m at h é m at i q u e s p r é - c a l c u l 1 2 e a n n é e (4 0 S )

Examen de préparation final

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l 3 de 28

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l 1 2 e a n n é e

Examen de préparation final

Nom : ____________________________________

Numéro d’étudiant : ________________________

Fréquente actuellement une école : q Non q Oui

Numéro de téléphone : ______________________

Adresse : _________________________________

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Instructions

L’examen final sera pondéré comme suit :Modules 1 à 8 : 100 %Temps imparti : 3 heures

Remarque : Tu as le droit d’apporter les fournitures suivantes à l’examen : des stylos et des crayons (2 ou 3 de chaque), du papier brouillon, une règle, une calculatrice scientifique et ta fiche-ressource de l’examen final. Cette fiche ressource doit être remise avec l’examen.

Montre tous les calculs et toutes les formules utilisées. N’arrondis aucune valeur avant d’effectuer tes calculs, mais arrondis tes réponses finales à la précision demandée. Mentionne les unités lorsqu’elles sont nécessaires. Indique clairement ta réponse finale.

Pour le correcteur

Date : _______________________________

Note finale : _______ /100 = ________ %

Commentaire :

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e4 de 28

Principes généraux de notationn Les concepts appris en 12e année valent 1 point chacun. Les concepts appris

antérieurement (à moins qu’ils aient été enseignés de nouveau dans le cadre du programme d’études comme la valeur absolue ou les inverses) valent 0,5 point chacun.

n Certaines erreurs ne sont déduites qu’une fois (p. ex., l’omission des flèches directionnelles sur les graphiques).

n Une erreur dans le cours de la réponse n’entraîne pas la perte de tous les points pour ce qui suit (p. ex., si une erreur arithmétique est faite à la première ligne, il est toujours possible pour l’élève de recevoir la quasi-totalité des points).

n Un grand nombre d’erreurs de communication font l’objet d’une déduction de 0,5 point, mais 0,5 point est le maximum que l’on peut déduire pour une erreur de communication dans tout l’examen.

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l 5 de 28

Nom :

Réponds à toutes les questions du mieux que tu peux. Montre tout ton travail.

Questions à réponse construite (100 points)

1. Étant donné que f xx

( )=1

et g(x) = x3 + 6x − 3, détermine :

(2 1 point = 2 points)a) f(f(x))

b) g(f(-2))

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e6 de 28

2. Divise, en utilisant la division longue ou la division synthétique, et écris la réponse sous la forme d’une équation correspondant à l’algorithme de la division utilisé. (3 points)

(-x3 − 4x2 + 7x + 4) ¸ (x + 3)

3. Réécris 212

513

2log log logx x+ − +( ) sous la forme d’un logarithme unique. (3 points)

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l 7 de 28

Nom :

4. Étant donné le graphique de f(x) ci-dessous, trace les fonctions suivantes.

�

�

�

�

��

����

�

���

�

�

������

a) y = f(x − 2) (1 point)

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e8 de 28

b) y = |f(x)| + 2 (1 point)

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l 9 de 28

Nom :

5. En utilisant le tracé de f(x) ci-dessous, trace le graphique des transformations demandées. Exprime chaque transformation algébriquement ou par des mots.

�

�

�

�

��

����

�

���

�

�

a) -y f x= ( )12

(2 points)

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e10 de 28

b) y = f(-2x) (2 points)

c) y = f(-2x) (2 points)

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l 11 de 28

Nom :

6. Écrisetsimplifielecinquièmetermedudéveloppementde(x+1)8. (2 points)

7. Un cours d’anglais de 12eannéecompte9garçonset11filles.Decombiendefaçonspeut-onchoisir5élèvespourunprojetengroupesilegroupedoitêtrecomposéde3filleset2garçons?(2 points)

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e12 de 28

8. Convertis 1265° en radian. Écris la réponse exacte. (1 point)

9. Tu sais que sin .α π απ

= < <- et27

32

Tu sais aussi que P(b) est dans le quadrant IV et

que cos .β =45

Trouve sin (a + b). (3 points)

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l 13 de 28

Nom :

10. Soit la fonction f(x) = -(x − 1)(x + 3)(x − 7),a) déterminelecomportementàl’infinidelafonction.(1 point)

b) détermine les abscisses et l’ordonnée à l’origine. (2 points)

c) trace le graphique de la fonction. (2 points)

�

�

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e14 de 28

11. Trace la fonction g(x) = 9 − 3x et détermine son image, son abscisse à l’origine et l’équation de l’asymptote. (4 points)

12. Trace la fonction f(x) = log3 x − 2. (1 point)

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l 15 de 28

Nom :

13. Trace le graphique de la fonction suivante en utilisant des transformations. Indique le domaine et l’image de la fonction. (3 points)

g x x( )= +�2 4

�

�

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e16 de 28

14. Étant donné le graphique de f(x) ci-dessous, trace le graphique de f x( ). (2 points)

�

�

�

�

��

��

�

�

�

����

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l 17 de 28

Nom :

15. Résousalgébriquementl’équationradicalesuivante.Vérifietaréponsepouridentifierd’éventuellesracinesétrangères.(2 points)

0

12

2 1= +( ) −x

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e18 de 28

16. Trace le graphique de la fonction suivante. Détermine si le graphique devrait avoir un point de discontinuité ou une asymptote verticale. (3 points)

y

xx

=−41

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l 19 de 28

Nom :

17. Trace le graphique de la fonction suivante. Détermine si le graphique devrait avoir un point de discontinuité ou une asymptote verticale. (5 points)

y

xx x

=+

− −

14 52

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e20 de 28

18. Résous log .2 64 x (2 points)

19. Résousl’équationexponentielle.Arrondislaréponsefinaleaumillièmeprès.(3 points) e3x+2 = 5x+1

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l 21 de 28

Nom :

20. Résous les équations suivantes. Écris ta réponse sous forme d’une valeur exacte si possible,sinonarrondisaucentièmeprès.a) 5(3x) = ex–1 (3 points)

b) log2 (x − 4) + log2 (x − 3) = 1 (3 points)

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e22 de 28

21. Une culture bactériologique se développe selon la formule y = 1000e0,6t, où t représente le tempsenjour.a) Déterminelenombredebactériesauboutde7jours.(1 point)

b) Combiendetempsseranécessaire,aucentièmeprès,pourquelenombredebactéries

soitmultipliépartrois?(3 points)

22. Détermine tous les angles coterminaux avec 2p3

dans le domaine [-2p, 4p]. (2 points)

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l 23 de 28

Nom :

23. Écris sous forme générale tous les angles qui sont coterminaux avec -261°. (1 point)

24. Détermine la valeur exacte de chacune des expressions suivantes. Donne les valeurs des angles coterminaux, au besoin. Montre tout ton travail. (2 2 points = 4 points)

a) -sec

23π

b) cot 630°( )

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e24 de 28

25. Soit la fonction suivante : y x=

−- 1

2 21sin π

Détermine l’amplitude, le déphasage, la période, le domaine, l’image et l’ordonnée à l’origine de la fonction, puis trace son graphique. (6 points)

�

�

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l 25 de 28

Nom :

26 Écris l’équation du graphique suivant sous la forme d’une fonction cosinus. (2 points)

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����

��

��

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� � � � � � �

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e26 de 28

27. Résous les équations suivantes pour les intervalles indiqués. Écris tes réponses sous la formedevaleursexacteslorsquecelaestpossible,sinonarrondis-lesaucentièmeprès.a) 2 sin2 q + 3 cos q = 3, où -2p £ q £ 0 (5 points)

b) 6 sin2 x + 5 sin x + 1 = 0, où 0 £ x < 2p. (4 points)

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l 27 de 28

Nom :

28. Explique ce qui différencie une identité trigonométrique d’une équation trigonométrique. (1 point)

29. Soit l’équation sin cos2 24

x x( )= +

-

π ,

a) trace les graphiques de y = sin(2x) et y x= +

- cos 2

4π

surlemêmesystème

d’axes ci-dessous. (4 points)

�

�

b) Le graphique que tu as créé dans a) te laisse-t-il penser que l’existence d’une identité estainsidémontrée?(1 point)

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e28 de 28

30. Prouve l’identité 2

2sinsin

sec .xx

x (2 points)

31. Prouve l’identité cos 2q + 2 sin2 q = 1. (2 points)

32. Trouve la valeur exacte de tan tantan tan

.80 55

1 80 55° + °

− ° ⋅ ° (2 points)