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EXERCICE 1 : PEIGNE VIBREUR POUR LA RECOLTE DES OLIVES

Presentation

L’objet de cette etude est un peigne vibreur portatif et auto-nome permettant la recolte des olives. Son cout est d’environ1000 €.Il permet une recolte 4 a 8 fois plus rapide qu’une recoltemanuelle et il est efficace sur les olives vertes, mures et lesolives de bouche, le tout en preservant l’arbre. L’utilisateurplace l’extremite de la perche dans les branches de l’olivier.Le peigne, situe au bout de la perche, a un mouvement derotation alternatif a haute frequence (830 coups/min). Lesolives des branches secouees tombent de l’arbre.L’operation est repetee dans l’ensemble de l’arbre jusqu’a ceque l’olivier ne contienne plus de fruits.

Figure 1 – Peigne vibreur

Caracteristiques :Puissance nominale 300 WPuissance maximale 800 WFrequence d’oscillation du peigne 830 allers-retours/minType de batterie 15, 4 Ah− 44, 4 VAutonomie De 3 a 8 heuresMasse outil seile perche 3kgMasse de l’ensemble (Outil + batterie) 7, 9kgAcceleration a laquelle sont exposes les membres superieurs de l’uti-lisateur

< 2, 5m/s2

La batterie, montee dans un harnais, est portee dans le dos de l’utilisateur. Elle alimente un moteur synchrone quitransmet, via un reducteur epicycloıdal, la puissance a un arbre de transmission. Ce dernier, place a l’interieur de laperche telescopique, met en mouvement la tete de vibration qui a pour fonction de transformer le mouvement de rotationcontinue en mouvement de rotation alternatif. On obtient ainsi une rotation alternative du peigne.

Figure 2 – Synpotique de la chaıne d’energie

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Figure 3 – Modelisation cinematique de la tete du peigne vibreur

Systeme de transformation de mouvement :L’arbre d’entree (1) de la tete de vibration, entraıne par le moteur via l’arbre de transmission, possede un mouvement derotation continu d’axe (A,−→y0) par rapport au carter (0). Son extremite, coudee, permet de modifier l’orientation de labiellette (2) lors de la rotation. La biellette (2) est en liaison spherique, de centre B, avec la bielle de renvoi (3). Celle-ciest liee au levier (4) par une liaison pivot d’axe (C,−→z0). Comme ce levier est lie au carter (0) par une liaison pivot d’axe(D,−→z0), le point C a necessairement un mouvement plan. On obtient ainsi une rotation alternative du levier (4) d’axe(D,−→z0).Le peigne, solidaire du levier (4), possede le meme mouvement.

Modelisation :— La figure 3 presente une modelisation cinematique du peigne vibreur et les differents points et axes ;— Le schema cinematique de la figure 4 est represente dans la position particuliere θ10 = 0. Dans cette position, la

base b0(−→x0,−→y0,−→z0) est confondue avec la base b1(−→x1,−→y1,−→z1) avec −→y1 = −→y0.

Donnees :— −−→

AB = a.−→x2 ; −−→DC = a.−→x4 ; −−→BC = b.−→y3 ; −−→AD = b.−→y0 ;— On note θ20 = (−→x0,−→x2) = (−→y0,−→y2), le parametre de la position de la bielle (2) par rapport au carter (0), et

dθ20dt = ω20 ;

— On note θ40 = (−→x0,−→x4) = (−→y0,−→y4), le parametre de la position du levier (4) par rapport au carter (0), etdθ40dt = ω40 ;

— b1(−→x1,−→y1,−→z1) avec −→y1 = −→y0 est une base liee a l’arbre d’entree (1) ;— Le vecteur −→u est tel que (−→y1,−→u ) = α, avec α constant et −→u ⊥−−→AB ;— La base associee a la biellette de renvoi (3) est notee b3(−→x3,−→y3,−→z3) avec −→z3 = −→z0 ;— On note θ34 = (−→x4,−→x3) = (−→y4,−→y3), le parametre de la position de la biellette de renvoi (3) par rapport au levier

(4), et dθ34dt = ω34.

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Notation : On rappelle la notation des torseurs cinematiques :

Vi/j =¨ −−→

Ωi/j−−−→VP ,i/j

«P

=

ωijx Vijxωijy Vijyωijz Vijz

(P ,bP )

Avec −−→Ωi/j la vitesse de rotation, −−−→VP ,i/j la vitesse du point P du solide i dans son mouvement par rapport au solide j,avec bP la base (−→xP ,−→yP ,−→zP ) la base de projection.

Figure 4 – Schema cinematique et arbre (1)

Etude :

Q1. A partir de la description et des representations cinematiques (figures 3 et 4),proposez le graphe de liaisons.

Q2. Donnez les figures planes illustrant les parametres angulaires θ34 et θ40.

Q3. Que peut-on dire des angles θ40 et θ20 ainsi que des vecteurs unitaires −→x2 et−→x4 ?

Q4. Determiner les vecteurs vitesse −−−−→VC,4/0 et −−−−→VC,3/0.

Q5. Quelle est la nature du mouvement de la biellette de renvoi (3) par rapportau carter (0) ? Que peut-on dire de

−−−→Ω3/0 et −−−−→VB,3/0 ?

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Q6. Exprimer −→u .−−→AB en fonction des parametres du mecanisme, et en deduire unerelation entre θ40 et θ10

Reducteur :Il est necessaire d’intercaler un reducteur entre le moteur et la tete vibrante afin d’adapter la vitesse de rotation.Le reducteur utilise est representer sur la figure 6.Le planetaire (1), ie a l’arbre moteur, est guide en rotation d’axe (O1,−→x0) par rapport au carter (0).En A, il entraıne le double-satellite (2), qui engrene en B sur une couronne liee au carter (0) et est guide en rotation d’axe(O2,−→x0) par le porte-satellite (3), sortie du reducteur et lie a l’arbre de transmission du mecanisme de transformation.La vitesse de rotation de l’arbre de sortie est N3/0 = 830tr/min.On supppose que les liaisons sont parfaites et qu’il y a roulement sans glissement en A et B.

Donnees sur le reducteur :— Couronne (0) : Z0 = 46 dents, R0 = |

−−→O1B.−→y3| = 17, 25mm ;

— Pignon (1) : Z1 = 11 dents, R1 = |−−→O1A.−→y3| = 4, 125mm ;

— Pignon (2a) engrene avec 1 : Z2a = 25 dents, R2a = |−−→O2A.−→y3| ;

— Pignon (2b) engrene avec 0 : Z2b = 10 dents, R2b = |−−→O2B.−→y3| ;

— Module : m = 0, 75.Notations :• ω1/0 : la vitesse de rotation du solide (1) par rapport au solide (0) autour de l’axe (O1,−→x0) ;• ω3/0 : la vitesse de rotation du solide (3) par rapport au solide (0) autour de l’axe (O1,−→x0) ;• ω2/3 : la vitesse de rotation du solide (2) par rapport au solide (3) autour de l’axe (O2,−→x0).

Figure 5 – Reducteur epicycloıdal

Q7. Rappeler la relation de Willis, liant les vitesses de rotation des differents solidedu train epicycloıdal, en utilisant les chiffres correspondant au solide.

Q8. En expliquant votre demarche, determiner l’expression de λ, telle que definidans votre reponse a la question Q11.

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Q9. Determiner le rapport de reduction liant ω1/0 et ω3/0 en fonction du nombrede dents des differentes roues.

Q10. Sachant que N3/0 = 830tr/min, en deduire la vitesse ω1/0 en rad/s.

EXERCICE 2 : VEHICULE INTELLIGENT ROBUCAR

On etudie un vehicule dit intelligent, prototype d’un vehiculeautonome, developpe en laboratoire. L’objectif de cetexercice est d’etudier le suivi d’une trajectoire, avec lamodelisation d’un virage.

On considere que les virages sont effectues en pilotant defacon conjuguee les orientations des trains avant et arriereconformement au modele de la figure 9. De cette facon, ala valeur pres des parametres a et b, le pilotage du trainarriere (roues 3 et 4) est une image du pilotage du trainavant (roues 1 et 2).

On se limite ici a un mouvement de rotation.Figure 6 – Image du vehicule Robucar

Figure 7 – Vehicule en virage vue du dessus

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Le pilotage conjugue des directions avant et arriere conduit al’identification d’un point M de l’axe longitudinal du chassisdefini par rapport a C, centre de la trajectoire circulaire al’instant t par : −−→CM⊥−→X avec −−→CM = −ρ.−→Y .

On definit les bases suivantes :— b0(−→X0,−→Y0,−→Z0) liee du sol (solide 0) ;— b(−→X ,−→Y ,−→Z0) liee au chassis du vehicule (solide S) ;— bi(

−→Xi,−→Yi ,−→Z0) liee a l’axe de la roue i.

— Et le point Oi : point du plan median de la roue iappartenant a l’axe de rotation.

Pour chaque roue, on peut considerer localement la figuresuivante :

Figure 8 – Modelisation du contact roue/sol dans le planmedian de la roue

Le mouvement du vehicule est un mouvement de rotation autour du point C suppose fixe.On note la vitesse angulaire d’orientation du chassis par rapport au repere fixe lie au sol, due a la trajectoire circulaireautour de C par : −−−→ΩS/0 = ψ.−→Z0.On note V la vitesse du point M : −−−−→VM ,S/0 = V .−→X = ρ.ψ.−→X avec V constant.

Soit −−−−−−−−−−−−→ΩRouei/axe roue i = θi.−→Yi , la vitesse de rotation de la roue i par rapport a l’axe de la roue i ; et R, la valeur

du rayon des roues.Q1. Donner l’expression vectorielle dans la base b(−→X ,−→Y ,−→Z0) de −−−−→VO1,S/0 et −−−−→VO2,S/0en fonction de ρ, a, d et ψ.

Q2. Donner l’expression vectorielle dans la base bi(−→Xi,−→Yi ,−→Z0) de −−−−−−−−→VO1,Roue1/0 et

−−−−−−−−→VO2,Roue2/0 en fonction de R et de θi en fonction de l’hypothese de roulement sansglissement en Ji.

Q3. En remarquant que −−−−−−−−→VO1,Roue1/S =−→0 , etablir deux relations scalaires apres

projection dans la base b(−→X ,−→Y ,−→Z0).

Q4. Faire de meme pour la roue 2.

Q5. En deduire les expressions de tan(δ1) et de tan(δ2) en fonction de ρ, a et d.Effectuer l’application numerique avec a = 0, 65m, d = 1, 2m et ρ = 5m.

Q6. Etant donne les valeurs de δ1 et δ2, on adopte la simplication suivante : cos δi ≈1 et sin δi ≈ 0. En deduire les expressions simplifiees de θ1 et de θ2.

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DOCUMENT REPONSELes resultats presentes sans justification, memes corrects, n’auront pas l’ensemble des points de la question.

NOM : Prenom :Exercice 1 :Q1.

Q2.

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Q3.

Q4.

Q5.

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Q6.

Q7.

Q8.

Q9.

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Q10.

Exercice 2 :Q1.

Q2.

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Q3.

Q4.

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Q5.

Q6.

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