Etude des cycles de réassurance - ressources-actuarielles.net

Ecole Nationale de la Statistique et de l'Administration Economique3, avenue Pierre Larousse - 92245 Malako� cedex, France

Mémoire d'Actuariat - Promotion 2010

Etude des cycles de réassurance

Edith Joëlle DEMGNE

MOTS-CLÉS : Réassurance non-vie, cycles de marché, structures économiques de marché,

équilibre de Nash, modèles de simulation multi-agents.

KEYWORDS : P&C Reinsurance, market cycles, economic market structures, Nash equi-

librium, agent based models

ENCADREMENT : Hélène GELE et Thameur ZGHAL (AXA Cessions)

CORRESPONDANT E.N.S.A.E. : Christian-Yann ROBERT

Mémoire con�dentiel

2

� Demain ne sera pas comme hier.

Il sera nouveau et il dépendra de

nous. Il est moins à découvrir qu'à

inventer. �

Gaston Berger, Extrait de laPhénoménologie du temps et

prospective.

3

Remerciements

Je tiens à remercier dans un premier temps, toute l'équipe pédagogique de l'ENSAE pouravoir assuré la partie théorique de ma formation.

Je remercie également Monsieur Christian-Yann Robert pour l'aide et les conseils concer-nant les missions évoquées dans ce rapport, qu'il m'a apporté lors des di�érents suivis.

Je tiens à remercier tout particulièrement et à témoigner toute ma reconnaissance aux per-sonnes suivantes, pour l'expérience enrichissante et pleine d'intérêt qu'elles m'ont fait vivredurant ces six mois au sein de l'entreprise Axa Cessions :

� Madame Hélène GELE, responsable de l'équipe, pour son accueil et sa con�ance qu'ellem'a accordé dès mon arrivée dans l'entreprise.

� Monsieur Thameur ZGHAL, mon tuteur, pour m'avoir intégré rapidement au sein del'équipe et pour son soutien ; pour le temps qu'il m'a consacré tout au long de cettepériode, sachant répondre à toutes mes interrogations ; sans oublier sa participation aucheminement de ce rapport et l'ambiance conviviale qu'il a su instaurer et entretenirpendant toute la durée de mon stage.

� Toute l'équipe P&C Reinsurance Actuarial Department pour leur accueil sympathiqueet leur coopération professionnelle tout au long de ces six mois.

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REMERCIEMENTS

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Table des matières

Remerciements 4

Introduction 8

1 Généralités et revue de la littérature 101.1 La réassurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.1 La réassurance en France . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.2 La réassurance dans le monde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Les di�érentes structures économiques de marché et l'équilibre de Nash . . . . . 131.2.1 Le monopole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2 La concurrence pure et parfaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.3 L'oligopole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.4 L'équilibre de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Revue de la littérature des cycles d'assurance et/ou de réassurance . . . . . . . 181.3.1 Les déterminants des prix de réassurance : avis des praticiens . . . . . . 181.3.2 Déterminants des cycles de réassurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.3 Mécanismes de formation des prix d'assurance et|ou de réassurance . . . 191.3.4 Utilisation des modèles de simulation multi-agents . . . . . . . . . . . . 20

2 Modélisation de di�érentes structures de marché 222.1 Structure générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.1 Les paramètres du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.2 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Le modèle de monopole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.1 Les hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.2 Construction du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.3 Résultats obtenus et analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.4 Etude de sensibilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Les modèles d'oligopole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.1 La concurrence par les quantités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.2 Le modèle meneur-suiveur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.3 La concurrence par les prix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Mise en perspective avec les données d'expérience 543.1 Explication de l'évolution des prix de réassurance . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.1 Présentation des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.1.2 Description des marchés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6

TABLE DES MATIÈRES

3.1.3 Présentation de la méthodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.1.4 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.1.5 Résultats obtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2 Etude des séries de demande et de sinistralité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2.1 Présentation de la méthodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2.2 Analyse des séries sur le marché mondial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.2.3 Analyse des séries sur le marché français des tempêtes . . . . . . . . . . 69

3.3 Prévision de l'évolution des prix de réassurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3.1 Prévision sur le marché mondial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.3.2 Etude du taux de prime de réassurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.3.3 Prévision sur le marché français des tempêtes . . . . . . . . . . . . . . . 773.3.4 Etude du taux prime de réassurance sur engagement du réassureur . . . 81

Conclusion 84

Annexes 86

Bibliographie 102

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Introduction

L'une des principales préoccupations des sociétés d'assurance et de réassurance réside dansl'amélioration des méthodes de tari�cation des contrats qu'elles proposent. Les enjeux sont ene�et multiples en raison tout d'abord du cycle de production inversé dans ce secteur d'acti-vité. Les assureurs et les réassureurs réalisent leur activité dans un environnement �uctuanttant en termes de coût que de fréquence des sinistres, avec l'obligation de �xer des prix alorsqu'ils ne connaîssent pas exactement leurs dépenses futures. Cette incertitude exige de leurpart de la prudence dans la �xation de leurs tarifs, lesquels doivent également prendre encompte les exigences de solvabilité. Un autre enjeu de la tari�cation concerne la réduction del'antisélection et de l'aléa moral tout en permettant aux entreprises d'être concurrentielles surle marché. Ce dernier n'étant pas statique, les sociétés d'assurance et de réassurance doiventen permanence adapter leurs tarifs.

Les �uctuations dans les prix de réassurance observés ces dix dernières années ont conduitAxa Cessions à s'interroger sur une gestion dynamique de ces �uctuations en y intégrant unemodélisation des cycles de marché en réassurance.

Le marché de la réassurance est loin d'être parfaitement compétitif puisqu'il se composed'un petit nombre d'o�reurs. Les réassureurs les plus importants ont un pouvoir de marchémais sont parfaitement conscients que leurs concurrents en ont aussi. Ils savent aussi qu'ilspeuvent in�uencer leurs concurrents et également subir leurs in�uences.

Dans ce contexte de concurrence imparfaite, le prix et le capital deviennent des variablesstratégiques. On pourrait envisager une régulation des prix par les autorités mais elle estdi�cile à mettre en oeuvre du fait de la diversité des contrats proposés et des méthodesd'évaluation des risques. Le fait que chaque réassureur est libre de �xer ses prix implique doncde comprendre comment ces décisions de prix sont impactées par cette compétition imparfaite.

L'objectif du mémoire est de fournir une compréhension économique des cycles de réassu-rance dans la branche non-vie et aussi de tester leur sensibilité à di�érents scenarii tels que lescatastrophes naturelles. Pour ce faire, il importe tout d'abord de rappeler les di�érents typesde contrats de réassurance et de décrire le marché de la réassurance. Nous décrivons ensuiteles caractéristiques des di�érentes structures économiques de marché (monopole, concurrencepure et parfaite, oligopoles de Cournot, de Stackelberg et de Bertrand). Un bref résumé dequelques uns des travaux de nombreux auteurs qui se sont intéressés à l'étude des prix d'as-surance et|ou de réassurance et à leur évolution clôtureront cette première partie.

Dans une seconde partie, nous procéderons à une modélisation des di�érentes structuresde marché présentées précédemment. Des simulations seront ensuite faites pour en dériver les

8

INTRODUCTION

mouvements des prix. Nous regarderons en�n comment les prix réagissent à di�érents facteurstant liés au marché (demande) qu'aux caractéristiques propres des réassureurs (sinistralité,évaluation des provisions).

La dernière partie visera alors une confrontation des résultats obtenus par simulation avecceux obtenus sur des données d'expérience. La �nalité ici est de rapprocher les résultats dessimulations avec la réalité sur le marché et en dégager des enseignements.

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Chapitre 1

Généralités et revue de la littérature

1.1 La réassurance

La réassurance est un accord au terme duquel une société "le réassureur" s'engage à in-demniser une société d'assurance "la cédante" contre tout ou partie du risque qu'elle a souscritaux termes d'une ou plusieurs polices d'assurance.

La réassurance exerce trois fonctions essentielles :

� Couverture des risques de pointe : elle apporte à l'assureur direct une plus grande sta-bilité de résultats lorsque des sinistres inhabituels et importants se produisent en lecouvrant au-delà de certains plafonds ou contre l'accumulation d'engagements indivi-duels ;

� Amélioration de la solvabilité : elle autorise les assureurs à accroître leur capacité dispo-nible (c'est-à-dire le montant maximum qu'ils peuvent assurer au titre d'un sinistre oud'une catégorie de sinistres) en leur permettant de souscrire des polices portant sur desrisques plus nombreux ou plus importants, sans augmenter leurs besoins de couverturede marge de solvabilité, donc leurs fonds propres ;

� Amélioration de la trésorerie : elle met à la disposition des assureurs des liquiditésimportantes en cas de sinistralité grave.

Les formes de réassurance

Les deux principales formes de couverture en réassurance sont les traités et les facultatives.

Dans le cadre du traité, la cédante a pour obligation contractuelle de céder et le réassureurd'assumer une partie spéci�que de certaines catégories de risques assurés par la cédante.

Les réassureurs utilisant les traités, n'évaluent pas séparément chacun des risques couvertspar le traité. Par conséquent, après avoir examiné les pratiques de souscription de la cédante,ils dépendent des décisions de couverture prises à l'origine par les principaux souscripteursde la cédante notamment en réassurance proportionnelle. Une telle dépendance peut exposerles réassureurs au fait que les cédantes n'aient pas évalué les risques à couvrir de façon adé-quate, les entraînant ainsi à encaisser des primes insu�santes par rapport au risque couvert.L'évaluation faite par le réassureur des pratiques de souscription et de gestion des risques

10

CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS ET REVUE DE LA LITTÉRATURE

de la cédante, ainsi que des procédures et pratiques de règlement de sinistres, impacte doncgénéralement la tari�cation du traité.

Dans le cadre d'une a�aire facultative, la cédante cède et le réassureur couvre tout ou par-tie du risque couvert par une police d'assurance spéci�que unique. La facultative est négociéeséparément pour chacune des polices d'assurance réassurées.

Les facultatives sont habituellement achetées par les cédantes pour des risques individuelsqui ne sont pas couverts par leurs traités de réassurance, pour des montants excédant les limitesde leurs traités de réassurance et pour des risques inhabituels. Les frais engendrés par l'activitéde souscription, et ceux liés au personnel en particulier, sont proportionnellement plus élevéspour la gestion des facultatives, chaque risque étant souscrit et administré individuellement.La possibilité d'estimer chaque risque séparément augmente néanmoins la possibilité pour leréassureur de pouvoir tarifer le contrat de façon plus juste par rapport aux risques encourus.

Les types de réassurance

Les traités et les facultatives peuvent être souscrits sur une base proportionnelle (excédentde plein ou quote-part) ou non-proportionnelle (excédent de sinistre ou excédent de perte).

La réassurance proportionnelle : Dans le cas de la réassurance proportionnelle, le ré-assureur, en contrepartie d'une portion prédéterminée de la prime d'assurance facturée parla cédante, indemnise la cédante contre cette portion des sinistres couverts par la cédante autitre des polices concernées. Deux types de contrats existent :

� La quote-part qui consiste à partager proportionnellement les primes et les sinistresd'une branche ou une catégorie selon un pourcentage �xé d'avance ;

� L'excédent de plein : le réassureur va intervenir uniquement sur les polices dépassant uncertain montant de garantie appelé plein de conservation ou retention (c'est la sommeconservée par l'assureur pour son propre compte).

La réassurance non proportionnelle : Dans le cas de la réassurance non-proportionnelle,le réassureur indemnise la cédante de la totalité ou d'une partie déterminée du sinistre, sinistrepar sinistre ou pour la totalité de l'exposition sur un secteur d'activité, dès lors que celui-cidépasse un montant �xé, appelé rétention de la cédante ou franchise du réassureur, et jusqu'àun plafond �xé par le contrat de réassurance. Deux types de contrats principaux sont recensés :

� L'excédent de sinistres : le réassureur ne règle que les sinistres dont les montants excèdentla priorité �xée de manière contractuelle au cours d'une période determinée appelée an-née de survenance.

Ainsi donc, la priorité désigne le seuil d'intervention du réassureur sur un sinistre et lagarantie ou portée est la limite d'intervention du réassureur.

� L'excédent de perte : le réassureur intervient lorsque l'assureur est en perte. Le seuil etla limite d'intervention du réassureur sont dé�nis en fonction d'un pourcentage du totaldes primes perçues par la cédante.

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1.1.1 La réassurance en France

Le marché français de la réassurance se classe parmi les tout premiers d'Europe, tant pourles acceptations (4e) que pour les cessions (3e). Cependant, le nombre de sièges sociaux instal-lés en France n'a cessé de diminuer, et les réassureurs de droit français comme les réassureursétrangers opérant en France sont en régression. L'Association des professionnels de la réas-surance en France (APREF) a conduit une étude en 2008 pour mesurer ce phénomène ainsique les attentes des acteurs en la matière 1. Il en ressort qu'il y a moins de sièges sociaux,d'e�ectifs, de capitaux sous risque et d'actifs gérés, de compétences et aussi d'impôts.

Les groupes d'assurances français se sont progressivement désengagés de leurs �liales deréassurance, trop gourmandes en fonds propres et exposées à une volatilité des portefeuillesplus forte que la moyenne. En parallèle, les courtiers français de réassurance ont pratiquementtous été rachetés et fusionnés dans de grands groupes, avec moins d'incitation à placer desa�aires internationales à Paris.

Le marché français demeure toutefois important sur le plan des cessions et des accepta-tions réassurance 2. Avec plus de 5 milliards d'euros de cotisations de réassurance vie et nonvie cédées en 2008, la France est en e�et un marché majeur (au 5e rang mondial des cessions),et se place au 3e rang mondial en réassurance non proportionnelle car il s'agit d'un marchétrès technique et très mature. Elle est en�n 6e en acceptations internationales de réassuranceprofessionnelle (hors groupe).

Les plus importants réassureurs sur l'ensemble du marché français sont Swiss Re, Scor,Munich Re et la Caisse centrale de réassurance (CCR), le réassureur de l'État français. Lesdeux plus grands réassureurs français dans le monde sont :

� Scor (chi�re d'a�aires de 7,4 milliards de dollars en 2008)� CCR (1,5 milliard de dollars américains en 2007)

1.1.2 La réassurance dans le monde

Le marché de la réassurance mondiale est un marché important représentant en 2008 unchi�re d'a�aires de 4.152 milliards d'euros dont 60% étaient des a�aires Vie et 40% des a�airesNon-Vie. Sur ce montant total de 4.152 milliards d'euros, la rétrocession représentait environ190 Milliards (4,6%).

La réassurance est un marché très concentré sur lequel les 20 plus gros réassureurs repré-sentent les trois-quarts du chi�re d'a�aire. Le tableau suivant présente les chi�res d'a�airesdes principaux réassureurs dans le monde en 2008.

1. www.apref.org . Enquête Apref - KPMG ; juillet 2008. Description : Approche qualitative sur les métiersde la réassurance en France

2. voir l'étude de marché annuelle Apref sur le site apref.org

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Rang Nom Pays Chi�re d'a�aire (en milliards de dollars)1 Munich Re Allemagne 26,92 Swiss Re Suisse 24,03 Berkshire/Gen Re Etats-Unis 11,14 Hannover Re Allemagne 10,05 Scor France 7,46 RGA Etats-Unis 5,37 Transatlantic Re Etats-Unis 4,18 Partner Re Bermudes 4,09 Great West Life Canada 3,710 Everest Re Bermudes 2,911 XL Re Bermudes 2,4

Table 1.1 � Les chi�res d'a�aires des principaux réassureurs dans le monde en 2008.

(Source : APREF-FFSA)

Le marché de la réassurance dans le monde se décline suivant diverses structures de mar-ché. Cependant, de part sa nature même, le marché de la réassurance semble être un marchéoligopolistique. En e�et, il se caractérise par :

� Une o�re concentrée : un nombre limité de réassureurs dans le monde entier ;� Une demande atomisée : si l'o�re est relativement concentrée, elle s'adresse à une de-mande beaucoup plus dispersée constituée de plusieurs assureurs, ce qui a pour e�et dedéplacer le pouvoir de marché vers les réassureurs ;

� Une interdépendance des oligopoleurs : le positionnemment stratégique de chaque réas-sureur dépend directement de ceux pris par ses concurrents.

Ces trois éléments caractérisent ce que la théorie économique quali�e d'oligopole. Mais lesecteur a une particularité supplémentaire : il est très segmenté notamment géographiquement.

Toutefois, on a aussi pu noter que certains pays émergents (Chine, Inde, Brésil...) ont par-fois maintenu un monopole de réassurance con�é à une entreprise publique, si bien qu'ils nesont pas ouverts aux principaux réassureurs mondiaux, sauf à opérer avec cet acteur public.En outre, même dans les pays où le marché n'est pas monopolistique, il peut arriver qu'onobserve un monopole de fait pour certains contrats ou sur certaines branches.

1.2 Les di�érentes structures économiques de marché et l'équi-libre de Nash

1.2.1 Le monopole

Au sens strict, la situation de monopole désigne une situation de marché dans laquelle ilexiste un unique vendeur qui propose un produit ou un service à une multitude d'acheteurs.

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Par abus de langage, le terme de monopole sert aussi à décrire une situation proche de ladé�nition précédente, dans laquelle une entreprise domine largement un marché où la concur-rence existe, mais reste marginale.

En général, le prix d'équilibre de monopole ne rend pas maximale la satisfaction de lacollectivité. Nous avons souligné précédemment que la situation de monopole avait été observéesur le marché de la réassurance dans certaines zones géographiques. Toutefois, rappellons qu'enthéorie, une entreprise publique est davantage intéressée par la maximisation de la satisfactionde la collectivité que par son pro�t propre.

1.2.2 La concurrence pure et parfaite

La concurrence pure et parfaite représente avec la situation de monopole les deux casextrêmes de structures de marché étudiés par les économistes néoclassiques. La concurrenceparfaite est censée permettre l'équilibre sur tous les marchés sous des conditions su�santestrès particulières. Chaque marché doit remplir les cinq conditions suivantes :

� Atomicité du marché : très grand nombre de vendeurs et d'acheteurs ;� Homogénéité des produits : produits identiques ou équivalents ;� Transparence du marché : information parfaite et gratuite pour tous les acteurs ;� Libre entrée et libre sortie : acheteurs et vendeurs sont libres d'entrer sur le marché oude le quitter ;

� Libre circulation des facteurs de production : travail et capital se dirigent vers les em-plois les mieux rémunérés.

La situation de concurrence pure et parfaite est souvent désignée comme la structure demarché "idéale" puisqu'elle remplit toutes les conditions pour permettre aux agents d'interagirdans un contexte de concurrence. Cependant, sa mise en oeuvre pratique est di�cile, c'est encela qu'on considère qu'elle constitue une forme extrême de structure de marché.

L'hypothèse d'une situation de marché de concurrence pure et parfaite n'est pas vraisem-blable dans le secteur de la réassurance. En e�et, les conditions d'existence d'un tel marchéne sont pas véri�ées. Sur le marché de la réassurance, on a un nombre peu élevé d'agents etles actions d'un de ces agents peuvent in�uencer le marché global ce qui contredit l'hypothèsed'atomicité des acteurs que doit véri�er le marché de concurrence pure et parfaite. En outre,sur le marché de la réassurance, les produits sont loin d'être homogènes puisqu'ils varient selonle risque et selon le réassureur.

1.2.3 L'oligopole

On parlera de marché oligopolistique lorsqu'il n'y a qu'un petit nombre d'entreprises quio�rent un produit ou un service donné. Dans la structure de marché oligopolistique, on par-lera d'oligopole de combat quand ces entreprises, cherchant à acquérir des parts de marché,se livreront à une guerre de prix ou de quantités. Par contre, il y aura oligopole d'ententequand les entreprises se mettront d'accord sur le prix de vente ou sur les quantités échangées

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(Exemple : le marché pétrolier, entente sur les quantités).

De nos jours, les marchés sont de plus en plus caractérisés par une structure oligopolis-tique. Cette tendance est le résultat d'une accélération du phénomène de concentration des�rmes. Par concentration, on entend toute opération de croissance externe d'une entreprisequi se traduit par la diminution du nombre d'o�reurs opérant sur un marché et par l'augmen-tation de la taille des entreprises restantes. Ce phénomène a de multiples causes (ouverturesdes marchés, internationalisation des �rmes etc.) et traduit l'accroissement de la taille critiquedes entreprises 3qui s'a�rontent maintenant à l'échelle mondiale.

Il y a bien sûr un lien évident entre le degré de concentration d'un marché et sa structure :plus un marché est concentré, plus il a de chance d'être caractérisé par une structure oligo-polistique (un marché concentré à l'extrême se traduit par une structure monopolistique). Demême, le degré de concentration d'un marché est un bon indicateur de son intensité concur-rentielle : plus un marché est concentré, plus les risques d'entente sont forts, et moins laconcurrence risque d'être importante entre les o�reurs. La concentration favorise donc la nais-sance de structures de marché de type oligopolistique.

Cette structure de marché se décline suivant trois formes principales : oligopole de Cournot,oligopole de Stackelberg , et oligopole de Bertrand.

L'oligopole de Cournot

Dans ce modèle, les agents présents sur le marché recherchent leur meilleur niveau deproduction étant donné celui de leurs concurrents. Ils se font donc une concurrence par lesquantités.

Chaque agent recherche la quantité qu'il devra produire de sorte que son pro�t soit maxi-mal en supposant comme donnée la production des autres agents. Il suppose que ses décisionsne provoqueront pas de changement dans le comportement des autres agents et que la pro-duction de ceux- ci restera au niveau qu'il constate. Cela dé�nit sa fonction de réaction ou demeilleure réponse.

Les quantités d'équilibre sont alors obtenues en résolvant le système d'équation formé parles fonctions de meilleure réponse des agents présents sur le marché. Un prix unique en découle.Par ailleurs, ces quantités d'équilibre constituent un équilibre de Nash d'où le nom d'équilibrede Cournot-Nash.

L'équilibre de Cournot n'assure pas le bien-être maximal, mais n'en est pas aussi éloignéque le monopole ; il occupe une position intermédiaire et d'autant plus proche de la situationde concurrence pure et parfaite que le nombre d'agents sur le marché est élevé.

3. La taille critique est la taille minimale qu'une entreprise doit avoir (en terme de part de marché parexemple) pour ne pas être dépendante de la stratégie de ces concurrents.

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L'oligopole de Stackelberg

Dans ce modèle de marché, on suppose que parmi les agents présents sur le marché, ona un leader et des suiveurs. On quali�e alors le modèle d'oligopole de Stackelberg de modèleasymétrique. Ce modèle fait deux hypothèses clés pour la maximisation de l'utilité des agents :

� Le leader connaît avec exactitude les fonctions de réaction des suiveurs et les utilisentpour déterminer son prix ;

� Les suiveurs raisonnent à la "Cournot" c'est-à-dire qu'ils considèrent comme donnée laproduction du leader et celle des autres suiveurs.

Il en découle des quantités et des prix di�érents pour le leader et les suiveurs.

L'oligopole de Bertrand

L'oligopole de Bertrand repose sur une concurrence par les prix et est caractérisé par leshypothèses suivantes :

� Les prix sont di�érenciés ;� Les consommateurs achètent le produit le moins cher ;� Les produits sont homogènes ;� La concurrence a lieu sur une période ;� Les �rmes n'ont pas de contraintes de capacité ;� Les consommateurs sont parfaitement informés.

Les principaux résultats de ce modèle sont :

� La baisse des prix est inéluctable ;� L'équilibre est réalisé quand le prix est égal au coût marginal.

Ce modèle comporte toutefois un paradoxe : à l'équilibre, le pro�t des agents sur le marchéest nul ce qui n'est pas vraisemblable puisque la guerre des prix conduit chaque agent à produireà son coût marginal. Ce paradoxe naît des hypothèses principales faites dans le modèle deBertrand (notamment les quatres dernières). En général, relacher une seule de ces hypothèsessu�t à éliminer le paradoxe de Bertrand.

Les autres structures de marché oligopolistique

D'autres structures de marché oligopolistique existent. On peut citer :

1. L'oligopole de Bowley : tous les agents s'entêtent à se comporter comme des leaders.Cela débouche sur des équilibres instables. Il y a alors trois possibilités :

� Soit certaines entreprises capitulent et deviennent les entreprises dominées et on re-tombe dans le modèle de Stackelberg ;

� Soit toutes les entreprises rentrent en satellisation, situation similaire au modèle deCournot ;

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� Soit les entreprises s'entendent et se partagent le marché, on entre en équilibre coopé-ratif.

2. La collusion : certains économistes ont considéré que la situation la plus probable dansles oligopoles est la collusion ou entente entre �rmes. Elle passe alors par un accordsur le prix qui est �xé autour du prix de monopole et évite les di�cultés que pose laconcurrence dans un contexte oligopolistique. Cependant, en général, les collusions sontinterdites par la loi.

1.2.4 L'équilibre de Nash

Il est souvent possible de trouver sur les di�érentes structures de marché précédemmentprésentées un ou des équilibres de Nash. Lorsqu'il en existe un, les agents sont alors indivi-duellement à leur optimum.

L'équilibre de Nash désigne une situation d'interaction stable de laquelle aucun agent n'aintérêt à dévier unilatéralement.

La théorie des jeux dé�nit :

� La stratégie d'un joueur comme la donnée d'une liste des actions que le joueur projettede jouer à chacun des noeuds (ou ensembles d'information) où il aura potentiellementla main ;

� La fonction de paiement spéci�e le gain de chaque joueur en fonction des stratégiesjouées par l'ensemble des joueurs.

Théorème d'existence d'un équilibre de Nash :

� Si les ensembles de stratégies pour chacun des joueurs sont convexes, compacts,� Si les fonctions de paiement sont quasi-concaves et continues,alors il existe un équilibre de Nash.

Le théorème précédent permet d'assurer l'existence d'un équilibre de Nash si l'on autoriseles stratégies � mixtes �dans les jeux �nis. On dit qu'un joueur joue une stratégie mixte ; lors-qu'il tire au sort, selon une loi donnée, entre ses di�érentes stratégies, les paiements associésétant simplement les espérances de paiement.

Il est évident que les structures de marché présentées ci-dessus peuvent être utilisées pourdécrire (au moins géographiquement) le marché de la réassurance. Or, selon la structure demarché retenue, la théorie économique décrit le mécanisme d'obtention des prix. Qu'en est-ildans la réalité ? Les prix sont-ils toujours déterminés suivant les mécanismes décrits par lastructure de marché ?

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1.3 Revue de la littérature des cycles d'assurance et/ou de ré-assurance

Cette section vise à donner un bref apercu de quelques travaux sur le thème des cyclesd'assurance et de réassurance et sur les déterminants des prix dans ces secteurs. Mais avantde présenter les résultats obtenus (souvent par modélisation), nous présentons des avis deprofessionnels qui nous donnent leur point de vue basés sur leur expérience, leur connaissanceet leur pratique du marché de la réassurance.

1.3.1 Les déterminants des prix de réassurance : avis des praticiens

Nous avons précédemment présenté les di�érentes formes de réassurance. Nous avons re-levé les avis de quelques professionnels au sujet des déterminants des prix de la réassurance.Ces avis reposent sur ce qu'ils ont pu observer au �l des ans sur le marché de la réassurance.

En 2009, Jacques de Peretti 4 fait remarquer que, � ...en automobile, les prix de la réas-surance ont fortement augmenté sur les cinq dernières années : ils ont été multipliés par 3,1sur la période. L'indice de prix pur de la réassurance automobile a augmenté de 8,9 % lorsdu renouvellement 2009 et de 10 % l'année précédente [...] Ce phénomène est notamment dûà l'augmentation du coût des sinistres corporels automobile, dont l'in�ation a été très impor-tante. �

Dans "Catastrophes naturelles et réassurance" publication de la série "Risk Perception"par SwissRe on peut lire : � [...] deux facteurs qui exercent une in�uence prépondérantesur l'évolution des prix : les �uctuations de la charge de sinistre globale du secteur de la(ré)assurance et l'état des marchés des capitaux. Ces deux facteurs exercent une in�uencedirecte sur la dotation en capital des entreprises concernées. La relation entre la charge desinistre et le niveau des prix apparaît nettement dans le cas de la réassurance des catastrophesliées aux périls naturels. �

Il importe toutefois de remarquer avec Guillaume Gorge 5 que � La con�ance (ndlr entre

assureurs et réassureurs) est toujours le fondement de la réassurance �. Cette con�ance quifait que le réassureur accepte (sans forcément véri�er) les informations que lui procurent lacédante (celles relatives notamment à son degré d'exposition) dérive au �l du temps vers une�délité entre ces deux acteurs du marché. Il peut ainsi arriver qu'un assureur signe des a�airesavec un réassureur bien que celui-ci ne propose pas le prix le plus bas. Néanmoins au total,il apparaît du point de vue des praticiens que le coût des sinistres sur la période exerce unein�uence prépondérante sur ce que sera le prix de la réassurance à la période suivante.

1.3.2 Déterminants des cycles de réassurance

De nombreux auteurs se sont intéressés aux déterminants des prix d'assurance et|ou deréassurance et à ceux de leur évolution.

4. Directeur général Axa particuliers/professionnels5. AXA Global P and C - Group Risk Management (GRM)

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Ursina Meier et François Outreville dans leur article The reinsurance price

and the insurance cycle analysent l'existence d'un cycle de souscription et d'un cycle dansles loss-ratios en assurance pour la France, l'Allemagne et la Suisse sur la période 1982-2001en relation avec les prix de réassurance en Europe durant la même période. Ils identi�ent denouveaux déterminants des cycles de souscription tels que la compétition dans les prix entreréassureurs, les contraintes de capacité, l'évolution des taux d'intérêt etc. Ils montrent que lesindices de prix de réassurance sont une variable signi�cative expliquant les �uctuations desloss-ratio dans ces trois pays. Par leur modèle, ils concluent qu'empiriquement, il existe descycles en assurance. Cependant, ils précisent que ces résultats ne semblent pas robustes dansle temps et dans chacun de ces pays. Lorsqu'ils prennent en compte la réassurance, ils insistentsur une grande limite de leur modèle. En e�et, ils précisent qu'idéalement les tests auraientdû être conduits en utilisant des données de perte relatives aux polices annuelles (pas souventdisponibles) plutôt que des données calendaires annuelles qui créent probablement un biaisdans les résultats.

Catherine Bruneau et Nadia Sghaier ont analysé la présence et les déterminants descycles de souscription en assurance non-vie en France sur les périodes 1963-2005 et 1982-2005.Leur article Les cycles de l'assurance non-vie en France analyse tour à tour ces déter-minants (montants des sinistres et des dépenses, capitaux propres et rendements des actifs�nanciers) pour une branche courte , puis une branche longue puis en�n pour le marché non-vie agrégé. L'article conclut que les causes des cycles et la validité des di�érentes hypothèsesinvoquées pour expliquer la cyclicité dépendent de la branche considérée (courte ou longue).

1.3.3 Mécanismes de formation des prix d'assurance et|ou de réassurance

D'autres auteurs se sont attelés à l'étude des mécanismes de formation des prix de d'as-surance et|ou de réassurance ; l'évolution des prix est analysée en partant de la situationéconomique qui prévaut sur le marché.

Knut Aase avec son article Equilibrium in a reinsurance syndicate ; Existence,

uniqueness and caracterisation en font partie. Dans cet article, l'auteur s'intéresse aumodèle d'équilibre général en situation d'incertitude. Il en dérive les conditions permettant decaractériser un équilibre Pareto-optimal, discute de la question de l'unicité de cet équilibre etapplique cet équilibre général au problème de l'échange de risque entre assurés et assureurs.La principale conclusion à laquelle il arrive est que les primes sur le marché de la réassurancedépendent de :

� La propriété stochastique du risque ;� La relation stochastique entre un risque particulier et les sinistres de l'ensemble dumarché ;

� L'attitude face au risque de l'ensemble du marché représentée par l'utilité marginale ;� L'actif total de tous les réassureurs sur le marché.

Toutefois, son modèle sou�re d'une insu�sance majeure : la prise en compte de la dimen-sion temporelle puisque l' auteur se contente d'un modèle à une période qui ne permet pas devisualiser la variation des prix périodes après périodes et donc la visualisation d'un cycle dans

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les prix de réassurance.

Dans un autre article intituléThe Nash Bargaining Solution vs.Equilibrium in a

Reinsurance Syndicate, Knut Aase adopte une démarche similaire et compare la solu-tion de Nash dans un syndicat de réassurance avec la solution d'équilibre concurrentielle eninsistant sur l'incertitude et l'aversion au risque. Il montre que pour des traités de réassuranceproportionnels, la solution de Nash et la solution d'équilibre concurentielle coincident à unterme près représentant les commissions. En outre, si les tolérances au risque des réassureurssont égales, alors les deux solutions coincident au premier ordre de l'approximation de Taylor.Il montre en sus que :

� La solution concurrentielle permet de réduire la variance dans les prix tout en permet-tant aux réassureurs de conserver une partie considérable des primes ; elle indemniseles réassureurs qui ont un meilleur portefeuille en prenant en compte la variance, lesmoyennes, les covariances entre les di�érents portefeuilles at aussi l'aversion au risquedes agents. Ces éléments se re�ètent dans le prix �xé par le réassureur ;

� Dans la solution de Nash, il n'y a pas de primes de marché ce qui rend une comparaisondirecte des primes impossible.

1.3.4 Utilisation des modèles de simulation multi-agents

Les modèles de simulation multi-agents (Agent-Based-Models : ABM ) sont une classe demodèles informatiques utilisés pour simuler les actions et les interactions d'agents autonomesen vue à l'évaluation de leurs e�ets sur le système dans l'ensemble. Il combine les éléments dela théorie des jeux, des systèmes complexes, de la microéconomie et les méthodes de MonteCarlo. Ces modèles simulent les opérations simultanées et les interactions d'agents multiples,dans une tentative de recréer et prévoir l'apparition de phénomènes complexes.

Jens Alkemper et Donald Mango abordent di�éremment la question de l'existenced'un cycle dans les prix de la réassurance. Ils partent des travaux de SwissRe qui montrentl'existence d'un cycle sur le marché de la réassurance et utilisent, dans leur article Concur-rent simulation to explain reinsurance market price dynamics, les modèles ABM

pour conforter l'existence de ce cycle.

Après avoir dé�ni un modèle de marché de réassurance dans lequel chaque participantin�uence signi�cativement le marché mais sans vraiment le contrôler, Jens Alkemper etDonald Mango montrent que sous certaines hypothèses, les simulations pourraient conduireà l'obtention d'un cycle. Le cycle exhibé est similaire à celui observé sur le marché réel. Ils enconcluent que les cycles réels sur le marché sont dus en partie à la mécanique du marché et àl'interaction des stratégies des participants.

Ce résultat se rapproche de celui qu'avait déjà obtenu Doyne Farmer et Shareen Joshidans leur article The Price Dynamics of Common Trading Strategies qui travaillaientsur un marché de capital simpli�é.

Il apparaît que certaines des raisons évoquées par les praticiens pour expliquer l'évolutiondes prix de réassurance (comme le montant total des sinistres) sont véri�ées par les travaux

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théoriques. D'autres éléments ont été mis en exergue par les travaux théoriques qui n'appa-raissent pas souvent dans les allégations des professionnels (comme la compétition entre lesréassureurs). Nous nous proposons de reconsidérer certains des arguments évoqués, de palliercertaines limites de quelques-uns des travaux sus-présentés et de proposer une autre manièred'appréhender la problématique des cycles sur le marché de la réassurance.

21

Chapitre 2

Modélisation de di�érentes structures

de marché

Les modèles que nous présenterons dans ce chapitre prennent en compte la dimension tem-porelle en imaginant un marché de la réassurance sur lequel un ou plusieurs agents opèrentdurant plusieurs périodes. Nous considérons que ces réassureurs ne proposent que des a�airesnon-vie et un produit de réassurance non proportionnelle non di�erencié. Les modèles fontappel aux concepts de la théorie des jeux ; une structure de marché précise prévaut sur lemarché et les prix sont déterminés suivant l'hypothèse retenue sur la structure de marché.

Nous présenterons d'abord la structure générale des modèles. Puis dans cette structuregénérale, nous inclurons tour à tour les di�érents mécanismes de détermination des prix enfonction de l'hypothèse de fonctionnement du marché retenue. Nous conclurons alors sur l'exis-tence ou non d'un cycle sur les prix. Di�érents scenarii seront ensuite envisagés pour testerla sensibilité des prix. Nous en dégagerons des enseignements sur les déterminants des prix.

2.1 Structure générale

Le bilan d'une société est un document qui résume à l'issue d'une période donnée, sespossessions (ses actifs) et ses engagements (son passif).

L'obtention du résultat pour les compagnies d'assurance et de réassurance est un peu dif-férente du fait de l'inversion du cycle de production notamment qui fait que le prix de vente(les primes) est perçu avant de connaître les prestations qui seront fournies (le paiement dessinistres). Dans ce cadre, les quasi fonds propres prennent alors une importance considérablepuisqu'une partie (les réserves) est sollicitée pour le règlement des sinistres en cas de sinistra-lité particulièrement sévère.

Dans nos modèles, nous construisons le bilan d'une société d'assurance �ctive.

2.1.1 Les paramètres du modèle

1. On suppose un marché avec n agents réassureurs indicés par la lettre i (i = 1, ...n) ;

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CHAPITRE 2. MODÉLISATION DE DIFFÉRENTES STRUCTURES DE MARCHÉ

2. Ces réassureurs interagissent sur un marché durant un certain nombre de périodes tem-porelles indicées par la lettre t ;

3. Chacun des agents propose le même produit (produit unique) qu'on suppose être untraité de réassurance non proportionnelle ayant les mêmes caractéristiques quel que soitle réassureur. Cette hypothèse est très forte dans la mesure où le métier de la réassuranceest au contraire caractérisé par la multitude de types de contrats pouvant être proposéssuivant les caractéristiques du risque à couvrir et suivant les réassureurs. Supposer doncun contrat unique pour tous les réassureurs est très simpli�cateur mais permet de rai-sonner à risque constant .

4. Les primes totales (PT) représentent le chi�re d'a�aire. En d'autres termes :

PT it = N itP

it

où N it est le nombre de contrats souscrits par le réassureur i à la date t et P

it est le prix

pratiqué à cette période.

5. Chacun des agents i possède à la date t = 0 un capital initial CP i0 qui peut être vu commeles fonds propres fournis par les associés. Par la suite, les capitaux propres évoluent dela manière suivante :

CP it = CP it−1 + PT it − SN it

où SN itdésigne les di�érentes réalisations du passif.

6. L'o�re globale sur le marché est représentée par le nombre de réassureurs qui y parti-cipent.

7. La demande globale est connue et est supposée décroissante en fonction des prix.

8. Le réassureur est susceptible d'indemniser des sinistres sur les contrats qu'il a souscrit.Nous supposons que la sinistralitée agrégée sur une période de chacun de ces contrats(qu'on note L) est distribué suivant une loi log-normale d'espérance 1 et de VaR à 99.9%égale à 1/0.15 = 6.66. Ce choix de value at risk repose sur l'observation du rapport primesur limite moyen (Rate on Line) des principaux réassureurs mondiaux. Le lecteur inté-ressé pourra se reporter en annexe 1 pour les détails de la calibration des paramètres dela loi log-normale.

9. Les parts de marchés de chaque réassureur c'est-à dire la proportion du nombre decontrats qu'ils ont e�ectivement souscrit.Chaque réassureur i souscrit un certain nombre de contrats (N i

t ) sous la contrainte desolvabilité suivante :

(N itPrix

it) + CP it ≥ V aR99.5%(SN i

t) où SN i

t=

N it∑

k=1

Lk

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où :

� V aR99.5%(SN it) est la Value at Risk à 99.5% de la distribution agrégée des lois log-

normales

Pour l'estimation de la loi de la somme de lois log-normales ainsi que l'estimation de laV aR99.5% de cette loi, se reporter à l'annexe 2.

D'après l'équation précédente, le nombre de contrats dépend des capitaux propres et desprix, en d'autres termes le nombre de contrats s'écrit N(P it , CP

it ).

10. Les règlements des sinistres (R) se font sur cinq ans selon un échéancier donné : x%la première année, y% la deuxième année, z% la troisième et quatrième année et t%la cinquième année. Cet étalement est plus proche de ce qu'on observerait pour unebranche courte (dommage aux biens par exemple) mais il peut facilement être adaptépour fonctionner dans le cas de branches longues (responsabilité civile).

11. Des provisions (Pr) sont constituées et on suppose dans un premier temps qu'il n'y apas d'erreur sur leur évaluation. Cette hypothèse sera relâchée ultérieurement.

12. Le mécanisme de détermination du prix sera fonction de l'hypothèse retenue sur la struc-ture de marché étudiée.

Toutes ces hypothèses sont communes à tous les modèles qui seront présentés. Des hypo-thèses supplémentaires seront ajoutées au fur et à mesure en fonction des structures de marché.

Nous testerons ensuite la sensibilité des prix à di�érents scenarii :

Choc de demande : Deux types de chocs seront envisagés :

1. Nous retenons une fonction de demande de type :

D(P ) = a+ b/P où P désigne le prix.

Le choc de demande est introduit en supposant qu'à une période d'observationdonnée, la forme de la fonction de demande change. Ce changement peut concer-ner aussi bien l'élasticité de la demande (le coe�cient de pente de la fonction dedemande) que la demande incompressible (le paramètre a) ou encore ces deux pa-ramètres.

2. Nous ferons ensuite l'hypothèse d'une demande cyclique c'est-à-dire d'une demandequi comporte de manière intrinsèque une certaine périodicité. L'objectif est d'ob-server si le cycle de la demande se re�ète dans les prix de réassurance. On retientune demande incompressible sinusoidale dans le temps.

Elle peut être visualisée sur le graphique ci-bas.

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Figure 2.1 � Représentation de la fonction de demande.

Cette hypothèse est plus vraisemblable pour décrire les mécanismes de marchés, comptetenu de la cyclicité de la souscription en assurance.

Le choc d'o�re : Il est inclut en supposant que les agents font appel à des capitaux soitinternes (les actionnaires augmentent les fonds propres) soit externes (emprunts sur lesmarchés �nanciers).

Choc de sinistralité : Le choc de sinistralité se déclinera en supposant qu'au cours d'unepériode déterminée de manière aléatoire, les contrats souscrits par les réassureurs sontsinistrés à 100%. En d'autres termes, que la V aR(99.9%) = 6.66 est atteinte. La périodede choc est déterminée par un tirage d'une loi uniforme entre 1 et le nombre de périodessur lequel les simulations sont déroulées.

Cette hypothèse peut paraître excessive mais elle reste vraisemblable dans le cas parexemple de situations de catastrophes naturelles dans une région donnée où un réassu-reur serait en situation de monopole ou encore pour les tranches � travaillantes � c'est-àdire pour les tranches les plus basses du traité de réassurance.

Erreurs sur les provisions : Nous supposerons que chaque réassureur provisionne un mon-tant correspondant au tirage d'une loi normale centrée sur le vrai montant des sinistreset que toutes les cinq périodes (les paiements des sinistres étant étalés sur cinq ans), ilconsolide ses paiements. S'il a provisionné plus ou moins que nécessaire, ses provisionset ses actifs évoluent en conséquence et les capitaux propres s'ajustent (via les réserves).

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2.1.2 Position du problème

La problématique consiste à simuler à partir de ce cadre général l'évolution des prix, descapitaux propres, des actifs et des provisions sur un certain nombre d'années et d'observersi l'on observe un cycle dans les prix de réassurance pour plusieurs structures de marchédi�érentes.

2.2 Le modèle de monopole

Dans le cadre de ce travail, nous considérerons la situation de monopole au sens strict.Dans un tel cadre, l'unique réassureur sur le marché �xe alors les prix et est intéressé par lamaximisation de son utilité propre.

2.2.1 Les hypothèses

Aux hypothèses présentées précédemment dans le cadre général, on rajoute les suivantes :

1. On suppose que les coûts de fonctionnement et autres coûts de gestion sont compenséspar les produits �nanciers. Dans la réalité, ce n'est pas toujours le cas en particulier ennon-vie ou les produits �nanciers sont souvent faibles du fait des durées de placementsplus courtes (branches courtes) ;

2. Le monopoleur est rationnel.

Pour simpli�er les notations, nous omettons les indices dans ce qui suit.

2.2.2 Construction du modèle

La part de marché que peut s'octroyer le monopoleur est déterminée par deux élémentsprincipaux :

� La demande sur le marché D(P ) ;� Sa contrainte de solvabilité telle que dé�nie dans le cadre général.

En e�et, il ne peut souscrire que Min(N(P,CP ), D(P )) où N est le nombre de contratsqu'il peut accepter étant donné sa contrainte de solvabilité telle que dé�nie dans le cadregénéral.

Le monopoleur étant rationnel, il visera la maximisation de son utilité (UM (P,N(P,CP )))représentée par son pro�t. Le pro�t du réassureur s'exprime comme la di�érence entre sonchi�re d'a�aire et ses dépenses.

1. Le chi�re d'a�aire

P ∗Min(N(P,CP ), D(P ))

2. L'espérance des dépenses du monopoleur dépend du nombre de contrats qu'il souscrit.

Min(N(P,CP ), D(P )) ∗ E(L)

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Nous avons choisi comme mesure de risque l'espérance mathématique mais on aurait pu enchoisir une autre qui tienne par exemple davantage compte del'aversion au risque de l'agent.Cependant nous supposons implicitement que l'agent n'est pas risquophobe.

Le programme du réassureur en situation de monopole s'écrit donc (étant donné qu'on asupposé que l'espérance mathématique de la sinistralité vaut 1) :

Max UM (P,N(P,CP ))⇐⇒Max [(P − 1)Min(N(P,CP ), D(P ))]

2.2.3 Résultats obtenus et analyse

On suppose qu'à l'origine, le réassureur a une certaine dotation en capital. Le schémasuivant montre alors l'évolution de ses prix sur 15 ans.

Figure 2.2 � Evolution des prix du monopoleur

Le constat évident au regard de cette courbe est qu'il n'y a pas de cycle dans les prix deréassurance si l'on considère un réassureur en situation de monopole. D'abord élevé, le prixdu monopoleur �nit par chuter brusquement avant de se stabiliser à un plancher.

Soulignons que ce résultat est propre au marché de la réassurance. Si l'on était dans unautre secteur, le monopoleur subirait très probablement le cycle des matières premières.

S'il proposait sur le marché un prix inférieur à ce prix plancher, le monopoleur obtiendraitquand même un résultat positif mais il préfère �xer ses prix au niveau de ce prix plancherqui lui permet d'accroître ses gains. En e�et à ce niveau de prix, bien qu'une partie de lademande lui échappe (les assureurs qui ne veulent pas acheter au prix proposé), il réalise un

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pro�t supérieur à celui qu'il aurait réalisé en �xant un prix plus bas. Ce prix constitue doncson optimum.

On remarquera aussi que ce prix plancher est supérieur au coût marginal des sinistres (égalà 1).

2.2.4 Etude de sensibilités

On a noté précédemment qu'il n'existe pas de facto un cycle dans les prix sur le marchéde monopole. Cependant, il serait intéressant de regarder la sensibilité des prix à diversessituations. Cette section vise à analyser l'e�et de chocs sur l'évolution des prix du réassureuren situation de monopole. Trois types de chocs seront ici envisagés : choc sur l'o�re, choc surla demande et choc sur la sinistralité.

Choc d'o�re

Supposons que le réassureur a un capital initial supérieur à celui qu'il avait précédemment,les actionnaires ayant par exemple décidé d'augmenter les fonds propres ou le réassureur ayantdécidé de faire appel à des capitaux (internes ou externes). Le schéma suivant présente alorsl'évolution de ses prix sur 15 ans comparée avec la condition initiale précédente.

Figure 2.3 � Evolution des prix du monopoleur en cas de choc d'o�re.

On constate que la courbe a la même allure que précédemment mais la pente de la décrois-sance est plus faible. On constate aussi une petite variation entre la période 2 et la période 3après l'augmentation des capitaux. Elle traduit le mouvement des prix suite à une sinistralitéparticulièrement sévère : ils évoluent à la hausse. La diminution de fonds propres se traduit

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donc par une hausse du prix.

D'autre part, on note que quel que soit le niveau initial de capitaux propres, le même palierde prix est atteint dès lors que les capitaux propres du monopoleur auront atteint un certainseuil. On en conclut que le niveau de capital initial n'a pas d'in�uence sur le palier d'équilibredes prix du monopoleur.

Choc de demande

1. Lorsque seul le paramètre a change.

Le paramètre a est la limite de la fonction de demande lorsque le prix tend vers l'in-�ni (limP→∞D(P ) = a). Elle représente donc la demande minimale qui s'adresse aumonopole c'est-à- dire la demande incompressible.

(a) Si la demande incompressible augmente, le palier d'équilibre se déplace vers le haut.

(b) Si la demande incompressible diminue, le palier d'équilibre se déplace vers le bas.

Figure 2.4 � Evolution des prix dumonopole après augmentation de lademande incompressible à la 10 èmepériode.

Figure 2.5 � Evolution des prix dumonopole après diminution de la de-mande incompressible à la 10 ème pé-riode.

Si la demande incompressible augmente, le monopoleur augmente son prix car il sait quede toutes façons, cette partie de la demande lui est acquise. En e�et, pour cette partiede la demande, la loi de l'o�re et de la demande ne s'applique pas : une augmentationde la demande ne se traduit plus par une diminution des prix puisque cette demandeincompressible est irréductible et ne dépend pas du prix. Le réassureur ne prend doncaucun risque en augmentant son prix.

Par contre, si la demande incompressible diminue, Le monopoleur diminue alors son prixpour se garantir cette demande incompressible.

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2. Lorsque seul le coe�cient de pente change : cela signi�e que la sensibilité de la demandepar rapport au prix (i.e. l'élasticité) change.

(a) Si le coe�cient de pente augmente, cela signi�e que l'élasticité de la demande auprix augmente. Le palier d'équilibre se déplace vers le haut.

(b) Si le coe�cient de pente diminue, l'élasticité de la demande au prix diminue. Lademande est moins sensible aux variations du prix. On constate que le palier d'équi-libre se déplace vers le bas.

Figure 2.6 � Evolution des prix dumonopole après augmentation du co-e�cient de pente de la fonction de de-mande à la 10 ème période.

Figure 2.7 � Evolution des prix dumonopole après diminution du coe�-cient de pente de la fonction de de-mande à la 10 ème période.

Comme on peut le voir sur le graphique ci-bas, lorsque le coe�cient de pente augmente,le réassureur en situation de monopole a deux options pour se retrouver sur la nouvellefonction de demande : soit il augmente les quantités produites (passage de A à B), soitil augmente ses prix (passage de A à C). Cependant, la première option n'augmentepas son utilité autant que le fait la seconde option. Il choisit donc cette dernière optionpuisqu'il est rationnel par hypothèse et qu'il est le seul o�reur sur le marché c'est laraison pour laquelle le palier se déplace vers le haut traduisant le fait qu'il augmente sonprix.

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Figure 2.8 � E�et quantité - E�et prix

Lorsque le coe�cient de pente diminue, de la même manière, le réassureur pour satis-faire la nouvelle demande a deux choix : diminuer les quantités produites ou diminuerson prix. S'il diminue les quantités, il s'expose à la perte d'une partie de sa clientèle. Ilchoisit donc de baisser les prix. Ainsi, il pourra conserver tous ses clients.

Ainsi donc, quand il le peut, le réassureur en situation de monopole préfère �xer desprix plus élevés et vendre moins de contrats ce qui entraîne une diminution du surplusdes assureurs.

3. Lorsque les deux paramètres sont modi�és simultanément.

(a) Si la modi�cation a lieu dans le même sens i.e augmentation (respectivement di-minution) de la pente et de la demande incompressible, cela se traduit par undéplacement vers le haut (respectivement vers le bas) du "palier" de stabilité duprix du monopoleur conformément aux deux cas pré-cités.

(b) Lorsque les deux leviers sont modi�és dans le sens contraire (par exemple augmen-tation du coe�cient de pente de la fonction de demande et diminution de l'ordonnéeà l'origine), le déplacement du palier dépend de l'amplitude du choc e�ectué.

4. Supposons maintenant que la fonction de demande comporte intrinsèquement un cyclede 3 ans.

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Figure 2.9 � Evolution des prix du monopole avec une demande cyclique.

Il apparaît clairement que le cycle contenu dans la fonction de demande transparaît dansles prix du réassureur. Ainsi donc, s'il existe un cycle dans la demande des assureurs,celui-ci se répercutera sur le cycle du marché de la réassurance.

Choc de sinistralité

1. Dans un premier temps, on suppose que le choc peut se produire à n'importe quellepériode.

On constate que si le choc se produit alors que le prix plancher est atteint c'est-à direalors que le monopoleur a des capitaux propres su�samment importants pour �xer sonprix le plus bas, alors le choc est sans e�et sur l'évolution des prix.

2. Supposons à présent que le choc se produise avant que le prix plancher ne soit atteint.

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Figure 2.10 � Evolution des prix après un choc de sinistralité avant le prix plancher.

Dans ce cas, on a une brève �uctuation de ses prix avant que le pallier de stabilité nesoit atteint. Notons aussi que le choc se résorbe très rapidement (en 2 périodes sur cettesimulation).

En résumé, on constate qu'à court terme le prix du monopoleur peut connaître des �uc-tuations surtout en cas de sinistralité importante. Sur le long terme, il reste toujours constantà un certain niveau. Qu'est-ce qui détermine l'évolution de ce palier de stabilité ?

Fonction de demande Niveau des prixFonction de demande initiale

−→Augmentation de l'élasticité

↗Diminution de l'élasticité

↘Augmentation de la demande incompressible

↗Diminution de la demande incompressible

↘

Table 2.1 � Impact sur les prix des modi�cations de la fonction de demande.

Au total, la demande guide clairement l'évolution des prix d'un réassureur en situation demonopole. Plus encore, lorsqu'un choc de demande se produit, les e�ets se font ressentir dura-blement ; les changements dans la demande font donc rentrer le réassureur dans une nouvelle� phase � de prix. Elle peut donc être interprétée comme un facteur structurel de l'évolutiondes prix du réassureur.

33


Les changements dans la fonction de demande peuvent être rapprochés du développementde marchés et de produits de réassurance à des périodes bien déterminées.

D'autre part, nous avons mis en exergue le fait que le prix �xé par le réassureur en situationde monopole n'est jamais celui qui maximise l'utilité sociale. En e�et, en cas de changementdans l'élasticité de la demande, il apparaît que le monopoleur choisit la solution la plus coûteuse� socialement �(dans la mesure où elle diminue le surplus des assureurs) alors qu'il pourraitchoisir une solution qui certes diminuerait son utilité mais augmenterait celle de l'ensembledes acteurs sur le marché c'est-à dire les assureurs et lui). Cela illustre par ailleurs le fait quele réassureur en situation de monopole est pricemaker.

2.3 Les modèles d'oligopole

Le marché de la réassurance mondial et français se caractérise par un petit nombre de ven-deurs (moins de 15 principaux). Sa structure se rapproche donc davantage de celle d'un marchéoligopolistique. Nous présenterons tour à tour les modèles classiques d'oligopole : oligopole deCournot, oligopole de Stackelberg , puis oligopole de Bertrand. Comme précédemment, desstress-tests seront chaque fois pratiqués pour évaluer la sensibilité des prix à divers facteurs.

2.3.1 La concurrence par les quantités

Dans ce modèle, les réassureurs présents sur le marché recherchent leur meilleur niveau deproduction étant donné celui de leurs concurrents.

Les hypothèses du modèle

Les hypothèses spéci�ques à ce modèle sont les suivantes :

1. Un certain nombre de réassureurs indicés par la lettre i sont présents sur le marché etsignent qit contrats à la date t.

2. Il existe sur le marché un mécanisme P (Q) qui donne les prix en fonction des quantitéstotales Q =

∑i qit disponibles sur le marché : c'est la fonction de demande.

3. Chaque réassureur considère le nombre de contrats souscrits par ses concurrents commeune donnée. Comme on est dans un cadre dynamique, on supposera que chaque réassu-reur considèrera que le nombre de contrats souscrits par ses concurrents à la période test égal au nombre de contrats de contrats qu'ils avaient souscrits à la période t− 1.

Construction du modèle

Chaque réassureur recherche la quantité qu'il devra produire (le nombre de contrats qu'ildevra souscrire) de sorte que son pro�t soit maximum en supposant comme donnée la produc-tion des autres réassureurs (le nombre de contrats souscrit par ses concurrents). Cela dé�nitsa fonction de réaction ou de meilleure réponse.

L'espérance de pro�t du réassureur i à la date t s'exprime comme la di�érence entre :

1. Ses recettes : P (Q)qit

34


2. L'espérance de ses dépenses : qitE(L) = qit

Toutefois, le nombre de contrats souscrit par chaque réassureur doit satisfaire la contraintede solvabilité :

P (Q)qit + CP it ≥ V aR99.5%(qit∑

k=1

Lk)

L'agent i résoud alors le programme suivant :{Maxqi

t(P (Q)− 1)qit

s/c P (Q)qit + CP it ≥ V aR99.5%(∑qi

tk=1 Lk)

Résultats obtenus

La littérature économique nous apprend qu'il existe un équilibre de Nash (équilibre deCournot-Nash) dans ce marché.

Une fois les quantités d'équilibre de Nash obtenues, le prix de l'oligopole de Cournot(unique) sera alors dérivé en remplaçant celles-ci dans la fonction de demande.

Figure 2.11 � Evolution des prix dans un oligopole de Cournot.

La simulation de l'évolution des prix fait apparaître des �uctuations dans les prix sansqu'un cycle puisse clairement être identi�é. On observe une brusque décroissance des prixpuis une �uctuation sporadique autour du coût moyen espéré des sinistres (espérance de lasinistralité) au cours du temps.

A l'observation des postes du bilan, l'on s'aperçoit que les �uctuations relevées suiventl'évolution des capitaux propres qui eux-mêmes suivent l'évolution de la sinistralité. En casde sinistralité importante, les capitaux propres diminuent et les prix augmentent et vice-versadans le cas de sinistralité faible.

35


Choc de demande

Nous considérons que la fonction de demande comporte un cycle intrinsèque d'une duréede 10 ans.

Figure 2.12 � Evolution des prix dans un oligopole de Cournot avec choc de demande.

On observe une portion de courbe en forme de cloche tous les 10 ans qui indique que lecycle introduit dans la fonction de demande semble se re�éter dans les prix de réassurance.Puisque la demande sur le marché de la réassurance émane des assureurs, on peut penser quele cycle sur le marché de l'assurance montré par plusieurs auteurs se répercute sur le marchéde la réassurance.


Il apparaît que les prix oscillent autour du coût moyen des sinistres. Lorsque le choc seproduit, on remarque qu'ils augmentent brusquement, se stabilisent puis décroissent avant dereprendre de reprendre leur régime initial autour du coût moyen.

36


Figure 2.13 � Evolution des prix dans un oligopole de Cournot avec choc de sinistralité.

Cette évolution souligne à nouveau l'importance du niveau des capitaux propres commedéterminant des prix. En e�et, ces deux grandeurs évoluent en sens contraire : si les capitauxpropres augmentent les prix diminuent et vice-versa. Il apparaît qu'avec l'importance du choc(qui peut être quali�é de sinistre exceptionnel), les ressources �nancières des réassureurs sesont considérablement réduites ce qui a enclenché un mouvement à la hausse des prix. Parla suite, une reconstitution progressive de leurs capacité de souscription (essentiellement desfonds propres) leur a permis de résorber le choc et a provoqué un mouvement baissier.

Un autre constat important est la durée de résorption du choc. On note que ce n'est qu'aubout de 10 ans que le choc est totalement absorbé. Dans le cas que nous présentons, le réassu-reur avait su�sament de capitaux propres au moment du choc qui lui ont permis de l'amortir.Si tel n'avait pas été le cas, il aurait alors été évincé du marché. Cela s'est vu sur le mar-ché de la réassurance où à la suite de sinistres exceptionnels (comme l'ouragan Andrew auxÉtats-Unis en 1992), certains réassureurs ont été contraints de déposer le bilan parce qu'ils nedisposaient pas de provisions su�santes.

Erreur sur l'évaluation des provisions

Lorsqu'on suppose qu'il y a une erreur dans l'évaluation des provisions, on n'observe pasde changement notoire dans l'évolution des prix. Les prix continuent d'osciller autour du coûtmoyen espéré des sinistres.

37


Figure 2.14 � Evolution des prix dans un oligopole de Cournot avec erreur sur l'évaluationdes provisions.

Cela illustre le caractère marginal des erreurs de mesures comme facteur explicatif de ladynamique des prix sur un marché de réassurance qui fonctionne suivant le modèle de Cournot.

Un constat curieux au regard des résultats obtenus avec le modèle de Cournot est qu'ilarrive que les prix soient inférieurs au coût marginal. Cela implique des pro�ts ainsi que desutilités négatives pour les réassureurs et contredit le fait qu'on soit à un équilibre de Nash(puisqu'il su�t qu'un agent choisisse de ne pas vendre à perte pour avoir une utilité supérieureà celle qu'il a en vendant à un prix inférieur au coût marginal). Ce constat résulte de deuxcritiques souvent formulées à l'endroit du modèle de Cournot.

La première considère l'équilibre de Cournot comme non viable en raison notamment deson caractère non optimal (au sens de Pareto) 1, du type de conjecture retenu et du processusqui devrait y conduire.

Nous avons supposé dans le modèle que la fonction de demande était strictement décrois-sante (ce qui entraîne la décroissance des fonctions de réaction). Au prix d'équilibre, si l'unedes entreprises baisse légèrement son o�re, l'autre voit son pro�t augmenter puisque le prix dubien augmente (la quantité totale o�erte diminuant). Ainsi, si tous les réassureurs diminuentlégèrement leurs o�res, la hausse du prix est plus forte que si un seul d'entre eux l'avait faitet le nouvel état est préférable pour tous. En outre, les assureurs font d'ailleurs les frais del'opération puisqu'ils consomment moins à un prix plus élevé.

La deuxième critique découle de l'interprétation de l'équilibre de Cournot-Nash comme unéquilibre par anticipation. Cette interprétation pose question car elle repose sur des exigences

1. Un équilibre est dit pareto-optimal si l'on ne peut pas augmenter la satisfaction d'un agent sans endiminuer celle d'un autre au moins.

38


fortes concernant les informations et la rationalité des �rmes 2. Sur le marché de la réassuranceen l'occurence, les �rmes ne sont pas toujours rationnelles puisqu'il arrive par exemple que lesassureurs achetent plus cher de la réassurance par �délité.

Dans notre modèle, nous avons supposé que chaque réassureur produit à une période don-née la quantité qui maximise son pro�t en supposant que les autres réassureurs laisseront leursquantités inchangées relativement à la période précédente. RD Theocharis (1960) examineune situation d'oligopole, avec un nombre n de �rmes, n ≥ 3, où les �rmes jouent simulta-nément une meilleure réponse myope, c'est-à-dire supposent que leurs concurrents produirontcomme à la période antérieure. L'auteur établit que la convergence vers le vecteur des quan-tités correspondant à l'équilibre de Cournot-Nash n'est jamais assurée.

Encadré : les limites du modèle de Cournot

On montre qu'un équilibre de Cournot n'est généralement pas un optimum de Pareto.On le prouve en considérant l'équilibre de Cournot comme une allocation initiale d'unmodèle de Arrow-Debreu, allocation à laquelle un équilibre concurrentiel est supérieurselon le critère de Pareto, si elle n'est pas elle-même un équilibre concurrentiel (cf :deuxième théorème de l'économie du bien-être).

Mais le problème de l'optimalité ou de l'e�cience, se pose aussi en équilibre partiel. Ene�et, l'équilibre de Cournot n'est pas optimal du point de vue des entreprises dans lamesure où il existe des allocations, c'est-à-dire des niveaux de production, permettantaux � oligopoleurs �d'augmenter leur pro�t.

Le raisonnement précédent suppose un changement d'attitude de la part des entreprises,les variations d'o�re envisagées étant simultanées (et non plus unilatérales), changementqui correspond au passage d'un comportement non-coopératif à un comportementcoopératif. A la limite, la somme de leurs pro�ts est maximale lorsqu'il y a coopérationtotale, c'est-à-dire lorsque toutes les entreprises se comportent comme un monopoleayant autant d'unités de production que d'entreprises présentes sur le marché, unités deproduction et dont l'o�re est

∑i qi (aucun autre niveau de production ne peut donner une

somme de pro�ts supérieure, sinon le monopole l'aurait choisi). Mais qui dit coopérationdit aussi partage des fruits de la coopération. Or, il n'existe pas de règle faisant l'una-nimité en ce qui concerne un tel partage, chacun cherchant à obtenir le maximum possible.

En outre, toute solution qui n'est pas un équilibre de Cournot pose problème, dans lamesure où au moins l'une des entreprises peut augmenter son pro�t par un changementunilatéral de son o�re (car sinon, on serait, par dé�nition, à un équilibre de Cournot).

En résumé, à l'équilibre de Cournot, les entreprises ont intérêt à coopérer, et donc àretenir une autre solution que cet équilibre ; mais une telle solution, quelle qu'elle soit,n'en est pas vraiment une, si elle n'est pas un équilibre de Cournot, puisque les agentsmaximisateurs ont intérêt à s'en écarter.

2. Voir Ménager et Tercieux

39


2.3.2 Le modèle meneur-suiveur

Dans ce modèle, on suppose que parmi les réassureurs présents sur le marché, on a unleader et des suiveurs. On dit alors qu'il s'agit d'un modèle asymétrique.

Hypothèses du modèle

1. L'asymétrie est introduite en supposant que les niveaux de capitaux propres entre lesagents sont très di�érents ; le leader ayant plus de capitaux propres que les suiveurs ;

2. Le leader connaît avec exactitude les fonctions de réaction des suiveurs et les utilisentpour déterminer son prix ;

3. Les suiveurs raisonnent à la "Cournot" c'est-à-dire qu'ils considèrent comme donnée laproduction du leader et celle des autres suiveurs.

On pourrait imaginer une situation où l'on aurait sur le marché des réassureurs ayantsensiblement le même niveau de capitaux propres et étant leaders. A ce moment, l'hypothèsela plus vraisemblable serait alors qu'ils décident simultanément sans connaître la décision desautres leaders. On se ramène ainsi à une situation de Cournot.


Le modèle est construit de la même manière que dans l'oligopole de Cournot sauf que lesdeux types d'agents résolvent un programme di�érent.

1. Le leader résoud : {Maxq1t (P (Q)− 1)q1ts/c P (Ql)q1t + CP 1

t ≥ V aR99,5%(∑q1t

k=1 Lk)

avec :

P (Ql) = P (q1t +∑i 6=1

Ri(q1...qn))

où :

Ri(q1...qn) est la fonction de réaction du suiveur i. Elle dépend des quantités de produc-tion de tous les autres agents (y compris le leader )conjecturées par le joueur i.

2. Les suiveurs résolvent :{Maxqi (P (Qs)− 1)qits/c P (Qs)qit + CP it ≥ V aR99,5%(

∑qitk=1 Lk)

avec :

P (Qs) = P (∑j 6=i

qjt + qit)

40


Les qjt représentent les conjectures du réassureur i sur les quantités produites par tousles autres réassureurs y compris le leader.

Résultats obtenus

Figure 2.15 � Evolution des prix de Stackelberg sur un marché oligopolistique.

Le graphique précédent présente l'évolution des prix du leader et celui des suiveurs. Onremarque que les prix des suiveurs s'alignent toujours sur celui du leader qui semble donnerl'impulsion des prix sur le marché.

Le leader par hypothèse a plus de capitaux propres, par conséquent une probabilité de fairefaillite plus faible. Le risque de contrepartie pour les assureurs qui souscrivent des contratschez le réassureur leader est plus faible, il propose donc de meilleures garanties et il est logiquequ'il soit plus cher.

D'autre part, l'évolution des prix dans cette structure de marché ne semble pas présenterde cycle particulier. On n'y observe que des �uctuations irrégulières qui sont expliquées parla variation de la sinistralité.

Choc de demande

Ici encore, nous supposons que la demande comporte un cycle propre de 10 ans.

41


Figure 2.16 � Evolution des prix de Stackelberg sur un marché oligopolistique après un chocde demande.

On remarque que les prix des suiveurs s'alignent toujours sur ceux du leader. Cependant,tout comme dans le cas du monopole et de l'oligopole de Cournot, le cycle introduit dans lafonction de demande semble se re�éter dans l'évolution des prix du leader et des suiveurs. Unefois de plus, le cycle du marché de l'assurance guide celui du marché de la réassurance.


La remarque faite pour les prix de Cournot reste valable ici. Après le choc, les prix aug-mentent brusquement, se stabilisent puis décroissent avant de reprendre leur régime normald'oscillations autour de l'espérance du coût de la sinistralité agrégée pour un contrat.

42


Figure 2.17 � Evolution des prix de Stackelberg sur un marché oligopolistique après un chocde sinistralité.

La sinistralité exceptionnelle entraîne toujours une phase où les prix augmentent, unephase de stabilisation puis une phase de baisse des prix.

43


Erreur sur l'évaluation des provisions

Figure 2.18 � Evolution des prix de Stackelberg sur un marché oligopolistique avec erreurdans l'évaluation des provisions.

Comme dans le modèle de Cournot, on n'observe pas d'évolution notoire lorsqu'on sup-pose une erreur dans l'évaluation des provisions. Les provisions ne semblent donc pas être unfacteur déterminant de l'évolution des prix dans un oligopole de Stackelberg.

Dans le modèle de Stackelberg, on observe aussi que les prix sont parfois inférieurs au coûtmarginal. Une fois une plus, des explications peuvent être trouvées dans le fait qu'il s'agisseaussi d'un équilibre par anticipation.

2.3.3 La concurrence par les prix

Ce modèle repose sur une concurrence par les prix. En e�et, comme l'ont montré quelquesauteurs tels que Vives(1990), la compétition par les prix semble plus naturelle et plus vrai-semblable entre des agents interagissant dans un environnement non concurrentiel 3.

Les hypothèses

Aux hypothèses du cadre général dé�ni plus haut, on rajoute les hypothèses suivantes :

1. On suppose toujours un marché avec n agents indicés par la lettre i (i = 1, ...n).

3. Concurrence pure et parfaite

44


2. Le nombre de contrats que peut souscrire l'agent i à la date t dépend de :

(a) Le prix qu'il pratique P it(b) Son niveau de capitaux propres CP itSoit N(P it , CP

it ) ce nombre de contrats.

3. Quitte à réordonner les agents, on peut faire l'hypothèse suivante : P 1t < P 2

t < ... < Pnt .

4. La demande théorique potentielle que peut satisfaire l'agent i s'il est seul sur le marchéest notée D(P it ).

5. La demande qui s'adresse à l'agent i est en fait la demande résiduelle qui subsiste surle marché après que tous les réassureurs dont le prix est inférieur à celui de l'agent iaient � capté �la leur. Le grahique suivant illustre cette répartition de la demande surle marché.

Figure 2.19 � Répartition de la demande entre réassureurs sur le marché en fonction des prix.

6. La demande � e�ective �Deff4 qui s'adresse à l'agent i est une fonction de son prix, de

ses capitaux propres mais aussi des prix des autres agents sur le marché et s'exprimecomme suit :

Deff (P it , CPit ) = Min[Dres(P it ), N(P it , CP

it )]

où : Dres(P it ) est la demande résiduelle sur le marché au prix Pi.

4. Le terme � demande e�ective �ici ne s'entend pas comme la demande e�ective au sens de J.M Keynes

mais plutôt comme l'ensemble de la demande solvable et avérée. Il s'agit de la demande réelle par rapport àune demande théorique potentielle.

45


Dres(P it ) = D(P it )−i−1∑j=1

Deff (P jt , CPjt )

Il s'établit alors une relation de récurrence entre les demandes e�ectives des agents surle marché et compte tenu de la dé�nition de la demande résiduelle.

Deff (P 1t , CP

1t ) = Min[Dres(P 1

t ), N(P 1t , CP

1t )]

or :

Dres(P 1t ) = D(P 1

t )

d'où :

Deff (P 1t , CP

1t ) = Min[D(P 1

t ), N(P 1t , CP

1t )]

De même,

Deff (P 2t , CP

2t ) = Min[Dres(P 2

t ), N(P 2t , CP

2t )]

or :

Dres(P 2t ) = D(P 2

t )−Deff (P 1t , CP

1t )

d'où :

Deff (P 2t , CP

2t ) = Min[D(P 2

t )−Deff (P 1t , CP

1t ), N(P 2

t , CP2t )]

Par des syllogismes successifs, on établit que :

Deff (Pnt , CPnt ) = Min[D(Pnt )−

n−1∑j=1

Deff (P jt , CPjt ), N(Pnt , CP

nt )]

7. On suppose que chacun des agents sur le marché est rationnel. Le fait de raisonner surplusieurs périodes et de �xer la capacité de production permet de résoudre le paradoxede Bertrand.

46



Les agents étant rationnels, ils viseront la maximisation de leur utilité représentée par leurfonction de pro�t. Ce pro�t s'exprime comme di�érence entre d'une part :

1. Les recettes constituées par le chi�re d'a�aire i.e le produit de la vente des contrats

P itMin[Deff (P it , CPit ), N(P it , CP

it )]

2. Les dépenses répresentées par le coût moyen de la sinistralité

Min[Deff (P it , CPit ), N(P it , CP

it )]E(L)

Or par hypothèse,

E(L) = 1

d'où les dépenses se réduisent à :

Min [Deff (P it , CPit ), N(P it , CP

it )]

Ainsi donc, le programme de l'agent i s'écrit :

Max[P itMin(Deff (P it , CPit ), N(P it , CP

it ))−Min[Deff (P it , CP

it ), N(P it , CP

it )]

⇐⇒Max(P it − 1)[Min[Deff (P it , CPit ), N(P it , CP

it )]]

Equilibre de Nash

Quelques rappels et analogies avec le marché de la réassurance Le marché de laréassurance pourrait être perçu compte tenu de ses caractéristiques (oligopole) comme un jeudans lequel chacun des joueurs essaie d'adopter la stratégie qui lui procure le meilleur gainpossible.

� Sur le marché de la réassurance, la stratégie de chaque joueur pourrait être représentéepar le prix qu'il projette de �xer ;

� La fonction de paiement transposée sur le marché de la réassurance correspond au pro�tque chacun des réassureurs obtient compte tenu de sa stratégie et de celle des autresjoueurs.

47


Existence de l'équilibre de Nash

1. Les prix que chacun des agents pratique sur le marché dépendent de la demande surle marché. L'approximation faite sur la value at risk et par ricochet sur le nombre decontrats 5 prouvent que les prix sont bornés. L'ensemble des prix est donc compact. Enoutre, on raisonne période par période c'est-à-dire en dimension 1, l'ensemble des prixest alors convexe.

2. On avait vu que chaque agent visait la maximisation de son pro�t dé�ni par :

(P it − 1)[Min [Deff (P it , CPit ), N(P it , CP

it )]]

Posons :

f(P it , CPit ) = (P it − 1)[Min [Deff (P it , CP

it ), N(P it , CP

it )]]

f(P it , CPit ) est clairement concave. En e�et, la fonction qui donne le nombre de contrats

est croissante suivant les prix, la demande e�ective quant à elle est décroissante des prixd'où le minimum entre ces deux fonctions est concave. La multiplication par le terme(P it − 1) ne change pas la concavité de f(P it , CP

it ). De plus, f(P it , CP

it ) est continue en

tant que combinaison linéaire de fonctions continues.

D'après ce qui précède et en application du théorème d'existence d'un équilibre de Nash,on garantit donc par construction l'existence d'un équilibre de Nash dans notre modèle.

Résolution du modèle

Nous avons montré qu'un équilibre de Nash existait par construction dans notre modèle.En tant qu'équilibre de Nash, c'est la situation optimale pour tous les agents sur le marché.Notre démarche consistera alors à chercher directement les prix qui réalisent l'équilibre deNash.

Nous avons vu que le programme de chaque agent dans le cadre de notre modèle s'écrivait :

Max (P it − 1)[Min [Deff (P it , CPit ), N(P it , CP

it )]]

ou :

[Deff (P it , CPit ) = Min[D(P it )−

i−1∑j=1

Deff (P jt , CPjt ), N(P it , CP

it )]

Le graphe suivant donne une représentation des di�érentes fonctions en présence.

5. Voir annexe 2

48


Figure 2.20 � Equilibre des prix de Nash.

� � Demande �est la fonction de demande sur le marché c'est-à-dire D(Pi) ;

� � Demande résiduelle �est la fonction :

D(P it )−i−1∑j=1

Deff (P jt , CPjt )

� � Nombre de contrats �est la fonction N(P it , CPit ) ;

� � Utilité �est la fonction d'utilité du réassureur c'est-à-dire :

(P it − 1)[Min [Deff (P it , CPit ), N(P it , CP

it )]]

Au total, la solution du programme du réassureur c'est-à-dire le prix qui maximise safonction d'utilité converge vers le prix qui égalise les fonctions demande résiduelle et nombrede contrats.

Ainsi donc, le programme du réassureur se ramène à trouver à chaque période t la racineP it de la fonction :

f(P it , CPit ) = D(P it )−

i−1∑j=1

Deff (P jt , CPjt )−N(P it , CP

it )

49


Résultats obtenus et analyse

Conditions initiales : Les simulations ont été faites en supposant qu'on a 3 réassureurssur le marché. Comme dans le cas de l'analyse du monopole, on attribue à chacun d'eux unniveau initial donné de capitaux propres.

Figure 2.21 � Evolution des prix sur un marché de Bertrand.

Il apparaît que les prix d'équilibre �uctuent ici encore de manière sporadique. Les variationsobservées re�ètent les variations dans les capitaux propres et un cycle particulier n'est pasvisible. A la di�érence des deux modèles précédents, les réassureurs ne tarifent plus en deçàdu coût marginal.

Choc de demande

Le choc de demande est introduit en supposant comme à l'accoutumée que la demandecomporte un cycle de période 10.

50


Figure 2.22 � Evolution des prix de Nash dans l'oligopole de Bertrand avec demande cyclique.

Le cycle présent dans la fonction de demande se re�ète une fois encore dans les prix deréassurance. Les mouvements du marché de l'assurance transparaissent donc sur le marché dela réassurance.

51



Figure 2.23 � Evolution des prix de Nash dans l'oligopole de Bertrand avec choc de sinistra-lité.

Le choc de sinistralité se traduit par une augmentation soudaine des prix. On remarqueaussi comme pour les deux modèles précédents qu'il faut un certain temps pour que le chocsoit totalement résorbé. Avant que ce délai ne soit atteint, les prix restent hauts même si onnote quelques �uctuations dues à la sinistralité courante.

Erreur sur les provisions

Les erreurs sur l'évaluation des provisions n'entraînent pas de commentaires particuliers.On note que les prix suivent toujours leur régime avec des �uctuations erratiques sans miseen évidence d'un cycle particulier. Les erreurs de mesure ne sont donc pas un déterminant del'évolution des prix dans un équilibre à la Bertrand.

En conclusion, on s'aperçoit que tout d'abord que les déterminants des prix relevés par lalittérature tels que la demande ou l'évolution de la sinistralité jouent un rôle moteur dans lechangement des prix. Deux types de cycles ont été identi�és dans les �uctuations des prix :

� Les cycles � longs �qu'on pourraient quali�er de structurels qui sont causés principale-ment par les changements dans la fonction de demande. On remarquera que la demandesur le marché de la réassurance est partiellement induite par les modi�cations de com-portement d'achat des assureurs ;

52


� Les cycles � courts �ou conjoncturels identi�és à l'intérieur des cycles longs et qui sontprincipalement in�uencés par la sinistralité. Les prix se modulent alors pour maintenirl'équilibre �nancier des réassureurs.

D'autre part, la structure de marché in�uence l'évolution des prix. C'est ainsi qu'on a punoter que le réassureur en situation de monopole préfère souscrire moins de contrats à un prixbeaucoup plus élevé ou encore que si sur le marché il y avait un leader clairement identi�é,les prix de la concurrence auraient tendance à s'aligner sur ceux de celui-ci. Ce résultat esttrès intéressant puisqu'il indique que si on pouvait déterminer avec exactitude la structure demarché qui prévaut sur le marché de la réassurance, alors on pourrait avoir une idée de ce queseront les prix au �l des ans. Ainsi donc, les assureurs clients de réassureurs pourraient mieuxadapter leurs choix de réassurance.

Nous avons rélevé que même théoriquement, l'obtention d'un équilibre de Nash était pro-blématique puisqu'il conduisait souvent à des situations non pareto-optimales (modèle deCournot et de Stackelberg). Comme le rappelle Jens Alkemper et Donald Mango, un teléquilibre pourrait exister sur le marché de la réassurance mais est di�cile à obtenir dans laréalité. Ils précisent en outre que la structure oligopolistique de marché est di�cile à étudierdu point de vue de la théorie économique car :

� Chaque participant in�uence le marché de façon signi�cative mais sans le contrôler ;� Toutes les actions menées individuellement a�ectent le reste du marché ;� La guerre des prix caractérise vraisemblablement le marché.

En outre, nous avons observé que les cycles dans les prix de la réassurance ne découlaientpas des caractéristiques propres à ce marché. Les périodes haussière et baissière ne semblentêtre que des réponses du marché à des chocs exogènes tels la modi�cation des comportementsd'achat de la réassurance ou encore les sinistres exceptionnels. Ce résultat implique que sion maîtrise le fonctionnement du marché de l'assurance et qu'on sait modéliser la fréquencede survenance des sinistres exceptionnels, la maîtrise des cycles pourra être considérablementaméliorée.

Nous nous proposons à présent de confronter les résultats théoriques obtenus aux donnéesde marché. L'objectif du chapitre qui suit est d'évaluer les résultats obtenus par simulationsur les données de marché.

53

Chapitre 3

Mise en perspective avec les données

d'expérience

Dans le chapitre précédent, nous avons identi�é deux facteurs principaux à l'origine descycles de réassurance : les déséquilibres entre l'o�re et la demande de réassurance (en par-ticulier les changements dans la demande de réassurance) et les chocs externes tels que lasinistralité. Nous nous proposons à présent de voir si ces résultats obtenus de manière théo-rique sont véri�és empiriquement.

Nous commencerons tout d'abord par présenter les données à notre disposition et qui sontrelatives d'une part à l'évolution de certains postes du bilan et du compte de résultat desprincipaux réassureurs dans le monde et d'autre part au marché des tempêtes pour l'entitéAxa France. Puis, nous présenterons la méthodologie utilisée ; nous pourrons alors rapprocherles résultats obtenus par simulation de ceux fournis par les données de marché.

Dans un second temps, à partir de l'étude des séries temporelles adéquates, nous donneronsune idée de l'évolution d'une part des primes de réassurance en France pour les protectionstempête et d'autre part des primes de réassurance dans le monde pour les années à venir.

3.1 Explication de l'évolution des prix de réassurance

3.1.1 Présentation des données

Nous disposons de deux jeux de données :

1. Les vingt premiers réassureurs mondiaux représentent les trois-quarts du chi�re d'a�airede ce secteur. Les données se rapportant à ces réassureurs peuvent donc permettre defaire des généralisations sur la tendance générale du marché mondial. Un premier jeu dedonnées fournit pour la période 1998−2008 les éléments suivants du bilan et du comptede résultat pour ces 20 premiers réassureurs mondiaux et pour la branche non-vie.

� Primes de réassurance ;� Total des actifs ;� Résultat de souscription ;

54

CHAPITRE 3. MISE EN PERSPECTIVE AVEC LES DONNÉES D'EXPÉRIENCE

� Sinistralité ;� Primes d'assurance ;� Taux de prime ou rate ;� Taux de pénétration du marché mondial de l'assurance ;� Catastrophes naturelles ;� Revenus �nanciers ;� Revenus �nanciers/Actif.

Les données relatives au taux de pénétration et aux primes d'assurance proviennent del'Axco 1, celles relatives aux catastrophes naturelles viennent de SwissRe. Le rate et lerapport revenus �nanciers/actif ont été évalués par nos soins. Le rate est donné par laformule :

Rate =Primes de réassurancePrimes d'assurance

Toutes les autres données proviennent de S&P 2. Ces données sont recensées dans letableau suivant :

Figure 3.1 � Données relatives au marché mondial (en millions d'euros).

Par catastrophe naturelles, nous entendons à la fois les catastrophes naturelles (toutévénement provoqué par les forces de la nature) et les catastrophes techniques ou catas-trophes provoquées par l'homme (les sinistres majeurs liés à des activités humaines).

Les catastrophes naturelles englobent les inondations, les tempêtes, les tremblementsde terre (y compris les séismes sous-marins et les tsunamis), la sécheresse, les feux debrousse (y compris les canicules), le froid et le gel, les autres catastrophes naturelles (ycompris la grêle et les avalanches).

1. Axco est un fournisseur indépendant d'informations relatives au marché de l'assurance mondiale plébis-cité par les principaux assureurs, réassureurs et courtiers du monde.

2. Standard Poor's (S&P) est une �liale de McGraw-Hill qui publie des analyses �nancières sur des actionset des obligations. C'est une des trois principales sociétés de notation �nancière, avec ses concurrents Moody'set Fitch Ratings.

55


Les catastrophes techniques englobent les gros incendies et explosions, les catastrophesaériennes et spatiales, les catastrophes maritimes et �uviales, les catastrophes routièreset ferroviaires, les accidents de mines et de carrières, les e�ondrements de bâtiments etd'ouvrages d'art, les sinistres majeurs divers (y compris le terrorisme).

L'évaluation des dommages liés aux catastrophes naturelles désigne tous les dommagesassurés, à l'exclusion des dommages de responsabilité civile. SwissRe précise que : � cetteexclusion permet d'évaluer assez rapidement les dommages assurés grevant un exercicedonné, mais entraîne une sous-estimation du coût des catastrophes techniques �. Enoutre, pour permettre la comparaison des sinistres sur la durée, le montant minimal desdommages est ajusté chaque année sur la base du taux d'in�ation des Etats-Unis.

2. Le second jeu de données est relatif au marché des tempêtes pour l'entité AXA France.Pour la période 1998− 2009, on dispose des informations suivantes :

� Sinistralité (Tempêtes) ;� Primes d'assurance (pour la branche dommages aux biens) perçues par AXA France ;� Indice ROL (Rate On Line) pour les tempêtes ;� Revenus �nanciers de l'ensemble du marché français de la réassurance ;� Taux de pénétration du marché français de l'assurance.

Comme pour le marché mondial, les données dérivent de plusieurs sources. Les donnéesconcernant le taux de pénétration proviennent de l'Axco, celles relatives aux tempêtes et auxprimes d'assurance proviennent d'Axa France. L'indice ROL a été relevé sur le site d'AonBen�eld 3 et les revenus �nanciers ont été receuillies sur le site de la fédération française dessociétés d'assurance (FFSA). Ces données sont résumées dans le tableau suivant :

Figure 3.2 � Données relatives au marché français des tempêtes (en millions d'euros).

Ces jeux de données nous permettront d'avoir une idée de l'évolution des résultats deréassurance dans le monde et de ceux des tempêtes pour Axa France, de con�rmer ou d'in�rmerles résultats obtenus par simulation, puis de donner une prévision des prix de réassurance surces marchés pour les prochaines années.

3. Aon Ben�eld est le numéro 1 mondial du courtage de réassurance et du conseil en gestion de capital

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3.1.2 Description des marchés

Le marché mondial

Evolution des résultats de souscription et de la sinistralité des principaux réassureurs

Figure 3.3 � Evolution des résultats de souscription et de la sinistralité des principaux réas-sureurs (en millions d'euros).

Le premier constat qu'on fait au regard de cette courbe est que le résultat de souscriptiondes réassureurs est souvent négatif. Ce résultat suscite deux questions :

� Qu'est-ce-qui justi�e ce résultat ?� Comment les réassureurs arrivent-ils à rester sur le marché malgré des résultats négatifssur plusieurs années consécutives ?

Une réponse à la première question pourrait être trouvée dans le principe pratique de laréassurance qui repose �nalement sur la con�ance et les habitudes entre assureurs et réas-sureurs. En e�et, comme nous l'avons déjà souligné, il est courant qu'un assureur décide des'assurer chez un réassureur alors même que celui-ci ne propose pas forcément le meilleur tarif.De la même façon, il arrive qu'un réassureur propose un prix inférieur à la prime pure pourconserver des relations harmonieuses avec celui-ci.

En ce qui concerne la seconde question, la réponse est fournie par la caractéristique mêmedes réassureurs qui sont des � investisseurs universels �. En e�et, les réassureurs qui placent lamajeure partie des primes qu'ils perçoivent sur les marchés �nanciers. Les produits �nanciersqui en découlent (su�sament conséquents surtout en branche longue) leur permettent alorsde couvrir leurs charges et de dégager des pro�ts.

Le second constat est qu'il y a des pics et des creux dans les résultats de souscription. Celaimplique qu'il y a des �uctuations dans les souscriptions et ce constat est à rapprocher du

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résultat celui déja énoncé par plusieurs auteurs tels Catherine Bruneau et Nadia Sghaierqui avaient identi�é un cycle dans les souscriptions.

On note aussi que l'évolution du résultat de souscription est fortement in�uencé par celuide la sinistralité. Les deux séries présentent la même périodicité même si elles semblent évolueren sens contraire. On relève cette même variation dans les primes de réassurance.

Remarquons en�n l'évolution du résultat de souscription après une sinistralité importante(World trade center en 2001) : le résultat de souscription s'améliore laissant penser qu'il yaurait vraisemblablement plus de demande de réassurance après un tel choc.

Evolution du rate et du taux de pénétration des principaux réassureurs

Figure 3.4 � Evolution du rate et du taux de pénétration des principaux réassureurs (enmillions d'euros).

On constate que le rate croît fortement entre 1998 et 2002 (période au cours de laquelle onobserve un pic) avant de décroître jusqu'en 2008. Dans la même période, le taux de pénétrationsuit la même évolution bien que moins fortement. Ces deux variables semblent donc évoluerdans le même sens.

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Evolution du rate et des autres variables des principaux réassureurs

Figure 3.5 � Evolution du rate et des autres variables des principaux réassureurs (en millionsd'euros).

On constate qu'entre 1999 et 2004, le rate et la sinistralité évoluent dans le même sens.Après 2004 et 2006, la sinistralité connaît une évolution en cloche alors que le rate est quasi-ment constant puis, les deux variables décroissent ensuite jusqu'en 2009. Globalement donc,la sinistralité et le rate semblent varier de la même façon.

Quant aux revenus �nanciers, ils semblent progresser en sens contraire par rapport aurate. Ainsi par exemple entre 2000 et 2002, le rate augmente tandis que les revenus �nanciersdiminuent ; entre 2002 et 2003, on observe le mouvement inverse. Entre 2005 et 2007, on noteencore que les revenus �nanciers augmentent tandis que le rate diminue.

Le marché des tempêtes pour AXA France

En France, les évènements naturels étaient autrefois traditionnellement exclus des contratsd'assurances. Cette absence de couverture avait trois causes principales :

� L'absence de statistiques �ables sur ce type de phénomènes ;� Un risque important de cumul (un même événement pouvant toucher un grand nombred'assurés, l'engagement de l'assureur est di�cile à cerner) ;

� Un risque d'anti-sélection (seules les personnes exposées contractent une assurance).

Depuis 1982, toute indemnisation relative à une tempête est subordonnée à deux condi-tions préalables :

� L'état de "tempête" doit avoir été constaté par un arrêté interministériel ;� Les biens sinistrés doivent être couverts par un contrat d'assurance dommages aux biens.Bien entendu, un lien de causalité doit exister entre la catastrophe constatée par l'arrêtéet les dommages subis par l'assuré.

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Nous nous intéressons aux protections tempêtes en excédent de sinistre par évènement surle marché français. Le graphique suivant présente l'évolution des sinistres tempêtes, des primesd'assurance et des revenus �nanciers sur le marché français et pour Axa France.

Figure 3.6 � Evolution des sinistres tempêtes, primes d'assurance et revenus �nanciers sur lemarché français de l'assurance et pour Axa France (en millions d'euros).

On note ici l'emprunte des sinistres majeurs tels que les tempêtes Lothar et Martin en1999 ou encore Berthold en 2003 et Klaus en 2009. On constate aussi que les revenus �nan-ciers suivent l'évolution de la sinistralité. Lorsqu'il y a une faible sinistralité, ils sont moinsimportants et lorsque la sinistralité est clémente, les revenus sont plus élevés.

On remarque aussi qu'à la suite de ces sinistres exceptionnels, les revenus �nanciers surl'ensemble du marché se sont améliorés ce qui indique que les placements des réassureurs ontété plus importants sur les marchés �nanciers. Si ces placements ont pu être aussi importants,cela suggère que les primes sur l'ensemble du marché se sont accrues.

On note e�ectivement que les primes d'Axa France pour le compte des tempêtes ont crûcontinuellement sur la période d'observation.

3.1.3 Présentation de la méthodologie

Le but est d'une part de tester si toutes les intuitions que suscitent les descriptions pré-cédentes sont con�rmées par les modèles et d'autre part si les résultats obtenus de manièrethéorique sont certi�és. Nous nous proposons pour ce faire de spéci�er une fonction de lien(une relation) entre le prix de la réassurance, la demande et la sinistralité et de s'interrogersur la pertinence de la fonction de lien choisie.

Choix des variables d'intérêt

On en a a priori trois majeures pour éprouver les résultats théoriques : le prix de réassu-rance, la demande et la sinistralité. Si le niveau de sinistralité sur un marché peut être observé,

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le prix de la réassurance et la demande de réassurance sont quant à elles inobservables. Ene�et, le nombre, la nature et la complexité des traités de réassurance rendent di�cile la déduc-tion d'un indice de prix qui re�èterait le coût à risque constant sur un marché donné. Quantà la demande de réassurance, l'évolution progressive des contrats de réassurance et des tarifscompliquent sa spéci�cation. Il est donc nécessaire de trouver des variables de procurationproches de ces variables inobservables.

L'importance des revenus �nanciers pour la survie du réassureur n'est plus à démontrer.Il importe de voir comment cette variable in�uence l'évolution des prix de réassurance.

Le marché mondial

1. La variable de procuration retenue pour le prix est le rate.Il s'agit du rapport :

Primes de réassurancePrimes d'assurance

2. Pour la demande, plusieurs variables ont été testées :� Les primes de réassurance : plus elles sont élévées, plus les assureurs ont acheté de laréassurance et donc plus la demande de réassurance est élevée et vice-versa ;

� Les primes d'assurance : leur niveau re�ète le risque pris par les assureurs. A prioripluselles sont élevées, plus les assureurs ont accepté de risque et vraisemblablement ilsdemanderont plus de réassurance pour se couvrir ;

� Le taux de pénétration du marché de l'assurance. De manière générale, le taux depénétration est un taux mesurant la couverture du marché par un produit ou servicedonné. Il représente souvent la part de la demande actuelle d'un produit ou d'unservice dans la demande potentielle de ce produit ou service. Il est calculé dans ledomaine de l'assurance par la formule suivante :

Taux de pénétration =PrimesPIB

Ainsi donc, plus il est élevé, plus la demande est élevée.

Le marché français

Nous tentons de modéliser l'évolution des prix pour les protections tempêtes.

1. La variable de procuration retenue pour le prix est l'indice ROL (Rate On Line) pourles programmes de réassurance tempêtes en France. Le ROL est le re�et du coût d'achatde la couverture. Il est donné par la formule suivante :

ROL =PrimeLimite

Il correspond au prix de la capacité achetée. Le ROL est déterminée entre autres parl'exposition du portefeuille, le niveau de franchise, le sinistre de référence 4 et la portée.

4. Le sinistre de référence désigne le sinistre centennal lors du dernier renouvellement

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2. Pour la demande, nous avons retenu les primes d'assurance pour la branche dommagesaux biens (excepté les dommages automobiles) d'Axa France et le taux de pénétrationdu marché de la réassurance français.

3.1.4 Modélisation

Après avoir choisi les variables d'intérêt, il faut à présent spéci�er la fonction de lien entrela variable expliquée (le prix) et les variables explicatives (la sinistralité, la demande, les re-venus �nanciers, les catastrophes naturelles).

Nous testons une relation linéaire et nous procédons à une estimation par les moindrescarrés ordinaires (MCO). Toutefois, il faudrait en amont s'assurer qu'on n'a ni problèmesd'endogénéité, ni corrélation des résidus et ni hétéroscédasticité.

Soulignons aussi que nous travaillerons sur les variables retardées de la sinistralité, desrevenus �nanciers et des catastrophes naturelles car nous avons l'intuition que les prix de lapériode courante sont in�uencés par les réalisations de la période antérieure de ces grandeurs.

Endogénéité

L'endogénéité naît lorsque soit on a une erreur de mesure sur la variable à expliquer oules variables explicatives, soit ces dernières sont déterminées en même temps que la variableexpliquée ou encore lorsqu'on omet des variables explicatives dans le modèle. Au regard desmodèles qui seront présentés, l'endogénéité si elle existe pourrait résulter de cette dernièrecondition.

Nous utilisons la méthode des variables instrumentales. Il s'agit d'une méthode d'esti-mation convergente en présence de corrélation entre les erreurs et les variables explicatives,c'est-à-dire d'endogénéité. Cette méthode nécessite la connaissance de variables auxiliairesnon corrélées avec les erreurs. Elle se ramène ensuite à l'application des MCO. Lorsqu'on a uninstrument (ou variable auxiliaire) par variable explicative endogène, la régression e�ectuéeporte le nom de moindres carrés indirects.

Le test utilisé pour déceler l'éventuelle présence d'endogénéité est un test de Hausman.Sous l'hypothèse d'absence d'endogénéité, l'estimateur MCO et l'estimateur par les moindrescarrés indirects sont tous les deux convergents mais l'estimateur MCO est à variance minimale.En présence d'endogénéité, seul l'estimateur par les moindres carrés indirects est convergent.Le test d'Hausman examine la di�érence entre ces deux estimateurs.

Nous utiliserons une variante de ce test beaucoup plus simple à mettre en oeuvre et qu'onappelle test de Hausman-Wu-Durbin. On montre en e�et que le test d'Hausman est équivalentà un test de student de signi�cativité d'un coe�cient associé à des résidus dans une régressionMCO.

Le test se déroule comme suit :

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� On estime la forme réduite du modèle, c'est-à-dire on régresse par MCO la variableendogène sur les instruments et les exogènes du modèle initial et on récupère les erreurs ;

� On introduit les erreurs estimées dans la régression initiale ;� On teste alors la nullité du coe�cient associé aux erreurs estimées. Si on rejette l'hypo-thèse nulle, on en conclut que la variable est endogène.

Sur le marché mondial, nous testons le résultat de souscription comme instrument de lasinistralité. Pour la demande, chacune des variables retenues sera traitée tour à tour commevariable explicative et comme instrument. Soulignons que puisqu'on teste chaque fois un ins-trument unique par variable explicative potentiellement endogène, il y a juste identi�cation,pas besoin donc de faire des tests de suridenti�cation (test de Sargan par exemple).

La mise en oeuvre de cette méthode conduit à identi�er une seule variable endogène surles deux marchés : les primes d'assurance.

Sur le marché mondial, les primes de réassurance sont aussi endogènes ; le résultat de sous-cription s'avère être un piètre instrument pour la sinistralité qui n'est d'ailleurs pas endogène.Les résultats de ces tests peuvent être consultés en annexe 4. Etant donné qu'en présence d'en-dogénéité, les estimateurs obtenus par les MCO sont biaisés, nous ne testerons plus lesditesvariables comme déterminant du prix de réassurance.

Hétéroscédasticité

C'est le fait que la dispersion des résidus doit être homogène sur tout le spectre des va-leurs de la variable d'intérêt : puisque les résidus correspondent idéalement à des aléas demesure, il n'y a pas de raison que la dispersion de ces résidus change en fonction des valeursde la prédiction. Si la dispersion des résidus n'est pas homogène, on parle d'hétéroscédasticité.L'hypothèse d'homoscédasticité impose alors que la variance des termes d'erreur soit constantepour chaque observation, i.e. pour toutes valeurs des variables explicatives. L'hétéroscédasti-cité apparaît :

� Si l'une des deux variables n'est pas normale ;� S'il existe une relation particulière entre les deux variables ;� Si l'erreur de mesure change selon les niveaux des variables.

Pour tester l'hétéroscédasticité, nous avons utilisé un test de White. Ce test regresse lecarré des résidus sur les variables explicatives, leurs carrés, ainsi que les interactions entre lesvariables explicatives. Supposons par exemple un modèle à k = 2 variables explicatives, lastatistique du test est :

f =SCT − SCRnr

SCRnr

n− k − 1q

tel que :

� SCT est la somme des carrés total dans le modèle restreint :

ui = β0 + erri

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� SCRnr est la somme des carrés résiduels dans le modèle non restreint :

ui = β0 + θ1x1 + β2x2 + β3x21 + β4x

22 + β5x1x2 + erri

� k est le nombre de variables explicatives, n est le nombre d'observations et q est lenombre de contraintes.

Le test de l'hypothèse nulle d'homoscédasticité est équivalente à un test joint que toutesles variables explicatives (x1, x2) sauf la constante n'ont pas un e�et signi�catif sur u2 (i.e. untest de Fisher).

En général, sur le marché des tempêtes pour Axa France et sur le marché mondial, lesmodèles que nous avons présenté ne sou�rent pas d'hétéroscédasticité (les résultats peuventêtre consultés en annexe 4). Soulignons cependant que l'hétéroscédasticité ne pose problèmeque pour la réalisation des tests puisque dans ce cas, la matrice des variances est mal estimée.Par contre, les estimateurs restent sans biais.

Corrélation des résidus

Il est toujours instructif de procéder à l'analyse des résidus a�n de véri�er :

� Si les résidus ne révèlent pas une mauvaise spéci�cation du modèle utilisé ;� Si les résidus ne mettent pas en évidence l'existence d'autres variables explicatives quecelle qui a été retenue.

Tous les tests d'hypothèse (t-Tests et F-tests sur les coe�cients ) ainsi que les intervallesde con�ance des coe�cients estimés qui reposent sur l'expression de la matrice de variance-covariance des MCO sont invalidés en cas d'autocorrélations des résidus. Cependant, les coe�-cients estimés restent sans biais et la mesure de la qualité de la régression par le R2 reste valide.

Les tests formels de détection de l'autocorrélation (comme celui de Durbin-Watson) néces-sitent d'avoir au minimum 15 observations. Comme nous disposons d'un nombre relativementfaible de données, nous opterons pour un test visuel. On considèrera qu'il y a autocorrélationdes résidus lorsque :

� les résidus sont pendant plusieurs périodes consécutives, soit positifs, soit négatifs :corrélation positive ;

� les résidus sont alternés : corrélation négative.

Sur les marchés français et mondial, les résidus sont de manière générale autocorréléscomme le montre les graphiques présentés en annexe 4. Toutefois, ils sont normaux comme lemontre les tests (droite d'Henry) présentés en annexe 4.

Au total donc, seul le taux de pénétration sera retenu comme variable de substitution pourla demande sur les deux marchés.

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3.1.5 Résultats obtenus

Les résultats obtenus précédemment nous indique que les coe�cients obtenus par la régres-sion MCO sont sans biais et que le R2 est pertinent pour apprécier la qualité de la régression.Tous les modèles estimés sont sans constantes.

Nous ne ferons pas de tests de signi�cativité des coe�cients de régression à cause desproblèmes d'autocorrélation rélevés précédemment, seul le R2, nous donne des indications surla qualité des régressions.

Marché mondial

Les résultats des régressions sont présentés ci-dessous.

Variable ex-pliquée

Taux de péné-tration

Sinistralité Catastrophesnaturelles

Revenus �nan-ciers

R2

ˆRATEt 1.424e-02 1.398e-09 -1.487e-10 -6.193e-02 0.9874ˆRATEt 1.243e-02 1.527e-09 -1.467e-10 0.9932ˆRATEt 1.358 e-2 1.121e-9 0.9913ˆRATEt 1.480e-02 1.031e-09 -4.128e-02 0.9913ˆRATEt 2.691e-02 -8.625e-11 -2.902e-01 0.9902ˆRATEt 0.0219375 0.9874ˆRATEt 0.025104 -0.237728 0.9894ˆRATEt 2.234e-2 -3.113e-11 0.9876ˆRATEt 2.896e-9 0.9814ˆRATEt 3.251e-9 -2.038e-10 0.9852ˆRATEt 2.378e-9 3.075e-1 0.9877ˆRATEt 1.279e-9 0.7317ˆRATEt 4.830e-10 1.085 0.9177ˆRATEt 1.4824 0.8763

Figure 3.7 � Coe�cients et R2 des régressions du prix mondial de la réassurance

On note en premier que les R2 sont particulièrement élevés. Ensuite, on remarque l'im-pact positif de la sinistralité sur le prix de la réassurance : plus la sinistralité est importante,plus le prix de la réassurance est élevé. La demande représentée par le taux de pénétrationin�uence aussi positivement le prix de réassurance. En d'autres termes, lorsque la demande deréassurance augmente, le prix de réassurance augmente aussi. Ce résultat peut être expliquépar le fait que la hausse de la demande est interprétée par les réassureurs de deux manières :

� Tout d'abord comme une augmentation du risque de sinistralité. Ainsi donc, puisquela menace de périls est élevée, il vaut mieux augmenter les prix pour y répondre plusaisément et mieux se prémunir ;

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� Ensuite comme le signe de bonnes a�aires dont les assureurs sont en train de pro�ter. Lahausse des prix traduirait alors une période faste sur le marché. Inversément, une baissede la demande traduirait le fait que le secteur connaît un ralentissement de l'activité ;la baisse des prix serait donc une incitation à l'achat de réassurance.

D'autre part, on relève le � faible � impact des catastrophes naturelles sur le prix de ré-assurance avec notamment un coe�cient qui est proche de 0. On note aussi que cet impactest mitigé. Rappellons que le prix de la période courante a été régressé avec les catastrophesnaturelles de la période antérieure.

� Lorsque l'impact est négatif, cela implique qu'à la suite d'une sinistralité exceptionnelle,les prix diminuent. Cela pourrait s'expliquer par l'entrée sur le marché de nouveauxassureurs qui viennent augmenter l'o�re globale et par conséquent faire baisser les prix ;

� Lorsque l'impact est positif, cela traduit le fait qu'à la suite du choc, les réassureurssoient obligés d'augmenter leurs tarifs pour se refaire une santé �nancière. Ce résultatcoincide avec celui qui avait déjà été obtenu par simulation.

Les revenus �nanciers quant à eux in�uencent généralement négativement le prix de la ré-assurance sur le marché mondial. Lorsqu'ils augmentent, les prix de la réassurance diminuent.

Au total, on note que les résultats qui avaient été mis en exergue dans la description dumarché mondial sont con�rmés par les modèles de régression.

Marché français des tempêtes

Les résultats des régressions sont présentés ci-après :

Variable expli-quée

Taux de pénétration Sinistralité Revenus �-nanciers

R2

ˆROLt 1.351e+02 -7.053e-05 1.081e-01 0.7317ˆROLt 179.94 0.9419ˆROLt 1.815e+02 -3.281e-05 0.9425ˆROLt 142.64556 0.08376 0.9463ˆROLt 0.0003269 0.07318ˆROLt 0.3726 0.888ˆROLt -0.0001418 0.3908367 0.8996

Figure 3.8 � Coe�cients et R2 des régressions du prix des protections tempêtes.

Les résultats précédents nous apprennent que les sinistres et la demande jouent bien leursrôles de déterminants des prix de réassurance. On peut noter que le R2 est particulièrementélevé.

On note aussi que les revenus �nanciers in�uencent positivement le prix de réassurance.En d'autres termes, lorsqu'ils sont élevés, les prix de réassurance augmentent. A l'inverse, la

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sinistralité liée aux tempêtes impacte négativement le prix de réassurance mais joue un rolemarginal du fait des coe�cients de régression quasiment nuls.

Lorsqu'on explique les prix de la réassurance uniquement par les tempêtes ; l'on se rendcompte que le R2 est faible, soulignant ainsi que ces dernières n'expliquent pas à elles seulesl'évolution des prix de réassurance.

3.2 Etude des séries de demande et de sinistralité

Dans cette section, nous nous proposons d'analyser les variables explicatives de façonindépendante et d'en déduire un "résumé".

3.2.1 Présentation de la méthodologie

Pour prévoir l'évolution du prix de réassurance à partir des régressions retenues, il faudraitdéjà prévoir l'évolution de ses déterminants. Ces derniers seront modélisés à l'aide des proces-sus ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average) en suivant la méthodologie proposéepar Box et Jenkins. La modélisation paramétrique d'une série temporelle se construit essentiel-lement à partir de la structure de dépendance existant entre les éléments de la série. Celle-cisera étudiée au moyen de la fonction d'autocovariance et de la fonction d'autocorrélation dela série. Nous suivons ici pas à pas les étapes de la méthodologie de Box et Jenkins :

� Stationnarisation de la série : la méthode proposée par Box et Jenkins s'applique à desprocessus stochastiques faiblement stationnaires d'ordre 2 (ce qui signi�e l'existence desdeux premiers moments, la constance de la moyenne au cours du temps et des fonctionsd'autocovariance et d'autocorrélation qui ne dépendent que du délai et pas de l'instant).La première étape de la modélisation consiste donc à s'assurer que chacune de ces sériessatisfait bien ces conditions ; dans le cas contraire, il s'agira de transformer ces sériesadéquatement a�n d'atteindre la stationnarité faible d'ordre 2. La stationnarité seraévaluée par des tests de Dickey Fuller augmenté. L'hypothèse nulle de ce test est lanon-stationnarité ;

� Identi�cation du modèle : on se sert ensuite des fonctions d'autocorrélation pour détermi-ner les ordres AR et MA des séries. S'il s'agit d'un processus AR(p), les autocorrélationspartielles doivent être nulles à partir du délai p + 1. Dans le cas d'un MA(q), les auto-corrélations s'annulent dès le délai q + 1 et les autocorrélations partielles s'amortissentexponentiellement à 0. Le critère de l'AIC minimal sera utilisé pour choisir un modèleparmi plusieurs modèles concurrents ;

� Estimation : après avoir retenu un modèle autoregressif, nous pouvons maintenant pas-ser à la phase d'estimation. Nous utiliserons pour ce faire la méthode des moindres carrés.

En outre, comme le rappelle Meier (2003) reprenant Venezian (1985) et Cummins et Ou-treville (1987), il existe quatre conditions pour évaluer la présence d'un cycle dans les sériesprovenant des marchés :

� La série doit être modélisée par un processus AR(2)i.e Xt = a0 +a1Xt−1 +a2Xt−2 +wt ;

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� Le coe�cient a1 doit être strictement supérieur à 0 ;� Le coe�cient a2 doit être strictement inférieur à 1 ;� a2

1 + 4a2 < 0.

La longueur du cycle est alors exprimée comme suit :

2πcos−1( a1

2√−a2

)

3.2.2 Analyse des séries sur le marché mondial

Taux de pénétration

La série "taux de pénétration" est stationnaire après deux di�érenciations comme le montrele test ci-dessous.

Statistique de Dickey-Fuller p-value-5.7293 0.01

Figure 3.9 � Test de Dickey-Fuller pour la série taux de pénétration

Les autocorrélogrammes simple et partiels présentés ci-bas combinés au critère AIC amènentà identi�er un MA(1).

Figure 3.10 � Autocorrélogrammede la série taux de pénétration.

Figure 3.11 � Autocorrélogrammepartiel de la série taux de pénétration.

Sinistralité

Tout comme le taux de pénétration, cette série devient stationnaire après deux di�éren-ciations comme le montre le test ci-dessous.

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Figure 3.12 � Test de Dickey-Fuller pour la série sinistralité

Les autocorrélogrammes simple et partiels présentés ci-bas amènent à identi�er un MA(1).

Figure 3.13 � Autocorrélogrammede la série sinistralité.

Figure 3.14 � Autocorrélogrammepartiel de la série sinistralité.

Les autres variables explicatives sur le marché mondial

En reprenant la méthodologie énoncée plus haut, nous modélisons les séries du marchémondial de la manière suivante :

1. Catastrophes naturelles : cette série n'est pas stationnaire après deux di�érenciations,la série est modélisée par un modèle non-linéaire d'équation :

(exp(9.98656)× exp(0.33128× log(t)))

2. Revenus �nanciers : Ils sont approximés par

653994 ln(x)− 5 · 106

où t désigne le temps.

3.2.3 Analyse des séries sur le marché français des tempêtes

Taux de pénétration

La série "Taux de pénétration" est stationnaire comme le montre le test de Dickey-Fullerprésenté ci-bas.

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Les fonctions d'autocorrélation ci-dessous amènent à postuler un ARMA(2,2). Après esti-mation, c'est le AR(2) qui présente le critère AIC le plus faible, c'est ce modèle qui sera doncretenu.

Figure 3.15 � Autocorrélogrammede la série taux de pénétration.

Figure 3.16 � Autocorrélogrammepartiel de la série taux de pénétration.

De plus, en reprenant les critères de Meier, il y a un cycle dans le taux de pénétrationd'une longueur d'environ 6 ans.

Tempêtes

La série "sinistralité" n'est stationnaire qu'au seuil de 10% après 3 di�érenciations commele montre le test de Dickey-Fuller présenté ci-bas.


Les fonctions d'autocorrélation présentées ci-bas amènent à postuler ici encore un ARMA(2,2).Après estimation, c'est le MA(2) qui présente le critère AIC le plus faible, c'est ce modèle quisera donc retenu.

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Figure 3.17 � Autocorrélogrammede la série sinistralité.

Figure 3.18 � Autocorrélogrammepartiel de la série sinistralité.

Par ailleurs, la série "revenus �nanciers" est stationnaire après trois di�érenciations et lecritère AIC amène à retenir un modèle MA(2).

3.3 Prévision de l'évolution des prix de réassurance

Dans cette section, nous nous proposons à partir des équations précédentes de proposerune prévision des prix de réassurance. Les prévisions obtenues avec les estimations des va-riables explicatives précédentes sont ensuite reportées dans les équations de régression pourdéterminer les prévisions du ROL et du rate. Compte tenu de la longueur de nos séries, nousn'e�ectuerons des prévisions qu'à l'horizon 2011 sur le marché mondial et 2012 sur le marchéfrançais.

Intervalles de con�ance

Des intervalles de con�ance pour la moyenne des di�érentes variables qui seront préditessont aussi calculées au seuil de risque de 5%. Ces intervalles tiennent à la fois compte deserreurs e�ectuées sur la prévision des variables explicatives et des erreurs sur le modèle derégression.

Séries modélisées par un processus ARMA : Antérieurement, nous avons modélisé letaux de pénétration, la sinistralité, les revenus �nanciers, comme des processus ARMA(p,q).Ces processus sont caractérisés par le fait que les erreurs εt sont des bruits blancs c'est-à-diredes variables aléatoires telles que :

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� εt N(0, σ2)� E(εt) = 0� E(ε2t ) = σ2

� E(εuεv) = 0,∀u 6= v

De ce fait, toutes ces variables (taux de pénétration, la sinistralité, etc.) sont aussi desvariables aléatoires normales dont les paramètres restent à préciser.

De plus, on a montré qu'il n'y a pas de problèmes d'endogénéité sur les deux marchésc'est-à-dire de corrélation entre les variables explicatives et les résidus des régressions. Il y aindépendance entre les variables explicatives et lesdits résidus.

Nous avons montré précédemment que le taux de pénétration, la sinistralité, les revenus�nanciers, étaient des variables normales et les résidus des di�érentes régressions aussi. Ainsidonc, le ROL et le rate sont aussi des variables normales en tant que somme de variablesaléatoires normales.

Nous utilisons ce caractère normal de nos variables dépendantes pour calculer les inter-valles de con�ance.

Rappel : Soit une population d'éléments indépendants dont chacun peut être modélisé parla variable X telle que X N(µ, σ) . L'intervalle de con�ance au seuil de risque de 5% de lamoyenne X sur cette population (si on connaît son écart-type) est donné par :

P[µ− 1.96σ ≤ Xt ≤ µ+ 1.96σ] = 0.95

où :� µ est la moyenne mesurée sur un échantillon de la population ;� σ est l'écart-type de la population ;� 1.96 est le fractile d'ordre 1− α

2 = 0.975 d'une loi normale N(0, 1) au seuil de risque 5%.

Dans toutes les régressions que nous avons présenté et d'après ce qui précède, l'écart-type est connu et égal à la somme des écarts-types des variables explicatives et du résidude la régression. Les moyennes sont déterminées suivant le modèle retenu sur les variablesexplicatives (AR ou MA).

3.3.1 Prévision sur le marché mondial

Les valeurs prédites du taux de pénétration et de la sinistralité obtenues à partir de leursreprésentations ARIMA respectives sont recensées dans le tableau suivant :

Année de prévision Taux de pénétration Sinistralité2009 1.897869 139141922010 1.815738 138888422011 1.733607 13863492

72


Les intervalles de con�ance de ces prédictions sont données ci-après :

Année de prévision IC Taux de pénétration IC Sinistralité2009 [1.7620352 ; 2.033703] [5230425.7 ; 22597958 ]2010 [1.4109839 ; 2.220492] [711413.1 ; 27066271]2011 [0.9875672 ; 2.479647] [ -3368988.7 ; 31095973 ]

En utilisant les équations linéaires retenues précédemment, on obtient les prévisions sui-vantes du rate :

Année de prévision Rate par taux de pénétra-tion

Rate par sinistralité

2009 4.16% 4.028%2010 3.92% 4.021%2011 3.80% 4.014%

Les intervalles de con�ance associés à ces prévisions sont :

Année de prévi-sion

IC rate par taux de péné-tration

IC rate sinistralité

2009 [3.01% ; 5.31%] [2.63% ; 5.42%]2010 [2.83% ; 5.13%] [2.62% ; 5.41%]2011 [2.65% ; 4.95%] [2.61% ; 5.41%]

Le RATE peut alors être représenté comme suit (lorsqu'il est expliqué par le taux depénétration) :

73


Figure 3.19 � Evolution du RATE lorsqu'il est déterminé par le taux de pénétration.

De même, on obtient les prévisions suivantes du rate en utilisant les catastrophes naturelleset les revenus �nanciers.

Année de prévision Rate par catastrophes na-turelles

Rate par revenus �nanciers

2009 4.4% 4.03%2010 4.4% 3.64%2011 4.4% 3.39%

Les intervalles de con�ance liés à ces prévisions sont :

Année de prévi-sion

IC rate par catastrophesnaturelles

IC rate par revenus �nan-ciers

2009 [0.84% ; 8.06%] [1.27% ; 9.33%]2010 [0.84% ; 8.06%] [1.66% ; 8.94%]2011 [0.84% ; 8.06%] [1.91% ; 8.69%]

Explication du rate par la demande et la sinistralité

Considérons à présent les régressions qui expliquent le prix mondial par la demande et lasinistralité. Les prévisions du rate sont les suivantes :

74


Année de prévision Rate par taux de pénétra-tion et sinistralité

2009 4.13%2010 4.02%2011 3.90%

Les intervalles de con�ance associés à ces prévisions sont :

Année de prévision Rate par taux de pénétra-tion et sinistralité

2009 [3.12% ; 5.15%]2010 [3.00% ; 5.03%]2011 [2.89% ; 4.92%]

Le rate est représenté comme suit :

Figure 3.20 � Explication du rate par la demande et la sinistralité.

75


Prise en compte des autres variables

Equations de régres-sion

Prévision2009

Prévision2010

Prévision2011

IC 2009 IC 2010 IC 2011

RATE=f(taux de pé-nét,sinis,CatNat,rev.�n.)

4.0% 3.9% 3.7% [3.0% ;5.0%] [2.8% ;4.9%] [2.7% ;4.8%]

RATE=f(taux de pé-nét,sinis,CatNat)

4.0% 3.9% 3.8% [3.1% ;5.0%] [2.9% ;4.9%] [2.8% ;4.8%]

RATE=f(taux de pé-nét,sinis,rev. �n.)

4.1% 3.9% 3.8% [3.0% ;5.2%] [2.9% ;5.0%] [2.7% ;4.9%]

RATE=f(taux de pé-nét,rev. �n.,CatNat)

3.9% 3.7% 3.5% [2.8% ;5.1%] [2.6% ;4.9%] [2.3% ;4.6%]

RATE=f(taux de pé-nét,CatNat)

4.1% 3.9% 3.7% [2.% ;5.3%] [2.8% ;5.1%] [2.6% ;4.9%]

RATE=f(taux de pé-nét,rev.�n.)

4.1% 3.8% 3.6% [2.9% ;5.1%] [2.7% ;4.9%] [2.5% ;4.7%]

RATE=f(rev.�n.,sinis,CatNat)

4.13% 4.12% 4.12% [3.0% ;5.2%] [3.0% ;5.2%] [3.0% ;5.2%]

RATE=f(sinis,rev.�n.)

4.23% 4.22% 4.21% [3.0% ;5.4%] [3.0% ;5.4%] [3.0% ;5.4%]

RATE=f(rev.�n.,CatNat)

4.64% 4.64% 4.64% [1.5% ;7.7%] [1.5% ;7.8%] [1.5% ;7.7%]

D'après ces résultats, le prix mondial de la réassurance diminuerait dès 2009 et jusqu'en2011 au moins. Ces résultats sont-ils confortés par la dynamique propre du RATE?

3.3.2 Etude du taux de prime de réassurance

La série RATE est modélisée par la méthode de Box-Jenkins et on retient un processusMA(1)(les détails en annexe 5). La prévision donne les valeurs suivantes :

Année de prévision RATE Borne inférieure Borne supérieure2009 4.76% 3.69% 5.83%2010 4.85% 3.57% 6.12%2011 4.85% 3.57% 6.12%

Il s'en suit la représentation graphique suivante :

76


Figure 3.21 � Evolution du rate.

Les prévisions basées sur le rate indiquent plutôt une évolution à la hausse du prix mondialen 2009 suivie d'une stabilisation entre 2010 et 2011.

Ces résultats "contradictoires" pourraient s'expliquer par le choix même du rate commevariable de substitution pour le prix de réassurance. En e�et, ce rapport indique la part desprimes de réassurance dans les primes d'assurance et re�ète davantage la manière dont lesassureurs décident de se réassurer que les prix �xés par les réassureurs. De plus, il comporteune dimension risque qui n'est pas complètement isolée lorsqu'on le prend comme tel.

3.3.3 Prévision sur le marché français des tempêtes

Explication du ROL par le taux de pénétration

Les valeurs prédites du taux de pénétration en utilisant sa représentation AR(2) sontrecensées dans le tableau ci-après :

Année de prévision Taux de pénétration2009 2.3019392010 2.3098582011 2.317632

En utilisant l'équation : ˆROLt = 179.94 × taux de pénétrationt on obtient les prévisionssuivantes du ROL :

Année de prévision ROL2009 482.53802010 484.19802011 485.8275

77


Le taux de pénétration a été modélisé par un AR(2). Les valeurs du taux de pénétrationsont alors prédites et les intervalles de con�ance de ces prédictions sont recensées dans letableau suivant :

Année de prévision Borne inférieure Borne supérieure2009 2.186593 2.4172852010 2.136475 2.4832412011 2.127085 2.508179

On en déduit l'intervalle de con�ance des valeurs prédites du ROL suivant l'équation derégression :

Année de prévision Borne inférieure Borne supérieure2009 174.3107 790.76532010 175.9126 792.48342011 177.5250 794.1300

Le ROL, sa prévision et l'intervalle de con�ance de prédiction peuvent alors être représentéscomme suit :

Figure 3.22 � Evolution du ROL lorsqu'il est déterminé par le taux de pénétration.

Si le taux de pénétration re�ète bien la demande sur le marché français des tempêtes, alorson peut penser que le prix de réassurance aura tendance à augmenter dès 2010 et au moinsjusqu'en 2012.

78


Explication du ROL par les revenus �nanciers

Les valeurs des primes d'assurance seront prédites en utilisant leur représentation non-linéaire. Les résultats sont présentés ci-après :

Année de prévision Revenus �nanciers2009 54451.362010 55556.012011 56618.01

En utilisant l'équation : ˆROLt = 0.3726 × revenus �nancierst, on obtient les prévisionssuivantes du ROL ainsi que les intervalles de con�ance de prédiction :

Année de prévision ROL Borne inférieure Borne supérieure2010 568.1249 81.0649 1055.1852011 579.6504 92.5904 1066.7102012 590.7309 103.6709 1077.791

Le ROL peut alors être représenté comme suit :

Figure 3.23 � Evolution du ROL lorsqu'il est déterminé par les revenus �nanciers.

Explication du ROL par la sinistralité

Les valeurs futures de la sinistralité seront obtenues en utilisant sa représentation MA(2).Les résultats sont :

79


Année de prévision Sinistralité2010 7002.7572011 7019.6072012 7080.923

Les erreurs de prédiction e�ectuées sur ces prévisions et l'intervalle de con�ance sur lesvaleurs prédites de la sinistralité sont représentées dans le tableau ci-après :

Année de prévision Erreur de prédiction Borne inférieure Borne supérieure2010 2494.164 2114.1956 11891.322011 3911.403 -646.7429 14685.962012 5416.970 -3536.3382 17698.18

En utilisant l'équation : ˆROLt = 0.0003269 × sinistralitét on obtient les prévisions et lesintervalles de con�ance du ROL :


Il s'en suit la représentation suivante du ROL , de sa prévision et des intervalles decon�ance :

Figure 3.24 � Evolution du ROL lorsqu'il est déterminé par la sinistralité.

80


Lorsqu'on explique le ROL par la sinistralité, on note une tendance à la hausse du prix deréassurance dès 2010 et au moins jusqu'en 2012.

Explication du ROL par les di�érentes variables explicatives

En reprenant les prévisions qui ont été faites précédemment sur le taux de pénétration, lesrevenus �nanciers et la sinistralité, on obtient les prévisions suivantes du ROL :

Année de prévision ROL par taux de pénétra-tion et sinistralité

ROL par revenus �nancierset sinistralité

2010 496.3577 517.93272011 497.9322 518.78932012 500.3008 523.0901

Les intervalles de con�ance de ces prédictions sont :

Année de prévision IC ROL par taux de péné-tration et sinistralité

IC ROL par revenus �nan-ciers et sinistralité

2010 [180.8784 ; 811.8370] [161.6854 ; 874.1800]2011 [182.3948 ; 813.4696] [162.4839 ; 875.0947]2012 [184.7463 ; 815.8553] [166.7676 ; 879.4126]

Au total donc, qu'il s'agisse de la demande ou de la sinistralité ou encore de ces deuxvariables qu'on choisit comme déterminant du prix de réassurance, il apparaît qu'il est assezplausible que les prix de réassurance sur le marché français des tempêtes croissent dès 2010sur le marché français. Nous serions donc à nouveau dans la phase croissante du cycle deréassurance (puisque de 2002 et jusqu'en 2007, on avait observé une baisse continue des prixde réassurance). Ce résultat reste-t-il vrai si l'on étudie la dynamique propre du prix deréassurance ?

3.3.4 Etude du taux prime de réassurance sur engagement du réassureur

La série "ROL" a été analysée suivant la méthode de Box et Jenkins. Elle est stationnairesans recours à la di�érenciation au seuil de 10% comme le montre le test de Dickey-Fulleraugmenté suivant :


Les fonctions d'autocorrélation présentées ci-bas amènent à postuler encore un ARMA(2,2).Après estimation, c'est le AR(2) qui présente le critère AIC le plus faible, c'est ce modèle quisera donc retenu.

81


Figure 3.25 � Autocorrélogrammede la série ROL.

Figure 3.26 � Autocorrélogrammepartiel de la série ROL.

Les estimations sont présentées dans le tableau ci-après :

Figure 3.27 � Estimation des coe�cients du modèle AR(2).

D'après les conditions reprises par Meier, le ROL pour les protections "tempêtes " présen-terait un cycle de 5 ans sur le marché français. En utilisant ce modèle AR(2) pour e�ectuerles prévisions on obtient les valeurs suivantes :


Il vient la représentation graphique suivante :

82


Figure 3.28 � Evolution du ROL et de sa prévision.

Ces résultats con�rment la tendance haussière décelée pour le prix de réassurance au coursdes années 2010,2011 et 2012.

En dé�nitive, l'analyse des données provenant des marchés a permis de con�rmer l'un desrésultats fondamentaux obtenus par simulation à savoir que la demande et la sinistralité in-�uençaient le prix de réassurance.

Sur le marché français des tempêtes, le prix de la réassurance semble re�éter la santé�nancière des réassureurs. On a aussi pu constater qu'il existait un cycle dans la demandede réassurance (lorsqu'on choisit notamment comme variable de remplacement le taux de pé-nétration) d'une longueur de 6 ans et dans les prix de réassurance représentés par le ROLd'une longueur de 5 ans. Il est assez vraisemblable que (notamment à la lumière des résultatsthéoriques) ce soit le cycle de la demande qui se répercute dans les prix de réassurance. Enoutre, les prévisions e�ectuées sur ce marché semblent indiquer que le prix de la réassuranceaugmentera entre 2010 et 2012.

Sur le marché mondial, un cycle particulier n'a pas pu être mis en exergue. Cela s'expliquecertainement d'une part par le caractère sommaire des données sur ce marché et d'autre partpar le choix des variables de substitution, en l'occurence le choix du rate. Toutefois, des en-seignements intéressants ont pu être dégagés :

� La demande et le prix de réassurance évoluent dans le même sens ; les réassureursadaptent leurs prix à l'évolution de la demande sur le marché ;

� Les réassureurs semblent répercuter leurs gains de notoriété dans les prix qu'ils pro-posent.

83

Conclusion

Etudier le cycle de réassurance s'avère être une véritable gageure en raison notammentdu caractère particulier de cette activité : les produits sont complexes, le risque n'est pastoujours constant entre les di�érents réassureurs etc. Nous nous sommes proposés dans unpremier temps de l'analyser de manière théorique en tenant compte du type de marché quiprévaut. Après avoir exploré la littérature relative à l'étude des déterminants des prix de laréassurance , nous avons proposé une approche originale qui consiste à examiner le cycle deréassurance en partant de la structure de marché économique qui prévaut. Les structures demarché suivantes ont été étudiées :

� Le marché de monopole ;� L'oligopole de Cournot ;� L'oligopole de Stackelberg ;� L'oligopole de Bertrand.

Il s'est avéré que la structure de marché in�uençait le prix de la réassurance et donc lecycle de réassurance.

De manière générale sur ces marchés, les interactions entre les di�érents agents font qu'unéquilibre de Nash pourrait exister mais il n'est pas toujours optimal. C'est le cas en oligopolede Cournot et de Stackelberg où l'équilibre de Nash correspond à une situation non pareto-optimale. Des cycles ont également été mis en évidence et on en distingue de deux types :

� Des cycles courts ou conjoncturels guidés par la sinistralité courante : les prix jouentalors le rôle d'équilibrateur du bilan et du compte des résultats des réassureurs ;

� Des cycles longs ou structurels in�uencés par la demande ou une sinistralité exception-nelle comme les catastrophes naturelles. Les prix ré�ètent ici l'évolution de ces grandeurs.

En outre, nous avons montré que les cycles n'existaient pas de manière intrinsèque dansles prix de réassurance. En e�et, deux éléments majeurs : la demande et la sinistralité ont étéidenti�és comme moteurs du cycle sur le marché de la réassurance.

Dans un second temps, nous avons souhaité véri�er si ces résultats théoriques se véri�aientempiriquement. Deux marchés ont alors suscité notre intérêt : le marché français des tempêteset le marché mondial.

Sur le marché français, nous avons identi�é des cycles d'une durée d'environ 6 et 5 ansrespectivement pour la demande et pour les prix de réassurance. La proximité de ces périodi-

84

CONCLUSION

cités nous fait penser que c'est le cycle de la demande qui se reproduit dans les prix ce qui esten adéquation avec les résultats obtenus de manière théorique.

Sur le marché mondial, il semblerait que les réassureurs répercutent leurs gains de noto-riété dans les prix qu'ils pratiquent. En e�et, on observe que plus leurs primes augmentent,plus ils vendent chers leurs services.

Ces résultats sont intéressants dans la mesure où ils indiquent par exemple qu'une connais-sance de la structure de marché qui prévaut ou encore des innovations dans la connaissancedes fréquences des sinistres donnent une indication sur le sens d'évolution des prix de réas-surance. Les assureurs peuvent donc en conséquence améliorer leurs méthodes de tari�cationet surtout décider du moment où ils peuvent opter pour une réassurance en masse ou plutôtchoisir d'autres moyens de se couvrir.

Il est cependant important de souligner que la relative rareté des données historiques surces deux marchés n'a pas permi des investigations plus poussées qui auraient peut être permisde mieux comprendre les mécanismes dont résultent les cycles de réassurance.

Il aurait par ailleurs été intéressant de procéder à des analyses par branche d'activité ouen tout cas au moins pour les principales à savoir la responsabilité civile générale, les catas-trophes naturelles, la responsabilité civile automobile et les dommages aux biens. En e�et,les cadences de règlement des sinistres, les fréquences de sinistres et les coûts des sinistresn'étant pas les mêmes pour ces di�érentes lignes d'a�aires, il est probable que les résultatssur les cycles et leurs déterminants n'auraient peut être pas été nécessairement di�érents maissurtout auraient été plus "spécialisés".

85

Annexes

Annexe 1 : Recalibration de la loi log-normale

Rappellons qu'une variable aléatoire X de loi log-normale LN(µ, σ) a pour fonction dedensité :

fX(x, µ, σ) =exp(−(lnx−µ)2

2σ2 )

xσ√

2Πet ses deux premiers moments sont :

{E(X) = exp(µ+ σ2

2 )V(X) = (exp(σ2)− 1) exp(2µ+ σ2)

Or :

E(X) = 1 ⇐⇒ exp(µ+σ2

2) = 1

⇐⇒ µ+σ2

2= 0

⇐⇒ 2µ = −σ2

En introduisant cette dernière équation dans la dé�nition de la variance, on obtient :

V(X) = (exp(σ2)− 1)

La loi lognormale recalibrée est donc de paramètres :{µ = −σ2

2σ2

La question revient à trouver σ2. C'est à ce niveau qu'intervient la VaR(99.9%). Pardé�nition,

V aR(99.9%) = F−1(0.001)

86

ANNEXES

où :

F−1(0.001) est le quantile d'ordre 0.001 d'une loi log normale de paramètre µ et σ2. Cequantile dépend de σ. Il su�t alors de chercher le σ qui annule la fonction F−1(0.001)− 1

0.15 .Une fois cette valeur trouvée, les deux paramètres µ et σ2 de la loi-lognormale sont alorsparfaitement connus. On trouve : {

σ2 = 0.5509µ = −0.27545

On en déduit alors la caractérisation d'un sinistre :{E(X) = 1V(X) = 0.3545

87

ANNEXES

Annexe 2 : Comment déterminer la loi suivie par la somme devariables aléatoires log-normales ?

Soit S la variable aléatoire qui représente la somme des sinistres.

S =M∑k=1

Lk

Il s'agit alors de la somme de variables aléatoires i.i.d de lois log-normales et Lk est telleque : {

E(Lk) = 1V(Lk) = 0.3545

Quelle est sa loi ?

Deux approximations pourraient être envisagées : une approximation par une variablealéatoire de loi gamma et une approximation par une variable aléatoire de loi log-normale.

Approximation par une loi gamma

La distribution gamma est asymétrique et peut donc servir pour approximer des distribu-tions asymétriques telles que celle d'une loi log-normale. Soit Λ ↪→ Gamma(k, θ). L'idée estd'égaliser les moments de Λ avec ceux de S.

On a : E(Λ) = kθ

E(Λ) = E(M∑k=1

Lk) ⇐⇒ kθ = E(M∑k=1

Lk)

⇐⇒ kθ = M

⇐⇒ k =M

θ

De même, V(Λ) = kθ2

V(Λ) = V(M∑k=1

Lk) ⇐⇒ kθ2 =M∑k=1

V(Lk) car Lk indépendantes

⇐⇒ kθ2 = V(Lk)M

⇐⇒ k =V(Lk)M

θ2

La résolution de ces deux équations donne :

{k = 1/V(Lk)θ = M/V(Lk)

88

ANNEXES

Approximation par une loi log-normale

On a montré précédemment que la variance de chacun des sinistre était inférieure à 1.En se référant à la nomenclature utilisée par Joshua Lam et Tho Le-Ngoc 5, cette distributionfait partie des distributions log-normales à queues modérément larges. En utilisant la méthodede Wilkinson et Schwartz-Yeh, cette approximation S par une loi log-normale est donc justi�ée.

Soit L ↪→ LN(µ, σ). La moyenne et la variance de S sont obtenus en égalisant les deuxpremiers moments de la distribution de L avec ceux de S.

On a : E(L) = exp(µ+ σ2

2 )

E(L) = E(M∑k=1

Lk) ⇐⇒ exp(µ+σ2

2) = E(

M∑k=1

Lk)

⇐⇒ exp(µ+σ2

2) =

M∑k=1

E(Lk) or E(Lk) = 1

⇐⇒ exp(µ+σ2

2) = M

⇐⇒ µ+σ2

2= ln(M)

⇐⇒ µ = ln(M)− σ2

2

De même, V(L) = (exp(σ2)− 1) exp(2µ+ σ2)

V(L) = V(M∑k=1

Lk) ⇐⇒ (exp(σ2)− 1) exp(2µ+ σ2) = V(M∑k=1

Lk)

⇐⇒ (exp(σ2)− 1) exp(2µ+ σ2) =M∑k=1

V(Lk) car Lk indépendantes

⇐⇒ (exp(σ2)− 1) exp(2µ+ σ2) = V(Lk)M

D'où on en déduit σ.

5. Joshua Lam et Tho Le-Ngoc in Xiu Lie "A novel accurate approximation method of lognormal sumrandom variables"

89

ANNEXES

Figure 3.29 � Approximation de la somme des variables aléatoires de loi log-normales.

On s'aperçoit sur ce graphique que la distribution gamma peut être insu�sante pour obte-nir une bonne modélisation de certaines parties de la queue de distribution. La loi log-normalesemble plus "sévère" sur la queue droite de la distribution car elle a une queue plus épaisse(vision plus conservatrice). Nous choisirons donc l'approximation par une loi log-normale. Deplus, le test de Kolmogorov-Smirnov con�rme l'adéquation des données à cette loi.

D'autre part par construction, il apparaît que la V aR99.5%(SN ) est une fonction du nombrede contrats N(P,CP ). A ce niveau encore deux approximations ont été testées : une approxi-mation a�ne et une approximation par une fonction puissance.

1. Approximation a�neOn peut donc écrire que :

V aR99.5%(SN ) = aN(P,CP ) + b

Que vaut a et b ?

Les paramètres a et b ont été obtenus en choisissant deux points de la distribution pré-cédente et en résolvant le système d'équation qui en dérive.

2. Approximation puissanceOn a posé :

V aR99.5%(SN ) = aN(P,CP )b + c

90

ANNEXES

Ici, les paramètres a, b et c ont été trouvés en utilisant une méthode d'optimisationbasée sur l'algorithme de Nelder-Mead. 6

Figure 3.30 � Approximation du quantile à 99.5% de la distribution de la somme des sinistres.

Au regard de ce graphique, l'approximation par une fonction puissance semble plusadéquate. Cependant, par mesure de simpli�cation étant entendu que l'approximationpar la fonction puissance fait appel à des méthodes de résolution numériques complexes,nous retiendrons l'approximation linéaire. L'équation est retenue est :

V aR99.5%(N∑k=1

Lk) = 3.725946 ∗N(P,CP ) + 1.216884

.

Ces deux approximations amènent à écrire la fonction qui donne le nombre de contratspouvant être souscrit par un réassureur comme suit :

N(P,CP ) = (1.21688− CP/(P − 3.7259))

6. La méthode de Nelder-Mead est un algorithme d'optimisation non-linéaire. Elle est publiée par Nelder etMead en 1965. C'est une méthode numérique qui minimise une fonction dans un espace à plusieurs dimensions

91

ANNEXES

Annexe 3 : Tests d'endogénéité, d'hétéroscédasticité et de corré-lation des résidus

Tests d'endogénéité

Nous ne présenterons que les résultats de l'étape 2 du test de Hausman qui permet dedécider si la variable explicative est endogène.

Marché français

Figure 3.31 � Tests d'endogénéité sur les régressions e�ectuées pour le marché français destempêtes.

92

ANNEXES

Marché mondial

Figure 3.32 � Tests d'endogénéité sur les régressions e�ectuées pour le marché mondial de laréassurance.

93

ANNEXES

Tests d'hétéroscédasticité

Marché mondial

Modèles retenus Statistiquede Fisher

P-value

Décision

RATE=f(taux de pénétration, sinistralité, CatNat, revenus�nanciers)

3.958 0.1235 Homoscédastique

RATE=f(taux de pénétration, CatNat, revenus �nanciers) 0.03123 0.999 HomoscédastiqueRATE=f(taux de pénétration, sinistralité, revenus �nan-ciers)

0.5858 0.7359 Homoscédastique

RATE=f(taux de pénétration, sinistralité, CatNat) 0.1584 0.701 HomoscédastiqueRATE=f(taux de pénétration, CatNat) 0.1101 0.951 HomoscédastiqueRATE=f(taux de pénétration, revenus �nanciers) 0.0619 0.978 HomoscédastiqueRATE=f(taux de pénétration, sinistralité) 1.821 0.2436 HomoscédastiqueRATE=f(CatNat, sinistralité, revenus �nanciers) 0.7851 0.6349 HomoscédastiqueRATE=f(revenus �nanciers , sinistralité) 0.4388 0.7336 HomoscédastiqueRATE=f(revenus �nanciers , CatNat) 0.5751 0.6521 HomoscédastiqueRATE=f(taux de pénétration) 9.991e-06 0.9976 HomoscédastiqueRATE=f(sinistralité) 0.9475 0.4749 HomoscédastiqueRATE=f(CatNat) 0.5532 0.4783 HomoscédastiqueRATE=f(revenus �nanciers) 0.0572 0.817 Homoscédastique

Marché français

Modèle Statistique de Fisher P-value DécisionROL=f(sinistralité) 0,006323 0,9378 HomoscédastiqueROL=f(taux de pénétration) 0,01535 0,9033 HomoscédastiqueROL=f(taux de pénétration, sinistralité) 0,01501 0,9973 HomoscédastiqueROL=f(revenus �nanciers) 3,69 0,07695 HomoscédastiqueROL=f(revenus �nanciers, sinistralité) 0,9296 0,4588 Homoscédastique

94

ANNEXES

Tests d'autocorrélation des résidus

Marché mondial

Figure 3.33 � Résidus de la régres-sion RATE par sinistralité.

Figure 3.34 � Résidus de la régres-sion RATE par taux de pénétration.

Figure 3.35 � Résidus de la régres-sion RATE par taux de pénétrationet catastrophes naturelles.

Figure 3.36 � Résidus de la régres-sion RATE par taux de pénétration,catastrophes naturelles et revenus �-nanciers.

Figure 3.37 � Résidus de la régres-sion RATE par taux de pénétrationet revenus �nanciers.

Figure 3.38 � Résidus de la régres-sion RATE par taux de pénétration,sinistralité et revenus �nanciers.

95

ANNEXES

Figure 3.39 � Résidus de la régres-sion RATE par taux de pénétration,sinistralité et catastrophes naturelles.

Figure 3.40 � Résidus de la régres-sion RATE par taux de pénétrationet sinistralité.

Figure 3.41 � Résidus de la régres-sion RATE par revenus �nanciers, ca-tastrophes naturelles et sinistralité.

Figure 3.42 � Résidus de la régres-sion RATE par revenus �nanciers etsinistralité.

Figure 3.43 � Résidus de la régres-sion RATE par revenus �nanciers etcatastrophes naturelles.

Figure 3.44 � Résidus de la régres-sion RATE par catastrophes natu-relles.

96

ANNEXES

Figure 3.45 � Résidus de la régres-sion RATE par revenus �nanciers.

97

ANNEXES

Marché français

Figure 3.46 � Résidus de la régres-sion ROL par sinistralité.

Figure 3.47 � Résidus de la régres-sion ROL par taux de pénétration.

Figure 3.48 � Résidus de la régres-sion ROL par taux de pénétration etsinistralité.

Figure 3.49 � Résidus de la régres-sion ROL par taux de pénétration etrevenus �nanciers.

98

ANNEXES

Tests de normalité des résidus : droite d'Henry

Marché mondial

Figure 3.50 � Résidus de la régres-sion RATE par sinistralité.

Figure 3.51 � Résidus de la régres-sion RATE par taux de pénétration.

Figure 3.52 � Résidus de la régres-sion RATE par taux de pénétrationet catastrophes naturelles.

Figure 3.53 � Résidus de la régres-sion RATE par taux de pénétration,catastrophes naturelles et revenus �-nanciers.

Figure 3.54 � Résidus de la régres-sion RATE par taux de pénétrationet revenus �nanciers.

Figure 3.55 � Résidus de la régres-sion RATE par taux de pénétration,sinistralité et revenus �nanciers.

99

ANNEXES

Figure 3.56 � Résidus de la régres-sion RATE par taux de pénétration,sinistralité et catastrophes naturelles.

Figure 3.57 � Résidus de la régres-sion RATE par taux de pénétrationet sinistralité.

Figure 3.58 � Résidus de la régres-sion RATE par revenus �nanciers, ca-tastrophes naturelles et sinistralité.

Figure 3.59 � Résidus de la régres-sion RATE par revenus �nanciers etsinistralité.

Figure 3.60 � Résidus de la régres-sion RATE par revenus �nanciers etcatastrophes naturelles.

Figure 3.61 � Résidus de la régres-sion RATE par catastrophes natu-relles.

100

ANNEXES

Figure 3.62 � Résidus de la régres-sion RATE par revenus �nanciers.

Marché français

Figure 3.63 � Résidus de la régres-sion ROL par sinistralité.

Figure 3.64 � Résidus de la régres-sion ROL par taux de pénétration.

Figure 3.65 � Résidus de la régres-sion ROL par taux de pénétration etsinistralité.

101

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Documents

Etude des cycles de réassurance - ressources-actuarielles.net