Etude d’une pompe centrifuge

monocellulaire

Séminaire à mi-parcours du 08 au 10 février 2010

Lise CEBALLOS, Paul GUILLARD, Jean-Baptiste LEPRETRE

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Introduction Une pompe centrifuge monocellulaire est une turbomachine, ie qu’il y a transfert d’énergie

mécanique entre une roue mobile et un fluide. Dans notre cas, la pompe fournit de l’énergie au fluide et augmente ainsi sa pression par l’intermédiaire d’un arbre relié à un moteur électrique entraine en rotation une roue.

La pompe étudiée est une machine à passage radiale : les particules fluides se déplacent dans des plans normaux à l’axe de la roue.

L’eau entre de façon axiale puis est déviée radialement et rencontre alors les aubes. La rotation de la roue fournit une énergie cinétique à l’eau. Puis, lors de la sortie de la roue, le diffuseur permet de convertir une partie de l’énergie cinétique en pression, avec diminution de la vitesse d’écoulement. (Augmentation de la section et conservation du débit volumique). Ensuite, le courant d’eau se rassemble dans la volute qui se comporte comme un collecteur puis l’eau sort de la roue a une pression plus élevée qu’en entrée.

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Etude théorique

Question 1 Afin d'étudier des écoulements semblables, nous allons chercher leurs caractéristiques communes. Pour cela, nous allons calculer les coefficients de Rateau. Procédons à une analyse dimensionnelle. Le fonctionnement d'une turbomachine est défini par une relation : f(gH, Q, N, D, ρ, P) = 0 Avec :

– gH : g est l'accélération de la pesanteur et H la charge du liquide. Cela s'exprime en m²/s²; – Q : le débit volumique du liquide en m3.s-1 ; – N : la vitesse de rotation de l'arbre en nombre de tours par seconde ; – D : le diamètre de la pompe en mètres ; – ρ : la masse volumique du fluide en kg/m3 ; – P : la puissance de la pompe en Watts ;

Tous ces coefficients s'expriment avec trois unités fondamentales : le mètre, le kilogramme et la seconde. On isole trois grandeurs fondamentales : N, D et ρ. On peut alors exprimer les groupements Π adimensionnels : - Πδ = Q/(NaDbρc) ce qui donne pour équations b-3c = 3 -a = -1 c = 0 D'où a = 1, b=3 et c=0. On obtient ainsi le premier coefficient de Rateau Πδ = Q/(ND3) = δ (coefficient de débit) - ΠH = gH/(NaDbρc) ce qui donne comme équations b – 3c = 2 -a = -2 c = 0 D'où a = 2, b = 2 et c = 0. On obtient ainsi le second coefficient de Rateau ΠH = gH/(N²D²) = µ (coefficient manométrique) - ΠP = P/(NaDbρc) ce qui donne comme équations b – 3c = 2 - a = -3 c = 1 D'où a = 3, b = 5 et c = 1. On obtient ainsi ΠP = P/(N3D5ρ) = τ (coefficient de puissance) En conclusion, on a obtenu les trois coefficients de Rateau.

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Question 2 Pour tracer les courbes théoriques de Hth en fonction de Q et β2 , angle d'aubage, on commence par déterminer leurs expressions théoriques. D'après la théorie d'Euler, on a : C = ρQ*(Moment en sortie de l'eau – moment en entrée de l'eau) soit C = ρQ*(R2V2cosα2 – R1V1cosα1) D'autre part, la puissance s'exprime de la façon suivante : P = Cω donc P = ρQ*(R2V2cosα2 – R1V1cosα1)*ω soit P = ρQ*(R2ωV2cosα2 – R1ωV1cosα1) u2 u1 Donc P = ρQ*(u2V2cosα2 – u1V1cosα1) Or, on a aussi Pth = ρgHthQ. D'où Hth = (u2V2cosα2 – u1V1cosα1)/g On fait l'hypothèse que l'entrée est radiale, donc α1 = Π/2. On a ainsi Hth = (u2V2cosα2)/g. De plus, si l'on projette la relation v2 = u2 + w2 sur la direction u2 , on obtient : v2cosα2 = u2 – cos(Π – β2)*w2 v2cosα2 = u2 + cos(β2)*w2 u2 étant la vitesse d'entrainement à la périphérie de la roue, on a u2 = N*R avec u2 en m/s, N en rad/s et R le rayon extérieur en mètres. Donc, Hth = RN/g * (u2 +cos(β2)*w2 ) soit Hth = RN/g * (RN +cos(β2)*w2 ) Par ailleurs, w2 = Q/S, d'où Hth = RN/g * (RN +cos(β2)*Q/S ). Cette relation nous permet d’établir une forme de l’évolution de H en fonction de Q :

02468

1012

0 2 4 6 8 10 12

H

Q

Tracé de l'évolution de H en fonction de Q

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Question 3 Nous cherchons ici à établir la vitesse spécifique, nous savons qu'elle correspond à la vitesse de rotation d'une pompe semblable à celle utilisée qui débiterait à 1 m3/s avec une hauteur manométrique de 1m. Comme la pompe est semblable à celle utilisée, on a δs = δ, donc : Qs/NsDs

3 = Q/ND3 Or Qs = 1, d'où (D/Ds)3 = Q*Ns/N De même, comme la pompe est semblable à celle utilisée, on a µs = µ, donc : gHs/Ns²Ds² = gH/N²D² Or gHs = 1 m²/s², d'où (D/Ds)² = gH*(Ns/N)² On en déduit que (QNs/N)² = (gHNs²/N²)3 On a donc : Q² = (g*H)3 * (Ns/N)4

On retrouve donc l'expression de la vitesse spécifique : Ns = N*Q1/2/(gH)3/4

Mesures Durant le TP, nous avons réalisé plusieurs mesures sur la pompe centrifuge ETANORM. Nous

avons fait varier la vitesse de rotation N du moteur (1500, 2000 et 2500tr/min) à l’aide d’un potentiomètre puis à N fixés, nous avons effectué plusieurs mesures différentes du débit via un système déprimogène : le diaphragme. Pour chaque mesure, nous avons relevé Ps (pression en sortie de la pompe), Pe (pression en entrée de la pompe), ΔP (différence de pression dans le diaphragme) et C, le couple fournit par le moteur asynchrone (à cage d’écureuil) à l’arbre moteur. ΔP se règle à l’aide d’une vanne située sur le conduit de sortie de l’eau. A l’aide de ces résultats expérimentaux, nous avons pu calculer :

Le débit 푄=훼휋푑24 2Δ푃휌 avec α=0,59, d=43mm, diamètre intérieur du diaphragme et ρ=1000kg/m3 , masse volumique du fluide, en l’occurrence ici de l’eau.

La hauteur manométrique 퐻=(푃푠−푃푒)휌푔.

La puissance mécanique 푃푚é푐푎=퐶휔.

La puissance hydraulique 푃ℎ=휌푔푄퐻.

Le rendement global 휂=푃ℎ/푃푚é푐푎. Les résultats obtenus ont été rassemblés en annexe.

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Exploitation des résultats

1. Etude de la charge

Tout d’abord, nous avons étudié la variation de la hauteur manométrique H, (c'est-à-dire la charge apportée au fluide par la pompe) en fonction du débit Q. Nous avons, dans la partie théorique que cette évolution devrait être affine.

Nous avons obtenu les résultats suivants :

Nous voyons ici qu’en pratique, que H n’évolue que de façon affine en fonction de Q pour

des débits ni trop grand, ni trop petit : En effet, on peut imaginer que pour des faibles débits (de l’ordre de Q= 1L/s), il se forme des phénomènes de cavitation qui entraînent alors des pertes de charges. De même, à fort débit (de l’ordre de Q=4L/s), des phénomènes de turbulences et d’oscillations entraînent une chute plus importante de charges, d’où l’éloignement avec la théorie.

2. Etude de la puissance hydraulique Puis, nous avons étudié la variation de puissance hydraulique Pv, en fonction du débit Q.

Nous avons obtenu les résultats suivants :

05

10

15202530354045

0 1 2 3 4 5

H (e

n m

d'e

au)

Q (en L/s)

Tracé de l'évolution de H en fonction de Q, pour plusieurs vitesses de rotation

N=1500 Tr/min

N=2000 Tr/min

N=2500 Tr/min

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Dans la partie théorique, on a vu que 푃ℎ=휂푃푎=휂휔퐶, avec 휔, la vitesse de rotation du moteur, C le couple moteur et 휂, le rendement de la pompe. Ainsi, lorsque ω (ie N) augmente la puissance hydraulique augmente ce qui est conforme aux courbes (courbe N=2500 tr/min > courbe N=2000 tr/min).

De plus, étant donné que 푃ℎ=휌푔퐻푄, à N fixée, lorsque Q augmente, on a tout d’abord une augmentation de Ph quasi-linéaire puis une diminution à partir d’un seuil à cause d’une baisse de la charge (due à des phénomènes de turbulence), comme nous venons de le voir. Nous voyons l’apparition de l’idée de l’existence d’un point de fonctionnement optimale, pour un débit donné.

3. Etude du rendement global de la pompe Nous avons étudié ensuite l’évolution du rendement global de la pompe en fonction du débit Q. Pour rappel, le rendement global se définit de la manière suivante : 휂=푃ℎ/푃푚é푐푎.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 1 2 3 4 5

Pv (

en W

)

Q (en L/s)

Tracé de l'évolution Pv en fonction de Q, pour plusieurs vitesses de rotation

N=1500 Tr/min

N=2000 Tr/min

N=2500 Tr/min

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Nous obtenons les résultats suivants :

C’est courbe confirme l’existence, pour une vitesse de rotation du moteur donnée, d’un point de fonctionnement optimal. Ceci peut s’expliquer par :

- A faible débit, la pompe ne tourne pas assez vite donc l’eau n’est pas expulsée assez rapidement (stagnation) donc le régime de l’écoulement n’est pas tout à fait établi.

- A fort débit, la turbulence devient assez importante pour perturber l’écoulement puis si Q augmente, on a phénomène de cavitation (la pression descend en dessous de la pression de vapeur saturante et l’eau se met à bouillir, on a alors formation de bulles de vapeur d’eau).

On peut évaluer ce point optimal :

N (en Tr/min) Qoptimal en L/s 1500 2,8 2000 3,5 1500 4,2

4. Etude de la similitude

Afin de vérifier la similitude de notre étude dans les différent cas, c'est-à-dire la conservation des groupements adimensionnels de Rateau, nous avons tracé la courbe de µ, le coefficient manométrique en fonction de δ, le coefficient de débit et le courbe de τ, le coefficient de puissance en fonction de δ.

Nous obtenons les courbes suivantes :

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0 1 2 3 4 5

rend

emen

t glo

bal

Q (en L/s)

Tracé de l'évolution rendement global de la pompe en fonction de Q, pour plusieurs vitesses de rotation

N=1500 Tr/min

N=2000 Tr/min

N=2500 Tr/min

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Et

Au vue de ces résultats, quelques soit la configuration, les courbes se superposent, signe de

la similitude. On vérifie donc une cohérence dans nos mesures pour des vitesses différentes.

0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025 0,0003 0,00035 0,0004

µ

δ

Tracé de l'évolution du coefficient manométrique en fonction du coefficient de débit, pour plusieurs vitesses de rotation

N=1500 Tr/min

N=2000 Tr/min

N=2500 Tr/min

0

0,0000001

0,0000002

0,0000003

0,0000004

0,0000005

0,0000006

0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025 0,0003 0,00035 0,0004

τ

δ

Tracé de l'évolution du coefficient de puissance en fonction du coefficient de débit, pour

plusieurs vitesses de rotation

N=1500 Tr/min

N=2000 Tr/min

N=2500 Tr/min

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5. Calcul de la valeur de la vitesse spécifique optimale

Avec les valeurs de la partie Mesures, on détermine la vitesse spécifique au point de rendement maximum.

On obtient ainsi les résultats suivants :

N (en Tr/min) Qoptimal en L/s Vitesse spécifique (Tr/s) Rendement 1500 2,8 0,78 0,29 2000 3,5 0,68 0,3 2500 4,2 0,54 0,29

Conclusion

Ce TP nous a permis de découvrir le fonctionnement des turbomachines à travers un exemple concret. Nous avons ainsi exploré un nouveau domaine de la mécanique des fluides qui nous était inconnu malgré le fait qu’on a utilisé des formules connues (théorème de Bernoulli par exemple). Ce TP nous a obligés à réfléchir sur nos mesures afin de savoir si celles-ci étaient physiquement plausibles et nous avons ainsi appris quelques ordres de grandeur de variables physiques. Enfin, nous avons pu aussi faire des manipulations ce qui change quelque peu des cours théoriques et nous montre de plus près le côté pratique de la physique.

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Annexes