1. Exo7 Tous les exercices Table des matires 1 100.01 Logique
13 2 100.02 Ensemble 16 3 100.03 Absurde et contrapose 20 4 100.04
Rcurrence 21 5 100.05 Relation dquivalence, relation dordre 25 6
100.99 Autre 31 7 101.01 Application 32 8 101.02 Injection,
surjection 35 9 101.03 Bijection 37 10 101.99 Autre 38 11 102.01
Binme de Newton et combinaison 38 12 102.02 Cardinal 43 13 102.99
Autre 48 14 103.01 Divisibilit, division euclidienne 51 15 103.02
Sous-groupes de Z 58 16 103.03 Pgcd, ppcm, algorithme dEuclide 59
17 103.04 Nombres premiers, nombres premiers entre eux 68 18 103.99
Autre 72 19 104.01 Forme cartsienne, forme polaire 72 20 104.02
Racine carre, quation du second degr 76 1
2. 21 104.03 Racine n-ieme 80 22 104.04 Gomtrie 84 23 104.05
Trigonomtrie 90 24 104.99 Autre 97 25 105.01 Division euclidienne
99 26 105.02 Pgcd 104 27 105.03 Racine, dcomposition en facteurs
irrductibles 107 28 105.04 Fraction rationnelle 117 29 105.99 Autre
127 30 106.01 Dnition, sous-espace 138 31 106.02 Systme de vecteurs
144 32 106.03 Somme directe 151 33 106.04 Base 154 34 106.05
Dimension 161 35 106.99 Autre 166 36 107.01 Dnition 166 37 107.02
Image et noyau, thorme du rang 169 38 107.03 Morphismes
particuliers 181 39 107.99 Autre 189 40 108.01 Proprits lmentaires,
gnralits 190 41 108.02 Noyau, image 201 42 108.03 Matrice et
application linaire 203 43 108.04 Exemples gomtriques 210 44 108.05
Inverse, mthode de Gauss 210 45 108.06 Changement de base, matrice
de passage 214 46 108.99 Autre 216 47 120.01 Les rationnels 223 48
120.02 Maximum, minimum, borne suprieure 228 49 120.99 Autre 232 50
121.01 Convergence 237 2
3. 51 121.02 Suite dnie par une relation de rcurrence 250 52
121.03 Suites quivalentes, suites ngligeables 257 53 121.04 Suite
rcurrente linaire 263 54 121.05 Suite de Cauchy 266 55 121.06 Suite
dans Rn 267 56 121.99 Autre 268 57 122.01 Srie termes positifs 269
58 122.02 Convergence absolue 274 59 122.03 Sries semi-convergentes
276 60 122.04 Sries alternes 276 61 122.05 Familles sommables 277
62 122.06 Fonction exponentielle complexe 279 63 122.99 Autre 281
64 123.01 Continuit : thorie 295 65 123.02 Continuit : pratique 303
66 123.03 Limite de fonctions 306 67 123.04 Etude de fonctions 313
68 123.05 Fonction continue par morceaux 321 69 123.06 Fonctions
quivalentes, fonctions ngligeables 322 70 123.99 Autre 323 71
124.01 Calculs 324 72 124.02 Thorme de Rolle et accroissements nis
328 73 124.03 Applications 331 74 124.04 Fonctions convexes 333 75
124.99 Autre 336 76 125.01 Formule de Taylor 346 77 125.02 Calculs
350 78 125.03 Applications 358 79 125.04 Dveloppements limits
implicites 364 80 125.05 Equivalents 365 3
4. 81 125.99 Autre 366 82 126.01 Fonctions circulaires inverses
367 83 126.02 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses 374
84 126.99 Autre 378 85 127.01 Thorie 378 86 127.02 Somme de Riemann
389 87 127.03 Longueur, aire, volume 391 88 127.04 Intgration laide
dune fonction auxiliaire 393 89 127.05 Changement de variables 393
90 127.06 Intgration par parties 396 91 127.07 Polynme en sin, cos
ou en sh, ch 397 92 127.08 Fraction rationnelle 398 93 127.09
Fraction rationnelle en sin, cos ou en sh, ch 401 94 127.10
Intgrale ablienne 402 95 127.11 Primitives diverses 403 96 127.12
Intgrale impropre 409 97 127.99 Autre 425 98 200.01 Forme
multilinaire 430 99 200.02 Calcul de dterminants 432 100 200.03
Systme linaire, rang 451 101 200.04 Applications 468 102 200.99
Autre 470 103 201.01 Valeur propre, vecteur propre 474 104 201.02
Diagonalisation 486 105 201.03 Polynme caractristique, thorme de
Cayley-Hamilton 514 106 201.04 Sous-espace stable 517 107 201.05
Trigonalisation 521 108 201.06 Rduction de Jordan 523 109 201.07
Applications 526 110 201.08 Polynme annulateur 537 4
5. 111 201.99 Autre 544 112 202.01 Endomorphisme du plan 548
113 202.02 Endomorphisme auto-adjoint 549 114 202.03 Autres
endomorphismes normaux 553 115 202.04 Endomorphisme orthogonal 553
116 202.99 Autre 559 117 203.01 Groupe, sous-groupe 566 118 203.02
Ordre dun lment 578 119 203.03 Morphisme, isomorphisme 580 120
203.04 Anneau 581 121 203.05 Idal 587 122 203.06 Algbre, corps 588
123 203.07 Groupe de permutation 591 124 203.99 Autre 599 125
204.01 Produit scalaire, norme 604 126 204.02 Forme quadratique 618
127 204.03 Espace orthogonal 624 128 204.04 Projection, symtrie 624
129 204.05 Orthonormalisation 633 130 204.06 Espace vectoriel
euclidien de dimension 3 638 131 204.07 Endomorphismes
auto-adjoints 643 132 204.08 Espaces vectoriels hermitiens 650 133
204.09 Problmes matriciels 654 134 204.99 Autre 658 135 205.01
Arithmtique de Z 659 136 205.02 Anneau Z/nZ, thorme chinois 663 137
205.03 Groupe ni commutatif 667 138 205.04 Arithmtique de K[X] 667
139 205.05 Corps ni 667 140 205.06 Applications 667 5
6. 141 205.99 Autre 667 142 220.01 Convergence normale 667 143
220.02 Critres de Cauchy et dAlembert 667 144 220.03 Rayon de
convergence 667 145 220.04 Proprits de la sommme dune srie entire
669 146 220.05 Calcul de la somme dune srie entire 669 147 220.06
Dveloppement en srie entire 672 148 220.07 Etude au bord 675 149
220.08 Equations diffrentielles 676 150 220.09 Intgrales 678 151
220.10 Analycit 678 152 220.99 Autre 680 153 221.01 Calcul de
coefcients 682 154 221.02 Convergence, thorme de Dirichlet 687 155
221.03 Formule de Parseval 688 156 221.99 Autre 690 157 222.01
Convergence simple, uniforme, normale 692 158 222.02 Continuit,
drivabilit 698 159 222.03 Suites et sries dintgrales 700 160 222.04
Suite et srie de matrices 701 161 222.99 Autre 703 162 223.01
Limite 709 163 223.02 Continuit 712 164 223.03 Diffrentiabilit 715
165 223.04 Drive partielle 722 166 223.05 Diffrentielle de
fonctions composes 734 167 223.06 Diffrentielle seconde 734 168
223.07 Extremums locaux 736 169 223.08 Fonctions implicites 741 170
223.99 Autre 742 6
7. 171 224.01 Intgrale multiple 744 172 224.02 Calcul approch
dintgrale 752 173 224.03 Intgrale de Riemann dpendant dun paramtre
752 174 224.04 Tranforme de Laplace et transforme de Fourier 764
175 224.99 Autre 764 176 225.01 Rsolution dquation diffrentielle du
premier ordre 764 177 225.02 Rsolution dquation diffrentielle du
deuxime ordre 767 178 225.03 Raccordement de solutions 772 179
225.04 Equations diffrentielles linaires 772 180 225.05 Equations
diffrentielles non linaires 785 181 225.06 Equations aux drives
partielles 790 182 225.99 Autre 794 183 229.01 Ouvert, ferm,
intrieur, adhrence 794 184 229.02 Compacit 801 185 229.03 Borne
suprieure 804 186 229.04 Topologie de la droite relle 805 187
229.05 Topologie des espaces mtriques 806 188 229.06 Topologie des
espaces vectoriels norms 807 189 229.07 Connexit 823 190 229.08
Espaces complets 824 191 229.09 Fonctions vectorielles 825 192
229.10 Application linaire continue, norme matricielle 826 193
229.99 Autre 828 194 240.00 Gomtrie afne dans le plan et dans
lespace 830 195 240.01 Sous-espaces afnes 846 196 240.02
Applications afnes 848 197 240.03 Barycentre 853 198 240.04
Proprits des triangles 854 199 240.99 Autres 857 200 241.00
Isomtrie vectorielle 857 7
8. 201 242.01 Gomtrie afne euclidienne du plan 858 202 242.02
Gomtrie afne euclidienne de lespace 862 203 243.00 Conique 869 204
243.01 Ellipse 872 205 243.02 Parabole 873 206 243.03 Hyperbole 876
207 243.04 Quadrique 878 208 243.99 Autre 883 209 244.01 Courbes
paramtres 884 210 244.02 Coordonnes polaires 892 211 244.03 Courbes
dnies par une condition 895 212 244.04 Branches innies 898 213
244.05 Points de rebroussement 898 214 244.06 Enveloppes 899 215
244.07 Proprits mtriques : longueur, courbure,... 901 216 244.08
Courbes dans lespace 906 217 244.99 Autre 906 218 245.00 Analyse
vectorielle : forme diffrentielle, champ de vecteurs, circulation
908 219 245.01 Forme diffrentielle, champ de vecteurs, circulation
908 220 245.02 Torseurs 916 221 246.00 Autre 917 222 246.01 Plan
tangent, vecteur normal 917 223 246.02 Surfaces paramtres 917 224
260.01 Probabilit et dnombrement 920 225 260.02 Probabilit
conditionnelle 923 226 260.03 Variable alatoire discrte 926 227
260.04 Lois de distributions 931 228 260.05 Esprance, variance 933
229 260.06 Droite de rgression 934 230 260.07 Fonctions gnratrices
934 8
9. 231 260.99 Autre 934 232 261.01 Densit de probabilit 934 233
261.02 Loi faible des grands nombres 935 234 261.03 Convergence en
loi 935 235 261.04 Loi normale 935 236 261.99 Autre 936 237 262.01
Estimation 937 238 262.02 Tests dhypothses, intervalle de conance
937 239 262.99 Autre 941 240 300.00 Groupe quotient, thorme de
Lagrange 941 241 301.00 Ordre dun lment 944 242 302.00 Groupe
symtrique, dcomposition en cycles disjoints, signature 949 243
303.00 Sous-groupe distingu 950 244 304.00 Action de groupe 955 245
305.00 Groupe cyclique 962 246 306.00 Thorme de Sylow 962 247
307.00 Autre 965 248 310.00 Isomtrie euclidienne 965 249 311.00
Gomtrie diffrentielle lmentaire de Rn 968 250 312.00 Gomtrie et
trigonomtrie sphrique 969 251 313.00 Groupe orthogonal et
quaternions 970 252 314.00 Gomtrie projective 971 253 315.00
Gomtrie et trigonomtrie hyperbolique 974 254 316.00 Autre 976 255
320.00 Groupe 976 256 321.00 Sous-groupe, morphisme 982 257 322.00
Groupe ni 986 258 323.00 Anneau, corps 989 259 324.00 Polynme 1000
260 325.00 Extension de corps 1010 9
10. 261 326.00 Extension danneau 1012 262 327.00 Autre 1014 263
350.00 Varit 1014 264 351.00 Immersion, submersion, plongement 1014
265 352.00 Sous-varit 1014 266 353.00 Espace tangent, application
linaire tangente 1017 267 354.00 Champ de vecteurs 1017 268 355.00
Forme diffrentielle 1020 269 356.00 Orientation 1022 270 357.00
Intgration sur les varits 1022 271 358.00 Autre 1022 272 370.00
Diffrentiabilit, calcul de diffrentielles 1022 273 371.00
Diffrentielle dordre suprieur, formule de Taylor 1031 274 372.00
Diffomorphisme, thorme dinversion locale et des fonctions
implicites 1034 275 373.00 Extremum, extremum li 1042 276 374.00
Autre 1048 277 380.00 Solution maximale 1049 278 381.00 Thorme de
Cauchy-Lipschitz 1057 279 382.00 Systme linaire coefcients
constants 1059 280 383.00 Etude qualititative : quilibre, stabilit
1063 281 384.00 Equation aux drives partielles 1063 282 385.00
Autre 1065 283 400.00 Tribu, fonction mesurable 1070 284 401.00
Mesure 1072 285 402.00 Lemme de Fatou, convergence monotone 1072
286 403.00 Thorme de convergence domine 1074 287 404.00 Intgrales
multiples, thorme de Fubini 1076 288 405.00 Intgrale dpendant dun
paramtre 1077 289 406.00 Espace Lp 1077 290 407.00 Transforme de
Fourier 1081 10
11. 291 408.00 Autre 1082 292 420.00 Espace topologique, espace
mtrique 1088 293 421.00 Compacit 1105 294 422.00 Continuit,
uniforme continuit 1115 295 423.00 Application linaire borne 1125
296 424.00 Espace vectoriel norm 1128 297 425.00 Espace mtrique
complet, espace de Banach 1138 298 426.00 Thorme du point xe 1145
299 427.00 Espace de Hilbert, thorme de projection 1149 300 428.00
Thorme de Baire 1149 301 429.00 Dualit, topologie faible 1150 302
430.00 Connexit 1152 303 431.00 Autre 1157 304 432.00 Thorme de
Stone-Weirstrass, thorme dAscoli 1159 305 440.00 Fonction
holomorphe 1161 306 441.00 Fonction logarithme et fonction
puissance 1173 307 442.00 Formule de Cauchy 1178 308 443.00
Singularit 1193 309 444.00 Thorme des rsidus 1196 310 445.00
Tranforme de Laplace et de Fourier 1216 311 446.00 Autre 1220 312
450.00 Interpolation polynomiale 1240 313 451.00 Courbe de Bzier,
spline 1240 314 452.00 Intgration numrique 1240 315 453.00 Mthode
de Newton 1240 316 454.00 Rsolution dquation diffrentielle 1240 317
455.00 Rsolution de systmes linaires : mthode directe 1240 318
456.00 Rsolution de systmes linaires : mthode itrative 1240 319
457.00 Rsolution de systmes linaires : mthode de gradient 1240 320
458.00 Calcul de valeurs propres et de vecteurs propres 1240
11
12. 321 459.00 Autre 1240 322 470.00 Fonction convexe 1252 323
471.00 Multiplicateurs de Lagrange 1254 324 472.00 Algorithme
dUzawa 1254 325 473.00 Algorithme du simplexe 1254 326 474.00 Autre
1254 327 480.00 Loi, indpendance, loi conditionnelle 1254 328
481.00 Variance, covariance, fonction gnratrice 1256 329 482.00
Convergence de variables alatoires 1257 330 483.00 Lois des grands
nombres, thorme central limite 1257 331 484.00 Estimateur 1257 332
485.00 Tests sur la moyenne, test du chi2 1257 333 486.00 Chanes de
Markov 1257 334 487.00 Autre 1257 12
13. 1 100.01 Logique Exercice 1 Soient R et S des relations.
Donner la ngation de R S. [000104] Exercice 2 Dmontrer que (1 = 2)
(2 = 3). Correction [000105] Exercice 3 Soient les quatre
assertions suivantes : (a) x R y R x+y > 0 ; (b) x R y R x+y
> 0 ; (c) x R y R x+y > 0 ; (d) x R y R y2 > x. 1. Les
assertions a, b, c, d sont-elles vraies ou fausses ? 2. Donner leur
ngation. Indication Correction Vido [000106] Exercice 4 Soit f une
application de R dans R. Nier, de la manire la plus prcise
possible, les noncs qui suivent : 1. Pour tout x R f(x) 1. 2.
Lapplication f est croissante. 3. Lapplication f est croissante et
positive. 4. Il existe x R+ tel que f(x) 0. 5. Il existe x R tel
que quel que soit y R, si x < y alors f(x) > f(y). On ne
demande pas de dmontrer quoi que ce soit, juste dcrire le contraire
dun nonc. Correction Vido [000107] Exercice 5 Complter les
pointills par le connecteur logique qui simpose : , , . 1. x R x2 =
4 ...... x = 2 ; 2. z C z = z ...... z R ; 3. x R x = ...... e2ix =
1. Correction Vido [000108] Exercice 6 Dans R2, on dnit les
ensembles F1 = {(x,y) R2, y 0} et F2 = {(x,y) R2, xy 1, x 0}. On
note M1M2 la distance usuelle entre deux points M1 et M2 de R2.
valuer les propositions suivantes : 1. ]0,+[ M1 F1 M2 F2 M1M2 <
2. M1 F1 M2 F2 ]0,+[ M1M2 < 3. ]0,+[ M1 F1 M2 F2 M1M2 < 4. M1
F1 M2 F2 ]0,+[ M1M2 < Quand elles sont fausses, donner leur
ngation. Indication Correction Vido [000109] Exercice 7 13
14. Nier la proposition : tous les habitants de la rue du Havre
qui ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront leur retraite
avant 50 ans. Correction Vido [000110] Exercice 8 crire la ngation
des assertions suivantes o P,Q,R,S sont des propositions. 1. P Q,
2. P et non Q, 3. P et (Q et R), 4. P ou (Q et R), 5. (P et Q) (R
S). Correction [000111] Exercice 9 Nier les assertions suivantes :
1. tout triangle rectangle possde un angle droit ; 2. dans toutes
les curies, tous les chevaux sont noirs ; 3. pour tout entier x, il
existe un entier y tel que, pour tout entier z, la relation z <
x implique le relation z < x+1 ; 4. > 0 > 0 (|x7/5| <
|5x7| < ). Correction Vido [000112] Exercice 10 Le missionnaire
et les cannibales Les cannibales dune tribu se prparent manger un
missionnaire. Dsirant lui prouver une dernire fois leur respect de
la dignit et de la libert humaine, les cannibales proposent au
missionnaire de dcider lui-mme de son sort en faisant une courte
dclaration : si celle-ci est vraie, le missionnaire sera rti, et il
sera bouilli dans le cas contraire. Que doit dire le missionnaire
pour sauver sa vie ? (daprs Cervants) [000113] Exercice 11 La
proposition PQ (P)Q est-elle vraie ? [000114] Exercice 12 On
suppose que la proposition P est vraie ainsi que les propositions
suivantes : 1. (Q)P S. 2. S (P)Q. 3. P RS. 4. SQ P. 5. R(SQ) T. 6.
R (P)(Q). La proposition T est-elle vraie ? [000115] Exercice 13
Ecrire la ngation des phrases suivantes : 1. (x)(n)/(x n). 2.
(M)/(n)(|un| M). 14
15. 3. (x)(y)(xy = yx). 4. (x)(y)/(yxy1 = x). 5. ( > 0)(N
N)/(n N)(|un| < ). 6. (x R)( > 0)( > 0)/(f F)(y R)(|xy|
< |f(x) f(y)| < ). [000116] Exercice 14 Comparer les
diffrentes phrases (sont-elles quivalentes, contraires, quelles
sont celles qui impliquent les autres...) 1. (x)(y)/(x y). 2.
(x)(y)(x y). 3. (x)(y)/(x y). 4. (x)/(y)(x y). 5. (x)/(y)(y <
x). 6. (x)(y)/(y < x). 7. (x)(y)/(x = y). [000117] Exercice 15
Si P(x) est une proposition dpendant de x X, on note P = {x X/P(x)
est vraie}. Exprimer en fonction de P et Q les ensembles P,PQ,PQ,P
Q,P Q. [000118] Exercice 16 Montrer que > 0 N N tel que (n N 2
< 2n+1 n+2 < 2+). Indication Correction Vido [000119]
Exercice 17 Soient f,g deux fonctions de R dans R. Traduire en
termes de quanticateurs les expressions suivantes : 1. f est majore
; 2. f est borne ; 3. f est paire ; 4. f est impaire ; 5. f ne
sannule jamais ; 6. f est priodique ; 7. f est croissante ; 8. f
est strictement dcroissante ; 9. f nest pas la fonction nulle ; 10.
f na jamais les mmes valeurs en deux points distincts ; 11. f
atteint toutes les valeurs de N ; 12. f est infrieure g ; 13. f
nest pas infrieure g. 15
16. Correction Vido [000120] Exercice 18 **IT Exprimer laide de
quanticateurs les phrases suivantes puis donner leur ngation. 1. (
f tant une application du plan dans lui-mme) (a) f est lidentit du
plan. (b) f a au moins un point invariant (on dit aussi point xe).
2. ( f tant une application de R dans R) (a) f est lapplication
nulle. (b) Lquation f(x) = 0 a une solution. (c) Lquation f(x) = 0
a exactement une solution. 3. ((un)nN tant une suite relle) (a) La
suite (un)nN est borne. (b) La suite (un)nN est croissante. (c) La
suite (un)nN est monotone. Correction [005103] Exercice 19 *IT
Donner la ngation des phrases suivantes 1. x 3 2. 0 < x 2.
Correction [005104] Exercice 20 **IT Les phrases suivantes
sont-elles quivalentes ? 1. x R, (f(x) = 0 et g(x) = 0) et (x R,
f(x) = 0) et (x R, g(x) = 0) . 2. x R, (f(x) = 0 ou g(x) = 0) et (x
R, f(x) = 0) ou (x R, g(x) = 0) . Donner un exemple de fonctions f
et g de R dans R, toutes deux non nulles et dont le produit est
nul. Correction [005105] 2 100.02 Ensemble Exercice 21 Montrer que
/0 X, pour tout ensemble X. [000121] Exercice 22 Montrer par
contraposition les assertions suivantes, E tant un ensemble : 1.
A,B P(E) (AB = AB) A = B, 2. A,B,C P(E) (AB = AC et AB = AC) B = C.
Correction Vido [000122] Exercice 23 Soit A,B deux ensembles,
montrer (AB) = A B et (AB) = A B. Indication Correction Vido
[000123] 16
17. Exercice 24 Soient E et F deux ensembles, f : E F. Dmontrer
que : A,B P(E) (A B) (f(A) f(B)), A,B P(E) f(AB) f(A) f(B), A,B
P(E) f(AB) = f(A) f(B), A,B P(F) f1(AB) = f1(A) f1(B), A P(F) f1(F
A) = Ef1(A). Correction Vido [000124] Exercice 25 A et B tant des
parties dun ensemble E, dmontrer les lois de Morgan : A B = (AB) et
A B = (AB). [000125] Exercice 26 Dmontrer les relations suivantes :
A(BC) = (AB)(AC) et A(BC) = (AB)(AC). [000126] Exercice 27 Montrer
que si F et G sont des sous-ensembles de E : (F G F G = G) et (F G
F G = E). En dduire que : (F G F G = F) et (F G F G = /0). [000127]
Exercice 28 Soit E et F des ensembles. Si A E et B F montrer que AB
E F. [000128] Exercice 29 Soit A = {a1,a2,a3,a4} et B =
{b1,b2,b3,b4,b5}. crire le produit cartsien A B. Quel est le nombre
de parties de AB ? [000129] Exercice 30 Soit E un ensemble n
lments. Quel est le nombre dlments de Ep ? Quel est le nombre de
parties de Ep ? [000130] Exercice 31 x, y, z tant des nombres rels,
rsoudre le systme : (x1)(y2)z = 0 (x2)(y3) = 0 Reprsenter
graphiquement lensemble des solutions. [000131] 17
18. Exercice 32 Soit A une partie de E, on appelle fonction
caractristique de A lapplication f de E dans lensemble deux lments
{0,1}, telle que : f(x) = 0 si x / A 1 si x A Soit A et B deux
parties de E, f et g leurs fonctions caractristiques. Montrer que
les fonctions suivantes sont les fonctions caractristiques
densembles que lon dterminera : 1. 1 f. 2. fg. 3. f +g fg. [000132]
Exercice 33 Soit un ensemble E et deux parties A et B de E. On
dsigne par A B lensemble (A B)(A B). Dans les questions ci-aprs il
pourra tre commode dutiliser la notion de fonction caractristique.
1. Dmontrer que A B = (AB)(BA). 2. Dmontrer que pour toutes les
parties A, B, C de E on a (A B) C = A (B C). 3. Dmontrer quil
existe une unique partie X de E telle que pour toute partie A de E,
A X = X A = A. 4. Dmontrer que pour toute partie A de E, il existe
une partie A de E et une seule telle que A A = A A = X. [000133]
Exercice 34 1. crire lensemble de dnition de chacune des fonctions
numriques suivantes : x x, x 1 x1, x x+ 1 x1 . 2. Simplier
[1,3][2,4] et [1,3][2,4]. 3. Pour tout n N, on note nZ lensemble
des entiers relatifs multiples de n : nZ = {np | p Z}. Simplier
2Z3Z. [000134] Exercice 35 On dnit les cinq ensembles suivants : A1
= (x,y) R2 , x+y < 1 A2 = (x,y) R2 , |x+y| < 1 A3 = (x,y) R2
, |x|+|y| < 1 A4 = (x,y) R2 , x+y > 1 A5 = (x,y) R2 , |xy|
< 1 1. Reprsenter ces cinq ensembles. 2. En dduire une
dmonstration gomtrique de (|x+y| < 1 et |xy| < 1) |x|+|y|
< 1. 18
19. [000135] Exercice 36 Montrer que chacun des ensembles
suivants est un intervalle, ventuellement vide ou rduit un point I1
= + n=1 3,3+ 1 n2 et I2 = + n=1 2 1 n ,4+n2 . Correction [000136]
Exercice 37 Montrez que chacun des ensembles suivants est un
intervalle que vous calculerez. I = + n=1 1 n ,2+ 1 n et J = + n=2
1+ 1 n ,n Correction Vido [000137] Exercice 38 Soient E un ensemble
et A,B,C trois parties de E telles que AB = AC et AB = AC. Montrer
que B = C. [000138] Exercice 39 Soient E un ensemble et A,B,C trois
parties de E. Montrer que (AB)(BC)(C A) = (AB)(BC)(C A). [000139]
Exercice 40 Donner les positions relatives de A,B,C E si AB = BC.
[000140] Exercice 41 Est-il vrai que P(AB) = P(A)P(B) ? Et P(AB) =
P(A)P(B) ? [000141] Exercice 42 Montrer que AB = AC A B = A C.
[000142] Exercice 43 Donner la liste des lments de P(P({1,2})).
[000143] Exercice 44 Soient A,B E. Rsoudre les quations linconnue X
E 1. AX = B. 2. AX = B. Correction [000144] Exercice 45 Soient
E,F,G trois ensembles. Montrer que (E G)(F G) = (E F)G. [000145]
Exercice 46 Soient E,F,G,H quatre ensembles. Comparer les ensembles
(E F)(GH) et (E G)(F H). [000146] 19
20. Exercice 47 Soit E lensemble des fonctions de N dans
{1,2,3}. Pour i = 1,2,3 on pose Ai = { f E/ f(0) = i}. Montrer que
les Ai forment une partition de E. [000147] Exercice 48 **T A et B
sont des parties dun ensemble E. Montrer que : 1. (AB = AB) (A = B
= ). 2. (AB)(BC)(C A) = (AB)(BC)(C A). 3. AB = BA. 4. (AB)C =
A(BC). 5. AB = A = B. 6. AC = BC A = B. Correction [005112]
Exercice 49 ***IT Soient (Ai)iI une famille de parties dun ensemble
E indxe par un ensemble I et (Bi)iI une famille de parties dun
ensemble F indxe par un ensemble I. Soit f une application de E
vers F. Comparer du point de vue de linclusion les parties
suivantes : 1. f( iI Ai) et iI f(Ai) (recommencer par f(AB) si on
na pas les ides claires). 2. f( iI Ai) et iI f(Ai). 3. f(E Ai) et
Ff(Ai). 4. f1( iI Bi) et iI f1(Bi). 5. f1( iI Bi) et iI f1(Bi). 6.
f1(F Bi) et Ef1(Bi). Correction [005113] Exercice 50 ***I Thorme de
CANTOR 1. Montrer quil existe une injection de E dans P(E). 2. En
considrant la partie A = {x E/ x / f(x)}, montrer quil nexiste pas
de bijection f de E sur P(E). Correction [005117] 3 100.03 Absurde
et contrapose Exercice 51 Montrer que 2 / Q. [000148] Exercice 52
Soit X un ensemble et f une application de X dans lensemble P(X)
des parties de X. On note A lensemble des x X vriant x / f(x).
Dmontrer quil nexiste aucun x X tel que A = f(x). [000149] Exercice
53 20
