Flexion (matériau)

Sommaire

1 Cas d'une poutre

o 1.1 Déformation

o 1.2 Efforts de cohésion

o 1.3 Contraintes

1.3.1 Contrainte normale

1.3.2 Cisaillement

o 1.4 Calcul de la déformée

o 1.5 Flexion en grande déformation

o 1.6 Flexion déviée

1.6.1 Poutre symétrique

1.6.2 Poutre non symétrique

o 1.7 Cas isostatiques

1.7.1 Flexion trois points

1.7.2 Poutre sur deux appuis avec une charge ponctuelle

1.7.3 Poutre encastrée

1.7.4 Flexion quatre points

1.7.5 Poutre sur deux appuis avec une charge répartie uniforme

1.7.6 Poutre sur deux appuis avec une charge répartie linéairement

1.7.7 Méthode graphique

o 1.8 Cas hyperstatiques

1.8.1 Poutre appuyée et encastrée

1.8.2 Poutre sur trois appuis

1.8.3 Poutre biencastrée (degré 3)

2 Cas d'une plaque

o 2.1 Déformation

o 2.2 Efforts de cohésion

o 2.3 Contraintes

o 2.4 Cas particuliers

2.4.1 Distribution uniforme de moments sur les côtés d'une plaque

rectangulaire

2.4.2 Pression uniforme

3 Application à la construction

4 Voir aussi

o 4.1 Bibliographie

o 4.2 Articles connexes

Cas d'une poutre

Fibre neutre de section dS d'une poutre quelconque

En théorie des poutres, on considère des fibres, c'est-à-dire des petits cylindres de matières

générés par une portion dS et une courbe parallèle à la courbe moyenne (la « direction de la

poutre ») ; la courbe moyenne passe par les centres de gravité des sections droites (sections

perpendiculaires à la courbe moyenne). Les fibres situées vers l'extérieur de la flexion sont en

extension, elles sont soumises à de la traction. Les fibres situées à l'intérieur de la flexion sont

en compression.

La fibre générée par la courbe moyenne est appelée « fibre neutre ». Elle garde sa longueur

lors de la flexion.

Par la suite, sauf mention contraire, nous supposerons que la poutre est rectiligne avant la

flexion (la courbe moyenne forme une droite) et que les sections sont symétriques. Nous

considèrerons au début la flexion plane, c'est-à-dire avec des charges agissant dans un plan de

symétrie de la poutre.

[modifier] Déformation

Élément d'une poutre fléchie : les fibres forment des arcs de cercle concentriques, les fibres du

haut sont donc comprimées et les fibres du bas étirées.

Du fait de l'hypothèse de Bernoulli (lors de la déformation, les sections droites restent

perpendiculaires à la courbe moyenne),

la fibre neutre a un allongement nul ;

les fibres à l'extérieur de la courbure sont étirées ;

les fibres à l'intérieur de la courbure sont comprimées.

la déformation longitudinale ε varie de manière linéaire en fonction de y.

Le déplacement uy(x) donne la forme finale de la fibre neutre, et est relié au rayon de courbure

local

Par ailleurs, en considérant une poutre droite, si l'on appelle uy(x) la flèche, c'est-à-dire le

déplacement vertical du point de la courbe moyenne situé à l'abscisse x en raison de la

flexion, on a, d'après la définition générale du rayon de courbure :

.

Le graphique uy(x) donne la forme de la courbe moyenne, encore appelée « déformée de la

poutre ».

Démonstration

Si l'on considère un élément infinitésimal de la poutre, alors les fibres forment des

arcs de cercle concentriques de même angle dθ. Si ρ est le rayon de courbure de la

fibre neutre (y = 0), alors la longueur l d'un arc situé à une ordonnée y vaut :

si l 0 est la longueur initiale des fibres. On voit que la déformation longitudinale

varie de manière linéaire en fonction de y.

[modifier] Efforts de cohésion

Définition des composantes du torseur de cohésion

Si l'on considère les efforts de cohésion (voir les articles Théorie des poutres et Torseur de

cohésion), la flexion résulte des moments fléchissants Mfy et Mfz.

Nous considérerons ici la convention des efforts à droite.

On remarque que la valeur de l'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant par

rapport à la position x du point considéré :

.

Le diagramme des moments fléchissant peut être établis par la méthode du funiculaire

[modifier] Contraintes

[modifier] Contrainte normale

Moment fléchissant et répartition de contrainte

Plaçons-nous dans le cas d'un moment fléchissant Mfz positif ; dans le plan (Gxy), les fibres

sont concentriques, le centre O est situé vers le haut. La longueur de l'arc est proportionnelle

au rayon, c'est-à-dire qu'elle varie linéairement en fonction de l'abscisse y considérée. De

même, la contrainte normale à la section varie linéairement en fonction de y et l'on trouve :

.

où IGz est le moment quadratique d'axe (Gz), calculé en fonction de la forme de la section

droite.

Le risque de rupture se situe sur la face en extension de la poutre. Si l'on appelle -V

l'ordonnée du point situé sur cette face, la contrainte y vaut :

.

La grandeur IGz/V est appelée « module de flexion ».

Si la poutre est symétrique et de hauteur h, on a

Démonstration

De même que la longueur des fibres, l'allongement relatif ε est proportionnel à y :

donc, d'après la loi de Hooke, la contrainte varie également de manière linéaire :

,

la quantité E/ρ étant à déterminer. Un petit élément de surface dS reçoit une force

dF valant

et le moment dM de cette force par rapport au point G (0,0,0) appartenant donc à la

ligne moyenne :

Le moment fléchissant résulte de l'ensemble de ces moments, et en intégrant sur la

section droite, on trouve :

avec

On a alors :

soit

.

Note

Comme c'est la valeur absolue de la contrainte qui nous intéresse, et que de toute

manière le signe dépend de la convention choisie, on trouve souvent l'expression

[modifier] Cisaillement

Flexion simple : les forces sont décalées

Effort tranchant et cission dans le cas de la flexion simple

Dans la plupart des cas, le moment fléchissant s'accompagne d'un effort tranchant (Ty avec

Mfz, Tz avec Mfy). Cela génère de la cission (τxy pour Ty et τxz pour Tz). Cette contrainte de

cisaillement ne génère que peu de risque de rupture et est donc généralement négligée

(modèle de Bernoulli).

La répartition des contraintes n'est pas uniforme : la contrainte sur une surface libre est

nécessairement dans le plan de la surface, donc la cission sur les faces extérieure est nulle. On

a donc une cission qui croît lorsque l'on s'approche de la fibre neutre. La contrainte maximale

vaut alors, si S est l'aire de la section droite :

poutre de section rectangulaire pleine : ;

poutre de section circulaire pleine : ;

tube circulaire mince : ;

où S est l'aire de la section droite. On voit que sur ces exemples là, la contrainte est 1,5 à 2

fois supérieure au cas du cisaillement simple.

On note que la cission est maximale là où la contrainte normale est nulle (à la fibre neutre), et

que la contrainte normale est maximale là ou la cission est nulle (sur les faces externes). On

n'a donc pas de synergie entre les deux contraintes.

Démonstration

Isolement d'un élément de matière

On se place dans le cas de la flexion trois points entre les deux premiers appuis. On

considère un élément de poutre comprise entre deux sections droites placées en x et

x + dx, et entre le feuillet d'ordonnée y0 et le bas de la poutre d'ordonnée V. Au

niveau du feuillet, la largeur de la poutre est l.

Cet élément de matière est soumis :

à des forces normales aux sections droites ;

à la force résultant du cisaillement ; elle s'exerce sur une face rectangulaire

de dimensions l×dx.

Le moment fléchissant varie, donc la force normale sur chacune des sections droites

est différente. On peut donc en déduire la cission par le principe fondamental de la

statique (PFS).

L'effort tranchant Ty est uniforme entre 0 et le milieu de la poutre, et l'on a :

Mfz = Ty×x.

La force sur la face de gauche vaut donc

où

est le moment statique de la portion de la section droite comprise entre V et y0.

La force sur la face de droite vaut :

.

La force résultante vaut

.

Le PFS s'écrit donc :

soit

.

On a pour les sections évoquées :

poutre de section rectangulaire pleine de hauteur h et de largeur l :

;

poutre de section circulaire pleine de rayon r : ;

tube circulaire mince délimité par deux cylindres de rayons r et R :

.

[modifier] Calcul de la déformée

Nous avons vu ci-dessus que

1. L'on néglige la déformation par cisaillement ;

2. L'on peut déterminer la courbure γ et le rayon de courbure ρ en fonction du moment

fléchissant Mfz, du facteur de forme IGz et du module de Young E :

;

3. L'on dispose d'une équation différentielle reliant la déformée uy à ρ et à γ :

.

On peut donc déterminer la déformée par intégration double :

.

Si la poutre est de section uniforme (IGz ne varie pas) de même matériau (E ne varie pas), on

se contente d'intégrer le moment fléchissant :

où A et B sont des constantes d'intégration déterminées à partir des conditions limites :

aux points de liaison, on a uy = 0 ;

aux points d'encastrement, on a u’y = 0 ;

si le problème est symétrique par rapport à la section droite médiane, on a u’y = 0 au

centre de la poutre.

On s'intéresse en général à la valeur maximale de uy, la « flèche » de la poutre, qui détermine

l'état limite en service (ELS, valeur de chargement à ne pas dépasser pour que la forme de la

poutre reste compatible avec sa fonction).

Note

On trouve souvent la notation abusive

EIGzy ’’ = Mfz.

y désignant alors le déplacement.

Par ailleurs, les expressions exactes sont :

et donc

.

La déformée peut être établie graphiquement par la méthode du funiculaire.

[modifier] Flexion en grande déformation

Flexion en grande déformation

Lorsque le rayon de courbure ρ est inférieur à dix fois la hauteur h de la section

ρ < h*10,

les hypothèses ne sont plus valables. Si toutefois on considère que :

les sections droites restent planes ;

les contraintes normales à la section sont indépendantes des contraintes parallèles à la

section ;

alors la contrainte normale résultant du moment fléchissant devient

où S est l'aire de la section.

[modifier] Flexion déviée

La flexion déviée est le cas où les charges ne font pas pivoter la section autour d'un axe

principal de moment quadratique; il existe toujours au moins deux axes principaux de moment

quadratique quelle que soit la section de la poutre.

[modifier] Poutre symétrique

Flexion déviée d'une poutre symétrique et principe de superposition

Dans le cas d'une poutre symétrique, on peut décomposer le vecteur moment de flexion en

deux composantes Mfy et Mfz non nulles. Si l'on reste en petites déformations, le système est

linéaire, on peut donc considérer que l'on a une superposition de deux flexions planes. La

contrainte normale vaut donc

.

Le plan sur lequel la contrainte s'annule est appelé « plan neutre ».

[modifier] Poutre non symétrique

On détermine les axes principaux d'inertie Y et Z (voir l'article Matrice d'inertie), puis l'on se

ramène au cas précédent en se plaçant dans le repère (GxYZ) :

.

[modifier] Cas isostatiques

[modifier] Flexion trois points

Flexion trois points, en convention des efforts à droite

La flexion trois point est un essai mécanique classique. Il représente le cas d'une poutre posée

sur deux appuis simples (appuis linéaires rectilignes qui, dans un problème plan, équivalent à

une liaison ponctuelle) et soumise à une charge concentrée, appliquée au milieu de la poutre

avec elle aussi un contact simple. On modélise souvent un des appuis comme un pivot afin

d'avoir une poutre qui ne se déplace pas horizontalement.

Dans la figure ci-contre, la poutre a une longueur L et la charge centrale est P.

L'effort tranchant est constant en valeur absolue : il vaut la moitié de la charge centrale, P/2. Il

change de signe au milieu de la poutre. Le moment fléchissant varie de manière linéaire entre

une extrémité, où il vaut 0, et le centre où sa valeur absolue vaut PL/4 ; c'est là que le risque

de rupture est le plus important.

Le profil de la poutre est décrit par un polynôme du troisième degré (fonction en x3) sur une

moitié de poutre (l'autre moitié étant symétrique).

Les diagrammes des efforts tranchants et moments fléchissants sont traditionnellement

représentés remplis de traits verticaux. Cela correspond au découpage des aires en trapèze

utilisé pour la méthode graphique.

[modifier] Poutre sur deux appuis avec une charge ponctuelle

Flexion sous une charge excentrée, en convention des efforts à droite

Ce cas est la généralisation de la flexion trois points : la charge n'est pas nécessairement

appliquée au centre. Cela permet, par exemple, de représenter une charge roulante.

L'analyse entre une extrémité et le point d'application de la charge est la même que pour la

flexion trois points, mais le problème n'est plus symétrique.

[modifier] Poutre encastrée

Une poutre encastrée (clamped beam, cantilever), ou poutre en console, représente le cas

d'une hampe de drapeau, d'un poteau scellé dans le sol, d'une poutre en porte à faux (par

exemple une potence).

On peut remarquer qu'elle se comporte comme la moitié d'une poutre en flexion trois points,

l'encastrement correspondant au centre. Le moment fléchissant maximal est au niveau de

l'encastrement, c'est là que le risque de rupture est le plus important.

[modifier] Flexion quatre points

La différence principale avec la flexion trois points se situe entre les deux charges : le

moment fléchissant est constant et l'effort tranchant est nul. Cette situation est qualifiée de

flexion pure.

[modifier] Poutre sur deux appuis avec une charge répartie uniforme

Une charge uniforme permet de décrire le poids propre de la poutre, ou encore le poids d'un

liquide dans le cas d'une canalisation ou d'un réservoir.

[modifier] Poutre sur deux appuis avec une charge répartie linéairement

Ce cas peut servir à décrire la charge sur un poteau soutenant un mur vertical ayant d'un côté

de la terre ou de l'eau : la pression augmente avec la profondeur.

[modifier] Méthode graphique

La résolution des problèmes de flexion isostatiques peut se faire graphiquement.

Article détaillé : Méthode du dynamique et du funiculaire#Flexion des poutres.

[modifier] Cas hyperstatiques

Article détaillé : hyperstaticité.

[modifier] Poutre appuyée et encastrée

Le cas d'une poutre appuyée et encastrée, par symétrie, est parfaitement identique au cas d'une

poutre sur trois appuis à travées identiques (à l'appui, la pente est nulle et correspond à un

encastrement).

[modifier] Poutre sur trois appuis

Dans le cas d'une poutre à deux travées identiques de longueur l, sous une charge uniforme q,

le moment sur appui est identique au moment en travée d'une poutre simple, à savoir pl2 / 8 ;

on ne gagne donc rien en termes de résistance à lier en continuité deux poutres sur un appui

commun. Par contre le moment maximal en travée vaut 9pl2 / 128 et la flèche maximale est

réduite d'environ 40% par rapport à la poutre isostatique.

[modifier] Poutre biencastrée (degré 3)

Charge continue uniformément répartie q

Charge triangulaire avec un maximum de q0

Charge concentrée P

Couple M0

[modifier] Cas d'une plaque

Déformation d'une plaque mince avec mise en évidence du déplacement d'un élément de

matière, de son feuillet moyen (rouge) et de sa fibre normale (bleue)

Dans la théorie des plaques, on considère

des feuillets, c'est-à-dire de fines tranches de matières parallèles aux faces de la

plaque, le feuillet moyen étant situé au milieu de la plaque, et

des fibre normales, c'est-à-dire de fins tubes de matière perpendiculaires au feuillet

moyen.

Rotation de la fibre neutre et inclinaison du feuillet moyen

Dans la théorie des plaques minces de Kirchhoff-Love, le feuillet moyen se courbe mais n'est

pas étiré dans son plan (pas de déformation de « membrane »), et les fibres normales restent

perpendiculaires au feuillet moyen au cours de la déformation. On peut donc exprimer

simplement les déplacements u et v d'un point selon respectivement x et y en fonction de

l'altitude z de ce point, de son déplacement w selon z et des angles θx et θy :

u(x, y, z) ≃ z·θy(x, y) ;

v(x, y, z) ≃ -z·θx(x, y) ;

Dans l'absolu, l'hypothèse d'absence de déformation de membrane n'est valable que si la

surface peut être développée, c'est-à-dire si elle n'a qu'une seule courbure (cylindre ou cône de

révolution). Dans le cas général (voir les exemples de la sphère et de la selle de cheval), il y a

nécessairement une étirement. L'hypothèse n'est donc valable que si le déplacement w est

faible devant l'épaisseur h de la plaque.

[modifier] Déformation

D'après la définition du tenseur des déformations, on a :

où γx est la courbure du feuillet moyen dans le plan xz et γy dans le plan yz.

[modifier] Efforts de cohésion

Moments fléchissants et contraintes normales

Les moments fléchissants mxy, agissant sur la face normale à x et dont le vecteur est dirigé

selon y, et myx, agissant sur la face normale à y et dont le vecteur est dirigé selon x, créent une

répartition linéaire de la contrainte normale. Cette situation est similaire à celle de la poutre.

[modifier] Contraintes

On peut évaluer les contraintes à partir de la loi de Hooke :

soit

où E est le module de Young et ν est le coefficient de Poisson.

On peut relier les contraintes normales aux moments fléchissants par le principe

d'équivalence ; il faut pour cela choisir une convention, à l'instar des conventions des efforts à

gauche ou à droite pour les poutres. Ici, nous choisissons de noter les moments positifs s'ils

provoquent une courbure vers le bas, c'est-à-dire si la face supérieure est en compression (σii

< 0 pour z > 0) et la face inférieure est en traction (σii > 0 pour z < 0).

Donc, si l'élément de matière fait dx × dy × h, alors

soit

.

Le terme

est appelé rigidité flexionnelle. Il joue le même rôle que le facteur E⋅IGz pour la flexion d'une

poutre.

Comme on a

on en déduit les équations différentielles :

.

Dans le cas général, mxy myx sont des fonctions de x et de y.

[modifier] Cas particuliers

[modifier] Distribution uniforme de moments sur les côtés d'une plaque rectangulaire

Plaque fléchie par une distribution uniforme de moments sur ses côtés

Nous allons d'abord nous placer dans le cas simple d'une plaque rectangulaire soumise à des

moments uniformes à ses bords ; ce cas ne correspond pas à un cas réel particulièrement

intéressant, mais permet d'avoir simplement un certain nombre de résultats de manière simple.

Cette situation est similaire à la flexion pure d'une poutre (partie centrale de la flexion à

quatre points).

Dans notre cas particulier, On est dans le cas de torseurs couples. Si l'on considère un élément

de matière n'importe où dans la plaque, on a donc :

mxy = Mx ;

myx = My.

Ce sont des constantes, on a donc

Dans ce cas-là, la solution est simple : on obtient des courbures uniformes :

avec

.

Si l'un des couples extérieurs est nul, par exemple My = 0, alors on a

γy = -νγx,

c'est-à-dire que les deux courbures principales sont opposées (courbe « anticlastique » de type

selle de cheval). Dans le cas particulier où My = νMx, on a

γy = 0

c'est-à-dire que l'on n'a qu'une courbure que dans un sens. Ce cas est similaire à la flexion

pure d'une poutre, mais le résultat est légèrement différent :

Le facteur de différence 1/(1-ν²) provient du fait que la plaque n'a pas la possibilité de

s'étendre librement sur les côtés. Dans le cas des métaux (ν ≃ 0,3), on a un écart d'environ

10 % (1/(1-ν²) ≃ 1,10).

Si l'on a My = Mx, alors

γy = γx,

la plaque prend donc la forme d'une calotte de sphère. Ceci est en fait vrai quelle que soit la

forme de la plaque, pour toute répartition uniforme des moments.

[modifier] Pression uniforme

Plaque carrée appuyée

Dans le cas d'une plaque carrée de côté a simplement appuyée chargée par une pression

uniforme p0, la flèche maximale wmax est au centre et vaut :

.

Plaque circulaire encastrée

Dans le cas d'une plaque circulaire de rayon R encastrée, la flèche à une distance r du centre

vaut

;

la flèche maximale est au centre et vaut

.

Notons que l'on peut également écrire la flèche sous la forme

.

[modifier] Application à la construction

Quelques poutres classiques

Le poids porté sur une poutre ou un plancher comprimera l'élément et l'étirera. Le centre n'est

soumis à aucune déformation et peut même être évidé pour des questions d'économie de

matériaux dans un but financier ou pour réduire le poids propre de l'élément. C'est la raison

pour laquelle on utilise des tubes, des cornières ou des profilés (fer U, fer I, profilés

d'aluminium), des planchers à caisson, …