Etude dynamique d’un mécanisme - Site de la PSI du ...psi.pauleluard.free.fr/IMG/pdf/1_PFD_CINET_DYNAM_CARACT_INERTI… · rayon de giration 2. Opérateur d’inertie d’un solide

PSI-MP- Sciences Industrielles pour l’Ingénieur Cours : Mécanique du solide indéformable

APCB_JRP 1/15 1_PFD_CINET_DYNAM_CARACT INERTIE_PROF_APCB_JRP.DOC

Etude dynamique d’un mécanisme

Cinétique. Dynamique. Caractéristiques d’inertie. Principe fondamental de la dynamique (P.F.D.).

Problème technique posé : Vous êtes un passager de ce manège infernal ! (Magic Arms de Waagner-Biro (Barnth) Au cours des mouvements imposés aux éléments du manège, quelle position occupez-vous en fonction du temps ? Quelle vitesse et quelle accélération (quelles composantes par rapport aux axes de votre corps) ressentez-vous ? C’est l’étude cinématique qui répondra à ces questions.

Quelles actions mécaniques : forces et moments, allez-vous subir ? Quelles actions mécaniques : forces et moments, s’exercent dans les liaisons et dans chaque pièce du manège ? Ces efforts et moments sont dus aux masses et aux accélérations . Quels couples (moments) les moteurs doivent-ils fournir au cours du temps pour maîtriser les lois de mouvements de chaque élément du manège et donc ce que ressent chaque passager ? C’est l’étude dynamique qui répondra à ces questions.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la nacelle 3 (contenant les passagers) du manège en son centre de gravité G3 s'énonce par : le torseur dynamique galiléen de la nacelle 3 est égal au torseur résultant des actions mécaniques extérieures (efforts et moments) qui lui sont appliqués :

D(3 / Rg) = T(_3 → 3)

Avec : D(3 / Rg)

Γ=

)3/R,(G

)/( m.

g3

3

3G δ

gRG et T(

_3 → 3)

=→

→

3)extG3

3)ext

3G (M

R(

Le torseur dynamique et les moyens pour l’exprimer seront définis et expliqués dans le cours de « Dynamique »

Le torseur dynamique contient des grandeurs physiques telles que : masse [ kg] ; moment d’inertie [ kg. m2] ; vecteur accélération d’un point [m.s-2 ] ; vecteur accélération angulaire d’un solide [rad.s-2 ] ; vecteur position d’un point [ m] Le torseur dynamique s’obtient à partir du torseur cinétique qui contient des grandeurs physiques telles que : masse [ kg] ; moment d’inertie [ kg. m2] ; vecteur vitesse d’un point [m.s-1 ] ; vecteur vitesse angulaire d’un solide [rad.s-1 ] ; vecteur position d’un point [ m]

Le torseur cinétique et les moyens pour l’exprimer seront définis et expliqués dans le cours de « Cinétique ». La masse, la position du centre d’inertie G et les moments d’inertie d’un solide seront définis et expliqués dans le cours « Caractéristiques d’inertie d’un solide »

Nacelle 3

Bati 0

Petit bras 2

Grand bras 1

G 3



Cinétique, dynamique, caractéristiques d’inertie du solide indéformable. P.F.D.

Table des matières :

I. Enoncé du Principe Fondamental de la Dynamique

1. Enoncé 2. Référentiel galiléen 3. Remarques 4. Torseur dynamique

a. Définition b. Propriétés torsorielles c. Résultante et moment dynamique

II. Torseur cinétique et lien avec le torseur dynamique

1. définitions a. Définition du torseur cinétique b. Résultante et moment cinétique c. Cas simplifié

2. Liens entre le torseur cinétique et le torseur dynamique

a. Au niveau des résultantes b. Au niveau des moments c. Cas particuliers

III. Inertie dans le cas du solide indéformable 1. Moments d’inertie d’un solide

a. Notion de moment d’inertie présenté à partir d’une masse ponctuelle en mouvement de rotation.

b. Moment d’inertie par rapport à un plan, par rapport à un axe, par rapport à un point.

c. Expressions des moments d’inertie de quelques volumes élémentaires

d. rayon de giration 2. Opérateur d’inertie d’un solide S

a. Introduction b. Définition c. Matrice associée

3. Propriétés de l’opérateur d’inertie a. Base principale d’inertie b. Influence des symétries matérielles c. Théorème de Huygens

IV. Calcul pratique du moment cinétique et du moment dynamique dans le cas d’un solide indéformable, la matrice d’inertie étant connue.

1. Moment cinétique d’un solide en mouvement par rapport à un repère Rg

2. Relations exprimant le moment cinétique 3. Relation pour le calcul du moment dynamique )

Solide de référence. Repère associé au solide de référence.

PFD en rotation, notion de moment d’inertie

Caractéristiques d’inertie d’un cylindre

Matrice d’inertie d’un solide quelconque 2 2

2 2

, ,2 2

( )

S S S

O

S S S

x y z

S S S

y z dm xydm xzdmA F E

I S yxdm x z dm yzdm F B D

E D Czxdm zydm x y dm

+ − −

− − = − + − = − − − −

− − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫r ur r



I. Enoncé du Principe Fondamental de la Dynamique

1. Enoncé Il existe au moins un repère, dit Galiléen, tel que, pour tout système matériel E de l’espace

matériel, le torseur dynamique de E dans son mouvement par rapport à ce repère soit égal au torseur résultant des actions mécaniques extérieures s’exerçant sur E, à chaque instant.

∃ Rg où ∀E, ∀t on a : D EERg/E →= τ

Il s’agit d’un principe, qui ne se démontre donc pas, énoncé pour la première fois par Isaac Newton à la fin du 17ème siècle. Sa justification réside dans l’exactitude constatée de ses conséquences par rapport à l’expérience.

2. Référentiel galiléen Un repère Galiléen est un repère dans lequel le PFD est vrai.

Nous pouvons citer trois repères utilisés couramment : Le repère de Copernic : défini par le centre

d’inertie du système solaire (sensiblement le centre du soleil) et trois directions stellaires. Ce repère est considéré comme Galiléen et utilisé pour la mise au point des fusées interplanétaires.

Le repère lié au centre d’inertie de la terre et dirigé vers les trois directions stellaires. Il est utilisé comme repère Galiléen pour l’étude de corps restant au voisinage de la terre (satellites par exemple).

Le repère lié à la terre : il est usuellement considéré comme Galiléen pour la mise au point de tous les systèmes mécanique courants.

Solide de référence.Solide de référence.Solide de référence.Solide de référence. Repère associé au solide de référence.Repère associé au solide de référence.Repère associé au solide de référence.Repère associé au solide de référence.

3. Remarques

Le PFS n’est donc qu’un cas particulier du PFD, dans lequel le torseur Dynamique est le torseur nul. Le PFD est ici énoncé pour un système matériel E quelconque, déformable ou non. En ce sens, le cas

du solide indéformable sera traité comme un cas particulier.

Le torseur résultant des actions mécaniques extérieures s’écrit : EE →τ ou E)E(mécaact ∑ →τ



4. Torseur dynamique

a. Définition

L’énoncé du PFD fait donc intervenir, dans un membre de l’égalité, le torseur

EE →τ qui est le torseur résultant des Actions Mécaniques extérieures qui s’exercent sur le

système isolé E. Vous savez déjà exprimer ce torseur, puisque c’est le même que celui écrit dans une étude statique.

Dans l’autre membre de l’égalité, nous voyons apparaître le torseur dynamique :

D Rg/E Ce torseur peut être explicité, dans le cas d’un système matériel E quelconque par :

.

.

= D

AEgR/M

EgR/M

A gR/E

Γ∧

Γ

∫

∫

dmAM

dm

r

r

où le vecteur noté gR/MΓ

rest l’accélération du point M, par

rapport au repère Rg , M étant un point quelconque de E.

Ici E ≡ nacelle 3

b. Propriétés torsorielles Il faut vérifier que le torseur dynamique est bien un torseur, c’est à dire qu’il en a les propriétés :

Le torseur en un point B s’écrit :

avec AMBABM += donc

.

.

= D

BEgR/M

EgR/M

B gR/E

Γ∧

Γ

∫

∫

dmBM

dm

r

r

∫∫∫ Γ∧+Γ∧=Γ∧E

gR/ME

gR/ME

gR/M ... dmAMdmBAdmBMrrr

∫∫ Γ∧+Γ∧=E

gR/ME

gR/M .. dmBAdmAMrr

ce qui montre qu’il s’agit bien d’un torseur car il vérifie la relation de Varignon (propriété de changement de point du moment)

c. Résultante et moment dynamiques

On appelle :



Résultante dynamique de E / Rg la résultante du torseur dynamique, à savoir :

∫

∫ =ΓE

2

2

EgR/M .. dm

dt

OMddm

Rg

r Or, d’après le principe de conservation de la

masse (annexe PFD p2 ), on a :

RgGRgRgRg

mOGmdt

ddmOM

dt

ddm

dt

OMd/2

2

2

2

E2

2

.... Γ===

∫∫

Moment dynamique en A de E / Rg le moment du torseur dynamique, à savoir :

∫ Γ∧E

gR/M .dmAMr

On le note : ∫ Γ∧=E

gR/M .)/( dmAMRgEA

rrδ

d’après la relation de Varignon, on a la propriété :

gR/G.)/()/( Γ∧+=rrr

mABRgERgE BA δδ

II. Torseur cinétique et lien avec le torseur dynamique

1. définitions Si l’expression de la résultante dynamique du torseur dynamique est simple à calculer

(vous savez déjà le faire), l’expression du moment dynamique est compliquée à obtenir par intégration directe. Pour cela, il est plus judicieux de mettre en place un torseur, appelé torseur cinétique, et de le relier au torseur dynamique.

a. Définition du torseur cinétique

Soit E un système matériel en mouvement par rapport à un repère R. On définit, à chaque instant, le torseur cinétique par :

.

.

= C

AEgR/M

EgR/M

A gR/E

∧∫

∫

dmVAM

dmV

r

r

où le vecteur noté gR/MV

rest la vitesse du point M, par rapport

au repère Rg , M étant un point quelconque de E. On vérifie bien qu’il s’agit d’un torseur en exprimant le moment cinétique en un point B :

Ici E ≡ 3

∫∫∫ ∧+∧=∧E

gR/ME

gR/ME

gR/M ... dmVAMdmVBAdmVBMrrr

∫∫ ∧+∧=E

gR/ME

gR/M .. dmVBAdmVAMrr

ce qui montre qu’il s’agit bien d’un torseur car il vérifie la relation de Varignon (propriété de changement de point du moment)



b. Résultante et moment cinétiques

On appelle : Résultante cinétique de E/R la résultante du torseur cinétique, à savoir :

∫

∫ =EE

gR/M .. dmdt

OMddmV

Rg

r. Or, d’après le principe de conservation de la

masse, on a : [ ] RgGRg

RgRg

VmOGmdt

ddmOM

dt

ddmdt

OMd/

E

.... ===

∫∫

Moment cinétique en A de E / Rg le moment du torseur cinétique, à savoir :

∫ ∧E

gR/M .dmVAMr

On le note : ∫ ∧=E

gR/M .)/( dmVAMRgEA

rrσ

d’après la relation de Varignon, on a la propriété : gR/G.)/()/( VmABRgERgE BA

rrr∧+=σσ .

c. Cas simplifié

Si on suppose que E est un point matériel, c’est à dire que la masse de E est concentrée au point G, on obtient le cas simplifié (de certains problèmes posés en sciences physiques) :

0

. = C

G

gR/GG

gR/E

r

rVm

et

0

. = D

G

gR/GG

gR/E

Γ

r

rm

en A : gR/G.)/( VmAGRgEA

rr∧=σ et

gR/G.)/( Γ∧=rr

mAGRgEAδ

2. Liens entre le torseur cinétique et le torseur dynamique

a. Au niveau des résultantes

[ ] [ ]RgGRg

RgGRg

RgG Vmdt

dV

dt

dmm /// ... ==Γ

La résultante dynamique est la dérivée de la résultante cinétique.

b. Au niveau des moments

Par définition, nous avons donc :

∫ ∧=E

gR/M .)/( dmVAMRgEA

rrσ donc : [ ]

∫ ∧=

dt

dmVAMd

dt

d

Rg

RgEARg

EgR/M

/,

.r

σ et,

d’après le Principe de Conservation de la masse, nous avons alors :

[ ] ∫∫

∧+∧=E

gR/MgR/M/, .. dmVdt

dAMdmV

dt

AMd

dt

d

RgRgEA

Rg

rrσ



∫∫

∫

Γ∧+∧+∧=

EgR/MgR/MgR/M ... dmAMdmV

dt

OMddmV

dt

AOd

E RgE Rg

rr

Soit encore :

∫∫

Γ∧++∧−=

EgR/MgR/M .0. dmAMdmV

dt

OAd

E Rg

rr

Soit, en conclusion : [ ] gR/GgR/AgR/EA,/, . VVmdt

dRgEA

Rg

rrr∧−=δσ

Il faut donc retenir la relation permettant de calculer le moment dynamique en A de E / Rg à partir de l’expression du moment cinétique en A de E / Rg :

[ ] gR/GgR/A/,gR/EA, . VVmdt

dRgEA

Rg

rrr∧+= σδ

c. Cas particuliers

Si A est fixe / Rg, ou si 0gR/GgR/A

rrr=∧ VV alors : [ ]RgEA

RgE

dt

d/,gR/A, σδ =

r

Au centre d’inertie, c’est à dire en G, on a : [ ]RgEGRgdt

d/,gR/EG, σδ =

r

Dans la pratique, si besoin au point A : on calcule [ ]RgEGRgdt

d/,gR/EG, σδ =

r puis on le

déplace au niveau du point A par Varignon (propriété de changement de point du moment d’un

torseur). gR/EG,.)/()/( Γ∧+=

rrrmABRgERgE BA δδ



III. Inertie dans le cas du solide indéformable

1. Moments d’inertie d’un solide

Soit S un solide, auquel on associe par équivalence un repère ( , , , )O x y zr ur r

.

a. Notion de moment d’inertie présenté à partir d’une masse ponctuelle en

mouvement de rotation.

P.F.Dyn. en translation sur l’axe x : F = m . γγγγ Force = masse . accélération

P.F.Dyn. en rotation circulaire autour de l’axe Oz :

Sur la tangente : Ft = m . γγγγt Force tangentielle = masse x accélération tangentielle

or γγγγt =dVt /dt et Vt = R . ωωωω donc γγγγt = R . dωωωω / dt = γγγγt = R . d2θθθθ / dt2 d’où : Ft = m.R.dωωωω / dt = m. R . d2θθθθ / dt2 Exprimons maintenant le moment de la force Ft par rapport au point O : MO(Ft) = R . Ft = (m . R2). d2θθθθ / dt2 Ce n’est plus la masse qui intervient dans la mise en mouvement mais le produit (m . R2) nommé MOMENT D’INERTIE en [kg.m 2]

b. Moment d’inertie par rapport à un plan. Moment d’inertie par rapport à

un axe. Moment d’inertie par rapport à un point.

On définit le moment d’inertie

du solide S par rapport au plan π par :

∫=S

2.)/( dmrSI π

l’unité est donc le kg.m2

S M

r

π




du solide S par rapport à l’axe∆ par :

∫=∆S

2.)/( dmrSI



du solide S par rapport au point O par :

∫=S

2.)/( dmrOSI


Appliquons ces définition à la figure ci-contre : moment d’inertie par rapport au plan P1 puis P2 puis P3 :

2

2

2

( / )

( / )

( / )

S

S

S

I S xOy z dm

I S yOz x dm

I S zOx y dm

=

=

=

∫

∫

∫

S M

r

∆

S M

r

O



Ainsi, pour la figure ci-dessus, les moments d’inertie du solide S par rapport aux axes sont :

2 2

2 2

2 2

( / ) ( )

( / ) ( )

( / ) ( )

S

S

S

I S Ox y z dm

I S Oy x z dm

I S Oz x y dm

= +

= +

= +

∫

∫

∫

On remarque :

I(S/Ox) = I(S/xOy) + I(S/xOz)

I(S/Oy) = I(S/xOy) + I(S/yOz)

I(S/Oz) = I(S/xOz) + I(S/yOz)

Ainsi, pour la figure ci-dessus, on définit le moment d’inertie du solide S par rapport au

point O par : 2 2 2 2( / ) ( )

S S

I S O r dm x y z dm= = + +∫ ∫

On remarque que : ( / ) ( / ) ( / ) ( / )I S O I S xOy I S yOz I S xOz= + +

c. Expressions des moments d’inertie de quelques volumes élémentaires

Moments d’inertie à connaître : Cylindre de révolution de hauteur h, de masse m et de rayon R : moment d’inertie par rapport à son axe de révolution moments d’inertie par rapport aux axes transversaux

Parallélépipède :

Voir les documents annexes formulaires

d. Moments d’inertie d’un solide composé d’une somme ou d’une différence

de volumes élémentaires

document annexe : exemple pour un tube

e. rayon de giration Le rayon de giration d’un solide S par rapport à un axe ∆ est le rayon R d’un cylindre

de révolution d’axe ∆ , creux (d’épaisseur négligeable), qui aurait même masse et même moment d’inertie par rapport à ∆ que S.

S

M r

R 2 2

2

( / ) donc S

S

I S r dm mR

r dm

Rm

∆ = =

=

∫

∫



2. Opérateur d’inertie d’un solide S

a. Introduction Nous revenons sur la définition du moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe.

Pour cela, nous avons :

Soit U , un vecteur unitaire de ∆ . Nous avons alors :

∫=∆S

2.)/( dmrSI avec rOMOMU ==∧ αsin. donc :

∫=∆S

2.)/( dmrSI = ∫∫ ∧∧=∧E

2).).((. dmOMUOMUdmOMU

E

∫ ∧∧=E

).()).(( dmOMUOMU ∫ ∧∧=E

).()).(( dmOMUOMU

(propriété de permutation des opérations produit vectoriel et produit scalaire dans un produit mixte)

∫ ∧∧=E

).()(. dmOMUOMU

b. Définition

On appelle opérateur d’inertie d’un solide S en un point O, l’opérateur linéaire qui a

tout vecteur U associe le vecteur : ∫ ∧∧E

).()( dmOMUOM

Application linéaire :),( SOℑ USIU O .)(a ∫ ∧∧=E

).()( dmOMUOM

On a alors : I(S / ∆) USIU O .)(.= USOU ).,(.ℑ=

c. Matrice associée

On appelle matrice d’inertie en O du solide S, la matrice associée à l’application linéaire

),( SOℑ . C’est donc la matrice )(SIO

Remarque : NOTATIONS : Le plus souvent dans les sujets ou les ouvrages de mécanique, les deux

notations sont confondues pour désigner la matrice d’inertie d’un solide : )(SIO ou ),( SOℑ

∆

M

O Vur

r

α

S

U



Soit ( , , , )O x y zℜr ur r

un repère associé au solide S (équivalence entre le repère et le solide).

En notant zcybxaU ... ++= et zzyyxxOM ... ++= , l’expression

USIO ).( ∫ ∧∧=E

).()( dmOMUOM devient :

USIO ).(

zyx

c

b

a

O

dmyxdmzydmzx

dmzydmzxdmyx

dmzxdmyxdmzy

SSS

SSS

SSS

,,,

.

).(....

..).(..

....).(

22

22

22

+−−

−+−

−−+

=

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

La matrice d’inertie en O du solide S est donc la matrice dont l’expression est donnée par :

)(SIO

zyxO

CDE

DBF

EFA

dmyxdmzydmzx

dmzydmzxdmyx

dmzxdmyxdmzy

SSS

SSS

SSS

,,,).(....

..).(..

....).(

22

22

22

−−−−−−

=

+−−

−+−

−−+

=

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

avec les notations où : A, B et C sont respectivement les moments d’inertie de S par

rapport aux axes ( , )O xr

, ( , )O yur

et ( , )O zr

. D, E et F sont les produits d’inertie.

Remarque : On vérifie que I(S / Ox) xSIx O ).(.=

3. Propriétés de l’opérateur d’inertie

a. Base principale d’inertie

)(SIO est une matrice réelle symétrique, elle est donc diagonalisable. Il existe donc une base B’,

tel que les produits d’inertie dans B’ soient nuls.

Dans la base B’, on a donc :

',',',

'00

0'0

00'

')(

zyxO

C

B

A

BSIO

= .

Les valeurs propres A’, B’ et C’ sont les moments principaux d’inertie. Soit P la matrice de passage de B vers B’. Alors il vient :

PB

SIPB

SI OO .'

)(.)( 1−=

( voir doc annexe matrice de passage d’une base à une autre )



Rem : Les logiciels de D.A.O. fournissent facilement ces résultats pour un solide construit en mode volumique. (Exemple en annexe :_inertie_résultats logiciel)

b. Influence des symétries matérielles

Cas d’un plan de symétrie

Considérons par exemple que le plan ( , , )O x yr ur

soit un plan de symétrie .

Alors il vient :

0

0

S

S

xzdm

yzdm

=

=

∫

∫ et donc

zyxO

C

BF

FA

BSIO

,,,

00

0

0

)(

−−

=

donc zr

est un vecteur propre de la base principale d’inertie. Cas d’une symétrie de révolution

Considérons une symétrie de révolution par rapport à l’axe zr

. Alors ( , , )O x zr r

et

( , , )O y zur r

sont des plans de symétrie et tous les produits d’inertie sont nuls. Toute base contenant le vecteur

zr

est une base principale d’inertie.

xr

et yur

jouant le même rôle, la matrice d’inertie a alors l’allure

suivante :

zO

C

A

A

SIO

,,,

00

00

00

)(

−−

= A = B

D’autre part, le calcul de A peut être fait de manière simple. En effet, le calcul de C est très simple puisque :

∫∫ =+=S

2

S

22 .).( dmrdmyxC

lorsque l’on utilise les coordonnées cylindriques et on a alors :

2A = A + B = ∫∫ +=++E

2

E

222 .2)..2( dmzCdmzyx

avec 2

S

z dm∫ qui est très simple à calculer. Le calcul pratique de A se traduit par : 2

2S

CA z dm= +∫

Autres exemples page annexe : Axes principaux d’inertie. Influence des symétries.

xr

yur

zr

O

z

-z

zr

xr y

ur

O



c. Théorème de Huygens

Ce théorème permet de relier les

matrices d’inertie d’un solide : )(SIO et )(SIG

matrice d’inertie en deux points différents O et G,

mais dans la même base.

USIO ).( ∫ ∧∧=S

).( dmOMUOM

∫ ∧∧=S

).( dmOMUOG ∫ ∧∧+S

).( dmOMUGM

).(S∫∧∧= dmOMUOG ∫ ∧∧+

S

).( dmOGUGM ∫ ∧∧+S

).( dmGMUGM

USIO ).( ).( OGmUOG ∧∧= ∫ ∧∧+S

)(. OGUdmGM + USIG ).( on pose alors

USIO ).( = UmGIUSI OG ).,().( + où ).().,( OGmUOGUmGIO ∧∧= et où le terme

),( mGIO est la matrice d’inertie en O d’un solide ponctuel en G de masse m.

notons

zyxOCDE

DBF

EFA

SI

OOO

OOO

OOO

O

,,,

)(

rr

−−−−−−

= et

zyxGCDE

DBF

EFA

SI

GGG

GGG

GGG

G

,,,

)(

rr

−−−−−−

=

OG = ( xG ; yG ; zG ) et

zyxOyxmzymzxm

zymzxmyxm

zxmyxmzym

mGI

GGGGGG

GGGGGG

GGGGGG

O

,,,).(....

..).(..

....).(

),(22

22

22

rr

+−−−+−−−+

=

relation sur les moments d’inertie : AO = AG + m.(yG

2 + zG2)

BO = BG + m.(xG2 + zG

2) CO = CG + m.(xG

2 + yG2)

relation sur les produits d’inertie : -DO = -DG - m.yG.zG -EO = -EG - m.xG.zG -FO = -FG - m.xG.yG

ou avec les autres notations : relation sur les moments d’inertie :

IOx = IGx + m.(yG2 + zG

2) IOy = IGy + m.(xG

2 + zG2)

IOz = IGz + m.(xG2 + yG

2)

relation sur les produits d’inertie : -POyz = -PGyz - m.yG.zG -POxz = -PGxz - m.xG.zG -POxy = -PGxy - m.xG.yG

voir aussi pages annexes : Annexes HUYGENS



IV. Calcul pratique du moment cinétique puis du moment dynamique dans le cas d’un solide indéformable, la matrice d’inertie étant connue.

1. Moment cinétique d’un solide en mouvement par rapport à un repère Rg

Dans le cas du solide, le torseur cinématique et le torseur cinétique (vu en III.1) s’écrivent :

A

gR/S

A gR/S

gR/SV

Ω=

∈AV

r

et

)R/(S

. = C

Ag

gR/SG

A gR/S

∈

A

Vm

σ

r

Soit A et B deux points appartenant à ce solide S, dont le centre d’inertie est en G. Alors on a :

∫ ∈∧=S

gR/M .)/( dmVAMRgS SA

rrσ ∫ ∧Ω+∧= ∈S

gR/gR/B ).( dmBMVAM SS

rr

∫∫∫ ∧Ω∧+∧Ω∧+∧= ∈S

SS

SS dmBMBMdmBMABdmVAM ).().(.gR/gR/

SgR/B

rrr

)/( RgSAσrgR/gR/gR/B ).().(. SBSS SIBGmABVAGm Ω+∧Ω∧+∧= ∈

rrr

Cette formule n’a aucun intérêt pratique mais elle permet de montrer les relations suivantes, à connaître absolument : (en faisant ptA = ptB, puis ptB = pt G dans la relation ci-dessus)

2. Relations exprimant le moment cinétique (à connaître IMPERATIVEMENT) :

En A, on a : gR/gR/A ).(.)/( SASA SIVAGmRgS Ω+∧= ∈

rrrσ

Dans le cas particulier où A est fixe par rapport à Rg , on a : gR/).()/( SAA SIRgS Ω=

rrσ

En A, on a aussi : gR/gR/G ).(.)/( SGSA SIVAGmRgS Ω+∧= ∈

rrrσ

Enfin, que G soit fixe où non, on a : gR/).()/( SGG SIRgS Ω=

rrσ

3. Relations pour le calcul du moment dynamique (à connaître IMPERATIVEMENT) [ ] gR/GgR/A/,gR/EA, . VVm

dt

dRgEA

Rg

rrr∧+= σδ

ou [ ]RgEGRgdt

d/,gR/EG, σδ =

rpuis par propriété de changement de

point gR/G.)/()/( Γ∧+=

rrrmAGRgERgE GA δδ

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Etude dynamique d’un mécanisme - Site de la PSI du ...psi.pauleluard.free.fr/IMG/pdf/1_PFD_CINET_DYNAM_CARACT_INERTI… · rayon de giration 2. Opérateur d’inertie d’un solide