ÉPREUVE ECRITE DE MATHEMATIQUES « A » 2 … · Paum Kalfaian, Emilie Lebarbier, Céline Levy-Leduc, Camille Male, Laurent Mesnager, Hachemi Nadir, Simon Rénier, Nicole Rigal,

Banque Agro-Veto - Session 2014 Rapport sur les concours A – filière BCPST

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ÉPREUVE ECRITE DE MATHEMATIQUES « A » ........................................................... 2

ÉPREUVE ECRITE DE MATHEMATIQUES « B » ........................................................... 7

ÉPREUVE ORALE DE MATHEMATIQUES ................................................................... 10


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Épreuve écrite de Mathématiques « A »

Concours Nb cand. Moyenne Ecart type Note la plus basse

Note la plus haute

A BIO 2981 10,45 3,90 0 20

A ENV 1960 10,56 3,81 0 20

A PC BIO 1336 10,47 3,91 0 20


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Correcteurs : Odile Barka, Emeric Bouin, Karine Fournier, Matthieu Goix, Emmanuel Liron Sihem Mesnager, Gilbert Monna, Michèle Nouvet, Danièle Perret-Gentil, Agnès Rigny, Christian Skiada, Mathieu Vienney (R), Stella Visier.

Expert : Thierry Prévost


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Épreuve écrite de Mathématiques « B »


Note la plus haute

A BIO 2980 9,72 4,11 0 20

A ENV 1960 9,81 4,09 0 20

A PC BIO 1336 9,63 4,13 0 20

Le sujet porte sur le déplacement aléatoire d’une particule sur différents graphes. Dans la partie A, les graphes sont finis. Dans la partie B, on considère une marche aléatoire sur Z. Enfin, le but de la partie C est de montrer une égalité combinatoire, utilisée dans la partie B, grâce à des variables aléatoires à densité. Les trois parties indépendantes de ce sujet abordent une très large part du programme de première et seconde année. Les correcteurs ont trouvé le sujet adapté au public concerné. Les indications fournies permettent au candidat de ne jamais être bloqué. Remarques générales : Les correcteurs sont satisfaits dans l’ensemble de la présentation des copies. Par contre la rédaction laisse souvent à désirer. Beaucoup de récurrences ne sont pas rédigées, voire mal initialisées. Les adverbes évidemment, clairement, forcément sont utilisés à la place des justifications mathématiques, particulièrement en probabilités. Dans le même ordre d’idées, rappelons que « prenons un exemple » n’a pas force de démonstration. En probabilité, la notion de probabilité conditionnelle n’est pas toujours bien comprise. Par exemple, écrire P(« A2 absorbé en 4 ou 5»)= 푎 , + 푎 , + 푎 , + 푎 , à la question A.II.3 est faux et, surtout, n’a pas de sens. Les fractions ne sont pas (assez) souvent maitrisées, même chez des candidats de niveau convenable : pas de réduction

systématique, on trouve même dans une copie : + = Commentaires par questions. Partie A.I 1. Question en général bien traitée, mais le système complet d’événements n’est pas toujours donné clairement, voire faux (par exemple, on lit trop souvent que (푋 ) est un système complet) 2. Récurrence trop souvent mal rédigée : en particulier beaucoup d’initialisations avec n=1. Des candidats évoquent une « suite géométrique ». 3. Peu traitée. Des candidats affirment, sans justification, que les coefficients de la 3ème ligne de 퐴 sont tous égaux à . D’autres pensent que ces coefficients valent .

4.a) Bien traitée en général. Quelques candidats calculent 퐴 pour obtenir la relation de la fin c) Peu réussie. Des formulations erronées de la propriété à montrer par récurrence. La plus fréquente consistant à faire une confusion entre terme et suite. Des récurrences initialisées avec 푛 = 3. Une erreur vue dans plusieurs copies : 푢 = 푢 퐴 et 푣 = 푣 퐴 d) En général la méthode est connue. Trop de candidats se contentent de donner la forme générale de la solution et estiment préférable de passer à la suite plutôt que de calculer les coefficients. Ce n’est forcément une bonne tactique.


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5. Peu traitée. Même parmi les bons candidats la loi de 푋 n’est pas toujours simplifiée. Partie A.II 1) Souvent juste. Certains candidats ne donnent que 2 des 4 valeurs. 2) Quelques très rares candidats arrivent à prouver le système. Beaucoup ne donnent qu’une explication : ce qui a été pris en compte dans le barème. Le système est souvent bien résolu par la méthode de Gauss souvent sans utiliser l’indication de l’énoncé. D’autres candidats trouvent la solution en utilisant l’indication sans la justifier : le plupart du temps ils ne raisonnent pas par équivalence et ne vérifient pas que les valeurs obtenues sont solution du système. Trop de candidats ne sont pas attentifs à la numérotation des sommets et écrivent « par symétrie 푎 , = 푎 , , 푎 , =푎 , ». 3 et 4) Rarement traitée. On constate que la notion de probabilité conditionnelle n’est pas toujours comprise. Partie B I.1) Généralement bien traitée. On trouve quelques copies se contentant d’affirmer que le résultat est immédiat « par télescopage » . D’autres s’embarquent dans des descriptions intuitives des déplacements de la particule au lieu d’utiliser les formulations mathématiques de l’énoncé. 2) Les justifications, à savoir linéarité pour l’espérance, indépendance pour la variance, ne sont pas toujours indiquées. Plusieurs candidats trouvent 푉(푈 ) = , d’autres font des confusions avec la loi binomiale. II.1) Bien en général 2) L’indépendance des sauts est rarement citée. 3) Peu traitée. III.1) En général bien traitée lorsqu’elle est abordée. 2) Souvent admise. Traitée correctement dans quelques copies. L’erreur la plus fréquente : [푋 = 0] = ⋃ 푋 ( ) = 0 ∩ [푇 = 0] 3) question généralement juste quand elle est abordée. 4) Trouvée juste dans quelques copies. 5) Relation obtenue dans quelques copies. Récurrence jamais rédigée. Partie C I.1) Trop fréquemment l’erreur classique : 푃(퐺 ≤ 푦) = 푃 퐺 ≤ 푦 . Une erreur plus « originale » : 푃(퐺 ≤ 푦) = ∫ 푔 (푡)푑푡 . 2) Le cas 푦 ≤ 0 est rarement justifié. II.1) Pour l’existence, la continuité n’est assez souvent invoquée. Quelques confusions entre les variables (푥 et 푧), mais, lorsque la question est abordée, le calcul est généralement correct 2) Des candidats pensent pouvoir se passer d’un passage à la limite et remplacent 푎 et 푏 par 0. 3) Souvent bien traitée quand elle est abordée. On rencontre quand même des intégrales ∫

( ). Question bien

traitée dans quelques copies, le cas 푥 < 0 est souvent oublié.


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III.1) Lorsque cette question est traitée, l’intégration par parties est généralement bien faite. Peu de candidats trouvent l’expression de 2) Question bien traitée lorsqu’elle est abordée. Dans quelques rares copies, on trouve 3) Quelques candidats mènent à terme le calcul. Conclusion : Encore cette année, nous conseillons aux candidats de prendre le temps de lire attentivement l’énoncé et de mener à terme les calculs demandés : il est vraiment dommage de perdre des points en ne fournissant pas toutes les valeurs demandées ou en ne simplifiant pas les résultats trouvés. Une lecture attentive de l’énoncé permet d’en comprendre l’enchaînement et ainsi d’éviter les fausses pistes et les calculs inutiles. Correcteurs : Catherine Boschat, Jean-Luc Fargier, Sébastien Guffroy, Jean-François Husson, Marc Jalard, Jean-Paum Kalfaian, Emilie Lebarbier, Céline Levy-Leduc, Camille Male, Laurent Mesnager, Hachemi Nadir, Simon Rénier, Nicole Rigal, Armèle Robin. Expert : Jean-François Husson.


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Épreuve orale de Mathématiques


Note la plus haute

A BIO 2161 10,24 3,79 1 20

A ENV 884 11,44 3,51 2 20

A PC BIO 691 11,38 3,51 2 20

Ce rapport rappelle ce qui était attendu des candidats à l’oral de mathématiques du concours A-BCPST jusqu’à la session 2014. L’épreuve évoluant nettement pour le concours 2015, il faudra se reporter à la documentation spécifique pour obtenir des informations concernant la nouvelle épreuve d’oral qui associera mathématiques et informatique. Bien que l’épreuve ne soit plus la même pour le prochain concours, les remarques générales énoncées ci-dessous, notamment pour ce qui concerne les erreurs usuelles commises par les candidats, restent valables dans l’absolu. Modalités de l’épreuve : (jusqu’à la session 2014) Un sujet d’oral est composé de deux exercices : l’un de probabilités, l’autre portant sur une autre partie du programme de mathématiques (analyse, algèbre ou géométrie). Les calculs sont suffisamment élémentaires pour pouvoir être traités sans calculatrice. Les exercices portent sur l’ensemble du programme des deux années (BCPST1 et BCPST2). Les candidats disposent de 30 minutes de préparation sur papier dans une salle dédiée, suivies de 30 minutes de passage au tableau devant un examinateur. L’objectif de l’épreuve est de classer les candidats en testant leurs connaissances en mathématiques, leurs capacités de raisonnement et de logique, leur aptitude à argumenter clairement, leur écoute et leur réactivité au dialogue avec l’interrogateur. Ce qui est attendu des candidats : (jusqu’à la session 2014) Chaque exercice est progressif, avec une première question facile et proche du cours, qui permet au candidat de se mettre en confiance. Tout sujet demandant des astuces est écarté. Les examinateurs connaissent les énoncés sur lesquels portent l’interrogation, il est donc inutile de les leur rappeler. Pendant la période d’interrogation, un dialogue entre le candidat et l’examinateur s’instaure. L’oral est un échange et en aucun cas une conférence du candidat face à un jury muet. Les questions du jury visent à évaluer le raisonnement du candidat, et très souvent à l’aider pour compléter son argumentation ou se rendre compte d’une erreur. Elles ne constituent en aucun cas des pièges tendus. Le jury attend de la bonne volonté et une attitude ouverte pour répondre aux questions. Le candidat ne doit pas avoir l’impression qu’il « perd son temps » en répondant aux questions.

Lorsque l’examinateur indique au candidat qu’il a fait une erreur, le candidat a souvent le mauvais réflexe d’effacer sans réfléchir tout ce qu’il vient d’écrire, alors que souvent l’erreur est minime et peut être facilement corrigée en relisant ce qui est écrit au tableau. Il n’est pas indispensable d’avoir traité la totalité des deux exercices pour obtenir une excellente note. Il est préférable d’avoir mené un raisonnement rigoureux et argumenté, reposant sur des connaissances solides, plutôt que d’avoir donné tous les résultats (même justes), trop vite et sans explication réelle.


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Une attitude passive, voire un refus de prendre en compte les précisions demandées ou les indications données, a un effet fortement négatif. Le temps d’interrogation est équilibré entre les deux exercices. Le candidat peut choisir l’exercice par lequel il souhaite commencer. Le jury a noté que certains candidats commençant par l’exercice qu’ils ont le moins bien réussi ont d’autant plus de difficultés à gérer leur stress. Le candidat ne peut pas décider de passer plus de temps sur l’exercice de son choix, ni de « passer » une question qu’il n’aurait pas su traiter. Il sera invité à y réfléchir avec des indications.

La durée de l’interrogation orale doit impérativement être respectée. A la fin de la demi-heure de passage, il est attendu que le candidat efface efficacement le tableau et range rapidement ses affaires, afin de ne pas pénaliser le candidat suivant.

A propos du vocabulaire employé : Le vocabulaire employé par le candidat est particulièrement révélateur et doit donc être soigné. Le manque de précision dans l’expression ou de rigueur dans les notations amène très souvent à des erreurs. Beaucoup de candidats parlent de « la » densité, de « la » primitive, d’ « en haut » (au lieu du numérateur), d’une famille génératrice (de quoi ?), d’une fonction continue (sur ?). Remarques particulières relatives aux différentes parties du programme : Algèbre :

En algèbre comme ailleurs, on attend des candidats d’être capables d’utiliser plusieurs angles pour analyser un même problème. Les exercices portant sur la réduction des matrices carrées ne peuvent par exemple pas tous être résolus avec la seule connaissance de la propriété liant le rang de 퐴 − 휆퐼 et les valeurs propres de 퐴. Notamment l’exploitation d’un polynôme annulateur d’une matrice 퐴 pour déterminer les valeurs propres possibles de 퐴 pose encore trop de difficultés aux candidats.

Lorsqu’il est demandé dans la même question de prouver que F est un sous-espace vectoriel de E et de donner une base et la dimension de F, l’application du théorème de caractérisation « en trois points » des sous-espaces vectoriels n’est en général pas utile.

Analyse : La différence entre fonction continue, fonction dérivable et fonction de classe C1 n’est pas

claire pour tous les candidats. Par ailleurs l’intervalle sur lequel la fonction étudiée vérifie telle ou telle propriété de régularité ou de signe n’est pas toujours précisé.

Pour vérifier qu’une fonction définie par intervalles est continue sur IR, il ne suffit pas de calculer « la valeur à droite et à gauche » au(x) point(s) de raccord.

L’étude des fonctions définies par une intégrale doit être traitée rigoureusement, introduire une primitive est souvent une méthode efficace. Pour l’étude de fonctions du type 퐹: 푥 →∫ 푓(푡)d푡, la continuité de la fonction 푓 est souvent donnée par le candidat, mais il est alors rarement indiqué que 퐹 est la primitive de 푓 s’annulant en 푎, ce qui donne à la fois le caractère C1 et la dérivée de 퐹.

La limite de 푥 avec 훼 réel fixé et 푥 tendant vers l’infini, ainsi que celle de 푥 avec 푥 réel fixé et푛 tendant vers l’infini, posent encore problème à beaucoup de candidats.

Probabilités : Les candidats ont encore de grandes difficultés à justifier correctement qu’une fonction de

répartition est une fonction de répartition de variable aléatoire à densité. Par ailleurs le lien


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entre domaine de continuité de la densité et domaine de dérivabilité de la fonction de répartition n’est en général pas connu. Enfin nul n’est gêné pour calculer l’expression de 퐹 ′(푥) pour tout 푥 réel alors qu’il vient d’être dit que 퐹 est dérivable sur IR sauf en un nombre fini de points.

Les propriétés de la fonction de répartition d’une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite sont mal connues, notamment la dérivabilité sur IR tout entier et l’expression de la dérivée.

Il faut penser à écrire les fonctions de répartition sur IR tout entier. Commencer par expliciter 푋(Ω) peut s’avérer efficace mais doit être correctement exploité ensuite pour donner sans calcul les cas où la fonction de répartition est égale à 0 ou à 1.

Les cadres des lois discrètes usuelles doivent être bien vérifiés, notamment l’indépendance. Par ailleurs lorsqu’ils explicitent la loi sous la forme 푃(푋 = 푘) = ⋯, il est attendu que les candidats précisent dans quel ensemble ils prennent le nombre 푘.

L’ensemble ⟦2, +∞⟦푖est souvent noté⟦2, 푛⟧ avec 푛 ≥ 2, ce qui ne convient pas. Il est très souvent utile de savoir exprimer un évènement sous forme d’unions ou

d’intersections d’évènements simples, et il faut éviter de donner la valeur d’une probabilité avec une argumentation qui tient plus de la vulgarisation scientifique que du raisonnement.

Les interversions de sommes doubles finies sont mal maitrisées. Il y a trop souvent mélange dans les calculs entre des bornes finies et infinies, que ce soit

dans les intégrales ou dans les sommes.

Conclusion : Comme chaque année, le niveau des candidats est très hétérogène, avec tous les intermédiaires entre le candidat brillant et le candidat n’ayant quasiment aucune connaissance. L’examinateur s’attache à poser des questions adaptées pour évaluer le niveau du candidat de manière exacte. Le ressenti de certains candidats n’est pas toujours en adéquation avec la note obtenue. Un jury aimable et bienveillant n’en a pas moins pour mission d’évaluer et de classer les candidats. Les membres du jury ont des discussions quotidiennes et instructives pour contribuer au bon fonctionnement des interrogations. Dans l’ensemble, ils ont interrogé des candidats ouverts et courtois. Examinateurs : C. Barret, C. Boschat, B. Gil, Y. Gélineau, M. Jalard, E. Liron, M. Nouvet, F. Raccaglia, Y. Raynaud, A. Robin, M. Saillard, A. Valladeau, S. Visier. Experts et rapporteurs : C. Barret et A. Robin.


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ÉPREUVE ECRITE DE MATHEMATIQUES « A » 2 … · Paum Kalfaian, Emilie Lebarbier, Céline Levy-Leduc, Camille Male, Laurent Mesnager, Hachemi Nadir, Simon Rénier, Nicole Rigal,