Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva CURVE e SUPERFICIE 3 Cubiche, quartiche e alcune trascendenti; superfici di

Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

CURVE e SUPERFICIE 3

Cubiche, quartiche e alcune trascendenti; superfici di rivoluzione a sezione meridiana variabile

F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

Curve e superficie d’ordine superiore una breve panomarica morfologica e un’applicazione in

architettura Semplice esempio introduttivo: ordine della curva e

senso palastico della variabilitàbreve panoramica morfologica

dalla parabola alle curve di efficiente resistenza cicloidi e prime curve cinematiche Concoidali e chiasmiche Quartiche e toriche Trascendenti tipiche: spirali Curve elastiche e parametriche

□ Curve di Bezier, B-Spline e NURBSUna generalizzazione delle coniche: curve e superficie di Lamè

Descrizione delle superfici architettoniche Esercizio in aula



Ordini delle curve e senso plastico della variazione di curvatura



Grado dell’equazione e ORDINE DELLA CURVA: una rassegna morfologica

Cubiche ellittiche

(Parabole divergenti)

e cubiche razionali

(duplicatrice)

Coniche(Quadratiche)


Senso plastico ed efficienza meccanica delle curve


Serie morfologicheparabola

catenaria

Catenaria d’ugual

resistenza





Eugene Freyssinet Hangar di Orly (1923)




sinusoide

lintearia

Cicloide di Sturm


kappa

Curva di Schoute

a forma di punta di matita

qui ottenuta come inversione biassiale dell’iperbole


Grafico della funzione Inversa del coseno

iperbolico

Curva di Gauss

Cubica di Lamé

Curva di Agnesi


strofoide

Trisettrice di MacLaurin

Qui costruita come intersezione di due rette che ruotano

costantemente una alla velocità tripla dell’altra

Folium di Cartesio


Cubica circolare razionale

cissoide

Cissoide come curva mediana della retta del

circolo


Cubiche di Chasles

Iperboli cubiche

(P è un polinmio di terzo grado)


Parabole (cubiche)

divergenti


Quartica razionale piriforme

.

Curva a “lacrima”


Lemniscata di Bermouilli

Lemniscata di Gerono


Quartiche bicircolari razionali

Lumaca di Pascal


. .

Cardioide Qui costruita come pericicloide


Quartiche di Bermuoilli

Qui resa come curva mediana tra due circoli concentrici

Qui resa come curva descritta dalla biella di Berad


Spiriche di Perseo

Fissati A e B

variando C.

1) Se 0 < B < A

2) Se B < 0 < A

Spiriche e toriche


Ovali di Cassini

Ovali e Lemniscate di Booth

e Ippopede di Proclo


Costruzioni cinematiche (come curve di Watt) delle curve di Booth come luoghi del centro di una conica che ruota senza scivolare su una a lei uguale e con i vertici coincidenti


Quartiche di Plücker


Trascendenti tipiche: le spirali

Spirale logaritmica

Caso di fibonacci

Cfr. Modulor




Spirale d’Archimede

E la sua inversa:

Spirale iperbolica


Involuta del circolo

• Le involute di una data curva piana C sono le curve (inviluppo) tracciate dall’estremo di un filo teso lungo C e srotolato da C;detto altrimenti sono le tracce nel piano di un punto d’una retta ruotante senza scivolare su C (sono dunque dei casi particolari di cicloidi).

• Una qualunque curva della quale un’altra curva C è l’evoluta si dice Evolvente di C (quì il circolo è l’Evolvente).


Evolute dell’ellisse (curve di Lamè)


Curve elastiche e parametriche

• Curve piane la cui curvatura in ciascun punto M è proporzionale alla distanza da una curva detta direttrice





curve (di approssimazione) di Bézier

• curva di approssimazione ottenuta come interpolazione di punti di controllo che non passa attraverso i punti che interpola (tranne il primo e dell’ultimo).

• L’ordine di una curva di Bézier è sempre uguale al numero dei punti di controllo. (una curva di Bézier di ordine 9 si costruice con un polinomio è di ottavo grado).


• Come per Euclide la retta è quella curva che coincide con ogni sua tangente (la curva è una retta se e solo se tutti i “punti di controllo” giacciono sulla curva) così nelle curve parametriche di Bézier la curva è una retta se e solo se i punti di controllo sono collineari.

• Una curva quadratica di Bézier si costruisce assegnando i punti intermedi Q0 e Q1 al variare di t da 0 a 1 il punto

Q0 varia da P0 to P1 e descrive una curva lineare di Bézier.

Il punto Q1 varia da P1 to P2 e descrive una curva lineare di Bézier.

Il punto B(t) varia da Q0 to Q1 e descrive una curva quadratica di Bézier.

tragitto di B(t) da P0 a P1.



http://www.mat.unimi.it/users/alzati/Geometria_Computazionale_98-99/apps/Curve/curve.html


• La curva è tangente ai due capi è tangente al primo e all’ultimo tratto della spezzata di controllo

• È tutta all’interno di un poligono convesso che racchiude la spezzata


Curve di approssimazione (B-spline)

• Una generalizzazione delle dalle curve di Bézier sono le curve formate da più tratti di ordine uguale ma anche minore del numero p. Se vi sono n vertici di controllo l’ordine della curva può variare tra n (in questo caso sarebbe una curva di Bézier) e 2 (in questo caso degenera nella spezzata di controllo).

• la curva passa per il primo e l’ultimo vertice evendone per tangenti rispettivamente il primo e l’ultimo tratto della spezzata di controllo.


Non Uniform Rational B-spline

sono B-spline controllate da punti e da pesi relativi ad ogni punto di controllo (le B-spline sono casi di NURBS con i pesi dei punti controllo sono tutti eguali).

• Le NURBS (come le Spline) sono composta da più archi ma la continuità tra questi è regolabile da un numero intero:

• se = 0 gli archi sono semplicemente contigui• se = 1 gli archi sono contigui e ammettono la

medesima tangente nel punto di saldatura• se = 2 gli archi sono contigui, ammettono la

medesima tangente e hanno la medesima curvatura nel punto di saldatura.


• I parametri che modellano una NURBS sono dunque:• - il numero dei poli o punti di controllo e il loro peso;• - il numero degli archi o spans che compongono la

curva;• - la continuità tra gli archi nei punti di saldatura

(knots);• - il grado (ordine) della curva.

• Attraverso le NURBS si descrivono le coniche esattamente e non per approssimazione, come con le altre spline.



La categorizzazione comune delle curve


Curve di Lamè



Curve e Superfici di Lamè








Le sezioni meridiane variano la loro foma secondo un’affinità omologica ortogonale

Le sezioni parallele variano la loro forma secondo un’omotetia con centro sull’asse














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