Literaturberichte. 4 ].

nur die allgemeine Theorie illustrieren, sondern in denen ein viel tieferer Einbliek mSglieh wird als im allgemeinen Fall, geben diesem Werke seinen eigenen Reiz. G.K.

P ro j ek t ive Geometr ie der Ebene unter Benutzung der Punkt - rechnung dargestellt. Von t t e r m a n n G r a s s m a n n. Ers ter Band : Binares. Mit 126 Figuren im Texte. Leipzig und Berlin. D r u e k und Ver]ag yon B. G. Teubner, 1909. Ladenpreis : geh. 12 )[.~ in Leinwand geb. 13 M.

gundert Jahre sind verflossen, seit der berfihmte Verfasser der Aus- dehnungslehre das Lieht der Welt erbliekt hat und werm sein Sohn um diese Zeit das vorliegende Bueh in die Welt sehiekt, so gesehieht es wohl in dem pietgtvollen Bestreben, die studierende Jugend for die Methoden seines Vaters zu gewinnen. Die Kenntnis dieser Methoden b.t n~mlieh aueh heute noeh auf einen verhgltnism~fiig engen Kreis beschrgnkt, trotzdem oder vielleieht auch well eine gauze Reihe yon sparer naeh anderen Methoden wiederge[un- denen Ergebnissen der Ausdehnungslehre heute in einer anderen Form zum Gemeillgut der Mathemafiker gehSrt.

Die Abs~eht des Verfassers geht dahin, das Lehrgeb'~ude der projektiven Geometrie, gestfitzt auf die Punktreehnung, darzustellen, und der vorliegende erste Band seines Werkes bringt die Ausffihrung seines Planes ftir das bingre Gebiet. Im ersten einleitenden Hauptteil wird die Punktenreehnung entwickelt, welehe die Funkte direkt ohne Zuhilfenahme der Koordinaten der Reehnung unterwirft. Im zweiten Hauptteil werden Doppelverhgltnis nnd projektive Beziehung eingeffihrt und im Ansehlul] dar~n Anwendungen auf die Kegel- schnitte gemaeht, wobei die Formeln mit den geometrisehen l~berlegungen Hand in Hand gehen. Den gr51]ten Tell des Buehes bildet aber der dritte Haupttei], der den Projektivitaten, insbesondere dem Reehnen mit ihnen ge- widmet ist. Aaeh das hier benutzte Werkzeug, die Projektivithtsbrtiehe, ist der Ausdehnungslehre entnommen, allein die ganze Ausffihrang ist ein Ver- dignst des Verfassers. Er hat mit seinen Hilfsmitteln eine eingehende Dar- stellung der vorhandenen fremden Ergebnisse gegeben und sie in einigen Funkten erg5nzt. G.K.

Essai de gdomgtrie s p h g r i q a e e n coordondes project ives . Pa r D a n i e l s 3~[.-Fr. F r ibourg (Suisse). Eu vente h la librairie de l'universit~ (O. Gsehwend), 1907. (XIII -~-280 pug.) (Collectanea Friburgensia, publications de l 'universit~ de Fr ibourg, nouvelle s6rie fuse. VI I I . )

Wghrend in der l~egel zur geometrisehen Interpretation einer analytisehen Geometrie des terngrer/ Gebiets (aueh bei Zugrundelegung einer projektiven ~Ial]bestimmang) das ebene Feld verwendet wird, dient bier das zentrisehe Btindel and die Kugelflgehe diesem Zwe~ke. Die Bemerkung, da] sieh die homogenen projektiven Koordinaten eines Strahls ira B~nde] (oder eines Punktes auf der Kugel) auffassen ]assert als Zahlenfaktoren, mit denen drei in die Fundamentalstrahlen des Keordinatensystems ial[ende Vektoren z u multiplizieren sind, damit ihr Summenvekior in den betreffenden Strahl fgllt, ermSglieht es dem Verfasser die Vektorenreehnung als Hilfsmittel heranzu-

4~ Literaturberlchte.

ziehen und dadareh rnanche l%chnungen erheblieh zu vereinfachen. Der Urn- fang des behandelten Stoffes deckt sich im ganzen und grol~en mit dem der meisten anderen einleitendea Lebrbiieher der analytischen Geometrie: er urn- fafit die lineare und quadratisehe Geometrie, hier also insbesondere die Kuge'_- kreise und die sphirischen Kegelschnitte. Oanz besondere Aufmerksamkeit wird der Dreiecksgeometrie sowohl auf der Kugelfliiche als aueh in der Ebene gewidmet. Sic wird in einem Ausmafie vorgetragen, das weir fiber das iibliche hinausgeht.

Die Formdarstellung ist anspreehend und dem Verstindnisse der Studierenden angepal]t. Spezielle Vorkenntnisse werden nicht vorausgesetzt and die Grundziige der Vektorenrechnung, weIehe, wie erwiihnt, zur Yerwen- dung kommen, finder man einleitungsweise entwiekelt. G.K.

Technische 0bungsaufgaben fiir darstellende Geometrie. Von Dr. E m i l M t i l l e r . 3 Hefte mit j e 10 Bl~tttern. L e i p z i g u n d Wien~ 1910. F r anz Deuticke. K 4.50. - - (Jedes Blatt in 50 Exem- p la ten zu 6 K.)

Die yon Prof. Miiller in seiaem Vortrage bet der Versammlung deutscher Naturforscher and Arzte in Salzburg am 22. September 1909 angektindigte Sammiung yon Aufgaben ist in dankenswe~ter Raschheit erschienen. Was man mit dieser Aufgabensammlung errelchen kaan und wie abwechslungsreich sich bet verniinftiger Leitung die konstruktiven (]bungea auf Grund solcher Vor- lagen gestalten kfnnen, zeigte die mit dem erwihnten Vortrage verbundene Ausstellang yon Zeiehnungen. Ich sehliel]e reich dem Wunsche Prof. Mtillers an, dal] die Herausgabe dieser Sammlung dazu beitragen mfge, dal~ die yon ibm verfoehtene ~rt des Betriebes der konstruktiveu Ubungen grfl]ere Ver- breitung finde; dies ist um so eher zu erhoffen~ als einzelne Versuehe auch an Mittelsehulen sich glinzend bewiihrten.

Beziiglich der Auswahi der Vorlagen set nut erwiihnt, dal~ der noch yon Prof. Dr. R. Staudigl herrfihrende Grundstoek dutch mehr als 30 Jahre erprobt ist und yon Prof. Mfiller in sehi~tzenswerter Weise ergiinzt wurde, und zwar nicht in dem Sinne, nur schwierigere 0bjekte anzufiigen~ sondern gerade ffir leiehte Aufgaben mehr Auswahl zu schaffen und dadareh die Freude am Zeiehnen zu erhfhen. Es liegt jetzt wirklich eine Sammlung vor~ die ftir Schiiler grfl]erer oder geringerer Begabung treffliches Material ffir die Ubun- gen gibt. Wtiuschenswert wiire, dal] vielleicht bet einer Erweiterung dieser Sammlung auch Maschinenteile (die gi~nzlieh fehlen) Aufnahme fiuden.

Die Ausfiihrung ist durchwegs korrekt und klar; doeh mfehte ieh auf etwas aufmerksam machen: Der Herausgeber hat sich zu sehr yon dem Ge- danken ether m5glichst leiehten Verbreitung der Blitter leiten lassen und war daher bestrebt~ um die Kosten zu verringern~ mit dem Platze zu sparen; dadureh Mind einzelne Bli~tter wie Nr. 5 und 18 zu sehr iiberladen. Wenn wirklieh dadureh die Verbreitung dieser vortrefflichen Sammlung wesentlich erleichtert wird, so kann man diesen kleinen Mangel hinnehmen.

Sehlieillieh set noeh hervorgehoben, dait die Verwendung der Bllitter bet den Ubungen dadurch sehr erleiehtert ist~ da~ aueh die einzelnen Bliitter in Pickchen zu 50 Stiiek bezogen werden kfnnen.

Dr. ~. Schi~]3ler.