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7/28/2019 Chapitre 08 Exo
1/20
CHAP 8 Intgration et primitives 121
Application : Il sagit de rechercher une primitive du
type x
e
2
x
[Acos(3
x
) + Bsin(3
x
)] .
F(
x
) = e
2
x
et G(
x
) = e
2
x
.
1. a)
La parit def
est immdiate donc
f
est symtri-
que par rapport laxe (O
y
).
f
(
t
) = t
donc f
est strictement dcroissante sur
[0 ; +
[ ; de plus, f
(0) = 1 et = 0
+
.
b)
Pour tout rel x
n
0 , F(
x
) exprime laire en u.a. du
domaine
: ; F(x
) exprime loppos de
laire en u.a. du domaine
: ; or
et
ont mme aire, donc F(x
) = F(
x
) et F est impaire.
c)
Pour tout relx
de [0 ; +
[ , F
(
x
) =f
(
x
) = . Ainsi
F
> 0 et F est strictement croissante sur [0 ; +
[ .La limite de F en +
correspond laire sous la courbe
f
sur [0 ; +
[ , donc F(
x
) = .
2. a)
Pour tout entier n
n
1 ,
u
n
v
n
= .
b)
Pour tout n
, u
n
v
n
> 0 . On cherche alors un entier n
tel que < 10
2
soit n
> 10
2
a
.
On peut prendre pour n
(
a
) lentier :
n
(
a
) = E + 1 .
c)
Tableau des encadrements obtenus la calculatrice :
Lobjectif de ce TD est de relier les notions de cinmati-que au calcul intgral : expression intgrale de la distance parcourue par unmobile sur un axe ; vitesse moyenne et valeur moyenne de la fonction vitesse.
1.
Pour tout t
de [0 ; +
[ , y
(
t
) = v
(
t
) . Donc v
estune primitive dey
sur [0 ; +
[ .
2.
(
t
1
; t
2
) =y
(
t
2
) y
(
t
1
) = y
(
t
)d
t
= v
(
t
)d
t
.
Application numrique
Par intgration par parties :
(0 ; 10) = ,
do
(0 ; 10) = 10e + 90 , soit
(0 ; 10)
117 m .
1.
V
M
= .
2.
La valeur moyenne de la fonction v
sur [
t
1
; t
2
] est :
.
Application numrique
V
M
= = e + 9 ,
soit V
M
11,7 m s
1
.
matriser le cours (page 221)
a)
I(
f
) = 10 ;
b)
I(
f
) = 16 + ;
c)
I(
f
) = 3 .
I(
f) = I(f) = .
Dessin1. M(x ;y)
f x2 +y2 = 4 et yn 0 .
f
est le demi-cercle de centre O et de rayon 1 situ dansle demi-plan dquation yn 0 .2. I(f) = 2 .
Dessin1. M(x ;y)
f (x 1)2 + (y 1)2 = 2 et y 1 n 0 .
f
est le demi-cercle de centre A(1 ; 1) et de rayon
situ dans le demi-plan dquation yn 1 .2. I(f) = + 2 .
Corrig dans le manuel.
213------ 3x( )cos 3
13------ 3x( )sin+
313------ 3x( )cos 213------ 3x( )sin
2
et2
2----
f t( )t + lim
0 N tN x0 N y N f t( )
x N tN 00 N y N f t( )
ex2
2-----
x + lim 2
2----------
an--- f 0( ) f a( )[ ] a
n--- 1 e
a2
2-----
=
an--- 1 e
a2
2----- 1 ea
2
2-----
102a 1 ea
2
2-----
a n (a) F(a) 0,25 1 [0,24 ; 0,25]
0,5 6 [0,475 ; 0,485]
1 40 [0,85 ; 0,86]
1,5 102 [1,08 ; 1,09]
2 173 [1,19 ; 1,20]
3 297 [1,245 ; 1,255]
TD 6
1
t1
t2
t1t2
t 1+( )et
10------
dt010 10 t 1+( )e
t10------
0
10
10 et
10------
dt010=
2 y t2( ) y t1( )t2 t1
---------------------------- t1; t2( )
t2 t1--------------------=
1
t2 t1
-------------- v t( )dtt1
t2
t1; t2( )
t2 t1
-------------------- VM= =
110------ v t( )dt
010 0 ; 10( )10-----------------------=
Corrigs des exercices
1. et 2. Notion dintgrale.Premires proprits
f(x) =
si 1 NxN 1
si 1
7/28/2019 Chapitre 08 Exo
2/20
122
a) Pour toutx de [1 ; 2] :xNx2 xexNx2ex I N J .
b) Pour tout tde [0 ; 1] : n I n J .
c) Pour toutx de [0 ; 1] :
x2sinxNxsinx I N J .
a) Pour tout tde :
lntn ln lntdtn ln2 dt lntdtn .
b) Pour toutx de [1 ; 2] :
N .
c) Pour tout tde :
1 N sin(t2 + 1) N 1 N ,
(ingalit de la moyenne).
Corrig dans le manuel.
Les rsultats sobtiennent en utilisant lingalit de lamoyenne.a) Pour tout tde [0 ; 1] :
N N 1 N N 1 .
b) Pour toutx de [0 ; 2] :e 4N ex
2N 1 2e 4N N 2 .
c) Pour toutx de [2 ; 4] : ln3 N ln(x2 1) N ln15
2ln3 N N 2ln3 + 2ln5 .
= . Or, f
est le demi-cercle de cen-
tre O et de rayon 1 situ dans le demi-plan dquation
yn 0 , donc = et = .
a) = 3 = 6 ;b) = 2 = 2ln2 ;
c) .
a) Pour toutx de [0 ; 1] :
N N 1 N N 1 NN 1 .
b) Pour toutx de [1 ; e] :
0 N lnxN 1 0 N N e 1 0 NN 1 .
c) Pour toutx de [1 ; ] : e N ex2N e2
e( 1) N N e2( 1) e NN e2.
Commentaire : Si fest une fonction continue sur [a ;b], (a
7/28/2019 Chapitre 08 Exo
3/20
CHAP 8 Intgration et primitives 123
a) F(x) = . b) F(x) = .
c) F(x) = .
a) F(x) = .
b) F(x) = 3sinx + cos(2x) +x . c) F(x) = .
a) F(x) = . b) F(x) = .
c) F(x) = 2tanx x .
a) F(x) = ln(x 4) . b) F(x) = ln(4 x) .c) F(x) = ln(x x2) .
a) F(x) = . b) F(x) = .
c) F(x) = . d) F(x) = ecosx .
a) F(x) = ; I = .
b) F(x) = ; I = ]0 ; + [ .
c) F(x) = ; I = ; + .
a) F(x) = ; I = .
b) F(x) = ; I = .
c) F(x) = ; I = .
Corrig dans le manuel.
a) F(x) = ; I = .
b) F(x) = ; I = .
c) F(x) = ;
I = ]1 ; + [ .
a) I = 4 . b) I = 6 . c) I = ln2 .
a) I = 4 . b) I = 4 . c) I = . d) I = 1 .
a) I = . b) I = 2 . c) I = .
a) I = 2 2 . b) I = . c) I = . d) I = 0 .
a) I = 3 . b) I = . c) I = 3ln2 + 1 .d) I = 0 .
a) I = . b) I = (e3 1) .
c) I = . d) I = (1 e1) .
Corrig dans le manuel.
a) I = . b) I = .
c) I = .
I = ;
J = .
1.dsigne la courbe de la restriction def [0 ; 1] .M(x ; y) (x 1)2 + y2 = 1 , 0 NxN 1 , yn 0 .est le quart de cercle de centre A(1 ; 0) et de rayon 1dfini pour 0 NxN 1 et yn 0 .
2. I = .
J = .
a) I = .
b) J = .
c) K =
= .
1.f(x) = , .
2. I = .
1.f(x) = , (a = 4 , b = 17 , c = 52) .
2. I = = 26 + 52ln3 52ln5 .
Corrig dans le manuel.
1. 1 .
2. I = .
1. sin2a = , cos2a = .
2. sin4x =
=
= .
6. Calculs dintgrales
26 1x2 x 3+-----------------------
12 x2 2x 3( )----------------------------------
23 x3 8+( )2-------------------------
27 13--- 3x( )sin 12--- 2x( )cos
1
2
---
3
--- 2x
cos
28 12---sin2x 1
3---sin3x 3
2---sin2x 8 xsin+
29
30 e x 1+ 23--- e3x 2
ex
2
2-----
31 x3
3----- x2 12---x
2x---
x2
2-----
32---+ +
12 2x 1+( )-----------------------
12---+
12---
32 12--- 2x
4---
cos 24
-------
13---sin3x 2
3---+
4x2---sin 6
x2---cos 5 2+
33
34 13--- e3x 1+ e
2
3-------
12--- e x
254---+
x 1( )ln x 1+( )ln 3ln+ x2 13
-------------- ln=
35 236------
36 65---
37 158------
6ln4
--------
38 5 37---
12---
39 7 2
40 2ln 13--- 5ln 53---
e7 e3
--------------12---
41
42 14---
256
------ ln 2
e 1 e+-----------------
ln 21 e2+--------------
ln 1+=
5 5 13
-------------------
43 xdx01
1x---dx
13+ 12--- 3ln+=
1x---dx
21 xdx1
12---
+ 2ln 38---=
44
O 1
1
x
y
f
f x( )dx01 f x( )dx1
2+ 4--- 2ln+=
f x( )dx31 f x( )dx1
0+ 3ln 4---=
45 tln t tln+( )dt1
e tdt1
e e
2 12
--------------= =
1 t2+( )dln t11 0=
2tdcos t1
6---
2tdcos t76
------
1+ 2tdcos t76
------
6---
=
2tdcos t6---
6--- +
0=
46 1x2 9--------------
16---
1x 3----------- 1
6---
1x 3+------------= a 16--- , b
16---= =
16---
1x 3-----------dx
45
1x 3+------------ dx
45
13--- 2ln 1
6--- 7ln+ 1
6---
74---
ln= =
47 4x 17 52x 3+------------+
4x 17( )dx20 52
1x 3+------------ dx
20+
48
49 ex
1 ex+--------------
11 ex+--------------=
dx01
ex
1 ex+--------------dx
01 1 2ln 1 e+( )ln+=
50 1 2a( )cos 2-----------------------------1 2a( )cos+
2-----------------------------
1 2x( )cos2
-----------------------------2 1
4---
12--- 2x( )cos 14--- cos
2 2x( )+=
14--- 12--- 2x( )cos 14--- 1 4x( )cos+ 2-----------------------------+
38---
12--- 2x( )cos 18--- 4x( )cos+
7/28/2019 Chapitre 08 Exo
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124
3. I =
= .
a) I = .
(Poser u(x) = lnx , u(x) = , v(x) =x , v(x) = .)
b) I = e2 + 1 .
(Poser u(t) = ln t, u(t) = , v(t) = 1 , v(t) = t.)
a) I = 2 .(Poser u(x) =x 1, u(x) = 1 , v(x) = cosx , v(x) = sinx .)b) J = 2e 1 .(Poser u(x) =x + 2 , u(x) = 1 , v(x) = ex , v(x) = ex .)
a) I = . (Poser u(x) = 3x , u(x) = 3 , v(x) = sin(3x) ,
v(x) = cos(3x) .)
b) J = 3 5e1 .
(Poser u(x) = 2x + 1 , u(x) = 2 , v(x) = ex , v(x) = ex .)
Corrig dans le manuel.
F(x) = .
(Poser u(t) = t, u(t) = 1 , v(t) = cos t, v(t) = sint.)
F(x) = .
(Poser u(t) = ln t, u(t) = , v(t) = t2 , v(t) = .)
F(x) = .
(Poser u(t) = ln t, u(t) = , v(t) = , v(t) = .)
F(x) = .
(Poser u(t) = 2 t, u(t) = 2 , v(t) = , v(t) = 2 .)
pour apprendre chercher(page 225)
tablir une ingalit
Les outils :
Calcul intgral.
Expression dune aire par une intgrale.
Comparaison daires.
Les objectifs :
Savoir dmontrer une ingalit.
Savoir exprimer laccroissement dune fonction sous
forme intgrale.
1. a)Sur [a ; b], la fonction t sint est continue et positive
donc I = reprsente laire sous la courbesin .
b) Aire du trapze ABCD :
T = .
Le second terme de cette somme est positif donc :
Tn .
Ainsi I nTn , do :
cosa cosbN .
c) Lorsque a = 0 , le raisonnement prcdent sapplique
en considrant le triangle rectangle OBC, daire ,
et lingalit est encore vrifie. Lorsque b = , linga-lit dmontrer scrit cosa + 1 n 0 et elle est triviale-ment vrifie.
Rechercher une primitive
Les outils : Intgration par parties. Drivations successives.
Relations fonctionnelles.
Les objectifs : Savoir calculer une primitive.
Savoir prvoir une double intgration par parties.
Savoir tablir des relations entre drives successives.
1. a)f est continue sur do le rsultat daprs lethorme 7.b) Poser u (t) = sin(2 t) , u(t) = 2cos(2 t) , v (t) = e t ,
v(t) = et
, do le rsultat par intgration par parties.2. a) Par une seconde intgration par parties :
= .
b) F(x) = , do :
F(x) = .
3. a)f(x) = ex[2cos(2x) + sin(2x)] ;f(x) = ex[4cos(2x) 3sin(2x)] .
b)f(x) = f(x) + f(x) , .
c) Une primitive sur defest dfinie par :
x f(x) + f(x) = .
Note : On retrouve ( une constante prs) lexpression du 2. b).
Primitives de x P(x)e x
Les outils : Identification de deux critures polynomiales.
Drivation.
Forme intgrale dune primitive.
Intgration par parties.
Les objectifs : Savoir prouver lexistence dune primitive dun type donn. Savoir calculer sur des polynmes.
Savoir prvoir une triple intgration par parties.
38--- dx
0
8---
12--- 2x( )dcos x
0
8---
18--- 4x( )dcos x
0
8---
+364------
28
-------1
32------+
51 e2 1+4
--------------
1x---
x2
2-----
1t---
52
53 3---
13---
54
55 t tdcos tx
x xsin xcos 1+ +=
56 t2
tdln t1x
x3
3----- xln
x3
9-----1
9---+=1t---
t3
3----
57 tlnt2
-------dt1
x
xlnx--------1x--- 1+=
1t---
1t2----
1t---
58 2tet2---dt
0
x
4xex2---
8ex2---
8+=
et2---
et2---
59
tdsin ta
b
asin bsin+( ) b a( )2
---------------------------------------------------12--- b a( ) bsin 1
2--- b a( ) asin+=
12--- b a( ) bsin
1
2--- b a( ) bsin
12--- b a( ) bsin
12---b bsin
60
et 2t( )dcos t0x
ex 2x( )cos 1 2 et 2t( )dsin t
0x
+=ex 2x( )cos 1 2F x( )+
ex 2x( )sin 2 ex 2x( )cos 1 2F x( )+[ ]25--- ex 2x( )cos 15--- e
x 2x( )sin 25---+ +
15---
25--- a
15--- , b 2
5---= =
15---
25--- ex 2
5--- 2x( )cos 15--- 2x( )sin+
61
7/28/2019 Chapitre 08 Exo
5/20
CHAP 8 Intgration et primitives 125
1. Pour tout relx :
F (x) =f(x) ex(P (x) P(x)) = ex(x3 +x2 +x + 1) P (x) P(x) =x3 +x2 +x + 1 .
2. Immdiat : d(P) N 3 .
Note : Il est ais de prouver quen fait, d(P) = 3 .
3. Pour tout relx, ax3 + (3a b)x2 + (2b c)x + c + d =x3 +x2 +x + 1 ;
par identification des coefficients : a = 1 , b = 4 ,c = 9 , d = 10 et P(x) = x3 4x2 9x 10 .4. On vrifie aisment que x P(x)ex a pour drive
x f(x) . Ainsi F : x (x3 4x2 9x 10)e x estune primitive sur def.6. Par trois intgrations par parties successives :
F(x) =
=
= ex(x3 +x2 +x + 1) + 1 + G(x) [1] ;
G(x) =
=
= ex(3x2 + 2x + 1) + 1 + H(x) [2] ;
H(x) = =
= ex(6x + 2) + 2 + 6( ex + 1) [3].Do F(x) = ex(x3 4x2 9x 10) + 10 .F est la primitive de f, sur qui sannule en 0 do ,
x ex(x3 4x2 9x 10) est une primitive du typecherch.
Une suite dintgralesLes outils :
Intgration par parties.
Calcul algbrique.
Encadrements dintgrales.
Les objectifs :
Savoir calculer le terme gnral dune suite dintgrales.
Savoir tablir puis exploiter une relation de rcurrence.
Savoir prouver la convergence dune suite.
1. I0 = ; I1 = 1 .
2. a) Pour tout entier n (nn 2) :
In
=
=
= ,
soit In
= (n 1)(In 2 In) .
b) Do In
= In 2 .
3. Pour tout entier kn 1 :
I2k = ; I2k 2 = ; ; I4 = ;
I2 = .
a) Pour tout entier n, sinnx > 0 sur 0 ; , donc In > 0 .b) Par multiplication membre membre et simplification :
I2k = ,
soit I2k = .
Note : On peut exprimer I2k
laide de la notation factorielle :
I2k
= .
c) De mme :
I2k + 1 = ,
soit I2k + 1 = .
Note : On peut exprimer I2k+ 1
laide de la notation factorielle :
I2k
= .
Prolongement :
1. a) Pour toutx de 0 ; , 0 N sinxN 1 , do le ran-gement des puissances successives :
0 N sin2n + 1xN sin2nxN sin2n 1xN 1 .
b) Par intgration de ces ingalits sur 0 ; ,0 < I2n + 1N I2nN I2n 1N 1 .
Do n 1 et N ; or,
daprs 2. b), donc 1N N .
Daprs le thorme dencadrement, = 1 .
2. Daprs 4. :
.
Do un
= et un
= .
Convergence dune suite dintgrales
Les outils :
Comparaison de fonctions.
Sens de variation dune suite.
Thorme dencadrement.
Les objectifs :
Savoir tudier la convergence dune suite.
Savoir comparer des intgrales.
Savoir tablir et exploiter une relation de rcurrence.
1.Conjectures : (un) est dcroissante et convergente vers 0.
2. a) Pour tout tde [0 ; 1] , 0 Ntn + 1Nt
0 N N , do 0 Nfn + 1(t) Nfn(t) [1] .b) Par intgration de ces ingalits sur [0 ; 1], 0Nu
n + 1Nu
n
donc la suite (un) est dcroissante.
t3 t2 t 1+ + +( )e t dt0
x
e t t3 t2 t 1+ + +( )[ ]0
x e t 3t2 2t 1+ +( )dt0x
+
e t 3t2 2t 1+ +( )dt0
x
e t 3t2 2t 1+ +( )[ ]0
x e t 6t 2+( )dt0
x
+
e t 6t 2+( )dt0
x
e t 6t 2+( )[ ]0x e t dt
0
x
+
62
2---
tsinn 1 tsin dt0
2---
costsinn 1 t[ ]02---
n 1( ) cos2tsinn 2 tdt0
2---
+
n 1( ) 1 sin2t( ) sinn 2 tdt0
2---
n 1n
------------
2k 12k---------------I2k 2 2k 32k 2---------------I2k 4 34--- I2
12--- I0
2---
2k 12k
---------------2k 32k 2--------------- 3
4--- 1
2--- I0
2k 12k
---------------2k 32k 2--------------- 3
4--- 1
2---
2---
2k( )!22kk!( )2---------------------
2---
2k2k 1+---------------
2k 22k 1--------------- 4
5--- 2
3--- I1
2k2k 1+---------------
2k 22k 1--------------- 4
5--- 2
3--- 1
22kk!( )2
2k 1+( )!-----------------------
2---
2---
I2nI2n 1+--------------
I2nI2n 1+--------------
I2n 1I2n 1+--------------
I2n 1I2n 1+--------------
2n 1+2n
---------------=
I2n
I2n 1+--------------
2n 1+
2n
---------------
I2nI2n 1+--------------
n + lim
I2nI2n 1+--------------
1 3 2n 1( )2 4 2n
---------------------------------------------------2
2n 1+( ) 2---=
I2nI2n 1+--------------
2--- n + lim
2---
63
tn 1+
1 t+-----------tn
1 t+-----------
7/28/2019 Chapitre 08 Exo
6/20
126
c) Le graphique permet de conjecturer que cette limiteest 0 .
3. a) Pour tout tde [0 ; 1] ,
N N 1 Nfn(t) Ntn [2] .
b) Par intgration sur [0 ; 1] ,
NunN do 0 Nu
nN .
Daprs le thorme dencadrement, un
= 0 .
5. a) Daprs la remarque, fn(t) +f
n + 1(t) = tn ;
par intgration sur [0 ; 1] , un
+ un + 1
= [3] .
b)u1 =
= 1 ln2 .c) Pour tout nn 1, f
n(t) > 0 sur ]0 ; 1], donc u
n> 0 .
Daprs [3] , un
= , donc un
< .
Do lencadrement 0 Nun + 1
N , puis la conver-
gence de la suite (un) vers 0 .
pour progresser(page 228)
a) F(x) = .
b) F(x) = .
c) F(x) = . d) F(x) = .
a) F(x) = . b) F(x) = .
c) F(x) = . d) F(x) = ln( sinx) .
a) F(x) = . b) F(x) = .
c) F(x) = . d) F(x) = .
a) F(x) =xsinx . b) F(x) = .
c) F(x) = . d) F(x) = .
a) F(x) = . b) F(x) = ln(lnx) .
c) F(x) = ln(ex + ex) .
Corrig dans le manuel.
1. u(x) =
= .
2. Do v(x) = . Les primitives de v sur
sont dfinies par x [u(x) + 2tanx] + k , k.
Or V(0) = 0 , donc k = 0 et V(x) = .
f
(x
) = 1 + ; F(x
) =x
+ ln(x
1) .
f(x) = ; F(x) = .
f(x) = ; F(x) =x2 +x 2ln(x 2) .
a) F(x) = ln(x 3) + ln(x + 3) = ln(x2 9) .
b) F(x) = ln(3 x) + ln(x + 3) = ln(9 x2
) .c) F(x) = ln(3 x) + ln( 3 x) = ln(x2 9) .
f(x) = ;
F(x) = .
f(x) = ; F(x) = .
Corrig dans le manuel.
f(x) = ;
F(x) = .
f(x) = ;
F(x) = .
f(x) = ;
F(x) = .
f(x) = cosx(1 sin2x) = cosx cosxsin2x ;
F(x) = sinx sin3x .
f(x) = sinx(1 + sin2x) = sinx(2 cos2x) = 2sinx sinxcos2x ;
F(x) = 2cosx + cos3x .
f(x) = sinx[sin2xcos2x] = sinx(1 cos2x)cos2x= sinx[cos2x cos4x] ;
F(x) = .
f(x) = cosx[sin4
xcos4
x] = cosxsin4
x(1 sin2
x)2
= cosx[sin4x 2sin6x + sin8x] ;
F(x) = .
12---
11 t+-----------
12--- tn
12 n 1+( )--------------------
1n 1+------------
1n 1+------------
n + lim
1n 1+------------
t1 t+----------- dt
01 1 11 t+-----------
dt01 t 1 t+( )ln[ ]0
1= =
1n 1+------------ un 1+
1n 1+------------
1n 1+------------
Calculs de primitives
64 1
10
------ x2 2x 1+( )5
14---
12x2 2x 1+( )2
-------------------------------------
x2 2x 2+ 112------ 2x 1+( )6
65 23--- 3x 1+( )ln 1
3--- x3 1( )ln
13--- 1 x3( )ln
66 12--- e2x 1+ 2
3--- e 3x 2+
12--- e 2x--- e2
x 1+x 1+---------------
67 xsinx
----------------
xlnx
------------- x x 1+
68 12--- ln2x
69
70 cos4x 3sin2x cos2x+cos6x
---------------------------------------------------
cos2x 3 1 cos2x( )+cos4x
----------------------------------------------------3
cos4x-------------
2cos2x--------------=
13--- u x( ) 2
cos2x--------------+
0 ; 4---
13---
13---
xsincos3x------------- 2 xtan+
71
1x 1-----------
72 2 32x 1+---------------+ 2x 3
2--- 2x 1( )ln+
73 2x 1 2x 2-----------+
74
75 1 2x 2+------------
1x 2+( )2
-------------------+ +
x x 2( )ln 1x 2+------------+
76 2x 1 7x 3+( )2
-------------------+ x2 x7
x 3+------------+ +
77
78 3
4
---1
x 1( )2-------------------
1
4
---+ 1
x 1+( )2-------------------
34---
1x 1-----------
14--- 1
x 1+------------
79 12---
1x 1( )3
-------------------12---+ 1
x 1+( )3-------------------
14---
1x 1( )2
-------------------14--- 1
x 1+( )2-------------------
80 1x 1+( )3
-------------------1
x 1+( )4-------------------+
12---
1x 1+( )2
-------------------13--- 1
x 1+( )3-------------------
8113---
8213---
83
13--- cos3x 1
5--- cos5x+
84
15--- sin5x 2
7--- sin7x 1
9--- sin9x+
7/28/2019 Chapitre 08 Exo
7/20
CHAP 8 Intgration et primitives 127
Pour les exercices 85 88, la linarisation laide desnombres complexes a t aborde au chapitre 12, TD 3,page 336, mais elle peut aussi tre traite partir desformules :
sin2x= , cos2x= [1] .
f(x) = sin4x = ;
F(x) = .
Exemple de linarisation laide des formules [1].
f(x) =
=
=
= ;
F(x) = .
f(x) = sin2xcos4x =
= (e2ix 2 + e2ix)(e4ix + 4e2ix + 6 + 4e2ix + e4ix)
= [e6ix + e6ix + 2(e4ix + e4ix) (e2ix + e2ix) 4]
= ;
F(x) = .
f(x) = cos2xsin4 =
= (e2ix + 2 + e2ix)(e2ix 4eix + 6 4eix + e2ix)
= [e4ix + e4ix 4(e3ix + e3ix) + 8(e2ix + e2ix)
12(eix + e ix) + 14]
= ;
F(x) = .
Corrig dans le manuel.
1.f(x) = e2x(2cosx sinx) ;f(x) = e2x(3cosx 4sinx) .
2.f(x) = f(x) + f(x) , .
3. F(x) = f(x) + f(x), do F(x) = e2x(2cosx + sinx).
F(x) = (ax3 + bx2 + cx + d)e2x ;F (x) = e2x[2ax3 + (2b + 3a)x2 + (2c + 2b)x + 2d + c] .Pour tout relx,
F (x) =f(x) a = , b = , c = , d = .
F(x) = e2x .
1. Sil existe un tel polynme P, alors P est non cons-
tant et pour tout relx de ]1 ; + [ , F (x) = ,
soit : P (x) .
Do 2(x 1)P(x) + P(x) = 2x2(x 1) [1]. P est alors unpolynme de degr 3. On pose P(x) = ax3 + bx2 + cx + d .La condition [1] scrit :
7ax3 + (5b 6a)x2 + (3c 4b)x 2c + d = 2x3 2x2 ,do par identification des coefficients :
a = , b = , c = , d = .
On vrifie que le polynme P obtenu est bien solution.
Ainsi F(x) = .
2. Le taux daccroissement de F en 1 est dfini pour toutx > 1 par :
T(x) =
=
= ;
do = 0 .
F est drivable en 1 avec F (1) = 0 =f(0) donc F est uneprimitive defsur [1 ; + [ .
I = ; J = . I = ; J = 0 .
I = ; J = . I = ; J = 3(2 ) .
I = ; J = . I = ; J = e .
I = ; J = .
a = 1, b = 1, c = 1, I = 2ln2 ln3 ;
a = 1, b = 2, c = 3, J = 3ln2 .
I = ln2 ; J = ln2 .
, do :
I = .
, do J = .
a)fimpaire : I = 0 . b)fimpaire : I = 0 .
a)fimpaire : I = 0 . b)fimpaire : I = 0 .
1 2x( )cos2
-----------------------------1 2x( )cos+
2------------------------------
85 38---
12--- 2x( )cos 1
8--- 4x( )cos+
38---x 14--- 2x( )sin 132------ 4x( )sin+
86
cos4x cos2x[ ]2 1 2x( )cos+2
-----------------------------2
= =
14--- 1 2 2x( )cos cos2 2x( )+ +[ ]
14--- 1 2 2x( )cos 1 4x( )cos+
2-----------------------------+ +
38---
12--- 2x( )cos 1
8--- 4x( )cos+ +
38---x
14--- 2x( )sin
132------ 4x( )sin+ +
87 eix e ix
2i----------------------
2eix e ix+
2----------------------
4
164------
164------
132------ 6x( )cos 116------ 4x( )cos
132------ 2x( )cos 1
16------+ +
1192--------- 6x( )sin 164------ 4x( )sin
164------ 2x( )sin 116------x+ +
88 x2---
eix e ix+2
----------------------
2e
ix2---
eix2---
2i-----------------------
4
164------
164------
132------ 4x( )cos 1
8--- 3x( )cos 1
4--- 2x( )cos 3
8--- xcos 7
32------+ +
1128--------- 4x( )sin 1
24------ 3x( )sin 1
8--- 2x( )sin 3
8--- xsin 7
32------x+ +
89
90
15---
45--- a 1
5--- ; b 4
5---= =
15---
45---
15---
91
12--- 34--- 34--- 38---
12---x3
34---x2
34---x
38---+
Calculs dintgrales
92
x2 x 1
x 1 P x( )2 x 1-------------------+ x2 x 1=
27---
235------
8105---------
16105---------
27---x3
235------x2
8105---------x
16105---------
x 1
F x( ) F 1( )x 1
-----------------------------1
105---------
30x3 6x2 8x 16( ) x 1x 1
-----------------------------------------------------------------------=
1105--------- x 1( ) 30x2 24x 16+ +( ) x 1
x 1------------------------------------------------------------------------------
1105--------- 30x2 24x 16+ +( ) x 1
T x( )x 1+
lim
93 154------
548------ 94 12
---
95 5ln2
--------12--- 3ln 3
2--- 2ln 96 4
3--- 2
97 2---6--- 98 e
7 e53
---------------- e12---
99 23---
524------
14---
38
-------
100 16---
52---
101
102
2xx 1( ) x 2+( )----------------------------------
23---
1x 1-----------
43---+ 1
x 2+------------=
43--- 5ln 2 2ln
x2 3x 1+ +2x 3+
---------------------------12---x
34---
54--- 1
2x 3+---------------= 9
2---
58--- 3ln
103
104
7/28/2019 Chapitre 08 Exo
8/20
128
1. I1 = .
2. I1 + I2 = , do :
I2 = (I1 + I2) I1 = .
Corrig dans le manuel.
f(x) = (1 x)ex ; f(x) = xex ; f(x) = (x 1)ex ;do f(x) +f(x) = 2f(x) .
f(x) = 2f(x) f(x) donc une primitive de f sur estdfinie par F(x) = 2f(x) f(x) = (2 x)ex . Do :
I = F(1) F(0) = e 2 .
f(x) =xsinx ; f(x) = sinx +xcosx ;f(x) = 2cosx xsinx ; do f(x) +f(x) = 2cosx .f(x) = 2cosx f(x) donc une primitive de f sur estdfinie par F(x) = 2sinx f(x) = sinx xcosx . Do :
I = F F(0) = 1 .
a) I(f) = 3 3 + 2 5 = 1 .
b) I(f) = .
c) I(f) = .
Dessin 1 : I(f) = .
Dessin 2 : I(f) = .
Dessin 3 : I(f) = .
Corrig dans le manuel.
1.est le quart de cercle de centre O et de rayon rsitu dans le premier quadrant.
2. ; .
1.f1(x) = ; f2(x) = .
2. On utilise une interprtation par les aires. 1 est limage de par donc :
I1 = aire(1) = aire() = = 1 .
2 est limage de
par donc :I2 = aire(2) = aire().
Or, aire() = (e 1) aire() = e 2 donc I2 = 2 e .
Remarque : Un calcul direct partir des expressions de f1(x)
et f2(x) permet dobtenir le rsultat.
1.
Calculs laide des aires
105 12--- 1 x2+( )ln
0
1 2ln2
--------=
x x3+
1 x2+-------------- dx
01 x dx0
1 12---= =
1 2ln2
------------------
106
107
108
2---
109
O 1
1
x
y
6 2 152
------+ +312
------=
O 1
1
x
y
92--- 6 11+ + 25
2------=
O1
1
x
y
110 1 2ln 12---+ +
32--- 2ln+=
2 2---
2 12--- 4ln+ + 3
2--- 2 2ln+=
111
112
r2 x2 dx0r r
2
4--------= r2 x2 dx r
r r2
2--------=
Or
r
x
y
113 1x 1+------------
1x--- 1
T i
1x--- dx
1e
O 1 e
1
x
y
1
1
T j
O 1 e
1
x
y
2
2
114
O 1
1
x
y
18
28
38
48
58
68
78
7/28/2019 Chapitre 08 Exo
9/20
CHAP 8 Intgration et primitives 129
2. a) NN ,
soit NN ,
donc NN .
b) Amplitude : [f(0) f(1)] = .
3. 0,753 N I N 0,816 .
1.fest dcroissante et positive sur [0 ; 3] . Par lamthode des rectangles :
= , do < .
2. Il suffit que N 10 2 donc nn 210 . On peut
prendre n0 = 210 .
3. la calculatrice, laide du programme du TD 5,
page 219 : 1,813 N I N 1,824 .Remarque : La condition est seulement suffisante; la prcision
peut tre obtenue avant le rang 210.
2. La fonction aire est dfinie par :
3. Pour tout x de [0 ; 1[ ]1 ; 2] , F est drivable etF (x) =f(x) . Pour tout h tel que 0 < h < 1 ,
T(h) = ,
donc T(h) = 1 .
Pour tout h tel que 1 < h < 0 ,
T(h) = ,
donc T(h) = 1 .
Ainsi F est drivable en 1 avec F (1) = 1 =f(1) . F estdonc une primitive defsur [1 ; 2] .
2. En valuant les aires des trapzes indiqus, ondfinit F(x).
Si 1 Nx < 0 , F(x) = .
Si 0 NxN 1 , F(x) = . Pour toutx de [ 1 ; 0[ ]0 ; 1 ] , F est drivable etF (x) =f(x) .
Pour tout h > 0 dans I ,
T(h) = ,
donc T(h) = 1 .
Pour tout h < 0 dans I ,
T(h) = ,
donc T(h) = 1 .
F est donc drivable en 0 avec F (0) = 1 =f(0) . Ainsi Fest la primitive defsur [ 1 ; 1] telle que F(0) = 0 .
Pour les dmonstrations 1 et 2 par les aires, on netraitera que les cas ofest de signe constant sur [0 ; a] .
1. Par exemple, sifest positive.
Pour 0 NxNa , F(x) = = aire() .
dsigne le domaine symtrique de par rapport (Oy).
F(x) =
= aire() = aire() = F(x) .Donc F est impaire.
2. Par exemple, sifest positive sur [0 ; a] .
Pour 0 NxNa , F(x) = = aire() .
dsigne le domaine symtrique de par rapport O.
F(x) =
= aire() = aire() = F(x) .Donc F est paire.
3. a)x F(x) et x F(x) sont drivables sur [a ; a]donc G lest.
G(x) = F (x) F (x) =f(x) f(x) = 0 ,car fest paire. G est donc constante sur [a ; a] . OrG(0) = 0 donc G est la fonction nulle. Ainsi, pour toutxde [a ; a] , F(x) = F(x) et F est impaire.
b) On pose H(x) = F(x) F(x) . De mme,
H(x) = F (x) + F (x) =f(x) +f(x) = 0 ,car f est impaire. H est la fonction nulle sur [a ; a] ;do F est paire.
F(t) = ;
(voir lexercice rsolu 6, page 211).
Note : Une intgration par parties sans transformation de ln(t2)
est aussi possible.
F(t) =
=
= .
1.f(x) =
x si 0 NxN 11 si 1
7/28/2019 Chapitre 08 Exo
10/20
130
F(x) =
=
= .Note : Ne pas oublier que le choix dune primitive ( une cons-
tante prs) peut faciliter les calculs.
F(x) =
=
= (x + 1)2e2x G(x) .
Or G(x) =
= ,
donc F(x) = .
Corrig dans le manuel.
F(x) =
=x(lnx)2 2G(x) .
Or G(x) = (voir lexercice rsolu 6,
page 211), donc F(x) =x(lnx)2 2xlnx + 2x 2 .
1. a) F(x) =
=xcos(lnx) 1 + G(x) .
b) G(x) = =xsin(lnx) F(x) .
2. F(x) = [xcos(lnx) +xsin(lnx) 1] ;
G(x) = [xcos(lnx) +xsin(lnx) + 1] .
1. I = = cos1 + e J .
J = = sin1 + I .
2. I = (sin1 cos1 + e) et J = ( sin1 cos1 + e) .
1. J(x) =
= (x 1)ln(x 1) ( 1)ln( 1) (x ) .2. a) Pour tout tde ]1 ; + [ , on pose :F(t) = (t+ 1)ln(t+ 1) t;
F(t) = ln(t+ 1) , donc F est une primitive de t ln(t+ 1)sur ]1 ; + [ .Pour tout tde ]1 ; + [ , t 1 > 0 et t+ 1 > 0 , do :
H(x) =
=
= + (x 1)ln(x 1) ( 1)ln( 1) (x )
+ (x + 1)ln(x + 1) ( + 1)ln( + 1) (x )
= 2x + (x 1)ln(x 1) + (x + 1)ln(x + 1)
+ 2 ( 1)ln( 1) ( + 1)ln( + 1) .
b) [(x 1)ln(x 1)] = ulnu = 0 , do :
H(x) = 2ln 2 + () ,
avec () = + 2 ( 1)ln( 1) ( + 1)ln( + 1).
1.f(x) = ;
I = .
2. I + J =
= .
Do J = .
Note : Dans lintgration par parties, crire :
.
1. K= .
Or K = = 2K , donc :
K = e 1 4K , do K = .
2. I + J = ; I J = = K.
Do : I = (e 1 + K) = (e 1),
J = (e 1 K) = (e 1) .
3. I =
= .
De mme :
J = .
1. a)f(x) = .
b) I = .
2. a) J + 2I = = K.
b)K = .
c) J = ;
K = J + 2I = .
121 t 2002+( )dln t0
x
t 2002+( ) t 2002+( )ln[ ]0
x dt0
x
x 2002+( ) x 2002+( )ln 2002 2002ln x
122 t 1+( )2e2tdt1
x
12--- t 1+( )2e2t
1
x
t 1+( )e2tdt 1
x
12---
12--- t 1+( )e2t
1
x 12--- e2tdt
1
x
12--- x 1+( )e2x 14---e
2x14---e 2+
e2x x2
2-----
x2---
14---+ +
e 24
-------
123124 tln( )2dt
1
x
t tln( )2[ ]1x
2 tdln t1x=
tdln t1
x
x xln x 1+=
125 t tln( )cos[ ]1x
tln( )sin dt1
x
+
t tln( )sin[ ]1x
tln( )cos dt1
x
12---
12---
126 e1 t tcos[ ]01 e1 t tdsin t
01
e1 t tsin[ ]01 e1 t tdcos t
01+
12---
12---
127 t 1( )dln tx
t 1( ) t 1( )ln[ ]x dt
x
=
t t 1( )ln t 1+( )ln+ +[ ]dtx
tdt
x
J x( ) t 1+( )dln tx
+ +x2
2-----
22
-----
x22
-----
22
-----
x 1+lim
u 0+lim
x 1+lim 3
2---
22
-----
128
1
x2 1------------------
ln x x2 1+( )[ ] 22 2 3+
1 2+----------------
ln=
1
x2 1------------------ x2 1+
dx2
2x2
x2 1------------------dx
22=
x x2 1[ ] 22
x2 1 dx2
2 2 3 2 J=
12--- 2 3 2 I[ ] 3 2
2-------
12---
2 3+1 2+----------------
ln=
x2
x2 1------------------- x
x
x2 1-------------------=
129 ex 2x( )cos[ ]0 2 ex 2x( )dsin x
0
+ e 1 2K +=
ex 2x( )sin[ ]0 2 ex 2x( )dcos x
0
e 15
--------------
exdx0
e 1= ex 2x( )dcos x0
12---
35---
12---
25---
ex 1 2x( )cos+2
----------------------------- dx0
12--- exdx
0
12---K+=
12--- e 1( ) 1
2---+
e 15
-------------- 35--- e 1( )=
ex 1 2x( )cos
1----------------------------- dx
0
1
2--- exdx
0
1
2---K 2
5--- e 1( )= =
130 1
x2 2+------------------
x x2 2++( )ln[ ]01 1 3+( )ln 2( )ln=
x2 2+
x2 2+------------------ dx
02 x2 2+ dx0
2=
x2 2+ dx01 x x2 2+[ ]0
1 x2
x2 2+------------------ dx
01 3 J= =
32------- I
32------- 1 3+( )ln 2( )ln+=
32
------- 1 3+( )ln 2( )ln+
7/28/2019 Chapitre 08 Exo
11/20
CHAP 8 Intgration et primitives 131
0 NxN implique 0 NxnN et 0 N 2xN
implique 0 N sin(2x) N 1 , donc 0 Nxnsin(2x) N .
Par intgration sur , 0 N InN .
Daprs le thorme dencadrement, In
= 0 .
Pour tout x > 0 et pour tout tde [0 ;x] ,
N N 1 .
Daprs lingalit de la moyenne sur [0 ;x] ,
N Nx , soit N ln(1 +x) Nx .
1.x tanx est la primitive sur dex 1 tan2x ,qui sannule en 0 , do lcriture intgrale.
2. a) Pour tout tde ,
0 N tantN 1 1 N 1 + tan2tN 2 .
b) Pour toutx de , daprs lingalit de la moyenne
sur [0 ;x] :
xN N 2x , soit xN tanxN 2x .
Corrig dans le manuel.
sinx siny = .
Pour tout rel t, |cost|N 1 , do N |x y| ,
donc |sinx siny|N |x y| .
Note : La consquence de lingalit de la moyenne est utile
avec des valeurs absolues, les bornes sont alors quelconques.
1. u(x) = 1 e x ;
u(x) n 0 , donc e xn 1 x .
v(x) = 1 +x + ex = u(x) ;
v(x) n 0 , donc e xN 1 x + .
Ainsi pour toutx de [0 ; 1], 1 xN exN 1 x + [1].
2.x [0 ; 1] x2 [0 ; 1] 1 x2N ex2N 1 x2 +
N N .
Do 1 xN N 1 x + [2].
3. a) Vrification immdiate.
b) Pour toutx de [0 ; 1], daprs [2] et 3. a) :1 xN N 1 x + .
Par intgration sur [0 ; 1] : N IN , do
0,5N IN 0,56 ; I 0,53 ( 3 10 2 prs).
1. a)g (x) = ;
TA : y = x + ln2 .
b) P ; aire(OIPA) = u.a. ;
aire (OIBA) = u.a.
2. aire(OIPA) N N aire(OIBA) , soit :
N N .
3.I=
Do lencadrement :
N I N ,
soit N I N .
1.a)I1= ; I0+I1 = = 1; I0 = 1 .
b) In
+ In + 1 = .
2. Pour toutx de [0 ; 1], N N et enx > 0 ,
do N N .
Par intgration sur [0 ; 1], N InN .
3. = + , donc :
In
= + .
N N , daprs le thorme dencadre-
ment, = 0 .
Encadrement.Thorme de la moyenne
x 0 1
u (x) 0 +
u0
x 0 1
v(x) 0 +
v0
131 4---4---
n 2---
4---
n
0 ; 4--- 4--- n 1+
n + lim
132
11 x+------------
11 t+-----------
11 x+------------ x 11 t+----------- dt0
x
x
1 x+------------
133 0 ; 4---
0 ; 4---
0 ; 4---
1 tan2t+( )dt0
x
134
135 tdcos ty
x
tdcos ty
x
136
x
2
2-----
x2
2-----
x 0 1
g (x) +
gln2
ln(1 + e)
x4
2-----
1 x21 x+
--------------ex
2
1 x+------------
1 x21 x+
--------------x4
2 1 x+( )--------------------+
ex2
1 x+------------
x4
2 1 x+( )--------------------
ex2
1 x+------------
12--- x3 x2 x 1 1
1 x+------------+ +
12---
524------
12--- 2ln+
137 ex
1 ex+--------------
12---
12---
1 ; 12--- 2ln+
2ln 14---+
2ln 1 e+( )ln+2
-------------------------------------- 2 1 e+( )[ ]ln=
g x( )dx01
2ln 1
4
---+ g x( )dx01
2 1 e+( )[ ]ln
x 1 ex+( )ln[ ]01 1 ex+( )dln x
01 1 e+( )ln g x( )dx0
1=
1 e+( )ln 2 1 e+( )[ ]ln 1 e+( )ln 2ln 14---
12---
1 e+2
------------ ln 1 e+
2------------
ln 14---
138 1 e+2
------------ ln dx
01
1 e+2
------------ ln
enx dx01 e
n 1n
--------------=
11 e+------------
11 ex+--------------
12---
enx
1 e+------------
enx
1 ex+--------------
enx
2-------
en 11 e+( )n--------------------
en 12n
--------------
en 11 e+( )n
--------------------n +
lim 11 e+------------
enn
-----1n---
n + lim=
n + lim
1 e
n
1 e+( )n--------------------I
nen----- 1 e
n
2n--------------
Inen-----
n + lim
7/28/2019 Chapitre 08 Exo
12/20
132
1. = cm2 .
2. = cm2 .
1. = cm2 .
2. = = 24 + 4e 1 4e cm2
(fngative sur [ 2 ; 0]) .
1.=
=
= 4 cm2
fngative sur .2. = 4
= 4 cm2 .
1. Si n = 0 , () = 1 ; si n = 1 , () = ln ;
si nn 2 , () = .
2. Si n = 0, () = + ; si n = 1, () = + ;
si nn 2, () = .
Laire sous la courbe sur lintervalle [1 ; + [ est infinie
si n = 0 ou n = 1 et gale u.a. ds que nn 2 .
aire(1) = = u.a. ;
aire(2) = aire(1) = u.a. ;
aire(3) = 1 aire(1) aire(2) = u.a. .
un
= .
=
Pour tout n de , un + 1 un = , donc (un) est arithm-
tique de raison .
Dans ] 2 ; + [ , ln(x + 2) 1 n 0 xn e 2 .
= = F(e) 2F(e 2) + F( 1)
avec F primitive sur [ 1 ; e] de la fonction :x f(x) = ln(2 +x) 1 .
Une primitive de la fonction x ln(2 +x) est dfinie par :
G(x) =
= .Ainsi on peut prendre F(x) = , doon dduit que = (e + 2)ln(e + 2) 6 u.a.
= = F(4) 2F(1) + F( 1)
avec F primitive defsur [ 1 ; 4] .
Une primitive de la fonction x (x2 1)ex est dfinie par
F(x) = .
Par double intgration par parties :
F(x)= ;
G(x) = ,
do F(x) = (x + 1)2ex . Ainsi = (8e1 25e4) u.a.
Corrig dans le manuel.
f
est symtrique par rapport (Oy), donc m est tel que laire de est la moiti de celle de.
,
soit , do :
m3 = 16 et m = .
1. [f(x) (x 2)] = e1x = 0 , do le
rsultat. Pour tout relx, f(x) (x 2) > 0 donc f
est
au-dessus de d.
2. S1 = [f(x) (x 2)]dx = e1xdx = (e e1 ) u.a.
3. quation de la tangente TB : y = e1 (x ) + e1 ,
do C(1 + ; 0).
S2 = e1 u.a. , do S1 + 2S2 = e (indpendant de ).
1. T : y = 2x + 9 . 2. (FD) : y =x 3 .
3. =
+
=
+ u.a.
Calcul daires et de volumes
139 4 f x( )dx01 263------=
4 f x( )dx14 83---=
140 4 f x( )dx0
4---
2 2=4 f x( )dx
20
141 4 1 t+( )dln t12---
0
4 1 t+( ) 1 t+( )ln[ ] 12---
0 dt12---
0
12---
12---ln 1
2---
2 2ln=
12--- ; 0
f x( )dx12ln 4 x 1+( )e x[ ]12ln e x dx12ln+( )=12--- 2ln 1+( ) 1
2--- e+ 4 e 1( ) 2 2ln=
142
1n 1------------ 1 1
n 1------------
+ lim
+ lim
+ lim 1
n 1------------
1n 1------------
143 x3dx01
14---
x dx01
512------
13---
144 14---x2
14---n2
dxn
n 1+14---
x3
3----- n2x
n
n 1+14--- n
13---+
=
14---
14---
145
f x( )dx1
e 2 f x( )dxe 2
e+
t 2+( )dln t0
x
t 2+( ) t 2+( )ln[ ]0x dt
0
x
=
x 2+( ) x 2+( )ln 2 2ln xx 2+( ) x 2+( )ln 2x
146 f x( )dx11 f x( )dx1
4+
t2 1( )e t dt1
x
t2 1( )
e t
[ ]1x 2 te t dt
1
x
+ x2 1
( )e x 2G x
( )+=
te t[ ]1x e t dt
1
x
+ xe x e x=
147
O 1
1
4
x
y
f
x = m
klm
148
m x2( )dx0
m
12--- 4 x2( )dx
02=
23---m m 8
3---=
1613---
149x +
limx +
lim
0 0
12---
O 1
1
x
y
CA
B
TB
f
150
f x( ) 2x 9+( )[ ]dx14 x 3 f x( )[ ]dx4
7+
f x( ) x 3( )[ ]dx79
x2
8x 16+( )dx14
x2
11x 28+( )dx47
+x2 11x 28+( )dx
79
1336
---------=
7/28/2019 Chapitre 08 Exo
13/20
CHAP 8 Intgration et primitives 133
1. Conditions : f(1) = 0 , f(1) = 0 , .
Ainsi a = , b = , c = .
1.f
: y = 1 +x xex2+1 . On pose ;
dans le repre (I; , ), f
: Y = X XeX2+1 .
f
reprsente la fonction X X XeX2+1 dfinie sur ;
celle-ci est impaire donc I est centre de symtrie de f
.
2. [f(x) (x + 1)] = xex2+1
= e = 0 (en posant u =x2).
Donc d : y =x + 1 est asymptote fen + .
3. a)() = 4 xex2+1 dx = 2( e
2+1 + e) cm2 .
b) () = 2e cm2 .
c) |() | = 2e2+1 .
Do 2e2+1N 102 donc n .
On pourra prendre 0 = 2,51 .
Corrig dans le manuel.
1. En raison de la symtrie par rapport au plan pas-sant par O et perpendiculaire (Oy), il suffit de raison-ner avec un plan de coupe dfini pour 0 NyNr.La section est une couronne circulaire centre sur (Oy)daire : [(d + r)2 (d r)2] = 4dr .
Or r est tel que r2 = r2 y2 donc S(y) = 4d .
2. V = ,
donc V = 22dr2 .(Voir lexercice 112 pour le calcul de lintgrale.)
1.f(x) = ex(x 1) .
2. S = .
Par intgration par parties S = ex 3 4,40 cm2 .3. a) Les rels a, b, c sont tels que pour tout rel x ,G (x) =f2(x) , soit :
e2x[2ax2 + (2b + 2a)x + b + c] = e2x(x 2)2 ,
do, par identification, a = , b = , c = .
b) La section du solide par un plan perpendiculaire laxe (Ox) est un disque daire S(x) = f2(x) .
= 32,671 cm3 .
1.=
=
=
= .
Dautre part :
B1 + B2 + 4B3 =
+
=
Ainsi = (B1 + B2 + 4B3) .
2. Il sagit dune application avec f(x) = 12 ,
. R1 = 12 ;
R2 = 12 ; R3 = 12 .
Daprs la formule des trois niveaux :
= 8[R12 + R2
2 + 4R32] = 10 944 , soit 34 382 m3.
Do le systme
a + b + c = 0
a + b + c = 0
4a + 2b = 0 4a + 2b = 0
3a+5b+15c = 5
x 0 + f(x) (x+ 1)
= xex2 + 1 + 0
position
fau-dessus de d
fau-dessous de d
point commun
151 f t( )dt01 13---=
a5---
b3--- c+ +
13---=
58---
54---
58---
152X x=Y y 1=
i j
x + lim
x + lim
u + lim u
12---
eu-----
0
+ lim
1 1200---------ln
1 200( )ln+
153
154
r2 y2
S y( )dy0r 8d r2 y2 dy0
r 8d r24
--------= =
A
plan de coupe
AJ = dJK = JL =r
K J L J L
I
r
ry
x
0 1 2
f
(
x
)
0 +
f
2 e
0
155
O 1 2
1
2
x
y
f x( )dx02
12---
52---
134
------
S x( )dx02 f
2x( )dx
02 e
4 13( )4
-------------------------= =
156 f2
x( )dx
ax2
bx c+ +( )dx
=
a3--- 3 3( ) b
2--- 2 2( ) c ( )+ +
( )6
--------------------- 2a 2 2+ +( ) 3b +( ) 6c+ +[ ]
h6
------ 2a 2 2+ +( ) 3b +( ) 6c+ +[ ]
a2 b c+ +[ ] a2 b c+ +[ ]+
4 a +
2------------- 2
b +
2------------- c+ +
2a 2 2+ +( ) 3b +( ) 6c+ +[ ]
h6---
1 x2
242--------+
P x( ) 144 x2
4-----+=
1 362
242--------+ 6 13=
1 122
242--------+ 6 5= 1
12( )2
242-----------------+ 6 5=
7/28/2019 Chapitre 08 Exo
14/20
134
Corrig dans le manuel.
1. Par intgration par parties, I = 1 2e 1 .
2. a) Sn
= .
Do lide de penser la mthode des rectangles.b)f(x) = ex(1 x) .
fest continue, strictement croissante sur [0 ; 1].S
nreprsente la somme des aires des rectangles sup-
rieurs associs la subdivision de [0 ; 1] en n sous-inter-valles de mme amplitude.
La suite (Sn) converge donc vers I = .
1. a)
I1 =
= .
b) Pour toutx de [0 ; 1], 0 N 1 xN 1 et ex > 0 , donc :
0 N (1 x)exN ex .
Par intgration sur [0 ; 1], 0 N InN .
Do 0 N InN et, daprs le thorme
dencadrement, In
= 0 .
c) In + 1 =
=
= .
2. a) + ( 1)I1 = 0 = a1 donc la relation est vraie au rang 1 .
On suppose la relation vraie pour un entier nn 1 , alors :
an + 1 =
= ,
donc elle est vraie au rang n + 1 .Do le rsultat pour tout n (nn 1).
b) Or In
= 0 donc an
= .
1. I0 = 1 ; J0 = 1 .
2. a) In
= ;
Jn
= .
b) do In = et Jn = .
3. ;
.
1. a)(t) = .
b) Pour tout tde [0 ; 2], N(t) N , do par
intgration sur [0 ; 2], N N
soit : NunN [1] .
c) On pose h = , alors :
= 2 .
Par passage la limite dans [1], 3 NN .
2. a) Pour tout tde [0 ; 2],
(t) = .
I = = 4 ln2 .
b) La fonction t est strictement croissante sur [0 ; 2] :
pour tout tde [0 ; 2], 1N N ; do, puisque (t) > 0 :
(t) N(t) N(t) .
Par intgration sur [0 ; 2] , I NunN I .
c) Daprs le thorme dencadrement, (un) converge
vers I .
1. a) Pour toutx de ]1 ; e[, 0 < lnx < 1 .
Pour tout entier nn 1 , (lnx)n > 0 et 1 lnx > 0 , do
(1 lnx)(lnx)n
> 0 , soit (lnx)n
(lnx)n + 1
> 0 .b) I
n I
n + 1= > 0 , donc (I
n) est
dcroissante.
Suites et intgrales
x 0 1
f(x) + 0
f0
e 1
157
158
1n--- f
kn---
k 1=
n
f x( )dx01 1 2e 1=
O
0,1
x
y
f
1n
nn
2n
(n1)n
=1
159
1 x( )exdx01
1 x( )ex[ ]01 exdx011e---=
1n!-----
1n!-----
1n!----- exdx
01
1n!----- 1 e 1( )
n + lim
1n 1+( )!------------------- 1 x( )
n 1+ exdx01
1n 1+( )!------------------- 1 x( )
n 1+ ex[ ]01
n 1+( ) 1 x( )nexdx01
1n 1+( )!------------------- 1 n 1+( )n!In[ ]
1n 1+( )!
------------------- In=
1e---
an 1( )n
n 1+( )!-------------------+1e--- 1( )nIn
1( )n 1+n 1+( )!---------------------+ +=
1e--- 1( )n 1+ 1
n 1+( )!------------------- In+1e--- 1( )n 1+ In 1++=
n + lim
n + lim 1
e---
t 0 2
(t) +
160
e nx xcos[ ]02---
n e nx xdsin x0
2---
1 nJn=
e nx xsin[ ]02---
n e nx xdsin x0
2---
+ en
2---
nIn+=
In nJn+ 1=
nIn Jn+ en
2---
=
1 nen
2---
1 n2+-----------------------n e
n2---
+
1 n2+--------------------
Inn +
lim
1n--- e
n2---
1n--- n+
-------------------n +
lim 0= =
Jnn +
lim1 e
n2---
n----------+
1n--- n+
--------------------n +
lim 0= =
161 1
t 2+( )2------------------
32---
74---
32--- e
tn---
etn--- 7
4--- e
tn---
32--- e
tn---dt
02 t( ) e
tn---dt
02
74--- e
tn---dt
02
32---n e
2n---
1 7
4---n e
2n---
1
2n---
n e2n---
1
n + lim 2 e
h 1h
--------------
h 0+lim=
72---
2t 3+t 2+
--------------2 t 2+( ) 1
t 2+---------------------------- 2 1
t 2+-----------= =
t( )dt02 2 1t 2+-----------
dt02 2t t 2+( )ln[ ]0
2= =
etn---
etn---
e2n---
etn---
e2n---
e2n---
162
xln( )n xln( )n 1+[ ]dx1
e
7/28/2019 Chapitre 08 Exo
15/20
CHAP 8 Intgration et primitives 135
c) Pour tout nn 1 et toutx de [1 ; e], (lnx)nn 0, doncI
nn 0 .
In
est dcroissante minore par 0, donc elle converge.
2. a) I1 = .
b) Pour tout nn 1 ,
In + 1 =
= [1] .c) I2 = e 2 0,718 ; I3 = 2e + 6 0,563 ;I4 = 9e 24 0,464 .
3. a) Daprs [1], (n + 1)In
= e In + 1
et In + 1
n 0, donc :
(n + 1)InN e .
Ainsi 0 N InN et, daprs le thorme dencadre-
ment, (In) converge vers 0 .
b) Daprs [1], nIn
+ (In
+ In + 1) = e .
Do n In
= e (In
+ In + 1) ; or, (In + In + 1) = 0
donc nIn
= e .
1. Pour toutx de ]0 ; + [ , f(x) = .
= 0 ,
= = + .
2.
= .
=
= .
3. a) Pour toutx de [k ; k + 1] , N N ;
daprs lingalit de la moyenne, N N .
b) = .
Daprs 3. a), N N , do :
0 Nf(k) N , soit 0 Nf(k) N .
4. a) Vrification immdiate.
b) Sn
=
= ,
do Sn
= 0 .
c) Daprs 3. b), 0 Nf(n) N ,
0 Nf(n + 1) N ; ;
0 Nf(2n) N ;
do la sommation : 0 N f(k) N Sn.
Or, Sn
= 0 donc, daprs le thorme dencadre-
ment, = 0 .
5. a) Daprs 3. b), f(k) = .
Par sommation des relations crites pour k = n k = 2n ,
et, en utilisant la rela-
tion de Chasles, , soit :
,
do : .
b) Ainsi un
= , do :
un
= ln2 .
1. I0(a) = = 1 e a .
2.fn(x) =
= .
De plus, fn(0) = 0 .
= ,
soit .
3. Pour tout nn 1 ,
In(a) = In 1(a) fn(a) ;I
n 1(a) = In 2(a) fn 1(a) ; ;
I2(a) = I1(a) f2(a) ;
I1(a) = I0(a) f1(a) .
Par sommation, In(a) = I0(a) , soit :
In(a) = .
4. a) Pour tout n, fnn 0 sur I donc u
nn 0 . u
nexprime
laire sous n
sur [0 ; 1] en u.a.
b) Pour toutx de [0 ; 1], 0 < exN 1 do, par multiplica-
tion par n 0 , 0N exN , soit 0Nfn(x)N .
x 0 +
f(x)
f+
0
tdln t1
e t tln[ ]1
e dt1
e 1= =
xln( )n 1+ dx1
e x xln( )n 1+[ ]1
en 1+( ) xln( )ndx
1
e=
e n 1+( )In
en 1+------------
n + lim
n +
lim
163
1x2 x 1+( )----------------------
f x( )x +
lim
f x( )x 0+
lim 1x--- 1 x xln+( ) x 1+( )ln
x 0+lim
xx 1+------------ln dx
1 x xx 1+------------ln 1
1x 1+------------ln dx
1=
1+-------------ln 1+( )ln 2 2ln+
f t( )dt1
1t---dt
1
tt 1+-----------ln dt
1
+=
ln
1+-------------ln 1+( )ln 2 2ln+ +
1+( ) 1+------------- ln 2 2ln+
1k 1+------------
1x---
1k---
1k 1+------------
1x---dx
k
k 1+1k---
1x---dx
k
k 1+ k 1+( )ln kln k
k 1+------------ln 1
k--- f k( )= =
1k 1+------------
1k--- f k( )
1k---
1k---
1k 1+------------
1k k 1+( )--------------------
1n---
1n 1+------------
1n 1+------------
1n 2+------------
12n------
12n 1+---------------
+ + +
1n--- 1
2n 1+---------------
n + lim
1n n 1+( )--------------------
1n 1+( ) n 2+( )----------------------------------
12n 2n 1+( )---------------------------
k n=
2n
n + lim
f k( )k n=
2n
n + lim
1k---
1x---dx
k
k 1++
f k( )k n=
2n
1k---k n=
2n
1x---dxkk 1+
k n=
2n
=
f k( )k n=
2n
u
n
1
x---dx
n
2n 1+
=
f k( )k n=
2n
un 2n 1+( )ln nln+=
f k( )k n=
2n
un 2ln 1 12n------+ ln=
f k( )k n=
2n
2ln 1 12n------+ ln+ +
n + lim
164 e x dx
0
a
ex xn
n!-----
nxn 1
n!--------------+
xn 1
n 1( )!------------------ ex x
n
n!----- ex=
fn 1 x( ) fn x( )
In a( ) In 1 a( ) fn x( ) fn 1 x( )[ ]dx0a
=
fn x( )dx0a
fn a( )=
In a( ) In 1 a( ) an
n!----- e a=
fn a( )k 1=
n
1 e a ake a
k!--------------
k 1=
n
1 ak
k!-----
k 0=
n
e a=
xn
n!-----
xn
n!-----
xn
n!-----
xn
n!-----
7/28/2019 Chapitre 08 Exo
16/20
136
c) Par intgration sur [0 ; 1], 0NunN , soit :
0 NunN .
Daprs le thorme dencadrement, un
= 0 .
d) Or un
= , donc .
Do .
1. F (x) = ln(1 + e 2x) sur ]0 ; + [ .
F > 0 sur ]0 ; + [ donc F est strictement croissante.
2. Pour tout tde [1 ; 1 + a], N N 1 (dcroissance
de la fonction inverse sur [1 ; 1 + a]).
Daprs le thorme de la moyenne, N Na
soit :N Na .
3. On pose a = e 2t(a > 0), do :
N ln(1 + e 2t) N e 2t.
Par intgration sur [0 ;x] : N F(x)N ,
soit N F(x)N , donc :
N F(x)N .
4. Par passage la limite en + : NN .
5. a) Sur [n ; n + 1], la fonction t ln(1 + e 2t) estdcroissante, do 0N ln(1 + e 2t)N ln(1 + e 2n) et,daprs lingalit de la moyenne, 0Nu
nN ln(1 + e 2n) .
b) Daprs le thorme dencadrement, (un) converge
vers 0 .
6. Sn
=
=
(daprs la relation de Chasles), soit Sn
= F(n + 1) .
Or F(n + 1) = , donc (Sn) converge vers .
1. ln(n!) = . Par comparaison des aires :
N N .
(La premire intgrale est majore par la somme desaires des rectangles suprieurs alors que la secondeest minore par celle des rectangles infrieurs .)
Do N ln(n!)N [1].
2. Pour tout entier nn 2 , un
= .
Pour toutx > 0, .
Donc, daprs [1] :
N ln(n!)N ,
do par division par nlnn > 0 :
NunN [2].
Or donc = 0 . De plus :
= ,
do = 1 .
Ainsi les termes extrmes de lingalit [2] ont pourlimite 1 et, daprs le thorme dencadrement, (u
n)
converge vers 1.
1n!----- xn dx
01
1n 1+( )!-------------------
n + lim
1 1k!----
k 0=
n
e1 1k!----
k 0=
n
1 un( )e=
1k!----
k 0=
n
n +
lim e=
165
11 a+------------
1t---
a1 a+------------
1t---dt
11 a+
a1 a+------------ 1 a+( )ln
e2 t
1 e2 t+------------------
e2 t
1 e2 t+------------------ dt
0
x
e2 tdt0x
12--- 1 e2 t+( )ln
0
x
12---e2 t
0
x
1
2--- 2ln
1
2--- 1 e2x
+( )ln1
2---1
2---e2x
12--- 2ln 1
2---
ukk 0=
n
1 e2 t+( )ln dtk
k 1+k 0=
n
=
1 e2 t+( )ln dt0n 1+
n + lim
166 klnk 2=
n
tln dt1n kln
k 2=
n
tln dt1n 1+
tln dt1n tln dt1
n 1+
Vrai ou faux ?
Vrai : pente de (AB) : ;
valeur moyenne : = .
Faux : x F(2x 1) a pour drive :x 2F (2x 1) = 2f(2x 1) .
Vrai : dans un repre orthogonal, les courbesassocies t 2 t et t 2 t sont symtriques parrapport (Oy). Si est le domaine situ entre les droi-tes dquations y = 0 , x = 0 , x = 1 et la courbedquation y = 2x , alors :
= aire() ; = aire(),
avec domaine symtrique de par rapport (Oy).Do le rsultat.
Note : On peut aussi faire un calcul direct.
O 1 2 n n+1
1
x
y
n!( )lnnn( )ln
----------------n!( )ln
n nln---------------=
tln dt1
x
t tln[ ]1x dt
1
x
x xln x 1+= =
n nln n 1+ n 1+( ) n 1+( )ln n
1 n 1
n nln
------------n 1+( ) n 1+( )ln
n nln
----------------------------------------1
nln
--------
n 1n nln------------
1 1n---
nln------------=
n 1n nln------------
n + lim
n 1+( ) n 1+( )lnn nln
----------------------------------------
n 1+( ) nln 1 1n---+
ln+
n nln--------------------------------------------------------------=
n 1+n
------------n 1+
n------------
1 1n---+
ln
nln------------------------+
n 1+( ) n 1+( )lnn nln----------------------------------------n + lim
167 eb eab a
----------------
1b a------------
e
x
dxab
1
b a------------
e
b
e
a
( )=
168
169
2tdt01 2tdt0
1
7/28/2019 Chapitre 08 Exo
17/20
CHAP 8 Intgration et primitives 137
problmes de synthse(page 239)
Partie A1.: y =g (x) ; : y =g(x) .Le signe deg dtermine le sens de variation deg .2.g (0) = 1 .
Partie B
1.f0(x) = (x2 + 2x)ex ; f0(x) = (2 x
2)ex .
Pour tout relx, f0(x) + f0(x) = 2(x + 1)ex , doncf0 est
une solution de (E).2. a)fsolution de (E) f +f=f0 +f0 f f0 +ff0 = 0 (ff0) + (ff0) = 0 ;
fsolution de (E) u =ff0 solution de (E).b) (E) :y = y . Solutions dans : x u(x) = Cex ;
C
. Les solutions de (E) sont les fonctionsfdu typef= u +f0 . Donc f(x) = (x2 + 2x + C)ex, C .
3.g(0) = 1 et g(x) = (x2 + 2x + C)ex do C = 1.Ainsi g(x) = (x + 1)2ex .4.h(x) = (x2 + 2x + C)ex et h (0) = 0.Or h (x) = (x2 C + 2)ex donc C = 2 .Ainsi h(x) = (x2 + 2x + 2)ex .
Partie C
1. f(x) = x2 ex . = + ; = 0 .
2. T : y = ex .
3. a) F est une primitive defsur quivaut , pour toutrelx, F (x) =f(x) , soit :
ex[ ax2 + (2a b)x + b c] = ex(x2 + 2x + 2) ,
do a = 1 , b = 4 , c = 6 .
Ainsi F(x) = (x2 4x 6)ex .
b)() = 4 = 4[( 2
4 6)e
+ 6] cm2
.
Note : () = 24 cm2 .
Faux : sur [ 1 ; 1], t (t) = est impaire
car pour tout t, ( t) = = (t) .
Ainsi lintgrale est nulle.
Vrai : par intgration par parties :
= .
Do le rsultat.
Faux : contre-exemple : sur [0 ; + [ , f(t) = t 1 ;
f(t)Nt. Alors F(t) = et :
F(t) > sur 0 ; .Remarque : On pose, pour tout tde [0 ; + [ ,
(t) = F(t) t2 .(t) = f(t) t, donc (t)N 0 ; est dcroissante sur [0 ; + [
avec (1) = .La valeur de (0) = F(0) est alors dterminante.
170 et 1
et 1+-------------
e t 1e t 1+----------------
1 et1 et+-------------=
171
tf t( )dta
b
t f t( )[ ]a
bf t( )dt
a
b
=
b f b( ) a f a( ) f t( )dta
b f t( )dtab=
172
u 1( )du1t
12--- t 1( )2=
12---t2
12---
12---
1
2---
t 0 1 +
(t)
?
Faux :x a pour primitive sur ]0 ; 1[
la fonction x .
(x 1 est ngatif sur ]0 ; 1[.)
Vrai : sifadmet une telle primitive F, alors :F(x) =x + a sur ]0 ; + [ , F(x) =x + b sur ] ; 0[ .F est drivable donc continue en 0, do :
F(0) = F(x) = F(x) soit a = b.
Ainsi pour tout x , F(x) = x + a . Mais alors,F(x) = 1 . En particulier F(0) = 1 , ce qui est absurde
puisque par hypothse, F(0) =f(0) = 0 .Doncfna pas de primitive sur .
12---
173 1x 1-----------
1x---
1 x( )ln xln 1 xx
----------- ln=
174
x 0+lim
x 0lim
x 0 +
f(x) 0
f+
0
175
f x( )x
lim f x( )x +
lim
2
O 1 2 3 4 51
1
2
3
4
e
x
y
T
f
f x( )dx0
+ lim
7/28/2019 Chapitre 08 Exo
18/20
138
Partie A
1.g (x) = ; = .
Sur lintervalle [1 ; + [ , g est continue strictementdcroissante et change de signe donc lquation g(x) = 0admet une solution unique .
g 0,106 et g(2) 0,009 sont de signes contraires,
donc < < 2 .
2. a) T2 : y = .
b)x0 = , do v1 = 1,980 et v2 = 0,181 .
g(v1) 1,4 10 4 et g(v2) 3,4 10 4 sont de signescontraires, donc 1,980 < < 1,981 .
c)g(x)n 0 sur [0 ; ] ; g(x) < 0 sur ] ; + [ .
Partie B
1. Taux daccroissement defen 0 : lorsque x 0,
T(x) = .
On pose h =x2, T(x) = .
Doncfest drivable en 0 et f(0 = 1 . fest une fonction
impaire, il suffit dtudier ses variations sur .+
Pour toutx > 0, f(x) = ;
f est du signe deg .
= .
2. On pose pour toutx de ] 1 ; + [,
(x) = ln(1 +x) x ; (x) ;
Ainsi pour toutx de ] 1 ; + [ ,(x) N 0 donc ln(1 +x) Nx [1] .
T0 : y =x . La position de fet T0 est dtermine parle signe de la fonction diffrence :
d(x) :x f(x) x = .
Or pour tout relx, x2 > 1 , donc daprs [1] :ln(x2 + 1) x2N 0 ;
le signe de d(x) est loppos de celui dex .Ainsi,
fest au-dessus de T
0sur ]
; 0[ , au-dessous
sur ]0 ; + [ et T0 coupefen O.
Note :f traverse sa tangente en O ; lorigine O est un point
dinflexion.
Partie C
1. Pour r> 0, F(r) = = aire() . fest impairedonc
fest symtrique par rapport O. Si est le
domaine symtrique de par rapport O :
F( r) = = aire() .
Do F( r) = F(r) . Ainsi F est paire.
2. Daprs B. 2., pour tout t de [0 ; 1], 0 Nf(x) Nt, do
par intgration, 0 N F(1) N .
3. Pour tout rel tn 1 ,0N 1Nt2t2Nt2 + 1N 2t2 ln(t2)N ln(t2+1)N ln(2t2)
N N [2].
4. Pourxn 1, J(x) = .
F(x) = .
Or, pour tout tde [1 ;x], daprs [2],
Nf(t) N ,
do, par intgration sur [1 ;x] ,2J(x) N N ,
et, en ajoutant F(1) chaque membre :F(1) + 2J(x) N F(x) N F(1) + ln2 lnx + 2J(x) ,
soit F(1) + (lnx)2N F(x) N F(1) + ln2 lnx + (lnx)2 [3].On en dduit que F(x) = + .
Pourxn 1, daprs (3),
N N .
Or et ,
donc, daprs le thorme dencadrement, .
x 0 1 +
g (x) 0 + 0
g0
1 ln2
x 0 +
f(x) 0 + 0
f0
f()0
x 1 0 +
(x) + 0
0
176
2x 1 x2( )x2 1+( )2
------------------------- g x( )x +
lim
74---
74---
1225------x
6425------ 5ln+
163
------2512------ 5ln
f x( ) f 0( )x
--------------------------x2 1+( )lnx2
-------------------------=
x 0lim
1 h+( )lnh
-----------------------h 0lim 1=
2x2
x2 1+-------------- x2 1+( )ln
x2----------------------------------------------
g x( )
x2---------=
f x( )x +
limx
2
1
1x2-----+
lnx
-------------------------------------x +
lim=
2 xlnx
------------
1 1x2-----+
ln
x--------------------------+
x + lim 0=
x1 x+------------
x 0 + F (x) = f(x) 0 +
F0
x2 1+( )ln x2x
------------------------------------
O
1 r
1
x
y T02
f t( )dt0r
f t( )dt0
r
f t( )dtr0=
12---
t2( )lnt
---------------t2 1+( )lnt
------------------------2t2( )lnt
------------------
tlnt
-------dt1
x
12--- xln( )2=
f t( )dt01 f t( )dt1
x+ F 1( ) f t( )dt1x+=
2 tlnt
-----------2ln
t--------
2 tlnt
-----------+
f t( )dt1x 2ln xln 2F x( )+
x + lim
F 1( )x
----------xln( )2
x----------------+
F x( )x
----------F 1( )x
---------- 2ln xlnx
-------- xln( )2
x----------------+ +
xln
x
--------
x +
lim 0=xln( )2
x
----------------
x +
lim xln
x12-----------
2
x +
lim 0= =
F x( )x
----------x +
lim 0=
7/28/2019 Chapitre 08 Exo
19/20
CHAP 8 Intgration et primitives 139
5.
1. = + .
Pour toutx de I,
f(x) x = .
2.f(x) x > 0 et [f(x) x] = 0 , donc d :y =x est
asymptote f
en + et, sur I, f
est au-dessus de d .
3.x est continue et positive sur I, donc
exprime laire (en u.a.) du domaine sous la
courbef
sur [0 ; m]. Do lon dduit que :
.
4. a)a1 = u.a. ; a2 = u.a.
b) MNH est un triangle rectangle isocle dhypotnsuse
[MN], do a3 = MN2 = .
5. a) =x +y ;
= X + Y = X( + ) + Y( + )
= (X Y) + (X + Y) .
Do les formules de changement de repre
quivalentes
On notef
:y = , xn 0 et : 4XY = 1 , X n .
M.
De ces ingalits on dduit : x + yn 1 n x + y doxn 0 puis y >xn 0 .
Donc f
= .
b) Dans le repre (O; , ), K est tel que :
XK = XA = (xA +yA) = ;
H est tel que YH = YM = (xM +yM) = (m + ) .
Lunit daire du nouveau repre est 2 u.a., do :
a4
= 2 = .
Ainsi a4 =
= u.a.
c)
= ,
do .
Partie A
1. f(x) = (1 x)ex . = ; = e xex = 0 .
2. Par intgration par parties,
I1 = .
Partie B1. a) Sur [0 ; 1], 0 N 1 xN 1 , do 1 N e1 xN e , puis :
xnNxne1 xN exn .
b) Jn
= .
c) Par intgration de lingalit 1. a) sur [0 ; 1],
N InN .
2. Pour nn 1,
In+1
=
= = 1 + (n+1)In .3. a)k
n + 1 = (n+1)!e In+1 = (n+1)!e + 1 (n+1)In
= (n+1)(n!e In) + 1 = (n+1)k
n+ 1 .
M f
y2 x2 = 1
4XY = 1
4XY = 1
X nxn 0 X Yn 0yn 1 X + Y n 1
Rciproquement, M
4XY = 1
y2 x2 = 1
X n x + yn1
0 0
O 1
1
0,4
x
yF
177 f x( )
x + lim
1 x2+ x 1
1 x2+ x+----------------------------=
x + lim
x2 1+
x2 1+ dx0
m
x2 1+ dx0
m
a1 a2 a4 a3+ +=
14---
m2
2------
13---
14--- 1 m2+ m( )2
OM i j
OM u v i j i j
i j
x X Y=y X Y+=
X 12--- x y+( )=
Y 12--- x y+( )=
1 x2+ 12---
12---
12---
12---
1 x2+
x
1 +
f
(
x
)
+ 0
f
10
u v
12---
12---
12---
12--- 1 m2+
1
4X--------dX
12---
12--- m 1 m2++( )
1
2---
1
X----dX
12---
12--- m 1 m2++( )
12---
12--- m 1 m2++( )
ln 12---
ln
12--- m 1 m2++( )ln
1 x2+ dx0
m
a1 a2 a4 a3+ +=
14---
m2
2------
12--- m 1 m2++( )ln 1
4--- 1 m2+ m( )2+ +
1 x2+ dx0
m
m1 m2+2
-------------------------12--- m 1 m2++( )ln+=
178
f x( )x
lim f x( )x +
limx +
lim
O 1
1
x
y
f
f x( )dx01 x e1 x( )[ ]0
1 e1 x dx01+ e 2= =
1n 1+------------
1n 1+------------
en 1+------------
xn 1+ e1 x dx01
xn 1+
e1 x
[ ]01
n 1+( ) xn
e1 x
dx01
+
7/28/2019 Chapitre 08 Exo
20/20
b)k1 = e I1 = 2 . Ainsi k1 .On suppose quil existe un entier n (nn 1) tel quek
n ; alors k
n + 1= (n+1)k
n+ 1 donc k
n + 1 .
Do le rsultat.
c) Pour tout nn 2, 0 < N InN < 1 donc I
n .
Par labsurde : si n!e , alors In
= n!e kn , ce
qui contredit le rsultat prcdent.
Donc n!e .
4. a) Si nnq, alors q divise n! et donc .
b) Si e tait un rationnel , alors pour nnq , on aurait
n!e = entier, ce qui est absurde daprs 3. c).
Donc e est irrationnel.
pour chercher plus (page 240)
Sur [0 ; 1], f(x) =x x3 ; f(x) = 1 3x2 ;
On cherche la valeur du coefficient directeur tde d tel quelaire S reprsente la moiti de laire S sous la courbe.
S = . Lintersection de d et f
a pour
coordonnes ( ).
S =
= .
Donc test tel que (1 t)2 = et comme test ncessairement
positif, t= 1 .
Une primitive sur de x f(x) = e xsinx est
dfinie par F(x) = .
Par double intgration par parties,
F(x) =
=
= .
Do F(x) = .
Ainsi x est aussi une primitive de
fsur .
In
=
=
= .
Pour tout entier n,
In + 1 =
= .
(In) est une suite gomtrique de raison q = e et de
premier terme I0 = (1 + e) .
Sn
= est la somme des n + 1 premiers termes de
cette suite gomtrique, do Sn
= I0 .
Or |q | < 1 do Sn
= , soit Sn
= .
Note : Daprs la relation de Chasles,
Sn
= et = .
R est le rayon de la demi-sphre.La section de par un plan perpendiculaire laxe (Oy),dfini par la hauteur y (0 NyNh) est une couronnecirculaire centre sur laxe.
Rayon intrieur : tel que 2 = R2 h2 .Rayon extrieur : rtel que r2 = R2 y2 .Aire de la couronne : S(y) = (r2 2) = (h2 y2) .
Do = .
Note : Ce volume quivaut celui de la demi-boule de rayonh.
1n 1+------------
en 1+------------
n!pq
--------
pq---
n!pq
--------
x 0 1
f(x) + 0
f0 0
179
33
-------
2 3
9-----------
O 1
0,5
x
y
S
f
d
y=tx
x x3( )dx01 14---=
1 t ; t 1 t
f x( ) tx( )dx0
1 t 1 t( )x x3( )dx01 t=
1 t( )x2
2-----
x4
4-----
0
1 t 1 t( )24
------------------=
12---
2
2-------
180
e t tdsin t0
x
e t tsin[ ]0x e t tdcos t
0
x
+
e x xsin e t tcos[ ]0x e x tdsin t
0
x
+
e x xsin e x xcos 1 F x( )+12---e x xcos xsin+( ) 1
2---+
12---e x xcos xsin+( )
12---e x xcos xsin+( )
n
n 1+( )
12--- e n n( )cos e n 1+( ) n 1+( )( )cos[ ]
1( )n2
-------------- e n 1 e +( )
1( )n 1+2
--------------------- e n 1+( ) 1 e +( )
e 1( )n
2-------------- e n 1 e +( ) e In=
12---
Ipp 0=
n
1 qn 1+1 q
---------------------
n + lim
I01 q------------
n + lim 1
2---
et
tdsin t0
n 1+( ) et
tdsin t0
n 1+( )n + lim12---
181
S y( )dy0h h2 y2( )dy0
h 2h3
3------------= =