Chap 4 : Performances de Stabilité Page 1 sur 10

Lycée du Parc

Cycle 2 Analyser, expérimenter, modéliser et résoudre pour vérifier

les performances temporelles et fréquentielles des SLCI Sciences

Industrielles

de l’Ingénieur

CHAPITRE 4 : PERFORMANCE DE STABILITE

TD4

Exercice n°1 : exercices d’entrainement

Critères graphiques :

1. On donne ci-dessous les lieux de transferts de plusieurs FTBO. Déterminer, à l’aide du critère du Revers si les systèmes sont stables en boucle fermée, puis pour les systèmes stables, déterminer les marges de gain et de phase.

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2. Un relevé expérimental d’un système en boucle ouverte a donné les diagrammes de Bode suivant :

a. Justifier que la fonction de transfert en boucle ouverte est de la forme : 2

FTBO(p)(1 0.1 p)(1 0.01 p)

b. Déterminer la marge de phase du système

c. On veut obtenir un système possédant une marge de phase de 45°. Déterminer le gain multiplicatif qu’il est nécessaire de rajouter à la fonction de transfert.

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Critères algébriques

3. Déterminer les valeurs de K pour lesquelles le système de fonction de transfert en boucle

fermé 4 3

1FTBF(p)

p 4 p 3 p² p K 1

est stable

4. Etudier la stabilité du système représenté par le schéma bloc ci-dessous en fonction de K

Exercice N°2 : Asservissement de freinage d’un A318

L’objectif de l’étude est de déterminer la loi de commande à implanter dans la partie commande de façon à assurer des performances correctes au freinage.

Le transport aérien sur avion de ligne est un des moyens de transport les plus sûrs. Pourtant, les conséquences d’une erreur humaine ou d’une défaillance matérielle peuvent être catastrophiques. La sécurité est assurée par des technologies de pointe, et l’assistance du freinage à l’atterrissage est l’une de ces composantes sensibles de ces technologies (figure 1).

Le freinage est piloté par les ordinateurs de bord à partir des consignes du pilote et des paramètres de vol. La partie commande envoie des consignes à la servovalve hydraulique qui se charge de régler la pression dans le circuit hydraulique de freinage. Les freins à disques (figure 2) décélèrent l’avion proportionnellement à la pression de freinage.

Un accéléromètre de la centrale inertielle de l’avion mesure la décélération et transmet l’information à la partie commande pour le contrôle du freinage.

Extrait du cahier des charges du système de freinage :

Exigences Critères Niveaux

Le système de freinage doit permettre de freiner l’avion en toute sécurité

Précision : valeur de décélération Ecart nul

Rapidité : Bande passante à -3dB ≥ 10 Hz

Stabilité : Marge de gain Marge de phase

≥ 10 dB ≥ 40°

Surtension en boucle fermée ≤ 5dB

Figure 1 : Freinage d’un A318 à l’atterrissage

Figure 2 : Vue du frein à disques

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Le schéma-blocs de l’asservissement est donné figure 3.

BSCU Servovalve Freins

Accéléromètre

ac i

am

aPh

Figure 3 : Schéma-blocs du système de freinage d’un A318

On précise les fonctions de transfert suivantes :

Fonction de transfert de la servovalve : )²p(1

1K(p)H

s

ss

avec 1

s A.bar100K et

s10.7,8 2

s

;

Fonction de transfert des freins : ff K(p)H avec 12

f bar.s.m08,0K ;

Fonction de transfert du BSCU : pτ

pτ1K(p)H

i

iib

avec s1i et iK est à déterminer et sera dans

un premier temps considéré comme unitaire ;

Fonction de transfert de l’accéléromètre est noté (p)Ha .

La figure 4 donne le diagramme de Bode de l’accéléromètre fourni par le constructeur.

Q1 Déterminer la bande passante à -3dB de l’accéléromètre à partir de son diagramme de Bode. Que pensez-vous de cette valeur par comparaison à la bande passante attendue dans le cahier des charges ? Identifier la forme et les caractéristiques de la fonction de transfert de l’accéléromètre.

Figure 4 : Réponse fréquentielle de l’accéléromètre

1 10 2 5 2 10 2 5 3 10 -40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

GAIN

1 10 2 5 2 10 2 5 3 10 -180

-160

-140

-120 -100

-80

-60

-40 -20

0

PHAS

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Q2 Tracer le diagramme de Bode asymptotique de la fonction de transfert en boucle ouverte

pour 1K i

La figure 5 donne le diagramme de Black de la FTBO. Le diagramme de Black trace la réponse fréquentielle d’une fonction en indiquant en ordonnée le gain en décibels et en abscisse la phase en degrés :

Q3 Le diagramme de black est-il en accord avec le diagramme asymptotique tracé précédemment ? Déterminer les marges de stabilité.

Q4 Comment évoluent les marges de stabilité et la bande passante à 0dB lorsque iK augmente ?

Déterminer la valeur de iK assurant une marge de phase de 40°. Le cahier des charges sera-t-il vérifié

en termes de stabilité ?

Figure 5 Diagramme de Black de la FTBO pour Ki=1

90 rd/s

50 rd/s

10 rd/s

2,4 rd/s

0,1 rd/s

Degrés

Phase

Gain

(d

B)

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La figure 6 donne le diagramme de Bode de la fonction de transfert en boucle fermée.

Q5 Comment interpréter la valeur asymptotique à basse pulsation ?

Q6 Déterminer la valeur de la surtension de la FTBF. Quelle en sera la conséquence sur la réponse indicielle ?

Exercice n°3 Prothèse de main myoélectrique

L’objectif de l’étude est de vérifier les critères de rapidité et stabilité du cahier des charges de la prothèse

Une prothèse de main myoélectrique est une prothèse commandée à partir de la contraction des muscles sur lesquels sont placés des capteurs appelés myoélectrodes.

Un mécanisme entraîné par un moteur électrique est recouvert par un gant afin de donner un aspect humain à la prothèse. Pour que le serrage des doigts soit au plus près du serrage humain naturel, un asservissement en intensité du moteur est implanté.

Figure 1 photographie et architecture de la prothèse de main

Figure 6 : Réponse fréquentielle de la FTBF avec correction

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Le serrage de la main est particulièrement délicat à régler : le patient n’a plus de sensation tactile, si bien qu’il faut assurer une réponse suffisamment amortie (marge de gain supérieure à 12 dB et marge de phase supérieure à 60°) tout en conjuguant une bonne réactivité du serrage (entre 25 et 50 ms, soit une bande passante de la FTBO d’environ 40 Hz).

Après modélisation de l’ensemble de la chaîne d’asservissement, la fonction de transfert en boucle ouverte

s’établit sous la forme :

)1000

p1)(

8

p1)(

150

p1)(

29000

p1(

)²27

²p

59

p1(5

)p(U

)p(I

C

m

Q1 Déterminer l’amortissement du facteur du second degré de la fonction de transfert et en déduire s’il y a présence ou pas d’une « anti-résonnance ».

Q2 Tracer l’allure du diagramme de Bode asymptotique de la fonction de transfert en boucle ouverte.

Q3 Déterminer une expression approchée de la fonction de transfert dans la gamme de pulsation 1s.rad500 et

1s.rad50000 . En déduire la bande passante du système. Le cahier des charges est-

il satisfait ?

Q4 Déterminer la valeur de la marge de phase. Le cahier des charges est-il satisfait en terme de stabilité ?

Exercice n°4 Asservissement d’altitude d’un drone de surveillance

L’objectif de l’étude est de déterminer les lois de commande à implanter dans la carte de commande numérique de façon à assurer des performances correctes du drone en phase de stabilisation en altitude.

Le drone Munin est un petit drone volant développé par la Sagem, dédié à la surveillance extérieure de bâtiments ou de zones industrielles. Il parcourt régulièrement une trajectoire préprogrammée et transmet un flux vidéo des zones surveillées. Un opérateur peut redéfinir à tout moment la trajectoire en cas de problème sur une zone, voire rester en vol stationnaire au-dessus d’une position.

Le drone est constitué d’un châssis, d’un moteur fixe sur le châssis entraînant une hélice à pas fixe et de gouvernes orientables. L’ensemble est commandé par une carte de commande numérique dialoguant avec le poste de contrôle. La stabilisation est assurée par une centrale inertielle (accéléromètres et gyromètres), un capteur ultra-son mesurant la distance au sol, un capteur barométrique mesurant l’altitude, un capteur GPS mesurant la position géographique.

1x

1z

1y

0x

0

y

0z

Hélice

Gouverne

10

00

Figure 1 Drone Munin de la Sagem

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Extrait du Cahier des charges :

Exigences Critères Niveaux

Le drone doit permettre la stabilisation en altitude

Rapidité : Bande passante à -3dB ≥ 10 Hz

Stabilité : Marge de gain Marge de phase

≥ 10 dB ≥ 60°

La chaine d’action de l’asservissement d’altitude comporte essentiellement un moteur électrique alimenté

par un hacheur et entraînant une hélice. La poussée de l’hélice hF est directement proportionnelle à sa

vitesse de rotation m , et conduit à une accélération verticale du drone.

La chaine de mesure est constituée des capteurs ultra-son et barométriques, dont les mesures combinées donnent une information d’altitude Z du drone.

Le schéma blocs modélisant l’asservissement est donné figure 2.

Le moteur est modélisé par une fonction de transfert du premier ordre de constante de temps s2,0m .

Les capteurs sont supposés renvoyer une information exacte et rapide et leur fonction de transfert est

assimilée à un gain unitaire. Les constantes suivantes sont données : 13

A inc.V10.47K , 11

m Vs.rad25K , 13

h rad.s.N10.33K et kg1m .

Q1 Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte )p(FTBO1 de l’asservissement d’altitude du

drone.

Q2 Dessiner l’allure du diagramme de Bode de cette FTBO pour un gain pK unitaire et préciser les

caractéristiques de stabilité à partir de l’étude des marges de gain et de phase. Dans quelle mesure le gain du correcteur peut-il améliorer la stabilité ?

Une seconde architecture de l’asservissement est proposée. A partir des informations des capteurs ultra-son, barométrique et accélérométrique, une information de vitesse est calculée. Un asservissement de vitesse est alors inclus dans la boucle d’asservissement d’altitude tel que sur le schéma-blocs de la figure 3.

Figure 2 Schéma blocs de l’asservissement simple de l’altitude du drone

PK AK p1

K

m

m

hK ²mp

1

1

CZ Z U m hF

- +

Correcteur Hacheur

Moteur

Hélice Drone

Capteurs altitude

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Après avoir réglé le correcteur 2K et vérifié les performances de la boucle de vitesse, le correcteur 1K sera

dimensionné pour valider le cahier des charges.

Q3 Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte )p(FTBOv de l’asservissement de vitesse

et tracer l’allure du diagramme de Bode. Pour simplifier les notations, on pose m/KKKK hmAV .

Q4 Déterminer la valeur du correcteur 2K permettant d’assurer une bande passante à 0dB de

1dB0 . Vérifier que l’asservissement de vitesse est bien stable en déterminant les marges de

stabilité.

La figure 4 présente le diagramme de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte de l’asservissement

d’altitude )p(FTBO2 pour une correction 1K unitaire.

Figure 3 Schéma blocs de l’asservissement avec la boucle en vitesse de l’altitude du drone

1

- +

Capteur vitesse

-

+

1

Capteur altitude

Figure 4 Diagramme de Bode de la FTBO avec boucle en vitesse et pour K1 = 1 s-1

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Q5 Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée )p(FTBFv de l’asservissement de vitesse en

précisant les caractéristiques. Justifier l’allure du diagramme de Bode proposée figure 4.

Q6 Déterminer sur la courbe, pour un gain 1K unitaire, les marges de stabilité et la bande passante.

Cette configuration est-elle satisfaisante au regard des critères du cahier des charges ?

Q7 Existe-t-il une valeur 1K permettant de valider le cahier des charges ? Le cas échéant déterminer

la valeur assurant la meilleure rapidité possible et respectant l’ensemble des critères.

Q8 Comparer la valeur de la bande passante à 0dB de la FTBO, la valeur de bande passante à -3dB de la FTBF et la valeur exigée par le cahier des charges.