7/28/2019 EXERCICE CORRIGE SUR LE CYCLOTRON
1/2
3IMRT, Particule charge dans les champs lectrique et
magntique
III - Le cyclotron (nonc et corrig)
Un cyclotron est constitu par deux demi-boites cylindriques Det
D' l'intrieur desquelles on tablit un champ magntique de
vecteur reprsentatif B
. Dans l'espace compris entre les deuxdemi-boites, on tablit une
tension UDDallternative de valeurmaximale U. Des ions positifs de
charge q, de masse m sont
injects en O avec une vitesse ngligeable.1. La tension UDD est
positive.
a) tablir les expressions littrales en fonction de q, Uet m,de
l'nergie cintique EC1 et de la vitesse v1 de ces ions leurpremire
arrive en D'.On applique le thorme de lnergie cintique un ion de
masse m et de charge q soumis latension ou diffrence de potentiel
UDD = VD- VD pendant son dplacement de D Ddans le rfrentiel
terrestre suppos galilen (Le poids de lion est ngligeable par
rapport la forcelectrique exerce sur lion)
EC(D) EC(D) = WDD(
lectriqueF ) donc : EC1 0 = q(VD VD) = qUDD soit : EC1= |q|U
(en as s i m i l ant U DD sa valeur maximale U pendant le trajet
trs court de D D)
EC1 = mv2 donc : v1 = C12E
msoit : v1 = 2 | q | U
mCalculerEC en joule puis en lectron-volts ainsi que la vitesse
v.Donnes : q = 3,2. 10-19 C, m = 3,3.10-27 kg, U = 105 V.
EC1 = 3,2 x 10-19 x 105 = 3,2 x 10 -14 J = 3 ,2 x 10 -14 / 1,60
x 10-19 = 2 x 105 eV ( = 200 keV)
V1 =19 5
27
2 3,2 10 10
3,3 10
= 1,4 x 106 m.s-1
b) Ces ions pntrent alors dans D'. Quel est ensuite leur
mouvement ?Exprimer en fonction de B, q, Uet m le rayon R1 de leur
trajectoire.CalculerR1 si B = 1 T.
Mouvement circulaire uniforme ; R1 = 1mv| q | B
= m 2 | q | U| q | B m
soit : R1 = 1 2mUB | q |
R1 =27 5
19
101 2 3,3 10
1 3,2 10
= 0,045 m = 4,5 cm2. Les ions ressortent de D'. On inverse alors
la tension UDDen lui gardant la mme valeurU. tablir les expressions
:
a) de leur vitesse v2 l'entre de D et leur nergie cintique;Lion
se dplace de D avec lnergie EC1jusqu D avec lnergie EC2 ; on
applique le TEC :
EC(D) EC(D) = WDD(
lectriqueF ) donc EC2 EC1 = q(VD VD) = qUDD = |q|U
Soit : EC2 = EC1 +|q|U et comme EC1 = |q|U on obtient : EC2 =
2|q|U = 2EC1
v2 = C22Em =C14Em =
C12 2Em et comme v1 = C12Em on obtient : v
2 = 2 x v1
b) du rayon R2 de leur trajectoire dans D
R2 =2mv
| q | B= 1
2mv
| q | Bsoit : R2 = 2 x R1
c) du rayon de la trajectoire des ions en fonction de n, nombre
de passages entre D et D' et de R1.
premier passage, n= 1 : R2 = 2 x R1
deuxime passage, n= 2 : R3 = 2 x R2 = 2 x 2 x R1 = ( 2 )2 R1
troisime passage, n= 3 : R4 = 2 x R3 = 2 x( 2 )2 R1 = ( 2 )
3 R1
en remarquant que 2 est la puissance n , on gnralise la formule
du rayon :
Rn+1 = ( 2 )n R1 ou bien Rn+1 = 2
n/2 R1
