EURIA EURo Institut d'Actuariat · 2019. 9. 23. · EURIA EURo Institut d'Actuariat Mémoire présenté devant le jury de l'EURIAen vue de l'obtention du Diplôme d'ActuaireEURIA

EURIA � EURo Institut d'Actuariat

Mémoire présenté devant le jury de l'EURIA en vue de l'obtention duDiplôme d'Actuaire EURIA

et de l'admission à l'Institut des Actuaires

le 21 Septembre 2017

Par : Naoufal EL BEKRI

Titre : Mise à jour des tables de mortalité par approche multi-population. Application au

calcul de choc et au transfert du risque de longévité.

Con�dentialité : Non

Les signataires s'engagent à respecter la con�dentialité indiquée ci-dessus

Membre présent du jury de l'Institut

des Actuaires :

Marine HABART

Signature :

Entreprise :

Milliman

Signature :

Membres présents du jury de l'EURIA :

Alexis MERX

Philippe LENCA

Reinhardt EULER

Directeur de mémoire en entreprise :

Alexandre BOUMEZOUED

Signature :

Invité :

Signature :

Autorisation de publication et de mise en ligne sur un site de di�usion

de documents actuariels

(après expiration de l'éventuel délai de con�dentialité)

Signature du responsable entreprise : Signature du candidat :

Secrétariat : Bibliothèque :

EURIA 6, avenue le Gorgeu T +33 (0)2 98 01 66 55EURo Institut CS 93837 F +33 (0)2 98 01 66 57d'Actuariat 29238 Brest Cedex 3 [email protected]

http://www.univ-brest.fr/index.php?page=affiche_composante&object=euriahttp://www.euria.infini.fr/http://www.univ-brest.fr/index.php?page=affiche_composante&object=euriahttp://www.univ-brest.fr/index.php?page=affiche_composante&object=euriahttp://www.univ-brest.fr/index.php?page=affiche_composante&object=euriamailto:[email protected]

Résumé

Mots clefs : Tables de mortalité, Modèles multi-population, Complétion de données,Risques de longévité et de mortalité, Titrisation, Swap de longévité.

Le vieillissement des populations constitue un risque important pour les assureurs etles fonds de pensions, soulevant des problèmes d'ordre social et règlementaire : c'est ceque l'on appelle le risque de longévité. Pour gérer ce risque, il est nécessaire de disposerde deux éléments : des données de mortalité pour mesurer son degré, et des produits detitrisation pour le couvrir. En e�et, le premier élément permet, à travers des modèlesstochastiques, de projeter les populations actuelles, et d'établir des fonctions de survie.Le second, quant à lui, permet de transférer le risque de longévité associé aux fonctionsde survie à des investisseurs, des assureurs et des réassureurs. La di�culté réside dansla disponibilité de données �ables et mises à jour, en particulier dans un contexte où lesportefeuilles de rentes à couvrir peuvent concerner plusieurs pays.

Ce mémoire se base sur les modèles de mortalité multi-population, et propose uneméthode pour compléter les données de mortalité sur la base de cette modélisation.Il propose également d'appliquer ces résultats au transfert du risque de longévité etau calcul de choc de mortalité/longévité. La première partie du mémoire constitue uneétude qui a motivé le développement de méthode permettant de mettre à jour les tables demortalité. Ainsi, dans un premier temps, nous présenterons dans cette partie les méthodesde transfert du risque de longévité en détaillant la structure des di�érents produits detitrisation, incluant les swaps de longévité. Dans un deuxième temps, nous e�ectueronsune étude de sensibilité permettant d'évaluer la qualité de la couverture, et présenteronsles résultats issus de l'utilisation de tables de mortalité corrigées à travers des donnéesde naissance mensuelles, et les améliorations qu'elles peuvent apporter.

Ensuite, nous présenterons des modèles de mortalité multi-population, et introduironsune méthode de reconstitution de tables de mortalité, dont nous comparerons les résultatsà des projections de modèles basés uniquement sur le pays d'intérêt. Ces développementsnous permettent de disposer d'un cadre uni�é de constitution d'indices de longévité,en particulier pour les pays présentant des retards de publication dans les données demortalité.

Finalement, nous appliquerons la méthode de complétion des données de mortalitéau pricing des produits de titrisation, et au calcul des chocs de mortalité/longévité.

Abstract

Keywords : Mortality tables, Multi-population models, Data completion, Longevityand mortality risks, Securitization, Longevity swap.

Ageing populations are an important risk for insurers and pension funds, raising socialand regulatory problems. This is known as longevity risk. To manage this risk, two ele-ments are necessary : mortality data to measure its degree, and securitization products tohedge it. Indeed, the �rst element helps, through stochastic mortality models, to projectcurrent populations and establish survival functions. The second transfers the longevityrisk linked to survival functions to investors, insurers and reinsurers. The di�culty lieswithin the availability of reliable and up-to-date data, especially in a context where theannuity portfolios to hedge cover multiple countries.

This paper is based on multi-population mortality models, and proposes a method tocomplete mortality data based on this modelling. It also proposes to apply data comple-tion results to longevity risk transfer and mortality shock computation. The �rst part ofthe paper presents a study that motivated the development allowing to update morta-lity tables. Thus, in a �rst step, we will present methods for hedging longevity risk, bydetailing the structure of securitization products, including longevity swaps. In a secondstep, we will carry out a sensitivity study to measure the hedge quality, and present theresults obtained by using mortality tables corrected through monthly birth data, and theimprovements they can bring.

Then, we will present multi-population mortality models, and introduce a data com-pletion method for mortality tables. The method's results will be compared to projectionsof models based only on the country of interest. These developments provide a uni�edframework to compute longevity indices, in particular for countries having release delaysfor their mortality data.

Finally, we will apply the data completion method to longevity securitization pricing,and mortality/longevity shock computation.

Note de synthèse

Problématique et contexte

Avec le vieillissement des populations et l'allongement de l'espérance de vie, le risquede longévité, qui est le risque �nancier associé au fait que les individus vivent plus long-temps que prévu, devient plus complexe à gérer, en particulier pour un plan de retraiteà prestations dé�nies. Les estimations actuelles des montants des annuités et de l'expo-sition au risque au niveau global varient entre 15000 et 25000 milliards USD. Ainsi, unallongement de l'espérance de vie d'une année correspond à des dépenses supplémentairesde 450 à 1000 milliards (Blake et Bi�s, 2012).

Produits de transfert du risque de longévité

Face à l'augmentation de la demande en produits d'annuités, le marché du trans-fert du risque de longévité a connu beaucoup de développements, notamment grâce auxLongevity-Linked-Securities, c'est-à-dire des produits de titrisation du risque de longévité.Parmi ces produits on trouve les contrats S-forward et les swaps de longévité, qui per-mettent d'échanger une survie réalisée contre une survie �xe à une maturité donnée. Lavalorisation de tels produits nécessite de projeter les populations à travers des modèles demortalité stochastiques, a�n d'établir des probabilités de survie. Pour ce faire, des don-nées de mortalité �ables et disponibles sont essentielles. La première analyse e�ectuéedans ce mémoire consiste à comparer des prix de la jambe �xe d'un swap de longévité :nous calculons le prix à travers des données brutes, telles que fournies par la HumanMortality Database, et également avec des données issues de tables dites corrigées, oùles e�ets cohortes anomaliques ont été corrigés. Le Tableau 1 regroupe les écarts relatifsdu prix en fonction de la maturité du produit et l'âge du béné�ciaire. Le tableau meten évidence l'impact de la qualité des données, impact qui peut avoir des conséquencessigni�catives selon les montants couverts, en particulier pour des générations marquéespar des e�ets cohortes.

Ensuite, nous avons comparé deux con�gurations d'un contrat S-forward, la premièrestructurée par montants, la seconde par e�ectifs. Notons P le total de prestations versépar un gestionnaire de fonds, F1(1) le �ux du S-forward par montants et F2(1) le �ux duS-forward par e�ectifs. Nous avons démontré que le risque résiduel d'une con�gurationpar montants est toujours plus faible que celui d'une con�guration en e�ectifs. En e�et,

v

Table 1 � Erreur relative de la valeur de la jambe �xe entre données brutes et corrigées.

nous avons d'abord établi le résultat suivant :

Var(P − F2(1)

)−Var

(P − F1(1)

)= Var

n∑i=1

(Mi −XNi

)Si(1)

. (1)où Ni désigne le nombre d'individus dans la classe d'âge i, X la moyenne des retraites

Xi et Mi le total payé pour la tranche d'âge i. À partir de L'Equation (1) nous avonscomparé les risques résiduels dé�nis par le rapport entre le �ux monétaire global dugestionnaire avec et sans couverture, c'est-à-dire σ(P−F1(1))σ(P ) , k = 1, 2 :

σ(P − F1(1)

)σ(P )

≤σ(P − F2(1)

)σ(P )

En faisant évoluer la taille des classes d'âge et l'hétérogénéité des retraites par le biaisdes transformations de l'Equation (2), nous avons analysé la qualité de la couverture enmatière de risque résiduel. La Figure 1 montre l'évolution du risque résiduel des deuxcon�gurations, d'une part, en fonction de la taille du portefeuille (modulé selon α), etd'autre part, en fonction de l'indice d'hétérogénéité β :

N∗i = αNi,

X∗i = βXi + (1− β)X.(2)

La �gure con�rme bien l'analyse théorique dans la mesure où elle exhibe un risquerésiduel pour la con�guration en e�ectifs toujours supérieur à celui de la con�guration enmontants. De plus les courbes de la �gure ne se croisent que lorsque β = 0, en d'autrestermes lorsque la répartition des retraites est homogène, et les montants égaux à laretraite moyenne X.

Cette première partie a soulevé l'importance de la qualité des données et de leurdisponibilité dans le processus de valorisation des produits de longévité, aussi elle aconstitué une motivation pour la suite des travaux.

vi

Figure 1 � Risque résiduel de la couverture en fonction de la taille du portefeuille (enhaut) et l'indice d'hétérogénéité (en bas).

vii

Modèle multi-population et complétion de données

En partant du constat que les données de mortalités sont marquées par des délais depublication, nous avons mis en lumière quelques conséquences que cela peut engendrer,comme des imprécisions de valorisation. A�n d'adresser cette problématique, nous avonsdéveloppé une méthode permettant de mettre à jour des données de mortalité d'un paysdonné en se basant sur un ensemble d'informations observées pour d'autres pays. Pource faire, nous avons adopté une modélisation multi-population de la mortalité, car ellepermet de capturer les corrélations entre pays à travers des paramètres communs, ets'exprime par l'équation suivante :

lnµi(x, t) = αi(x) + β(x)κi(t) +B(x)K(t). (3)

où µi désigne le taux de mortalité dans la population i = 1, ..., n. La Figure 2 montre unexemple d'estimation du paramètre commun K(t) entre 1960 et 2012, ainsi qu'une pro-jection moyenne avec un intervalle de con�ance d'ordre 95% entre 2013 et 2043 (horizonde 30 ans).

1960 1980 2000 2020 2040

−30

−20

−10

010

Effet de période commun K

Année

K

Figure 2 � Estimation de K(t) et projection moyenne avec intervalle de con�ance ponc-tuel à 95%.

La Figure 3, quant à elle, montre des scénarios de taux de mortalité dans un ensemblede pays générés par le modèle multi-population, sur un horizon de 30 ans et pour les âges65 et 75 ans.

À partir de la modélisation de l'Equation (3), nous avons élaboré des formules pourestimer les données de mortalité ainsi que pour mesurer la variation des résidus de l'es-

viii

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2015 2025 2035−5.

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Âge 65

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Âge 75

Année

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Figure 3 � Scénarios des taux de mortalité pour les âges 65 et 75.

timation. En notant ξu(x, t + 1) l'accroissement manquant du logarithme du taux demortalité entre t et t+1 et ξo(x, t+1) le vecteur des accroissements observés, nous avonsétabli les formules suivantes pour l'espérance conditionnelle et la variance résiduelle :

E[ξu(x, T + 1) | ξo(x, T + 1)

]= E[ξu(x, T + 1)]+

Γξu(x,T+1),ξo(x,T+1)Γ−1ξo(x,T+1)

(ξo(x, T + 1)− E

[ξo(x, T + 1)

]),

(4)

σ2ξu(x,T+1) = E

[(ξu(x, T + 1)− E

[ξu(x, T + 1) | ξo(x, T + 1)

])2]= Γξu(x,T+1) − Γξu(x,T+1),ξo(x,T+1)Γ

−1ξo(x,T+1)

Γξo(x,T+1),ξu(x,T+1).

(5)

où Γξu(x,T+1) est la variance de ξu(x, T+1), Γξu(x,T+1),ξo(x,T+1) le vecteur des covariances

entre ξu(x, T+1) et ξo(x, T+1), Γξo(x,T+1),ξu(x,T+1) son transposé, et Γξo(x,T+1) la matrice

de variance-covariance de ξo(x, T + 1).

A�n d'illustrer la qualité des prédictions e�ectuées à travers la méthode de complé-tion des données, nous les avons comparées à des prédictions du modèle Lee-Carter. Lecalcul de la variance résiduelle nous a notamment permis de construire des intervallesde con�ance. La Figure 4 montre, d'une part, les erreurs relatives de prédiction pourdes données de mortalité des États-Unis avec le Japon comme pays support, et d'autre

ix

part, l'intervalle de con�ance de la prédiction pour 3 con�gurations 1 du modèle multi-population. Nous avons également inclus l'intervalle de con�ance du taux de mortalitéobservé au titre du risque d'échantillonnage.

606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889

erreur relative−0.

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0.04

0.06

0.08

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modèle 1modèle 0

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−3.30

−3.25

−3.20

modèle 0 modèle 1 modèle 2 modèle 3Modèles

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legende● Obs

Pred Modèle

Figure 4 � Erreurs relatives de prédiction par âge aux USA en 2013 (à gauche), etintervalles de con�ance ponctuel d'ordre 99% des prédictions et de la réalisation dulogarithme de taux de mortalité (à droite) pour l'age de 75 ans.

Finalement, les résultats de la méthode de complétion ont été mis à pro�t dans le calculde choc de longévité/mortalité et la valorisation de produit de titrisation du risque delongévité. Pour les chocs, nous supposons que les dernières données disponibles remontentà T , et que nous souhaitons calculer le choc en date T + 2 en complétant d'abord lesdonnées manquantes en T + 1. La Figure 5 illustre les résultats numériques obtenus avecdes données de mortalité aux États-Unis, en fonction des pays supports à la complétion.Nous remarquons que les niveaux de choc induits par le modèle multi-population sontplus faibles que le choc calculé par Lee-Carter. Cela est dû au ra�nement de l'évaluationdes données incomplètes : en tenant compte d'information externe, l'incertitude résiduelleest réduite.

Conclusion

Dans ce mémoire, nous avons, dans un premier temps, étudié les sensibilités desinstruments de titrisation du risque de longévité à la fois en matière de prix, de struc-turation et de qualité de la couverture. Puis, nous avons étudié les modèles de mortalité

1. Le modèle 1 avec le Japon, le modèle 2 avec le Japon et le Royaume-Uni, et le modèle 3 avec le

Japon, le Royaume-Uni et la France. Le modèle 0 est le Lee-Carter.

x

Figure 5 � Choc de longévité à 0,5% aux États-Unis en 2014, par modèle et en fonctiondu groupe de pays supports considéré.

multi-population, et nous avons adopté cette modélisation pour développer une méthodepermettant de reconstituer des tables de mortalité à travers les données observées despays supports. Cette méthode repose sur la caractérisation de l'espérance et de la va-riance du taux de mortalité d'un pays donné, conditionnellement à un ensemble de payssupport, mais également des corrélations conditionnelles entre di�érents pays d'intérêt.Finalement, cette méthode a été utilisée pour calculer des chocs de longévité, pricer desproduits de transfert du risque de longévité, et mettre à jour un indice de mortalité (monoet multi-pays) grâce à la caractérisation de sa variance résiduelle et des corrélations entreles pays qui le composent.

xi

Executive summary

Problem and context

With ageing populations and the extension of life span, the longevity risk becomesmore complex to manage, especially for retirement plans with de�ned bene�ts. Longevityrisk is the �nancial risk associated with people living longer than expected. The currentestimations of the annuity amounts and the risk exposure at the global level range from15000 to 25000 billion USD. Therefore, an increase of the life span of one single yearcorresponds to an extra cost varying from 450 to 1000 billion USD (Blake et Bi�s,2012).

Products for longevity risk transfer

Due to the increase in annuity product demand, the market of longevity risk trans-fer has known many developments, in particular thanks to Longevity-Linked-Securities,which are securitization products for longevity risk. Among these products there are S-forward contracts and longevity swaps, which allow exchanging a realized survival rateagainst a �xed one at the maturity of the contract. The pricing of such products requiresto project current populations through stochastic mortality models in order to establishsurvival probabilities. For this purpose, reliable and available mortality data are essential.The �rst analysis carried out in this work consists in comparing prices for a longevityswap's �xed leg : we compute the price through crude mortality data, as provided by theHuman Mortality Database, and also through data from adjusted mortality tables whereanomalies related to isolated cohort tables were corrected. Table 2 reports the relativedeviation of prices by product maturity and pensioner's age, and highlights the impactof data quality. This impact can have signi�cant consequences depending on the amountscovered, especially for generations marked by cohort e�ects.

We then compared two con�gurations of an S-forward contract : the �rst one is struc-tured by amounts, the second one by numbers. Denote P the total amount of bene�tspaid by the fund manager, F1(1) the stream of the S-forward by amounts, and F2(1)the stream of the S-forward by numbers. We have proved that the residual risk of theamounts-structured S-forward is lower than the risk of the numbers-structured one. In-deed, we have �rst established the following result :

xiii

Table 2 � Relative deviation in �xed leg price between crude and corrected mortalitydata.

Var(P − F2(1)

)−Var

(P − F1(1)

)= Var

n∑i=1

(Mi −XNi

)Si(1)

. (6)where Ni is the number of individuals in the age group i, X the mean of pension

amounts Xi, and Mi the total paid to age group i. From Equation (6) we could compareresidual risks, de�ned by the ratio of the global monetary stream of the fund managerwith and without hedge, which means σ(P−F1(1))σ(P ) , k = 1, 2 :

σ(P − F1(1)

)σ(P )

≤σ(P − F2(1)

)σ(P )

By increasing the size of age groups and the heterogeneity of pension amounts throughthe transformations of the Equation (7), we have analyzed the quality of the hedge in termof residual risk. Figure 6 shows the evolution of the residual risk of the two con�gurations,on one hand, according to the size of the portfolio (modulated by α), and on the otherhand, according to the heterogeneity index β :

N∗i = αNi,

X∗i = βXi + (1− β)X.(7)

The �gure con�rms the theoretical analysis since it shows that the residual risk for thecon�guration by numbers is always greater than the one of the con�guration by amounts.Moreover, the curves do not cross unless β = 0, in other words, when the distribution ofpensions is homogeneous, and pension amounts equal to the mean X.

This �rst part has highlighted the importance of data quality and availability in thepricing process of longevity products. It also constituted a motivation for the followingdevelopments.

xiv

Figure 6 � Hedge's residual risk according to portfolio size (top) and heterogeneity index(bottom).

xv

Multi-population model and data completion

Mortality data are marked by publication delays, which can lead to some conse-quences, such as valuation inaccuracy. In order to address this issue, we developed amethod allowing to update mortality data for a given country based on a set of obser-ved information of other countries. To do so, we adopted a multi-population modelingof mortality, because such models can capture correlations between countries throughcommon parameters. The model is described by the following equation :

lnµi(x, t) = αi(x) + β(x)κi(t) +B(x)K(t). (8)

where µi is the mortality rate of population i = 1, ..., n. Figure 7 shows an estimationexample for the common parameter K(t) between 1960 and 2012, along with a meanprojection and a 95% con�dence interval, between 2013 and 2043 (30 year horizon).

1960 1980 2000 2020 2040

−30

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010

Effet de période commun K

Année

K

Figure 7 � K(t) Estimation and mean projection with 95% con�dence interval.

As for Figure 8, it shows force of mortality scenarios generated by the multi-populationmodel, for a set of countries, over a 30 year horizon and for ages 65 and 75 years.

Based on the modeling of Equation (8) we developed formulas to estimate mortalitydata as well as to measure the variation of the estimation's residuals. By denoting ξu(x, t+1) the missing increase of the death rate logarithm between t and t+ 1 and ξo(x, t+ 1)the vector of the observed increases, we have derived the following formulas for theconditional expectation and the residual variance :

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2015 2025 2035−5.

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5.0

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4.2

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Figure 8 � Death rate scenarios for ages 65 and 75 years.

E[ξu(x, T + 1) | ξo(x, T + 1)

]= E[ξu(x, T + 1)]+

Γξu(x,T+1),ξo(x,T+1)Γ−1ξo(x,T+1)

(ξo(x, T + 1)− E

[ξo(x, T + 1)

]),

(9)

σ2ξu(x,T+1) = E

[(ξu(x, T + 1)− E

[ξu(x, T + 1) | ξo(x, T + 1)

])2]= Γξu(x,T+1) − Γξu(x,T+1),ξo(x,T+1)Γ

−1ξo(x,T+1)

Γξo(x,T+1),ξu(x,T+1).

(10)

where Γξu(x,T+1) is the variance of ξu(x, T + 1), Γξu(x,T+1),ξo(x,T+1) the vector of

covariances between ξu(x, T + 1) and ξo(x, T + 1), Γξo(x,T+1),ξu(x,T+1) its transpose and

Γξo(x,T+1) the variance-covariance matrix of ξo(x, T + 1).

In order to illustrate the quality of the predictions made by the data completion me-thod, we have compared them to the predictions of the Lee-Carter model. The residualvariance computation helped us construct con�dence intervals. Figure 9 shows, on onehand, relative errors of predictions for US mortality data with Japan as support country,and on the other hand, the con�dence interval of the prediction for 3 con�gurations 2

of the multi-population model. We also included the con�dence interval of the observedmortality rate to account for sampling risk.

2. Model 1 with Japan, model 2 with Japan and UK, and model 3 with Japan, UK and France. Model

0 is the Lee-Carter.

xvii

606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889

erreur relative−0.

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−3.30

−3.25

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modèle 0 modèle 1 modèle 2 modèle 3Modèles

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legende● Obs

Pred Modèle

Figure 9 � Relative errors of prediction by age in 2013 for US data (left), and 99%con�dence intervals for predictions and the realisation of the death rate logarithme (right)for age 75 year.

Finally, the results of the data completion method were used to compute longevity/mortality shocks and price securitization products for longevity risk. For shocks, weassume that the last available data is at time T , and that we want to compute theshock at T + 2, after having completed the missing data at T + 1. Figure 10 showsthe results obtained with US mortality data, according to the countries used for thecompletion process. We observed that the shock levels induced by the multi-populationmodel are lower than the ones computed through the Lee-Carter model. This is due to theimprovement of missing data estimation : by taking into account external information,the residual uncertainty is reduced.

Conclusion

In this work, we have studied, in the �rst part, the sensitivity of longevity risk secu-ritization instruments in term of price, con�guration and hedge quality. Then, we havestudied multi-population mortality models, and adopted this modelling to develop a me-thod that helps to complete mortality tables through a set of observed information. Thismethod is based on the characterization of the expected value and the variance of themortality rate for a given country, conditionally to a set of support countries, but alsothe characterization of conditional correlations between countries of interest. Finally, thismethod was used to compute longevity shocks, price products for longevity risk transfer,and to update a mortality index (mono and multi-country) thanks to the characterizationof its residual variance and the correlations between the countries composing it.

xviii

Figure 10 � Longevity 0.5% shocks for US data in 2014, by model con�guration.

xix

Remerciements

Je voudrais commencer par remercier mon encadrant de stage Alexandre BOUME-ZOUED, Consultant Sénior au sein du cabinet Milliman. Je le remercie tout d'abordpour ses enseignements : j'ai beaucoup appris à ses côtés de par son encadrement etsa disponibilité. Je souhaiterais également le remercier de m'avoir donné l'occasion departiciper à des conférences qui m'ont beaucoup apportées.

Ensuite je remercie Laurent DEVINEAU pour ses propositions qui ont largementcontribué à la réalisation de ce mémoire. Je remercie également mes collègues de Millimanpour leurs encouragements et toutes les réponses et conseils qu'ils m'ont apportés.

Je souhaite adresser ma gratitude aux corps professoraux de l'EURIA et de l'IMTAtlantique (Ex Telecom Bretagne) pour la qualité de la formation et de l'enseignementdispensés. J'exprime mes remerciement plus particulièrement à Philippe LENCA poursa disponibilité et ses conseils pendant les deux années de double cursus entre les deuxécoles. Je souhaite également remercier Elodie DURAND pour son dévouement et sesconseils.

Finalement, je remercie ma famille et mes amis, en particulier mes parents pour leursenseignements et les valeurs qu'ils m'ont inculquées.

xxi

Table des matières

1 Introduction 1

2 Transfert de risque de longévité 3

2.1 État des lieux des transactions passées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Buy-out et Buy-in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.2 S-forward, Swap de longévité et longevity bond . . . . . . . . . . . 7

2.1.3 Bilan des transactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Méthodes d'évaluation en marché incomplet . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 Formalisme mathématique : Opportunité d'arbitrage et complé-tude du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2 Méthodes d'évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Étude du prix de la couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Étude de l'e�cacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.1 Comparaison théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.2 Étude d'un portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Modèles multi-population 33

3.1 Présentation des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Données de la Human Mortality Database . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Méthode de calibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4 Projections et Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Complétion des données de mortalité 51

4.1 Dynamique de publication des données de mortalité . . . . . . . . . . . . . 52

4.2 Complétion pour un modèle à deux pays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Généralisation à 1 pays parmi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4 Complétion généralisée dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.5 Cluster de populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.5.1 Processus de constitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.5.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

xxiii

5 Applications 755.1 Révisions des chocs de mortalité/longévité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2 Retour au transfert du risque de longévité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2.1 Impact de la complétion sur la valorisation . . . . . . . . . . . . . 815.2.2 Extension au calcul des corrélations conditionnelles et application

à la valorisation d'indice composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6 Conclusion 93

A Annexe 95A.1 Variance totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95A.2 Décomposition partielle de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97A.3 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98A.4 Covariance des accroissements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100A.5 Algorithme de maximisation de la log-vraisemblance . . . . . . . . . . . . 100A.6 Variance résiduelle de l'indice composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Bibliographie 106

xxiv

Chapitre 1

Introduction

Grâce aux avancées dans le domaine médical et l'amélioration des conditions de vie,les populations vivent plus longtemps. Ainsi le risque de longévité, qui correspond au faitque les individus vivent en moyenne signi�cativement plus longtemps que prévu devientplus complexe et coûteux, surtout pour les fonds de pension en support à un régime àprestations dé�nies : un allongement de l'espérance de vie d'une année augmente la valeuractuelle des engagements de 3 à 4%. Les estimations globales des montants des annuitéset de l'exposition au risque de longévité, varient entre 15000 et 25000 milliards USD.Ainsi, l'allongement de l'espérance de vie se traduirait chez les détenteurs du risque parun paiement supplémentaire de 450 à 1000 milliards USD (voir Blake et Bi�s (2012)).

Ce risque pose des dé�s majeurs non seulement sociaux, économiques et politiquesmais aussi scienti�ques, à cause de son aspect longue durée. Comme les projectionsactuelles des personnes âgées de plus de 65 ans montrent des proportions de plus enplus grandes, la demande en produits d'annuité auprès des assurances va certainementaugmenter, en particulier dans un environnement où les prestations publiques vont conti-nuer à baisser. Une manière de gérer le risque de longévité est de le transférer grâce àdes solutions comme les buy-out et buy-in. Ce fut le cas du marché des assurances auRoyaume-Uni, où les transactions ont commencé dès 2006, et qui a rapidement atteint en2008 des niveaux autour de 11 milliards USD, niveaux à partir desquels ces acteurs ontcommencé à montrer des signes de saturation. De plus, ces solutions transfèrent d'autresformes de risque en parallèle de celui associé à la longévité, comme le risque d'investisse-ment, des taux ou de l'in�ation (Bi�s et Blake, 2010). Par conséquent, il est nécessaired'explorer d'autres voies comme la titrisation, qui permet de transformer les cash-�owsliés au risque de longévité en actifs et de les transférer au marché des capitaux. La titri-sation des risques liés à l'assurance a démarré dans le milieu des années 1990 et a donnénaissance aux Insurance-Linked-Securities (cat bonds), et plus tard, avec le transfert desrisques de mortalité et de longévité, aux Mortality/Longevity-Linked-Securities. À no-ter qu'à ce jour, les dérivés de longévité connaissent un succès limité par rapport auxproduits de mortalité (mortality cat bonds).

Des progrès considérables ont été réalisés dans la modélisation et la quanti�cationde la mortalité en particulier à travers le développement de modèles stochastiques (voir

2 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

par exemple Cairns et al. (2009), Brouhns et al. (2002), Li et Lee (2005)), et égalementdans la conception et la valorisation des produits de transfert du risque de longévité(voir Blake et al. (2006), Dowd et al. (2006),Bi�s et al. (2016), Wang et Yang (2013)).Toutefois la première tentative d'émission d'un longevity bond a été un échec, car deschallenges et di�cultés demeurent non résolus, notamment la dynamique irrégulière depublication des tables de mortalité.

Ce mémoire s'inscrit dans l'étude de la qualité des données de mortalité et proposedes éléments de réponse quant à la gestion du délai de publication des tables au regardde la quanti�cation du risque. La motivation de ces travaux réside dans la mise en placede solutions de transfert de risque de longévité. Ainsi, la première partie consiste en uneprésentation des principales méthodes de transfert du risque, avec leurs avantages et in-convénients respectifs. Elle contient aussi une étude du risque résiduel d'une couverturepar titrisation, et sa sensibilité à certains paramètres, l'objectif de l'étude étant de com-parer deux con�gurations de la couverture. L'impact de la qualité des données utiliséesest également analysé.

Ensuite, nous étudions des modèles de mortalité multi-population qui constituentune alternative de modélisation, en particulier dans un contexte où les (ré)assureurspeuvent couvrir des portefeuilles de rentes dispersés dans plusieurs pays. Ces modèlesnous permettront de compléter les données de mortalité en tirant parti des corrélationset de la structure commune, et ce , à travers des formules de conditionnement pour lesprocessus gaussiens. Ces résultats seront notamment comparés à ceux d'une modélisationpar Lee-Carter.

Finalement, nous appliquerons les résultats de la complétion des tables de mortalitéau pro�t du calcul des chocs de longévité, de la valorisation des produits de titrisation etde la construction d'un indice de mortalité de référence pour l'évaluation des corrélationsconditionnelles.

Mémoire EURIA

http://www.univ-brest.fr/index.php?page=affiche_composante&object=euria

Chapitre 2

Transfert de risque de longévité

La titrisation est une opération �nancière qui consiste à transférer à des investisseursun risque en le transformant en titres �nanciers émis et négociables sur les marchés.Cette technique appliquée au secteur de l'assurance et des fonds de pension, suite àl'allongement de l'espérance de vie, a donné naissance aux instruments de transfert derisque de longévité. Ce marché n'est pas aussi développé que celui de la mortalité, etnous citons à titre d'exemple les cat bonds, ou des produits plus complexes comme lespandemic bonds qui dépendent d'un indice de pandémie au lieu d'un indice de mortalité.

Ce chapitre dresse un bilan des opérations de couverture du risque de longévité, où nousnous plaçons principalement du point de vue d'un gestionnaire de plan de retraite. Dansun premier temps nous présenterons les di�érentes stratégies de couverture, en détaillantleurs structures, leurs fonctionnements et leurs avantages et inconvénients respectifs.Puis, nous présenterons les di�érentes méthodes d'évaluation des produits de longévitéen marché incomplet. Finalement, nous e�ectuerons une étude de cas, couplée à uneanalyse de l'e�cacité de la couverture en fonction de sa con�guration.

Ce premier chapitre constitue une motivation dans la mesure où il démontre l'impor-tance de la qualité des données et leur disponibilité dans la valorisation des produits detransfert de risque de longévité.

2.1 État des lieux des transactions passées

2.1.1 Buy-out et Buy-in

Parmi les solutions de transfert de risque de longévité, il existe les buy-out et lesbuy-in.

Buy-out

Dans une opération de buy-out, l'intégralité du passif et de l'actif d'un régime deretraite ou d'un fonds de pension est transférée à un assureur contre le paiement d'une

4 CHAPITRE 2. TRANSFERT DE RISQUE DE LONGÉVITÉ

prime unique. Les engagements et les actifs correspondants disparaissent alors du bilande l'entreprise cédante, et l'assureur devient entièrement responsable du versement desprestations aux béné�ciaires.

Buy-in

Dans le cas d'un buy-in, le fonds de pension ou le régime de retraite reste en placeet paie une prime unique à un assureur. Ce dernier s'engage à verser périodiquementau fonds des montants qui correspondent à ses engagements envers les béné�ciaires, lecouvrant ainsi contre un éventuel allongement de prestations. Cette couverture entrealors à l'actif dans le bilan du fonds ou du régime de retraite.

La Figure 2.1 schématise le fonctionnement des buy-out et des buy-in.

Figure 2.1 � Structure d'un buy-out et d'un buy-in.

Avantages et inconvénients des Buy-out et Buy-in

Les solutions de buy-out et de buy-in ont l'avantage de correspondre exactementaux prestations qui doivent être versées. A ce titre, elles couvrent notamment le risqued'échantillonnage qui est l'incertitude résiduelle due à la taille limitée du groupe debéné�ciaires, dont les durées de vie se réalisent de manière aléatoire autour de leur valeurmoyenne. Ce risque est d'autant plus important que le nombre de béné�ciaires est faible,car plus la taille du portefeuille est réduite et plus la mutualisation est faible.

Ces solutions présentent cependant des prix élevés pour plusieurs raisons. Tout d'abordla réglementation fait que les assureurs sont soumis à des contraintes de solvabilité plusexigeantes que celles des fonds de pension et des régimes de retraite. Nous pouvons ci-ter à titre d'exemple les réserves que les assureurs doivent constituer dans le cadre deSolvabilité II. Par ailleurs, les fonds de pension peuvent temporairement présenter undéséquilibre de bilan où la valeur actuelle des engagements dépasse la valeur globale desactifs. Ce décalage de �nancement devant être comblé avant l'exécution de l'opération detransfert, la prime à payer augmente. L'environnement actuel des taux bas accentue les

Mémoire EURIA


2.1. ÉTAT DES LIEUX DES TRANSACTIONS PASSÉES 5

déséquilibres dans le bilan étant donné la baisse du rendement des actifs et l'augmenta-tion de la valeur actuelle des engagements. Ce phénomène est illustré dans le graphiquede la Figure 2.2 qui représente les variations de l'indice de �nancement des 100 plusgrands plans de retraite d'entreprise à prestations dé�nies 1 aux États-Unis. Cet indiceest dé�ni comme la di�érence entre la valeur de marché de l'ensemble de l'actif d'un fondsde pension et la valeur actuelle de ses engagements, donc du best estimate de son passif.Nous pouvons remarquer que l'indice est négatif depuis l'année 2008, ce qui traduit undéséquilibre et une augmentation des engagements par rapport aux actifs disponibles.

Figure 2.2 � Milliman 100 Pension Funding Index.

Une étude réalisée par Mercer 2 dresse les prix des opérations de buy-out de fondscomme pourcentage de la valeur de leurs passifs. La Figure 2.3 présente les variationsde ces prix par pays de Février 2016 à Février 2017. Le graphique montre que lesprix dépassent globalement les 105%, pour atteindre leur maximum autour de 123%au Royaume-Uni. Les di�érences de prix entre pays peuvent s'expliquer notamment parles di�érences de réglementation locale en matière de �nancement des régimes de re-traite. À titre d'exemple, le coût du transfert du passif au Royaume-Uni est supérieur àcelui des États-Unis car les fonds de pension au Royaume-Uni sont généralement indexéssur l'in�ation. Dans l'ensemble, les prix des transactions de buy-out dépassent la valeurdu passif, ce qui encourage l'utilisation de solutions alternatives comme les swaps delongévité.

Au regard des transactions sur le marché de la longévité, pour les plans de retraite detaille réduite, la solution de buy-out demeure cependant largement privilégiée, car l'écart

1. Régime qui garantit au béné�ciaire, au moment de son départ en retraite, un montant de prestations

déterminé

2. Mercer Global Pension Buyout Index, April 2017

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Figure 2.3 � Prix de buy-out comme pourcentage de la valeur comptable du passif.

de prix que représente la prime reste limité, et le risque d'échantillonnage important dansce cas de �gure est couvert par cette solution.

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2.1.2 S-forward, Swap de longévité et longevity bond

Les produits de titrisation, comme le S-forward ou le swap de longévité permettentd'accéder à des volumes de couverture plus importants, en comparaison aux buy-outet buy-in, car les marchés �nanciers disposent de plus de capacité que l'industrie del'assurance (Caillat et al., 2008).

S-forward

Un S-forward, qui constitue la brique élémentaire d'un swap de longévité, est unaccord entre deux contre-parties pour s'échanger à une date future τ (où τ est la maturitédu contrat) le taux de survie réalisé S(τ) d'une population de référence à cette datefuture, contre un taux de survie K �xé à la signature du contrat. La Figure 2.4 présentela structure d'un S-forward de nominal N , qui peut correspondre soit au nombre debéné�ciaires soit au montant global des rentes.

Figure 2.4 � Structure d'un S-forward de maturité τ .

Le payo� dénoté NPA (Net Payo� Amount) associé à ce contrat vaut alors :

NPA(τ) = N(S(τ)−K

).

Swap de longévité

Le swap de longévité consiste en une combinaison de S-forwards de di�érentes matu-rités τ1, τ2, ..., τn, comme illustré en Figure 2.5.

Figure 2.5 � Swap de longévité de maturité τn.

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Dans le montage décrit par la Figure 2.6, le fonds de pension verse des primes pério-diques et reçoit en retour des prestations qui correspondent aux paiements de la jambevariable. Lorsque ces paiements égalisent la survie réalisée des béné�ciaires du fonds, nousparlons de swap sur mesure. Tandis que lorsque les paiements de la jambe variable sontindexés sur la mortalité d'une population de référence, nous parlons alors de swap surindice. À titre d'exemple, la population de référence peut être la population nationale,ou bien une combinaison de plusieurs populations. Dans ce cas de �gure, un problèmeintervient qui est celui de la disponibilité des données de mortalité pour composer etmettre à jour l'indice, et nous verrons dans le chapitre suivant les éléments de réponsesapportés.

Il existe des indices sur le marché de la longévité parmi lesquels nous pouvons trouver"LifeMetrics" lancé par JPMorgan, ou encore celui lancé par LLMA 3.

Figure 2.6 � Structure d'un swap de longévité.

Longevity bond

Le longevity bond est un instrument de transfert de risque de longévité qui a étéintroduit par Blake et Burrows (2001), et dont la structure est détaillée en Figure 2.7.C'est une obligation dont les coupons dépendent du taux de survie d'une population deréférence : à l'émission du titre l'investisseur paie un montant P0 et reçoit chaque annéeτi, 1 ≤ i ≤ n, jusqu'à maturité , des coupons revalorisés au taux de survie S(τi).

À ce jour, il n'y a eu aucune émission réussie de longevity bond, nous pouvons citerà titre d'exemple le longevity bond annoncé par BNP Paribas et EIB 4 en 2004 et quia été retiré du marché en 2005 faute d'investisseurs. Comme expliqué dans Blake et al.(2013), cet échec est principalement dû au fait que le risque de base, qui est le risque quela survie moyenne des béné�ciaires s'écarte de l'indice de référence, était considéré trèsimportant.

3. Life & Longevity Markets Association, www.llma.org

4. European Investment Bank

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Figure 2.7 � structure d'un longevity bond.

Dans le suite de ce mémoire nous étudierons uniquement les S-forwards et les swapsde longévité.

Naoufal EL BEKRI


Avantages et inconvénients des S-forwards et swaps de longévité

Les produits comme le swap de longévité et le S-forward permettent de couvrir lerisque de longévité associé à des sous-groupes de béné�ciaires ou de la population sousjacente. Ils permettent également d'isoler le risque de longévité du risque d'investissementdes actifs, qui est transféré à l'assureur ou au réassureur dans le cas d'une opération debuy-out ou buy-in.

La mise en place d'un swap de longévité nécessite l'immobilisation d'actifs sous formede collatéral qui sert de garantie contre le risque de crédit. Toutefois, Bi�s et al. (2013)montrent que le coût de la collatéralisation peut être relativement faible, et qu'il dépendde la di�érence entre la jambe �xe et la jambe variable.

Les swaps de longévité présentent l'inconvénient de ne pas couvrir le risque d'échan-tillonnage. Le swap sur indice ne permet pas non plus de couvrir le risque de base.

Le Tableau 2.1 récapitule les avantages et inconvénients des principaux produits detransfert du risque de longévité.

Table 2.1 � Avantages et inconvénients des principales solutions de transfert du risquede longévité.

2.1.3 Bilan des transactions

L'allongement de l'espérance de vie depuis plusieurs années est le principal moteur dumarché des produits de longévité. Les projections des populations, basées à la fois sur leshypothèses de mortalité et de natalité, permettent de dresser l'évolution du ratio entre lapopulation des plus de 65 ans et la population active. Les données actuelles de di�érentspays montrent des ratios entre 20 et 30%, comme illustré de manière croissante dans la

Mémoire EURIA



Figure 2.8. Toutefois, les projections montrent des ratios autour de 40% et qui peuventaller jusqu'à 55%, qui est le cas pour l'Allemagne par exemple. Ainsi nous pouvonsidenti�er une tendance croissante pour le risque de longévité, et par conséquent de plusen plus de gestionnaires de fonds de pension seront amenés à exécuter des opérations detransfert de risque de longévité.

Figure 2.8 � Pourcentage des personnes âgées de plus de 65 ans de la population activeen 2010 et prévisions en 2050.

Depuis l'émission du premier swap de longévité entre Canada Life, qui a couvert lerisque de longévité de son portefeuille d'annuité au Royaume-Uni, et Equitable Life (Tanet al., 2015), le marché a connu plusieurs opérations de swap de longévité, entre di�érentstypes d'acteurs comme les plans de retraite, les assureurs, les réassureurs et les banques.Le Tableau 2.2 regroupe quelques exemples de transactions par ordre croissant de volumequi correspond au total des engagements.

Nous remarquons qu'en général, les transactions impliquent des volumes importantsquant aux passifs. Toutefois, le marché s'ouvre de plus en plus aux petites structurespour réaliser des opérations de transfert de risque. Cela a été le cas en octobre 2016, oùun fonds de pension a transféré son portefeuille de retraites d'une valeur de 50 millions ¿à Zurich et Paci�c Life Re, enregistrant par là le plus petit swap de longévité du marché.

Naoufal EL BEKRI


Table 2.2 � Liste de quelques opérations de swaps de longévité.

2.2 Méthodes d'évaluation en marché incomplet

2.2.1 Formalisme mathématique : Opportunité d'arbitrage et complé-tude du marché

Dans la suite, nous considérons l'espace probabilisé (Ω,F ,P) où P est la probabi-lité historique, E[.] l'espérance mathématique sous cette probabilité, r le taux d'intérêtsupposé déterministe et constant, et T un horizon donné.

Nous introduisons également τ la variable aléatoire modélisant la durée de vie d'unindividu donné. Alors le taux de mortalité pour cet individu à l'âge x, qui est aussi laprobabilité instantanée de décès, est dé�ni par :

µ(x)dx = P(τ ∈ [x, x+ dx) | τ > x

).

Toutefois, comme la mortalité évolue dans le temps, il est nécessaire d'ajouter unevariable temporelle pour mieux décrire la force de mortalité. Ainsi, nous dé�nissons laprobabilité de décès de l'individu d'âge x au temps t = x+ν, où ν est sa date de naissancepar :

µ(x, x+ ν)dx = P(τ ∈ [x, x+ dx) | τ > x, ν

).

et nous supposons que le taux de mortalité est constant durant un âge x et une annéet donnés, ce qui correspond aux tables périodiques (voir Boumezoued (2016a)) :

µ(x+ �, t+ δ) = µ(x+ 1, t+ 1), ∀ �, δ ∈ ]0, 1].

Cette notation est di�érente des notations classiques pour les tables périodiques, maisest choisie ici car elle respecte la discrétisation temporelle des modèles que nous verrons

Mémoire EURIA


2.2. MÉTHODES D'ÉVALUATION EN MARCHÉ INCOMPLET 13

par la suite. Ainsi, la fonction ou probabilité de survie à n années pour cet individus'obtient par :

S(n) = exp

(−∫ n0µ(s, ν + s)ds

)= exp

− n∑j=1

µ(j, ν + j)

. (2.1)A�n de calculer la grandeur de l'Équation (2.1), il nécessaire de disposer des valeurs du

taux de mortalité µ(x, t), que l'on estime à partir de deux quantités : le nombre de décèsintervenus dans l'année, noté D(x, t) et l'exposition au risque correspondante, E(x, t). L'exposition au risque est la somme des durées de vie dans l'année t de chaque individu.L' estimateur du taux de mortalité est donné par :

µ̂(x, t) =D(x, t)

E(x, t).

Comme il est di�cile de mesurer la somme des durées de vie dans l'année, E(x, t) estalors approchée par la moyenne des populations en début et �n d'années.

Opportunité d'arbitrage

Un arbitrage est un moyen de gagner de l'argent de façon sûre, sans prendre de risque,et en particulier sans mise initiale. Mathématiquement cela ce traduit par l'existence d'unportefeuille π de valeur V π = (V πt )t≥0 tel que :

V π0 = 0, P (V πT ≥ 0) = 1, P(V πT ) > 0

)> 0.

La première condition traduit le fait qu'il n'y a pas de mise initiale, la seconde quenous ne perdrons pas d'argent, et la dernière qu'avec une probabilité strictement positivenous réalisons un réel pro�t.

L'absence d'opportunité d'arbitrage (AOA) découle de l'auto-régulation du marché :si une telle possibilité existait, elle serait repérée et exploitée par les agents économiques,et ainsi disparaitrait. Le résultat fondamental de l'évaluation par arbitrage établit quel'AOA est équivalente à l'existence d'une mesure de probabilité Q, appelée probabilitérisque neutre, qui est équivalente à P et sous laquelle le processus du prix actualisé estune martingale (Bouchard, 2007).

Complétude du marché

Une autre notion importante est la complétude du marché. Un marché est completsi pour tout �ux �nancier ξ il est possible de construire un portefeuille de couvertureauto�nancé π dit de réplication tel que :

V πT = ξ.

Nous avons également un résultat fondamental qui établit que s'il existe une probabilitérisque neutre Q, le marché est complet si et seulement si Q est unique (Bouchard, 2007).

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2.2.2 Méthodes d'évaluation

Dans cette sous-section nous décrivons les principales méthodes d'évaluation utiliséespour valoriser les produits de longévité tel le S-forward. A�n de valoriser un swap de lon-gévité, il su�t d'appliquer le processus de pricing du S-forward aux di�érentes échéancesdu swap. Le but de la valorisation est de déterminer le montant de la jambe �xe K, quisera échangé contre la survie réalisée S(T ) à maturité du contrat. Nous notons N lenominal du contrat.

Évaluation risque neutre

Comme la structure d'un S-forwards est similaire à celle d'un contrat forward clas-sique, une manière naturelle de valoriser les S-forward et par extension les swaps delongévité, serait l'approche risque neutre :

EQ[e−rTN

(S(T )−K)

)]= 0.

Ce qui implique que

K = EQ[S(T )

].

Cependant, comme décrit par Cairns et al. (2006), le S(t) sous-jacent n'est pas liquideet le marché de longévité est immature, ainsi l'approche risque neutre est erronée. Enparticulier (e−rtS(t))t≥0 n'est pas forcement une Q-martingale. De plus le manque deliquidité induit une incomplétude du marché, car le risque ne peut pas être répliqué.

L'évaluation par une probabilité risque-neutre permet d'établir un prix unique, celuidu portefeuille de réplication qui couvre complètement le risque. Ainsi, dans un marchéincomplet tel le marché de longévité, il n'existe pas une unique probabilité risque neutre,ce qui rend le choix de la mesure de probabilité pour l'évaluation crucial.

Principe du fair premium

Le fair premium est une approche actuarielle qui consiste à valoriser la jambe �xed'un S-forward ou swap de longévité en supposant que l'espérance, sous la probabilitéhistorique, de son pay-o�, vue en t=0, est nulle

E[e−rTN

(S(T )−K

)]= 0 =⇒ K = E

[S(T )

].

Cette approche est similaire à l'évaluation risque neutre, la seule di�érence étant lamesure de probabilité employée. La méthode est justi�ée par la loi forte des grandsnombres (voir Barrieu et Veraart (2016)), qui stipule que la moyenne empirique 1n

∑ni=1Xi

converge presque sûrement vers E[Xi] = µ, l'espérance des variables aléatoires Xi. Dansle cadre du risque de longévité, cela signi�e qu'un grand nombre de contrat S-forward ou

Mémoire EURIA


2.2. MÉTHODES D'ÉVALUATION EN MARCHÉ INCOMPLET 15

swap doit exister pour que la condition soit respectée, ce qui n'est pas le cas au regardde l'immaturité du marché et l'illiquidité du sous-jacent.

Cette méthode est souvent utilisée conjointement avec l'ajout d'une prime de risque,qui peut être proportionnelle à l'écart-type, ce qui va déboucher sur le prochain principede valorisation.

Principe du standard deviation

Comme introduit auparavant, le principe du standard deviation permet d'inclure uneprime de risque dans la valorisation, au travers de l'écart-type. Cette approche supposequ'à l'initialisation du contrat, la valeur actuelle du pay-o� est nulle, toutefois le pay-o�n'est pas exprimé en termes d'espérance uniquement. La méthode standard deviation estdécrite par l'Equation (2.2).

E[e−rTN

(S(T )−K

)]+ λ

√Var

(e−rTN

(S(T )−K

))= 0. (2.2)

Ceci implique en particulier que K = E[S(T )

]+ λ

√Var

(S(T )

). Le paramètre λ

incorpre le prix du risque, et peut être interprété comme le ratio de Sharpe, voir Barrieuet Veraart (2016). Le choix de sa valeur est in�uencé par plusieurs facteurs comme larégulation, ou bien le degré de risque de base entre la longévité des béné�ciaires et celle dela population sous-jacente à l'indice de référence. Dans un marché de longévité en voiede développement, a�n d'inciter les investisseurs à acheter des produits de titrisation,le prix ne sera, en général, pas établi par fair premium. En particulier, λ sera négatif,comme observé par Loeys et al. (2007).

Les deux principes fair premium et standard deviation seront mis en ÷uvre dans laSection 2.3 dans le cadre d'une étude sur le prix de la couverture.

Transformée de Wang

La transformée de Wang est une approche similaire au risque neutre car elle consisteen l'utilisation d'une probabilité qui permet d'incorporer la prime de risque. Ceci se faiten transformant les probabilités par le biais d'une fonction de distorsion g, qui présenteles propriété suivantes (voir Wang (1996)) :

• g(0) = 0,• g(1) = 1,• g est strictement croissante.

Wang (2000) propose d'utiliser la fonction de répartition d'une loi normale centréeréduite, ainsi la transformée de Wang s'écrit pour une variable aléatoire X de fonctionde répartition FX(x) :

Naoufal EL BEKRI


F̃X(x) = φ(φ−1

(FX(x)

)+ λ

). (2.3)

Dans l'Equation (2.3), λ s'interprète comme la prime de risque. Pour des variablesaléatoires X de loi normale ou lognormale, λ correspond au ratio de Sharpe , qui permetde passer de la probabilité historique à la probabilité risque neutre dans le cadre dumodèle de Black & Scholes, voir Caillat et al. (2008) et Wang (2004) pour plus de détails.

Une manière de calibrer λ est de se baser sur les prix du marché des annuités viagères.Notons am(x) le prix constaté sur le marché d'une annuité viagère pour un individu d'âgex, qui est calculé, à titre d'exemple, à partir de la table de mortalité TG-05 pour le marchéfrançais. Notons également px(t) la probabilité de survie à t années pour l'individu âgéx, calculée à partir d'une table de mortalité comme celle fournie par HMD (2017). Ainsi

p∗x(t) = φ(φ−1

(px(t)

)+ λx

)est la transformée de Wang de la probabilité de survie. λx

est déterminé pour chaque âge x de telle manière à ce que le prix calculé à partir de p∗x(t)soit égal à celui observé sur le marché (Bauer et al., 2010) :

am(x) =∑t≥1

1

(1 + r)tp∗x(t). (2.4)

Nous avons conduit des analyses exploratoires sur le calibrage de la prime de risque ense basant sur la méthode et les données de Bauer et al. (2010) 5.

2.3 Étude du prix de la couverture

Présentation de l'étude

Cette étude a pour objectif d'analyser la sensibilité du prix d'un swap de longévité.Ainsi, dans un premier temps, nous analysons cette sensibilité en fonction de l'âge desbéné�ciaires et la maturité du produit.

Ensuite nous étudierons l'impact de la qualité de la table de mortalité utilisée pour lepricing. En vue d'illustrer cet impact, nous considérons deux types de tables. La première,dite brute, est une table de mortalité standard, comme celle fournie par HMD (2017).Elle présente les données sous une structure en âge et en temps, comme illustré dans laFigure 2.9. Les tables brutes présentent souvent des e�ets cohortes, étant pour certainsle re�et de phénomènes démographiques réels, mais pour d'autres le résultat d'anomaliesdans la méthode de construction sous-jacente. Les e�ets cohortes réels correspondent aufait qu'une génération peut avoir des caractéristiques de longévité très di�érentes desgénérations adjacentes (générations précedentes et suivantes). Des variations soudaines

5. Des données sur les prix de rentes viagères au Royaume-Uni nous ont été transmises par le profes-

seur Daniel Bauer que nous remercions.

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2.3. ÉTUDE DU PRIX DE LA COUVERTURE 17

dans les naissances peuvent produire des e�ets cohortes anomaliques, comme suggéré parRichards (2008) et con�rmé par Cairns et al. (2016). En e�et, l'estimation du taux dedécès est e�ectuée à travers le rapport entre le nombre de décès et l'exposition au risque(voir la Section 2.2.1). Comme l'exposition au risque par âge est approchée par la moyennede la population en début et �n d'année, des �uctuations de naissances à ces momentslà rendent l'approximation inexacte. Des erreurs ont été notées dans HMD (2017) dès2007 par Wilmoth et al. (2007). En se basant sur des données de fertilité mensuelles,il est possible d'améliorer l'approximation faite au niveau de l'exposition au risque, etpar conséquent, corriger l'estimation du taux de décès, voir Boumezoued (2016a). Ceprocessus permet ainsi d'éliminer les e�ets cohortes anomaliques et de produire des tablesde mortalité plus précises, dites corrigées.

Figure 2.9 � Structure en âge et en temps du logarithme du taux de décès.

A�n de valoriser le swap de longévité, un modèle de mortalité stochastique est néces-saire pour projeter les facteurs temporels sous-jacents au développement de la longévité.Pour cette étude nous nous basons sur un modèle de mortalité avec cohorte (Cairns et al.,2009), décrit par l'Equation (2.5). Le choix du modèle est justi�é par le fait qu'il permetde mieux décrire la mortalité aux âges élevés, qui sont naturellement les béné�ciairesd'un plan de retraite. De plus, le paramètre de cohorte, qui est adapté pour prendre encompte les e�ets générationnels, va permettre de mieux illustrer l'impact de la qualitéde la table de mortalité utilisée.

lnµ(x, t) = κ(1)t + x× κ

(2)t + γt−x. (2.5)

Naoufal EL BEKRI


La composante κ(1)t du modèle décrit l'évolution générale de la mortalité au cours

du temps, et κ(2)t quanti�e le caractère discriminant dans le temps de l'âge au regardde la longévité. Finalement, γt−x capture les spéci�cités de longévité relatives à chaque

génération, c'est le paramètre de cohorte. Les paramètres κ(1)t et κ(2)t sont estimés par

régression linéaire du ln µ̂(x, t) observé sur l'âge x. En dé�nissant l'erreur d'estimation

εx,t := ln µ̂(x, t) − κ̂(1)t − xκ̂(2)t , nous estimons le paramètre de cohorte de la manière

suivante :

γ̂c =1

# observations

∑t,x

t−x=c

εx,t. (2.6)

c'est-à-dire une moyenne des résidus pour lesquels la di�érence t− x reste constante, etégale à l'année de naissance.

Les résultats des estimations pour κ(1)t , κ(2)t et γt−x sont représentés en Figure 2.10,

pour des données de mortalité française, brutes et corrigées, entre 1980 et 2011 et pourdes âges allant de 20 à 90 ans.

La di�érence entre l'utilisation d'une table brute et corrigée est surtout visible auniveau de γt−x car c'est le paramètre qui véhicule les caractéristiques de chaque cohorte.En éliminant les e�ets cohortes de la table de mortalité, traduits par des pics dans lacourbe de γt−x brute, nous remarquons que γt−x corrigé présente une courbe plus lissée, enparticulier autour des générations ayant connues la première et deuxième guerre mondiale.

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1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

−11

.2−

11.0

−10

.8−

10.6

Année

kapp

a 1

brutecorrigé

1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

0.09

80.

100

0.10

20.

104

Année

kapp

a 2

brutecorrigé

1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950

−0.

100.

000.

100.

20

Année

Gam

ma

brutecorrigé

Figure 2.10 � Estimations de κ(1)t (en haut à gauche), de κ(2)t (en haut à droite) et de

γt−x (en bas).

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Résultats de l'étude

La valorisation du swap nécessite de projeter les populations jusqu'à maturité du

produit et pour ce faire, nous supposons que le vecteur κt =[κ(1)t , κ

(2)t

]suit une marche

aléatoire avec drift décrite par l'Equation (2.7).

κt+1 = κt + δ + CEt+1. (2.7)

δ =

(δ1δ2

)est le vecteur des drifts de chaque composante de κt, estimé par la moyenne

des accroissement κt+1 − κt. C désigne la décomposition de Cholesky de la matrice devariance-covariance de κt, et Et+1 est un vecteur de bruits blancs.

La valorisation nécessite également le calcul de E[S(τ)] et Var(S(τ)

), car nous mettons

en ÷uvre les deux principes fair premium et standard deviation de la Section 2.2. Cesgrandeurs sont calculées par la méthode de Monte-Carlo, car nous sommes en présenced'une distribution log-log-normale pour S(t). Pour un individu d'âge x0 en t0, sa fonctionde survie à k années est donnée par l'Equation (2.8)

S(k) =k∏j=1

exp (−µx0+j,t0+j). (2.8)

Au regard de ces notations, la valeur de la jambe �xe est donnée, en fonction desméthodes d'évaluation, soit par l'Equation (2.9) soit par (2.10). Nous donnons à λ lavaleur -0,1 comme proposé par Barrieu et Veraart (2016).

K = E[S(τ)

], (2.9)

K = E[S(τ)

]+ λ

√Var

(S(τ)

). (2.10)

L'étude de l'impact de la maturité et de l'âge sur le prix du swap se fait à travers lavariation des valeurs de τ et x0. Ainsi, le Tableau 2.3 résume les valeurs de la jambe�xe issues du pricing par fair premium, vu en 2011. La première remarque qui ressort decette analyse, est la diminution de la valeur de la jambe �xe au fur et à mesure que lamaturité ou l'âge augmentent. Ceci est une conséquence directe du fait que la probabilitéde survie diminue avec l'âge et la maturité.

Mémoire EURIA



Table 2.3 � Valeurs de la jambe �xe par le principe fair premium (données de mortalitébrutes).

Une analyse similaire peut-être e�ectuée, mais cette fois en valorisant la jambe �xepar principe du standard deviation. Le Tableau 2.4 regroupe les valeurs obtenues. Onremarque le même e�et de diminution de la valeur de la jambe �xe en fonction de l'âgeet de la maturité. De plus les valeurs obtenues par standard deviation sont légèrementplus faibles que celles obtenues par fair premium, et pour cause la valeur négative de λpour incorporer la prime de risque.

Table 2.4 � Valeurs de la jambe �xe par le principe standard deviation avec λ = −0.1(données de mortalité brutes).

Le deuxième axe de l'étude est la qualité des données, et la comparaison des résultatsentre tables brutes et corrigées. Pour cette raison, nous avons inclu l'âge 71 ans, auquelnous portons, avec l'âge 70 ans, une attention particulière. Ces âges correspondent à desgénérations nées autour de l'année 1940, générations qui présentent une sensibilité accrueà la qualité de la table de mortalité. Ainsi, les tableaux résument les valeurs de la jambe�xe par application, respectivement, du fair premium et du standard deviation.

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Table 2.5 � Valeurs de la jambe �xe par le principe fair premium (données de mortalitécorrigées).

Table 2.6 � Valeurs de la jambe �xe par le principe standard deviation avec λ = −0.1(données de mortalité corrigées).

En vue d'illustrer l'impact de l'utilisation d'une table corrigée, nous comparons lesvaleurs de la jambe �xe en terme de variation relative dé�nie par :

Jambe �xedonnée corrigée − Jambe �xedonnée brutejambe �xedonnée brute

Où Jambe �xedonnée corrigée (respectivement Jambe �xedonnée brute) désigne la valeur dela jambe �xe calculée à travers des données corrigées (respectivement données brutes).Ainsi, une erreur relative positive traduit une valeur de la jambe �xe, calculée sur labase de données corrigées, plus élevée que si elle est calculée à partir de données brutes.Naturellement, l'erreur relative est dé�nie pour les deux principes de pricing mis en÷uvre. Le Tableau 2.7 regroupe les résultats de la comparaison pour une valorisation parfair premium. On remarque, comme il a été mentionné auparavant, que les générationsnées autours de l'année 1940 sont plus sensibles aux données utilisées pour valoriser. Deplus, l'écart s'accroit avec la maturité. Ceci s'explique par le fait que lorsqu'on avancedans la maturité, les e�ets véhiculés par κ(1)t et κ

(2)t tendent à diminuer, tandis que la

valeur de γt−x reste constante, car t−x reste constant. Ainsi, comme il y a une di�érenced'estimation pour ce paramètre, en particulier pour les générations avoisinant les deux

Mémoire EURIA



guerres mondiales, son e�et se fait ressentir davantage au fur et a mesure que celui deκ(1)t et κ

(2)t se dissipe.

Table 2.7 � Erreur relative de la valeur de la jambe �xe entre données brutes et corrigées-fair premium.

De manière similaire, le Tableau 2.8 regroupe les résultats de la comparaison entretable brute et corrigée, mais cette fois pour une valorisation par standard deviation. Lemême e�et est remarqué pour les générations nées autour de 1940, à savoir une sensibilitéimportante aux types de données de mortalité utilisées.

Table 2.8 � Erreur relative de la valeur de la jambe �xe entre données brutes et corrigées-standard deviation.

Au regard de l'ensemble de ces analyses, nous pouvons conclure que la qualité desdonnées de mortalité utilisées pour projeter la population et valoriser le swap joue unrôle important, dans la mesure où l'on observe des écarts non négligeables qui vont dansnotre cas jusqu'à 16%. Cela peut avoir un impact conséquent sur la couverture en fonctiondes montants des retraites à couvrir, et également de la structure du swap, analyse quenous e�ectuons dans la section suivante.

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2.4 Étude de l'e�cacité

Dans cette section, nous proposons d'évaluer la qualité d'un transfert de risque delongévité par titrisation, en mesurant l'e�cacité de la couverture mise en place. Sansperte de généralité, la couverture considérée est un S-forward de maturité 1 an, pourlequel deux stratégies sont étudiées : la première est basée sur les montants des rentes etla seconde sur les e�ectifs de rentiers survivants.

Supposons que les rentiers soient répartis en n classes d'âges. Notons Ni le nombred'individus dans la classe d'âge i = 1, . . . , n et Xi la rente payée sur la prochaine périodede temps à chaque individu survivant j au sein de la classe i, par conséquentMi = Ni×Xireprésente le total payé pour la tranche d'âge i. Finalement, notons T ij la variable aléatoirede la durée de vie de l'individu j du groupe i, dont le taux de mortalité est supposé suivrele modèle introduit en Section 2.3. Ainsi, le total des prestations retraites s'exprime parl'Equation (2.11)

P =

n∑i=1

Ni∑j=1

1{T ij>1}Xi. (2.11)

A�n d'évaluer la qualité de la couverture, il convient de rappeler les di�érentes sourcesde risque de longévité :

• Risque systématique : Ce risque, qui est le plus important, correspond au caractèreincertain et aléatoire des taux de mortalité futurs. Ce risque est couvert par unS-forward ou un swap de longévité car il est transformé en un �ux déterministevéhiculé par la jambe �xe.• Risque d'échantillonnage : Il décrit le fait que les durées de vie d'un groupe debéné�ciaires ont des réalisations aléatoires autour de leur moyenne, et caractérisel'incertitude résiduelle autour d'une longévité moyenne �xée. Il est d'autant plusfaible que le nombre de béné�ciaires croît, conséquence directe de la loi des grandsnombres.• Risque d'hétérogénéité : Ce risque est lié au biais survenant lorsque les montantsde rentes sont supposés répartis uniformément et constants par classe d'âge. Cerisque augmente au fur et a mesure que l'hétérogénéité des retraites augmente.• Risque de base : Le risque de base est caractéristique des couvertures dépendantd'un indice de longévité basé sur une population de référence. Il correspond àl'écart entre la survie moyenne des béné�ciaires et celle de la population de réfé-rence. C'est un risque clé qu'il convient d'adresser en pratique, et qui fait appel àdes méthodes et modèles propres qui dépassent le cadre de ce mémoire.

2.4.1 Comparaison théorique

Plaçons nous d'abord dans le cadre d'un S-forward structuré par montants, quiconsiste en une jambe variable qui verse la somme des montants Mi. Notons F1(1) le

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2.4. ÉTUDE DE L'EFFICACITÉ 25

�ux du S-forward à maturité, qui correspond à la di�érence entre la survie réalisée ent = 1 de chaque classe d'âge Si(1) et la valeur de la jambe �xe Ki

F1(1) =n∑i=1

Mi(Si(1)−Ki).

Ainsi l'apport de la couverture est calculé par P − F1(1), qui représente ce que legestionnaire doit verser aux béné�ciaires du fonds, corrigé du �ux du S-forward :

P − F1(1) =n∑i=1

Ni∑j=1

1{T ij>1}Xi −Mi(Si(1)−Ki)

.La volatilité du portefeuille avec couverture peut être décrite par sa variance :

Var(P − F1(1))

= Var(P ) + Var

n∑i=1

MiSi(1)

− 2 Cov n∑i=1

Ni∑j=1

1{T ij>1}Xi,

n∑l=1

MlSl(1)

= Var(P ) + Var

n∑i=1

MiSi(1)

− 2

n∑i=1

Ni∑j=1

n∑l=1

XiMl E[1{T ij>1}

Sl(1)]− E[P ]E

n∑i=1

MiSi(1)

.

(2.12)

Pour e�ectuer le calcul de l'Equation (2.12), il est nécessaire de déterminer E[1{T ij>1}Sl(1)],E[P ] et Var(P ), car la fonction de survie Si(1) est stochastique, en vertu du modèle demortalité considéré. A titre de rappel le modèle de mortalité s'exprime comme suit :

lnµ(x, t) = κ(1)t + x× κ

(2)t + γt−x. (2.13)

Commençons d'abord par le calcul de E[1{T ij>1}Sl(1)]. Pour ce faire nous utilisons une

espérance conditionnelle au vecteur [κ(1)0 , κ(2)0 ], car Si(1) est mesurable par rapport à

κ0 = [κ(1)0 , κ

(2)0 ]. De plus nous déterminons ces paramètres lors du calibrage du modèle.

Par conséquent nous pouvons établir que :

Naoufal EL BEKRI


E[1{T ij>1}Sl(1)] = E[E[1{T ij>1}

Sl(1)/κ(1)0 , κ

(2)0

]]= E

[Sl(1)E

[1{T ij>1}

/κ(1)0 , κ

(2)0

]]= E

[Sl(1)P

[T ij > 1/κ

(1)0 , κ

(2)0

]]= E

[Sl(1)Si(1)

].

Nous procédons de manière similaire pour le calcul de l'espérance de P décrit parl'Equation (2.14)

E[P ] =n∑i=1

Xi

Ni∑j=1

E[1{T ij>1}

]

=n∑i=1

Xi

Ni∑j=1

E[E[1{T ij>1}

/κ(1)0 , κ

(2)0

]]

=n∑i=1

Xi

Ni∑j=1

E[Si(1)]

=

n∑i=1

XiNi E[Si(1)]. (2.14)

Pour le calcul de Var(P ) nous utilisons le théorème de la variance totale. Le résultat�nal de la démarche est donné en Equation (2.15), et nous renvoyons le lecteur à l'AnnexeA.1 pour les détails

Var(P ) = E[Var

(P/κ

(1)0 , κ

(2)0

)]+ Var

(E[P/κ

(1)0 , κ

(2)0

])

=n∑i=1

XiMi E[Si(1)

(1− Si(1)

)]+ Var

n∑i=1

MiSi(1)

. (2.15)

Après ces développements intermédiaires, nous pouvons désormais établir Var(P −

F1(1)), donné par l'Equation (2.16), dont le calcul est détaillé en Annexe A.1 également

Var(P − F1(1)

)= Var(P )−Var

n∑i=1

MiSi(1)

. (2.16)Mémoire EURIA



Or nous savons que

Var(F1(1)

)= Var

n∑i=1

MiSi(1)

.Donc �nalement, nous pouvons conclure avec la proposition suivante

Proposition 1 La variance du �ux monétaire du gestionnaire dans le cadre d'un S-forward structuré par montants est donnée par l'équation suivante :

Var(P − F1(1)

)= Var(P )− V ar

(F1(1)

). (2.17)

Plaçons nous désormais dans le cadre d'un swap structuré par e�ectifs, le nouveau �uxdu S-forward est exprimé par l'Equation (2.18)

F2(1) =

∑nl=1Ml∑nl=1Nl

n∑i=1

Ni(Si(1)−Ki

)= X

n∑i=1

Ni(Si(1)−Ki

). (2.18)

Le facteur X représente la moyenne des rentes. Il permet d'égaliser les deux structuresdu S-forward en matière d'ordre de grandeur de la couverture. La variance de cettecon�guration est

Var(P − F2(1)) = Var(P ) + Var(F2(1)

)− 2 Cov

(P, F2(1)

). (2.19)

Dans la suite nous comparons les deux variances en combinant les Equations (2.11),(2.16) et (2.19), pour mesurer l'impact d'une couverture en e�ectifs contre celle en mon-tants

Var(P − F2(1)

)−Var

(P − F1(1)

)= Var(P ) + Var

(F2(1)

)− 2 Cov

(P, F2(1)

)−(

Var(P )−Var(F1(1)

))= X

2Var

n∑i=1

NiSi(1)

− 2X n∑i=1

n∑l=1

XiNiNl Cov(Si(1), Sl(1)

)+ Var

n∑i=1

MiSi(1)

=

n∑i=1

n∑l=1

(X

2NiNl − 2XMiNl +MiMl

)Cov

(Si(1), Sl(1)

)Naoufal EL BEKRI


Or en réécrivant(X

2NiNl − 2X̄MiNl +MiMl

)comme (Mi − XNi)(Ml − XNl) −

XMiNl +XMlNi nous pouvons simpli�er l'expression précédente

Var(P − F2(1)

)−Var

(P − F1(1)

)=

n∑i=1

n∑l=1

(Mi −XNi

)(Ml −XNl

)Cov

(Si(1), Sl(1)

)−X

n∑i=1

n∑l=1

MiNl Cov(Si(1), Sl(1)

)+X

n∑i=1

n∑l=1

MlNi Cov(Si(1), Sl(1)

).

Proposition 2 La variance du �ux monétaire avec S-foward structuré par e�ectifs esttoujours supérieure ou égale à la variance du �ux monétaire avec S-forward structuré parmontants, et la di�érence est donnée par l'équation suivante :

Var(P − F2(1)

)−Var

(P − F1(1)

)= Var

n∑i=1

(Mi −XNi

)Si(1)

. (2.20)Ce résultat est important dans la mesure où il s'exprime sous forme de variance, et parconséquent permet d'établir l'inéquation (2.21) qui traduit le fait que le risque résidueld'un S-forward structuré par e�ectifs est supérieur à celui d'un S-forward par montants.Par voie de conséquence, une couverture en montants est toujours plus e�cace qu'unecouverture en e�ectifs.

Var(P − F2(1)

)−Var

(P − F1(1)

)> 0 (2.21)

L'égalité des deux variance Var(P − F2(1)

)et Var

(P − F1(1)

)se produit dans le cas

où Mi = XNi ∀ i. Ceci est le cas lorsque Xi = X ∀ i, c'est-à-dire lorsque les retraitessont les mêmes quelle que soit la classe d'âge. C'est le cas d'une répartition homogènedes prestations.

Ces résultats théoriques sont renforcés par une étude de cas pratique dans la Section2.4.2.

2.4.2 Étude d'un portefeuille

Cette étude propose d'analyser l'in�uence de la taille du portefeuille ainsi que l'hété-rogénéité des montants de retraite sur la qualité d'une couverture par titrisation (swapde longévité ou S-forward), et ce pour les deux con�gurations introduites au préalable.L'étude se base sur un portefeuille de rentiers, dont la répartition en montants et e�ectifs,par âge, est donnée par la Figure 2.11. La répartition montre que les e�ectifs dépassentles montants jusqu'à l'âge de 76 ans, excepté pour 64 et 66 ans, alors que cette tendances'inverse au delà de 80 ans. Ainsi, le portefeuille est caractérisé par une concentrationdes montants dans les âges élevés, et une concentration des e�ectifs autour des âgesintermédiaires.

Mémoire EURIA



Figure 2.11 � Répartition du portefeuille de rentiers en montants et e�ectifs.

Dans un premier temps nous étudions l'in�uence de la taille du portefeuille. Elle seramise en lumière par le biais de la transformation suivante : N∗i = αNi, qui permet defaire varier les tailles des di�érentes classes d'âges du portefeuille. En ce faisant, noustraçons le risque résiduel, pour chaque con�guration, dé�ni par le ratio des écart-types.La couverture est d'autant plus e�cace que ce ratio est proche de 0.

σ(P − Fk(1)

)σ(P )

, k = 1, 2.

La Figure 2.12 dresse la variation du risque résiduel en fonction de la taille pour lesdeux stratégies, en montants et en e�ectifs, et quanti�e l'écart entre les deux. Commeil a été prouvé théoriquement, la �gure montre que le S-forward structuré par montantsest plus e�cace que celui structuré par e�ectifs, car pour une taille donnée, la courbe parmontants est en-dessous de celle en e�ectifs. De plus, le risque résiduel d'une stratégie enmontants tend vers 0 au fur et a mesure que la taille du groupe augmente (cf Figure 2.13).Ainsi en absence du risque d'échantillonnage, incorp

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EURIA EURo Institut d'Actuariat · 2019. 9. 23. · EURIA EURo Institut d'Actuariat Mémoire présenté devant le jury de l'EURIAen vue de l'obtention du Diplôme d'ActuaireEURIA