Université Lille 1 — UFR de MathématiquesLicence de Mathématiques(L3, S5, année 2006–2007)

M305 : PARTIEL DU 15 NOVEMBRE 200610h30–12h30 au A4

– Dans les énoncés « déterminer » signifie « déterminer en le justifiant ».

– Barême indicatif : 2,3,4,2,2,3,4. Ne méritent des points que des textes constitués de démonstrations

rédigées de manière correcte et complète.

1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière∑

∞

n=18nz3n.

2. Déterminer le rayon de convergence de la série entière∑

∞

n=15n z n

2

.

3. Soit R1 le rayon de convergence d’une série entière∑

∞

n=0anzn et R2 le rayon de conver-

gence d’une série entière∑

∞

n=0bnzn. Soit alors R3 le rayon de convergence de la série∑

∞

n=0(an + bn)zn. Prouver R3 ≥ inf(R1, R2) et donner un exemple avec l’inégalité stricte.

4. Déterminer la série de Taylor de la fonction Log z au point z0 = 2i.

5. Déterminer la série de Laurent pour |z| > 1 de1

z5 − z−5.

6. Soit λ et µ deux nombres réels, et soit F la fonction de z = x + iy définie par

F (z) = x3 + λxy2 + i(−y3 + µx2y)

Déterminer les valeurs de λ et µ pour lesquelles F est une fonction entière. Identifier F

lorsque cela est le cas.

7. Soit f une fonction holomorphe sur D(0, 1) vérifiant :

x ∈ ] − 1, +1[ =⇒ (f(x) ∈ R et f(ix) ∈ R)

Montrer que f est paire.

Université Lille 1 — UFR de MathématiquesLicence de Mathématiques(L3, S5, année 2006–2007)

M305 : PARTIEL DU 15 NOVEMBRE 2006CORRIGÉ

– Dans les énoncés « déterminer » signifie « déterminer en le justifiant ».– Barême indicatif : 2,3,4,2,2,3,4. Ne méritent des points que des textes constitués de démonstrations

rédigées de manière correcte et complète.

1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière∑∞

n=1 8nz3n.

Le terme général est 8nz3n = (2z)3n. On a |2z|3n →n→∞

∞ pour |z| > 12 donc le rayon de

convergence est au plus 12 . On a |2z|3n →

n→∞0 pour |z| < 1

2 donc le rayon de convergence est

au moins 12 . Le rayon de convergence est 1

2 .

2. Déterminer le rayon de convergence de la série entière∑∞

n=1 5n z n2

.

Soit un = |5n z n2

| = 5n|z|n2

. Pour déterminer le comportement de un, supposons z 6= 0et écrivons un sous la forme elog(5)n+log(|z|)n2

. Si |z| > 1 alors log |z| > 0 et log(5)n +log(|z|)n2 →

n→∞+∞, donc un →

n→∞+∞. Le rayon de convergence est donc au plus 1. Si

|z| < 1 alors log |z| < 0 et log(5)n + log(|z|)n2 →n→∞

−∞ donc un →n→∞

0. Par conséquent le

rayon de convergence est au moins 1. Le rayon de convergence demandé est donc 1.

3. Soit R1 le rayon de convergence d’une série entière∑∞

n=0 anzn et R2 le rayon de conver-gence d’une série entière

∑∞n=0 bnzn. Soit alors R3 le rayon de convergence de la série∑∞

n=0(an + bn)zn. Prouver R3 ≥ inf(R1, R2) et donner un exemple avec l’inégalité stricte.

Notons R = inf(R1, R2). Le disque D(0, R) est inclus dans D(0, R1) donc la série∑∞

n=0 anzn

converge sur ce disque. De même, D(0, R) ⊂ D(0, R2) donc la série∑∞

n=0 bnzn convergesur D(0, R). La somme

∑∞n=0(an + bn)zn est donc elle-aussi une série convergente sur ce

disque, ce qui établit que son rayon de convergence R3 est au moins R. Un exemple avecinégalité stricte est obtenu en prenant an = 1 pour tout n et bn = −an pour tout n. Lasérie somme est identiquement nulle et a donc un rayon de convergence infini qui est bienstrictement supérieur à inf(R1, R2) = 1.

4. Déterminer la série de Taylor de la fonction Log z au point z0 = 2i.

La série de Taylor est donnée par la formule :

Log(2i + h) = Log(2i) +∞∑

n=1

Log(n)(2i)

n!hn

La suite au verso

Notons f(z) = Log z, de sorte que f ′(z) = 1z, f ′′(z) = −z−2, f (3)(z) = +2z−3. Prenons

comme hypothèse de récurrence, pour n ≥ 1, f (n)(z) = (−1)n−1(n − 1)!z−n. C’est vraipour n = 1, 2, 3, supposons le vrai pour n, alors f (n+1)(z) = (−1)n−1(n − 1)!(−n)z−n−1 =(−1)nn!z−n−1, ce qui établit la propriété au rang n + 1. Ainsi :

Log(2i + h) = Log(2i) +∞∑

n=1

(−1)n−1

n

hn

(2i)n= log(2) + i

π

2−

∞∑

n=1

in

n2nhn

5. Déterminer la série de Laurent pour |z| > 1 de1

z5 − z−5.

Pour |z| > 1, on a |z|−1 < 1 donc :

1

z5 − z−5=

z−5

1 − (1z)10

= z−5∞∑

k=0

z−10k =∞∑

k=0

z−5−10k

Les coefficients cn de la série de Laurent sont donc nuls pour n ≥ 0 et pour les n < 0 noncongrus à 5 modulo 10 et valent 1 pour les n < 0 congrus à 5 modulo 10.

6. Soit λ et µ deux nombres réels, et soit F la fonction de z = x + iy définie par

F (z) = x3 + λxy2 + i(−y3 + µx2y)

Déterminer les valeurs de λ et µ pour lesquelles F est une fonction entière. Identifier F

lorsque cela est le cas.

On a ∂∂x

F = 3x2 + λy2 + i(2µxy) et ∂∂y

F = 2λxy + i(−3y2 + µx2), donc ∂∂x

F + i ∂∂y

F =

3x2+λy2+3y2−µx2+i(2(µ+λ)xy). Pour que cela soit identiquement nul sur C (et donc quel’équation de Cauchy-Riemann ∂

∂xF = 1

i∂∂y

F soit vérifiée) il faut que µ = 3 et λ = −3 (on

doit avoir 3x2 + λy2 + 3y2 − µx2 = 0, en particulier pour (x, y) = (1, 0) donc µ = 3 et pour(x, y) = (0, 1) donc λ = −3). Dans ce cas F (z) = x3−3xy2+i(−y3+3x2y) = (x+iy)3 = z3,qui est bien une fonction entière.

7. Soit f une fonction holomorphe sur D(0, 1) vérifiant :

x ∈ ] − 1, +1[ =⇒ (f(x) ∈ R et f(ix) ∈ R)

Montrer que f est paire.

Comme f est à valeurs réelles sur ] − 1, 1[ il en est de même de f ′, f ′′, et par récurrencede toutes ses dérivées. La série de Taylor f(z) =

∑∞n=0 anzn est donc à coefficients an =

1n!f

(n)(0) réels. Il en sera de même, par l’hypothèse faite, de la série pour f(iz), donc on aaussi inan ∈ R pour tout n. Pour n impair on a donc an à la fois réel et imaginaire pur,donc nul. Donc f(z) =

∑∞k=0 a2kz

2k. Ainsi f(−z) = f(z) et f est bien une fonction paire.

Université Lille 1 Corrigé du Partiel du 15 novembre 2006