Exercice 1 Math Corrige

8/13/2019 Exercice 1 Math Corrige

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Universite Mohammed V-AgdalFaculte des Sciences Juridiques,Economiques et Sociales, Rabat

PrintempsEte 2006/2007Sections : A & BSemestre :S2sjesr.ac.ma

e de SciencesEconomiques et de Gestion

Module 6 : Methodes Quantitatives IMatiere : Mathematiques I

Professeure Amale LAHLOU

Corrige de la Serie 1

Exercice 1

Determinons le domaine de definition de chacune des fonc-tions suivantes :

Soit la fonction definie par :

f1(x) = x2 9

x2 + 2x 3 .

xDf1 x2 + 2x 3= 0 (x 1)(x+ 3)= 0 x 1= 0 et x + 3= 0 x=1 et x=3

AinsiDf1 = R {3, 1}.

Remarque : La fonction f1 ne peut etre simplifiee que sixDf1 ,

f1(x) = x2 9

x2 + 2x

3

=(x 3)(x+ 3)(x

1)(x+ 3)

=x 3x

1

.


f2(x) = 1x3 1 .

En utilisant lidentite remarquable dordre trois, on ob-tient :

x3 1 = (x 1)(x2 +x+ 1).On remarque que le discriminant du polynomex2 +x+ 1est strictement negatif. Par consequent le polynomex2 +x+ 1> 0 pour tout x R. Dou,

x

Df2

x3

1> 0

(x 1)(x2 +x+ 1)> 0 x 1> 0

Ainsi,Df2 =]1, +[.


f3(x) = 3

x3 1.La racine cubique est toujours definie sur R. Ainsi,Df3 = R


f4(x) =2 |x|

1 |x| .

xDf4 2 |x|

1 |x| 0 et 1 |x| = 0

On distingue deux cas :

Si x 0, on doit avoir x= 1 et 2 x1 x 0

x 0 1 2 +2 x + | + 1

x +

| 2x1x + +

Donc,x[0, 1[[2, +[

Si x 0, on doit avoir x=1 et 2 +x1 +x

0,

x 2 1 02 +x + | +1 +x | +2+x1+x + +

Donc,

x] , 2]] 1, 0]Ainsi,Df4 =] , 2]] 1, 1[[2, +[.

Soit la fonction definie par :f5(x) = ln

1 +x+

1 x .

xDf5

1 +x+

1 x= 0, 1 +x 0 et 1 x 0 1 +x >0 et 1 x > 0 x] 1, 1[

Ainsi,Df5 =] 1, 1[.


f6(x) =

1x

+ x+

1x x

x+ |x| .

Soit x R. On remarque que si x 0 et 1

x x 0

x > 0 et 1 x2 0

x > 0 et 1

x 0

x]0, 1]Ainsi,Df6 =]0, 1].

Exercice 2

Etudions la parite des fonctions suivantes :

Soit la fonction definie sur R par :

f1(x) = cosh(x) =ex +ex

2 .

Pour tout x

Df1 , on a

x

Df1 . De plus,

f1(x) = cosh(x) = ex +ex

2 =

ex +ex

2 =f1(x).


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Prof. Amale LAHLOU Corrige de la serie 1 /Mathematiques I / MQ I / M 6 S 2 / Session : PrintempsEte 2006-2007 Page 2

Dou, la fonction f1 est paire sur R.


f2(x) = sinh(x) =ex ex

2 .

Pour tout xDf2 , on axDf2 . De plus,

f2(

x) = sinh(

x) =

ex ex

2

=

ex ex

2 =f2(x).Dou, la fonction f2 est impaire sur R.

Soit la fonction definie sur R par :f3(x) =|x 1| |x+ 1|.

Pour tout xDf3 , on axDf3 . De plus,f3(x) = | x 1| | x+ 1|

= | (x+ 1)| | (x 1)|= |x+ 1| |x 1|=

(|x

1| |

x+ 1|)

= f3(x)Dou,la fonction f3 est impaire sur R.


f4(x) =

x2 1 + 11 x2 .

Determinons son domaine de definition,

Df4 = {x R/ x2 1 0 et 1 x2 >0}=

{x

R/ 0> x2

1 0

}= Dou, la fonction f4 nest pas definie.

Exercice 3

Etudions la periodicite de la fonction definie sur R par :

f(x) = x E(x).Si T R est une periode de f, alors

x+TDfpour toutxDf.

De plus, etant donnek Z on a :f(x+k) = x+k E(x+k)

= x+k (E(x) +k)= x E(x)= f(x).

Dou tout entier k Z est une periode de la fonction f.La periode T en est la plus petite periode strictement po-sitive, i.e., T= 1. De plus on a :

pour tout x[k, k+ 1[, E(x) = k

et par consequent

f(x) = x k x[k, k+ 1[.

Exercice 4

Soient les deux fonctions definies par :

f(x) = x 1x2 1 et g(x) = e

x

Il clair que Df = R\{1, 1} et Dg = R. Determinonslensemble de definition de des fonctions composees

g f et f gSoit donc,

Dgf = {xR/ xDf etf(x)Dg}= {xR/ x=1, x= 1 et f(x)R}= {xR/ x=1 etx= 1}= R\{1, 1}

Dfg = {xR/ xDg etg (x)Df}= {xR/ g(x)Df}

= {xR

/ e

x

=1 etex

= 1}= {xR/ ex = 1} (car ex >0 xR)= {xR/ x= 0}= R

Ainsi,

g f : R\{1, 1} R Rx f(x) g f(x) = g(f(x))

avec,

g f(x) = g(f(x)) = ef(x) = expx 1x2

1 .

et

g f : R R\{1, 1} Rx g(x) f g(x) = f(g(x))

avec,

f g(x) = f(g(x)) = f(ex) = ex 1

e2x 1 .

Exercice 5

Soit la fonction definie sur R\{1, 1}par :

f(x) = x2

1

(x 1)2 2x+ 1

|x2 1|Determinons une fonction equivalente afau voisinage de1. On remarque que :

|x2 1|=

x2 1 x 11 x2 1< x


3/8


Posons x = 1 +h, et quand x1 alorsh0.

Au voisinage droit de 1, i.e., x1+ eth0+.

f(x) = x2

x2 1 = (1 +h)2

(1 +h)2 1=

h2 + 2h+ 1

h2 + 2h

0+

1

2hf(x) 1+ 1

2(x 1)

Ainsi, limx1+

f(x) = +.

Au voisinage gauche de 1, i.e., x1 eth0.

f(x) =x2 + 4x+ 2

x2 1 = (1 +h)2 + 4(1 +h) + 2

(1 +h)2 1=

h2 + 6h+ 7

h2 + 2h

07

2h

f(x) 1 72(x 1)

Ainsi, limx1

f(x) =.

Exercice 6

SoitaR. La fonction definie sur R par :

f(x) =x+3ax

+x3 1x2 + 1

est une fraction rationnelle. En effet, par un calcul algebriquesimple la fonction fpeut secrire sous la forme suivante :

f(x) =(3a 1)x2 x+ 3a

x3 +x .

Determinons un equivalent de fau voisinage de linfini etau voisinage de 0. On rappelle que :

apxp + +arxrbqxq + +bsxs

apxp

bqxq si ap= 0, bq= 0

et

apxp +

+arxr

bqxq + +bsxs 0arxr

bsxs si ar= 0, bs= 0Au voisinage de

- Si 3a 1= 0 (i.e., a= 13) on a :

f(x) (3a 1)x2

x3 =

3a 1x

par consequent,

limx

f(x) = limx

3a 1x

= 0.

- Si 3a

1 = 0 (i.e., a = 13) on a :

f(x) =x+ 3a

x3 +x

par consequent,

f(x) xx3

=1x2

par suite,

limx

f(x) = limx

1

x2 = 0.

Au voisinage de 0

- Si 3a= 0 (i.e., a= 0) on a :

f(x)0 3ax

,

dou,

limx0

f(x) = limx0

3a

x =.

Plus exactement, on a :

limx0

f(x) = + si x0+ et a > 0 si x0

+

et a < 0 si x0 et a > 0+ si x0 et a < 0

.

- Si 3a= 0 (i.e., a = 0) on a :

f(x) =x2 x

x3 +x

et alors,

f(x)0 xx

=1.Par suite,

limx0

f(x) =

1.

Exercice 7

Calculons les limites suivantes :

limxa

a xa x =? (a R

+)

Cette limite est une Forme Indeterminee 00 .

limxa

f1(x) = limxa

a xa x

= limxa

(

a

x)(

a+

x)

(a x)(a+ x)= lim

xa

a x(a x)(a+ x)

= limxa

1a+

x

limxa

f1(x) = 1

2

a

limx+

x(x+a) x=? (aR)


4/8


Cette limite est une Forme Indeterminee + .

limx+

f2(x) = limx+

x(x+a) x

= limx+

(

x(x+a) x)(

x(x+a) +x)x(x+a) +x

= limx+

x2 +ax x2|x|

1 + a

x+ x

= limx+

ax

x(1 + ax + 1)= lim

x+

a1 + a

x+ 1

limx+

f2(x) = a

2

limx0

1 +xm 1 xm

xn =?

Commem, nN, on note que cette limite est une FormeIndeterminee 00 puisque limx0

xp = 0 pour p >0. Or,

f3(x) =

1 +xm

1

xm

xn

= (

1 +xm 1 xm)(1 +xm + 1 xm)

xn(

1 +xm +

1 xm)

= 2xm

xn(

1 +xm +

1 xm)

= 2

(

1 +xm +

1 xm) xmn

Commem >0 et n >0 on a :

limx0

2

(1 +xm + 1 xm)= 1

et donc,

limx0

f3(x) = limx0

xmn

avec,

limx0

xmn =

1 si m n= 00 si m n >0 si m n


5/8


car

limt0

ln(1 +t)

t = 1 et lim

t0+t ln(t) = 0.

limx+

x1

ln(1+x2) =?

Cette limite est une Forme Indeterminee (+)0.

limx+

f7(x) = limx+

x1

ln(1+x2)

= limx+

exp ln(x)ln(1 +x2)

= lim

x+exp

ln(x)

ln(x2) + ln(1 + 1x2

)

= lim

x+exp

ln(x)

2ln(x) + ln(1 + 1x2

)

= limx+

exp

12 +

ln(1+ 1x2)

ln(x)

= limx

+

exp

1

2 + ln(1+ 1

x2

)1x2

1x2 ln(x)

= e12

limx+

f7(x) =

e

car

limx+

ln(1 + 1x2

)1x2

= limt0+

ln(1 +t)

t = 1

et

limx+

1

x2 ln(x)= 0

limx+1 +2x

x

=?

Cette limite est une Forme Indeterminee 1+.

limx+

f8(x) = limx+

1 +

2

x

x= lim

x+exp

x ln

1 +

2

x

= lim

x+exp

2

ln

1 + 2x

2x

.

limx+

f8(x) = e2

carlim

x+

ln 1 + 2x

2x

= limt0+

ln(1 +t)

t = 1

limx0+

x ln

1

x

=?

Cette limite est une Forme Indeterminee 0 .

limx0+

f9(x) = limx0+

x ln

1

x

= lim

x0+x ln(x)

= limx0+

2x ln(x)lim

x0+f9(x) = 0

carlim

x0+

x ln(

x) = lim

t0+t ln(t) = 0

limx0

1 cos2(x)ex2

=?

Cette limite nest pas une Forme Indeterminee.

limx0

f10(x) = limx0

1 cos2(x)ex2

= 0

e0 = 0

limxe

x2 exx e =?

Cette limite nest pas une Forme Indeterminee. Comme

2< e = e2 < ee = e2 ee 1

La fonctionf1est continue sur les intervalles ], 0[, ]0, 1[et ]1, +

[ puisque sa restriction a chacun de ces intervalles

est un polynome. Donc pour que f1 soit continue sur R ilfaut et il suffit quelle soit continue au points 0 et 1, i.e.,

limx0+

f1(x) = limx0

f1(x) = f1(0)

limx1+

f1(x) = limx1

f1(x) = f1(1)

autrment dit, lim

x0+a+bx= 1

limx1+

2 = a+b

Dou, f1 est continue sur R si et seulement si a = b = 1.


f2(x) =

x2 ln(x) x+ 1 x > 0c xex x 0

La fonction f2 est continue sur les intervalles ] , 0[ et]0, +[ puisque sa restriction a chacun de ces intervallesest une fonction continue sur le meme intervalle. Donc pourque f2 soit continue sur R il faut et il suffit quelle soitcontinue au points 0 i.e.,

limx0+

f2(x) = limx0

f2(x) = f2(0).

autrement dit,lim

x0+

x2 ln(x) x+ 1= c


6/8


donc,c = 1 du fait que limx0+

x2 ln(x) = 0.

Dou, f2 est continue sur R si et seulement si c = 1.

Exercice 9

Determinons lensemble de continuite des fonctions sui-vantes :

Soit la fonction definie sur [1, +[ par :

f1(x) =

x2 1

x2 + 1 x+ 1 x[1, +[, x= 0 et x= 1

1 x= 0

4

2 x= 1

La fonctionf1 est continue sur les intervalles [1, 0[, ]0, 1[et ]1, +[ comme composee de fonctions continues sur lesmemes intervalles.

Etudions la continuite de f1 au points 0 et 1.

Continuite au point 0 :

limx0

f1(x) = limx0

x2 1x2 + 1 x+ 1 =

donc, la fonction f1 nest pas continue au point 0.

Continuite au point 1 :

limx1

f1(x) = limx1

x2 1x2 + 1 x+ 1

= limx1

(x2

1)

x2 + 1 +

x+ 1x2 + 1 x+ 1 x2 + 1 + x+ 1

= limx1

(x2 1) x2 + 1 + x+ 1x2 x

= limx1

(x 1)(x+ 1) x2 + 1 + x+ 1x(x 1)

= limx1

(x+ 1)

x2 + 1 +

x+ 1

x

= 4

2

limx1

f1(x) = f1(1)

donc, la fonction f1 est continue au point 1. Ainsi len-semble de continuite de la fonction f1 est [1, +[\{0}.

Soit la fonction definie sur [0, 1] par :

f2(x) =

1x

+ x

1x x

2x 0< x 1

0 x= 0

La fonction f2 est continue sur lintervalle ]0, 1] puisquecest la composee de fonctions continues sur cet intervalle.

Etudions la continuite a droite au point 0 :

limx0+

f2(x) = limx0+

1x

+ x

1x x

2x

= limx0+

1x

+ x 1x

+ x

2x

1x

+ x+

1x x

= lim

x0+

1

1x + x+1x x= lim

x0+

11x

+ x+

1x x

= 0

limx0+

f2(x) = f2(0)

donc, la fonctionf2 est continue a droite au point 0. Ainsilensemble de continuite de f2 est le segment [0, 1].

Exercice 10

Etudions le prolongement par continuite des fonctions sui-vantes :


f(x) =x2 +x

3

x2=

x2 +x

3|x| = 1

3(x+ 1) x >0

13 (x+ 1) x


7/8


Comme la fonction f2 possede une limite finie a droitedu point 0 alors elle est prolongeable par continuite en cepoint et son prolongement est donne par :

f2(x) =

x ln(x) x >0

0 x= 0

la fonction

f2 est continue sur R+ et la fonction f2 est

continue par prolongement sur R+.

Soit la fonction definie sur ]0, +[ par :

f3(x) =ex 1

x .

f3 est continue sur ]0, +[ ; pour quelle soit prolongeablepar continuite sur R+ il suffit que :

limx0+

f3(x) R.

Calculons,

limx0+ f3(x) = limx0+

ex

1

x= lim

x0+

ex 1x

x

limx0+

f3(x) = 0R

car limt0+

et 1t

= 1. Dou la fonction f3 est prolongeable

par continuite au point 0 et son prolongement est donnepar :

f3(x) =

ex 1x

x >0

0 x= 0

la fonctionf3 est continue sur R+ et la fonction f3 estcontinue par prolongement sur R+.


f4(x) = x2 sin

1

x

.

f4 est continue sur R ; pour quelle soit prolongeable parcontinuite sur R il suffit que :

limx0

f4(x)R.

Puisquesin 1

x

1 pour tout x R et limx0

x2 = 0

alors,limx0

f4(x) = 0 RDou la fonction f4 est prolongeable par continuite aupoint 0 et son prolongement est donne par :

f4(x) = x2 sin

1

x

x= 0

0 x= 0

la fonctionf4 est continue sur R et la fonctionf4est conti-nue par prolongement sur R.

Soit la fonction definie sur R par :f5(x) =

x

ex ex .

f5 est continue sur R ; pour quelle soit prolongeable par

continuite sur R il suffit que :

limx0

f5(x) R.

Calculons,

limx0

f5(x) = limx0

xex ex

= limx0

x

2 sinh(x)

limx0

f5(x) = 1

2 R

car

sinh(x) =ex ex

2 et lim

x0

sinh(x)

x = 1

Dou la fonction f5 est prolongeable par continuite aupoint 0 et son prolongement est donne par :

f5(x) = x

ex ex x= 01

2 x= 0

la fonctionf5est continue sur R et la fonctionf5 est conti-nue par prolongement sur R.

Exercice 11

Soit la fraction rationnelle definie sur R\{1} par :

f(x) =x+ 1

x

1

Etudions la monotonie de la fonction f : par un calculsimple on peut montrer que :

x] , 0[]0, +[ f(x) = 2(x 1)2


8/8


On vient de montrer que lapplication reciproque de f esttelle que :

xR\{1} f1(x) = x+ 1x 1

On remarque ainsi que f=f1 sur R\{1} et donc,

x R\{1} f f(x) = f1 f(x) = x.

Exercice 12

La fonction polynome definie sur R par :

f(x) = x3 + 2x2 3x+ 1

est continue sur R, en particulier sur R, et verifie :

limx

f(x) = et f(0) = 1> 0.

Donc dapres le theoreme des Valeurs Intermediaires, ilexiste au moins c

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