COURS DE THEORIE DES RAIS

V�eronique FARRA

D�epartement de Sismologie

Institut de Physique du Globe de Paris

4 Place Jussieu, BP89

F75252 Paris cedex 05

1

SOMMAIRE

- I. Equations des rais

- II. Approche variationnelle- introduction m�ethodes hamiltoniennes

- III. Th�eorie des rais paraxiaux

- IV. Pr�esence de discontinuit�es

- V. Calcul de l'amplitude

- VI. Expression du signal donn�ee par la th�eorie des rais (Retour �a l'elasticit�e)

- VII. Validit�e de la th�eorie des rais - Introduction du volume de Fresnel

2

INTRODUCTION

Nous nous int�eresserons dans ce cours au calcul des sismogrammes synth�etiques dans des milieux complexes au

moyen des m�ethodes asymptotiques. Je parlerai essentiellement de la th�eorie des rais.

Depuis une vingtaine d'ann�ees, les sismogrammes synth�etiques ont �et�e utilis�es de fa�con routini�ere pour inter-

pr�eter les donn�ees sismiques et sismologiques.

Il y a en gros trois cat�egories de m�ethodes pour calculer les sismogrammes synth�etiques:

- Les m�ethodes num�eriques calculant dans l'espace temps (Di��erences �nies, �el�ements �nis) qui sont des m�eth-

odes ch�eres, dont les r�esultats sont di�ciles �a interpr�eter et poss�edant des probl�emes de dispersion num�erique.

- Les m�ethodes spectrales (r�e ectivit�e, nombre d'onde discret, etc) qui sont valables pour les milieux strati��es

verticalement.

- Les m�ethodes asymptotiques �a haute fr�equence (th�eorie des rais et ses extensions, WKBJ, Maslov, Fais-

ceaux gaussiens, etc) qui ont l'int�eret de permettre l'�etude de milieux lat�eralement h�et�erog�enes et d'interpr�eter

physiquement les r�esultats. Le probl�eme consiste dans la limite de validit�e de ces m�ethodes.

Les ondes de volume peuvent etre mod�elis�ees de fa�con remarquable par la th�eorie des rais. La plupart des

ondes de volume se propagent avec peu de dispersion et de distorsion et les e�ets non obtenus par la th�eorie des

rais ne sont importants que dans des r�egions limit�ees spatialement. Les mod�eles classiques de terre de Je�reys et

Bullen et de Gutemberg furent obtenus en utilisant essentiellement la th�eorie des rais. De meme la plupart de

l'interpr�etation p�etroli�ere est bas�ee sur des concepts tir�es de la th�eorie des rais. La th�eorie des rais est d'autre

part utilis�ee en tomographie (r�e exion et transmission), pour la localisation des s�eismes et des explosions dans les

mines. L'interpr�etation des sismogrammes obtenus en milieu complexe utilise les concepts tir�es de la th�eorie des

rais. De meme, la th�eorie des ondes de surface peut aussi etre d�evelopp�ee par une m�ethode proche de la th�eorie

des rais.

Pour des raisons de simplicit�e, je d�evelopperai la th�eorie des rais pour l'�equation acoustique. Les d�eveloppements

complets pour les ondes �elastiques pourront etre trouv�es dans Cerveny et al (1977).

3

EQUATIONS DES RAIS

INTRODUCTION DES EQUATIONS

Introduisons l'�equation acoustique:

r2�� 1

c2

@2�

@t2= �F (t;x) (I:1)

ou �(t;x) d�ecrit la pression, F (x; t) est la source dont le support est localis�e dans l'espace et c(x) est la vitesse

des ondes acoustiques. Dans le domaine fr�equentiel, on obtient l'equation d'Helmoltz, soit:

r2b� +!2

c2b� = 0 (I:2)

o�u b�(!;x) est la transform�ee de Fourier en temps de �(t;x). Nous utiliserons la convention suivante pour la

transform�ee de Fourier:

bf(!) = Z 1�1

f(t)ei!tdt

f(t) =1

2�

Z1

�1

bf (!)e�i!td! (I:3)

La solution de l'�equation (I.2) est g�en�eralement non analytique quand la vitesse c(x) est fonction de la position

x. On introduit l'ansatz de la th�eorie des rais qui consiste �a chercher la solution sous la forme

b�(!;x) = bf(!)A(!;x)ei!T (x) (I:4)

o�u bf (!) d�ecrit la transform�ee de Fourier de la forme temporelle de la source, A(!;x) est l'amplitude et T (x)

est la phase qui d�ecrit la propagation.

L'approximation asymptotique �a haute fr�equence consiste �a chercher A(!;x) sous la forme:

A(!;x) =

1Xj=0

Aj(x)

(�i!)j (I:5)

Ce qui consiste �a s�eparer les variables d'espace et !. En inserrant les expressions (I.4) et (I.5) dans l'�equation

(I.2) et en regroupant les termes de meme degr�e en !, on obtient les expressions suivantes:

-Le terme en !2 donne l'�equation dite Eikonal:

4

(rT )2 = c�2 (I:6)

- Le terme en ! donne l'�equation de transport:

2rA0:rT + A0r2T = 0 (I:7)

Les autres termes du d�eveloppement en s�erie donnent les termes d'ordre sup�erieur, soient

2rAi:rT + Air2T = r2

Ai�1

En pratique la th�eorie des rais arrete le d�eveloppement �a l'ordre z�ero, soit

b�(!;x) = bf (!)A0(x)ei!T (x) (I:8)

et n�ecessite de r�esoudre les �equations (I.6) et (I.7). A haute fr�equence, l'onde se propage sans distorsion avec le

temps de propagation T (x) et une amplitudeA(x). Pour des fr�equences �nies, les autres termes du d�eveloppement

permettent une distorsion du pulse. En g�en�eral, on les n�eglige du fait de la di�cult�e de les calculer.

Exemple 1:

La solution 3D pour un point source dans un milieu homog�ene est

b�(!;x) = 1

4�Rei! R

c0 (I:9)

o�u R est la distance de l'observateur �a la source, c0 est la vitesse du milieu. Cette expression est bien de la

forme recherch�ee par la th�eorie des rais.

Dans le domaine temporel, l'expression du champ est:

�(t;x) =1

4�R�(t � R

c0

) (I:10)

Physiquement, l'onde se propage �a la vitesse constante c0 sans se d�eformer. Seule, l'amplitude varie avec la

courbure du front d'onde.

Exemple 2:

5

La solution exacte de l'�equation acoustique pour une source ligne dans un milieu homog�ene est:

�(t;x) =1

2�

H(t � rc0)q

t2 � rc0

2(I:11)

o�u r est la distance du r�ecepteur �a la source ligne. L'expression dans l'espace des fr�equences est

�(!;x) =i

4H

10(!r

c0

) (I:12)

o�u H10 est la fonction de Hankel d'ordre z�ero. L'expression asymptotique de H1

0 pour les grandes valeurs permet

d'�ecrire �a haute fr�equence:

�(!;x) =i

4

r2c0

�!rei(! r

c0�

�4)

Cette expression peut etre �ecrite sous une forme ressemblant �a l'expression (I.4):

�(!;x) = [1

2�

r�

!ei�4 ]

rc0

2rei! r

c0 (I:13)

La forme temporelle de cette expression asymptotique est

�(t;x) =1

2�

rc0

2r

H(t � rc0)q

t � rc0

(I:14)

La comparaison de la solution exacte (I.11) et de la solution asymptotique �a haute fr�equence (I.14) montre que

celle-ci est valable au voisinage du temps d'arriv�ee du front d'onde. En e�et au voisinage du temps d'arriv�ee,

t = rc0, on a e�ectivement:

rt2 � r

c0

2

=

r2r

c0

rt � r

c0

et l'expression haute fr�equence est correcte.

Bref aper�cu sur le cas �elastique

L'�equation des ondes dans un milieu �elastique est beaucoup plus compliqu�ee que dans un milieu acoustique.

N�eanmoins la meme technique peut etre utilis�ee pour obtenir une solution asymptotique. Dans un milieu �elastique,

6

deux types d'onde se propagent, les ondes P et S. Soit u(x; t) le champ de d�eplacement v�eri�ant l'�equation des

ondes. La th�eorie des rais recherche la solution sous la forme:

bu(x; !) = bf (!)A(!;x)ei!T (x)

Par comparaison avec l'�equation (I.4), A(!;x) est le vecteur amplitude.

L'approximation asymptotique �a haute fr�equence consiste �a chercher A(!;x) sous la forme:

A(!;x) =

1Xj=0

Aj(x)

(�i!)j

En inserrant cette forme de la solution dans l'�equation des ondes, on obtient un syst�eme d'�equations:

[(rT )2 � 1

�2]A0 � rT = 0

[(rT )2 � 1

�2]A0 �rT = o

o�u �2 = �+2��

et �2 = �

�sont les vitesses des ondes P et S, respectivement. � et � sont les param�etres de Lam�e

et � est la densit�e.

Ce syst�eme a 2 solutions, l'une correspondant �a l'onde P , soit:

(rT )2 = 1

�2; A0 �rT = o;

l'autre correspondant �a l'onde S:

(rT )2 = 1

�2; A0 � rT = 0:

Le d�eplacement du �a l'onde P est polaris�e parall�element �a la direction de propagation du front d'onde P ; le

d�eplacement du �a l'onde S est dans le plan perpendiculaire �a la direction de propagation du front d'onde S.

Les �equations de transport correspondantes sont plus compliqu�ees que celles obtenues dans le cas acoustique.

Cependant la solution obtenue est en fait tr�es semblable.

Interpr�etation physique de l'eikonal

L'�equation eikonal:

(rT )2 = c�2

7

est valable en acoustique comme en �elastique. Dans le cas �elastique, la vitesse c est �egale �a la vitesse de l'onde

P ou de l'onde S.

Les surfaces T (x) = t sont les surfaces d'�egale phase et sont appel�ees front d'onde, quel que soit le type de

source. Connaissant le front d'onde �a l'instant t, on peut calculer le front d'onde �a l'instant t + dt, connaissant

rT en tout point du front d'onde (utilisation du principe de Huygens). Dans la pratique on n'int�egre pas tout �a

fait l'eikonal de cette fa�con l�a. De plus, nous ne sommes pas forc�ement interess�es �a connaitre T (x) en tout point.

Nous pr�ef�erons calculer les courbes perpendiculaires en tout point aux fronts d'onde. Ces courbes sont appel�ees

rais (Figure). La tangente au rai est d�e�nie par son vecteur unitaire:

t =dx

ds(I:15)

o�u s est l'abscisse curviligne mesur�ee le long du rai. Par d�e�nition, t est parall�ele �a rT , soit:

dx

ds= crT

Introduisons le vecteur lenteur:

p = rT (I:16)

On obtient la premi�ere �equation des rais:

dx

ds= cp (I:17)

Une autre �equation est n�ecessaire pour d�e�nir enti�erement un rai. On a:

dp

ds=

drTds

= rdT

ds

Compte tenu du fait que

dT

ds= t:rT =

1

c(I:18)

on obtient la deuxi�eme �equation des rais:

8

dp

ds= r1

c(I:19)

L'eikonal (I.6) nous donne d'autre part:

p2 =1

c2= u

2 (I:20)

o�u nous avons not�e u la lenteur du milieu d�e�nie comme l'inverse de la vitesse. L'int�egration des �equations

(I.17) et (I.19) permet d'obtenir les rais et d'int�egrer l'eikonal le long des rais en utilisant l'�equation (I.18).

Le rai est d�e�ni enti�erement par son vecteur canonique y(s) = (x(s);p(s)). La position du rai x(s) �a l'abscisse

s v�eri�e une �equation di��erentielle du deuxi�eme ordre:

d

ds(1

c

dx

ds) = r1

c

L'introduction du vecteur lenteur p(s) permet de diminuer l'ordre des �equations di��erentielles mais augmente

l'espace des param�etres. On peut remarquer que les �equations des rais ressemblent aux �equations d'Hamilton

pour une particule dans un champ de potentiel.

G�eom�etrie des rais:

La premi�ere �equation des rais (I.17) est une �equation de normalisation. La deuxi�eme �equation nous permet

d'obtenir la courbure du rai et sa torsion. En e�et, introduisons le rep�ere de Fr�enet (t(s);n(s);b(s)) le long du

rai (Figure). Le vecteur t est tangent au rai, le vecteur n est le vecteur normal �a la courbe dans le plan principal

qui contient localement cette courbe. Le vecteur b est orthogonal au plan principal. La courbure locale K de la

courbe est d�e�nie par l'�equation suivante:

dt

ds= Kn

Des �equations des rais (I.17)et (I.19), on en d�eduit:

dt

ds=

d

ds(cp) =

1

c(@c

@st�rc)

Compte tenu de la d�e�nition du vecteur normal n, on en d�eduit que le plan principal du rai (d�e�ni par les 2

9

vecteurs t et n) contient le vecteur rc. Donc,

dt

ds= �1

c

@c

@nn

et

K = �1

c

@c

@n(I:21)

Le rai a donc tendance �a se tourner dans la direction oppos�ee au gradient de vitesse normal.

Notant b le vecteur binormal au rai, la torsion T (s) du rai est d�e�nie par:

dn

ds= �Kt+ Tb

Les expressions pr�ec�edentes nous permettent d'�ecrire:

n =1

cK(@c

@st�rc)

On en d�eduit

T (s) = � 1

cK

drcds

:b (I:22)

La torsion des rais est nulle pour des courbes planes, ce qui est le cas dans les milieux homog�enes, strati��es

verticalement ou les milieux �a sym�etrie sph�erique, dans les probl�emes �a 2 dimensions.

Retour aux �equations des rais:

Nous sommes pass�es d'une �equation aux d�eriv�ees partielles non lin�eaire du premier ordre (I.6) �a un syst�eme

d'�equations di��erentielles qui ne sont pas ind�ependantes. On a en e�et:

dx

ds= cp;

dp

ds= r1

c(I:23)

et

jjpjj= 1

c(I:24)

10

Pour r�esoudre ce probl�eme, on peut soit laisser tomber une des �equations du syst�eme di��erentiel soit int�egrer

le syst�eme et v�eri�er simultan�ement la pr�ecision du calcul en testant le r�esidu jjpjj � 1c.

Comment int�egrer ces �equations dans la pratique? On peut les int�egrer num�eriquement (Runge Kutta, etc) ou

bien discr�etiser le milieu en �el�ements dans lesquels les �equations sont int�egrables analytiquement.

Exemples de milieux dans lesquels les �equations des rais sont int�egrables:

- Milieu homog�ene c(x) = c0

Les rais correspondants sont des droites et ont pour expression:

p(s) = p(s0)

x(s) = x(s0) + c0p(s0)(s � s0)

- Milieu �a gradient constant de la vitesse c(x) = c0 + �z:

L'int�egration des �equations (I.23) donne:

px(s) = px(s0) ; py(s) = py(s0)

o�u px; py sont les composantes horizontales du vecteur lenteur. La projection horizontale du vecteur lenteur est

donc conserv�ee le long du rai. Tout rai est donc contenu dans un plan vertical. Pla�cons nous dans ce plan vertical

en prenant pour axe oy l'axe perpendiculaire �a ce plan. Nous avons donc dans ce syst�eme de coordonn�ees:

px(s) = px(s0) ; py(s) = 0

Introduisons l'angle � du vecteur lenteur p avec la verticale. Alors

px(s) =sin�(s)

c; pz(s) =

cos�(s)

c

La courbure du rai K donn�ee par l'�equation (I.22)

K =1

c

dc

dzsin� = �px(s) = �px(s0)

est constante le long du rai. Tout rai est donc un arc de cercle de rayon R = (�px)�1. Les centres de ces cercles

sont situ�es sur une ligne horizontale en zc = � c0�. Il est donc tr�es facile de tracer un rai dans un milieu �a gradient.

11

En utilisant l'angle � et l'expression d�ds

= K = 1R, on obtient l'expression analytique d'un rai d�e�ni par l'angle

initial �0 en z = z0:

x(�) = x(�0) +R(cos�0 � cos�)

z(�) = z(�0) + R(sin� � sin�0)

Le temps de parcours est donn�e par:

T (�) = T (�0) +1

�log(

tan�2

tan�02

)

- Milieu �a gradient constant de la lenteur au carr�e

Vitesse du milieu variant dans une seule direction:

De meme que dans un milieu �a gradient constant, il est facile de montrer que le rai est contenu dans un plan

vertical. Dans ce plan vertical, les �equations des rais s'�ecrivent:

dx

ds= cpx ;

dz

ds= cpz;

px = px(s0) ; pz = �pu2(z)� p2x

(I:25)

o�u u(z) = 1c(z)

est la lenteur et le signe de pz d�epend de la direction de propagation du rai (montante ou

descendante). On a donc:

dx

dz=

px

pz= � pxp

u2(z) � p2x

(I:26)

qui s'int�egre facilement sous la forme:

X(z; px) = X(z0; px) +

Z z

z0

pxpu2(z) � p2x

dz (I:27)

o�u X(z; px) est la distance horizontale parcourue par le rai caract�eris�e par son param�etre px, �a la profondeur

z. A la profondeur zp, telle que px = u(zp), le rai pr�esente un point tournant. L'int�egrant dans (I.27) pr�esente

une singularit�e cependant int�egrable. Au del�a de ce point tournant, on obtient:

X(z; px) = X(z0; px) +

Z zp

z0

pxpu2(z) � p2x

dz +

Z zp

z

pxpu2(z) � p2x

dz (I:27b)

On peut aussi obtenir le temps de parcours le long du rai:

12

T (z; px) = T (z0; px) +

Z z

z0

u2(z)p

u2(z)� p2x

dz (I:28)

et au del�a du point tournant:

T (z; px) = T (z0; px) +

Z zp

z0

u2(z)p

u2(z) � p2x

dz +

Z zp

z

u2(z)p

u2(z) � p2x

dz (I:28b)

Ces int�egrales doivent etre int�egr�ees num�eriquement et ont �et�e tr�es utilis�ees en g�eophysique fondamentale pour

d�eterminer la structure de la terre. On peut remarquer (Figure) que dans un milieu o�u la vitesse ne d�epend que

d'une seule variable, les rais peuvent pr�esenter des �gures tr�es compliqu�ees comprenant des caustiques ou des

zones d'ombre.

Dans le cas o�u la vitesse ne d�epend que d'une seule variable, on a donc trouv�e une repr�esentation explicite des

expressions des rais qui a une forme int�egrable. On notera pour la suite du cours qu'une repr�esentation explicite

des rais est une repr�esentation pour laquelle deux des composantes de position (ici (x,y)) sont fonctions d'une

troisi�eme (ici z).

Vitesse du milieu o�u la vitesse varie suivant le rayon de la Terre c(r) :

Les �equations des rais sont:

dr

ds= cp

dp

ds= r1

c

(I:29)

Introduisons les composantes de p = prer + p�e� + p�e�. On peut montrer que:

d

ds(p� r) = 0 (I:30)

Le rai reste donc dans un plan passant par la source et le centre de la Terre. On peut toujours s'assurer que ce

plan d�e�nisse un m�eridien et imposer p�0 = 0. L'�equation (I.30) a pour cons�equence: rp� = Cte = r0p�0 . D'autre

part,

dr

ds=

dr

dser + r

d�

dse�

La premi�ere �equation de (I.29) nous permet d'�ecrire:

13

d�

dr=

1

r

p�

pr

�equation qu'on int�egre facilement sous la forme:

�(r; p�0) � �0 =

Z r

r0

1

r

p�pu2 � p

2�

dr (I:31)

o�u nous avons pos�e u = 1cet pris en compte l'eikonal, c'est �a dire la relation p

2r + p

2� = u

2. L'expression du

temps de parcours est donn�ee par:

T (r; p�0)� T0 =

Z r

r0

u2p

u2 � p2�

dr (I:32)

Nous avons donc trouv�e une repr�esentation explicite des rais sous une forme int�egrable dans le cas d'un milieu

o�u la vitesse ne d�epend que de r.

En faisant le changement de variable:

c(z) = c(r)r0

r

� = r0(� � �0)

z = r0ln(r0

r)

px =r

r0p�

On obtient

�(z; px) =

Z z

z0

pxpu2 � p2x

dz

o�u u(z) = 1c(z)

. De meme,

T (z; px) = T (z0; px) +

Z z

z0

u2p

u2 � p2x

dz

Ces expressions sont les memes que celles obtenues dans le milieu c(z) �equivalent.

Int�egration des �equations des rais dans le cas g�en�eral

Dans le cas g�en�eral o�u le milieu poss�ede des variations lat�erales, deux approches peuvent etre utilis�ees:

14

- On peut d�ecomposer le milieux en �el�ements �nis dans lesquels les �equations des rais sont int�egrables ana-

lytiquement. Des �el�ements tr�es utilis�es sont les triangles (2D) et les t�etra�edres (3D). Cette m�ethode permet de

tracer les rais rapidement mais a l'inconv�enient de cr�eer des artefacts num�eriques li�es �a la discr�etisation du milieu

(caustiques et zones d'ombre tr�es petites).

- Les �equations des rais peuvent d'autre part etre int�egr�ees num�eriquement en utilisant les m�ethodes classiques

(Runge Kutta, m�ethode pr�edicteur correcteur). Dans ce cas, le milieu est d�e�ni par interpolation au moyen de

fonctions splines.

Conditions initiales- conditions aux limites

Pour int�egrer les �equations des rais, il est n�ecessaire de connaitre les conditions initiales (x(s0);p(s0)) Le

probl�eme avec conditions initiales connues est simple �a r�esoudre. En g�en�eral, on a un probl�eme avec conditions

aux limites: Les positions de la source et du r�ecepteur sont connues mais pas la direction du rai �a la source;

on cherche les rais orthogonaux �a une surface donn�ee et passant par des r�ecepteurs donn�es, ... Ce probl�eme est

beaucoup plus compliqu�e �a r�esoudre car il est non-lin�eaire et le nombre de solutions est inconnu. En e�et, le

probl�eme peut ne pas avoir de solution (zone d'ombre) ou plusieurs solutions (zone de triplications).

15

II. APPROCHE VARIATIONNELLE

Dans le chapitre pr�ec�edent, nous avons obtenu les �equations des rais par une interpr�etation g�eom�etrique de

l'Eikonal. Il existe en fait 2 autres approches pour obtenir les �equations des rais:

- La m�ethode des caract�eristiques (Courant et Hilbert)

- L'approche variationnelle �a partir du principe de Fermat.

II.1 Approche variationnelle

Parmi les trajectoires reliant 2 points x0 et x1, un rai est une trajectoire qui rend extr�emal le temps de parcours

mesur�e le long de cette courbe. On d�e�nit le temps de parcours le long d'une courbe x(s) par:

�(x; s0; s1) =

Z s1

s0

u(x(s))ds (II:1)

o�u s est l'abscisse curviligne. Le principe de Fermat dit que les rais sont les trajectoires qui rendent extremum

la fonction �. Au voisinage de ces trajectoires, on peut �ecrire:

��(x0;x1) = 0 (II:2)

Supposons que les courbes soient d�ecrites par un param�etre �. Le long d'une de ces courbes, le temps de

parcours est donn�e par l'expression:

�(x; �0; �1) =

Z �1

�0

u(x(�))jj _x(�)jjd� (II:3)

soit,

�(x; �0; �1) =

Z �1

�0

L(x(�); _x(�))d� (II:4)

o�u L(x; _x) = u(x) jj _xjj. Les courbes extr�emales v�eri�ent les �equations d'Euler (voir (A.3) dans APPENDICE

A), soit:

d

d�(r _xL) = rxL (II:5)

16

o�u on a not�e r _xL le vecteur dont les coordonn�ees sont @L@ _xi

. Utilisant l'expression du Lagrangien, on obtient de

fa�con explicite:

d

d�(u

_x

jj _xjj) = ru jj _xjj (II:6)

En utilisant l'abscisse curviligne s le long de la courbe, on obtient:

d

ds(udx

ds) = ru (II:7)

expression �equivalente aux �equations des rais (I.23) si on pose:

p = udx

ds= r _xL

Ce r�esultat montre l'�equivalence entre la formulation variationnelle bas�ee sur le principe de Fermat et le syst�eme

des �equations des rais. On notera T le temps de parcours le long des rais:

T (x0;x1) = �(rai;x0;x1)

Remarque: Si on modi�e la position du point �nal x1 de dx, on obtient une variation du temps de parcours

(voir �equation (A.4) dans l'appendice A) �egale �a:

dT = r _xL:dx

On obtient donc:

rT = r _xL = udx

ds= p (II:8)

Ceci montre l'orthogonalit�e des rais et des fronts d'onde (en milieu isotrope).

II.2 M�ethode des caract�eristiques

II.2.1 Introduction de l'Hamiltonien complet (syst�eme de repr�esentation implicite des rais)

Posons H(s;x;p) =c(x)

2[p2 � u

2]. L'eikonal (I.20) implique

17

H(s;x;p) = 0: (II:9)

L'�equation (II.9) est une �equation aux d�eriv�ees partielles du 1er ordre suivie par le temps T (Rappelons que

p = rT ). Pour int�egrer ce type d'�equation, on peut utiliser la m�ethode des caract�eristiques. Les courbes

caract�eristiques de cette �equation sont solutions du syst�eme d'�equations di��erentielles suivant:

dx

ds= rpH

dp

ds= �rxH

(II:10)

On peut montrer que ces �equations sont les memes que les �equations des rais (I.23). De fa�con g�en�erale, on peut

montrer que pour une param�etrisation donn�ee � le long du rai, les �equations du rai sont donn�ees par

dx

d�= rpH

dp

d�= �rxH

(II:11)

avec l'Hamiltonien

H(�;x;p) =f(x)

2[p2 � u

2]; (II:12)

o�u f(x) est une fonction positive. Pour certaines formes de la vitesse, il peut etre int�eressant d'utiliser d'autres

types de param�etrisation, par exemple le temps de parcours de l'onde pour lequel le param�etre � est donn�e par

d� = cds (dimension km2s�1). Un rai est donc d�e�ni enti�erement par son vecteur canonique y(�) = (x(�);p(�))

et les �equations di��erentielles (II.11).

Le temps de parcours peut etre calcul�e le long du rai �a l'aide de l'expression suivante:

T (x(�0);x(�1)) =

Z �1

�0

p � _xd�

L'approche d�evelopp�ee ci dessus est tout �a fait g�en�erale et ind�ependante du param�etre � utilis�e. L'approche

Hamiltonienne a l'int�eret de diminuer l'ordre des �equations par rapport �a l'approche Lagrangienne (II.5) en

introduisant le param�etre suppl�ementaire: le vecteur lenteur p. La d�emontration e�ectu�ee dans ce chapitre est

valable en milieu isotrope. En fait, on peut obtenir en milieu anisotrope g�en�eral, l'�equation Eikonal qui peut etre

relativement compliqu�ee (polynome de degr�e 6).

18

II.2.2 Introduction de l'Hamiltonien r�eduit (syst�eme de repr�esentation explicite des rais)

Le syst�eme d'�equations di��erentielles (II.11) n'est pas compos�e d'�equations ind�ependantes. On a en e�et

l'�equation eikonale (II.9) �a v�eri�er. Il peut etre parfois int�eressant de param�etrer les rais de fa�con explicite par

une des coordonn�ees du systeme de repr�esentation. Par exemple, dans un syst�eme de coordonn�ees cart�esiennes,

le rai peut etre d�ecrit par la courbe X(z); Y (z), o�u z d�esigne la profondeur du point.

Pla�cons nous �a 2 dimensions (la g�en�eralisation �a 3 dimensions est imm�ediate). Supposons que le syst�eme de

coordonn�ees utilis�e soit not�e (�; q) et que le rai soit d�ecrit par la repr�esentation q = Q(�). Par exemple, en

syst�eme cart�esien, un rai peut etre repr�esent�e par l'�equation x = X(z). D'autres syst�emes peuvent etre utilis�es

dans la pratique comme par exemple le syst�eme de coordonn�ees sph�eriques ou polaires.

Ecrivons dans ce syst�eme de coordonn�ees curvilignes l'expression du temps de parcours le long d'une courbe

(II.1), soit:

�(x0;x1) =

Z x1

x0

u(x(s))ds =

Z �2

�1

u(x)ds

d�d� =

Z �2

�1

L(q(�); _q(�); �)d� (II:13)

o�u le Lagrangien L(q; _q; �) est d�e�ni par:

L(q; _q; �) = u(�; q)qh2� + h2q _q

2: (II:14)

Dans l'expression (II.14), h� et hq sont les facteurs d'�echelle du syst�eme de coordonn�ees curvilignes �; q.

L'Hamiltonien correspondant, dit Hamiltonien r�eduit, peut etre trouv�e de la fa�con suivante. On pose par analogie

avec la m�ecanique classique:

p =@L

@ _q= u

h2q _qq

h2� + h2q _q2

L'Hamiltonien est par d�e�nition

H(q; p; �) = p _q � L(q; _q; �) = �h�su2 � p2

h2q

(II:15)

Les �equations des courbes extr�emales (les rais) sont donn�ees par:

19

dq

d�=

@H

@p

dp

d�= �@H

@q

(II:16)

Un rai est donc d�e�ni par son vecteur canonique (q(�); p(�)) qui v�eri�e le syst`eme d'�equations di��erentielles

(II.16).

Les r�esultats de l'Appendice A nous donnent de plus:

@T

@�= �H;

@T

@q= p (II:17)

On d�eduit de (II.17) que p

hqn'est autre que la composante du vecteur lenteur p suivant la courbe de coordonn�ees

q. Rappelons que le vecteur lenteur est d�e�ni par p = rT = h�1�

@T@�e� + h

�1q

@T@qeq. De meme, � H

h�n'est autre

que la composante du vecteur lenteur suivant la courbe de coordonn�ees �. Le syst�eme (II.16) est compos�e de 2

�equations en dimension 2, et de 4 �equations en dimension 3.

Le temps de parcours peut etre calcul�e le long du rai d�e�ni par son vecteur canonique (q(�); p(�)) par l'expression

d�eduite de (II.13) en utilisant le param�etre p plutot que le param�etre _q:

T (q(�2)) = T (q(�1)) +

Z �2

�1

h�u2q

u2 � p2

h2q

d� (II:18)

Exemple 1: en syst�eme cart�esien, le rai est param�etr�e par la courbe x = X(z). L'Hamiltonien r�eduit (II.14)

correspondant est

H(x; px; z) = �pu2 � p2x = �pz

Les �equations des rais dans ce syst�eme de coordonn�ees sont:

dx

dz=

@H

@px=

pxpu2 � p2x

dpx

dz= �@H

@x=

upu2 � p2x

@u

@x

Si la vitesse ne d�epend que de la profondeur, alors px est constant et on peut int�egrer facilement la premi�ere

�equation sous la forme:

x = X(z; px) =

Z z

z0

pxpu2 � p2x

dz +X(z0; px)

20

De meme, le temps de parcours est donn�e par:

T (x(z); z) = T (x(z0); z0) +

Z z

z0

u2p

u2 � p2x

dz (II:18)

On retrouve les �equations de Bullen (I.27) obtenues dans le premier chapitre.

Exemple 2: en syst�eme de coordonn�ees sph�eriques, le rai param�etr�e par r est d�ecrit par le vecteur

(�(r); �(r); p�(r); p�(r)). L'Hamiltonien r�eduit correspondant est:

H(�; �; p�; p�; r) = �su2 � p2�

r2� p

2�

r2sin2�= �pr

On obtient de meme les �equations des rais obtenues dans le chapitre I, lorsque la vitesse ne d�epend que de r.

Conclusion

Nous avons d�evelopp�e une approche hamiltonienne du trac�e de rais. Quel en est l'int�eret?

- Cela permet de diminuer l'ordre des �equations

- Les expressions sont valables dans n'importe quel syst�eme de coordonn�ees.

Deux approches ont �et�e d�evelopp�ees:

L'hamiltonien complet H(x;p; � ) = 12f(x)[p2 � u

2(x)]

L'Hamiltonien " r�eduit" : H(q1; q2; p1; p2; �) = �h�qu2 � p1

hq1

2 � p2hq2

2

La premi�ere approche permet de d�evelopper des algorithmes de trac�e de rais rapides car les �equations sont

simples �a int�egrer analytiquement pour des formes particuli�eres de la vitesse. Pour des milieux complexes, le

milieu peut etre d�ecompos�e en �el�ements simples �a l'int�erieur desquels le trac�e de rais est analytique (Virieux et

al, 1988).

La deuxi�eme approche comporte moins d'�equations. On a cependant diminu�e la simplicit�e des �equations en

faveur du nombre d'�equations �a r�esoudre. Cette approche est int�eressante lorque la vitesse d�epend d'une direction

(par exemple c(z) ou c(r)).

21

III. Th�eorie des rais paraxiaux

Quel que soit le type de l'Hamiltonien choisi (complet ou r�eduit), on peut d�ecrire tout rai par son vecteur

canonique y(�) = (x(�);p(�) qui v�eri�e le syst�eme suivant:

dx

d�= rpH

dp

d�= �rxH

(III:1)

Ce syst�eme d'�equations est non lin�eaire. Pour int�egrer ce syst�eme, il est n�ecessaire d'avoir des conditions aux

limites: 6 en dimension 3, 4 en dimension 2.

Lorque les conditions initiales sont donn�ees (x(�0);p(�0)), on peut utiliser des m�ethodes num�eriques (Runge-

Kutta, pr�edicteur-correcteur,...) ou semi-analytiques (d�ecomposition du milieu en blocs) pour int�egrer ces �equa-

tions. Dans la pratique, on a g�en�eralement des conditions aux limites �x�ees (le rai doit passer par 2 points

donn�es) et le probl�eme est plus di�cile �a r�esoudre car le syst�eme (III.1) n'est pas lin�eaire. De plus, du fait de

cette non-lin�earit�e, il peut y avoir plusieurs solutions (rais) au probl�eme ou bien aucune solution (zone d'ombre).

Une m�ethode pour e�ectuer le trac�e de rai entre 2 points consiste �a tracer un rai �a partir de la source et �a

ajuster son angle de tir pour arriver �a la station. Pour cela, il est int�eressant d'avoir les expressions des rais au

voisinage d'un rai dit de r�ef�erence. On utilise une m�ethode de perturbation pour d�evelopper les �equations de ces

rais voisins, rais dits paraxiaux par analogie avec l'optique g�eom�etrique. Dans la suite de ce chapitre, j'utiliserai

l'Hamiltonien complet pour d�evelopper les �equations des rais paraxiaux; le meme type de d�eveloppement peut

etre e�ectu�e avec l'Hamiltonien r�eduit.

22

IV. R�e exion-transmission d'une onde �a une discontinuit�e

Toute m�ethode utilis�ee pour calculer des sismogrammes synth�etiques est incompl�ete si elle ne prend pas en

compte les interfaces structurales du milieu. A l'int�erieur de la terre, la vitesse et ses d�eriv�ees partielles ne sont

pas des fonctions lisses des coordonn�ees et ces "discontinuit�es" de vitesse jouent un role important en sismologie

et en prospection sismique. La topographie de ces interfaces n'est g�en�eralement pas horizontale, ce qui a pour

cons�equence des anomalies locales du mouvement du sol. La th�eorie des rais est un outil int�eressant pour l'�etude

de la propagation dans des structures complexes car elle permet de prendre en compte des variations lat�erales du

milieu.

IV.1 Conditions initiales des rais r�e �echis ou transmis

Implicitement dans le d�eveloppement asymptotique que nous avons fait pr�ec�edemment, nous avons suppos�e le

milieu continu. En pr�esence de discontinuit�es de vitesse, il est n�ecessaire de v�eri�er les conditions aux limites

sur l'interface et de r�einitialiser le probl�eme. En acoustique, il y a cr�eation d'une onde r�e �echie et d'une onde

transmise. Le champ �i de l'onde incidente est d�evelopp�ee sous la forme (I.4):

b�i(!;x) = ei!Ti(x)

1Xj=0

Aj(x)

(�i!)j (IV:1)

Dans le milieu incident, nous avons le champ total suivant:

b�1 = b�i + b�r (IV:2)

o�u �r d�esigne le champ de l'onde r�e �echie. Dans le milieu transmis, nous avons une onde transmise d�edinie

par son champ:

b�2 = b�t (IV:3)

Les champs �r et �t satisfaisant aussi l'�equation des ondes, on peut de meme les exprimer sous la forme:

b�r(!;x) = ei!Tr(x)

1Xj=0

Bj(x)

(�i!)j ;b�t(!;x) = e

i!Tt(x)

1Xj=0

Cj(x)

(�i!)j

Les conditions de continuit�e du champ sur l'interface,

23

b�1 = b�2

ont pour cons�equence l'�egalit�e des phases de l'onde incidente, de l'onde r�e �echie et de l'onde transmise en tout

point situ�e sur l'interface:

Ti(xI) = Tr(xI) = Tt(xI) (IV:4)

L'�egalit�e des phases le long de l'interface a pour cons�equence l'�egalit�e des d�eriv�ees tangentielles, soit:

n�rTi = n�rTr = n�rTt (IV:5)

o�u n est le vecteur local normal �a l'interface. Soit, en utilisant les vecteurs lenteurs:

n� pI = n� pR = n� pT

o�u pI, pR et pT d�esignent les vecteurs lenteurs des ondes incidente, r�e �echie et transmise au point d'incidence

sur l'interface. En termes g�eom�etriques, la projection du vecteur lenteur sur le plan tangent �a l'interface est donc

la meme pour les 3 rais (incident, r�e �echi et transmis). Ceci n'est autre que la loi de Descartes (connue aussi sous

le nom de loi de Snell). Pla�cons nous dans le plan d'incidence (plan contenant la direction du vecteur lenteur de

l'onde incidente pI et le vecteur normal �a l'interface). Au point d'incidence, les vecteurs lenteurs pR et pT des

ondes r�e �echie et transmise sont situ�es dans ce plan. Introduisons les angles �I , �R et �T des vecteurs lenteurs des

ondes incidente, r�e �echie et transmise avec l'axe normal �a l'interface (Figure). Alors, on a les relations suivantes:

�R = �I ;sin�T

cT=

sin�I

cI

o�u cI et cT sont les vitesses des ondes incidente et transmise, respectivement.

Comment construire les rais de l'onde r�e �echie ou transmise, dont les fronts d'onde v�eri�ent les conditions aux

limites (IV.4) sur l'interface?: La loi de Snell-Descartes nous donne la projection sur l'interface du vecteur lenteur

au point d'�emergence du rai (r�e �echi ou transmis). La composante normale est obtenue en utilisant l'eikonal

(I.20) de chacune des ondes en ce point.

24

V. Calcul de l'amplitude

Nous savons maintenant tracer un rai et calculer grosso modo le temps de parcours au voisinage de ce rai. Nous

voulons maintenant calculer l'amplitude A(x). L'amplitude est solution de l'�equation de transport qui est une

�equation aux d�eriv�ees partielles.

2rA:rT + Ar2T = 0 (V:1)

Cependant, �a l'aide des �equations des rais, l'�equation de transport peut etre r�eduite �a une �equation di��erentielle

ordinaire. Utilisant la d�e�nition du vecteur lenteur p = rT = ut, o�u t est le vecteur tangent au rai et u la lenteur,

on obtient:

2udA

ds+ Ar2

T = 0 (V:2)

soit

d

ds(logA) = � c

2r2

T (V:3)

V.1 Calcul du laplacien r2T :

Pour calculer le laplacien, on utilise les coordonn�ees li�ees aux rais (�; �1; �2): (�1; �2) sp�eci�ent le rai et � d�ecrit

la position du point sur le rai par le temps de parcours mis par l'onde pour atteindre le point. Par exemple pour un

point source, �1 et �2 peuvent etre les angles polaires d�ecrivant la direction initiale du rai �a la source. Tout point

x peut etre d�ecrit par un triplet (�; �1; �2). Pour (�1; �2) �x�e, x(�; �1; �2) d�ecrit un rai; pour � �x�e, x(�; �1; �2)

d�ecrit le front d'onde. Un tube de rais est un ensemble de rais compris entre (�01 ; �01 + d�1) et (�

02 ; �

02 + d�2).

Un �el�ement de volume dV est d�ecrit dans le syst�eme de coordonn�ees (�; �1; �2) par:

dV = J0 d� d�1 d�2 (V:4)

o�u J0 est le jacobien

J0 = det(@x

@�;@x

@�1;@x

@�2);

25

qu'on peut �ecrire aussi:

J0 = cjj @x@�1

� @x

@�2jj

car le vecteur @x@�

est parall�ele �a @x@�1

� @x@�2

et sa norme est �egale �a la vitesse c.

Introduisons la quantit�e J = J0c. J d�1 d�2 d�ecrit la surface intercept�ee par un tube de rais sur le front d'onde.

J est appel�e divergence g�eom�etrique des rais �a l'abscisse consid�er�ee. Consid�erons un tube de rais et prenons un

petit volume s'appuyant sur ce tube et de longueur ds = cd� (Figure). Par application du th�eor�eme de Gauss, on

peut �ecrire:

Z Z Zr2

T dV =

Z ZrT �n dS

o�u le vecteur n est le vecteur normal �a la surface. En utilisant le th�eor�eme de la valeur moyenne, on obtient:

Z Z Zr2

T dV = r2TJ0 d� d�1 d�2 = r2

T J ds d�1 d�2

Les bords du tube de rais �etant parall�eles aux rais, l'int�egrale surfacique se r�eduit �a l'int�egrale sur les surfaces

S1 et S2 (Figure):

Z ZrT �n dS =

Z ZS2

1

c2dS �

Z ZS1

1

c1dS = [

J2

c2� J1

c1] d�1 d�2 =

d

ds(J

c) ds d�1 d�2

Utilisant ces 2 expressions, on peut donc �ecrire:

r2T =

1

J

d

ds(J

c)

o�u J est la divergence g�eom�etrique des rais. Quand le tube de rais s'�elargit ou se r�etr�ecit, le laplacien de T

varie comme la d�eriv�ee du logarithme de J. En rempla�cant l'expression du laplacien dans l'�equation de transport,

on obtient

d

ds(logA) = � c

2J

d

ds(J

c)

qu'on peut int�egrer facilement :

26

A(s) = A(s0)

sc(s)J(s0)

c(s0)J(s)(V:5)

L'expression obtenue pour l'amplitude d'ordre z�ero de la th�eorie des rais revient �a supposer que l'�energie est

conserv�ee dans un tube de rai, sans di�usion par les parois du tube. L'amplitude d�epend de la fa�con dont les rais

divergent.

Calcul du facteur J

J'usqu'en 1980, le facteur J �etait calcul�e en tra�cant des rais voisins et en calculant la section du tube de rais

ainsi constitu�e.

27

VI. Signal donn�e par la th�eorie des rais

VI.1 Forme du signal

Prenant en compte l'expression de l'amplitude obtenue dans le chapitre pr�ec�edent, l'expression (I.4) de la th�eorie

des rais est donc donn�ee par:

b�(!;x0;x) = bf (!)sc(s)J(s0)

c(s0)J(s)F (�1; �2)e

i!T (x0;x) (V I:1)

o�u F (�1; �2) d�ecrit la g�eom�etrie de la source et T (x0;x) est le temps de parcours. Dans l'expression (VI.1),

le terme de divergence g�eom�etrique peut s'annuler et meme changer de signe. Ce ph�enom�ene se produit lorsque

le rai a touch�e une caustique. L'expression de la th�eorie des rais n'est pas valable au voisinage d'une caustique.

La th�eorie des rais donne une amplitude in�nie, ce qui est non-physique. Cette singularit�e de la th�eorie des

rais provient de son incapacit�e �a prendre en compte des ph�enom�enes de propagation d�ependant de la fr�equence.

D'autres m�ethodes doivent alors etre utilis�ees pour e�ectuer le calcul au voisinage de la caustique. Pour les rais

ayant touch�e la caustique, la forme du signal subit un d�ephasage et est transform�ee en sa transform�ee de Hilbert.

Si le rai n'a pas touch�e de caustique, la divergence g�eom�etrique J est positive et le champ est donn�e par

�(t;x) = F (�1; �2)

rc

Jf(t � T ) (V I:2)

Si le rai a touch�e une caustique, la divergence g�eom�etrique J devient n�egative et le champ est donn�e par

�(t;x) = F (�1; �2)

rc

jJ jf (t � T ) (V I:3)

o�u f (t) est la transform�ee de Hilbert de f(t).

La transform�ee de Hilbert f (t) d'une fonction f(t) a pour transform�ee de Fourier (dans la convention choisie

dans ce cours) : bf (!) = �i sgn(!) bf (!). Par exemple, la transform�ee de Hilbert de la fonction de Dirac �(t) est

H�(t) = � 1�t. La transform�ee de Hilbert de la fonction

H(t)p(t)

estH(�t)p(�t)

. La transform�ee de Hilbert d'une fonction

f(t) est d�e�ni dans le temps par f = � 1�t

? f , o�u ? d�esigne le produit de convolution.

Sur la caustique, les e�ets d'interf�erence ne sont pas mod�elisables par la th�eorie des rais. D'un cot�e de la

caustique est situ�ee une zone d'ombre o�u aucun rai ne p�en�etre; de l'autre cot�e, en tout point passent 2 rais.

28

Dans la zone d'ombre, nous avons une d�ecroissance exponentielle de l'amplitude; de l'autre cot�e, nous avons des

interf�erences. La th�eorie des rais est cependant valable d�es qu'on s'�eloigne de la caustique.

En fait, le signe de la racine complexe dans (VI.1) n'est pas donn�e par la th�eorie des rais mais par la comparaison

avec des solutions locales. A chaque fois que le rai rencontre une caustique, le facteur J change de signe. La

th�eorie des rais peut etre utilis�ee du moment que la racine carr�ee est correctement calcul�ee. De fa�con g�en�erale,

nous avons:

b�(!;x0;x) = bf (!)s

c(s)

c(s0)jJ(s0)J(s)

jF (�1; �2)ei!T (x0;x)e�i�2KMAHsgn(!) (V I:4)

o�u KMAH est un indice comptant le nombre de fois o�u le rai a touch�e une caustique. L'indice KMAH est

initialement nul, est constant le long du rai entre 2 caustiques et change d'un nombre entier �a chaque caustique.

Pour les ondes de volume, l'indice KMAH augmente d'un nombre �egal �a la dimension perdue par le tube de

rai sur la caustique. Normalement, la section du tube de rais est r�eduit �a une ligne et l'indice KMAH s'accroit

d'une unit�e. Ceci introduit le retard de phase bien connu de �=2. Cependant, le tube de rais peut etre r�eduit �a

un point; Deux dimensions sont perdues dans ce cas et le retard de phase est �.

Introduisons la fonction analytique F (t) = f(t) + i f (t), alors on peut �ecrire le champ sous la forme g�en�erale

suivante:

�(t;x) = F (�1; �2)Re[

rc

JF (t� T )e�i

�2KMAH ]:

Remarquons que nous avons n�eglig�e les termes d'ordre sup�erieur de la th�eorie des rais. Rappelons que nous

avons pos�e:

b�(!;x) = ei!T (x)

1Xj=0

Aj(x)

(�i!)j

Par exemple, le terme A1 v�eri�e une �equation de transport semblable �a celle suivie par A0, soit:

2rA1:rT + A1r2T = r2

A0

soit

29

2udA1

ds+A1

J

d

ds(J

c) = r2

A0

Multiplions les 2 cot�es de l'�equation par 12

pJc, on obtient:

d

ds(

rJ

cA1) =

c

2

rJ

cr2

A0

D�es que la quantit�e A0 aura des variations brutales, le terme A1 deviendra important. Ceci est le cas au

voisinage de l'angle critique par exemple. Les termes d'ordre sup�erieurs d�ecrivent les e�ets de di�raction.

VI.2 Retour �a l'elasticit�e

Les r�esultats sont tr�es semblables �a ceux obtenus en milieu acoustique. A haute fr�equence, il y a s�eparation de

l'onde P et de l'onde S.

Dans un milieu 1D-2D, l'onde P donn�ee par la th�eorie des rais est polaris�ee parall�element �a la direction du

rai. L'onde S peut etre s�epar�ee en une onde SH polaris�ee perpendiculairement au plan d'incidence et une onde

SV polaris�ee dans le plan d'incidence, ces 2 ondes se propageant ind�ependamment. L'onde S peut ne pas etre

polaris�ee de fa�con rectiligne si les 2 ondes ont subi un d�ephasage di��erent. Dans un milieu isotrope, ceci ne peut

se produire que lors de l'int�eraction du rai avec une interface par une r�e exion/transmission surcritique.

Dans un milieu 3D, l'onde S peut etre s�epar�ee en deux ondes se propageant ind�ependamment et dont la direction

de polarisation tourne g�en�eralement autour du rai lorsque l'onde se propage. Ces 2 ondes sont en g�en�eral coupl�ees

aux interfaces.

En r�esum�e, l'expression du d�eplacement u donn�ee par la th�eorie des rais est pour l'onde P:

u(t;x) = tF (�1; �2)Re[

r�s�s

��JF (t� TP (x))]

pour l'onde S:

u(t;x) = [e1F1(�1; �2) + e2F2(�1; �2)]Re[

s�s�s

��JF (t� TS (x))]

o�u t est le vecteur unitaire tangent au rai en x et e1; e2 sont des vecteurs orthogonaux �a t et entre eux et qui

tournent autour du rai �a une vitesse d�ependant de la torsion T du rai (Figure). Utilisons le rep�ere de Fr�enet

(t;n;b), d�ej�a introduit dans le chapitre I. Dans le plan d�e�ni par les 2 vecteurs n et b, on peut �ecrire:

e1 = cos�n + sin�b; e2 = �sin�n + cos�b

30

on montre que d�ds

= T .

VI.3 Pr�esence d'interfaces

La m�ethode de l'optique g�eom�etrique donne une solution �a ce probl�eme en invoquant le principe de local-

it�e. L'approximation d'ordre z�ero suppose qu'en chaque point de l'interface, la r�e exion se passe comme si

l'onde �etait plane et l'interface est remplac�ee par le plan tangent. Ce principe nous permet d'utiliser dans

l'approximation d'ordre z�ero la formule des coe�cients de r�e exion-r�efraction des ondes planes �a une interface

plane dans l'expression de l'amplitude.

En pr�esence d'une interface, nous avons donc cr�eation d'une onde r�e �echie et d'une onde transmise. La conti-

nuit�e du champ sur l'interface nous a permis dans le chapitre IV d'obtenir la loi de Snell-Descartes pour les rais.

De plus, nous devons assur�e la continuit�e de la d�eriv�ee normale (en acoustique) sur l'interface. Nous avons donc

les relations suivantes:

b�I + b�R = b�T ;

@b�I

@N+@b�R

@N=

@b�T

@N

o�u N indique la direction normale �a l'interface.

Introduisons la forme de la solution donn�ee par la th�eorie des rais pour les ondes incidente, r�e �echie et transmise:

b�I = AI(!;x)ei!TI (x); b�R = AR(!;x)e

i!TR(x); b�T = AT (!;x)ei!TT (x)

Dans l'approximation haute fr�equence, on obtient donc au point d'incidence de l'onde sur l'interface:

AR = RAI ; AT = TAI

avec

R =1� Y

1 + Y; T =

2

1 + Y

et Y = uT cos�TuIcos�I

o�u �I et �T sont les angles des vecteurs lenteurs de l'onde incidente et de l'onde transmise avec la normale �a

l'interface.

Les d�eveloppements pr�ec�edents nous permettent d'�ecrire:

31

AR(x) = AR(xI)

scR(x)JR(xI)

cR(xI)JR(x); AT (x) = AT (xI)

scT (x)JT (xI)

cT (xI)JT (x)

o�u JR et JT sont les divergences g�eom�etriques des ondes r�e �echie et transmise respectivement.

D'autre part, sur l'interface, nous avons:

b�I(xI; !) = bs(!)F (�1; �2)scI(xI)JI(xs)

cI(xs)JI (xI)ei!TI(xI)

Les champs r�e �echi et transmis sont donc donn�es par:

b�R(x; !) = bs(!)F (�1; �2)RscI(xI)JR(xI)

cR(xI)JI(xI)

scR(x)J(xs)

cI(xs)J(x)ei!TR(xI);

b�T (x; !) = bs(!)F (�1; �2)TscI(xI)JT (xI)

cT (xI)JI(xI)

scT (x)J(xs)

cI (xs)J(x)ei!TT (xI);

On peut montrer g�eom�etriquement les relations suivantes:

JR(xI) = �JI(xI); JT (xI)

JI(xI)=

cos�t

cos�i

Nous avons donc tous les �el�ements pour calculer les sismogrammes dans des milieux pr�esentant des interfaces.

De fa�con g�en�erale, nous avons:

�(x; t) = F (�1; �2)Re[R

rc

JS(t � T (x))]

o�u R est une constante complexe contenant les produits des coe�cients de r�e exion/transmission et les facteurs

intervenant �a l'interface, J est la divergence g�eom�etrique dont la racine doit etre correctement calcul�ee. Rappelons

qu'au del�a de certains angles (dits critiques), les coe�cients de r�e exion/transmission peuvent etre complexes et

la forme de l'onde est une combinaison de la fonction source s(t) et de sa transform�ee de Hilbert s(t).

Le sismogramme est en fait la somme sur tous les rais allant de la source au r�ecepteur des solutions �el�ementaires

donn�ees ci dessus.

VI.4 Conclusion partielle

Les signaux donn�es par la th�eorie des rais se propagent g�en�eralement sans changer de forme mais en changeant

d'amplitudes. Les changements de forme qui peuvent cependant apparaitre sont dus �a des e�ets locaux comme

32

les caustiques ou des interfaces. On peut aussi introduire l'e�et du �a l'att�enuation dans l'expression donn�ee

par la th�eorie des rais. La th�eorie des rais n'est par valide au voisinage des irr�egularit�es du champ (caustique,

angle critique, zone d'ombre, ..). Le probl�eme de trouver des d�eveloppements asymptotiques du champ dans ces

r�egions n'est pas un probl�eme simple. Une litt�erature importante est consacr�ee �a la recherche de d�eveloppement

asymptotique uniforme qui serait valide partout y compris dans les r�egions singuli�eres. Il est aussi possible

de rechercher des d�eveloppements asymptotiques valables au voisinage d'une singularit�e mais non valables �a de

larges distances. Ces d�eveloppements locaux peuvent etre combin�es �a la th�eorie des rais pour obtenir les ondes

correspondantes. Ceci peut etre une technique int�eressante pour l'�etude d'ondes particuli�eres (comme par exemple

la di�raction �a l'interface manteau-noyau).

33

VII. VALIDITE DE LA THEORIE DES RAIS

Le th�eorie des rais est une approximation haute fr�equence. La longueur d'onde � doit etre donc plus petite

que les autres �echelles du probl�eme (rayon de courbure de l'onde, rayon de courbure des interfaces, �echelle des

h�et�erog�en�eit�es v=jjrvjj, ..). L'�etude d'un certain nombre d'exemples montre que la th�eorie des rais peut cependant

etre appliqu�ee meme dans des situations o�u la longueur d'onde est de l'ordre des longueurs caract�eristiques du

milieu. D'autre part, nous avons n�eglig�e les termes d'ordre sup�erieur : une condition su�sante d'applicabilit�e

devrait d'une fa�con ou d'une autre consid�erer les erreurs accumul�ees dues au fait que l'approximation d'ordre z�ero

n'est pas une solution exacte. Une condition su�sante d'applicabilit�e de la m�ethode est en g�en�eral impossible �a

trouver sauf dans des cas simples. G�en�eralement on compare le terme d'ordre 1, A1, au terme d'ordre z�ero ou

bien on utilise les concepts �el�ementaires de Huygens et de Fresnel sur les interf�erence des ondes secondaires. La

th�eorie des rais n'est pas valable au voisinage de fortes variations de l'amplitude A0.

VII.1 Probl�emes canoniques

Dans cette section, nous allons d�ecrire de fa�con succincte les r�egions dans lesquelles la th�eorie des rais est valide

ou non.

a) Rai normal ou tournant

Ceci est le cas le plus simple. Le milieu ne pr�esente pas de discontinuit�es; le rai et les coe�cients d'amplitude

varient de fa�con lisse. Dans ce cas, la th�eorie des rais est une excellente approximation.

b) Branche inverse

Si les rais se croisent, le coe�cient d'amplitude devient in�ni et la th�eorie des rais ne marche pas. Des m�ethodes

sp�eciales sont n�ecessaires pour mod�eliser au voisinage de la caustique. N�eanmoins, la th�eorie des rais peut etre

utilis�ee au del�a de la caustique si le coe�cient d'amplitude est correctement interpr�et�e.

c) Rais r�e �echis ou transmis

A partir du moment o�u l'interface est lisse et le coe�cient de r�e exion/transmission varie lentement, la th�eorie

des rais peut etre utilis�ee. La d�ecroissance g�eom�etrique est modi��ee par la courbure de l'interface et l'amplitude

par le coe�cient de r�e exion/transmission. Lorsque la r�e exion est totale, ce coe�cient devient complexe, mais

la th�eorie des rais reste valide. La th�eorie des rais n'est pas valable si la forme de l'interface ou le comportement

des coe�cients entrainent des variations discontinues (ou rapides) d'amplitude, par exemple au voisinage du point

34

critique ou en pr�esence de coins.

Nous allons maintenant d�ecrire les ondes de volume non d�ecrites par la th�eorie des rais classique.

d) Rai critique et onde conique

A l'angle critique, le coe�cient de r�e exion a une singularit�e en racine carr�e. Le rai transmis a une amplitude

g�eom�etrique nulle. Le front r�e �echi et le front transmis sont connect�es par un autre front, l'onde conique. Le

th�eorie des rais classique (d'ordre z�ero) ne peut donner l'onde conique. cependant le terme d'ordre 1 dans le

d�eveloppement permet d'obtenir cette onde (Cerveny and Ravindra, 1971). Des fonctions plus compliqu�ees sont

n�ecessaires pour d�ecrire la solution au voisinage de l'angle critique.

e) Caustique

Sur la caustique, la th�eorie des rais n'est pas valide car l'amplitude g�eom�etrique est in�nie. Pr�es de la caustique,

l'amplitude varie de fa�con importante et il y a interf�erence de deux ondes. L'utilisation des termes d'ordre sup�erieur

n'am�eliore pas la solution (ils sont tous in�nis). Il faut utiliser une forme de solution (ansatz) plus compliqu�ee au

voisinage de la caustique (Fonction d'Airy dans le domaine fr�equentiel).

f) Zone d'ombre de type Fresnel

Certaines parties du milieu peuvent cr�eer une discontinuit�e du front d'onde, par exemple lors de la r�e exion sur

une interface de pente discontinue ou lorsque le rai rase l'interface. Quoique l'amplitude g�eom�etrique soit �nie,

la th�eorie des rais n'est pas valide. Deux e�ets sont importants: l'interface peut produire de nouvelles ondes et

des e�ets non g�eom�etriques se produisent au bord de la zone d'ombre. Un exemple typique d'onde se propageant

dans la zone d'ombre d'une interface sont les ondes P et S di�ract�ees a la surface du noyau.

g) Di�raction par un coin

Si la pente de l'interface est discontinue, une onde di�ract�ee est engendree au coin. Une extension de la th�eorie

des rais classique a �et�e propos�ee par Keller (1962) pour mod�eliser ces signaux. La th�eorie des rais est utilis�ee

pour propager les ondes incidentes et di�ract�ee. Un coe�cient d�ependant de la fr�equence est utilis�e pour lier les

amplitudes au point di�ractant.

h) Di�raction par une interface

Si un rai rase une interface, une onde d'interface est cr�e�ee. Cette onde a pour cons�equence de limiter l'amplitude

de l'onde dans la zone d'ombre donn�ee par la fonction de Fresnel. Des m�ethodes asymptotiques locales peuvent

35

etre utilis�ees pour calculer le signal. Pour cela, il est n�ecessaire de r�esoudre les conditions aux limites sur l'interface.

L'amplitude et la vitesse de ces ondes sont d�ependantes de la fr�equence.

i) R�e exion basse fr�equence

Lorsqu'une r�egion pr�esente un fort gradient de vitesse, un signal r�e �echi et un signal transmis sont engendr�es

par cette r�egion lorsque la longueur d'onde du signal est importante devant l'�epaisseur de la r�egion. La prise

en compte de termes d'ordre sup�erieur dans la th�eorie des rais ne permet pas d'engendrer ces signaux de fa�con

ad�equate. G�en�eralement des m�ethodes it�eratives sont utilis�ees (Chapman, 1981).

j) Guide d'onde

Un guide d'onde cr�ee g�en�eralement de nombreuses caustiques. Il y a donc un probl�eme pour utiliser la th�eorie

des rais. Il vaut mieux utiliser une m�ethode de sommation de modes.

VII.2 Echelle-fr�equence : introduction de la zone de Fresnel

Une condition n�ecessaire de l'applicabilit�e de la th�eorie des rais est la suivante: les longueurs caract�eristiques

de l'amplitude A, du vecteur lenteur p et de la vitesse c doivent etre plus grandes que la longueur d'onde �:

L >> �

o�u L = min(L1; L2; L3) et

L1 =A

jjrAjj; L2 = min(jjpjjjjrpjjj); L3 =

c

jjrcjj

Une condition su�sante peut etre obtenue en utilisant les concepts de Huygens et de Fresnel. On peut d�e�nir

un volume autour du rai dit volume de Fresnel. Pour un point source, ce volume est d�e�ni par l'ensemble des

points M situ�es au voisinage du rai et pour lesquels :

jT (S;M ) + T (M;R) � T (S;R)j < Ts

2

o�u S et R d�esignent les points source et r�ecepteur, respectivement. T (S;M ), T (M;R) et T (S;R) sont les temps

de parcours entre les points consid�er�es. Ts d�esigne la p�eriode du signal.

Le volume de Fresnel d�e�nit le rai physique. Les param�etres du milieu et les param�etres de l'onde (vecteur

lenteur, amplitude, polarisation,..) ne doivent pas varier signi�cativement dans une section du volume de Fresnel.

La n�egligence des termes sup�erieurs de la th�eorie des rais a pour cons�equence une limite sup�erieure sur le chemin

parcouru par le rai. On doit v�eri�er :

36

L >>l20

�

o�u l0 est une distance caract�eristique de l'h�et�erog�en�eit�e dans la direction de propagation de l'onde consid�er�ee.

37

APPENDICE A

Soit �a rechercher les courbes extr�emales x(�) de la fonction:

�(�1; �2;x) =

Z �2

�1

L(x(�); _x(�))d� (A:1)

Nous nous placerons pour simpli�er dans un espace �a une dimension. Soit x0(�) une solution du probl�eme.

Consid�erons une perturbation �x(�). La perturbation correspondante de la fonction � est:

�� =

Z �2

�1

[@L

@x�x+

@L

@ _x� _x]d� =

Z �2

�1

[@L

@x� d

d�(@L

@ _x)]�xd� + [

@L

@ _x�x]�2�1 (A:2)

Dans l'�equation (A.2) nous avons utilis�e une int�egration par parties.

1er r�esultat: la courbe perturb�ee passe par les points extr�emes x1 et x2. Alors �x(�1) = �x(�2) = 0. De plus,

x0(�) �etant une solution extr�emale de la fonction �(x1;x2), �� = 0. On en d�eduit que la solution x0(�) v�eri�e

l'�equation d'Euler, soit:

d

d�(@L

@ _x) =

@L

@x

En dimension 3, le r�esultat s'�ecrit sous la forme:

d

d�(r _xL) = rxL (A:3)

o�u rxL et r _xL ont pour coordonn�ees @L@xi

et @L@ _xi

, respectivement.

2me r�esultat:

D�e�nissons le temps de parcours T (x1; x2) entre 2 points x1 et x2 par la valeur de la fonction � calcul�ee pour

la courbe extr�emale liant les 2 points. L'�equation (A.2) nous permet d'�ecrire la relation suivante:

dT

dx=

@L

@ _x

soit, pour un espace �a plusieurs dimensions:

rT = r _xL (A:4)

38

REFERENCES

Aki, K., and Richards, P., 1980. Quantitative seismology theory. W. H. Freeman, San Francisco.

Cerveny, V., 1972. Seismic rays and ray intensities in inhomogeneous anisotropic media. Geophys. J. R. astr.

Soc., 29, 1-13.

Cerveny, V., 1985. The application of ray tracing to the numerical modelling of seismic wave �elds in complex

structures, in Handbook of Geophysical Exploration, section 1, Seismic exploration, vol 15A, pp 1-119, Geophysical

Press, London.

Cerveny, V., 1987. Ray tracing algorithms in three dimensional laterally varying layered structures. in Tomog-

raphy in Seismology and Exploration Seismics, edited by Nolet, D. Reidel, Hingham, Mass.

Cerveny, V., 1989. Ray tracing in factorized anisotropic inhomogeneous media. Geophys. J. Int.., 99, 91-100.

Cerveny, V., Molotkov, I. A. and Psencik, I., 1977. Ray method in seismology, Charles University Press.

Cerveny, V., Popov, M.M. and Psencik, I., 1982. Computation of wave �elds in inhomogeneousmedia - Gaussian

beam approach. Geophys. J. R. astr. Soc., 70, 109-128.

Chapman, C.H., 1978. A new method for computing synthetic seismograms. Geophys. J. R. astr. Soc., 54,

481-513.

Chapman, C.H., 1985. Ray theory and its extensions: WKBJ and Maslov seismograms. J. Geophys., 58, 27-43.

Chapman, C.H. and Drummond, R., 1982. Body-wave seismograms in inhomogeneous media using Maslov

asymptotic theory. Bull. Seismol. Soc. Am., 72, S277-S317.

Conte, S.D. and de Boor, K., 1983. Elementary numerical analysis: An algorithmic approach. McGraw-Hill

Book Co.

Farra, V., 1989. Ray perturbation theory for heterogeneous hexagonal anisotropic medium. Geophys. J. Int.,

99, 723-738.

Farra, V., 1990. Amplitude computation in heterogeneous media by ray perturbation theory : a �nite element

method approach. Geophys. J. Int., 103, 341-354.

Farra, V., 1992. Bending method revisited: a Hamiltonian approach. Geophys. J. Int.,109, 138-150.

Farra, V. and Madariaga, R., 1987. Seismic waveform modeling in heterogeneous media by ray perturbation

theory. J. Geophys. Res., 92, 2697-2712.

39

Farra, V., Virieux, J. and Madariaga, R., 1989. Ray perturbation theory for interfaces. Geophys. J. Int., 99,

377-390.

Guiziou, J.L. 1989. Enhanced Ray-tracing techniques for 3-D applications. 59th Annual SEG Meeting expanded

abstracts, 1102-1104.

Hanyga, A, 1988. Numerical methods for tracing rays and wavefronts. In Seismological algorithms: Computa-

tional methods and computer programs, D.J. Doornbos ed., Academic Press London.

Julian, B.R. and Gubbins, D., 1977. Three dimensional seismic ray tracing. J. Geophys., 43, 95-114.

Keller, H. B. and Perozzi, D. S., 1983. Fast seismic ray tracing. SIAM J. Appl. Math., 43, 981-992. Kendall,

J.M. and Thomson, C.J., 1989. A comment on the form of the geometrical spreading equations, with some

numerical examples of seismic ray tracing in heterogeneous anisotropic media. Geophys. J. Int., 99, 369-376.

Kline, M. and I.W. Kay, 1965. Electromagnetic Theory and Geometrical Optics, John Wiley and Sons, New

York.

Langan, R. T., Lerche, I. and Cutler, R. T., 1985. Tracing of rays through heterogeneous media: An accurate

and e�cient procedure. Geophysics, 50, 1456-1465.

Moser, T. J., 1991. Shortest path calculation of seismic rays. Geophysics, 56, 59-67.

Muller, G., 1984. E�cient calculation of Gaussian-beam seismograms for two dimensional inhomogeneous

media. Geophys. J. R. astr. Soc., 79, 153-166.

Nowack, R. L. and Psencik, I., 1991. Perturbation from isotropic to anisotropic media in the ray approximation.

Geophys. J. Int., 106, 1-10.

Pereyra, V., Lee, W.H.K. and Keller, H.B., 1980. Solving two-point seismic ray tracing problem in a heteroge-

neous medium, Part I: A general adaptative �nite di�erence method. Bull. Seismol. Soc. Am., 70, 79-99.

Pereyra, V., 1988. Numerical methods for inverse problems in three-dimensional geophysical modeling. Appl.

Num. Math., 4, 97-139.

Popov, M.M., 1982. A new method of computation of wave �elds using Gaussian beams. Wave motion, 4,

85-97.

Prothero, W.A., Taylor, W.J. and J.A. Eickmeyer, 1988. A fast, two-point, three dimensional raytracing

algorithm using a simple step search method. Bull. seism. Soc. Am.,78, 1190-1198.

40

Sambridge, M.S. and Kennett, B.L.N., 1990. Boundary value ray tracing in heterogeneous medium: a simple

and versatile algorithm. Geophys. J. Int., 101, 157-168.

Thomson, C.J., and Chapman, C.H., 1985. An introduction to Maslov's asymptotic method. Geophys. J. R.

astr. Soc., 61, 729-746.

Um, J. and C. Thurber, 1987. A fast algorithm for two-point seismic ray tracing. Bull. seism. Soc. Am.,77,

972-986.

Vidale, J.E., 1988. Finite di�erence calculation of travel times. Bull. Seism. Soc. Am., 78, 2062-2076.

Virieux, J., Farra, V. and Madariaga, R., 1988. Ray tracing for earthquake location in laterally heterogeneous

media. J. Geophys. Res., 93, 6585-6599.

Virieux, J., 1991. Fast and accurate ray tracing by Hamiltonian perturbation. J. Geophys. Res., 96, 579-594.

Virieux, J. and V. Farra, 1991. Ray tracing in 3-D complex isotropic media: An analysis of the problem.

Geophysics, 56, 2057-2069.

41