Estat´ıstica B´asica - UFPRniveam/micro da sala/livro/slides apostila/CAP1… · Gráfico de setores Histograma Frequency 0 2 4 6 8 10 12 0 50 100 150 Estat´ıstica B´asica

Conceitos Basicos e Tecnicas de Estatıstica DescritivaTeoria das Probabilidades

Variaveis AleatoriasInferencia Estatıstica - Teoria da Estimacao

Estatıstica Basica

25 de junho de 2008

Estatıstica Basica



Estatıstica Basica

1 Conceitos Basicos e Tecnicas de Estatıstica Descritiva

2 Teoria das Probabilidades

3 Variaveis Aleatorias

4 Inferencia Estatıstica - Teoria da Estimacao

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Alguns Conceitos

Variaveis (Qualitativas e Quantitativas)

Populacao e Amostra

Experimentos Aleatorios

Variabilidade

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Variavel Dependente (Variavel Independente + VariavelResidual)

Variavel Independente (Fator,Var. Explicativa,VarExplanatoria,Var. Regressora)

Variavel Residual

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Comportamento da Variavel

Funcoes de Probabilidade

Hipoteses

Tomada de Decisao

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Variaveis e suas classificacoes

NOMINAL

QUALITATIVA //

66nnnnnnnnnnnnnn ORDINAL

VARIAVEL

99rrrrrrrrrrr

%%LLLLLLLLLLL

QUANTITATIVA //

((PPPPPPPPPPPPPP DISCRETA

CONTINUA

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Introducao

Apoio a decisao

A incerteza

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Estatıstica Descritiva x Estatıstica Inferencial

Estatıstica Descritiva

Tabelas de frequencia

Graficos

Resumos Numericos

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Estatıstica Inferencial (Indutiva)

Estimacao

Testes de Hipoteses

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Exemplo: Um instituto de pesquisa deseja estimar a proporcao deeleitores do partido de situacao no primeiro turno das eleicoespresidenciais.Ao coletar uma amostra de 1200 eleitores,a proporcaofoi estimada em 54%

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Exemplo:Um laboratorio deseja verificar se uma nova drogaaumenta a producao de testosterona em homens com idade acimade 35 anos.Ao aplica-lo em um grupo de 40 indivıduos,constatou-se que apos um perıodo de tempo a droga aumentousignificativamente a quantidade do referido hormonio.

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Tecnicas de Amostragem

Amostragem Aleatoria Simples

Amostragem Aleatoria Estratificada

Amostragem por Conglomerados (Clusters)

Amostragem Sistematica

Amostragem por Cotas

Amostragem por Conveniencia

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Tecnicas de estatıstica descritiva

Tabelas de frequencias

Tabelas de frequencia simplesTabelas de frequencia em faixas de valores

Alguns tipos de Graficos

Graficos de setoresHistogramasGraficos de barras

Medidas-resumo

Tendencia CentralDispersao (variabilidade)Separatrizes

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Tabelas de frequecia simples

Frequencia FrequenciaEstado Civil Absoluta Relativa

Solteiro 165 42,86%Casado 166 43,12%

Divorciado 10 2,6%Viuvo 12 3,12%Outro 32 8,31%

Total 385 100%

Idade ni fi fac17 9 0,18 0,1818 22 0,44 0,6219 7 0,14 0,7620 4 0,08 0,8421 3 0,06 0,9022 0 0 0,9023 2 0,04 0,9424 1 0,02 0,9625 2 0,04 1,00

total n=50 1

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Tabelas de frequencia em faixas de valores

horas semanais de TV ni fi fac0| − 6 28 0,28 0,286| − 12 34 0,34 0,6212| − 18 22 0,22 0,8418| − 24 8 0,08 0,9224| − 36 8 0,08 1,00

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Medidas-resumo

Tendencia central

MediaMedianaModa

Dispersao(Variabilidade)

Amplitude totalDesvio medio absolutoVarianciaDesvio padraoCoeficiente de variacao

Separatrizes

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Graficos

Blueberry

Cherry

Apple

Boston Cream

Other

Vanilla Cream

Gráfico de setores Histograma

Fre

quen

cy

0 2 4 6 8 10 12

050

100

150

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Conceitos Basicos de Probabilidade

Fenomeno Aleatorio

Espaco Amostral

Evento

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Definicao Classica de Probabilidade

P(A) =numero de casos favoraveis ao evento A

numero de casos possiveis

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Aproximacao da Probabilidade pela Frequencia Relativa

P(A) =numero de ocorrencias do evento A

numero de observacoes

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Propriedades de Probabilidades

1 0 ≤ P(A) ≤ 1

2 P(Ω) = 1

3 P(∅) = 0

4 P(⋃n

j=1 Aj) =∑n

j=1 P(Aj)

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Teorema da Soma

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

Se A e B forem mutuamente exclusivos, teremos P(A ∩ B) = 0,assim:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

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Probabilidade Condicional

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

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Teorema do Produto

P(A ∩ B) = P(A).P(B|A)

com P(A) > 0Dois eventos A e B sao independentes quando a ocorrencia de umnao altera a probabilidade de ocorrencia do outro. Desse modo,

P(A ∩ B) = P(A).P(B)

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Teorema da probabilidade Total

P(A) = P(A ∩ C1) + P(A ∩ C2) + ... + P(A ∩ Cn)

Exemplo: Um estabilizador pode provir de tres fabricantes I,II,IIIcom probabilidades de 0,25 , 0,35 e 0,40, respectivamente. Asprobabilidades de que durante determinado perıodo de tempo, oestabilizador nao funcione bem sao, respectivamente, 0,10; 0,05 e0,08 para cada um dos fabricantes. Qual e a probabilidade de queum estabilizador escolhido ao acaso nao funcione bem durante operıodo de tempo especificado.Se denotarmos por A o evento “umestabilizador nao funcione bem” e por C1,C2 e C3 os eventos “umestabilizador vem do fabricante I,II,III”,respectivamente. Aprobabilidade de um estabilizador escolhido ao acaso nao funcionebem durante o perıodo de tempo especıficado e:

P(A) = P(C1)P(A/C1) + P(C2)P(A/C2) + P(C3)P(A/C3)

=(0,25)(0,10)+(0,35)(0,05)+(0,40)(0,08)=0,07450Estatıstica Basica



Teorema de Bayes

P(Cj |A) =P(A|Cj)P(Cj)∑ki=1 P(A|Ci)P(Ci)

,

j = 1, 2, . . . , k .

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Variavel Aleatoria Discreta

P(X = xi ) = p(xi ) = pi , i = 1, 2, ...

Uma funcao de probabilidade satisfaz duas condicoes seguintes:

0 ≤ pi ≤ 1n∑

i=1pi = 1

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Variavel Aleatoria Continua

1 f (x) ≥ 0, para todo x ∈ (−∞,∞).

2 A area definida por f (x) e igual a 1, ou seja:∫∞−∞ f (x)dx = 1.

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Esperanca Matematica

E (X ) = µ =n∑

i=1xiP(xi ) ,se X for discreta

b∫a

xf (x)dx ,se X for contınua.

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Variancia

Varianciaσ2 = Var(X ) =

∑ki=1(xi − µ)2pi

σ2 = Var(X ) =∑n

i=1 x2i pi − (

∑ni=1 xipi )

2 =∑n

i=1 x2i pi − µ2

Var(X ) = E (X 2)− [E (X )]2

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Principais Distribuicoes de Probabilidade

Modelo Discreto - P(X = xj) =1

k,∀j = 1, 2, 3, · · · , k.

Modelo Bernouli - P(X = x) = px(1− p)1−x , x = 0, 1.

Modelo Binomial -

P(X = k) =

(nk

)× pk × (1− p)n−k , k = 0, 1, 2, · · · , n.

Poisson - P(X = k) =e−λλk

k!, k = 0, 1, 2, · · · ,

Normal -1√

2πσ2e−

12

(x−µ)2

σ2

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Conceitos Basicos de Inferencia Estatıstica

Parametro

Estatıstica (Estimador)

Estimativa

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Distribuicoes Amostrais

Distribuicao amostral de X

Teorema Central do limite(TCL)

TCL para proporcao

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Distribuicao amostral de X

Z = X−µσ/√

n

t = X−µS/√

n

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Teorema Central do limite (TCL)

X−µσ/√

n

X−µS/√

n

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TCL para proporcao

Proporcao populacional: p =Pn

i=1 Xi

N

desvio-padrao:√

p(1− p)/n

desvio-padrao estimado:√

p(1− p)/n

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Propriedades dos Estimadores

Vıcio

Eficiencia

Consistencia

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Estimador nao-viesado

E [Θ] = θ

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Exemplo

estimador viciado de σ2:Pn

i=1(Xi−X )2

n

estimador nao viciado de σ2: S2 =Pn

i=1(Xi−X )2

n−1

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