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Espaces du type de Gevrey et probl~mes aux limites pour diverses classes d'4quations d'4volution.
pa r J . L . LIoNs (Paris) et E. MAe~ENES (Pa r l e )
R~sum~. - Le travail est rdsumd darts l'introduction.
I n t r o d u c t i o n .
1. - Dans une travail ant~rieur [13] nous avons ~tudi(i les probl~mes aux limites pour les ~quations d'~volution
d u (*) Au + - d i = f
d'abord <<paraboliques abstraites>> puis dans les cas concrets des op6rateurs diff~rentiels paraboliques. Nous placant alors dana un eylindre Q - O. X ll~t, E2 ouvert born~ de li~" de fronti~re 1 ~ <(r0guli~re>>~ nous avons ~tudi6 (*) dans des espaces de fonctions (ou de distributions) du type GEVnE~ en l, ~ sup- port limit0 i~ gauche et h valeurs dans certains espaees vectoriels sur ~ du type Hs(~) (espaces de SOBOLEV) OU de type :~(~) (fonetions analyt iques r~elles s u r ~).
2. - Comme nous avons d~ja indiqu6 dans [13], il est possible d '~ tendre ou d 'adapter les r~sultats de [13] que nous venons d'dvoquer, aux 6quations d'6volution du type (~Schroedinger>>:
d u (**) iAu ÷ ~ l - - f ,
ou du type
d2u (***) Au + - 3 ~ = f ,
A symdtrique,
A symdtrique.
C'est ce qui est fait au d0but du Chap. I.
Mais l '0tude de (***) - - en par t icul ier lorsque A est el l ipt ique du 2 +me ordre, et done (***) est hyperbolique - - conduit na ture l lement (ef. Chap. I, § 1, N ° 2) ~t travail ler dans de nouveaux espaces de fonctions (ou de distri. butions) de GEV~EY soit en t, soil en les variables 4'espaee.
344 J. L. LmNs - E. M2~GENES: Espace.s du type de Gew'ey, etc.
3. - L'outi l qui est le plus important est fourni par le Th6or6me 1.1 du ehapi tre II, qui donne une condition n6cessaire et suffisante pour qu 'une fonction u soit dans un espaee de GEVRE¥ sur ~, condition portant sur certaines majorat ions des it6r6es Aau, k -- 0, 1, ..., de A u dans ~2 et sur la fron- tibre 1' de ~. Ce r6sultat g6n6ralise d ' u n e part le Th6or~me 1.1, chap. IV de [13] (et done aussi les r6sultats de KO~AKE-NARAS~MHAN [9] et )~O~tr~E~- NIREN]~ERG [16]) duns le cas analytiqu'e et d!autre part eertains r~sultats de FRIBERG [4] et de ~IUR~n~ [17] dans le cas des classes de Gevrey.
I1 y a d~ailleurs lh de nombreux pr0blbmes int6ressants qui se posent. Nous esquissons trbs br i6vement nn r~sultat de m~me type pour un op6rateur quasi-ell iptique (et non elliptique).
4. - L 'ut i l isat ion du Th~or~me 1.1, chap. II, est faite au Chap. II, § 3, et nous semble confirmer l ' impor tance croissante que les espaces de GEVRE¥ devra ien t ~tre appelSs i~ joue r dans la th~orie des ~qnations aux d~riv6es partielles. (En fait, pour essayer de mieux d~gager l 'essentiel, il nous a paru plus clair de nous placer dans le qadre an peu plus g~n~ral de elassess l~lh }, at taches h une suite (Mh} <<convenable~) (cf. MANDELI31~OJT [t5], ROUMIEU [18], [19], A. FRI]~D~AN [4], [5])).
5. - Certains des r~sultats de ce travail ont dt~ donn~s dans les conf, . renees de E, MA(~E~ES, Seminaire Leray, Coll~ge de France, Paris, Mars 1965.
CIIAPITRE I.
§ 1. - R a p p e l s s u r l e s e s p a c e s d e f o n c t i o n s e t d e d i s t r i b u t i o n s
v e c t o r i e l l e s d e t y p e d e G e v r e y .
1. On rappelle bri~)vement les d~finitions principales sur les espaces de fonetions et de distr ibutions vectorielles <<de type de GEVREY>>, que nous uti l iserons duns la suite et qui ont ~t~ introduits dans [13]; ~t [13] chap. 1 nous renvoyons pour les d~tails et pour les d~monstrat ions; pour le cas ((scalaire 1> cf. ROUMIEU [18].
Soit X un espace vectoriel topologique localement convexe separd. On d~signe p a r ~(X) (resp. ~(X) resp. ~÷(X)) l 'espaee des fonetions ind~finiment diff , . rent iables sur la droite 11~, ~ valeurs dans X, h support compact (resp. /~ support queleonque, resp. /~ support limit~ h gauche), ces espaces ~tant munis des topologies de L. SCHWARtz [21].
Notre objet est ici de ddfinir des sons espaces de ~)(X), ~(X), ~)+(X) par des indgalilds diffdrenlielles. 0 n donne pour cela une suite {M~ }, k - - 0, 1, 2 ...
J. L. Lm~s - E. 5~'AGE~'nS : Espaces du type de Gevrey, etc. 345
de hombres r~els positifs satisfaisante aux conditions suivantes :
(1.1) M~ ~ Mk_~M,+~ ~ k
l il existe une constante B telle que (1.3) /
t Mh+~__B*Mh ~ k
Les deux premieres conditions signifient (cf. par ex. [15]) que la suite est logaritmiquement-convexe et non quasi-aualytique.
Les suites (de type de G]~VRE~) M , - - ( k ! y ou Ma "-F(sk-{-1), avec s r~el 2>1, satis[ont it (1.1), (1.2) et (1.3).
2. Espace ~M~(X). On d0finit alg~briquement l 'espace 6)~fk(X ) comme l 'espace des fonctions
¢p: t ~ ~(t) d~finies dans 1R et it valeurs dans X, telles que
(i.4) ~ E 5~(X)
(1.5)
il existe un hombre L ~ 1 et un born~ ~ de X (d6pondants de ¢~) tels que
~(*~ (t) E ~ k "- 0, 1, ... ; t E 1R L~Mk
Notons que, it cause de (1.3), ~Mk(X ) est invar iant par ddrivation. On d~finit la topologie sur ~mk(X) de la fagon suivante. Soit L , une
suite croissante tendant vers -~ ~ .
On d~signe par ~)~)k(X) le sous espace de 6 )~(X) des ~ it support dans
ca¢n)'X) on introduit [ - -n , n] et tels que (1.5) air lieu avee L - - L , fixei. Et sur ~,~k ~ une topologie, en donnat un syst~me fondamental de voisinages de 0 par
lorsqu'on dans X.
~)) "-{ ~ L~M~--cP~(t) E °"z)x k--O, 1, ..., tE[--n, n]}
fait pareour i r it ZPx un syst~me fondamental de voisinages de 0
Anna~i d~ M a t e m a t i c a 44
346 J. L. LioNs - E. MAGS~nS: Espaees du type de Gevrey, etc.
Alors fgM~(X) U ~") = fgM~(X)
et on munit fgM~(X) de la topologie de limite inductive des ~) On voit faci lement qu 'e l le ne d~pend pas de la suite {L . } choisie.
3. Espaees ~+,Mk(X).
On in t roduid main tenan t l 'espaee ~+,M~(X) des foncticns & support limitd ~t gauche.
X Soit a fix6 r~el; on d6signe par ~)+,Mk( ) l 'espace des fonet ions ¢~: t~c~(t) (de 1R ~ X), telles que
(1.6)
(1.7)
(1.8)
C 8(X)
~(t)--- 0 pour t ~ a
~v L b ( ~ a ) it existe un hombre L~___I et un born6 ~ de X tels que
L~Mk
a,b,L On d6signe par f~+Mk(X) l 'espaee de V sat isfaisant h (1.6), (1.7) et (1.8)
avec b et L fixds; on d4finit an syst6me fondamenta l de voisinages de l 'or igine LT,~a,, b~ L/"r,7 dans ~v+,Mk~) par
L,Mk
lorsqu 'on fait pareour i r h ~2)$(x) (resp. voisinages de 0 dans 8(X) (resp. X).
On d6finit ensui te
~ x ) un syst~me fondamenta l de
(1.9)
~, b c'~a, b, Ln/ "Vx ~+,~k(X) -- U w+, M~ ~ J
L n
L , suite queloonqe croissante tendant vers - ~ 0% a v e c l a topologie de l imite induc t ive ;
(1.10)
'~ X ca~, b~ ~X ~ ~+,Mk ( ) : (3W+,Mk~ ) br,
b. sui te que leonque tendant vers + c~; topologie de l imite project ive.
J. L. Lm~xs - E. ~IAGENES: Espaces du type de Gevrey, etc. 347
Et en fin
(1.11)
@+,M~(X) = U ~ k ( X ) an
a , suite quelconque d~eroissante tendant vers - - c ~ ; topologie de l imite induct ive
REMARQUE 1.1. - De fagon analogue on d~finit l ' e space D_~k(X ) des fonctions de type IMhl ~ valeurs dans X et h support limitd ~ droite.
4. Espace 8~k(X).
De fa~on analogue on introduit l 'espace ~Mk(X ) des fonctions quelconque; on d6finit pour a, b, L fixes (a ~ b):
support
~a,b,L(X)__. t ~'(t) } M~ ~t~ E ~(X), demeure dana un born6 de X, ~ k e t t E[a, b] L*M~
et on le muni t de la topologie d6finie par le syst~me fondamental de voisi- nages de 0 suivant :
~(k)(t ) ~ ,~ } LkMk
off G))~(x)(resp. ~'))x) pareourt un syst~me fondamental de dans ~(X) (resp. X).
Ensui te on pose
$Mk(X ) = N ( U ~Mk (A)) a n , b ~ L n
voisinages de 0
off L , , - ~ + ~ , b , , - ~ ~ cx~, a . - ~ - ~ et on prend lea induct ive pour U et de limite project ive pour N .
Ln (~n ~ b~
topologies de limite
5. Mk-distributions ~ valeurs vectorielles.
Supposona maintenant en plus que X soit rdflexif et notons X' son dual fort. On pose
~9'Mk(X ) = (fgMk(X'))'
avec la topologie forte de dual.
348 J. L. Lions - E. MAGENES: Espaves d~ type de Gevrey, etc.
' X L'espace ~)M~( ) est, par definition, l'espaces des Mh-distributions (ul t ra- distributions) a valeur duns X (~).
La d~rivation et la mult ipl icat ion par des fonetions scalaires de ~ k ( C ) se d~finissent duns ~'~k(X) comme dans les classes de Sct[wAR~z [20], [22] (el. aussi Rou~I~u [18]).
Dans les mSmes hypotheses on pose
' X ' ' ~ ' _ " ~) +,Mk(X) "-- (~--,M~( )) (resp. M~(X) "-- (~+,Mk(X)) )
avec la topologie forte de dual. On peut d~montrer (of. [13] th~or. 9.1, chap. 1) que ~)'+,M~(X) coincide
avec le sous espace de ~)'Mk(X) des distributions ~ support limitg ~ gauche.
I1 est int~iressant de donner des th~orembs de representat ion des ~l~ments de ~'M~(X) et de ~'+M~(X). Darts [13] chap. 1 on a en fair obtenu des r~sultats
ce propos en ajoutant sur l 'espace X l 'hypoth~se suivante
(1.12) ~°(X') est tonneld.
~)°(X') ~tant l ' espaee des fonetions continue sur ~ h valeurs dans X' et h support compact.
§ 2. - E q u a t i o n d u t y p e d e S c h r o e d l n g e r .
1. Equations opgrationnelles. Th6or~mes de M~-rdgulari tg.
1.1. - RAPPELS.
Soient V e t H deux espaees de HILBERT, avec V C H, injection continue, V dense dans H; pour u, v E V (resp. H) on d~signe par ((u, v)), ]l u [] (resp. (u, v), ]u 1) le pr.oduit scalaire et la norme duns V (resp. H).
On identif ie H h son ant idual et on d~signe par V* l 'ant idual de V; comme V e s t dense dans It, on a
V C H C V * .
Si v * E V * et v EIT, (v*, v) d~signe la valeur de v* au point v; si v * E H , (v*, v) coincide avec le produit scalaire dans H ; enfin [] v* 1[* d~signe la norme duale de celle de V.
(~) Cf. remaxque 7.1 chap. I de [13] pour eet te d6fini t ion.
J. L. LIoz~s - E. ~-~[AGENES : Espa.ces du type de Gevrey, etc. 349
On se donne pour tout t E ~ une forme sesquilingaire continue sur V;
u, v ~ a ( t ; u, v)
et on suppose que t--~ a(t; u, v) est inddfiniment differentiable sur ~ pour tout u, v E V e t que
(2.1)
a(t; u, v ) - - a ( t ; v, u) ~ u, vE V;
pour tout T il existe ~T et ka" positifs tels que
a(t; v, v)+; lvl > r]lvIl Vv V, t< T.
La forme t ~ a(t; u, v), ~tant semi-l in~aire continue sur V pour chaque t e t u fixeis, peut s 'eerire
a(t; u, v ) - (A(t)u, v),
ee qui d~finit A(t) E£(V; V*).
Sous l 'hypoth~se (2.1) on d~duit de [10], pag. th. 5.2 p. 172 et Remarque 5.1) que
(2.2)
A(t)u ~ V*
167-172 (en par t icul ier
I pour tout f E ~ + ( V * ) , il existe u unique dans ~)+(V) avec
i A(t)u(t) q- u'(t) - - f(t).
En outre il y a identitd des limites ~ gauche des supports de f et u.
1.2. - TtI]~OR~ME DE Ma-REGULARIT]~.
On se donne une suite {Mh}, de hombres r~els positifs satisfaisante aux conditions (1.1) (1.2) et (1.3) du § 1 et en outre ~t:
(2.3)
On a alors le
I il existe une constante vl telle que
I (k)
Tm~OR~ME 2.1. - On suppose que la suite I Mh} vdrifie les hypotheses (1.1), (1.2), (1.3) § 1 et (2.3) ci dessus.
350 J. L. LIONS - E. MAGENES: Espaees du type de Gevrey. etc.
(2.4)
On suppose aussi que A(t) vdrifie (2.l) et
d~A(t) ~ A(~)(t) E ~(H, H) ~ k ~ 1 A(k)(t) -- ~ ] ;
pour tout b, il existe c et L positifs (ddpendant de b) tels que
liA(~)(t)ll~@x;rs)_~_cLT~Mk pour tout tE[ - -b , b] et ~ k ~ l ,
alors pour tout f E ~)+,Mk(H) il existe u unique darts ~+,~k(V) solution de l' dquation
i A(t)u ~- u'(t) -- f(t)
et u ddpend continuement de f.
1.3. - LEI~I~IE.
D6mont rons avan t tout le l emme su ivan t
LEM~IE 2.1. - Sous tes hypotheses d u n . 1.1 si f E ~+(H) e t a son support limitd ~ gauche par a, on a, pour la solution u de (2.2),
b
(2.5) suPL<b I u(t) t ~ 2 f t f(:) I d~ a
b
(2.G) upliu(t)lt o,o( ,,p lu(t)i + I u',t)l + f t I t~b \ t~_b t~b
05
pour tout b, b ~> a, ca,~ grant un nombre posit i f qui ddpend de b e t a.
a) D~MONSTRATIO~ DE (2.5).
On mul t ip l ie s ca l a i r emen t dans H l '6qua t ion
(2.7)
pa r u(t) ; on a :
(2.8)
i A(t)u(t) + u'(t) - - f(t)
ia(t; u(t), u(t)) + (u'(t), u(t))--(f(t), u(t)).
L '6qua t ion complexe conjugu6e est
- - i a ( t ; u(t), u ( t ) ~ (u(t), u'(t))--(f(t), u(t))
J. L. Lio~-s - E. MAGE~S: Espaces du type de Gevrey, etc. 351
d'ofl, addi t ionant , d
d--t l u ( t ) t s = 2 R e ( f ( t ) , u( t ) )
et, a ~tant la l imi te i~ g a u c h e du suppor t de u et f :
t t
!u(t) l '= e R. f (f(~). ,(~))d~ _< 2 sup t ,(:) J f . _ ~ If(~)ld~
et si a < t ~ b (b fix6 > a) b
] u(t)12 ~ 2 suPt_<b l u(t) l f I f(~)]dz
d'o~t b j- sup I u(t)]~ ~ 2 sup t u(t)] [ f(x) ld:
t<__b t~b
b) I ) ]~MONS'~RATION DE (2.6).
On mul t ip le cet te fois (2.7) s ca l a i r emen t darts H par u'(t); on a
t ~ b
e.q.f.d.
d'ofl i a(t ; u(t), u'(t)) -~ I u'(t) I ~" - - (f(t), u'(t))
- - i a(t, u¢), u'(t)) 4" I u'(t) l ~ = (fit), u'(t))
et par sous t rac t ion
i . e .
d'ofi
(2.9)
a(t; u(t), u'(t)) q - a ( t ; u'(t), u ( t ) ) - - 2 Im(f(t), u'(t))
d dt a(t; u(t), u(t)) - a'(t; u(t), u(t)) - - 2 Im(f(t), u'(t))
t t
a(t ; u(t), u(t)) - - a'(z ; u(z), u(:))dz ~ 2 Im
Si m a i n t e n a n t on ut i l ise (2.1), il vient, pour t ~ b (b fix~, > a) (~')
t t
(~f) l~o tons q u e d e s h y p o t h e s e s f a i t e s au n. 1.1 s u r a(t, u, v) on d g d u i t que a'(t, u, v) es t l i n d a i r e c o n t i n u e s u r V~,<V (cf. [ t0] ).
352 J. L. Lio~s - E. M/IGENES: Espaces du type de Gevrey, etc.
off da,~ d~pend de a et b. Done pour a ~ t ~ b
b
( f ) ) it u(t)11 ~ < 7~,~ (sup ] u(t) I ~ + sup I u'(t) I ~ + I f(~) td~ + a
t
7a, b eostante qui depend de a et b; d'ofl par application du lemme de GnONWALL
tl u(t)li 2 ~ $a,b exp ?.,~(b - - a) ( sup t u(t)t 2 + sup I u'(t)12 + \a~t~b a~t~b
b
d'o~ on ddduit (2.6).
1.4. - D]~MONSTRATIOI~ DU TH~OR~ME 2.1.
H Si fE~)+,M~(H) alors il existe a tel que fE~+,Mk( ). Noas d~montrerons
V que la solution u de (2.7) donn~e par (2.2) est dans ~ + , M ~ ( ) . Done il suffit
de ra isonner sur l ' in terval le [a, b], b fini quelconque, a < b et de d6montrer E ~,b que u ~)+,~k(V).
e$~b Fixons done b > a. Alors fE~+,Mk(H ) done il existe d et ~ tels que
b
(2.10) f l f(k)(t) t dt ~ d ~ M k ~ k ; a
en outre par (2,4) il existe c et L tels que
(2.11)
On pose
I! A(k)(t) II£(H,~)~ oLkMk tE[a,b], k - - l , 2,.. .
Bx -- max/~, L + 4e cl(b - - a)L)
81 = 4d
~ = ~ + ~BI + d + c el~(b -- a)
B~ = max (~IB~, bB~, L + B~)
J. L. Lm~s - E. ~AGENES: Espace~s du type de Gevrey, etc. 353
et on va v~frifier que
(2.12) ~ k a ~ t ~ b
(2.13) tl u(~)(t) II < c~,o ~B~M~ ~ Ic a ~_ t ~ b.
1) D $ ~ o ~ s ~ A w m ~ DE (2.12).
V(~rifions le r~fsultat pour k = 0. De (2.5) et (2.10) on d6duit
1 t u(t) I ~ 2dMo = ~ 8~Mo, d'ofi le resultat .
Admettons (2.12) jusqu'i~ k - 1. On d~dui~ de (2.7)
(2.14) k - , k k • iA(t)u~k) + (u(k))'= f(k)--ii~=o(j)A( -,)(t) u(,)(t)
et on applique (2.5) ~ u(~). Done
b b
t=o \ ? / J a
a~_ t ~ b
et en util isant l 'hypoth~se de r~eurrence et (2.10), (2.11)
I u(k)(t)] ~ 2 d~kMk + 'A cLe-iM~_j(b ~ a)~B{M i ~ (i~ 3~0
cause de (2.3))
a ~ t ~ b
et done
! u(~)(t) ] ~ ~B~Mk 2 ~ B~ Y, Lk-JB~ ]=o
a ~ t ~ b .
k- -1 k
Mais j=o~v L~-~B~ ~ B1------~BI, done, grhee au ehoix de B~ et ~1
L
d I u¢k)(t)l ~ 8IB~Mk j 2 ~+ _ 1BIM~ a ~ t ~ b .
Annali di Matematica 45
354 J. L. LIONS - E. MAGEb~ES.* Espaees d~e type de Gew'ey, etc.
2. - D ~ o ~ s ~ n ~ + I O ~ D~ (2.13).
On ~tablit cette fois l ' in~galit~ d i rec tement sans r~currence. De (2.14), en y uti l isant (2.6) et (2.12), on d~duit
sup I] u(~)(t) ]l ~ ca, o I sup ] u(~)(t) l + sup ] u(~+~)(t) I +
+ b
c~
l k--~/k\ } c~, ~ ~B~M~ + ~B~+~M~+~ + d~ ~M~ + ~ { .| cL~-~M~_~(b - - a)~B~M i
i=o \Y/
k (en appliquant (1.3) du § 1 et (2.3)) < %,0 { ~B~M~ + ~B~+~B~M~ +
+ d~ ~;1I~ + ccx~x(b - - a)M~ ~ L~-iB~}
ca,~M~ { 8~B~ + 8,B~(BB,) ~ + d~ k + cc~8~(b a) (L + B~) k } ~ ca,~ ,B~M~
d'ofi (2.13).
3, - Avec (2.13) on a d~montr6 la parte (~alg~brique>> du th~0r~me 2.1. Reste i~ montrer que u d~pend continfiment de f. Mais (2.13) nous dit aussi
~ ) a , b , ~ - d"~a, b, B2, "tr ~ que f ~ u est une application lin6aire continue de +,M~(H) duns ~ v + , ~ , ~ j (car il s 'agit lh d'espaces de ~R~CttET et on peut appliques le th6or~me du graphe fermi). Et alors compte tenu des d~finitions du § 1, on montre tout de suite que. f ~ u est lin~aire continue de ~+,~k(H) dans !~+,Mk(V). c.q.f.d.
1.5. - RE~AnQU]~S.
1) I1 est possible que l 'hypoth~se (2.4) soit trop restrictive. Elle signifie que
A(t) -- Ao + B(t)
oh : Ao E £(V; Y*) est ind~pendant de t et <~ t ~ B(t) >> E ~Mk(~(H; H)) - done B(t) est (< pra t iquement >> un op~rateur de mult ipt icatio n par un scalaire (cf. N ° 2).
Et il serait int~ressant de savoir si Yon petit par ex., prendre ici pour B(t) un op~ratour differential ~ coefficients d~pendants de t, d'ordre < i~ l' ordre de Ao .
La difficult~ est la suivante : si A (~) est dans ~(V; V*)~ alors l 'utilisation de (2.14) n6cessite une majorat ion de u solution de iA(t)u + ~ ( ~ f, f 6taut
valeurs darts V*; or les majorations de ce type que hens connaissons font
J. L. LIONS - E. M.~a~Es: Espaces du type de Gevrey, etc. 355
intervenir f' (et alors sont inutilisables, u(~) 4rant alors fi uti l iser duns les deux membres de ]a ma io ra t ion ! ) ; par ex., int6grant par parties darts (2.9)
t
(et rempla~ant f(t) par f f'(~)dcJ) on trouve
b
(2.15) suptlu(t)ll~c~* b suptu( t ) ) + ]]f'lt)!]~,dt ~ . t~b t~b
Util isant [10], Th. 5.1, p. 168, on a ~galement
(2.16)
b b b
2) Par des ra isonnements analogues h [13], chap. 2, N ° 2, on verifie que, si A(t)-" A ne d~pend pas de t :
(2.17) d
i A + di est un isomorphisme de ~+,M~(V) sur !it)+,M~(V*).
2. Le cas des op~rateurs di f fdrent ie ls ; probl~mes aux i imites non homog~nes.
2 . 1 . - On peut maintenant d~velopper pour les ~quations aux d~riv~es partiel les du type de SCg~OEDI~GER une th~forie tout g fait analogue ~ celle que nous avons expos~e duns [13] pour les ~quations du type parabolique.
Soit done ~ un ouvert de ~ ' , borne, dont la fronti~re r est suppos~e vari~t4 de dimension n - - 1 , ind(ifiniment diff~rentiable, g2 ~tant d 'un seul cot6 de F.
Soit
~ ) u -- E (--l)lpID~(apu(m)D~u) ..~ b(x, t)u A x, t, ~ Ipl, iqt<<-.~
un op4rateur diff4rentiel lin6aire d 'ordre 2m, donn4 dans le cyl indre Q- - g~X~, sur les coefficients du quel nous ferons des hypoth6ses de regularit4, pr4cis6es au fur et ~ mesure.
On supposera l 'op6rateur A [ormetlement auto-adjoint, done tel que
(2.18) A -- A*( = E (--l)pD~(a~(x)D~u) + b(m, t)u) iP[, ]q~m]
356 J . L. L~oNs - E. M~6n~ns: Espavvs du type de Gevrey, etc.
(2.20)
et auss i fortement elliptique dans ~-----9 U F i.e.
(2.19) Y, (--1)iPtapq(X~)~P+q~al ~1 ~ ~ I R ' , ~ , o~ cons tan te posi t ive. t~i, Iqi = m
On eons id~rera le p robl~me avec conditions aux limites de Dirichlet sur E - - F X ~ R , i.e. le p rob l~me (~)
~u i Au -~ -~. - - f(x, t) dan Q (f ~t suppor t l imit~ h gauche par r appor t ~t t)
l"~u ---- 0 j - - O, ..., m - - 1
u(x~ t) h suppo r t l imit6 k gauche par r appor t h t
~ ' t - - - ~ , 6rant la d~riv~e no rma le k Y,.
2.2. - T H ~ O R ~ E S DE Mk-R]~GULARIT]~.
On voit a lors quon peu t u t i l i se r le th~or~me:~l.1 en posan t
H - - L=(O), V - - H o ( ~ ) (donc V* - - H - " ( ~ ) ) (~)
a(t; u , v ) - - ~ f a (x)D uD, vdx + f b( ,t)uvdx. Ipl, Iql~m
o fl
Plus prdeis~ment , on suppose donn~e une lois p o u r routes une su i te [Mk} v~ri f iant le (1.1), (1.2), (1.3) (§ 1) et (2.3); on au ra alors le
TH]~OR~/~E 2.2. - SOUS les hypothOses (2.18), (2.19), et si
(2.21) a~q E ~o(~), b E ~Mk(~°(~])) (~)
(~) On pourral t aussi eonsiddrer d 'autres problbmes aux limitos formellement autoadjoints. (~) Le(~2)--:=espace hi lbert ien des (classes des) fonetlons do carrg sommable dans 9; HkiP)
(k entier ~ 0 ) - - ~ e s p a c e des u tels que DaueL~(9) pour l c c ] ~ k ; H~(9)~--~adhdreneedans HI~(9) de l ' espaee des fonetions inddfiniment diffdrentiables et ~ support compact dans
; H--k(9) ----- dual fort de H~o(~).
(4) ~)k(~)~ Ck(~) ~k entier ~-0)--~espace de BANACH des fonctions continues dans avec les dgriv6es jusqu'h l 'o rdre k; ~){~))~ C~(~)-----: espace de ~'~R]~CHET des fonctions ind6-
f iniment diffdrentiables dans 9.
J. L. L~o~s - E. ~[AGENES: Espa.ces du type de Gew'ey, etc. 357
alors pour tout f E ~)+,M~(L2(~2)) il existe u E ~)+,M,(H'~(~)) unique telle que
$u (2.22) i Au + ~ - - f dans Q
et u ddpend conf inement de f.
En at i l i sant ce th~or~me et les mSmes ra i sonnement s qu 'au n. 3.2 chap. 2 de [13]~ (eas parabolique), on peut r(igulariser davantage par rappor t aux var iables x et plus pr(fcis6ment ob ten i r :
Tm~ORV,~E 2.3. - Sous les hypotheses (2.18) et (2.19i, et si
a~q E ~)m+~('~), b E ~k(~)m+'(~)) , s ent ier ~ 0
alors iA + ~t est un isomorphisme de ~+, Mk(ItS+2 m(~)N H'~(~)) sur @+, ~k(H*(~])).
En outre si A (et done la fonet ion b) ne ddpend pas de t, on obtient par les m~mes ra i sonnements qu ' au n. 5 chap 4 de [13] le
T~oR~M]~ 2.4. - Sous les hypotheses (2.18) et (2.19) et si en outre
(2.23) P e s t une varidtd analyt ique rdelle,
(2.24) Mh -- (2kin) !
(2.25) a~q E ~(~), b(x, t) - - b(x) E ~(-~) (~)
alors si f E ~)+,M~(~(5)) la solution u de (2.22) au th~or. 2.1 appartient aussi ~+, ~(~('5)).
2.3. - PRO:BL~iMES :NON I tO~[OG~NES.
On peut aussi d4velopper, une th~orie pour les probl~mes non homog~nes, tou~ h ~ait analogue ~ celle du cas parabol ipue ([13], chap. 3) en t ransposant les r(~sultats de r(~gularit~.
Nous nous bornerons ici ~ donner l'(~nonc~ du resul ta t le plus g~ndral que Fen peu t obtenir dans ce cadre et qui correspond au th~orbme 5.1 du chap. 3 de [I3].
(5) ~(~) ~ espace des fonct ions ana ly t iques dans ,~ muni de la topologie usuel le d ' espace (~$:).
358 d. L. LIONS - E . 3:[AGENES: Espaves du type de Gevrey, etc.
Supposons vdrifides les hypotheses (2.18), (2.19), (2.23), (2.24), (2.25).
1) On in t rodu i t l ' espaee
X_ - - { v I v E ~_(~)(~)) , ~'~v - - 0, j "- 0, ..., m - - 1 ; - - iAv ~ v' ~ ~ _ , M~(@(~2)) ¢)
muni de la topologie image rdoiproque par - - i A - - ~ t de celle de ~)_,Mk(~)(~)~) ).
Ut i l i sons le fai~ que, pour f donn~e dans ~)_(~)(~)), il exis te v un ique dans ~)_(~)(~) (3 Ho(Q)) sa t i s fa isant h l 'dquat ion
- - i A v - - ~ - t - " f
(ceci r~sul te de [10] n. 5 pag. 167 ... par le m~me r a i s o n n e m e n t qu ' au th~or~me 8.1 de [10] pag. 12i). Donc on en d~dui t que
(2.26) - - i A - - ~ t est un isomorphisme de X _ sur ~_,Mk(~)(~2)).
2) Rappe lons aussi que pour u, v E ~)(~)(~)) on a la fo rmule de GREEN su ivante (ef. [2])
f f --*f (2.27) (iAu q- u')vdxdt -{- u(i-Av q- v')dxdt = Y. T~u . y~vdo - -
Q q z
- - • yju Tv do
les Tj dtant des op6ra teurs d i f f~rent ie ls d ' o r d r e 2 m - - j - - l , d~terminds par A, h coef f ic ien ts defpendant s e u l e m e n t de 0o et ana ly t i ques en x sur F.
3) On (itudie cnsu i t e l ' appl iea t ion
(2.28) v ~ qgv = { Toy, . . . , T ~ _ l v }
pour v E X _ et on d6montre , comme pour les th6or. 2.1 et 2.2, chap. 3 de [13] (en u t i l i sant e s sen t i e l l emen t le th6or. 1.1 chap. 4 de [13] et [23]), qu ' e l l e est lindaire de X _ sur ~)_,~k(~(F)'~) (7).
(~) ~)(~) ~ espace des fonct ions indgf in imen t diffdrent iabtes et/~ suppor i compact dans ~ a v e c l a topologie de SCHWARTZ [9,0].
(7) ~ ( r ) ~ espace de fonctions ana ly t iques sur F, mun i d 'une topologie d 'espace { ~ ) (of. par ex. [11]).
J. L. Lions - E. M~G~ES: Espaves du type de Gevrey, etc. 359
Si alors N~ est le noyau: de ~, l 'application quotient ~ ' de X-/N~; sur
~_,Mk(~(F)m ) est un isomorphisme algdbrique. Cela nous permet de munir ~)_,Mk(~(P) m) de la topologie image r~cip~oque par ~' de la topologie de X--/N~; (muni de la topologie quotient de celle de X_ par N~;).
Nous ignorons si cette topologie coincide a v e c l a topologie (( naturelle >) d e ~_,M~(~(F) m) rappel~e au § 1. Pour ~viter toute ambiguit~ on notera
tt~)_,.~(~(l~)m) l'espace ~_,M~(~(F) m) muni de la lopologie isomorphe ~t X _ / ~ .
4) On consid~re ~galement un espace K(~) vecloriel tol~ologique locale. ment convexe sdpard rdflexif de fonctions d~finies snr ~, contenu dans L~(~), tel que
t 1) x_ c ~)-, M~(K(~)) (2.29) 2) ~)_,M~(~)(g2)) soit dense duns ~)--,M~(/~(~)).
Par ex. d'apr~s le th(ior. 2.1 on peut prendre K(~) ~ 2 Ho ( ) . On d~signe par K'(~) le dual de K(~).
Enfin on introduit l 'espaee
Y+ -- ( u I u ~+, Mk(~) ( ) ) , iAu + u' E ~+, Mk(K (~)) t
muni de la topologie localement convexe la moins fine rendant continues les applications u - - ~ u et u - ~ i A u + u ' de Y+ duns ~:~,~k(@'(g2)) et ~)~,Mk(//'(~)) ces deux espaces ~tant supposes, pour ~viter des difficult~s topologiques, munis de leur topologie de dual faible de ~)_Mk(~)(g2)) et ~_Mk(K(~)) respectivement.
On peat alors d~montrer (cf. thdor. 4.1 du chap. 3 de [13]) (s) que
(2.30)
l 'application lindaire u ~ yu -- ( you~ ..., T,~-lu } de ~(~(~)) duns
~(~)(F)m) (9) se "prolonge p a r continuitd en une apjplication lindaire
continue, encore horde u ~ yu, de Y+ duns ~)~_,Mk(~(l~)'~), espace
dual de ~t~_ Mk(~(F)'~), m u n i de la topologie faible.
On pent done parler encore de <(trace)> yu de u sur E pour les ~16ments u d e ]~+.
(s) I1 faut seulement s ignaler que dans la ddmonst ra t ion de la :Proposition 4.1 du chap. 3 de [18] on dolt duns ce cas ( l ' o p g r a t e u r - - i A v + v ' n ' g t a n t pus m~me hypoell ipt ique) ut i l iser la note (i~) en bus de page de [13].
(o) ~(F).~-~espace de FRECHET des fonctions indgf in imen t di f fgrent iables sur F.
360 J. L. Lm~s - E. ~¢[AGENES : Espaves du type de Gevrey, etc.
0 a pent maintenant transposer l ' i somorphisme (2.26) et in terpreter le r~sultat qu~ l 'on obtient, i~ l 'aide surtout du ((th(iorbme de trace)) (2.30).
On obtient f inalement (comparer au th~or. 5.1 du chap. 3 de [13]~:
T ~ o n ~ I E 2.5. - Sous le hypotheses (2.18), (2.19), (2.23), (2.24), (2.25), pour tout f E~,Mk(K'(~)) et g E ~ _ , ~ J ~ ' ( F ) "~) donnds, il existe u unique dans ~ . , Mk(~)'(~)) satisfaisant
t A u + u ' - - f y u = g
et u ddpend confinement de f e t g pour les topologies faibles de chaque espace.
§ 3. - E q u a t i o n d u d e u x l ~ m e o r d r e e n t.
1. Equation diffdrentielle opdrationnelle.
1.1. Ttt~ORI~ME DE Mk-R]~(~ULARI~]~. - Dans les m~mes hypotheses qu 'au n. 1.1 § 2 on peut considerer le probl~me analogue pour l 'dquation du deuxii~me ordre en t
(3.1) A(t) u(t) + u"(t) = f(t).
On sail alors (el. [10] chap. viii) que
t pour tout f E ~ + ( H ) il existe u unique dans ~)+(V) solution de (3.1) (3.2)
et il y a identitd des limites ~ gauche des supports de f et u.
On se donne encore une suite {Mk} satisfaisante aux conditions (1.1), (1.2) et (1.3) du § 1 et (2.3) du § 2.
On a te
T E ~OR~E 3.1. - S o u s les hypotheses rappeldes ci dessus pour la suite {M~} et si on suppose que A(t) verifie (2.1), § 2 el
A(~)(t)E~(V; H), si k ~ 1
[3.3) et pour tout b il existe v et L ddpendant de b, tels que
llA(~)(t)H£(v;u)~cL~M~; k ~ l et t t l ~ b ;
alors pour tout f E ~+,mk(H) il existe u unique dans fg+,Mk( V) solution de (3.1); et u ddpend confinement de f.
J. L. Lm~s - E. 5i~Gn~ES: Espaees du type de Gevrey, etc. 361
1.2. - L E ~ E .
Pour la d~monstration, nous uti l iserons le :
LEMME 3.1. - Sous les hypotheses pour A(t) du n. 1.1 § 2 et si f a son support limitd ~ gauche par a, on a pour la solution u de (3.2) et pour b fini, b > a,
b
(3.4) s u p Ill ~(t) t~b \ J /
Ca,~ gtant un nombre posi t i f qui ddpend de a el b.
D~[ONST~A~ION.
On multipl ie scalairement (3.1) par u'(t) dans H et on trouve de fa¢on analogue h 1.3 b) du § 2;
d'ofl
a(t; u(t), u'(t)) + (u"(t), u'(t)) = if(t), u'(t))
d [a(t ; u(t), u(t)) + t u'(t) 1 ~] = a'(t ; u(t), u(t)) + 2 Re(f(t), u'(t)) dt
et .done pour a ~ t ~ b en int~grant et en uti l isant (2.1) (§ 2)
t t t
¢%ll u(t) H~-- ),o l u(l) I2 + l d(t) ]~ ~ d,,~ f il u(x) it'd: + f lf( )l*a + f,
(da, b constante d(~pendant de a et b).
t t
a a
t t
H u(t)[l~ + J u ' ( t ) t2~7a , b l f (] t u(z)l]z + }u'(z)t2)dz -~ f lf(~)t2d~ I a
a ~_~ t ~_~ b
(~'a,b eonstante dependant de a e t b) d ' oh (3.4) par application du lemme de G~O~WALL.
1.3. - D~O~STRA~IO~ DU TH~OR~lVm 3.1.
Comme au th~for. 2.1, § 2 il suffit de ra isonner sur un interval le fix~ [a, b], ayant suppos~ que le l imite ~ gauche du support de f e s t a. On a
A n n a l i d i M a t e m a t i e a 46
362 J . L. LIONS - E . ]~AGENES: Espaces du type de Gew'ey, e tc .
par hypo thbse b
tt A(~)(t) lt£(r';H) ~-~ cLkMk
d, £ , c, L, cons tan te convenables .
On pose
Bo - - m a x [ £, L --}- 2cLclVb - - a]
8 --" 2ca,~d
et on w vdr i f ie r que
(3.5) II u~k)(t) II ~ 8BkoMk
H u(t)]I ~ M..
~ k
t ~ [a, b]
k - - l , 2, ...
pa r r~cu r r ence su r k.
On d6dui t de (3.4)
~ k , a ~ t ~ b
Admet tons ( 3 . 5 ) j u s q u ' ~ k - 1. On d6dui t de (3.1)
A ( t ) u (k) "4- (u(%" = f(k) _ y. A(k- i ) ( t )u(J)( t )
d'ofi, en a p p l i q u a n t (3.4)
b b
Mais
a ~ t < = b .
b
(%
Vb - - a sup ]A(k-i)u(1)(t)l a~t<__b
Vb - - a sup II A(k-¢)(t) It£(r~,H) II u(J)(t) ]l ~ Vb -- a cL~-1M~_j 8B~M i. a ~ t ~ a
d. L. LIO~S - E. MA~ENES: Espace, du type de Gevrey, etc. 363
Et alors en portant dans (3.6) et en utilisan~ (2.3), on a
]g--~. II u(k)(t) li ~ Ca,b[~ ~ ~)/f~ + Vb - - a c~ctM~ x L~-iB~]
]=o
i.e. (3.5).
La d~monstrat ion du th~orbme se termine maintenant de fa¢on analogue au. th6or. 2.1, § 2.
1.4. - REMARQUES.
On peut faire des remarques sur l 'hypoth~se (3.3) analogues ~ celles de la Remarque 1), § 2, n. 2.
2. Le eas des opdrateurs diffdrentiels; probl~mes aux l imites non homog~nes.
2.1. - T~]~o~ME DE M~-~GULAI~IT~.
Soit encore g2 ouvert de ]R n, avec les m~mes hypotheses qu 'au n. 2.1 § 2. On consid~re, dans le cyl indre Q - - ~ ¢ , un op~rateur diff~rentiel lin~aire d 'orde 2m, de la forme suivante
) u -- (--1)l~iD~(%q(x)Dqxu) + bp(~v, t)DPxu 3 \
A x, t, ~x Ip!,lql~*nZ Ipi<-~v'
et on suppose encore que
(3.7) A est formellement auto-adjoint (A = A*) et fortement eltiptique dans 5 (i.e. sat isfaisant fi, (2.19)).
On consid~re encore dans ce cas le probl~me avec conditions aux limites de Dirichlet sur ~, i.e. le probl~me
(3.8)
~2U A~ + ~ = f(x, t) (f donn6 h support limit~ i~ gauche
par rapport i~ t)
"flu - - 0 j ' - O , 1, ..., m - - 1
u(x,, t) ~ support limit6 i~ gauche par rappor t i~ t.
En nti l isant le Th4or~me 3.1, de fa~on tout ~ fair analogue au cas para- bol ique (n. 3.2, chap. 2 de [13]) et au cas de l '~quat ion de SC~RO:~DI~(~ER (n. 2.2, § 2 de ce travail) on obtient le th~or~me de r~gularit~ snivant
364 J. L. L~o~s - E. M~¢nNES: Espaves du type de Gew~ey, etc.
T~OR~ME 3.2. - Sous les hypotheses (1.1), (1.2), (1.3) § 1 et (2.3) § 2 pour t M~t el (3.7) el si
arq 6 ~m+,(~), b~ ~ ~Mk(~m+'(~)) s entier ~ 0
alors A -{- ~-~ est un isomorphisme de ~)+,M~(H~+~'~(D)V~B~(O)) sur ~)+,M~(H'(~)).
2.2. - Mais une situation diff~irente se rencontre lorsqu 'on veut ~tendre les r~sultats dans les espaces ~)+,Mk(~(~)) et la thdorie des probl~mes aux limites non homog~nes. En fail ils ne s'dtendent sans modification essentidle que si l'ordre de l'opdrateur A est p lus grand q~ue 2 (i.e. m > 1 ) . Cherchons pour f ixer les idles h ~tudier les resultats de r~gularit~i duns les espaces D+,.~,(~ (~)).
Supposons v~rifi~tes les hypotheses (2.23) sur F et (3.7) sur A e t en plus l' hypoth~se
(3.9) a~q E ~(~) , b(x, t) - - b(x~) E ~ (~)
et supposons encore pour l ' ins tan t que {MA} satisfait aux hypotheses (1.1), (1.2), (1.3) du § 1 et (2.3) du § 2.
Soil f E ~+,Mk(~(~)) et soit u la solution de l '~quation
(3.10) A u -~ u" - - f
que nous est donn6e par le th6or~me 3.2. Si on d6rive (3.10) par rapport ~ t (A ne d6pend pas de t) ct on y applique l 'op~rateur A, on obtient la relation
k--1
(3.11) A~u -- - - u (~k) ~ ~ AJ(f~2(k-i -1))) k - - 1, 2, ...
A k d4signant le k-i~me it~r~i de A. On voit done q u e si 1'on veut d~velopper les m~mes ra isonnements qu 'au
th~or~me 5.1 du chap. 4 de [13] et appliquer le th~orbme 1.1 du chap. 4 de [13], pour obtenir l 'analyt ici t~ de u par rapport aux variables x, on doit supposer
(3.12) Mk =- (kin)!
Mais {Mk} devant ~tre non quas i -analy t ique (hypoth~se (1.2)) ceci n ' es t pos- sible que si
(3.13) m >I
J. L. LIONS - E. ~/~AGENES: Espa.ces du type de Gewrey, etc. 365
Done le th4or~me 5.1 du chap. 4 de [13] peu t ~tre d tendu de la fa¢on suivante
TH]~OR~ME 3.3. - SOUS les hypotheses (2.23), (3.7), (3.9), (3.12), (3.13), si fE ~+,Mk(~(~)) la solution u de (3.7) appartient aussi ~ ~)+,Mk(~(~)).
Darts les m~mes hypotheses on peu t d~velopper la th~orie des probl~mes aux l imites non homog~nes de faqon tout h fait sembable au cas parabol ique (chap. 3 de [13]) et au cas de SC~ROEDI~]~R (n. 2.3 du § 2) ; on arr ive encore au m~me type de r(isultat, qui, avec des notat ions analogues, s 'dnonce :
T~]~ORV,~E 3.4. - Sous tes hypotheses (2.23), (3.7), (3.9), (3.12), (3.13), pour tout f E ~)~,M~(K'(~)) et g E ~:~,M~(~'(F) m) il existe U unique dans ~)+,M~(~(~2)) satisfaisant
I Au-~u"- - - f I yu--g.
2.3. - L 'hypo th~se (3.13) uti l isde dans les th~or. 3.3 et 3.4 exclut les cas ~2u
hyperbolique, par ex. l 'dquat ion des ondes - - h ~ u - ~ ~ - - - - f . I1 est done int~-
ressant de chercher ~ g~n~raliser les quest ions de faqon que l ' on puisse consid(irer aussi le cas hyperbolique. I1 faut pour cela subs t i tuer i~ 1' espace ~(~) des fonet ions analyt iques par rappor t aux variables x un espace du type de Gevrey p a r rapport aux m~mes variables. Et on volt que un point essentiel est alors de gdn~raliser le th~orbme 1.1 du chap. IV de [13], sur l'analyticitd des fonctions, au cas des classes de (~EVREY; c ' es t p rdc isement le but du procha in chapitre .
2 . 4 . - RE~ARQUE.
Dans le cas des 6quat ions parabol iques [13], on peut, grace au r~sultat de CAVALLUCCI [3], supposer que les coefficients a~q d~pendent aussi de t (de faqon convenable et p r~e isement : a~q E ~Mk(~(~)) , Mk--(2kin) !). La quest ion d ' u n e telle extension dans le cas des ~quations de SCHROEDINGER OU du deuxi~me ordre en t e s t ouver te : dans ces cas, les ~quations n '~ tan t pas quas i -e l l ip t ique , le rdsut ta t de [3] ne s 'appl ique plus.
366 J. L. LioNs - E. ~IAGENES: Espavvs du type de Gevrey, etc.
Ct-IAPITRE II.
REMARQUES SUR LES O P E R A T E U R S E L L I P T I Q U E S ET LES CLASSES
DE G E V R E Y ; A P P L I C A T I O N S AUX EQUATIONS D ' E V O L U T I O N
§ 1. - P o s i t i o n d u p r o b l ~ m e e t p r ~ l i m i n a l r e s .
1. Hypotheses sur la suite (Mk }.
Ce chapitre eontient la g~n6ralisation du th~orbme 1.1 du chap. 4 de [13] dent nous avons d(tjh, parl6. Nous ut i l iserons des suites {M~} de hombres r6els sur les quels nous ferons des hypotheses en pat t ie d~jh rencontr~es au chap. I.
Soit done {Mk}, k "-O, 1, ... uue suite de nombres r~els sat isfaisant aux condit ions suivantes :
(l.1) M,~ > 0 ~ k
(1.2) M~ ~ M~_~ M~+~ ~4 k
(1.3) il existe une constante B telle que
Mk+~ ~ B~Mk ~ k
(1.4) il existe une constante cl telle que
(k) Mk_j Mj ~ c~ M~ J
O ~ j ~ k , ~/ k
(1.5)
(1.6)
M~ _< Mk+l ~ k
pour m entier posit i f fixd il ex~iste dl (ddpendant de m) tel que
(1.7) il existe une constante d2 tellle que
M h + k ~ a2 2V-l h lVl k ~ h , k.
Les hypoth6ses (1.1), ..., (1.7) sont vdrifides dans le cas des suites de Gevrey proprement dites, c'est h dire dans le cas
(1.8) M~ ~-(k!) ~ avec s r~fel fix~, s ~___ 1.
J. L. L~o~s - E. MAGENES: Espaves du type de Gevrey, etc. 367
On v6rifie tout de suite dans ce cas (1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (1.5); (1.7) est aussi rulable avec d z - - 2 ~, car on a ( k + h ) ! ~ 2 ~ + a k ! h ! ; enfin (1.6) est rulable avec d ~ - - m ms car on a
((pro + m)! ) ' t q ((pro + q) l )~ ]
= [(pro + q + 1) ... (pro + 'n)] "~q ~ (pitJ$ --~ T~$) sq(m-q)
ms(m--eD sq(m--q) mscrn--q~ s(m--q) ~_~ m (pro + 1) ~ m [(pro-4-1)... (pm+q)]
< [rn~ ((pro + q)!)~ t ~-q
ce qui est ~quivalent h (1.6).
Notons encore quelques cons6quences de (1.1), ..., (1.7); de (1.2) (convexitd logarithmique de la suite (Mk}) on d6duit
(1.9) Mv+~ Ma+h pour p ~ k et h quelconque. M~ ~ --M-:-~
En appl iquant (l.9) deux fois on obtient encore :
(1. lO) M~+h~Mk+q pour p ~ k et h~q . i ~ M h ~ M h Mq
De (1.4) on d~duit
et donc
(1.10')
kMa_~ <~-M~ M ~ ~ k ~ l
pour p ~ k, k ~ l.
2. Espaee GM,(g{).
Soit gg un compact formeture d ' u n ouvert bornd de 1R"; et soit t Mk} une suite satisfaisante ~ (1.1)... (1.7); nous ddsignons par ~Mk(~ ) l'espace des fonctions a~---~u(x) ind6finiment diff~rentiables dans ~ telles qu' il existe deux constantes c et L (d~pendant de u) telles que
(1.11) sup Z I D~u t ~ cLkM~ V- k.
On voit tout de suite que ~Mk(~ ) est un espace vectoriel et qu 'on peut de fa~on usuelle muni r ~Mk(gC ) d 'une topologie de limite inductive d 'espaces de BA~Ao~.
368 J. L. Lm~s - E. M~G~ns: Espaves du type de Gevrey~ etc.
On v o i t aussi que, grace ~ (1.3) ~Mk(g ) est stable par rapport /~ l 'op~ration de d(frivation.
I1 est aussi facile de d~montrer , en ut i l i sant (1.2), que si u et v appar- t i ennen t g ~Mk(g) alors Uv y appar t ien t aussi (~Mk(g) est une alg/~bre).
En ut i l i sant (1.4) on peu t aussi d~montrer (voir par ex. FRIV, DMA~ [6] n. 2 et [7] pug. 160 et pour le eas M h - - (kl) *, s ~ l , GEVRE¥ [8]) que l 'op6- ra t ion de composi t ion de deux fonct ions ne fait pas sort i r des espaces ~M~(g): plus pr~cisement si u(w)~ ~M~(g) et v~(y), ..., v,(y) sont n fonet ions qui appartie- nent/~ l 'espace ~M,(~), ~ compact de l 'espace ~R ~, et si (v~(y), ..., v , (y) )~g ~ y ~ , alors u(v~(y), ..., v.(y)) ~ ~M~($3).
Si U ~ M ~ ( g ) on dit aussi que u est de vlasse {M~} duns g ; duns le cas de Ggvm~¥ proprement dit, M~----(k!) ', s__> 1, on dit aussi que u est de classe de Gevrey d'ordre s duns ~ . I1 est connu (v. par ex. G]~v~g:r [8]) que l ' on obt ient toujours la m~me classe d ' o rd re s si l ' on pose (au l ieu de M~: = (k I)~), M~ = r(ks -+- 1), ou encore M~ -- k ~.
Enf in rappelons encore que de (1.2) on d~duit que ~M~($~) est une classe non quasi-analyt ique de fonet ions (cf. NA~DELBROZ~ [15]) si et seu lement si { M~ } satisfait aussi /~ 1' hypoth~se
(1.12) k = ~ M ~ - <~ co.
Nous dirons aussi @u'un ouvert ~2 de 1R '~ est de classe {Mk} si la fron- tieire P de ~ est une vari~t~ ind~f in iment diff~rentiable de d imens ion n - - 1 , dont les (~cartes locales>) sont donn~es par des fonctions de classe {Mk} duns un compac t de 1R "-~, £2 ~tant d 'un seul cOt~ de F.
Nous renvoyons pour d 'aut res propri~t~s des espaees ~Mk(~) par ex. /~ [4], [5], [6], [8], [15], [17], [18], [19], [23].
3. Enoncd du th~or~me principal.
Nous d~montrerons dans le § suivant l e :
T ~ ] ~ o ~ I E 1.1. - Soit tMk} une suite de nombres sat is fa isant ~ (1.1)... (1.7); soit f2 u~ ouvert bornd de ~n, de classe lMk}; soit
lal<_m
un opdrateur diffdrentiel lindaire d'ordre m, 7proprement elliptique au sens de [1], (~ coelTioients as appartenants ~ ~Mk('~). Ddsignons p a r ~I ~, i - 0, 1, ...
J . L. LIONS - E. MAGENES: Espaves d~z type de Gevrey, etc. 369
le i - i~me ildrd de ~ , 6 I ° u - - u . Alors si u ~ f~(~) et s'il ex.iste deuw constantes Lo et ~o telles que
i II ~*u IIz~(~) ~ coLoMi,~ ~ i entier ~ 0
(1.13) -~-,
j=o
u appart ient ~ ~Mk(~ ).
Si M ~ - - k t on re t rouve le thdor~me 1.1 du chap. 4 de [13]; ~Mk(~ ) est alors la classe des fonctions analyt iques dans ~.
Le th(ior~me g~in~ralise d ' une par t le th~orbme de ~ORREY-~*IRENB]~RG [16] et celui de KOTAK]~-NARASIMr~aZ~ [9] (cf. aussi ARORSZaaR [2'] et NELSON [24]) sur l 'analytici t6 des fonctions et d ' a u t r e par t les r~sultats de FmBErt(~ [4], ~v r tm]~ [17] et Rol3~IEV [19] sur les classes de GEvl~Y.
Nous d onnerons duns le § suivant une d~monstrat ion directe de ce th~o- r~me, en ut i l isant essent ie l lement les m~mes techniques que duns MORREY- R~E~BE~(~ [16] et KOT~K~-N~RAS~M~Z~ [9].
Mais il nous semble int~ressant de faire connaitre aussi une d~monstration indirecte, qui r~duit tr~s s implement le th4oreme aux r~sultats de ~/IORt/EY- NIRE~BERG [16] et de C~VALLUCC~ [3], au moins darts une hypoth~se plus restr ict ive sur ~ et dans le cas des classes de GEVREY d'ordre s a v e c s rat ionel ~ 1.
4. Une ddmonstration simple duns des eas partieuliers.
4.1. - Reprenons le eas analytique, i.e. M k - - k ! .
Supposons aussi, pour simplifier, nulles les condit ions ~ la fronti/~re; done on a u E ~(~) qui satisfait i~
(1.14)
l i •
m yi(g 'u) = 0 j = 0, ..., ~ - - - 1.
Cherehons i~ d~montrer que u est analyt ique duns ~.
On introduit une variable suppldmentaire y (y E ~) et la fonetion vectoriel le
(t.15) w(y) ~ ~ ,, 6t'u - - (--1) ( ]~+lhJ~" - -
8 t_ (~0) H +'(r) , s entier ~-0, est l'espace des , t races , s u r r des fonetions do Hsq-i(~); "~j
dgsigne la d~irivge normale h 'F d'ordre j.
Anna$i di Matematica 47
370 J. L. Lm~cs - E. MAGENES: Espaves du type de Gevrey, etc.
pour laquelle nous allons successivement v6rifier les propri4t6s suivantes
y---.-w(y) est une fonction analyt ique dans ]--Yo, Yo[, (Yo eonvenable) (1.16)
valeurs clans H " ( ~ ) ;
(1.17)
dans le cyl indre Qo -- ~2 X] - - Yo, Yo[ on a
(_1).~ ~"w ~y,. + ~w =o;
(1.18) w : O, ~V -" O, ..., ~v,,,/~_ ~
(v normale ~ Eo).
- - 0 sur E o - - F X ] - - y o , Yo[
Admet tant un instant ces propri~t4s v4rifi(ies il r4sulte de (1.17) et (1.t8) que l'on peut appl iquer le th6or6me de ~[ORREY-b;IR]~En~ [16], si l '0p4rateur
(-- 1)"/~ ~" ~-~ ~ ~ est proprement elliptique dans Qo.
Or, paisque ~ est proprement elliptique dans ~, il suffit de supposer en plus que ~ vdrifie
o~t do(x, ~) "- E a ~ a est la forme earact6rist ique de 4 ; en part icul ier eerie [a]=m
hypoth6se est v~rifi~e si ~ est fortement elliptique dans ~. Sous la nouvelle hypoth6se on a done que w est analyt ique dans
X ] - - Y~, y~[ pour tout y~ < yo. Done w(o)= u est analyt ique dans ~ . La v6rifieation de (1.16), (1.17), (1.18) est faci le ; on note d'abord que
pour route fonetion v E H'~(~), avec 7iv = O, 0 ~ j ~ m/2 - - 1, on a
(1.19) l]vl[R,,(a)~c.([l~vlIL~(a) z e IIvl]L~(a)) (c. constante).
Appliquant (1.19) i~ v - - - ~ t u on en d6duit :
d'oit
II ~ ' u IIR'(a) ~ o,co(L~(im) ! "~- L~+~(( i + 1)m) !)
(1.20) II~'u]l~,~(a)~L~(im)! ~ i , (c,/~ eonstantes}.
Alors (1.16) r~isulte aussitOt de la d~finition (1.15) et de (1.20). La v~rifi- fication de (1.17) est un calcul imm~diat. Enfin eomme 7i est un op4rateur
J. L. LIONS - E. ~IAGENES: Espaees du type de Gevrey, etc. 371
l in~ai re con t inu de H" (Q) dans Hm-~-~(F) on a
~ J w(y) = ~ (-- t?'"/~+l'y ~" y (~t'u)
~=o ~vl (im) !
(convergence dans H~-~-~(F)) et d 'apr~s (1.14) on en d~dui t (1.18).
4 . 2 . - Consid(irons m a i n t e n a n t le cas des classes de Gevrey d'ordre s rationnel; on pre i ldra done
Mk - - F(ks -{- 1) avec s r a t ionne l ~ 1 ;
donc u E ~)(~) et sa t i s fa i t it
(1.21) t }1 a'u t!z~(~) ~ eoLoF(ism + 1) ~ i
7 j ( ~ u ) - - 0 j - - 0, ..., ~- - - 1.
Cherchons it ddmon t r e r qu' alors u est de c l a s s e s de G]~v:aE¥ duns ~. Le p r inc ipe de d~mons t ra t ion est ana logue , mais , au l ieu de se r a m e n e r au rdsu l ta t de I~[ORREY-NIRENBERG pour les op~ra teurs e l l ip t iques , on v a s e r a m e n e r it u n r~sul ta t r~cent de C~VALLUCCI [3] pour les op~ra teurs quasi- etliptiques.
Soit s - - p / q , p e t q e n t i e r s ; on in t rodu i t eet te lois
OG
(1.22) w(y) -- Y, (--1)"P~l"+~)y ~ C~q~u ~=o (pim ) l "
On vOrifie comme en (1.20) que
(c, L constantes)
de sorte que l ' o n a encore (1.16). Pu i s on v6rifie que w e s t solut ion, duns Q o - - Q X ] - - y o , go[ , de
(1.23) (__l)pm/2 $~"w ~y~m + ~qw = 0 et que
3Jw ~ J ( C f w ) 3i(Ctq-lw) 0 sur Eo j - - 0, m 0v--)- - - OvJ 3v~ . . . . ,2 - - - 1.
372 J. L. LIo~s - E. M~G~ES: Espaves du type de Gevrey, etc.
Paisque ~ est proprement ellip~ique dans ~, si on suppose en plus que
mq
pm ~pm ~Iqo(x, ~) 6rant la forme earaet6rist ique de ~q, l 'op6rateur ( - - 1 ) ~ - ~ - 4 - ~ l q
est quasi-e l l ipt ique ~ coefficients de GEVREY et 1' on peut clone ut i l iser le thfiorbme de ~AVALLUCCI [3] (teor. 6.1) sur la r6gulasisation des solutions des 6quations quasi -e l l ip t ique: done w est de classe de GEv~EY d'ordre s en z et d 'ordre 1 en y (i.e. analyt ique en y), dans ~ X ] - - y , , y~ [, pour tout
Yt <Yo . Done w ( o ) - - u est de elasse de G]~vrt~Y d 'ordre s duns ~ .
RE~ARQUE 4.1. - S i s est rdel non rationnel la d6monstration pr6c6dente n'est plus rulable i probablement peut 'on l '6tendro en ut i l i sant :
a) les puissances f ract ionnaire de ~ (qui sent d6finies, e a r - ~ est g6n6rateur infinit6simal d 'un semi-groupe analytique)
b) une extension (~ mettre sur pieds) du resultat de Cavallucci aux opdrateurs intdgraux-diffdrentiels.
Une autre m6thode d 'a t taque eonsisterait /~ uti l iser l ' interpolat ion entre espaces de GEVREY. De routes fa~ons, il est douteux que F e n obtienne alors une d6monstration ¢plus simple)) que eelle donn6e au § suivant.
RE~ARQUE 4.2. - Le m~me type de dOnonstrat ion donne un r~sultat int4ressant lorsque ~ est un opdrateur quasi-elliptique.
Bornons nous h u n exemple simple. On considbre
(1.24) 6~-- ~x~A-~x~
dans la demi-boule ~ 2 , 0 - - { ~ v ~ + ~ < r o , x 2 > 0 } de rayon re; on se donne une fonction u E ~)(~r0) telle que
(1.25) I! C~tu ]iL'(nr o) ~ coL~o(4i) ! ~ i (co et Lo constantes)
OJ(~*u)_.0 pour ~ 2 - - 0 , j - - 0 , 1 , ' ~ i . (1.26) ~x /
Qo,) Si on suppose q : ~ q ' , q' entier (co qui est toujours possible) alors on volt que l 'hypothese est ~,erifide, par ex., si ~t est fortement elliptique.
J. L. L~o~s - E. MAa~ns: Espaves du type de Gevrey, etc. 373
Alors u est, dans chaque demi-boule ~ , de rayon r, < ro, de elasse de Gevrey d'ordre 2 en x~ el analyt ique en ~ . En effet, on in t rodui t
wiy) "- ~=o ~ (--1)~Y~' (4i)I
qui est solut ion dans ~,.o X ] - -Yo , Yo [ (Yo convenabte) de
~y, + C~w -- 0
et qui vdrifie
~Jn) ~z{- -O, ] ' - - 0 , 1 , pour x~--O.
Alors d 'aprbs CAVALLUCOI [3], on a l e rdsultat .
§ 2. - D d m o n s t r a t i o n d u t h d o r b m e p r i n c i p a l .
I . Majorat ion des ddrivdes tangent ie l les .
La ddmons t ra t ion du thdorbme L t peut 6tre ramende par <~ cartes locales>> h la d~monstra t ion du thdorbme 2.1 suivant (qui prdcise mSme le rdsul ta t prdeddent).
Ddsignons par (x, y) - - (x, , ..., ~c,,_~, y) le point gdndrique de ~ " et par y2 ~ , . ( r>O) la demi -bou le {(x,y) l x ~ + . . . ~ c . _ ~ + < r ~, y > 0 } et par r,. la
part ie de la fronti6re de ~ . tel le que y - - 0 . Soit r0 fixd, 0 < r o < l et soit
(2.1) ~ u - " ~. a~(x, y)D~u i~]_<m
un opdra teu r diffdrent iel l indaire, d 'ordre m pa i r , / t coefficients a s appartenants (~ ~Mk(~,.o), {5Ik} dtant une suite fixde de hombres rdels positifs s~tisfaisant aux condi t ions (1.1)... (1.7); et supposons ~ proprement elliptique dans ~ o . Alors
Tm~oR~]~ 2.1. - Sous les hypotheses faites ci dessus, si u 6 @~,.o) et s'il existe Co el Lo posi t i fs tels que
coLoM~
374 J . L. Lm~s - E. MA~E~ES: Espaces du type de Gevrey, etc.
m/z-~
(2.3) !al=km j=o
• i k+t+l (~)
pour tout k et i entier ~ O, alors il existe r' < ro (ddpendant de Lo el ~) tel qne ~Mk(f~, ) et si ~o demeure dans u n bornd de 1R ~, u demeure dans un bornd de ~Mk(~,,,).
1 . 2 . - Dans ce num~ro nous donne rons les ma jo r a t i ons des d6riv~es ( ( t a n g e n t i e l l e s , c ' e s t h d i re pa r r appor t aux va r i ab le s x~, de la fonc t ion u. Nous u t i l i se rons des no ta t ions q u e l q u e peu d i f f6rentes des no ta t ions de [13] chap. 4.
On in t rodu i t les s emino rmes (0 < r ~ to, k, s - - 0, 1, 2, ...)
1131=s t~l=k
ltl u ifio, = j=o
tl ly--o
[H u [lltc, ; - - E t1[ D~u IH~,~" tal=tc
On conv ien t auss i de pose r
Ilult ,- , =t1 llo, O < r < r o , s=o, 1 ,2 , ,
On en d~dui t que l ' on a
(2.4)
p o u r les s, k~ j, r p o u r l esque l s les d e u x m e m b r e s de (2.4) sont d~finis.
Les d e u x l emmes su ivan t s sont b ien connus (of. pa r ex. [16] et [9]):
LEM~tv, 2.1. - Soil q entier avec O ~ q < m et r < ro; it existe une constante c,, (ddpendant seulement de m et ro) teUe que pour tout ~ ~ 0 et pour route fonction u E ~)(~0) on air
q
(2.6) q
(~t) Do fa~on dVidente D x (resp. Dy) dgsigne une ddr iva t ion par rapport aux var iab les x (resp. y) ; D une ddr iva t ion par rappor t ~ toutes les var iables .
J . L. Lm~s - E. ~IAGENES: Espace~s du type de Gevrey, etc. 375
q
(2.6') II u [l~,~,~ ~ ~ [[ u t[~,,~,~ + ~ ~ - q it u II~,o,~
pour tout entier k ~ O.
L E ~ E 2.2. - Pour tout ~ ~ 0 il existe c,,(~), ddpendant de ,(et ro) que pour toute u ~ ~(~o) et 0 < r < ro on ait
telle
~ 4
m--t m (2.7) E liD. Utlo, t , .<~ltD~ulto, o,,.+c,~(~lllutlo,,,,,,.
RE~[ARQUE 2.1. - Soit p en t i e r ~ 0 ; en app l iquan t (2.5) it D~u avee i : ¢ l - - p m et en somman t on obt ient
(2.8) q
p, k ' - O, 1, 2, ..., O ~ q < m .
On obt ient des in~gali t~s ana logues en app l iquan t (2.6) et (2.7) au l ieu de (2.5).
Le l emme su ivant est une consequence connue (of. pa r ex.,[13] l emme 2.4, chap. 4 et [14] teor. 13.1) des ma jo ra t ions sur les solut ions des probl~mes a u x l imi tes e l l i p t i ques :
LEMME 2.3. - Sous les hypotheses faites sur ~I il existe deux constantes positives r~ et c2 ~r~ ~ ro) ddpendant seulement de ~ (~2) telles que si r et sont positifs avec ~ ~ r, r -~ ~ < r~ et u E ~(~o) on ait
(2.9)
On a encore le
LEMME 2.4. - Si a est une fonotion appartenante ~t ~Mk(~ro ) et satisfaisant
(2.10) sup ~ 1D~al ~ cLkMk (c et L constantes) k - - 0, t , 2, ... (x,y)E~ ° Ja]=k
alors pour tout k :> 0 et u E ~(~,.o) et r ~.~ ro on a
(2.11) ~--1 1
t~tE=k It [a, D,]u IIo, o,~ ~ cc:2dkL k E ~ It u llo,p, ; p=o IVI ~ L v
o/t [a, D~]u- - D~u D~(au)
(t'2) On rappelle que (of. [1], th6or. 15.1) r i e t c~ d6pendent de la eonstante d~ellipticit6 de ~, de la borne supgrieure des modules de % et du module de continuit~ des a$ , aveo
376 J . L . L i o N s - E . MAGEI~ES: Espaces du type de Gevrey, etc.
D]~O~S~RA~O~ - E n u t i l i s an t la f o r m u l e de LEI]3NIZ et
~, ~ ' " \ ~ , - ~ ] < - - ~ ~ + . . . + ~ . _ ~ = . . . =
on ob t i en t
~ Z cLaM~ E I] D~u tlo, o, ~ -- z cL~-pM~---v ]l u []o,y,,- h=l h iVI=k_h p=o k p
]C--I 1, (~ cause de (1.4) ~ ce~MkL ~ Z I[ u llo,~,~.
p~O
1.3. - On va d 0 m o n t r e r m a i n t e n a n t le
LEMME 2.5. - Soient r~ el c., les consti~ntes du lemme 2.3, r et ~ posit i fs tels que ~ ~ r, r "b ~ ~ r~ et ~ pos i t i f arbitraire ; alors il existe T(e) (d@endant de ~ et de ~) tel que pour tout k entier ~ 0 et toute u E ~('~ro) on ai t
G (2.12) ]1 u ll~,~"*,. ~ ~ {il Ctu Ito,~-,.+~ + Ill u tII~,~+~ +
k-~ 1
oi~ l'on convient que 11I_ , , - -Mo et que, si k ~ O, (2.12) se rdduit ~ (2.9).
D~u, on a D]~O=~S~RA~IO~ - Soi t k ~ 1; en a p p l i q u a n t (2.9) h
(2.13) Ilut!"*,k,~,~----- Z IID~ult.~,o.~c2{ll~Ullo,k"*,~+~-k la]~km
+ r. tt [~t, D~]u lto..,~+~ + IH u Ill~..,~+~ + 8-"* !1 u lto.~.~+~}. tal =kin
S u p p o s o n s m a i n t e n a n t que tous les coe f f i c i en t s a~ de ~t v~r i f ien t (2.10) (pu i sque a~ E ~M~(~,.o)) avee les m0mes c et L ; on peu t aussi su p p o se r L ~ 1.
J. L. Liot~s - ~E. MAGENES: Espaces du type de Gevrey, etc. 377
On a alors, k cause du lemme 2.4,
ccIM~.L ~" Z Y, ][ D~u I]o,s,~+~
~ Z q~O
avec Cs eonstante ~ 1, qni d(ipend de c, c~ et L.
Ufil isons maintenant (2.5) avec ¢ ---- 1 pour majorer les termes II u llq, s,r+~; O i l a
(2.14) Z tt[~, D~]ull0,o,r+~ ia[=~m
lCm--1 .Mkm km--s Z
kin--1 .Mkm km--s
avec c4 hombre ~ 1 convenable d~pendant de m, v, c~ et L.
Soit alors s - - - p m - ~ q avec O ~ p ~ k - - 1 et O ~ q ~ m ; en uti l isant le lemme 2.1 (et la remarque 2.1) on a
t q '
, q
pour tout e' fix~. Done en ut i l isant aussi (2.4) on obtient
(2,15) ~: t[[~, D~]u[to.o,~+~ Y. Y. .Mk__~ ~ .~ , ._q
, q , _ q._ + (~' + o.~ -~-q)JJ u IJ-,p-,r+~ + ~.~ - - ~ jJ u N-,~p-1)-,r+~ }
oh il faut faire at tention au fair que ~' pen ~tre choisi de faqon arbi t ra i re et diff~rente pour chaque p e t q. Done, ayant fix6 ~ > 0 arbi traire, 0 ~ 1, ch0issons pour p et q fixes
(2.16) ~, : e Mp,,,+q
Annati d~ Matemativa 4 8
378 J. L. L~oNs - E. MAGE~ES: Espaeos du type de Gew~ey, etc.
On en d~duit , en u t i l i san t (1.6),
- - - - m--q ~q < )
et done
(2.17) M~,~ ~ _ p , ~ _ q d q M~,~
avee y~(~)----k , k cons tan te convenable ~ 1 qui d~pend de d~, c4 et c,~.
De facon ana logue on a
Mkm km,--pm--q ~r -Mkm k--p--1 (2.18) Mp~+q ~ ~__ e M(v+I),~ ,'2 avec y2 -- c~.
E n f i n (2.15) dev ien t
(2.19) Z H[Ct, D~]u[lo, o,~+s~melluIl,~,k,~,,.+s.-{- Iq, l~--km
k--2 l k--p--1 -~h:m
+ ~=o~ ~ ('~(~))~-~ tl u ii~,~,~+~ + ~ (~'~(~))~-~ it ~ lt~,~-,~,~+~ <--
t k S Y~-P ~ _ ~ , k - p - ~ k-~ (y~(~))k-p
p~o A~pm p~o
~-~ (y~(~))k-~-~ Z ÷
k - i (y(~))k-p
avee y(~) fonet ion de ~ t endan t vers - { - ~ si ~ - -~0 et qui d~pend aussi
seu lement de m, o, cl, L et all. L a d~mons t ra t ion du lemme sui t alors de (2.13) et (2.19).
J. L. Lions - E. MAGE~ES: Espa.cvs du type de Gevrey~ etc. 379
1.4. D]~FII~I~IO:~ - Soient ~ > 0 rdel, et R rdel 0 < R ~ rx; on pose
~(u, ~, R ) - t
sup (R - r ) ( ~ + " tt u iI,-,~-,~, Mkm ~k+l R]~r<:R
pour tout k entier ~ - 1
1 a~o(U, ~, R) -- M(~-~),,~ )~ R/~r<RSUp (R - - r) ~'~ II u IIo,~,~,~ pour tout k entier ~ O.
1 pour tout k enlier ~_ O.
Notons que on
~o~(u, ~., R ) ~ ~ - ~ ( u , Z, R) p o u r k ~ 0.
LEMME 2.6. - I1 exisle ~ , ddpendant de ~ , tel que pour tout u ~ ~)(~,.o),
k entier ~ 0 , ~ ) ~ et R < , on air
(2.20) o~(u, )~, R) _<'i ~'~-~'~ t ~ - ~ ( ~ , ~, R) + ,~(u, x, ~)t + "~,=_~ o~(u, x, ~).
D~I~OI~S~IC~ATIOl~. - Mul t ip l ions (2.12) p a r ( R - - r) (k+~)~ Mk,~)k+~ et p r e n o n s la borne
R R - - r sup ~r i eu re pou r ~ ~ r ~ R en cho is i s san t ~ .~ k + l - "
Au p r e m i e r m e m b r e on ob t ien t ~k(u, k, R). L e d e u x i b m e m e m b r e est ~gal c 2 ( h + h + h + / 4 + / 5 ) avec
/1 = (MkmXk+~) -~ s u p (R - - r)(k+ ~)" II 4 u IIo, k,.,~+~
h = (MkmZk+~) -~ sup (R - - r)(*+') "~ Ill u ltlk,.,.+~
/3 = (Mk~k~+~) -~ sup (R - - r)(k+~)"~ - ~ It u [1o, k,~,~+~
14 --- (~lkm~k+l) - I s u p ( R - - r ) k + l she II ~t lira, kin, r+~
k--1
h = ;~-(k+~)(~(s))k 2 [:~pm(~'(~))v] -1 s u p (R - - r ) (k+ ' m II ultm. p~,~+~
R off le sup est p r i s p o u r ~ - _ _ ~ r ~ R et ~ - -
R - - r
k + l "
380 J . L. LIONS - E . MAGENES: Espacvs du type de Gevrey, etc.
Supposons k > 1 - On a alors
(2.21) / 1 - M(~_~)~ - - - k M ~ , ~
( R - - r)(k+ ')" (R - - r - - ~)~ sup (R - - r - - ~ ) ~ M(~_x)mX ~
( (R_r)(k+~)~ ( ~)k~ en u t i l i san t le fair que (R r - - ~)k,,, ----- (R - - r) '~ 1 + ~__
M(k-t)m k ~ c ~ ~Mk,, %(~tu, ~, R)
avec c5 eons tan te d6pendan t s eu lemen t de r l et de m.
On a encore de fa¢on ana logue
(2.22) Iz ~ c5
M ( k - m ~ (k + ) _ M~ \ (km) !
P u i s
M~_~)~ ~ ( u , ),, R). ),Mk~
h - " M(k--1)~ sup (R - - r)(k+ ~)~ ~_.~ (R - - r - - ~)k~ ),Mk~ (R - - r - - ~ ) ~
M(~_~)~ c~(k + 1)~a~(u, ~, R). ~--- X M ~
~[ais ~ cause de (1.10') on a
t {01y~( k + l )~ (k + 1) ~'~ ~ \ ~ ] \ik --~l)-m + 1 ~-~ ca
avec c6 cons tan te d6pendan t de 01, M1 et m.
Donc
(2.23) I ~ ca k. - - -~ ~o~U, ~ . R ) .
On a encore de fa~on ana logue
l\(k+i)m (2.24) I~ ~ ms 1 + ]~) ~(u, ;~, B) <<_ scTak(u, X, R)
avec 07 cons t an te df ipendant seu lement de m.
J. L. L~o~'s - E. ~.[AGENES: Espavas du type de Gevrey, etc. 381
Enf in on a
(2.25) I~ = Z (R - - r)(~+~) ~ (R - - r - - ~)(~+~)~
)~+~ sup (R - - r - - ~)(~+~)~ (y(s)~+~;~+~M~
- - ~=_~ \ - - C - /
Si k - - 0 on voi t tout de su i te que (2.21). . . (2.35) sont auss i va lables . Et a lors si a s - max (c,c~, c,c~, c.,c,) on obt ien t
(2.26) CS ~(k--x)m k ~(u, ),, R ) ~ sc~(u , ~., I t ) + ~ M~. Zo(~U, X, R ) +
+ c~ .M(~_~)~ +~(u, ~, R) -4- c~ ~, c~,;(s) ). M ~ Oo(U, )., R) + ). •
~'--) ~ ( u , X, R).
k P u i s q u e %(u, ~, R ) ~ ~-~(u, ~, R) pour k ~ _ 0 on a
(2.27)
+ @~(u, k, R)} -{- Cs(1 + ?(~)) ~ (y_~!f-p-~op(u, ~, R).
1 Chois issons m a i n t e n a n t z--2c---s; a lors y(~) est f ix~ et on peu t d 6 t e r m i n e r k~
de fagon que pou r ). ~ )~ (2.20) soit verif i4e, e.q.f.d.
1.5. - On peu t m a i n t e n a n t d~mont re r le
T~oR~ME 2.1. - Sous les hypotheses du ThdorOme 2.1, si ), et R sont fixdes comme au Lemme 2.6, pour tout u E ~)(~,.o) qui vdrifie (2.2) el (2.3), on a pour k et i entiers~, k ~ --1, i ~ 0
(2.28) ak(~'u, ~, R) < M(~+~+I)~ co(Lo + 2) k+~+l. - - - ~ k m
D]~[ONS~A~ION. - D6mon t rons le th6orbme pa r r~cu r rence sur k. Si k------1 (et i que lconque) (2.28) est v ra ie i~ cause de (2.2) et de la d~fini t ion de a-l(u, ~, R).
382 J . I~. LIONS - E . ]~[AGENES: Espaces du type de Gevrey, etc.
Supp0sons done (2.28) valable pour k - - 1 (et i quelconque) et appliquons (2.20) ~ 'u , i ~ 0 et k ~ 0 ; on a
(2.29) 1 M(~_I),~ { a~_~(C~+~u, )., R) -t- q~(C~ *u, ~., R)} + w~(~*u, )~, R) ~ 4 M,~
1 k--1
+ 7t ~,__Z_~ ~(~*u, ;~, /~).
A cause de l 'hypoth6se (2.3) (on peut toujours supposer ?,z ~ 1)
1 ~*(~t*u' ~' /~) ~ M(,_~)~ : - - I l l C~'u I}t~,R < coL~o +~+~ M<~+~+~)~ - - M(k-~)m
et donc on a
1 . r k+t+~ M(k+i+~)m 1 M(k_~)~ ~-~(~+~u, ),, R) + ~ M ~ + (2.30) ~k(~'u, ),, R) ~ 4: Mk~ ,-,o~o
1 k--1 Z zp(SI'u, ~, R).
On en d~duit
1 1 M(k+~+~)~,M~ ~o(Lo + 2) k+~+~ ÷ 71 ak(~t~u, ~,, R ) ~ 4 0L0 -~km
1 k--1 + 4 Z M(p+,+~)~ co(Lo + 2)p+~+* ~ (h cause de (1.9))
t 21 M(k+,+~),~M,~ co(Lo + 2) k+~+~ + 4: ~O
k--i M(k+~+l)~ (Lo + 2) ~+~+~ Z
-Mkra p~l
t .~k-p Lo + 2]
co(Lo + 2) k+~+l M(k+~+l)~ .Mkm
c.q.f.d.
2. ltiajoration des ddrivdes normales.
Notons avant tout que de la formule de LEI]~N~z on d6duit
(2.31) E ID~D~(u, v) l ~ E Z E IDvD~uI" !~l=p o h=o [,~l=l
q--h T • E I D, D~vl ITl=p--1
pour tout entier p e t q ~ 0 et tout couple de fonctions u et v.
J. L. LIo.~'s - E. ~AGENES: Espave~ du type de Gevrey, etc. 383
Posons ensu i t e la nouve l l e
D~FI~I~IO~. - Pour k et q entiers ~ 0, ~ > O, 0 > O, 0 ~ R < r~
]¢~q- % (u, I , O, R ) = 1 qm
(R - - r)<~+q, '~ It Dv u tlo,~-~,~ sup M(~+q-~)~k~+~0 ~ ~ 1 ~ < ~
et no tons que l 'on a :
(2.32) k~O. k % (u, ~, O, R) = ~o(U, 0~, R) ~ ~-~(u, ~0, R), k ~ 0 .
Nous d ~ m o n t r e r o n s le
T ~ E O m ~ E 2.3. - Sous les hypotheses du thdor~me 2.1 (on suppose que tous coefficients de ~ vdrifient (2.10)), soit u ~ ~(~,.o) verifiant (2.2) et (2.3); alors il existe ~o et 0o, ddpendant seulement de ~ (plus prdeisement de dldments de ~,
indiquds dans la note (~) et de c el L) tels que pour R ~ ~ et pour tout q, k
et i entiers ~ 0 on ait
(2.33) *~o'~(C~'u, Xo Oo R) ~ M(~+q+~>~ co(Lo + 2) q+~+~.
D]~Ol~'S~RA~IOI~. - On peu t supposer , g r a c e h t ' e l l ip t i c i t6 de ~ , que
m t
~ [ ' - D u u + E E E a t , i,~(x, y) y ~ ; t=~ 1=o I~1=i
et doric, pour q ~ 0 et I ~ 1 - - k i n , on a
qn t
D m + ~ D ~ -- Dqy~D~(~u)- E E E D~mD~(at, i,~(x, y).Dy~-tD~u). t=~ /=o ]~i=j
En u t i l i san t (2"31) on a
(2.34) Jal=~m I~I=km
~-, h=o t=~ i=o I~I=]\ 1 ] \ /j~!=z
• Z J Dq'~-h+m-tD~ +~u t ~ ( p u i s q u ' o n a l~'l-----km--1
E [D~D~at, i,~(x, Y) I ~ cLZ+hM~+h)-~-- E IDqvmD~(~u) I + l'~'=l I~l=km
381 J . L. L~o~s - E. MAGENES: Espaces du type de Gevrey, etc.
÷ E E ~, cL~+hM~+h Z E ] /3qm-a+ ~ - t n ~ + ~ , I Z=o h = o t=x j = o \ g ] IDI=/" I'll = k i n - 1 ~ Y ~ ~ I
l~:=~ Z=o ~=o t= ~=o \ 1 ]
• Z I "'~, Y ~ / I " }pl=km--lq-j
On en d~duit
-r~m@qm qm t~ 1 t=o h = o ~ j = o
. ~ u [)o, ~ - ~+~, ~.
En ut i l i sant le l emme 2.1 (et la remarque 2.1) avee ~ "-1, on a
t ~qm+m--h-- t ~qm+m--h--t
+ tc~ It D~ ~+~-a-tu llo, ~-~,~"
Encore d'apr~s le l emme 2.1 et le l emme 2.2 on a pour e ~ 0 arbitraire
,m t ~qm@m--h--f: ~-,qm@m--h
~; [l-o~ U ~ o , ~ - ~ + j , ~ - - < - ~ y ~ ~ y U l l o , ~ - z , ~ + t=x i=0
Txqm--h u II ~qm--h ~1
off Ym d~pend seu lement de m et c',n(e) d6pend seu lement de ~ et m (to 6rant fix~). On a done
l=0 h ~ o
• D(q+~)m--h u LZ+hMz+n ? m { ~ [l y tlo, k~n-z, ~ + v m ( e ) l[ D~ ~ - a u ~o, (k+~)~-~, ~ +
~qm--h C'm(~) uy u ]lo, km-~,, } ~ (i~ cause de 1' hypoth6se (1.7))
- - l = o ~ = o \ l } \ } h
• D(q+l)m_hu ~qm--h .
off L1 est une constante ~ 1 qui d6pend de v, L et d~.
J. L. LIONS - E. MAGENES: Espaces du type de Gevrey, etc. 385
Cherchons m a i n t e n a n t ~ ma j o r e r les t e rmes du type [I Ilo,~n-z,~. l - - 0, ..., km par une express ion con t enan t s eu l emen t des te rmes type IIIlo, v~,~ avec p-~ O, . . . ,k. En fair on a
(2.36) Z , in~M, IlV[Io,~_~,~--Mo[]V[Io,~,~ + Z k m - - s l ~ o \ t~ / s = o
Lkm--8 ~Ar a,zk,,_~llVlto,~,, < (on ut i l i se ( 1 . 4 ) ) < Motlvllo, k,~,~-~.
kin--1 C1 ?lAr r k m - s
~ 0
Soit m a i n t e n a n t s - - p r o -}- ~ avec 0 < z < m, 0 _< p <_ k - - 1 ; d ' a p r b s le l emme (2.1) on a
t~
et en chois i ssant s ' - -
de l ' hypo th6se (1.6),
et done
-Mpm-•-cr M(p+~)~L~ *-: pour chaque p
- - ~_M~-~ L1
e t a fix8 on a, /~ cause
(2.37 ) Mk-~ Lkqn--m--pm 3t v tlo, ~p+~)~,~ +
-- ~ k m - - p m ] ~ k m
Alors de (2.36) on dedui t
(2.38) k~(km) z k M ~ r ~ _ p ~ ~
avee o~ eons tan te qui dP~pend de m e t Me.
De facon a n a l o g u e :
(2.39) h = o \ / s = o M s m
avee o"; cons tan te qui d~pend de m et 2go.
A n n a l i el~ M a t e m a t i v a 49
386 g. L. LIONS - E. MAGENES: Espaces du type de Gevrey, etc.
En uti l isant (2.38) et (2.39) on d6duit de (2.35)
(2.40) q Mare l~qm Z ~-~qm-~m qm
~=o s=o Mpm M~m
• Li ~-~+~-~)~ {~ it ~'~+~
avee L~ constante qui d6pend de L1, m, Mo. (R - - r)(~+q+ ~)~
Multiplions maintenant (2.40) par M(~+q)~),~+q+~0~
p6rieure peur / t / ~ r < R; on a alors, R 6rant < 1,
et prenons le berne su-
z k'~+~1~ )., O, R) < M(k+q-~)~. k q o ~ , - - ),M(k+q)~ Zo' (~u , ~, O, R)"4-
q L~k_p+q_~)~ t aVo"+~(u, ),, O, R) ~1(p+~)~]lk~]1q~ + Y, Z ( s. ),k_p+q_~O~_. p " M(k+q)~ M p ~ M ~ +
p~O S~O
_p-4-~,s :o.
Ik--P-~q--"O k - p - I M(a-~-q)m MprnMsm
~vo'~(u, ~, O, R) . M(~+~_I)~M~Mqr~ } <~ (en uti l isant (1.10) et -4- ~rn(e) ~,k--P-~-q--s-tr'lOk--P M(k+q)mMpmMsm ~ - -
(1.5)) < ]l(~+q_~)~ ~,q.~ ~ q L(~_~),~+(q-,)~ ~o /cxu, ),, 0, R) -4- Z Z
t ~oP's+l( ~' )~' O,R) %~+1,,(~, ~, O, /~) ~'m(~)cr~o's(% ~, O, ~)~ s ~.~-v+q-,O~-~ +~m(s)O - I - - t "
L~ 2 Enfin si on pose ~0--" ~ et - - - - ¢~ on obtient
(2.41) k,q+l,o M(k+q-1)~ k, ~o ~ , )., O, R ) < % q(~u, )., O, R) -4- -- IM(k+q)m
k q l ~'(~)-"s'~'" ~' O' R) I ~o ~ , ~, 0, R) + 0 c,,(~)~oP+~'~(u, )., 0, R) -4- Z ~o ~-, p ~ 0 S ~ 0
1 Choisissons maintenant ~ - - - ~ et~ pour ce
tels que
(2.42)
choix de ~, prenons ), et 0o
I 1 din(e) 1 •o0o ~_ ),1, 0oCm(~) <_ 4~, ~o ~
I n~ ~ 1 L~ 1 1 1 ~ < ~ ' ~-: < ~ ' Xo <i~"
g. L. LioNs - E. MAGENES: Espave.s du type de Gevrey, etc. 387
On a alors
; 1 (2.43) ¢~'~+~(u, ),o, 0o, R ) <
M(k+q)qn
1 k--1 1 k - -
40 v=o ' 40 v=o ~=o
] k q p , s
0 ~ 0 S~0
k--1 off si k - - 0 la somme Z doit ~tre supprimde,
p=0
Appliquons (2.43) i~ ~ % ; on obtient
(2.44) ~'q+~(~u, "~o, Oo, R) <_ 1 M¢z+q_~)~. ko.q(~X,+~u, ~o, Oo, R) q- 5 M(k+q)~r~
t k--1
~p=o 20p=o~=o ~k-P ~q-~ aP°'~+~( 6t tu' ~0 ' 0o, R) -4-
1 k p ÷ ~ z z ~k-prq-~ { a~+~,,(6pu, ;~o, 0o, R) q-
p~O S~0
+ z~''(~t~u, ;~o, 0o, R) }
~¢---1
a v e c l a m~me convention qu 'auparavant pour la somme Z . p=0
D6signons par p(q, i, k) la propri~t6 (2.33) pour les valeurs q, i, k du param~tre) et par P(q, i, k) la propri~t~ p(q', i', k'), 0 _<q' < q , 0 ~<i' <_i, 0 < k ' < k. Ceci pos~, nous allons v~rifier h par t i r de (2.44) les implicat ions su ivan tes :
(c¢) P(q, i - t - l , O)UP(q, i, 1):=>p(qq-1, i, O)
(~) si k > l , P ( q , i - t - l , k ) U P ( q A - l , i , k - - 1 ) U P ( q , i , kq-1):=>p(q-{-1, i,k).
En effet on a, d 'apr~s (2.44)
1 M~k+q-~)~,~ M(k+u+~+~)~ co(Lo q- 2) k+q+~+l q- ¢~ko'q÷l(~u, ~o, 0o, R)<__ ~ M(k+q)m " M(k+q--1)r~
l k - 1 M 1 k q-1 -Jr" Z ~--P (p÷q+~+l)m co(Lo ~ 2)p+q+i+l + _~ Z Z ~k-pcpq-s.
p=o M(p+q)m Op=o s=o
388 J. L. LioNs - E. MAGENES: Espaee.s du type de Gevrey, etc.
• ]I(~+~+~+~)~ co(Lo + 2) ~+'+~+~ + ~(~Z_o E ~ - ~ q - ~ ~/~+~+~+~)'~ • M ( p + s ) m " -- s=o ~ ( p + s ) m
M(p+~+~)~ . ~r 2)~+~+~ 1 (en uti l isant (1.9)) <~ • co(Lo + 2)v+~+~+~ + ~----vo~o + --< z~t (p+s--~)m
< M(~+q+,+~)~ eo(Lo + 2) ~+q+~+~ 5 + ~ ~ +
20 v=o \Lo + 2] \Lo + 2]
< ]l(k+q+~+~)~ co(Lo + 2) ~+q+~+~ • - - M ( k + q ) m
Done (2.33) est vraie aussi pour z~'q+~(~'u, ~o, Oo, R). On va maintenant d6montrer le th4or~me par r4currence.
D'apr~s (2.32)et (2.28), puisque ) ,o0o~.~, nous savons que P(0, i, k) a lieu, ~ i, k ~_~ 0. Admettons P(q', i, k) q' ~__q, ~ i, k et montrons P(q + 1, i, k), ~4i, k.
D'apr~s l 'hypoth~se de r4currence et (a), on a P(q + 1, i, O) ~ i. Soit k fix4 quelconque; admettons P(q + 1, i, k - - 1) ; ceei, joint i~ l 'hypoth~se de r4currence et (~), ent ra ine p(q + 1, i, k); ceci d4montre P(q + 1, i, k) et ach~ve la d4monstrat ion du th6or~me.
3. Ddmonstra t ion du th4oreme 2.1.
3.1. - Du th6or~me 2.3 on peut d6duire le
COROLLAn~E 2.1. - Sous les hypotheses du thdoreme 2.3 il existe une con.
stante N ddpendant seulement de ~ et Lo tel que s i r ' rl -- -~ on air
(2.45) ~ ]] D~,u [IL~¢~r, ) <~ coNVMp p = O, 1, .... [~[=p
r l D]~O~STRA~IOI¢. - On utilise (2.33) avee i - - 0 et R : ~ ; alors on a
~ '~(u, ~0 0o, 2 9 < ~l(k+q)~ co(Lo-5 2) k+q -- ~I (k+q--1)qu
k, q d'ofi l 'on d4duit grace /~ la d6finition de ~o (u, l , O, R)
q~ ~ ~k+q 0o~r,_(~o+q)~vo(Lo .~_ 2)~+q < ~, c N k+q (2.46) II D~ u IIo,~,~' < - - z u ( k + q ) m ~'~'0 - - zu(k-[~q)m o 1
off N~ dgpend de ~o, 0o, r', Lo et done de Lo et ~ .
J. L. LIo~s - E. M~o~.x~s: Espa.ces du type dc Gcvrey, etc. 389
Soient t et h entiers quelconques ~___0 et supposons que t ' - q m - - k s e t h--km-4;-j, OJ_~s<m, 0 ~ j < m ; alors en ut i l isant le lemme 2.1 avec ~ : 1 on a
(2.47)
<: p(q+l)m~ n r~(q-~-l)rn qm
+ cLll Dq,~ullo,~,~ ' < -- (i~ cause de (1.5) et (2.46)) ~M(~+q+=)~Co.
• (1 + 2c~ + c~)N~ +~+~ ~-- (encore par (1.5))~ M(t+~+=~)eo(1 + 2c~ + eL).
• N~ +q+=~_ (h cause de (1.7))~_ Mt+~coN~ +~
oh N2 d~pend de N~, M2m, d2 et c,n. On a enfin
t) - - " DyD~,u [IL0(a~,) --
la]=p t=o ]~!=p--t
P - - ~ II Dt !lo,p--t,r "<Z MpOo~P(D + 1 ) ~ Mpco(2N2)p - - y~
d'ofi (2.45) avee N--2 /V~-
On est maintenant en mesure de d~montrer le thdor~me uti l isant le th~or~me de SoBoLEv g part i r de (2.45), on obtient
2.1; en fair,
* P sup Y, I D~u l ~ c coM ,
avee c* constante (qui d4pend de n) et N , constante qui d~pend de r' et de _hr. Done le th4oreme 2.1 est d~montr~.
3.2. REMARQUES. - Notons que darts le cas Mk = k! on retrouve les r~sultats du chap. 4 [13], en les pr~cisant quelque peu (1~): en comparant l~s diff~rentes notat ions on trouve que
R) (kin)! - - ( (k - - l)m)I ~ ( u , ~, R) (a~ notation de [13]) et
k q ((k + q)m)~ ~o' (u,), , 0, R ) = " ~,~
((k + q - - 1)m)I (~k,q notation de [13]).
P (la) S igna lons aussi que ~ la pag. 4[0 l igne 8 de I13] il faut 4crire OP au l ieu de ~ ;
ceci modifle leg~rement et de fa~on 4vidente (3./7) et l '~nonc4 du th4or~me 3.1~ dans lequel il faut ~erire 0 = O0 et suppr imor la condi t ion Oo~ 1.
390 J. L. Lm~'s - E. MAGENES: Espaves du type de Gevrey~ etc.
Peut ~tre es t - i l possible, par te m~me genre de d(imonstration, de sup- pr imer les conditions (1.5), (1.6), (1.7) sur la suite M~, conservant (1.1), (1.2), (1.3), (1.4). Mais nous n 'avons pas fail porter nos efforts s u r c e point car les hypothbses (1.1), (1.3), (1.4) ... (1 .7)eouvrent , comme on a vu, le cas de suites de GEYRE¥ pI 'oprement dites, qui nous semblement les plus interessantes du point de rue des applications.
En tout cas on doit h ce propos s ignaler un cas par t icul ier 6tudi~ par ROUMIEU ([19], th4or. 5, p. 161) (of. aussi Mv~a~I4Y [17]).
§ 3. - A p p l i c a t i o n s a u x ~ q u a t i o n s d ' ~ v o l u t i o n .
1. t~quations du type parabolique,
Voyons maintenant les cons6quences que l ' on peut t irer du Th6orgme 1.1. Nous avons d6j~ indiqu~ (chap. I, § 3) les applications aux 6quations du 2 "m~ ordre en t. IvIais on peut aussi uti l iser le Th~or~me 1.1 pour les ~qua- tions parabol iques on les 6quations de SCI.IROEDING]illt.
Tm~OR~ME 3.1. - Soil {Mkl une suite vdrifiant (1.1) ... (1.7) telle que la suite { M~k,~ } salisfasse en plus & (1.12). Soil A opdrateur fortement elliptique dans ~2 (i.e. v6rifiant (2.19), Chap. I) d'ordre 2m:
(3.1) Au = E (--1)JvJD~(apq(w)D~u) pp~, lql~m
~t coefficients apq E ~M~(~). Soit u solution inddfiniment diffdrentiable duns ~ X ~ t , de
(3.2)
~U Au + ~- = f dans Q -- ~ X ~ t
yju --- 0
u k support limit~ i~ gauche en t.
j - - O , 1, ..., m - - i
Alors si fE~)÷,M~k,n(~M~(~)), la solution u de (3.2) est dgatement duns
l'espace ~)+,M~km(~M~(~)).
])~MONSTRA~ION.- On sail (of. [13] th~or. 3.1 chap. 2) que la solution de (3.2) cxiste et est unique par ex. dans ~+,M~km(L2(~))o Si on d~rive par
J. L. LIONS - E. MAGENES: Espaces du type de Gevrey~ etc. 391
rapport i~ t l '~quation (A ne d~ipend pas de t) et si on y appl ique l 'op~rateur A, on obtient
(3.3) A% = (--1)%"' q- Y. (--1)~-a-~Aa(f"-a-~)) i entier ~ 0 h ~ o
et aussi
(3.4) 7~(A~v) ~ ~ (--1) '-a-~yi(A~(f "-a-~)) ~ i, j -- O, ..., m. h ~ o
Soit a la limite inf6rieure en t du support de f ; alors grace au fait
que les coefficients de A sont dans ~Mk(~), que f E ~-,M~,,k(~Mk(~)) et que
u E ~ , M ~ ( L ~ ( ~ ) ) (el. th6or. 3.1 chap. 2 de [13]) on d6duit de (3.3) et (3.4)
que pour chaque b fix6 > a, il existe co et Lo tels que
(3.5)
n i
- - C0/~0 l[l(k+i-~-l)2~n ~ k ~ i
et done du Th~or~me 1.1 de ce chapitre on d~duit qwe u(t) demeure dans un born6 de ~M~(~) pour t E [a, hi.
~Iais alors puisque de (3.3) on d~duit
• i M 1
P ~ P h i--h--1 I D~Dtu(~, t) l~_lD~A'u(x, t) + ~ IDeA (Dr f(m, t))l. h-~o
on voit enfin que pour chaque b ~ a il existe des constantes c , et L , telles que
p i T D~D~u(x, t) l "< c,LI~I+~M2~M[pl • ~ t E [a, b]
et par consequent puisque b e s t quelconque ~ a on a
u E ~+, M~k,,~(~Mk(~)) c.q.d.f.
type
2. Equations du type de Schroedinger et t!quations de deuxi~me ordre en t.
2.1. - On n'a pas de diffieult~s ~ ~tendre aussi au cas de l'~quation du de Schroedinger les r6sultats du num~ro p receden t ; on consid~rera
392 J. L. L~o~s - E. MA~nN~s: Espaces du type de Gevrey, etc.
l 'op4rateur A sous les hypotheses introduites dans le § 2 du chap. I e t on supposera en plus que Q et les coefficients de A sent de classe I~l/~}. Nous croyons inutiles d~expliciter les r~sultats.
2.2. - Nous allons par centre expl ie i te r le cas des ~quations du deuxi~me ordre en t puisque nous sommes maintenant en mesure d '~tudier le c'as hyperbolisque (m ~ 1), qui n 'entrai t pas dans le cadre du chap. I, § 3, n. 2.2, 2.3.
Supposons done fix~e une suite [Mk] qui satisfait aux hypotheses (1.1), ... (1.7) et telle que la suite I Mk,~} satisfasse en plus h (1.12). 5Totons tout de suite qu 'on peut prendre
1 M~-- (k ! ) s avec s ~ l et s ~ - -
]Tt
et done dans le cas hyperbolique (m--1) on peut prendre
Mk-- (k! )8 avec s ~ l .
Soit g2 de classe (M~} et supposons que Fop~rateur A soit donn~ par (3.1) et soit fortement elliptique dans ~ et formellement auloadjoint et ~ coef- f icients apq qui appar t iennent h ~Mk(~ ).
Pa r les m~mes ra isonnements q u ' a u n. 1 de ce paragraphe, avec les modifications formelles dejh not~es a u n . 2.2 du § 3 du chap. I (il faut sub- s t i tuer i~ (3.3) de ce paragraphe la formule (3.11) du chap. I) on d~montre le
TIt]~OR~ME 3.2. - SOUS les hypotheses qui viennent d' ~tre dnoncds, la so'lu. tion u de probl~me
Au "t- ~ -" f dans
y j u - - 0 , j = 0 , . . . , m - - 1
u 'h support limit~ h gauche par rapport i~ t.
appartient &. ~+,ik,(~M~(~)), si f E ~+,M~,,(~Mk(5)).
En par t icul ier dans le cas de l '~quat ion des ondes u est dans une classe de GEVaEY d 'o rd re s, avec s > 1, soit par rappor t aux var iables spatiales x soit par rapport au temps t, si la donn~e f e s t dans une telle classe.
RE~ARQUE 3 . 1 . - L~applications des r~sultats des n. 1 e t 2 de ce § fi, la th~orie des probl~mes aux limites non homog~nes (en par t icul ier pour les ~quations de SCftROEDI~ER et du deuxi~me ordre en t) telle que nous l ' avons ddvelop~e dans [13] et dans le chap. I de ce travail n~est pas encore possible en g~n~ral. II y a des difficult~s dans la caract~risation des espaces
J . L. L m ~ s - E . ~'[AGENES: Espa.ces du t y p e de Gew'ey , etc. 393
p a r c o u r u s p a r ~ v t o r s q u e v p a r c o u r t l e s e s p a c e s c o r r e s p o n d a n t s a u x e s p a c e s
d ~ s i g n ~ s p a r X d a n s [13] e t d u n s ce t r a v a i l .
E n p a r t i c u l i e r l e t h ~ o r S m e d e T ~ L E ~ [23] p o u r le p r o b l ~ m e d e CAucI~Y,
u t i l i s 4 d u n s l e <<reli~vement )) d e ¢g, n ' e s t p l u s a p p l i c a b l e e n g ~ n 4 r a l . N o u s
r e v i e n d r o n s s u ce p o i n t d u n s u n p r o c h a i n t r a v a i l .
Note ajoutde ~ la correction des dpreuves.
Les problbmes de ~opologie signal6s a u n . 2.3, § 2, chap. I e t au n..2..2~ § 3, chap. I
peuvent maintenant 6tre rdsolus: les espaces ~)_, M~(~(F} m) et ~/~)_, M~(~(r)m) coincident algdbriquement et topologiquement. 2(ous demontrerens cela darts un pr,)chain t rava i l en ut i l isant certains rdsultats de G. GEYMo~n~ (h parattre).
2(otons aussi qne les probl~mes signal6s aux n. 1.5, § 2, chap. I e t 1.4, § 3, chap. I oat gt6 resolus par C. BAIOCCHI dans un t ravai l qui para i t duns ce m~me volume des Annal i di ~a temat ica .
B I B L I O G R A P H I E
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Annati d~ Matematica 50
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