ETUDE DE LA BORNE REGLABLE Liaisons, … · reliées par des liaisons et destiné à remplir une fonction bien déterminée. I. Définition Exemple: Buté réglable II. Fonction globale:

ETUDE DE

LA BORNE REGLABLE

Liaisons, Cinématique, Statique et Liaisons, Cinématique, Statique et

hyperstatisme

1

On appelle système mécanique un ensemble organisé de pièces

reliées par des liaisons et destiné à remplir une fonction bien

déterminée.

I. Définition

Exemple: Buté réglable

II. Fonction globale:

La fonctions principale correspond

au service rendu par le système mécanique

en vue de répondre à un besoin

La borne réglable peut être utilisé

comme élément de montages d’usinage. Il réalise

un contact localisé réglable en position verticale.

Pour cela, la semelle est fixée sur le montage

d’usinage, et le contact avec la pièce à usiner se

fait par la butée 6. La position verticale de cette

butée 6 est réglée en actionnant la vis moleté 4. Le

même système peut être utilisé pour le

dégauchissage des pièces mécanique en

métrologie (réglage de planéité dans le TP de

métrologie par exemple).

en vue de répondre à un besoin

2

3

1

5

23

4 54

5 76

4

5

6

PRESENTATION DES LIAISONS DANS LA BUTEE REGLABLE

1. Liaison pivot entre 5 et 1

Pièces intervenantes

dans la liaison glissière

1 = { { { {1, 2, 3}}}}

1

7

3

7

2

51

7

Montage des pièces pour

assurer la liaison

Cinématique

de la liaison

8

2. Liaison hélicoïdale entre 5 et 4


dans la liaison hélicoïdale

9


assurer la liaison

Cinématique de la liaison

10

3. Liaison glissière entre 4 et 1



1 = { { { {1, 2, 3}}}}

1

7

1

3

2

1

4

11


assurer la liaison

Cinématique

de la liaison

12

4. Liaison appui-plan entre 4 et 6



6 4

13


assurer la liaison

Cinématique de la liaison

14

5. Liaison pivot-glissant entre 6 et 1



1 = { { { {1, 2, 3}}}}

1

7

1

3

2

6

1

15


assurer la liaison

Cinématique

de la liaison

16

GRAPHE DE LIAISONS

Le graphe de liaisons d’un mécanisme

est construit de la façon suivante :

Toute les piéces qui sont lièes par une

liaison complète représente la même

classe d’équivalence. Dans la borne

réglable, nous avons 4 classes

d’équivalences qui sont les suivantes :

{1}={1, 2, 3 }

La pièce est représentée par un

sommet : Cercle numéroté

La laison est représentée par un arc

non orienté noté Lij

L51 : Liaison pivot d’axe X

L54 : Liaison hélicoïdale d’axe X

L46 : Liaison appui-plan de normale –X1

L41 : Liaison glissière d’axe X

L61 : Liaison pivot-glissant d’axe X

{5}={5}

{4}={4}

{6}={6}

17

Un mécanisme reçoit généralement une puissance PE

à l’entrée sur l’une de ses pièces mobiles de la chaîne.

Cette puissance est transmise par la chaine à une

pièce de sortie, soit PS cette puissance en sortie.

L’élément d’entrée dans notre mécanisme borne

réglable est la vis de manœuvre 5. en effet un

opérateur tourne manuellement l’élément 5 et

entraine cet élément à un vitesse de rotation d’entrée

notée ωωωωe et applique en même temps un couple

Un mécanisme reçoit généralement une puissance PE

à l’entrée sur l’une de ses pièces mobiles de la chaîne.

Cette puissance est transmise par la chaine à une

pièce de sortie, soit PS cette puissance en sortie.

L’élément d’entrée dans notre mécanisme borne

réglable est la vis de manœuvre 5. en effet un

opérateur tourne manuellement l’élément 5 et

entraine cet élément à un vitesse de rotation d’entrée


Entrée-Sortie de la chaîne :

Entrée : PEntrée : PEntrée : PEntrée : P

Entrée : PEntrée : PEntrée : PEntrée : PEEEE

Sortie : PSortie : PSortie : PSortie : PSSSS


d’entrée désigné par Ce. Cette Puissance d’entrée, PE

= Ce. ωωωωe , transite à travers le système de

transformation de mouvement vis écrou et la liaison

en plan incliné et arrive à l’élément de sortie 6. La

puissance de sortie PS = -FS.VS est généralement

inferieure à la puissance d’entrée à cause de la

dissipation d’énergie par frottement, imperfection

des liaisons et autre facteurs. Si les liaisons sont

considérées parfaites, on peut admettre que PE =-PS


d’entrée désigné par Ce. Cette Puissance d’entrée, PE

= Ce. ωωωωe , transite à travers le système de

transformation de mouvement vis écrou et la liaison

en plan incliné et arrive à l’élément de sortie 6. La

puissance de sortie PS = -FS.VS est généralement

inferieure à la puissance d’entrée à cause de la

dissipation d’énergie par frottement, imperfection

des liaisons et autre facteurs. Si les liaisons sont

considérées parfaites, on peut admettre que PE =-PS




18

SCHEMA CINEMATIQUE




L46 : Liaison appui-plan de normale –X1

L61 : Liaison pivot-glissant d’axe Y

19



L46 : Liaison appui-plan de normale -X1



20

L51

L52

L54

L42L52

L43

5 4

2

13

L 31



Parmi les objectifs visés par l’étude cinématique d’un système mécanique est la détermination des composantes de la vitesse de rotation et de

translation de chaque pièce, connaissant la vitesse d’entrée ou de sortie du mécanisme, et d’établir la loi d’entrée-sortie de ce mécanisme.

Parmi les objectifs visés par l’étude cinématique d’un système mécanique est la détermination des composantes de la vitesse de rotation et de

translation de chaque pièce, connaissant la vitesse d’entrée ou de sortie du mécanisme, et d’établir la loi d’entrée-sortie de ce mécanisme.

ETUDE CINEMATIQUE DE LA BORNE REGLABLE

OBJET :

Rappels : Etapes pour réaliser l’étude

Modéliser le système mécanique

par un graphe de liaison

Modéliser le système mécanique

par un graphe de liaison

Calculer le Nombre Cyclomatique

(nombre de boucles indépendantes à étudier)

Calculer le Nombre Cyclomatique

(nombre de boucles indépendantes à étudier)γγγγ=NL-(Np-1) γγγγ=7-4=3

Spécifier les boucles à étudierSpécifier les boucles à étudier

Appliquer la relation de

Fermeture Cinématique à chaque

boucle

Appliquer la relation de

Fermeture Cinématique à chaque

boucle

Etablir le système d’équationsEtablir le système d’équations

1 2 5 1 { } { } { }

=++

→

0),,,(/),,,(/),,,(/ 155221 zyxOSSzyxOSSzyxOSS VVV

2 5 4 2 { } { } { }

=++

→

0),,,(/),,,(/),,,(/ 244552 zyxOSSzyxOSSzyxOSS VVV

{ } { } { } { }

=+++

→

0),,,(/),,,(/),,,(/),,,(/ 12244331 zyxOSSzyxOSSzyxOSSzyxOSS VVVV1 3 4 2 1

1 2 5 1

2 5 4 2

1 3 4 2 1

0...

............................................

............................................

0

0

124331

155221

5221

///

///

//

=+++

=++

=+

SSzSSzSSz

SSySSySSy

SSxSSx

VVV

ωωω

ωω

Résoudre le système d’équationsRésoudre le système d’équationsDétermination des vitesses de chaque

solide et de la loi d’entrée-sortie 21

A- Graphe de liaison de la borne réglable :

Le graphe de liaison (déjà établi) de ce système est donné par :



B- Nombre Cyclomatique :

Le nombre Cyclomatique qui défini le nombre de chaîne fermée

(boucle) à étudier est donné par :

γγγγ=NL-(Np-1)

AN γγγγ=5-(4-1)=2 22

Sous système 1 : Boucle 1

B- Spécification des boucles d’étude :

B.1 Signification d’une boucle :

Une boucle représente un sous mécanisme (petit système) qui assure une fonction bien

déterminée. Cette fonction paraît être conserver sans la présence des autre sous systèmes

(boucles) adjacents.

Pour illustrer cette vision nous allons confronter la notion de boucle au sous système qu’il

représente. Comme on peut le voir d’après l’animation de dessous la boucle 1 représente en fait

un sous système autonome. La même constatation peut être formuler pour la boucle 2 et 3.

Sous système 2 : Boucle 2 Sous système 3 : Boucle 3Sous système 1 : Boucle 1

5

1

4


6

1

4


5

1

4

6

23

Boucle 1

B.2 Directives pour choix d’une boucle :

Il faut noter que n’importe qu’il combinaison de boucles indépendantes, en tenant compte de

nombre cyclomatique amènera à la fin au même résultat. Néanmoins, pour alléger les calculs,

on pourra toujours choisir les boucles qui contiennent le moins de solides. Par exemple , dans

notre cas, on peut privilégier les deux boucles 1-5-4-1 et 1-4-6-1 à la boucle 1-5-6-4-1 .

B.3 Spécification de boucles d’étude :

Notre choix s’est porté donc sur les deux boucles suivantes:

1 5 4 1

5

1

4ou

1 4 6 1

4

1

6

Boucle 2

ou

24






B.4 Schéma cinématique et paramétrage :

xO61

Vs6/1

x

O51

x

O45

x

O41

xO46

ωωωωs5/1

25

1 5 4 1

B.5 Relation de fermeture appliquée au deux boucles

B.5.1 Etude de la boucle :

La relation de fermeture pour la boucle 1 s’écrit :

{ } { } { }

=++

→

0VVV)z,y,x,O(S/S)z,y,x,O(S/S)z,y,x,O(S/S

1514

1545

1551

Bilan des torseurs cinématiques :

ω 0 ωαω . v0

{ }

ω

=

0 0

0 0

0

V

15x

)z,y,x,O(S/S15

51{ }

ωαω

=

0 0

0 0

.

V

54x54x

)z,y,x,O(S/S54

45{ }

=

0 0

0 0

v0

V

x14

)z,y,x,O(S/S14

41

Relation de transport en O15 :

Le vecteur distance défini par le centre de chaque liaison concernée par la

RT et O15 est situé suivant la même direction que celle des inconnues

cinématiques du torseur de cette liaison et par conséquent, dans ce cas

particulier, les torseurs restent inchangés:

26

{ } { }00 0

0 0

v0

0 0

0 0

.

0 0

0 0

0

V

)z,y,x,O(

x14

)z,y,x,O(

54x54x

)z,y,x,O(

15x

S/S

141515

51

r=

+

ωαω

+

ω

=

{ }

ω

=

0 0

0 0

0

V

15x

)z,y,x,O(S/S15

51{ }

ωαω

=

0 0

0 0

.

V

54x54x

)z,y,x,O(S/S15

45{ }

=

0 0

0 0

v0

V

x14

)z,y,x,O(S/S15

41

La RF donne :

( ) =ω+ω 1 0 ( )

( )

=+ωα

=ω+ω

2 0v.

1 0

x1454x

54x15x

27

B.5.2 Etude de la boucle :

La relation de fermeture pour cette boucle s’écrit :

{ } { } { }

=++

→

0VVV)z,y,x,O(S/S)z,y,x,O(S/S)z,y,x,O(S/S

4616

4664

4641

Bilan des torseurs cinématiques :

{ }

ω= v

0 0

V y6161y)z,y,x,O(S/S 16{ }

ω−= y

46x

S/S 0

v 0

V{ }

= 0 0

v0

V

x14

1 4 6 1

{ }

ω=

0 0

vV y6161y)z,y,x,O(S/S61

16{ }

ω−=

46z

46y)Z,Y,X,O(S/S

v 0

0 V11146

64{ }

=

0 0

0 0V)z,y,x,O(S/S

1441

Relation de transport en O46 :

Le vecteur distance défini par le centre de chaque liaison concernée par la

RT et O46 est situé suivant la même direction que celle des inconnues

cinématiques du torseur de cette liaison et par conséquent, dans ce cas

particulier, les torseurs restent inchangés:

28

Changement de base pour : { }64 S/SV

θ+θ=

θ−θ=

Y.cosX .sinY

Y.sinX .cosX

1

1

rrr

rrr

θθθθ

Xr

Yr

1Yr

θθθθ

{ }

ω=

0 0

v

0 0

V y6161y)z,y,x,O(S/S46

16{ }

ω−=

46z

46y

46x

)Z,Y,X,O(S/S

v 0

0

v 0

V11146

64{ }

=

0 0

0 0

v0

V

x14

)z,y,x,O(S/S46

41

Xr

1Xrθθθθ

{ }

θθω−

θθω−

=

46z

46x46y

46x46y

)Z,Y,X,O(S/S

v 0

sin.v- .cos

cos.v .sin

V46

64

29

La RF donne :

( )

( )

=ω+θω−

=θω−

4 0.cos

3 0.sin

61y46y

46y

{ }00 0

v

0 0

v 0

sin.v- .cos

cos.v .sin

0 0

0 0

v0

y6161y

46z

46x46y

46x46yx14r

=

ω+

θθω−

θθω−

+

( )

( )

( )

=

=+θ−

=θ+

7 0v

6 0vsin.v

5 0cos.vv

46z

y6146x

46xx14

30

( )( )( )

( )( )( )( )

=

=+θ−

=θ+

=ω+θω−

=θω−

=+ωα

=ω+ω

7 0v

6 0vsin.v

5 0cos.vv

4 0.cos

3 0.sin

2 0v.

1 0

46z

y6146x

46xx14

61y46y

46y

x1454x

54x15x

En résumé

Entrée-sortie du mécanisme

Pour la borne réglable, l’entrée du mécanisme est affectée à 5 et la sortie est donnée à 6.

Le calcul d’avant projet suppose la connaissance des paramètres de sortie du

mécanisme (VS et FS→→→→6) qui sont en général, précisés dans le cahier de charge (rôle assuré par le

mécanisme et l’objet de sa création). La résolution du système d’équation, issu de l’étude

cinématique, permet d’une part de calculer toutes les inconnues des torseurs cinématiques et

d’autre par de formuler la loi d’entrée-sortie du mécanisme qui est d’un intérêt fondamental pour

le dimensionnement et le choix de l’actionneur qui va fournir la puissance d’entrée.

31

Vy6/1 = VS

Connaissant VS (cahier de charge), cette vitesse est affectée à la

pièce 6 et donc à l’inconnue cinématique Vy6/1 :

( )θ

=⇒sin

vv 6

y61

46x

θ=sin

vv S

46x⇒⇒⇒⇒

( )14x54x v

1 2

α−=ω⇒

En remplaçant vx14 par son expression en

fonction de VS, on obtient

1θsin46x

( ) θ−=⇒ cos.vv 546xx14

S14x v. cotv θ−=⇒⇒⇒⇒

En remplaçant vx46 par son expression en


⇒⇒⇒⇒ S54x v. cot1

θα

=ω

( )54x15x 1 ω−=ω⇒

⇒⇒⇒⇒

En remplaçant ωωωωx14 par son expression en


S54x v. cot1

θα

−=ω (∆∆∆∆)

32

( ) ⇒ 3 046y =ω

( ) ⇒ 4

061y =ω

θω=ω .cos46y61y

D’où, d’après (3) :

0v46z =( ) ⇒ 7

Loi d’entrée-sortieLoi d’entrée-sortie

L’entrée du mécanisme est attribué à la vis de manœuvre 5. La vitesse d’entrée ωωωωe sera affectée

par conséquent ωωωω5/1 :

ωωωω 5/1 = ωωωω e

Attention : Attention : Attention : Attention : Ne jamais confondre l’inconnue cinématique ωωωω 5/1 avec la vitesse d’entrée ωωωω e

du mécanisme . En fait, la première composante est propre à la liaison et donc c’est un élément

interne au mécanisme, par contre la deuxième est une vitesse donnée par un élément externe au

mécanisme à savoir un moteur ou un opérateur par exemple.

33

D’après (∆∆∆∆), et en affectant la vis de manouvre à l’entrée, nous arrivons à

la loi liant l’entrée et la sortie du système :

Se v. cot1

θα

−=ω

34

ETUDE STATIQUE DE LA BORNE REGLABLE

OBJET :

Rappels : Etapes pour réaliser l’étude

Modéliser le système mécanique par un

graphe de liaison

Modéliser le système mécanique par un

graphe de liaison

Isoler chaqueIsoler chaque

Parmi les objectifs visés par l’étude statique d’un système mécanique est la détermination des efforts qui s’applique à chaque composant du

système mécanique, en vue d’aborder un dimensionnement de RDM par exemple. Analyser l’hyperstatisme du mécanisme, en cas de la non

possibilité de détermination de tous les inconnus statiques , Agir sur ces inconnus pour assurer l’isostaticité ou prendre les mesures nécessaires en

phase de la cotation si le concepteur juge nécessaire de préserver les inconnus hyperstatique ou si le fonctionnement correcte du mécanisme sera

affecter par de telles modifications .

1

L51

L12

L54

L42L52

L43

5 4

2

13

L 31


Sortie: PSortie: PSortie: PSortie: PSSSS

L 31 {τ{τ{τ{τEEEE→→→→ 3333

}}}} 1Isoler chaque

solide du

système, autre

que le bâti

Isoler chaque

solide du

système, autre

que le bâti

Etablir le système d’équationsEtablir le système d’équations0...NY.sin.aNNF

............................................

............................................

0YYY

0XXX

45152515S

425212

425212

=+θ+++−

=++

=++

Résoudre le système d’équationsRésoudre le système d’équations Détermination des inconnues statiques en cas de possibilité

en fonction des paramètres fixés et connus du système

{ } { } { }0ji

Si SjSiext

r=τ+τ ∑∑

≠→→

L12

L42L52

5 4

2

1

L43

4

13

L 31 {τ{τ{τ{τEEEE→→→→ 3333

}}}}i M

L52

5 4

2

1

Appliquer le PFS à chaque solide isolé, en tenant compte de tous

les efforts extérieurs à : efforts de liaisons et efforts

d’entrée-sortie du système

Appliquer le PFS à chaque solide isolé, en tenant compte de tous

les efforts extérieurs à : efforts de liaisons et efforts

d’entrée-sortie du système

i

{ }Siext→τ

{ }SiSj→τ

{τ{τ{τ{τSSSS→→→→ 5555

}}}}

35

Identification des inconnues hyperstatiques

(inconnues non déterminées en résolvant le système)

Identification des inconnues hyperstatiques

(inconnues non déterminées en résolvant le système) 0...ouN N

............................................

............................................

0Y ou Y

X ou X

2515

4252

5212

=

=

Analyse des inconnues hyperstatiquesAnalyse des inconnues hyperstatiques

Rendre le système isostatique :

annuler les inconnues hyperstatiques,

Introduire des mobilités internes, des

Rendre le système isostatique :

annuler les inconnues hyperstatiques,


Garder ou diminuer l’hyperstaticité et

prendre les mesures nécessaires :

Cotation, Réglage, Introduction des

Garder ou diminuer l’hyperstaticité et

prendre les mesures nécessaires :

Cotation, Réglage, Introduction des Introduire des mobilités internes, des

pièces intermédiaires…


pièces intermédiaires…


éléments élastiques…


éléments élastiques…

Revue de la conceptionRevue de la conception

36

A- Graphe de liaisons


B- Bilan des solides à isoler

4

5

6

1

4

1 4

5

{τ{τ{τ{τeeee}}}}


4

6

1

{τ{τ{τ{τSSSS}}}}

37

xO61

Vs6/1

xOS





C- Schéma cinématique et paramétrage :

X.aOO 5145

r=

→

Y.dOO 6146

r=

→

r→

x

O51

x

O45

x

O41

xO46

ωωωωs5/1

6146

X.cOO 4146

r=

→

Y.fOO 4546

r=

→

Y.bOO S46

r=

→

38

D- PFS appliqué aux pièces isolées :

D- 1 PFS appliqué à 5

{ } { } { }

=τ+τ+τ

→

→→ 0)z,y,x,O(e)z,y,x,O(SS)z,y,x,O(SS

515154

5151

1-Bilan des efforts appliqués à 5

{ }

=τ →

1515

1515

15

)z,y,x,O(SS

N Z

M Y

0 X

1551

{ }

β

=τ →

4545

4545

4545

)z,y,x,O(SS

N Z

M Y

X. X

4554

{ }

=τ

0 0

0 0

Ce- 0

)z,y,x,O(e15

2-Relation de transport en O51

� RT Pour le torseur {ττττ45}

( ) ( ) 45451545451545 ROOOMOMr

∧+=→→→

( )

−

+

β

=

∧

−

+

β

=→

4545

4545

45

45

45

45

45

45

45

1545

Y.aN

Z.aM

X.

Z

Y

X

0

0

a

N

M

X.

OM

{ }

−

+

β

=τ →

454545

454545

4545

)z,y,x,O(SS

Y.aN Z

Z.aM Y

X. X

4554

39

3- PFS appliqué à 5

{ }00 0

0 0

Ce- 0

Y.aN Z

Z.aM Y

X. X

N Z

M Y

0 X

454545

454545

4545

1515

1515

15r

=

+

−

+

β

+

4- Equations de la statique obtenues en isolant 5

( )( )( )3 0ZZ

2 0YY

1 0XX

4515

4515

4515

=+

=+

=+

( )( )( )( )6 0Y.aNN

5 0Z.aMM

4 0CX.

3 0ZZ

454515

454515

e45

4515

=−+

=++

=−β

=+

40




{ }

=τ →

1414

1414

14

)z,y,x,O(SS

N Z

M Y

L 0

1441

{ } { } { }

=τ+τ+τ

→

→→→ 0)z,y,x,O(SS)z,y,x,O(SS)z,y,x,O(SS

4646

4641

4645

{ }

−

−

β−

=τ →

4545

4545

4545

)z,y,x,O(SS

N- Z

M- Y

X.- X

4545

{ }

=τ≡→

64

64

64

)zz,y,x,O(SS

N 0

M 0

0 X

1114646



( ) ( ) 14144614144614 ROOOMOMr

∧+=→→→

( )

+

−=

∧

+

=→

1445

1414

14

14

14

14

14

14

4614

Y.cN

Z.cM

L

Z

Y

0

0

0

c

N

M

L

OM

{ }

+

−=τ →

141414

141414

14

)z,y,x,O(SS

Y.cN Z

Z.cM Y

L 0

4641

41


( ) ( ) 54465454544654 ROOOMOMr

∧+=→→→

( )

−

+−

β−

=

−

−

−

∧

+

−

−

β−

=→

4545

4545

45

45

45

45

45

45

45

4654

Y.fN

Z.fM

X.

Z

Y

X

0

0

f

N

M

X.

OM

{ }

−

+

β

=τ →

454545

454545

4545

)z,y,x,O(SS

Y.fN- Z-

Z.fM- Y-

.X- X-

4645

3- Changement de base pour {ττττ64}

Yr

Yr

θ+θ=

θ−θ=

Y.cosX .sinY

Y.sinX .cosX

1

1

rrr

rrr

θθθθ

Xr

Yr

1Y

1Xrθθθθ

{ }

θθ−

θθ

=τ →

64

6464

6464

)z,y,x,O(SS

N 0

.cosM .sinX

.sinM .cosX

4646

42


{ }0N 0

.cosM .sinX

.sinM .cosX

Y.fN- Z-

Z.fM- Y-

.X- X-

Y.cN Z

Z.cM Y

L 0

64

6464

6464

454545

454545

4545

141414

141414

14r

=

θθ−

θθ

+

−

+

β

+

+

−


( )( )( )9 0ZZ

8 0sin.XYY

7 0cos.XX

644514

6445

=−

=θ−−

=θ+−

( )( )( )( )12 0NY.fNY.cN

11 0cos.MZ.fMZ.cM

10 0sin.MX.L

9 0ZZ

6445451414

6445451414

644514

4514

=+−−+

=θ++−−

=θ+β−

=−

43


{ } { } { }

=τ+τ+τ

→

→→ 0)z,y,x,O(S)z,y,x,O(SS)z,y,x,O(SS

464661

4664

2-Relation de transport en O


{ }

=τ →

1616

1616

)z,y,x,O(SS

N Z

0 0

L X

1661

{ }

=τ

0 0

0 F-

0 0

S)z,y,x,O(SS

{ }

θθ

θθ−

=τ →

64

6464

6464

)z,y,x,O(SS

N- 0

.cosM- .sinX

.sinM- .cosX

4664

2-Relation de transport en O


( ) ( ) 16164616164616 ROOOMOMr

∧+=→→→

( )

−

+

=

∧

+

=→

1616

1616

16

16

16

16

4616

X.dN

0

Z.dL

Z

0

X

0

d

0

N

0

L

OM

{ }

−

+

=τ →

161616

161616

)z,y,x,O(SS

X.dN Z

0 0

Z.dL X

1661

44


{ }00 F-

0 0

0 0

Z.dL X

.cosM- .sinX

.sinM- .cosX 1616166464r

=

+

+

+

θθ

θθ−

� RT Pour le torseur {ττττs}

La direction de la résultante FS est la même direction y que celle du vecteur

distance OSO46 est par conséquent : d’où{ } { })z,y,x,O(S)z,y,x,O(S

46Sτ=τ

{ }

−=τ

0 0

0 F

0 0

S)z,y,x,O(S46

{ }00 0

0 F-

X.dN Z

0 0

N- 0

.cosM- .sinX S

16161664

6464

r=

+

−

+

θθ


(18) 0X.dNN-

(17) 0.cosM-

(16) 0Z.dL.sinM-

(15) 0Z

(14) 0F.sinX

(13) 0X.cosX

161664

64

161664

16

S64

1664

=−+

=θ

=++θ

=

=−θ

=+θ−

45

( )( )( )( )( )( )( )( )( )9 0ZZ

8 0sin.XYY

7 0cos.XX

6 0Y.aNN

5 0Z.aMM

4 0CX.

3 0ZZ

2 0YY

1 0XX

4514

644514

6445

454515

454515

e45

4515

4515

4515

=−

=θ−−

=θ+−

=−+

=++

=−β

=+

=+

=+

Résumé de PFS

( )( )( )( )

(18) 0X.dNN-

(17) 0.cosM-

(16) 0Z.dL.sinM-

(15) 0Z

(14) 0F.sinX

(13) 0X.cosX

12 0NY.fNY.cN

11 0cos.MZ.fMZ.cM

10 0sin.MX.L

9 0ZZ

161664

64

161664

16

S64

1664

6445451414

6445451414

644514

4514

=−+

=θ

=++θ

=

=−θ

=+θ−

=+−−+

=θ++−−

=θ+β−

=−

46

Nous allons nous procédé de la même façon que l’étude cinématique en supposant

que FS est donnée par le cahier de charge et par la suite, essayer de déterminer tous

les inconnus statiques e en fonction de cette force.

( )

( )

=⇒

=⇒

=⇒

β=⇒

θ−=⇒

θ=⇒

θ=⇒θ=⇒

(24) 0M (17)

(23) 0Z (15)

(22) C

X 4

.cotFX (21)et 1

(21) .cotF X (19)et (7)

(20) .cotFX (19)et (13)

(19) sin

FX (14)

64

16

e45

S15

S45

S16

S64

( ) θβ=⇒

=⇒

.cotF.L (24)et (21) ,10

(25) 0L (24)et (23) (16),

S14

16

( ) ( )( ) ( )

( )( )( ) ( ) S144545S1664

451545

4514451545

144515

S141545

F.c NNY).cf(cot.F.dNN (26)et 12 , (20) , 18

Y.aNN 6

Z).cf(MZ.aM-M (27)et (24) ,11 (5),

27 Z ZZ 9et (3)

26 FYY Y (19)et 8 , (2)

−−+−=θ−=⇒

+−=⇒

−+=−=⇒

−=−=⇒

−=−=⇒

47

E-IDENTIFICATION DES INCONNUS HYPERSTATIQUES

Qualitativement le nombre d’inconnus statiques est donné par :

SS rIh −=

Où Is est le nombre total d’inconnus statique qui est donné par :

∑=

=n

1i

SiS NI Avec Nsi est le nombre d’inconnus statiques relatif à

chaque liaison i

Et rS est le nombre d’équations linéairement indépendantes est significatives obtenues en appliquant le22 IS =Et rS est le nombre d’équations linéairement indépendantes est significatives obtenues en appliquant le

PFS à chaque solide du système mécanique.

Pour notre système :

glissantpivotplanappuiglissièreehélicoïdalpivot

S 43555I

−↑

−↑↑↑↑

++++=

22 IS =

22 IS =⇒⇒⇒⇒

48

En analysant les 18 équations obtenus par la statique (page 46 et 47), ont peux conclure que les deux

équations (21) et (22) sont linéairement dépendantes et par conséquent, il reste 17 équations

indépendantes. Ce qui permet d’écrire :

17 rS =

D’où

5 h =

L’identifications des inconnues hyperstatiques peut être menée à la base de la résolution desL’identifications des inconnues hyperstatiques peut être menée à la base de la résolution des

équations de la statique effectuée à la page 47 :

Les inconnues hyperstatiques sont :

141664

1545

141545

144515

141545

Nu o Nu o N

Nu o N

Mu o Mu o M

Zu o Zu o Z

Yu o Yu o Y

49

Les jeux J1 suivant

l’axe Y et J2 suivant

l’axe Z entre le bâti 1

et la vis de manœuvre

5 ont été introduits

volontairement par le

concepteur dans l’objet

En inspectant les solutions constructives mises en place pour la conception de la borne réglable, en vue de

remédier au problème de l’hyperstatisme, on peut conclure que :

F- Solutions constructives pour remédier à l’hyperstaticité

concepteur dans l’objet

d’annuler

respectivement les

inconnues

hyperstatiques Y15 et

Z15 . En

comptabilisant Ces

deux jeux la liaison

entre 5 et 1 est rendue

rotule au lieu de pivot.

50

Pour annuler les autres inconnues hyperstatiques relatives à la même liaison L15 , beaucoup de

solutions constructives, utilisant le système vis-écrou comme moyen de transformation de mouvement,

prévoient un guidage en rotation flottant de la vis (voir l’écrou). Cela permet donc de ramener la

Liaison initiale pivot en une liaison souhaitée ponctuelle.

Les parties sphériques

réalisées sur la vis 5,

associées au deux jeux

J1 et J2 permettent

d’ajouter deux degrés de

liberté de rotation

51

Calottes

sphériques

liberté de rotation

suivant les axes Y et Z.

ces deux degrés

permettent d’annuler

les deux inconnues

hyperstatiques M15

suivant l’axe Y et N15

suivant l’axe Z. Cet

arrangement permet de

réduire l’hyperstaticité

de la borne réglable à 1

Documents

ETUDE DE LA BORNE REGLABLE Liaisons, … · reliées par des liaisons et destiné à remplir une fonction bien déterminée. I. Définition Exemple: Buté réglable II. Fonction globale: