8/8/2019 Fichier n° 8

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Énoncé du problème 

Le but du problème est l’étude d’une solution particulière de l’équation différentielle (E) : xy’+2 y= 1/  x2 où y désigne une fonction numérique de la variable réelle x, définie etdérivable sur l’intervalle ]0, +[, et  y’  sa fonction dérivée. Le plan est muni d’un repère

orthogonal ),,( jiO

d’unités graphiques 1 cm sur l’axe des abscisses et 6 cm sur l’axe des

ordonnées.

A) Résolution de l’équation différentielle (E)  1) Résoudre dans l’intervalle] 0, + [ l’équation différentielle (E0) :  xy’+2 y=0.

2) Vérifier que la fonction  définie sur I par  (x)= 2

ln

 x

 x

est une solution particulière de(E).3) En déduire la solution générale de l’équation différentielle (E). 4) Déterminer la solution particulière de (E) dont la courbe représentative passe par lepoint A de coordonnées (1 ; – 1).

B) Étude d’une solution particulière 

Soit f la fonction définie sur l’intervalle]0, +[ par f(x)=2

1ln

 x

 x . La fonction f est

représentée graphiquement par la courbe (C) jointe en annexe.1) Déterminer les limites de f  aux bornes de l’intervalle de définition f . En déduire lesasymptotes à la courbe (C).2) Calculer  f’(x) où  f’ désigne la fonction dérivée de f . Étudier les variations de la fonction f  et dresser son tableau de variation..3) Déterminer les coordonnées du point B intersection de la courbe (C) avec l’axe desabscisses.4)  désigne un nombre réel strictement supérieur au nombre e.

a)  À l’aide d’une intégration par parties, calculer, en fonction de  l’intégr ale I ( 

 

edx x f  )( . En déduire en cm2, l’aire du domaine plan délimité par la

courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équation x=e et x= .b)  Calculer la limite de cette aire lorsque  tend vers +.

Annexe du problème

e

C) 

Le domaine hachuré est délimité par (C), l’axe des abscisses et les 2 droitesd’équation x=e et x= 

 

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Corrigé du problème

A) Résolution de l’équation différentielle (E) 

 

  c est une constante réelle.

 

 C’est la preuve que φ est une solution particulière sur ]0 ; +∞[ l’équation différentielle (E). 

3) À la solution particulière φ de (E) on ajoute toutes les solutions de (E0) ( l’équationhomogène associée à (E) ) pour obtenir toutes les solutions de (E). est une constante réelle.

  La courbe représentative de f passe par le point A de coordonnées (1 ; – 1) à la seule conditionque f(1) = – 1, ce qui équivaut c = – 1.

 

 

B) Étude d’une solution particulière La fonction f  de cette partie est la solution de l’équation (E) trouvée à la question A)4).  

       

C'est la preuve que l’axe des ordonnées est asymptote verticale à (C) et que l’axe desabscisses est asymptote horizontale à (C).

 

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      On obtient alors le tableau de variation suivant de f :

On a e1,5 ≈ 4,48

 

 

   

 B a alors comme coordonnées e et 0 .     

 

Pour la suite on a le tableau de signe suivant :

 

 

   

   .

 

 x 0 e1,5 +∞ 

 f ’(x) || + 0  –  

 f 

 f(e1,5)

0 – ∞ 

 x 0 e  +∞  f  ||  –  0 +

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