Examen Final MEC2200 - Dynamique des Fluides

ECOLE POLYTECHNIQUE DE MONTREALMEC2200 - Dynamique des Fluides

DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUEAutomne 2013

Examen FinalMEC2200 - Dynamique des Fluides

Probleme 1 - 5 points sur 40

Quelques questions rapides :

a. Pour accelerer un ecoulement interne supersonique, doit-on diminuer ou augmenter la sec-tion ?

b. Au passage d’un choc, est-ce que l’entropie augmente ou diminue ?

c. Si l’ecoulement n’est pas adiabatique, est-ce que la temperature de stagnation est conserveeau passage d’un choc ?

d. Citer deux exemples d’ecoulement ayant une solution analytique (exacte) aux equations deNavier-Stokes.

e. Au passage d’un choc, est-ce que les processus physiques sont reversibles ?

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Un navire, dont la taille caracteristique est `, est en mouvement a la vitesse U . L’eau danslaquelle le navire avance exerce une force de traınee F que l’on peut penser dependre, en plusde ` et U , de la masse volumique ρ , de la viscosite dynamique µ et de la tension superficielle σ

de l’eau, ainsi que de l’acceleration de la pesanteur g.Sachant que µ s’exprime en kg.m−1.s−1 et σ en kg.s−2, nous allons utiliser le theoreme

de Buckingham pour chercher une relation permettant d’exprimer la force F en fonction denombres adimensionnels bases sur les caracteristiques du bateau et du fluide. Pour cela, ondemande de repondre aux questions suivantes :

a. Montrer que les variables ρ , U et ` sont dimensionnellement independantes.

b. Obtenir tous les πi.

c. Fournir finalement la relation recherchee.

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De l’air (ρ = 1,2 kg/m3, µ =1.85×10−5 kg/ms) se deplace a une vitesse uniforme U pa-rallelement a une plaque plane de longueur L = 15 m et de largeur b = 2 m ou se developpe unecouche limite. On considere que la transition du regime laminaire vers le regime turbulent seproduit pour Rex = 106, ou x est l’abscisse a partir du bord d’attaque de la plaque. Les questionsa), b) et c) sont independantes :

a. Si l’epaisseur δ au bord de fuite est de 2 cm, determiner U pour que la transition s’effectueen cette position.

b. Si U = 50 m/s :

(i) En supposant l’ecoulement laminaire, a partir de quelle distance x du bord d’attaquede la plaque l’epaisseur de la couche limite atteint 1 cm ?

(ii) L’hypothese que l’ecoulement est laminaire n’est cependant pas justifiee. Montrerpourquoi.

(iii) Calculer la nouvelle valeur de x en supposant l’ecoulement turbulent.

(iv) Verifier a nouveau Rex et conclure.

c. Si U = 1 m/s, calculer la force de trainee exercee sur une face de la plaque.

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Probleme 4 - 5 points sur 40On considere une partie d’un systeme de remontee de petrole du fond de la mer a la surface pargrande profondeur (voir Figure 1). Ce systeme est constitue d’une bouee ainsi que d’une colonnemontante que l’on considere tres flexible. On veut determiner la longueur de colonne montanteque la bouee peut supporter.

Les donnees sont les suivantes :

• Hauteur de la bouee cylindrique : 33 m

• Diametre de la bouee cylindrique : 6 m

• Masse de la bouee : mb = 320 tonnes

• Diametre du tube : d = 0.5 m

• Masse lineique du tube dans l’air : ml = 460 kg / m

• Masse volumique de l’eau : ρ = 1025 kg / m3

• L’acceleration de la pesanteur : g = 9.8 m / s−2.

surface libre

eau de mer

mb

bouéesubsurface

colonne montantecaténaire

ml

H

FIGURE 1 – Bouee subsurface.

a. Determiner la force de poussee nette de la bouee (force d’Archimede moins son proprepoids)

b. Determiner le poids lineique net de la colonne montante (poids moins force d’Archimede)

c. Determiner la hauteur H de colonne montante pouvant etre supportee.

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La Station spatiale internationale (en anglais International Space Station ou ISS) est une sta-tion spatiale placee en orbite terrestre basse, occupee en permanence par un equipage internatio-nal qui se consacre a la recherche scientifique dans l’environnement spatial.

FIGURE 2 – Station Spatiale Internationale.

L’atmosphere a bord de la station est main-tenue a une pression similaire a celle de l’at-mosphere terrestre au niveau de la mer, soit101300Pa a une temperature de 293.15K.L’utilisation d’une composition analogue acelle de l’atmosphere terrestre est plus confor-table pour l’equipage et bien plus sure qu’uneatmosphere d’oxygene pure : on utilisera doncR = 287m2/(s2K) et k = 1.4. Le volume ha-bitable est de 900m3.

Suite a l’impact d’une micrometeorite, la cloison etanche serait percee d’un trou de 5mm dediametre. Pour s’assurer de la survie des astronautes, repondez aux questions suivantes.

a. Calculer la masse totale d’air dans la station spatiale.

b. Calculer le debit massique maximal de la fuite.

c. Calculer le temps necessaire pour ejecter l’ensemble de l’atmosphere dans le vide (on uti-lisera le debit maximal). Les astronautes disposent-ils du temps necessaire pour reagir etse proteger ?

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Vulcain II est un moteur cryogenique propulsant l’etage principal du lanceur Ariane 5. LaPoussee est generee par l’ejection des gaz brules de la tuyere et se calcule a l’aide de l’equationsuivante :

F = mVe +Ae (Pe −Patm)

avec Ve et Pe respectivement la vitesse et la pression des gaz a la sortie de la tuyere.

FIGURE 3 – Moteur Vulcain II.

Les specifications techniques sont resumees dans le tableausuivant.

Pression de stagnation P0 11500000PaTemperature de stagnation T0 3724KAire de sortie Ae 3.4636m2

Ration des aires Ae/A∗ 58.3Constante des gaz R 777m2/(s2m2)Ratio cp/cv k 1.4

Sachant que les nombres de Mach du ratio des aires sontrespectivement 0.0099 et 6.13, repondez aux questions sui-vantes.

• Caracterisation du point de design :

a. Calculer la temperature Te a la sortie.

b. Calculer la vitesse Ve a la sortie.

c. Calculer la pression Pe a la sortie.

d. Calculer la masse volumique ρe a la sortie.

e. Calculer le debit massique m a la sortie.

• Prediction de la poussee :

f. Calculer la poussee dans le vide.

g. Est-ce qu’il y a un choc, a la sortie de la tuyere, au decollage (Patm = 101300Pa) ?

h. Calculer la poussee au niveau de la mer.

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TABLE&B1&

&

page 7

MEC2200

Formulaire — Écoulements compressibles

1 Relations générales

Pour un gaz parfait :

p = ρRT, R = cp − cv = cst, k =cpcv

= cst, du = cvdT et dh = cpdT

avec

cv =R

k − 1et cp =

kR

k − 1.

Pour de l’air, R = 287 m2/s2K, k = 1.4, cv = 718 m2/s2K et cp = 1005 m2/s2K.

Selon les deux premiers principes de la thermodynamique :

Tds = dh− dp

ρ, et pour un gaz parfait s2 − s1 = cp ln

T2T1−R ln

p2p1

= cv lnT2T1−R ln

ρ2ρ1

.

Pour une transformation isentropique, on obtient, pour un gaz parfait :

p2p1

=

(T2T1

) kk−1

=

(ρ2ρ1

)k

.

La vitesse du son pour un gaz parfait (phénomène isentropique) est a =√kRT .

Pour de l’air, a(m/s) ' 20√T (K), soit 340 m/s au niveau de la mer.

2 Écoulement adiabatique

Les variations d’énergie potentielle sont en général négligeables. Dans le cas d’un écoulementde fluide parfait, on néglige également les effets visqueux et les échanges thermiques. Dansce cas, sur une ligne de courant :

h+1

2V 2 = cst = h0, où h0 est l’enthalpie totale.

Pour un gaz parfait :

cpT +1

2V 2 = cpT0, où T0 est la température totale, ou température d’arrêt (de stagnation

dans le livre), et l’équation de Bernoulli devient :k

k − 1

p

ρ+

1

2V 2 = cst sur une ligne de courant, soit encore :

T

[1 +

k − 1

2M2

]= T0 = cst, oùM =

V

aest le nombre de Mach.

Pour la vitesse du son :

a

[1 +

k − 1

2M2

]1/2= a0 = cst.

8

MEC2200

3 Écoulement adiabatique et isentropique

Si de plus l’écoulement est isentropique :Air (k = 1.4)

p0p

=

[1 +

k − 1

2M2

] kk−1

=[1 + 0.2M2

]3.5ρ0ρ

=

[1 +

k − 1

2M2

] 1k−1

=[1 + 0.2M2

]2.5avec

T0T

= 1 +k − 1

2M2 = 1 + 0.2M2

a0a

=

[1 +

k − 1

2M2

]1/2=[1 + 0.2M2

]1/2M peut aussi être déduit de l’un ou l’autre de ces rapports.

4 Écoulement isentropique avec changement de section

Le comportement en supersonique est l’inverse de celui en subsonique :dV

V=dA

A

1

M2 − 1= − dp

ρV 2

Au col (M = 1, soit V ∗ = a∗), les variables critiques sont indiquées par l’exposant ∗ :

Air (k = 1.4)

p∗

p0=

(2

k + 1

) kk−1

= 0.5283

ρ∗

ρ0=

(2

k + 1

) 1k−1

= 0.6339

T ∗

T0=

2

k + 1= 0.8333

a∗

a0=

(2

k + 1

)1/2

= 0.9129

A

A∗ =1

M

(2

k + 1

[1 +

k − 1

2M2

]) k+12(k−1)

=1

M

[1 + 0.2M2

1.2

]39

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Le débit massique peut être exprimé en fonction de p si on connait p0 et T0 :

m

A

√RT0p0

=

√√√√√ 2k

k − 1

(p

p0

) 2k

1− ( p

p0

)k−1k

Le débit massique maximal passant dans un col est :

mmax = ρ∗V ∗A∗ = k1/2(

2

k + 1

) k+12(k−1)

A∗ρ0(RT0)1/2,

et pour de l’air : mmax = 0.6847ρ0√RT0A

∗ =0.6847p0A

∗√RT0

5 Choc normal

Sauts d’enthalpie (mais h02 = h01) et d’entropie (écoulement non-isentropique) :

h2 − h1 =1

2(p2 − p1)

(1

ρ2+

1

ρ1

)s2 − s1cv

= ln

[p2p1

(ρ1ρ2

)k]

Relations en fonction du nombre de Mach :Air (k = 1.4)

p2p1

=1

k + 1

[2kM2

1 − (k − 1)]

=1

2.4

[2.8M2

1 − 0.4]

ρ2ρ1

=V1V2

=(k + 1)M2

1

2 + (k − 1)M21

=2.4M2

1

2 + 0.4M21

M22 =

2 + (k − 1)M21

2kM21 − (k − 1)

=2 + 0.4M2

1

2.8M21 − 0.4

T2T1

=[2 + (k − 1)M2

1

] 2kM21 − (k − 1)

(k + 1)2M21

=[2 + 0.4M2

1

] 2.8M21 − 0.4

5.76M21

T02 = T01

p02p01

=ρ02ρ01

=

[(k + 1)M2

1

2 + (k − 1)M21

] kk−1

[k + 1

2kM21 − (k − 1)

] 1k−1

=

[2.4M2

1

2 + 0.4M21

]3.5 [2.4

2.8M21 − 0.4

]2.5

A∗2

A∗1

=M2

M1

[2 + (k − 1)M2

1

2 + (k − 1)M22

] k+12(k−1)

=M2

M1

[2 + 0.4M2

1

2 + 0.4M22

]310

MEC2200

Formulaire de couche limite sur plaque plane

1 Notions fondamentales

Paramètre Définition

U Vitesse extérieure à la couche limite (constante)

x, yCoordonnées axiale (parallèle à la plaque) et trans-verse (perpendiculaire à la plaque)

u(x, y) Vitesse axiale

Rex =Ux

νNombre de Reynolds

δ(x) Épaisseur de couche limite telle que u(x, δ) = 0.99U

δ∗(x) =

∫ δ

0

(1− u

U

)dy Épaisseur de déplacement

θ(x) =

∫ δ

0

u

U

(1− u

U

)dy Épaisseur de quantité de mouvement

τw(x) = µ∂u

∂y

∣∣∣∣y=0

= ρU2 dθ

dxContrainte de frottement pariétale

Cf (x) =τw

12ρU2

Coefficient de frottement

D(x) = b

∫ x

0

τw(x)dx = ρbU2θ(x)Force de trainée exercée sur une plaque de longueurx et de largeur b

CD =D(L)

12ρU2bL

=1

L

∫ L

0

Cf (x)dxCoefficient de trainée pour une plaque de longueur Let de largeur b

H =δ∗

θParamètre de forme

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MEC2200

2 Principaux résultats

Régime laminaire Régime turbulent

Kármán Blasius Prandtl

u

U≈(2y

δ− y2

δ2

)Solution numérique des équations u

U≈(yδ

)1/7de couche limite

δ(x)

x=

5.5

Re1/2x

δ(x)

x=

5.0

Re1/2x

δ(x)

x=

0.16

Re1/7x

δ∗(x)

x=

1.83

Re1/2x

δ∗(x)

x=

1.721

Re1/2x

δ∗(x)

x=

0.02

Re1/7x

θ(x)

x= Cf (x) =

0.73

Re1/2x

θ(x)

x= Cf (x) =

0.664

Re1/2x

θ(x)

x=

0.015

Re1/7x

Cf (x) =0.027

Re1/7x

CD = 2Cf (L) =1.46

Re1/2L

CD = 2Cf (L) =1.328

Re1/2L

CD =7

6Cf (L) =

0.031

Re1/7L

H = 2.5 H = 2.59 H = 1.3

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