corrig TDN1 ANA NUM
Exercice 6 Exercice 6 Exercice 6 Exercice 6 Calcul de 1/e =
0.367879 ( 10-6 prs) partir de sommes partielles de 5 10 termes du
dveloppement en srie de Taylor de :
a. e-x en x=1 ()* = + (,1)
-.-/!
1
-234 5(.1), 7 . 8 9:
En x = 1, on considre la somme partielle ;1 = ()=)>
-!1-23 = 1 , 1 4 =?! ,
=@! 4 A 4
()=)B1!
Soit lerreur E1 commise : |E1| = G ;1 , =HG = | ;1 , 0.367879 |
( 10-6 prs) On obtient le tableau suivant :
n ;1 = +
(,1)-/!
1
-23 |E1| = K ;1 , 1(K
5 0,366667 0,121233 10-2
6 0,368056 0,176556 10-3
7 0,367857 0,218571 10-4
8 0,367882 0,294444 10-5
9 0,367879 0,188713 10-6
10 0,367879 0,464286 10-6
b. ex en x= 1 et passage linverse
(* = + .-
/!1
-234 5(.1), 7 . 8 9:
En x = 1, on considre linverse de la somme partielle ;1M =
=-!1-23 = 1 4 1 4=?! 4
=@! 4 A 4
=1!
Soit lerreur E1 commise : |EN1| = G =OBM ,=HG = G
=OBM , 0.367879 G ( 10-6 prs) On obtient le tableau suivant
:
n
;1M = + 1/!1
-23 1
;1N |EN1| = K 1
;1N ,1(K
5 2,71667 0,368098 0,219160 10-3
6 2,71806 0,367910 0,310664 10-4
7 2,71825 0,367883 0,421168 10-5
8 2,71828 0,367880 0,855111 10-6
9 2,71828 0,367879 0,482163 10-6
10 2,71828 0,367879 0,444868 10-6
On remarque quen gnral, la seconde approximation (b) est
meilleure que la premire (a) car la valeur absolue de lerreur
commise en (b) est plus faible que celle commise en (a).
n |E1| , |EN1| 5 0,993174 10
-3
6 0,145489 10-3
7 0,176455 10-4
8 0,208933 10-5
9 -0,293450 10-6
10 0,194179 10-7
La comparaison des termes derreurs montre bien que : |EN1|S |E1|
pour n= 5, 6, 7, 8 ,10
