Faisabilité de la Modélisation de l'Interaction Sol-Structure et/ou des

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Faisabilité de la Modélisation del'Interaction Sol-Structure et/ou des

Effets Site-Ville avec G E F D Y NRapport d'avancement

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BRGM/RP-54995-FRSeptembre 2006

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Géosciences pour une Terre durable

brgm

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x<9^'e^

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Faisabilité de la Modélisation del'Interaction Sol Structure et/ou des

effets site-ville avec GEFDYNRapport d'avancement


Étude réalisée dans le cadre des projetsde Recherche du BRGM 2006 PDR06ARN10

F. De Martin

Nom

Date

Vérifícateur :

Evelyne FOERSTER

11/09/07

Signature :

Approbateur :

Nom : Hormoz MODARESSI

Date: ¿V^Cl"Signature :

\ \^)^¡uM'

Le système de management de la qualité du BRGM est certifié AFAQ ISO 9001:2000.

# Géosciences pour une Terre durable

brgm

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Faisabilité de la Modélisation del'Interaction Sol Structure et/ou des

effets site-ville avec GEFDYNRapport d'avancement


Étude réalisée dans le cadre des projetsde Recherche du BRGM 2006 PDR06ARN10

F. De Martin

Nom

Date

Vérifícateur :

Evelyne FOERSTER

11/09/07

Signature :

Approbateur :

Nom : Hormoz MODARESSI

Date: ¿V^Cl"Signature :

\ \^)^¡uM'

Le système de management de la qualité du BRGM est certifié AFAQ ISO 9001:2000.

# Géosciences pour une Terre durable

brgm

Mots clés : élénnents frontières, paraxiaux, frontière absorbantes, génération d'ondessismiques, modélisation simplifiée de bâtiments, modèle continu, modèle brochette, interactionsol structure

En bibliographie, ce rapport sera cité de la façon suivante :

F. DE MARTIN. Faisabilité de la Modélisation de l'Interaction Sol-Structure et/ou des Effets Site-Ville avec GEFDYN. Brgm édition, 2006

) BRGM, 2005, ce document ne peut être reproduit en totalité ou en partie sans l'autorisation expresse du BRGM.

Mots clés : élénnents frontières, paraxiaux, frontière absorbantes, génération d'ondessismiques, modélisation simplifiée de bâtiments, modèle continu, modèle brochette, interactionsol structure

En bibliographie, ce rapport sera cité de la façon suivante :

F. DE MARTIN. Faisabilité de la Modélisation de l'Interaction Sol-Structure et/ou des Effets Site-Ville avec GEFDYN. Brgm édition, 2006

) BRGM, 2005, ce document ne peut être reproduit en totalité ou en partie sans l'autorisation expresse du BRGM.

Interaction Sol Structure/Effets Site-Ville

Synthèse

Ce rapport présente l'avancement de l'étude s'Inscrivant dans le cadre du Module«Interaction Sol-Structure 2» (ISS2) du projet cible VULNERISK (PDR06ARN10).L'objectif final est d'évaluer la capacité d'un outil de calculs par éléments finis existantau brgm (logiciel GEFDYN) à modéliser l'interaction sol-structure à différentes échelles(bâtiment, quartier, ville).

Dans ce rapport, nous présentons les deux premières phases de l'étude, à savoir lamodélisation de la propagation des ondes en milieu homogène d'une part et lamodélisation de bâtiments sur base rigide d'autre part. Ces phases visaient à faire unbilan des possibilités de GEFDYN et des améliorations éventuellement à apporter,pour atteindre l'objectif final de l'étude. Les phases ultérieures permettront d'étudierl'interaction sol-stmcture aux différentes échelles, avec un cas test de référence.

Au niveau du comportement linéaire des bâtiments, nous avons utilisé des éléments destructure existant dans GEFDYN (poutre continue). Les tests réalisés en 3D montrentque l'étude de l'interaction sol-structure est tout à fait possible. Néanmoins, l'étude deseffets site-ville regroupant plusieurs dizaine de structures nécessiterait unemodélisation de type brochette. Les résultats obtenus sont toutefois encourageant pourles futures études envisagées.

BRGM/RP-54995-FR - Rapport d'avancement


Synthèse

Ce rapport présente l'avancement de l'étude s'Inscrivant dans le cadre du Module«Interaction Sol-Structure 2» (ISS2) du projet cible VULNERISK (PDR06ARN10).L'objectif final est d'évaluer la capacité d'un outil de calculs par éléments finis existantau brgm (logiciel GEFDYN) à modéliser l'interaction sol-structure à différentes échelles(bâtiment, quartier, ville).

Dans ce rapport, nous présentons les deux premières phases de l'étude, à savoir lamodélisation de la propagation des ondes en milieu homogène d'une part et lamodélisation de bâtiments sur base rigide d'autre part. Ces phases visaient à faire unbilan des possibilités de GEFDYN et des améliorations éventuellement à apporter,pour atteindre l'objectif final de l'étude. Les phases ultérieures permettront d'étudierl'interaction sol-stmcture aux différentes échelles, avec un cas test de référence.

Au niveau du comportement linéaire des bâtiments, nous avons utilisé des éléments destructure existant dans GEFDYN (poutre continue). Les tests réalisés en 3D montrentque l'étude de l'interaction sol-structure est tout à fait possible. Néanmoins, l'étude deseffets site-ville regroupant plusieurs dizaine de structures nécessiterait unemodélisation de type brochette. Les résultats obtenus sont toutefois encourageant pourles futures études envisagées.


Interaction Sol Structure/Effet Site-Ville

Sommaire

1. Champs Sismiques et Frontières Absorbantes 7

1.1. GENERATION ET ABSORPTION DE CHAMPS SISMIQUES 7

1.2. DEVELOPPEMENT ET VALIDATION DES FRONTIERES ABSORBANTES ....8

1.2.1. Validation des éléments paraxiaux (éléments frontières) 8

1.2.2. Développement des éléments paraxiaux 16

2. Modélisation dynamique de bâtiments 19

2.1. MODELE CONTINU SIMPLIFIE 19

2.1.1.Tests numériques sur une poutre encastrée 19

2.2. IMPLEMENTATION DU MODELE BROCHETTE DANS GEFDYN 23

3. Conclusions 25

4. Bibliographie 27

Liste des illustrations

Figure 1 - Géométrie du domaine 7

Figure 2 - Visualisation de l'amplitude de la composante y de la vitesse à un instant t 8

Figure 3 - Comparaison entre les vitesses simulées et théoriques 9


Figure 5 - Comparaison entre les vitesses simulées et théoriques 1 1

Figure 6 - Comparaison des vitesses simulée et théorique au ntud 833 12

Figure 7 - Représentation vectorielle du module de la vitesse à un instant t 12

Figure 8 - Comparaison des vitesses simulée et théorique au nud 366 13

Figure 9 - Localisation des nuds où les vitesses numériques sont comparées 14

Figure 10 - Comparaison des vitesses aux nnuds 257, 1602, 1971, 3530 (Les ondesen x et en y étant des ondes parasites ) 1 5

Figure 11 -Visualisation de la composante xde la vitesse des ondes de cisaillement 16

Figure 12 - Elancement de la géométrie dans la direction x 16

Figure 13 -Schéma de la modélisation 19



Sommaire

1. Champs Sismiques et Frontières Absorbantes 7

1.1. GENERATION ET ABSORPTION DE CHAMPS SISMIQUES 7

1.2. DEVELOPPEMENT ET VALIDATION DES FRONTIERES ABSORBANTES ....8

1.2.1. Validation des éléments paraxiaux (éléments frontières) 8

1.2.2. Développement des éléments paraxiaux 16

2. Modélisation dynamique de bâtiments 19

2.1. MODELE CONTINU SIMPLIFIE 19

2.1.1.Tests numériques sur une poutre encastrée 19

2.2. IMPLEMENTATION DU MODELE BROCHETTE DANS GEFDYN 23

3. Conclusions 25

4. Bibliographie 27

Liste des illustrations

Figure 1 - Géométrie du domaine 7


Figure 3 - Comparaison entre les vitesses simulées et théoriques 9


Figure 5 - Comparaison entre les vitesses simulées et théoriques 1 1

Figure 6 - Comparaison des vitesses simulée et théorique au ntud 833 12

Figure 7 - Représentation vectorielle du module de la vitesse à un instant t 12

Figure 8 - Comparaison des vitesses simulée et théorique au nud 366 13

Figure 9 - Localisation des nuds où les vitesses numériques sont comparées 14

Figure 10 - Comparaison des vitesses aux nnuds 257, 1602, 1971, 3530 (Les ondesen x et en y étant des ondes parasites ) 1 5

Figure 11 -Visualisation de la composante xde la vitesse des ondes de cisaillement 16

Figure 12 - Elancement de la géométrie dans la direction x 16

Figure 13 -Schéma de la modélisation 19



Figure 14 - Evolution dans le temps de la force appliquée en tête de poutre 20

Figure 15 - Déplacement en tête d'une poutre encastré 21

Figure 16 - Convergence logarithmique du résultat numérique vers le résultat théorique 21

Figure 17 - Réponse dynamique d'une poutre continue (comparaison théorie -numérique) 22

Figure 1 8 - Modélisation d'un bâtiment d'un étage avec GEFDYN 23

Figure 19 - Représentation d'un modèle masse-ressort 23



Figure 14 - Evolution dans le temps de la force appliquée en tête de poutre 20

Figure 15 - Déplacement en tête d'une poutre encastré 21

Figure 16 - Convergence logarithmique du résultat numérique vers le résultat théorique 21

Figure 17 - Réponse dynamique d'une poutre continue (comparaison théorie -numérique) 22

Figure 1 8 - Modélisation d'un bâtiment d'un étage avec GEFDYN 23

Figure 19 - Représentation d'un modèle masse-ressort 23



1. Champs Sismiques et Frontières Absorbantes

1.1. GENERATION ET ABSORPTION DE CHAMPS SISMIQUES

L'outil de calcul élément fini utilisé, G E F D Y N , a c o m m e particularité de pouvoir générerdans un sous espace Q s d'un milieu semi-infini Q¿ (Figure 1) des champs sismiquesincidents [Modaressi, 1987]. Avec la croissance exponentielle des performances enmatière d'informatique, cet outil nous a permis aujourd'hui de simuler aisément lapropagation d'ondes sismiques en 2 ou 3 dimensions.

Nous nous focaliserons dans cette partie sur la génération d'ondes incidentes auniveau de la frontière I située entre les domaines 0 s et Û s , supposés élastiques.

Figure 1 - Géométrie du domaine

Les ondes générées sont des ondes monochromatiques planes harmoniques solutiondes équations de l'élastodynamique,

\2C M

dont le champ de déplacement solution à pour forme

-70 , , , ÎÛ)u =

Avec :

h = exP — U-îÍÚ) /

— {¿.x -cLt) et fr = exp70



Sans diminuer la généralité de la solution, nous avons considéré une propagation dansle plan xz. D'où les expressions suivantes pour les composantes du champ dedéplacement :

uy =

Lors de ce projet, la programmation de génération d'onde est dérivée des équations ci-dessus afin de pourvoir générer au choix des ondes P, SV , S H ou une combinaisondes différents types d'ondes avec un angle d'incidence quelconque. Le sous chapitre1.2 présente les résultants obtenus.

1.2. DEVELOPPEMENT ET VALIDATION DES FRONTIERESABSORBANTES

1.2.1. Validation des éléments paraxiaux (éléments frontières)

Pour valider la génération et la propagation d'ondes sismiques dans un milieu élastiquemonophasique avec le logiciel G E F D Y N , nous avons comparé pour des problèmessimples les solutions analytiques et numériques. Les tests ont consistés en lagénération d'ondes P et S V en 2 et 3 dimensions.

Cas test 2 D n°1 Génération d'une onde de compression (onde P) à incidencesurface horizontale comporte des éléments paraxiaux permettant

La Figure 2 montre l'amplitude de la composante y deverticale. Lal'absorption de l'onde générée.la vitesse à un instant t et les n œ u d s où l'on compare les vitesses théorique etnumérique. La Figure 3 (a)-(b)-(c) expose tes résultats obtenus aux n œ u d sprécédemment cités.

Nœud 729

Nœud 66

step D 087Cnfitour Fin of VEiocly. Y-vaoctty.

Figure 2 - Visualisation de l'amplitude de la composante y de la vitesse à un instant t

V-Vgfcciiy

0 533 [la

on «as0.300290.16399OMT431-C O4B916-0 16533-C 2?1ri-0 39911-DSI«



Noeud 833

0,6

0,4

M 0,2 -

S °MO*S-0,2

-0,4

-0.6

Vy sirmJée

Vy théorique

Vx amtiée (onde parasite)

0,05 0,1 0.15 0,2

Temps (s)

(a) Comparaison des vitesses simulée et théorique au nœud 833

Noeud 66

0,6

0.4

0.2

oto

2 -0.2 *

-0 ,4

-0.6

Vy simulée

Vy théorique

- Vx simulée (onde parasite)

0.05 0.1 0,15 0.2

Temps (s)

(b) Comparaison des vitesses simulée et théorique au nœud 66

Noeud 729

0,6 i

0,4

0,2

">M Ij0)m -0.2

Vy simuléeVy théoriqueVx simulée [onde parasite)

0,05 0.1 0,15 0.2

-0,4

-0,6

Temps (s)

(c) Comparaison des vitesses simulée et théorique au nœud 729

Figure 3 - Comparaison entre les vitesses simulées et théoriques



Cas test 2 D n°2 : Génération d'une onde de compression (onde P) à incidenceverticale. La surface horizontale est une surface libre (réflexion d'onde à la surface). LaFigure 4 montre l'amplitude de la composante y de la vitesse à un instant t et lesn œ u d s où l'on compare les vitesses théorique et numérique. La Figure 5 (a)-(b)-(c)expose les résultats obtenus aux noeuds précédemment cités.

O n notera que l'onde théorique n'inclue pas le calcul de la réflexion d'onde à la surfacelibre. Les résultats numériques nous permettent donc d'observer les effets de laréflexion.

N œ u d 1348

Y.ïttocity

1

1I 036*

C BD673

C57612

(3*6

0 1156a

-B1H23

•0 34435

-DS74 Í7

•[I B0458

10347

Figure 4 - Visualisation de l'amplitude de la composante y de la vitesse à un instant t

Noeud 833 V y simulée avec réflexionVy théorique sans réflexion

— Vx simulée (onde parasite)

Temps (s)

(a) Comparaison des vitesses simulée et théorique au n œ u d 833. La courbe théorique a été tracée sans prise encompte de la réflexion de l'onde à la surface libre.

10 BRGM/RP-54995-FR - Rapport d'avancement


0,8

0,6

-0,2

-0 4

-0,6

-0,6

-1

1

A/, II

• 1 '

!

•Joeud 36 - Vy simulée avec réflexion

Vy théorique sans réflexion

— V x simulée (onde parasite)

A A A A A

i 1 11 1

i¡

j jj {J |j

|M

|

j j ;i

\ r i-i v~T i*T ! ~ J "T |"*j \~* j~T 1~

j 11

i i

i\

i

I 1 1

u u u v u y v

8

Temps (s)

(b) Comparaison des vitesses simulée et théorique au n œ u d 66. La courbe théorique a été tracée sans prise en comptede la réflexion de l'onde à la surface libre.

Noeud 1348

0,6

0,4

0,2

S -0,2

-0,4

-0,6

Vy simulée avec réflexion

Vy Théorique sans réflexion

— Vx simulée (onde parasite)

0,1 0 ^ 0.3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Temps (s)

(c) Comparaison des vitesses simulée et théorique au n œ u d 1348. La courbe théorique a été tracée sans prise encompte de la réflexion de l'onde à la surface libre.

Figure 5 - Comparaison entre les vitesses simulées et théoriques

Cas test 2 D n°3 : Génération d'une onde de cisaillement (onde SV) à incidenceverticale. La Figure 6 expose les résultats obtenus au n œ u d 833 (position sur Figure4).

BRGM/RP-54995-FR - Rapport d'avancement 11


Noeud 833

(A

0,6

0,4

0,2

O) o

(A

2>-0,2

-0,4

-0,6

(l\ 0,02

\ /

/

/ 0,04

\

— VxsimiieeVy (onde parasite)Vx théorique

-

\

0,06 \ 0,06 0

\ /

Temps (s)

Figure 6 - Comparaison des vitesses simulée et théorique au nœud 833

Cas test 2 D n°4 : Génération d'une onde de cisaillement (onde SV) à incidence 15° parrapport à la verticale. La Figure 8 expose les résultats obtenus au n œ u d 366 (Figure7).

O n notera que l'onde théorique n'inclue pas le calcul de la réflexion d'onde à la surfacelibre. Les résultats numériques nous permettent donc d'observer les effets de laréflexion.

Nœud 366

Figure 7 - Représentation vectorielle du module de la vitesse à un instant t



Nœud 366 — Vx simulé« wc rHkxionVx thioriqu* u n i rtttatkm

ifl

Time (s)

Figure 8 - Comparaison des vitesses simulée et théorique au nœud 366

En conclusions, les simulations 2 D sont donc très satisfaisantes car c o m m e nouspouvons le constater sur les Figure 3 à 8, les résultats numériques concordent avec lessolutions analytiques. Ces résultats nous permettrons une étude précise del'interaction sol structure en 2 D puisque la génération d'onde est parfaitementmaîtrisée.

Cas test 3 D n°1 : Génération d'une onde de cisaillement (onde SV) à incidenceverticale. La Figure 9 présente les n œ u d s pour la comparaison des vitesses (Figure10).



Figure 9 - Localisation des nœuds où les vitesses numériques sont comparées



Comparaison des vitesses Vx en surface

—Vx 257Vx1602Vx 1971Vx3530

-0,5

Temps (s)

Comparaison des vitesses Vy en surface

— Vy2S7VyiaO2Vy1971Vy3S30

Temps (s)

Comparaison des vitesses Vz en surface

£o

>

0,04

0,03

0,02

0,01

0

•0,01

-0,02

-0,03

-0,04

' I 0.05 V<6\1 f 0,15 \ QJ 0.25 \ O.V 0,35

—Vz257VziaO2Vz1971V23530

Temps (s)

Figure 10 - Comparaison des vitesses aux nœuds 257, 1602, 1971, 3530 (Les ondes en x eten y étant des ondes parasites )



La tendance mise en évidence sur la Figure 10, à savoir la non homogénéité desamplitudes en surface, est aussi visible sur la représentation 3 D de la Figure 11. Lafinesse ainsi que la régularité du maillage pourraient expliquer cet artefact numérique.Une autre explication à ce phénomène pourrait être l'ordre de développement deséléments paraxiaux. En effet, l'intégration de l'impédance sur le domaine frontière n'estpas connue analytiquement. L'action spectrale est donc obtenue grâce à undéveloppement limité des nombres d'ondes selon les puissances du rapport norme duvecteur d'onde/pulsation [Engquist et Majda, 1977]. Cette approximation engendre lesondes parasites observées en 2 D et 3 D et pourrait être à l'origine de cette variationd'amplitudes en surface.

Le zoom sur les ondes parasites dans les directions y et z reste tout de m ê m eencourageant puisque leur amplitude est faible devant l'onde principale.

step G 091Dttpây vectors of Velocity, x-Velocity factor 50

Figure 11 - Visualisation de ia composante x de la vitesse des ondes de cisaillement

1.2.2. Développement des éléments paraxiaux

Pour palier ou diminuer le problème de génération d'ondes parasites, trois solutionssont envisageables.

La première consiste à élancer la géométrie du problème dans la direction x (Figure12). En effet, plus l'angle entre la directivité de l'onde incidente et la normale à unélément paraxial est faible, moins il y a d'ondes parasites. Cette méthode restenéanmoins coûteuse numériquement car le nombre de n œ u d s augmentent fortementsi l'on désire simuler des couches de sol de forte épaisseur.

Figure 12- Elancement de la géométrie dans la direction x



La deuxième solution serait complementer dans G E F D Y N , une matriced'amortissement qui permettrait non seulement une atténuation des ondes parasitesmais aussi une modélisation plus réaliste du comportement des sols. Cette solution estsans doute l'une des plus difficiles et des plus chronophages.

La troisième et dernière solution consiste à élever l'ordre des éléments paraxiaux.Cette dernière solution a été testée (Tableau 1 - Cas test 2 D n°2). Aprèsdéveloppement, nous constatons en effet une légère réduction de l'amplitude desondes parasites. Un passage des éléments paraxiaux à l'ordre 2 pourrait encoreaméliorer la qualité de l'onde générée. Cette perspective peut être envisagée en 2 D et3 D pour la suite du projet.

Paraxiaux à l'ordre 0

X-Velocity

I0.0403040.0307830 0212610.011740.0022192

-0.0073019

-0.016823-0.026344-0.035865-0.045385

X-Vetocity

IParaxiaux à l'ordre 1

0.0387450.030082

0.021420.0127580.0040954-0.004567-0.013229-0 021892-0.030554-0.039216

Tableau 1 - Réduction des ondes parasites grâce à l'augmentation de l'ordre des élémentsparaxiaux. Comparaison des vitesses à un même pas de temps.



2. Modélisation dynamique de bâtiments

2.1. MODELE CONTINU SIMPLIFIE

Cette section aborde la faisabilité de la modélisation des bâtiments par un modèle depoutre continu. Cette technique de simplification est l'une des plus rependues avec lamodélisation des bâtiments par associations de masses et de ressorts (modèle« brochette »). G E F D Y N ne permettant pas l'affectation d'une masse à un n œ u d , lamodélisation par poutre continue a été la plus simple à mettre en œuvre. Cependant, laprincipale question qui é m a n e d'une telle modélisation est la suivante : dans quellemesure est-il possible de réduire le nombre de n œ u d s pour obtenir une évaluationcorrecte de la rigidité d'une poutre ? En éléments finis, plus le nombre de n œ u d s estfaible, plus la rigidité des objets modélisés est grande par rapport à la réalité. C'est àcette question que nous allons tenter de répondre en évaluant le nombre de n œ u d snécessaire pour atteindre la rigidité voulue d'une poutre tridimensionnelle. Noustenterons de généraliser ce résultat à la modélisation d'un bâtiment de deux étages.

2.1.1. Tests numériques sur une poutre encastrée

Le schéma de la modélisation correspond à la Figure 13. L'expérience consiste àappliquer une force p(t) en tête de la poutre (0.1 x 0.1 x 2 m ) dont l'évolution dans letemps suit la courbe de la Figure 14.

P(t)

Figure 13- Schéma de ¡a modélisation



-t

Figure 14- Evolution dans le temps de la force appliquée en tête de poutre

Nous avons comparé les simulations numériques aux résultats théoriques en statique,puis en dynamique.

Résultat théorique en statique :

Soit K, la raideur de la poutre et u(t), le déplacement en tête de poutre. En statique,ces grandeurs sont reliées par la relation suivante :

p(t) = K.u(t)

avec K = 3EI/L^ pour une poutre encastrée-libre, I étant l'inertie de la poutre, E sonmodule d'Young et L, sa longueur.

Pour ce cas test, nous avons fixé les valeurs suivantes : L = 2m, E = 27 GPa, I = 0.1 x0.1^ x2 = 0.02 m^u = 0.01 m.

La Figure 15 représente le déplacement en tête de poutre en fonction des pas detemps. On peut observer que lorsque le nombre de noeuds augmente, le résultatnumérique converge vers la solution théorique. La Figure 16 trace cette convergence.



-t

Figure 14- Evolution dans le temps de la force appliquée en tête de poutre

Nous avons comparé les simulations numériques aux résultats théoriques en statique,puis en dynamique.

Résultat théorique en statique :

Soit K, la raideur de la poutre et u(t), le déplacement en tête de poutre. En statique,ces grandeurs sont reliées par la relation suivante :

p(t) = K.u(t)

avec K = 3EI/L^ pour une poutre encastrée-libre, I étant l'inertie de la poutre, E sonmodule d'Young et L, sa longueur.

Pour ce cas test, nous avons fixé les valeurs suivantes : L = 2m, E = 27 GPa, I = 0.1 x0.1^ x2 = 0.02 m^u = 0.01 m.

La Figure 15 représente le déplacement en tête de poutre en fonction des pas detemps. On peut observer que lorsque le nombre de noeuds augmente, le résultatnumérique converge vers la solution théorique. La Figure 16 trace cette convergence.



0,01

0,008

EotüQ .

O

0

0

0

,006

,004

,002

-Theory

-623nodMB66 iKiou1682 naM*

-22*1 nodn-5M2lMd«t

0 20 40 60

Pas de temps

Figure 15 - Déplacement en tête d'une poutre encastré

1000 2000 3000 4000

Nombre de noeuds

5000 6000

Figure 16- Convergence logarithmique du résultat numérique vers le résultat théorique

La convergence est logarithmique. Pour ce problème statique, un bon compromisprécision/temps de calcul/nombre de n œ u d s suggère un maillage avec environ 2000n œ u d s pour 0.02 m 3 .

Il faut noter que ce résultat est indépendant de l'échelle du problème, mais dépend dela géométrie de la poutre.



Résultat théorique en dynamique :

La réponse d'une poutre continue pour un chargement du type : p(t) = po . t/tr (Figure14), dépend essentiellement de son premier m o d e . Nous pouvons donc assimiler lapoutre à un oscillateur à un degré de liberté dont la réponse en déplacement s'obtientfacilement grâce à l'intégrale de Duhamel [Chopra, 2001] :

,«(0 = f—rsin¿yn(/-r)t/r pourt<tr

(sin û>af-sino, (*-/,)) <K pour t >

La Figure 17 représente l'oscillation du déplacement en tête de poutre. D e m ê m e qu'enstatique, on remarque que lorsque le nombre de noeuds augmente, la courbenumérique tend vers la courbe théorique.

0,014

—Theory - Nat. period - 0,07«—133 nodes - Nat period = 0,04«

623 nodes - Nat period = 0,059s866 nodes - Nat period = 0,061s2291 nodes - Nat, period = 0,067s

0,05

Temps (s)

Figure 17 - Réponse dynamique d'une poutre continue (comparaison théorie - numérique)

Au vu de ces résultats (statique et dynamique), il semble réaliste de modéliserquelques bâtiments selon le modèle de poutre continu avec G E F D Y N et d'étudierl'interaction sol structure. Néanmoins, la modélisation d'un bâtiment réel (Figure 18) oubien l'étude de l'effet site ville semble hors de portée.



Figure 18- Modélisation d'un bâtiment d'un étage avec GEFDYN

2.2. IMPLEMENTATION DU MODELE BROCHETTE DANS GEFDYN

L'étude des effets site-ville est faisable avec G E F D Y N .

U n e solution, déjà utilisée par l'Ecole Centrale Paris, consiste à utiliser des élémentspoutre pour modéliser à la fois les poutres et les masses du modèle brochette (Figure19). Cette solution sera testée en 2007 sur le cas de la ville de Nice.

O n peut sinon envisager de développer un « vrai » modèle masses-ressorts, enajoutant dans G E F D Y N , la possibilité d'affecter une masse à un n œ u d et en utilisantune combinaison masses ponctuelles-éléments poutres. Cette solution sera testée en2008.

Figure 19- Représentation d'un modèle masse-ressort







3. Conclusions

Ce rapport d'avancement s'inscrit dans le cadre du Module « Interaction Sol-Structure2 » (ISS2) du projet cible VULNERISK (PDR06ARN10). L'objectif final de l'étude estd'évaluer la capacité d'un outil de calculs par éléments finis existant au brgm (logicielGEFDYN) à modéliser l'interaction sol-stnjcture à différentes échelles (bâtiment,quartier, ville).

Dans ce rapport, nous avons présenté les deux premières phases de l'étude, à savoirla modélisation de la propagation des ondes en milieu homogène d'une part et lamodélisation de bâtiments sur base rigide d'autre part. Ces phases visaient à faire unbilan des possibilités de GEFDYN et des améliorations éventuellement à apporter,pour atteindre l'objectif final de l'étude. Les phases ultérieures permettront d'étudierl'interaction sol-structure aux différentes échelles, avec un cas test de référence.

Concernant la modélisation de propagation d'ondes avec GEFDYN, la méthodologieutilisée a été la suivante :

> Introduction d'une onde harmonique plane dans un domaine homogène linéaireélastique via les éléments paraxiaux initialement implémenté par [Modaressi,1987] et développé dans le présent rapport,

> Comparaison des simulations numériques avec les résultats théoriques depropagation des ondes.

Au vu des résultats, le logiciel GEFDYN semble grandement approprié pour traiter cestypes de problèmes.

Le comportement linéaire des bâtiments à été étudié avec GEFDYN en utilisant unemodélisation continue de la stmcture (éléments poutres). Les tests réalisés en 3Dmontrent que l'étude de l'interaction sol-structure est possible. Néanmoins, l'étude deseffets site-ville regroupant plusieurs dizaine de structures nécessiterait unemodélisation de type brochette. Les résultats obtenus sont toutefois encourageant pourles futures études envisagées.



3. Conclusions

Ce rapport d'avancement s'inscrit dans le cadre du Module « Interaction Sol-Structure2 » (ISS2) du projet cible VULNERISK (PDR06ARN10). L'objectif final de l'étude estd'évaluer la capacité d'un outil de calculs par éléments finis existant au brgm (logicielGEFDYN) à modéliser l'interaction sol-stnjcture à différentes échelles (bâtiment,quartier, ville).

Dans ce rapport, nous avons présenté les deux premières phases de l'étude, à savoirla modélisation de la propagation des ondes en milieu homogène d'une part et lamodélisation de bâtiments sur base rigide d'autre part. Ces phases visaient à faire unbilan des possibilités de GEFDYN et des améliorations éventuellement à apporter,pour atteindre l'objectif final de l'étude. Les phases ultérieures permettront d'étudierl'interaction sol-structure aux différentes échelles, avec un cas test de référence.

Concernant la modélisation de propagation d'ondes avec GEFDYN, la méthodologieutilisée a été la suivante :

> Introduction d'une onde harmonique plane dans un domaine homogène linéaireélastique via les éléments paraxiaux initialement implémenté par [Modaressi,1987] et développé dans le présent rapport,

> Comparaison des simulations numériques avec les résultats théoriques depropagation des ondes.

Au vu des résultats, le logiciel GEFDYN semble grandement approprié pour traiter cestypes de problèmes.

Le comportement linéaire des bâtiments à été étudié avec GEFDYN en utilisant unemodélisation continue de la stmcture (éléments poutres). Les tests réalisés en 3Dmontrent que l'étude de l'interaction sol-structure est possible. Néanmoins, l'étude deseffets site-ville regroupant plusieurs dizaine de structures nécessiterait unemodélisation de type brochette. Les résultats obtenus sont toutefois encourageant pourles futures études envisagées.


Interaction Sol Stnjcture/Effet Site-Ville

4. Bibliographie

Chopra, A.K., Dynamics of Structures. Theory and application to earthquakeengineering.. Second edition, 132, 2001.

Engquist, B., et A. Majda, Absorbing boundary condition for the numerical simulation ofwaves. Mathematics of Computation, vol. 31, n°139, 629-651, 1977.

Modaressi, H., Modélisation numérique de la propagation des ondes dans les milieuxporeux anélastiques. Ecole Centrale Paris, 1987.

BRGI\/I/RP-54995-FR - Rapport d'avancement 27

Interaction Sol Stnjcture/Effet Site-Ville

4. Bibliographie

Chopra, A.K., Dynamics of Structures. Theory and application to earthquakeengineering.. Second edition, 132, 2001.

Engquist, B., et A. Majda, Absorbing boundary condition for the numerical simulation ofwaves. Mathematics of Computation, vol. 31, n°139, 629-651, 1977.

Modaressi, H., Modélisation numérique de la propagation des ondes dans les milieuxporeux anélastiques. Ecole Centrale Paris, 1987.

BRGI\/I/RP-54995-FR - Rapport d'avancement 27


BRGM/R P-54995-FR - Rapport d'avancement 29


BRGM/R P-54995-FR - Rapport d'avancement 29


^brgmCentre scientifique et technique

Service Aménagement et Risques Naturels3, avenue Claude-Guillemin

BP 6009 - 45060 Orléans Cedex 2 - France - Tél. : 02 38 64 34 34


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Documents

Faisabilité de la Modélisation de l'Interaction Sol-Structure et/ou des