� �����*����������&��

� ��+��� ��&���������

� ���� �����������

� �����

���� ������'������� � � �� �

���

!3�'������� �6 �����'����� � � ��� � ��� � ������� �&������� ����$������ ���� ��$

� ����������'����� � ��

!3�'������� �6 �������&�+��� � � �� ����$ � � �� ������� ������ � ������������&�+��� �

��

!"� � ���� %��� � � � �����

������ $

!)�����������+��� ��&����������

!3�������

)�� ������ ���$ ���� ������ � ����� �� ������� �

���� ���� ������� � ����$

)�� �����$� �

����

���� �����$� �

���$�

�� �����$� � ������

)�� �����$ �

���

���� �����$ �

���$

�� �����$� � �����

7�������� �+�������� 6��0������4���8��������9�� �������:!��� � ���:$�� �� �� ��

��0�����&���������9�� ������:$

!;�����

+��� ������'������� � � �� �������� �

!��'������� �� �����'����� � ���

����#�����+��� ����*���� �&����

� �����'����� �<!�%�=

� � $ ��

� � � �� !!

� ��� !� ��

� $

� � !�� ��

�� >>$!

��� !$>>

�����

!>$!

Mluce
Marie CHAUSSADE

!"� � ����%�� %��� ����%� � ��

� ������ ������ ��������

��� ��

���� ������ �� � � �� � ������������������ ���� ������� ������

'�������� � �$%� � ��������#�������� �+����0�������������������*���

!3�'������� �� �����

�������&�+��� � �$%� � ������������������&�%��� � �� �������&�+��� � ���

���� � �������&�+��� � �$%� �

(��� ���$%� � %��� � � � ���

���������

������

�����

��

������

�����

��

��������� $

!)�����������+��� ��&���������� �&����

!)��� ������ ���$ �� ������ ����� ���� ������

�����

�$

)� ��� �$ ��� ��� ���� ������ � � ���� 3��� �+���������� ����0�����&������������ �����

���

!;����

�"������&��

����

� �/� �������� �

��

��

��� �

�� ��

�� �

��� ��

��

���

������

���

��������2/����22�����$$��52

� �

/.��/

��� ����

��� �/� ���

.��� �

�� ������ ���/

/

� $�

� � � �� !

� ��� $

Mluce
Marie CHAUSSADE