-
8/9/2019 Fiche Identité de BEZOUT
1/3
L-P-Bourguiba deTunis Prof :Ben jedidia chokri
Chapitre 8 Fiche 8 Identité de Bezout Classe :4
Math Résumé du cours
I- PGCD de deux entiers
*Pour déterminer le PGCD de deux entiers naturels a et b on
utilise une des méthodes suivantes :
Méthode 1 :
On détermine :
aD :Diviseurs de a
bD :Diviseurs de b
a bD D∩ admet un plus grand élément a b∧
Méthode 2:
On écrit a et b sous forme de produit de facteurs premiers.
Méthode 3 :Le plus grand diviseur commun de deux entiers
naturels a et b est le dernier reste non nul
dans la succession des divisions euclidiennes de l’algorithme
d’Euclide de a et b.
Propriétés
Soit a et b deux entiers non nuls.
• Si b divise a alors bba =∧ .
• Si b ne divise pas a et si r est le reste modulo b de a
alors .rbba ∧=∧
•
ba ∧ = ab ∧ .
• Pour tout entier non nul k, ( )bak kbka ∧=∧
.
• ( ) .cba)cb(a ∧∧=∧∧
II- Entiers premiers entre eux
Définition
Deux entiers non nuls a et b sont dits premiers entre eux, si ba
∧ = 1.
Théorème
Soit a et b deux entiers non nuls. Alors il existe un unique
couple d’entiers (a’,b’) tel que
( ) 'bbab,'a)ba(a ∧=∧= et 1'b'a =∧ .
Lemme de Gauss
Soit a, b et c trois entiers non nuls. Si ba ∧ = 1 et a
divise bc alors a divise c.
-
8/9/2019 Fiche Identité de BEZOUT
2/3
Théorème Soit a et b deux entiers naturels non nuls et n un
entier.
Si ba ∧ = 1, n ≡ 0 (mod a) et n ≡ 0 (mod b)
alors n ≡ 0 (mod ab).
Généralisation
si
[ ]
[ ]
n x a
n x b
a b 1
≡
≡ ∧ =
alors [ ]n x ab≡
III- PPCM de deux entiers
Théorème et définition
Pour tout entiers a et b non nuls il existe un unique entier m
strictement positif
qui vérifie les deux conditions suivantes.
• m est un multiple de a et b,
•
tout multiple commun de a et b est un multiple de m.L’entier m
ainsi défini est le plus petit commun multiple de a et b est noté
ba ∨ .
Conséquences
• Pour tous entiers a et b non nuls, .baba ∨=∨
• Pour tous entiers a et b non nuls, ( ) abbax)ba(
=∧∨
Propriétés
Soit a et b deux entiers non nuls.
• Si b divise a alors .aba =∨
• Pour tout entier non nul k, ( ).bak kbka ∨=∨
• .abba ∨=∨
• ( ) .cba)cb(a ∨∨=∨∨
Théorème
Soit a et b deux entiers naturels non nuls tels que b ≥ 2
et ba ∧ = 1.
Alors il existe un unique entier non nul u appartenant à {
}1b,...,1,0 − tel que au ≡ 1(mod b).
On dit que u est un inverse de a modulo b.
V- Identité de Bezout
Théorème de Bezout
Deux entiers non nuls a et b sont premiers entre eux, si et
seulement si,
il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1.
-
8/9/2019 Fiche Identité de BEZOUT
3/3
Point Méthode :
Pour déterminer u et v on utilise l’une des méthodes suivantes
:
METHODE ( reculons )
METHODE (tableau) (procédure /algorithme)
ir
iq−
iq
0 1 v a
1 0 u b
n 1 indice du dernier reste non nul+ ← n
( 1) (a u b v) 1− × × − × =
Corollaire
Soit a et b deux entiers non nuls et d = ba ∧ . Alors il
existe deux entiers u et v
tels que au + bv = d.
IV- Exemples d’équations de la forme ax + by = c ; a, b et c
entiers
Théorème
Soit a, b et c trois entiers et d = ba ∧ . L’équation ax +
by = c admet des solutions dans Z x Z,
si et seulement si, d divise c.
Méthode de résolution :
On cherche une solution particulière 0 0(x , y ) de
l’équation puis on utilise Gauss
pour déterminer la solution générale : 0 0b a
S (x k, y k) k d d
= − + ∈
ℤ
