FILTRES ALI~ATOIRES ET STATIONNARISATION DE SIGNAUX PERIODIQUES MELES DE BRUITS

par

Georges BONNET

Professeur ~ la Facult6 des sciences *

SOMMAIRE. - - On d~finit la notion g~ndrale de filtre algatoire, opgrateur lin~aire stochastique agissant dans un espaee- signal abstrait. La statistique de second ordre ~t la sortie de tels l~ltres, traduite par un signal moyen et un op~rateur de covariance, est ~tablie par deux [ormules universeUes, respectivement celle de la ~ moyenne ~ et celle des ~ inter- [grences ~, dans le cadre le plus g~ndral de signaux m~lang~s ?t des bruits et traitgs dans un syst~me de lfltres al~atoires. Sent ensuite d~l~nis les signaux aHatoires p~riodiques, toujours darts le [ormalisme de l'espace-signal ; la notion de signal g~n~rateur de tels proeessus conduit ?t leur analyse harmonique, sous la [or_me d'une s~rie convergente de signauz gHmentaires de la base de reprgsentation-[rgquence. On d~termine leur statistique de second ordre ainsi que les particularit~s li~es ?tune pdriodieitg stationnaire. En[in, on montre la possibilit~ thgorique de transformer par [~ltrage algatoire un m~lange de bruit et de signal pgriodique, dgterministe ou non, en un processus al~atoire stationnaire au sens strict. Les propri~t~s d'ergodisme mises en dvidence permettent de [aire entrer darts le cadre unique d'un l~Itre al~atoire deux arti]~ces diff~rents, connus pour autoriser l'emploi d'une rdpartition spectrale dans

un domaine essentieUement non-stationnaire.

PLXr~.--* Avant-propos. * l : Op~rateurs et fiit~'es al~atoi~'es, l.l. Filtrage al~atoire d'un signal d~terministe ; t.2. Filtrage algatoire d'un signal aldatoire; t.3. Formulation universelle : l~Itrage al~atoire d'un mdlange de signal et de bruit; 1.4. Statistique de second ordre des representations it la sortie; t.5. Filtres al~atoires stationnaires ; 1.6. Un exemple : l~Itre de translation aHatoire. �9 2 : 8 i g n a , x aMatoires p~ ' io - dtques darts t 'espaee veeto~iet abstrait . 2.1. Signal ggngrateur ; 2.2. Analyse harmonique d'un signal al~atoire p~riodique ; 2.3. Statistique de second ordre ; 2.4. Cas particulier des signauz p~riodiques d~ter- ministes ; 2.5. Cas particulier des signauz al~atoires pdriodiques et stationnaires. �9 3 : Stat~onnarisatton de signattx mai~s de bruit. 3.1. Stationnarisation d'un signal donng; 3.2. Signaux p~riodiques: l~Itre de translation algatoire ; 3.3. Statistique en sortie et stationnarit~ p~riodique ; 3.4. Stationnarisation d'un signal p~riodique m~l~ ?t un bruit; 3.4. Stationnaritg au sens strict; 3.6. Conclusion: ergodisme et transergodisme.

�9 Bibliographie (9 r~[.).

AVANT-PROPOS

Cette 6tude se place syst6matiquement dans le cadre d'un espace-signal abstrait [l, 2], ce qui lui permet de mettre en 6vidence de la mani~re la plus g6n6rale les propri6t6s attach6es intrins~- quement aux signaux et aux transformations qu'ils subissent, tout en ouvrant le domaine de leurs repr6sentations h des gtres math6matiques plus vastes que des fonctions et par suite plus descriptifs. Pour ce qui touche aux concepts fondamentaux de l'espace-sigaal et aux propri6t6s g6n6rales de ses 616ments, le lecteur est pri6 de bien vouloir se repor- ter ~ l'article initial ~ Repr6sentation et analyse harmonique des signaux d6terministes ou al6atoires ~ 6voqu6 ci-apr~s sous la r6f6rence Ill. En particulier, les notations et les symboles en seront int6gralement conserv6s dans ce texte.

t . OP~RATEURS ET FILTRES AL~ATOIBES

La notion d'op6rateur al6atoire constitue uno extension directe de celle d'op6rateur lin6aire dens l'espaee-sigaal abstrait 8 ; co qui nous pormettra

d'atteindre tr6s rapidement ses propri6t6s prinei- pales.

a) DI~FINITION 4_. Un op~rateur al~atoire A est une [orme lindaire et continue qui associe une variable al~atoire complexe ~ tt tout couple I I* > , [W > 1 d' gl~ments d~terminidtes du sous-espace 8 o des signaux [ondamentaux. (Pour l'espace 8 o des signaux fonda- mentaux, se reporter h [l], paragraphe 4.1).

On 6crit cette transformation

I I ~ > , l ~ > l c 8 o - + c o = < q ~ l A l ~ > c C x,

et, par hypoth~se, elle est lin6aire on [~F > et semilin6aire en 1~ > .

De son cbt6, l'op~rateur ad]oint A* est, par hypo- th~se, tel que :

L'op6rateur al6atoire A est d6termin6 du point de rue statistique si la fonction de r6partition de < OIA[W > est connue pour tout choix arbitraire dens 8 0 du couple de signaux fondamentaux d6ter- ministos.

b) COROLLAIRE. i~tant donn6 la d6finition [~] d'un signal al6atoiro abstrait, il revient au mgme de dire :

* Centre d'6tude des ph6nombnes al6atoires, (CEPHAG), (auoci6 au C.N.R.S.), 46t avenue F, Viallet, 3~-- Grenob!e,

--- 27i ---

2/22

Un op~rateur algatoire A est une application lin~aire et continue de 8 o dans 8 qui trans[orme tout signal [ondamental dgterministe I~ > ~ ~o en un signal al~atoire AI~F > , ~l~ment de l'espace-signal 8.

Alors la variable al6atoire co apparalt comme lo produit scalaire de ]~ > et de AI~F > .

c) D~F~NITIO~V 2. Soit IW > = Atl4) > la transform6e d'un signal fondamental d6terministe I~ > e G 0 par l 'adjoint de l'op6rateur al6atoire A. Soit IX > un 616ment de l'espace-signal 8. La transform6e I Y > du signal IX > par l'op6rateur A est l'616ment al6atoire de 8 d6fini par le fait que la forme lin6aire et continue < q)l Y > a la mgme fonetion de r6partition quo < ~F]X > , lorsque cette quantit6 a un sens, ceci quel que soit le choix de 1~ > d a n s 8 o.

d) COROLLAIRE. ]~tant donn6 un 616ment IX > do l'ospaoe-signal 8, si la forme bilin6airo continue < (~IA[X > existe pour tout ](I) > e go, le signal abstrait, qu'on 6crit :

IY > = AIX > ,

est lui-mgme un 616ment de g : [Y > est la trans- form6e de IX > par l'op6rateur al6atoire A et repr6sento un signal al~atolre.

e I D1~FINITION 3. Un op~rateur al~atoire stable A est un op~tateur alSatoire qui associe une ~,arlable aldatoire complexe co = < r > ~t tout dl~ment IX > de l'espace-signal 8, quel que soit le choi~ du signal [ondamental dgterministe I ~ > ~ 80, et de telle laden que rapplication IX >--> co soit lin~aire et continue.

f ) COROLLAIBE. Un opdrateur al~atoire stable A est une application lindaire et continue de l'espace- signal 8 dans lui-m~me :

A : I X > - - > I Y > , ou I Y > = A I X > ,

qul trans[orme tout glgment IX > de 8 en un 8l~ment al~atoire AIx > de cet espace-signal &

Cette transform6e est d6termin6e du point de rue statistique lorsque, {X > 6rant donn6, la fonction do r6partition de < dplAIX > est connue pour tout

g) Dans une base de representation continue 0rthonorm6e et complete, l'ensemfile des r6alisations do la variable al6atoire co = < q)IA[~F > peut gtro d6crit au moyen des repr6sentations dos signaux fondamentau x et de l'616mont de matrico de l'op6- rateur [1]:

dam la base-temps, avee r = < t I* > , rft) = < t lw > et A(t, t') = < t]AIt' > , on a :

< r > = << ~(t)a~'*(t'), A(t, t') >> ;

- darts la base-fr6quence, avec ~(v) = < v I q) > , = < > r r = < IAIr > , on a:

< q~IAI~F > = << ~(v) +* (v'), a(v, r >>.

, I[ ~on r6sulte que los 616men.ts do matriee < t t A ] t ' >

372

G. BONNET [ANNALES D E S TI~LI~COMMUNICATIONS

ou < vlA[v' > d'un op6rateur al6atoire sent des distributions al~atoires dans les espaces produits t | t ' , o u v | v'.

g) Soit X(t) = < t[X > et x(v) = < vlX > les repr6sentations d'un 616ment IX > de l'espaee- signal & Si la transform6e I Y > = A[X > dc cot 616ment existe dans 8 - ce qui est sfirement le cas lorsque A est un op~rateur stable - les repr6- sentations de cette transform6e sent [1] :

Y(t) = < tIA1X > = < A* (t, t'), x(t') > , y(v) = < viAlS > = < a* (v, v'), x(v') > .

Ce sent des distributions al~atoires.

1.1. Filtrage al6atoire d'un signal d6terministe.

1.1.1. Filtre al6atotre.

a) D]~FINITION 1. Un flltre al~atoire F est un op~rateur lindaire aldatoire darts l'espace-slgnal 8 qui commute avee tout opSrateur de translation- temps T,,

(i) [F, T,] = O Vz ou F .= T,F T~ Vx.

b) il en r6sulte que la base de repr6sentation-v est la base propre de F [1], propri6t6 qui, sur Fen- semble des r6alisations du filtre, s'6crit :

(2) �9 Fly > = h(v)]v > =~ F = ~ h(v) dvlv > < vr,

L'616ment de matrice est done :

(3) < r i f le > = h(v) < vlv' > = h(v) 8(v-- r

I1 est diagonal et la valeur propre (alias gain complexe) h(v) apparalt comme une distribution al~atolre car,

co = < ~IFI~F > = < q~d?*, h > ~ O Vlq~ > , I~F > ~ G 0.

Si l'on connalt la distributiort h(v) du point do ,Cue statistique, c'est-h-dire si l'on r la fonctlon de r6partition de la forme lin6aire < ~, h > pour toute fonction h d6croissanee rapide et o o - d6rivable ~(v) r 8, on conna~t par suite la fonetion de r6parti- tion de < ~0d?*, h > . Ainsi, la connaissattce sta- tistique du gain complexe h(v) suffit-elle h d6ter- miner enti~rement le filtre al~atolre F. i1 se peat qu'ort no connaisse quo quelques moments d e < ~, h > , auquel ca~ le filtre F ne'sera que par- tiellement d6fini ; on pourra par exemple se limiter aux deux premiers momentg, eo qui r l'~tude de second ordre.

c) DI~FINITION 2. Un flltre al~atoire stable est un opSrateur algatoire stable dans r espace-signal 8 qui commute avec tout op~rateur de translation-temps.

d) COHOLLAIRE. Un fllt~e al~atoire stable est une application lin~aire et continue de l'espace-signal clans lui-m~me.

(4) F: I X > - - > I Y -> ou I Y > = F I X > ~ $ ,

�9 Ce signe typographique indique les Iornlules eneadr6e~ dans le manuscfit,

t . 23, n u 9-10, 1968]

qui trans/orme tout dldment IX > de ~ en un dldment aldatoire FIX > du m~me espace-signal et qui com- mute a~,ec tout opdrateur de translation-temps.

Dans la base-v off le filtre est diagonal, la repr6- sentation du signal transform6 est, cf. [1],

y(v) = < elY > = h(v) x(v), avee x(v) = < vlX > .

Comme la repr6sentation-v x(v) du (,sigaal d'entr6e ,~ IX > est une distribution temp6r6e, y(v) existera pour tout x(v) et, partant, F sera un filtre aldatoire stable si chaque r6alisation particu- li~re du spectre h(v) des valeurs propres de F est tout au plus nne ]onction it croissance lente ; ce sera notre hypoth~se pour route la suite.

e) En rant que transform6e de Fourier du spectre h(v) des valeurs propres, [i], l'616ment de matrice-t de F, qui est sa r@onse percussionnelle H(~) = < tlFlt--.~ > , pent former un produit de convolution avec la repr6sentation-t de tout 616merit IX > de 8 dane lecas off le filtre est stable ; on a, It] :

< ( I ) [ F I X > = < 9 , h x > = < ( P , H . X > ,

VIX > e g.

Co qui fail flue la eonnaissance statistique de la distribution al&toire H(v) est 6galement suftisante pour d6finir enti~rement le filtre al6atoire.

1.1,2. Fi l t re m o y e n .

Soil F un fihre al6atoire dent le spectre de valeurs propres est repr6sent6 par la distributiort al6atoire h(~).

a) DJ~FINITION. Le filtre moyen associd au filtre aldatoire F est l'op&ateur liMaire ddterministe, dcrit E t F I, tel que l'@alitd suivante entre hombres complexes :

(5) < (PIE I It } pF > = E I < (PlrPF > }, VI(P > , pF > e ~0,

soit v&ifi& pour tout choix arbitraire du couple I I (P > , I'r > I ~ ~o de ~ignaux lon~amentaux.

Nota. Le second membre est l'esp6rance math6- matique d'une variable al6atoire ; par centre, l'~critm'e E I F I, qui ne peut gtre assoei6e h une esp6rance math6matique, dolt gtre consid6r6 comme une entit~ symbolique.

E I F t est bien un op6rateur d6terministe, ptlisque le premier membre de (5) s'av6re gtre 6gal au hombre certain repr6sent6 par le second membre.

Montrons que E I F Ies t bien un filtre. Pour cola, appliquons la d6finition (5) aux signaux fondamen- taux translat6s T,[(P > et T~I~F > ; ce qui donne :

< ~IT~ E t F I T'] aF > = E I < ~IT~ItT, I'T" > ], VI(P > , I~F > e s o.

Los relations {l) de commutat ion du filtro,

F I L T R E S ALI~.ATOIRES ET B T A T I O N N A R I S A T I O N DE S I G N A U X 3122

F ---- T~ F T, k/x, font alors que T~ E I F } T, = E I r }, ou e . c o r e :

[Ei FI, T4 = 0 W. b) F[~F > (st un 616merit al6atoire de l'espaee-

signal ~, ~t la propri6t6 ([1], paragraphe 7.1) du signal moyen associ6 fail que (5) pent aussi s'ex- primer par

<q) lEI It } p F > = <(PIEt FpF > },

VI(P >, I ~ > e ~0.

d'ofi r6suhe

(6) E I F I1~' > = E I FI~2' > ], V [ ~ > e go-

Pla~ons-nous dams la base-v darts laquello l~s fihres sent diagonaux. L'6galit6 pr~.c6dente s'6crit

< viE [ It} I~F > = El < rifler > } =

E I h(v) < vl~F > }.

Si Fes t un filtre stable sort gain complexe h(v) est une fonotion al6atoire ; son produit avecla fortction

d6croissance rapide ~(v) = < v[W > est encore une [emotion al&toire et par sui te :

E [h (v ) < v l W > l = E [ h ( v ) ] < v l ~ F > .

II err r6sulte que le filtre moyen E I F I a u n spectre de valeurs propres exprim6 par E [ h(v) }, soi l :

{7) �9 E I r l Iv > = E t h(v)} I v>

E I r I = JR E I h(v) I d~lv > < ~1, / I

d'ofi : COROLLAIRE. Le gain complexe du filtre moyen associd ~t un filtre stable est dgal it l'espdrance math~matique du gain de ce filtre.

e) Consid6rons la transform6e I Y > = FIX > d'un signal dgterministe [X > de l'espace-signal dortt les repr6sentations sent X(t) = < t l X > et x(v) ---- < v]X > . Si F e s t ma filtre aldatoire stable, la transform6e [Y > existe, quel que soil le choix de[X > eg, en rant qu'616ment al6atoire de l'espace- signal. Son signal moyen existe done et l'on a :

E I < ( P l Y > l = El <(PlrtX >}= <(PIE t ItlX > I,

VI(P > e 80.

De son c6t6, < (Pll e est l '6i6ment do l'espace dual 8* conjugu6 de Ft](P > ; los propri6t6s du signal moyert E I r*l(P > } clermont, 6rant donn6 (6):

E I <(PlFIX > I = E I <(PlF I I X > = <(PIE I It} IX>,

VI(P > e So.

D'ofi r6sulte par comparaison :

(8) �9 E I r } IX > = E I f iX > }VIX > d4terministeeg,

d'os COBOLLA1RE. Le filtre moyen assoeid h un filtre algatoire stable F est un fihre llndaire qui trans/orme tout dlgment IX > de l'espace-signal g en un signal identique au signal moyen E I f i x > 1.

d) l~tant dean6 que lo filtre moyon ost un flhro

4/22

lin6aire de gain complexe E t h(v)I, le signal trans- [orm~ moyen E I [ Y > ] = E / f i x > } a pour repr6sentations,

(9a) dans la base-v :

< viE { IY > I = E [ y(v) } = E I h(v) } x (v) ;

(9b) dans la base-t, par t ransformation de Fou- rier :

<tiE I IY > } = E I Y(t) } = ( E I H I * X ) ( t ) .

e) Op~rateur moyen. Ce qui pr6c~de pout s'6tendre sans diflicult6 ~ un op6rateur al6atoire A L'op6ra- tour moyen en ost d6fini par

(t0) < (DIE t A } IV > = E t < (I)IAItF > }, V I e > , > e 80,

et son 616merit de matrice-v ost obtenu par un raisonnement similaire ; il v a u t :

(tla) < viE[ A } Iv' > = E I a(v, v')I"

Le signal transform6 par E I A ] d 'un 616ment d6terministe arbitraire [X > e ~ ost tel, sous r6servo d'existence (op6rateur stable) que :

(lib) E i A } IX>= E { A I X > } , [X > e 8, d6terministe,

ot ce signal trans[orm~ moyen est d6crit enropr6son- tation-v par

(lib) < viE I SIX > t = < E I a*(v, v') I, x(v') > .

! .13. OpSrateur de covarlance ~ la sortie d'un ftltre aldatotre.

Envisageons lo cas lo plus g6n6ral do doux filtres al6atoiros stables F~ et F~ t ra i tant rospectivement los sigaaux d6torministcs ]X t > et IXa > de l'ospaco g. Suivant sa d6finition ([i], paragraphe 7.1) com- pl6t6o par l '6criture (4), l 'op6rateur de eovariance mutuelle F# des transform6es est tel que :

(12a) <(I),lr~l%> = E l <(I )dY~> <Y~[(I)~.>}= E [ < (I),IFdX, > < X;IFr > },

pour tout choix arbitraire du couple I [(I)z > ' 1(I)2 > } de signaux fondamentaux. Dans cetto expression, los indices i et ] (i :~ ]) valent I ou 2 et F~ est le fihre adjoint de Fr

(IY > = f ix > < Y] = < X[IF*).

En nous reportant h la d6finition (t0), r ~ est un op~rateur moyen stable, qui s'6crit symboliquement :

(13) �9 r ~ = E IIYi > < Yell = E I FdX~ > < Xr I, i, j = I ou 2.

On passerait a u c a s particulier relatif h l'op6ra- tour de co~,arianee propre d'une transform6e (6crit simplomont r r) on prenan t ]X z > --- IX~ > = I X > ot F x = F= = F : cod correspond dons (12a) ot (13) aucas i = ], simplifi6 par la suppression dos indices dovonus inutilos.

Nous aliens caleulor l'616mont do matrioo-v de l 'op6ratour de oovariance, dent on sait qu'il ropr6-

G. B O N N E T [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATIONS

sente la covarlance en /rdquence des signaux trans- form6s [1] :

< v l r i ~ ] v ' > = Ely i (v) y~(v') I, (i, j = I ou 2).

a) Remarquons quo la relation (12a) s'6crit aussi bien : (12b) < r > = E { < XjlZjilX~ > I,

off Zs est l 'op6rateur, ndcessairement stable, d6crit par :

Zs = ltj*l(I); > < (I)dF,

D'apr~s ce qui a 6t6 dit au paragraphe 1.t.2 pr6c6- dent, l'616ment de matrice-v de son op6rateur moyen ost, cf. ( l ia) ,

< v'lE I Zj~ ]Iv > = E [ h,.*(v') h~(v)?r ] =

E I h,(v)h~(v') I q~*(v)q0,(v'),

la derni6re 6galit6 provenant de ceque los gains h(v) sent des [onctions al6atoires.

b) Le hombre complexe (t2b) peut gtre consid6r6 comme l'esp6rance math6matiqur du produit sea- laire de ]Xj > et du signal transform6 ZslX~ > , lec[uel est un 616ment de ~ puisque Zs est un op6ra- tour stable. Alors, on uti l isant la propri6t6 d 'un signal moyen, puis cello d 'un op6rateur moyen, nous avons successivement, ( l ib)

< r > = < Xr I Zj, IX, > I = < X;tE I z;, ] Ix, > .

Ce qui donne, en repr6sentation-v, connaissant l'616ment de matrice-v de E I Zj~ I,

< r > =

< x~ (v'), < E [ ht (v) h, (v') } ?, (v) ?~ (v'), x, (v) >>,

ou encore, en r6arrangeant suivant la r~gle de Fubini :

(14a) < (I)dr~l(I); > =

<< ?, (v) ?~ (v'), E I h, (v) h~ (v') } x, (v) x~* (v') >>.

c) De son c6t6, l 'expression (t2a) de l 'op6rateur de eorr61ation, qui fair apparattre los transform6es I Y ~ > ~ ] = I ou 2 ~ s ' 6 c r i t direetement en repr6sentation-v [1] :

(14b) < o , lr ;Io > =

<< T, (v) T~ (v'), E [ yi (v) y~ (v') } >>.

d) L'6galit6 entre los doux derni6ros expressions (14a) ct (14b) do < ~ , l r ~ l ~ , > doit demourer vraie, quellos que soient los fonctions de repr6sen- rat ion ?~(v) et ~j(v'). Elle conduit ainsi ~ l 'expression do la co~,arianee mutuelle en [rgquence des trans- form6es, 616ment de la matrice-v de leur op6ratour de covarianco [l] ; c'est :

(t5) E I Y' (v) y~* (v') I = < , l rDl r > = E I h , ( v ) h~" (v ' ) lx~(v)x~ (v'), i , j = l o u 2

e) L'616mont de matrico-t de l 'op6ratour de covarian~,~ mutuello,

(t6) < t i tbit' > = E t V' (t) Y t (t') t, - - - 274 .--,

t. 23, n ~ 9-10, 1968]

est la covariance mutueUe en temps dos transform6os. Cette quantit6 rfsulto, comme on le salt [l], do la transformation de Fourier h deux variables de < lr ,l r > .

'1) Los co~,ariances propres des transform6es, dans l'uno ou l'autro base de repr6sentation, s 'obtiennont en pronant i = ] = t ou 2 dans los formules (15) ou (16) pr6e6dentes.

g) Pour l'616ment de matrice-v de l 'op6rateur de covarianco E{ A, Ix, > < } assoei6 doux opdrateurs aldatoires stables, un raisonnemont simi- laire h celui qui pr6c~de conduit h l'expression :

E I yi (v) y~ (v')} = << E ~ a~ (% u) a i (v', v) }, x~(u) x~ (v)>>, i , j = t o u 2 .

FILTRES ALEATOIRES ET STATIONNARISATION DE SIGNAUX 5/22

1.2. Filtrage al~atoire d ' un signal al6atoire .

Consid6rons maintenant , h l'entr6e du filtre al6atoire F, le signal IX > lui-mgmo al~atoire.

a) La description de ]X > en statistique de se- cond ordre ost donn6o par :

(17a) ]M > = E[ IX > }, signal moyen.

Les ropr6sentations on sen t :

< viM > = m (v) = E{ x (v) },

et < t iM > = M(t) = E IX( t ) }, (t7b) r x = E [ IX > < Xl }, op6rateur de covariance.

b) Lo fihre F est un fihre al6atoire stable, suppos6 statistlquement ind@endant de IX > : ce qui signifie que son gain h(v) est uno fonction al6atoiro ind6- pendants do la cat6gorie d'6preuves qui r6gissent le processus al6atoiro [X > . Par ailleurs, H(t) --~ h(v) d6crit la r6ponse percussionnelle (al6atoire) de F.

Nous nous int6resserons h l '6tude do second ordre du processus filtr6 I Y > = FIX > , laquollo fait appel aux deux premiers moments de la variable al~atoiro < (b[FIX > .

1.2.1. Premier ordre ~ Form ule de la moyenne) ) .

Soit ]~ > 6 ~o un signal fondamentalarbitraire (d6terministe). La d6finition du processus filtr~ moyen E I I Y > }, le signal moyen de sortie, est qme :

(t8) E I < O I F [ X > I = < O[E [ I Y > t, VI(I) > e 8 o.

I~tant donn6 quo F et IX > sent rattach6s i~ des r d'6preuves ind6pendantes, la d6termina- tion do E t < r > }pe.t ~ fairs en deux 6tapes :

a) Pour une r3alisation particuli~re de F, on applique la formule de la moyenne relative ~ un fihro certain ([1], paragraphs 8.1), ee qui donne

Ex J < (blrlX > } = < r > ;

b) La valeur moyenne de cette quantit6 prise sur l'ensemble des rgalisations de F d6coule de (8), puisque ]M > est un signal d6terministe ; on a d o n e :

(t9) E { < r > } = < (I)[E { F } [M > ;

c) l'6galit6 entre (t8) et (i9) dolt domouror vraie, quel quo soit le signal fondameutal ](I) > ; on a ainsi :

(20) �9 E I F I X > } = E l F } I M > .

Cette relation g6n6ralise la/ormule de la moyenne 6tablie en [t] pour les fihres lin6aires d6terministes ;

d) on repr6sentations v e t t, cette formule g6n6- ralis6e de la moyenne s'exprime par :

(21) E I y(v) J = E I h(v) } m(v),

E [ Y(t) } = (E{ H } :r M)tt).

1.2.2. Second ordre ~r Formule des interfd- r e B c e s ) ) .

Pour embrasser lecas le plus g6n6ral, nous consi- d6rons un <~ systems lin6aire h deux entr6es*, a v e c :

deux signaux al3atoires IX1 > et ]Xg. > ayant pour signaux moyens ]Ms > et pour op6rateurs de covariance r ~ (i, ] - - I ou 2) ;

deux filtres aldatoires F 1 et F s reeevant respecti- vement los entr6es IX 1 > et IX2 > et suppos6s statistiquement ind~pendants des signaux ]X~ > . Ces filtres correspondent aux couples gam-r6ponse hi(v) @ Ha(t) ;

deux sorties I Y~ > ---- F~IXj > , dent il conviont de d6terminer les op6rateurs de covariance :

= E l F , I X , > <XjIF}} ( i , j = l o u 2 ) .

i.2.2.i. Opgrateur de covarianee mutuelle des sorties.

I1 faut consid6rer la forms bilin6aire construite sur doux signaux fondamontaux arbitraires ](I)j > (d6terministes), ce qui d6finit l 'op6rateur de cova- fiance mutuelle r ~ des deux sorties par la condition ([l], paragrapho 7.1) suivante, off i :~ ] ---- I ou 2.

(22) < q),lr lq), > = E [ < r > < XjlF}iq), > J,

~'1~ > , 1@; > e Be.

Compte tenu de l ' ind6pendance dos F et des IX > , on d6termine le second membro on doux 6tapes :

a) pour une r3alisation particuli~re du couple (F1, F~), il ost 16gitime d'appliquer la formule des interf6rences relative ~ dos filtres certains ([t], paragraphs 8.i), ce qui donne :

Ex { < qh[F~[X~ > < XdF}lq)~ > J =

< ,lr, r5 v,*lej >,

b) la forms bilin6aire pr6c6dente est construite sur deux signaux d~terministes et sur l'opdrateur al~atoire F,r~F~ (qui se r6duit h un filtre al6atoiro

--- 275 -.-,.

6/22

dans le eas stationnairo). On obtient done, par uno moyonne prise sur l'ensemble d6s rdalisations de (F1, Fs) ot on utilisant la propri6t6 (~0) do l'opdrateur moyen :

(23) E I < r > < X~]l~]lr > } =

< (I) d E I Fi r~, r,~ } I*J > ; e) l'idontit6 (22) dolt gtre r6alis6o pour un choix

arbitrairo do ](Ih > at ](I)~ > dons 8 o. En utilisant r6galit6 (23), on obtient alors l'oxprossion suivanto de l'opdrateur de co~,ariance mutuelle:

Cotte relation fondamentalo g6n6raliso la/ormule des inter~drences 6tablie on Ill pour los filtres lin6airos d6torministes.

i.2.2.2. Opdrateur de covariance propre d' une sortie.

I1 est donn6 en posant i = ]dans la formulo (24). Pour simplifier, on supprime l'indice et cot opdrateur d, co,,orianee propre = E I FIX > < XIFT } s,exprime par

(25) r r = E I F r e t , }. i.223. Opdrateur de co~,ariance mutuelle $ortie-

entrge.

Pour obtenir r ~ = E I f i x > < z l I, ii suffit do consid6rer dans (24) : F 1 = F ; et F~ ---- 1 puis IX, > - - - IX~ > - - I X > . D'off:

26) r ~ = F . I r } r~.

1.2.2.4. Statistique de sortie des o pdrateurs aldatoires.

A partir des d6finitions du paragrapho 1.12, h raisonnement est onti~rement identique i~ celui concernant los filtres al6atoires. I1 conduit, si A est cot opdrateur al~atoire, stable, h :

a) formule de la moyenne :

(27) E I A I X > } = E I A I I M > ;

b) /ormule des inter/drences :

(28) ~ - - E l & PISS} l, i , j = i ou2.

1.3. Formulation universelle : flltrage al6atoire d'un m61ange de signal et de bruit.

L'universalit6 do ]a formule do la moyonno (20) et do la formule dos interf6rences, 6tablios au para- graphe pr6c6dent, vanous apparaltro on consid6rant le probl6me g6n6ralis6 au maximum : colui du filtrage al6atoire d 'un m61ange d'un signal et d 'un bruit. Consld6rons :

(29) IX ~> = IS > + [B 2> --> IY > = FIX > = F[IS > + IB >],

a) IS > ost h signal. Cat 616ment de 8 pout gtro, suivant h cos, d6torministo ou al6atoire.

b) IB > est le bruit, 616ment al~atoire de 8, done additif. Sos caraot6ristiquos sent, au premier ordre, ~80) IM B > *" E t" IB > }~ bruit moy~n.

G. B O N N E T [ANNALES DES T~LI~COMMUNICATIONS

En co qui concerne le second ordre, le cas g6n6ral de deux entr6es nous am6ne h consid6rer los op6- rateurs suivants (i, ] ~-~ i ou 2) :

(31a) r~ = E ! ]B, > < Btl} = re,,, op6rateurs de covariance du bruit,

(31b) r ,? = F. [ IS, > < Btl t = r ~ , ,

covariance mutuelle signal-bruit.

e) F 1 et Fa sent doux filtres stables, statistique- mont ind6pendams de IB > et, lo oas 6ch6ant, de IS > . Notons que cetto 6tudo s'6tond aucas d'opd- rateurs lindalres algatoires, par simple substitution do l'op6ratour At au filtro Ft.

Suivant la nature do IS > et la pr6sonco ou l'ab- sence de [B > , on d6nombre quatre cos possil~los, quo nous consid6rons successivomont.

1,3.1. Signal aldatoire m~16 de bruit .

Si[S > ost al6atoiro, la somme I X > -= I S > -k [ B > ost un procossus al6atoiro, loquol pout 8tre trait6 commo uno entr6e unique du filtre F ot rol6vo ainsi do l '6tude du paragraphe 1.2 pr6e6dent. On utili- s o r a �9

(32) IMS > = E I IS > t, signal moyen,

(33) r~ = E I IS, > < Stl l,

(i, ] ---- t ou 2) op6ratours do covarianee du signal.

a) Dans la [ormule de la moyenne (20), il convient do consid6ror comme signal moyon h l'entr6o la r6sultanto :

(34) [M> = E [ IS > } + E IIB > } = IMS > + [M r >.

b) Dons la /ormule des inter/drences (24) inter- viennent comme op6rateurs do eovariance mutueUe eoux rolatifs aux sommos [ St > -k I B; > ; soit clans lea 6crituros (31) ot (33):

(35) * r ~ = r s i + r ~ + r ~ + r ~ s, i , j = l o u 2 .

e) L'op6ratour do co~,arianc~ propre d'une entr6e est ropr6sent6, h partir de (25) par :

(36) r x = r s + r B+ 2Her r ss,

i (off Her A = ~ [g A- A ] signifie (~ partir hermi-

tiquo do l 'op6rateur A ))).

d) Cas particulier important ; entr6es al6atoires stationnairos.

Si los signaux ]S~ > et los bruits [Bt > sent tous stationnairement corrdlds - d o n e r d'entre eux stationnaire do second ordre ([t], paragra- pho 7.1), - - d'uno part IM~ > et IM~ > sent des (~ signaux constants ~, invariants par translation- temps, d'autre part los opdrateurs de co~,ariance r~, r ~ et r ~ B out les propri~tds d'un filtre, c'est-h- dire commutent avec l 'op6rateur de translation- temps T, ([i], paragrapho 5.1) : ils sent diagonau~;

2 7 Q ~

t . 2 3 , n ~ 9-10, 1968]

en repr6sentation-v ot commutont 6galement avec tous los filtres. Par suite, d'apr~s (34) et (35), l M > et r ~ poss~dent los m~mes propri6t6s respectives, qui s'6crivent :

[M > = T~IM > , V*, [ r~ , %] = [r~, F] = O,

Vx ; VF,

- - au premier ordre, il r6sulte de la formule de la moyenne (20) que :

(37a) E I I Y ~ > t = T , E [ I Y ~ > }, V~;

le signal moyen de sortie est lui aussi un signal constant, quel quo soit lo filtre F, al6atoire ou d6ter- ministe ;

au second ordre, il r6sulte de la formule des interf6rencos (24) et des relations de commutat ion la possibilit6 d 'exprimer les op6rateurs de covariance en sortie sous la forme :

(37b) = s I r , }

ce qui va simplifier grandement l '6criture dos repr6- sentations. D'autre part , on a [r~, T,] = O, Vz : les sorties sent donc stationnairement corrdldes quels que soient les filtres utilis~s, d6terministes ou al6a- toires ; chacuno d 'entre elles est stationnairo de second ordre.

1.3.2. Signal ddterministe rn$ld de bruit.

Un signal d6terministe repr6sente un cas particulier de signal al6atoire, pour lequel E [ < @Is > } = < �9 S > , r i o > E80. I1 on r6sulte que le signal moyen est E { [ S > } = IS > , et l 'op6rateur de covariance r ~ = [& > < s,]. Pour co qui a t ra i t h l 'op6rateur de covariance mutuelle entre signal et bruit, on a :

= t s` > < Mf].

a) Dana la /ormule de la moyenne (20), il faut porter :

(38) IM > = IS > + IM ~ > .

b) Dans la /ormule des inter/&ences (24), inter- vient :

(39) �9 I '~ = IS, > < Sd + + Is, > < M~[ +

tM~ B > <S~l, i , j = t o u 2 .

e) Darts la seconde ]ormule des inter[drences (25), r e l a t iw h uno covariance propre :

(40) r x = l S > < s l + r B + 2 H e r I S > < M ~ [ .

1.3.3. Signal d6terminlste lsold.

On a [B > -- 0 =~> IX > = [S > d6terministe. Ce cas a 6t6 trait6 au paragraphe i . l . Cependant lea formules universelles de la moyenne (20) et des interf6rencos (24-25) en t raduisent bien les r6sul- ta ts tols qu'ils sent exprim6s par (8) et (13), si l 'on prend :

[ M > - - I X > ,

r ~ = i x x > < x . , t , r X = I X > < X l .

FILTRES &LEATOIRES ET STATIONNARISATiON DE SIGNAUX

1.3.4. Signal al6atoire (ou bruit) lso16.

Ici i X > = i S > , al6atoire, ou.n~o~e I X > = I B > . C'est jus tement dans co cadre particulier qu 'ont 6t6 6tablies los formules de la moyenne et des inter- f6rences.

1,4. Statistique de second ordre des repr&en- tations a la sortie.

Cetto statistique a 6t6 donn6e dana le cas du fil- t rage d 'un signal isol6, soit d6terministe, soit al6a- toire. I1 reste h l '6tablir on liaison avec la formule universelle des interf6rences.

1.4.1. Reprdsentations t emps et ?rdquence.

Suivant les conventions d'6criture adopt6es en [t] nous utilisons les repr6sentations suivantes:

a) s ignal:

< tiS, > = S~ (t) ~ _ < ~lSj > = s, (% (j = I ou 2),

b) bruit :

< t[B~ > = Bj ( t ) ~ < vlB~ > = bj (v),

c) entr6e composite signal + b r u i t :

IX~ > = IS~ > + [B~ > , < tlXj > = Xj (t) ~ - < v[Xj > = x, (%

[Mj > = E{ IXj > I, < tlMj > = Mj ( t ) ~ < v[Mr > = m. (v),

d) filtres : Fjiv > = hj (v)]v > ,

< t[F, l t -- �9 > = Hj ( r (v),

e) sortie : IYr > = EIX~ > ,

< tlY~ > = Y~ (t)~___ < vlYj > = yj (v),

covariances :

< t l r ~ l t ' > = E I Y , ( t ) Y,*(t')l, ( i , j = i o u 2 ) ,

< , l r S l , ' > = E [ y, y; (v) I.

1.4.2. Formule universeile de la moyenne.

la) En repr6sentation-v, on tire de (20), compte tonu de la propri6t6 (7) (les indices sent supprim6s pour simplifier car il n 'y a pas de risque de confu- sion) :

(4ta) �9 EI yCv)}= E I h(v) }m(v).

b) En repr6sontation-t, on obtient par transfor- mation de Fourier de co qui pr6cfido :

(41b) �9 E IY(t) I = ( E i H } * M ) ( t , .

c) Dans ces formulos, il conviont de porter pour m(v) et M(t) :

signal ddterministe m~ld d du bruit. (42 )

m(v) = s(v) + E I bCv)I, M(t) = S(t) + E [ B(t) I;

- - 2 7 7 -

8/22

signal aldatoire m~ld it du bruit :

(42b) re(v) = E [ s(v) + b(v)}, M(t) = E I S(t) + B(t)l"

1.4.3. Formule universelle des tntertdrences.

1.4.3.1. En repr6sentation-fr6quence�9 L'expression F l rxF~ repr6sento un op~rateur al~atoire, et il eortvient de faire appol h la relation (l ta) pou r d6terminer l'616ment de matrice-v de l'op~rateur moyen qui apparalt darts la formule des irtterf6rences (24). Ce qui donne, compte tenu de (2) et de l'6cri- ture de l'616ment de matrice d'urt op6rateur de cova- fiance :

a) pour la covariance mutuelle en sortie (i, ] = l ou2 . i ~ / ) : (43) * E[y~(v) y~(v')} =

E I h, (~) h; (r E I ~ r ~* (r Pour la covarianee propre, il faut prendre i ---- ] = i

OU 2.

b) il convient de porter darts cos relatiorts los expressiorts suivantes de E

�9 l~(v) ~(~') I : signal ddtermmiste m~l~ it du bruit�9 On utilise la

relation (39), ee qui donne :

(~a) E I ~ (~) ~ (r I = s (~) q (r + E [ bi (v) b~ (~') } + s, ('~) m~* (v') + m ~ (,~) s/* ( ' / ) ;

signal aldatoire m~ld it du bruit. On utilise (35) et l'on trouvo :

(44b) E I ~ (v) ~; (r } = E { ~ (~) s? (r + b, (~) b~ (r + ~ (~) b 7 (r + b~ (~) q (r I"

i.4.3.2. Ell repr6sentation temps, iln'existe d'au- tre moyen d'6crire la covarianee E I Y~(t)Y~(t')Ihla sortie que commo trartsform6e de Fourier h deux variables de E I y,(v) y ~ ( - - v ' ) l , telle qu'elle est dortn6e par (43).

1.4.4. Gas s ta t lonnaire .

Un cas partieulier apporte urte grande simplifi- cation : celui off los entr6es composites [X~ > sortt al6atoires et stationnairement corr~l~es (chacune 6tant done stationnaire de second ordre), el. para- graphe 1.3.1.

a) Au premier ordre, IM > = E IIx > Iest urt signal constant et M(t) = tx ; m(v) = Ix~(v). D 'o~ la formule de la moyertne, d'apr~s (4t) :

(45) F. I y(~) I = ~ E i h(0) } ~(v), E t Y(t) I = ~ E i h(0) I.

b) Au second ordre, P~ est diagonal en repr6sen- tation-v et ron a [t]

off y~(v) est une distribution spectrale (6uerg6- tique si i -= ] ; d'intoractiort si i =/= ]). D'ofi r6- sulte, d'apr~s (43) la co~,ariance en reprdsentation-v :

(46a) E~ yi (v) y~ (v')l = E I h, (v) h~ (v)} y~(v)8(v--v').

G�9 B O N N E T [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATION$

c) La reprdsentation-t so simplifio e t l a covariance y est stationnaire. Elle s 'exprime par :

(46b) P ~ ( 7 ) = E IY~(t) Y ~ ( t - ~ ) l =

(E [ H, * H~r } * F~),,).

relatio= danslaquelle : r~,(7) = E I X,(t) X ~ ( t - - 7) } est la covariartee (statiortrtaire) de 1 erttr6e on repr6- sontation-t et H#(t) ----- H*( - t) est la r6ponse per- eussionnelle adjointe.

1.5. Filtres al~atoires s t a t i o n n a i r e s .

i .5.1. DI~F!;NITION I . F ost un filtre aldatoire stationnaire de second ordre si la transfol~m6o I Y > = FIX > ost urt signal al6atoire stationnaire de second ordre, quel que soit le signal d'entrde [ X > s 8 al6atoire ou d6terministe.

a) D'apr~s la d6finitiort de la stationnarit6 do second ordre d 'un signal ([l], paragraphe 7.i), la variable al6atoire < r > doit avoir lesmgmcs deux premiers moments que < ~IT~FIX > , cola pour tout IX > ~8, pour tout signal fondamental d6terministe [r > ES0, et quelle que soit la puis- sance 7 de l 'op6rateur de translation T,. Autrement dit :

La statistique de second ordre it la sortie de F est la m~me qu'it la sortie de tout filtre translat~ TvF, cola pour une entrde arbitraire.

On a done :

- - a u premier ordre, d'apr~s la formule de la moyenne (20) : ( 4 7 ) E [ F I = T , E [ F I, Vx ;

- - au second ordre, d'apr~s la formule des inter- f6rencos (25) :

(48) E I FIT* I = T, n [ r r r , I ~ , Vx, v r ,

OU e n c o r e :

[E [ FITt }, T,] = 0, relation de commutation devant ~tre v6rifi6e quel que soit r . I1 revient au m6me de dire que E [ F I T * } est un filtre, quel que soit l 'op6rateur h0rmitique r :

(49) E [ FITr I Iv > = 0r Iv > .

b) Err repr6sentation-v, on tient eompte de la diagonalit6 de F (valour propre h(v)) et de T~ tvaleur propre exp [--27dv7]) ; ce qui donne, pour le gain complexe du filtre stationnaire :

- - au premier ordre, compte tenu de l'expression (7) du gain du filtre moyen :

E I h(v) l (0 -snt€ = 0, V*r et Vv,

(50a) ~ E i h(v) } = ~ ~(v), (~ = constante) ;

- - au second ordre, compte tenu de l'expression (l ia) de l'616ment de matrice d 'un opArateur moyen ici E I F r F * }, et d'aprbs (49):

(50b) E { h(v) h* (v') } = X(v) S(v-- v'), (k('~) : distribution).

- - 2 7 8 - -

t. 23, n ~ 9-10, 1968] FILTRES ALEATOIBES ET STATIONNARISATION DE SIGNAUX 9/22

c) En repr6sentation-t , les propri6t6s de la r@onse pereussionneUe H(t) ~_ h(v) s 'obt iennent par trans- fo rmat ion de Fourier des relat ions (50) :

(51a) - - a u premier ordre : E I nit) l = ~ (constante) ;

(Sib) - - a u second ordre : E I H(t) H* (t - - "r) I = A(x) ~ . k(v).

La rdponse porcussionnelle apparal t donc comme une distribution al6atoire stationnaire de second ordre [l].

1.5.2. D~FINITION 2. F~ et F~ sent dcux filtres aldatoires stationnairement corrd~'s si les t ransform6es IY1 > = FI [X 1 > et ]Ys > = F2[X~ > forment un couple de s ignaux al6atoires s ta t ionnai rement corr616s, quel que soit le couple IX 1 > , ]X~ > de signaux d'entrde, al6atoires ou d6terministes, dans l 'espace 8.

a) Consequence. l~tant donn6 [i] que deux signaux s ta t ionnai rement corr616s sent Fun et l 'autre s tat ionnaires de second ordre, deux filtres station- nairement corra& sent tous deux stationnaires de second ordre.

Les relations (47) et (48) sent done valables pour chacun d 'entre eux.

b) Statistique con]ointe. Un ra isonnement simi- la~re h celui qui pr6c~de condui t h :

(52) E I F, r r l ] = T, E I F, r I w , v r , ou encore [E I r r,, }, T,] = 0. t i, = l ou 2.

(53a) E I h, (v) h E (v') } = ),,~ iv) $(v - - v'),

(53b) E l H,(t) n ~ ( t - - x ) l = - A ~ . ~ ( x ) ~ _ k o (v).

Les r6ponses percussionnelles sent donc des dis- tributions aldatoires stationnairement corrdldes.

t . 6 . U n exemple : flltre de t rans la t ion al~atoire .

Est d6sign6 par ce t e rme le filtre al6atoire stable

(54) �9 F = T , T , = T ~ + ~ ,

T, est l'opdrateur de translation, de puissance z donn6e arbi t ra i rement . C'est un filtre de valeur propre exp [ - - 2~ivx],

z e s t une variable al~atoire r6olle et centr6e, de densit6 p(r et de /onction caractdristique

= E I exp J. La loi de r es t consid6r6e c o m m e inddpendante de

l'entrde.

a) Filtre moyen E I T,+. I" I1 est ent i~rement d6tormin6 par son spectre de valeurs propres E I h(v) } et l 'on a :

(55a) E I h(v) l = e -~=i" E I e--urn,, I = e-~-i,, r (2~v),

d 'o5 r6sulte la r~ponse percussionnelle de E I T=+~ I:

(55b) E I H(t) t = p ( t - - z ) .

Ib) Opdrateur de covariance en sortie. On consid6re le syst~me h deux entr6es form6 de deux filtres de t ransla t ion al6atoire T,+,, et T,+.,, r6gis par des variables al6atoires r et % de fonction caract6ris- t ique conjointe q)2(ul, us). La formule des inter- f6rences (24) est ici :

r ~ = E I T~+,, r 5 T,r }, ( i , j = i ~u 2),

- - l'616ment de matrice-v de l 'op6rateur de cova- riance en sortie s 'exprime par < v [ r ~ l v ' > = E I h~(v)h~ (v') I < lr ,lr > , avec .

i56) E I hi (~) h~ (v') I = e-2=i( '-"~ (I)~ (27:v,- 2~v') ;

- - darts le cas particulier oh les filtres sent identiques (r -~ % = z presque-sf irement ::> (I)2(ul, us) = q)l(ul-4-u~)) cotte expression devient :

(57) E I h , ( v ) h~*(v ' ) l=

e -~=i`'-' ' ," q)~ [2=(v - - v')] = E I h(v - - ~')}.

c) Comportement en signal aldatoire stationnaire. Le fair quc O1(O ) = I entralne dens (55a) :

E I h(O) l = 1. Si l 'entr6c du filtre est un signal cons tant [M > ,

ou bieu un signal al6atoire de signal moyen ]M > constant , la repr6sentation-v du signal moyen d 'entr6e est du type ~ (v ) ; par suite, d 'apr~s la formule de la moyenne, le signal moyen h la sortie de T:+. poss~de la mgme repr6sentat ion : il est inehang6.

Si les entr6es al6atoires sent stationnairement corrdlges r ~ a l e s propri6t6s d 'un filtre. C'est done (paragraphe 1.3.i) E I T,+,, T~r qui in tervient dans la formule des interf6rences ; alors, T 6 tent unitaire, cette grandeur devient le filtre identi t6 1 l~ ex = r p.s.. Par suite, la s ta t is t ique de second ordre de deux signaux al6atoires stat ion- na i rement corr616s se conserve dens deux filtres de t ransla t ion al6atoire identiques. On notera que cette invariance est une propri6t6 tou t h fair g6n6rale des filtres T~+,, ind@endante de la Ioi de r ainsi que de la valeur de x.

2. S I G N A U X A L I ~ A T O I B E S P I ~ R I O D I Q U E S D A N S

L ' E S P A C E V E C T O R I E L A B S T R A I T .

a) DJ~FINITION i . U n signal al6atoire IX > ,

616ment de l 'espace-signal 8, est pdriodique en temps et de p6riode 0 si, pour tou t signal fondamen ta l certain [q) > e 80 et quel que soit l 'entier k, l'6galit6 entre les variables al6atoires complexes < (I)IX > et < (I)IT~e[X > existe presqueosarement.

T~0 est l 'op6rateur de translation-temps de puissance k0 et la pdriode 0 est un nombre r6el.

L'6criture correspondent h cette d6finition, qui e s t :

(58a) �9 <(DIX > = <(I)]T~0[X > p.s . V k e n t i e r ; Vlq) > e 8o,

- - 2 7 9 -

0/22

sera simplifi6e dans ce qui suit ot symbolis6e par la relation :

(58b) IX > = T~0]X > , Vk cntier p. s.

b) Rappelons que ([1], paragraphe 5.1) l 'opfra- tour de translation est unitaire, que T~e = T ~ e et que son action sur los signaux de base s'exprime par :

(59) T~01t > = It + k0 > , T~0lv > = e-~t*~~ > ,

(T eat un fihre linfaire particulier).

e) On pourrait dffinir similairement un signal p~riodique en [r~quencs, par l ' intermfdiaire d 'un opfratour de translation-frfquence, eelui-ci diagonal on reprfsentation-t (<~ mftaf ihre *). Co concept no sera pas considfr6 ici.

2.1. Signal gfinfirateur.

Utilisons l 'opfrateur pro/ecteur Pe~e, qui projette tout 616ment de l'espaee-signal sur le sous-espace dfcrit par l 'ensemble des signaux do base :

l i t > l : t e E - 0 / 2 , + 0 / 2 [ ,

(voir [i], paragraphs 2 et 9.3). P0t~ est un mftafiltre, diagonal en reprfsentation-t et son spectre de valeurs propres est dfcrit par la [onetion pro]ectrice riot,., de transformfo de Fourier ~:e~s(v) :

(60a) Pa, dt > = IIoiz (t)lt > ,

avec flo, ~ (t) = i si t C [-- ~, + ~] ; -=- O si non,

(60b) < vlPei21v' > = =oi~ (v-- v'), avec sin ~0~

~0~ ~ (~) = 0 ~ - ~ - rI0, ~ (t).

2.1.1, Pro]ecteur translatd.

I1 r6sulte de (59) et de (60a) que :

%0 Poit T~slt > = II0i~ ( t - k0)It >.

Done T~o Pet~ T~o repr6sonte le projecteur trans]at6 agissant sur le sous-espace :

{ I t > l : t e [ - - O / 2 + k O , - - O / 2 + k O [ .

On obtient par suite : + c o

(6t) Z T~e P0;~ T ~ = 1. k - - - - o o

2.1.2. Signal t ronqu$.

Consid6rons la projection do IX > sur

I It > t : t e [~ 012, + 012[, le cc signal tronqu6 ~ :

(62) IX > = re,~ ]X > .

Si X(t) = < t[X > et x(v) = < v l X > sent los reprfsentations temps et frfquence du signal IX > (avec X(t) ~ x(v)), cellos de sa projection sent dfcrites par la pairs de Fourier :

(63) X(t) = < tlPoi2lY > = H0i~ (t) X(t), et = �9

G. B O N N E T [ANNAL'RS DI~S T]~LI~COMMUNICATION8

Nota. II est important de remarquer que chaque rfalisation do X(t) est une distribution el support born~ : par suite, sa transformfe de Fourier ~ (v) exists toujours sous forms d'une [onction c~ - -d f r i - vable [3], done en particulier bornfe et continue De plus, la relation de Fourier assoeiant h s deux reprfsentations pout s'ferire duns un tel eas :

(64a) x('~) = < e 2nlvt, X >.

2.1.3. PropriSt$ de d$compositlon d'un signal p6rtodique.

]Portons (6i) darts (58a), compte tenu do l'fcri- turo (62) at du fait quo Tes t unitaire ; an a presque- silrement

< r > = <q)lTk01X > = ~ <OlT~oPolelX>= /r ~ -----oo

+ c o

< r > , > e / t ~ - - o o

a) s donn6 Rue le support de <~ tlTj01 > est disjoint, pour tout k :/: O, de celui de < t [ X > , ol~a :

et ce qui prfc~do signifio qu 'un signal alfatoiro pfriodique pout gtre eonsidfr6 comme la super- position d 'une iafinit6 dfnombrable de slgnauz aldatoires orthogonaux. Cos derniers reprfsentent toutes los translatfes d 'un * signal g~n~rateur ~, le signal tronqu6 [~ > ; los puissances de translation sent los multiples entiers de la pfriode 0.

Nous obtenons ainsi une autre possibilitf, 6quiva- lento h la premi~re~ do dffinir un signal pfriodique, h savoir :

b) DI~F1NITION 2. Un signal al6atoire IX ~>, 616ment do l'espaeo-signal 8 est pdriodique en temps si, quol que soit le signal fondamen~al certain [~ > ~ 8o, la variable al6atoire < ~ [ X > admet la d6eomposition en s6rie convergonto presque-silre- meat :

+ o o (65a) �9 < ~ l x > = )2 <~ lTk0 l~> , p.s.

Vl~ > v ~o.

[~ > oat le signal g~rt~teur, 616ment alfatoire de 8 tel que IX > = ro,,Ix >, dent la reprfeenta- tion-t est une distribution h support bornf.

Le nombre rfel 0 reprfsente la p~riode du ~ignal. T~e est l 'opfrateur de translation-tzmps de puis-

sance ] f~ .

c) Pour simplifier l 'fcriture, la relation (65a) sera reprfsentfe symboliquement par :

+r

(65b) I X > = Z Tk0lX> p.s. / t - - - r

280 m

t . 23 , n ~ 9 - 1 0 , 1 9 6 8 ] FILTRES ALEATOIRES ET STATIONNARISATION DE SIGNAUX 11/22

2.2. Analyse harmonique d'u,t signal al6atoire p&iodique.

2.2.1. R e p r d s e n t a t l o n - t e m p s .

La multiplication h gauche par le bra < t[ des deux membres de (65b) donne, compte tenu de (59), la relation en repr6sentation-t :

+ o o

(66) X(t)= Z ~:(t--k0) p . s . ' ~ X ( t ) = X ( t - - m0), 1r -----oo

Vm entier, (cette m6thode simplificatriee 6quivaut h user dans (65a) de la r6gle d'identit6 < q~[X > = < r X > ) . La repr6sentation-t est une distribution al~atoire pgriodique sur R, que (66) associe h X(t), distribution al~atoire sur le cercle de eireonf6rence 0. En 61argissant la signification attribu6e h la varia- ble t, on peut dire que la notion de signal al6atoire p6riodique cst associ6o h une distribution aldatoire param6tr6e par t ; ce qui fair sort int6rgt pour la physique. C'est la raison pour laquelle on a adopt6 dans la d6finition (58a) un critbre de convergence presque-s~zre, tout autre crit~re ne pouvant s'adapter

cette interpr6tation physique.

2.2.2. Reprdsen ta t lon- f rdquence .

La multiplication h gauche par le bra < ~1 dans (65b) conduit, 6rant donn6 (59), h :

+ o o

= Z e k - - -----OO

En utilisant la formule de sommation de Poisson, nous avons ainsi :

(67a) x(v) = ~ 7(v) ~] 3(v-- re[O) p.s .

a) Cette repr6sentation-v d'un signal p6riodique est une distribution al6atoire p6riodique de Dirac, et peut gtre consid6r6e comme r6suhant de l'~chan- tillonnage au pas l /0 de la repr6sentation-v du signal g6n6rateur.

b) l~tant donn6 que chaque r6alisation de x(v) est une fonction uniform6ment continue (para- graphe 2.1.2), on peut utiliser la propri6t6 :

x ( v ) 8(v - - m/O) = x(m[O) ~(v ~ re[O),

et 6erire : + o o

(67b)�9 x(v)= Y, x ~ ( v - - m / 0 ) p.s. , 7n ~ ---OO

relation dans laquelle les ~,arlables al~atoires complexes :

i i m (68) x~ = -0 "~(m]O) = 6 < 0 IPe, ~IX > =

i

sent les (~ coefficients de Fourier ~> de la distribution al6atoire X (t)sur le cercle, c'est-h-dire d'apr~s (64a) le$ formes lin6aires :

(64b) i < e2ntjlo, ~ i x,. = ~) > = ~) < Ilot~e ~'l''tte, X > .

c) Les coefficients de Fourier x,, existent tou]ours sous les hypoth6ses faites sur l'espaee-signal, lesquelles impliquent que route r6alisation de la repr6sentation X(t) = < t l X > soit une distribution temp6r6e [3]. De plus, et pour les mgmes raisons, la s6rio de Fourier :

+ o o

(69) X(t) = < tiN > = ~ Xm e 2nlmt;O, ~lL m - - - - O 0

converge tou]ours presque-sfirement vers la distri- bution X(t). II est clair que la donn6e d c la loi conjointe des coefficients de Fourier x~, d6termine enti~rement le proeessus p6riodique I X > .

2.2 .3 . Annlyse h a r m o n l q u e .

I~tant dean6 que ~(v - - m[O) = < ~[mlO > est la repr6sentation fr6quenco du signal de la base [ v 1 associ6 h la fr6quence m]O, l'6criture (67b)de x(v) = < vlX > , valable Vv, montre que le signal al6atoire p6riodique IX > admet la d6composition suivante (convergente presque-sfirement, comme il est ais6 de le voir, au sens de la topologie darts l'espace-signal) :

+ o o

(70)�9 I X > = ~: x~Iv,~> p.s. avee v,~= m]O. m ~----OO

Cette d6composition en s6rie convergente de vecteurs orthogonaux de la base t v }, associ6s h une suite discrete de fr6quences p6riodiquement espac6es, eonstitue l'analyse harmonique d'un signal al~atoire p~riodique. Ello est h comparer avec l'6criture (impropre, car non n6cessairement convergento) de l'analyse harmonique d'un signal dans le cas g6n6ral [i],:

/__Y IX > = x(v) dv[~ > ,

laquelle r e p r 6 s e n t e - symboliquement - - une d6composition assoei6e ~ une suite continue de fr6quences.

2.3. Statistique de second ordre.

2 .3 . t . s i g . a t oye. : I M > = E I IX > }

a) Soit ]M > = E [ [ X > ] le signal ganarateur moyen, dont les repr6sentations sont [l] :

M (t) = < > = E t X (t) I ;

Les coefficients de Fourier sent :

i t E t x,, t = ~ E I 7(nlO) I = ~ (roe'2 * E t x I)(,,,o).

b) Le signal moyen [M > associ6 au processus p6riodique IX > s'exprime, d'apr6s (65b), par :

(71a) [M > = Z Tk0lM > ~" IM > = T,0l M > , k-----OO

Vn entier,

ou encore, compte tenu de l'analyse harmonique (70) + o o

(71b) �9 I M > = E [ I X > ] = Z E [ x , l I ~ , > ,

avec vn = n]0.

28'1. - - z,.

12/22

C'est un signal ddterministe de pgriode 8, dont les repr6sentations sont :

(72a) M(t)= ~, M ( t - - k 0 ) = /a-- ---C~

+ 0 O

E t x~ } exp [2~int]0],

+ o o

(72b) m(v)= Z E I ~ t ~ ( v - n ] 0 ) "

G . B O N N E T [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATIONs

La description (75a) conduit de son c6t6 h :

(77~) �9 E I X, (0 X~ (t') I =

C'est une distribution doublement p6riodique sur t | t', de p6riode 8.

2 .3 .2 . O p d r a t e u r s de covar iance .

Int6ressons-nous h la statistique conjointe de deux signaux al6atoires IX 1 > et ]X~ > de p6riodes respectives 01 et 0~. On suppose que ces derni~res sont commensurables et l'on consid~re une pdriode commune O, par exemple le plus petit commun multiple de 0~ et 0~. Darts ces conditions, 6erivons

IX1 > et ]A'~ > les signaux g6n6rateurs associ6s h 0 et x~, x~ les coefficients de Fourier.

a) L'op6rateur de covariance associ6 auxsignaux g6n6rateurs s'6crit par hypoth~se [1] :

(73) r g = E I].~ > <X~I }, (i, j = I o u 2],

et l'on d6duit de la d6finition (65b) l'6eriture de eelui qui est assoei6 au signal p6riodique :

(74) * r ,~= E[ I X , > <X~-I]= Z Tkor,~T,~, k. l

(i, j = 1 ou 2).

x , r ~ , Il en r6sulte la propri6t6 : Tm0r,~T~e = Vm, n entiers ; d'o~ en partieulier pour m ---- n : jr,5, T,,] = O, Vm entier, r5 n'est pas un filtre car eet op6rateur ne commute pas avee T~ pour quelconque : e'est un (~ op~rateur pgriodique ~.

b) Une autre expression, 6quivalente, de : El IX, > < x,I} se d6duit de (70) ; c'est:

+ c o

(75) �9 r 5 = z E I x'. x:* } Iv. > < ~ l . - - - O o

avec v, = m[O et i, ] = l o u 2.

c) La covariance E I x~(v) x~(v') } en repr6sen- tation-fr6quenee est 6gale h l'616ment de matriee < vlr, lr > Elle s'exprime h partir de (75) par:

(76) ~ EIxi(v) x}' (v')}= -I-OO Z E I ~ ~* xmxn } 8(v-- m]O) ~(v'-- n]O).

111,~

C'est une distribution ponctuelle sur le plan v | v', aux nceuds d'un r6seau cart6 de maille 1]0.

d) La covariance E I X,(t) X~'(t')} en repr6sen- tation-temps est 6gale ~ < tlrxlt' > . On l'obtient directement de ( 7 4 a ) - compte tenu de ce que, el. (59), < tlT~ = < t - - k01 - - sous la forme :

(77a) E I X, (t) X~' (t')} =

Z E I "X' (t-- ~0) ~.* (t'-- ~0).

2.3.3. OoeHlcients de Fourier.

La statistique des coefficients de Fourier, qui sont les poids de l'analyse harmonique (70), est facile h d6terminer. Partant de lour expression (68),

1 xm ~--~ < vm[Pe/9[X > , et eonservant l'6eriture

vm ~ m[O, nous avons :

a) Au premier ordre, en utilisant la propri6t6 d'un signal moyen,

(78a) E I x ~ } = ~ <v~lP0t~ lM>= ~ < v ~ l M > ;

b) Au second ordre, �9 l

(78b) E[ ~,x~* } = O <v.IPnt , r 5 Pe,,Iv. > = t

ce qui relic leur matrice de corrdlation h la matriee-v de l'op6rateur de eovarianee du signal g6n6rateur

2.4. Cas particulier des signaux p~riodiques d~terministes.

Un signal d6terministe IX > repr6sente un cas particulier de signal al6atoire pour lequel routes les r6alisations de < �9 IX > sont identiques entre elles, qnel que soit le ehoix du signal fondamental ](I) > e 80.

a) La dgfinition i o u la dgfinition 2 d'un signal p6riodique d6terministe est done la mgme que celle relative au signal al6atoire, h cela pros quc les relations (58a) ou (65a) traduisent des 6galit6s entre hombres complexes, au lieu d'6galit6s presque- sores entre variablos al6atoires.

b) Toutes les formules 6tablies h propos des signaux p6riodiques al6atoires domeurent valables, sans autre modification qu'une identification entre les grandeurs st leurs valeurs moyennes : ( I M > = [ X > , E I IX ,> < X d l = IX~> <X~I etc...).

c) On peut aussi, dans un tout autre ordre d'id6es, concevoir un signal p6riodique d6terministe comme une eertaine r6alisation particuli~re d'un signal al6atoire de mgme p6riode. Ce point de rue nous conduit h envisager l'6tude de grandeurs moyennes d'une autre nature, les moyennes temporelles.

2 .4 .1 . M o y e ~ n e t e m p o r e l l e .

Nous d6finirons la moyenne temporelle d'un signal abstrait IX > par 16 nombre complexe:

l (79a) ix = lira - - < (k,[PTiX >, a'.,~ 2T

- - 2 8 2 -

t. 23, n ~ 9-10, 1968]

JO, > est le signal constant unltJ {<t[O, > = I ~t) soit encore le signal de la base-v correspondant la frbquence v = 0 ( < vlO~ > = ~(v)).

P , est le proiecteur sur l i t > I: te [ - - T, + T[ de valour propre IIr(t) :

Pr = / 2 ~ IIr (t)It > dt < t I.

Son 616ment de matrice-v est r%(v) ~----~ IIr( t ) :

< vlPrlO~ > = ~r (v) = 2T sin 2rzvT 2 ~ ~-- IIr (t).

On notera la propri6t6 asymptot ique :

l (80) rlim.~ ~-~ r~r (kv) = 8~, Vv, k entier,

(~0~ est le symbole de Kronecker).

Suivant le principe de corrospondance [l], la moyenno temporelle tz pout gtre d6erito par doux formes lin6aires 6quivalentos dans los ropr6sen- ta t ions t et v et la nature des 616ments de matrice de P , conduit dens (79a) h :

1 l (79b) tz = lim ff-T <IIT, X > = lira 2-'T < r~,,x > .

T~oo T~*oo

i a) En repr&entation-v, [z ~ r~oolim ~-~ < r~r, x > .

Si IX > est un signal p~riodique, rtous usons do l 'expression (67b) do x(v) ot do la propri6t6 (80) de 7~r, co qui donne :

i - (81) ,. t~ = 0 x(0) = zo.

b) En representation-t, ~ = lim 1 < H a . , X > , r - ~ o 2T

montre que [z ost 6galement la moyenne temporelle du signal-temps < t [ X > = X(t), au sorts de N. Wiener. Pour un signal p~riodique, on usant do la valour ~ = x o e t de l 'expression de co coefficient de Fourier darts (66b), nous obtenonf :

(82a) ~z= lim I < I I ~ . , X > = t r . o . z ~ 0 < I l o i v X > = x0,

co qui 6quivaut h :

l (82b) [z - lim 2-T < O~I~IX > =

T--~oo

i i < O,l~oi,Ix > = ~} < o~1.~ > = xo.

2.4.2. Trat2sIormation darts u a ffltre tat~- grateur .

Du fait que la projectrice IIe t~(t ) est une fortction paire (presque-partout) on pout, dans le cas off IX > est p6riodique, exprimer (82a) sous la forme :

i (82c) ~ = 0 (II0t2 * X){o},

relation qui 6voque l'effet d 'un filtre lin~aire (Formule de Vasehy).

FZCTmZS A L E A T O I R E S E T S T A T I O N N A R I S A T I O N DE S I G N A U X i3/22

a) Le filtre lin6aire I0t ~ ayant pour r6ponse per- cussionnelle :

i < t l I 0 i 2 t t - - x > = t~ Ho,~ ('0,

est un filtre intggrateur ideal, de m6moiro 0. On a on effot, pour tou t signal fondamenta l Iqb > , la repr6- sontation-t on sortie :

l I f t + O l 2 q)(r dx. < tJi0i~lq b > =• (II01~* q>),)= b j t - o t ~

Lo spectre do sos valeurs propres est la transfor- i

m6e de Fourier ~ u012(v), soit :

i i sin r~O I0/2]V > = ~71:012(V)[V > , avec ~reol~(v) -- trY0

Ce dernier a la propri6t6 particuli~re de s'artnuler p6riodiquement :

i i (83) 0r~0,~ (v,~) =i?r~0i~ (m/0) = 30~, (m entier),

et sa valour i pour v ---- 0 fair qu 'un signal constant est invariant dans un tel filtre.

b) De cette propri6t6 (83) r6sulte Faction de I01 2 su r lo vecteur Iv, > = Im[O > de la base-v,

I0t'~lv~ > = ~0,,[v,, > = ~ l O v > , (m entier).

Par suite, Faction du fihro irtt6grateur de m6moire 0 sur un signal IX > de p6riode 0, d6composable suivant (70) on une s6rie harmonique de vecteurs ]vm > de la base-v, est :

(84a) �9 [ M > = I 0 t z l X > = +oo Y. x,, Id~lv,~ > = xolOv > .

n t m ~

II on r6suho, 6tent donn6 la valour propre exp [--2rdv-r] do T+, que :

(84b) I0l~lX > = T, I0i2lX > , vx,

co qui montre que le signal intdgr~ 1~I > est un signal constant: [M > joue le rSle de <~ signal moyen }} associ6 au signal d~terministe p6riodique IX > .

c) Los r6suhats (84 a o t b), 6tablis darts le cadre d6termirtisto, demeurent valables lorsque IX > est aldatoire pdriodique. Alors :

(84c) E { I0,2[X > } = E I x o }lOv > ,

apparal t eomme un signal constant.

d) La rcpr6sentation-v do ] ~ / > d6coule de (84a) en tenant compte de la relation d'orthonormalisa- tion < riO, > = ~(v) entre vecteurs de la base-v continue [i]. On a :

85a) < viM) > = < vlI0t,.lX > = zo ~(v) ~ [z~(v).

Par suite, la repr6sentation-t est simplement :

(85b) < tiM > = < tlloi~lX > = ~, vt,

ou, sous une autre forme :

i (85c) Iz : 0 (IIe/2 * X)m, Vt,

- - 2 8 3 - -

expression qu'i! r de eomparer ~ (82c). Bien entendu, les trois relations (85a, b, c) sent 6galement valables dans le cadre al6atoire.

2.4.3. O p g t a t e u r de corrdlatlon.

Cot op6rateur lin6aire dans 8 e s t d6fini ([i] paragraphe 9.3) sur deux signaux d~terministes IX x > et I X ~ > par :

(86a) ~ i r Iim ~ T P r j X i > <Xr ( i , j = lou2). T - ~

iOn pout le relier h l 'op6rateur de covarianco (consid6r6 ir seas son acception d3terministe)

r ~ = Ix~ > < xd ,

co qui donne :

i (86b) ~ i = lira ~-~ Pr r~,, (i, j = I ou 2).

Par suite, si nous utilisons la d6eomposition (75) de F nous a reas :

t ~ o o (86 ) = Z > <

T - - ~ ~ , f / i

(v,, = n/O).

a) Pour d6terminer ~'~j, pla~ons-nous dans la base de repr6sontation-v. L'616ment diagonal < v[s > de la matrice s 'obtiont imm6diatoment si nous tenons eomptr do co que :

< vlPrlv, > = r~ (v - - v,) et < v~lv > = 8(v-- v~).

I1 r6suhe alors de la troisi~me expression (86c) de

J +c~

<viCe, Iv> lim - - ' -~ T~oo 2T ~,~ xn :t~

D'ofi, en t enan t eompte de la propri6t6 asympto- t i q u e (80) do ~r(v), aachant quc v~ = v/0 :

t'/I ~ - - - O O

b) On peut obtenir une autre expression de l'616ment diagonal do la matrioe-v on observant que, (68), x,~ ~- l[O ~(m]O), ~ qu'en outre la pro- pri6t6 de la distribution do Dirae fair q u e :

~, (m/O) ~(~ - - m/O) = ~,(~) ~(~ - - m/O).

Utilisant alors l '6eriture (67b) do xj(v), nous pou- vons 6erire :

i (87b) < vlS%lv > = ~ ~ (~) x? (u) =

i < vlX > < > .

Or, cette 6galit6 est vraie quel que soit v et, d 'autre part, il no faut pas oub!ior que seule est significative la diagonale de la matrice-v [l]. En eons6quenee, nous pouvons adopter eomme op6ra-

G, BONNBT [ ~ & / ~ s DRS 'I~i~2cOMMUNII~110NS

tour de eorr61ation do signaux pfriodiques l'oxpres- sion 6quivalente :

(88a) S2, = ~ b Potz IX~ > < x;I,

ou encore, on faisant appel h l 'analyse harmonique (70) de IX~ > :

I +oo (88b) S2ii = 0 Z 4" P012 1 > <vnl, (vm = m/0).

t / I . n

c) Si noun utilisons de nauveau la version d6ter- ministe de l 'op6rateur r de covarianee, nous obte- nons l ' importanto relatio~ qui assoeio 10s deux op6rateurs :

t (89) �9 ~ = ~ P 0 t ~ I ' i ~ , ( i , j - ~ t o u 2 ) .

I1 est int6ressant de comparer eette expression d 'un op6rateur de eorr61ation associ6 h des signaux p6riodiques avec celle (86b) qui r6sulte de sa d6fi- nition dans le eas g6n6ral.

2.4.4. Distribution spectrnle (nu seas ddter~ mintste) .

Cotto quantit6 to(v) partieipo ([i], paragraphe 9.1) h la r6partition ~pectrale do la puissance moyenno do deux signaux d6termlnistes IX 1 > et IX2 > . Si i = ], il s 'agit do la puissance moyanna propra de IXj > et e,(v) est la distribution speetrale 3nergd. tique ; si i # ] il s'agit de la puissance moyenne d'interaction entre IX x > et Xz > et e,j(v) est la distribution spectrale d'interaction.

a) La distribution spectrale c,r ost, [i], l'616- ment diagonal de la matrico-v do l 'op6rateur de eorr61ation ; done, dans le eas g6n6ral oxprim6 par (86a) :

i c~s (v) = < vl~;lv > = lira ~ (rrr * xdl,) x? (v).

T--)oo

Cette quantit6 a 6t6 justemont rcnoontr6c lors du calcul de ~ et e lh est repr6sent6o, dans le eas de signaux p6riodiques, par (87b) ; soit encore, compte tenu do la forme (63) de ~(v) :

(90a) c~j (v) = i t

Do son c5t6, la relation (87a) donne 6galement doux autres expressions de e(v) sous formo de s6ries (v~ = mlO) :

+oo

gti ~ - - - - O O

i §

O- ~ ~ (~) ~ ; (,~) Z ~(~ - - mlO). m m . - - O 0

Ainsi la distribution speetrale apparalt-ello eomme une distribution ponetuelle du type latticiel, de p6riode i [0 .

b) I1 r6sulte de (90b) que la pulssan~ moyr propre d'un signal p6riodique certain IXj > , associ6e

- - 284 - -

t . 2~, n ~ 9-10, 1968]

la bande de fr6quenees [ % - - B , ~o-1-B[, a pour valour ([l], paragraphe 9.1):

w O O

W% (~o) = ( I I , , c~)(,.~ = 22 Imkl ~ II, ( m l O - ~o).

Pour la puissance moyenne d'interaction associ6e h la mgmo bando, on a :

W~ (v0) = 2ae(IIs * e~)~,.~ = + c o

Remarquons bion que la puissance moyertne affec- t6e h une bande de fr6queneos bernie est, eomme il so dolt [l], tou/ours l~nie ; eeei, alors memo que la puissance moyenne globale pout no pas avoir do s e l l s .

F I L T R E S ALI~ATOIRES ET S T A T I O N N A R I S A T I O N DE S I G N A U X ~.5 /~ ~

2.4.~. Fonction (g~n~rttlis~e) de corr~latiort.

Cette quantit6 se d6duit de l'op6rateur de corr6- lation par la relation (Ill, paragraphe 9.2) :

C~i (r = Tr ~ T +,

et s'exprime, soit eommo transform6e de Fourier de la distribution spectrale c~.(v), soit encore - - ce qui revient au m~me - - au moyea de la repr6senta- tion-temps X~.(t) = < t[X~ > . Dons co dernier cos, o n a :

Cs~ (x) = lim 2~ (IIr X~ * X~')~, T--~ c o

(X#(t) = - X * ( - - t ) est le signal-temps adjoi~t do x(t)).

a) Darts le eas des signaux p6riodic[ues, nous utilisons direetoment l'oxpression (90a) de c~(u) ; ee qui donne :

d) Deux autres expressions r6suhent de la transformation de Fourier de (90b) et prennent ainsi la formo de s6rios ; co sent :

+oo (91b) Ci~ (z) = ~ xk x~* exp (2~imz]0) =

t / I ~ - - - O O

Z ( ~ , * ~,~)(,--~,. ~- - - -oo

Sous cot aspect, on volt que la (~ fonetion ~ do corr61ation C~(x) ost une distribution de pdriode O. On pout construiro C~(x) h partir des signaux-temps g6n6rateurs X~(t) en snperposant routes les trans- lotions de i[0 ( ~ . X}g)t~, distribution dent le support est [ - - 0, + 0].

2.5. Can partlculier des Mgnaux al6atolres p&lo- dlque$ et statlonnaires.

DI~FINITION. Deux signaux al6atoires IXx > et Ixz > , p6riodiques au sons de (58), sent de plus stationnairement eorr616s lorsque los deux premiers

moments du couple { < S * , X 1 > , < *ztXg. > } ont los mgmes valours que eeux de I < O1 T~ X x > , < �9 IT, Ix2 > I, cola pour un ehoix arbitrairo dans 80 des signaux fortdamentaux d6terministos I*x > et I~ z > et quelle que soit la puissance ~ de l'op6- rateur de translation temps T~.

a) I1 on r6sulto que IX x > et [X~ > possgdont h la lois los propri6t6s des signaux p6riodiquos et cellos des signaux stationnairemont eorr616s. En partieulior ils sent run et l 'autre stationnaires de ~.econd ordre et ils admettent la d~composition harmonlque (70) o~t v. = m/O:

+ o o

I X ~ > = E x d l v , > , p . s . , ( j = i o u 2 ) . r a m - - - C O

Los propri6t6s statistiques dos coefficients do Fourier x~ sent, eomme nous allons le volt, forte- meat modifi6es par la stationnarit6.

b) Au premier ordre, lo signal moyen : IM > = El Ix > } ost maintonant un signal constant, done I M > = T, I M > Vz. I1 err r6sulte pour los coefficients de Fourier, dans (70) :

Elad, l = E l x ; } 8 o ~ =~ I M > = E t x ~ ] I O ~ > .

e) Au second ordre, l'opgrateur de covarlance r,{ = E I IX, > < X,I ] dolt a r e [1] diagonal dans la baso-v :

E { r~ (v) x7 (r } = < v l I~ lr > -- Yi~ (v) 8(v-- r

et la valour propro yo x (v) est la distribution spee- trale. Cot 616meat de matrieo est donn6 par (76) dons locas g6n6ral et on pout le r6erire :

+oo < ~l rg l r > = 2 E I ~k ~* I •

t l l , n

Par suite los coefficients do Fourier ont, dans le eas stationnaire, la propri6t6 d'gtre non eorr616s :

El x ' a * I = El x-Z ' I. Dans urt autro langage, leur matrice de correlation

est diagonale. II on r6sulte l'expression suivanto de l'op6rateur do eovarianee, eomptc tenu do la formo g6rt6rale (75) :

+oo

r ~ = Z E I ~ , ~g ]Iv , > < ~.I, (~. = m/0). I n m - - - c o

d) La distribution spectrale prend la formo :

+oo

"~i} (v) = )2 E [ ~ zg ] ~(v-- m/O).

C'est urte distribution latticielle de p6riode 1/0. e) L'op6rateur de covariance du signal g~n~rateur,

d6erit en g6n6ral par (78b), poss~de ici lapropri6t6 partieuli6re :

Cos 616ments de matriee s'annulent dans v ~ v' aux neeuds d'un r6seau cart6 de maille l /0, saul sur la diagonale prineipale,

- - 2 8 5 - -

16/22

/) Similairement, la ropr6sentatio~ du signal g~ngrateur moyen s'annule p6riodifluement pour

= v,~ = m[O s a u f v = 0 :

Elle est on effet donn6o par :

< > = < vlPol~[M > = E [ x o } r~oh (v).

3. S T A T I O N N A R I S A T I O N DE SIGNAUX MEL~IS DE B R U I T S

3.1. Stationnarisation d'un signal donn6.

Nous abordons un probl~me ossentiellement diff6rent de colui trait6 au paragrapho 1.5 ~ propos des filtros al6atoires stationnaires : il s'agit mainte- nant de thatcher ~ rendre stationnaire par filtrago al6atoire un signal donn~ h l'a~,ance (d6terministe ou al6atoire) ot non plus l'ensemble de tou., los signaux de l'espace 8. C'est h u n tel problbme flue nous donnerons le ham de ~ stationnarisation ~>, la stationnarit6 recherch6e devant s'6tendre au mains jusqu'au second ordre.

Donnons-nous deux signaux composites (signaux -t- bruits)[X1 > et IX~ > . Pour flue leurs trans- form6es dans deux filtres lin6airos al6atoires Fz et F2 soiont deux signaux al6atoires stationnairement eorr~l& (donc individuellement stationnaires de second ordre) il faut et il suffit (voir [l], paragraphe 7.i) qua :

E I F~]X~. > I soit un signal constant (] -- 1 ou 2) c'est-~-dire invariant par translation-tamps,

los op6rateurs de covariance r ~ de~ transform6as I Y, > = r lx, > (i, ] - - i ou 2) poss~dent los propri6t6s des filtres lindaires, e'est-h-dire commu- tent avec los op6rateurs de translation-temps ainsi flu'avec los filtres et soient par suite diagonaux en repr6sontation-fr6quence.

Eu 6gard aux formulas universelles de la moyenno (20) 'at dos intarf6rences (24), cos conditions de stationnarisation se traduisent p a r :

(92a) E I Fj t IM > = T, E I Fj t IM >, Vx.

(92b) [E I F, F] }, T,] = O, Vx,

ou encore :

{ F, r,* } Iv > = (v) Iv > .

Trois solutions sent 6vidcntes, mais quelque peu triviales :

a) los signaux composites IXz > et IX 2 > sent al~atoires et stationnairement eorrdl&. Comma nous l 'avons d6jh remarqu6 'au paragraphe 1.3.1d, lea sorties ] Y~ > et [ Y2 > conservent cette propri6t6 quels que soient les filtres Fx et F~. On a IM > = T, IM > et [r~,, T,] = O, V,.

b) ]X~ > et [X~ > sent des signaux ddterministes constants :

IX > = IM > = T~ IM >, v.:

G. B O N N E T [ANNALE$ DES T]~L]~COMMUNICATIONS

c) les filtres al~atoires F]et F~ sontstationnairement corrdl& (paragraphe 1.5.). Leurs propri6t6s (47) et (52), valables pour un signal arbitraire, r6pondent 6videmment aux conditions exig6es en pr6sence des signaux [X~ > donn6s.

d) En route g6n6ralit6, la solution du probl~me de stationnarisation d6pend tout h la [ois des pro- pri6t6s statistiques des filtres F~ et de cellos dos signaux d'entr6a (signal moyen, op6rateur de cova- fiance). I1 est utile de traduire los conditions (92) dens la base de repr6sentation-v, base propre commune aux filtres et aux op6rateurs de trans- lation-temps : en nous basant sur los 6crituras (4in) et (43) dans cette repr6sentation, los conditions (92) s 'expriment par :

(93a) E I h(v) I E I x(v) I = Ix 8(v), (ix = Cte).

(93b) E I h , ( v ) h ; ( v ' ) } E I x , ( v ) x ; (v')} = Z. (v) ~ ( ~ - r

I1 se trouve, comme nous allons lo voir, que le cas des signaux p6riodiques permet justement de mettre en 6videnee une solution tr~s simple, bian flue particuli~re, de ce probl~me.

3.2. $ignaux p@iodiques : flltre de translation al6atoire.

3.2.1. Entrde p~riodiqur

Soit un syst~me do deux filtras al6atoires Fz et F2 dent los ontr6es IX 1 > et IX 2 > sent des signaux p~riodiques, al6atoires ou d6terministes, au sens du paragraphe 2. On suppose leurs p6riodes common- surables et consid~re une p6riode commune 0. Puisflu'il s'agit de filtres, lo plus simple est de raisonner dans la base off cos op6rateurs sent diago- naux, la repr6sentation-v.

a) La premiere condition (93a) mantra flue le filtre moyen ne doit retenir qua la raio de Dirac situ6e h la fr6fluence z6ro darts l'expression (72b) de E I x(v) }. Autrement dit, il faut flue la valour propra h~.(v) de F~ soit tolls qua :

(94) Et hj(v) l = 0 pour vfm]{}, Vmentier=fiO,

b) D'autre part, l 'expression (76) de E I x~(v)x~'(v')l dans le cas p6riodique pout gtre r6crito, en vertu des propri6t6s des distributions de Dirac sur R 2, sous la forme :

+ ~

(95) E I x, (v) (r i = E I xm' '* I • k, m

~(v-- m/O) ~(v-- v ' -- k/O).

Pour que la seconde condition (93b) soit satisfaite, il convient done que los valeurs propres hi(v) des filtres al6atoires Ft soient telles que :

(96) E [ l~ (v) h; (v') } = 0 pour (v-- v') = k/0, Vk entier r 0.

Nous allons voir qu'il existe au moins unr classo

--- 286 ---

t. 23, n* ' 9-10, 19681 F I L T B E S A L I ~ A T O I B E S E T S T A T I O N N A R I S A T I O N D E S I G N A U X

de filtres al6atoires qui satisfassent s imul tan6ment aux deux contra intes (94) et (96) exig6es pour la s ta t ionnar isa t ion de s ignaux p6riodiques : ce sent les filtres de translation al~atoire.

3.2.2. Conditions de stationnarisatlon p a r

filtres de translation ldentlques.

Si l 'on fait appel h des filtres de t ransla t ion al6atoire du type T~+, 6tudi6 au paragraphe i.6, il convient de rechercher quelles sent les contraintes impos6es ~ la loi de la variable al6atoire ~.

a) Au premier or&e, la condi t ion (94) se t radui t pour la fonction caract6rist ique q~l(u), 6taut donn6 l 'expression (55a) de E I h(v) I, p a r :

(97) q)l (2m~/0) = ~o,,, Vm entier 5~ 0.

b) Si la fonction caract6ristique de e rempli t cette condit ion, on volt qu'elle satisfait ipso-/acto h la condi t ion de second ordre (96) sous r6serve que les filtres al6atoires T~+t, et Tx+=, soient identic[ues : e 'est ce qu ' indique dans un tel cas l 'expression (57) de E{ h,(v) h*(,/) I"

c) Une solution possible est done de fairo appel h deux filtres de translation aldatoire identiques T,+, den t le param~tre r poss~do nne fonetion caract6- r is t ique s ' annnlan t sur tous les mul t iples entiers de 27:/0. La plus simple d 'ent re elles est d 'adopter :

(98a) 01 (u) - sin uO]2 uOI2

ce qui conduit h une variable al6atoire ~ de loi uni/orme dans l'intervalle (-- 0/2, q- 0/2) de mesure dgale d la pdriode, done de densit6 de probabitit6 :

t (98b) p(r = ~} IIoj ~ (r

d) Alors le filtre moyen a pour r6ponse percusion- helle, cf. (55b), ot pour valeur propre :

t (99a) E I n(t) I = ~ II0,2 ( t-- x),

t e_ znl~ , E I h(~t) I = 0 ~Olz (v).

II s 'agit , paragraphe 2.4.2, d ' un filtre intdgrateur de mdmoire 0 :

(99b) �9 E{ T,+, } = T~: 1o1"~,

3.3. Statistique en sortie et statlonnarit6 p&io- dique.

Nous consid6rons d6sormais les relations de t rans format ion IY~ > = T,+= tX~. > dans un syst$me ?t deux entrdes (i, ] = 1 ou 2) pour loquel :

[Xi > est de p6riode 0 e t a pour coefficients de Fourier x~,

r est ident ique sur chaque canal, avec la densit6 de probabilit6 (98b) (loi uniforme).

17/22

3.3.1. Premier ordre.

La formulr de la moyenne donne, 6tant donne l 'expression (99b) du filtre moyon :

E{ IV, > I = T, I0h E { I X , > ].

a) La r6ponse de l ' in t6grateur Io, ~ h E [ [Xj > ] est d6crite par la relat ion (8@) du paragraphe 2.4.2 ; ee t te expression mont re que la r6ponse est un signal constant , done invar iant pour tou te t rans la t ion T,. De ce fait Ell r, > lest bien un signal constant, qui est :

(t00a) . E I Irj > I = E[ x o }lO, > , Vx.

b) Les repr6sentat ions de ee signal moyen de sortie sent done :

(100b) E { y~ (v) I = E I x~0 I~(v) ,

E l Y7 (t)] = E l x~o } , V'r.

3.3.2. Second ordre.

a) La formule universelle des interf6renees (24) so t r adu i t iei par I',~ = E { T~+. r ~ T~+*, I. Nous utilisons l '6eriture (75) de l 'op6rateur r x de corn- fiance des signaux p6riodiques IX > d 'entr6e, soit :

+ o o

r~ = 2 E{ x~ x~* i lv, > < v,l, (vr~ = m/O). ~ 0 0 m It m , h

Ce qui donne pour l 'op6rateur de eovariance on sortie :

+ c o

(101) F , ~ = Z E Ix ' xi* ] • - - 0 0 m,W

E [ T,+, Iv, > < v,l T,+ +, t"

D'une part , Faction de l 'opera teur de t rans la t ion sur le signal Iv~ > de la base-v pour lequel v~ = m[O est, conform6ment h (59):

tit --2~1=('~ + t) T~+~lv, > = e o Iv,, >.

D'autre part , l'unique variable al6atoire r 6tant de loi uniforme (98a), nous avons :

~oh (v),

ce qui donne en por tan t dans (101), eompte t enu de ee que v , = m[O :

md~

t soit enfin, p u i s q u e ~ r~0t~ [(m - - n)[0] = ~ ,

(83), l 'expression de l'opdrateur de co,ariance en sortie du syst~me de filtres de t rans la t ion al6atoire :

+ c o

(i02) . r,f = y, E [ x k x,~ * ] Iv. > < ~,l,

vx, i , j , = l o u 2 ; v,~= mlO,

expression qu'il est utile de comparer avee celle (75) de l 'op6rateur h l 'entree.

- - 287

t.8/22

b) ]~tant dana6 clue v~ = mlO, los relations d'orthonormalisation [i] dans la base-v continue donnent :

Iv~ > < v~lv > = a(v-- m/0)lv,, > = a(v-- m/0)lv > .

D'ofi r6sulte dans (i02).

ce qui montre que r ~ est bien diagonaldans la base-v et par suite que les sorties t Y~ > sent stationnairement corrdldes. Cette relation d6termine 6galement l e

spectre des valeurs propres de I'~ qui est, comme on salt [i], la distribution spectrale T~(v) associ6e h cos sorties, soit

+ o o

(t03) �9 y ~ ( v ) = 5', E [x~x2* l (3 (v - -mi0 ) = f t i ~ - - - -OO

I El E~(v) x}'(v)t, ( i , j = I ou2).

Cette distribution a pour p6riode l/0.

c) La covariance en reprdsentation-t s'obtient par transformation de Fourier de y(v) et vaut ainsi :

(104) �9 r ,~ ( s )= E[ Y , ( t ) Y ~ * ( t - - s ) } =

1 +co " ~* ]exp (2=ires/O). ~ E I ( X S X ) ( , ) ] = X E I x ' . x .

3.3.3. Pdriodicitd de la t r a n s f o r m d e .

Appliquons h la sortie lye. > = T , , , IXj > l'op6rateur do translation Tk0 , avee k entier arbi- traire, l~tant dana6 la loi de composition do ce type d'op6rateurs, nous avons :

Tk0lYJ > = Tk0+.§ > = T,+= T~olXr > .

Or, l'entr6e est p6riodique, et de Co fair Tk01X > = I X > presque-sfrement, suivant la DI~FINITIO_N I du paragraphe 2. II en r6sulte la propri6t6 :

(105) Tk0[Yj > = [Yi > , Vk entier p.s.

a) La transform6e ]Y~ > d'un signal p6riodique dans nn filtre de translation al6atoire est done un signal aldatoire pgriodique et stationnaire, de mgme p6riode 0.

b) Les expressions du signal moyen et de l'op6ra- tour de covariance de I Y > coincident, comma il se doit, avec los expressions corrcspondantes du para- graphe 2.5 relatif h c e type dc signaux. Or, en rant que signal p6riodique, [Y~ > admet nne analyse harmonique de la forme :

(t06) IY, > = Z V{,,lu- > , (J = l o u 2 ; u= = m/O), t / t i n m O O

et, par oomparaison, los propri6t6s statistiques des coefficients de Fourier s'av~rent gtre:

E[ y~y~* l=~, , , E t x ' x'* ~

G. B O N N E T [ANNALE$ DES TI~LI~COMMUNIC, JkTIONS

3.3.4. l~emarque.

II n'est pas inutile de rappeler flue los r6sultats obtenus ici sent valables pour des entr6es p6riodi- ques dgterministes aussi bien qu'al~atoires ; la seulc diff6rence dans los formulations est qu'il faut consid6rer, darts le cadre d6terministe, l'identit6 entre los grandeurs d'entr6es et louts moyennes statistiques (E [ x,,x ~ .4~ I -- ~ - ~ -f*, etc...).

3.4. Stationnarisation d'un signal p&iodique m~16 g du bruit.

I1 reste h nous penchor sur le probl~me le plus g6n6ral consistant h transformer dans un filtre al6atoire un m61ange do signal p6riodiquo IS > et de bruit [B > de fagon telle que la sortie soit un signal composite al6atoire stationnaire. Co qui pr6c~do a montr6 que, entre autres, lc filtre de translation al6atoire T.+= r6pond ~ cos exigences en ce qui concerne la composante p6riodiquo iS > . Nous sommes ainsi amen6s ~ 6tudier le comporte- meat d'un syst~me h deux entr6es has6 sur ce type do filtres (Fig. l) :

IXj > = ISj> + IB~ > - + lye" > = T,+= [ISi > + IBi >] ( j = t o u 2) .

Canal r [B t >

~ I v z > --" ~ ' Canal 2 IBz >

Fxo. 1. - - Sch6ma du sys t~me de s t a t ionnar i sa t ion deux entr6es.

a) Los filtres al~atoires T,+, scat idcntiques sur los deux canaux, leur param~trc commun �9 ayant une loi uniforme de densit6 exprim6e par (98b).

b) Los signaux IS z > ct IS 2 > sent indiff6rem- meat al~atoires ou dgterministes, de p6riode com- mune 0. Leur description pent, comma nous le sarans (paragraphe 2.2.3), gtre bas6e sur lcurs coefficients de Fourier s~, ce qu'exprime la d6com- position harmonique :

+ o o

ISj > = Z ~Jv= > , (v,~ = m/O). g a ~ ----OO

c) Los bruits I Bx > et lB,. > sent iad6pendants de r Leur statistique do second ordre cst d6crite par los bruits moyens [M~ > ct los op&ateurs de co.arlan, r~ (i, i = t ou 2).

3.4.1. Stat ts t ique de premier ordre en sortie.

En se basant sur la formule universelle do la moyenne, relative au filtrago al6atoiro d'un m61ange de signal et de bruit (paragrapho i.3), on obtient h la sortie du canal i, compte tenu de (99b) :

( lOS) E [ I Y ~ > } = E I s ~ > ,

t . 23 , n ~ 9-10, 1968]

le premier terme repr6sentant, (i00a), le signal moyen de sortie associ6 h la composante I Si >.

F I L T B E S A L I ~ . A T O I R E S E T S T A T I O N N A B I S A T I O N D E S I G N A U X I9/22

3.4.2. S tat is t ique de second ordre.

Dans la formule universelle des interf6rences

qui donne los op6rateurs de eovariance en sortie, on doit porter, (35) :

(li0) r~ = r~ + r~ + r~ + r~, (;, j = i o. 9).

'La contribution h la sortie due aux signaux [St > est 6gale, (102), i~ :

+ c o

nIT,+.r~T,+*.l: X Ei,~s~.*llv~><v~l.

Diagonale dans la base-v, e l lea pour valour propre la distribution spectrale :

~: E I s~ s~* I ~ ( v - m]O).

3.4.3. Conditions de s ta t lonnar l sa t lon .

Pour que [ Y1 > et J Y~ > soiont stationnairement corr616s, il faut, d'apr~s (t08) et (109) que los bruits soient tels q u e :

a) T, I0n~lM ~ > = I0t~lM ~ > , V~.

b) E I T,+, fr,~ + W + r~s] T,+L I, soit un op6rateur diagonal dans la base-v.

D'apr~s ce qui a 6t6 vu, il existe pour le moins deux solutions pour los bru i t s : los ]B~ > sent stationnaires ou bien sent des bruits pdriodiques, stationnaires ou non.

3.4.4. Slgnaux pdrlodiques et bruits s tat ion- na i res .

On suppose dans ce cas los [Bj > stationnairement corral,s et de plus ind@endants des signaux.

a) Los op6rateurs de covariance mutuelle signal- bruit ~ l'entr6e s'expriment, vu l 'ind6pendance statistique, par :

r~j = E[ ]S i > <Bi[ I = E I [S, > } <M~],

[M~ > est ici un signal constant e t nous le rappor- terons au signal constant unit~ ]O v > en posant :

I M ~ > = t ~ I O ~ > * < M ~ I = ~ * <O~l.

En portant le terme d'interaction r~, (et de mgme r ~ a) dans (i09) on tiont compto de co que l O, > eat invariant vis4-vis de la translation T~+~ et que, d'autre part, on a d'apr~s (100a) :

E[ Z,+,IS, > }= E t 4 11o, >. La contribution de cos termes d'interaction h la

covariance en sortie r ~ est donc :

EI~I'~*Io~ ~ > < % ~ e,~El,~*} Io~> < o J .

b) La contribution de r~, covariance du bruit, est cello 6tudi6e au paragraphe 1.6 pour le cas pr6sent de bruits stationnairement corr616s : on sait qu'ells demeure @ale ~t P~.

c) Le signal moyen de sortie s'exprime par

(ilia) �9 E [ I Y j > I = [ E [ 4 i + $ f ] [ O ~ > ,

Sos repr6sentations sent ainsi :

(liib) E I YJ (t)} = E{ s~ } + ~ ,

et E ~ y~ (v) } = E I u (t) } ~(v).

d) Les op~rateurs de eocariance en sortie ont la formo : (v~ = mlO),

+ o o

(m) , r,~= X EI,~ r

r,~ + [El sl } ~t~* + ,~" E [ s~* ]]lO, > < 0,1. e) On en d6duit l'exprossion dos distributions

spectrales (6nerg6tiques ou d'interaction), qui ropr6- sen ten t le spectre des valeurs propres de r~ . Pour cola, on utiliso la relation (103) relative au signal et los distributions spectrales y~(v) des b ru i t s ; ce qui donne :

(ll3) +,~ (v) = Y ~. { ,'~ ,t* } ~ (v - ~/0) +

~,~ Iv) + [~. i ,~ } ~ * + ~," E I s~, }] a(v). /) Cos r6sultats sent, rappelons-le, valables pour

des signaux d'entr6e ]St > p6riodiques d~terministes aussl bien qu'al~atoires, h une modification mineure pros de l'6criture, d'ailleurs 6vidente.

3.4.S. Stgnaux et brui ts tous deux p6rtodlques.

Si los bruits [Bj > sent 6galement p6riodiques, suppos6s de mgme p6riode 0 quo los signaux et non n6cossairement ind6pendants de ces derniers, la r6sultante IXt :> -= [Sj > + [Bs :> h l'entr~ est 6galement p6riodique. Ses coefficients de Fourier

J = i + b~, s i les b~sont les cwffi- sent alors x m s m cients de Fourier des bruits [Bt > . Dans cos condi- tions, il suffit d'utiliser les r6sultats du paragraphe 3.3, ce qui donne :

a) pour le signal moyen de sortie.

(ii4) �9 E I l Y , > i = E I s o + b o l [ O ~ > ;

los repr6sentations en sent :

EI x~( , ) }= E l , o + be}, et E iy , (v ) l = El (So + b0) J~(v);

b) pour les op~rateurs de covariance en sortie (v~ ---- m/0) :

(ll5) �9 r~= Z " c,.,~ Iv~ > < v~l, m m

(li6) ovee c ~ = E I 4 r + b~ b~ + S m

quantit6 qui d'apr~s (77b), est le c~fficient de

~89

20/22

Fourier diagonal du d6veloppement de la cova- riance on temps ~ l'ontr6e :

t rx~t ' < ~, > = E I [S t (t) + n~ (t)] [S* (t') + B~* (t')] I =

c ~ cxp 2~i m~ -- n ; tD,~

c) los distributions spectrales s'expriment par :

+ o o

(117) T~ (v) = E c~I ~(v-- m/O). ..---.oo

3.5. Stat ionnari t f i a u s e n s str ict .

I1 y a lieu maintonant de constator que la trans- form6e ]Y > = T,+,IX > d'un m61ange do signal p6ri0dique et de bruit est dot6e d'uno stationnarit6 plus vaste que la stationnarit6 de second ordre rechoreh6o : la stationnarit~ au sons strict ([1], para- grapho 7.1). Nous utilisorons pour co faire la notion de/orme caract&istique.

3.51. Ddfinttion.

La [orme caract&istique d'un processus al6atoire I Y > , 616ment de l'espace-signal g, est l'esp6rance math6matique :

(118) L~ = E I exp i < e tY > I,

construite sur un signal fondamental d6terministe [r > e go arbitraire.

Cetto grandeur vient ainsi rejoindre, dens une base de repr6sentation, la forme caract6ristique E { exp i < ~, y > I de I. M. Gelfand [4] eoncernant los processus-distribution al6atoires.

3.5.2. Bruits stationnaires ffltr~s.

Suivant sa d6finition mgme [l], si IB > est un bruit stationnaire au sons strict, la variable al6a- toire < q~lB > a, VIcb > e~0, lamgme fonction de r6partition que < ~[Tx[B > quelle que soit la puissance Z de translation ;

a) pour cheque r6alisation particuli~re du para- m~tre ~ intervenant dans le filtro al6atoiro T,+ t, la forme caract6ristique de T,+,IB > est la mgme que celle de I B > ;

b) il on est par suite de mgme sur l'ensemble des r6alisations de r I1 en r6sulto quo la transform6c d'un bruit stationnairo au sons strict dans lo fihrc de translation al6atoire T~+,_ demeure stationnaire au sens strict (quello que soit d'ailleurs la loi de ~).

3.5.3. Signaux ou bruits p6riodiques t l l trds.

a) Plagons-nous d'abord dans lo cadre d'une r~alisation particuli~re de l'entr6e ]X > (signal, ou bruit, ou m61ange des deux) de p6riode 0. C'est 6galement le cadre d'une entr6e d6terministe.

La d6termination de la forme caract6ristique de la

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transform6e I Y > ---- T~§ > pout so faire en d6veloppant l'exponentielle dans (118). On sait par ailleurs que la convergence d'une telle s6rie est assur6e pour los valeurs moyennes. Nous sommes ainsi amon6s h caleuler los valeurs moyonnes des puissances suecessives de < r > , soit:

E, { < OIT~+dX >iv I = E~ [ < ~, hx >N I,

(N ontior). Cos esp6ranees math6matiques s'expriment, 6rant

donn6 la densit6 de probabilit6 (98b) de r et la valour propre h(v) = exp [-- 2mi(x -4- r du filtre, par :

i < H01~ (z), < ~, e-m~*+e~v x > ~ >.

En d6veloppant, puis calculant la forme lin6aire sur r on obtient uno forme lin6aire des x(v) dans l'espace produit tensoriel v 1 | v~ ... | vN. Dans cette derni~re, 6tant donn6 la d6composition (67b) de x(v), intervient la quantit6 :

I exp 2~i(m 1 {) + m~ . . . + m~ x

rgol~ (ml + m' "" + re'v),

lO, l ' s i m l + m g ' ' ' + m 2 c = O ' s i non.

On a tenu compte do la propri6t6 (83) de =e! 3, los m 1, m2... m~v 6rant des indices entiers). Cc qui donne finalement :

(119) E~ I < OIT,+dX >N ] =

. . . , (m)

o6 (m) repr6sento la vari6t6 : m 1 + m s ... + mzr = 0.

b) Pour l'ensemble des r~alisations du signal d'entr6e IX > , la ~oyenne prise sur (1'9) s'obtient imm6diatement en consid6rant que los ~ sent des

l fonctions d6terministos et los x,~ = ~ ~(mdO)

sent des variables al6atoires ind6pendantes de r Ce qui donne :

E I x.,x . . . I"

c) Cette grandeur apparalt done comme ind6- pendante de la translation Tx, cola quel que soit et quel que soit le rang N. Par suite la forme carae- t6ristique de la sortie poss~de la propri6t6 :

L| = E I exp I < qblY > I = E { exp I < OIT~IY > I, VX.

Comme la forme caract6ristique d6finit enti~re- ment un processus al6atoire, ee r6suhat montre que toutes les propri6t6s statistiques de la transform6e

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t . 23 , n* , 9-10, 1968]

d'un signal ou d'un bruit p6riodiques IX > dans le filtre de translation al6atoire T,+, sent invariantes par translation. Done cette transform6e est station- naire au sons strict.

F I L T R E S A L ] ~ A T O I " E S E T S T A T I O N N A R I S ~ k T I O N D E S I G N A U X 2t/22

3.6. C o n e l u s i o n : e r g o d i s m e et t r a n s e r g o d i s m e .

Pla~ons-nous dans ie cadre particulier d'un couple de signaux d~terministes p6riodiques, station- naris6s par deux fihres al6atoires identiques T,+,.

a) Los entr6es IX~ > 6tant d6terministes, leurs coefficients de Fourier sent des nombres certains:

(12o) = EIxLx,:l:x' x':. b) Pour une rgalisation particuli~re du filtre de

translation T~+~ (c'est-h-dire pour une r6alisation particuli~re de la variable al6atoire r les trans- form6es :

IYj > = T,+, [Xj > ,

lesquelles, on l'a vu, demeurent p6riodiques sent caraet6ris6es par (i, ] = I ou 2) ;

- - u n e moyenne temporelle tir6e de l'expression

(84a1, [Mr >-~- Iol~lr, > = I012 %+,Ix; > et qui, eu 6gard h la propri6t6 d'invariance (84b), vaut :

(t21) [ /~r > = [ ~ f > . = x~lO~ > , v~ et x ;

- - u n opdrateur de corrglation ~ . On sait ([1] paragraphe 9.3) que ce type d'op6rateur se trans- forme lors d'un filtrage lin6aire solon la formule des interf6rences ; done :

n ~ = T,++ p..+x T,++.

Comme T++. est diagonal dans ]a base-+ et de va]eur propre exp [--2+iv(+ + r il en r6su]te, pour los 616ments diagonaux de la matrice dans cette base, l'6galit6 :

Cos derniers 6rant los souls significatifs, il revient au mgme d'6crire :

(122) ~ = ~ , re.

Ainsi, distributions spectrales et [onetions de corre- lation s'av~rent-olles identiques h la sortie et l'entr6e pour ehaque r6alisation particuli~re du filtre al6atoire :

+ c o

(123a) c. r . ( v ) ~ _ ~ ( v ) = 2 x + x ~ * ~ ( v - - m / 0 ) , V r

x~x~exp(2rdm~) re, §

(123b) C r (~) _= C x (~) = Y~ ft$ m--OO

II s'agit done de distributions certaines.

c) Los moyennes statistiques des deux premiers ordros, prises sur l'ensemble des rgalisations du fihre al6atoire eonduisent ~ un signal moyen ot

une covariance en temps exprim6s respectivement par (100a) et (104), soit compte tenu de la nature d6terministe des coefficients do Fourier, (120) :

F. t Iv, > I = > - I T>= § [ "]

(,) = x x, ; 2 oxp 2xim b ----- Cg (x) = C~. (,). M m-'-O~ t/~

I1 y a done identit6 entre, d'une part, los moyonnes statisticfues des deux premiers ordres ~ la sortie des filtres de translation al6atoire et, d'autre part, los moyennes temporelles correspondantes. De ce fair, le fihre T,+, attribue aux transform6es de signaux d6terministes p6riodiques, non seulement la pro- pri6t6 recherch6e de stationnarit6, mais en outre cello d'gtre ergodiques (du moins au second ordre).

d) Ce qui, de plus, est particuli~rement int6res- sant dans ce r6suhat c'est que los moyennes statis- tiques observ6os h la sortie du syst~me s'identifient aux moyennes temporelles du signal dgterministe initial, eelui qui est plac6 h l'entr6e : s'il fallait 6voquer eette propri6t6, il semble que le n6ologisme de << transergodisme ~> serait assez descriptif.

De co fait se trouve justifi6e par une nouvelle approche une m6thode pr6conis6e par A. Blanc- Lapierre et R. Ferret [5] : cos auteurs ehorehent d6finir la fonetion de r6partition speetrale (dent la d6riv6e est la distribution spectrale) d'un m61ange X(t) = S(t) + B(t) de signal-temps p6riodique d6ter- ministe et de bruit stationnaire ; co qui eonstitue un signal composite essentielloment non-stationnaire. Pour ce faire, ils pronnent pour covariance en temps du signal composite ta moyenne temporelle sur une p6riode de l'esp6rance math6matique:

E I X(t) X * ( t - z)I"

Cette double moyennene d6pend effectivement que de la diff6rence de dates x ; elle correspond ainsi une distribution de la << moyenne temporelle de la puissance instantan6e moyenne >> qui se trouve coneentr6e sur la diagonale principale du plan v | v', done est du type y(v) ~(v - - v').

Or, un tel proc6d6 6quivaut ~ prendro pour covariance du m61ange S(t) + B(t) la somme CS(x) + FB(x) de la [onction de corrdlation du signal et do la covariance du bruit. Alors los propri6t6s d'ergodismo que nous venons de constater montrent clairement qu'une telle quantit6 s'identifie avee la eovarianeo on temps E { Y(t) Y*(t - - x) I que l'on obtient en stationnarisant le signal composite dans un filtre de translation al6atoire. Ainsi, toute apparence d'artifice disparalt dans la m6thode de double moyenne, d~s lots qu'elle fait appel im- plieitement au proe6d6 de stationnarisation par filtres de translation al6atoire et ~ sos propri6t6s de ~ transergodisme ,.

Remarquons aussi que le proe6d6 [5] de double moyenne que nous venons d'6voquer se trouve g6n6ralis6 et 6tendu ici/~ des 6tres plus vastes quo dos fonctions at6atoires : il s'agit pour nous on offer

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do signaux al6atoires abstraits et de leurs repr6sen- tations par des distributions.

e) I1 exists uno autre m6thode de d6finition d'une distribution 'spectrale, destin6e h dos bruits p6riodiques, qui a 6t6 propos6s par Y. Ayant et R. Chicauh [6] ; ells est bas6e sur une description de la fonction al6atoire par une s6rie de Fourier du type do S. O. Rico [7] e t u n passage ~ la limits. I1 somble quece proc6d6 s'apparonte, bien que tr6s indirectement, h la m6thode 6voqu6e ci-dessus de stationnarisation par double moyenne.

[) Un proc6d6, apparcmment tr6s diff6rent, de stationnarisation du m61ango d'un signal p6riodique d6terministe ot de bruit stationnaire (6tudi6 simple- ment dans la base do repr6sentation-temps) a 6t6 maintes lois utilis6 par l 'auteur. I1 consists ~ re- connaltre que, pour un observateur survenant une date arbitraire, un ph6nom~ne p6riodique doit 6tre logiquement consid6r6 somme d6fini h une translation pr6s do l'origine des temps. Autrement dit, on admet l'existence a priori d'uno incertitude totals sur la ~ phase , i co qui conduit h introduire une origins des temps 6quipartie al6atoirement darts un intervalle de dur6e 6gale h la p6riode. I1 en r6sulte alors une covariance on temps station- naire ot uno distribution diagonals de la puissance moyenne (of. par oxemple [8] pour la stationna- risation d'un 6chantillonnage).

On pout admettre ou r6cussr ce point de rue heuristique ; il n'on est pas moins vrai que see implications correspondent exactement au concept de filtre al6atoiro de translation que nous vonons d'6tudier et dent la n6cessit6 ne pout gtro miss en doute pour pouvoir justifier l'emploi si commode d'une distribution spectrale.

Cos consid6rations sur 16 fihre de translation al6a- toire sent d'ailleurs h rapprocher du probl6me de <~ perturbation al6atoire d'horloge ~) trait6 r6cem- merit par A. Blanc-Lapierre [9] st concernant l'esti- marion de moyennes temporelles par 6chantillon- nags.

g) La stationnarisation d'un signal p6riodique par un filtre de translation al6atoire ne constitue

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bien entendu qu'uno abstraction ; e11e ne correspond d'ailleurs h aucune contrainte technique suppl6- mentaire. Mais cette fiction nous est apparue indispensable pour pouvoir justifier, aver touts la rigueur logique n6sessaire, l'application, apparem- ment abusive, que l'on fair de m6thodes d'aualyse de signaux stationnaires dana un cas essentiellemont

non stationnaire. I1 eat h cot 6gard satisfaisant de eonstater que le filtrage al6atoire et sea propri6t6s de * transergodisme i~ 6tablissent la parent6 intime qui relic le proc6d6 de double moyenne et celui d'une origins al6atoire ; par lh-mgme se trouve miss sn lumi~re la dualit6 d'aspects d'une transformation lin6aire stochastic[us.

Manuscrit reeu le 25 avril 1968.

BIBLIOGRAPHIE

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