Etude numérique du rendement propulsif d’une aile

Vol. 2, 1. 113-124 (2009)

Revue de

Mécanique

Appliquée et

Théorique

Revue de Mécanique Appliquée et Théorique, Vol. 2, 1. (2009) 9ème congrès de mécanique SMSM

Marrakech April 2009

Etude numérique du rendement propulsif d’une aile oscillante

placée dans un écoulement perturbé

M. Mekadem LMDF, École Militaire polytechnique, Alger Algérie

L. Menfoukh

LMDF, École Militaire polytechnique, Alger Algérie

H. Oualli


L. Keirsbulck

LME, UVHC, 59313 Valenciennes Cedex 9, France

S. Hanchi


L. Labraga LME, UVHC, 59313 Valenciennes Cedex 9, France

Résumé Dans la présente étude, nous étudions le rendement propulsif et la force de propulsion générée par une aile

oscillante placée dans écoulement localement perturbé et cela à un nombre de Reynolds, basé sur la corde du

profil, de l‟ordre de 3000. Une aile NACA0018 de corde est placée derrière un cylindre de diamètre =c/2

décalée horizontalement à des distances D=3 et 4. Il s‟agit d‟une étude numérique, élaborée en utilisant le

logiciel Fluent, de l‟influence de la fréquence du battement de l‟aile et de la distance D, sur l‟efficacité

propulsive d‟un tel mécanisme. Le battement du profil d‟aile est réalisé grâce à l‟utilisation du maillage

dynamique dans Fluent. Dans l‟ensemble de cette étude, l‟amplitude du mouvement de battement est fixée à

h0/c=0.125 et on s‟intéresse particulièrement à l‟étude de l‟évolution des structures tourbillonnaires émises

derrière l‟aile. Il ressort que les performances de l‟aile oscillante augmentent en fonction de la fréquence de

pilonnement et l‟ajout d‟un cylindre en amont de l‟aile semble avoir un effet bénéfique. Dans la plage des

distances choisies, la distance entre le cylindre et l‟aile n‟a pas d‟incidence sur le rendement propulsif et la force

de propulsion développée.

Abstract We present in this paper study of the reduction mechanism of drag and/or generation of propulsion force using a

flapping wing. Several authors, through observations, could make a correlation between the Strouhal number and

the wake nature. A flapping wing with a chord „c‟ is placed behind a cylinder with a diameter =c/2 placed

horizontally at a distance D=3 and 4. A numerical study elaborated on the Fluent software put in evidence the

existence of the vortices structures and its contribution in the propulsion force generation. The amplitude of the

movement is fixed to h0/c=0.125.

1. INTRODUCTION

114 M. Mekadem, L. Menfoukh, H. Oualli, L. Keirsbulck, S. Hanchi, L. Labraga

Revue de Mécanique Appliquée et Théorique, Vol. 2, 1. (2009)

L‟hydrodynamique de la nage des poissons suscite depuis longtemps l‟intérêt des chercheurs. Des

centaines de millions d‟années d‟évolution ont produit plus de 22 000 espèces de poissons considérés

comme les maîtres de l‟art de l‟interaction propulsive avec l‟eau [1]. Les scientifiques qui se sont mis

à observer les mouvements des poissons ont conclu que leur mode de propulsion résulte du battement

de la nageoire caudale. Ce mouvement oscillatoire est une combinaison d‟un mouvement de

pilonnement et d‟un mouvement de tangage dans le plan vertical pour les baleines et les dauphins.

On rencontre ce même mode de locomotion chez les oiseaux. Le vol de ces derniers est caractérisé par

de larges battements dans un plan presque vertical mais à des faibles fréquences. Par contre, les

insectes et le colibri (oiseau capable d‟effectuer un vol stationnaire) se déplacent en battant leurs ailes

dans le plan horizontal à des fréquences élevées. Le vol battu et le vol vibrant, sont regroupés sous

l‟appellation commune vol battu ou d‟aile battante [2].

La compréhension de ces phénomènes aérodynamiques, contribue à l‟amélioration des performances

des appareils volants. L‟une des applications directes de cet axe de recherche est la conception des

micro-véhicules aériens (micro-air-vehicles) définis par (Defense Advanced Research Project Agency)

comme étant des machines volantes avec des dimensions ne dépassant pas 15 cm[2,3].

L‟aérodynamique classique, à elle seule, ne pouvait pas expliquer le surplus de portance généré par le

battement d‟aile. Appliquée au vol battu elle fournissait une portance inférieure au poids de l‟animal.

Ce phénomène est connu sous le paradoxe "bumblebees can't fly". Weis-Fogh est le premier à

proposer des mécanismes aérodynamiques instationnaires à partir d'observations, susceptibles

d'expliquer l'origine de la portance manquante [4, 5], . Dickinson [6,7], a trouvé, à faibles nombres de

Reynolds entre 75 et 225, que l‟augmentation de la portance est associée à l‟apparition des tourbillons

au bord d‟attaque LEV (leading-edge vortices). Les mécanismes de l‟aérodynamique instationnaire

sont largement commentés par Dragos Viieru [8].

Bien que la nageoire caudale soit l‟organe responsable de ce mode de propulsion, les poissons dans

leur majorité se servent également du reste de leur corps pour perturber l‟écoulement incident,

favorisant ainsi la formation des tourbillons. Partant de cette constatation, les premières expériences

menées par Gopalkrishnan [13] ont consisté à placer en amont du profil, un cylindre mobile générant

et dirigeant une allée tourbillonnaire vers une aile en battement. Le cylindre modélise le corps et l‟aile

constitue l‟organe propulsif.

Les expériences ont montré que le battement du profil d‟aile altère sensiblement la position et

l‟énergie des tourbillons émis par le cylindre, selon trois modes [13] :

1. Expansion du sillage : les tourbillons provenant du cylindre s‟apparient avec les tourbillons

détachés du profil, produisant des tourbillons plus intenses dans le sillage produit, disposés

sous la forme d‟une allée de Von Kármán inversée;

2. Interaction destructive :les tourbillons provenant du cylindre interagissent d‟une manière

destructive avec les tourbillons détachés du profil, produisant des tourbillons faibles dans le

sillage, disposés sous la forme d‟une allée de Von Kármán inversée;

3. Interaction constructive : ce mode se distingue par l‟apparition d‟un phénomène

d‟appariement tourbillonnaire, les tourbillons lâchés par le cylindre s‟apparient avec ceux

lâchés par le bord de fuite du profil qui lui sont de même signe et donne naissance à une allée

de Von Kármán plus intense : c‟est l‟inverse de l‟effet recherché car on augmente la traînée.

Par ailleurs, le théorème de Kelvin stipule que la variation totale de la circulation dans l‟écoulement

doit rester nulle ( 0 DtD )[20]. Si un tourbillon tournant dans le sens horaire est détaché du profil

d‟aile, il sera systématiquement suivi d‟un autre tourbillon tournant dans le sens antihoraire. Ainsi,

Jones [9] trouve que la nature du sillage change fondamentalement en fonction des paramètres de

contrôle.

Une allée de Von Kàrmàn directe, figure 1 a, observée à de faibles vitesses d‟oscillation, est

caractérisée par des tourbillons situés au-dessous de la ligne moyenne et tournent dans le sens horaire.

Le déficit de vitesse moyennée dans le sillage indique une augmentation de la traînée [9, 10].

Etude numérique du rendement propulsif d’une aile oscillante placée dans un écoulement perturbé


115

(a) (b)

Figure 1 : Allée de Von Karman directe (a) et inversée (b) [9]

L‟allée de Von Kàrmàn inversée est obtenue quand les tourbillons situés au-dessus de la ligne

moyenne tournent dans le sens antihoraire et ceux de la ligne d‟en dessous tournent dans le sens

horaire figure 1 a. Ici l‟interaction entre deux tourbillons successifs crée des entrées d‟air obliques,

dont la résultante est un jet sur la ligne moyenne donnant par réaction une force de poussée [9,10].

Dans la présente étude une aile oscillante dans un écoulement ayant un nombre de Reynolds 3000Re

basé sur la corde du profil „c‟, est placée derrière un cylindre de diamètre =c/2 décalée

horizontalement d‟une distance D=3 et 4, figure 2. À 1500Re cyl la longueur de la bulle de

recirculation est de 2.3 [14]. Le profil placé à la distance „D‟ ne perturbe pas la formation et le

détachement des tourbillons du cylindre.

Il s‟agit d‟une étude numérique, réalisée sur le logiciel Fluent, pour la mise en évidence des

mécanismes de l‟aérodynamique instationnaire et de l‟évolution du rendement propulsif en fonction du

nombre de Strouhal. Dans l‟ensemble de cette étude, l‟amplitude du mouvement de battement est

constante h0/c=0.125. La fréquence de battement considérée pour contrôler l‟écoulement varie de

façon à garder le nombre de Strouhal dans la gamme optimale St[0.1,0.3]. Le nombre de Strouhal est

défini par UAfSt . . La largeur caractéristique du sillage A est prise égale au double de l‟amplitude

maximale (Anderson et al. [12] ): 02hA .

2. MATERIEL ET METHODE

2.1 Génération du maillage

La géométrie étant relativement simple, on a commencé par le maillage des arrêtes pour pouvoir

contrôler la qualité du maillage localement. Au voisinage du profil nous avons opté pour un maillage

dense, figure 2, respectant 1/ yUY . Où U est la vitesse tangentielle, „y‟ la distance par rapport

à la paroi et la viscosité cinématique.

Cette zone adjacente au profil ne subit aucune déformation. Cela va nous permettre de mieux capter

les gradients physiques présents à ces endroits.



Figure 2 : Domaine de calcul et maillage choisi

Plus loin du profil d‟aile et en tenant compte des exigences du maillage dynamique, un maillage non

structuré s‟avère plus adéquat, figure 2. La jonction entre les deux zones est assurée par une interface,

figure 2, qui assure la continuité des entités physiques sans agir sur la qualité de l‟écoulement. Le

module du maillage dynamique existant dans FLUENT est utilisé pour modéliser et ajuster des

écoulements où la forme du domaine change dans le temps suite au mouvement des parois dans le

domaine.

La mise à jour de la maille est traitée automatiquement par FLUENT à chaque fois que l‟étape reçoit

les nouvelles positions des frontières mobiles. L‟utilisation du maillage dynamique dans FLUENT

exige l‟introduction de fonctions définies par l'utilisateur UDF (user defined function).

2.2 Cinématique du mouvement

Jones et al. [9], Anderson et al. [12] décomposent le mouvement de battement en :un mouvement de

pilonnement régi par :

)sin()( 0 thth (1)

et un mouvement de tangage :

)sin()( 0 tt (2)

Maillage

couche limite

Y+=1

c D

25c

20 c

Profil d‟aile

Cylindre

Entrée

R=12.5c



117

Où h0 et 0 sont respectivement les amplitudes maximales du mouvement de pilonnement et de

tangage. f 2 est la fréquence du battement et est l‟angle de phase entre les deux mouvements.

Anderson et al. [12] démontrent qu‟un rendement propulsif optimal est obtenu si le tangage est en

avance par rapport au pilonnement d‟un angle proche de 90°. Dans cette étude et sauf dans la partie

validation du solveur, le mouvement de tangage n‟est pas considéré.

Le code de calcul FLUENT est utilisé pour la simulation numérique de l‟écoulement dans le domaine

de calcul considéré, figure 2. Le module du maillage dynamique existant dans FLUENT est utilisé

pour modéliser et ajuster des écoulements où la forme du domaine change dans le temps suite au

mouvement des parois dans le domaine.

Une grille type C est adoptée pour simuler l‟écoulement avec un maillage non-structuré, figure 2.

L‟entrée est localisée à "12c" en amont du cylindre, la sortie à "20c" en aval de l‟aile et les surfaces

latérales du domaine de calcul sont localisées à "12c" où c est la corde du profil. Le premier point de la

grille adjacente au profil d‟aile est situé de sorte à avoir une valeur de Y+ de l‟ordre de 1. Au voisinage

du profil et du cylindre nous avons opté pour un maillage non structuré dense, figure 2. Cette zone

adjacente au profil ne subit aucune déformation. Sans la modélisation de la turbulence, cela permet de

mieux capter les gradients physiques présents à ces endroits. Un solveur 2D instationnaire avec un

couplage Pression-Vitesse est utilisé. Pour la discrétisation spatiale on a utilisé un schéma de 3ème

ordre. Dans ces conditions, le temps de calcul moyen d‟une simulation est de 16 heures sur une station

de calcul (Intel Xeon E5405 2 GHz avec 4 Go de RAM).

La mise à jour de la maille est traitée automatiquement par FLUENT à chaque fois que l‟étape reçoit

les nouvelles positions des frontières mobiles. L‟utilisation du maillage dynamique dans FLUENT

exige l‟introduction de fonctions définies par l'utilisateur.

2.3 Effet du raffinage de maillage et de pas de temps

Pour vérifier l‟indépendance de la solution numérique vis-à-vis du raffinage du maillage une étude a

été réalisée à 4102.1Re avec un profil NACA0012 en mouvement de tangage par rapport à un point

situé à 4c . Plusieurs grilles ont été testées à une amplitude maximale de tangage 20 et une

fréquence Hzf 5 . Les grilles testées sont la grille 1 avec 11156 nœuds (dont 2x41 nœuds sur le

profil), grille 2 avec 15271 nœuds (dont 2x82 nœuds sur le profil), grille 3 avec 28138 nœuds (dont

2x163 nœuds sur le profil) et grille 4 avec 74777 nœuds (dont 2x326 nœuds sur le profil). Toutes ces

grilles ont été testées avec un pas de temps 100Tt ( fT 1 : la période d‟oscillation). A partir des

résultats obtenus pour le coefficient de trainée cd et le coefficient de portance cl, figure 3, il est claire

que la solution n‟est pas sensible au raffinage du maillage et qu‟une très bonne stabilité de la solution

est obtenue à partir de la grille 2.

Une autre étude est réalisée pour vérifier la stabilité de la solution par rapport au pas de temps t . Les

pas de temps considérés sont : 5

Tt ,

10

Tt ,

40

Tt ,

80

Tt ,

100

Tt et

125

Tt . Où T est la

période du mouvement considéré. De la Figure 4, on constate que la solution est très sensible au pas de

temps et qu‟elle se stabilise à partir de 40

Tt . Dans la présente étude, nous avons opté pour un pas

de temps100

Tt . Cela permet, aussi, d‟avoir une bonne convergence dans le calcul du maillage

dynamique.



Figure 3 : Variation temporelle de Coefficients aérodynamiques (Cd et Cl) pour différentes grilles

Figure 4 : Variation temporelle de Coefficients aérodynamiques (Cd et Cl) pour différents pas de temps

2.4 Validation des paramètres de calcul

Les simulations numériques ont été menées sur un espace de contrôle 2D avec une discrétisation

temporelle du premier ordre, limitée par l‟utilisation du maillage dynamique. Pour la validation, les

résultats du calcul, sont comparés avec le travail expérimental de Koochesfahani [16] pour le

mouvement de tangage pur et aux travaux de Tuncer [15] pour le mouvement de pilonnement seul.

Les résultats expérimentaux reportés par Koochesfahani [16], pour un profil NACA0012 en

mouvement de tangage par rapport à un point situé à 4c La vitesse de l‟écoulement libre est

smU /15.0 donnant un nombre de Reynolds basé sur la corde de l‟ordre de 4102.1Re . La

fréquence réduite du contrôle est 67.12 Uck et l‟angle de tangage moyen est nul. Des profils de

vitesse sont mesurés à la position 2cX à partir du bord d‟attaque et ils sont utilisés pour estimer la

force moyenne produite parallèlement à l‟écoulement. En négligeant les termes de pression et la



119

contribution des entités fluctuantes le coefficient de force moyen produite est calculé à partir de bilan

de la quantité de mouvement par [16] :

dyU

u

U

u

cC f

12

(3)

Les valeurs positives du f

C indiquent la production d‟une force de propulsion et inversement les

valeurs négatives correspondent à une traînée. La comparaison des résultats de la simulation

numérique avec ceux de la littérature (Jones [11], Koochesfahani [16] et Ramamurti [18]), est donnée

dans la figure 5. Les valeurs calculées par simulation numérique sont sous-estimées par rapport aux

valeurs expérimentales données par Koochesfahani [16]. Par contre, une bonne concordance est

constatée, entre nos résultats, obtenus par un solver nonvisqueux, et Jones [11]. Cela démontre que la

contribution des forces visqueuses dans la force de propulsion totale est faible (Ramamurti [18] et

Isogai [19]).

Figure 5 : comparaison de coefficients de poussées

Figure 6 : Comparaison des coefficients de traînée moyens



Le même Solveur est utilisé pour simuler l‟écoulement autour d‟un profil NACA0012 en mouvement

de pilonnement, à une fréquence réduite élevée (selon la définition de Jones [9]) 85.72* Uckk

et 4102.1Re , pour les amplitudes : 1.0075.0,05.0,025.0,0125.00

*

0 etchh . Le coefficient de traînée

moyen est calculé par :

T

dd tCT

C0

)(1

(4)

Les valeurs négatives de d

C correspondent à une force de propulsion et inversement les valeurs

positives indiquent une traînée. La comparaison des valeurs du coefficient de traînée moyen obtenues

numériquement pas Tuncer [15] et ceux de notre simulation numérique est donnée par la figure 6. Ici,

les valeurs données par la simulation numérique sont surestimées et l‟utilisation des modèles de

turbulence n‟influe pas sur les résultats obtenus [19].

Description du sillage

Pour décrire la structure tourbillonnaire de l‟écoulement on va s‟appuyer sur les séquences réalisées

lors des simulations numériques à un nombre de Reynolds basé sur la corde du profil 3000Re et un

nombre de Strouhal 21.0St . Derrière le cylindre, la zone de recirculation s‟établit pendant que le

profil d‟aile effectue son mouvement de pilonnement, figure 7.

Figure 7 : Configuration initiale de l‟écoulement

Figure 8 : Formation des tourbillons pendant la phase de descente

Tourbillon (a) Tourbillon(1)

Tourbillon (I)

Tourbillon(II)

Tourbillon (I)

Tourbillon(II)



121

Les tourbillons qui se développent dans la zone de recirculation commencent à se détacher et

atteignent le bord d‟attaque du profil. Dès lors, les tourbillons qui s‟y forment ne s‟atténuent plus et

continuent à se développer en se déplaçant sur l‟intrados ou sur l‟extrados du profil jusqu‟au

détachement. On constate sur la figure 8, que deux tourbillons (I, II) se forment derrière le cylindre et

se détachent alternativement avec une circulation opposée. Le tourbillon (I) atteigne le bord d‟attaque

du profil, il va être placé sur l‟extrados par le mouvement du profil, à la rencontre du tourbillon (a) qui

se forme sur ce dernier, ils s‟apparient et forment le tourbillon (1). Sur la figure 9, deux autres

tourbillons (III, IV) provenant du cylindre vont être convectés cette fois ci vers l‟intrados où ils

rencontrent le tourbillon(b) et s‟apparient pour former (2).

Figure 9 : formation des tourbillons pendant la phase de montée

Évaluation du rendement propulsif

Le profil est sujet à des forces de traînée X(t), de portance Y(t) et à un moment de tangage Q(t). Si T

est la période d‟oscillation, on définit la poussée moyenne F et la puissance moyenne par cycle P,

nécessaire pour maintenir le mouvement du profil :

dttXT

F

T

0

)(1

(5)

dtdt

tdhtY

TP

T

0

)()(

1 (6)

On définit le coefficient de puissance et le coefficient de poussée par :

dtftCostCUT

fh

SU

PC

T

lP )2()(2

2

10

0

3

(7)

dttCT

SU

FC

T

dt )(1

2

10

2

(8)

Tourbillon(2)

Tourbillon (I)

Tourbillon (II)



où : ρ est la densité du fluide, S est la surface portante, Cd et Cl sont respectivement le coefficient de

traînée et le coefficient de portance et U la vitesse de l‟écoulement libre.

Le rendement propulsif est défini comme étant le rapport de la puissance utilisée à la puissance

fournie :

dtftCostC

dttC

fh

U

C

C

P

FUT

l

T

d

p

t

)2()(

)(

2

0

0

0

(9)

La figure 10 donne la variation instantanée des coefficients de portance et de traînée. On constate que

cette variation est quasi-périodique. On calcule la moyenne de F et de P sur un nombre n de cycle pour

obtenir plus de précision.

dttXnT

F

nT

0

)(1

et dtdt

tdhtY

nTP

nT

0

)()(

1 (10)

t /T6 8 10 12 14 16 18 20

Cd

-2

-1

0

1

t /T6 8 10 12 14 16 18 20

Cl

-10

-5

0

5

10

Figure 10 : coefficients aérodynamiques à St=0.21

Pour les différentes configurations étudiées, la variation du coefficient de poussée est donnée par la

figure 11 et du rendement propulsif par la figure 12.

3. DISCUSSION ET CONCLUSION

En plaçant le profil dans le sillage d‟un cylindre, les tourbillons lâchés par ce dernier s‟associent avec

ceux qui se forment au bord d‟attaque du profil en augmentant de ce fait, la poussée générée et le

rendement propulsif. A des fréquences de battement voisines de la fréquence d‟émission naturelle du

cylindre, il semblerait que les tourbillons lâchés du cylindre interagissent avec ceux lâchés du profil

d‟aile d‟une manière destructive, produisant ainsi une force propulsive plus importante.



123

On constate que l‟ensemble en mouvement génère une poussée qui augmente en fonction du nombre

de Strouhal. Le rendement propulsif évolue inversement en fonction de l‟augmentation du nombre de

Strouhal.

St0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40

Ct

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Ct profil avec cylindre ・d=3D Ct profil avec cylindre ・d=4D Ct profil seul

Figure 11 : Évolution des coefficients de poussée en fonction de St pour les différentes configurations

St

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

profil avec cylindre à d=3D

profil avec cylindre à d=4D

profil seul

Figure 12 : Évolution du rendement propulsif en fonction de St pour les différentes configurations

Il est établi, également, que le coefficient de poussée augmente en fonction du nombre de Strouhal et

l‟interaction du profil avec le cylindre a un effet bénéfique sur le coefficient de poussée et le

rendement propulsif. Contrairement à la configuration profil seul en battement, en présence du

cylindre, le rendement propulsif a une allure décroissante en fonction du nombre de Strouhal, figure

12. Par ailleurs, il s‟avère que la distance entre le cylindre et le profil d‟aile n‟a pas une grande

influence sur l‟évolution du coefficient de poussée et le rendement propulsif.



4. REFERENCES

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