EXALG020 – Mons, questions-types, 2000-2001 · 2) sin2 sin6 0 2sin4 cos2 0 sin4 0 4 180 45 cos2 0 2 90 180 45 90 Rép : 1 solution 45 1 cos 3) 0, . Posons arccot , tel que 0, ;

http://matheux.ovh/Accueil.html - TRI 39- 1 -

Exercices résolus de mathématiques.

TRI 39

EXTRI390-EXTRI399

http://matheux.ovh/Accueil.html

Jacques Collot

Benoit Baudelet – Steve Tumson

Jan Frans Broeckx – Nicole Berckmans

Fabienne Zoetard

Septembre 2014




EXTRI390 – EPL, UCL, LLN, septembre 2014.

Cochez chaque fois l'unique affirmation vraie parmi les trois possibilités.

Réponse juste 1 point, autre réponse 0.

Dans un triangle équilatéral, le rapport entre les rayons des cercles circonscrit e

t

inscrit est égal à :

2 3 2

Dans l'intervalle 0 , l'équation sin 2 sin 6 0 admet exactement2

0 solution 1 solution 3 solutions

1 cosPour tout dans l'intervalle 0, , l'expression sin arccot

sin

x x x

est

égale à

sin sin sin

2 2cos 5 2cos 5 4cos

Soit un triangle isocèle en , un point du segment , et un point du

segment , tels que le triangle est rectangle en et que l'aire du t

ABC A D BC E

AC CDE D

riangle

vaut le tiers de l'aire du triangle , alors est égal à

6 7 8

BCCDE ABC

DC

Solution proposée par Nicole Berckmans



2) sin 2 sin 6 0 2sin 4 cos2 0

sin 4 0 4 180 45

cos2 0 2 90 180 45 90

Rép : 1 solution 45

1 cos3) 0, . Posons arccot , tel que 0, ;

sin

1 coset cot 0 0,

sin 2

On

x x x x

x x k x k

x x k x k

x

22

2

22

1 1demande sin

1 cot 1 cos1

sin

1 sinsin

2 2cossin 1 cos

12

2

12

1 14)Aire . , Aire .

2 2

1 3Or . . 1

3

D'autre part (Thalès) dans le triangle : 2.

De 1 et 2 3 6 6.

ABC BC H EDC CD h

h BCDC h BC H

H DC

h DC DCAMC

H MC BC

DC BC BC BC

BC DC DC DC



Solution proposée par Jan Frans Broeckx

14 septembre 2014



EXTRI391 – EPL, UCL, LLN, septembre 2014.

Le croquis ci-dessous schématise deux couloirs d'une piste d'athlétisme. Chaque couloir

est constitué de deux lignes droites parallèles de longueur (situées entre les deux traits

pointillés parallèle

a

s) et de deux demi cercles appelés virages. Les lignes droites sont

tangentes aux virages. Le rayon des virages du couloir inférieur est et le rayon des

virages du couloir extérieur est . Les deux v

r

R irages de gauche sont concentriques, ainsi

que les deux virages de droite.

Le point est situé à la sortie du virage de droite du couloir extérieur. Le point est situé

à la sortie du virage de gauche

A C

du couloir intérieur. Le point appartient au virage de

gauche du couloir intérieur et la droite est tangente au virage.

On vous demande de répondre aux questions suivantes qui interviennent dans le

B

AB

1

2

calcul

de la position de la ligne de départ de l'épreuve du 800 mètres dans le deuxième couloir.

1) Exprimez la longueur du segment en fonction de , et .

2) Exprimez la longueur de l'arc de c

d AB r R a

d

1 2

ercle compris entre et en fonction de

, et .

3) Calculez et au cm près pour les données suivantes : 36.8 m, 37.92 m,

et 84.39 m

B C

r R a

d d r R

a

Solution proposée par Nicole Berckmans



2 2 2 2 2 2

1

2 2 2

1

1

2

36.8 m, 37.92 m, 84.39 m.

: ; : ;

84.88 m

37.92 84.88tan 24.196 ; tan 66.562 ;

84.39 36.8

270 270 66.562 24.196 179.242 3.128 rad

. ra

r R a

OAB OA d r OAD OA a R

d a R r

R d

a r

d BC r

236.8 3.128 115.124 115.12 md d

Solution proposée par Dominique Druez

14 septembre 2014



EXTRI392 – Compléments.

2

En 1755, Euler a trouvé la formule suivante :

1 1arctan arctan arctan

1

1 Vérifier la formule.

2 Utiliser la formule pour démontrer que

1 35arctan 2arctan

4 7 79

p

n n p n np

2

2

2

2 2 2 2

3 2 2 2 2 2

2

1

1 11 tan arctan arctan

1 11 1 .1

1 2 1 1

2 1

2 Il suffit d'appliquer la formule un certain nombre de fois :

Posons

p

p n p n np

n p n np

n p n np

n np np p n np p

n n p n n p np p p nn n np p

p

n

1

1arctan

4 1

1 3 3arctan arctan car 1 7 6

7 4 4

1 17 4 17 172arctan arctan car 7

7 31 3 3 31

1 3 1 31 79 1250 12arctan arctan arctan car

7 79 2 17 3 51 2

1 3 1 13arctan arctan arctan car 2 7 5

7 79 3 3

np

p p

p p

p p

p p

1 3 2 2

4arctan arctan arctan car 3 7 47 79 11 11

1 3 11 3 35arctan 2arctan car 7

7 79 2 2 79

p p

p p

15 mai 2014



EXTRI393 – POLYTECH, Umons, Mons, juillet 2014.

Résoudre l'équation trigonométrique suivante :

tan tan3 sin2 0

Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

x x x

Solution proposée par Fabienne Zoetard

2:

32 6 3

sin sin 3 sin cos3 cos sin 3 sin 4tan tan 3

cos cos3 cos cos3 cos cos3

sin 4 2sin 2 cos2sin 2 0 sin 2 0

cos cos3 cos cos3

1 sin 2 0 22

Compte tenu des :

x k

CEk

x k x

x x x x x x xx x

x x x x x x

x x xx x

x x x x

kx x k x

CE x

2

2

2sin .cos

2 2 2 2 2

1 cos

2 4 2 2

2cos22 1 0

cos cos3

2cos2 cos cos3 0

2cos2 cos cos2 cos sin 2 sin 0

2cos2 cos .cos2 cos .sin . sin 2 0

2 cos 1 cos 2cos 1 2cos .sin 0

4cos 2 2cos cos 2cos 2co

x x

x

k

x

x x

x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x x x x

4

4 2

2

s 0

4cos cos 2 0

1 33A rejeter car 0

8cos

1 33

8

1 33a)cos 0.770 0.692 2

8

1 33b)cos 0.770 2.450 2

8

x

x x

x

x x k

x x k

10 novembre 2014




Vérifier l'identité suivante :

cot .cot 2 1cos2 sin 2 . tan

cot .cot 2 1

x xx x x

x x


Premier membre :

cos cos2. 1

cot .cot 2 1 cos .cos2 sin .sin 2 cos3sin sin 2cos cos2cot .cot 2 1 cos .cos2 sin .sin 2 cos. 1sin sin 2

Deuxième membre :

sin cos .cos2 sin .sin 2cos2 sin 2 .

cos cos

x xx x x x x x xx x

x xx x x x x x x

x x

x x x x xx x

x x

cos3

cos

x

x

10 novembre 2014




Par une point fixe d'un segment , on mène une perpendiculaire à . Elle coupe en

et les côtés et d'un triangle inscrit à un demi-cercle de diamètre .

Montrer que le produit entre

P AB AB D

E AC BC ABC AB

PD

34

et est une constante quelle que soit la position du point

sur le cercle.

Calculer la valeur de cette constante lorsque le point est situé aux d'un segment

de 12 cm de longueur.

PE

C

P QB


cot

Remarquons que pour que le triangle existe, il faut et .

Si ou , alors et . 0 .

Soient les triangles et .

On a : . . tan . . tan

. . tan . tan 90

A

ABC C A C B

C A C B P D E PD PE cste

ADP BCP

PD PE AP A BP B

AP BP A A

1

2

. car est fixe.

Si 12 cm, alors 3 cm et 9 cm . 27 cm

AP BP cste P

AB PD PE AP BP

10 novembre 2014




Dans l'angle formé par un mur érigé verticalement par rapport au sol horizontal, une petite

balle de rayon vient se coincer. Une balle de plus grand rayon vient, elle aussi se

caler dans cet angle e

r R

t cacher la plus petite.

Les centres de ces balles (sphériques) se trouvant dans le même plan, perpendiculaire au

mur et au sol, quelle est la condition géométrique (relation entre et ) pour que la r R grande

balle (supposée indéformable) bloque la plus petite sans l'écraser?

Qu'adviendra-t-il si la grande balle est un ballon de football (diamètre 22 cm) et la petite

balle est une balle de ping-pong (diamètre de 4 cm)?


2

.cos45

.cos45

2 2Les balles seront bloquées si :

2 2

2 21 1

2 2

2211

22. . . 3 2 22 2 2

1 1 . 12 2 2

Si 2 cm et 11 cm :

2 2 11 22 2 11.19

2 2 2

AB r

BC r

CD R

AD R

r r R R

r R

r R R r R

r R

r r R

11

Dans ce cas, les deux balles sont légèrement écrasées.

10 novembre 2014



EXTRI397 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2014.

4 4 4 4

Montrer que

3 5 7 3sin sin sin sin

8 8 8 8 2

4 4 4 4

2 2

7 3 7Notons que sin sin et que sin sin car ce sont des sinus d'angles

8 8 8 8

supplémentaires. L'espression devient :

3 1 32sin 2sin 4sin 4sin

8 8 2 8 8

1 31 cos 1 cos Formu

2 4 4

2 2

le de Carnot

1 2 21 1

2 2 2

1 1 1 31 2 1 2

2 2 2 2

5 décembre 2014



EXTRI398 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2014.

Résoudre l'équation :

cos3 cos7 1 cos10

représenter les solution entre 0 et 2 sur le cercle trigonométrique

x x x

2

2

cos3 cos7 1 cos10

2cos5 .cos2 1 2cos 5 1 (Simpson et Carnot)

cos5 .cos2 cos 5

21) cos5 0 5 2

2 10 5

2) cos2 cos5

25 2 2 3 2

3

25 2 2 7 2

7

x x x

x x x

x x x

kx x k x

x x

kx x k x k x

kx x k x k x

5 décembre 2014



EXTRI399 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2014. EPL, UCL, LLN, juillet 2017.

Deux églises sont situées de part et d'autre d'une place horizontale. Les clochers de ces deux

églises sont représentés respectivement par les segments et . Les bases de ces clochers

sont séparées

AB CD

d'une distance . Un observateur placé au point voit le sommet du clocher

opposé sous un angle . De même un observateur situé au point voit le sommet du

clocher opposé sous un angle valant

k C B

BCA A

DAC la moitié de l'angle . La somme des angles

et sous lesquels un observateur placé au point voit respectivement les sommets

et est égale à 90°. Si la distance vaut 60 m, déterminer la

BCA

BEA DEC E

B D k hauteur des deux clochers

et .AB CD

Nous reprenons la solution proposée par l’université.

(Prof. P. Duysinx et Prof. P. Dewallef)





Solution proposée par Martine Devillers

2

1 211 2

1 1 21 2

2

2

2

tan2 60

tan .tan 3600.tan .tantan2 3600 260

190 tan .tan tan .tan 90 1 tan .tan

2 4

tan tan .tan 90030 900

tan30

2 tan12 tan 8tan

2 41 tan

2

l

l lll l

l l ll l

l

2 2

2 1

2

1 2

1 11 tan tan avec 0,90 tan

2 2 2 9 2 3

60 900Finalement : 60 tan 20 m 45 m

2 3

Réponse : 45 m, 20 m

l ll

l l

20 janvier 2015


Documents

EXALG020 – Mons, questions-types, 2000-2001 · 2) sin2 sin6 0 2sin4 cos2 0 sin4 0 4 180 45 cos2 0 2 90 180 45 90 Rép : 1 solution 45 1 cos 3) 0, . Posons arccot , tel que 0, ;