Les ondes stationnaires résonantes sur une corde

Carlos Santana

Points essentiels

1. Rappel sur le cours précédent: les ondes stationnaires

2. Corde fixée aux deux extrémités

3. Corde fixée à une seule extrémité

Section 2.8 de Benson

Rappel: Les ondes stationnaires

Soit deux ondes harmoniques (même A; même k et même v) mais de sens opposés.

Ce qui donne:

nœuds si:

ventres si:

et

x =π2k

, 3π2k

, 5π2k

,...

v =λ × fx =0, πk, 2πk

, 3πk

,...

yT=2 A sin kx×cos ωt

y1=Asin kx - ωt( ) et y2 =A sin kx + ωt( )

Corde fixée aux deux extrémités

f1 =v2 L

f2 =2 v2 L

=vL

f4=4 v2 L

=2 vL

f3 =3 v2 L

Corde fixée aux deux extrémités (suite)

Fréquence de résonance d’une corde fixée aux 2 extrémités

et n = 1, 2, 3, 4,…fn =n v2 L

Exemple

Une corde de 3 mètres et de densité linéique de masse = 0,0025 kg/m est fixée aux deux extrémités. Sachant qu’une de ces fréquences de résonance est de 252 Hz et que la suivante est de 336 Hz, déterminez:

a) La fréquence fondamentale

Soit le rapport 4/3, d’où :

et

fn+1

fn=336 Hz252 Hz

=1,33

f4 =336 Hz

f1 =84 Hz

Exemple (suite)

b) La tension dans la corde

Prenons le mode fondamental

et

Calcul de la vitesse

et: d’où

f1 =84 Hz

λ1 = 6 mètres

v =504 m/s

v =F F =635 Newtons

Laboratoire sur les ondes stationnaires

Lors de leur expérience de laboratoire sur les ondes stationnaires, Claire et Pierre-Paul ont déterminé qu’une masse de 60,0 g était nécessaire afin de faire vibrer une corde de 1,80 m dans le quatrième mode (4 ventres).  a) Sachant que la fréquence de la lame vibrante était de 60 Hz, déterminez la densité linéaire de la corde utilisée.

Laboratoire sur les ondes stationnaires

 Calcul de la distance entre deux nœuds consécutifs : 1,80 / 4 = 0,45 m Calcul de la longueur d’onde : l4 = 0,90 m Calcul de la vitesse de l’onde : v = λ x f = 54,0 m/s Calcul de la tension F : F = mg = 0,588 N Calcul de m : = F / v2 = 2,01 x 10-4 kg/m

Corde fixée à une seule extrémité

f1 =v4 L

f9 =9 v4 L

f5 =5 v4 L

f3 =3 v4 L

f7 =7 v4 L

Corde fixée à une extrémité (suite)

Fréquence de résonance d’une corde fixée à une extrémité

et n = 1, 3, 5, 7,…

Remarque: Seules les harmoniques impaires sont présentes !

fn=n v4 L

Travail personnel

Faire les exemples 2.6 et 2.7;

Exercices 29, 31 et 35.

Faire le problème 4.