Examendematuritégymnasiale Juin 2019 àl’ÉcoledeMaturité ... · En déduire la valeur de l’aire du domaine plan situé dans le premier quadrant sous la courbe d’équation

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Examen de maturité gymnasiale

à l’École de Maturité

Juin 2019

MATHÉMATIQUES NIVEAU RENFORCÉ 3M

Durée : 240 minutes

Matériel autorisé : Formulaire usuel fourni avec l’épreuve.

Tables CRM non annotée

Calculette : TI-30 ECO RS, TI-30X II S, Casio

fx-85 ES (PLUS) ou HP 10s+ Scientific

Calculator

Règle, équerre, rapporteur et compas.

Consignes :

1. Le candidat met son nom sur toutes les feuilles, y compris celles de brouillon.

2. Les points attribués à chaque problème sont indiqués à droite du numéro du problème.

3. Après avoir si nécessaire travaillé sur un brouillon, le candidat rédige à l’encre les solu-

tions sur les feuilles officielles. La rédaction doit être soignée.

Les calculs et les raisonnements doivent être détaillés.

La réponse est clairement mise en évidence à la fin du problème.

Les feuilles de brouillon sont jointes aux feuilles officielles mais ne sont pas corrigées.

Si la rédaction est insuffisante, le problème ne sera pas corrigé et aucun point ne sera at-

tribué.

Barème :5 · (nombre de points)

58+1

Nombre de points obtenus : Note finale :

Page 1 sur 6 Gymnase d’Yverdon

Examen de l’Ecole de maturité 2019

Mathématiques

3M niveau renforcé

Problème 1 (6 points)

Petites questions (on demande à chaque fois une justification algébrique soigneusement rédi-

gée)

a) (1 point)

Résoudre l’équation 3x2 = 5.

b) (2 points)

Déterminer une équation de la tangente à la courbe y(x) = x ·ln(x) au point d’abscisse a = e .

c) (3 points)

Dans la figure ci-dessous, le point P est un point mobile du segment AB de longueur 4. On

considère l’aire totale formée par le triangle rectangle isocèle et le carré. Pour quelle valeur

de x cette aire totale est-elle minimale?

Indication : Quand le point P bouge, le triangle rectangle reste isocèle et le carré reste un carré.

xA P

C

E D

B



Mathématiques

3M niveau renforcé


Après avoir perdu tous ses paris lors de la Coupe du monde de football de 2018, une personne

veut procéder à quelques calculs pour se préparer au Championnat d’Europe de football qui

aura lieu en 2020.

Les parties A et B sont indépendantes.

(A) (3 points)

La première phase de cette compétition est formée de 6 groupes de 4 équipes. Dans chaque

groupe, chaque équipe joue une fois contre les trois autres équipes de son groupe.

a) (1 point)

Déterminer le nombre de matchs joués dans cette première phase.

b) (1 point)

Chaque match de cette première phase a trois issues possibles (soit une équipe gagne,

soit l’autre équipe gagne, soit les équipes font match nul). Si chaque issue est équipro-

bable pour tous les matchs, quelle est la probabilité de pronostiquer correctement tous

les matchs de cette phase?

c) (1points)

Quelle est la probabilité de pronostiquer correctement tous les matchs du premier groupe?

(B) (7 points)

Pour la deuxième phase de cette compétition, il ne reste que 4 équipes : la France, la Croatie,

la Suisse et la Belgique. Cette deuxième phase a lieu en 3 étapes : le jeudi se déroule la pre-

mière demi-finale France-Croatie, le vendredi la deuxième demi-finale Suisse-Belgique et le

dimanche la finale avec les gagnants de chaque demi-finale. A ce niveau de la compétition, le

match nul n’est pas possible. Le tableau, ci-dessous, qui se lit de gauche à droite en montant,

reprend les probabilités de gagner les différentes confrontations directes.

↗ de gagner contre France Croatie Suisse BelgiqueFrance \ ... ... ...Croatie 0.39 \ ... ...Suisse 0.28 0.58 \ ...

Belgique 0.59 0.36 0.63 \

d) (4 points)

Quelle est la probabilité que la Suisse gagne la finale?

(Indication : on peut établir un arbre de probabilité avec une étape par jour de match)

e) (1 point)

Si la Suisse se retrouve en finale avec la Croatie, quelle est la probabilité que la Suisse

soit championne d’Europe?

f) (2 points)

Déterminer la probabilité de gagner pour chaque équipe de cette deuxième phase.

Quelle est l’équipe favorite du tournoi ?



Mathématiques

3M niveau renforcé


Calculer les coordonnées du centre de la sphère qui soit simultanément

• tangente en A = (18,−3,−1) à la droite (d) :

{

10x − y +9z −174= 0

2x +7y −9z − 24 = 0

• tangente en B = (38,16,−4) à la droite (g ) :

{

6x + y + 6z −220= 0

6x −6y +13z − 80 = 0


Considérons la fonction suivante :

f (x) = ex

x−2

a) (4 points)

Déterminer une équation de chacune de ses asymptotes.

b) (3 points)

Montrer que la dérivée vaut f ′(x) =−2

(x −2)2· e

xx−2 et étudier la croissance de f .



Mathématiques

3M niveau renforcé


Considérons la parabole représentée ci-dessous, dont le sommet se situe en (1;32).

On donne également A = (−3;0), B = (5;0) et C = (0;30), trois points de la parabole.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−5

5

10

15

20

25

30

S

A B

C

a) (2 points)

Déterminer une équation de la parabole.

(Indication : après calculs, vous trouverez y =−2x2 +4x +30)

b) (2 points)

Considérons la droite d : y = 4x +22. Calculer les coordonnées des points d’intersection de

la droite d avec la parabole.

c) (3 points)

Calculer l’aire de la surface grisée.


Calculer la valeur exacte de

∫

$e

1x ln2(x)dx



Mathématiques

3M niveau renforcé


Soit P2(x) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2. On note

f l’endomorphisme de P2(x) qui à tout polynôme P de degré n fait correspondre

f (P ) = (x +2)P ′ où P ′ est la dérivée de P.

a) (2 points)

Donner la matrice A de f relativement à la base B(x2; x; 1) de P2(x).

b) (6 points)

Calculer les valeurs propres de f .

Pour chacune d’elles, calculer l’espace propre associé.

c) (1 point)

Donner le noyau de f .

d) (1 point)

Donner une base B∗ de P2(x) formée de vecteurs propres de f .

Donner la matrice A∗ de f dans cette nouvelle base.

e) (1 point)

Donner Q une matrice de passage entre les deux bases.

Donner la relation algébrique reliant les matrices Q, A et A∗.

f) (2 points)

Calculer l’ensemble des polynômes P qui vérifient f (P ) =−6x2−10x+4 (relativement à B).



Mathématiques

3M niveau renforcé

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................

Examen de maturité gymnasiale

à l’École de Maturité

Juin 2018



Matériel autorisé : Formulaire Polymaths fourni avec l’épreuve.

Formulaire de la CRM non annoté.

Calculette sans écran graphique ne permettant pas

le calcul formel, la résolution automatique

d’équations, le calcul intégral ou le calcul matriciel.

Règle, équerre, rapporteur et compas.

Consignes :



3. Après avoir si nécessaire travaillé sur un brouillon, le candidat rédige à l’encre les solutions sur les

feuilles officielles. La rédaction doit être soignée.


La réponse est clairement mise en évidence à la fin du problème.


Gymnase d’YverdonMaturité juin 2018

Page 1/5Mathématiques

3M niveau renforcé

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................

Problème 1 [14 points]

Soit la fonction h définie par l’expression algébrique

h(x)= (2x +1)e−2x

1. Etudier le signe de la fonction h.

2. Donner les limites limx→−∞

h(x) et limx→+∞

h(x) en justifiant vos réponses.

3. Montrer par calcul que h′(x) =−4x e−2x .

4. Étudier la croissance de la fonction h.

5. Calculer les coordonnées des éventuels extrema de la fonction h.

6. Esquisser le graphe de la fonction h dans le système d’axes ci-dessous.

7. Calculer A(k)=∫k

0h(x) dx.

En déduire la valeur de l’aire du domaine plan situé dans le premier quadrant sous la courbe

d’équation y = h(x).

x

y

−3|

−2|

−1|

1|

2|

3|

4|

5|

1 –

2 –

−3 –

−2 –

−1 –



3M niveau renforcé

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................


Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on donne :

• les plans α≡ 2x − y +2z = 12 et β≡ 4x −7y − z +6 = 0

• le point C = (1;−1;−2)

1. Déterminer une représentation paramétrique de d , droite d’intersection de α et de β.

2. Déterminer les coordonnées du point C ′, symétrique orthogonal de C par rapport à d .

3. Soit γ le cercle de centre C qui découpe sur d une corde de longueur 8 unités. Ce cercle γ peut être

défini comme l’intersection d’un plan π et d’une sphère Σ centrée au point C .

Déterminer une équation cartésienne de π et une équation de Σ.


Bruno et Julien jouent au jeu de société « Jamaïca », dans lequel des bateaux pirates s’affrontent. Lors-

qu’un joueur attaque le bateau de son adversaire, l’issue du « combat » se décide à l’aide de deux lancers

de dé. Le dé utilisé comprend cinq faces numérotées de 2 à 6 et d’une sixième face marquée d’une étoile.

Déroulement du combat :

• L’attaquant lance le dé et note la valeur obtenue. Si le dé s’arrête sur l’étoile, il gagne immédiate-

ment et le combat est terminé.

• Le joueur attaqué lance le dé à son tour. Si le dé s’arrête sur l’étoile, il gagne le combat. Sinon, le

joueur ayant obtenu le plus haut score gagne. En cas d’égalité, rien ne se passe (match nul).

Bruno attaque le bateau de Julien.

1. Vérifier par calcul que la probabilité que Bruno gagne le combat vaut49

.

2. Quelle est la probabilité qu’il ne se passe rien (match nul)?

3. Quelle est la probabilité que Julien gagne le combat?

4. Si Bruno obtient le score de 4 lors de son lancer, quelle est la probabilité qu’il gagne le combat?

5. Au cours du jeu, il est possible d’obtenir une carte qui permet à son possesseur, s’il le désire, de

relancer son dé lors d’un combat.

Bruno possède cette carte, attaque le bateau de Julien et obtient le score de 4 lors de son premier

lancer. Augmente-t-il la probabilité de gagner le combat s’il décide de relancer le dé? Justifier par

calcul.



3M niveau renforcé

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................


On donne l’application linéaire :

f : R2 −→ R

2

(x ; y) #−→ (15y −8x ; 6x +19y)

Déterminer les sous-espaces propres de f .


Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère s, la symétrie vectorielle par rapport au plan

α≡ x +2y − z = 0 , suivant la direction de la droite d ≡

{

x = 3ky = kz = −5k

.

1. Donner les valeurs propres de s.

2. Donner une base dans laquelle la matrice de s est diagonale.

3. Donner la matrice de s dans cette base.

4. Donner les matrices de passage entre cette base et la base canonique de l’espace.

En déduire la matrice de s relativement à la base canonique.

5. Dans la base canonique de l’espace, on considère Q = (1;1;1) et son image Q ′ par s.

Utiliser les résultats précédents pour calculer les coordonnées de Q ′ dans la base canonique.



3M niveau renforcé

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Un camping propose 128 bungalows loués à 75 francs la journée. Le taux d’occupation moyen du cam-

ping est de 60%. Le propriétaire sait que les coûts fixes journaliers d’exploitation de son camping sont de

2′000 francs auxquels il faut ajouter 30 francs par bungalow, occupé ou non.

Afin d’améliorer le taux d’occupation du camping, le propriétaire veut investir dans des animations. Une

étude de marché montre que le taux d’occupation T devrait augmenter en fonction du montant x (en

francs) investi par jour dans les animations selon la fonction suivante :

T (x) ="

x

200+0,6

Précisions de vocabulaire : le revenu du camping est la somme d’argent payée par les clients du cam-

ping pour la location des bungalows. La rentabilité journalière est la différence entre les revenus et les

dépenses d’une journée.

1. Montrer que les coûts journaliers d’exploitation du camping sont de 5′840 francs, quelle que soit

l’occupation du camping.

2. Si aucun investissement n’est fait dans les animations, montrer par le calcul que le revenu journa-

lier du camping est de 5′760 francs et qu’ainsi le propriétaire perd 80 francs par jour.

3. Quel montant par jour doit investir le propriétaire pour espérer que son camping soit complet?

4. Quel est le revenu journalier du camping si le propriétaire investit le montant x = 1024 francs dans

les animations? Quelle est alors la rentabilité journalière du camping?

5. Quel montant par jour doit investir le propriétaire dans les animations pour maximiser la rentabi-

lité journalière du camping? Quelle est cette rentabilité maximale?


Calculer∫

14x2 −4x +65

dx



3M niveau renforcé

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Examens de maturité gymnasiale

à l’École de MaturitéJuin 2017



Matériel autorisé : Formulaire Polymaths fourni avec l’épreuve.Formulaire de la CRM non annoté.Calculette sans écran graphique et ne permet-tant pas le calcul formel.Règle, équerre, rapporteur et compas.

Consignes :



3. Après avoir, si nécessaire, travaillé sur un brouillon, le candidat rédige à l’encre lessolutions sur les feuilles officielles. La rédaction doit être soignée.



Gymnase d’YverdonMaturité 2017


3M niveau renforcé

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Problème 1 [20 pts]

On donne, relativement à un repère orthonormé du plan d’origine O

• un cercle (γ) : x2 + y2 − 6x− 8y = 0 ;

• un point M(4; 11) d’une droite (n) : −3x+ 4y − 32 = 0.

5

10

−5

−10

−15

−20

−25

5 10 15 20 25 30 35−5−10−15−20

M

n

1. Déterminer les coordonnées du centre C et le rayon r du cercle γ.

2. Montrer par un calcul que la droite n est tangente au cercle γ.

3. Déterminer par un calcul une équation de la droite m tangente à γ en O(0; 0).

4. Montrer par un calcul que le point M est extérieur à γ.

5. Il existe deux tangentes à γ passant par M . L’une d’entre elles est la droite n. Trouverpar calcul une équation de l’autre tangente, que l’on nommera p.

6. La droite m coupe les droites n et p en N et P respectivement. Déterminer l’aire dutriangle MNP .

En cas de détresse à la partie précédente, prendre pour p la droite d’équation29x+ 20y = 336, qui n’est pas la solution du point 5.



3M niveau renforcé

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Problème 2 [6 pts]

Relativement à un repère orthonormé de l’es-pace, on donne un cercle γ par l’intersectiond’une sphère et d’un plan :

• (Σ) : (x+1)2+(y−1)2+(z−2)2 = 196

• (α) : 2x+ 3y + 6z − 62 = 0

Déterminer le centre Z et le rayon ρ de γ .

Problème 3 [7 pts]

Soit la fonction f définie sur R par

f(x) = (2x+ 3) · e−x+3

dont la courbe représentative C est donnée ci-dessous.Soit A un point de C d’abscisse a positive tel que

• le triangle OAB est isocèle en A ;• le point B appartient à l’axe horizontal.

1. Montrer que l’aire du triangle OAB vaut

σ(a) = (2a2 + 3a) · e−a+3

2. Calculer la valeur de a pour que le triangle OAB soit d’aire maximale.

O

A(a; f(a))

B

y = f(x)

x

y



3M niveau renforcé

Nom : .............................................. Prénom : ..............................................


Soit f la fonction donnée par f(x) = x2 · (1− ln(x)).

1. (a) Déterminer l’ensemble de définition de f .

(b) Étudier le signe de f .

(c) Étudier l’existence d’éventuelles asymptotes verticales ou horizontales de la courbey = f(x). En déterminer une équation.

(d) Étudier la croissance de la courbe y = f(x). (préciser les coordonnées d’éventuelsextremums).

(e) Calculer limx→0+

f ′(x) et interpréter géométriquement le résultat obtenu.

(f) Esquisser la courbe y = f(x).

2. Soit D le domaine plan borné, limité par la courbe y = f(x) , l’axe des abscisses etla droite d d’équation x = a (0 < a < e), D étant le domaine situé à droite de d.

(a) Calculer l’aire de D, à l’aide d’une intégration par parties.

(b) Que devient cette aire lorsque a tend vers zéro ?


Soit h l’endomorphisme de R3 défini par :

h ((x; y; z)) = (−3x+ 4y;−2x+ 3y;−2x+ 2y + z)

1. Déterminer la matrice H de h relativement à la base canonique de R3.

2. Déterminer le noyau et l’ensemble image de h.

3. Calculer les valeurs propres de h et les sous-espaces propres associés.



3M niveau renforcé

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(Les trois parties de ce problème peuvent être résolues de manière indépendante)

Trois entreprises A, B et C se partagent le marché de téléphonie mobile d’un pays avec desparts de marché respectives de 50%, 30% et 20%.Les clients de A ont du réseau dans 80% des cas, ceux de B dans 90% des cas.Une étude a montré que globalement les utilisateurs du pays avaient du réseau dans 81% descas.

1. En choisissant au hasard un utilisateur à un instant donné, déterminer :

(a) la probabilité que ce soit un abonné B et qu’il ait du réseau ;

(b) la probabilité que ce soit un abonné C ou qu’il n’ait pas de réseau ;

(c) la probabilité que ce soit un abonné A sachant qu’il n’a pas de réseau ;

(d) la probabilité qu’il ait du réseau sachant que c’est un abonné C.

2. En choisissant au hasard cinq utilisateurs à un instant donné, déterminer la probabilitéqu’exactement deux d’entre eux n’aient pas de réseau.

3. On choisit au hasard un groupe de n utilisateurs à un instant donné. Déterminer lavaleur minimale de n pour laquelle la probabilité qu’au moins un des utilisateurs dugroupe ait du réseau soit supérieure à 99,99%?



3M niveau renforcé

Examens de maturité gymnasiale

à l’École de MaturitéJuin 2016



Matériel autorisé : Formulaire Polymaths fourni avec l’épreuve.Formulaire de la CRM non annoté.Calculette sans écran graphique et ne permet-tant pas le calcul formel, la résolution automa-tique d’équations, le calcul intégral ou le calculmatriciel.Règle, équerre, rapporteur et compas.

Consignes :



3. Après avoir, si nécessaire, travaillé sur un brouillon, le candidat rédige à l’encre lessolutions sur les feuilles officielles. La rédaction doit être soignée.





3M niveau renforcé

Problème 1 [8 pts]

Soit f la fonction définie par

f(x) =x− 1

x · ln(x)

1. Étudier le signe de f .

2. Étudier le comportement asymptotique (asymptotes horizontales, asymptotes verti-cales) de f en justifiant vos résultats.

Problème 2 [4 pts]

On souhaite prendre une photo d’une famille comptant 2 parents et 5 enfants. Pour cela, ilsdoivent se mettre côte à côte sur une même ligne. Combien y a-t-il d’alignements possiblesdans chacun des cas suivants :

1. Les enfants doivent tous être entre leurs parents ?

2. Les parents doivent être côte à côte ?

3. Les parents ne doivent pas être l’un à côté de l’autre ?

Problème 3 [3 pts]

L’hiver dernier, 15 des élèves du Gymnase d’Yverdon étaient vaccinés contre la grippe, et

parmi eux, 120 des élèves vaccinés ont quand même eu la maladie. Parmi l’ensemble des

élèves du Gymnase, il y a eu une proportion de grippés égale à 21100 .

1. Si l’on choisit au hasard un élève du Gymnase, quelle est la probabilité qu’il ait étévacciné et qu’il ait eu la grippe ?

2. Si l’on choisit au hasard un élève non vacciné du Gymnase, quelle est la probabilitéqu’il ait été grippé ?

Problème 4 [3 pts]

Un dé à six faces, numérotées de un à six, est pipé de telle sorte que, lorsqu’on le lance, lesix a une probabilité égale à 1

5 de sortir.

1. On lance ce dé 4 fois de suite. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un six ?

2. On lance ce dé 12 fois de suite. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 5 fois lesix ?



3M niveau renforcé


Relativement à un repère orthonormé du plan, on donne les cercles Γ1 et Γ2 d’équations

(Γ1) : x2 + y2 = 45 et (Γ2) : x

2 + y2 − 20x+ 40y − 345 = 0

1. Déterminer les coordonnées des centres et les rayons de Γ1 et Γ2.

2. Montrer par calcul que les deux cercles sont tangents intérieurement en A(−3 ; 6).

3. Soit P (6 ;−3) un point de Γ1. Déterminer une équation de la tangente t à Γ1 en P .

4. Cette tangente t coupe le cercle Γ2 en B et C. Calculer les coordonnées de B et C.

5. Démontrer que la droite (AP ) est une bissectrice de l’angle B̂AC .

P

t

B

C

A



3M niveau renforcé


Sur le dessin ci-dessous est représentée la courbe y = f(x) = 2 sin(x) · e−1

2x .

π

2π 3π

22π 5π

2

−1.

−0.5

0.5

1.

0

y = f(x)

1. Justifier la présence d’une asymptote horizontale à droite.

2. Sur l’intervalle [0; 2π], étudier la croissance de la courbe y = f(x) et préciser lescoordonnées de ses extremums. (précision 10−2)

3. A l’aide d’intégrations par parties, montrer que∫

(

2 sin(x)e−1

2x)

dx =4

5(−2 cos(x)− sin(x)) e−

1

2x + c , c ∈ R

4. On désigne par D le domaine plan limité par la courbe et l’axe Ox pour x variant entre0 et 2π. Calculer l’aire géométrique de D.

Problème 7 [6 pts]

Soit ABCD un tétraèdre donné relativement à un repère orthonormé de l’espace par

A(1; 2; 3) , B(1; 1; 1) , C(3; 0; 4) , D(4; 1; a)

1. Pour quelle(s) valeur(s) de a ∈ R, le volume de ce tétraèdre est-il égal à 5 ?

2. On pose a = 472 . Que mesure la hauteur issue de D de ce tétraèdre ?



3M niveau renforcé


Dans l’espace vectoriel R3, on considère l’endomorphisme f dont la matrice F relativementà la base canonique est

F =

(

1 −1 02 0 20 1 1

)

1. Donner explicitement l’image par f d’un vecteur quelconque de R3.

2. Déterminer le noyau de f .

3. L’application f est-elle surjective ? (Justifier)

4. Déterminer les valeurs propres de f et les sous-espaces propres associés.

L’application f est-elle diagonalisable ? (Justifier)



3M niveau renforcé

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Examens de maturité gymnasialeà l’École de Maturité

Juin 2015



Matériel autorisé : Formulaire Polymaths fourni avec l’épreuve.Formulaire de la CRM non annoté.Calculette sans écran graphique ne permettantpas le calcul formel.Règle, équerre, rapporteur et compas.

Consignes :



3. Après avoir si nécessaire travaillé sur un brouillon, le candidat rédige à l’encre lessolutions sur les feuilles officielles. La rédaction doit être soignée.Les calculs et les raisonnements doivent être détaillés.Les feuilles de brouillon sont jointes aux feuilles officielles mais ne sont pas corrigées.



3M niveau renforcé

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................

Problème 1 [23 pts]Les trois parties peuvent être résolues indépendamment les unes des autres.

Partie 1 (6 pts)Calculer en donnant des résultats « simplifiés » :

1. la limite limx→+∞

x2 − 1

ln(x);

2. la dérivée de la fonction h(x) =

√x− 1

2√x

;

3. l’intégrale indéfinie∫

x

(x2 + 1)2dx.

Partie 2 (12 pts)On considère la fonction définie par l’expression algébrique

f(x) =ex

x− 1

4. Calculer les équations des asymptotes verticales et horizontales de f et déterminer laposition relative du graphe de f par rapport à celles-ci.

5. Étudier la croissance de f et calculer les coordonnées des éventuels extrema.

6. Esquisser la courbe de f dans un système d’axes en utilisant les résultats des pointsprécédents (prendre l’intervalle [−5; 5] pour x et [−4; 12] pour y).

Partie 3 (5 pts)

7. Montrer par calcul que la fonction

H(x) =ex

x2

est une primitive de la fonction h(x) =ex(x− 2)

x3.

8. Calculer l’aire du domaine plan borné compris entre la courbe représentative de h,l’axe des abscisses et la droite d’équation x = 5.

Problème 2 [9 pts]

Soit

M =

(

2 3 10 −4 −24 12 5

)

1. Calculer les valeurs propres de M .

2. Trouver une base de vecteurs propres de M .

3. Calculer M8 en utilisant les résultats trouvés ci-dessus.[vous pouvez, si vous le voulez, vérifier votre résultat à l’aide d’un calcul direct]



3M niveau renforcé

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Problème 3 [8 pts]Dans R3 muni de sa base canonique B(e1; e2; e3), on considère l’endomorphisme p correspon-dant à la projection orthogonale sur le sous-espace ⟨(2; 1; 0); (0;−1; 2)⟩.

1. Exprimer l’image de e1 par l’application p dans la base canonique B.

2. Donner le noyau de cette application.

3. Proposer une base B∗ de vecteurs propres et indiquer les valeurs propres associées.

4. Déterminer la matrice de p dans la base canonique B.

Problème 4 [5 pts]Un cône tronqué est composé d’un alliage inhomogène. La masse volumique ρ de cet alliagevarie sur la hauteur du cône, selon la relation :

ρ(z) = 10ez kg/dm3 , où z est la hauteur depuis la base du cône.

Calculer la masse totale du cône tronqué en utilisant le fait que dM = ρ · dV .

r

R

H

H = 1 dm , R = 1 dm , r = 1

2dm

Problème 5 [9 pts]

On donne la droite d donnée par (d) :( x

yz

)

=

(

17−35

)

+ t ·

(

1−30

)

et la droite g donnée

par (g) :

{

3x+ y − 4z − 37 = 0

3x− 5y − 4z + 65 = 0.

On donne de plus un point A(13; 9, 5) de d et un point B(4; 17;−2) de g.Former une équation cartésienne de la sphère Γ tangente à d en A et tangente à g en B.



3M niveau renforcé

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................

Problème 6 [9 pts]Dans un jeu de fléchettes, la cible est la suivante :

1 1

11

5

5

5

5

9 9

99

16

16

16

16 32

Le nombre mentionné dans chaque triangle et dans le carré au centre est le nombre de pointsobtenus lorsqu’une fléchette s’y fiche.

1. Un joueur lance une fléchette sur la cible et elle se plante dans l’une des zones.

(a) Montrer par calcul que la probabilité d’obtenir 5 points vaut1

4.

(b) Calculer la probabilité d’obtenir 1 point.

(c) Calculer la probabilité d’obtenir 9 points.

(d) Calculer la probabilité d’obtenir 16 points.

(e) Calculer la probabilité d’obtenir 32 points.

2. Un joueur lance au hasard successivement deux fléchettes, et les deux se plantent dansla cible (les deux fléchettes peuvent atteindre la même zone ou non).

(a) Calculer la probabilité d’obtenir 2 points.

(b) Calculer la probabilité d’obtenir 10 points.

(c) Calculer la probabilité d’obtenir au moins 20 points, sachant que la premièrefléchette s’est plantée dans une zone à 5 points

3. Combien de fléchettes au minimum faut-il lancer pour que la probabilité de planterl’une d’entre elles, au moins, dans la zone à 32 points dépasse 95% (on supposera quetoutes les fléchettes se plantent dans la cible) ? Justifier.



3M niveau renforcé

1/5

GYMNASE DE BEAULIEU

Examen de l’école de maturité

Session de juin 2019

Mathématiques, niveau renforcé

Nom : Prénom : Classe :

Durée : 240 minutes Nombre de pages : 5 Matériel autorisé : Calculatrice agréée, formulaire distribué, formulaire CRM Consignes : Une présentation propre et soignée est demandée.

Prière de traiter un problème par feuillet.

Il est indispensable de poser tous les calculs permettant la résolution d’un problème.


Problème 1 16 points

Soit la fonction f définie par :

f(x) = (x2 + 3x) · e−x2

a) Déterminer son ensemble de définition.

b) Déterminer les zéros de f puis étudier son signe.

c) Déterminer les équations des éventuelles asymptotes verticales ou horizon-tales du graphe de f. Justifier les réponses.

d) Démontrer, en détaillant vos calculs, que la dérivée de f est :f ′(x) = −1

2· e−x

2 · (x− 3)(x+ 2).

e) Etudier la croissance de f et calculer les coordonnées des éventuels minimaet maxima de la fonction.

f) Représenter le graphe de f ci-dessous :

2

4

6

−2

−4

−6

2 4 6 8 10−2−4−6−8−10

Gymnase de Beaulieu, examen de l’école de maturité, session de juin 2019Mathématiques, niveau renforcé 2/5



Cédric a demandé à neuf de ses amis, 6 garçons et 3 filles, dont Marc, Carolineet Arnaud, de l’aider à déménager.

Cédric, qui est très organisé, veut former un groupe de 3 personnes parmi ses 9amis qui démonteront les meubles pendant que les autres amèneront les cartonsau camion.a) De combien de façons différentes peut-il former ce groupe ?

Cédric décide de tirer les 3 personnes au sort.b) Quelle est la probabilité qu’Arnaud fasse partie du groupe ?c) Quelle est la probabilité qu’il y ait exactement un garçon dans le groupe ?

Le sort a désigné Caroline, Arnaud et Marc pour démonter les meubles. Les 7autres personnes commencent à charger les cartons sur le camion. Pour cela,elles “font la chaîne” de l’appartement jusqu’au camion.d) Combien peuvent-elles former de chaînes différentes ?e) Parmi toutes ces possibilités, combien y en a-t-il où les deux filles sont à côté

l’une de l’autre ?

Il est bientôt midi et les déménageurs ont faim. Cédric commande des pizzas pourlui et ses amis. Il commande 10 pizzas dont 7 contiennent au moins du jambon,3 au moins des champignons et 2 n’ont ni champignon, ni jambon. Lorsque lespizzas arrivent, Marc en prend une au hasard.f) Quelle est la probabilité qu’elle contienne du jambon et des champignons ?g) Quelle est la probabilité qu’elle contienne du jambon ou des champignons

mais pas les deux ?

L’après-midi, Cédric commence à nettoyer son ancien appartement pendant queses amis vont déjà vider le camion dans son nouvel appartement. Malheureuse-ment, il n’a pas étiqueté les cartons et ses amis les déposent au hasard dans les5 pièces du nouvel appartement.h) Quelle est la probabilité que sur les 10 premiers cartons déposés, exactement

3 soient au bon endroit ?i) Quelle est la probabilité qu’au moins un des 10 premiers cartons déposés soit

au bon endroit ?j) Combien de cartons au minimum faut-il placer ainsi pour que la probabilité

qu’au moins un carton soit au bon endroit soit supérieure à 99%?

Pour remercier ses amis, Cédric leur donne à chacun un petit sachet de chocolats.Marc et Caroline, qui habitent ensemble, ont posé les leurs sur la table de lacuisine en rentrant. Celui de Marc contient 5 chocolats noirs, 3 blancs et 4 auxnoisettes et celui de Caroline 6 chocolats noirs, 4 blancs et 2 aux noisettes. Marcne se souvenant plus quel est le sien, il choisit un sachet au hasard et prend unchocolat.k) Quelle est la probabilité qu’il soit blanc ?l) Le chocolat qu’il a pris est noir. Quelle est la probabilité qu’il ait choisi le

sachet de Caroline ?




Les questions suivantes sont indépendantes :

a) On considère la fonction f dont le graphe est représenté ci-dessous :

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6−7−8−9−10

f

1) En utilisant le graphe ci-dessus, donner le tableau de signe, le tableaude croissance (variation) et les coordonnées des extrema de la fonction f.

2) D’après le graphe ci-dessus, quelle est la valeur de∫ 5

−2

f(x) dx ? On

propose quatre valeurs dont une est correcte. Cocher la bonne réponse :

!∫ 5

−2

f(x) dx = −9, 16

!∫ 5

−2

f(x) dx = −5, 25

!∫ 5

−2

f(x) dx = 9, 16

!∫ 5

−2

f(x) dx = 5, 25

b) Calculer les intégrales indéfinies suivantes :

1)∫

(x+ 1) · ln(x)dx

2)∫

x2 − 2x+ 3

x(x− 1)2dx




Soit les points A(3; 2; 6) et B(3;−4;−2), le plan α : 2x− 4y − 5z = 0 et la droite

d :

⎛

⎝xyz

⎞

⎠ =

⎛

⎝−1−7−6

⎞

⎠+ k

⎛

⎝134

⎞

⎠

a) Déterminer les coordonnées de M, milieu du segment AB, puis l’équation dela sphère Σ de diamètre AB.

b) Montrer que les droites d et (AB) sont concourantes et calculer les coordon-nées du point d’intersection.

c) Déterminer les coordonnées du point P de la droite d situé à égale distancedes points A et B.

d) Déterminer l’équation cartésienne du plan β contenant le cercle de centre Pinscrit dans la sphère Σ. Puis calculer le rayon de ce cercle.

e) Déterminer l’équation cartésienne du plan ε contenant les droites d et (AB).f) Déterminer l’équation paramétrique vectorielle de la droite d’intersection i

entre les plans α et ε.


Les parties A et B sont indépendantes.Partie A : On considère l’endomorphisme fk de R2 dont la matrice Mk relative àla base canonique B = (e1, e2) est donnée ci-dessous, k étant un nombre réel.

Mk =1

5

(5− k 16 4− k

)

a) Pour quelles valeurs de k l’application fk est-elle bijective ?

Pour les questions suivantes, on considère k = 2 et M =1

5

(3 16 2

)

b) Déterminer les valeurs propres de M et les espaces propres correspondants.c) Trouver une matrice P telle que la matrice D = P−1 ·M · P soit diagonale.

Donner aussi les matrices P−1 et D.d) Déterminer la nature géométrique de f2.

Partie B : On considère l’endomorphisme h de R3 donné par :

h((x; y; z)) = ( 4x− y + 3z ; 2x+ y + 3z ; −2x+ y − z )

e) Donner la matrice associée à h relativement à la base canonique de R3.f) Déterminer une base de Ker(h) et une base de Im(h).g) L’application linéaire h est-elle bijective ? Justifier sans calculs supplémen-

taires.


GYMNASE DU BUGNON - LAUSANNE JUIN 2019

EXAMEN DE L’ÉCOLE DE MATURITÉ

MATHÉMATIQUES - NIVEAU RENFORCÉ

Nom, prénom et classe du candidat :

Classes concernées : 3M1, 3MR1, 3MR23M01, 3M02, 3MR01

Date : 11 juin 2019Durée : 4hMatériel autorisé apporté par les élèves : Formulaire agréé, non annoté

Calculatrice de type reconnu


On considère la fonction f donnée par

f (x) =x 3

− 2x

x 2 − 3.

1.1 Étudier la fonction f .On demande l’ensemble de définition, la parité, les trois zéros, le signe, les équations desasymptotes avec l’étude de la position relative, la croissance avec les coordonnées desextrema et une représentation du graphe (échelle 1 unité = 2 carrés).

Par un calcul détaillé, vérifier que

f ′(x) =(x 2

− 6)(x 2− 1)

(x 2 − 3)2.

1.2 Calculer l’aire du domaine borné délimité par le graphe de la fonction f , l’axe des abs-cisses et les droites d’équation x = 0 et x = 1.

1.3 Sans calcul d’intégrales déterminer∫

1

−1

f (x) dx . Justifier.

Examen de Maturité 1 / 5 Mathématiques MR



Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Paul possède 10 ruches identiques à l’exception de leur couleur. Il en a 1 jaune, 1 orange,1 rouge, 5 bleues et 2 vertes.

2.1 De combien de manières peut-il les aligner ?

2.2 De combien de manières peut-il les aligner s’il ne veut pas que les vertes soient côte à côte ?

Partie B

2.3 Résoudre dans C l’équation suivante :

−1

2z3 + (3 + 4i)z2 + (1 − 6i)z = 0 .

Partie C

On considère la fonction f (x) = sin(2x) − x .

2.4 Établir le tableau de croissance de f sur l’intervalle I =[

0;π

2

]

.

2.5 En déduire la valeur minimale et la valeur maximale de f sur l’intervalle I .





Partie A

On considère les points A(2;−5;−7), B(5; 4; 5) et D(−1; 2;−5).

3.1 Déterminer une équation cartésienne du plan α contenant A, B et D.

3.2 Déterminer la distance entre le point D et la droite (AB) ainsi que le point de la droite(AB) le plus proche de D.

Partie B

On considère 2 sphères sécantes Σ1 et Σ2, de centres C1 et C2, et de rayons R1 et R2. Onappelle Γ le cercle d’intersection de ces 2 sphères. On note C son centre et r son rayon. Onnote encore a la distance entre C1 et C et δ la distance entre C1 et C2. Le schéma suivantreprésente les sphères en coupe dans un plan contenant leur centre C1 et C2 :

Σ1

C1

r

C

ϵ

C2

Σ2

a

δ − a

3.3 Démontrer que a =R1

2− R2

2 + δ2

2δ.

Pour la suite du problème, on donne :

• C1(3;−6;−3) et R1 = 6 ;

• l’équation de Σ2 : x 2 + y 2 + z2− 20x + 4y − 2z + 42 = 0.

3.4 Démontrer que les sphères Σ1 et Σ2 sont sécantes.

3.5 Déterminer la valeur de a et en déduire les coordonnées du centre C ainsi que le rayon rdu cercle Γ.




Toto se rend à son Gymnase lausannois depuis son village chaque lundi matin.

Trois fois sur quatre, il parvient à prendre le premier train de la journée ; mais une fois surquatre, il se réveille trop tard et doit prendre le deuxième train.

Le premier train arrive en retard à Lausanne une fois sur cinq. Le deuxième train arrive en retarddeux fois sur cinq.

Enfin, une fois sur cinq lorsqu’il prend le premier train, Toto marche très lentement depuis lagare de Lausanne, absorbé qu’il est par son smartphone... Cela ne lui arrive heureusement jamaislorsqu’il prend le deuxième train.

Voici les différentes issues possibles :

• Lorsqu’il prend le premier train, que celui-ci arrive à l’heure et que Toto ne marche paslentement, il est à l’heure pour la première période de la journée.

• Lorsqu’il prend le deuxième train, et que celui-ci arrive en retard, Toto est alors tellementen retard que son prof de la première période le note "Absent".

• Dans tous les autres cas, son prof de la première période le note "En retard".

4.1 Montrer que la probabilité que Toto arrive à l’heure un lundi matin vaut 48%.

4.2 Quelle est la probabilité que Toto soit noté "En retard" ?

4.3 Quelle est la probabilité que Toto ait pris le premier train, sachant qu’il est noté "Enretard" ?

4.4 Sur l’ensemble des 15 lundis du semestre, quelle est la probabilité que Toto arrive à l’heureexactement 6 fois et soit noté "Absent" exactement 3 fois ?

4.5 Combien de lundis doivent s’écouler pour que Toto soit certain à 99,9% d’être au moinsune fois à l’heure à son premier cours ?




On considère l’application linéaire f : R4→ R4 dont la matrice relativement à la base canonique

de R4 est

F =

⎛

⎜

⎜

⎝

−2 0 a 00 −2 0 a−1 0 2 00 −1 0 2

⎞

⎟

⎟

⎠

, a ∈ R.

5.1 Pour quelle(s) valeur(s) de a l’application f n’est-elle pas bijective ?

Pour les points 5.2 et 5.3, on pose a = 0.

5.2 Calculer F−1 et déterminer la préimage par l’application f du vecteur (0; 6; 3; 9).

5.3 Déterminer les valeurs propres de f .

On considère à présent l’application linéaire h : M2(R) → M2(R) définie par h(X ) = A ·X avec

A =

(

−2 a−1 2

)

, a ∈ R.

On rappelle que la base canonique de M2(R) est B =

(

(

1 00 0

)

;

(

0 10 0

)

;

(

0 01 0

)

;

(

0 00 1

)

)

.

5.4 Montrer que F est la matrice de l’application linéaire h exprimée dans la base canoniquede M2(R).


Gymnase de Burier

Case postale 96Rte de Chailly 1701814 La Tour-de-Peilz

EXAMEN ÉCRIT DE L’ÉCOLE DE MATURITÉ

JUIN 2019

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Niveau Renforcé

_______________________________________________________________________________________

Nom : ___________________________ Prénom :_______________________Classe : _____________

_______________________________________________________________________________________

Durée de l’épreuve : 4 heures

Consignes : Les calculs et les raisonnements doivent être détaillés

Matériel autorisé : Formulaires o-ciels non annotés

Formulaire CRM non annoté

Calculatrice : TI 30 ECO RS

Page 1/7

(O;�!e1 ;�!e2 ;�!e3 )

• P (2;�1; 1)

• (⌃1) : x2 + y2 + z2 � 4x+ 6y � 2z + 10 = 0

• (d) :

8>>><

>>>:

x = 4 + 11k

y = 1 + 7k

z = 3 + 8k

k 2 R

• (↵) : x+ 3y � 4z + 5 = 0

• (�) : 2x� 2y � z � 3 = 0

C1 r1 ⌃1

d ↵ �

↵ �

P ↵

p ↵ P d

⌃1 �

⌃2 ⌃1

�

C3 r3 � ⌃1

z = 0

h : R4 �! R3

A =

0

B@1 4 5 9

2 3 5 8

�1 0 �1 �1

1

CA

Ker(h)

Im(h) h

h R3

R3

A =

0

B@8 �2 2

�2 5 4

2 4 5

1

CA

h ((1; 2;�1))

A h

�1 = 0 �2 = 9✓✓

�1

2;�1; 1

◆◆E

�1

⇣(�2; 1; 0); (2; 0; 1)

⌘

E�2

A

P D D = P�1AP

f f(x) =x2 � x� 2

x+ 2

´

f 0(x) =x2 + 4x

(x+ 2)2

´ f

f

f

P f �3

f P

f Ox D

x

y

x

y

x

y

x

y

x

f(x) = 40000� 100000 ln(x+ 1)

x+ 1

f(x)

f 0(x) =100000 [ln(x+ 1)� 1]

(x+ 1)2

limx!+1

f(x)


Étudier la fonction f définie par f(x) = 2 x3

x2 − 2 x + 1 .

On demande : le signe de f , les équations des asymptotes, la croissance de f , les coordonnées des extremumsde f et le graphe de f .

Problème 2 (13 points)Les parties A et B sont indépendantes.

Partie AOn considère la fonction f définie par

f(x) = 2 x2 − x2 √x.

a) Donner les zéros de la fonction f .b) Déterminer l’aire du domaine borné D délimité

par le graphe de la fonction f et l’axe horizontal.

D

x

y

Partie BOn considère les fonctions g et h définies par g(x) = 2√

8 − xet h(x) = 1

3 (x − 1).

c) Soient A(a1; a2) et B(b1; b2) les pointsd’intersection des graphes de ces deuxfonctions.

− Vérifier que a1 = 4 et que b1 = 7.− Calculer a2 et b2.

d) Calculer le volume du solide de révo-lution engendré par la rotation autourde l’axe horizontal du domaine bornédélimité par le graphe de ces deuxfonctions.

A

B

x

y

Problème 3 (9 points)Considérons les fonctions f et g définies par f(x) = e2 x et g(x) = e−x.

a) Soit P le point d’intersection des graphes des fonctions f et g. Déterminer les pentes destangentes aux graphes de f et de g en P. En déduire l’angle aigu formé par ces tangentes.

b) Ci-contre les graphes des fonctions f et g.

Quelles sont les coordonnées des points B et C,alignés verticalement, sachant que les tangentesen ces points aux graphes de f et de g sont per-pendiculaires ?Indication : deux droites, de pente m1 et m2, sont per-pendiculaires si et seulement si m1 · m2 = −1.

B

C

ax

y

Maturité Chamblandes 2019 mathématiques niveau renforcé page 2/4


Le solide S est formé d’un cylindre de rayon 2 x et de hauteur ysur lequel est posée une demi-sphère de rayon x.La somme de la hauteur du cylindre et du rayon de la demi-sphère est égale à 5.

Déterminer x et y de sorte que le volume du solide S soitmaximal.

x

2 x

Problème 5 (13 points)On donne les points A(15; 2; −1), B(5; 2; 4), C(14; 0; 0) et P(10; −2; 13).

a) Donner une équation cartésienne de α, le plan passant par les points A, B et C.b) Donner une équation de d, la droite perpendiculaire au plan α et passant par P.c) Déterminer l’intersection de la droite d et du plan α.d) Donner l’équation de la sphère Σ1, centrée en P et tangente au plan α.e) Déterminer l’équation de la sphère Σ2 passant par P et tangente à la fois à Σ1 et au

plan α.

Problème 6 (15 points)Bertrand doit choisir quelles variétés de graines semer dans son potager. Au magasin, il y a dixvariétés de graines.


Partie Aa) Bertrand décide d’acheter trois variétés de graines. Combien a-t-il de choix ?b) Dans les six emplacements de son potager, Bertrand veut semer des carottes dans trois

emplacements, des courges dans deux emplacements et des radis dans un emplacement.Combien y a-t-il de dispositions possibles ?

Partie BOn sait que 60 % des saisons sont favorables aux cultures. De plus, si la saison est favorable,les légumes ont 90 % de chance de bien pousser, contre 75 % de chance dans le cas contraire.Enfin, si les légumes ont bien poussé, le voisin de Bertrand vient chaparder ses légumes, unefois sur cinq si la saison a été favorable, une fois sur trois si la saison a été défavorable.

c) Vérifier que la probabilité que les légumes aient mal poussé est de 16 %.d) Quelle est la probabilité que le voisin de Bertrand vienne chaparder ses légumes ?e) Sachant que les légumes ont mal poussé, quelle est la probabilité que la saison ait été

défavorable ?f) Bertrand s’est occupé d’un potager pendant dix saisons. Quelle est la probabilité que ses

légumes aient bien poussé au moins neuf fois ?


Problème 7 (18 points)Une application linéaire αk : R3 → R3 est donnée, relativement à la base canonique, par lamatrice

Ak =

⎛

⎜⎝−4 2 26 k −2

−18 6 k + 8

⎞

⎟⎠ .

a) Déterminer les valeurs de k pour lesquelles αk n’est pas inversible.

On pose k = 0 et on note A = A0.b) Déterminer une base du noyau de A et une base de l’image de A.c) Déterminer une matrice P de façon à ce que la matrice D = P−1AP soit diagonale. Donner

également la matrice D.d) Déterminer les valeurs propres et une base de chaque espace propre de la matrice A4 (sans

calculer cette matrice).


GYMNASE DE LA CITELAUSANNE

Examens – session 2018 - 2019

Examen de maturité

Juin 2019

Mathématiques niveau renforcé

Prénom : Nom :

Classe : Maître :

Durée : 4 heures.

Matériel autorisé : formulaire o�ciel non annoté,formulaire et tables CRM non annoté,calculatrice TI-30 eco RS.

1/4

Examen de maturité Mathématiques niveau renforcé juin 2019


Considérons une fonction rationnelle réelle f qui satisfait les conditions suivantes :• signe de f :

x ≠3 ≠2 3/2

f(x) + 0 ≠ || ≠ 0 +

• limxæ±Œ

f(x) = 2

• limxæ≠2

f(x) = ≠Œ

• signe de sa dérivée f Õ :

x ≠24/5 ≠2f Õ(x) + 0 ≠ || +

Partie I

À partir de ces informations,a) déterminer :

— le domaine de définition de la fonction f ;— les équations des asymptotes de la fonction f ;— la nature (minimum/maximum) des extrema de la fonction f et leurs abscisses ;

b) esquisser le graphe de la fonction f en tenant compte de toutes les informationsdonnées (unité : 1 cm).

Partie II

Considérons les fonctions g, h, i et j définies par

g(x) = 4x2 + 3x ≠ 102x + 4 h(x) = 2x3 + 9x2 ≠ 27

x2 + 4x + 4

i(x) = 2x2 + 3x ≠ 9x2 + 4x + 4 j(x) = 2x2 + 3x ≠ 9

2x + 4c) calculer lim

xæ≠2g(x) ;

d) calculer les équations des asymptotes de la fonction h ;e) calculer les zéros de la fonction i ;f) calculer la pente de la tangente au graphe de la fonction j en x = ≠3 ;g) l’une de ces quatre fonctions est la fonction f . Laquelle ? Justifier.

2/4



a) Calculer ⁄ 1

0x ex

2≠1 dx

b) Déterminer par calcul les coordonnées des points d’intersection des graphes desfonctions données par

f(x) = x ex

2≠1 et g(x) = x

c) Calculer l’aire du domaine fermé délimité par les graphes des fonctions f et g.


Partie I

Dans l’espace R3, on considère le plan fi d’équation 2 x ≠ y ≠ 2 z = 0 et la sphère �d’équation (x + 10)2 + (y ≠ 8)2 + (z ≠ 4)2 = 180. On note f la symétrie orthogonale deR3 par rapport au plan fi.

a) Déterminer l’équation cartésienne de la sphère f(�).b) On note � le cercle formé de tous les points de � laissés fixes par f . Calculer les

coordonnées du centre et le rayon de ce cercle.c) Vérifier que l’origine O appartient au cercle �. Déterminer l’équation cartésienne

du plan tangent à � en ce point.

Partie II

On considère le plan fi d’équation 2 x ≠ y ≠ 2 z = 0, la droite d d’équations

Y__]

__[

x = 0y = t

z = ≠t

et

le plan – d’équation 5x ≠ 4y ≠ 2z = 0. On note g la symétrie oblique de R3 par rapportau plan fi parallèlement à la droite d.

d) Choisir une base (u ; v) de fi et une base (w) de d. Exprimer la matrice de grelativement à la base (u ; v ; w), puis relativement à la base canonique.

e) On note E le sous-espace vectoriel de tous les points de – laissés fixes par g. Donnerune base de E.

f) Déterminer l’équation cartésienne du plan g(–).

3/4



L’une des plus grandes rivalités du sport est celle opposant Roger Federer et RafaelNadal. Ces deux champions de tennis se sont a�rontés 38 fois sur trois surfaces dejeu di�érentes : le gazon, la terre battue et le dur. 15% des matchs opposant Nadalet Federer ont eu lieu sur gazon, 35% sur terre battue et 50% sur dur. La surface surlaquelle se joue la rencontre a une influence non négligeable sur le résultat du match.La terre battue est considérée comme surface lente, tandis que le dur et le gazon sontconsidérées comme surfaces rapides. Federer gagne contre Nadal 66% des matchs surgazon, 13% des matchs sur terre battue et 55% des matchs sur dur. 1

a) Pendant la saison de terre battue, Federer et Nadal s’a�rontent 3 fois.1) Quelle est la probabilité que Nadal gagne les 3 matchs ?2) Quelle est la probabilité que Federer gagne au moins 1 match ?

b) Pendant la saison sur gazon, Federer et Nadal s’a�rontent 2 fois. Quelle est laprobabilité que Nadal et Federer gagnent 1 match chacun ?

c) Federer a battu Nadal. Quelle est la probabilité que le match se soit déroulé surdur ?

d) Nadal a battu Federer. Quelle est la probabilité que le match se soit déroulé sursurface rapide ?

e) Ils jouent trois matchs successifs, un sur gazon, un sur terre battue et un sur dur.Quelle est la probabilité que Nadal gagne exactement 2 matchs ?


Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I

On considère le polynôme à coe�cients complexesP (z) = z3 ≠ (4 + i)z2 + (7 + i)z ≠ 4

où z désigne un nombre complexe.a) Donner toutes les solutions de l’équation P (z) = 0, sachant qu’elle admet au moins

une solution réelle.

Partie II

Dans le plan complexe, on considère trois points A, B et C d’a�xes respectives zA

= 1,z

B

= 2 + 2i et zC

= 1 ≠ i.b) Représenter A, B et C.c) Déterminer le module et l’argument de z

B

zC

.

d) Démontrer que le triangle OBC est rectangle, O désignant l’origine du repère.e) Montrer que la droite (OA) est la bissectrice issue du sommet O du triangle OBC.f) On donne le point D d’a�xe z

D

= 2. Montrer que le quadrilatère OCDB est untrapèze et calculer son aire.

1. Il n’y a pas de match nul au tennis.

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Gymnase de Morges

Examen de Maturité Juin 2019 3M

Mathématiques niveau Renforcé

Durée : 240 minutes.

Consignes : Résoudre chaque problème sur une feuille double différente. À l’exceptiondes figures d’étude et des graphiques, l’épreuve doit être rédigée à l’encre.Les annotations sur les feuilles d’énoncé sont autorisées, mais elles neseront pas prises en considération.

Matériel autorisé : Calculatrice non programmable, sans graphique ni calcul symbolique.

L’un des deux formulaires suivants :– Formulaire mathématique de base (avec annotations uniquement sur

les deux pages centrales).

– Formulaires et tables CRM (sans annotations).


On considère la fonction f définie par : f (x) = e

x

e

°x °1

1.1 Donner l’ensemble de définition, les zéros et le tableau de signes de f .

1.2 Déterminer les équations des éventuelles asymptotes verticales et horizontales de f .

1.3 Étudier la croissance de f et calculer ses extremums.

1.4 Tracer le graphe de f .

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Pour fêter ses 25 ans d’existence, un centre commercial propose à ses clients deux jeux dehasard leur permettant de gagner des lots : L’Urne Magique et la Roue de la Fortune.

2.1 L’Urne Magique contient 7 jetons blancs, 9 jetons rouges et 4 jetons verts.Le jeu consiste à tirer simultanément 3 jetons dans le but d’en obtenir un de chaque cou-leur. Toutes les autres combinaisons de couleurs sont perdantes.

a ) Déterminer la probabilité de gagner à ce jeu.

b ) Déterminer la probabilité d’obtenir 3 jetons de la même couleur.

c ) Quelle est la probabilité que, parmi les 3 jetons tirés, il y en ait au moinsun qui soit vert ?

2.2 La Roue de la Fortune est formée de secteurs de même taille admettant les couleurssuivantes : 8 secteurs blancs, 5 secteurs rouges et 11 secteurs verts.Le jeu consiste à faire tourner deux fois de suite la roue et prendre note des couleurs indi-quées par une flèche. Tous les clients qui obtiendront deux fois la même couleur (mêmesur des secteurs différents) gagneront alors un lot.

d ) Déterminer la probabilité de gagner à ce jeu.

e ) Déterminer la probabilité de gagner à ce jeu sachant que la roue s’estarrêtée lors d’au moins une des deux tentatives sur un secteur blanc.

2.3 À la fin de la première journée, un responsable du centre commercial se rend compte qu’ilva manquer de lots. Il décide donc de changer de roue afin de minimiser la chance degagner. Il peint alors cette nouvelle roue en respectant le choix suivant :

• en blanc : 8 secteurs ;

• en rouge : x secteurs ;

• en vert : 4 secteurs de plus que le nombre de secteurs rouges.

f ) Montrer que la probabilité p de gagner à ce jeu devient : p(x) = x2 +4x +40

2x2 +24x +72

g ) Combien faut-il prévoir de secteurs rouges et verts pour que cette probabilité p soitla plus petite possible?

h ) Calculer la valeur de la probabilité minimale de gagner.

GYMNASE DE MORGES – EXAMEN DE MATURITÉ – MATHÉMATIQUES NIVEAU RENFORCÉ – JUIN 2019 2/4


On considère la fonction f définie par : f (x) = 2 ·cos

≥2x ° º

3

¥°1

dont on donne une esquisse de la représentation graphique :

x

yC

A B

3.1 Calculer les coordonnées exactes des points A, B et C (voir esquisse).

3.2 Calculer une équation de la droite tangente au graphe de f au point T≥º

2

;°2

¥.

3.3 Calculer l’intégraleZ 7º

6

º6

f (x)d x.


On considère les plans Æ et Ø donnés par les équations ci-dessous.

(Æ) :

0

B@xyz

1

CA=

0

B@3

°2

7

1

CA+k

0

B@1

1

1

1

CA+n

0

B@°5

°2

1

1

CA et (Ø) : 2x ° y ° z °1 = 0

4.1 Déterminer une équation cartésienne de Æ.

4.2 Déterminer des équations cartésiennes des plans bissecteurs º1

et º2

de Æ et Ø.

4.3 Montrer que la droite d d’intersection de Æ et Ø a pour équation :

(d) :

0

B@xyz

1

CA=

0

B@4

°1

8

1

CA+m

0

B@1

1

1

1

CA

4.4 Déterminer une équation cartésienne de la sphère ß passant par A(1;6;2) et B(5;2;0),et ayant son centre sur la droite d .



Questions diverses

5.1 On considère l’endomorphisme f de R3 dont la matrice A relativement à la base cano-nique est

A =

0

B@2 0 0

°1 5/3 °5/3

°1 °1/3 1/3

1

CA

Donner une base de R3 formée de vecteurs propres de f .

5.2 Soit z1

=p

6 cis(Æ+ º4

) et z2

=p

2 cis(Æ° º3

) deux nombres complexes. Calculer le

module et un argument de w = z1

z2

i .

5.3 Dans l’espace vectoriel R4, on considère les éléments suivants :

v1 = (1;0;2;°1), v2 = (2;1;0;0), v3 = (0;3;4;°2) et v4 = (1;10;°6;3).

Donner la dimension du sous-espace vectoriel engendré par la famille {v1,v2,v3,v4}.

5.4 Soit la fonction f donnée par f (x) = 1° 3

x.

On considère le domaine D borné délimité par le graphe de f , l’axe Ox et les droitesd’équations x = 1 et x = 4.

a ) Calculer l’aire géométrique de D.

b ) Calculer le volume du solide de révolution engendré par la rotation de D autour del’axe Ox.


Documents

Examendematuritégymnasiale Juin 2019 àl’ÉcoledeMaturité ... · En déduire la valeur de l’aire du domaine plan situé dans le premier quadrant sous la courbe d’équation