Fiche méthodes du chapitre 2 : Second degré

Chapitre 2 : Savoir-faire

Trinôme du second degré Fonction du second degré Savoir reconnaître un trinôme du second degré

Savoir identifier les différentes formes d’un

trinôme : forme développée, factorisée,

canonique

Savoir montrer que ces différentes formes sont

égales

Savoir utiliser la forme la plus adaptée pour

répondre à une question posée

Déterminer si un trinôme admet ou non une forme

factorisée

Savoir déterminer la forme factorisée d’un

trinôme lorsqu’elle existe

Savoir déterminer le signe d’un trinôme à partir

de la forme développée ou factorisée.

Savoir identifier une fonction du second degré

Connaître l’allure de la parabole d’une fonction du

second degré en fonction du signe de a

Savoir déterminer les coordonnées du sommet

d’une parabole

Savoir établir le tableau de variation d’une

fonction du second degré

Savoir énoncer les variations d’une fonction du

second degré à partir de la forme développée ou

canonique

Résolution d’équations : Savoir justifier qu’un réel est solution (ou non) d’une équation

Savoir faire la différence entre montrer une égalité et résoudre une équation

Savoir résoudre une équation du premier degré

Savoir résoudre une équation « produit nul »

Savoir résoudre une équation du second degré

Savoir choisir la bonne forme d’une expression pour résoudre une équation

Résolution d’inéquations : Savoir justifier qu’un réel est solution (ou non) d’une inéquation

Savoir résoudre une inéquation du premier degré

Savoir résoudre une inéquation « produit nul »

Savoir résoudre une inéquation du second degré

Savoir choisir la bonne forme d’une expression pour résoudre une inéquation

I. Fonctions polynôme du second degré :

A. Définitions :

Méthode 1 : Montrer qu’une fonction est une fonction du second degré :

Reconnaître que l’expression f(x) est la forme développée ou factorisée ou canonique d’un trinôme du second

degré.

Exemples : Pour chacune des fonctions proposées dire si elle est une fonction polynôme du second degré ou non ; si c’est

le cas : donner la valeur des réels a,b,c :

1. 2. 3.

4. 5. 6.

B. Courbe représentative et sens de variations :

Méthode 2 : Sens de variation et extrémum d’une fonction polynôme du second degré lorsque f(x)=

Identifier la valeur de a, b et c

Le signe de a permet de choisir le tableau de variation adéquate

Compléter alors le tableau en calculant

et

Ne pas oublier de conclure par une phrase si l’on vous demande les variations de la fonction et/ou les

extrémums en précisant les intervalles sur lesquels on travaille (ne pas toujours s’arrêter au tableau si l’on demande le signe !)

Vérifier la cohérence à la calculatrice

Exemples : 1. Donner le sens de variation de la fonction f définie sur 2. Dire si la fonction g définie sur admet un minimum ou maximum sur ; puis en

déterminer la valeur.

II. Trinôme du second degré :

A. Différentes formes d’un trinôme du second degré

1. Forme développée

Méthode 3 : Trouver la forme factorisée d’un trinôme

Il suffit en fait de développer et réduire en utilisant les propriétés suivantes :

Distributivité simple : k(a+b)=ka+kb k(a-b)=ka-kb -k(a+b)=-ka-kb -k(a-b)=-ka+kb…

Distributivité double : (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (a-b)(-c+d)=-ac+ad+bc-bd

(a-b)(-c+d-e)= -ac+ad+bc-bd-ae+be…

Mixte de ces deux propriétés : appliquer l’une puis l’autre…

Identités remarquables : (a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b² (a-b)(a+b)=a²-b²

Ex : k(a+b)(c-d)=k(ac-ad+bc-bd)=kac-kad+kbc-kbd OU k(a+b)(c-d)=(ka+kb)(c-d)= kac-kad+kbc-kbd

Conseils lorsque vous utiliser la distributivité :

déterminer le nombre de termes cessés être obtenus : si l’une des parenthèses à 2 termes et l’autre 3 alors le résultat

aura =6 termes ; de même le produit d’une parenthèse de 2 termes par une de 4 termes donnent 8 termes)

Ensuite lors du calcul de chacun des termes, se poser systématique et dans cet ordre la question :

le signe (obtenu en appliquant la règle des signes d’un produit)

la valeur de la constante (obtenue en effectuant le produit des constantes)

pour chacune des inconnues déterminer sa puissance (en effectuant la somme des puissances initiales ; penser que x=x1 !!!)

vérifier la cohérence de vos résultats à la calculatrice (en traçant par exemple la courbe associée à l’expression initiale

et celle de l’expression finale ; ou bien la fonction testée une égalité si votre calculatrice en est munie)

Exemples : Déterminer la forme développée des trinômes suivants :

1. (x-1)(2x+3) 2. -2(x+1)(x-1) 3. –(x-1)²+ 2 4. (2x+2)² - 4

2. Forme canonique

Méthode 4 : Montrer l’égalité entre deux expressions NE JAMAIS PARTIR DE L’EGALITE…

1ère idée : développer l’UN des membres (expression se trouvant d’un côté du signe =) de l’égalité pour obtenir l’autre

2ème idée : D’une part développer le 1er membre pour obtenir sa forme développée ; d’autre part, développer le second

membre ; constater ensuite que l’on obtient le même résultat ; conclure ensuite que les deux expressions sont égales

Exemples :

1. a. Montrer que pour tout réel x, -8x²+8x-4= -4(x-0.5)² -2

b. En déduire les valeurs des réels dans le cas du trinôme -8x²+8x-4

2. a. Montrer que pour tout réel x, 2x²+4x+2=2(x+1)²

b. En déduire les valeurs des réels dans le cas du trinôme 2x²+4x+2

Méthode 5 : Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole

2 méthodes dépendant en fait de la forme du trinôme connue :

forme développée forme canonique

Identifier la valeur de a et b (attention aux signes)

Calculer

(attention aux signes)

Calculer f( ) (penser aux parenthèses quand

on remplace x par la valeur dans l’expression

Conclure : les coordonnées du sommet de la parabole

associée à ce trinôme sont ( )

vérifier la cohérence du résultat à la calculatrice

Identifier la valeur de (attention aux

signes surtout pour ; vérifier au préalable que la

forme donnée est bien LA forme canonique)

Conclure : les coordonnées du sommet de la

parabole associée à ce trinôme sont ( )

vérifier la cohérence du résultat à la calculatrice

Exemples : Donner les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction P lorsque

1. P(x)=-2(x-1)²-2 2. P(x)=-2x²+3x+5 3. P(x)=2(x+1)² 4. P(x)=2(x-1)(x+1)

3. Forme factorisée

i. Discriminant d’un trinôme du second degré :

Méthode 6 : Calcul du discriminant d’un trinôme du SECOND degré

S’assurer que l’on a bien affaire à un trinôme du second degré … (car le discriminant n’existe pas sinon)

Identifier la valeur des réels a,b,c (attention aux signes, à l’ordre des termes ; à b=0 si aucun x, c=0 si aucune

constante)

Donner la formule permettant de calculer

Remplacer a,b,c par leurs valeurs (ne pas oublier le recours aux parenthèses pour éviter les

problèmes de signes)

Achever le calcul

Vérifier la cohérence à la calculatrice

Exemples : Calculer le discriminant de chacun des trinômes du second degré suivants

ii. Résolution graphique de l’équation du second degré :

Méthode 7 : résoudre graphiquement une équation du second degré

Transformer l’équation en une équation équivalente de la forme =0

tracer l’allure la parabole de la fonction (à l’ordinateur ou à la calculatrice)

Repérer le nombre de points d’intersection entre cette parabole et l’axe des abscisses

Lire l’abscisse de ces éventuels points

Conclure : l’équation admet ………… solutions ; elles valent ……………………………… (penser à dire environ si les valeurs

lues ne sont pas exactes)

Vérification graphique à la calculatrice : tracer la parabole et la droite d’équation y=0 puis utiliser la fonction

intersection dans le menu G-calc ou G-solve ; puis lire la valeur de x affichée et rechercher s’il y en a d’autres

Exemples : Résoudre graphiquement les équations : a.

iii. Factorisation d’un trinôme du second degré :

Méthode 8 : Factoriser un trinôme du second degré

calculer le discriminant

déterminer le signe de ce discriminant

Utiliser le théorème précédent :

Si conclure que l’expression n’est pas factorisable

, calculer

puis conclure «l’expression factorisée est où a est celui de la forme

développée »

, calculer

enfin conclure « l’expression factorisée est

où a est celui de la forme développée

Vérifier la cohérence du résultat en vérifiant que l’expression initiale et celle factorisée sont égales.

Exemples : Factoriser, si possible, chacun des trinômes du second degré suivants

B. Applications :

1. Résolution, dans d’équations du second degré

Méthode 9 : résoudre une équation du second degré

développer chacun des membres de l’égalité.

transformer l’égalité précédente en une égalité équivalente de la forme ax²+bx+c=0 (penser aux

Chercher à factoriser le trinôme ax²+bx+c

Conclure

Si conclure que l’expression n’est pas factorisable donc l’équation n’a pas de solution réelle

, conclure que l’expression a pour forme factorisée l’équation initiale est équivalente

à donc l’équation admet une unique solution et elle vaut

, conclure que l’expression a pour forme factorisée l’équation initiale est

équivalente à donc l’équation admet exactement deux solutions et elles valent .

Exemples : Résoudre les équations suivantes :

2. Signe d’un trinôme du second degré

i. Approche graphique :

Méthode 10 : résoudre graphiquement une inéquation du second degré Transformer l’inéquation en une inéquation équivalente de la forme ou ou

ou

tracer la parabole de la fonction (à l’ordinateur ou à la calculatrice)

Repérer les abscisses des éventuels points d’intersection entre cette parabole et l’axe des abscisses

Ensuite tout dépend de l’inéquation à résoudre :

Pour , repérer, sur l’axe des abscisses, les intervalles où la parabole est au-dessus de l’axe

des abscisses

Pour , repérer, sur l’axe des abscisses, les intervalles où la parabole est au-dessus de l’axe

des abscisses et y ajouter les abscisses des points d’intersection de ces deux courbes

Pour , repérer, sur l’axe des abscisses, les intervalles où la parabole est en-dessous de l’axe

des abscisses

Pour , repérer, sur l’axe des abscisses, les intervalles où la parabole est en-dessous de l’axe

des abscisses et y ajouter les abscisses des points d’intersection de ces deux courbes

Conclure : l’ensemble des solutions de l’inéquation est …………

Exemples : Résoudre graphiquement les inéquations : a.

Méthode 11 : étudier le signe d’un trinôme du second degré

calculer le discriminant

déterminer le signe de ce discriminant

Utiliser le théorème précédent :

Si donner le signe de a ; construire le tableau (si nécessaire) et conclure sur le signe du trinôme

, calculer

puis construire le tableau et conclure sur le signe du

trinôme

, calculer

puis construire le tableau et conclure

Vérifier la cohérence du résultat en vérifiant à la calculatrice les racines du trinôme et son signe.

Exemples : Donner le signe des trinômes suivants

1.

3. Résolution dans d’inéquations du second degré

Méthode 12 : résoudre une inéquation du second degré

développer chacun des membres de l’inégalité.

en utilisant les propriétés sur les inégalités, transformer l’inégalité précédente en une inégalité équivalente

dont l’un des membres sera nul et l’autre sera un trinôme du second degré

Calculer le discriminant puis son signe du trinôme du second degré ainsi obtenu en établissant son tableau

de signe si nécessaire

Conclure en revenant à la dernière inéquation obtenue à l’étape

Remarque : résoudre revient à chercher les valeurs de x pour lesquelles le signe de est +

résoudre revient à chercher les valeurs de x pour lesquelles le signe de est + ou 0

résoudre revient à chercher les valeurs de x pour lesquelles le singe de est -

résoudre revient à chercher les valeurs de x pour lesquelles le singe de est – ou 0

Exemples : Résoudre les inéquations suivantes :