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i~TUDE DES SIGNAUX NON STATIONNAIRES PAR LA REPRI~,SENTATION EN TEMPS ET EN FRI~QUENCE

par

Jean-Louis LACOUME et Wlodzimierz K O F M A N Professeur * Doc teu r - lng6n ieu r *

RI~SUM]~. - - Les signaux rdels sont toujours pratiquemenl limitds, d la lois en temps et en bande passante. Cetle situation rdelle esl paradoxale pour le lhdoricien. Les auteurs montrent d'abord comment on peut, en admettant une certaine approximation, ddcrire cetle situation physique. Cela conduit d d~finir des classes de signaux limitds en temps et en frdquence. Ils dtudienl ces classes de signaux (ensemble CBT) et montrenl qu'elles sonl, en un certain sens, de dimension limilde. Tout signal appartenant d CBT peut doric ~tre projeld sur une base finie el la projection reproduit approximatioement le signal. Suivant la procddure de Gabor, les auleurs chcrchent alors des bases particuli~res donl les vecleurs onl une dnergie localis6e. A parlir de ces bases, nous accddons

une nouoelle ddfinition de la reprdsentation en temps et en frdquence. Ceci nous permet de gdndraliser les ensembles CBT d des familles de signaux occupant un domaine quelconque D de l'espace du temps el de la frdquence. Pour ces familles de signaux, ils ddfinissent la dimension approximative, dludient des exemples classiques el enfin, enoisagent les probl~mes de caractdrisation el de mesure. Les considerations prdcddentes sont ensuite dtendues aux fonctions aldaloires. Ceci permet de ddfinir pour les fonclions aldaloires non station- naires une notion de coh6rence g6n6ralis6e el d'indiquer les mdthodes de mesure de celte cohdrence. Les rdsullats obtenus sonl ensuite appliquds d l'dlude de la structure de dispositifs oplimaux de ddteclion ou d'esli-

mation en utilisanl comme support de l'information les signaux ddfinis prdcddemmenl.

PLAN. - - Notations. �9 1 : I n t roduc t ion . �9 2 : D ~ i n i t i o n des ensembles CB'r. Notion de d imension approximtrtioe 2.1. Ddfinition des ensembles (~wr; 2.2. Quelques exemples ; 2.3. Dimension approximatioe de l'ensemble CBT �9 �9 3 : Representat ion en t e m p s et en fr~quence des s ignaux appartenant d C~T 3.1. Ddfinilions. Rdsullat pr~liminaire ; 3.2. Reprdsentation d'un signal de CBT par une somme de composantes localisdes. �9 4 : Relation avec la dis tr ibut ion de densitd d'dnergie complexe darts le domaine du t e m p s e t de la fr~quence. �9 5 : Applicat ion uux prob ldmes d'analyse des s ignaux. �9 6 : Appl i - cation d la synthdse des s ignaux et poss ibi l i tds d'extension. �9 7 : Conclusion. �9 Annexes

�9 Bibliographie (8 r6f.).

N O T A T I O N S

12(O0)

Ix> PA, B

~-A,B

(~)B

TA

< X[ Y > : p rodu i t scalaire ( = \

: ensemble des s ignaux d '6nergie finie,

: signal a p p a r t e n a n t h 12(~),

: opdra teur por te centr6 en A de dur6e B,

: op6ra teur filtre par fa i t de fr6quence cen- t ra le A et de largeur de bande B,

: op6ra teur t r ans la t ion de fr6quence de B,

: op6ra teur t r ans la t ion (le t emps de A,

~ i ~176 x * ( l ) y ( t ) ( t t ) .

I. I N T B O D U C T I O N

Les s ignaux non s ta t ionnai res sont caract6ris6s au second ordre pa r des fonctions d @ e n d a n t de deux var iables . Ces deux var iables peuven t ~tre deux var iables temporel les , deux var iables fr6quentielles ou une var iable t emps et une var iable fr~quence.

Cette derni6re pr6senta t ion condui t h des repr6sen- ta t ions en t emps et en fr6quence qui sont h notre avis les repr6senta t ions les plus significatives au n iveau de l ' in te rprd ta t ion . Ce type de repr6senta t ion a 6t6 pr6sent6 pa r Rihazek [1] et nous prendrons le forma- lisme de Rihazek comme r6f6rence des repr6senta t ions en temps et en fr6quence continues. La d is t r ibut ion de densit6 d '6nergie complexe dans le domaine du t emps et de la fr6quence r f) d~finie par Rihazek est la l imite de l 'dnergie d ' in te rac t ion entre le signal filtr6 et t ronqu6 lorsque la bande passante du filtre et la dur6e de la por te t enden t vers zdro. Si Zx(t) est la reprdsen- t a t ion temporel le du signal ana ly t ique [Zx > associ6 au signal, Ix > et Zx(V) sa repr6sentat ion frdquentielle :

( t ) ~( t , f ) = )~x(t) . Z*(V ) O -21~vt

Cette caract6r isa t ion des s ignaux condui t cepen- dan t h des difficult~s au niveau de la mesure. En effet, la proc6dure d ' ob t en t ion de z(t, f) n 'es t pas r~alisable phys iquement et la seule grandeur accessible pra t i - quement est la double convolut ion de r f) avec une fonction d ' appare i l qui ne peut ~tre un double de Dirac.

Une approche diff6rente est adopt6e par Gabor [2]

* Au Centre d ' E t u d e s des Ph6nom~nes Al6atoires et Gdophys iques ( INPG) Grenoble.

1 /8 A. T~LUC., 30, n ~ 7-8, 1975

232 J . - L . L A C O U M E . -- S I G N A U X N O N S T A T I O N N A I R E S P A R R E P R 1 5 . S E N T A T r O N T E M P S E T F R ] ~ Q U E N C E

et reprise par Lerner [6]. Les auteurs ne cherchent pas une caractdrisation continue, associde h une fonc-

t ion des deux variables t et f, mais une repr6sentat ion

discrete associ6e h une division de l 'espace du temps et de la fr6quenee en cellules 616mentaires. Cette approche conduit h une repr6sentat ion des signaux par une double infinit6 ddnombrable de coefficients qui sent

les composantes du signal 6tudi6 sur les vecteurs de base associ6s h chaque cellule. Une telle reprdsen- ta t ion, limit6e en temps et en fr6quence, est accessible par des dispositifs physiques. Le probl~me fonda- menta l est celui de la compl6tion de l 'ensemble de

veeteurs de base ainsi engendr6. En d 'autres termes, il n 'est pas 6vident que tou t signal soit correctement approch6 par une telle repr6sentat ion et il est n6ces-

saire de d6finir la prdcision de l 'approximat ion. Ce probl6me a 6t6 trai t6 par Lerner et l 'a conduit h d6montrer que des ensembles assez g6ndraux de vec- teurs de base, form6s par t rans la t ion en temps et en fr6quence, d 'un motif de rdf6rence sent complets.

Nous pr6sentons ici une approche du probl6me de la repr6sentat ion en temps et en frdquence semblable h la m6thode utilis6e par Lerner (qui est une gdn6ralisation des r6sultats de Gabor) et nous nous at tachons h

pr6ciser les condit ions quant i ta t ives de la validit6

de notre approximat ion, en relation avec la s t ructure

de l 'ensemble des s ignaux 6tudi6s.

Pour ce faire, nous serons amen6s h restreindre

l 'ensemble des s ignaux [L2(T)] h un sous-ensemble

(nomm6 CBT) de s ignaux essentiellement limitds en

temps et en fr6quence. Cette d6finition et la repr6sen-

ta t ion propos6e s ' appuien t sur les t r avaux de Landau-

Pollak-Slepian [3, 4, 5]. Nous utiliserons comme outil

de t ravai l les fonctions sphdroidales aplaties d6finies

et 6tudi6es par ces auteurs et den t nous rappelons

les propri6t6s essentielles (Annexe 1). Les fonetions

sph6roidales aplaties rdalisent la meilleure concen-

t ra t ion simultan6e d'6nergie en temps et en fr6quence ;

e'est pourquoi nous les utiliserons. Nous rappellerons

ensnite la not ion de dimension approximat ive de

l 'ensemble ~BT et nous 6tablirons l 'existence et les

propri6t6s d 'une repr6sentat ion diser6te finie. La reprdsentat ion propos6e utilisera comme veeteurs de base des fonctions sphdroidales aplaties r@art ies dans l 'espace du temps et de la frdquenee sur des eellules analogues aux eellules de Gabor.

Les composantes du signal 6tudi6 sur cette base localisde const i tueront notre repr6sentation. Nous rapprocherons ensuite ee type de repr6sentat ion de la earactdrisation de Rihazek. Enfin, nous montrerons

comment la proe6dure que nous proposons permet

d '~tendre h des ensembles plus g6n6raux de signaux la not ion de dimension approximative. Nous mon-

trerons comment ces not ions jouent un r61e fonda- menta l dans l 'analyse et la synth6se des signaux et nous indiquerons quelques applications possibles. Enfin, nous 6voquerons la possibilit6 d 'extension de eette repr6sentat ion h des ensembles de signaux al6a-

toires et les applications envisag6es.

2. D I ~ F I N I T I O N D E S E N S E M B L E S CBr. NOTION DE D I M E N S I O N APPROXIMATIVE

2.1. D6finition des ensembles ~BT.

L'ensemble ~BT est l 'ensemble des signaux de l~(oo) dent l '6nergie est approx imat ivement localis6e dans la bande - - B]2, + B]2 et dans le temps - - T]2, + 7"]2 (Fig. 1). Pr6cis6ment nous dirons que :

[Y > ~ B T ,

si < Y[Po, T IY > = < YI Y > (1- -~2) ,

< rl -o,.I y > = < r l r > (1 - - ~2).

- T ! 2 _ _

B

B

.~T

T/2

FIG. 1. - - Domaine BT de l'espace en temps et en fr~quence.

Notons que P e t ~- dtant des projecteurs :

< rlpo, l r > = < zlz > I z > = po. lx > ,

< rl 0,.I r > = < xIx > I X > = 0,.I Y >

I1 est impor tan t de remarquer que tousles signaux physiques appar t i ennen t h uu ensemble ~ n T . Seules

des reprdsentations mathdmat iques ne remplissent pas les conditions impos6es pour un B et un T

quelconques.

Formel lement la d6finition posde ddpend 6galement du degr6 d 'approximat ion d6sir6 par le biais de r et ~q

qui seront pris petits.

2.2. Quelques exemplos.

2.2.1. Impulsion de Dirac.

]3 > , repr6sentat ion temporelle ~(t), n ' appa r t i en t

pas h CBT. En effet, V B :

< r[Yo,~[ r > - - 0 .

< Y [ Y >

2.2.2. Signal porte.

Soit IP > dent la repr6sentat ion temporelle est :

IJTo(t ). Prenons T = T O .

Calculons B :

A. T~LEC., 30, n ~ 7-8, 1975 ' ~ / 8

J . - L . L A C O U M E . S I G N A U X N O N S T A T I O N N A I R E S P A R R E P R I ~ S E N T A T I O N T E M P S E T F R I ~ Q U E N C E 233

1 - -

< Y[Po,T[Y > = < V l V > ,

< YIY > = \ rcvT / d r ,

~q~ = 0,05 B 2 / T O ,

v]2= 0,02 B = 5/To, (Fig. 2).

. . . . ._std_xo._ I

2

FIG. 2. --- Domaine BT du _ _ , ~2 = 0,05, r = 0,

~ - 2 = 0 , 0 1 , ~ ~ 0.

b t

T 2

signal porte.

2.2.3. Signal porte en frdquence.

eas dua l du pr6c6dent (Fig. 3).

[ . . . . . ,

I I i i I I

- 5 / 2 B Jl - 1/8 g

I I I

B /2

i . . . .

8 / 2

. . . . I I I I I , . t I I

I I

off I~' l > est le s ignal fone t ion sphdroidale associ6e

h ~ B T ;

est le p r e m i e r en t i e r inf6r ieur h BT.

Le r6su l ta t rappe ld ici donne un sens fi l ' exp res -

sion selon laque l le la d imens ion a p p r o x i m a t i v e de

l ' e n s e m b l e ~BT est BT. Ce r6su l ta t est inscr i t dans

un cadre b ien prdcis et on p e u t soul igner qu ' i l est

ut i l is6 f r 6 q u e m m e n t en i n v o q u a n t le th6or6me de

S h a n n o n pour des s ignaux de dur~e l imi t6e (ce qu i

est 6 v i d e m m e n t a p p r o x i m a t i f , ca r ce t h 6 o r 6 m e ne

leur est pas appl icable) . L ' e x i s t e n c e d ' u n e dimension approximative de CBT signifie q u ' u n s ignal de CBT p e u t 6tre caract6r is6 (5_ une ce r ta ine a p p r o x i m a t i o n )

pa r la donn6e de n eoeffmients. On p e u t donc

consid4rer lea s i gnaux de CBT c o m m e des s ignaux h

n degr6s de l ibert6. Ce t te propr i6 t6 eat i m p o r t a n t e

p o u r :

- - l ' a n a l y s e des s ignaux de CBT : la donn6e de

n mesures sur un s ignal le carac t6r ise c o m p l 6 t e m e n t

( a p p r o x i m a t i v e m e n t ) ;

- - la synth6se des s ignaux : un signal de CBT p e u t

8tre a p p r o x i m a t i v e m e n t synth6t i s6 pa r la s o m m e de

n s ignaux 614mentaires composan t s .

Nous d isposons done d ' u n ensemble de s i gnaux

d o n t nous savons qu ' i l a, en un ce r t a in sens, une

d imens ion a p p r o x i m a t i v e finie. P o u r ob ten i r de cet

ensemble de s ignaux une r e p r 6 s e n t a t i o n en t e m p s e t

en f r6quenee discr6te finie, nous al lons cons t ru i r e un

d6coupage des s ignaux de cet ensemble d o n t lea

par t ies seront , en un ce r t a in sens, localis6es.

3 . B E P B ~ S E N T A T I O N E N T E M P S E T E N F F t ~ . Q U E N C E

D E S S I G N A U X A P P A F t T E N A N T A C~T

FIG. 3. - - Domaine 13T du signal porte - - ~ = 0, 82 ~ 0,05,

- -q = O, a ~ = 0,01.

de fr6quence.

2 . 3 . D i m e n s i o n a p p r o x i m a t i v e d e l ' e n s e m b l e

~BT �9

Cet te no t ion f o n d a m e n t a l e eat 6tabl ie p a r L a n d a u -

Po l l ack -S lep ian [5]. La f o r m u l a t i o n eat e m p r u n t 6 e h

F r a n k s [1]. R a p p e l o n s leurs p r i n c i p a u x r6sul ta ts .

Soit un ensemble CBT. A cet ensemble on associe

une base par t i cu l i6 re f o r m @ des fone t ions sph6roi-

dales ap la t ies d o n t nous r appe lons en a n n e x e lea

pr inc ipa les propri6t6s ( A n n e x e 1).

I r > e e , ~ < VlPo, T I v > = < Y l Y > ( 1 - s ~ . ) ,

< r i c o , . [ v > . - < y] v > Alors

n-- I

[I I v > - z ,lv, > [['-< 112( + P = 0

3 . 1 . D b f i n i t i o n s . R 6 s u l t a t p r b l i m i n a i r e .

ik Soit DaB~, T l e d o m a i n e de l ' e space du t e m p s et de

la f r6quence cent r6 au po in t :

t o = iAT ,

fo = k A B

et d ' e x t e n s i o n en t e m p s et en f r6quence A T , AB.

Posons :

T - - 2 i 1 A T , i 1 : ent ier ,

B = 2 k l A B , k 1 : ent ier .

Le d o m a i n e BT eat r e e o u v e r t p a r 4 i 1 k 1 d o m a i n e s

616mentaires ~'aBaT. ik Au d o m a i n e DaBaT on p e u t assoeier des fonc t ions

sph6roidales , on p e u t vo i r a i s6ment (ef. Annexes ) que

lea fonc t ions :

(off : I W ~ ~ sont les s ignaux sph4roXdaux associ6s

3/8 A. TlkLEC., 30, n ~ 7-8 , 1 9 7 5

234 J . - L . L A C O U M E . -- S I G N A U X N O N S T A T I O N N A I R E S P A R R E P R ] ~ S E N T A T I O N T E M P S E T F R I ~ Q U E N C E

au d o m a i n e DABATO~ : cas e lass ique de d~f in i t ion des fonc t ions sphdroidales) o n t les m8mes propridtds que

les fonc t ions sphdroidales .

3.2. Repr6sentation d'un signal de eBb. par une somme de composantes localisdes.

S o i t : [g > E ~ B T ,

PI~T,aT : l ' op~ra t eu r po r t e eent rd h i A T de lon- gueur A T ;

~-kAB, Z~B : l ' o p 6 r a t e u r filtre cent r6 fi k A B et de l a rgeur AB.

l ~ > = a ~ ' , ~ ' l ~ > "

Nous p o u v o n s d6ve lopper [g~ > sur la base des

fonct ion8 8phdroidales associ6e8 au d o ma i n e D~BAT

(Off i est que lconque) ; ~o

0

off:

qm- tFi* g ~ < , g k > = < , > �9

Soit

co

"r O~i,~ PiAT, aT[qZf~ * > [ Y~k > = ~ z z o

On a : ~o

A1 ~ l ' 0

[1~ II ~= ~2 I~i~l ~. o

E n effet : I,TJ'Z k Fu_Jq k

IzPik[ p I i,

kz v a l e u r p ropre associde h la fonc t ion sphdro~dale

(cf. Annexe) . E n f i n 8oit :

/z--1 " , p , ~ r , ~ . [ ~ [ ~ > ,

o

et

II~,~11 ~ ~ 14q ~ ~

Comme le8 va leu r s propres des fonc t ions sphdroi- dales s o r t rang~es dans u n ordre ddcroissant :

co

0

Posons : + i l +1r

--i I --k 1

+ i l + ki

- - i 1 --k 1

t~ > est la som m e des r ep re sen t a t i ons comple tes des

dldments lg~k > ,

[~ > est la somme des r ep rdsen ta t ions t ronqudes de

ces dldments [g,z > .

+ i l + k l

-- i I --k 1

]~ > peu t ~tre considdrde c o m m e une r ep rdsen t a t i on de ]~ > h un cer ta in degrd d ' a p p r o x i m a t i o n prdcisd

pa r la formule prdcddente . Rel ions pou r t e r m i n e r [9 > et Ig > '

l~l > = Po, T ~-O,B I Y >

par sui te de la l indar i td des opdra teurs por te et filtre. Nous m o n t r o n s en a n n e x e A-2 q u e :

Ig > ~ CBT avec

< g[ Po,~IY > : < [/[ff > (1 - - e2),

< V l Y o . [ y > = < v l y > ( 1 - ~ ) ,

e n t r a i n e que I[~ - y[I ~ -< (~0 + ~) < ~l~ >

d 'oh le r6su l ta t final :

(4) I] g - - "~l[ ~< {~/V + "1} ~ + 4 i, kt kl[2i]lgl[

off

]g > est le s ignal dtudid (e CBT),

Ig > est la r ep rdsen t a t i on diser6te finie de Ig >

ddfinie par :

+ i l +1','1

--i I --k i

[i--I

0

Exemp le numdrique. A B A T = 2]~ = 0,637.

k o = 0,57,

k 1 = 6,3.10 -2 ,

;% = 1,2.10 -a,

h a = 9.10 -e,

k 4 = 3.10 -8.

L 'u sage de 3 coefficients pa r cellule donne , en fonc- t ion du B T to ta l du s ignal (6gal ~ 4 ilk1), une approx i -

m a t i o n de :

4 i I k i ~ = 3.10 -3 ( B T ) .

On voi t sur cet exemple l ' in td r~ t des fone t ions

sphdroidale8 (dderoissance rap ide des va leurs propre8).

On vol t dga lemen t l ' a cc ro i s semen t re la t i f de la com- plexi td de la r eprdsen ta t ion , lid h son caractdre localisd (par r a p p o r t h une ea rac td r i sa t ion globale) : p o u r une r ep rdsen t a t i on globale, le h o m b r e des coefficients est N I = TB. D a n s no t r e cas, il est de:

B T 37z N z = 3 A B A T -- 2 B T ~-~ 4 , 6 B T .

A. TELEC., 30, n o* 7-8, 1975 4/8

J . - L . L A C O U M E . S I G N A U X N O N S T A T I O N N A I R E S P A R R E P R I ~ S E N T A T I O N T E M P S E T F R I ~ Q U E N C E 235

Nous avons donc obtenu le rdsultat s u i v a n t ; le

signal :

+ i I k I 11 1

I~ > = Z~ Z~ Z, <" p ~ , ~ l ~ ~ > , --i t Ir 1 0

obtenu en t ronquan t la repr4sentat ion sur la base

des fonctions sphdroidales des 614ments:

lyik > = P l A T , A T ~-kAB,AB t Y >

est une approximat ion du signal [y > a p p a r t e n a n t h

(~BT. Les qualitds de l ' approx imat ion sont prdcisdes

par (4). Nous appellerons repr&entation en temps el en fr~quence discrete finie de ]y > l 'ensemble des coeffi-

cients ~ k . I

II faut remarquer un point impor tan t , lid au carac-

t6re irr6ductible de l 'ambiguR6 eu temps et en frd-

quence : la base sur laquelle nous avons fait notre

d6veloppement u 'est pas orthogonale. (En effet :

0

pour le m~me i e t des k diffdrents.)

Nous allons main tenan t 6tudier les relations de

eet te reprdsentat ion avee la distr ibut ion de densitd

d'dnergie complexe de R i h a z e k ; nous 6tudierons

e n s u r e la mise en oeuvre pra t ique de proeddures

d 'analyse et de synth&se des s ignaux uti l isant la

reprdsentat ion en temps et en fr4quence discrete

finie, ainsi que quelques applications ou extensions.

t~. R E L A T I O N A V E G L A D I S T R I B U T I O N D E D E N S I T Y . D ' ] ~ N E R G I E C O M P L E X E D A N S L E D O M A I N E D U T E M P S E T D E L A F B ~ . Q U E N C E

On peut mont re r (cf. Annexe 3) q u e :

/5 Ily, k[? = E(iAT, kAB) sin 7 z B ~ dv , 7"C'7

off

/ 1, A / 1 \ h 1 /-[i§ T /.(k§ n

E(iAT, kAB) = -4 f f ~l 1. ,.I ~1 1. e(t--'r,f) x [ i - - ~) AT ( k - - ~) AB

e 2r:j~(kAB-v) dl dr.

Ces formules const i tuent un r4sultat prdliminaire

qui mdrite d '6tre d6veloppd et qui donne nn sens ~ :

oo / t - - I

II,, II = y., y., 0 0

On voi t que l 'dnergie portde par l 'dldment ik de notre

reprdsentat ion est relid h la distr ibut ion de densitd

d'dnergie complexe par une sorte de double convolu-

t ion en temps et en frdquence. Ce rdsultat v ient du

fait que la base de notre representat ion n 'es t pas

or thonormale (w cf. 3), mais on peut voir que, si la

cellule 6tudide comporte plus d'dnergie, au sens de

Rihazek, que les cellules voisines, l 'dnergie associde

notre reprfisentation et l '6nergie affeetde 5 la cellule

correspondante par Rihazek sont voisines. Nous

ret iendrons le rdsultat proposd suivant : la repr4sen-

ta t ion en temps et en frdquence ici 4tudi4e et la

caract6risation de Rihazek eoncordent pour les cel-

lules compor tan t une par t impor tan te d'duergie et

peuvent diffdrer sensiblement pour les cellules ayan t

peu d'dnergie.

On peut concrdtiser ce rdsultat en no tan t que

II~ikll ~ --II I~i~ >113 < Xo II~kll 2 (1 - - I I ~ l l ~ .

Ceei prouve que la port ion d'4nergie du signal 616-

mentaire de notre reprdsentation, qui est extdrieur h

la bande passante (et d'ofl v ient l 'absence d 'or thogo-

nalit6 des vecteurs de base) est tr~s pet i te si

I ly ,kl l~--I lyk]l 2 c 'est-h-dire si l '4nergie localisde darts

la cellule i, k est importante .

5. A P P L I C A T I O N A U K P B O B L ~ . M E S D ' A N A L Y S E

D E S S I G N A U X

Selon la procddure que nous avons indiqude, le

premier point est de d4finir le domaine CBT. Prat i-

quement nous allons donc d4terminer la largeur de

bande du filtre tel q u e :

Ilso,,ly >11 ll ll (le fait de centrer ce filtre en f0 est une modif icat ion

tr iviale des rdsultats pr4c4dents).

De m~me, nous ddterminons T en t r o n q u a n t le

signal dans le domaine du temps off est concentr6 le

m a x i m u m de son dnergie

II'0, ly >]i ]l<i ( 1 - : )

Nous devons e n s u r e fixer les domaines A B A T : ils

seront fixds en fonction de nos connaissances a priori et du but poursuivi. Le probl~me a dt4 dtudi6 par

de nombreux auteurs qui donnent pour des s ignaux

d4terminds la formule optimale des cellules (8).

Le nombre de composantes darts chaque cellule est alors fix6 en fonction du produi t durde-bande to ta l

du signal dtudi4 et de l ' approximat ion ddsirde. Le

schdma du dispositif d 'analyse est alors donnd par la figure 4.

6. A P P L I C A T I O N A L A S Y N T H ~ . S E D E S S I G N A U X E T P O S S I B I L I T ~ . S D ' E X T E N S I O N

La d4composition utilis4e consiste h repr4senter un

signal complexe par une somme de signaux dldmen-

taires. I1 est doric possible, en uti l isant la proc4dure

5/8 A. Tr 30, n o* 7-8, 1 9 7 5

236 J . - L . L A C O U M E . -- S I G N A U X N O N S T A T I O N N A I R E S P A R R E P R I ~ S E N T A T I O N T E M P S E T F R I ~ Q U E N C E

a)

I~oik >

/ �9 ao ik

/ �9 al ik

I~ ~ > /

I ~ik

, y ~ Translation, ~ d e k/~B ~ B

b'

PLAT, AT

I~o~O >

~o i,O >

-L ~t ik

Fro. 4. - - a) Seh6ma du dispositif d'analyse proposal, b) Schdma ~quivalent.

que nous avons d6finie, de synthdtiser des s ignaux h par t i r de leurs propridtds en temps et en fr6quence.

Indiquons en t e r m i n a n t les extensions pr6visibles des r6sultats que nous avons pr6sentds ici. Un premier ddveloppement consiste h se lib6rer de la eontrainte imposde par la forme du domaine global occup6 par

le signal darts l 'espace du temps et de la fr6quence. Darts un ensemble CBT de signaux, il est possible de d6finir des sous-ensembles de signaux occupant une patt ie, non obl igatoirement rectangulaire, du domaine B T . Si l 'on 6tudie, par exemple, des signaux dont toute l '6nergie est concentr6e sur la diagonale du rectangle de ddfinition initial, on peut associer h ces signaux le domaine D ' , form6 par l ' un ion des cellules centrdes sur la diagonale du domaine D. Pour ee sous-ensemble de signaux, la dimension approximat ive n 'es t plus

proport ionnelle h B T , mais h ~ / B T . Cette fa~on de

voir les choses nous montre que l 'ensemble de signaux ainsi d~fini (que nous appellerons CD,) poss~de ~/BT- degrds de libert6 approximatifs . Darts cette classe de signaux se t rouven t les s ignaux FM cohdrents (de dimension 1) et ~/)3T - - 1 s ignaux approx imat ivement or thogonaux aux pr6c~dents. Cet exemple nous donne

une id6e :

- - d u nombre de mesures ind6pendantes ndces-

saires pour caract6riser les s ignaux de CD, (famille d6finie par un spectre ins tan tan6 classique) ;

- - de la qualit6 d ' in format ion que peuven t v6hiculer

ces signaux.

I1 est 6galement possible d '6tendre les r6sultats

pr6cddents aux s ignaux al6atoires non stat ionnaires. A priori on peut penser que la proc6dure pr6cit6e, appliqu6e h ces signaux, conduira h les caractdriser par une s6rie finie de variables al6atoires (les coeffi- cients ~k) et que leur 6tude complete au second ordre se ram~nera h l '6tude au second ordre de ces

variables al6atoires. Les liens statist iques entre ces variables aldatoires

nous conduiront h une not ion de coh6rence g6n6ra- lisle. En reprenant l 'exemple des s ignaux CD,, on peut les imaginer comme form,s de sinusoides t ron-

qu6es 616mentaires, dont les phases respectives pr6- sentent des liens stat ist iques caractdristiques de la coh6rence du signal consid6r6.

7. C O N C L U S I O N

Nous avons prdsent6 dans cette 6tude le point de vue de l ' exp6r imenta teur qui, dans toute hypoth~se, doit se contenter pour caract6riser ou synth6tiser les s ignaux d 'un hombre fini de mesures. Nous avons rappel6 comment ce caract~re limit6 de l 'expdrimen- ta t ion peut ~tre utilis~ et dvalu6 de mani~re quant i - tat ive.

En ut i l isant les propri6tds des fonctions sph6roi- dales, nous avons d6fini des condit ions pe rme t t an t d'accdder h une repr6sentat ion (temps, fr6quence) dis-

cr~te et finie. Ceci nous a conduits h la ddfinition des

ensembles CBT de siguaux qui cons t i tuen t un ensemble suffisant pour recouvrir t o u s l e s cas pratiques. Cette formulat ion du probl6me nous a permis d 'dtablir les possibilit6s d 'appl icat ion et d 'dvaluer les limites de

la reprdsentat ion proposde.

M a n u s c r i t re fu le 3 mars 1975.

A N N E X E S

Annexe 1. Propri6t~s des fonctions sph6- roidales.

D~finition Les fonctions sph6ro~dales apiaries associ6es au domaine

CBT sont les fonetions propres de l'op6rateur porte- filtre :

~F~ fonction sph~ro~dale si :

(A1-1) ~o,B Po,~rvz> = ~l~r~ > ,

;(~ : valeur propre associde.

Propri~t~s 1. Les fonctions forment une base orthonorm6e complete

sur L2(B).

2. Les valeurs propres assocides dderoissent trSs vite au-delh de l'iadice correspondant au premier entier sup6- rieur h B T (Fig. A-l).

3. Soit IZt > : Po,Tlqel ~ le signal tronqu6 associ6 ~t la fonction sph6roidale.

I Zz > est fonction propre de l'opdrateur Po, T 97o, B (filtre suivi d'une porte). Cela r6sulte de Al- I multipli6

gauche par Po, T :

Po,T :~o,B]XI ~ -- ~llZl ~ �9

A. TI~LEC., 30, n ~ 7-8, 1975 6 / 8

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1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

Xn

%1

\

,o'~

I

I I i

C [ l BT

2

\ \ C 2

\

\ k

k

I I I I I

I i I

I I I

I I

ii i

-.-,-~---.,.

C 25

'1

I

I

'1

I

I

| I t ! . . . . .

. . . . . . . . ~ n

10 15 20 2 3 4 5

FIG. A-1. - - Valeurs propres associees aux fonct ions sph~roi- dales (d'apr~s Franks, signal theory) .

Les signaux tronquds I• > forment une base ortho- gonale sur L2(T). La norme au cart6 de Ixz > est :

<~ll~m>-- <%lPo,Tl~'~>-- <'r'glo,BPo,Tl'rm> XZ~Zm. x~ est l'dnergie de la fonction I~'~ > dans la porte Po,T.

4. Les propridtds pr6c6dentes montrent q u e : - - l a fonction sphdroidale d'ordre 0 est, parmi les

fonctions /t bande passante limit6e, la fonction qui pos- s6de la plus grande fraction de son dnergie dans la porte Po,T (cette fraction d'dnergie est Xo);

- - la fonction sph6roidale tronqu6e est, parmi les fonc- tions de durde limit6e, la fonction qui a le plus d'dnergie dans le filtre ffo, B .

Ceci peut se voir rapideinent en uti l isant l 'in6galit6 de Schwartz. Soi t :

iF > P l y >

< v i r > < I lv l l I1~11 ; l'6galitd a l ieu p o u r :

I r > - pl q ' > - xlu" > (ceci est l '6quation de d~fi- nition des fonctions sphdroidales).

A n n e x e 2. ~ o m p a r a i s o n de ]~ > = Po,T ~o, BI9 > et Ig >. (lw > e CBT).

Pour simplifier les

Posons :

d'ofl

De m~me :

et

6critures, nous poserons :

P o , T = P, :];o,B ~ iT;.

ly > - :~ly > + I~ >,

~ly > et I~, > sont orHmgonaux, d'ofl

< yI~ > < yl:~ly > + < ~1~ > ,

< y l : ~ l y > - < y l y > ( ~ - ~ = ) ( l Y > e % T )

< ~I~ > " 4 llyll =

I~> Pl~> +I~>

<~I~> ~IIyll 2,

Par tant de

:~IY > -- lY > - - ] ~ > il vient successivement :

F:~Iy > - F l y > - - FI~ > ,

et, avec

F l y > = I ~ > - - I ~ > ,

P:TIy > - ly > I~ > - - F I~ > , d'ofl :

< yl~ > = < yly > < ~ I ~ > - - < ~ I F I ~ >

De m~me :

< yl~ > = < yly > - < ~1~ > - < ~1~ > + < ~1~ > - < ~1~ > + < ~1~ > + < ~IPI~ > �9

Ces rdsultats permettent de calculer :

t1~ - ~11 ~ = < ~ - 91~ - ~ >

= < y l y > - < y l ~ > - < ~ l y > + < ~ 1 ~ > -

I1 vieut :

I l y - ~ l l = - < ~ 1 ~ > + < ~ I P N > �9 Soit :

I l u - ~ l l ~ < (~ + ~ ) I ly l l ~ .

A n n e x e 3. R e l a t i o n entre I I~l~l I = et la distr i - b u t i o n de dens i t6 d '6nergie e o m p l e x e de R i h a e z e k .

On a : lyik > = FIAT,AT ~-k• > �9

N0US poserons :

F I A T , A T : P

~ k A B , A B - - ":~; ,

Ilyi~ll ~ - < ~i~lyt~ > - < yI:~F:~Iy > .

S o i t : IXY > le signal analyt ique associd h lY > .

Pla~ons-nous dans le cas ou k > 0. Alors :

:J; Xy > : > (se placer d a n s l a reprdsentation

frdquentMle). Soit : ]z > = 21y > ,

1_ f + o o sin 77AB-: 2rcjkAB~" = - - e Zy(t - - ":) d% z(t) 2 J_oo 77~

et

: y ( __ / Xy(V) O 2jrcvt d r . z(t) ~ 1 k 7)~ hB

2 O r :

�9 I A f ( , + ~ ) T Ily~;kll 2 = < z l P l z > = z*(t) z(t) a t ,

-" (i--;]~T d'ofi il vient :

1 1 (i § ~) ~

: Xy* (v) e-2jrcvt X llyielP i.,, , ,

+oo XY( t __ "z) e 2r:jkAB'r sin 77A~-: dtdvd-~. 77"7

Comme

z ( t - - "7, ~) Xy( t - - ~') Xy* (~) e - 2 J ~ ' ~

on peut dcrire :

IlY,kll ~ = Z + ~ ( iAT, k A B ) s i n ~:~77AB~ d~

7 / 8 A. TI~LEC., 30, n ~ 7-8, 1!175

238 J . -L . LACOUME. SIGNAUX NON STATIONNAIRES PAR REPR]~SENTATION TEMPS ET F R E Q U E N C E

Ofl / 1\ ~ / 1~ h

e 2 r~j T (kAB-v) dtdv.

Notons que : E(t, ,) est l'intdgrale de la distribution de densit6 d'dnergie sur le domaine AB, AT considdrd.

BIBLIOGRAPHIE

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A. TkLEC., 30, n ~ 7-8, 1975 8 / 8