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NOM : Terminale S- ABC DS3 lundi 21 novembre 2016
La présentation, la rédaction et la rigueur des résultats entreront pour une part significative dans l’évaluation de la copie.
Le sujet est composé de 5 exercices indépendants. La calculatrice est autorisée. La durée du devoir est de 2h.
Exercice 1 : sur 4 points
Les trois questions suivantes sont indépendantes. Pour chacune, dire si la proposition est vraie ou fausse en
justifiant la réponse
Question A : Soient A et B deux évènements d’un même univers muni d’une probabilité p.
On sait que : A et B sont indépendants ; 1 3
( ) ; ( )5 4
p A p A B ; Proposition : 11
( )16
p B
Question B :
Un fournisseur produit deux sortes de cadenas. Les uns sont premier prix et les autres sont haut de gamme. Un
magasin de bricolage dispose d’un stock de cadenas provenant de ce fournisseur ; ce stock comprend un grand
nombre de cadenas de chaque type.
80% des cadenas proposés à la vente sont premier prix ; les autres sont haut de gamme ;
3% des cadenas haut de gamme sont défectueux
7% des cadenas sont défectueux
On prélève au hasard un cadenas dans le magasin. On note :
p la probabilité qu’un cadenas premier prix soit défectueux
H l’événement : « le cadenas prélevé est haut de gamme »
D l’événement : « le cadenas prélevé est défectueux » Proposition : la valeur de p est 0,08
Question C : Soit f une fonction définie et dérivable sur ]– ; +[\{4} dont on donne ci-dessous le tableau de variations.
Proposition : la droite d’équation « y= 4 » est asymptote horizontale à la courbe de f en – .
Exercice 2 : sur 4 points
1. Soit 1
( )² 4
xf x
x
. Calculer : a) lim ( )
xf x
b)
22
lim ( )xx
f x
2. Soit h une fonction définie sur telle que pour tout réel x, on a : 1 ² ( ) 2 ²x h x x .
Calculer : a) lim h( )x
x
b) h( )
lim²x
x
x
Exercice 3 : sur 2 points
Soit f une fonction définie sur dont on donne la courbe
représentative ci-contre. La droite D est une asymptote à la
courbe représentative Cf de f en – et en + .
On considère la fonction g telle que 1( )
( )g x
f x et on nomme
Cg sa courbe représentative. Justifier les deux propositions :
a) La droite d’équation « y= 2 » est asymptote horizontale à la courbe Cg en – .
b) La droite d’équation « x=1 » est asymptote verticale à la courbe Cg.
Exercice 4 : sur 7 points
Au cours d’une séance, un joueur de tennis s’entraîne à faire des services. Pour tout entier naturel n , on note nR
l’évènement « le joueur réussit le n-ième service » etnR l’évènement contraire. Soit
nx la probabilité de nR et
ny la
probabilité de nR .La probabilité qu’il réussisse le premier service est égale à 0,7. On suppose de plus que les deux
conditions suivantes sont réalisées :
Si le joueur réussit le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant vaut 0,8
Si le joueur ne réussit pas le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant vaut 0,7
1. On s’intéresse aux deux premiers services de l’entraînement.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces
deux premiers services.
a. Compléter l’arbre pondéré ci-contre, traduisant la situation :
b. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
c. Calculer l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
2. On s’intéresse maintenant au cas général.
a. Donner les probabilités conditionnelles 1n
nRP R et 1
nnR
P R
b. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a : 1 0,1 0,7.n nx x
3. Soit la suite (nu ) définie pour tout entier naturel n non nul, par 9 7.n nu x
Dans ces deux questions, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative non fructueuse, sera prise en
compte dans l’évaluation
a. Déterminer la nature de la suite (nu ).
b. En déduire la limite de la suite (nx ).
Exercice 5 : sur 3 points
Un institut effectue un sondage pour connaître, dans une population donnée, la proportion de personnes qui sont
favorables à un projet d’aménagement du territoire. Pour cela, on interroge un échantillon aléatoire de personnes
de cette population et l’on pose une question à chaque personne.
On admet que la probabilité qu’une personne interrogée accepte de répondre à la question est égale à 0,6.
L’institut de sondage interroge 700 personnes. On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de
personnes interrogées qui acceptent de répondre à la question posée.
a. Quelle est la loi de la variable aléatoire X ? Justifier la réponse.
b. Quelle est la meilleure approximation de P(X 400) parmi les nombres suivants ?
0 ,92 0,93 0,94 0,95 On indiquera la méthode de calcul utilisée
c. Déterminer ( à l’aide de la calculatrice ), combien de personnes l’institut doit interroger au minimum pour
garantir avec une probabilité supérieure à 0,9 , que le nombre de personnes répondant au sondage soit
supérieur ou égal à 400 ? On indiquera la méthode utilisée
R1
35
R2710
R2
310
R1
25
R212
R2
12
correction :
Exercice 1:
Question A
On sait que A et B sont indépendants donc ( ) ( ) ( )p A B p A p B
De plus ( ) ( ) ( ) ( )p A B p A p B p A B
D’après les données et les relations précédentes on peut écrire : 3 1 1
( ) ( )4 5 5
p B p B
d’où on tire : 4 3 1
( )5 4 5
p B Conclusion : 11 4 11
( ) :20 5 16
p B . La proposition est vraie.
Question B :
Le texte donne ( ) 0.8P H , ( ) 0.03HP D et P(D)= 0.07.
Et on note p le nombre ( )H
P D
On peut représenter la situation par un arbre pondéré : Selon la formule des probabilités totales
( ) ( ) ( )
0,07 0,2 0,03 0,8
P D P D H P D H
p
On en tire p = 0,07 0,2 0.03
0,080,8
p
La proposition est vraie
Question C : lim ( ) 2 4x
f x
donc la proposition est fausse
Exercice 2 :
1.a)
2
lim (1 ) 3x
x
Et 2
2
lim ( ² 4) 0xx
x
d’après le tableau de signes
.Par quotient , on en déduit que : 22
lim ( )xx
f x
b) f est une fonction rationnelle donc 1 1
lim lim lim 0² 4 ²x x x
x x
x x x
donc lim ( ) 0
xf x
2 .a)On sait que pour tout réel x , 1 ² ( ) 2 ²x h x x .
Donc on a : ( ) 2 ²h x x . De plus , lim 2 ²x
x
Par théorème de comparaison, on en déduit que lim ( )x
h x
b).De l’encadrement précédent , on déduit que pour tout réel x de *
1 ² ( ) 2 ² 1 ( ) 21 1
² ² ² ² ² ²
x h x x h xsoit encore
x x x x x x
Or 1 2
lim 1 lim 1 1² ²x xx x . D’après le théorème des gendarmes, on déduit que lim ( ) 1
xh x
x – ∞ – 2 2 +∞
signe de x2 – 4 + 0 – 0 +
H
0,2
D0,03
D
0,97
H
0,8 Dp
D
1-p
Exercice 3
a) D’après le texte et la lecture graphique
0.5
lim ( ) 0,51
lim lim ( ) 21 ( )lim 2
x
x x
X
f x
donc par composition g xf x
X
On peut donc en déduire que la droite d’équation « y=2 » est asymptote à la courbe Cg en -
b) D’après le graphique (1) 0f . Et on a
Donc 1 1
1 1
1lim ( ) lim
( )x xx x
g xf x
. On en déduit que la droite d’équation « x =1 » est asymptote à Cg.
Remarque : on a aussi 1 1
1 1
1lim ( ) lim
( )x xx x
g xf x
Exercice 4
1. On s'intéresse aux deux premiers services de l'entraînement.
Soit la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deux
premiers services.
a. Loi de probabilité de ?
La variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1 et 2.
En utilisant le principe multiplicatif sur l'arbre on obtient la loi :
b. Calculons l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
2. a. D'après l'énoncé on déduit directement : (on peut aussi refaire un arbre)
et
b. Montrons que, pour tout entier naturel non nul , on a : .
On se place à l'étape :
d'après la formule des probabilités totales :
or (car et sont complémentaires), donc .
En remplaçant il vient :
3. Soit la suite définie pour tout entier naturel non nul par .
a. Pour tout entier naturel non nul on a :
x – 1 +
Signe de f – 0 +
Donc est une suite géométrique de raison 1
10 et de premier terme -0.7
car
Limite de la suite ( xn) ?
D'après la question précédente on a :
De , on tire soit
Comme –1 < 1
10< 1 on a :
11
lim 0,7 010
n
n
Et donc par opérations sur les limites,
7lim
9n
nx
Exercice 2 : Bac 10 juin 2016 Centres étrangers -corrigé proposé sur le site APMEP
694 est le plus petit entier n convenant
Remarque : on sait que N 400 ( puisqu’on veut avoir au moins 400 personnes qui acceptent de répondre)
On peut faire un programme pour trouver la première valeur de n telle que P(X 400 ) >0,9
On en déduit alors la plus petite valeur de n répondant à la question : n= 694.
