SERIE DE TD N°1 : CINEMATIQUE DU POINT

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Exercice 1.1 : Mouvement en 2D – Vitesse et accélération

Les équations paramétriques (en unités S.I.) d'un mobile M se déplaçant dans un plan muni d'un repère orthonormé (O, 𝑖, 𝑗) sont : x = 3t et y = t2 -1

1) Calculer la vitesse du mobile à l' instant t = 2 s.

2) Calculer les composantes tangentielle aT et normale aN de l'accélération �⃗� du mobile dans la base de

Frenet (M,�⃗⃗�,�⃗⃗⃗�) à l' instants t = 2 s. En déduire la valeur du rayon de courbure ρ de la trajectoire à t = 2 s.

3) Calculer l’accélération a du mobile à la date t = 1 s.

Exercice 1.2 : Description de mouvements en base cartésienne Un point M décrit l’espace avec les coordonnées cartésiennes suivantes :

1. Déterminez les expressions du vecteur vitesse �⃗� et du vecteur accélération �⃗�. 2. Quelle est la nature de la trajectoire ? La représenter ainsi que �⃗� et �⃗� à t=0s.

Exercice 1.3 : Mouvements rectilignes simultanés Soit une voiture de largeur L en mouvement le long d’un trottoir rectiligne xx’. Un piéton décide de traverser la route au moment où la voiture se trouve a une distance D. Le mouvement du piéton est rectiligne, uniforme, de vitesse v, inclinée d’un angle φ par rapport a l’axe Oy. 1. La voiture se déplace à �⃗� =V𝑒x constante. Dans le cas ou φ = 0 (il marche perpendiculairement au trottoir), quelle doit être la vitesse v0 du piéton pour que la collision soit évitée ? 2. Dans le cas d’un angle φ quelconque, exprimer la vitesse v1 du piéton, les équations horaires de son mouvement, et en déduire la condition sur L, D, v1, V et l’angle φ pour que la collision soit évitée. 3. En déduire la vitesse minimale vmin à laquelle peut marcher le piéton, avec l’angle φmin correspondant. Exprimer vmin en fonction de L, D et V.

Exercice 1.4 : Tir balistique dans un champ de pesanteur A l’instant t = 0, une particule ponctuelle M est lancée du point O

avec une vitesse initiale �⃗�0 située dans le plan (Oxz) et faisant

avec l’horizontale un angle α > 0 susceptible d’être ajusté.

Le mouvement de ce point, étudié dans le référentiel terrestre (0; 𝑒x, 𝑒y, 𝑒z, t), est tel que son accélération est constante :

1. Exprimer les composantes du vecteur vitesse �⃗� (M /ℛ) à l’instant t puis les équations horaires du mouvement. 2. En déduire l’équation de la trajectoire de M et préciser la nature de celle-ci. 3. A quel instant tS le sommet S de cette trajectoire est-il atteint ? Quelle sont ses coordonnées xS et zS ? 4. Quelle est la portée OP du projectile, c'est-à-dire le point P où la trajectoire coupe l’axe (Ox). A quel instant tP ce point est-il atteint ? Quelle est la norme du vecteur vitesse en P ? 5. A v0 fixe, quelle est la portée maximale ? De quoi dépend-elle ? 6. Calculer pour chaque angle α ∈{15°,30°,45°,60°,75°,90°}, avec un même v0, le sommet et la portée de la trajectoire (faire un tableau). Représenter toutes ces trajectoires. 7. Montrer qu’il existe deux valeurs de α pour lesquelles ces trajectoires issues de l’origine O atteignent une même cible C dans le plan (Oxy). 8. Rechercher l’ensemble des points du plan (Oxy) accessibles au projectile lancé de O avec une vitesse initiale �⃗�0 de norme constante mais de direction quelconque. Vous déterminerez pour cela l’équation de la ≪ parabole de sureté ≫ séparant les points du plan pouvant être atteint par le projectile de ceux qui ne le seront jamais.

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Exercice 1.5 : Mouvement rectiligne sinusoïdal Dans le repère orthonormé R (O, 𝑖, 𝑗) les équations paramétriques du mouvement d’un point mobile M sont : x = A cosωt et y = A sinωt avec A = 10 cm et ω = 10 rad/s a- Donner les composantes de la vitesse v. Que peux- t- on dire de v ?

b- Donner les composantes du vecteur accélération. Que peux – t – on dire de a ?

c- Calculer le produit �⃗�.�⃗� . Que peux –t- on en conclure ?

d- Calculer et représenter les vecteurs �⃗� et �⃗� à t = π/20 s. Préciser l’échelle choisie.

Exercice 1.6 : Comète autour du soleil Une comète se déplace dans le système solaire. Sa position a pour expression :

Où O est l'origine du repère (le soleil) et t représente le temps exprimé en secondes. On suppose que la comète reste dans le plan (x O y) (z=0). 1. Déterminez les composantes du vecteur vitesse �⃗� et du vecteur accélération �⃗�. 2. En partant de l'expression de l'accélération normale en fonction du rayon de courbure ρ, démontrez la

relation : ρ = 𝑣3

‖�⃗⃗�𝑥�⃗⃗�‖

En déduire le rayon de courbure ρ de la trajectoire en fonction de t. 3. Déterminez les composantes de l'accélération tangentielle �⃗�t.

4. En déduire les composantes de l'accélération normale �⃗�n. Vérifiez que :

Exercice 1.7 : Mouvement 2D Un point P se déplace dans un plan Oxy, ses coordonnées à l’instant t sont données par :

Avec α = 1 m/s et τ = 1 s. On demande de : a) trouver l’équation cartésienne de la trajectoire, de représenter la courbe correspondante entre 0 et 4 s;

b) calculer les composantes cartésiennes de �⃗� et �⃗� ainsi que leurs normes ;

c) calculer les composantes intrinsèques de �⃗� (at et an) ;

d) déterminer les caractéristiques du mouvement d’après le tableau des variations de v et at ;

e) calculer le rayon de courbure lorsque t =3 s.

Exercice 1.8 : Mouvement rectiligne - Etude graphique Le graphe suivant représente le diagramme des espaces d’un mobile se déplaçant sur une trajectoire rectiligne.

1- Tracer, qualitativement le diagramme des espaces en fonction du temps. 2- Tracer le graphe de l’accélération en fonction du temps.

3- Donner la nature du mouvement dans les différentes phases. Justifier.

4- Quelle est la distance parcourue par le mobile entre 0 et 7 s

5- Représenter les vecteurs vitesses et accélérations aux instants t= 3 et 6 s. Exercice 1.9 : Mouvement rectiligne - Dépassement Une voiture A est arrêtée à un feu rouge .Le feu devient vert et A démarre au même moment, une deuxième voiture B la dépasse, roulant à vitesse constante. Leurs courbes de vitesse en fonction du temps sont représentées sur la même figure ci-dessous.

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1°)- Combien de temps la voiture A a-t-elle mis pour avoir la même vitesse que la voiture B ? 2°)- A ce moment, à quelle distance en avant de la voiture A se trouve la voiture B ? 3°)- Quelle est la voiture qui est en tête et de combien après 0.01h ? 4°)- A quel instant la voiture A rattrape –t- elle la voiture B ?

Exercice 1.10 : Mouvement rectiligne sinusoïdal

I) Un mobile se déplace sur un segment de droite de longueur L = 4cm. Il est animé d’un mouvement rectiligne

sinusoïdal et met 0,1s pour parcourir ce segment.

1) A la date t = 0, le mobile se trouve à l’élongation maximale positive. Ecrire l’équation horaire du

mouvement du mobile. 2) A quelles dates le mobile passe-t-il par l’élongation x = 1cm ?

II) Une particule effectue un mouvement rectiligne sinusoïdale tel que son accélération à la fin de sa

trajectoire ait une intensité de 8.103m.s-2 et que sa vitesse à la position d’équilibre soit de 4m.s-1 en valeur

absolue. Trouver pour ce mouvement :

1) La fréquence N.

2) L’amplitude Xm.

3) L’équation horaire, sachant qu’à la date t = 0s elle passe par la position d’élongation x = - 𝑋𝑚

2 en allant dans

le sens négatif.

III) Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdale sur un axe x’x. Son élongation à la date t est : x

(t) = A cosωt + B sinωt, x est en mètres et t en secondes.

A la date t = 0s, le mobile passe par l’élongation x = 4m, se déplace dans le sens positif avec une vitesse initiale

Vo = 15m.s-1 et une accélération initiale d’intensité 102m.s-2.

1) Déterminer les valeurs numériques de A, B et ω.

2) Mettre l’équation horaire du mouvement sous la forme x (t) = Xm cos (ωt + φ).

3) A quelle date t1, le mobile passe-t-il pour la première fois par l’abscisse x1 = 2,5m en allant dans le sens

positif ?

4) Le mouvement du mobile à la date t1 est-il accéléré ou retardé?

5) Exprimer en fonction de n, la date à laquelle le mobile passe par l’abscisse x1 = 2,5m pour la nième fois en

allant le sens négatif.

Exercice 1.11 : Mouvement circulaire

Les équations horaires du mouvement d’un mobile sont :

x = Acos4πt y = Acos (4πt – π/2) avec A = 50cm

1- Montrer que la valeur du vecteur vitesse est constante. La calculer. 2- Même question pour le vecteur accélération. 3- Quelle est la nature de la trajectoire de M ? Que représente A pour cette trajectoire ? 4- Préciser la direction et le sens du vecteur accélération.

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Exercice 1.12 : Rotation d’un tourne-disque Un tourne-disque, posé sur une table fixe (choix du référentiel du laboratoire R) comporte un plateau de centre O, de rayon R = 16cm tournant à la vitesse de 33 tours.min-1 supposée constante. 1. Quel est le mouvement d’un point M du plateau tel que OM=r=10cm dans R ? 2. Quelle est la vitesse angulaire ω0 de rotation du point M en rad.s-1 ou en °.s-1 dans R ? 3. Quelle est la vitesse instantanée du point M et celle d’un point P de la périphérie du plateau dans R ? 4. Quelle est la distance parcourue par le point M en t1=2min30s dans R ? Quelle est la valeur de l’angle balayé par le rayon OM pendant ces 2min30s ? 5. Quel est le vecteur accélération du point M à la date t1 dans R ? 6. A l’instant t1, une phase de freinage débute et le plateau s’immobilise à t2=2min40s. Dans cette phase, ω est donné par α-βt. Déterminer les paramètres de freinage α et β. Quels sont la vitesse instantanée du point M et le vecteur accélération à la date t3 dans R ? 7. Faire l’AN à t3 = 2min35s pour �⃗�M. Exercice 1.13 : Mouvements rectiligne exponentiel Un point mobile M se déplace le long de l’axe Ox. Son abscisse x est fonction du temps :

1. Quelles sont les dimensions des paramètres a et τ ? 2. Quelle est la valeur finale de x, au bout d’un temps très long ? 3. Calculer la vitesse moyenne entre les dates t1=0,400τ et t2=0,600τ. On l’exprimera en fonction du rapport a/τ et d’un coefficient numérique que l’on calculera. 4. Un capteur mesure les dates de passages ti en différents points d’abscisses xi. Les résultats sont reportés sur le tableau suivant :

4.a) D’après la loi exponentielle de x en fonction du temps, comment exprime-t-on t en fonction de x ? 4.b) Vérifier que les valeurs mesurées vérifient bien une telle loi. Par identification, calculer les valeurs de a et de τ.