Expo Cours g Arch 1 Montreal

Stationnarit, innovations, modles ARMAProprits des sries financires

Modles GARCH : proprits probabilistes

Modles GARCH et volatilit stochastiqueUniversit de Montral

12 mars 2007

Jean-Michel ZAKOIAN

Universit Lille 3 & CREST

Chapitre 1: Sries financires et modles GARCH

Laboratoire de statistique du CRM Modles GARCH et volatilit stochastique



Modles AutoRgressifs Conditionnellement Htroscdastiques

Engle (1982) :

"Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates ofthe Variance of U.K. Inflation," Econometrica, 50, 9871008.

Generalized ARCH

Bollerslev (1986) :

"Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity,"Journal of Econometrics, 31, 309328.




Outline

1 Stationnarit, innovations, modles ARMA

2 Proprits des sries financires

3 Modles GARCH : proprits probabilistes




Modles stationnaires

Une srie (Xt) est stationnaire si ses proprits probabilistes sontles mmes que celles de la srie (Xt+h), pour tout entier h.

Dfinition(Xt) est stationnaire au sens strict si

(X1, X2, . . . , Xk) a mme loi que (X1+h, X2+h, . . . , Xk+h)

pour tout h et tout k 1.




Stationnarit au second ordre

DfinitionSoit (Xt) telle que EX2t



Fonctions dautocovariance et dautocorrlation

DfinitionSoit (Xt) une srie stationnaire. La fonction dautocovariance de(Xt) est dfinie par

X(h) = Cov(Xt, Xt+h), h = 0,1,2, . . .

La fonction dautocorrlation de (Xt) est dfinie par

X(h) =X(h)

X(0)= Cor(Xt, Xt+h), h = 0,1,2, . . .

Remarque : Fonctions paires

X(h) = X(h), X(h) = X(h).




Bruit blanc

DfinitionUn bruit blanc est une suite (t) de variables centres, de varianceconstante et non corrles :

E(t) = 0, Var(t) = 2, Cov(t, t) = 0, t 6= t

Notation : (t) BB (0, 2).Fonction dautocovariance :

(h) =

{2, h = 00, h 6= 0.

On parle de bruit blanc fort si les t sont centres, de variance finie,identiquement distribues et indpendantes.Les bruits blancs jouent un rle important pour la construction demodles plus sophistiqus.




Autocorrlations empiriquesEn pratique on observe x1, . . . xn :

ralisation partielle dune srie (Xt) suppose stationnaire.Pour tudier la dpendance, en vue de la slection dun modle, unoutil important est la fonction dautocorrlation empirique.

DfinitionLa moyenne empirique de x1, . . . xn est x = 1n

nt=1 xt.

La fonction dautocovariance empirique est

(h) =1

n

nt=1

(xt+|h| x)(xt x), |h| < n.

La fonction dautocorrlation empirique est

(h) =(h)

(0), |h| < n.




On montre que pour un BB fort, les (h) sont approximativementdistribues comme une N (0, 1/n) pour n grand.Donc, pour un BB fort, environ 95% des (h) doivent tomber entreles bornes 1.96/n.

2 4 6 8 10 12

-0.06

-0.04

-0.02

0.02

0.04

0.06

Autocorrlations empiriques dun bruit blanc fort, pour n=5000.En pointills les bornes de significativit : 1.96/n




Prvisions thoriques

2 concepts :Esprance conditionnelle :

E(Xt | Xt1, Xt2, . . .)

Meilleure approximation de Xt comme fonction de son pass.Esprance conditionnelle linaire :

EL(Xt | Xt1, Xt2, . . .)

Meilleure approximation de Xt comme fonction linaire de sonpass.

On note Xt1 le pass de Xt et HX(t 1) le pass linaire de Xt.




Innovations2 concepts :

Innovation forte :

t = Xt E(Xt | Xt1, Xt2, . . .)Bruit blanc (si E2t =

2) "orthogonal" toute fonction dupass de Xt

E(tZt1) = 0, Zt1 Xt1.Innovation linaire :

t = Xt EL(Xt | Xt1, Xt2, . . .)Bruit blanc orthogonal toute fonction linaire du pass

E(tZt1) = 0, Zt1 HX(t 1).Laboratoire de statistique du CRM Modles GARCH et volatilit stochastique



Quelques proprits de lesprance conditionnelle

Y une variable telle que E(Y ) existe.

E[E(Y | Xt1)] = E(Y ).si Y Xt1,

E(Y Z | Xt1) = Y E(Z | Xt1).

si Y est indpendante de Xt1,

E(Y | Xt1) = E(Y ).




Consquence : linnovation forte est un peu plus quun bruit

On remarque que les passs de X et concident : t1 = Xt1.Do, pour linnovation forte

E(t | t1) = 0.

On distingue plusieurs types de bruits (si Et = 0 et E2t = 2) :

Bruit faible : suite de variables non corrles.Bruit semi-fort : E(t | t1) = 0.Bruit fort : suite de variables indpendantes.




Modles ARMA

Les modles ARMA prennent en compte la structure ausecond-ordre dune srie stationnaire (Xt) : esprance, variance,autocorrlations.

ARMA(p, q) :Xt 1Xt1 pXtp = t 1t1 qtq

(t) bruit blanc faible




La modlisation des sries financires est un problmecomplexe :

- grande varit des sries utilises (prix daction, taux dintrt,taux de change etc.), importance de la frquence dobservation(seconde, minute, heure, jour, etc), disponibilit dchantillons detrs grande taille.

- existence de rgularits statistiques (faits styliss) communes un trs grand nombre de sries financires et difficiles reproduireartificiellement partir de modles stochastiques. Mandelbrot(1963).




Faits styliss : un grand nombre de sries financiresprsentent des proprits similaires

(i) Non stationnarit des prix pt.

Srie quotidienne du prix du CAC 40, 1992-1998.

0 400 800 1200

2000

3000

4000




(ii) Possible stationnarit des rendements.

t = log(pt/pt1) pt pt1pt1

Srie quotidienne du CAC 40 en log des rendements, 1988-1998.

0 500 1000 1500 2000 2500-0.10

-0.05

0.00

0.05




(iii) Regroupement des extrmes (volatility clustering).

Les 500 premires valeurs de lindice CAC40.

-0.06

-0.04

-0.02

0.02

0.04

Les 500 premires valeurs du carr de lindice CAC40.

100 200 300 400 500

0.001

0.002

0.003

0.004




(iv) Non corrlation des rendements mais autocorrlation des carrs.

Corrlogrammes de la srie CAC 40 et de son carr. Les traits en pointill correspondant 1.96/n

2 4 6 8 10 12 14-0.05

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

2 4 6 8 10 12 14

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3




Tests Portmanteau pour la srie desrendements

To Chi- Pr >Lag Square DF Khi2 -----------------Auto-corrlations-----------------

6 11.51 6 0.0737 0.030 0.005 -0.032 0.028 -0.046 -0.00112 16.99 12 0.1499 -0.018 -0.014 0.034 0.016 0.017 0.01018 21.22 18 0.2685 -0.005 0.025 -0.031 -0.009 -0.003 0.00624 27.20 24 0.2954 -0.023 0.003 -0.010 0.030 -0.027 -0.015

Tests Portmanteau pour la srie descarrs des rendements

To Chi- Pr >Lag Square DF Khi2 -----------------Auto-corrlations-----------------

6 165.90 6



(v) Queues de distribution paisses.

(vi) Asymtrie. Les baisses du cours gnrent plus de volatilit queles hausses de mme amplitude.

(vi) Saisonnalits.




Modles variance (conditionnelle) alatoire

t = tt

o(t) est un processus iid (0,1)(t) est un processus appel volatilit, t > 0les variables t et t sont indpendantes

Deux grandes classes de modles :type GARCH (Generalized Autoregressive ConditionalHeteroskedasticity) : t t1 (pass de t) volatilit stochastique




Dfinitions, ReprsentationsEtude de la stationnaritAsymtries et autres spcifications



3 Modles GARCH : proprits probabilistesDfinitions, ReprsentationsEtude de la stationnaritAsymtries et autres spcifications





GARCH(p, q) (sens faible)

DfinitionOn dit que (t) est un processus GARCH(p, q) semi-fort si

(i) E(t/t1) = 0, t ZZ ;(ii) Il existe des constantes , i, i = 1, . . . , q et j , j = 1, . . . , ptelles que

2t = V (t/t1) = +q

i=1

i2ti +

pj=1

j2tj , t ZZ.

ARCH : p = 0





linnovation de 2t est la variable t = 2t 2t .

= Forme ARMA :

2t = +r

i=1

(i + i)2ti + t

pj=1

jtj , t ZZ.

o r = max(p, q)

(t) bruit blanc ? oui si E2t 0.

Lien avec les proprits des sries financires : non autocorrlationde (t) (quelle que soit la spcification de 2t ), autocorrlation de(2t ) (ici ARMA).





GARCH(p,q) (sens fort)

(t) suite de variables i.i.d., Et = 0, E2t = 1.

Dfinition(t) est un processus GARCH(p, q) au sens fort sil vrifie

t = tt

2t = 0 +q

i=1 0i2ti +

pj=1 0j

2tj , t Z

0 > 0 , 0i 0 (i = 1, . . . , q) , 0j 0 (j = 1, . . . , p).





Lien avec la reprsentation semi-forte :

Si les esprances conditionnelles existent, si t t1 on a :

E(t/t1) = 0, V (t/t1) = 2t ,

mais pas dquivalence entre les deux dfinitions.

Autre reprsentation : partir de 2t = 2t

2t , en liminant les

2ti,

2t = +r

i=1

ai(ti)2ti

o ai(z) = iz2 + i, i = 1, . . . , r.





Simulation de taille 500 du processus ARCH(1) : t =q

1 + 0.52t1t, t N (0, 1)

100 200 300 400 500

-4

-2

2

4


1 + 0.952t1t, t N (0, 1)

100 200 300 400 500

-10

-5

5

10


1 + 1.12t1t, t N (0, 1)

100 200 300 400 500

-20-15-10-5

5101520






1 + 32t1t, t N (0, 1)

50 100 150 200

-20000-15000-10000-5000

5000100001500020000

Observations 100 140

10 20 30 40

-500-400-300-200-100

100200





Simulation de taille 500 du GARCH(1,1) : t = tt, 2t = 1+ 0.22t1 ++0.7

2t1, t N (0, 1)

100 200 300 400 500

-15

-10

-5

5

10

15

Simulation de taille 500 du GARCH(1,1) : t = tt, 2t = 1+ 0.72t1 ++0.2

2t1, t N (0, 1)

100 200 300 400 500

-15-10-5

51015





On cherche les conditions imposer aux paramtres pour quunmodle GARCH admette une solution stationnaire (ici nonexplosive).

Les solutions intressantes sont les solutions non anticipatives (oucausales), i.e. t fonction de t, t1, . . .





GARCH(1,1) : stationnarit stricte

t = tt

2t = + 2t1 +

2t1, > 0, , 0

2t = + a(t1)2t1 (a(z) = z + )

= + a(t1){ + a(t2)2t2}

=

[1 +

Nn=1

a(t1) . . . a(tn)

]+ a(t1) . . . a(tN1)2tN1

:= ht(N) + a(t1) . . . a(tN1)2tN1.

Soit ht = limN ht(N) [0,+].ht(N) = + a(t1)ht1(N 1) = ht = + a(t1)ht1.





Le processus limite

ht =

{1 +

n=1

a(t1) . . . a(tn)

}

est-il valeurs finies ?

[a(t1) . . . a(tn)]1/n = exp

[1

n

ni=1

log{a(ti)}] e p.s.,

= E log{2t + } [,+[.





PropritLe modle GARCH(1,1) a une (unique) solution strictementstationnaire non anticipative ssi

= E log{2t + } < 0.

[Nelson, 1990]

Cas ARCH(1) ( = 0) : 0 < exp{E(log 2t )}.Si t N (0, 1) : 0 < 3.56.





GARCH(1,1) : stationnarit au second ordreSi t est stationnaire au second-ordre et non anticipatif,

E(2t ) = E(E(2t /t1)) = E(

2t ) = + (+ )E(

2t1)

soit(1 )E(2t ) = .

Il faut donc + < 1. On obtient de plus : E(2t ) > 0.Inversement si + < 1 on a < 0. La solution strictementstationnaire vrifie

E(2t ) = E(ht) =

[1 +

+n=1

E{a(t1) . . . a(tn)}]

=

[1 +

+n=1

{Ea(t)}n] =

1 (+ ) .





PropritLe modle GARCH(1,1) a une solution stationnaire au second-ordrenon anticipative ssi

+ < 1.

Rgions de stationnarit du modle GARCH(1,1) si t N (0, 1).1 : Stationnarit au 2nd ordre ; 1 et 2 : Stationnarit stricte ; 3 : Non stationnarit.

0 1 2 3 4

1

3

2





Modle GARCH(p, q) : stationnarit stricte

Reprsentation vectorielle

zt = bt +Atzt1

ozt = (

2t , . . . ,

2tq+1,

2t , . . . ,

2tp+1)

Rp+q,bt = (

2t , 0, . . . , , 0, . . . , 0)

Rp+q,

At =

1

2t q2t 12t p2t

Iq1 0 01 q 1 p

0 Ip1 0

.





Modle GARCH(p, q) : stationnarit stricte

Si on droule le modle

zt = bt +Atzt1

on obtient

zt = bt +At{bt1 +At1zt2}

= bt +k=1

AtAt1 . . . Atk+1btk?

Pb : validit de cette somme infinie.





Coefficient de Lyapounovpour toute suite de matrices alatoires A = (At), strictementstationnaire et ergodique, telle que E log+ At




Pour la norme A = |aij |, E log+ At EAt




PropritLe modle GARCH (p, q) a une (unique) solution strictementstationnaire non anticipative ssi

(A) < 0.

[Bougerol & Picard, 1992]

(A) ne peut en gnral pas tre calcul explicitement. LeGARCH(1,1) est une exception :

(A) = E log(12t + 1)

(A) < 0 pj=1 j < 1.Le coefficient peut tre estim par simulations.





Rgions de stationnarit du modle ARCH(2) : t =q

1 + 12t1 + 2

2t2t, t N (0, 1).

1 : Stationnarit au second-ordre ;1 et 2 : Stationnarit stricte ;

3 : Non stationnarit

2

3

21

1

0 1 2 30

1

2

3





Stationnarit au 2nd ordre

PropritLe modle GARCH (p, q) a une solution stationnaire ausecond-ordre non anticipative ssi

qi=1 i +

pj=1 j < 1.

La condition quivaut (EAt) < 1. Elle implique la stationnaritstricte :

(A) < (EAt) = log (EAt) < 0.

Var(t) =

1qi=1 i pj=1 j .Modle IGARCH :

qi=1 i +

pj=1 j = 1.





Proprits de la loi marginale :

(t) : solution strictement stationnaire non anticipative.

PropritSi E(2mt )




Moments dun processus GARCH(1,1).

At = (2t , 1)

(1, 1) E(Amt ) = E{(2t , 1)m}(1, 1)m.

E(2mt )




Rgions dexistence des moments du modle GARCH(1,1).1 : Moment dordre 4

1 et 2 : Moment dordre 23 : Variance infinie.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1

3

2





Kurtosis :

Distribution conditionnelle :

E(2kt /t1) = 2kt E(

2kt )

E(4t/t1){E(2t/t1)}2

=E(4t )

{E(2t )}2:= .

Distribution marginale :

:=E(4t )

{E(2t )}2=

E[E(4t/t1)]{E[E(2t/t1)]}2

=E(4t )

{E(2t )}2 > .





Calcul des autocorrlations et autocovariances de 2t :

La fonction dautocovariance peut tre obtenue numriquement, demanire rcursive partir de la reprsentation vectorielle.

Fonction dautocorrlation du carr du modle GARCH(1,1) :t = tt,

2t = 1 + 0.3

2t1 + 0.55

2t1, (t)N (0, 1).

2 4 6 8 10 12

0.1

0.2

0.3

0.4

Fonction dautocorrlation partielle du mme modle.

2 4 6 8 10 12

0.1

0.2

0.3

0.4





Prvisions dun GARCH(p, q) stationnaire au 2nd-ordre

La prvision optimale (au sens L2) de t est 0. Plus gnralement,pour h 0

E(t+h|t1) = E{E(t+h|t+h1)|t1} = 0, t ZZ.Les prvisions horizon h 0 du carr sobtiennent rcursivement par

E(2t+h|t1) = E(2t+h|t1)

= +

qX

i=1

iE(2t+hi|t1) +

pX

j=1

jE(2t+hj |t1),

avec

E(2t+hi|t1) = E(2t+hi|t1), i hE(2t+hi|t1) = 2t+hi, E(2t+hi|t1) = 2t+hi, i > h.





Intervalles de prvision horizon 1, 95%, pour le bruit blanc fort de loi N (0, 1).

100 200 300 400 500

-3

-1

1

3

Intervalles de prvision horizon 1, 95%, pour le processus GARCH(1,1) simul avec = 1, = 0.1, = 0.8 et (t) de loi N (0, 1).

100 200 300 400 500

-12

-7

-2

3

8

13





Intervalles de prvision horizon 1, 95%, pour le processus GARCH(1,1) simul avec = 1, = 0.6, = 0.2 et (t) de loi N (0, 1).

100 200 300 400 500

-30

-20

-10

0

10

20

30

Intervalles de prvision horizon 1, 95%, pour le processus IGARCH(1,1) simul avec = 1, = 0.7, = 0.3 et (t) de loi N (0, 1).

100 200 300 400 500-100

-50

0

50





Cas dun ARMA(1)-GARCH(1,1) stationnaire

8

0, , 0, + < 1, || < 1.

E(Xt+h|Xt1) = h+1Xt1,V (Xt+h|Xt1)

=(1 2(h+1))

{1 (+ )}(1 2) +

2t 1 (+ )

2(h+1) (+ )(h+1)2 (+ )

si 2 6= +

V (Xt+h|Xt1) = (1 2(h+1))

(1 2)2 +

2t 1 (+ )

(h+ 1)2h

si 2 = + .





ARMA(1)-GARCH(1,1) non stationnaires

Si || = 1, en initialisant 0 toutes les variables des dates ngativesV (Xt+h|Xt1)

=h

{1 (+ )} +

2t 1 (+ )

1 (+ )(h+1)1 (+ ) .

Si + = 1 et || < 1,

V (t+h|t1) = h+ 2t , pour tout h 0.





Proprits dagrgation ?

Agrgation temporelle : un modle GARCH une frquence donneest-il compatible avec un modle GARCH une autre frquence ?

ARCH(1) t = { + 2t1}1/2t,0 < < 1, (t) i.i.d.(0, 1), E(

4t ) = 4




Le processus (2t) est un GARCH au sens semi-fort (dfinition 1).Il sera de plus un GARCH fort si

t =2t

{(1 + ) + 222(t1)}1/2

est i.i.d. On a

E(t|2(t1), 2(t2), . . .) = 0 E(2t |2(t1), 2(t2), . . .) = 1mais

E(4t |2(t1), 2(t2), . . .) = 4

1 +(4 1)322(t1)(22(t1) + 2)

{(1 + ) + 222(t1)}2!

est non constante, sauf si = 0 ou 4 = 1 (2t = 1, p.s.).Donc le processus (2t) nest pas un GARCH fort.





Cette proprit nest pas gnrale : lagrg temporel dunprocessus GARCH nest gnralement pas un GARCH, mme ausens semi-fort.

Notion de processus GARCH faible :

DfinitionSoit (t) stationnaire lordre 4. On dit que (t) est unGARCH(r, p) au sens faible si(i) (t) est un bruit blanc ;(ii) (2t ) admet une reprsentation ARMA de la forme

2t r

i=1

ai2ti = c+ t

pi=1

biti

o (t) est linnovation linaire de (2t ).





Exemple : agrgation du GARCH(1,1)

PropositionSoit (t) un processus GARCH(1,1) faible. Alors, pour tout entierm 1, le processus (mt) est galement un processus GARCH(1,1)faible. Les paramtres des reprsentations ARMA

2t a2t1 = c+ t bt1 et 2mt a(m)2m(t1) = c(m) + (m),t b(m)(m),t1

sont lis par les relations

a(m) = am, c(m) = c

1 am1 a

b(m)

1 + b2(m)

=am1b(1 a2)

(1 a2)(1 + b2a2(m1)) + (a b)2(1 a2(m1)) .





Autres exemples de processus GARCH faibles :

GARCH observ avec erreur de mesureAgrgation contemporaine : combinaison linaire de processusGARCH indpendantsGARCH coefficients alatoires (ex. fonction dune chane deMarkov)





Constatation empirique : laccroissement de volatilit d unebaisse des prix est gnralement suprieur celui rsultant dunehausse de mme ampleur.

Symtrie des modles GARCH standard :Si (t) a une loi symtrique et (t) est symtrique en ti, i > 0 :

cov(t, th) = 0, h > 0.

cov(+t , th) = cov(t , th) = 0, h > 0,o

+t = max(t, 0), t = min(t, 0).





Autocorrlations empiriques du CAC 40 (1988-98)

1 2 3 4 5 10 20(t, th) 0.030 0.005 0.032 0.028 0.046 0.016 0.003

(|t|, |th|) 0.090 0.100 0.118 0.099 0.086 0.118 0.055

(+t , th) 0.011 0.094 0.148 0.018 0.127 0.039 0.026

En rouge les paramtres statistiquement significatifs au niveau 5%, en utilisant 1/ncomme approximation de la variance des autocorrlations, pour n = 2380.





Modle GARCH exponentiel (EGARCH)

{t = ttlog 2t = +

qi=1 ig(ti) +

pj=1 j log

2tj

og(ti) = ti + [|ti| E|ti|].

Modlisation multiplicative de la volatilit

2t = e

qi=1

exp{ig(ti)}p

j=1

(2tj

)jPas de contraintes de signes a priori mais les conditions

< < , i 0, j 0.assurent que 2t crot avec le module des innovations passes( signe fix).





Modle GARCH exponentiel (EGARCH)

{t = ttlog 2t = +

qi=1 ig(ti) +

pj=1 j log

2tj

og(ti) = ti + [|ti| E|ti|].

Asymtrie prise en compte par le paramtre .Lasymtrie des sries financires impose < 0 .Ecriture de 2t en fonction des innovations normalises (ti).log 2t est un ARMA car (g(t)) est un bruit blanc iid devariance

Var[g(t)] = 2 + 2Var(|t|) + 2Cov(t, |t|).





Stationnarit stricte sous les hypothses standard portant sur lespolynmes AR et MA :

(z) =

qi=1

izi et (z) = 1

pi=1

izi

nont pas de racine commune et ont toutes leurs racines de modulestrictement plus grand que 1.





(L)(L) =

i=1 iL

i, g(x) = E[exp{xg(t)}]

Moments du processus EGARCH(p, q)

Soit m un entier positif. Sous les conditions de stationnarit stricteet si

2m = E(2mt )




Modle GARCH seuil (TGARCH)

{t = ttt = +

qi=1 i,+

+ti i,ti +

pj=1 jtj

Contraintes de positivit

> 0, i,+ 0, i, 0, i 0.A travers les i,+ et i,, la volatilit prsente dpend la foisdu module et du signe des innovations passes.Modle symtrique si pour tout i = 1, . . . , q,i,+ = i, = i.

t = +

qi=1

i|ti|+p

j=1

jtj





Stationnarit :tude fonde sur

+t = t+t ,

t = t

t .

Consquences :

t = +

max{p,q}i=1

ai(ti)ti, ai(z) = i,+z+ i,z + i.

En particulier si p = q = 1 le modle admet une unique solutionstrictement stationnaire non anticipative ssi

E{log a(t)} < 0

1,+1, < e2E log |t| avec (t) de loi symtrique.





Toujours si p = q = 1 le modle admet une solution stationnaire ausecond-ordre ssi

E[(1,++t 1,t + 1)2] < 1.

Asymtrie : sous lhypothse de stationnarit au second ordre, ensupposant symtrique la distribution de t, on a par exemple pourle modle TARCH(1) :

cov(t, t1) = (1,+ 1,)E(+ti)2 6= 0

ds que 1,+ 6= 1,.





Stationnarit du modle TGARCH(p, q) :tude similaire celle du modle GARCH(p, q) avec lareprsentation vectorielle :

zt = bt +Atzt1

o

bt = b(t) =

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

@

+tt

0...0...0

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

IRp+2q , zt =

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

@

+tt...

+tq+1tq+1

t...

tp+1

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

IRp+2q ,





Stationnarit du modle TGARCH(p, q) :tude similaire celle du modle GARCH(p, q) avec lareprsentation vectorielle :

zt = bt +Atzt1

o

At =

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

@

1,++t q,++t q,+t 1+t p+t

1,+t q,++t q,t 1t ptI2(q1) 02(q1)1 02(q1)1 02(q1)(p1) 02(q1)1

1 q,+ q, 1 p

0(p1)2(q1) 0(p1)1 0(p1)1 Ip1 0p11

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

.





Application : estimation de modles sur lindice CAC

Corrlogramme h 7 (|rt|, |rth|) des valeurs absolues du CAC 40 et corrlogramme croish 7 (|rt|, rth) mesurant les effets de levier Les traits en pointill correspondant 1.96/

n

2 4 6 8 10 12 14

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

2 4 6 8 10 12 14

-0.1

0.1

0.2

0.3





Ajustement par des modles GARCH asymtriques

GARCH(1,1) strandard8

>

>

>

:

rt = 5. 104 + t, t = tt, t N (0, 1)(2. 104)

2t = 8. 106 + 0.09 2t1+ 0.84

2t1

(2. 106) (0.02) (0.02)

EGARCH(1,1)8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

rt = 4. 104 + t, t = t t, t N (0, 1)(2. 104)

log 2t = 0.64 + 0.15 ( 0.53 t1 + |t1| q

2pi)

(0.15) (0.03) (0.14)

+ 0.93 log 2t1(0.02)

QGARCH(1,1)8

>

>

>

:

rt = 3. 104 + t, t = t t, t N (0, 1)(2. 104)

2t = 9. 106 + 0.07 2t1 9. 104 t1 + 0.85 2t1

(2. 106) (0.01) (2. 104) (0.03)





Ajustement par des modles GARCH asymtriques

GJR-GARCH(1,1)

8

>

>

>

:

rt = 4. 104 + t, t = t t, t N (0, 1)(2. 104)

2t = 1. 105 + 0.13 2t1 0.10 2t11l{t1>0} + 0.84 2t1

(2. 106) (0.02) (0.02) (0.03)

TGARCH(1,1)

8

>

>

>

:

rt = 4. 104 + t, t = t t, t N (0, 1)(2. 104)

t = 8. 104 + 0.03 +t1 0.12 t1 + 0.87 t1(2. 104) (0.01) (0.02) (0.02).

Log-vraisemblance des diffrents modles

GARCH EGARCH QGARCH GJR-GARCH TGARCHlogLn 7393 7404 7404 7406 7405





Volatilits des modles estims

500 premires valeurs de lindice CAC40 et volatilit estime (104) par les modles GARCH(1,1)ordinaire, EGARCH(1,1), QGARCH(1,1), GJR-GARCH(1,1) et TGARCH(1,1)

-0.06

-0.04

-0.02

0.02

0.04

100 200 300 400 500

1

2

3

4

5

100 200 300 400 500

1

2

3

4

5

100 200 300 400 500

1

2

3

4

5

100 200 300 400 500

1

2

3

4

5

6

100 200 300 400 500

1

2

3

4

5





Distances entre modles estims :

Moyenne des carrs des carts entre les volatilits estimes (1010).

GARCH EGARCH QGARCH GJR TGARCHGARCH 0 10.98 3.58 7.64 12.71EGARCH 10.98 0 3.64 6.47 1.05QGARCH 3.58 3.64 0 3.25 4.69GJR 7.64 6.47 3.25 0 9.03TGARCH 12.71 1.05 4.69 9.03 0

volatilits estimes par modles EGARCH et TARCH, puis TGARCH et GJR-GARCH : nuage des points

2t,TGARCH

2t,GARCH,

2t,EGARCH

2t,GARCH

, (graphe de gauche)

2t,TGARCH

2t,GARCH,

2t,GJR-GARCH

2t,GARCH

(graphe de droite)





Loi marginale : srie relle vs modles estims

Variance (104) et Kurtosis de la srie du CAC 40 et de simulations de longueur50 000 des 5 modles estims.

CAC 40 GARCH EGARCH QGARCH GJR TGARCHKurtosis 5.9 3.5 3.4 3.3 3.6 3.4Variance 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3

Nombre de rendements du CAC en dehors de r 3tTHEO est la valeur thorique moyenne quand la loi conditionnelle est N (0, 2t ).

THEO GARCH EGARCH QGARCH GJR TGARCH6 17 13 14 15 13





Asymtries : srie relle vs modles estims

500 premires valeurs de lindice CAC40 et volatilit estime (104) par les modles GARCH(1,1)ordinaire, EGARCH(1,1), QGARCH(1,1), GJR-GARCH(1,1) et TGARCH(1,1)

2 4 6 8 10 12 14

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

2 4 6 8 10 12 14

-0.1

0.1

0.2

0.3

0 2 4 6 8 10 12 14

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Stationnarit, innovations, modles ARMAProprits des sries financiresModles GARCH: proprits probabilistesDfinitions, ReprsentationsEtude de la stationnaritAsymtries et autres spcifications

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