1    BTS  ATI  –  Primitives  et  Calcul  intégral  

     

      Fiche  n°9  :  Intégrales  et  Calcul  d’aire  et  de  volume  

Exercice  n°1  :  Valeur  moyenne  d’une  fonction  𝒇  

On  considère  un  véhicule  qui  accélère  durant  10  secondes  après  un  arrêt.  A  l’instant  𝑡  (en  seconde),  0 ≤ 𝑡 ≤ 10,  la  vitesse  V  du  véhicule,  exprimée  en  𝑚. 𝑠!!,  est  donnée  par  𝑉 𝑡 = !

!𝑡!  

1. Quelle  est  la  vitesse  atteinte  par  le  véhicule  au  bout  de  10  secondes  d’accélération  ?  2. Quelle  est  la  vitesse  moyenne  du  véhicule  durant  les  10  premières  secondes  de  son  parcours  ?  3. Vous  donnerez  vos  résultats  en  𝑚. 𝑠!!  puis  en  𝑘𝑚. ℎ!!  

Exercice  n°2  :  Vitesse  moyenne  d’un  mobile  

On  a  représenté  la  vitesse  V  (en  𝑘𝑚. ℎ!!)  d’un  mobile  en  fonction  du  temps  𝑡   𝑒𝑛  𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑠  sur  le  graphique  ci-­‐dessous.    

Sachant  que,  sur  l’intervalle   0  ; 10 ,  la  vitesse  du  mobile  est  donnée  par  𝑉 𝑡 = !!𝑡!    

et  que  l’accélération  du  mobile  est  la  même  sur  l’intervalle   30  ; 40 ,  déterminer  la  vitesse  moyenne  du  mobile  durant  les  100  secondes  que  dure  le  parcours.    

 

Exercice  n°3  :  Valeur  efficace  

On  considère  un  circuit  électrique  traversé  par  un  courant  périodique  dont  l’intensité  𝑖  en  (Ampères)  évolue  en  fonction  du  temps  𝑡  (en  secondes)  de  la  manière  décrite  par  le  graphique  ci-­‐dessous.  

 

1. Quelle  est  la  fréquence  de  l’intensité  ?  2. Déterminer  l’expression  𝑖(𝑡).  3. On  note  𝐼!  la  valeur  efficace  de  𝑖.  

a) Déterminer  𝐼!!.  b) Donner  la  valeur  exacte  de  𝐼!,  puis  une  valeur  approchée  au  millième  près.  

 

  2    BTS  ATI  –  Primitives  et  Calcul  intégral  

     

Exercice  n°4  :  Volume  d’une  boule  

Soit  B une  boule  de  rayon  R  et  de  centre  Ω  et  Δ  un  axe  verticale  d’origine  Ω.  Retrouver  la  formule  qui  permet  de  calculer  le  volume  de  la  boule.    Exercice  n°5  :    Un  fabricant  de  skis  dont  l’usine  est  située  à  proximité  de  Bourg-­‐Saint-­‐Maurice,  souhaite  marquer  sa  production  d’un  logo  bleu,  blanc  et  rouge.    Un  des  dessinateurs  de  l’entreprise  lui  propose  le  logo  ci-­‐contre.          Ce  logo  est  obtenu  à  l’aide  des  courbes  représentatives  des  fonctions  𝑓  et  𝑔  définies  sur  ℝ,  par  :  

𝑓 𝑥 = −𝑥! + 4𝑥        et      𝑔 𝑥 = − !!𝑥! + 2𝑥  

 Ces  deux  courbes  sont  tracées  dans  un  repère  orthonormé   𝑂  ;  𝚤  ;  𝚥  d’unité  1  cm  Les  différentes  parties  du  logo  sont  situées  au-­‐dessus  de  l’axe  des  abscisses,    et  sont  délimitées  par  les  courbes  Cf  et  Cg.  Déterminer  en  cm2,  l’aire  de  la  zone  bleue,    celle  de  la  zone  blanche  et  celle  de  la  zone  rouge  du  logo.      

 

Exercice  n°6  :  

Un  pont  à  une  seule  arche  d’une  longueur  de  16  m,  enjambe  une  route  à  double  circulation.  La  figure  ci-­‐dessous  donne  une  vue  de  l’une  des  deux  façades  de  ce  pont  (une  unité  représente  1  m).  La  partie  supérieure  du  pont  est  à  une  hauteur  de  5  m  au-­‐dessus  de  la  route.  La  partie  de  l’axe  des  abscisses  comprises  entre  −8  et  8  représente  la  chaussée  sur  laquelle  sont  délimitées  les  zones  de  circulation  des  piétons,  des  cyclistes  et  des  véhicules  motorisés.    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  3    BTS  ATI  –  Primitives  et  Calcul  intégral  

     

Partie  1  :  Etude  de  la  fonction  𝒇  représentée  par  la  courbe  C  

Soit  la  fonction𝑓  définie,  pour  tout  réel  𝑥  de  l’intervalle   −8  ; 8  ,  par  𝑓 𝑥 = 𝑎 − !!,!!!!!!,!!

!,  où  𝑎  désigne  un  

nombre  entier  positif.  On  note  C    sa  courbe  représentative  donnée  ci-­‐dessus  dans  le  repère  (𝑂  ;𝐴  ;𝐵).  

1. Déterminer  graphiquement  𝑓(0).  En  déduire  la  valeur  de  𝑎.  2. La  courbe  C    semble  présenter  une  symétrie.  Laquelle  ?  Démontrer  votre  conjecture.  

3. Montrer  que,  pour  tout  𝑥 ∈ −8  ; 8 ,  𝑓! 𝑥 = !!"𝑒!!! 1 − 𝑒!,!!    (𝑓!  :  fonction  dérivée  de  𝑓)  

4. Calculer  𝑓′(0).  Quelle  remarque  pouvez-­‐vous  faire  sur  la  tangente  T  à  C    au  point  d’abscisse  0  ?  5. Etudier  le  signe  de  𝑓′(𝑥),  puis  dresser  le  tableau  de  variation  de  la  fonction  𝑓  sur   −8  ; 8 .  6. Quelle  doit  être  la  hauteur  maximale  d’un  véhicule  motorisé  pour  que  celui-­‐ci  puisse  passer  sous  le  pont  en  

tenant  compte  du  fait  que  l’on  doit  laisser  une  hauteur  de  sécurité  de  50  cm  au-­‐dessus  du  véhicule.    

Partie  2  :  Calcul  d’aire  

On  veut  peindre  les  deux  façades  de  l’armature  du  pont  à  arche.  On  appelle  A  l’aire  de  la  partie  grisée  sur  la  figure  

donnée  en  début  de  problème.  

1. Calculer  la  valeur  exacte  de    l’intégrale  𝐼 = 𝑒!,!! + 𝑒!!,!! 𝑑𝑥!!!  

2. Calculer  l’aire  (exprimée  en  m2)  de  la  partie  grisée.  3. En  déduire  l’aire  de  la  surface  totale  à  peindre.  Vous  donnerez  votre  résultat  en  m2  à  0,01  près.  4. La  peinture  utilisée  pour  peindre  les  façades  du  pont  est  vendue  par  bidon  de  30  litres.  Sachant  que  cette  

peinture  a  une  propriété  de  recouvrement  de  0,3  m2  par  litre,  combien  de  bidons  sont  nécessaires  pour  recouvrir  les  deux  façades  de  cette  construction  ?