Etude de l'interaction d'une onde de choc avec.pdf

ECOLE ROYALE MILITAIRE

158èm e Promotion Polytechnique

Marie Louise Henin

Année Académique 2007 - 2008

3èm e épreuve

Etude de l'interaction d'une onde de choc avec des.murs en maçonnerie

par le

Sous-lieutenant élève

A urélie Evrard

et le

Sous-lieutenant élève

Véronique Waelkens

Mémoire introduit pour l'obtention du

diplôme du grade d'ingénieur civil

polytechnicien

sous la direction : Mr J. VANTOMME

Professeur

Bruxelles, 2008

Nous tenons à exprimer notre profonde gratitude à notre promoteur, le Professeur J. Vantomme,

pour l'aide qu'il nous a apportée et les encouragements qu'il nous a prodigués tout au long de

ce travail.

Nous remercions Monsieur Dr ir Jean-Marie Ndambi, deuxième lecteur de ce travail, pour sa

disponibilité, sa confiance et ses précieux conseils en particulier en ce qui concerne l'utilisation

du programme Autodyn@.

Nous remercions le Lt ColIMM Goris pour avoir pris le temps de répondre à nos questions.

Nous aimerions également remercier Monsieur Vincent Croquet, chercheur au département de

Construction, pour nous avoir donné certaines explications en ce qui concerne le programme

Autodyn@.

Un grand merci au Kapt Desmet pour ses conseils qui nous ont permis de résoudre des problèmes

rencontrés lors des simulations avec Autodyn@.

Nos remerciements vont également à Monsieur Moradi, directeur de la recherche en ingénierie de

l'Université d'Alabama à Birmingham (USA), qui nous a apporté son aide en dépit d'un emploi

du temps fort chargé.

Enfin, notre gratitude va à nos familles qui nous ont soutenues tout au long de notre travail et

nous ont aidées à mener à terme la rédaction de ce celui-ci.

Bruxelles, le 2 novembre 2008

Aurélie Evrard

Véronique Waelkens

1

Table des matières iv

Table des figures x

Glossaire

0.1.1 ENV 1996-1-1 .

0.2 Symboles utilisés

0.1 Définitions.

xi

Xl

xi

xii

1 Introduction

2.4 Théorie relative aux systèmes dynamiques (Bourgeois (1999))

2.4.2 Système à un degré de liberté .

2.5 Explosions .

2.5.1 Explosion chimique .

2.5.2 Phénoménologie d'une explosion

2 Rappel théorique

2.1 Etude de la maçonnerie

2.1.1 Introduction

2.1.2 Béton

2.1.3 Mortiers

2.1.4 Le mur en maçonnerie

2.2 Etude d'un mur subissant de la flexion

2.2.1 Ligne de poussée

2.2.2 Effet membranaire

2.3 Fonction de résistance ..

1

2

2

2

2

5

7

9

10

13

13

15

15

15

18

18

18

Introduction2.4.1

2.5.3

2.5.4

2.5.5

Choc engendré par l'explosion.

Réflexions des ondes de choc

Equivalence TNT .

20

21

25

3 Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques

3.1 Introduction .

3.2 Théorie exposée dans le TM5-1300 (1990)

3.2.1 Hyphothèses .

3.2.2 Fonction de résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée

3.3 Théorie de Smith et al. (1994). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.1 Fonction de résistance d'un n1ur en maçonnerie non renforcée

3.4 Théorie de Moradi (2008)

3.4.1 Introduction


3.5 Conclusion

27

27

28

28

29

34

34

39

39

39

52

4 Etude paramétrique de la fonction de résistance statique

4.1 Analyse paramétrique de la fonction de résistance selon le TM5-1300 (1990)

4.1.1 Influence de la hauteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.2 Influence de l'écart entre le mur et le support supérieur

4.1.3 Influence de l'épaisseur. . . . . . . . . . ....

4.1.4 Influence de la résistance à la compression f:n4.2 Analyse paramétrique de la fonction de résistance selon Smith et al. (1994)

4.2.1 Influence de la hauteur.

4.2.2 Influence de l'épaisseur.

4.2.3 Influence de la résistance à la traction

4.3 Analyse paramétrique de la fonction de résistance selon Moradi (2008)

4.3.1 Cas sans effet membranaire

4.3.2 Cas avec effet membranaire

4.4 Comparaison des trois fonctions de résistance

4.5 Conclusion .

5 Simulation avec Autodyn@

5.1 Concepts et définitions .

5.1.1 Introduction

5.1.2 Hydrocodes.

53

53

54

55

56

57

58

58

59

60

61

62

68

75

77

78

78

78

78

ii

5.1.3 Stabilité .

5.1.4 Les solveurs Lagrange et Euler

5.2 Méthodologie .

5.2.1 Modèle à schématiser

5.2.2 Wedge..... ..

5.2.3 Etude de l'onde.

5.2.4 Premier modèle simulé : maillage grossier

5.2.5 Etude paramétrique

5.2.6 Modèle simplifié ..

5.3 Problèmes principaux rencontrés lors de l'utilisation du logiciel Autodyn@

5.4 Conclusion .

81

81

82

82

83

86

90

95

97

117

117

6 Comparaison entre les calculs analytiques et numériques

6.1 La méthode suivie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.1 Fonction de résistance sous sollicitation dynamique .

6.1.2 Résolution du SDOF à l'aide de NONLIN@

6.2 Comparaison des résultats obtenus avec les deux méthodes

6.2.1 Solution du SDOF

6.3 Conclusion ..

118

118

118

119

121

121

125

7 Exemple pratique

7.0.1 Charges sur le mur .

7.0.2 Fonction de résistance sous sollicitation dynamique ..

7.0.3 NONLIN@

7.0.4 Conclusion

126

126

128

130

131

8 Conclusion

8.1

8.2

8.3

8.4

Références . .

Thèses ...

Présentations PowerPoint

Sources internet .

133

136

137

137

137

9 Annexe 1

9.1 Equations d'état (EOS)

9.1.1 Gaz idéaux ...

9.1.2 Poudres, béton et sols

140

140

140

141

iii

9.1.3 Les explosifs .

9.2 Equations constitutives (Strength model)

9.3 Modèle de rupture .

9.3.1 Hydrodynamic Tensile Failure (Pmin)

9.4 Modèle d'érosion . . . . . . . . . . . . ....

10 Annexe 2

11 Annexe 3

11.0.1 Diagrammes obtenus - Modèle grossier pour l'air ....

11.0.2 Coordonnées des jauges pour avoir la pression réfléchie.

12 Annexe 4

12.0.3 TM5-1300 (1990) .

12.0.4 Smith et al. (1994)

12.0.5 Moradi (2008)

143

144

146

146

146

147

157

157

158

160

160

161

164

iv

9

9

9

10

11

14

16

19

20

2.1 Mur en maçonnerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7

2.2 Relation contrainte-déformation idéalisée par un bloc de contrainte en compres-

sion rectangulaire (Pauleyet al. (1994)) .

2.3 Déformation et bloc de contrainte équivalent (Pauley et al. (1994))

2.4 Plan de rupture parallèle aux lits de pose (ref: ENV 1996-1-1)

2.5 Addition des diagrammes de compression et de flexion

2.6 Mur sans forces appliquées .

2.7 Mur subissant une pression latérale uniforme - la ligne de poussée est en pointillé

(ref: Drysdale et al. (1994)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.8 Evolution du diagramme de contraintes à différents niveaux de hauteur (ref :

Drysdale et al. (1994)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.9 Exemple : fonction de résistance d'un mur soumis à une pression uniforme (figure

adaptée d'après la figure 7.6 de Drysdale et al. (1994)) ..

2.10 Système masse-ressort-amortisseur (ref: Bourgeois, 1999)

2.11 Diagramme des pressions (ref: Bourgois (1999))

2.12 Formation des ondes de choc (ref: Bourgois, 1999)

2.13 Pression en fonction de la distance au centre de l'explosion dans le cas d'une

explosion ponctuelle(ref : Bourgois (1999)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21

2.14 Transition de la réflexion oblique régulière vers le front de Mach (ref : Bourgois

(1999)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.15 Front de Mach (ref: Bourgois (1999)) 23

2.16 Front de Mach (figure adaptée d'après la figure 3 du torne 2 de Bourgois (1999)) 23

2.17 Céométrie du pied de Mach formée lors d'une explosion en altitude (figure adaptée

d'après la figure 4.37 de Trelat (2006) 24

2.18 Courbe empirique de hauteur Jlô~ en fonction de la distance ~~ (ref: Kinney,

1985) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24

v

Table des figures

3.1 Dimensionnement d'un Inur en maçonnerie non renforcée. . . . . . . . . . . . .. 28

3.2 Dimensionnement d'une poutre en maçonnerie non renforcée obtenue en faisnat

la coupe verticale du mur d'une largeur 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28

3.3 Mur en maçonnerie non renforcée (figure adaptée d'après la figure 6.9 du TM5-

1300 (1990)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29

3.4 Flèche d'un mur en maçonnerie après rotation jusqu'à atteindre un déplacement

latéral ,6,c (figure adaptée d'après la figure 6.9 du TIVI5-1300 (1990)) . . . . . .. 29

3.5 Déplacement au milieu d'un mur en maçonnerie après rotation jusqu'à atteindre

un déplacement latéral ,6,m (qui vaut l'épaissseur) (ref: TM5-1300, 1990) .... 30

3.6 Action des forces de compression (figure adaptée d'après la figure 6.10(a) du

TM5-1300 (1990)) 31

3.7 Comportement structurel d'un mur en maçonnerie non renforcée ayant des sup-

ports rigides (figure adaptée d'après la figure 6.10(b) du TM5-1300 (1990)) 32

3.8 Mécanisme de rupture d'un mur en maçonnerie simplement appuyé (figure adaptée

d'après la figure 11.9 de Smith et al. (1994)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34

3.9 Poutre simplement appuyée aux extrémités et soumise à une charge q uniformément

répartie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35

3.10 Poutre simplement appuyée aux extrémités et soumise à une charge q uniformément

répartie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37

3.11 Fonction de résistance d'un mur en maçonnerie simplement appuyé aux extrémités

(figure adaptée d'après la figure 11.10 de Smith et al.(1994)) . . . . . . . . . . .. 38

3.12 Notations introduites pour le mur pour la hauteur, la largeur, l'épaisseur et no

minations des faces du Inur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40

3.13 La force de compression résultante R est opposée au poids propre W /2 du bloc

supérieur et à la surcharge P (figure adaptée d'après la figure 5.1-2 de Moradi

(2008) . 41

3.14 Evolution de la distribution des contraintes pendant la fissuration d'une section

horizontale du nlur (ref: Paulay and Priestley et al. (1992)) . . . . . . . . . . .. 41

3.15 Déplacement du Inur soumis à une charge uniforme latérale. Cette représentation

permet de calculer l'équilibre des moments (figure adaptée d'après la figure 5.2-1

de Moradi (2008)) 43

3.16 Fonction de résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée (ref: Moradi (2008)) 47

3.17 Mur en flexion entre deux supports rigides (ref: Moradi (2008)) . . . . . . . . .. 48

vi

Table des figures

3.18 Flexion d'un mur placé entre deux supports rigides - Représentation des forces

utilisées pour le calcul de l'équilibre des moments (ref : Moradi (2008)) . . . . .. 49

3.19 Fonction de résistance d'un nllU en maçonnerie non renforcée en considérant l'effet

membranaire (ref: Moradi (2008)) . 51

4.1 Influence de la hauteur sur la fonction de résistance. 54

4.2 Influence de l'espace vide h'-h sur la fonction de résistance. . 55

4.3 Zoom sur l'influence de l'espace vide h'-h ..... . 55

4.4 Influence de l'épaisseur sur la fonction de résistance 56

4.5 Influence de la résistance à la compression sur la fonction de résistance. 57



4.8 Influence de la résistance à la traction sur la fonction de résistance 61



4.11 Influence de la surcharge sur la fonction de résistance. . 64

4.12 Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie (!:n) sur la fonction

de résistance 65

4.13 Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie !:n sur la fonction de

résistance - (zoom sur les pressions m aximales ) . . . . . . . . . . 66

4.14 Influence de la rigidité des supports sur la fonction de résistance 67



4.17 Influence de la surcharge sur la fonction de résistance . 70

4.18 Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie (!:n) sur la fonction

de résistance 71

4.19 Représentattion d'un bloc creu 73

5.1 Maillage composé de quadrilatères (Autodyn-3D vl1.0 from Century Dynamics) 84

5.2 wedge de 795 mm de long et la jauge en 690 mm - en vert le TNT et en bleu

l'air (Autodyn-3D vl LIl from Century Dynarnics) . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85

5.3 Courbe empirique de hauteur };tJ~ en fonction de la distance ~~ (ref: Kinney,

(1985) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86

5.4 Le front de Mach à 2,868 ln. Position des jauges à différentes distances du centre

de l'explosion (Autodyn-3D vl1.0 from Century Dynamics) . . . . . . . . . . .. 88

vii

Table des figures

5.5 Le diagramme des pressions en fonction du temps à différentes hauteurs à une

distance de 2,868 ln de la charge (Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics) 88

5.6 L'influence du flow out à une distance de 5 m de la charge (Autodyn-3D v11.0

from Century Dynamics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89

5.7 La diminution de l'influence du flow out due à l'augmentation de la hauteur de

l'espace d'air (Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics) 90

5.8 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.9 Schématisation du problème à considérer (vue du haut) 92

5.10 Modèle 3D comprenant le mur et les vecteurs de vitesse de l'onde de choc en

tenant compte de la symétrie par rapport à l'axe z (Autodyn-3D v11.0 from

Century Dynamics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92

5.11 Simulation de l'interaction d'une onde de choc sur un mur sans ajout de parois

(Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93

5.12 Maillage pour le nlur et les parois (Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics) 94

5.13 Modèle 3D comprenant l'air, le mur et les parois (Autodyn-3D v11.0 from Century

Dynamics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 94

5.14 Diagramme de la pression réfléchie en fonction du temps (Autodyn-3D v11.0 from

Century Dynamics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95

5.15 Pression pour une jauge placée à 0.1 mm du mur (Autodyn-3D v11.0 from Century

Dynamics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96

5.16 Contrainte O"yy dans le mur avant l'interaction avec l'onde (Autodyn-3D v11.0

from Century Dynamics) . 96

5.17 Maillage du bloc d'air . . 97

5.18 Modèle 3D simplifié comprenant le mur entouré d'une paroi. Les vecteurs de

vitesse sont aussi représentés (Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics) . . .. 99

5.19 Profils des pressions réfléchies pour les jauges placées à différentes hauteurs au

milieu de la largeur du mur (Autodyn-3D v l Lû from Century Dynanlics). 100

5.20 Zoom sur les pics de pressions (Autodyn-3D v Ll.O from Century Dynamics) 100

5.21 Evolution des pressions réfléchies en fonction du temps (maillage de l'air grossier)

- jauge à une hauteur de 795 nlln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.22 Evolution des déplacements dans le temps (Autodyn-3D v11.0 from Century Dy-

namics) 102

5.23 Evolution des contraintes O"yy dans le temps (Autodyn-3D v11.0 from Century

Dynamics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

viii

Table des figures

5.24 Déformation du mur au niveau des jauges 1, 9 et 17 en fonction du temps

(Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics) 106

5.25 Contraintes dans les jauges 1, 9 et 17 (Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics) 107

5.26 Fissuration dans le mortier après 37 ms (Autodyn-3D v11.0 from Century Dyna-

mies) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.27 Evolution des déplacements pour les jauges 1, 8, 9 et 17

5.28 Evolution des contraintes pour les jauges 1, 8, 9 et 17 .

5.29 Evolution des déplacements de la jauge placée à mi-hauteur du mur 1



107

109

109

115

116

116

120

120

6.1 Fonction de résistance . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Pression réfléchie sur le mur en fonction du temps

6.3 Méthode établie dans le but de comparer les résultats obtenus analytiquement et

numériquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.4 Mur 1 : le déplacement du milieu du mur, la force du ressort et le code d'écoulement

en fonction du temps 122

6.5 Mur 3 : le déplacement du milieu du mur, la force du ressort et le code d'écoulement

en fonction du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.1 Mur en maçonnerie non renforcée sur lequel repose une poutre et une dalle 126

7.2 Dalle .

7.3 Fonction de résistance sans effet membranaire

7.4 Fonction de résistance avec effet membranaire

7.5 Fonction de résistance sans effet membranaire

7.6 Fonction de résistance avec effet membranaire

9.1 Comportement de chargement/ déchargement des matériaux poreux .

9.2 Piecewise-Linear Porous Model

9.3 Compaction Model

9.4 P-alpha EOS

9.5 JWL EOS ..

9.6 Drucker-Prager Linear

9.7 Drucker-Prager Piecewise

9.8 Drucker-Prager Stassi ..

9.9 Hydrodynamic tensile failure model (Pmin = constant)

127

129

129

130

132

141

142

142

143

144

145

145

145

146

ix

Table des figures

1l.1 Contraintes dans le mur au niveau des jauges: 1 (béton), 8(béton) , 9(béton) et

17 (rnortierj ) (Autodyn-3D v l Lû from Century Dynamics) 157

1l.2 Positions dans le lTIlU des jauges 1, 9 et 17 (Autodyn-3D v l Lû from Century

Dynamics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

1l.3 Pressions réfléchies au niveau des jauges 43, 53 et 54 (Autodyn-3D vl Lû from

Century Dynamics) 158

1l.4 Contraintes initiales dans le béton (Autodyn-3D vl Lû from Century Dynamica) . 159

x

0.1 Définitions

0.1.1 ENV 1996-1-1

Eléments de maçonnerie éléments préformés en vue de l'utilisation dans les ouvrages de

maçonnerie,

Groupe 1,2a, 2b et 3 pour les éléments de maçonnerie: définition de groupe d'éléments

de maçonnerie, en fonction de la dimension en % et de l'orientation des alvéoles des

éléments en place dans la maçonnerie.

Maçonnerie : assemblage d'éléments de maçonnerie posés selon un appareillage spécifié et

hourdés ensemble par du mortier.

Appareillage : disposition des éléments de maçonnerie selon un aspect régulier pour obtenir

un fonctionnement monolithique.

Résistance caractéristique de la maçonnerie: valeur de résistance correspondant au frac

tile 5% de tous les résultats de mesure de la résistance de la maçonnerie,

Résistance à la compression de la maçonnerie: résistance de la maçonnerie en comptes

sion sans prise en compte des effets de frettage des plateaux de presse, ni de I'élancement

ou de l'excentricité des charges.

Paroi intérieure : partie pleine séparant les trous d'un élément de maçonnerie.

Paroi extérieure : partie pleine située entre un trou et la face externe d'un élément de maçonnerie,

Section brute : aire de la section transversale d'un élément, sans déduction de l'aire des trous,

vides ou retraits.

Mortier : mélange de liants minéraux, de granulats et d'eau, ainsi que si nécessaire d'ajouts et

d'adjuvants.

Coulis : mélange très fluide de ciment, sable et eau destiné au remplissage de vides ou espaces

réduits.

xi

Table des figures

0.2 Symboles utilisés

Notation

a(m)

D(mm)

c

~c(mm)

~l(mm)

~m(mm)

~ (rnm)

~cr (nlln)

~crG (mm)

E(N/m2 )

Em (N / m 2)

En (N/m 2)

Ecu ( -)

Em ( - )

Em ( - )

fm(1YIPa)

f~(l\([Pa)

f~(l\1[Pa)

h(mm)

h1(m)

h2(m)

h(m)

h'(m)

b; [mm]

H(N/mm)

I(m4 )

Signification

Zone de compression

Longueur de la diagonale

Rayon de courbure

Déplacement de la flèche sans résistance

Déplacement élastique maximal de la flèche

Déplacement maximal de la flèche

Déplacement horizontal (Th: Moradi (2008))

Déplacement horizontal juste avant fissuration(Th : Moradi (2008))

Déplacement horizontal (Th: lVIoradi (2008))

Module de Young

Module d'élasticité de la maçonnerie

Module d'élasticité du mortier

Déformation ultime

Déformation du mortier

Déformation du mortier

Résistance en compression du mortier correspondant à la déformation E

Résistance à la rupture en compression de la maçonnerie

Résistance à la rupture en compression du mortier

Hauteur du mur (Th: Moradi (2008))

Hauteur du bloc inférieur (Th: Smith et al. (1994))

Hauteur du bloc supérieur (Th: Smith et al. (1994))

Longueur de la poutre

Hauteur entre le sol et le plafond


Force horizontale par unité de largeur (Th: Moradi (2008))

Moment d'inertie

Moment d'inertie par millimètre de largeur de la poutre (Th: Smith et al. (1994))

Rigidité élastique de la poutre

Largeur de la poutre

xii

Notation

M(Nm)

l\lImax(Nm)

l\;fu

l\;fz(Nm)

l\;f(Nmm)

lVIu(N)

p(N/m2)

P(N)

q(N/m)

R(N/m)

r(N/m2)

r(N/mm2)

rb

ru (N/mm2)

(}max(N/m2)

(}m(N/m2)

(}yy

t(m)

W(N/m)

Wt(N)

W(N/mm)

y(m)

Z

q>cr

q>crG

rJ

Système SDOF

C

K

lVI

P(t)

t

x(t)

Table des figures

Signification

Moment fléchissant

Moment fléchissant maximal

Moment résistant

Moment fléchissant autour de l'axe z

Moment résistant

Moment résistant à la rupture par millimètre de largeur de mur

Charge uniformément répartie par mètre courant de mur (pression)

Surcharge verticale appliquée sur le mur

Charge uniformément répartie

Résistance par mètre de largeur de mur

Résistance par mètre de largeur de mur

Résistance

Résistance exprimée en pression

Résistance correspondant au moment de rupture

Contrainte maximale du mortier

Résistance à la traction du mortier

Contrainte yy pour l'étude dans (Autodyn@)

Epaisseur du mur ; hauteur de la poutre

Poids du mur par mètre courant de mur

Poids du mur

Poids du mur par unité de largeur (Th: Moradi (2008))

Déplacement latéral du mur (Th : Smith et al.)

Déplacement latéral du mur (Autodyn@)

Courbure de la section centrale du n1.11r juste avant formation de la fissure

Courbure du mur quand la fissure se propage dans la section centrale

Facteur utilisé pour la force membranaire

Coefficient d'amortissement équivalent du système SDOF

Constante équivalente du ressort du système SDOF

Masse équivalente du système SDOF

Intensité de la charge appliquée au système SDOF

Temps

Déplacement (réponse)

xiii

Glossaire

Notation

KJI.;J

u,

KK

Kb

K L

Pb

Explosion

di(m)

do(m)

hJl.;J(m)

HOB(m)

is(kPa - ms)

is-(kPa - ms)

P(kPa)

Po (kPa)

Ps(kPa)

Pso(kPa)

Pso- (kPa)

ta(ms)

to(ms)

to- (ms)

Signification

Facteur de lnasse

Masse du mur

Facteur de constante du ressort

Coefficient de rigidité du mur

Facteur de charge

Sollicitation appliquée au mur

Distance à la projection sur le sol du centre d'explosion

Distance de formation du pied de Mach

Hauteur du pied de Mach

Hauteur de l'explosion

Impulsion spécifique de la phase positive

Impulsion spécifique de la phase négative

Pression absolue

Pression ambiante

Surpression

Pic de surpression

Pic de dépression

'Temps d'arrivée

Durée de la phase positive

Durée de la phase négative

xiv

Dans le monde actuel, la menace d'attaques terroristes par des factions ne peut être ignorée.

Les bâtiments occupés tels que les immeubles de bureaux, les restaurants, sans oublier les ins

tallations militaires, sont les principales cibles des terroristes. De telles attaques causent la

désintégration et la fragmentation des murs, I'éclatement des fenêtres et la propulsion à vitesse

élevée d'objets non fixés. Garantir que les murs extérieurs d'une structure puissent résister au

soufRe de l'explosion et qu'ils ne projettent pas de fragments mortels est important pour la

sécurité des occupants. Le risque grandissant d'attentat doit donc être pris en considération

pour le dimensionnement des structures.

Bien que le béton armé soit généralement l'élément essentiel d'une construction, certains murs

tant intérieurs qu'extérieurs sont toujours en maçonnerie non renforcée. Ceux-ci doivent aussi

résister à l'effet d'une explosion d'un véhicule par exemple. C'est dans ce contexte que des en

treprises demandent à l'Ecole Royale Militaire d'exarniner la résistance de leurs bâtiments.

Cette étude est basée sur l'étude de la résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée sous

l'effet d'une explosion. Le but de ce travail est d'apporter une méthode rapide et à moindre coût

permettant de déterminer la résistance d'une variété de structures. Les tests expérimentaux exi

geant une longue préparation et un certain budget ne sont pas une méthode adaptée pour les

industries souhaitant vérifier la résistance de leurs bâtiments, C'est pourquoi la recherche a été

orientée vers une méthode analytique et numérique.

Le travail a été organisé en cinq chapitres. Le premier chapitre présente quelques rappels

théoriques sur la maçonnerie et les explosions. Le second consiste en une étude sur le développement

analytique de la fonction de résistance. Le troisième est consacré à l'étude paramétrique de la

fonction de résistance. Dans le quatrième chapitre, est présenté le développement d'un modèle

numérique d'un mur en maçonnerie non renforcée sous sollicitation dynamique fait à l'aide

d'Autodyn@ . Le dernier chapitre fournit une discussion sur les résultats obtenus de manière

analytique et numérique ainsi que des recommandations pour la continuation future du travail.

1

Cette partie a pour objectif de rappeler certaines définitions et phénomènes bien connus des

spécialistes pour une meilleure compréhension de notre travail.

2.1 Etude de la maçonnerie

2.1.1 Introduction

~ La maçonnerie est la plus ancienne méthode de construction ~, Oscar Pfeffermann,

La maçonnerie a comme caractéristique de présenter de très bonnes propriétés mécaniques,

comme la robustesse et la durabilité, ainsi que de très bonnes propriétés physiques, comme

l'isolation thermique et l'isolation acoustique. Les éléments de maçonnerie, les briques et le

mortier ont été améliorés au fil du temps et présentent à l'heure actuelle une qualité constante

et fiable. Cette étude se limite à la maçonnerie en béton.

2.1.2 Béton

Dans le livre ~ Technologie du béton ~, le béton est défini comme suit : -e: le béton est en

principe composé de 70 à 80% de granulats (agrégats), 10 à 15% de ciment, 15 à 20% d'eau et

2 à 5 % d'air(en pourcentage du volume). Les granulats adhèrent les uns aux autres au moyen

d'une matrice de ciment comportant des espaces capillaires interstitiels partiellement remplis

d'eau et partiellement remplis d'air. La matrice de ciment ou pierre de ciment est formée par

réaction d'hydratation entre le ciment et l'eau. ~

Il faut savoir que le béton est un matériau dont les caractéristiques dépendent de sa qualité

de fabrication ainsi que des proportions de certains composants. Par exemple, un faible rapport

eau-ciment permet d'obtenir une résistance plus élevée du béton.

La masse volumique du béton normal à l'état humide est de l'ordre de 2400 kgjm3 • Selon

la norme NBN EN 206 - 1 : 2001, le béton léger est caractérisé par une masse volumique

2

2. Rappel théorique

sèche comprise entre 800 et 2000 kg/m3 et le béton lourd quant-à-lui est caractérisé par une

masse volumique sèche supérieure à 2600 kg/m3 . Le béton est caractérisé par une résistance

à la compression variant de 12 N/mm2 à 50 N/mm2 . La résistance moyenne à la traction est

quant-à-elle plus faible et varie entre 1,6 N/mm2 et 4,1 N/mm2 (Vantomme, (2002)).

Types de matériaux

Le paragraphe ci-dessous est tiré du livre Maçonnerie portante (Oscar Pfeffennann et al.(1999)).

Les matériaux de maçonnerie en béton vendus sur le marché belge sont répartis en classe selon

les critères suivants;

1. les matériaux dont ils sont constitués ;

- béton compact d'agrégats durcis (seulement pour des matériaux de grande résistance)

- béton léger selni-ouvert d'agrégats légers en utilisant;

• des agrégats naturels ; bims et laitier concassé

• des agrégats artificiels ; schistes et argiles expansés

2. La forme

- matériaux de maçonnerie pleins, creux et perforés

- briques (petit format) et blocs (grand format)

3. Le domaine d'application

- matériaux pour maçonnerie non apparente pour lesquels aussi bien le béton léger que le

lourd peut être utilisé.

- matériaux de maçonnerie en béton apparents pour maçonnerie extérieure et intérieure

(exclusivement béton léger)

L'assortiment des matériaux de maçonnerie en béton lourd, généralement utilisés comme

matériaux en béton apparents, offre de nombreuses couleurs (blanc, gris, noir, rose, etc,). De

plus, la surface apparente peut présenter différentes textures et structures selon le béton choisi.

Un bloc en béton a une forme rectangulaire et est disposé dans le plan du mur avec la plus

grande dimension (longueur) placée de manière horizontale.

La norme ENV 1996-1-1/DAN

Ce paragraphe présente certaines notions reprises dans le projet de norme constitué du

texte intégral de l'ENV 1996-1-1-Règles générales et règles pour les bâtiments. Règles pour la

maçonnerie ordinaire et pour la maçonnerie armée de l'Eurocode 6 - Calcul et exécution des

structures en maçonnerie (1995) et du Document d'Application National (DAN).

3


Les éléments de maçonnerie sont répartis en classes, nommées Groupe 1, 2a, 2b et 3. Les

spécifications relatives à ces groupes sont présentées dans le tableau 2.1.

Volume des trous

(% du volume)

1 2a 2b 3

> 25 - 45 pour les > 45 - 55 pour les ::; 70

éléments de terre éléments de terre

cuite cuite

> 25 - 50 pour les > 50 - 60 pour les

éléments en béton éléments en béton

(voir note 1) (voir note 2)

Volume de u'im-

porte quel trou::; 12.5

< 12.5 pour les < 12.5 pour les Limité en fonc

éléments de terre éléments de terre tion de la section

cuite cuite (voir ci-dessous)

(% du volume < 25 pour les < 25 pour les

brute)

Section de n'im-

porte quel trou

éléments en béton éléments en béton

Limité en fonction du volume (voir ci-dessous)

::; 2800 mm2 sauf

pour les éléments

à un seul trou de

section

::; 18000mm2

Epaisseur

mulée (%

cu- ~ 37.5

de

~ 30 ~ 20 pas

spécification

de

la largeur to

tale) (voir note3)

TABLE 2.1 - Tableau reprenant les spécifications relatives aux groupes des éléments de

maçonnerie (ENV 1996-1-1)

Notes

- Les trous peuvent consister en des trous verticaux débouchant à travers les éléments ou en des

empochements ou en des retraits.

- Lorsqu'il existe une expérience nationale fondée sur des essais, qui confirme que la sécurité de

la maçonnerie n'est pas réduite de façon inacceptable par une proportion plus importante du

volume des trous, la limite de 55% (éléments de terre cuite) et 60% (éléments de béton) peut être

dépassée pour les éléments de maçonnerie qui sont utilisés dans le pays ayant cette expérience

4


nationale.

- L'épaisseur cumulée est l'épaisseur des parois intérieures et extérieures mesurée horizontale

ment à travers l'élément perpendiculaire à la face de parement du mur.

2.1.3 Mortiers

Définition

Le mortier est un mélange homogène d'un liant (exemples: ciment, chaux, divers mélanges de

ces matériaux) avec une proportion variable de granulats et d'eau. Des adjuvants peuvent être

ajoutés pour améliorer ses propriétés.

Le mortier durci est caractérisé par une masse volumique dont l'ordre de grandeur varie entre

1800 et 2200 kg/m3 (ref: Béton Vicat). La résistance à la traction du mortier varie autour de

2 MPa selon sa composition et sa résistance à la compression autour de 15 MPa (ref : Couasnet

(2007)).

Le mortier est utilisé en maçonnerie comme élément de liaison, de scellement ou comme en

duit. Sa principale fonction est de lier les éléments de maçonnerie de façon à ce qu'ils constituent

un seul bloc. Ce bloc de construction solide est appelé la maçonnerie. Le mortier, séparant les

éléments, forme une surface de contact homogène puisqu'il remplit toutes les fentes et les fis

sures. Dans une structure portante, le mortier sert à transmettre les contraintes aux matériaux

de maçonnerie puisqu'il permet une répartition, sur une plus grande surface, de l'effort qui se

transmet de bloc en bloc. Sans mortier, les pressions ne peuvent être transmises que par les

surfaces de contact qui, en raison des irrégularités des surfaces, ne présentent qu'un faible pour

centage de la surface totale du joint. Ainsi, le mortier évolue d'un simple liant entre les matériaux

à un élément structurel.

Un mortier -e: universel» convenant à toutes les situations n'existe pas. Le concepteur doit

adapter les propriétés mécaniques du mortier à celles des matériaux afin d'obtenir une résistance

mécanique idéale de la maçonnerie. Aussi, l'ouvrabilité est une propriété importante. Elle ga

rantit un bon rythme de travail.

Il est intéressant de savoir que les mortiers et les bétons de maçonnerie ne remplissent pas les

mêmes fonctions, malgré qu'ils soient constitués des mêmes matériaux de base (ciment, granulats,

eau). Dans un mur, le mortier unit les éléments (briques, blocs, ...) qui donnent à l'ensemble sa

5


résistance mécanique, contrairement au béton qui est un élément de la structure en lui-même.

Lui seul confère à I'ensemble sa résistance mécanique conformément aux exigences structurales.

La résistance mécanique est une des caractéristiques importantes pour le mortier tandis que

pour le béton, c'est une qualité primordiale,

Types

1. Mortiers pour maçonnerie ordinaire :

En Belgique, les mortiers utilisés sont les suivants :

- des mortiers de ciment : ils ont une prise rapide et donc ils permettent un rythme de

travail élevé. Leur inconvénient est un manque d'élasticité et de capacité d'adaptation

aux contraintes dans la maçonnerie. Par conséquent, un grand risque de fissuration dans

la maçonnerie existe.

- des mortiers de chaux: ils durcissent plus lentement que les mortiers de ciment donc

ils permettent un rythme de travail moins élevé. La chaux est plus élastique et s'adapte

mieux aux contraintes dans la maçonnerie. Donc, le risque de fissure est moindre.

des mortiers bâtards: ils mélangent chaux et ciment pour combiner les qualités des deux

liants.

En Belgique, les mortiers sont classés selon leur « résistance moyenne» à 28 jours. La

lettre M désigne le mortier. Elle est suivie d'un nombre qui donne la résistance moyenne

en N /mm2 • Les types de mortiers les plus utilisés sont montrés dans le tableau 2.2 (DAN

belge (Document d'Application National)).

Exemple de composition - dosage

Catégorie Résistance moyenne En poids En volume

de mortier après 28 jours (N/mm2 ) Cinlent Chaux gras Sable

1\120 20,0 0400 1 - 3

]\([12 12,0 0300 1 - 4

1\18 8,0 0250 G50 2 - 9

1\115 5,0 0200 G100 1 1 6

1\12.5 2,5 0150 G150 1 2,5 8

TABLE 2.2 - Types de mortier de maçonnerie les plus utilisés

6


C est le dosage de ciment par m 3 de sable sec et G le dosage de chaux grasse par m 3 de

sable sec.

La nonne prévoit également la possibilité de s'écarter des valeurs de résistance mentionnées

lorsque des essais en laboratoire ont été effectués.

2. Mortiers pour maçonnerie collée:

Les mortiers pour joints minces sont généralement utilisés pour les blocs en béton cellulaire

et en silico-calcaire.

Néanmoins, il existe des mortiers pour joints minces pour blocs de béton. Ces mortiers,

composés d'éléments minéraux, sont conçus pour des joints de 3 à 7 mm. Ils se distinguent

suivant le type de matériau de maçonnerie et sa force d'aspiration: les blocs de béton et

les briques fortement, moyennement ou peu absorbantes.

La résistance élevée à la compression des mortiers pour joints minces (plus de 12, 5N/ mm2 )

influence favorablement la résistance caractéristique de la maçonnerie à la compression.

Utiliser ce mortier offre les avantages suivants:

la force d'adhérence entre le bloc et le mortier augmente

la formation de mousse et de végétaux est limitée

la sensibilité aux efflorescences est moindre

2.1.4 Le mur en maçonnerie

Introduction

Un assemblage en maçonnerie est un élément composé de certains ou de tous les matériaux de

maçonnerie : blocs, mortier, coulis et armature. Dans cette étude, l'assemblage de maçonnerie

(un mur) est composé de blocs et de mortier disposés comme à la figure 2.1.

hauteur

épaisseurlongueur

FIGURE 2.1 - Mur en maçonnerie

7


Eurocode 6 et DAN belge

Selon l'Eurocode 6, la résistance caractéristique à la compression de la maçonnerie fk est

dépendante de la résistance à la compression du béton fm et du mortier fb. La résistance ca

ractéristique à la compression de la maçonnerie fk peut être calculée en utilisant l'équation

2.1.1 :

f = K +,0.65 jO.25k 'Jb' m (2.1.1 )

dans laquelle fm ne peut être inférieur à la plus petite des deux valeurs 20 Njmm2 ou 2.fb et

où

- si la largeur de la maçonnerie est égale à celle des éléments de la maçonnerie et qu'il n'y a

donc pas de joints verticaux dans la section :

• pour la maçonnerie du groupe 1 : K = 0,60;

• pour la maçonnerie du groupe 2a : K = 0, 55 ;

• pour la maçonnerie du groupe 2b : K = 0, 50 ;


- s'il y a des joints verticaux dans la section


• pour la maçonnerie du groupe 2a : K = 0,45;

• pour la maçonnerie du groupe 2b : K = 0,40;

Relation contrainte-déformation de la maçonnerie

L'allure générale de la relation contrainte-déformation de la maçonnerie est de la forme in

diquée à la figure 2.2. Cette relation peut, pour les besoins du calcul, être considérée de forme

parabolique, parabolique rectangle ou rectangulaire (Eurocode 6, NBN ENV 1996-1-1 (1995)). La

déformation ultime de la maçonnerie en compression est en général égale à 0,003 et la contrainte

maximale vaut 0, 85f:n (Pauleyet al. (1994)).

La figure 2.3 montre le diagramme des déformations ultimes et le bloc de contraintes equivalent

correspondant pour la maçonnerie.

8

f' ID

0,ssr;


Distributionrectangulaireidéalisée avec larésistanceéquivalente0,85f'm

déformation

FIGURE 2.2 - Relation contrainte-déformation idéalisée par un bloc de contrainte en compression

rectangulaire (Pauley et al. (1994))

O,003t~i~c :.~

O,85f' ID tl 1 i( ) --'------

a=O,85c

déformation

contrainte

FIGURE 2.3 - Déformation et bloc de contrainte équivalent (Pauley et al. (1994))

2.2 Etude d'un mur subissant de la flexion

Tous les murs en maçonnerie peuvent être sujets à des forces latérales normales à une face.

A cause de ces forces et du fait que le mouvement latéral au niveau des extrémités du mur est

empêché, le mur fléchit. Le plan de rupture suite à une flexion est parallèle aux lits de pose

(figure 2.4). Les charges peuvent être permanentes, comme la pression des terres sur les murs

de soutènement retenant celles-ci, ou peuvent être intermittentes, comme le vent ou une onde

de choc.

FIGURE 2.4 - Plan de rupture parallèle aux lits de pose (ref: ENV 1996-1-1)

9


Puisque la maçonnerie est fort résistante en compression mais faible en traction, la maçonnerie

non renforcée offre une grande résistance aux charges de compression mais celle-ci est limitée

en ce qui concerne les charges causant des contraintes de traction. Une fois que la résistance à

la traction est atteinte, il y a fissuration. Si la résistance à la compression est atteinte, il y a

écrasement de la maçonnerie. Lorsqu'un mur est mis en flexion, une des faces est allongée et

donc mise en traction tandis que l'autre face subit de la compression puisque la longueur de

cette face se voit diminuée.

Les distributions des contraintes pour une compression simple et pour une flexion sont montrées

à la figure 2.5.

compression <-1__-'

+flexion

=

+

=

FIGURE 2.5 - Addition des diagrammes de compression et de flexion

Comme le montrent les schémas, pour une flexion, il y a compression d'un côté de la face et trac

tion de l'autre (le centre de courbure est dans ce cas-ci à gauche du mur). Pour obtenir l'influence

d'une compression et d'une flexion, il faut additionner les deux distributions de contraintes. Pour

une faible flexion, la distribution prend une forme trapézoïdale comme à la figure 2.5. Ceci si

gnifie que la compression contrecarre la flexion et donc retarde la traction de la face allongée.

Pour une flexion supérieure, la distribution de contraintes est triangulaire, ce qui veut dire que

la compression ne peut plus empêcher la traction de se développer si la flexion s'accentue encore.

Dans ce cas, la force R est appliquée aux ~ de l'épaisseur. La flexion augmentant, la traction

apparaît du côté de la face en flexion et une fissuration se développe (double triangle). Si la

résistance à la traction est négligée, la distribution des contraintes reste triangulaire (simple

triangle) ,

2.2.1 Ligne de poussée

La stabilité d'un mur peut être étudiée en introduisant ce qu'on appelle la ligne de poussée.

Pour comprendre ce qu'est une ligne de poussée, deux exemples sont présentés. Le premier cas

est un mur sur lequel aucune force extérieure n'agit (voir figure 2.6). Seul le poids propre est

10


/211

1

1

1

R

FIGURE 2.6 - Mur sans forces appliquées

à prendre en compte. Considérons alors l'équilibre de la moitié supérieure du mur. Le poids de

la maçonnerie de ce bloc est appliqué au centre de gravité et exerce une force vers le bas sur la

maçonnerie en-dessous. Cette force est contrecarrée par une force opposée, la réaction R, qui est

fournie par la maçonnerie sous la section étudiée (une section de mur est un plan horizontal de

dimensions 1 et t). Cette force est appelée force de poussée. Pour avoir l'équilibre, R vaut W /2.

Plusieurs sections étant prises sur toute la hauteur, la localisation de la ligne de poussée peut

être obtenue. La ligne de poussée est par définition le lieu géométrique des points d'application

de la force de réaction R.

L'équilibre de la moitié supérieure du mur étant réalisé, la localisation de la ligne de poussée

dans la section centrale peut être calculée.

L'équilibre des moments à partir du centre de la section centrale donne les équations suivantes:

R.e = 1V/2.0 ::::} e = 0 (2.2.1)

avec e l'excentricité de R par rapport au milieu de l'épaisseur.

La ligne de poussée est donc une droite passant par le milieu de l'épaisseur (figure 2.6).

Les contraintes de chaque section peuvent être examinées en termes de localisation de la ligne

de poussée. En effet, la force R est la résultante des contraintes dans une section. Dans le cas

d'un mur sur lequel aucune force extérieure n'agit, la distribution des contraintes de compres

sion est rectangulaire dans chacune d'elles. Deux sections ne subissent pas la même intensité de

contraintes. Pour la section inférieure, la force R est plus grande puisque la masse de mur au

dessus est plus importante.

11


Le second mur étudié est soumis à une surcharge verticale ainsi qu'à une pression latérale

appliquée uniformément sur toute la hauteur. Le mouvement latéral au niveau du sol et du

plafond est empêché,

Le poids du mur ainsi que la surcharge sont contrecarrés par la réaction verticale R qui vaut

P + TiVj2 (figure 2.7). L'équilibre de la moitié supérieure du mur étant réalisé, la localisation de

la ligne de poussée dans la section centrale peut être calculée.

R.e

e

ph h ph h2'2-2'4ph2 ph2 1- -8R 8 P+ Wj2

(2.2.2)

(2.2.3)

Plusieurs sections étant considérées, la ligne de poussée est déterminée (figure 2.7). Dans ce

cas-ci, l'excentricité de la ligne de poussée varie avec la hauteur. La ligne de poussée est donc

une courbe.

P_-....._--L-_.,.--_ ph/2

p

.-----+---,.<-:0-- ph/2

R = P+'''T/2

p

__'-------,-__-- ph/2

R=P+VV

h/2

FIGURE 2.7 - Mur subissant une pression latérale uniforme - la ligne de poussée est en pointillé

(ref : Drysdale et al. (1994))

A nouveau, il est possible d'établir le diagramme des contraintes dans chaque section à partir de

la localisation de la ligne de poussée (figure 2.8). En partant du sommet du mur, le diagramme

de contraintes passe d'une forme rectangulaire à une forme trapézoïdale et enfin à une forme

triangulaire (figure 2.8).

12


P 6ph/2

cSp

[w b---..'----;--4--- ph/2

R=P+vV

FIGURE 2.8 - Evolution du diagramme de contraintes à différents niveaux de hauteur (ref :

Drysdale et al. (1994))

2.2.2 Effet membranaire

Lorsqu'un 111ur est construit entre des supports rigides et que le déplacement du milieu du 111lU

augmente, le lllur est bloqué dans sa rotation par ces supports. Cette action induit une force

de compression dans le plan du 111ur qui peut augmenter la capacité du 111ur. Ce mécanisme est

appelé -e: effet membranaire ~(en anglais arching action).

2.3 Fonction de résistance

La fonction de résistance est une courbe qui montre la façon dont la structure réagit à une

pression. Celle-ci représente la pression appliquée sur la structure en fonction de la déformation

de celle-ci.

Le graphique à la figure 2.9 montre la fonction de résistance d'un mur sollicité par une charge

p croissante, uniformément répartie, appliquée sur toute la face du mur. Le mur n'est pas lié au

sol par du mortier. Les mouvements horizontaux des extrémités du mur sont empêchés. Le trait

plein représente la réponse du mur. Le raisonnement ci-dessous est fait en termes de ligne de

poussée (trait non-continu dans le mur).

13

1

1

11

11

1!1

i-I»

! ~ I'1-\,

ir Ifl, Just

norenslon

![

t . ,

T4Ii i bh ! 1 i

1 : 11.: 1

~a---

-li -li--"f -...{--.., ----""'1, .-.... \ ---- \" d -,

\ f

Lateral deflection at mid·heighl

(not to scale)


FIGURE 2.9 - Exemple : fonction de résistance d'un mur soumis à une pression uniforme (figure

adaptée d'après la figure 7.6 de Drysdale et al. (1994))

Au point a du graphe, aucune charge latérale n'est appliquée sur le mur. Comme expliqué

auparavant, la ligne de poussée est une droite verticale et elle coïncide avec la ligne centrale du

mur. Au point b, la ligne de poussée au niveau de la base du mur est telle que la limite pour

avoir de la traction est atteinte. Au point c, le joint à la base est complètement ouvert puisque

la ligne de poussée est localisée dans cette section sur le coin du mur. Cette ouverture se fait

librement car le mur n'est pas lié au sol et il n'y a donc pas fissuration dans le mur. La ligne

de poussée a, à présent, une allure parabolique et une partie est passée en dehors du mur mais

la résistance à la traction de la maçonnerie permet de contrer suffisamment les contraintes de

traction. Au point d, la résistance du mur n'est plus suffisante et il y a fissuration dans la section

centrale du mur. Pour conserver la stabilité du mur, la ligne de poussée doit se situer au niveau

de la fissure, ce qui peut être résolu en réduisant la charge appliquée sur le mur. Ceci est le cas

pour arriver au point e. Du point e au point f, le mur est de moins en moins résistant puisque

le bras de levier du poids du mur diminue ; par conséquent, le moment stabilisateur diminue

aussi et donc la charge nécessaire pour continuer la déformation diminue. Au point f, le système

devient instable et même sans application de charge, le mur s'écroule.

14


2.4 Théorie relative aux systèmes dynamiques (Bourgeois (1999»

2.4.1 Introduction

Dimensionner des structures vis à vis des charges de fonctionnement par une approche sta

tique ne suffit pas toujours tant la réponse dynamique peut être différente de la réponse statique.

Suite aux faibles durées de sollicitation, des phénomènes dynamiques (inertie), qui ne peuvent

être négligés, apparaissent. Les analyses dynamiques se révèlent ainsi nécessaires dès que les

effets d'inertie ne sont plus négligeables.

Une analyse dynamique rigoureuse consisterait à calculer en chaque point de la structure

les contraintes et les déformations en fonction du temps. Cependant, comme la menace est

généralement mal définie, une telle précision de calcul n'est pas nécessaire.

En considérant séparément tous les points du mur, il en résulterait un système à une infinité

de degrés de liberté. La méthode des éléments finis pourrait être envisagée pour résoudre ce

problème.

Depuis les années cinquante, des méthodes de calcul approchées ont été développées, dans

lesquelles un nombre limité de degrés de liberté est considéré pour caractériser la structure.

En ce qui concerne les poutres et les plaques, le nombre de degrés de liberté est réduit à un.

La détermination du premier mode de vibration est essentielle pour le dimensionnement d'une

structure subissant des charges dynamiques, Cette manière de procéder est en tout point ana

logue à celle utilisée pour déterminer le comportement dynamique des machines où souvent il

suffit de calculer le mode fondamental de vibration qui est généralement le plus néfaste.

2.4.2 Système à un degré de liberté

Pour introduire l'effet dynamique de la charge, le mur en maçonnerie one-way est remplacé

par un système SDüF équivalent dont la déformation est, à chaque instant, la même que la

déformation maximale du système d'origine. La figure 2.10 représente le remplacement d'une

poutre en un système rnasse-resaort-arnortisseur équivalent.

15


M

c

Figure 1

FIGURE 2.10 - Système masse-ressort-amortisseur (ref : Bourgeois, 1999)

IV1 masse équivalente du système SDüF

C coefficient d'amortissement équivalent du système SDüF

K constante équivalente du ressort du système SDüF

P(t) intensité de la charge appliquée au système SDüF

x (t) déplacement (réponse)

t tenlps

En cas de vibration forcée, l'équation du mouvement s'écrit:

IV1x(t) + Cx(t) + Kx(t) = P(t) (2.4.1)

où Kx représente la force résistante opposée par le ressort, notée R (fonction dite de résistance).

Dans les problèmes d'explosion, I'amortissement n'est généralement pas pris en considération.

Les principaux arguments sont les suivants (ref :Bourgeois (1999)) :

- le fait de négliger I'amortissement va toujours dans le sens de la sécurité.

I'amortissement propre à la structure n'est jamais important et, de plus, est mal connu.

- I'arnortissement influence peu les diagrammes pour le premier cycle au cours duquel survient

xm ax '

Par conséquent, le coefficient d'amortissemerrt est supposé égal à zéro. L'équation 3.2.1 se réduit

donc à :

IV1x(t) + Kx(t) P(t) (2.4.2)

16


En tenant compte des relations entre les caractéristiques du mur et du système SDüF, l'équation

3.2.3 peut s'écrire sous la forme suivante:

(2.4.3)

où Kl'vI est le facteur de masse, J\/h la masse du mur, KK le facteur de constante du ressort, Kb

le coefficient de rigidité du mur, K L est le facteur de charge et Pb la sollicitation appliquée au mur.

En divisant les termes de cette équation K L, et en tenant compte que K L = KK et KLl\iI = fi: 'l'équation 3.2.4 devient:

(2.4.4)

Pour résoudre cette équation, il suffit d'y introduire les données suivantes: KLl'vI, Mi; Ki, et Pb

En résolvant l'équation différentielle ci-dessus, il en résulte une fonction représentant la déformation

maximale du mur en fonction du temps.

17


2.5 Explosions

2.5.1 Explosion chimique

Une explosion chimique est le résultat d'une réaction chimique de décomposition d'une sub

stance appelée explosif ou d'un mélange de substances chimiques qui, prises séparément, ne sont

pas explosives.

Elle peut être subdivisée selon la phase dans laquelle la matière qui explose se trouve. La

phase condensée (liquide, solide ou gel) se distingue de la phase gazeuse.

Les explosions chimiques en phase condensée comme en phase gazeuse peuvent être des

déflagrations ou des détonations.

Une déflagration est un phénomène subsonique. Le transfert de chaleur de la zone de réaction

vers la matière intacte se trouve à la base du mécanisme de propagation.

Par contre, une détonation est un phénomène supersonique. La zone de réaction, précédée

d'un front de choc, se déplace à vitesse constante et est entretenue par l'énergie dégagée.

2.5.2 Phénoménologie d'une explosion

Une explosion libère une grande quantité d'énergie endéans un laps de temps très réduit.

Cette énergie est alors immédiatement diffusée et éventuellement transmise à une structure. Ce

transfert d'énergie se déroule sous trois aspects:

une détente des gaz

un rayonnement thermique

- une fragmentation de l'enveloppe qui entoure la charge

Détente des gaz

La libération violente d'énergie convertit le matériau explosif en un gaz porté à haute pres

sion et à température élevée. Cette détente entraîne la formation d'une onde de choc. Celle-ci,

caractérisée par un accroissement brutal de la pression, se propage radialement à une vitesse

supersonique dans I'atmosphère, Au fur et à mesure que l'onde parcourt son chemin, la vitesse de

propagation diminue, tout comme I'accroissement de pression. Chaque point de l'espace, éloigné

de l'explosion, est caractérisé par un diagramme de pression (figure 2.11) sur lequel est reprise

l'évolution de celle-ci en fonction du temps. L'onde de choc est suivie par un déplacement d'air

appelé souffie, d'abord dans la direction de déplacement de l'onde de choc, et ensuite, vers le

18


centre d'explosion lorsque survient la phase de succion (phase négative). Le souffle n'est donc

pas le déplacement des produits d'explosion proprement dits.

phase positivep.so

p _ 1 1so 1 1

-----;- 1__."""'-'---'----'"-

1 1J J1 11 1

a

o

o

FIGURE 2.11 - Diagramme des pressions (ref: Bourgois (1999))

Po(kPa)

Pso(kPa)

Pso- (kPa)

ta(ms)

to(ms)

to- (ms)

P(kPa)

Ps(kPa)

is(kPa - ms)

pression ambiante

pic de surpression

pic de dépression

temps d'arrivée

durée de la phase positive

durée de la phase négative

pression absolue

surpression

impulsion spécifique de la phase positive

Jt:a+toPsdt, la surface positive sous la courbe

impulsion spécifique de la phase négative

JLa~:o+to- Psdt, la surface négative au-dessus de la courbe

Rayonnement thermique

Les effets du rayonnement thermique sont généralement peu importants, sauf dans le cas

d'explosions de mélanges gazeux ou d'explosions nucléaires.

Fragmentation de l'enveloppe entourant la charge

Les fragments sont projetés à des vitesses très élevées. Ce facteur peut être prépondérant pour

les projectiles dont l'enveloppe se fragmente (vitesse parfois supérieure à la vitesse de l'onde de

choc). Lors de l'impact, les fragments abandonnent leur énergie cinétique, ce qui peut provoquer

19


des effets dynamiques aux structures.

2.5.3 Choc engendré par l'explosion

Suite à l'expansion des gaz, une onde de pression prend naissance. Elle devient de plus en plus

abrupte quand la distance qu'elle parcourt augmente. Ce front de discontinuité est appelé le front

de choc. La figure 2.12 illustre la formation des ondes de choc. Chaque composante infiniment

petite s'éloigne du centre d'explosion avec sa vitesse propre qui est fonction des circonstances

locales et est égale à la vitesse locale du son.

Celle-ci est exprimée par la formule suivante :

a (2.5.1)

où R est la constante des gaz parfaits qui vaut 287 J jkgK (ref: Bourgois (1999)), T la température

en K et "t l'exposant isentropique.

Les composantes supérieures de l'onde, étant à température plus élevée, sont donc plus rapides

que les composantes inférieures. Les composantes inférieures vont par conséquent être rattrapées

par les supérieures. Le front de choc devient dès lors de plus en plus marqué alors que la queue

de l'onde l'est de moins en moins, Après un certain temps, une dépression naît à proximité du

centre de l'explosion suite à la surexpansion des gaz provoquée par les forces d'inertie. Ainsi,

une phase positive et une phase négative (pression inférieure à la pression atmosphérique) sont

obtenues (figure 2.13). Les pressions « négatives ~ en valeur absolue ne peuvent naturellement

pas dépasser la pression atmosphérique.

p p

_____________ . .; <. _ ~ -==:L

FIGURE 2.12 - Formation des ondes de choc (ref : Bourgois, 1999)

20

p


~

---------~d~

FIGURE 2.13 - Pression en fonction de la distance au centre de l'explosion dans le cas d'une

explosion ponctuelle(ref : Bourgois (1999))

2.5.4 Réflexions des ondes de choc

Définitions

L'onde de choc est donc un front de discontinuité qui se déplace à une vitesse supersonique

dans le fluide. Ce front se caractérise par un brusque changement de vitesse, de pression, de

température et de masse spécifique du fluide.

L'onde de choc se réfléchit lorsqu'elle touche un obstacle. Il existe trois sortes de réflexion:

réflexion normale : elle se produit lorsque l'onde est plane et touche une paroi plane et parallèle

au plan de l'onde de choc.

réflexion oblique régulière: elle se déroule lorsque l'onde de choc rencontre une paroi indéformable

sous un certain angle.

- front Y de Mach: ce phénomène apparaît lorsque l'angle d'incidence de l'onde de choc dépasse

une valeur dépendant de la vitesse de celle-ci.

Front de Mach

1. Description

Lorsque l'angle d'incidence de l'onde de choc f3 dépasse une certaine valeur, il n'est plus

possible d'obtenir la réflexion oblique régulière. La figure 2.14 donnent les valeurs ultimes

f3lim qui permettent encore la réflexion régulière. La valeur, notée f3lim' est fonction du

nombre de Mach incident. Les valeurs ultimes de f3Zim qui permettent encore la réflexion

régulière sont données à la figure 2.14. Au delà de JYIi = 1.5 (1\!Ii > 1.5), cet angle linlite

reste sensiblement constant (f3lim ~ 40). Si l'angle incident de l'onde de choc dépasse

l'angle limite, il y a form.ation d'une onde de choc appelée onde de Mach. Elle résulte de

l'interaction de l'onde incidente et de ses réflexions sur le sol. Dans ce cas, quatre domaines

coexistent, chacun avec ses caractéristiques propres, comme montré à la figure 2.15. L'in-

21


tersection des ondes incidentes, réfléchies et de Mach forme le point triple Y, qui est le

point le plus haut du front de l'onde de Mach. Ce point se déplace vers le haut avec la

progression de l'onde de choc. A la frontière commune des domaines 3 et 4, une surface

de glissement apparaît. Ceci s'explique par le fait que la zone supérieure du domaine 1

subit deux chocs obliques alors que la zone inférieure subit un choc normal ou quasi nor-

mal, ce qui explique que la vitesse du fluide dans la région 3 est différente de celle dans

la région 4. La ligne de glissement sépare les deux régions. Le front de Mach, qui est le

plan frontière entre les domaines 1 et 4, se comporte plus ou moins comme un front de

choc approximativement perpendiculaire au sol dont la pression est uniforme sur toute sa

hauteur. La surpression engendrée à sa partie supérieure peut être jusqu'à 20 % inférieure

à celle observée près de la paroi de l'obstacle.

La formation du front de Mach est due à l'incapacité de I'écoulement quittant le choc

réfléchi à rester parallèle à la paroi de l'obstacle. En fait, le choc réfléchi rattrape progres-

sivement le choc incident.

3.0Ta 39.97°AT l'vi '" cox

REGION OF MACH STEMFORMATION

30D 45" 50" 75°ANGLE OF INCIDENce (Pl

MINIMUM 39.23°/

AT Mx"" 2.48

REGION OF OBLIQUEREFLECTION~g 2.6

:r:(J)

lZWoÜ 2.2~Il.acr::wQ':l

~ 1.8z:co-c:;;:

"x lA~

FIGURE 2.14 - Transition de la réflexion oblique régulière vers le front de Mach (ref: Bourgois

(1999) )

22

~~chi chocincident


trajectoire du.-"--- pointtriple

® .-..../-~urgfi:semê~~-~::.~-;>y <D

.- @

front de Mach

FIGURE 2.15 - Front de Mach (ref: Bourgois (1999))

2. Action sur la face avant du mur

La face avant du I11ur est soumise à l'instant t = 0, à un front de Mach (figure 2.16), c'est-à

dire une onde de choc plane supposée perpendiculaire au sol. La pression engendrée par ce

choc incident atteint Ï111I11édiateI11ent et en chaque point la valeur de la pression réfléchie

PrO pour ensuite diminuer. L'intensité de cette pression dépend de plusieurs facteurs,

notamment de la masse de la charge, du type d'explosif et de la distance entre l'explosif

et le mur.

u

t:o11f1J11

Il

FIGURE 2.16 - Front de Mach (figure adaptée d'après la figure 3 du torne 2 de Bourgois (1999))

3. Hauteur du pied de Mach: approche de Kinney (1985)

La figure 2.17 illustre le fait que l'onde se réfléchit d'abord sous une onde de réflexion

régulière puis sous une onde de Mach. Au fur et à mesure que l'onde se propage, l'angle

d'incidence f3 entre le choc incident (IS) et le sol augmente, la pression incidente varie et il

y a alors une transition vers la réflexion de Mach (MS). COl11I11e expliqué précédemment, la

figure 2.14 montre qu'il existe en fonction du nombre de Mach de l'onde incidente l\!Ii , un

angle limite f3lim qui caractérise la transition d'un type de réflexion à l'autre. L'évolution

23


de cet angle peut être représentée par l'équation hyperbolique suivante:

f3lim =

avec (l/Ii > 1)

(2.5.2)

Connaissant un nombre de Mach 1VIi, l'angle d'incidence à la transition peut être déterminé

en utilisant la courbe (figure 2.14) évoquée ci-dessus.

r IS

Lignede \glissement ....

...... 1Ir..... .....1\JIS

FIGURE 2.17 - Géométrie du pied de Mach formée lors d'une explosion en altitude (figure adaptée

d'après la figure 4.37 de Trelat (2006)

Il fut observé empiriquement qu'en mesurant la hauteur du pied de Mach par rapport à la

hauteur d'explosion HüB, en fonction de la distance limite horizontale pour la formation

d'un pied de Mach, une seule courbe (figure 5.3) permet, approximativement, de couvrir

toutes les situations expérimentales.

Cette courbe fut obtenue à l'aide d'observations sur l'explosion de charges sphériques.

//

//

V~

V

----

OA

0.3

0.1

0.01.0 1.5 2.0 di

cç2.5 3.0 3.5

FIGURE 2.18 - Courbe empirique de hauteur JltJ~ en fonction de la distance ~~ (ref: Kinney,

1985)

24

hll;J(m)

HOB(m)

di(m)

do(m)


hauteur du pied de Mach

hauteur de l'explosion

distance à la projection sur le sol du centre d'explosion

distance de formation du pied de Mach

Algébriquement, elle peut être décrite par l'équation suivante (Trelat (2006)) :

- pour ~~ > 0 :

hl\!I = -0 33155 + 1 00109( di ) _ 1 24835( di )2 + 0 80629( di )3HOB' , do ' do ' do

-0, 26845(:~)4+ 0, 04347(:~)5 - 0, 0024(:~)6

- pour ~~ = 0 :

hll;JHOB = 0

(2.5.3)

(2.5.4)

Connaissant f3Zim et HüB, la distance de formation du pied de Mach do(m) peut être

calculée de la façon suivante :

do = HOB * tan(f3lim) (2.5.5)

Après avoir choisi un di tel que di > do, la hauteur du pied de lVIach hlvI peut être déduite

en utilisant l'abaque de la figure 5.3.

2.5.5 Equivalence TNT

La magnitude d'une explosion est mesurée par l'énergie qu'elle libère. L'unité d'énergie utilisée

est le Joule. Cette méthode s'avère peu pratique pour comparer les explosifs. C'est pourquoi

l'explosif considéré est remplacé par une quantité équivalente de TNT appelée l'équivalent TNT

L'énergie correspondant à 1kg de TNT est égale à 4520kJ. Quelques exemples de conversion

d'explosifs en équivalent TNT sont donnés par le tableau 2.3.

25


Explosifs kJ/kg Equivalent TNT

TNT (1\'otyl, Toluol, Tolite) 4520 1,00

PETN (Penthrite, Nitropenta) 5800 1,28

TETRYL (CE) 4520 1,00

Acide picrique (Mélinite) 4180 0,93

Hexogène (RDX, Cyclonite) 5360 1,19

AMATOL (80 AN, 20 TNT) 2650 0,59

PENTOLITE(50 PETN 50 TNT) 5110 1,13

HEXOLITE (60 HEX, 40 TNT) 5190 1,15

FULMINATE DE MERCURE 1790 0,40

AZOTURE DE PLOMB 1540 0,34

TABLE 2.3 Exemple de conversion d'explosifs en équivalent TNT (ref: Bourgois (1999))

26

Le but de ce chapitre est de ressembler des théories traitant la résistance d'un mur en

maçonnerie non renforcée et de les étudier. Les fonctions de résistance du TM5-1300 (1990),

de Smith et al.(1994), et de Moradi (2008) seront exposées.

Le présent chapitre reprend tout d'abord les différentes étapes suivies par les auteurs qui per

mettent d'obtenir les équations nécessaires à l'établissement de la fonction de résistance dans les

cas traités. Le but n'étant pas de reprendre simplement les théories, nous nous sommes efforcées

d'expliquer en détailles étapes intermédiaires ainsi que d'établir une interprétation des fonctions

de résistance.

3.1 Introduction

Plusieurs formes de fonctions de résistance d'un nlur en maçonnerie existent selon qu'il soit

renforcé ou pas, selon le type d'appui, le type de chargement (charge concentrée ou répartie) et

surtout selon la face du mur où la charge est appliquée. Il est aussi nécessaire de noter que les

nl1US en maçonnerie non renforcée ont une faible résistance aux charges, charges dues aux ondes

de choc.

Le mur en maçonnerie non renforcée (figure 3.1), situé entre le sol et le plafond, est soumis

à une charge explosive uniformément répartie. Le mouvement horizontal des extrémités du mur

est considéré bloqué. Ceci implique que le mur fléchira sous l'action de la charge uniformément

répartie sur la face avant. Puisque le mur fléchit selon une seule direction, et en supposant que

le coefficient de poisson v vaut zéro, le mur peut être assimilé à des poutres et analysé en tant

que telles (figure 3.2). Supposer que le coefficient de poisson est nul signifie qu'on considère une

série de poutres sans aucune interaction latérale. On dira que l'effet de paroi est négligé.

27

3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques

Hauteur h

/ Epaisseur t

Largeur L

FIGURE 3.1 - Dirnensionnement d'un mur en maçonnerie non renforcée

Epaisseur du mur tHauteur de la poutre

hHauteur du mur


Largeur du murl Largeur de la poutre

FIGURE 3.2 - Dimensionnement d'une poutre en maçonnerie non renforcée obtenue en faisnat

la coupe verticale du mur d'une largeur 1

3.2 Théorie exposée dans le TM5-1300 (1990)

La résistance des murs en maçonnerie non renforcée soumis à une charge explosive latérale

est fonction de la flèche du mur, de la résistance en compression du mortier et de la rigidité des

supports.

3.2.1 Hyphothèses

1. La résistance à la rupture en compression f:n ainsi que le module d'élasticité Em des blocs

en maçonnerie sont supposés égaux à ceux du mortier, c'est-à-dire à f~ et En .

Le module d'élasticité des blocs en maçonnerie est défini de la manière suivante:

1

Em = 1000fm (3.2.1)

2. Les supports sont complètement rigides. Le plafond bloque le déplacement vertical du 11llU.

3. La résistance à la rupture en compression du mortier est connue.

4. Un espace vide est censé exister entre le mur et le support supérieur.

5. Le poids propre des blocs est négligé.

28


6. Le mur se fissure au centre sous l'action d'une charge appliquée uniformément sur la surface

du mur.

7. La réduction des diagonales D des deux parties du mur est considérée comme une fonction

linéaire du déplacement latéral du point situé au milieu du mur.


Vu la rigidité des deux supports, le mouvement latéral du mur au-dessus et en-dessous est

empêché. Sous l'action de la charge, le mur est supposé se fissurer au centre. Chaque moitié

tourne alors comme un corps rigide jusqu'à ce que le mur prenne la position montrée à la figure

3.4. La rotation pendant laquelle la flèche se déplace d'une distance ~c se fait sans résistance.

(1990) )

maçonnerie après rotation jusqu'à at

teindre un déplacement latéral ~c (figure

adaptée d'après la figure 6.9 du TM5-1300

.&:

·1+

n ~

Flèche d'un mur enFIGURE 3.4

FIGURE 3.3 - Mur en maçonnerie non ren-

forcée (figure adaptée d'après la figure 6.9

du TM5-1300 (1990))

Céométriquement, la longueur de la diagonale D peut être déterminée comme suit :

(3.2.2)

Pour tout mouvement latéral du point rn, les forces compressives auront lieu aux points m et o.

Les forces compressives forment un couple qui produit une résistance à la charge latérale et qui

est déterminée en utilisant la théorie de Mays et al. (1995) et est égale à :

(3.2.3)

où l\lIu est le moment résistant et h la longueur de la poutre.

29


Quand la flèche est telle que le point ln se trouve sur la ligne n-o (figure 3.5), le bras de levier

du couple résistant sera réduit à zéro et le mur deviendra instable. Dans cette position, les

diagonales o-m et m-n ont comme valeur:

hlD=

2

où h' est la hauteur entre le sol et le plafond.

La déformation du mortier dans le mur est dans ce cas établie de la manière suivante:

(3.2.4)

Em = (3.2.5)

où Em est la déformation du mortier.

FIGURE 3.5 - Déplacement au milieu d'un mur en maçonnerie après rotation jusqu'à atteindre

un déplacement latéral ..6.m (qui vaut l'épaissseur) (ref: TM5-1300, 1990)

Chaque réduction est supposée se dérouler dans les joints de mortier et donc:

(3.2.6)

où En est le module d'élasticité du mortier et lm la contrainte en compression correspondant à

la déformation E.

Dans la plupart des cas, lm sera plus grand que la résistance à la rupture en compression du

mortier I:n' Il est évident que ce n'est pas possible. Pour les murs d'une hauteur et épaisseur

normales, chaque moitié du mur subit une petite rotation pour obtenir la position montrée à la

figure 3.5. Le TM5-1300 (1990) considère la réduction des diagonales 0 - m et rn - n comme une

fonction linéaire du déplacement latéral du point ln. Cette fonction est établie en considérant

30


qu'avec une flèche .6.1 , une contrainte compressive I~ apparaît aux points ln, n et 0, tandis

qu'avec une flèche .6.m = t, la contrainte compressive lm doit être obtenue. .6.1 peut donc être

trouvé de la façon suivante :

ou

t -.6.c 1

.6.1 = E lm + .6.cntm

(3.2.7)

Le moment résistant, causé par une flèche latérale .6.1, est trouvé en supposant des blocs rec

tangulaires de compression qui existent au niveau des supports (les points 0 et n) et au centre

(point m) comme le montre la figure 3.6.

FIGURE 3.6 - Action des forces de compression (figure adaptée d'après la figure 6.10(a) du

TM5-1300 (1990))

Le moment résistant dû aux forces de compression autour du point A (figure 3.6) est donné par

l'équation suivante:

M[Nmm] = lain(t -.6.1 - a) (3.2.8)

où 1 est la largeur du mur, a la zone de compression, I~ la contrainte de compression ultime de

la maçonnerie et (t - .6.1 - a) le bras de levier.

L'équation 3.2.8 doit encore être divisée par la largeur 1 afin d'obtenir le moment résistant par

mètre de largeur de mur présentée dans le TM5-1300(1990). On obtient ainsi l\!Iu à l'équation

3.2.9.

31


(3.2.9)

La zone compressive est choisie de telle sorte que le moment lVlu soit maximum, En différenciant

I\!Iu par rapport à a et en égalisant la dérivée à zéro, il en résulte :

(3.2.10)

Le moment-rupture (ultimate moment) et la résistance (figure 3.7) correspondante sont:

(3.2.11)

et

(3.2.12)

Quand la flèche est supérieure à .6.1 , l'expression de la résistance se note comme une fonction

du déplacement horizontal :

2 2 1 2r[N/mm ] = h2 fm(t -.6.) (3.2.13)

Quand la flèche augmente, la résistance diminue jusqu'à ce que r soit égal à zéro et que la flèche

maximale .6.m (figure 3.7) soit atteinte.

FIGURE 3.7 - Comportement structurel d'un mur en maçonnerie non renforcée ayant des sup-

ports rigides (figure adaptée d'après la figure 6.10(b) du TM5-1300 (1990))

Remarque: il est important de noter que la résistance l'est synonyme de pression p.

32


Interprétation

La fonction ci-dessus représente donc la résistance du mur lorsqu'il est soumis à une sollicitation

latérale uniforme. Celui-ci est séparé d'un joint vide avec le support supérieur.

Premièrement, les blocs subissent une rotation libre pendant laquelle le milieu du mur se

déplace latéralement d'une distance ~c faisant que le haut du mur atteint le support supérieur.

Cette rotation se fait sans résistance. A ce déplacement latéral du point ln, ~c, correspond un

déplacement vertical des blocs. Deuxièmement, une fois que le bloc supérieur touche le support

du dessus, des forces membranaires apparaissent. Le moment résistant M dû à ces forces s'oppose

à la rotation que les deux parties du l111U' subissent. En ~1, le moment résistant est maximal

et vaut l\lIu ' Finalement, la résistance du mur diminue suite à la réduction du bras de levier.

En ~m, le bras de levier est nul, donc le l11ur devient instable et n'offre plus de résistance aux

déplacements.

33


3.3 Théorie de Smith et al. (1994)

Dans la section qui suit, sera traité le cas d'un mur en maçonnerie non renforcée, simplement

appuyé sur le sol, un mur dont le déplacement horizontal du bord supérieur est empêché par un

appui simple. Le mur est sollicité par une charge répartie horizontalement.


Dans le cas traité ci-dessous, la résistance offerte comprend deux composantes :

la résistance due à l'action élastique intervient jusqu'à ce que le mortier se fissure sur la face

mise en tension.

- le moment de restauration dû au poids propre des blocs fournit une opposition à la rotation

que subissent les deux parties du mur quand la fissure s'accentue.

La figure 3.8 montre la section transversale d'un mur en maçonnerie non renforcée dont le

mouvement horizontal des bords supérieur et inférieur est empêché. Rien n'est prévu contre le

mouvement vertical en ce qui concerne le bord supérieur. La rupture se produit le long d'un

joint horizontal à une hauteur h2 au dessus du sol. Le point de contact entre les deux blocs

se trouve à une distance ~ et le système développe un moment de restauration vers le haut

jusqu'au moment où ~ vaut t, l'épaisseur du mur.

FIGURE 3.8 - Mécanisme de rupture d'un mur en maçonnerie simplement appuyé (figure adaptée

d'après la figure 11.9 de Smith et al. (1994))

34


L'évolution de la fonction de résistance présente trois phases:

1. La phase avant fissuration

Dans la première phase, Smith et al. (1994) étudie le cas de la poutre élastique modélisée

comme suit (figure 3.9 ) :

q

FIGURE 3.9 - Poutre simplement appuyée aux extrémités et soumise à une charge q uni

formément répartie

La résistance d'une poutre Rb est obtenue en multipliant la flèche ..6. avec le constante de

rigidité de la poutre Ki;

La flèche ..6. (ref: Mays et al. (1995)) est donnée par l'équation suivante:

(3.3.1)

où li, est la longueur de la poutre en [mm], E le module d'élasticité de la poutre de largeur

unitaire en [Nlmm2], Ile moment d'inertie de la poutre de largeur unitaire en [mm4] et q

la charge répartie uniforme en [Nlm].

La constante de rigidité de la poutre peut être tirée de l'équation 3.3.1, puisque la résistance

Rb est synonyme de charge répartie q.

K [NI 2] = 384EIb mm 5h4

s

Ainsi, la fonction de résistance pour cette phase est :

R [NI ] = 384EI..6.b mm 5h4

s

(3.3.2)

(3.3.3)

Il est cependant encore nécessaire de diviser l'équation 3.3.3 par la largeur unitaire l pour

obtenir la fonction de résistance par unité de largeur de mur présentée par Smith et al.

(1994).

[NI 2] = 384EI..6. = 384Elr A

Tb mm 5h4 l 5h4 L..ls s

(3.3.4)

35


où rb est la résistance exprimée en pression [N/mm2] et Ir est le moment d'inertie par

millimètre de largeur de la poutre.

2. La phase de rupture: Smith et al. (1994) considère que la fissure s'est propagée sur toute

l'épaisseur du mur.

L'équilibre des moments du bloc supérieur autour du point A (figure 3.8) donne:

(3.3.5)

où hl est la hauteur du bloc supérieur en [mm], West le poids du mur en [N] et t

l'épaisseur du mur en [mm] .

L'équilibre des moments du bloc inférieur autour du point B (figure 3.8) donne:

qh~ _ TiVh2(t - .6.) + TiVh2(t - .6.) = 02 hs 2hs

où h2 est la hauteur du bloc intérieur en [mm]

- Eliminer q des équations 3.3.5 et 3.3.7 donne: ha = 2hl.

Comme hl + h2 = hs et hl = 18• L'équation 3.3.5 devient:

31iV(t - .6.)q = h2

s

(3.3.6)

(3.3.7)

(3.3.8)

Afin d'obtenir la fonction de résistance par millimètre de largeur de mur présentée par

Smith et al. (1994), il faut diviser l'équation 3.3.8 par la largeur 1 du mur.

(3.3.9)

où TiVr est le poids du mur par millimètre courant de 111lU et p la charge uniformément

répartie par millimètre courant de mur, c'est-à-dire la pression exercée sur le mur.

36


3. La phase transitoire où la contrainte en traction maximale du mortier est atteinte.

q

""'.l--- X

y

FIGURE 3.10 - Poutre simplement appuyée aux extrémités et soumise à une charge q uni

formément répartie

Le moment fléchissant ]\II [N/mm] d'une poutre de largeur l simplement appuyée aux

extrémités soumise à une charge q uniformément répartie est :

IVI = qx2

_ qhsxz 2 2

Le moment fléchissant maximum M est trouvé en ~s. Ce moment fléchissant maximum est

égal à :qh;

IVImax =-sLa contrainte maximale dans le mortier est donnée par l'équation suivante:

IVIO'max -J'b:..

En remplacant le moment fléchissant j'III par l\!Imax , le moment d'inertie I par 1= lf~ (où

t est la hauteur de la poutre) et le déplacement b:.. par ~, il est possible de déterminer la

contrainte maximale O'max dans les fibres en traction dans la face arrière du mur.

_ (-~)t 3qh;O'max - - lt3 2 4t2l

12

(3.3.10)

avec O'm la résistance à la traction du mortier.

Afin d'obtenir la fonction de résistance par mètre de largeur de mur présentée par Smith

et al. (1994), il faut diviser l'équation 3.3.10 par la largeur l.

Pmax[N/mm2] (3.3.11)

Ainsi la fonction de résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée, dans ces conditions, est

représentée à la figure 3.11.

37


FIGURE 3.11- Fonction de résistance d'un mur en maçonnerie simplement appuyé aux extrémités

(figure adaptée d'après la figure 11.10 de Smith et al.(1994))

Interprétation

La fonction ci-dessus représente donc la résistance offerte par le mur lorsqu'il est soumis à une

sollicitation latérale uniforme. Aucun support supérieur n'est présent et le mouvement latéral

des extrémités est empêché. Celle-ci peut être interprétée de la façon suivante:

elle donne la valeur de la pression à appliquer sur la structure pour obtenir un certain déplacement

latéral (phase élastique). Pour avoir une petite déformation, une force est nécessaire. Pour aug

meriter celle-ci, il faut une force plus élevée. Lorsque la résistance à la traction du mortier est

atteinte, il y a fissuration horizontale de la structure à une hauteur ba- De par cette fissuration,

la résistance du mur chute (phase de transition). L'écroulement est toutefois empêché par le

moment restaurateur développé par le poids, comme cela a été étudié dans la phase de rupture.

Vu l'affaiblissement de ce moment restaurateur, la pression nécessaire pour augmenter encore

la déformation ne doit plus être si élevée. Et donc la pression diminue lorsque le déplacement

augmente (phase de rupture).

38


3.4 Théorie de Moradi (2008)

3.4.1 Introduction

Une autre approche étudiant le comportement d'un mur soumis à une charge latérale uniforme

a été établie lors d'un rapport paru en 2008. Celui-ci a été rédigé par Mr lVIoradi, directeur de

la recherche en ingénierie de l'Université d'Alabama à Birmingham. Dans le rapport, Moradi

étudie entre autre la fonction de résistance dans deux cas différents : mur en maçonnerie non

renforcée sans effet membranaire et avec effet membranaire.


Approche

Précédemment, Drysdale et al. (1994) ont démontré que lorsqu'un mur en maçonnerie non

renforcée est placé entre deux supports (sol et plafond) qui vont donc restreindre le mouvement

vertical du mur lors de la flexion de celui-ci, des forces compressives axiales sont induites. Ces

forces de compression peuvent retarder la fissuration, et suivant la fissuration, peuvent produire

une action appelée effet membranaire qui dans beaucoup de cas augmente la capacité du mur par

rapport au cas du mur en flexion pure. Le modèle de rupture peut être très complexe et dépend

du type de supports placés au niveau des bords supérieur et inférieur, ainsi que de l'intensité du

poids propre et des charges verticales supplémentaires (comme par exemple la présence d'étages).

Le phénomène se résume comme suit: au départ, le poids du mur induit une contrainte

uniforme de compression. A cause de la charge latérale uniforme q appliquée sur la face avant

du mur (voir fig 3.12), celui-ci subit une courbure (les extrémités du lnur ne peuvent pas mouvoir

dans le sens horizontal) et des contraintes de traction sur la face arrière apparaissent. Au début,

ces contraintes sont maîtrisées par les contraintes compressives dues au poids du mur et à la

surcharge. lVIais plus l'intensité de la charge augmente, moins les contraintes de compression

ont d'impact sur les contraintes de traction et celles-ci peuvent alors se développer. Dès que les

contraintes de traction dépassent la résistance à la traction de I'élément le plus faible, il y a

fissure. A savoir que la formation de fissures ne constitue pas la rupture du mur, même pour les

murs en maçonnerie non renforcée (Paulay and Priestley (1992)).

39


q (Nfm)Faceavant

Facearrière

;(1T (mm)

h (mm)

FIGURE 3.12 - Notations introduites pour le mur pour la hauteur, la largeur, l'épaisseur et

nominations des faces du mur

Pour cette étude, plusieurs éléments sont à prendre en compte :

le mur ne peut pas résister aux contraintes de traction. La résistance à la traction du mortier

est faible et varie autour de 2 MPa. De plus, une mauvaise technique de construction et des

conditions atmosphériques pouvant causer une perte d'eau trop rapide dans le mortier ont une

influence négative sur la résistance de celui-ci. Un bon mortier peut donc voir sa résistance à la

traction diminuée et mal estimée. Vu que des fissures apparaissent dans le mortier lorsque les

contraintes dépassent la résistance en traction de ce dernier, le fait de considérer la résistance

à la traction nulle va dans le sens de la sécurité. L'élément le plus faible dans un mur en

maçonnerie est le mortier.

en considérant qu'aucune contrainte de traction ne peut se développer dans la maçonnerie,

une fois que les contraintes de compression causées par la gravité et la surcharge n'ont plus

l'influence suffisante, les contraintes dans la maçonnerie sont distribuées sous une forme tri-

angulaire (Paulayet al. (1992)).

R est la résultante de cette distribution de contraintes. Lorsque la force latérale augmente, la

fissure dans la maçonnerie se propage, la distribution des contraintes augmente en intensité

mais diminue en longueur, ce qui implique le déplacement de R vers la face en compression

du mur. Ce processus continue jusqu'à obtention d'une distribution de compression en bloc

(rectangulaire) qui est très proche de la face en compression avec comme intensité la résistance

ultime de la maçonnerie in multipliée par un coefficient 0,85. La rupture survient quand R

bouge hors de la ligne d'action du poids propre et de la surcharge.

40


h/2

H

H

x

11

1

1-~ ...----

L~

R 11

-liII!4-j-f-";';""--

1

WI21i ~

...LLJ~! ii lü

WI2

q

P+W

FIGURE 3.13 - La force de compression résultante R est opposée au poids propre W /2 du bloc

supérieur et à la surcharge P (figure adaptée d'après la figure 5.1-2 de Moradi (2008)

(141)/2

M t t""'RtJ6 MsRrl3 M-5RtllZ ra2.5Mf!7 M;;; (R/l)(tsll)

h,""2RIJ J:. "" 2R/(tI2) h"" 2R1(r14) =- 4/., J;,=o.8sFm

fPu'SJ~Et 4J""1/dE(tJ2) 1S 4t,1JCi t,1J=41c1E(tl4) ""16fP~ tP=ec/ca) At crflcking b) HaIteraeked c)%Cracked d) UltÎmate

FIGURE 3.14 - Evolution de la distribution des contraintes pendant la fissuration d'une section

horizontale du mur (ref: Paulay and Priestley et al. (1992))

41


Mur en maçonnerie non renforcée

Les hypothèses sont les suivantes :

le mur est porteur et subit des actions de flexion dans une direction (one-way) .

si le mur est construit avec des blocs creux, les trous ne sont pas remplis de coulis de ciment.

- le n1ur est non renforcé.

la résistance en traction de la maçonnerie et des joints de mortier est ignorée.

la charge latérale sur le mur est uniforme sur toute la hauteur.

la fissure a lieu au milieu de la hauteur du mur. Le déplacement étudié est le déplacement du

mur où il y a la fissure.

l'effet de paroi n'est pas pris en compte.

- le mur est partiellement fixé aux interfaces supérieure et inférieure: cette hypothèse permet

d'établir des équations où il est possible de faire varier un coefficient, appelé le degré de fixité

d'extrémité. Celui-ci décrit, C0111n1e le nom l'indique, le degré de fixité des supports du mur

et il est exprimé en pourcentage avec comme minimum 0% pour un mur simplement appuyé

aux deux extrémités et comme maximum 100% pour un mur encastré aux deux extrémités. Il

est démontré par la suite que, aussi longtemps que la fixité est en-dessous de 75%, le n10111ent

maximal se produit au milieu du mur.

Selon les sources, les unités des paramètres peuvent varier. Il est possible d'exprimer la fonc

tion de résistance en N/nll11, aussi bien qu'en N/mm2• On parlera respectivement de charge

répartie sur la hauteur du mur ou de pression. Pour le premier cas, les forces sont en N et les

moments en NI11n1 tandis que dans le deuxième cas, les forces sont en N/ I11n1 et les moments en

N, car les calculs sont faits pour une unité de largeur de mur.

Dans la suite du développement analytique, les forces sont en N et les moments en Nl11n1.

h la hauteur [111111]

H force horizontale [N]

W poids du mur [N]

Ll déplacement horizontal [mm]

1\11 n10111ent [Nn1n1]

q charge répartie sur le l11ur (pression multipliée par la largeur) [N/n1111]

I moment d'inertie [mm4]

42


La somme des moments autour du point B (figure 3.15) est obtenue de la façon suivante:

(3.4.1)

qh2 lV ~Hh- - - -- - (P+ W)~+P~

2 2 2

Hh- qh2

_ lV~2 2

o

L'équation 3.4.2 donne l'équilibre des moments autour du point 0 pour la partie supérieure du

mur:

o

o

qh2 W h aqh2

--+ -~+H- - --+q~-Rx8 4 2 12

qh2 W qh W h aqh2

-- +-~+ (- + -~)- - - +P~ -Rx8 4 2 2h 2 12

(3.4.2)

p

aqh2/12 Partial fixity

W/2 11

x

aqh2/12 Partial fixity

!W/2 !!i

4 ~ i

!

!1 -"""l!!"PilIII~-q h

P+W

FIGURE 3.15 - Déplacement du mur soumis à une charge uniforme latérale. Cette représentation

permet de calculer l'équilibre des moments (figure adaptée d'après la figure 5.2-1 de Moradi

(2008))

43


Cette équation permet de calculer ~ :

~ =Rx

Ir +P

(3 - 2Œ)qh2

12W + 24P(3.4.3)

En faisant l'équilibre de forces verticales, R est défini ci-dessous:

(3.4.4)

R est donc constant selon cet équilibre qui est toujours valable.

Comme dit précédemment, il est possible de démontrer que si Œ est inférieur à 75%, le moment

est supérieur au milieu du mur. Les moments aux extrémités et au milieu sont étudiés pour

différents cas :

Œ = 100% (mur doublement encastré) :

lVIend

lVlmilieu =

h2et le moment total vaut : lVItotal=ll/lend+lVImilieu=~

Œ = 0% (mur simplement appuyé)

lVIend

]I/Imilieu

h 2

et le moment total vaut : lVItotal=~

Œquelconque (mur partiellement encastré aux extrémités) :

lVIend

lVlmilieu

qh2

Œ12qh2

(3 - 2Œ)24

qh 2et le moment total vaut: lVItotal=8

Pour que le moment au milieu soit plus grand que les moments aux extrémités, Œ doit être

inférieur à 75%.

44


A partir de la fig 3.14, il peut être démontré que si : y = longueur de la fissure et x = distance

entre R et la ligne centrale, alors :

x

x

t t-y----2 3t+ 2y

6(3.4.5)

En substituant les équations 3.4.4 et 3.4.5 dans l'équation 3.4.3, il en résulte l'équation suivante

dans laquelle le déplacement du Inur (au milieu de la hauteur) est fonction de q :

t Y (3 - 2a)qh2

"6 + "3 - 121iV + 8P

ou en termes de charge répartie :

q = (_~ ! ~) 12W + 24P+ 6 + 3 (3 - 2a)h2

(3.4.6)

(3.4.7)

La pression appliquée sur la structure p [N/ mm2] est la charge répartie appliquée sur une unité

de largeur. Celle-ci se détermine donc de la manière suivante:

_ (_~ ! ~) 12111 + 24P lq - + 6 + 3 (3 - 2a)h2 l

~ = (_~ ! ~) 12W + 24P 1l + 6 + 3 (3 - 2a)h2 l

_ (_~ ! ~) 12W + 24P 1p- + 6 + 3 (3-2a)h2 l (3.4.8)

La flèche élastique du mur avant fissuration est calculée en considérant la théorie d'une poutre

uniformément chargée et à laquelle il est appliqué un moment M; aux deux extrémités. L'équation

3.4.9 est établie dans le cours -e; Constructions soumises à des sollicitations d'explosions (1999)>> du

Professeur Bourgeois :

_ o;qh 2

avec M; - 12'

~élastiquemax5qh4

384EI(3.4.9)

~élastique max (3.4.10)

45


Pour trouver qélastique, il suffit d'égaliser les équations 6 et 8 et de poser y = 0 :

t Y (3 - 2a)qh2

6+ 3" - 12W +8P

qmax élastique =

t(3

( 5-4a h4) ( 3-2a h 2)384EcI + 12H!+24P

(3.4.11)

(3.4.12)

Pour étudier la fonction de résistance en termes de pression [N/mm2 ], il suffit de diviser la valeur

de qmax élastique par la valeur de la largeur du mur :

q ~Pmax élastique = l: = l(( 5-4a h4) + ( 3-2a h2))

384EcI 12H!+24P

Les deux équations 3.4.6 et 3.4.10 présentent trois inconnues. De plus,

(3.4.13)

l'équation précédente

ne peut être utilisée que dans le domaine élastique. Il est possible de résoudre ce problème en

étudiant la courbure du mur.

Juste avant la formation de la fissure, la courbure du mur au niveau de la section centrale du

mur est déterminé par l'équation suivante:

<P - (J'crcr - Eet

Il est supposé, en se plaçant du côté de la sécurité, que le déplacement .ô. augmente proportion

nellement à la courbure centrale.

La courbure lorsque la fissure se développe est :

<PcrG

avec

2Rcr(J'cr =--

t

«-o

2RerG(J'erG = ---

t-y

(3.4.14)

(3.4.15)

Dans ce cas-ci, Rer = RcrG, puisque de par l'équation 3.4.4, R est constant. j3 est la valeur du

rapport suivant :

j3<PcrG

<Per

j3.ô.er

(3.4.16)

(3.4.17)

Il est maintenant possible de représenter la fonction de résistance (p = f (.ô.)) en faisant varier

y. Le premier point du graphe est obtenu en utilisant les équations 3.4.10 et 3.4.30. Pour ce

46


point, y est nul. Ensuite, en faisant augmenter y, ..6. est calculé à partir de l'équation 3.4.17 et p

est par la suite obtenu en utilisant l'équation 3.4.8. Il est possible d'implémenter ces équations

dans un programme comme Excel ou Maltab en prenant un faible incrément pour y.

0.15

~ 0.125

i 0.1

~ 0.075

oos

oL--'----'--'--_-'---'----'--'--_--'--'-----Jo ro ro ~ ~ ro w ro M ~ ~

Olsplaeemont (mm)

FIGURE 3.16 - Fonction de résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée (ref: Moradi (2008))

L'interprétation de la fonction de résistance est donnée lors de l'étude du cas suivant exposant

un 111ur en maçonnerie non renforcée avec effet membranaire.

Mur en maçonnerie non renforcée en considérant l'effet membranaire

Cette théorie est basée sur le fait que le mur est placé entre deux supports en contact étroit.

Ceux-ci vont ainsi restreindre le mouvement vers le haut du mur lors de sa mise en flexion et

l'élongation de la face en traction (face arrière) ne peut se faire sans induire une force compressive

(Drysdale et al. 1994). Dans ce cas-ci, la flexion du n1ur est toujours due à une pression latérale

et uniformément appliquée sur toute la hauteur du n11U. Les forces de compression induites dans

le plan du mur résultent du poids propre et de la surcharge du mur mais aussi d'un phénomène

appelé effet membranaire. En augmentant la charge appliquée, des fissures dues à la flexion

apparaissent près des supports et au milieu. Les hypothèses introduites auparavant (sauf celle

concernant la fixité des supports) sont reprises dans cette section.

Con1111e montré à la figure 3.17 où le mur est mis en flexion, la présence des supports provoque

l'apparition des forces membranaires Vu et I'écrasement de la maçonnerie aux extrémités et au

milieu de la hauteur.

COl11n1e dans le paragraphe précédent, les unités des forces sont en [N], les moments en [Nn1111]

et la charge répartie appliquée sur la structure en [N/n1111].

47


â _v....::."~+- -..;;:..~'--

FIGURE 3.17 - Mur en flexion entre deux supports rigides (ref: Moradi (2008))

La somme des moments autour du point B (figure 3.18) est obtenue de la façon suivante:

qh2 t - a t - a ~o = H; h--+P(-)+W(---)op 2 2 2 2

qh _ (P W) (t - a TV~ )2 + 2h + 2h

qh (P TV) (t - a _ W ~)2 + + 2h 2h

(3.4.18)

(3.4.19)

L'équation 3.4.20 donne l'équilibre des moments autour du point 0 pour la partie supérieure du

mur :

t - a T/V t - a ~ t - a qh h'" 1\110 = 0 = P(-) +-(- - -) - R(x + - -~) + (-)(-) (3.4.20)c: 2 2 2 2 2 2 4

L'équilibre des forces verticales permet de calculer R :

o WR-P-V;t -op 2

WR = P+vtoP+ 2 (3.4.21)

La force R est en [N]. Contrairement au cas précédent, R n'est pas constant tout au long du

phénomène, Ceci est démontré ci-après.

48


W/2

h

N2

H Top

HBottom

11

"'/2

q

p

FIGURE 3.18 - Flexion d'un mur placé entre deux supports rigides - Représentation des forces

utilisées pour le calcul de l'équilibre des moments (ref: Moradi (2008))

49


La relation entre les distances x et y est établie avec l'équation 3.4.5.

Pour déterminer vtop , McDoWell et al. (1956) ont proposé d'étudier la déformation dans la

section du mur sollicitée par cette force.

E28h2"

En utilisant la loi de Hooke, il est possible de déterminer la contrainte correspondante :

vtop

4E8 4E 2!::.tEE h= --

h h8ET~

h2

craL8ET~la

h2

r;~

(3.4.22)

(3.4.23)

(3.4.24)

avec ïl = 8E,;pa [N/mm]

Drysdale et al. (1994) introduisent l'égalité suivante: a = 0, 1t

Comme on peut le constater, vtop est fonction du déplacement ~. Comme R dépend de V top,

R n'est pas constant tout au long du phénomène.

L'établissement de q est obtenu en substituant les équations 3.4.21 et 3.4.24 dans l'équation

3.4.20.

8 [ t - a Hf t - a ~ TV t + 2y t - a ]q = - h2 P(-2-) + 2(-2- - 2) - (P + vtop + 2 )(-6- + -2- - ~) (3.4.25)

En tenues de pression p, l'équation 3.4.25 devient:

8 [ t - a TV t - a ~ vV t + 2y t - a Jp = -- P(-) + -(- - -) - (P + vt + -)(-- + - -~) 3.4.26)n» 2 2 2 2 op 2 6 2

Avant que la fissure ne soit initiée (en y = °et x = ~), il est supposé, en se plaçant du côté de

la sécurité, que vtop est nul. ~ devient donc:

q

q

8 [t-a W t-a ~ W t t-a ]-- P-+-(- - -) - (P+-)(- +--~)h2 2 2 2 2 2 6 2

8[W t W]-- ~(- + P) - -(P + -)h2 4 6 2

(P + lf)(~) - P[-p + lV

4

(3.4.27)

50


De plus, en y 0, le mur subit une courbure élastique et comme dans le cas traité sans effet

membranaire, ~ est obtenu par l'équation 3.4.28 :

(3.4.28)

Egaliser les équations 3.4.27 et 3.4.28 permet de calculer q dans le domaine élastique ainsi que

p, par simple division par la largeur de mur.

q =

p =

(P + lf)(~)

l((382~cI )(P + 11:) + ~2)

(3.4.29)

(3.4.30)

Il est admis comme étant plus sûr de considérer que le déplacement ~ augmente proportionnel

lement avec le rapport de la courbure instantanée sur la courbure élastique. Dans ce cas, il suffit

de reprendre l'équation 3.4.17.

A partir des équations établies, la fonction de résistance représentant la charge répartie sur le

mur en fonction du déplacement ~ peut être établie. Le premier point est déterminé avec les

équations 3.4.27 et 3.4.30, avec y = O. Pour les autres points de la fonction, il faut utiliser

l'équation 3.4.17 pour calculer le déplacement ~ et l'équation 3.4.26 pour déterminer la pression

p.

La figure 3.19 montre la fonction de résistance pour un mur placé entre deux supports rigides

et soumis à une charge uniformément répartie. Le mur est composé de blocs creux.

w ~ W M ~ rn ~ ~ ~

Dlsplacement(mm)

FIGURE 3.19 - Fonction de résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée en considérant

l'effet membranaire (ref: Moradi (2008))

Interprétation

La fonction de résistance établie par Moradi (2008) peut être interprétée de la manière suivante:

le premier point de la courbe est le point où la flexion du mur est telle que la première fissure

apparaît dans la section centrale. De par la propagation de la fissure, la flexion du mur s'accentue

et le déplacement ~ en est la conséquence. Lorsque la résistance à la compression est atteinte

51

4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique

le TM5-1300, il Y a instabilité lorsque le déplacement du point ln dépasse la ligne verticale entre

n et 0 (figure 2.5) puisque le bras de levier du couple résistant est réduit à zéro.

4.1.1 Influence de la hauteur

L'augmentation de la hauteur h permet une rotation libre plus grande pendant laquelle le

mur ne s'oppose pas à celle-ci. Le point de résistance rnaximale diminue et est atteint après

une plus grande rotation. Un mur élancé est plus facilement mis en flexion, ce qui implique une

résistance maximale moins importante. L'augmentation de la résistance n'est pas proprotionnelle

à la diminution de la hauteur. Par exemple, en divisant la hauteur par deux (3180 -+ 1590), la

résistance augmente d'un facteur 5.

200

TMS-1300)

50 100 150déplacement latéral (mm)

0.2

Fonction de résistance (ref1

0.8

(IjP-I

e 0.6IIIus::(Ij

~ 0.4-ri

1)1

'lllw

FIGURE 4.1 - Influence de la hauteur sur la fonction de résistance

Dt.c(mm) Dt.1 (mm) ru (MPa)

h = 1000mm 1,32 4,26 0,95

h = 1590mm 2,10 9,12 0,36

h = 2180mm 2,89 15,89 0,18

h = 3180mm 4,23 31,75 0,07

TABLE 4.1 - Influence de la hauteur

54


4.1.2 Influence de l'écart entre le mur et le support supérieur

Pour une même hauteur du mur h, augmenter l'espace vide (h'-h) donne lieu à une rotation

plus importante sans opposition du mur. La résistance maximale diminue lorsque cet écart

augmente.


0.1

0.05

coIIIe 0.25

Fonction de résistance (ref : TMS-1300)0.4

0.3

0.35

FIGURE 4.2 - Influence de l'espace vide h'-h sur la fonction de résistance

Fonction de résistance (ref TMS-1300)

255 10 15 20déplacement latéral (mm)

o.33 L.- L.-L-..J----l~L._ _'_____, _L._____'

o

0.335

0.37

0.36

0.34

0.365

Qi'§ 0.355

(j)

~ 0.35a:l~!fl

.~ 0.345'(j)>-l

FIGURE 4.3 - ZOOln sur l'influence de l'espace vide h'-h

55


.6.c (mm ) .6.1 (mm) ru (MPa)

hl 1590mm ° 6,94 0,3658

hl = 1590, 5mm 1,05 8,04 0,3615

hl = 1591mm 2,10 9,12 0,3571

hl = 1591, 5mm 3,17 10,23 0,3528

TABLE 4.2 - Influence de l'écart entre le mur et le support supérieur

4.1.3 Infl.uence de l'épaisseur

L'augmentation de l'épaisseur t implique une diminution de la rotation libre (sans résistance

du mur). De par le fait que le mur est plus imposant et donc résiste mieux à la flexion qu'il

subit, la résistance maximale est relevée pour un déplacement du point m moindre.

Fonction de ~é5i5tance (~ef : TMS-1300)o.

<1JUs::2 o.01

-.-101

'<1JW

50 100 150 200 250 300déplacement latéral (mm)

FIGURE 4.4 - Influence de l'épaisseur sur la fonction de résistance

56


~c (mm) ~1 (mm) ru (MPa)

t = 150mm 4,53 19,47 0,05

t = 190mm 2,87 13,31 0,18

t = 230mm 2,10 9,12 0,36

t = 380mm 1,37 6,19 0,88

TABLE 4.3 - Influence de l'épaisseur

4.1.4 Influence de la résistance à la compression f:n

L'augmentation de la résistance à la compression f~ améliore de façon proportionnelle la

résistance du mur alors que les deux déplacements, ~c et ~1, ne varie pas.

Fonction de résistance (ref : TM5-1300)

0.5

((jPole 0.4

(J)o~ 0.3+J(Il

-ri(Il

'~ 0.2

0.1


200

FIGURE 4.5 - Influence de la résistance à la compression sur la fonction de résistance

~c (rnm) ~1 (nlm) ru (MPa)

f~ = 13, 81VIPa 2,10 9,12 0,3571

f~ = 16,5611([Pa 2,10 9,12 0,4286

f~ 20, 71VIPa 2,10 9,12 0,5357

TABLE 4.4 - Influence de la résistance à la compression

57


4.2 Analyse paramétrique de la fonction de résistance selon

Smith et al. (1994)

En ce qui concerne l'étude de la fonction de résistance établie par Smith et al. (1994), l'in

fluence de la hauteur ainsi que celles de l'épaisseur et de la résistance à la traction du mortier

sont présentées. La résistance ultime à la traction du mortier (Jt = 21\([Pa pour le modèle de

référence est à prendre en compte pour établir cette fonction de résistance.

Les paramètres étudiés sont les suivants :

- Lls , le déplacement aux 2/3 du mur

- Pmaxl, la pression maximale qu'il est possible d'appliquer sur le mur pour la phase avant

fissuration

- Pmax2, la pression maximale qu'il est possible d'appliquer sur le Inllr pour la phase de rupture

Quelles que soient les dimensions de la face avant du mur et de la résistance à la traction du

mortier, la valeur maximale du déplacement latéral est égale à la valeur de l'épaisseur.

4.2.1 Influence de la hauteur

Plus la hauteur h augmente, plus le déplacement Lls augmente et plus les pressions Pmaxl

et Pmax2 diminuent. L'augmentation de ces deux pressions est double lorsque la hauteur est

diminuée d'un facteur 2. Etant plus élancé, le mur offre moins de résistance. L'influence est

similaire au cas vu dans le TM5-1300 en ce qui concerne la pression maximale.

58


Fonction de résistance (ref Smith et al.)

0.0

o.

o.

Q)

~ 0.011l+)(Ii

·ri(Ii

'Q)

,.. 0.0

0.0

6

-h 1000 nunU .Ub r-: ..... •.............. .•....... - mm

5r- '"

mm--h 3180 nun

0.05 i· .... ...

4 0.04 .......... ...

0.031 :

3

Il0.02

•••

....... ....

--~>~.~.~~~-.i->

20.01 . .. .

+-~~.~,............

/ ..----~/.-~

1 0,»>:

o 5 1.5 2 2 5 3.5

0200 20 40 60 80 100 120 140 160 180

déplacement latéral (nun)


.lls(nnn) Pmaxl(Mpa) Pmax2(JVIPa)

h = 1000 mm 0,09 0,0545 0,0026

h = 1590 mm 0,40 0,0379 0,0016

h = 21S0 mm 1,03 0,0276 0,0012

h = 31S0 mm 3,21 0,0190 O,OOOS


4.2.2 Influence de l'épaisseur

Plus l'épaisseur t augmente, plus le déplacement .lls diminue et plus les pressions augmentent.

La variation de l'épaisseur influence Pmaxl et Pmax2 de la mène manière,

59


Fonction de résistance (ref Smith et al.)0.09

0.08

0.07

0.06

0.03

0.02

0.01

-o•O~ - mm

! mmo 18

,! t 290 mm,.....

o 17

iln

10.U~/ ...

~../

10 )4~'

10 )3/./

:..

i/10 ,~ ! /

: //1 1.> //

'0 n t,c ///'

!~~~~~_--r::=-=-==='1\0.5

:

""""1 "'"

50 100 150 200déplacement latéral (mm)

250 300


~s(nll11) Pmaxl(Mpa) Pmax2 (]\IIPa)

t = 90 mm 0,84 0,0085 0,0004

t 140 mm 0,54 0,0205 0,0009

t = 190 111111 0,40 0,0379 0,0016

t = 290 mm 0,26 0,0876 0,0037


4.2.3 Influence de la résistance à la traction

Le déplacement ~s et la pression Pmaxl augmentent proportionnellement avec la résistance

en traction O"t. Contrairement aux cas précédents, les deux pressions ne sont pas influencées de

la même manière puisque dans le cas où la résistance en traction O"t augmente, Pmaxl augmente

tandis que Pmax2 diminue faiblement. Ceci est dû au fait que la résistance en traction O"t intervient

principalement en limitant la phase élastique de la fonction de résistance.

60


Fonction de résistance (ref : smith et al.)


604020

6ft 2

1

006

ft 3 MPa5

/o )5

4i

o ;,

0,03 _.ii

3

10,02 i2

la IIi

I/i1

00

'-L.... ...

0.5

0 r .....i j .... i j

o.

o.

o.

o.

O!

~ 0.0tlJ+Jtfl

..-1tfl'illS--J

0.0

FIGURE 4.8 - Influence de la résistance à la traction sur la fonction de résistance

~s(nl1n) Pmaxl(Mpa) Pmax2 (lVIPa)

(Jt = 2MPa 0,40 0,0379 0,001614

(Jt = 2, 5MPa 0,50 0,0474 0,001613

(Jt = 3MPa 0,60 0,0569 0,001612

TABLE 4.7 - Influence de la résistance en traction

4.3 Analyse paramétrique de la fonction de résistance selon Mo-

radi (2008)

Pour l'étude paramétrique de la fonction de résistance établie par Moradi, une première étude

est faite sans considérer l'effet membranaire, Par après, l'effet membranaire sera pris en compte.

Le nlur de référence a les mêmes dimensions que celles choisies dans les deux cas précédents.

Deux autres caractéristiques sont à prendre en compte pour établir cette fonction de résistance:

- résistance ultime à la compression de la maçonnerie f:n = 13,81\11Pa;

la surcharge P = °Njlnln (force par unité de largeur de mur)

61


4.3.1 Cas sans effet membranaire

L'influence de la hauteur ainsi que celles de l'épaisseur, de la surcharge, de la résistance à la

compression de la maçonnerie et de la rigidité des supports sont présentées.

Les paramètres étudiés par la suite sont :

- .6.1111 , le déplacement correspondant à la pression maximale

- Pmax, la pression maximale qu'il est possible d'appliquer sur le mur

.6.m ax , le déplacement maximal au milieu du nlur

Influence de la hauteur

La pression maximale diminue avec la hauteur. Le déplacement maximale est quant-à-lui peu

influencé. Il est limité généralement à une valeur proche de la demi-épaisseur du mur.

Fonction de résistance sans arching (ref Moradi)

100807040déplacement latéral (mm)


62


LlJYf(nlm) Pmax(MPa) Llmax(mnl )

h = 1000 mm 0,985 0,00166 94,8

h = 1590 mm 1,569 0,00103 94,6

h = 2180 mm 2,156 0,00073 94,36

h = 3180 mm 3,121 0,00049 93,86


Influence de l'épaisseur

Quand l'épaisseur t augmente, la pression maximale qu'il est possible d'appliquer augmente.

Le déplacement maximale augmente également avec l'épaisseur et est généralement égal à plus

ou moins la moitié de celle-ci.

Fonction de résistance sans arching (ref : Moradi)

0.5 f- ."...~,,_ ,."h"' .

10050°0L.----------===----'-------=""'---------""-...l..-----------"----'

déplacement latéral (mm)

FIGURE 4.10 Influence de l'épaisseur sur la fonction de résistance

63


.ôJvJ(mm) Pmax(MPa) .ôm ax (mn1)

t = 90 111111 1,24 0,00022 44,6

t = 140 111m 1,415 0,00055 69,6

t = 190 mm 1,569 0,00103 94,6

t = 290 111m 1,797 0,00242 144,6


Influence de la surcharge

Considérer une surcharge P agissant sur la face supérieure du 111ur permet d'augmenter la

résistance du mur. De plus, la déformation pour atteindre cette résistance maximale est plus

importante. Une surcharge de 10 N/111n1 appliquée sur la face supérieure du 111ur de référence

correspond à une force de 1900 N. Ceci est une charge possible si on considère par exemple une

dalle en béton qui repose en partie sur le mur.

Fonction de résistance sans arching (ref Moradi)

5 1- ,., .: .. , , ;- ; o.•...,......•....... , " •••• ,;, •....••.. , , ;..•..•.••••••••.... ;

q;-'"ë 41-··· ·····,··,················,··;····· ..,· .. ·· .. ·····, ;., , , ; , ; , ; ,.,.;


70 100

FIGURE 4.11 - Influence de la surcharge sur la fonction de résistance

64


~JvI(lnm) Pmax(MPa) ~max(nlnl)

P = 0 JVIPa 1,57 0,00103 94,6

P = 5 MPa 2,10 0,00241 94,38

P 10 MPa 2,45 0,00377 94,22

P = 20 MPa 2,92 0,00644 93,97

TABLE 4.10 - Influence de la surcharge

Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie (f:n)

L'augmentation de la résistance à la compression de la maçonnerie est un autre moyen pour

augmenter la résistance du mur. Néanmoins, multiplier la résistance à la compression de la

maçonnerie par 1,2 ou 1,5, a peu d'influence sur le Pmax et le ~max'

Fonction de résistance sans arching (ref : Moradi)

-;00<

é(])g 0.61-··················;····· .. ············,·········· .. · ; ;."'-.;. , ; : : , ;<1J-I-l(/1

•.-j

(/1,(])w

0.4

o.21-················;················· .. ;········· ..····· , , ; ; : "."' ; ;- :


70 80 90 100

FIGURE 4.12 Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie (f:n) sur la fonction

de résistance

65


Lll\1 (mm) Pmax (JVIPa) Llm ax (mm)

P °lVIPa 1,57 0,00103 94,6

P = 5 MPa 2,10 0,00241 94,38

P = 10 MPa 2,45 0,00377 94,22

P = 20 MPa 2,92 0,00644 93,97

TABLE 4.10 Influence de la surcharge




maçonnerie par 1,2 ou 1,5, a peu d'influence sur le Pmax et le Llm ax.


30

Fonction de résistance sans arching (ref . Moradi)

2010

2 x 10 ,...

1

·fm' 13 8

11P~

"

~ ~

~"'--8

~~6 <,

~'"4

~~2 <,

~~~,

0 1 1

o.

o.

o.

FIGURE 4.12 - Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie (f:n) sur la fonction

de résistance

65


~}'\lI(mlu) Pmax(Mf'a) ~max(mnl)

P = 0 ]VIPa 1,57 0,00103 94,6

P = 5 MPa 2,10 0,00241 94,38

P = 10 MPa 2,45 0,00377 94,22

P = 20 MPa 2,92 0,00644 93,97





maçonnerie par 1,2 ou 1,5, a peu d'influence sur le Pmax et le ~max.

-3X 10 Fonction de résistance sans arching (ref : Moradi)


302010

2

11

-fm' 13

"

1~~

~8

~

~~6

<.~"4

~~

2~

"~,0 1

o.

o•

o.

o.

FIGURE 4.12 Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie (f:n) sur la fonction

de résistance

65


LllV[(lnm) Pmax (NIPa) Llmax(mnl)

P = 0 NIPa 1,57 0,00103 94,6

P = 5 MPa 2,10 0,00241 94,38

P = 10 MPa 2,45 0,00377 94,22

P 20 MPa 2,92 0,00644 93,97





maçonnerie par 1,2 ou 1,5, a peu d'influence sur le Pmax et le Llm ax .

-3x 10 Fonction de résistance sans arching (ref : Moradi)

o.

o.

o.

2

1

-fm138 1

-fm 20,7 MPa

1~ -'"~"-

8

~~6 <.

~~4f-

~~

~2 <,

~-~

r-.0 i 1


70 80 90 100

FIGURE 4.12 - Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie (f:n) sur la fonction

de résistance

65


4.3.2 Cas avec effet membranaire

Les paramètres à considérer sont identiques à ceux utilisés pour établir la fonction de résistance

sans effet membranaire.

Influence de la hauteur

La pression maximale diminue avec la hauteur. Pour le mur de référence, la pression maximale

est multipliée d'un facteur 200 par rapport au cas sans effet membranaire. Le déplacement

maximale est peu influencé. Il est limité généralement à une valeur proche de l'épaisseur du mur

qui vaut le double du déplacement maximum calculé sans effet membranaire,

Fonction de résistance avec arching (ref : Moradi).7

mmmm

.61-mm

3180 mm

.5

.3

.2

.1rk0 1

/ i -i- - __ .-'0 20 40 60 80 100 120 140 160 180



~ IvI (n1111) Pmax(MPa) ~max(nlnl)

h = 1000 n1111 0,517 0,543 189,7

h = 1590 mm 1,313 0,2146 184,5

h = 2180 mm 2,421 0,1138 182,9

h 3180Innl 5,168 0,05279 181,5


68


Influence de l'épaisseur

Comme dans le cas sans effet membranaire (à un facteur 200 près pour le mur de référence),

la pression maximale qu'il est possible d'appliquer croît quand l'épaisseur t augmente. Le

déplacement maximale augmente également avec l'épaisseur et est généralement égal à plus

ou moins celle-ci. Le déplacement correspondant à la pression maximale diminue en augmentant

l'épaisseur, ce qui est contraire au cas sans effet membranaire.

Fonction de résistance avec arching (ref Moradi)0.5

0.35

0.45

0.4

r-r-

1.[ : mm

/il

mmt 290 mm

il

li

\\\

i..0.05

m 0.3Ô

0.1

0.15

<1J

~ 0.25C\J+JU1

-.-1U1 0.2

'<1Jw


200 250


~]\!I(lunl) Pmax(MPa) ~max (nlnl)

t = 90 mm 2,817 0,04648 85,45

t = 140 mm 1,768 0,1155 134,1

t = 190 mm 1,313 0,2146 184,5

t = 290 mm 0,877 0,4707 238,8

TABLE 4.14 Influence de l'épaisseur

Influence de la surcharge

Considérer une surcharge P agissant sur la face supérieure du mur permet d'augrnenter

légèrement la résistance du mur. L'influence de P dans le cas sans effet membranaire est beau

coup plus grand. Le déplacement correspondant à la pression maximale diminue légèrement en

69


augmentant la surcharge, ce qui est contraire au cas sans effet membranaire dans le sens où il

augmente et en plus d'une manière plus rapide. Le déplacement maximal diminue beaucoup plus

fortement que dans le cas sans effet membranaire.

Fonction de résistance avec arching (ref Moradi)

80 100déplacement latéral (mm)

604020

O. 051f-········~, ·.. ·; · ·: · ·: ·.. · : : : c : ..

FIGURE 4.17 - Influence de la surcharge sur la fonction de résistance

~l'd(lnnl) Pmax(MPa) ~max(lnln)

P = °MPa 1,313 0,2146 194,5

P = 5 MPa 1,272 0,2167 121,4

P 10 MPa 1,262 0,2182 92,99

P = 20 MPa 1,222 0,221 64,35



L'augmentation de la résistance à la compression de la maçonnerie est aussi un moyen pour

augmenter la résistance du mur. La multiplication de la résistance à la compression de la

maçonnerie par 1,2 et 1,5 a peu d'influence sur le ~JvI et le ~max'

70


Fonction de résistance avec arching (ref Moradi)0.35

0.3

0.25

Qir:4

e 0 ..2(j)o~<1l+J.~ 0.15trl

'(j)W

0.1

0.05

1

-fm T

138 1

-fm 20,7 MPa

\\\~

"-,2~I~::S:--

~

i i20 40 60 80 100 120

déplacement latéral (mm)140 160 180

FIGURE 4.18 - Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie (in) sur la fonction

de résistance

.6.1\11 (mm) Pmax(MPa) .6.max(mm)

f:n = 13,8 MPa 1,313 0,2146 184,5

f:n 16,56 MPa 1,299 0,2572 183,8

f:n = 20,7 MPa 1,317 0,3208 182,7

TABLE 4.16 - Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie

71


Implémentation dans le programme Matlab

Pour obtenir la fonction de résistance avec le programme Matlab, il a fallu introduire des

conditions supplémentaires aux équations établies précédemment.

Pour chaque pas d'incrémentation de l'avancée de la fissure y, (3 est déterminé à partir d'un

certain rapport de force de réaction R : R de la phase élastique et R de la phase précédente. (3

est utilisé pour calculer la déformation. Celle-ci est fonction de la déformation élastique initiale.

Si le pas d'intégration est petit, l'erreur est négligeable.

Lorsque la courbure maximale élastique est atteinte, la distribution des contraintes de corn

pression est de forme triangulaire. La distribution des contraintes dans le mur varie d'une dis

tribution de contraintes triangulaires jusqu'à l'obtention d'une distribution de contraintes rec

tangulaires quand la résistance à la compression ultime est atteinte. Une fois que la résistance à

la compression est atteinte, la contrainte fe ne peut plus augmenter. Il faut donc introduire des

conditions pour certain paramètres :

- La condition sur la force membranaire 1/top s'exprime de la manière suivante:

si 1/top (i - 1) > 0.85 * f:n * a alors 1/top (i ) = 0.85 * f:n * a, où a est la zone de compression.

Bien que 1/top devrait aussi évoluer selon une distribution triangulaire, l'approximation 1/top =

(J" * a implique une distribution rectangulaire tout au long du phénomène. La contrainte est

représentée par (J". Cette approximation apporte de bons résultats (Moradi). L'effet membra

naire est un phénomène complexe et personne n'a encore trouvé la bonne solution pour étudier

complètement ce phénomène.

En ce qui concerne la force R, l'évolution de la distribution des contraintes d'une forme trian

gulaire (lorsque la fissuration commence) vers une forme rectangulaire se fait en appliquant

la condition suivante: si fe > 0.85 * in alors R = 0.85 * f:n * (t - y),

ce qui signifie que lorsque la contrainte dans la section centrale du mur atteint la résistance à la

compression de la maçonnerie, celle-ci est fixée à sa valeur maximale 0.85 *f:w La distribution

des contraintes en compression est de forme rectangulaire.

Il faut remarquer que l'équilibre du mur n'est plus assuré puisqu'au moment où les deux pa

ramètres R et 1/top sont assujettis à ces conditions, R diminue tandis que 1/top est constant. On

peut expliquer cela par le fait que ces deux conditions n'interviennent que lorsque la distribu

tion de contraintes en compression atteint les conditions ultimes et que le mur a déjà subi un

déplacement significatif. A ce point, 100% de l'équilibre statique ne peut exister. A la place,

multiplier la capacité en compression ultime du mur par l'aire de la surface sur laquelle elle agit

permet d'obtenir une bonne approximation. En réalité, le mur ne sera pas capable de résister à

72


une valeur supérieure. Lorsque la distribution des contraintes passe d'une forme triangulaire à

une forme rectangulaire, ceci ne doit pas se faire en un saut brusque. L'évolution doit donc se

faire progressivement.

Calcul de la fonction de résistance pour un mur composé de blocs creux avec effet

membranaire

L'étude dans le cas d'un mur composé de blocs creux suit le même développement analytique

que pour un mur avec des blocs pleins. Cependant, il est nécessaire d'adapter quelques formules.

Le poids TVtotal [N] est calculé de la manière suivante :

TVtotal = C~ntier - 1!trous) p 9,81 (4.3.1)

où ~ntier et 1!trous sont respectivement le volume d'un bloc plein et le volume des trous. n1 est

le nombre de bloc en largeur et n2 le nombre de blocs en hauteur.

Le moment d'inertie I est aussi modifié (blocs avec deux trous)

(4.3.2)

avec 1 = la largeur du bloc et t = épaisseur du bloc, b = largeur des vides et e = épaisseur des

vides.

De plus, il faut tenir compte du fait que la contrainte est appliquée sur une surface de mur plus

petite par rapport à un mur composé de blocs sans vides. Un bloc avec deux vides est représenté

à la figure 4.19. L'épaisseur des parois dans ce cas est de 30 mm.

Largeur du bloc

FIGURE 4.19 - Représentattion d'un bloc creu

Lorsque la contrainte maximale est atteinte dans la section centrale et que la fissure se situe

dans la partie de la section avec les trous (y entre 30 mm et (t - 30) mm) , la distribution des

73


contraintes de forme rectangulaire est calculée de la manière suivante:

- Calcul de R dans la partie où la surface contient les vides :

où b = (largeur du bloc - 2 * largeur des vides) /largeur du bloc.

- Calcul de R dans la partie sans vide (30 mm) :

/

0.85*fm*30

- Calcul de R sur la surface à considérer (t-y) :

Rtotal = RI + R2 = 0.85 * f:n * ((t - Y - 30) *b+ 30))

(4.3.3)

(4.3.4)

(4.3.5)

Lorsque la fissure a dépassé les vides, l'influence de ceux-ci ne se fait plus ressentir et Rest

calculé de la manière suivante :

R = 0,85 * f:n (t - y) (4.3.6)

74


4.4 Comparaison des trois fonctions de résistance

L'étude paramétrique a d'abord permis d'appliquer les fonctions de résistance à des cas

concrets. Elle permet aussi d'établir des ordres de grandeur pour la résistance des trois théories.

Les résultats sont cohérents et ne surprennent pas beaucoup. En effet, il semble logique qu'un

mur présentant une épaisseur plus grande résiste mieux. De même, en optant pour un mur plus

élancé, le maximum de la fonction de résistance diminue.

La chose la plus intéressante est de comparer les différentes fonctions de résistance entre elles

et d'examiner les hypothèses qui sont introduites, ceci dans le but de choisir le modèle de la

fonction de résistance la plus adaptée à notre problème. Il faut étudier un mur en maçonnerie

non renforcée placé entre le sol et un support supérieur (ce qui est le cas dans la réalité).

A partir de ces considérations, la fonction de résistance de Smith et al. (1994) est écartée. En

effet, celle-ci ne considère pas la présence de support supérieur et donc s'écarte fortement du cas

à étudier. Connue on peut le constater dans les hypothèses de cette théorie, la diminution de la

résistance est due au fait que la résistance à la traction du mortier est atteinte et qu'il y a donc

fissuration. Les deux autres théories ne considèrent pas la fissuration con1n1e une faiblesse en soi

pour la résistance, bien qu'elle participe au phénomène, C'est la résistance à la compression qui

est prise en compte. Lorsque cette dernière est dépassée, la maçonnerie (Moradi (2008)) ou le

mortier (TJVI5-1300 (1990)) s'écrase.

Il reste donc à choisir entre la fonction de résistance du TM5-1300 (1990) et de Moradi (2008).

En revenant sur les hypothèses de ces modèles introduits auparavant, on peut voir que le TM5

1300 (1990) ne prend pas en considération le poids propre du mur. Or, celui-ci joue un rôle non

négligeable puisque le poids propre n'est pas uniforme sur toute la hauteur. En effet, le poids

est nul au sommet du mur et augmente jusqu'à atteindre le poids maximal dans le bas du mur.

La fonction de résistance utilisée dans la suite de ce travail est donc celle établie par Moradi

(2008). Le poids propre ainsi que la présence de supports sont pris en compte. De plus, Moradi

introduit l'effet membranaire pour I'établissement de la fonction de résistance. Cet effet augmente

d'un facteur 100 la pression que peut supporter le mur.

75


Comparaison des hypothèses

Ci-dessus sont reprises les hypothèses de chaque fonction de résistance introduites auparavant.

Ceci permet de mettre en évidence les différences entre les trois théories.

1. Fonction de résistance selon le TlVI5-1300 (1990)

Le mouvement horizontal des bords supérieur et inférieur du mur est empêché.

Des supports rigides, l'inférieur et le supérieur, sont présents.

Un espace peut exister entre le mur et le support supérieur.

Le poids propre est négligé.

- Le déplacement maximal .6. vaut l'épaisseur.

- La résistance en traction des éléments de maçonnerie n'est pas prise en compte,

La résistance en compression du mortier est considérée. La déformation du mur (rac

courcissement) a lieu uniquement dans le mortier.

La fissuration a lieu à la moitié de la hauteur du mur.

La résistance maximale est obtenue lorsque la contrainte de compression atteint la

résistance maximale en compression du mortier.

2. Fonction de résistance selon Smidth et al. (1994)

- Le mouvement horizontal des bords supérieur et inférieur du mur est empêché.

Il n'y a pas de support supérieur.

Le poids propre est considéré.

Le déplacement maximal .6. vaut l'épaisseur.

Seule la résistance en traction du mortier est prise en compte.

La fissuration a lieu aux ~ de la hauteur.

La résistance maximale est obtenue lorsque la contrainte de traction atteint la résistance

maximale en traction du mortier.

3. Fonction de résistance selon Moradi (2008)

Le mOUV8111ent horizontal des bords supérieur et inférieur du mur est empêché.

Des supports rigides, l'inférieur et le supérieur, sont présents.

- Le poids propre est considéré.

- La rupture survient quand la résultante R bouge hors de la ligne d'action du poids

propre et de la surcharge.

La résistance en traction du mortier est nulle.

La résistance en compression de la maçonnerie est considérée.

76


- La fissuration a lieu à la moitié de la hauteur du mur.

La résistance maximale est obtenue lorsque la contrainte de compression atteint la

résistance maximale en compression de la maçonnerie.

4.5 Conclusion

L'étude paramétrique a permis de mettre en évidence l'influence de certains paramètres comme

la hauteur, l'épaisseur, la résistance à la traction ou à la compression, la rigidité des supports

ou encore la surcharge.

Une des manières les plus communes de renforcer un mur afin qu'il résiste aux charges dues

au soufRe d'une explosion est tout d'abord de jouer sur ses dimensions comme par exemple

augmenter son épaisseur. Il est possible aussi d'opter pour une hauteur plus petite. La deuxième

méthode est de changer les matériaux utilisés pour construire le mur. Ajouter une surcharge sur

le mur ou encore augmenter la rigidité de ses supports peut également le renforcer.

77

Ce chapitre a pour buts, premièrement de montrer comment le logiciel a été utilisé de façon

optimale, deuxièmement de faire une synthèse des résultats obtenus et troisièmement de mettre

en évidence les problèmes qui ont été rencontrés. Cette partie décrit les simulations numériques

relatives à l'interaction d'une onde de choc avec un mur en maçonnerie. Après avoir introduit

le code de calcul d'Autodyn@ et les différents modèles utilisés dans cette étude, les différentes

simulations seront présentées et une étude paramétrique sera établie.

5.1 Concepts et définitions

5.1.1 Introduction

Pour exécuter les simulations numériques du phénomène étudié, nous avons utilisé le logiciel

Autodyn@ . Cet outil d'analyse explicite 1 permet la modélisation de phénomènes dynamiques

non linéaires des solides, des fluides et des gaz ainsi que leurs interactions. La version 2D d'Au

todyn@ fut développée par Century Dynamics en 1986. En 1992, fut introduit son homologue

tridimensionnel, Autodyn-3D. En 2005, ANSYS devint propriétaire du logiciel.

Celui-ci permet de simuler trois grands types de problèmes : impacts et perforations, explosions

et ondes de choc en milieu aérien, interaction entre une onde de choc et une structure.

La version 11 du logiciel est utilisée dans le cadre de ce travail.

5.1.2 Hydrocodes 2

Le comportement dynamique d'un matériau est décrit par les équations fondamentales de

conservation 3 :

1. L'information à un instant donné est calculée à partir de l'information obtenue au cycle précédent

2. HYDROdynamic computer CODE

3. Pour chaque cas, l'équation supérieure est établie dans le système lagrangien et l'équation inférieure dans

le système eulérien

78

5. Simulation avec Autodyn@

- conservation de la masse

p+ PUi,i = 0 (5.1.1)

(5.1.2)

avec p la densité du matériau, u le déplacement, t le temps, x la distance, Vi la vitesse.

- conservation de la quantité de mouvement

PÙi = Oji,j

avec 0ji le tenseur des contraintes.

conservation de l'énergie

(B e Be ) B<JjiVi

P -+Vi- =--ot OXi OXj

avec e l'énergie interne.

(5.1.3)

(5.1.4)

(5.1.5)

(5.1.6)

Afin d'offrir une solution aussi complète que possible, Autodyn@ fait intervenir d'autres

équations:

- l'équation d'état: elle fournit la relation donnant la pression hydrostatique en fonction de la

densité et de l'énergie interne.

- l'équation constitutive : elle établit la relation entre les contraintes appliquées (<Jij) et les

déformations (E), la vitesse de déformation (Eij) , l'énergie interne (1) et les dommages subis

par le matériau. Ceux-ci décrivent les effets de la déformation (changement de la forme ou des

propriétés de résistance).

- le modèle de rupture (pour un solide) : ce modèle permet de déterminer quand un matériau

n'offre plus de résistance et par conséquent se brisera.

79


le modèle d'érosion (pour un solide) : le modèle érode le matériau, c'est-à-dire que le matériau

est transformé en noeud massique libre. L'érosion numérique permet de continuer le calcul

même lorsque les cellules sont excessivement déformées.

les conditions initiales

les conditions aux limites

Le terme (Yji utilisé dans les équations de conservation de la quantité de mouvement et

de l'énergie est calculé par Autodyn@ grâce à l'équation d'état et à l'équation constitutive.

L'équation 5.1.7 est toujours valable:

(5.1. 7)

Le premier terme Sji est le tenseur des contraintes déviatoriques qui sont les contraintes dues

aux changements de formes du matériau. Ce tenne est lié à l'équation constitutive. Le second

tenne p8j i représente la partie volumique. Les contraintes sont dues aux changements de volume

causés par la pression p qui est calculée à l'aide de l'équation d'état.

La méthode analytique pour étudier un système demande donc de résoudre des équations

différentielles. Pour des problèmes complexes, le recours à des programmes d'ordinateur est

nécessaire. Afin de résoudre les équations différentielles, Autodyn@ utilise des hydrocodes (HY

Dfl.Odynamic computer CODE) basés sur la technique de différences finies, volumes finis et

éléments finis. Ceci est dû au fait qu'un ordinateur a une mémoire limitée et qu'il faut donc

représenter un milieu continu en faisant la discrétisation de celui-ci. Dans ce programme, une

discrétisation est faite dans le temps et dans l'espace. Pour la première citée, le temps est mor

celé en pas de temps (time step). Et chaque pas de temps constitue un cycle de calcul. Il est

possible de spécifier le pas de temps initial. Pour la deuxième discrétisation, l'espace est divisé

en zones appelées cellules. Celles-ci sont des quadrilatères (2D) ou des parallélogrammes (3D),

à l'exception des particules du solveur SPH qui ne sera pas traité dans cette étude.

Le logiciel propose plusieurs solveurs numériques, notamment Lagrange et Euler. La bibliothèque

d'Autodyn@ propose déjà toute une série de matériaux définis par les lois les décrivant. De

nombreuses équations sont en fait des équations empiriques qui nécessitent des expériences pour

déterminer les différents paramètres.

Dans l'annexe Partie 1, seuls les modèles étudiés nécessaires à l'étude sont établis à partir des

manuels du logiciel et présentés: les modèles pour le béton, les explosifs et l'air. Autodyn@

propose une aide complète expliquant les modèles proposés dans sa bibliothèque.

80


5.1.3 Stabilité

Le fait que l'algorithme utilisé par Autodyn@ est explicite, implique qu'un pas de temps

d'intégration maximum soit observé, ceci dans le but que la solution proposée soit représentative

du problème considéré.

Pour assurer ce pas de temps maximum, la condition de stabilité de Courant (Pierazzo et al.)

est utilisée dans Autodyn@ :

cLltLlx < 1 (Lagrange)

LlxLlt < (c + Iv!) (Euler) (5.1.8)

où Llx est la taille de la cellule, c la vitesse du son et v la vitesse.

Ceci veut dire que la plus petite cellule (Llx) va contrôler le pas d'intégration. A chaque pas,

l'équation est calculée et le programme va adapter Llt pour satisfaire à la condition.

5.1.4 Les solveurs Lagrange et Euler

Il existe de nombreux solveurs dans les hydrocodes modernes. Ils peuvent cependant être

classés en deux catégories: les solveurs lagrangiens dans lesquels un système mécanique est

étudié et les solveurs eulériens dans lesquels un volume de contrôle est étudié. Chaque type

présente des avantages et des désavantages. Le choix du solveur adapté dépend du cas à étudier.

Lagrange

Avec un solveur Lagrange, le maillage numérique se déplace et se déforme avec le matériau.

Le volume change mais la masse reste constante.

Le maillage en Lagrange est bien indiqué pour la dynamique des solides. Ce type de maillage

a l'avantage de donner une définition claire des interfaces entre les matériaux. Ceci est dû au

fait que le matériau remplit entièrement sa cellule et ne la quitte pas. Il est donc possible de

suivre la déformation de la structure. Un autre avantage est que le solveur présente une grande

efficacité vu le peu de calcul nécessaire par cycle et que le code de calcul est simple.

Le désavantage est que lors de fortes déformations, les cellules peuvent devenir dégénérées. Il

faut alors faire appel à des méthodes d'érosion numérique, c'est-à-dire que le programme a

l'autorisation de faire un remaillage ou de supprimer certaines cellules de manière automatique

afin de garantir un pas de temps. Puisqu'avec un solveur Lagrange la masse est constante, les

cellules supprimées sont remplacées par un point massique. Ce phénornène ne se fait pas dans

la réalité.

81


Euler

En ce qui concerne le solveur eulérien, le maillage est fixe et le matériau -s; coule ~ dans les

cellules. Les cellules peuvent donc être remplies partiellement contrairement au cas Lagrange.

Ce maillage est indiqué pour la dynamique des fluides (effets des explosions, produits gazeux).

Comme le maillage est fixe, les fortes expansions ou déformations ne posent pas de problèmes.

Cette méthode rend difficile l'identification des interfaces entre les matériaux : des -e; cellules

mixtes ~ incluant différents matériaux sont introduites. Une conséquence est que la précision

dans la détermination des frontières entre les matériaux dépend de la finesse du maillage. Plus

le maillage est fin, plus la précision augmente et plus le temps de calcul augmente,

Euler FCT

Autodyn@ possède un deuxième solveur eulérien. Ce solveur a été optimisé pour les problèmes

concernant la dynamique des gaz idéaux.

5.2 Méthodologie

La section a pour but de présenter la méthodologie suivie pour établir les différents modèles

numériques utilisés permettant par la suite une comparaison avec les résultats obtenus de manière

analytique. Une étude expérimentale permet de confirmer ou infirmer des résultats obtenus par

un logiciel. Les expériences ne seront pas menées dans le cas de cette étude. Les résultats venant

des simulations devront être validés par expériences.

5.2.1 Modèle à schématiser

Un mur avec les dimensions suivantes (tableau 7.3) est choisi comme modèle de référence.

Une charge sphérique de 4 kg TNT placée symétriquement par rapport à la face avant du mur

explose à une hauteur de 795 mm. Elle sera placée à une distance suffisamment éloignée pour

considérer un onde plane. Comme il sera constaté plus tard, simuler une onde plane n'est pas

chose aisée.

La méthode utilisée pour simuler le cas étudié est basée sur la technique du remapping.

Cette technique présente une méthode simple permettant de combiner les modélisations lD et

3D dans un même problème.

82


Dimensions du n1ur à étudier

hauteur 1590 mm

largeur 1590 mm

épaisseur 190 mm

TABLE 5.1 Dimensions du mur de référence

5.2.2 Wedge

La première chose à faire est de simuler l'explosion de la charge de TNT. Elle se fait dans

l'air sans présence d'obstacles. C'est donc une explosion à l'air libre. Pour cela, il faut d'abord

modéliser la détonation de l'explosif et sa propagation initiale sur une distance inférieure à celle

entre l'explosif et le sol. Ensuite, il faut importer ce modèle ID de la première étape (remapping)

dans un modèle 3D. C'est dans ce dernier que l'interaction de l'onde de choc avec le sol va se

produire avant d'interagir avec le mur.

Cette façon de faire offre un gain de temps (surtout si la distance du wedge est importante

comparée à I'ensemble de la propagation) puisque la propagation de l'onde de choc sur 795 mm

se fait en ID et non en 3D. Vu le nombre réduit de cellules par rapport à une simulation 3D

pour un même maillage considéré, le modèle ID est plus rapide.

1. Modèle ID

L'étude de la détonation d'une charge sphérique montre que les ondes de choc se propagent

sous la forme de sphères de plus en plus grandes et dont le centre est le point initial de

détonation. De par la symétrie sphérique, il est possible de passer à un modèle en deux

dimensions. L'explosion est modélisée par un wedge avec une symétrie axiale. La géométrie

utilisée impose que l'écoulement ne se fasse que dans la direction y. C'est pourquoi la

discrétisation se fait selon cet axe (figure 5.1). L'angle du wedge est fixé automatiquement

par le logiciel. Les éléments quadrilatères du schéma 2D ci-dessous peuvent être considérés

comme unidimensionnels. C'est pour cette raison qu'Autodyn@ appelle ce modèle, le

-e; modèle ID ~.

83


dx.... +-

• KmTIillTIITITIITI.............. nl

~

nR

FIGURE 5.1 - lVIaillage composé de quadrilatères (Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics)

2. Remapping

Le remapping est une technique permettant à l'utilisateur d'Autodyn@ d'utiliser les

solutions du calcul initialement effectué en 2D ou en 1D et de les « imposer ~ à toutes

les régions ou à une région particulière d'un second modèle 2D ou 3D. Ceci permet donc

de simuler l'explosion avec le wedge en 1D pour ensuite l'importer dans le modèle 3D

comportant le mur.

3. Quantité de la charge explosive

La charge à simuler est 4kg de TNT. En faisant l'hypothèse que la charge est sphérique, il

est possible de déterminer le rayon de la charge de TNT avec l'équation suivante:

IVl

R4*3

1630 *4 *II8,3675 * 10-2 = 83, 675mm

(5.2.1)

(5.2.2)

(5.2.3)

avec p la densité de la charge de TNT, R son rayon et M sa masse.

La règle imposant que le TNT doit être composé de minimum Zû cellules oblige à considérer

un nombre limite pour la largeur d'une maille (Introductory Training Course Autodyn@(2004))

. Dans ce cas-ci, la largeur de la cellule de TNT doit être de maximum 4,184 mm.

4. Comparaison avec Conwep@

Le logiciel Conwep@ est un outil de calcul basé sur le document TM5-855-1 des forces

armées américaines qui permet de déterminer les effets de la plupart des armes convention

nelles. Les résultats calculés par le logiciel sont issus d'un ensemble d'essais expérimentaux,

ce qui signifie aussi que les résultats ne sont pas sans erreur. Il permet entre autres de cal

culer l'effet d'une explosion sur un obstacle perpendiculaire à la direction de l'onde de

choc. Néanmoins, il ne permet pas de placer des obstacles entre l'explosif et le capteur. On

ne peut donc pas utiliser ce programme pour comparer les pressions sur le mur puisqu'il

ne peut pas calculer l'effet d'une explosion ayant lieu en hauteur par rapport au sol.

84


Le logiciel peut ainsi être utilisé dans le but de valider les essais numériques obtenus avec

Autodyn@ . Cette étape est importante car en validant cette première étape, cela permet

de commencer la deuxième phase en 3D avec le moins d'erreur possible.

La longueur du wedge ne peut donc pas être supérieure à la hauteur où se trouve l'explosif

afin que le wedge simule une explosion dans l'air libre sans aucun obstacle. Connaissant

le rayon de la charge, il est possible de déterminer le maillage. Comme cité précédemment,

la taille des cellules est Iimitée à 4,184 mm. Quatre wedges avec des tailles de cellules

différentes sont étudiés. Ils ont été respectivement divisés en cellules de 4 mm, 2 mm, 0,5

mm et 0,2 mm. Le tableau 5.2 reprend les valeurs des pressions d'une jauge placée à 690

mm du centre de détonation ainsi que la valeur donnée par Conwep@ pour la même dis

tance. Les pressions incidentes sont comparées. Il faut tenir compte du fait qu'Autodyn@

considère la pression ambiante (Patm 101330Pa) comme pression initiale contrairement

à Conwep@ qui part de O.

FIGURE 5.2 - wedge de 795 mm de long et la jauge en 690 mm - en vert le TNT et en bleu l'air

(Autodyn-3D vl1.0 from Century Dynamics)

Autodyn@ Conwep@ Erreur (%)

Dimension Pression de Pic de surpression incidente Ajout de Patm

des cellules la jauge [kPa] r; [kPa] r; + r-: [kPa]

4 n1111 4193.2 4988 5089,33 17,6

2 mm 4404.5 " " 13,5

0,5 mm 4705 " " 7,55

0,2 mm 4810 " " 5,49

TABLE 5.2 - Comparaison des pressions pour le wedge Autodyn@ - Conwep@

Une erreur inférieure à 10 % est considérée comme étant acceptable. Le wedge repris dans

la suite de l'étude est celui ayant des cellules de 0,2 mm puisqu'il apporte une meilleure

précision pour un temps de simulation tout de même important (environ 40 minutes). Le

temps de simulation pour un wedge composé de cellules de 4 mm est de 2 minutes, Un

fin maillage ne pose pas de problème pour autant que la distance du wedge est assez

85

5. Simulation avec Autodvn

faible. Pour de plus grandes distances, c'est un c0111pr0111is entre la précision et le temps

de simulation.

5.2.3 Etude de l'onde

C0111111e mentionné dans la théorie des explosions (Kinney (1985)), une explosion qui a lieu

à une certaine hauteur du sol a C0111me conséquence la formation d'un pied de Mach à partir

d'une distance do. Le pied de Mach est assimilé à un front d'onde vertical dont la vitesse et la

pression sont uniformes sur toute la hauteur.

Pour déterminer la distance di entre le mur et la charge explosive afin d'obtenir une hauteur

de pied de Mach supérieure à 1590 mm, la théorie de Kinney (1985) donne une première idée de

la valeur de cette distance. Dans l'air, si l'angle d'incidence (3 est supérieur à 39,97°, une onde de

Mach est générée. Connaissant l'angle f3Zim 39,97° et la hauteur de l'explosion HOB = 0,795

m, la distance de formation du pied de Mach do(mm) peut être calculée de la façon suivante:

do = HOB * tan({3Zim) 0, 795 * tan(39, 97) = 0, 666m

Par exemple, pour avoir une hauteur du pied de Mach hM=1,59 m, il en résulte:

(5.2.4)

hJl./f

HOB= 2 (5.2.5)

Le rapport ~~ tel que di > do peut être déduit en utilisant l'abaque de la figure 5.3.

//

//

/

~V

»->:

OA

0.3

0.1

0.01.0 1.5 2.0 di

cç2.5 3.0 3.5

FIGURE 5.3 - Courbe empirique de hauteur Jlô~ en fonction de la distance ~~ (ref: Kinney,

(1985)

86


Algébriquement, cette courbe peut être décrite par l'équation suivante (Trelat (2006)) :

- pour ~~ > 0 :

- pour di 0 :do

h1l1 = -0 33155 + 1 00109( di ) _ 1 24835( di )2 + 0 80629( di )3HOB' , do ' do ' do

-0, 26845(:~)4 + 0, 04347(:~)5-0, 0024(:~)6 (5.2.6)

h 1l1

HOB

= 4,31

o (5.2.7)

(5.2.8)

Donc, di = 2, 869m. Cette théorie donne une onde plane à partir de 2,868 m.

Pour vérifier la théorie de Kinney, une simulation a été faite en Autodyn@. Le modèle 3D

est un parallélépipède rectangle avec un maillage composé de cellules cubiques (tableau 5.3). Le

solveur de calcul choisi pour l'air est Euler FCT. Une symétrie axiale par rapport au plan X

= 0 est considérée. Le wedge est ensuite importé dans l'air de telle manière que le centre de

l'explosion soit centré au milieu de la largeur. Une condition aux limites flow out est introduite

sur les bords latéraux et sur le bord supérieur du parallélépipède rectangle afin de simuler que

l'air n'est pas limité au maillage mais s'étend à l'infini. Pour imposer l'effet de sol, il suffit de

limiter le bloc d'air au niveau du bas du mur. Lorsque l'onde atteint la base du bloc de l'air,

Autodyn@ considère que celle-ci rencontre une couche indéformable et il y a réflexion.

Dimensions de l'espace air (rn) Dimensions des cellules (mm)

Longueur 10 100

Largeur 1,2 100

Hauteur 2 100

TABLE 5.3 - Dimensions de l'espace air et des cellules

Le déplacement de l'onde de choc est simulé dans l'air (figure 5.4).

Des jauges ont été placées dans le plan vertical à une distance de 2,868 m de la charge afin

d'étudier la pression en fonction du temps à différentes hauteurs (figure 5.5).

Comme le montrent les figures 5.4 et 5.5 ci-dessus, l'onde n'est pas plane.

87


Units mm, mg, ms

FIGURE 5.4 - Le front de Mach à 2,868 m. Position des jauges à différentes distances du centre

de l'explosion (Autodyn-3D vI1.ü from Century Dynamics)

Gauge History ( espaceair )

• • 1 1__ L J. J. J. _, , , 1

, • 1 •, , , ., l , 1l , , •1 l , •... J.. .l. .l. _

• , l ,, , l ,, , ,, , ,1 1 l ,, , , ,

- --.----.--------+--------+--------, , ,, , ,, , ,, , ,, , ,r , ,

·---T--------T--------T--------, , ,, , ,, , ,, , ,, , ,, , ,-T--------r--------1--------

, ,, , ,-,---- --,--- ----,--------1r-------,

50--+--------,---··----,·--------,--------,--··-----,--------jl

2,0 2,5 3,0 3,5 4,0TIME(ms)

250

200

300

350

150

400

FIGURE 5.5 - Le diagramme des pressions en fonction du temps à différentes hauteurs à une

distance de 2,868 III de la charge (Autodyn-3D vl Lû from Century Dynamics)

88


Pour obtenir une onde plus plane, la propagation de l'onde choc à des distances supérieures

à 2,868 m a été étudiée. Des jauges ont été placées dans le plan vertical à une distance de 3,

4, 5 et 6 m. Les différences entre les pressions maximales des différentes jauges dans un plan

vertical diminuent quand la distance augmente. Le décalage en temps des pressions maximales

entre la jauge sur le sol et la jauge à une hauteur de 1590 mm diminue également quand la

distance augmente. Le choix s'est orienté vers une distance de 5 m. La différence de précision

entre 5 et 6 III aussi bien en décalage qu'en différences de pressions maximales ne justifie pas

l'ajout de cellules et donc un temps de calcul plus grand. Néanmoins, il faut remarquer qu'en

considérant un espace d'air de 2 m de hauteur, l'influence du flow out est fort marquée (figure

5.6). De plus, notre étude consiste entre autres en une étude paramétrique dans laquelle il faut

faire varier la hauteur. Pour pouvoir augmenter la hauteur du mur sans modifier l'espace d'air,

il semblait approprié de choisir une hauteur de 3 III (figure 5.7). Il faut noter que la valeur de la

hauteur de l'espace d'air est presque le double de la hauteur du mur.

Gauge History ( onde-sol-2m )

200--+··············;·,

100-4==""'"

1097 8TIME(ms)

6

- {1lGauge;ll!

"~(2)Gauge# 2

(3)Gauge# 3

- (4)Gauge# 4

- (5)Gauge# 550-+---;--.---;--..........,;--.--'-1--.........1- (6)Gauge# 6

5

FIGURE 5.6 - L'influence du flow out à une distance de 5 m de la charge (Autodyn-3D vl1.0

from Century Dynamics)

89


Gauge History ( onde-sol-3m )

200

tGa..e 150~:::l(1)(1)

~a..

100~=~ - ('1)Gauge# '1

(2)Gauge# 2

(3)Gauge# 3

(4)Gauge# 4

(5)Gauge# 5

(6)Gauge# 6

5 6 7 8 9 10TIME(ms)

FIGURE 5.7 - La diminution de l'influence du flow out due à l'augmentation de la hauteur de

l'espace d'air (Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics)

5.2.4 Premier modèle simulé maillage grossier

Modèle 3D

1. Matériaux

Les matériaux utilisés sont l'air, le béton, le mortier et l'acier. Autodyn@ permet la visua

lisation de plusieurs vidéos sur son site internet (ref : site internet demoroom) montrant

diverses simulations dont une concernant un mur en maçonnerie sollicité par une onde de

choc. Les données fixées par Autodyn@ pour l'air, le TNT, le béton, le mortier et l'acier

sont reprises dans cette étude. Il faut savoir que pour utiliser un matériau, le logiciel a

besoin de nombreuses données qui sont obtenues par des tests expérimentaux précis et

souvent assez longs. Ceci ne rentre pas dans le cadre de notre étude.

Toutes les données pour les matériaux sont reprises en annexes.

2. Mur

Dans cette étude, le mur est construit par le logiciel. Il suffit de lui fournir les matériaux

composant le mur, qui sont dans ce cas-ci, le mortier et le béton, ainsi que les dimensions

et le nombre de blocs dans les directions x, y et z. Ceci se fait en utilisant la géométrie

Fragjbrick. Les dimensions du mur et des blocs sont mentionnées respectivement dans

le tableau 7.3 et 5.8. Une couche de 10 mm d'épaisseur de mortier est posée verticalement

et horizontalement. Il faut donc mettre 2 blocs en largeur vu la symétrie par rapport au

plan X = 0 considéré et 8 briques en hauteur. Le solveur de calcul choisi est Lagrange. Le

maillage est composé de cellules parallélépipédiques (tableau 5.8). Le nombre de mailles

90


par brique dans la direction X doit être impair afin d'obtenir une symétrie au niveau du

maillage et celui dans la direction Z doit être pair afin de pouvoir appliquer des conditions

aux limites sur le noeud au milieu de l'épaisseur.

Dimensions des briques (mm) Dimensions des cellules (mm)

Longueur 390 78

Hauteur 190 95

Epaisseur 190 95

TABLE 5.4 - Dimensions des briques et des cellules

Conditions aux limites

La première condition à introduire doit faire en sorte que la rotation des sections extrêmes

du mur (en h = 0 et h 1590 mm) se fasse autour du point central de celles-ci (figure 5.8).

Ceci est réalisé en imposant durant tout le processus une vitesse nulle dans les directions

x, y, z au niveau du point central des sections d'extrélnité. Le mouvement horizontal est

donc empêché. Une deuxième condition doit être introduite afin de simuler le fait que la

base du mur ne peut pas s'enfoncer dans le sol. Ceci se fait avec la condition appelée sol.

Pour empêcher le mouvement vertical du mur, une paroi sera ajoutée (voir plus loin).

sol4.

sol~

vx=oVy=üvz=o

h

FIGURE 5.8 - Conditions aux limites

3. Air

Dans Autodyn@ , il faut introduire un espace d'air dans lequel l'onde de choc se propagera

pour ensuite interagir avec le mur. Pour éviter l'influence du flow out, la largeur et la

hauteur du bloc d'air sont supérieures aux dimensions du mur.

91


L'air est représenté par un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont reprises dans

le tableau 5.5. Un maillage composé de cellules parallélépipédiques est utilisé. Le solveur

de calcul choisi est Euler FCT dans le parallélépipède rempli d'air. Une symétrie axiale

par rapport au plan X = 0 est considérée.

Dimensions de l'espace air (rnm) Dimensions des cellules (lnm)

Longueur 5500 75

Largeur 1200 75

Hauteur 3000 76,38

TABLE 5.5 - Dimensions de l'espace air et des cellules

La figure 5.9 présente un schéma de la situation étudiée.

Explosif ~e ----------- ---- ------------ -- ---- ------- --- ---------- --lTIUr

FIGURE 5.9 - Schématisation du problème à considérer (vue du haut)

La figure 5.10 ci-dessous montre le modèle composé du bloc d'air et du mur.

FIGURE 5.10 - Modèle 3D comprenant le mur et les vecteurs de vitesse de l'onde de choc en

tenant compte de la symétrie par rapport à l'axe z (Autodyn-3D vl1.0 from Century Dynamics)

4. Supports ajoutés

Le dernier élément à prendre en considération pour s'approcher le plus possible de la

situation de l'étude analytique est la présence de supports rigides aux deux extrémités du

mur. Le support rigide inférieur est déjà simulé par le sol. Pour le support supérieur, il

92


faut ajouter une paroi composée d'un matériau plus rigide que le béton. L'acier a cette

caractéristique. La paroi joue également un second rôle. En effet, les dimensions du bloc

d'air étant supérieures à celle du mur, le fait d'ajouter des parois permet de bloquer le

passage de l'onde au-dessus et sur les côtés du mur. Ainsi, le comportement de ce dernier

n'est pas influencé par le mouvement de l'onde. La figure 5.11 montre l'interaction de

l'onde de choc lorsqu'il n'y a pas de parois. L'onde passe au-dessus du mur pour ensuite

passer à l'arrière de celui-ci.

FIGURE 5.11 - Simulation de l'interaction d'une onde de choc sur un nlur sans ajout de parois

(Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics)

Autodyn@ peut calculer l'interaction entre le mur et la paroi supérieure à condition qu'il

existe un espace, appelé gap, entre ces deux éléments. La grandeur du gap doit valoir au

minimum le dixième de la plus petite dimension des différents maillages et au maximum

la moitié de la plus grande dimension. Cette règle est donnée par le logiciel qui calcule

ces deux valeurs limites, Pour un mur construit avec des cellules de mortier de 10 mm, la

plus petite dimension vaut donc l'épaisseur du mortier, c'est-à-dire 10 mm. Dans le cas

présent, le mur et la paroi supérieure sont espacés de 1,02 mm. Quant aux parois sur le

côté, elles sont placées pour bloquer le passage de l'onde. Il n'existe aucune interaction

entre elles et le mur. Il faut savoir que la paroi supérieure a été construite à partir de la

même géométrie que celle utilisée pour construire le mur (Fragjbrick). Ceci permet en

effet d'avoir un maillage commun dans le sens de l'axe x, ce qui est nécessaire pour que

l'interaction soit bien calculée. Les parois latérales sont définies par la géométrie (Block)

du logiciel. La seule contrainte est d'avoir un maillage permettant de joindre les surfaces

des parois communes. Pour joindre ces surfaces, on utilise la fonction joins qui implique

que les parois ne forment qu'un seul élément.

93


La figure 5.12 montre le maillage des parois et du mur.

FIGURE 5.12 - Maillage pour le n1ur et les parois (Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics)

La figure 5.13 donne la modélisation du modèle entier.

FIGURE 5.13 - Modèle 3D comprenant l'air, le mur et les parois (Autodyn-3D v11.0 from Century

Dynamics)

5. Durée des simulations

Le temps de simulation du modèle avec un maillage assez grossier demande environ 48

heures. Pour la plupart des modèles, le temps du phénomène étudié varie entre 100 n1S et

200 ms.

Remarques

La durée des simulations dépend tout d'abord des données à sauver demandées par l'uti

lisateur. L'ordinateur peut aussi limiter la rapidité des calculs.

94


5.2.5 Etude paramétrique

Les murs sont tous soumis à la même charge dynamique. Le diagramme de pression en fonction

du temps est représenté à la figure 5.14. L'intensité du pic de surpression réfléchie PrO est égale

à 301,5 kPa et la durée de la phase positive tro est égale à 6,7 ms.

Gauge History ( mur-grossier)

5040302010

----------

---------

---------

---------- \---,

:\."~1- (1 )Gauge# 3711 1 1o

o

50

300

100

250

TIME(ms)

FIGURE 5.14 - Diagramme de la pression réfléchie en fonction du temps (Autodyn-3D v11.0


Le tableau 5.16 reprend les valeurs des déformations maximales des différents murs dans le sens

de propagation de l'onde de choc. La rupture avant 200 ms ainsi que la hauteur où a lieu celle-ci

est également indiquée. Le signe (-) désigne le sens contraire à la direction de l'explosion.

Mur Hauteur h Epaisseur t Hauteur des blocs Déformation Max. Temps Rupture

(rnm) (mm) (n1111) (lnln) (ms) avant 200 ms

1 1590 190 190 5,963 15,5 non

2 2390 190 190 9,931 20,5 rupture(-)

3 1590 100 190 17,712 17,74 rupture(-)

4 1590 190 310 5,68 14,2 non

TABLE 5.6 - Déformation maximale du mur dans la direction de propagation de l'onde de choc

ainsi que le sens de sa rupture si elle est présente

Les résultats de cette analyse montrent les différences obtenues en changeant une des ca

ractéristiques du mur. Si la hauteur du mur augmente, la déformation maximale augmente. Si

l'épaisseur diminue, la déformation maximale augmente également. Par contre, en considérant

95


des blocs d'une hauteur plus grande, la déformation maximale diminue légèrement.

Lors de l'étude des contraintes, plusieurs problèmes sont apparus (voir section 5.2.5). Suite à

l'étude de ceux-ci, il a fallu reconsidérer le modèle. Dans la suite, les constatations sont reprises

et un nouveau modèle est introduit.

Problèmes rencontrés avec le maillage grossier

Des contraintes de 52.3 kPa existent déjà dans le mur avant que l'onde de choc arrive (t =

1,1 ms). Etant donné que la résistance à la traction du mortier est de 200 kPa, l'influence

de ces contraintes n'est pas à négliger. En fait, en supposant une réduction de volume égale

pour le mortier et le béton due à la pression de l'air, des contraintes différentielles vont

apparaître vu que leur élasticité est différente. La solution serait de simuler l'action de l'air

sur le mur pendant un certain temps afin que la pression dans le mur se stabilise à la pression

atmosphérique et ensuite de faire le remapping du wedge dans l'air afin de calculer l'effet

de l'onde de choc proprement dite.

Gauge History ( mur-grossier) Gauge History ( mur-grossier)

300

250(r"/......

100

50

~~

-50

'fN'\~\rJvv" ""'"

50

o 1-{lJGau9~37101234567

TIME(ms)

-100o

TIME(ms)

1-{llGiJUtp# 116

FIGURE 5.15 - Pression pour une jauge

placée à 0.1 mm du mur (Autodyn-3D v1l.0


FIGURE 5.16 - Contrainte O'yy dans le mur

avant l'interaction avec l'onde (Autodyn-3D

vIl.0 from Century Dynam.ics)

- Etant donné qu'il n'y a que deux cellules dans le sens des z, la contrainte dans la face du mur

est diminuée. En effet, une valeur moyenne des contraintes pour 95 cm est considérée. Donc,

l'évolution des contraintes n'est pas correcte. Avec cette moyenne de contraintes, le mur est

plus résistant qu'avec un plus fin maillage. Avec un modèle plus maillé, on arriverait beaucoup

plus rapidement à la résistance ultime du mortier.

La phase négative de I'impulsion ne remonte pas à la valeur de la pression athmosphérique

(figure 5.14). Ceci est certainement dû à la condition aux Iimites flow out appliquée au

96


modèle. L'énergie s'en va par ce flow out.

Modèle avec un maillage plus fin pour l'espace d'air et le mur

Comme dit précédemment, le maillage du mur et de l'air doivent être réduits. Si on considère

la taille de la plus petite cellule du mur comme limitation de la taille des cellules de l'air, il

faut que celles-ci soient inférieures à la mm. Avec cette finesse du maillage de l'air, le temps de

simulation serait très long. C'est pourquoi il a été décidé de simuler la propagation de l'onde

de choc dans un bloc d'air de même dimension, avec un maillage moins fin (cellules de 20 mm)

et sans la présence du mur. La simulation est stoppée avant que l'onde ait parcouru les 5 ln

séparant l'explosif du mur. Ceci est fait dans le but d'importer ce fichier dans le modèle final

3D. De plus, le maillage pour le modèle 3D avec le mur va être fait en utilisant la méthode

de grading. Ceci permet d'utiliser une gradation dans le maillage dans les trois directions. Le

maillage choisi pour l'air est expliqué sur la figure 5.17.

-

)(<;-------+E----------........,.).<i---7~

100mm grading entre 5 et 100 mm 5 mm 20 mm

FIGURE 5.17 - Maillage du bloc d'air

Bien que le logiciel donne la possibilité d'exécuter cette méthode, le remapping n'a pas pu être

fait. Ceci est peut-être dû à la méthode de grading utilisé. Le nombre de cellules n'est pourtant

pas grand (un peu plus de 700 000 cellules). Le maillage a alors été rendu constant dans la

direction z (plus de 1 190 000 cellules). Le remapping a pu être exécuté mais la simulation de

l'onde donnait des résultats complètement erronés.

5.2.6 Modèle simplifié

Il a été décidé de modifier le modèle précédent et de le simplifier, ceci dans le but d'éviter

de faire un remapping 3D-3D et de diminuer le nombre de cellules. Comme on le verra par

la suite, l'option choisie ne s'écarte pas trop de l'onde plane. Il est utile de noter qu'avec cette

méthode, il n'est pas possible d'introduire l'effet du sol pour obtenir une onde de Mach.

97


La méthode suivie se fait en deux étapes. Premièrement, on simule la propagation de l'onde de

choc sur 3800 mm (modèle 1D). Deuxièmement, le wedge est importé pour simuler le problème

final en 3D.

Une étude du maillage du wedge a d'abord été faite. Les résultats sont repris dans le tableau

6.3.


Dimension Pression de Intensité du pic de surpression Ajout de Patm

des cellules la jauge [kPa] incidente r; [kPa] P so + Patm [kPa]

4 mm 204,54 117,5 218,83 6,5

2 mm 206,21 " " 6,11

0,5 lunl 208,73 " " 4,83

0,2 mm 209 " " 4,7

TABLE 5.7 - Comparaison des pressions incidentes pour le wedge Autodyn@ - Conwep@

(distance du wedge = -lm)

Le wedge repris dans la suite de l'étude est celui ayant des cellules de 0,5 mm puisqu'il apporte

une bonne précision. Toutefois, le temps de simulation est important (10 heures). Diminuer

encore la taille des cellules demande un temps de simulation encore plus important sans pour

autant diminuer considérablement le pourcentage d'erreur.

Le mur a les mêmes dimensions que précédemment. L'effet du flow out n'est pas très grand

dans ce cas-ci puisque l'onde introduite dans le modèle est fort proche du mur (200 mm). Une

paroi est malgré tout ajoutée autour du mur (même en dessous) afin de limiter au maximum

cet effet.

La résistance à la traction du béton et du mortier a été augmentée. Pour le béton, celle-ci

passe de 250 kPa à 3000 kPa et pour le mortier, elle passe de 200 kPa à 2000 kPa. Non seulement,

l'influence des contraintes différentielles devient négligeable mais aussi les valeurs vues en théorie

sont rejointes.

98


Les dimensions du bloc d'air sont les suivantes:

Longueur 1000

Hauteur 2000

Epaisseur 4700

TABLE 5.8 - Dimensions du bloc d'air

La figure 5.18 montre le modèle 3D établi.

CycleO

FIGURE 5.18 - Modèle 3D simplifié comprenant le mur entouré d'une paroi. Les vecteurs de

vitesse sont aussi représentés (Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics)

Etude de la pression réfléchie

Les jauges sont placées dans l'air à 0,1 mm du mur au milieu de la largeur de celui-ci. Le profil

des pressions pour différentes hauteurs est repris à la figure 5.19. Les coordonnées de ces jauges

sont mises à l'annexe 3.

La durée de la phase positive pour la jauge placée à mi-hauteur du mur vaut 4 n1S et le pic de

pression est de 260,15 kPa (en 0.9 ms},

Un ZOOln sur les pics de pression est montré à la figure 5.20. La différence entre les deux pics

extrêmes vaut 12,09 kPa et leur décalage est de 0,2 ms. L'onde peut être acceptée comme une

onde plane.

99


Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur )

250

200

150

100

50

- ..

-\\/', - (1)Gaugo#47

~ (2)Gau90# 48

"(3)Gauge# 49

i"'-:--="":- (4)G8uge# 50

- (5)Gaugo# 51

1 1 (6)G8uge# 52

o 10 20TIME(ms)

30 40

FIGURE 5.19 - Profils des pressions réfléchies pour les jauges placées à différentes hauteurs au

milieu de la largeur du mur (Autodyn-3D v1l.0 from Century Dynamics)


- (1)Gauge#47

(2)Gauge#48

(3)Gauge#49

- (4)Gauge# 50

(5)Gauge#51

(6)Gauge#52

5432

......; ~ l .

'111

.--- ----,

50-t----;-----,i----;----;----11l '----'-'-'----"-'--'--'

o

250 .

100

----200

~~::>~ 150~a.

TIME (ms)

FIGURE 5.20 - Zoom sur les pics de pressions (Autodyn-3D v1l.0 from Century Dynarnics)

100


Puisqu'aucun obstacle n'est présent entre le wedge et le mur, il est possible de comparer la

pression réfléchie obtenue par Autodyn@ avec celle donnée par Conwep@. La jauge utilisée

pour la comparaison se trouve à 795 mm au-dessus du sol et à 0,1 mm du mur.


Pression - jauge à Intensité du pic de la pression Ajout de Patm

mi-hauteur à 0,1 mm du mur [kPa] réfléchie P r [kPa] r; + Patm [kPa]

260,1 339,1 440.43 40%

TABLE 5.9 - Comparaison de la pression réfléchie obtenue avec Conwep@ et Autodyn@

Gauge Hisfory ( mur-euler-moifié-épaisseur )

250

200

cu0e~ 150:::J

1100

50

_.

~\V'\

<,'-:---~

1 1 1 ( 1)Gaugo#431a 10 20

TIME(ms)

30 40

FIGURE 5.21 - Evolution des pressions réfléchies en fonction du temps (maillage de l'air grossier)

- jauge à une hauteur de 795 mm

Le pourcentage d'erreur est relativement important. Ceci est dû au maillage grossier de l'air. Il

ne faut pas oublier que le wedge a été simulé avec des cellules de 0,2 mm, Ici, le maillage de l'air

est composé de cellules de 90 mm. Il est donc logique qu'il y ait une grande perte d'information,

Etude clu mur de référence

Chaque mur a tout d'abord été simulé avec un maillage grossier pour l'air (les cellules sont

légèrement inférieures à la moitié de l'épaisseur du mur), et ensuite avec un maillage dont les

dimensions des cellules d'air sont inférieures à la plus petite dimension du mur sans considérer

le mortier de 10 mm. Ceci permettra de mettre en avant l'influence du maillage de l'air.

Pour le modèle grossier, une étude qualitative est faite tandis que pour le modèle avec un maillage

fin, une analyse quantitative est réalisée.

101


Simulation 1 - Euler maillage grossier

Le tableau 5.10 donne les différentes dimensions considérées pour la construction du bloc d'air

et du mur.

Dimensions de l'espace air (mm) Dimensions des cellules (mm)

Longueur 1000 90

Largeur 2000 90

Hauteur 4700 90

Dimensions du mur (mrn) Dimensions des cellules d'un bloc (rnm)

Longueur 1590 43,3

Hauteur 1590 38

Epaisseur 190 23,75

TABLE 5.10 - Dimensions et maillage du bloc d'air et du mur

La première étude est faite sur 3 jauges qui se trouvent dans le béton à une hauteur de 695

mm. La première (jauge 1) est au niveau de la face avant du mur, la deuxième (jauge 5) au

milieu et la troisième (jauge 8) dans la face arrière.

Les déplacements latéraux des jauges sont donnés à la figure 5.22. Le mur subit une première

flexion dans le sens de la propagation de l'onde de choc, puis part vers l'arrière en passant

par sa position initial. La suite du mouvement des jauges montre une oscillation autour d'une

valeur de Z inférieure à sa valeur initiale. Le mur a subi de petites déformations plastiques.


10050TIME(ms)

i

-'~"'~'~'-,"~,

~~F

...-....... 11- (1IGaUge#11

- 'FFF' (2)Gauge# 5

1 (3)Gauge# 8oo

50

150

FIGURE 5.22 - Evolution des déplacements dans le temps (Autodyn-3D v11.0 from Century

Dynamics)

102


A la figure 5.23, l'évolution des contraintes rJy y pour chacune de ces 3 jauges est donnée.


o~ë'::O~ij --\---------- -~------------~-- --------.: ---- •.------~-----

-;--2.0000e-~13 -4.000 -+--------. ;-,--..-+---+--.-.-----;---..--------;------.-----;---------"-'--1

~Cf)

-6.000-+--------.--+'--. -.------;-----------;---. --------;------------,---·------··-'--1

-8. 000 -t------- ..·--i'.-·}-------i--------..--;---·--------+---------.+--_.-----.-i--j

o 50TIME(ms)

100

FIGURE 5.23 - Evolution des contraintes rJyy dans le temps (Autodyn-3D v11.0 from Century

Dynamics)

La jauge 1 subit d'abord de la compression puis de la traction. La jauge 8 située sur l'autre

face subit quant à elle d'abord de la traction et puis de la compression. Ceci correspond bien

au déplacement latéral des jauges en fonction du temps vu précédemment lors de l'étude du

déplacement Z. A partir de 50 ms, les contraintes ont tendance à se stabiliser.

La contrainte en compression pour la jauge 8 est nettement supérieure à celle de la jauge 5.

La compression dans le mur due à la flexion se fait donc plus ressentir lors de la flexion dans

le sens opposé de la propagation initiale de l'onde de choc.

103


Il est intéressant d'étudier l'évolution des contraintes et du déplacement latéral dans le mur

en fonction du temps. Pour cela, seule la jauge 1 est étudiée. En superposant les graphes de

la pression réfléchie, des contraintes et de la déformation, plusieurs constatations sont à faire

(figure 5.11).

Pour la jauge 1, lorsque le déplacement dans le sens de la propagation de l'onde a lieu, les

contraintes sont négatives (compression}. Lorsque le déplacement maximal est atteint, les

contraintes atteignent simultanément la valeur maximale en compression. Au moment où la

jauge revient à sa position initiale, les contraintes redeviennent nulles pour ensuite devenir

positives (traction). Ces résultats correspondent à nos attentes. En effet, lors de la flexion

d'un mur, la face sur laquelle la charge est appliquée est mise en traction tandis que l'autre

est en compression. La deuxième compression a une intensité plus faible que la première. La

jauge 1 ne retourne plus à sa position initiale.

Le temps de la phase positive de l'onde de choc est 4 n1S et le pic de pression arrive après 0,9

ms. Les contraintes atteignent la valeur maximale en compression en 8,3 n1S et redeviennent

nulles en 13,6 ms. Le déplacement selon z passe par un maximum en 8,2 ms et retourne à sa

position initiale en 14,1 n1S. On constate donc un décalage en temps de l'influence de l'onde

de choc sur le mur.

Les contraintes commencent à devenir non négligeables seulement après le pic de la phase

positive de l'onde de choc. L'influence de l'onde de choc ne se fait pas ressentir tout de suite.

La phase négative peut être la cause du retour du mur.

104



3020TIME (ms)

10-l---'---r-....:--i------:...--j--:---j1- (1)Gauge# 11

40

,,r,,,,,,,,-r,,,,-,,,,r,,,,-w'"",;"",..",~,.,"'_\

14

12

10E.s-N 8

6

4

20


-2.000

1.000

(11

~~CI)CI)

~ -1.000CI)

o

ril.J, 1 ," 1 \.v.~

".--.

f "-

"- ... _--

J'\.~

._--

V'\

\./1- (1)Gauge# 11

o 10 20TIME (ms)

30 40


50

200

250

(11o,e~ 150:::>CI)CI)

~a, 100

_.

-

\- ------ \

V'\

't'-....: r-~ 1- (1)Gauge#53!1 1

o 10 20TIME(ms)

30 40

TABLE 5.11 - Déformation Z, o-yy et P; en h = 695 Innl en fonction du temps pour la jauge 1 et

le maillage grossier (Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics)

105


L'étude suivante se penche sur les jauges placées dans la face avant du mur. Les jauges 1, 9

et 17 se trouvent au niveau de la face avant du mur à des hauteurs différentes. A la figure

5.24 sont m.ontrés les déplacements latéraux de ces jauges. Les jauges 1 et 9 se trouvant dans

le béton montrent le même déplacement en fonction du temps. En ce qui concerne la jauge

17 dans le mortier, son déplacement correspond au déplacement des deux autres jauges pour

les 20 premières millisecondes. Par la suite, son évolution s'écarte un peu de celle des autres

jauges.


15

10E.§..N

5

- I~~.

/ \\

\\

\-

\ [i;~\~\J'i \çj 1-(1)G~g" 1 1

' (2)Gauge# 9

i (3)Gauge# 17

o 10 20 30 40 50 60TIME (ms)

FIGURE 5.24 Déformation du mur au niveau des jauges 1, 9 et 17 en fonction du temps

(Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics)

Le profil des contraintes dans le mortier (figure 5.25) est complètement différent après 20

ms. Le m.ortier subit une importante compression (8193 kPa) lorsque le mur retourne vers sa

position initiale (seconde oscillation). Ceci peut s'expliquer par le fait qu'il y a une fissuration

dans le mortier (figure 5.26). Une contrainte est par définition une force appliquée sur une

surface. Etant donné que le nombre de points de contact diminue suite à la fissuration, on

peut dire que la surface diminue et donc que la contrainte augmente. Les pressions réfléchies

à la hauteur de ces trois jauges présentent le même profil.

En ce qui concerne le problème des contraintes différentielles, elles ne sont pas présentes dans

le cas de cette simulation (Annexe Partie 1).

106



2.000 -+------------:-----1--!~-·-----·-----~'''''''~~,,,.,*,~"''·----..-----..;-----,-------1

O~~,~---------:--·tl---·--":':----··----}··-----··-----;.----- ..-----.,---'--·------1

(\1e,6-2.000~CIlCIlW~ -4.000-+------------;------------;------------:,"----------.:------------,-----------'1CIl

-6.000-+-----------:------------;------------;--+--------~:------------;------------j

-8. 000 ....+-.----- .. ---;------------;------- .... --;-------,,!--:------..----,....---------j 1

o 10 20 30 40 50 60TIME(ms)

FIGURE 5.25 - Contraintes dans les jauges 1, 9 et 17 (Autodyn-3D vl1.0 from Century Dynamics)

FIGURE 5.26 - Fissuration dans le mortier après 37 ms (Autodyn-3D vl1.0 from Century Dy

namics)

107


- Simulation 2 - Euler maillage fin

Comme dit précédemment, une deuxième simulation a été faite avec un maillage plus fin pour

l'air. Les dimensions des cellules sont de 20 mm dans les trois directions.

La valeur du pic de la pression réfléchie pour la jauge à mi-largeur du mur est reprise dans

le tableau 5.12. En la comparant avec la valeur obtenue avec Conwep@, on constate que

le pourcentage d'erreur est de 40 à 16%. Il est important de noter qu'une simulation avec

le maillage fin demande 50 h pour un temps de simulation de 50 ms, Le maillage grossier

demande environ 15 heures.


Pression - jauge à Intensité du pic de la pression Ajout de Patm

mi-hauteur à 0,1 mm du mur [kPa] réfléchie P r [kPa] P r + Patm [kPa]

368,02 339,1 440.43 16,44%

TABLE 5.12 - Comparaison de la pression réfléchie obtenue avec Conwep@ et Autodyn@

Le tableau 5.13 reprend le déplacement de quatre jauges. Il en ressort que ces jauges subissent

le même déplacement latéral dans un même laps de temps. Les trois premières sont situées

dans le béton et la quatrième dans le mortier.

N° des jauges Z1I1ax - Zinitial Temps Temps du retour

coord.irnrn) (mm) (ms) (ms)

1 (béton) 3,007 7,8001 13,6

(x = 76 2'Y = 695' Z = 11 9), , , ,

8 (béton) 3,13 7,8001 13,5

(x = 76,2; Y = 695; Z = 178)

9 (béton) 2,87 7,3001 13,5

(x 76 2' Y = 895' Z = 11 9), , , ,17 (mortier] 2,997 7,6 13,5

(x = 2 5' Y = 795' Z = 11 9), , , ,


pour le maillage fin de l'air

108


Pour les mêmes jauges, les valeurs extrêmes des contraintes Œy y sont reprises dans le tableau

5.14. Les contraintes négatives montrent la présence de compression et les positives la présence

de la traction.

N° des jauges 0"yy traction Te111ps Retour O"yy=O O"yy compression Temps

(kPa) (rns) (ms) (kPa) (l11S)

1 (béton) 3497,6 26,8 11,7 -2171,9 8,3001

8 (béton) 788,37 4,8001 10,7 -9095,8 24,4

9 (béton) 1934,3 17,5 12,25 -2329,8 5,0002

17 (mortier) 815,38 15,3 11,2 -8173,6 36,1

TABLE 5.14 - Contraintes O"yy en compression et en traction pour les jauges 1, 8, 9 et 17 (kPa)

Les figures 5.27 et 5.28 montrent l'évolution des déplacements et des contraintes pour ces

jauges. Les résultats en ce qui concerne les contraintes pour la jauge 8 sont évidemment

différents puisque cette jauge est placée du côté de la face arrière du mur.

Gauge History ( mur-eulerfln ) Gauge History ( mur-eulerfln )

-~ C'C"~c".'C,~,,~"'"~ ,~~,

- (1)Gauge# cl

- c""~ (2)Gauge# 8,-

~, (3)Gauge# 9

1 1 (4)Gauge# 17

5040302010o

2.000

o

-6.000-l---------·.---;-··-----·---H-------------:{----1,----f+--)~-------+··-----I

- (1)Gauge# 1-8.000-l----------.---~--------------;\--------,J--~------V---c-: ::T- I (2)Gauge# 3

(3)Gauge# 9

I---i----i---i---i---i----l ~ (4)Gauge# 17

i -2.000-+-----T-"""f'-----c\c------;.c------------i

~

~ -4.000-+------------,-··-----··+---~-------------H-,i------1',-------------~--c·----1Cf)

5040302010o

o

50

150

~ 100N

TIME (ms) TIME(ms)

FIGURE 5.27 - Evolution des déplacements

pour les jauges 1, 8, 9 et 17

FIGURE 5.28 - Evolution des contraintes

pour les jauges 1, 8, 9 et 17

109


Comparaison entre le maillage grossier et le maillage fin de l'air

Le déplacement et les contraintes sont étudiés pour la jauge 1 et la jauge 9.

Maillage grossier Maillage fin Différence en %

jauge 1

Valeur Temps Valeur Temps Valeur Temps

Déplacement max Z [lnln] 3,18 8,2003 3,007 7,8001 5,44 4,88

Contraintes (J"yy 2581,4 8,3001 2171,9 8,3001 15,8 0,001

en compression

jauge 9

Valeur Temps Valeur Temps Valeur Temps

Déplacement max Z [mm] 3,02 7,8001 2,87 7,3001 5 6,41

Contraintes (J"yy 2346,6 6,5002 2329,8 5,0002 0,73 23

en compression

TABLE 5.15 - Comparaison des valeurs des déplacements et des contraintes pour les jauges 1 et

9 pour les maillages grossier et fin

En comparant deux jauges différentes, l'influence du maillage peut être faible pour l'un et

importante pour l'autre. Par exemple, pour la jauge 1, le pourcentage d'erreur pour les

contraintes est non négligeable tandis que pour la jauge 9, l'erreur est quasi nulle. Il est

donc difficile de vraiment déterminer l'influence négative ou positive du maillage de l'air. Il

semble pourtant plus approprié d'opter pour le maillage fin. La pression réfléchie est la seule

valeur qu'il est possible de confirmer ou d'infirmer grâce à une autre méthode.

Le remapping ne se fait pas sans perte d'infonnation. Il est donc nécessaire de conserver un

maillage assez fin dans le modèle 3D. Le maillage grossier montre un pourcentage d'erreur

pour la pression sur le mur de 40% tandis que le maillage fin présente un pourcentage d'erreur

de 16%. La solution serait donc d'affiner le maillage de l'air, au moins pour la zone proche du

mur. Ceci demande évidemment un temps de simulation plus grand. Vu le temps de simulation

avec le maillage de l'air fin, l'étude a été faite sur 50 n1S. Il serait évidemment intéressant de

faire celle-ci sur un temps plus long.

110


Etude paramétrique

En plus du mur de référence (h = 1590 lnm et t = 190 mrn), deux simulations supplémentaires

ont été exécutées pour faire une étude paramétrique. Le premier mur a une épaisseur de 120

mm et le deuxième une hauteur de 1190 mm,

Le tableau 5.16 reprend les valeurs des déformations maximales de la section au milieu de ces

3 murs dans le sens de propagation de l'onde. Ce sont les valeurs obtenues avec la jauge, située

à mi-hauteur du mur dans le mortier sur sa face avant qui seront étudiées par la suite. En ce

qui concerne le déplacement lors de la flexion du mur du côté du centre d'explosion, un ordre

de grandeur est donné. Les simulations avec le maillage fin dure plus de 2 jours. Pour 50 ms de

temps de simulation, l'évolution du déplacement en fonction du temps montre une oscillation. Il

faudrait simuler le phénomène suffisamment longtemps pour connaitre la valeur du déplacement

lorsqu'il y a stabilisation de cette évolution. Dans cette étude, seule la flexion du mur dans le

sens de propagation de l'onde sera étudiée.

Mur Hauteur Epaisseur Déformation Temps Ordre de gran- Rupture

h t Max. deur des

(mm) (mm] Z > 0 (mm) (ms) déplacements mi- avant 50 ms

nimaux

1 1590 190 2,997 7,6 entre z = 7,33 et non

5,54

2 1590 120 7,027 9,0002 pas d'oscillation rupture(-)

3 1190 190 1,865 5,8 entre z = -1,78 et non

4,4


ainsi que le sens de sa rupture s'il y a rupture

111


Le mur avec une plus petite épaisseur subira une rupture dans les 50 premières millisecondes.

Ceci rejoint les résultats obtenus de manière analytique pendant l'étude paramétrique des trois

fonctions de résistance: plus l'épaisseur diminue, moins le mur est résistant.

Notel :

- Mur 1 -+ coordonnée de Z initial de la jauge étudiée: 11,9 mm

- Mur 2 -+ coordonnée de Z initial de la jauge étudiée: 7,5 mm

- Mur 3 -+ coordonnée de Z initial de la jauge étudiée : 11,9 mm

Note2 :

Etant donné que les dimensions du mur à étudier étaient différentes pour les trois murs considérés,

il a fallu adapter le maillage du mur et par conséquent aussi celui de l'air.

Maillage du mur 2 :

- Mur 30; 27; 15

- Euler 18,18; 18,02; 18,01

Maillage du mur 3 :

- Lagrange 43,3 ; 38; 23,75

- Euler 20; 20; 20

112


Comparaison des solveurs pour l'air

Autodyn@ luet à la disposition des utilisateurs plusieurs solveurs pour l'air. Dans le cas de cette

étude, les solveurs FCT et Godunov peuvent être utilisés. Le premier a été optimisé pour les

problèmes de dynamique des gaz. Un seul gaz idéal peut être considéré par parts. Le deuxième

peut employer différents matériaux dans une parts.

Une simulation supplémentaire a été effectuée pour voir l'influence du choix du solveur de l'air.

Dans le tableau 5.17 sont rassemblées les valeurs des pressions réfléchies (pour la jauge 43 à

mi-hauteur du mur et à une distance de 0,1 mm de celui-ci). Ensuite, on étudie les déplacements

latéraux et les contraintes en compression (jauge 1 située à une hauteur de 695 mm).

Euler FCT Euler Godunov

Valeur temps correspondant (ms) Valeur temps correspondant (ms)

jauge 43

Pression max (kPa) 260,15 9,0013 276,16 9,001

Retour (lUS) 4 3,2

jauge 1

Déplacement max (mm] 15,08 8,2003 14,942 8,6

O"yy en compression 2581,4 8,3 2365,5 8,5002

TABLE 5.17 - Comparaison de l'influence des solveurs FCT et Godunov en considérant les pics

des pressions réfléchies pour la jauge 43, les déplacements latéraux et les contraintes pour la

jauge 1

Les graphes 5.18, 5.19 et 5.20 montrent que les profils des pressions n'ont pas la même allure.

Bien qu'il y ait cette différence, l'évolution du déplacement et des contraintes pour la jauge 1,

sont semblables, Les différences des valeurs dans le tableau 5.17 montrent tout de même que le

choix du solveur peut avoir une certaine influence. Par exemple, si pour un des deux modèles les

contraintes dépassent la résistance ultime, le modèle en question montrera une fissure alors que

pour l'autre celle-ci n'apparaîtra pas. Il faudrait donc faire des tests expérimentaux et comparer

les valeurs des deux modèles pour confirmer lequel des deux solveurs convient le mieux pour

l'étude de l'interaction d'une onde choc avec des murs en maçonnerie non renforcée.

113


Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur ) Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur-god )

50

250

200

&~ 150:::J

m0::a. 100

-

----

- \-----,V\

-:- - 1- (1)Gauge#43 11 1

100

250

-;'200~~:::JUl

~ 150a.

-

~\V'\

'j"-.... -1 1 ('1)Gauge# 431

o 10 20TIME (ms)

30 40 o 10 20TIME (ms)

30 40

TABLE 5.18 - Diagrammes des pressions réfléchies pour la jauge 43 - gauche FCT, droite

Godunov

Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur ) Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur-god )

- V-.i: "--7 \

\\

\\

- \ /~

",

V

1 ('1)Gauge# 1 1

i/ \-} \\\\ L

\ V:<, 1- ('1)Gauge#1 1

~

ES-N

15

10

5

oo 10 20

TIME (ms)

30 40

14

12

~ 10N

8

6

o 10 20TIME(ms)

30 40

TABLE 5.19 Diagrammes du déplacement latéral de la jauge 1- gauche: FCT, droite: Godunov

114


Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur) Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur-god )

403020TIME (ms)

10o

AL }

r \1 ~~~

.ft r-,\ 1

- ..... 1

_\ /i~ 1- (l)Gauge# 11

2.000

1.000

li]

0-c~ 0(f)(f)

~1-(f)

-1.000

-2.000

403020TIME (ms)

10o

4.W~

JIo. 1 \

" 1 ~~._---

f ""'- ......-,

1 '\,~

._----

1-J\,1- (1)Gauge# '1 1

o

-2.000

1.000

li]

~~~~ -1.000(f)

TABLE 5.20 - Diagrammes des contraintes (J'yy à la jauge 1 - gauche: FOT, droite: Godunov

Résultats des déplacements latéraux avant 50 ms

Les figures 5.29, 5.30 et 5.31 montrent le déplacement de la jauge 17 (h = 795 mm) dans les

trois lUlUS pour les simulations pour lesquelles le solveur Euler FOT est composé d'un maillage

fin.

- Mur 1

Gauge History ( mur-eulerfin )

5040302010

r-'/ \

\\\

\ r- \

\/V \>'--

1- ('I]Gauge#H 11oo

5

15

ES-N

10

TIME (ms)

FIGURE 5.29 - Evolution des déplacements de la jauge placée à lui-hauteur du mur 1

115


- lVIur 2

Gauge History ( mur-pt-t-euler-fin )

10, ,1 l , 1~~ '- 1". 1 , __

1 l , 11 1 1 11 lIt1 lIt1 1 1 11 1 1 1

20 30TIME(ms)

10f------t----r----r---r--JI- (1)Gauge# 1 1

40o

-30

-40

-10ÊE

N-20

FIGURE 5.30 - Evolution des déplacements de la jauge placée à mi-hauteur du mur 2

- Mur 3

Gauge History ( mur-pt-h-euler-ûn )

1- (1)Gauge# 171

............ ' j -1- · .. i··············10 --i- -j-- + [ .

.............+ ..j. ~ ~ .--------------t---.-.------- i---_. _.-----_. -r _.- -----------~--------------E

SN 5

o 10 20 30TIME(ms)

40 50

FIGURE 5.31 - Evolution des déplacements de la jauge placée à mi-hauteur du mur 3

Lorsque le mur subit un déplacement dans le sens contraire à la propagation initiale de l'onde,

les matériaux subissent des déformations plastiques puisque le mur n'oscille pas autour de sa

position de départ.

116


5.3 Problèmes principaux rencontrés lors de l'utilisation du lo

giciel Autodyn@

- Le nombre de cellules est en théorie limité par les ordinateurs disponibles à 4 millions de

noeuds. Or, on remarque que les modèles dépassant 1500000 cellules posent déjà des problèmes

comme par exemple le fait que le logiciel refuse de montrer les conditions aux limites intro

duites.

- Le temps de simulation du modèle de départ durait 1 jour (L=95 jE=90) pour une simulation

d'environ 100 ms . Un maillage plus fin testé par la suite (L=47,5/E=25) durait approxima

tivement 3 jours pour le mène temps de simulation.

- Lors de l'étude d'Autodyn@ , le solveur Euler 3D Multimaterial (Godunov) a été testé à la

place du solveur Euler FCT. Les 2 solveurs montrent des simulations qui ne sont pas similaires.

Le seul changement effectué est le solveur de l'air. Il faudrait par conséquent approfondir les

tests avec ces deux solveurs.

- Autodyn@ donne la possibilité d'introduire un facteur d'énergie. Ce terme permet de stopper

un problème si l'erreur d'énergie devient trop grande. Par défaut, la valeur vaut 0,05, ce qui

veut dire que la simulation est stoppée si l'erreur sur l'énergie dépasse les 5%. Ce facteur doit

parfois être augmenté pour pouvoir continuer une simulation. Pour le mur 2, il a fallu prendre

un facteur égal à 0,25.

Pour créer un matériau dans Autodyn@ , il faut connaître les lois de comportement. Pour

cela, de nombreuses expériences sont nécessaires.

- Un problème d'ordre pratique est qu'il n'est pas possible de changer un paramètre d'une parts.

Autodyn@ oblige l'utilisateur de supprimer l'objet qu'il a créé et ensuite de le reconstruire.

5.4 Conclusion

Ce chapitre a permis de faire l'étude de l'interaction d'une onde de choc sur un mur en maçonnerie

non renforcée. A cause de différents problèmes et de certaines limitations, il a fallu simplifier

notre modèle. Après l'étude de ce dernier modèle, une étude paramétrique a pu être faite. Les

conclusions qui en resortent sont identiques à celles de l'étude paramétrique faite pour les fonc

tions de résistance statique. Un mur moins épais résiste moins bien à l'onde de choc. Diminuer

la hauteur du mur est un moyen pour augmenter la résistance de celui-ci. Les déplacements

latéraux seront utilisés pour faire la comparaison entre le modèle analytique et le numérique.

117

Le but de ce chapitre est de comparer les résultats obtenus analytiquement et numériquement.

Les calculs analytiques permettent d'obtenir une fonction de résistance sous sollicitation statique

tandis que le logiciel Autodyn@ tient compte du phénomène dynamique du problème. Il est donc

nécessaire d'établir une méthode afin de comparer les résultats. La comparaison se fera essen

tiellement au niveau de la réponse dynamique du mur, c'est-à-dire sa déformation en fonction

du temps,

6.1 La méthode suivie

Pour pouvoir comparer les résultats, il faut que les données de départ soient les mêmes. Les di

mensions du Inur et les caractéristiques des matériaux utilisées dans Autodyn@ sont introduites

dans les calculs analytiques. Comme dit précédemment, créer soi-même un matériau dans le logi

ciel exige beaucoup d'infonnations. Celles-ci peuvent être obtenues par des tests expérimentaux

qui n'ont pas été menés dans le cadre de cette étude.

Sachant qu'Autodyn@ donne la réponse dynamique du mur, il faut établir une méthode

pour trouver celle-ci à partir de la fonction de résistance sous sollicitation statique. La méthode

trouvée pour comparer les calculs analytiques avec les numériques est d'utiliser le système SDOF

après avoir multiplié les propriétés des matériaux par un facteur dynamique.

6.1.1 Fonction de résistance sous sollicitation dynamique

Un matériau sujet à un chargement dynamique peut montrer un comportement différent de ce

lui obtenu lors d'un chargement statique. Les expériences montrent que les caractéristiques telles

que par exemple la résistance du béton croissent avec la vitesse de déformation. Le dimension

nement des structures sous l'effet d'une explosion est basé sur sa résistance ultime (TM5-1300,

(1990)). Pour tenir compte de l'influence favorable de la vitesse de déformation, un coefficient

118

6. Comparaison entre les calculs analytiques et numériques

majorateur (DIF : Dynamic Increase Factor) est appliqué aux valeurs statiques de la résistance

ultime.

La maçonnerie porteuse se comporte comme le béton mais avec une plus faible résistance (Bour

geois, 1999). Le «DIF ~ est donc inférieur à celui utilisé pour le béton. Des valeurs de ce

coefficient sont présentées dans de nombreux documents mais varient souvent d'une source à

l'autre. Le coefficient à prendre en considération dépend du matériau ainsi que du type de

contraintes. Le coefficient choisi pour cette étude vaut 1,2.

6.1.2 Résolution du SDOF à l'aide de NONLIN@

La première chose à faire est d'introduire les équations de la fonction de résistance des murs

en maçonnerie non renforcée, développées dans le chapitre 2, dans le modèle de réponse dy

namique à un degré de liberté (SDOF). Afin de résoudre l'équation différentielle du système

SDOF, le logiciel NONLIN@ sera utilisé. Le programme donnera comme résultat une fonction

qui représente le déplacement du mur en fonction du temps.

Pour utiliser le programme NONLIN@ , il faut entrer plusieurs paramètres. Ceux-ci sont en

partie obtenus à partir des fonctions de résistance des murs en maçonnerie non renforcée aux

quelles la résistance à la rupture a été multipliée par le facteur dynamique « DIF ~. Le K b1 est

la première pente de la fonction de résistance ainsi obtenue, Kb2 sa deuxième pente et Rbmax son

maximum. Il faut encore y introduire le coefficient d'amortissement et le poids. Le coefficient

d'amortissement est pris égal à °pour les raisons évoquées dans la théorie. Le poids à entrer

est le poids JY.h multiplié par le coefficient KL.M qui est égal au rapport des facteurs de masse et

de charge. Puisque le mur est simplement appuyé aux extrémités, on a opté pour le coefficient

proposé par Mays et al. (1995) qui est égal à 0,78. Les derniers paramètres à entrer sont les

caractéristiques de l'onde de choc, c'est-à-dire respectivement la pression réfléchie maximale Pb

et la durée d'inlpulsion de la phase positive ta. Le temps d'arrivé du pic de pression ta doit

également être introduit.

Il est important de signaler que la nomenclature utilisée dans le système métrique de ce

programme est le cm et le kN. La force dynamique appliquée est une Blast Force.

119


p

Rbmax

FIGURE 6.1 - Fonction de résistance

ta t

FIGURE 6.2 - Pression réfléchie sur le mur en fonction du temps

La méthode utilisée est schématisée ci-dessous.

Calcul analytique

Fonction de résistancesous sollicitation statique

Coefficientdynamique

Fonction de résistancesous sollicitation dynamique

SODF

Réponse dynamiqueZ=f(t) <~=====:>

Calcul numérique

Autodyn@

Réponse dynamiqueZ= f(t)

FIGURE 6.3 Méthode établie dans le but de comparer les résultats obtenus analytiquement et

numériquement

120


6.2 Comparaison des résultats obtenus avec les deux méthodes

Trois murs vont être étudiés dans cette section. Les caractéristiques de ceux-ci sont données

dans le tableau 6.1.

Mur Hauteur h Epaisseur t

(mm) (mm)

1 1590 190

2 1590 120

3 1190 190

TABLE 6.1 - Caractéristiques des murs repris pour comparer les 2 méthodes

6.2.1 Solution du SDüF

Pour faire la comparaison des déplacements avec les deux méthodes, il faut tout d'abord prendre

les valeurs du pic de pression et la durée de la phase positive donnée par Autodyn@ . Ensuite il

faut les introduire dans NÜNLIN@ ainsi que les autres paramètres nécessaire pour ce logiciel.

La deuxième phase du diagramme des pressions n'a pas été considérée.

Les 3 n1lUS sont soumis à la même sollicitation. Le temps d'arrivée ta est de 0,3 lllS et la phase

positive ta dure 3,9 lUS. La valeur de Pb est en kN. Il faut donc multiplier la pression réfléchie

obtenue avec Autodyn@ par la surface de la face avant. Puisque les murs 1 et 2 ont les mêmes

dimensions pour la face avant, le pic de la force Pb est identique et vaut 930,391 kN. Par contre,

le mur 3, qui a une hauteur plus petite est sollicité par une force inférieure valant 696,33 kN.

Le tableau 6.2 reprend les autres valeurs à introduire dans NÜNLIN@ .

KLl\II [-] 1YIb [kN] TVb [kN] Kbl [kN/ cm] Kb2 [kN/ cm] Rbmax [kN]

Mur 1 0,78 Il,403 8,894 5005,59 -395,849 650,227

lVlur 2 0,78 7,270 5,617 1202,66 -807,915 255,085

Mur 3 0,78 8,530 6,653 11661,25 -552,47 869,23

TABLE 6.2 Données à introduire dans NÜNLIN@

où liVb = K t.u Mi; est le poids à entrer dans le logiciel.

121


Résultats

- Mur 1

Le graphe de la force du ressort (spring force) en fonction du temps donne la force maximale

dans le ressort. Elle vaut 641,03 kN et elle est atteinte après 13 ms. Or le Rbmax entré dans

le programme est de 650,227 kN. Comme la valeur maximale de la fonction de résistance

n'est pas dépassée, on reste dans la première branche de la fonction de résistance. Le graphe

représentant le code d'écoulement en fonction du temps montre qu'on est dans le domaine

plastique.

Le fait que la force est appliquée en quelques millisecondes explique que malgré que Pb soit

plus grand que Rbmax, la déformation reste dans le domaine plastique et il n'y a pas rupture.

La déformation maximale vaut 3 mm. Elle est atteinte après 16 n1S.

FIGURE 6.4 - Mur 1 : le déplacement du milieu du mur, la force du ressort et le code d'éooulement

en fonction du temps

Mur 2

La structure est instable. NONLIN ne donne aucune solution.

Mur 3

La force maximale dans le ressort vaut 867,55 kN et dans ce cas-ci, elle est atteinte après

12 ms. Or le Rbmax vaut 869,23 kN. Comme la valeur maximale de la fonction de résistance

n'est pas dépassée, on reste dans la première branche de la fonction de résistance. Le graphe

représentant le code d'écoulement en fonction du temps montre qu'on est dans le domaine

plastique. La déformation maximale vaut 1 mm. Elle est atteinte après 14 ms.

122


FIGURE 6.5 - Mur 3 : le déplacement du milieu du mur, la force du ressort et le code d'écoulement

en fonction du temps

123

t--ltv~

Mur Hauteur h Epaisseur t Surcharge P Analyse SDüF : Analyse Autodyn@ différence en %

(mm) (mm) (N/mm) déplacement Max. (mm) déplacement Max. (mm) avec l'analyse SDÜF

1 1590 190 0 3 2,999 0%

2 1590 120 0 ... 7,027 ... %

3 1190 190 0 1 1,865 46 %

TABLE 6.3 - Comparaison des résultats obtenus par l'analyse SDüF de la fonction de résistance et par l'analyse des différences finies

OJ

QoS

focJ\;l:II-i\;l:Iu:ïo~

CD~c+I-iCD

~moe:..oe..o:

§

~"ê'

CDo:CDe-t-

~~

SCD,I-i

..o'~CDm


Le déplacement maximum augmente en diminuant l'épaisseur et diminue en augmentant la hau

teur du mur. Ceci s'explique par le fait que si la hauteur diminue ou si l'épaisseur augmente, le

mur présente plus de résistance.

En ce qui concerne la différence des valeurs, cela peut être dû à plusieurs facteurs:

- avec NÜNLIN@ , il est impossible de considérer le même diagramme de pression obtenu avec

Autodyn@ . Une approximation a ce niveau a dû être faite. De plus, il est nécessaire de noter

que seule la phase positive approximée a été introduite dans NÜNLIN@ .

- Pour travailler avec NÜNLIN@ , les 2 phases courbes de la fonction de résistance ont été

approximées par des droites. La fonction de résistance statique est établie en considérant l'ef

fet membranaire. Ce phénomène n'étant pas connu complètement, des approximations ont été

faites.

-les valeurs données par NÜNLIN@ ne sont pas assez précises. Le programme donne des temps

en centisecondes or une explosion dure quelques millisecondes.

- seulement 128 points sont pris en considération par NÜNLIN@ pour représenter les graphes.

-le programme NONLIN@ ne prend en compte que le premier mode de vibration de la struc-

ture tandis qu'Autodyn@ en considère plusieurs.

6.3 Conclusion

Les 2 méthodes permettent de démontrer qu'en diminuant l'épaisseur ou qu'en augmentant

la hauteur, le déplacement maximum du mur augmente. Comparer les résultats obtenus avec

NÜNLIN@ et Autodyn@ permet de savoir si la méthode analytique donne une bonne approche

de la réalité. La méthode analytique, malgré les nombreuses approximatons introduites, semble

acceptable. La suite de l'étude doit donc consister en une campagne de tests expérimentaux pour

confirmer cette constatation.

125

Etant donné la présence de risques d'explosion à l'intérieur de ses bâtiments, une entre

prise chimique a demandé à l'Ecole Royale Militaire d'examiner la résistance de leurs murs en

maçonnerie non renforcée.

7.0.1 Charges sur le mur

Une poutre et une dalle reposent sur le mur schématisé à la figure 7.1. La densité du béton

vaut 2400kg/m3 . Pour un bâtiment, il faut également tenir compte d'une charge de service de

3 kN/m2 appliquée sur la dalle.

12m

3,I,L.? - ····'···'···'.··"'·'·'·'·'·'.7

/ ,,.' ~./' .. ,,-

,.

,/ -7777T777777777777-T7-'/

FIGURE 7.1 - Mur en maçonnerie non renforcée sur lequel repose une poutre et une dalle

Dalle Poutre

Largeur [ml 9 0,2

Longueur [m] 12 9

Epaisseur [m] 0,2 0,2

TABLE 7.1 - Dimensions de la dalle et de la poutre

126

7. Exemple pratique

La charge transmise par la dalle à la poutre est établie par une méthode vue dans le cadre du

cours C0524 du Professeur Vantomme. Celle-ci stipule que si les deux appuis perpendiculaires

sont de même type (encastrement ou appui simple), la répartition des charges se fait selon un

angle de 45 (figure 7.2).

I2m

9m

FIGURE 7.2 - Dalle

Le tableau 7.2 reprend respectivement le poids par millimètre de largeur de mur de la dalle, de

la poutre et de la charge de service. Le poids total appliqué par millimètre de largeur sur la face

supérieure du mur y est également indiqué.

Poids de la dalle (triangle) [N/mm] 24 *20, 45 * 0,2/9 = 11,36

Poids de la poutre [N/mm] 24 * 0, 2 * 0, 2 = 0, 96

Poids de la charge de service [N/mm] 3 * 20, 45 *0,2/9 = 1,36

Poids total [N/mm] 13,68

TABLE 7.2 - Poids par mmillimètre de largeur de mur de la dalle, de la poutre et de la charge

de service ainsi que le poids total appliqué par millimètre de largeur de mur

127

7. Exemple pratique

Le mur a les dimensions suivantes (tableau 7.3) :

Largeur [mm] 9000

Hauteur [mm] 3100

Epaisseur [mm] 200

TABLE 7.3 - Dimensions du mur

7.0.2 Fonction de résistance sous sollicitation dynamique

Il faut introduire les données reprises ci-dessous dans le programme Matlab (Annexe: partie

2). Il permet d'établir les deux fonctions de résistance avec et sans effet membranaire.

V olume mur [mm3]

t 3

12

6,667 * 105

200 * 3100 * 9000

5,58 * 109

(7.0.1 )

(7.0.2)

(7.0.3)

(7.0.4)

lV[N/mm]5, 58 * 109 * 0.0024 * 9,81

1000 * 9000

14,59

13, 8 * 103 * 1, 2

1,66 * 104

(7.0.5)

(7.0.6)

(7.0.7)

(7.0.8)

13,8* 1,2

16,56

(7.0.9)

(7.0.10)

128

7. Exemple pratique

Le résultat est montré à la figure 7.3 pour le cas sans effet membranaire et à la figure 7.4 pour

le cas avec effet membranaire.

'"r

FIGURE 7.3 - Fonction de résistance sans effet membranaire

Fonction de résistance avec effet membranaire (ref : Moradi)

'vJ0 .na}..·+·········-\·..············ ·; · · .


FIGURE 7.4 Fonction de résistance avec effet membranaire

129

7. Exemple pratique

7.0.3 NÜNLIN@

Sans effet membranaire

Le tableau 7.4 ci-dessous reprend les valeurs qui doivent être introduites dans NüNLIN@ .

KLl\II [-] 0,78 (Mays et al. (1995))

u, [kN] 131,375

Wb [kN] 102,473

K b1 [kN/cm] 53,065

Kb2 [kN/cln] -1,61

Rbmax [kN] 15,479

Pb [kN] 446,4

ta [ms] 90

TABLE 7.4 Données à introduire dans NüNLIN@

Résultat sans effet membranaire

La force maximale dans le ressort vaut 42,38 kN . Le Rbmax entré dans le programme est de

15,479 kN. Comme la valeur maximale de la fonction de résistance est dépassée, il y a rupture

du mur. Elle a lieu après 0,27 s.

FIGURE 7.5 - Fonction de résistance sans effet mernbranaire

130

7. Exemple pratique

A vec effet membranaire

Le tableau 7.5 ci-dessous reprend les valeurs qui doivent être introduites dans NÜNLIN@ .

KLld H 0,78 (Mays et al. (1995))

NIb [kN] 131,375

liVb [kN] 102,473

Kbl [kN/cIn] 4662,187

Kb2 [kN/ cm] -599,705

Rbmax [kN] 2098,917

Pb [kN] 446,4

ta [ms] 90

TABLE 7.5 - Données à introduire dans NÜNLIN@

Résultat avec effet membranaire

La force maximale dans le ressort vaut 810,25 kN. Le Rbmax entré dans le programme est de

2098,917 kN. Comme la valeur maximale de la fonction de résistance n'est pas dépassée, on reste

dans la première branche de la fonction de résistance, c'est-à-dire dans le domaine élastique. Le

graphe représentant le code d'écoulement en fonction du temps confirme qu'on reste bien dans

le domaine élastique.

Le fait que la force est appliquée en quelques millisecondes explique que malgré que Pb soit plus

grand que Rbmax, la déformation reste dans le domaine élastique. La déformation maximale vaut

1,7 mm. Elle est atteinte après 30 ms.

7.0.4 Conclusion

L'effet membranaire étant considéré, la résistance du mur augmente. Dès lors, il faut veiller à

ne laisser aucun jeu entre le mur et les supports afin de pouvoir profiter de cet effet.

131

7. Exemple pratique

FIGURE 7.6 - Fonction de résistance avec effet membranaire

132

Dans la société d'aujourd'hui, il existe un risque croissant d'attaques terroristes par des fac

tions. C'est pourquoi les recherches dans le domaine de la résistance de structures sous l'effet

d'une explosion se sont multipliées ces dernières années. Ce mémoire de fin d'études a pour

but d'étudier, de manière analytique et numérique, la résistance d'un mur en maçonnerie non

renforcée soumis à une sollicitation dynamique latérale.

L'étude de la résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée s'inscrit dans un domaine très

spécialisé. Etant donné que le béton armé est généralement l'élément essentiel d'une construc

tion, la plupart des travaux effectués jusqu'à présent traitent de ce matériau plutôt que de la

maçonnerie. De ce fait, il fut difficile de trouver des informations parlant de la maçonnerie.

Néanmoins, nos recherches nous ont permis de comprendre l'interaction d'une onde de choc avec

des InlUS en maçonnerie.

Notre contribution personnelle au niveau théorique est de rassembler des théories traitant la

résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée et de les étudier. Les fonctions de résistance du

TM5-1300 (1990), de Smith et al. (1994) , et de Moradi (2008) ont été présentées. Le but n'est pas

de reprendre simplement les théories mais bien d'expliquer en détailles étapes intermédiaires

ainsi que d'établir une interprétation de ces fonctions de résistance.

Au niveau analytique, nous avons implémenté ces 3 fonctions de résistance dans le programme

Matlab afin d'effectuer une étude paramétrique pour mettre en évidence l'influence de certains

paramètres comme la hauteur, l'épaisseur, la résistance à la traction ou à la compression, la ri

gidité des supports ou encore la surcharge. Il ressort de cette étude paramétrique qu'augmenter

la résistance d'un nlur en maçonnerie non renforcée peut se faire en augmentant l'épaisseur du

mur, en diminuant sa hauteur, en ajoutant une surcharge, en augmentant la rigidité des supports

ou encore en utilisant des matériaux plus résistants pour construire ce mur. L'analyse montre

que considérer l'effet membranaire augmente de plus d'un facteur 100 la résistance du mur.

133

8. Conclusion

Au niveau numérique, plusieurs modèles ont été simulés à l'aide du logiciel Autodyn@ . Son

code de calcul utilise les différences finies. A cause de différents problèmes et de certaines limita

tions, il a finalement été décidé d'effectuer les simulations en 3D après un remapping d'un modèle

ID pour simuler la détonation de l'explosif. Seule l'influence de la hauteur et de l'épaisseur a

été étudiée. Cette étude paramétrique fournit les mêmes conclusions que celles tirées de l'étude

paramétrique de la fonction de résistance analytique pour ces 2 paramètres.

Sachant qu'Autodyn@ donne la réponse dynamique du mur, une méthode pour trouver celle

ci à partir de la fonction de résistance sous sollicitation statique a dû être établie. La méthode

consiste à utiliser le système SDOF après avoir multiplié les propriétés des matériaux par un

facteur dynamique.

Etant donné qu'aucune campagne de tests n'a été effectuée dans ce travail, il est impossible

de confirmer ou d'infinner la validité des 2 méthodes, Cependant, la comparaison des résultats

analytiques et numériques obtenus pour différents murs montre une certaine cohérence.

Il est important de mentionner la précision d'un modèle fidèle aux différences finies par rap

port à des techniques analytiques approximatives, comme la fonction de résistance basée sur

l'approche SDOF. Bien que l'approche SDOF soit facile et rapide, elle ne correspond pas au ni

veau de fidélité détaillée que peut fournir un modèle aux différences finies. Avec Autodyn@ , on

peut regarder de plus près le comportement de ces murs complexes. Le modèle numérique per

met d'examiner beaucoup de centres d'intérêt tels que la déformation du mur, les déformations

locales, les contraintes dans le mortier ou dans le béton composant la maçonnerie.

La continuation future de ce travail pourrait se développer dans plusieurs voies de recherche :

l'optimisation de la fonction de résistance. L'effet membranaire est encore un phénomène mal

connu.

la réalisation de tests expérimentaux statiques pour valider la fonction de résistance de Moradi

(2008).

l'optimisation du modèle utilisé dans Autodyn@

l'élaboration d'une série d'expériences en laboratoire sur des murs à échelle naturelle. Les

résultats obtenus permettront de perfectionner les modèles analytique et numérique proposés

et d'approfondir l'étude entamée dans le travail présent.

l'étude de I'amélioration de la résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée apportée

134

8. Conclusion

en utilisant différents renforcements. Ceux-ci peuvent par exemple être des membranes en

polymère.

Notre recommandation est la suivante: dans tous les cas possibles, les murs sujets à la pression

latérale doivent être construits sans espace entre les supports (inférieur et supérieur) et le mur

lui-même afin de développer des forces membranaires.

135

8. Conclusion

8.1 Références

Bourgeois R., Constructions soumises à des sollicitations d'explosions, Torne I - cours C0583,

Ecole Royale Militaire, 1999.

Bourgeois R., Constructions soumises à des sollicitations d'explosions, Tome II - cours C0583,

Ecole Royale Militaire, 1999.

Century Dynamics Inc, Autodyn - User manual, Version Il, 2005.

Century Dynamics Inc, Autodyn - Remapping Tutorial, Revision 4.3, 2005.

Century Dynamics Inc, Autodyn - Theory - manual, Revision 4.3, 2005.

Century Dynamics Inc, Autodyn - Introductory Training Course, 2004.

DEPARTEMENT of DEFENSE Explosives Safety Board, TM5-1300/ NAVFAC P-397/ AFR

88-22, Departement of the Arrny, the Nav y, and the Air Force, 1990.

Drysdale R.G., Hamid A.A., Baker L.R.,1\!Iasonry and Structures: Behavior and Design, New

Jersey, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1994.

Eurocode 6, Calcul des ouvrages en maçonnerie - Partie 1-1 : Régles générales - Régles pour la

maçonnerie armée et non armée, ENV 1996-1-1, Bruxelles, CEN Comité Européen de Norrna

lisation, 1995.

Groupernent Belge du Béton, Technologie du béton, Bruxelles, Croupement Belge du Béton,

2006, 605 pages.

Kinney, G.P. et Graham, K.J., Explosive Shocks in Air, Second edition, New York, Springer

Verlag, 1985, 270 pages.

McDowell E.L., JVlcKee K.E., ASCE, A.M., Sevin E., Arching Action Theory of Masonry Walls,

Journal of Structural Division, Proceedings of ASCE, 1956, Paper 915, 1-18.

136

8. Conclusion

Paulay, T. and Priestley, M.J.N., Seismic Design of Reinforced Concrete and lViasonry Buildings,

New York, J. Wiley, 1992.

Smith P. D. and Hetherington J. G., Blast and Ballistic Loading of Structures, Oxford, Butterworth

Heinemann, 1994.

Vantomme J., Calcul des structures en béton, cours ERM C0524, 2002, 4t.

Pfefferrnann O., Maçonnerie portante, Kluwer, Diegem, 1999.

Couasnet Y., Propriétés et caractéristiques des matériaux de construction, 2èm e édition, Paris,

Le moniteur, 2007.

8.2 Thèses

Moradi L., Resistance of membrane retrofit concreie masonry walls to lateral pressure, Final

report, University of Alabama at Birmingham, 2008.

Trelat S., Impact de fortes explosions sur les bâtiments représentatifs d'une installation indus

trielle, Thèse de Doctorat - Université d'Orleans, 2006.

8.3 Présentations PowerPoint

Ndambi J-M, Présentation PowerPoint, Autodyn "Centuri} Dynamics@/ANSYS@ ,2007.

Ndambi J-M, Présentation PowerPoint, Hydrocodes - Applications: Explosions, 2007.

8.4 Sources internet

2007, http://www.roosens.com/blocsOl.htm

Demoroom : ANSYS Engineering Simulation Virtual D81noRoom, http://www.ansys.com/demoroom/

2004, http://www.betons-vicat.fr/betons/pdf[les.chapes.nncat.pdf

137

2008, http://ire.nre - cnrc.qc.ca]pubs1cod]ebd163_f.html

8. Conclusion

138

8. Conclusion

Annexes

Annexe 1 : Equation et modèles pour le logiciel Autodyn@

Annexe 2 : Paramètres des matériaux fournis par Autodyn@

Annexe 3 : Quelques simulations Autodyn@ pour le mur 1

Annexe 4 : Programmes Matlab pour établir les fonctions de résistance analytiques

139

9.1 Equations d'état (EOS)

La forme générale des équations d'état est la suivante:

p = pression hydrostatique [N/m2J

e = énergie interne [J/kg]

p = densité [kg/m3J

9.1.1 Gaz idéaux

p f( e, p) (9.1.1)

Les gaz idéaux sont définis par l'équation des gaz parfaits. Cette équation est une des formes

d'équations les plus simples. Cette équation sera utilisée pour décrire le comportement de l'air

ambiant dans les simulations.

L'équation peut être exprimée comme suit :

pv R*T (9.1.2)

avec p = pression [N/mm 2]

v = volume spécifique [m3 / kg]

R*= constante universelle R divisée par la masse moléculaire [Nm/Kkg]

T = température [K]

La relation entre la pression et l'énergie interne est la suivante:

p (9.1.3)

avec r = l'exposant adiabatique

140

9. Annexe 1

Avec Autodyn@ , lors de problèmes impliquant plusieurs matériaux, des petites pressions

initiales dans les gaz généreraient des vitesses indésirables des cellules. Pour éviter ces compli

cations, l'équation précédente a été modifiée comme suit:

P = (,- l)pe + PShift

Pshift est une petite pression initiale définie pour avoir p = 0 au début du calcul.

9.1.2 Poudres, béton et sols

(9.1.4)

Ces matériaux manifestent une déformation volumétrique irréversible due à l'écroulement du

noyau.

Pour ces matériaux, Autodyn@ prévoit trois EOS :

Porous

Compaction

P-alpha

Porous EOS of piecewise Linear Porous Model

L'évolution de la courbe densité/pression des matériaux poreux, tel que le béton, peut être

décolnposée en trois phases (figure 9.1)

- un chargement élastique

- une phase de compactage plastique

un matériau complètement comprimé

pressure

Plasticcompaction

\Elastic

unloading(variable slope)

~

Initialporousdensity

Fullycompacted

/

density

FIGURE 9.1 Comportement de chargement./déchargernent des matériaux poreux

Autodyn@ remplace la courbe définissant le compactage par une série de segments linéaires

à partir desquels le chargement et déchargement se fait de manière élastique. La pente du

141

9. Annexe 1

chargement/ déchargement élastique est linéairement interpolée entre la vitesse du son dans les

matériaux poreux et la vitesse du son dans les matériaux solides complètement comprimés (figure

9.2).

pressure

Plastic compaction path

\Elastic unloading/ reloading path(linearly interpolated

..v'" soundspeed)

Initial porousdensity

Solidsoundspeed

iL/

density

FIGURE 9.2 - Piecewise-Linear Porous Model

Compaction EOS

Le modèle Compaction est une extension du modèle Porous qui permet plus de contrôle sur la

pente de chargement et de déchargement. Au lieu d'être linéairement interpolée entre les valeurs

de densité des états poreux et compactés, la vitesse du son élastique est définie comme une

fonction de la densité (figure 9.3). Ce modèle est utilisé pour décrire le mortier.

1.2

1 --- --- t------i------i-------1-- -- ---1- --- ---f -----+-----------: : : : : : p

0.8 ------~------~------~-------:-------:-------:_--- c -- - -------

e 1 1 1 i i i ,~ 0.6 ------~------~------i-------:-------:-------:_------, ------ -------c: :::;:::

1 1 1 1 1 1 1

0.4 -----T----T-----r----r~;;~~: -- ---r------ -------0.2 --~----y-' P" -j-------------

O+---j---j--;----r--'-r---r------jr------jr-----.

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.-1 2.3 2.5

Density

FIGURE 9.3 - Compaction Model

P-alpha EOS

Les équations d'état Compaction et Porous donnent de bons résulats pour des niveaux faibles

de contraintes et des matériaux peu poreux. P-alpha EOS est une approche phénoménologique

142

9. Annexe 1

qui donne le comportement correct à hautes pressions mais qui en même temps fournit une

description raisonnable de la phase de compactage à de faibles niveaux de contraintes (figure

9.4). C'est sous la forme suivante qu'Autodyn@ a implémenté le modèle.

p =

Œ

1 v(-)f(-,e)

Œ Œ

Ps

P

(9.1.5)

(9.1.6)

9.1.3 Les explosifs

FIGURE 9.4 - P-alpha EOS

En ce qui concerne les explosifs, Autodyn@ propose trois modèle EOS JWL EOS (with

burn on time), Lee- Tarver EOS et Slow burn EOS.

Pour les simulations dans cette étude, le TNT est utilisé. Celui-ci est donné dans la bibliothèque

d'Autodyn@ . Le TNT est décrit par l'équation de Jones, Wilkins et Lee (JWL EOS for high

explosives,1973) (figure 9.5). L'équation d'état JWL est habituellement utilisée pour des pres

sions allant jusqu'à 100 MPa. Elle permet de modéliser la détonation des explosifs en supposant

que celle-ci est entièrement initiée.

L'équation est établie de la manière suivante :

(9.1. 7)

où A,B,RI,R2 , w sont des constantes ajustables

P = pression dans les produits de détonation (Pa)

e = énergie interne spécifique des produits de détonation [J.kg- I ]

V = volume spécifique

143

Total pressure

1

log PCJ point

/-:

C1e-r1v

\Sv -(1+w)

9. Annexe 1

log v

FIGURE 9.5 - JWL EOS

9.2 Equations constitutives (Strength model)

La formule générale est la suivante :

ou

y = f(E,E,T,D)

(9.2.1)

(9.2.2)

où Y = la contrainte d'écoulement (yield stress).

La dépendance en énergie interne ou en température revient au même puisque e = f (T).

Sols secs, roches, béton et céramiques

Le modèle Drucker-Prager est utilisé pour représenter certains matériaux comme le béton où

le comportement de cohésion et du compactage des matériaux résulte d'une augmentation de

la résistance jusqu'à une valeur limite de la résistance d'écoulelnellt et ce quand la charge aug

mente. Ceci est modélisé dans Autodyn@ de trois manières différentes possibles: une droite

(linear) (figure 9.6), des segments linéaires (Piecewise) (figure 9.7) ou une courbe (Stassi) (figure

9.8).

144

9. Annexe 1

y

p

FIGURE 9.6 - Drucker-Prager Linear

Yield stress Y varies with pressure aspiecewise Iinear function. Constant shearmodulusG

Yieldstress Y

Pieeewiselinear

Pressure p

FIGURE 9.7 - Drucker-Prager Piecewise

y

( p

Mortier, sable

FIGURE 9.8 Drucker-Prager Stassi

Autodyn@ a introduit le modèle MO Granular qui est une extension du modèle Drucker-Praguer

où les effets associés aux matériaux granuleux sont pris en compte. L'utilisateur doit fournir les

données suivantes :

- 10 points donnant Y en fonction de la pression (Pressure hardening)

10 points donnant Y en fonction de la densité (Density hardening)

10 point donnant le module de cisaillement en fonction de la densité (Variable shear modulus)

145

9. Annexe 1

avec Y qui est la contrainte d'écoulement

9.3 Modèle de rupture

9.3.1 Hydrodynamic Tensile Failure (Prnin)

Il s'agit d'un modèle de rupture isotropique. L'utilisateur doit spécifier une limite d'élasticité

(Hydrodynamic Tensile limit). Lorsque cette valeur est atteinte dans une ou plusieurs cellules,

le matériau est considéré comme brisé (Bulk fail). La pression est alors mise à zéro et l'énergie

interne est recalculée par le programme.

Ce modèle est assez simpliste mais il n'est pas toujours évident de trouver une valeur appropriée

pour la pression limite.

f-------~-----TimeHydrodynamicTensile Limit I-------~

FIGURE 9.9 - Hydrodynamic tensile failure 1110del (Plllin = constant)

9.4 Modèle d'érosion

Ce modèle ne s'applique qu'au maillage lagrangien. Avec ce procédé, certaines cellules sont

jetées. Il existe différents critères pour l'élimination des cellules. Ci-dessous est décrit celui qui

est utilisé pour le mortier et le béton.

La déformation géométrique instantanée (Instantaneous geometric strain)

La déformation géométrique instantanée Eef f est calculée directement à partir des composantes

de la déformation principale:

Cette valeur peut donc augmenter et diminuer en fonction des chargements et déchargements.

146

AUTODYN-2D Version 11.0.00e

MATERIALS

MATERIAL NAME: AIR

Equation of State Ideal Gas

Reference density (g/cm3 ) : 1.22500E-03

Gamma (none ) 1.40000E+00

Adiabatic constant (none ) O.OOOOOE+OO

Pressure shift (kPa ) O.OOOOOE+OO

Reference Temperature (K ) 2. 88200E+02

Specifie Heat (J/kgK ) 7. 17600E+02

Thermal Conductivity (J/mKs ) O.OOOOOE+OO

Strength

Failure

Erosion

Material Cutoffs

None

None

None

Maximum Expansion (none ) 1.00000E-01

Minimum Density Factor (none ) 1.00000E-04

Minimum Density Factor (SPH) (none ) 2.00000E-01

Maximum Density Factor (SPH) (none ) 3.00000E+OO

Minimum Soundspeed (m/s ) 1.00000E-02

Maximum Soundspeed (m/s ) 1.01000E+20

Maximum Temperature (K ) 1.01000E+20

Reference:

147

10. Annexe 2

"Thermodynamic and Transport Properties of Fluids, SI Units", GFC Rogers, YR Mayhew

MATERIAL NAME: TNT

Equation of State Ideal Gas

Reference density (g/cm3 ) : 1.63000E-04

Gamma (none ) 1.35000E+OO

Adiabatic constant (none ) O.OOOOOE+OO

Pressure shift (kPa ) O.OOOOOE+OO

Reference Temperature (K ) 2. 93000E+02

Specifie Heat (J/kgK ) O.OOOOOE+OO


Strength

Failure

Erosion

Material Cutoffs

None

None

None




Maximum Density Factor (SPH) (none ) 3.00000E+OO

Minimum Soundspeed (mis ) 1.00000E-06

Maximum Soundspeed (mis ) 1.01000E+20

Maximum Temperature (K ) 1.01000E+20

Reference:

JWL Equations of State Coeffs. for High ExplosivesLee Finger & Collins.

UCID-16189. January 1973

MATERIAL NAME: CONCRETE-L

Equation of State

Reference density

Solid Soundspeed

Porous

(g/cm3

(mis

): 2.44000E+OO

) 2.20000E+03

148

10. Annexe 2

Porous Soundspeed (m/s ) 2.20000E+03

Density #1 (g/cm3 ) 2. 34000E+00

Density #2 (g/cm3 ) 2. 35000E+00

Density #3 (g/cm3 ) 2.40000E+00

Density #4 (g/cm3 ) 2.46000E+00

Density #5 (g/cm3 ) 2.50000E+00

Density #6 (g/cm3 ) O.OOOOOE+OO





Pressure #1 (kPa ) O.OOOOOE+OO

Pressure #2 (kPa ) 2.50000E+04









Crush failure density (g/cm3 ) 1.01000E+20

Strength Drucker-Prager

Shear Modulus (kPa ) 7. 88000E+06

Pressure hardening type Piecewise









149

10. Annexe 2



Yield Stress #1 (kPa ) 2.50000E+04




Yield Stress #5 (kPa ) O.OOOOOE+OO






Failure Hydro (Pmin)

Hydro Tensile Limit (kPa )-3.0000E+03

Reheal Yes

Crack Softening No

Stochastic failure Yes

Stochastic variance (gamma) (none ) 1.60000E+01

Minimum fail fraction (none ) 1.00000E-01

Distribution type Random Seed

Erosion Geometrie Strain

Erosion Strain (none ) 1.00000E+00

Type of Geometrie Strain Instantaneous

<Equation>

<Name>Material Cutoffs </Name>

<Type 1>




Maximum Density Factor (SPH) (none ) 3.00000E+00



150

Maximum Temperature (K

10. Annexe 2

) 1.01000E+20

Reference:

C.M. Wentzel et al "Concrete under Multi-Axial Dynamic Loading"

- Tran. Load. & resp. Struct. 1998

MATERIAL NAME: SAND

Equation of State Compact ion

Reference density (g/cm3 ) : 2. 64100E+00

Density #1 (g/cm3 ) 1. 67400E+00

Density #2 (g/cm3 ) 1.73950E+00

Density #3 (g/cm3 ) 1.87380E+00

Density #4 (g/cm3 ) 1.99700E+00

Density #5 (g/cm3 ) 2. 14380E+00

Density #6 (g/cm3 ) 2. 25000E+00

Density #7 (g/cm3 ) 2. 38000E+00

Density #8 (g/cm3 ) 2. 48500E+00

Density #9 (g/cm3 ) 2. 58500E+00

Density #10 (g/cm3 ) 2. 67130E+00


Pressure #2 (kPa ) 4. 57700E+03

Pressure #3 (kPa ) 1. 49800E+04

Pressure #4 (kPa ) 2. 91510E+04

Pressure #5 (kPa ) 5. 91750E+04



Pressure #8 (kPa ) 2. 89443E+05


Pressure #10 (kPa ) 6.50660E+05

Unloading method Linear

Density (Soundspeed) #1 (g/cm3 ) 1. 67400E+00

Density (Soundspeed) #2 (g/cm3 ) 1.74560E+00



151

10. Annexe 2







Soundspeed #1 (mis ) 2. 65200E+02


Soundspeed #3 (mis ) 1.72170E+03








Strength MO Granular



Pressure #3 (kPa ) 3. 48980E+04


Pressure #5 (kPa ) 1. 84650E+05







Yield Stress #2 (kPa ) 4. 23500E+03





152

10. Annexe 2





Density #1 (g/cm3 ) 1.67400E+OO



Density #4 (g/cm3 ) 2. 14680E+OO

Density #5 (g/cm3 ) 2.30000E+00
















Density #1 (g/cm3 ) 1.67400E+00


Density #3 (g/cm3 ) 2.08630E+00








153

10. Annexe 2

Shear Modulus #1 (kPa ) 7. 69000E+04


Shear Modulus #3 (kPa ) 4.03170E+06








Failure Hydro (Pmin)

Hydro Tensile Limit (kPa )-2.00000E+03

Reheal Yes

Crack Softening No

Stochastic failure Yes

Stochastic variance (gamma) (none ) 1.60000E+01

Minimum fail fraction (none ) 1.00000E-01

Distribution type Random Seed

Erosion Geometrie Strain

Erosion Strain (none ) 1.00000E+OO

Type of Geometrie Strain Instantaneous

<Equation>


<Type 1>






Maximum Soundspeed (mis ) 1. 01000E+20

Maximum Temperature (K ) 1. 01000E+20

154

Reference:

Laine L. ,Sandvik A. ,"Derivation of mechanical properties for sand",

4th SILOS,CI-Premier LTD,p361-367

MATERIAL NAME: STEEL 4340

10. Annexe 2

Equation of State Linear

Reference density (g/cm3 ) : 7. 83000E+00

Bulk Modulus (kPa ) 1. 59000E+08

Reference Temperature (K ) 3.00000E+02

Specifie Heat (J/kgK ) 4. 77000E+02


Strength Johnson Cook

Shear Modulus (kPa ) 8. 18000E+07

Yield Stress (kPa ) 7. 92000E+05

Hardening Constant (kPa ) 5.10000E+05

Hardening Exponent (none ) 2.60000E-01

Strain Rate Constant (none ) 1.40000E-02

Thermal Softening Exponent (none ) 1.03000E+00

Melting Temperature (K ) 1.79300E+03

Ref. Strain Rate (/s) (none ) 1.00000E+00

Strain Rate Correction 1st Order

Failure None

Erosion None

<Equation>


<Type 1>







155

Maximum Temperature (K

10. Annexe 2

) 1. 01000E+20

Reference:

Engng. Frac. Mech. Vol 21. No. 1. pp 31-48. 1985 Johnson & Cook

156

11.0.1 Diagrammes obtenus - Modèle grossier pour l'air


- (1)Gauge# 1

~ (2)Gauge# 8

(3)Gauge# 9

(4)Gauge# 17

403020TIME (ms)

10o

-8.OOO,..·....·<..•...... :...... ·+...... ·+··~r·.... :-,'...... l ..· ......:-·'\:l

2.000-+· ·..; ·f ! < ; , , j

-6.000,·..·....,..·......f........;.......'.f ....·..·..:......t··f....'1, .. -:..... "fi r--------,

~ -2 000-t......·;''''..·,··/,:,..···..1'.... ··..+ .... ·.. ·:·..·..··~ ..··}.. ·-}......... [~ .~~ -4.000,···....··~· ........:........~·..I· ..··: .... ·..·..:...... ·..H ..·..·-:..·....·..,1Cf)

O~"';"'<""""'f""

FIGURE 11.1 - Contraintes dans le mur au niveau des jauges: 1 (béton), 8(béton) , 9(béton) et

17 (mortierj ) (Autodyn-3D vl1.ü from Century Dynamics)

La figure 11.2 montre l'emplacement des jauges 1, 9 et 17 dans le mur.

FIGURE 11.2 - Positions dans le nlur des jauges 1, 9 et 17 (Autodyn-3D vl1.ü from Century

Dynamics)

157

11. Annexe 3

Il.0.2 Coordonnées des jauges pour avoir la pression réfléchie

47 Fixed air 2 4 46 O.OOE+OO O.OOE+OO -1.00E-01

48 Fixed air 2 7 46 O.OOE+OO 3. 18E+02 -1.00E-01

49 Fixed air 2 11 46 O.OOE+OO 6.36E+02 -1. 00E-01

50 Fixed air 2 14 46 O.OOE+OO 9. 54E+02 -1. OOE-Oi

51 Fixed air 2 18 46 O.OOE+OO 1.27E+03 -1. 00E-01

52 Fixed air 2 21 46 O.OOE+OO 1.59E+03 -1.00E-01

L'évolution des pressions réfléchies donnée par les jauges 43, 53 et 54 qui se trouvent respecti

vement à la même hauteur que les jauges 1, 9 et 17.

AUTOD'IN-3D vltü fromCenturyDynamics


250

200

~,~ 150:::>Cf)Cf)

~0. 100

50

l''f

'\

'z

\z l\

"'\, .1- (1)Gauge#431

: (2)Gauge# 52.

1 1 1 (3 )Gauge# 54

o 10 20 30 40 50 60TIME (ms)

FIGURE 11.3 - Pressions réfléchies au niveau des jauges 43, 53 et 54 (Autodyn-3D v11.ü from

Century Dynamics)

Les contraintes initiales dans le béton avant l'interaction avec l'onde de choc.

158

.....

1 seurtest

11. Annexe 3

FIGURE 11.4 - Contraintes initiales dans le béton (Autodyn-3D v11.ü from Century Dynamics)

159

12.0.3 TM5-1300 (1990)

function tm5(t, h, l, hprim, fmprim)

2

4

5 NUT

6

7 'li t

8

9

10

11

12

13

14

15

16

h

1

hauLeur du mur (mm)

largeur du mUT (mm)

hauteur h + écart avec le support (tiuti)

des ma Lé r i a u »:

i:esi st an ce c:t: 1 a riipt: ure en compree s i. L.Jn CIe 1,uni t e

arrcc: a l a rUF't ure en comp.rcssI (JI] du mo rt.L C~'L"" (Ml-'a )

17 %RésolutiOTl

18

19 Em fmprim*1000; T[]()cIIJl (~, cl t t.o cio 1 "un i t.c: (.IC_' maçonncxi c

20 = module d' du rcorr i.cr (MPa)

21 D = ((h/2)A2 + t A2)A(1/2);7on9 u e u (mm)

22 X_cl = t - (DA2 - (hprim/2) A2) A(1/2); % déplacement latéral pendant lequel

23 aucune au mouvement sera

24 ( iora)

25 ~_1 = D - hprim/2; rac-c-ourc i s.'3emenL -~] .-.(Je di D9c)nD 7e (mm)

26 e p s i.Lori.m (a_1/D); % déformation du mortier ( )

27 fm Em * epsi1on....m; CLJ1Jt re i nt:« comprees i on corresponciant

28

29 ch n s 7e mo r Lie r) (MP a TV/mm'-

((t - X_cl) * fmprim)/(Em * epsi1on_m) + X_cl; latéral où

31 maximum

160

32

33 a = 0.5 * (t - X_1); larqeur portante de

(mm)

sorte crue l'Lu

12. Annexe 4

0.25 * fmprim * (t

2/h A2

* fmprim *(t

34 M_u

35 r_u

36

37 xl = 0 : 0 . 01: t;

38 for i = 1: length (xl)

39

® if x1(1,i) ~ X_cl

X_1) A 2;

X_1)A2;

mome-nt: ma x i mum (N)

Î :3 Lo nce max' Î ma 7e (NPa)

41 r1(1,i) 0;

~ elseif x1(1,i) ~ X_1

43 r1 (1, i) = (r_ul (X_1-X_c1)) * (xl (1, i)-X_c1) ;

44 else

45 r1(1,i) résistance (MPa)

'FontName', 'courier new',

46 end

47

48 end

49

50 x.c i

51 hold on

52 plot (xl, r1, lb 1)

53 title('Fonction de résistance (ref:TM5-1300)

54 1 Fontsize 1 , 14, 1 FontWeicJht 1 , 'derni')

~ xlabel('déplacement latéral (mm) " 'FontName', 'courier new', 'Fontsize',13)

56 ylabel ( 'rési:3t,ance (MPa)',' FontName j , 'courier new', "F'orrt.a i z e ' , 13)

57 set (gca, 'FontNarne', 'courier new', 'Fontsize',13)

58 grid on

59 end

12.0.4 Smith et al. (1994)

function smithetal(t,h,l,rho_m,fmtrac,fmcomp)

2

Donn6cs a introduire

4

6

7 t:

8 h

9 {~ 1

du mllT (mm)

hauL.eur du mur (mm)

laLCJeuL GU mur (mm)

161

12. Annexe 4

10

11

12

13 densiL~ du morLier (kg/m 3)

14 fmtrac ré,':d.stance 1 ·,CI. rupture traction du mortier tnt» N/I[/][/ ---2)

15 i mcomp L-ésist aIli:=:e rupture compxees i on cie l'unité cie

16 il,-

17

18 Résolution

19

20 l moment cl t i.ncrr i o (mm-~4)

21 W I-Joicls clu mur IJar- mi 7 7 i mè i.re r (N/mm)

22 Em = lOOO*fmcompi module d'~lastici de l'unité de maçonnerie

23 - mociule d'élasticité du moxc i e i: (MPa)

24 Kb

25

ciu :TytJtômc' 8UOF (N,/mm) (J3iqqs)

26

27

t.xene i.

28 rmax = 4/3* (t/h) A2*fmtrac; rc~;sist.ancc:' maximale: (MPa iII/mm--

29 xe = rmaxwhzKb , 7acemenL maxima7 clans ôc)ma i ne é 7as L- i (mm)

xe) /h A2i

% résitanc'e maximale dans la phase de rupture (J'Lfpa)

résist penis: un ciepl e c ement:

32

33

34

35 x= 0 : 0 . 01: t i

36 for i = 1: 1ength (x)

37

38 % Phase evant: fissuration

39

40 if x (1, i) :s; xe

41

42 r (1, i)

43

44

45

(Kb s x (1, i) ) / (1) i % iee i et.euice du mur (NT'a)

46 ~5 rha.'::::e de rupture

47

48 else

49

50 r (1, i)

51

% ieei.e t.etice du mur (JV1T'a)

162

12. Annexe 4

52 end

53

54 end

55

56 r;

57 hold on

58 plot (x, r, "b ' )

~ title('Fonction de résistance (ref Srnith et a L, ) 'FontName', 'courier new',

60 'Fontsize 1,14, 1 F'o n t.we i.qh t. l , î demi 1 )

61 xlabel('déplacement latéral (nua)', 'FontName ', 'courier newl, 'Fontsize ',13)

62 ylabel('résistance (MPa) " 'FontName', 'courier newl, 'Fontsize',13)

63 set (gca, 'FontNarne' , 1 courier ne1tJ',' Fonts i ze r , 13)

64 grid on

65

66 end

163

12.0.5 Moradi (2008)

12. Annexe 4

Sans effet membranaire

r~sistance d'un mur en blocs pleins sollici

3

4 % Donnée:,::; G .i nt iodu i i:e

5

6 rI, MU1;;

7 largeur du mur (mm)

8 %

9

10

11

épai:::;,seur du mur (mm)

hauteur du mur (tu..rn)

11 rop ri ei.es des tno t.e rio ux

Ec - module d'élasticit~ des blocs

12

13

14

r.-llo - densi des hl (q /tnm ' ..3 )

(MPa)

16

17

alpha riqidi dee suppor.-ts [Or 1]

18 lI,- 8uLclïaLqc

19

20

21

p sur le mur par milliméL de largeur (N/mm)

22 1;;6,";01 ution

23

u Wi = (rho*(1*t*h)/1000)*9.81; POiCi::3 du tnu r (N)

tA 3/12; 'Ô" t-ïomeot: cl 1 i ne ri. i e IJa r mil 1 i mèL

25 W

26 a

27 r

will; Poicls du mur par millimètre cie L a r oeu s: (N/mIn)

(1994))

maçonnerie non r.-enforc~e sans

28

29 MUL

30 -L'-

31

32 NI

33 N2

34 N3

35 N4

36

37

38

(5-4*alpha) ;

(384*Ec*I) ;

(3-2*alpha) ;

(12*w+24*P) ;

tiOIl où .Y o

'eri:ét membxerie i xe

> y est la lonqueur de la fissure

164

12. Annexe 4

39 pElastl

40 LŒlastl

(t/6) / (( (Nl*h~4/N2)+ (N3*h~2/N4»);

(Nl*pElastl*h~4)/N2;

41 betal (1) = 1;

42 dyl = 0.01;

43 pl zeros(l,t/dyl);

44 LÜ zeros(l,t/dyl);

45 LÜ (1) .6.Elastl;

46 pl(l) pElastl;

47

48 V euqment:e

49

50 yl (1) = 0;

51 R (1) = P+w/2;

52

53 for i = 2 :t/dyl

R(i) = P+w/2;

yl(i) = yl(i-l)+dyl;

fc (i) = 2* (P+w/2) / ( (t-yl (i) ) );

(R (i-l) *t ~2) / (R (1) * (t-yl (L) ~2);

1;

betal(i)*.6.Elastl;

betal (i)

betal(2)

pl (i)

.6.l(i)

54

55

56

57

58

59

60

61 end

62

M indice = find (pl<O); % Les i 00 pl est infdrieur O.

M V = min(indice);

65

66 TnLersec'LÎon de la ronC'Clon avec l ï oxe

ax~plpl (v-l) ;

pl (v); !k axc~pl

.6.1 (v-l);

.6.1 (v);

67

68 vl

69 v2

70 ul

71 u2

72 dtl = (v2-vl) / (u2-ul) ;t; coefficient anqulaire

73 dl = (-vl+ul*dtl) /dtl; -Z- nouveau T'oint nnr l'axe

74 U

75 V

LÜ (1 :v-l);

pl(l:v-l); % y

76 Cl= [U dl];

77 Gl= [V 0];

78

79 Repréeetii e ci.on

80

165

12. Annexe 4

81 hold on

82 plot (Cl, G1, 1 r')

83 title('Fonction de résistance sans arching (ref

84 'courier new', 'Font.size' , 14, 1 Font.Weü:rht.' , 'c:ierni 1 )

Moradi) l 'FontName',

85 xlabel ( j déplacement latéral (mm) j , 1 FontName j, j courier new " ; Font.s i z e ' , 13)

~ ylabel('résistance (MPa)', 'FontName ', 'courier new', 'Fontsize',13)

87 set (gca, 'FontName l , "cour ier new', 'Fontsize' , 13)

88 grid on

Avec effet membranaire

clear all

2 clc

3 close a l.L

4 ;~'Ca 7c u 7 ôe 7a ïon ct. ion

5 %clloc

6

70_

-;::,

8 ~b·

9

10~~Données

11 "/iMlm

12 1=1590 ; '~mm

13 t=190 ;%mm

14 h=15 90 ;'~~mIn

résisLance ô'un mur so77i iL6 par une onôe de

16 rho=O. 00242

17 fm=13. 8;

18 Ec=fm*1000;

19 !kSULcharqc

20 P=O; ;'!;N

21 Un b l.oc

; ''f:g/mm''

%MPa - lOOO,;-r'm

23 w= W/ (1) ; t~N_/m,rl1 cie .l arqeur cie mur

24 '/'-Allt.rCS variabLc:»

27 alpha=O;

29 I = (t A 3) /12;

SUF'POLt s en

166

30

31 N2

12. Annexe 4

TI/Tu en maçonner; non r~·enro

32

33

34 %

35 pElast2

36 ÂElast2

7 ferreL. membr~ana;re

( (P + (w/2) ) * (t / 6) ) / ( ( (h A4) / N2) * (P + (w/ 4) ) + ( (h A2) / 8) ) ;~;N /nID1

pElast2 * (h A4) /N2; !/'-mIn

37 dy2 = 0.01;

38 p2=zeros(1,t/dy2);

39 Â2=zeros(1,t/dy2);

40 y2=0:dy2:t-dy2;

41 Jl = P*(t-a)/2;

42

43 ~7stepl: elast

44 beta2(1)=0;

45 Â2(1)=ÂElast2;

46 vtop (1) =0;

47 x(1)=(t+2*y2(1))/6;

48 J2 (1)

49 J3 (1)

(w/2)*(((t-a)/2)-(Â2(1)/2));

x (1) -Â2 (1) + ( (t-a) /2) ;

50 R (1) =P+ (w/2) +Vtop (1);

51 fe (1) =0;

52 p2 (1) =pElast2;

53

54 : debut: i i es us:e

55 y2(2)=dy2;

56 beta2 (2) =1;

57 Â2(2)=beta2(2)*ÂElast2;

58 Vtop (2) =eta*Â2 (2);

59 x(2)=(t+2*y2(2))/6;

60 J2 (2)

61 J3 (2)

(w/2)*(((t-a)/2)-(Â2(2)/2));

x (2) - Â2 (2) + ( (t-a) /2) ;

62 R (2) =P+ (w/2) +Vtop (2);

63 fe (2) =2*R (2) / (t-y2 (2));

M p2(2)=-(8/(h A2) )*(J1+J2(2)-R(2)*J3(2));

65

66 fonction deux etape:3 pLecedente,'3

67 for i=3:t/dy2;

68 y2 (i)=(i-1) *dy2;

69 beta2 (i) =R (i-1) - t; A2/ (R (1) * ( (t-y2 (i)) ) A2);

70 Â2 (i) =beta2 (i) *ÂElast2;

71

167

72 if Vtop (i-1) <O. 85*fm*a

73 Vtop (i) =eta*~2 (i) ;

74 else

76 end

77

78

~ x(i)=(t+2*y2(i»/6;

12. Annexe 4

80

81

82

J2 (i)

J3 (i)

(w/2) * ( ( (t-a) /2) - (~2 (i) /2) ) ;

x(i)-~2(i)+((t-a)/2);

83 if fe (i-1) < O. 85*fm

84 R (i) =P+w/2+Vtop (i) ;

85 fe(i) = 2*R(i)/(t-y2(i»;

86 else

87 R(i)=0.85*fm*(t-y2(i»;

88 fe(i) = 0.85*fm;

89 end

90

91 p2 (i) =- (8/ (h A2» * (J1+J2 (i)-R (i) *J3 (i»;

92

93

94

indiee2 = find (p2<O);

m = min(indiee2);

95

96

97

98

w1

w2

b1

b2

p2 (m-1);

p2 (m);

À2 (m-1);

À2 (m);

3.-:"}.~e cie

cie'

99

100

dt2 = (w2-w1)/(b2-b1);

d2 = (-w1+b1*dt2)/dt2;

ï t: anC]u7ai

101

102

B

W

~2 (1 :m-1);

p2 (1 :m-1);

103

104

105

106

107

K= [B d2];

L=[W 0];

j=l :m-1;

z=max(p2(j» ;

n=find(p2(j)==z);

108

109 end

110

111 hold on

112 plot (K, L, 'b 1)

113 grid on

168

114 xlabel ( '~ (mm)')

115 ylabel ( 'p (MPa) ')

116 title('Fonction de résistance considérant l effet mebranaire')

12. Annexe 4

169

Documents

Etude de l'interaction d'une onde de choc avec.pdf