Exemples de Clcul Des Silos

EXEMPLES D’APPLICATIONS

1

Faculté du Génie de la ConstructionDépartement de Génie CivilS3 M2 Académique (Option CM)

CALCUL DES SILOS

EXEMPLE D’APPLICATION N°1 :

Soit le silo de la figure ci-contre avec les données suivantes :

h = 25 m

D = 10 m

Matière ensilée : Blé

Nature de la paroi : acier doux au carbone lisse

Questions :

1- Déterminer l’unité de volume à utiliser pour le calcul de la capacité de stockage du silo etdéterminer sa valeur.

2- Calculer le poids total du solide pour le calcul structural et déterminer la hauteur de lasurface effective du solide.

3- Pour les conditions de la valeur maximale de la pression normale sur la paroi verticale,identifie les valeurs appropriées du coefficient de frottement, rapport de pression latéraleet le poids unitaire à utiliser.

4- Déterminer la valeur au remplissage de la pression normale maximale sur le mur à labase du silo.

Solution :

Question 1 :

Calcul du poids total du solide pour le calcul de la capacité de stockage du silo :

La capacité volumétrique du silo pour le calcul de la capacité : 3inf 7.5 /kN m

Angle de repos du solide : 34r (du tableau)

Hauteur du sommet du cône du solide stocké :

5.0 34 3.372c rh rtan tan m

Capacité volumétrique du silo :

Surface équivalente

25 m

34°

25.85 m


2

2 2 3( / 3) 5.0 (25 3.372 / 3) 2052cV R h h m

Valeur minimale de la capacité de stockage du silo :

2052 7.5 15390 1539C kN tonnes

Question 2 :

Calcul du poids total du solide pour le calcul structural et de la hauteur de la surfaceeffective du solide.

3sup 9.0 /kN m

La capacité volumétrique du silo pour le calcul structural :

2 2 3( / 3) 5.0 (25 2.548 / 3) 2030cV R h h m

2030 9.0 18270 1827C kN tonnes

Hauteur à la base de la surface effective : 22030 / ( ) 25.85mV r

Question 3 :

Valeurs appropriées du coefficient de frottement, rapport de pression latérale et lepoidsunitaire pour le calcul de la pression normale maximale sur la paroi à la base du silo :

Classe de rugosité :

Matériau ensilé : blé

Silo : acier doux au carbone lisse : → Tableau : Classe de rugosité D2

inf 0.38 /1.16 0.327 ; sup 0.54 1.11 0.599k k ;3

sup 9.0 /kN m

Question 4 :

La valeur au remplissage de la pression normale maximale sur le mur à la base du silo :

/(Ak )( / U) 1 zUvfp A k e

Le rayon hydraulique : 2/ / 2 / 2A U R R R

hf vfp kp

/( /2 )( / 2 ) 1 z R khfP R e

0/z0 01 z

hf zp p e p C


3

La pression asymptotique : 20 / 2 9.0 5.0 / (2 0.327) 68.8 /p R kN m

La hauteur caractéristique de Janssen :

0 / 2 5.0 / 2 0.327 0.599 12.76z R k m

La hauteur de la surface effective à la base du silo : 25.85z m

Le coefficient de pression :

0/ (25.85/12.76)1 1 0.8681z zzC e e

La pression normale sur la paroi à la base du silo :

20 0.8681 68.8 59.72 /hf zp C p kN m


4


Soit un silo cylindrique de 12.0 m de diamètre et 18.0 m de hauteur construit avec des paroisen acier inoxydablepoli destiné à stocker du sucre.Le chargement est concentrique et ladécharge s’effectue à travers une ouverture légèrement excentrée de e0=1.2m par rapport àl’axe du silo.

Déterminer la position zpde la pression localisée (patch load) due au chargement.

Déduire la valeur de la pression localisée de chargement et de déchargement.

Solution :

La position de la pression localisée est donnée par la relation :

0( , / 2)p cz min z h

0 / 2z R k hauteur caractéristique de Janssen.

18.0ch m

Classe de rugosité :

Matériau ensilé : sucre

Silo : paroi en acier inoxydable polie → Tableau : Classe de rugosité D1

inf 0.46 /1.07 0.429 ; sup 0.5 1.20 0.6k k ;3

sup 9.5 /kN m

inf 32 /1.19 27i

0 / 2 6.0 / 2 0.429 0.6 11.65z R k m la hauteur caractéristique de Janssen

/ 2 18.0 / 2 9.0ch m

(11.65,9.0) 9.0pz min m (à mi-hauteur du silo)

Calcul de la valeur de la pression normal de chargement sur la paroiau niveau de l’application de la pression localisée :

La pression asymptotique :

20 / 2 9.5 6.0 / (2 0.429) 66.43 /p R kN m

La hauteur de calcul de la pression : 9.0pz z m

Surface équivalente38°

18 m

e0

0/z0 01 z

hf zp p e p C


5

Le coefficient de pression :

0/ (9.0/11.65)1 1 0.5382z zzC e e

La pression normale sur la paroi :

20 0.5382 66.43 35.75 /hf zp C p kN m

La pression localisée de chargement est donnéepar la relation :

où : 1 4 /i ce d

Le chargement est concentrique : 0ie

donc : 1.0

20.2 0.2 35.75 7.15 /Pf hfp p kN m

La dimension verticale de la pression locale est :

0.2 0.2 12 2.4cs d m

La force horizontale totale due à la pression localiséeest donnée par la relation :

( / 2) . ( / 2) 2.4 12.0 7.15 323.45pf c PfF s d P kN

Calcul de la pression normale de déchargement (à la vidange) heP :

Où :

0 1.40hC C : est le coefficient de pression d’écoulement pour le sucre (voir tableau).

21.40 35.75 50.05 /he h hfp C p kN m

Valeur de la pression localisée de déchargement :

0.2Pf hfp p

he h hfp C p

0.2Pe hep p

( / 2) .pf c PfF s d p


6

Où :

max1 / ce d

et : max 0 0( , ) 1.2ie max e e e m

1 1.2 /12 1.10

20.2 0.2 1.10 50.05 11.01 /Pe hep p kN m

La force horizontale totale due à la pression localisée de déchargement est donnée par larelation :

( / 2) . ( / 2) 2.4 12.0 10.62 480.44pe c PeF s d p kN

Caractéristiques des matières granulaires


7


Soit un silo circulaire en aluminium de diamètre 8.3cd m ayant une trémie conique faisant

un angle de 20° par rapport à l’axe verticale du silo.

Le produitstocké est le maïs avec un poids volumique unitaire de : 38.5 /kN m .

Le chargement est concentrique et le déchargement se fait à travers une trémie conique avecun demi angle : 20 (voir figure).

La contrainte verticale au niveau de la transition est de : 245.2 /vftp kN m pour les propriétés

appropriées suivantes du matériau stocké : ( 0.45k et

0.268 ).

1- Déterminer le rapport de pression dans la paroi de trémie

fF pour le chargement.

2- Déterminer la valeur de la pression normale de chargement

nfp dans la trémie au niveau de la transition : à ( nx h ).

3- Déduire la valeur de la pression normale de déchargement

nep dans la trémie avec les caractéristiques suivantes :

15w (angle de frottement de la paroi de la trémie) et

28i (angle de frottement interne du solide)

Solution :

1- Calcul durapport de pression dans la paroi de trémie fF pour le chargement :

1 cot

1 cotf

aF

ou bien 1

tan1

f

bF

avec :

0.8a et 0.2b : coefficients empiriques

1 0.8 0.268 cot 200.915

1 0.268 cot 20fF

Ou bien :

0.21 1 0.915

tan 20tan11

0.268

f

bF


8

2- Calcul de la pression normale de chargement nfp dans la trémie au niveau de la

transition : à ( nx h ).

nf f vfp F p

vfp : pression verticale de chargement dans la trémie à la hauteur x de l’apex du cône de la

trémie.

vf1

n n

hvft

h h h

h x x xp p

n h h h

Où :

2( cot 1)f fn F F

Ou bien :

2(1 b) cotn

La valeur de la pression normale de chargement à la transition est donnée par la relation :

.vft b vfp C p

Où :

vfp : est la valeur de la pression verticale de chargementdonnée par la relation de Janssen:

(1/ )vf hfp k p

0/z0 01 z

hf zp p e p C

bC : coefficient d’amplification de charge à la transition.

1.2bC : silos de classe 2 et 3

1.6bC : silos de classe 1.

Dans notre cas : 245.2 /vftp kN m (valeur donnée)

à ( nx h ) :

2vf 1.0 1.0 1.0 45.2 /

1n nh

vft vft

hp p p kN m

n

0.915 45.2 41.4nf f vfp F p kPa


9

3- Calcul de la valeur de la pression normale de déchargement nep dans la trémie :

ne e vep F p

ve1

n n

hvft

h h h

h x x xp p

n h h h

245.2 /vftp kN m

à ( nx h ) :

2ve 1.0 1.0 1.0 45.2 /

1n nh

vft vft

hp p p kN m

n

Le rapport de pression eF dans la paroi de trémie à la

vidange est donné par la relation:

1 sin cos

1 sin cos(2 )eF

Avec :

1 1sin sin15sin 15 sin 15 33.46 48.46

sin sin 28w

w

1 sin cos 1 sin 28 cos 48.461.328

1 sin cos(2 ) 1 sin 28 cos(2 20 48.46 )eF

La pression normale à la vidange au niveau de la transition (sommet de la trémie nx h )21.328 45.2 60.0 /ne e vep F p kN m


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Soit un silo cylindrique de 12 m de diamètre et 18 m de hauteur, fabriqué en acier doux delimite d’élasticité de 230 Mpa et de module d’élasticité de 2x105Mpa. Le chargement estconcentrique. Les contraintes résultantes évaluées sur les différents niveaux de la paroi du

silo sont montrées dans le tableau ci- contre. ( 1.25F )

Cas de charge etposition dans le mur

du silo

Pression interne hp

kPa

Valeur de calcul de lacontrainte résultantecirconférentielle

.NF Sd ( /kN m )

Valeur de calcul de lacontrainte résultanteméridionale

.NF xSd ( /kN m )

Pression maximaleà 10z m

59.2 444 160

Frottement maximaleà 10z m

52.6 395 201

Pression maximaleà 12.5z m

68.2 511 205

Frottement maximaleà 12.5z m

59.3 445 230

1- Si l’épaisseur du silo à z = 10 m est de t = 6 mm, déterminer la marge de sécuritévis-à-vis de la rupture par effondrement en utilisant le coefficient de résistance partiel

1.10M .

2- Si l’épaisseur du silo à z = 12.5 m est de : t = 8 mm, calculer la marge de sécurité vis-à-vis de la rupture par flambement en utilisant le coefficient de résistance partiel

1.10M . (le silo est de haute qualité de fabrication).

Solution :

1- Vérification à la résistance du à la pression maximale dans le silo:

vSd vRdN N

2 2( )Sd xSdvSd Sd xSdN N N N N

La contrainte circonférentiellepondérée de membrane :

444 /SdN kN m

La contrainte méridionale pondérée de membrane :

160 /xSdN kN m

2 2(444 444 160 160 ) 389 /vSdN kN m


11

( . / )vRd y MN f t

230 6 /1.1 1254 /vRdN kN m

Vérification à la résistance : Critère de rupture de Llyushin

vSd vRdN N

2 2389 / 1254 /kN m kN m

La marge de sécurité vis-à-vis de la rupture :

1254 / 389 3.23 → grande marge de sécurité.

2- Vérification au flambement du au frottement maximal dans le silo :

xSd xRdN N

( / )xRd xRk MN t

.xRk x yf : La résistance caractéristique de flambement

1x Si 0x

0

0

1 xx

p

Si 0 x p

2x

x

Si p x

avec : 0 0.2 et les valeurs recommandées de 1.0 et 0.6

/x y xRcf : L’élancement sans dimension

0.605xRc

tE

r : La contrainte critique élastique

02.5p : L’élancement limite

0 1.44

0.62

1 1.91 ( / )okw t

: Le facteur d'imperfection méridional de réduction élastique


12

ok

t rw

Q t : La caractéristique d’imperfection d’amplitude

La contrainte méridionale pondérée de membrane :

230 /xSdN kN m

Valeurs du paramètre de qualité Q de tolérance de fabrication

Classe de qualité defabrication

Description Q

Classe A Excellente 40Classe B Haute 25Classe C Normale 16

Le facteur d'imperfection méridional de réduction élastique :

0 1.44

0.62

1 1.91 ( / )okw t

0 1.44 1.44

0.62 0.620.195

1 1.91 ( / ) 1 1.9 1.0(8.76 / 8.0)okw t

Où :

okw : est la caractéristique d’imperfection d’amplitude donnée par :

ok

t rw

Q t

8.0 60008.76

25 8.0ok

t rw mm

Q t

1.0 : cas de compression méridional uniforme.

25Q : valeur du paramètre de qualité de tolérance de fabrication (voir tableau)

La contrainte critique élastique est donnée par la relation :

0.605xRc

tE

r

5 8.00.605 2 10 161.33

6000xRc Mpa 200000E Mpa

La résistance caractéristique de flambement est donnée par :


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.xRk x yf

1x Si 0x

0

0

1 xx

p

Si 0 x p

2x

x

Si p x

avec : 0 0.2 et les valeurs recommandées de 1.0 et 0.6

L’élancement sans dimension :

/x y xRcf

230 /161.33 1.194x

L’élancement limite :

02.5p

2.5 0.195 0.698p

x p → 2 2/ (0.195 /1.194 ) 0.137x x

La résistance caractéristique de flambement est donnée par :

. 0.137 230 31.46xRk x yf Mpa

La résistance au flambement est donné par :

( / )xRd xRk MN t

(31.46 /1.1) 8.0 228.8 /xRdN kN m

230 / 228.8 /xSd xRdN kN m N kN m

La marge de sécurité contre le flambement est de : 228.8 / 230 0.995 → sécurité instable

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