1. IntroductionGérard de Moor: Les théories de la turbulence dans la couche limite atmosphérique.

La couche limite atmosphérique (CLA) est la région de où se déroulent des échanges importantes de quantités physiques avec la surface de la terre (lithosphère et hydrosphère) de façon importante. En d'autres mots, c'est la région où le comportement thermodynamique et dynamique de l'atmosphère est modifié sensiblement par la surface terrestre.

La couche limite planétaire peut être divisée, selon les forces dominantes, en trois couches:

1 - Tout près de la surface, les forces de viscosité moléculaire sont dominantes. C'est la couche visqueuse.

2 - Au dessus de la couche visqueuse et sur une épaisseur de 50 à 100 m se développe la couche de surface, aussi appelée couche de Prandtl. Cette couche est une région où, en première approximation, les flux de quantité de mouvement ou de n'importe quelle autre propriété scalaire sont constantes. L'écoulement de l'air est essentiellement déterminé par les forces de frottement et par la stratification thermique de la couche. L'effet de rotation de la Terre (force de Coriolis) y est négligeable. En absence de forces contribuant au changement de sa direction le vent reste invariant (en direction et toujours en première approximation) sur toute l'épaisseur de cette couche.

3 - La région où la force de Coriolis ne peut pas être négligée à cause de l'échelle du mouvement est la couche d'Ekman. Les forces dominantes, dans cette couche, sont les forces de Coriolis, de frottement et de gradient de pression. Le vent change de direction avec l'altitude en s'approchant, en grandeur et direction, du vent géostrophique, vent que correspond à un équilibre entre la force de gradient de pression et la force de Coriolis. On est au sommet de la couche limite. À cette hauteur les forces de frottement, dues à la présence de la surface, deviennent négligeables par rapport aux deux autres forces. À ce niveau commence l'atmosphère libre (libre des influences de la surface).

Justification de l'étude de la couche de surface

La couche de surface est la couche atmosphérique où la plupart des espèces vivantes se développent. Ce fait montre, à lui seul, l'importance de comprendre les mécanismes de transfert d'énergie et le transport de quantités, comme la vapeur d'eau, la température ou les polluants.

L'amélioration des modèles numériques de prévision et climatologiques passe par une connaissance plus approfondie des phénomènes de la couche limite, ce que permettra une meilleure paramétrage des processus physiques y prenant place.

Le transport de quantité de mouvement , de chaleur sensible, chaleur latente ou des polluants, est intimement relié aux mouvements de l'air. À fin de mieux comprendre les

mécanismes de transfert nous devons connaître les forces et les sources d'énergie qui provoquent ces mouvements.

L'étude des mouvements et des transformations d'énergie ayant lieu dans l'atmosphère est le domaine d'étude de la mécanique de fluides. Le fluide en étude c'est l'air atmosphérique sec, qui se comporte comme un gaz parfait, mélangé avec la vapeur d'eau, un autre gaz parfait. D'autres quantités, gaz, aérosols liquides et solides, peuvent aussi exister en suspension dans l'air atmosphérique.

Écoulements laminaires et turbulents

L'observation des écoulements des fluides nous amènent à caractériser ceux-ci en deux groupes:

1 - écoulements laminaires;

2 - écoulements turbulents.

Écoulement laminaire

Un écoulement laminaire est caractérisé par un haut degré de régularité dans l'espace et dans le temps. Si les conditions initiales du mouvement sont les mêmes (au niveau macroscopique) la solution prévue par les équations de la mécanique de fluides est toujours la même et stable par rapport aux petites perturbations (toujours présentes) des conditions initiales. Le transport des quantités comme la quantité de mouvement ou de température est dû à l'agitation brownienne, ou diffusion moléculaire. L'écoulement laminaire est un mouvement prédictible à l'échelle synoptique.

Écoulement turbulent

Un écoulement turbulent est très irrégulier (dans l'espace et dans le temps) et ne semble plus être gouverné par les équations de la mécanique des fluides.

Est-il possible de définir la turbulence? Une définition d'écoulement turbulent est difficile, cependant ce type d'écoulement présente certaines caractéristiques qui contribuent à son identification:

1. Structure spatio-temporelle complexe;

2. Écoulement non reproductible. Un mouvement turbulent est non prédictible. Les mêmes conditions expérimentales donnent des résultats différents.

3. Écoulement de grande vorticité.

4. Grande dissipation. La turbulence disparaît rapidement en l'absence de sources d'instabilité.

5. Le transport des propriétés physiques dans un écoulement turbulent est plus efficace que le transport de ces mêmes quantités par diffusion moléculaire (mouvement laminaire).

Exemple: un mouvement ondulatoire, malgré sa complexité, n'est pas un mouvement turbulent. Le tourbillon est petit; de plus le mélange et la dissipation sont faibles.

Le mouvement turbulent semble être gouverné par les équations de Navier-Stokes, il est donc déterminé. Par contre il est non prédictible. Ces deux faits signifient que les solutions des équations de Navier-Stokes, dans des conditions de turbulence, sont instables par rapport aux perturbations, toujours présentes, des conditions initiales. Ces perturbations, qui ne sont pas contrôlables, sont amplifiées est des écoulements, initialement semblables, deviennent de plus en plus différents.

La notion de mouvement turbulent dépend ainsi de l'échelle temporelle et spatiale du phénomène en étude.

Les causes d'instabilité, sources de turbulence, sont les grands cisaillements et les stratifications instables du fluide. La turbulence crée par cisaillement est dite turbulence mécanique et celle due à une stratification thermique instable est nommée thermique. Dans le cas d'une stratification thermique stable, la turbulence est inhibée.

La couche limite atmosphérique est une couche caractérisée par des écoulements turbulents. Les variations verticales du vent horizontal, le réchauffement diurne par le soleil de la surface terrestre et la rugosité du terrain sont sources de turbulence. Dans l'océan il s'établit pareillement une couche de limite de 10 à 100 mètres de profondeur. Cette couche est caractérisée par une turbulence dynamique provoquée par le vent à l'interface air-eau. Dans le cas d'un refroidissement intense de la surface océanique, la turbulence est aussi d'origine thermique.

Nombre de Reynolds et couche limite atmosphérique

L'établissement d'un régime laminaire ou d'un régime turbulent dépend de la grandeur relative des forces stabilisantes ou déstabilisantes. Le rapport entre les forces d'inertie (advection et pression, déstabilisantes puisqu'elles tendent à amplifier les perturbations) et les forces de viscosité (stabilisantes, puisqu'elle tendent à amortir les perturbations) sont sans dimensions et définissent des paramètres de similitude qui nous permettent d'identifier le régime de l'écoulement. Dans la couche limite atmosphérique les nombres sans dimensions pertinents sont le nombre de Reynolds et le nombre de Rayleigh.

Nombre de Reynolds et notion de couche limite

L'écoulement d'un fluide incompressible ( ) en absence de forces extérieures est gouverné par le système d'équations suivante:

1.1

1.2

où est la vitesse, p la pression, la viscosité cinématique du fluide, t le temps et l'opérateur gradient.

Remarquons que, pour un écoulement incompressible, les forces de pression ont des échelles dimensionnelles similaires aux «forces» d'advection puisque le champ de pression peut s'exprimer en fonction du champ de vitesse. Le nombre de Reynolds représente l'ordre de grandeur relative des termes de viscosité et des termes d'advection (ou pression):

où U est la vitesse caractéristique (vitesse moyenne, vitesse maximum, vitesse d'injection) de l'écoulement et L est la longueur caractéristique de l'écoulement (dimension caractéristique d'un corps immergé, ou, plus généralement, la distance sur laquelle le module de la vitesse varie de ).

Les forces d'inertie ont tendance à rapprocher des particules de fluide initialement distantes ayant des propriétés différentes. Ces forces tendent ainsi à créer des inhomogénéités de petite échelle. Les forces de viscosité, au contraire, ont tendance à faire disparaître de telles inhomogénéités par diffusion. Le nombre de Reynolds apparaît comme une mesure de la grandeur relative des facteurs «déstabilisantes» aux forces «stabilisantes» de l'écoulement. Le régime sera laminaire si est petit (les effets stabilisantes sont dominants) et turbulent si est grand. Il doit alors exister une valeur de nombre de Reynolds critique du nombre de Reynolds telle que:

Comme exemple considérons un écoulement bidimensionnel d'un fluide incompressible le long d'un paroi solide plane (fig. 1.1). Si est assez grand, les forces de viscosité sont négligeables par rapport aux forces d'inertie, sauf tout près de la paroi, puisque la viscosité y impose une vitesse nulle (donc annulation des forces d'inertie).

Fig. 1.1 - Profil type instantané de vitesse longitudinale dans un écoulement en tube. a) Régime laminaire. b) Régime turbulent.

On appelle couche limite (dynamique) la zone de l'écoulement dans laquelle les forces de viscosité sont au moins du même ordre de grandeur que les forces d'inertie; au dessus de la couche limite l'écoulement, dit libre, n'est plus affecté par la présence de la paroi. L'épaisseur h de la couche limite est très mal définie puisque, en réalité, la vitesse tend asymptotiquement vers sa valeur libre des influences de la paroi (Monin et Yaglom, 1971).

L'expérience en laboratoire montre que les prévisions théoriques d'un écoulement laminaire se vérifient quand le nombre de Reynolds est inférieur à 3000 (Landau et Lifchitz, 1971). Quand le nombre de Reynolds est supérieur à cette valeur l'écoulement ne semble plus être déterminé par les équations 1.1 et 1.2. L'écoulement est devenu turbulent. Ce type d'expérience fixe l'ordre de grandeur du nombre de Reynolds critique à 3000.

Couche limite atmosphérique

La couche limite atmosphérique est la région atmosphérique au voisinage du sol dans laquelle se répercute directement, par «viscosité», l'adhérence de l'écoulement au sol (le mot viscosité utilisé ici doit être interpréter comme «viscosité turbulente»)

Fig. 1.2 - la troposphère peut être divisée en deux parties : la couche limite (ombrée), proche de la surface, et l'atmosphère libre. (Stull, 1989)

La figure 1.3 présente schématiquement la variation verticale des caractéristiques du vent (vitesse horizontale moyennée sur quelques dizaines de minutes) au voisinage du sol. Visiblement, la couche limite a ici une épaisseur de 1 km. Au dessus de cette altitude, dans l'atmosphère dite libre l'influence directe du sol n'est plus perceptible: les variations verticales sont plus faibles et causées essentiellement par celles du gradient horizontal de pression.

Fig. 1.3 - profil type des caractéristiques moyennes du vent au-dessus du sol. La partie z < 1000 m correspond au «profil de Leipzig». D'après Mildner (1932), Lettau (1950).

Les grandeurs de vitesse, de viscosité, de température et d'épaisseur de la couche limite atmosphérique sont respectivement, U 15 m/s, =1.4510-5 m2/s, T = 15 C, h =103 m. Le nombre de Reynolds correspondant est:

Une telle valeur de nombre de Reynolds, bien supérieure à la valeur critique (3000), montre que la turbulence est un phénomène toujours présent dans la CLA.

Nombre de Rayleigh et couche limite thermique de l'atmosphère

Nombre de Rayleigh

L'expérience la plus simple mettant en évidence les phénomènes convectifs est l'expérience dite de "Bernard". Un fluide initialement au repos est maintenu, dans le champ de pesanteur , entre deux plaques planes horizontales distantes de h; les températures de ces deux plaques sont portées progressivement à des valeurs constantes T0 (plaque du bas) et T0+T (plaque du haut).

Si T est positive, le fluide du haut a une densité plus basse que celui du bas; la répartition de densités est donc stable, et le repos subsiste. On observe tout simplement un flux moléculaire de chaleur d'un haut en bas constant et égal en valeur absolue à

, où , , désignent respectivement la masse volumique, la chaleur spécifique à pression constante et la diffusivité thermique du fluide.

Si T est négative, la répartition des densités est instable, et on peut prévoir que la moindre perturbation déclenchera, au sein du fluide des mouvements tendant à rétablir l'équilibre (jamais atteint puisque T est constant). De tels mouvements sont dits convectifs. Cependant on conçoit bien que les effets de viscosité s'opposeront à de tels mouvements: selon toute vraisemblance on n'observera la convection qu'au delà d'une valeur critique de T.

Or les équations et conditions de ce problème n'introduisent que deux nombres sans dimensions indépendantes: le nombre de PRANDTL , qui ne dépend, en première approximation, que de la nature du fluide, et le nombre de Rayleigh

On a ici écrit l'expression du nombre de Rayleigh pour un gaz parfait; dans le cas d'un fluide quelconque, 1/T0 doit être remplacé par le coefficient de dilatation .

C'est donc visiblement de la valeur de Ra que vont dépendre les caractéristiques du mouvement pour un fluide donné. Comme le nombre de Reynolds dans le cas purement dynamique, le nombre de Raleigh Ra peut d'ailleurs, dans cette expérience où le mouvement est d'origine purement thermique, s'interpréter comme le rapport entre les facteurs "déstabilasateurs" et les facteurs "stabilisateurs".

L'expérience montre effectivement que l'on observe pas de mouvements convectifs avant que Ra -1700. Ces mouvements restent laminaires tant que Ra reste assez petite en valeur absolue. Ils deviennent turbulents pour

Couche limite thermique de l'atmosphère

Globalement (c'est-à-dire en moyenne sur la planète et en moyenne dans le temps) on estime à environ 14,5 % la fraction du rayonnement solaire incidente lors de la traversée de la troposphère, et 47,5 % celle absorbée par le sol - océans et continents.

Le bilan radiatif globale (solaire et terrestre) étant excédentaires pour le sol et déficitaire pour la troposphère, il est bien entendu nécessaire que des échanges d'énergie non radiatifs existent entre sol et basse atmosphère (fig. 1.4). Ces derniers sont assurés par des transferts verticaux de chaleur latente (18,5%) et sensible (11%), par conduction moléculaire au contact du sol, puis par des mouvements turbulents (essentiellement d'origine convective) à des faibles distances de celui-ci. Naturellement, localement et à un instant donné, ces flux peuvent être dans un sens où dans un autre (ainsi, sur les continents, le flux de chaleur sensible opère du sol vers l'atmosphère durant le jour et en sens inverse durant la nuit). Globalement cependant, ils assurent les équilibres thermiques séparés du sol et de troposphère.

Fig. 1.4 - Bilan d'énergie annuel moyen de l'hémisphère Nord d'après London (1950). Les chiffres peuvent varier de 20 % selon les auteurs. D'après De Moore (1976).

Ce qui importe ici c'est que l'absorption directe des 14,5 % du rayonnement solaire par l'atmosphère est répartie sur une épaisseur de 10 à 20 km, alors que l'absorption des 47,5% par le sol s'effectue sur une épaisseur de l'ordre de 1 mm (sur les continents) pour être ensuite en partie transmise à l'atmosphère et au sol sous jacent.

On conçoit donc que c'est essentiellement par l'intermédiaire du sol que se feront sentir dans la basse troposphère les variations du rayonnement solaire. On appelle habituellement couche limite atmosphérique thermique la zone de l'atmosphère au voisinage du sol dans laquelle la variation diurne du rayonnement solaire est directement perceptible.

Fig. 1.5 - Quelques étapes de la variation diurne du profil de température (journée 33 de la campagne de mesures «Wangara»). D'après Clarke et al. (1971).

La fig. 1.5 présente une variation diurne de température (moyennée sur quelques dizaines de minutes) dans les premières centaines de mètres de l'atmosphère. On y distingue assez nettement une couche limite thermique d'une épaisseur h de l'ordre de 1000 m; au-dessus les variations sont plus faibles et dues principalement à des causes non périodiques.

Il est difficile de définir précisément un nombre de Rayleigh global pur la couche limite atmosphérique, l'analogie avec l'expérience de "Bénard" restant assez limitée. Toutefois, admettant la validité dans la couche limite atmosphérique de la valeur de transition à la turbulence Racr, il est possible d'évaluer un écart de température critique cr:

Avec les caractéristiques de la fig. 1.5 ( T0 ~300 K, h=1000 m, g=9,81 m/s2, =2.02 10-5m2/s pour l'air à 15 C) ce que nous conduit dans la couche limite atmosphérique à une grandeur de cr=10-12 K, valeur si faible que l'on doit s'attendre à que cette couche limite soit turbulente du point de vue thermique, au moins durant les phases convectives.

Couche limite atmosphérique

Les arguments qui précèdent ont le mérite de présenter simplement (et sans grande rigueur) le domaine que l'on se propose d'étudier. Il faut naturellement se garder de l'attribuer une valeur autre que pédagogique, et en particulier d'accorder de l'importance à la valeur précise des nombres de Reynolds et de Rayleigh calculés ci-dessus. Seul l'ordre de grandeur importe: il suggère que l'écoulement de l'air au voisinage du sol a un caractère turbulent, ce que confirme d'ailleurs un enregistrement direct des paramètres météorologiques (fig. 1.6). On peut ores et déjà anticiper la nécessité du traitement statistique d'untel écoulement.

Fig. 1.6 - Enregistrements type à 60 m du sol (obtenus par avion ; en abscisses, la position par rapport à une origine arbitraire). D'après De Moore (1976).

D'autre part on a ici défini la Couche Limite Atmosphérique (CLA) comme la portion de l'atmosphère au voisinage du sol dans laquelle la présence de ce dernier affecte directement les paramètres météorologiques; mais pour plus de clarté, on a séparé les effets élémentaire dynamiques (frottement de l'air sur le sol) et thermique (réchauffement et refroidissement de l'air par la base): il est évident qui en réalité ils interagissent continuellement, et qu'ils sont de plus compliqués par d'autres facteurs comme la rotation

terrestre, les inhomogénéités thermophysiques de la surface, les changements d'état de la vapeur d'eau, etc.…

La CLA a fait objet de nombreuses études depuis une trentaine d'années. Il y a plusieurs raison de cet intérêt accru. citons les plus évidentes.

La raison principale est bien sûr liée au fait que la CLA est l'environnement naturel de la quasi totalité des activités humaines; la connaissance, et éventuellement la prévision des effets de la turbulence y est d'un intérêt évident: effets mécaniques sur les structures naturelles et artificielles (génération des vagues et courants océaniques, forces exercées sur les bâtiments, ponts, lignes électriques, avions, …), effets de diffusion de toutes sortes (problèmes de pollution…), effets sur les phases des ondes de toutes natures, etc.…

La deuxième raison importante justifiant le développement récent des recherches sur la CLA est liée à la modélisation numérique des mouvements atmosphériques et à la prévision du temps. Dans l'état actuel des modèles de l'atmosphère, une prise en compte correcte des divers processus physiques apparaît comme une étape très importante pour des progrès ultérieurs.

parmi ces processus physiques, le rôle de la CLA occupe une place de choix; c'est en effet par l'intermédiaire de la CLA que se font les échanges de quantité de mouvement, chaleur, humidité entre atmosphère libre et surface sous jacente. En particulier c'est dans la CLA que se dissipe la majeure partie de l'énergie cinétique de l'atmosphère. certes, pour la prévision numérique à courte échéance (24 ou 48 h), un modèle adiabatique et sans frottement semble suffisant; encore est-il utile de savoir traiter les mouvements verticaux induits à la base de l'atmosphère libre par la convergence de frottement au sein de la couche limite atmosphérique. Par contre la prévision à plus longue échéance, les études de circulation générale et de variations climatiques nécessitent l'incorporation correcte des sources et des puits d'énergie, donc en particulier la connaissance des processus de la couche limite.

Références:

Monin et Yaglom, 1971, chapitre I

Landau et Lifchitz, 1971, chapitre IV, V