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Questionnaire examen final

MTH1102

Sigle du cours

Identification de l’étudiant(e)

Nom : Prénom :

Signature :

Réservé

1. /10

Matricule : Groupe :

Sigle et titre du cours

2. /10

3. /8 Groupe Trimestre MTH 1102– CALCUL II TOUS Automne 2008

Professeur Local Téléphone ANDRÉ DUPONT

4. /10

5 /12 A-520.9 4773

Jour Date Durée Heures Mercredi 17 décembre 2008 2H30 13h30 à 16h00

Documentation Calculatrice

Toute Aucune Les cellulaires, agendas électroniques ou téléavertisseurs sont interdits.

Aucune Programmable

Voir directives particulières Non programmable

Directives 1. Remplissez la partie ci-haut et signez immédiatement le cahier. 2. Sauf indication contraire, donnez une réponse complète à chaque question et cette réponse

doit être expliquée et justifiée. 3. N'utilisez que le recto pour rédiger vos réponses; servez-vous du verso comme brouillon. 4. Ne détachez aucune feuille de ce cahier. Rédigez vos solutions sur les pages

identifiées à cet effet.

Impo

rtan

t Cet examen contient x5 questions sur un total de x18 pages (excluant cette page)

La pondération de cet examen est de 50 %

Vous devez répondre sur : le questionnaire le cahier les deux

Vous devez remettre le questionnaire : oui non

L’étudiant doit honorer l’engagement pris lors de la signature du code de conduite.

TTTOOOTTTAAALLL :: /50

École Polytechnique de Montréal Département de mathématiques et de génie industriel Calcul II – MTH1102 Examen final – Automne 2008 page 1

QUESTION # 1 (10 points)

Dites si les énoncés suivants sont vrais ou faux. Une courte justification est nécessaire.

Vraie Faux

a. Il existe un champ F dont le rotationnel est 2x i x j y k+ + .

b. Il existe une fonction ( , , ) 0f x y z ≠ telle que . ( ( ) )grad div grad f f=

c. Pour toute courbe fermée C située sur la surface d’un solide et pour tout champ continu on a

EF

.C

E

F dr F dV=∫ ∫∫∫i


=

d. Uniquement si la surface fermée est celle d’une sphère, on aura ( ( , ) ( , ) ( , ) ) 0

S

P y z i Q x z j R x y k dS+ +∫∫ i

e. Soit une courbe C de longueur et un champ L F dont la norme est constante et égale à α . Si partout le long de C , F est tangent à la courbe, alors

.C

F dr α∫ i L= ±



Soit le carré du plan R x y ayant pour sommets les points

(1, 0) ,(0,1) , ( 1,0) (0, 1).et− −

a. Quelle est l’image de dans le plan selon la transformation R u v

u xv x

yy

= += −

.

b. À l’aide de cette transformation et de sa réciproque, évaluer l’intégrale double

2

2R

x y dAx y

⎛ ⎞−⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

∫∫ .


QUESTION # 2 (suite)




QUESTION # 3 (8 points) Une courbe fermée C du plan x y est constituée de la droite AB et d’un tracé (voir figure 1).

B E A

(0,1)AE

(1,0)B

y

x

Figure 1

L’aire entourée par C étant égale à 7, obtenez

( )(3 2 ) (2 3 ) .B E A

x y i y x j dr− + +∫ i







La surface d’un solide de volume égal 15 est formée de deux surfaces et . La surface est le paraboloïde,

S 1S 2S

1S2 22 2 , 0z x y z= + ≤ ≤ 18

ayant pour frontière le cercle C . La surface , d’équation inconnue, a aussi pour frontière le cercle C .

2S

Évaluer

2S

F d S∫∫ i

où 2 2 2( , , ) ( ) ( ) (4 4 )2F x y z x y i y x j x y x y k= − + + + − .

z

y

x

c

2S

1S









Considérons le plan 1x y z+ + = dont la normale a une composante positive sur l’axe des . z

Sur ce plan est située une courbe fermée , positivement orientée, confinant une aire CA du plan. Les projections de l’aire A sur les plans , etx y y z x z sont respectivement , etα β γ .

Évaluer

( )2 2 213 .2C

y i z j x k dr− + +∫ i






x x



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