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Faire les exercices FONCTIONS PART3 E02 EXERCICE N°1 Déterminer le signe de la fonction f définie sur par : f ( x )=0,8 ( x +3 )( x 5)( x 7) f ( x ) est un produit de quatre facteurs, nous allons donc étudier le signe de chacun des facteurs puis dresser un tableau bilan à l’aide de la règle des signes. 0,8 > 0 est vrai quelque soit la valeur de x . x +3 > 0 x > 3 x 5 > 0 x > 5 x 7 >0 x > 7 x −∞ 3 5 7 +∞ 0,8 + | + | + | + x +3 0 + | + | + x 5 | 0 + | + x 7 | | 0 + f ( x ) 0 + 0 0 + La dernière ligne du tableau nous indique le signe de f ( x ) en fonction de x EXERCICE N°2 Déterminer le signe de la fonction f définie sur par : f ( x )=−9 ( x +12 )( x +7 )( x 11) est un produit de quatre facteurs, nous allons donc étudier le signe de chacun des facteurs puis dresser un tableau bilan à l’aide de la règle des signes. 9 > 0 est faux quelque soit la valeur de x . x +12 > 0 x > 12 x +7 > 0 x > 7 x 11 >0 x > 11 x −∞ 12 7 11 +∞ 9 | | | x +12 0 + | + | + x +7 | 0 + | + x 11 | | 0 + f ( x ) + 0 0 + 0 La dernière ligne du tableau nous indique le signe de f ( x ) en fonction de x

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Faire les exercices

FONCTIONS PART3 E02

EXERCICE N°1

Déterminer le signe de la fonction f définie sur ℝ par :

f (x )=0,8(x+3)(x−5)(x−7)

f (x ) est un produit de quatre facteurs, nous allons donc étudier le signe de chacun desfacteurs puis dresser un tableau bilan à l’aide de la règle des signes.

▪ 0,8 > 0 est vrai quelque soit la valeur de x .▪ x+3 > 0 ⇔ x > −3▪ x−5 >0 ⇔ x > 5▪ x−7 >0 ⇔ x > 7

x −∞ −3 5 7 +∞

0,8 + | + | + | +

x+3 − 0 + | + | +

x−5 − | − 0 + | +

x−7 − | − | − 0 +

f (x ) − 0 + 0 − 0 +

La dernière ligne du tableau nous indique le signe de f (x ) en fonction de x

EXERCICE N°2

Déterminer le signe de la fonction f définie sur ℝ par :

f (x )=−9( x+12)( x+7)( x−11)

est un produit de quatre facteurs, nous allons donc étudier le signe de chacun des facteurs puis dresser un tableau bilan à l’aide de la règle des signes.

▪ −9 > 0 est faux quelque soit la valeur de x .▪ x+12 > 0 ⇔ x > −12▪ x+7 >0 ⇔ x > −7▪ x−11 >0 ⇔ x > 11

x −∞ −12 −7 11 +∞

−9 − | − | − | −

x+12 − 0 + | + | +

x+7 − | − 0 + | +

x−11 − | − | − 0 +

f (x ) + 0 − 0 + 0 −

La dernière ligne du tableau nous indique le signe de f (x ) en fonction de x

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EXERCICE N°3

On admet que les solutions de l'équation 4 x3−28 x2+19 x+105=0 peuvent toutes s'écrire

sous la forme n2

où est un entier compris entre −100 et 100 .

1) Trouver toutes les solutions de cette équation à l'aide d'un programme écrit en Python.def f(x): return 4*x**3-28*x**2+19*x+105

def recherche(f): solutions=[] for n in range(-100,101): if f(n/2) == 0: solutions+= [n/2] return solutions

"""remarques :1) Commencer par définir f en premier rend notre programme plusfacilement réutilisable2) dans l'exemple présent le test f(n/2)==0 est pertinent, ce n'est malheureusementpas toujour le cas, il faut alors se contenter de :abs(f(n/2))<10**(-9)qui signifie que l'on teste si la valeur absolue de f(n/2) est plus petite que0.000000001On décide alors que f(n/2) = 0 ..."""En utilisant notre programme, nous obtenons la liste [-1,5 ; 3,5 ; 5] qui représente les solutionsde l’équation. On peut donc écrire que l’ensemble des solutions est {- 1,5 ; 3,5 ; 5}2) En déduire la forme factorisée de 4 x3−28 x2+19 x+105

D’après la question précédente, la fonction x↦4 x3−28 x2+19 x+105 admet trois racines.Nous alors que 4 x3−28 x2+19 x+105 = 4( x+1,5)( x−3,5)( x−5) Rappelez-vous ce lien

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Faire les exercices

FONCTIONS PART3 E03EXERCICE N°1

Soit C f la courbe représentative de la fonctionf dont on précise certaines coordonnées des

points : B(−0,5 ; −2,25) , C (0 ; −2) , E (−2 ; 0) , F (1 ; 0) , G(−1,55 ; 1,26) et H (0,22 ; −4,23) .

1) Déterminer les racines de f .Graphiquement : −2 ; −1 et 12) Soit la fonction g ; définie sur ℝ à partir dela fonction f par : g ( x)= f ( x)+6 .

2.a) Tracer l’allure générale de la fonction g .Voir en rouge ci-contre2.b) Déterminer le nombre de racines de g .Graphiquement une seule racine2.c) Déterminer les variations de la fonction g .Les variations de g sont les mêmes que celles def .

Elle est donc croissante jusque l’abscisse de G :1,55, puis décroissante jusque l’abscisse de H :0,22 et enfin croissante.2.d) Trouver, si possible, les coordonnées dessommets de la fonction gIl suffit d’ajouter 6 à ceux de f c’est à dire auxordonnées de G et F . On a donc un maximumlocal en 1,55 et valant 1,26+6=7,26 et unminimum local en 0,22 valant −4,23+6=1,77

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FONCTIONS PART3 E03EXERCICE N°2

Soient f et g deux fonctionspolynômes de degré 3 dont on noteC f et C g les courbes

représentatives.

1) Déterminer graphiquement lesracines des fonctions f et g .Les racines correspondant aux abscissesdes points d’intersection de la courbeavec l’axe des abscisses : pour f : −2 ; 0 et 2pour g : −1 ; 0,5 et 2,52) En déduire les expressionsfactorisées de f (x ) et g ( x) pourx∈ℝ .

Rappel : ici (il nous restera à trouver a )

Pour f :On sait que f (x )=a x (x+2)(x−2) et d’après le graphique f (3)=6 .Or f (3)=a×3×(3+2)(3−2)=15a

Donc 15a = 6 ⇔ a = 6

15 ⇔ a =

25

Enfin :

f (x )=25x ( x+2)(x−2)

Pour g :On sait que g ( x)=a( x+1)( x−0,5)( x−2,5) et d’après le graphique g (1)=3 .Or g (1)=a×(1+1)(1−0,5)(1−2,5)=−1,5a

Donc −1,5a = 3 ⇔ a = 3

−1,5 ⇔ a = −2

Enfin : g ( x)=−2(x+1)(x−0,5)(x−2,5)

3) Déterminer f ’ (x) et g ’ (x )Pour f ' :Commençons par développer et réduire l’expression de g ( x)g ( x)=−2(x+1)(x−0,5)(x−2,5)

Puis dérivons selon x cette expression.

f ' ( x)=25×3 x2−8

5×1 =

65

x2−85

Pour g ' :Commençons par développer et réduire l’expression de f (x )g ( x)=−2(x+1)(x−0,5)(x−2,5)

=−2 (x+1) [x 2−3 x+1,25] =−2[ x3−3 x2+1,25 x+ x2−3 x+1,25] =−2(x3−2 x2−1,75 x+1,25) =−2 x3+4 x2+3,5 x−2,5

Puis dérivons selon x cette expression.g ' (x )=−2×3 x2+4×2 x+3,5×1−0 = −6 x2+8 x+3,5

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EXERCICE N°3

Soient f et g deux fonctions polynômes de degré3 définies sur ℝ et dont on note C f et C g lescourbes représentatives.

1) Déterminer les formes factorisées de de f (x )et g ( x) pour x∈ℝ .Pour f (x ) :On sait que f (x )=a (x−(−1))( x−2)(x−5) aveca∈ℝ

De plus f (0)=1et f (0) = a (0−(−1))(0−2)(0−5) = 10a

Donc 8a=1 ⇔ a= 110

=0,1

Ainsi f ( x )= 110

( x+1)( x−2)( x−5)

Pour g ( x) :On sait que g ( x)=a( x−(−2))( x−1)( x−3) avec a∈ℝDe plus g (0)=−3et (1) = a (0−(−2))(0−1)(0−3) = 6aDonc 6a=−3 ⇔ a=−0,5Ainsi g (x )=−0,5( x+2)( x−1)( x−3)

2) Déterminer f ’ (x) et g ’ (x )Pour f ' ( x) :Commençons par développer et réduire l’expression de f (x )

f (x ) = 1

10(x+1)(x−2)( x−5) =

110

(x+1)(x2−7 x+10) = 1

10[ x3−7 x2+10 x+x2−7 x+10 ]

= 110

( x3−6 x2+3 x+10) = 1

10x3− 3

5x2+ 3

10x+1

Ainsi :

f ' ( x) = 110

×3 x2−35×2 x+ 3

10×1+0 =

310

x2−65

x+ 310

Pour g ' (x ) :Commençons par développer et réduire l’expression de g ( x)g ( x)=−0,5(x+2)(x−1)(x−3) = −0,5( x+2)(x2−4 x+3) = −0,5 [x3−4 x2+3 x+2 x 2−8 x+6]

=−0,5( x3−2 x2−5 x+6) = −0,5 x3+x 2+2,5 x+3 Ainsi :g ' (x )=−0,5×3x2+2 x+2,5+0 = −1,5 x2+2 x+2,5

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Faire les exercices

FONCTIONS PART3 E04EXERCICE N°1

Soit la fonction définie sur ℝ par f (x )=2 x3−6 x2−2 x+6.

1) Vérifier que pour tout réel x par : f (x )=2( x−1)( x+1)( x−3) .2( x−1)( x+1)( x−3) = 2( x−1)( x2−2 x−3) = 2[ x3−2 x 2−3 x−x2+2 x+3]

= 2(x3−3 x2− x+3) = 2 x3−6 x2−2 x+6 = f ( x )

Remarque : On ne commence pas par écrire f (x ) , on ne l’écrit qu’ à la fin.

2) En déduire les racines de f sur ℝ .D’après la question précédente les racines sont : −1 ; 1 et 3

Remarque : f (x )=2( x−1)( x+1)( x−3)

3) Étudier le signe de f (x ) sur ℝ .est un produit de quatre facteurs, nous allons donc étudier le signe de chacun des facteurs puis dresser un tableau bilan à l’aide de la règle des signes.

▪ 2 > 0 est vrai quelque soit la valeur de x .▪ x−1 > 0 ⇔ x > 1▪ x+1 >0 ⇔ x > −1▪ x−3 >0 ⇔ x > 3 Attention on range les valeurs dans l’ordre croissant.

x −∞ −1 1 3 +∞

2 + | + | + | +

x−1 − 0 − | + | +

x+1 − | + 0 + | +

x−3 − | − | − 0 +

f (x ) − 0 + 0 − 0 +

La dernière ligne du tableau nous indique le signe de f (x ) en fonction de x

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EXERCICE N°2

Soit la fonction f définie sur ℝ par f (t)=−2 t3+3 t 2+5t .

1) Montrer que f (t)=−2 t( t+1)(t−2,5) .−2 t (t+1)(t−2,5) = −2 t (t 2−1,5 t−2,5) = −2 t3+3 t 2+5t = f (t)

2) Quelles sont les racines de f ?D’après la question précédente, les racines sont −1 ; 0 et 2,5 t=t−0

Remarque : f (t)=−2 t( t+1)(t−2,5)

3) Déterminer le tableau de signes de f (t) sur ℝ .

▪ −2 > 0 est faux quelque soit la valeur de t .▪ t > 0 ⇔ t > 0 (bah oui….)▪ t+1 >0 ⇔ t > −1▪ x−2,5 >0 ⇔ x > 2,5 Attention on range les valeurs dans l’ordre croissant.

t −∞ −1 0 2,5 +∞

−2 − | − | − | −

t − 0 − | + | +

t+1 − | + 0 + | +

t−2,5 − | − | − 0 +

f (t) − 0 + 0 − 0 +

La dernière ligne du tableau nous indique le signe de f (t) en fonction de t

4) En déduire les solutions de −2 t (t+1)(t−2,5) > 0 sur ℝ .D’après le tableau de signes, l’ensemble des solutions est : ]−1 ; 0 [∪ ]2,5 ; +∞ [

Remarques : « >0 » veut dire qu’on cherche les « + » dans la dernière ligne du tableau.Si on avait eu « ⩾0 » les crochets auraient été « fermés » (sauf le dernier bien sûr)

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EXERCICE N°3

On considère une fonction f définie sur ℝ .

1) Déterminer la forme factorisée de f .On voit dans le tableau que f (x )=0 pourx∈{−1,5 ; −0,5 ; 1}

2) Déterminer le signe de la fonction de f sur ℝ .

x f (x )

−1,5 0

−1 0,3

−0,5 0

0 −0,45

0,5 −0,6

1 0

On sait que f (x )=a (x+1,5)(x+0,5)(x−1) et d’après le tableau f (−1)=0,3 .Or f (−1)=a (−1+1,5)(−1+0,5)(−1−1)=0,5a

Donc 0,5a = 0,3 ⇔ a = 0,30,5

⇔ a = 35

Enfin :

f (x )=35( x+1,5)(x+0,5)(x−1)

Dressons à présent le tableau de signes :

▪35=0,6 > 0 est vrai quelque soit la valeur de x .

▪ x+1,5 > 0 ⇔ x > −1,5▪ x+0,5 >0 ⇔ x > −0,5▪ x−1 >0 ⇔ x > 1 Attention on range les valeurs dans l’ordre croissant.

x −∞ −1,5 −0,5 1 +∞

0,6 + | + | + | +

x+1,5 − 0 + | + | +

x+0,5 − | − 0 + | +

x−1 − | − | − 0 +

f (x ) − 0 + 0 − 0 +

La dernière ligne du tableau nous indique le signe de f (x ) en fonction de x

EXERCICE N°4 En vrac

1) Calculer la longueur de côté d'un carré de 529 cm2 d'aire.

√529=23

Le côté mesure 23 cm.

2) Calculer la longueur de l'arête d'un cube 343 cm3 de volume.

3√343=7Le côté mesure 7 cm.

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3) Résoudre 3 x2+27=54 et x3+1=12168

3 x2+27 = 54 ⇔ 3 x2 = 27 ⇔ x2 = 9Cette équation admet deux solutions : −√9=−3 et √9=3

x3+1 = 12168 ⇔ x3=12167Cette équation admet une unique solution : 3√12167=23

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Faire les exercices

FONCTIONS PART3 E05

EXERCICE N°1

On considère la fonction f définie et dérivable sur ℝ par f (x )=3 x3−4 x .1) Calculer la dérivée f ' de f .2) 2.a) Factoriser f ' ( x) .2.b) Étudier le signe de f ' sur ℝ .3) En déduire le tableau de variations de f sur ℝ .

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FONCTIONS PART3 E05corrigé de l’exercice n°1On considère la fonction f définie et dérivable sur ℝ par f (x )=3 x3−4 x .1) Calculer la dérivée f ' de f .f ' ( x) = 3×3 x2 − 4×1 = 9 x 2−4

remarque : On a utilisé les formules du cours (fonctions part 2 propriété n°5 et exemple n°3)2) 2.a) Factoriser f ' ( x) .f ' ( x) = 9 x2−4⏟

a2−b2

= (3 x )2−22⏟a2−b2

= (3 x+2)(3 x−2)⏟(a+b)(a−b)

2.b) Étudier le signe de f ' sur ℝ .Nous allons dresser un tableau de signes :

▪ 3 x+2 > 0 ⇔ 3 x > −2 ⇔ x > −23

(On mettra donc les + après −23

dans la ligne : 3 x+2 )

▪ 3 x−2 > 0 ⇔ 3 x > 2 ⇔ x > 23

(On mettra donc les + après 23

dans la ligne : 3 x−2 )

x −∞ −23

23

+∞

3 x+2 − | + 0 +

3 x−2 − − | +

f ' ( x) + 0 − 0 +

On en déduit que :

f ' ( x) est strictement positif sur ]−∞ ; −23 [ ∪ ]2

3 ; +∞[

f ' ( x) est strictement négatif sur ]−23

; 23 [

et que f ' ( x) vaut zéro sur {−23

; 23}

3) En déduire le tableau de variations de f sur ℝ .

x −∞ −23

23

+∞

f ' ( x) + 0 − 0 +

f (x ) −∞ 169

−169

+∞

f (23) = 3×(2

3)3

−4×(23)=8

9−8

3 =

8−249

= −169

f (−23) = 3×(−2

3)3

−4×(−23)=−8

9+8

3 =

−8+249

= 169

Pas demandé ici mais cela permet de faire le lien

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FONCTIONS PART3 E05

EXERCICE N°2

On considère la fonction f définie sur [−2 ; 2] par f (x )=x3−0,75 x2−4,5 x+3 .

1) Montrer que f ' ( x)=3(x+1)( x−1,5) .2) Étudier le signe de f ' ( x) et en déduire les variations de f sur [−2 ; 2] .3) Donner les extremums de f , ainsi que les valeurs pour lesquelles ils sont atteints.

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FONCTIONS PART3 E05

corrigé de l’exercice n°2

On considère la fonction f définie sur [−2 ; 2] par f (x )=x3−0,75 x2−4,5 x+3 .

1) Montrer que f ' ( x)=3(x+1)( x−1,5) .On sait que :f (x )=x3−0,75 x2−4,5 x+3

d’oùf ' ( x)=3x2−0,75×2 x−4,5×1+0 = 3 x2−1,5 x−4,5

Et : 3(x+1)(x−1,5) = 3(x2−0,5 x−1,5) = 3 x2−1,5 x−4,5 = f ' (x )

Remarque : Toujours la même technique :1) On dérive la forme développée réduite.2) On développe la forme factorisée donnée dans l’exercice et on constate que c’est bien lamême chose. (Et on n’écrit f ' ( x) qu’à la fin.2) Étudier le signe de f ' ( x) et en déduire les variations de f sur [−2 ; 2] .

Pour étudier le signe, on choisit (presque) toujours la forme forme factorisée.

Nous allons dresser un tableau de signe▪ 3 > 0 est vrai pour toute valeur de x▪ x+1 ⇔ x > −1▪ x−1,5 > 0 ⇔ x > 1,5

x −2 −1 1,5 2

3 + | + | +

x+1 − | + 0 +

x−1,5 − − | +

f ' ( x) + 0 − 0 +

On en déduit que : f ' ( x) est strictement positif sur ]−2 ; −1[ ∪ ]1,5 ; 2[

f ' ( x) est strictement négatif sur ]−1 ; 1,5[

et que f ' ( x) vaut zéro sur {−1 ; 1,5}

3) Donner les extremums de f , ainsi que les valeurs pour lesquelles ils sont atteints.

(= pas de justifications)Pour identifier les extremums, on cherche les valeurs de x où la dérivée change de signe.On regarde donc les zéros dans la dernière ligne du tableau de signes et on garde ceux entouréspar des signes différents ( +0− ou –0+ mais pas +0+ ni –0− ).On pense aussi à regarder les valeurs de f (−2) et f (2) .f (−2)=1 ; f (−1)=5,75 ; f (1,5)=−2,0625 et f (2)=−1

f possède un minimum qui vaut -2,0625 et qui est atteint en 1,5 f possède un maximum qui vaut 5,75 et qui est atteint en -1

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FONCTIONS PART3 E05EXERCICE N°3

Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions polynômes suivantes, après avoirétudier le signe de la dérivée.1) f (x )=x3−3 x+1 définie sur ℝ .f (x )=x3−3 x+1f ' ( x)=3x2−3

Factorisons f ' ( x)f ' ( x) = 3 x2−3 = 3(x2−1) = 3( x+1)(x−1)

▪ 3 > 0 est vrai pour toute valeur de x▪ x+1 ⇔ x > −1▪ x−1 > 0 ⇔ x > 1

x −∞ −1 1 +∞

3 + | + | +

x+1 − | + 0 +

x−1 − − | +

f ' ( x) + 0 − 0 +

f (x )

−∞

3

−1

+∞

Remarque : On fait bien attention : l’avant-dernière ligne, c’est pour le signe f ' et la dernière, c’est pourles variations de f . On ne se mélange pas les pinceaux dans les « ' »2) g ( x)=2 x3+4 x définie sur ℝ .g ( x)=2 x3+4 xg ' (x ) =2×3 x2+4×1 = 6 x 2+4

Ici, on réfléchit un peu : x2 est toujours supérieur ou égal à zéro, cela reste vrai quand on lemultiplie par 6 et quand on ajoute 4, cela devient même strictement positif.De manière évidente, g ' (x ) > 0On en déduit que g est strictement croissante sur ℝ3) h( x)=x3+6 x2 définie sur ℝ .h( x)=x3+6 x2

h ' ( x) = 3 x2+6×2 x = 3 x2+12 x Factorisons h ' ( x)h ' ( x) = 3 x2+12 x = 3 x (x+4)

▪ 3 x > 0 ⇔ x > 0▪ x+4 > 0 ⇔ x > −4

x −∞ −4 0 +∞

3 x − | − 0 +

x+4 − 0 + | +

f ' ( x) + 0 − 0 +

f (x )

−∞

3

−1

+∞

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